2021届浙江新高考数学一轮复习：第二章 5 第5讲 指数与指数函数

§2.5指数与指数函数最新考纲考情考向分析1.了解指数函数模型的实际背景．2.理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算．3.理解指数函数的概念及其单调性，掌握指数函数图象通过的特殊点，会画底数为2,3,10，12，13的指数函数的图象. 4.体会指数函数是一类重要的函数模型. 直接考查指数函数的图象与性质；以指数函数为载体，考查函数与方程、不等式等交汇问题，题型一般为选择、填空题，假设题型为解答题，那么题目中等偏难.1．分数指数幂(1)m na ＝na m(a >0，m ，n ∈N *，且n >1)；m na＝1m na(a >0，m ，n ∈N *，且n >1)；0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义．(2)有理数指数幂的运算性质：a r a s ＝a r ＋s ，(a r )s ＝a rs ，(ab )r ＝a r b r ，其中a >0，b >0，r ，s ∈Q . 2．指数函数的图象与性质y ＝a xa >10<a <1图象定义域 (1)R 值域(2)(0，＋∞) 性质(3)过定点(0,1)(4)当x >0时，y >1；当x <0时，0<y <1(5)当x >0时，0<y <1；当x <0时，y >1(6)在(－∞，＋∞)上是增函数 (7)在(－∞，＋∞)上是减函数概念方法微思考1.如下列图是指数函数(1)y ＝a x ，(2)y ＝b x ，(3)y ＝c x ，(4)y ＝d x 的图象，那么a ，b ，c ，d 与1之间的大小关系为________． 提示c >d >1>a >b >02．结合指数函数y ＝a x (a >0，a ≠1)的图象和性质说明a x >1(a >0，a ≠1)的解集是否与a 的取值有关．提示当a >1时，a x >1的解集为{x |x >0}；当0<a <1时，a x >1的解集为{x |x <0}． 题组一思考辨析1．判断以下结论是否正确(请在括号中打“√〞或“×〞) (1)n a n ＝(na )n ＝a (n ∈N *)．(×)(2)分数指数幂m na 可以理解为mn 个a 相乘．(×)(3)函数y ＝3·2x 与y ＝2x＋1都不是指数函数．(√)(4)假设a m <a n (a >0，且a ≠1)，那么m <n .(×) 题组二教材改编2．化简416x 8y 4(x <0，y <0)＝________. 答案－2x 2y3．假设函数f (x )＝a x (a >0，且a ≠1)的图象经过点P ⎝⎛⎭⎫2，12，那么f (－1)＝________. 答案2解析由题意知12＝a 2，所以a ＝22，所以f (x )＝⎝⎛⎭⎫22x ，所以f (－1)＝⎝⎛⎭⎫22－1＝ 2. 4．a ＝1335-⎛⎫ ⎪⎝⎭，b ＝1435-⎛⎫ ⎪⎝⎭，c ＝3432-⎛⎫⎪⎝⎭，那么a ，b ，c 的大小关系是________．答案c <b <a解析∵y ＝⎝⎛⎭⎫35x是R 上的减函数， ∴1335-⎛⎫ ⎪⎝⎭>1435-⎛⎫⎪⎝⎭>⎝⎛⎭⎫350，即a >b >1， 又c ＝3432-⎛⎫⎪⎝⎭<⎝⎛⎭⎫320＝1，∴c <b <a . 题组三易错自纠5．计算：3(1＋2)3＋4(1－2)4＝________. 答案226．实数a ，b 满足等式⎝⎛⎭⎫12a ＝⎝⎛⎭⎫13b，以下五个关系式①0<b <a ；②a <b <0；③0<a <b ；④b <a <0；⑤a ＝b ，不可能成立的是________． 答案③④解析在同一坐标系内，作出函数y ＝⎝⎛⎭⎫12x和y ＝⎝⎛⎭⎫13x 的图象(如图)． 当a >b >0时，⎝⎛⎭⎫12a ＝⎝⎛⎭⎫13b可能成立． 当a <b <0时，⎝⎛⎭⎫12a ＝⎝⎛⎭⎫13b 可能成立． 当a ＝b ＝0时，⎝⎛⎭⎫12a ＝⎝⎛⎭⎫13b 显然成立． 当0<a <b 时，显然⎝⎛⎭⎫12a >⎝⎛⎭⎫13b . 当b <a <0时，显然⎝⎛⎭⎫12a <⎝⎛⎭⎫13b . 综上可知，③④不可能成立.指数幂的运算1．(2022·四川绵阳诊断)计算23×31.5×612＝________. 答案6解析原式＝2×123×1332⎛⎫⎪⎝⎭×1612＝2×123×133×132-×163×132 ＝2×1112363++×11332-+＝6.2．(2022·沧州七校联考)11321332(4)14(0.1)()ab a b ----⎛⎫⎪⎝⎭⋅⋅a >0，b >0)＝________．答案85解析原式＝33322233222410a b a b--⋅＝85. 3．假设12x ＋12x -＝3，那么3322232x x x x --2+-+-＝________.答案13解析由12x ＋12x-＝3，两边平方，得x ＋x －1＝7，再平方得x 2＋x －2＝47. ∴x 2＋x －2－2＝45.32x ＋32x -＝(12x )3＋(12x -)3＝(12x ＋12x -)(x －1＋x －1)＝3×(7－1)＝18.∴3322232x x x x --2+-+-＝13.思维升华(1)指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法那么计算，还应注意：①必须同底数幂相乘，指数才能相加． ②运算的先后顺序．(2)当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数．(3)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数．指数函数的图象及应用例1(1)函数y ＝x|x |a x (0<a <1)的图象的大致形状是()答案D解析因为y ＝xa x |x |＝⎩⎪⎨⎪⎧a x，x >0，－a x，x <0，且0<a <1，所以根据指数函数的图象和性质，当x ∈(0，＋∞)时函数是减函数；当x ∈(－∞，0)时函数是增函数，所以函数在(0，＋∞)上单调递减，在(－∞，0)上单调递增，应选D.(2)假设曲线y ＝|2x －1|与直线y ＝b 有两个公共点，那么实数b 的取值范围为________． 答案(0,1)解析曲线y ＝|2x －1|与直线y ＝b 的图象如下列图，由图象可得，如果曲线y ＝|2x －1|与直线y ＝b 有两个公共点，那么b 的取值范围是(0,1)．思维升华(1)函数解析式判断其图象一般是取特殊点，判断选项中的图象是否过这些点，假设不满足那么排除．(2)对于有关指数型函数的图象可从指数函数的图象通过平移、伸缩、对称变换而得到．特别地，当底数a 与1的大小关系不确定时应注意分类讨论．跟踪训练1(1)函数y＝a|x|(a>1)的图象是()答案B解析函数y＝a|x|(a>1)是偶函数，当x≥0时，y＝a x，又a>1，应选B.(2)方程2x＝2－x的解的个数是________．答案1解析方程的解可看作函数y＝2x和y＝2－x的图象交点的横坐标，分别作出这两个函数的图象(如图)．由图象得只有一个交点，因此该方程只有一个解．指数函数的性质及应用命题点1比较指数式的大小例2(1)a＝2312⎛⎫⎪⎝⎭，b＝432-，c＝1312⎛⎫⎪⎝⎭，那么以下关系中正确的选项是()A．c<a<b B．b<a<c C．a<c<b D．a<b<c 答案B解析因为b＝4312⎛⎫⎪⎝⎭，函数y＝⎝⎛⎭⎫12x在R上为减函数，43>23>13，所以4312⎛⎫⎪⎝⎭<2312⎛⎫⎪⎝⎭<1312⎛⎫⎪⎝⎭，即b<a<c.(2)设a＝0.60.6，b＝0.61.5，c＝1.50.6，那么a，b，c的大小关系是() A．a<b<c B．a<c<bC．b<a<c D．b<c<a答案C解析∵函数y＝0.6x是减函数，0<0.6<1.5，∴1>0.60.6>0.61.5，即b<a<1.∵函数y＝1.5x在(0，＋∞)上是增函数，0.6>0，∴1.50.6>1.50＝1，即c>1.综上，b<a<c.命题点2解简单的指数方程或不等式例3(1)实数a ≠1，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧4x ，x ≥0，2a －x ，x <0，假设f (1－a )＝f (a －1)，那么a 的值为______．答案12解析当a <1时，41－a ＝21，解得a ＝12；当a >1时，代入不成立．故a 的值为12.(2)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝⎛⎭⎫12x －7，x <0，x ，x ≥0，假设f (a )<1，那么实数a 的取值范围是()A ．(－∞，－3)B ．(1，＋∞)C ．(－3,1)D ．(－∞，－3)∪(1，＋∞) 答案C解析当a <0时，不等式f (a )<1可化为⎝⎛⎭⎫12a －7<1，即⎝⎛⎭⎫12a <8，即⎝⎛⎭⎫12a <⎝⎛⎭⎫12－3， 因为0<12<1，所以a >－3，此时－3<a <0；当a ≥0时，不等式f (a )<1可化为a <1，即0≤a <1. 故a 的取值范围是(－3,1)，应选C. 命题点3指数函数性质的综合应用 例4(1)函数f (x )＝22112x x ⎛⎫⎪⎝⎭－＋＋的单调减区间为________．答案(－∞，1]解析设u ＝－x 2＋2x ＋1， ∵y ＝⎝⎛⎭⎫12u在R 上为减函数， ∴函数f (x )＝22112x x ⎛⎫⎪⎝⎭－＋＋的减区间即为函数u ＝－x 2＋2x ＋1的增区间．又u ＝－x 2＋2x ＋1的增区间为(－∞，1]， ∴f (x )的减区间为(－∞，1]． (2)函数f (x )＝2|2x －m |(m 为常数)，假设f (x )在区间[2，＋∞)上单调递增，那么m 的取值范围是________． 答案(－∞，4]解析令t ＝|2x －m |，那么t ＝|2x －m |在区间⎣⎡⎭⎫m 2，＋∞上单调递增，在区间⎝⎛⎦⎤－∞，m2上单调递减．而y ＝2t 在R 上单调递增，所以要使函数f (x )＝2|2x －m |在[2，＋∞)上单调递增，那么有m2≤2，即m ≤4，所以m 的取值范围是(－∞，4]．函数f (x )＝4x －2x ＋1的值域是________．答案[－1，＋∞) 解析设t ＝2x (t >0)，那么 y ＝t 2－2t ＝(t －1)2－1(t >0)． 当t ＝1时，y min ＝－1，无最大值．∴函数f (x )＝4x －2x ＋1的值域为[－1，＋∞)．假设函数f (x )＝24313ax x ⎛⎫⎪⎝⎭－＋有最大值3，那么a ＝________.答案1解析令h (x )＝ax 2－4x ＋3，f (x )＝⎝⎛⎭⎫13h (x )，由于f (x )有最大值3，所以h (x )应有最小值－1，因此必有⎩⎨⎧a >0，12a －164a ＝－1，解得a ＝1，即当f (x )有最大值3时，a 的值为1.思维升华(1)利用指数函数的函数性质比较大小或解方程、不等式，最重要的是“同底〞原那么，比较大小还可以借助中间量．(2)求解与指数函数有关的复合函数问题，要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，都要借助“同增异减〞这一性质分析判断．跟踪训练2(1)f (x )＝2x －2－x ，a ＝1479-⎛⎫⎪⎝⎭，b ＝1597⎛⎫⎪⎝⎭，那么f (a )，f (b )的大小关系是__________． 答案f (b )<f (a )解析易知f (x )＝2x －2－x 在R 上为增函数，又a ＝1479-⎛⎫⎪⎝⎭＝1497⎛⎫⎪⎝⎭>1597⎛⎫⎪⎝⎭＝b ， ∴f (a )>f (b )．(2)假设函数f (x )＝a |2x －4|(a >0，a ≠1)满足f (1)＝19，那么f (x )的单调递减区间是()A ．(－∞，2]B ．[2，＋∞)C ．[－2，＋∞)D ．(－∞，－2] 答案B解析由f (1)＝19，得a 2＝19，所以a ＝13或a ＝－13(舍去)，即f (x )＝⎝⎛⎭⎫13|2x －4|. 由于y ＝|2x －4|在(－∞，2]上单调递减，在[2，＋∞)上单调递增，y ＝⎝⎛⎭⎫13x 在(－∞，＋∞)上单调递减，所以f (x )在(－∞，2]上单调递增，在[2，＋∞)上单调递减．应选B.(3)假设不等式1＋2x ＋4x ·a ≥0在x ∈(－∞，1]时恒成立，那么实数a 的取值范围是____________． 答案⎣⎡⎭⎫－34，＋∞ 解析从不等式中别离出实数a ，得a ≥－⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫14x ＋⎝⎛⎭⎫12x . ∵函数y ＝⎝⎛⎭⎫14x ＋⎝⎛⎭⎫12x在R 上是减函数，∴当x ∈(－∞，1]时，⎝⎛⎭⎫14x ＋⎝⎛⎭⎫12x ≥14＋12＝34，从而得－⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫14x ＋⎝⎛⎭⎫12x ≤－34. 故实数a 的取值范围为⎣⎡⎭⎫－34，＋∞. 1．假设实数a >0，那么以下等式成立的是() A ．(－2)－2＝4B ．2a －3＝12a 3C ．(－2)0＝－1D ．144()a -＝1a答案D解析对于A ，(－2)－2＝14，故A 错误；对于B,2a －3＝2a 3，故B 错误；对于C ，(－2)0＝1，故C 错误；对于D ，144()a -＝1a，故D 正确．2．(2022·北京大兴区期末)以下函数中值域为正实数集的是() A ．y ＝－5x B ．y ＝⎝⎛⎭⎫131－xC ．y ＝⎝⎛⎭⎫12x －1D ．y ＝3|x |答案B3．a ＝0.860.75，b ＝0.860.85，c ＝1.30.86，那么a ，b ，c 的大小关系是() A ．a >b >c B ．b >a >c C ．c >b >a D ．c >a >b 答案D解析∵函数y ＝0.86x 在R 上是减函数， ∴0<0.860.85<0.860.75<1， 又1.30.86>1，∴c >a >b .4．a ，b ∈(0,1)∪(1，＋∞)，当x >0时，1<b x <a x ，那么() A ．0<b <a <1B ．0<a <b <1 C ．1<b <a D ．1<a <b 答案C解析∵当x >0时，1<b x ，∴b >1.∵当x >0时，b x <a x ，∴当x >0时，⎝⎛⎭⎫a b x >1. ∴ab>1，∴a >b ，∴1<b <a ，应选C. 5．函数f (x )＝a x －1a (a >0，a ≠1)的图象可能是()答案D解析方法一当a >1时，将y ＝a x 的图象向下平移1a 个单位长度得f (x )＝a x －1a 的图象，A ，B 都不符合；当0<a <1时，将y ＝a x 的图象向下平移1a 个单位长度得f (x )＝a x －1a 的图象，而1a 大于1，应选D.方法二函数f (x )的图象恒过点(－1,0)，只有选项D 中的图象符合．6．(2022·安徽省马鞍山第二中学模拟)假设函数y ＝a x －m＋n －3(a >0且a ≠1)的图象恒过定点(3,2)，那么m ＋n ＝________. 答案7解析∵函数y ＝a x －m ＋n －3(a >0且a ≠1)的图象恒过定点， 令x －m ＝0，可得x ＝m ，y ＝n －2， 可得函数的图象经过定点(m ，n －2)．∴m ＝3，n －2＝2，解得m ＝3，n ＝4，那么m ＋n ＝7.7．假设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a x ，x >1，(2－3a )x ＋1，x ≤1是R 上的减函数，那么实数a 的取值范围是________．答案⎝⎛⎦⎤23，34解析假设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a x，x >1，(2－3a )x ＋1，x ≤1是R 上的减函数，那么⎩⎪⎨⎪⎧0<a <1，2－3a <0，a ≤2－3a ＋1，解得a ∈⎝⎛⎦⎤23，34.8．假设关于x 的方程|a x －1|＝2a (a >0且a ≠1)有两个不等实根，那么a 的取值范围是________． 答案⎝⎛⎭⎫0，12 解析方程|a x －1|＝2a (a >0且a ≠1)有两个不等实根⇔函数y ＝|a x －1|与y ＝2a 的图象有两个交点．①当0<a <1时，如图①， 所以0<2a <1，即0<a <12.②当a >1时，如图②， 而y ＝2a >1不符合要求． 综上，0<a <12.9．函数f (x )＝a x ＋b (a >0，a ≠1)的定义域和值域都是[－1,0]，那么a ＋b ＝________. 答案 －32解析①当0<a <1时，函数f (x )在[－1,0]上单调递减，由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧ f (－1)＝0，f (0)＝－1，即⎩⎪⎨⎪⎧ a －1＋b ＝0，a 0＋b ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12，b ＝－2，此时a ＋b ＝－32. ②当a >1时，函数f (x )在[－1,0]上单调递增，由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧ f (－1)＝－1，f (0)＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧a －1＋b ＝－1，a 0＋b ＝0，显然无解．所以a ＋b ＝－32. 10．当x ∈(－∞，－1]时，不等式(m 2－m )·4x －2x <0恒成立，那么实数m 的取值范围是________． 答案(－1,2)解析原不等式变形为m 2－m <⎝⎛⎭⎫12x ，因为函数y ＝⎝⎛⎭⎫12x 在(－∞，－1]上是减函数，所以⎝⎛⎭⎫12x ≥⎝⎛⎭⎫12－1＝2，当x ∈(－∞，－1]时，m 2－m <⎝⎛⎭⎫12x 恒成立等价于m 2－m <2，解得－1<m <2.11．求函数f (x )＝－4x －2x ＋1＋3的定义域、值域．解∵－4x －2x ＋1＋3≥0，即(2x )2＋2·2x －3≤0.令t ＝2x >0，∴t 2＋2t －3≤0，∴(t －1)(t ＋3)≤0，∴0<t ≤1.∴2x ≤1.∴x ≤0.∴函数f (x )的定义域为(－∞，0]．令y ＝－t 2－2t ＋3＝－(t ＋1)2＋4(0<t ≤1)．对称轴t ＝－1.∴函数y 在(0,1]上单调递减．∴0≤y <3.∴函数f (x )的值域为[0，3)．12．函数f (x )＝b ·a x (其中a ，b 为常量，且a >0，a ≠1)的图象经过点A (1,6)，B (3,24)．(1)求f (x )的表达式；(2)假设不等式⎝⎛⎭⎫1a x ＋⎝⎛⎭⎫1b x －m ≥0在(－∞，1]上恒成立，求实数m 的取值范围．解(1)因为f (x )的图象过A (1,6)，B (3,24)，所以⎩⎪⎨⎪⎧ b ·a ＝6，b ·a 3＝24.所以a 2＝4， 又a >0，所以a ＝2，b ＝3.所以f (x )＝3·2x .(2)由(1)知a ＝2，b ＝3，那么当x ∈(－∞，1]时，⎝⎛⎭⎫12x ＋⎝⎛⎭⎫13x －m ≥0恒成立，即m ≤⎝⎛⎭⎫12x ＋⎝⎛⎭⎫13x 在(－∞，1]上恒成立．又因为y ＝⎝⎛⎭⎫12x 与y ＝⎝⎛⎭⎫13x 在(－∞，1]上均为减函数，所以y ＝⎝⎛⎭⎫12x ＋⎝⎛⎭⎫13x 在(－∞，1]上也是减函数，所以当x ＝1时，y ＝⎝⎛⎭⎫12x ＋⎝⎛⎭⎫13x 有最小值56，所以m ≤56，即m 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，56. 13．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －⎝⎛⎭⎫12x ，a ≤x <0，－x 2＋2x ，0≤x ≤4的值域是[－8,1]，那么实数a 的取值范围是() A ．(－∞，－3] B ．[－3,0)C ．[－3，－1]D ．{－3}答案B解析当0≤x ≤4时，f (x )∈[－8,1]，当a ≤x <0时，f (x )∈⎣⎡⎭⎫－12a ，－1，所以⎣⎡⎭⎫－12a ，－1[－8,1]，即－8≤－12a <－1，即－3≤a <0.所以实数a 的取值范围是[－3，0)． 14．函数y ＝⎝⎛⎭⎫14x －⎝⎛⎭⎫12x ＋1在区间[－3,2]上的值域是________．答案⎣⎡⎦⎤34，57解析令t ＝⎝⎛⎭⎫12x ，那么y ＝t 2－t ＋1＝⎝⎛⎭⎫t －122＋34， ∵x ∈[－3,2]，∴t ∈⎣⎡⎦⎤14，8，∴当t ＝12时，y min ＝34， 当t ＝8时，y max ＝57.∴函数的值域为⎣⎡⎦⎤34，57.15．设f (x )＝|2x －1－1|，a <c 且f (a )>f (c )，那么2a ＋2c ______4.(选填“>〞“<〞“＝〞) 答案<解析f (x )在(－∞，1]上是减函数，在[1，＋∞)上是增函数，故结合条件知必有a <1. 假设c ≤1，那么2a <2,2c ≤2，故2a ＋2c <4；假设c >1，那么由f (a )>f (c )，得1－2a －1>2c －1－1， 即2c －1＋2a －1<2，即2a ＋2c <4.综上，总有2a ＋2c <4.16．函数f (x )＝14x －λ2x －1＋4(－1≤x ≤2)． (1)假设λ＝32，求函数f (x )的值域； (2)假设方程f (x )＝0有解，求实数λ的取值范围．解(1)f (x )＝14x －λ2x －1＋4 ＝⎝⎛⎭⎫122x －2λ·⎝⎛⎭⎫12x ＋4(－1≤x ≤2)． 设t ＝⎝⎛⎭⎫12x ，得g (t )＝t 2－2λt ＋4⎝⎛⎭⎫14≤t ≤2. 当λ＝32时，g (t )＝t 2－3t ＋4 ＝⎝⎛⎭⎫t －322＋74⎝⎛⎭⎫14≤t ≤2. 所以g (t )max ＝g ⎝⎛⎭⎫14＝5316，g (t )min ＝g ⎝⎛⎭⎫32＝74. 所以f (x )max ＝5316，f (x )min ＝74， 故函数f (x )的值域为⎣⎡⎦⎤74，5316.(2)方程f (x )＝0有解可转化为λ＝2·2x ＋12·12x (－1≤x ≤2)． 设φ(x )＝2·2x ＋12·2x ⎝⎛⎭⎫12≤2x ≤4， 当2x ＝12，即x ＝－1时，φ(x )min ＝2； 当2x ＝4，即x ＝2时，φ(x )max ＝658. 所以函数φ(x )的值域为⎣⎡⎦⎤2，658. 故实数λ的取值范围是⎣⎡⎦⎤2，658.。

第05讲指数与指数函数 (精讲+精练）目录第一部分：知识点精准记忆第二部分：课前自我评估测试第三部分：典型例题剖析高频考点一：指数与指数幂的运算高频考点二：指数函数的概念高频考点三：指数函数的图象①判断指数型函数的图象；②根据指数型函数图象求参数③指数型函数图象过定点问题；④指数函数图象应用高频考点四：指数（型）函数定义域高频考点五：指数（型）函数的值域m n上的值域；②指数型复合函数值域①指数函数在区间[,]③根据指数函数值域（最值）求参数高频考点六：指数函数单调性①判断指数函数单调性；②由指数（型）函数单调性求参数③判断指数型复合函数单调性；④比较大小⑤根据指数函数单调性解不等式高频考点七：指数函数的最值①求已知指数型函数的值域②根据指数函数最值求参数③含参指数（型）函数最值第四部分：高考真题感悟第五部分：第05讲指数与指数函数（精练）1、根式的概念及性质（1）概念：叫做根式，其中n 叫做根指数，a 叫做被开方数． （2）性质：①n a =(n N *∈且1n >)；②当n a =；当n ,0||,0a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩ 2、分数指数幂①正数的正分数指数幂的意义是mna =0a >，,m n N *∈，且1n >)；②正数的负分数指数幂的意义是m na-=(0a >，,m n N *∈，且1n >)；③0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义．3、指数幂的运算性质①(0,,)rsr sa a aa r s +=>∈R ；②()(0,,)r s rsa a a r s =>∈R ； ③()(0,0,)rr rab a b a b r =>>∈R .4、指数函数及其性质（1）指数函数的概念函数()xf x a =(0a >，且1a ≠)叫做指数函数，其中指数x 是自变量，函数的定义域是R ．（2）指数函数()xf x a =的图象和性质定义域为R ，值域为(0,)+∞一、判断题1．（2021·江西·贵溪市实验中学高二阶段练习）函数()11x f x a -=+（0a >且1a ≠）的图象必过定点()1,2( )2．（2021·江西·贵溪市实验中学高二阶段练习）11121321a ba( ) 二、单选题1．（2022·宁夏·银川一中高二期末（文））函数()e 1x f x =+在[1,1]-的最大值是（ ） A ．eB ．e 1-+C ．e 1+D ．e 1-2．（2022·江苏南通·高一期末）已知指数函数()x f x a -=（0a >，且1a ≠），且()()23f f ->-，则a 的取值范围（ ） A ．()0,1B ．()1,+∞C ．()0,∞+D ．(),0∞-3．（2022·北京·高三专题练习）若函数()11x f x a -=-（0a >且1a ≠）的图像经过定点P ，则点P 的坐标是（ ） A ．(1,1)-B ．(1,0)C ．(0,0)D ．(0,1)-4．（2022·河北廊坊·高一期末）指数函数()()1xf x a =-在R 上单调递减，则实数a 的取值范围是（ ） A ．()2,1--B ．()2,+∞C ．(),2-∞-D ．()1,25．（2022·北京·高三专题练习）若函数()21x y m m m =--⋅是指数函数，则m 等于（ ）A ．1-或2B ．1-C ．2D ．12高频考点一：指数与指数幂的运算1．（2022·广东肇庆·高一期末）设62m =，63n =，则222m n mn ++=（ ） A ．12B ．1C ．2D ．32．（2022·上海杨浦·高一期末）设0a >，下列计算中正确的是（ ） A ．4334a a a ⋅= B ．4334a a a ÷= C ．4334a a ⎛⎫= ⎪⎝⎭D ．4 334a a -⎛⎫= ⎪⎝⎭3．（2022·广东深圳·高一期末）下列根式与分数指数幂的互化正确的是（ ） A ．()12x -B ．)340xx ->C 13y =D ．()31420x x ⎤=<4．（2022·全国·高三专题练习）化简2112333324()3a b a b --⋅÷-的结果为（ ）A ．－23ab B ．－8a bC ．－6a bD ．－6ab高频考点二：指数函数的概念1．（2022·浙江·高三专题练习）函数()(0x f x a a =>，且a ≠1)的图象经过点13,27P ⎛⎫⎪⎝⎭，则f (-2)= （ ）A ．19B C ．13D ．92．（2022·黑龙江·嫩江市第一中学校高一期末）已知指数函数()2()253xf x a a a =-+在R 上单调递增，则a的值为（ ） A ．3B ．2C ．12D ．323．（2022·全国·高一课时练习）函数()2xy a a =-是指数函数，则（ ） A ．1a =或3a =B ．1a =C ．3a =D ．0a >且1a ≠4．（2022·浙江·高三专题练习）若指数函数x y a =在[－1,1]上的最大值与最小值的差是1，则底数a 等于A B CD 高频考点三：指数函数的图象①判断指数型函数的图象1．（2022·上海市复兴高级中学高一阶段练习）函数3x y -=的大致图像是（ ）A ．B ．C ．D ．2．（2022·上海市进才中学高二阶段练习）函数(01)||xxa y a x =<<的图像的大致形状是（ ） A ． B ．C ．D ．3．（2022·全国·高三专题练习）已知0＜m ＜n ＜1，则指数函数①y ＝m x ，②y ＝n x 的图象为（ ）．A ．B ．C ．D ．4．（2022·全国·高三专题练习（文））函数(0,1)x y a a a a =->≠的图象可能是 ( )A ．B ．C ．D ．②根据指数型函数图象求参数1．（2022·全国·高三专题练习）函数()b x f x a -=的图象如图所示，其中a ，b 为常数，则下列结论正确的是（ ）A ．1a >，0b <B ．1a >，0b >C ．01a <<，0b <D ．01a <<，0b >2．（2022·全国·高三专题练习）函数(0,1)x y a a a =>≠与b y x =的图象如图，则下列不等式一定成立的是（ ）A ．0a b >B ．0a b +>C ．log 2a b >D ．1b a >3．（2021·全国·高一专题练习）函数()x b f x a -=的图像如图所示，其中a ，b 为常数，则下列结论正确的是（ ）A ．1a >，0b <B ．1a >，0b >C ．01a <<，0b >D ．01a <<，0b <4．（2021·全国·高一专题练习）若函数()x f x a b =-的图象如图所示，则（ ）A ．1a >，1b >B ．1a >，01b <<C ．01a <<，1b >D ．01a <<，01b <<③指数型函数图象过定点问题1．（2022·吉林·长春市第二中学高一期末）函数()21(0x f x a a +=->且1)a ≠的图象恒过定点（ ）A ．(－2，0)B ．(－1，0)C ．(0，－1)D ．(－1，－2)2．（2022·全国·高三专题练习）若函数12x y a -=+过定点P ，以P 为顶点且过原点的二次函数()f x 的解析式为（ ）A ．()236f x x x =-+ B ．()224f x x x =-+ C ．()236f x x x =-D ．()224f x x x =-3．（2022·河南焦作·高一期末）已知函数()25x f x a -=-（0a >且1a ≠）的图象过定点(),m n ，则不等式210x mx n +++<的解集为（ ） A ．()1,3B ．()3,1--C ．()(),31,-∞-⋃+∞D ．()3,1-4．（2022·全国·高三专题练习）已知函数5()4x f x a +=+(0a >，1a ≠)恒过定点(,)M m n ，则函数()x g x m n =+的图像不经过（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限④指数函数图象应用1．（2021·重庆市涪陵第二中学校高一阶段练习）函数1()(0,1)x f x a a a a=->≠的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．2．（2021·全国·高一课时练习）函数()(0x f x a a =>，且1a ≠）与()g x x a =-+的图像大致是A ．B ．C ．D ．3．（2021·全国·高一课时练习）若1a >，10b -<<，则函数x y a b =+的图像一定经过（ ） A ．第一、二、三象限 B ．第一、三、四象限 C ．第二、三、四象限D ．第一、二、四象限高频考点四：指数（型）函数定义域1．（2022·全国·高三专题练习）函数()f x = ） A ．[)1,+∞B ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．(),1-∞-D ．(),2-∞-2．（2022·全国·高三专题练习）函数()22f x x =-的定义域为（ ） A ．[0,2) B ．(2,)+∞C ．()(),22,-∞+∞D ．[0,2)(2,)⋃+∞3．（2021·江苏·高一专题练习）函数y (－∞，0]，则a 的取值范围为( ) A ．a ＞0 B ．a ＜1 C ．0＜a ＜1D ．a ≠14．（2021·广西河池·高一阶段练习）设函数()f x 2x f ⎛⎫ ⎪⎝⎭的定义域为（ ）A ．(],4∞-B ．(],1-∞C ．(]0,4D ．(]0,1高频考点五：指数（型）函数的值域①指数函数在区间[,]m n 上的值域1．（2022·全国·高一）当x ∈[-1，1]时，函数f (x )=3x -2的值域为________2．（2022·全国·高三专题练习）已知函数f （x ）=9x ﹣a ⋅3x +1+a 2（x ∈[0，1]，a ∈R ），记f （x ）的最大值为g （a ）．（Ⅰ）求g （a ）解析式；（Ⅱ）若对于任意t ∈[﹣2，2]，任意a ∈R ，不等式g （a ）≥﹣m 2+tm 恒成立，求实数m 的范围．3．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()2421x x f x a =⋅--.当1a =时，求函数()f x 在[]3,0x ∈-的值域；4．（2022·江西省丰城中学高一开学考试）函数()3x f x =且()218f a +=，函数()34ax x g x =-.(1)求()g x 的解析式；(2)若关于x 的方程()80xg x m -⋅=在区间[]22-,上有实数根，求实数m 的取值范围.②指数型复合函数值域1．（2022·山西·临汾第一中学校高一期末）函数2212x xy -⎛⎫= ⎪⎝⎭的值域为（ ）A ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B ．1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C ．10,2⎛⎤⎥⎝⎦D ．(]0,22．（2022·湖南邵阳·高一期末）函数2212x y -⎛⎫= ⎪⎝⎭的值域为______．3．（2022·全国·高三专题练习）函数1()41(0)2xxf x x -⎛⎫=++≥ ⎪⎝⎭的值域是___________.4．（2022·河南·洛宁县第一高级中学高一阶段练习）已知函数()2422ax x f x ++=.(1)当1a =时，求()f x 的值域； (2)若()f x 有最大值16，求a 的值.5．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()24x x f x =-.（1）求()y f x =在[]1,1-上的值域；③根据指数函数值域（最值）求参数1．（2022·广东湛江·高一期末）已知函数()(0,1)x f x a b a a =+>≠的定义域和值域都是[1,0]-，则a b +=（ ） A ．32-B ．1-C ．1D ．322．（2022·辽宁鞍山·高一期末）若函数()f x =的值域为[0,)+∞，则实数a 的取值范围是（ ）A ．12⎧⎫⎨⎬⎩⎭B ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦D ．[0,)+∞3．（2022·全国·高一）已知函数()(0xf x a a =>且1)a ≠在区间[]1,2上的最大值比最小值大2a ,求a 的值.4．（2022·湖南·高一期末）已知函数()245x xf x a a =+-.(1)求()f x 的值域；(2)当[]1,2x ∈-时，()f x 的最大值为7，求a 的值.5．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()22x x f x k -=+⋅（k 为常数，k ∈R ）是R 上的奇函数．(1)求实数k 的值；(2)若函数()y f x =在区间[]1,m 上的值域为15,4n ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，求m n +的值．高频考点六： 指数函数单调性①判断指数函数单调性1．（2022·广西南宁·高一期末）设函数()122xx f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则()f x （ ）A ．是偶函数，且在()0,+∞单调递增B ．是偶函数，且在()0,+∞单调递减C ．是奇函数，且在()0,+∞单调递增D ．是奇函数，且在()0,+∞单调递减2．（2022·福建宁德·高一期末）已知()21x b f x a =-+是R 上的奇函数，且()113f =． (1)求()f x 的解析式；(2)判断()f x 的单调性，并根据定义证明．3．（2021·贵州·六盘水红桥学校高一阶段练习）若函数()(3)3(1)x f x k a b a =++->是指数函数 (1)求k ，b 的值；(2)求解不等式(27)(43)f x f x ->-4．（2021·全国·高一期末）设函数2()12xx f x a =++，(1)判断()f x 的单调性，并证明你的结论；②由指数（型）函数单调性求参数1．（2022·辽宁朝阳·高一开学考试）若函数()(),1,513,13x a x f x a x x ⎧≥⎪=⎨-+<⎪⎩在R 上单调递减，则实数a 的取值范围是（ ） A ．12,33⎛⎤⎥⎝⎦B ．1,2C ．11,32⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．20,3⎛⎫ ⎪⎝⎭2．（2022·内蒙古·赤峰二中高一期末（文））若函数()33,0,0xx a x f x a x -+-<⎧=⎨⎩是R 上的减函数，则实数a 的取值范围是___．3．（2022·河北张家口·高一期末）已知函数()()2,1,32,1x a x x f x a x -⎧-<=⎨⋅-≥⎩在R 上单调递减，则实数a 的取值范围是______.4．（2022·湖南·高一课时练习）若函数2()2535xm y m m ⎛⎫- ⎝=+⎪⎭-是指数函数，且为指数增长型函数模型，则实数m =________.5．（2022·安徽·歙县教研室高一期末）若函数22113x mx y +-⎛⎫= ⎪⎝⎭在区间[]1,1-上为增函数，则实数m 的取值范围为______.6．（2022·湖南·高一课时练习）若函数()()28xf x a =-是区间(),-∞+∞上的减函数，求实数a 的取值范围．③判断指数型复合函数单调性1．（2022·安徽省蚌埠第三中学高一开学考试）函数223112x x y -+⎛⎫= ⎪⎝⎭的单调递减区间为（ ） A ．(1,)+∞B ．3,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C ．(),1-∞D ．3,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭2．（2022·河南·商丘市第一高级中学高一开学考试）已知函数()24,18,1x x ax x f x a x ⎧-+≤=⎨+>⎩，且对于任意的12,x x ，都有()()()1212120f x f x x x x x ->≠-，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(]1,2B ．(]1,3C ．[)1,+∞D ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭3．（2022·宁夏·吴忠中学高一期末）已知函数2251()2x x f x -+⎛⎫= ⎪⎝⎭在(),a +∞上单调递减，则实数a 的取值范围是______．4．（2022·河南·林州一中高一开学考试）已知函数2()21x x af x +=+是奇函数.(1)求a 的值；(2)判断并证明函数()f x 的单调性.④比较大小1．（2022·广东汕尾·高一期末）若1312a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，1314b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，1412c ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则（ ）A ．c a b >>B ．c b a >>C ．b c a >>D ．a b c >>2．（2022·陕西·略阳县天津高级中学高三阶段练习（文））设233a =，1413b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，133c =，则a ，b ，c 的大小关系是（ ） A ．b c a >>B ．a b c >>C ．c a b >>D ．a c b >>3．（2022·福建三明·高一期末）已知0.20.30.30.30.2,2,a b c ===，则它们的大小关系是（ ） A ．a b c <<B ．b a c <<C ．c a b <<D ．b c a <<4．（2022·海南·模拟预测）设0.22e a -=，0.2e b =， 1.2c =，则（ ） A ．a b c <<B ．b c a <<C ．b a c <<D ．c b a <<⑤根据指数函数单调性解不等式1．（2022·全国·高一）若1()273x >，则x 的取值范围是______．2．（2022·海南鑫源高级中学高一期末）已知不等式124x ->的解集是__________.3．（2022·福建·莆田一中高一开学考试）已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且在区间(],0-∞上单调递增，若实数a 满足()(212a f f ->，则a 的取值范围是______．4．（2022·福建福州·高一期末）已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，当0x ≥时，()23x f x =+．(1)求()f x 的解析式； (2)解不等式()()22f x f x ≥．高频考点七：指数函数的最值①求已知指数型函数的值域1．（2022·新疆·石河子第二中学高二阶段练习）已知函数4()f x x x =+，()2x g x a =+，若11,12x ⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦，2[2,3]x ∃∈，使得()()12f x g x ，则实数a 的取值范围是（ ） A ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B ．9,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．[3,)-+∞D ．[1,)+∞2．（2022·北京·高三学业考试）已知函数()2x f x =，[0,)x ∈+∞，则()f x （ ） A ．有最大值，有最小值 B ．有最大值，无最小值 C ．无最大值，有最小值D ．无最大值，无最小值3．（2022·全国·高三专题练习（文））设函数1()422x x f x +=-+，则(1)f =________；函数()f x 在区间[1,2]-的最大值为_________．4．（2022·贵州贵阳·高一期末）已知函数2()35,()2x f x x x g x a =-++=+，若12[0,2],[2,3]x x ∀∈∃∈，使得()()12f x g x <，则实数a 的取值范围是___________.5．（2022·甘肃·兰州一中高一期末）已知02x ≤≤，则函数124325x x y -=-⨯+的最大值为__________.②根据指数函数最值求参数1．（2022·辽宁·渤海大学附属高级中学高一期末）若函数()213ax a f x +⎛⎫= ⎪⎝⎭在[)1,+∞上有最大值19，则实数a的值为（ ） A ．1B ．2-C ．1或2-D ．1或1-2．(多选）（2022·江苏常州·高一期末）若函数()xf x a =（0a >且1a ≠）在区间[]22-,上的最大值和最小值的和为103，则a 的值可能是（ ）A ．13B CD ．33．（2022·上海虹口·高一期末）已知函数x y a =（0a >且1a ≠）在[]1,2的最大值与最小值之差等于2a，则实数a 的值为______．4．（2022·青海·海南藏族自治州高级中学高一期末）已知指数函数()x f x a =（0a >且1a ≠）在区间[]2,3上的最大值是最小值的2倍，则=a ______．5．（2022·全国·高三专题练习）若函数()0,1xy a a a =>≠在区间[]1,2上的最大值和最小值之和为6，则实数=a ______.6．（2022·湖南·高一课时练习）若函数()22x x f x a a =+-（0a >且1a ≠）在区间[]1,0-上的最小值为54-，求a 的值．③含参指数（型）函数最值1．（2022·全国·高三专题练习）如果函数y =a 2x +2ax -1(a >0，且a ≠1)在区间[-1，1]上的最大值是14，则a 的值为________.2．（2022·宁夏吴忠区青铜峡市教育局高一开学考试）已知函数()1423x x f x a +=⋅--．（1）当1a =时，求函数()f x 的零点；（2）若0a >，求()f x 在区间[]1,2上的最大值()g a ．3．（2022·全国·高三专题练习（文））已知函数1()421x x f x a +=-+． （1）若函数()f x 在[0x ∈，2]上有最大值8-，求实数a 的值； （2）若方程()0f x =在[1x ∈-，2]上有解，求实数a 的取值范围．4．（2022·全国·高一课时练习）求函数2()2x x f x e e =-的最值.1．（2020·山东·高考真题）已知函数()y f x =是偶函数，当(0,)x ∈+∞时，()01xy a a =<<，则该函数在(,0)-∞上的图像大致是（ ）A ．B ．C ．D ．2．（2021·湖南·高考真题）已知函数()2,0282,24x x f x x x ⎧≤≤=⎨-<≤⎩（1）画出函数()f x 的图象； （2）若()2f m ≥，求m 的取值范围.一、单选题1．（2022·江苏江苏·一模）设全集U =R ，集合{}21A x x =-≤，{}240x B x =-≥，则集合()UAB =（ ）A ．()1,2B ．(]1,2C ．[)1,2D ．[]1,22．（2022·河南·模拟预测（文））已知58a =，45b =，则ab =（ ） A ．2B ．32C ．43D ．13．（2022·辽宁朝阳·高二开学考试）已知函数()x x f x ππ-=-，若32(2)2a fb fc f ===，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．a b c >>B ．a b c >>C ．c b a >>D ．b c a >>4．（2022·四川宜宾·二模（文））物理学家和数学家牛顿（IssacNewton ）提出了物体在常温下温度变化的冷却模型：设物体的初始温度是1T （单位：℃），环境温度是0T （单位：℃），且经过一定时间t （单位：min ）后物体的温度T （单位：℃）满足10e kt T T T T -=-（k 为正常数）.现有一杯100℃热水，环境温度20℃，冷却到40℃需要16min ，那么这杯热水要从40℃继续冷却到30℃，还需要的时间为（ ） A ．6minB ．7minC ．8minD ．9min5．（2022·湖北·石首市第一中学高一阶段练习）已知函数211()3x f x -⎛⎫= ⎪⎝⎭，则不等式()f x ≥（ ） A ．1,6⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B ．1,6∞⎛⎤- ⎥⎝⎦C ．1,4⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭D ．1,4⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦6．（2022·河南·模拟预测（文））已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，()4322x xf x a =-⨯+．则关于x 的不等式()6f x ≤-的解集为（ ） A ．(,2]-∞-B ．(,1]-∞-C ．[)()2,00,2- D ．[)()2,02,-⋃+∞7．（2022·云南玉溪·高一期末）函数||()2x f x =，4()g x x =，则函数()()y f x g x =+的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．8．（2022·全国·高三专题练习）已知432a =，254b =，1325c =，则（ ） A ．b a c << B ．a b c << C ．b c a << D ．c a b <<二、填空题9．（2022·江苏连云港·二模）函数()1293x x f x -=+的最小值是___________.10．（2022·全国·高一）下列函数中，满足“()()()f x y f x f y +=”的单调递增函数是________. （填序号）①()12f x x =；②()3f x x =；③()12xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭；④f （x ）＝3x11．（2022·江西宜春·高三期末（文））高斯是德国著名的数学家，近代数学莫基者之一，享有“数学王子”的美誉，用其名字命名的“高斯函数”：设R x ∈，用[x ]表示不超过x 的最大整数，则[]y x =称为高斯函数，也称取整函数，例如：[][]3.74 2.32-=-=，.已知()112x x e f x e =-+，则函数()y f x ⎡⎤=⎣⎦的值域为_________.12．（2022·全国·高三专题练习）设函数()322x x f x x -=-+，则使得不等式()()2130f x f -+<成立的实数x的取值范围是________ 三、解答题13．（2022·湖南·高一课时练习）已知1x >，且13x x -+=，求下列各式的值： (1)1122x x -+； (2)1122x x --； (3)3322x x -+．14．（2022·贵州·凯里一中高一开学考试）已知函数()f x 是定义在[2,2]-上的奇函数，且(]0,2x ∈时，()21x f x =-，()22g x x x m =-+.(1)求()f x 在区间[)2,0-上的解析式；(2)若对[]12,2x ∀∈-，则[]22,2x ∃∈-，使得()()12f x g x =成立，求m 的取值范围.15．（2022·河南·高一阶段练习）已知函数()24x m x f x +=-.(1)当0m =时，求关于x 的不等式()2f x >-的解集；(2)若对[]0,1x ∀∈，不等式()22xf x m >-⋅恒成立，求实数m 的取值范围.16．（2022·辽宁丹东·高一期末）已知函数()22x x af x a-=+是奇函数．(1)求实数a 的值； (2)求()f x 的值域．。

第五节　指数与指数函数考试要求：1．了解指数幂的拓展过程，掌握指数幂的运算性质．2．了解指数函数的实际意义，了解指数函数的概念．3．能画具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的单调性与特殊点．一、教材概念·结论·性质重现1．n 次方根(1)根式的概念一般地，如果x n ＝ a ，那么x 叫做a 的n 次方根，其中n >1，且n ∈N *．当有意义时，叫做根式，n 叫做根指数，a 叫做被开方数．(2)a 的n 次方根的性质①()n ＝a ．②当n 为奇数时，＝a ．当n 为偶数时，＝|a |＝2．有理数指数幂幂的有关概念正数的正分数指数幂：a ＝()m ＝ (a ＞0，m ，n ∈N *，n ＞1)正数的负分数指数幂：a ＝＝(a ＞0，m ，n ∈N *，n ＞1)0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义指数幂的运算性质,a r a s ＝a r ＋ s (a ＞0，r ，s ∈Q)；(a r )s ＝a rs (a ＞0，r ，s ∈Q )；(ab )r ＝a r b r (a ＞0，b ＞0，r ∈Q )3．指数函数的概念一般地，函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)叫做指数函数，其中指数x 是自变量，定义域是R ．形如y ＝ka x (k ≠1)，y ＝a x ＋k (k ∈R 且k ≠0，a >0且a ≠1)的函数叫做指数型函数，不是指数函数．4．指数函数的图象与性质定义域R 值域(0 ，＋∞ )性质过定点(0,1)，即x ＝0时，y ＝1当x <0时，y >1 ；当x >0时，0< y <1 当x >0时，y >1 ；当x <0时，0< y <1减函数增函数二、基本技能·思想·活动经验1．判断下列说法的正误，对的打“√”，错的打“×”．(1)＝()n ＝a ．(　×　)(2)(－1)＝(－1)＝．(　×　)(3)函数y ＝a －x 是R 上的增函数．(　×　)(4)函数y ＝2x 是指数函数．(　√　)(5)若a m <a n (a >0，且a ≠1)，则m <n ．(　×　)2．计算[(－2)6]－(－1)0的结果为( )A ．－9B ．7C ．－10D ．9B 解析：原式＝2－1＝23－1＝7．故选B ．3．函数y ＝(a 2－4a ＋4)a x 是指数函数，则a 的值是( )A ．4B ．3C ．2D ．1B 解析：由指数函数的定义知a 2－4a ＋4＝1且a ≠1，解得a ＝3．4．若函数f (x)＝ax (a >0，且a ≠1)的图象经过点P ，则f (－1)＝________．　解析：由题意知＝a 2，所以a ＝，所以f (x )＝，所以f (－1)＝＝．5．若函数y ＝(a 2－1)x 在R 上为增函数，则实数a 的取值范围是________．a >或a <－　解析：由y ＝(a 2－1)x 在R 上为增函数，得a 2－1>1，解得a >或a <－．考点1　指数幂的化简与求值——基础性1．若实数a>0，则下列等式成立的是( )A．(－2)－2＝4B．2a－3＝C．(－2)0＝－1D．(a)4＝D　解析：对于A，(－2)－2＝，故A错误；对于B,2a－3＝，故B错误；对于C，(－2)0＝1，故C错误；对于D，(a)4＝，故D正确．2．(多选题)已知a＋a－1＝3，在下列各选项中，其中正确的是( )A．a2＋a－2＝7B．a3＋a－3＝18C．a＋a＝±D．a＋＝2ABD　解析：在选项A中，因为a＋a－1＝3，所以a2＋a－2＝(a＋a－1)2－2＝9－2＝7，故A正确；在选项B中，因为a＋a－1＝3，所以a3＋a－3＝(a＋a－1)(a2－1＋a－2)＝(a ＋a－1)·[(a＋a－1)2－3]＝3×6＝18，故B正确；在选项C中，因为a＋a－1＝3，所以(a ＋a)2＝a＋a－1＋2＝5，且a>0，所以a＋a＝，故C错误；在选项D中，因为a3＋a－3＝18，且a>0，所以＝a3＋a－3＋2＝20，所以a＋＝2，故D正确．3．已知a＞0，b＞0，化简：·＝________．　解析：原式＝2×＝21＋3×10－1＝．4．计算：＋(0.002)－10(－2)－1＋π0＝__________．－　解析：原式＝＋500－＋1＝＋10－10－20＋1＝－．1．解决这类问题要优先考虑将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计考点2　指数函数的图象及应用——综合性(1) (2021·海南中学模拟)已知函数f(x)＝4＋2a x－1(a>1且a≠1)的图象恒过点P，则点P的坐标是( )A．(1,6)B．(1,5)C．(0,5)D．(5,0)A　解析：当x＝1时，f(1)＝6，与a无关，所以函数f(x)＝4＋2a x－1的图象恒过点P(1,6)．故选A．(2)若函数y＝|2x－1|的图象与直线y＝b有两个公共点，则b的取值范围为________ __．(0,1)　解析：作出曲线y＝|2x－1|的图象与直线y＝b如图所示．由图象可得b的取值范围是(0,1)．在本例(2)中，若将条件中的“有两个公共点”，改为“有一个公共点”，则结果如何？b≥1或b＝0　解析：作出曲线y＝|2x－1|的图象与直线y＝b如图所示．由图象可得b的取值范围是b≥1或b＝0．1．(多选题)在同一坐标系中，关于函数y＝3x与y＝的图象的说法正确的是( ) A．关于y轴对称B．关于x轴对称C．都在x轴的上方D．都过点(0,1)ACD　解析：在同一坐标系中，作出y＝3x与y＝的图象(略)，知两函数的图象关于y 轴对称，A项正确．由指数函数的性质，知选项CD正确．2．若曲线|y|＝2x＋1与直线y＝b没有公共点，则b的取值范围是________．[－1,1]　解析：作出曲线|y|＝2x＋1的图象，如图所示，要使该曲线与直线y＝b没有公共点，只需－1≤b≤1．3．已知实数a，b满足等式＝，下列五个关系式：①0＜b＜a；②a＜b＜0；③0＜a＜b；④b＜a＜0；⑤a＝b．其中可能成立的有________．(填序号)①②⑤　解析：函数y1＝与y2＝的图象如图所示．由＝得，a＜b＜0或0＜b＜a或a＝b＝0．故①②⑤可能成立，③④不可能成立．考点3　指数函数的性质及应用——应用性考向1　比较大小(1)已知a＝2，b＝4，c＝25，则( )A．b<a<c B．a<b<cC．b<c<a D．c<a<bA　解析：因为a＝2＝4>4＝b，c＝25＝5>4＝a，所以b<a<c．(2)(2020·全国Ⅱ卷)若2x－2y＜3－x－3－y，则( )A．ln(y－x＋1)＞0B．ln(y－x＋1)＜0C．ln|x－y|＞0D．ln|x－y|＜0A　解析：因为2x－2y＜3－x－3－y，所以2x－3－x＜2y－3－y．因为y＝2x－3－x＝2x－在R上单调递增，所以x＜y，所以y－x＋1＞1，所以ln(y－x＋1)＞ln 1＝0．考向2　解指数不等式若偶函数f(x)满足f(x)＝2x－4(x≥0)，则不等式f(x－2)＞0的解集为．{x|x＞4或x＜0}　解析：当x＜0时，f(x)＝f(－x)＝2－x－4．所以f(x)＝当f(x－2)＞0时，有或解得x＞4或x＜0．所以不等式的解集为{x|x＞4或x＜0}．考向3　指数型函数的单调性函数f(x)＝的单调递减区间为________．(－∞，1]　解析：设u＝－x2＋2x＋1，因为y＝在R上为减函数，所以函数f(x)＝的单调递减区间即为函数u＝－x2＋2x＋1的单调递增区间．又u＝－x2＋2x＋1的单调递增区间为(－∞，1]，所以f(x)的单调递减区间为(－∞，1]．在例4中，若函数f(x)＝改为f(x)＝2－x2＋2x＋1，结果如何？[1，＋∞)　解析：设u＝－x2＋2x＋1，因为y＝2u在R上为增函数，所以函数f(x)＝2－x2＋2x＋1的单调递减区间即为函数u＝－x2＋2x＋1的单调递减区间．又u＝－x2＋2x＋1的单调递减区间为[1，＋∞)，所以f(x)的单调递减区间为[1，＋∞)．考向4　指数型函数的最值(1)已知函数f(x)＝a x＋b(a>0，且a≠1)的定义域和值域都是[－1,0]，则a＋b＝________．－　解析：当a>1时，易知f(x)在[－1,0]上单调递增，则即无解．当0<a<1时，易知f(x)在[－1,0]上单调递减，则即解得所以a＋b＝－．(2)若函数f(x)＝有最大值3，则a＝________．1　解析：令h(x)＝ax2－4x＋3，y＝．因为f(x)有最大值3，所以h(x)应有最小值－1，因此有解得a＝1．1．研究指数函数的性质与研究一般函数的定义域、单调性(区间)、奇偶性、最值(值域)等性质的方法一致．2．研究复合函数的单调性，要明确复合函数的构成，借助“同增异减”，将问题归结为内层函数相关的问题加以解决．1．已知a＝()，b＝2，c＝9，则( )A．b<a<c B．a<b<cC．b<c<a D．c<a<bA　解析：a＝()＝2＝2，b＝2，c＝9＝3．由2<3，得a<c．由>，得a>b，所以c>a>b．故选A．2．(2021·柳州高三月考)已知函数y＝f(x)的定义域为R，y＝f(x＋1)为偶函数，对任意x1，x2，当x1>x2≥1时，f(x)单调递增，则关于a的不等式f(9a＋1)<f(3a－5)的解集为( )A．(－∞，1)B．(－∞，log32)C．(log32,1)D．(1，＋∞)B　解析：因为函数y＝f(x)的定义域为R，y＝f(x＋1)为偶函数，所以f(－x＋1)＝f(x＋1)，所以函数y＝f(x)关于x＝1对称．因为函数y＝f(x)在[1，＋∞)为增函数，所以函数y＝f(x)在(－∞，1]为减函数．不等式f(9a＋1)<f(3a－5)等价于|9a＋1－1|<|3a－5－1|，即|3a－6|>9a⇒3a－6>9a或3a－6<－9a，令3a＝t(t>0)得到：t2－t＋6<0或t2＋t －6<0．当t2－t＋6<0时，无解．当t2＋t－6<0时，(t＋3)(t－2)<0，解得t<2，即3a<2，a<log32．3．已知f(x)＝3x－b(2≤x≤4，b为常数)的图象经过点(2,1)，则f(x)的值域为( ) A．[9,81]B．[3,9]C．[1,9]D．[1，＋∞)C　解析：由f(x)的图象过定点(2,1)可知b＝2．因为f(x)＝3x－2在[2,4]上单调递增，所以f(x)min＝f(2)＝32－2＝1，f(x)max＝f(4)＝34－2＝9．故选C．4．若函数f(x)＝(2a－1)x－3－2，则y＝f(x)的图象恒过定点________；又f(x)在R 上是减函数，则实数a的取值范围是________．(3，－1) 解析：对于函数f(x)＝(2a－1)x－3－2，令x－3＝0，得x＝3，则f(x)＝(2a－1)0－2＝1－2＝－1，可得y＝f(x)的图象恒过定点(3，－1)．又∵函数f(x) ＝(2a－1)x－3－2 在R上是减函数，故有0<2a－1<1，求得 <a<1．故答案为(3，－1)；．设a＝，b＝，c＝，则a，b，c的大小关系是( )A．a>c>b B．a>b>cC．c>a>b D．b>c>a[四字程序]读想算思比较大小比较大小的方法是什么？式子变换转化与化归a, b, c均为幂值的形式1．利用函数单调性．2．通过中间量比较大小．3．作差或商比较1．构造函数．2．统一幂指数．3．化为根式形式注意分数指数幂的等价变形以及运算法则思路参考：构造指数函数，利用单调性求解．A　解析：先比较b与c的大小，构造函数y＝．因为0<<1，所以函数y＝为减函数．又因为>，所以b＝<＝c．再比较a与c，因为＝>＝1，且a，c均大于0，所以a>c，所以a>c>b．故选A．思路参考：统一幂指数，利用幂函数单调性比较大小．A　解析：因为a，b，c为正实数，且a5＝＝，b5＝＝，c5＝＝，所以a5>c5>b5，即a>c>b．故选A．思路参考：将三个数转化为同次根式的形式比较大小．A　解析：因为a＝，b＝，c＝，所以a>c>b．故选A．1．本题给出了三种比较指数幂大小的方法，解法1是构造函数法，利用指数函数性质比较大小，利用这种方法应注意底数是否大于1；解法2与解法3比较类似，都是对a，b，c进行简单变形，转化为同次根式的形式，由被开方数的大小可得出a，b，c的大小．特别是解法3，结构较为简洁，转化为同次根式迅速求解．2．基于新课程标准，解决比较大小的问题，要熟练掌握基本初等函数的性质，尤其是单调性，同时也要熟练掌握指数式与对数式的互化，指数幂的运算法则等知识．解决比较大小问题体现了逻辑推理、数学运算的数学素养．函数y＝F(x)的图象如图所示，该图象由指数函数f(x)＝a x与幂函数g(x)＝x b“拼接”而成．(1)求F(x)的解析式；(2)比较a b与b a的大小；(3)若(m＋4)－b＜(3－2m)－b，求m的取值范围．解：(1)依题意得解得所以F(x)＝(2)因为a b＝＝，b a＝，指数函数y＝在R上单调递减，所以＜，即a b＜b a．(3)由(m＋4)＜(3－2m)，得解得－＜m＜，所以m的取值范围是．。

第五节 指数与指数函数【考纲下载】1．了解指数函数模型的实际背景．2．理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算．3．理解指数函数的概念，理解指数函数的单调性，掌握指数函数图象通过的特殊点． 4．知道指数函数是一类重要的函数模型．1．根式 (1)根式的概念①若x n＝a ，则x 叫做a 的n 次方根，其中n ＞1且n ∈N *.式子na 叫做根式，这里n 叫做根指数，a 叫做被开方数．②a 的n 次方根的表示：x n＝a ⇒⎩⎨⎧x ＝n a 当n 为奇数且n ∈N *时，x ＝±n a 当n 为偶数且n ∈N *时(2)根式的性质 ①(na )n ＝a (n ∈N *)．②na n＝⎩⎨⎧a ，n 为奇数，|a |＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≥0，－a ，a ＜0，n 为偶数.2．有理数指数幂 (1)幂的有关概念：①正分数指数幂：a m n＝na m(a ＞0，m ， n ∈N *，且n ＞1)； ②负分数指数幂：a －m n＝1a m n＝1na m(a ＞0，m ，n ∈N *，且n ＞1)；③0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂无意义． (2)有理数指数幂的性质： ①a r a s＝ar ＋s(a ＞0，r ，s ∈Q )；②(a r )s ＝a rs(a ＞0，r ，s ∈Q )； ③(ab )r＝a r b r(a ＞0，b ＞0，r ∈Q )． 3．指数函数的图象与性质1.na n＝a 成立的条件是什么？提示：当n 为奇数时，a ∈R ；当n 为偶数时，a ≥0.2．如图是指数函数(1)y ＝a x ，(2)y ＝b x ，(3)y ＝c x ，(4)y ＝d x的图象，底数a ，b ，c ，d 与1之间的大小关系如何？你能得到什么规律？提示：图中直线x ＝1与它们图象交点的纵坐标即为它们各自底数的值，即c 1>d 1>1>a 1>b 1，所以，c >d >1>a >b ，即无论在y 轴的左侧还是右侧，底数按逆时针方向变大．3．当a >0，且a ≠1时，函数y ＝a x ，y ＝a |x |，y ＝|a x|，y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1ax 之间有何关系？提示：y ＝a x与y ＝|a x|是同一个函数的不同表现形式；函数y ＝a |x |与y ＝a x不同，前者是一个偶函数，其图象关于y 轴对称，当x ≥0时两函数图象相同；y ＝a x与y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1ax 的图象关于y 轴对称．1．化简[(－2)6]12－(－1)0的结果为( ) A ．－9 B ．－10 C ．9 D ．7 解析：选D [(－2)6]12－(－1)0＝(26)12－1＝8－1＝7. 2．化简416x 8y 4(x <0，y <0)得( )A ．2x 2y B ．2xy C ．4x 2y D ．－2x 2y 解析：选D416x 8y 4＝2x 2|y |＝－2x 2y .3．函数f (x )＝3x＋1的值域为( )A ．(－1，＋∞) B．(1，＋∞) C．(0,1) D ．[1，＋∞)解析：选B ∵3x＞0，∴3x＋1＞1，即函数f (x )＝3x＋1的值域为(1，＋∞)． 4．当a ＞0且a ≠1时，函数f (x )＝ax －2－3的图象必过定点________．解析：令x －2＝0，则x ＝2，y ＝1－3＝－2，故函数f (x )＝a x －2－3的图象必过定点(2，－2)．答案：(2，－2)5．若指数函数f (x )＝(a －2)x为减函数，则实数a 的取值范围为________． 解析：∵f (x )＝(a －2)x为减函数，∴0＜a －2＜1，即2＜a ＜3. 答案：(2,3).前沿热点(三)指数函数与不等式的交汇问题1．高考对指数函数的考查多以指数与指数函数为载体，考查指数的运算和函数图象的应用，且常与函数性质、二次函数、方程、不等式等内容交汇命题．2．解决此类问题的关键是根据已知(或构造)指数函数或指数型函数的图象或性质建立相关关系式求解．[典例] (2012·浙江高考)设a ＞0，b ＞0，( ) A ．若2a＋2a ＝2b＋3b ，则a ＞bB．若2a＋2a＝2b＋3b，则a＜bC．若2a－2a＝2b－3b，则a＞bD．若2a－2a＝2b－3b，则a＜b[解题指导] 分析题目选项的特点，可构造函数f(x)＝2x＋2x，然后利用其单调性解决．[解析] ∵a>0，b>0，∴2a＋2a＝2b＋3b>2b＋2b.令f(x)＝2x＋2x(x>0)，则函数f(x)为单调增函数．∴a>b.[答案] A[名师点评] 解决本题的关键有以下两点：(1)通过放缩，将等式问题转化为不等式问题；(2)构造函数，并利用其单调性解决问题．设函数f(x)＝32x－2×3x＋a2－a－5，当0≤x≤1时，f(x)＞0恒成立，则实数a的取值范围是________．解析：f(x)＝32x－2×3x＋a2－a－5＝(3x－1)2＋a2－a－6，∵0≤x≤1，∴1≤3x≤3，∴函数f(x)＝32x－2×3x＋a2－a－5在0≤x≤1上是增函数，f(x)＞0恒成立⇔f(0)＞0，f(0)＝1－2＋a2－a－5＝a2－a－6＝(a－3)(a＋2)＞0，∴a＞3或a＜－2.答案：(－∞，－2)∪(3，＋∞)。