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复变函数第2讲

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复变函数第2讲资料

复变函数第2讲资料
M |z|>M
0
21
设G为一平面点集, z0为G中任意一点. 如果存 在z0的一个邻域, 该邻域内的所有点都属于G, 则称z0为G的内点. 如果G内的每个点都是它的内点, 则称G为
开集
22
平面点集D称为一个区域, 如果它满足下列两 个条件: 1) D是一个开集; 2) D是连通的, 就是说D中任何两点都可以用 完全属于D的一条折线连接起来.
w3
18
§4 区域
19
1. 区域的概念
平面上以z0为中心, d(任意的正数)为半径的圆: |z-z0|<d
内部的点的集合称为z0的邻域, 而称由不等式
0<|z-z0|<d所确定的点集为z0的去心邻域.
d
z0
20
包括无穷远点自身在内且满足|z|>M的所有点 的集合, 其中实数M>0, 称为无穷远点的邻域. 即它是圆|z|=M的外部且包含无穷远点本身. 不包括无穷远点本身的仅满足|z|>M的所有点 称为无穷远点的去心邻域, 也记作M<|z|<.
9
例1 已知正三角形的两个顶点为z1=1与z2=2+i, 求它 的另一个顶点.
[解] 如图所示, 将表示z2-z1的向量绕z1旋转/3(或/3)就得到另一个向量, 它的终点即为所求的顶点
z3(或z3’).
y z3
3
z2=2+i
3
O
x
z3’
10
根据复数乘法, 有
i
z3 - z1 = e 3 (z2 - z1)
复变函数
第2讲
1
§3 复数的乘幂与方根
2
乘积与商 设有两个复数
z1=r1(cosq1+isinq1), z2=r2(cosq2+isinq2),

复变函数第2讲

复变函数第2讲
区域: 连通的开集称为连通集.
闭区域: 区域D和它的边界∂D 的并集称 为闭区域,记为 D 有界(无界)区域: 根据区域D的是否有界区分
9
z1 区域 z2
不连通
10
无界区域的例子 y
角形域:0<ayrg z<ϕ
上半平面:Im z>0
x y
ϕ
x
b
带形域:a<Im z<b
x a
11
平面曲线 在数学上, 经常用参数方程来表 示各种平面曲线. 如果x(t)和y(t)是两个连续的 实变函数, 则方程组
18
例 考察函数 w=z2
令z=x+iy, w=u+iv, 则 u+iv=(x+iy)2=x2−y2+2xyi,
因而函数w=z2对应于两个二元函数: u=x2−y2, v=2xy
19
映射的概念 如用z平面上的点表示自变量z的值, 而用另
一个平面w平面上的点表示函数w的值, 则函 数w=f(z)在几何上就可以看做是把z平面上的 一个点集G(定义域)变到w平面上的一个点集 R(值域)的映射(或变换). 如果G中的点z被映射 w=f(z)映射成R中的点w, 则w称为z的像, 而z称 为w的原象.
a为一复数,
) 必包含E的点,
则称a为E的聚点(或极限点).
注：集合E的聚点不一定属于E
孤立点:若点a 即存在
B∈((Ea,,但δ )a,不使是得EB的((a聚,δ点) ∩,
E
=
∅
定理:集合E为闭集的充要条件是E的聚点 必属于E
8
2. 区域 曲线 连通集: 复平面点集D中任何两点都可以用
完全属 于D的一条折线连接起来,则称D是连 通集.

1-2复变函数的极限解析

1-2复变函数的极限解析

称为z0的 邻域，记作U (z0 , )
复 变 函 数 与
由 0 |z z0 | ( 0) 所
确定的平面点集，称为
• z0
积
分 变
z0的去心 邻域，
换
记为U o(z0 , ).
内点: 对任意z0属于点集E，若存在Ｕ(z0 ,δ)，
哈
使该邻域内的所有点都属于E，则称z0
立点所构成.
二、简单曲线（或Jardan曲线)
平面上一条连续曲线可表示为：
哈
尔 滨 工 程 大
x x(t)

y

y(t )
( t ),
学 其中x(t)、y(t)是连续的实变函数。
复 变 函
若x '(t)、y'(t) C[a, b]且[x '(t)]2 [ y'(t)]2 0
尔
滨 工
其边界为点集 ：{z | | z a | r}
程
大
学 例2 点集 z r1 z z0 r2是一有界区域,
复
变 函 数
其边界由两个圆周 z z0 r1, z z0 r2构成.
与
积
分 变
如果在圆环内去掉若干个点,它仍是区域,
换 但边界有变化,是两个圆周及其若干个孤
尔
滨
工 程
z( ) z( )的简单曲线，称为简单闭曲线,
大 学
或约当闭曲线.
复
变
函
数
与
积
分 变
z( ) z( )
换
简单闭曲线
z( ) z( )
不是简单闭曲线
约当定理（简单闭曲线的性质）
任一条简单闭曲线C：z=z(t)， t∈[a，b]，

复变函数第一章(第二讲)

复变函数第一章(第二讲)
z → z0
当 z → z 0时， f ( z ) → A。更一般可定义 f沿 D当 z → z 0时， ( f ( z ) → A)
几何意义: 当动点z一旦进入 0 的充分小去心邻域时,它的象点 当动点 一旦进入z 的充分小去心邻域时 它的象点 一旦进入 f (z)就落入 的一个预先给定的ε邻域中。如图 所 就落入A的一个预先给定的 邻域中。如图4所 就落入 示。
例 已知映射 w = 1 , 判断 : z平面上的曲线 x 2 + y 2 = 1被 z 映射成 w平面上怎样的曲线 ?
y
(z)
v
w = f (z )
ε
A
(w)
δ
z0
o
x
图4
o
u
֠
(1) 定义中 z → z0的方式是任意的. 定义中 的方式是任意的. 与一元实变函数相比较要求更高. 与一元实变函数相比较要求更高. (2) A是复数. 是复数. 是复数 (3) 若f(z)在 z0处有极限 其极限是唯一的. 其极限是唯一的 在 处有极限,其极限是唯一的.
2. 函数的极限及其性质
极限的概念
设 w = f ( z ), z ∈ N o ( z 0 , ρ ), 若存在数 A， ∀ε > 0, ∃δ , > 0, ( 0 < δ < ρ ), 当 0 < z − z 0 < δ 时 , 有 f ( z ) − A < ε , 时的极限， 则称 A为 f ( z )当 z → z 0时的极限，记作 lim f ( z ) = A 或
连续函数的运算 定理1.3.8 设f, g在z0均连续 则 均连续, 定理 在 均连续
(1) f (z) ± g(z)在z0处连续； 处连续； (2) f (z) ⋅ g(z)在z0处连续； 处连续； (3) 当g(z0 ) ≠ 0时， (z) ÷ g(z)在z0处连续。 f 处连续。

复变函数复变函数2

复变函数复变函数2

z0
)或
dw dz
z z0
.
应该注意：上述定义中z 0的方式是任意的。
容易证明： 可导
可微 ；可导
连续。
如果 f (z) 在区域D内处处可导, 就说 f (z) 在Ｄ内可导.
例1 求 f (z) = z2 的导数。
[解] 因为 lim f (z Δ z) f (z) lim (z Δ z)2 z2
§2.2 解析函数和调和函数的关系
定义1 实函数u(x, y)为区域D内的调和函数：
u(x, y)在区域D内有二阶连续偏导数，
且满足u uxx uyy 0
(称为调和方程或Laplace方程)
定理1：f (z) u(x, y) iv(x, y)是区域D内的解析函数
u与v是区域D内的调和函数
f (z)在区域D内解析：f (z)在D内处处解析.
函数在一点解析 在该点可导。反之不一定成立。
在区域内： 解析 可导 .
例如 f (z) = z2 在整个复平面上解析；w f (z) z 2
仅在原点可导，故在整个复平面上不解析；
f (z) = x +2yi 在整个复平面上不解析。
例4 讨论函数 f (z)=1/z 的解析性.
是区域内的正交 曲线族。
(正交：两曲线在交点处的切线垂直 )
证：u ( x,
y)
C1在( x,
y)处切线的斜率ku
ux uy
，
v(x,
y)
C2在(x,
y)处切线的斜率kv
vx vy
ku kv
ux uy
vx vy
C
R
vy uy
uy vy
1,
得证。
例如 f z z2 x2 y2 i2xy, f z 2z 0z 0.

复变函数第2章

复变函数第2章

By 宋朝红2.1 复变函数的极限2.2 复变函数的连续性2.3 导数2.4 解析函数2.5 调和函数Math HZAU第二章导数zz f z z f z Δ)()Δ(lim 000Δ−+→1 导数与微分定义：设函数w=f(z)在包含z 0的某邻域D 内有定义，点z 0+⊿z ∈D. 如果极限存在, 则称f (z )在z 0可导, 此极限值就称为f (z )在z 0的导数, 记作0000Δ0(Δ)()d ()lim .d Δ|z z z f z z f z w f z z z=→+−′==如果f (z )在区域D 内处处可导, 则称f(z)在Ｄ内可导.例1求f (z )=z 2的导数例3讨论函数f (z )=|z|2的可导性函数可导一定连续，但连续却不一定可导例2问：函数f (z )=x +2yi 是否可导？求导公式与法则①常数的导数c ′=(a+ib )′=0.②(z n )′=nz n-1(n 是自然数).③设函数f (z ),g (z ) 均可导，则[f (z )±g (z )]′=f ′(z )±g ′(z )，[f (z )g (z )]′= f ′(z )g (z )+ f (z )g ′(z )----实函数中求导法则的推广)0)((,)()(')()()('')()(2≠−=⎥⎦⎤⎢⎣⎡z g z g z g z f z g z f z g z f④复合函数的导数( f [g (z )])′=f ′(w )g ′(z )，其中w=g (z )。

.0)()()()(10处可导点外）处在复平面上（除分母为导；在整个复平面上处处可由以上讨论z Q z P z R z a z a a z P nn =+++=⇒"⑤反函数的导数，其中: w=f (z )与z=ϕ(w )互为单值的反函数，且ϕ′(w )≠0。

)('1)('w z f ϕ=例3求f (z )=Arcsinz=-iLn (iz+ ）的导数。

复变函数_第2讲

合 G * 是一一对应的 . 今后不再区别函数与映射.
31
三、典型例题
例1
在映射 w z 下求下列平面点集在
2
w 平面
上的象 :
( 1 ) 线段 0 r 2 ,
π 4
y
;
还是线段.
v
解
设 z re
i
, ,
w e
则 r ,
2
i

o x o u
wz
24
( 2 ) 函数 w z 构成的映射
2
.
显然将 映射成
z 平面上的点
z1 i , z 2 1 2 i , z 3 1
w 平面上的点
y
w 1 1, w 2 3 4 i , w 3 1 .
w2
v
z3

z1
o
z2
x
w
o
1
w3

u
25
( 2 ) 函数 w z 构成的映射
3
2.去心邻域:
称由不等式 0 z z 0 所确定的点的 .
集合为 z 0 的去心邻域
说明
不包括无穷远点自身在 的所有点的集合 可以表示为 内 , 仅满足 z M 域.
, 称为无穷远点的去心邻
M z .
4
3.内点:
设 G 为一平面点集 存在 z 0 的一个邻域 , z 0 为 G 中任意一点 . 如果 于 G, , 该邻域内的所有点都属
y y
o
x
o
x
28
( 2 ) 函数 w z 构成的映射
2
.
直线 x 的象的参数方程为

课02-第一章复变函数2ppt课件

直线 x的象的参数: 方程为
u2y2, v2 y. (y为参 ) 数 消去参y数 得: v24 2(2u ),
以原点为焦点,开口相左的抛物线.(图中红色曲线)
同理y 直 的 线 象 : 为
v24 2(2u ),
以原点为焦点,开口相右的 抛物线.(图中蓝色曲线)
12
4. 反函数的定义: 设wf(z)的定义集 z平合 面为 上的 G, 集
2
这个映射通常函简数 w称 f为 (z) 由 所构成的 . 映射
如G 果 中的 z被 点 映 w射 f(z)映射 G*成 中的 w,那 点 w 末 称z为 的(映 象)象 而 , z称w 为 的原 . 象
5
3. 两个特殊的映射:
(1)函数 wz构成的 . 映射
将 z平面 z a 上 i映 b的 w 射 平 点 成 面
2 s i n s i n 2 ic o s s i n
22
22
2 s i 2 n s i 2 n ic o 2 s
30
2 s i 2 n cπ o 2 s isπ i n 2
因0 为 2 πs,in 0,
2 上式就 ei是 ei的 复三 数角 . 表示式
4
解 设z rei ,
y
还是线段.
v
w ei ,
w z2
则 r2, 2 , o
x
o
u
故0 线 r 2 , 段 π 映 0 射 4 , 为 π ,
4
2
16
例1 在映w射 z2下求下列平w面 平点 面集
上的: 象
(2)双曲 x2线 y24;
解 令 z x i,y w u i,v
y
zz3 1o z 2
x

第二章复变函数

∂u = 2x ∂x ∂v =y ∂x
v( x, y) = xy
∂u =0 ∂y ∂v =x ∂y
Q 都是初等函数，在复平面内处处连续；
∂u ∂v ∂x = ∂y 针对柯西 − 黎曼方程 仅在 z = 0处成立 ∂u = − ∂v ∂y ∂x
∂u ∂v 导数： f ' ( z = 0 ) = [ + i ] | z = 0 = ( 2 x + iy ) | x = 0, y = 0 = 0 ∂x ∂x
∂u ∂v |( x, y ) +i |( x, y ) ∂x ∂x
（）∆z 0 2 →
沿虚轴
∆ z = i∆ y
{u ( x, y + ∆y ) + iv ( x, y + ∆y )} − {u ( x, y ) + iv ( x, y )} lim i∆ y ∆y → 0 1 u ( x, y + ∆y ) − u ( x, y ) v ( x , y + ∆y ) − v ( x , y ) + lim lim ∆y i ∆y →0 ∆y ∆y → 0
f 例: f ( z ) = u + iv为解析函数， ' ( z ) ≠ 0, 则曲线u ( x, y) = c1
v( x, y ) = c2必互相正交。
证： ux 曲线 u ( x , y ) = c1 斜率为 k1 = − uy vx 曲线 v ( x , y ) = c 2 斜率为 k 2 = − vy
w = f ( z) = z
2
的可导性。
2 2 ∆ w f ( z + ∆z ) − f ( z ) z + ∆z − z = = ∆z ∆z ∆z

复变函数第2讲

w = ρ (cosnϕ + i sinnϕ) = z = r(cos + i sinθ ) θ
n n
比较， 比较，得
ρ n = r, ⇒ ρ =
nϕ = θ + 2 k π ,
n
r;
⇒ϕ =
θ + 2kπ
n
Hale Waihona Puke 由此得到方根公式n (k = 0, 1, 2, L, n − 1)
w = z = r (cos
结论： 结论： 两个复数乘积的模等于各自模的乘积， 两个复数乘积的模等于各自模的乘积，乘积的幅 角等于各自幅角之和； 角等于各自幅角之和； 两个复数商的模等于各自模的商， 两个复数商的模等于各自模的商，商的幅角等于 被除数与除数的幅角之差。 被除数与除数的幅角之差。 Arg(z1z2)=Argz1+Argz2，Arg(z1/z2)= Argz1-Argz2，
3
0 + 2 kπ 0 + 2 kπ 1 = cos + i sin 3 3 ( k = 0 ,1, 2 ).
1 3 1 3 i, w2 = - i. 即 w 0 = 1, w1 = - + 2 2 2 2
练习： 求下列根式的值. (1) 1+ i ; (2)
3
-2 + 2i .
§4
复平面上的点集
13. 单连通、多连通区域：复平面上的一个区域 如果在其 单连通、多连通区域：复平面上的一个区域D,如果在其 中任作一条简单闭曲线,而曲线的内部仍属于 而曲线的内部仍属于D，则称D 中任作一条简单闭曲线 而曲线的内部仍属于 ，则称 为单连通域，不是单连通域的都叫多连通域。 为单连通域，不是单连通域的都叫多连通域。 多连通区域的一个显著特点：内部含有洞或裂缝。 注：1. 多连通区域的一个显著特点：内部含有洞或裂缝。 2. 任一简单闭曲线将复平面分为内、外两部分，内部 任一简单闭曲线将复平面分为内、外两部分， 单连通，外部多连通。 单连通，外部多连通。 3. 属于单连通域 内的任何一条简单闭曲线，在D内可 属于单连通域D内的任何一条简单闭曲线 内的任何一条简单闭曲线， 内可 以经过连续的变形而缩成一点， 以经过连续的变形而缩成一点，多联通区域不具备 这个特征。 这个特征。
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例如
R1 | z - z0 | R2
z || z | 1 z || z - 2 | 1
Re z 0表示右半复平面, Im z 0表示下半复平面.
3
(13)闭域 区域加上它的边界。
(14)直径 d ( E ) sup{| z z ' | z E, z ' E}.
单连通区域
多连通区域
9
连续点集 所含不止一个点的闭 集E,如果不能划分为两个无公共 点的非空闭集, 则称E为连续点集.
空集与只含有一个点的集合称为退化连续 点集
若区域D的边界是互不相交的两个、三 个、…、n个连续点集，则分别称D为二 连通、三连通、…、n连通的区域。
10
11
内部
z(a)=z(b) C 外部 边界
8
例 |z|<1是单连通区域；而|z|>1是多连通区域。
注
1. 多连通区域的一个显著特点：内部含有洞 或裂缝. 2. 任一简单闭曲线将复平面分为内、外两部 分，内部单连通，外部多连通. 3. 属于单连通区域D内的任何一条简单闭曲线， 在D内可以经过连续的变形而缩成一点.
B z( ) A z ( )
参数 方程


z z (t )
起点
若x(t),y(t)是定义在区间[α, β ]上的实值连续函数， 则称此曲线为连续曲线。
5
简单曲线：
t1 t2 , z (t1 ) z (t2 )
简单闭曲线： 自身闭合的简单曲线。
光滑曲线： x(t ), (t )存在、连续且不全为零 有限条光滑曲线相连接构成一条分段光滑曲线.
聚点的等价定义
(1) z0 的任意邻域含有 E 的无穷多个点。
(2) z0 的任意邻域含有异于 z0 而属于 E 的一个点。 (3) z0 的任意邻域含有 E 的两个点。
(4) 可从 E 取出点列 z1 , z2 ,, zn , ，而以 z0 为极限。
4
2、 简单曲线（或Jordan曲线) 点集 z | z z (t ) x(t ) iy (t ), t 称为z平面上的一条有向曲线。 终点
点集 E 的全部聚点所成集合用 E ' 表示。 (8) 闭集 E ' E.
(9) 边界 E的所有边界点组成E的边界.
2
D中任意两点可用一条全在D中 (10) 连通 的曲线连接起来。
(11) 区域 非空的连通开集. (12) 有界区域 如果存在正数M，使得对于一切E中的点z， z M, 有 则称 E为有界区域,否则称为无界区域。
7
简单闭曲线的性质(Jordan定理)
任一条简单闭曲线 C：z=z(t)， t∈[a，b]，把复 平面唯一地分成三个互不相交的部分：一个是有 界区域，称为C的内部；一个是无界区域，称为 C的外部；还有一个是它们的公共边界。 3. 单连通域与多连通域 定义 复平面上的一个区域D ， 如果D内的任何简单闭曲线的 内部总在D内，就称 D为单连通 域；非单连通域称为多连通域.
(3) 边界点: 若每个 N ( z0 ) 内既有属于 E 的点， 又有 不属于 E 的点。
1
(4)聚点 若 z0 的任意邻域都有 E 的无穷多个点。 (5)孤立点 若 z0 E ，但不是 E
的聚点。 (6)外点 若 z0 不属于 E ，又非
E 的聚点
外点
z1

z2
z0 内点
P
E-区域
(7) 开集 若E内的每一点都是内点，则称E是开集.
§2
复平面上的点集
1、几个基本概念
(1) 邻域： N ( z0 ) = z | z - z0 < .
N ( z0 ) -{z0 } z | 0 | z - z0 | 去心邻域：


z0
以下设E为一平面点集.
(2) 内点: 若 z0 E, N ( z0 ), N ( z0 ) E.
z ( ) z ( )
z(t1)=z(t2) 不是简单闭曲线
重点
简单闭曲线
6
弧长 设连续弧 AB 的参数方程为
z z(t ), ( t )
任取实数列 {tn } :
t0 t1 t2 tn1 tn ,
并且考虑 AB 弧上对应的点列：
z j z(t j ),( j 0,1,, n),
将它们用一折线 Qn 连接起来， Qn 的长度
I n | z( t j ) z( t j 1 ) | .
j 1 n
如果对于所有的数列， I n 有上界，则 AB 弧称为可 求长的，上确界 L sup I n 称为 AB 弧的长度。