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28.2.2应用举例 (1)

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人教版九年级数学下册：28.2.2《应用举例》说课稿4

人教版九年级数学下册：28.2.2《应用举例》说课稿4

人教版九年级数学下册： 28.2.2 《应用举例》说课稿4一. 教材分析人教版九年级数学下册28.2.2《应用举例》是全册书的重点内容之一，主要讲述了分式方程的应用。

本节课通过具体的例子，让学生了解并掌握分式方程的解法及其在实际问题中的应用。

教材内容紧密联系实际，具有一定的挑战性，有利于培养学生的思维能力和解决问题的能力。

二. 学情分析九年级的学生已经掌握了分式的基本知识，对分式方程有一定的了解。

但学生在解决实际问题时，往往不知道如何将实际问题转化为分式方程，因此在教学过程中，需要引导学生将实际问题与数学知识有机结合，提高学生运用数学知识解决实际问题的能力。

三. 说教学目标1.知识与技能目标：让学生掌握分式方程的解法，并能灵活运用分式方程解决实际问题。

2.过程与方法目标：通过合作交流，培养学生解决问题的能力，提高学生的逻辑思维能力。

3.情感态度与价值观目标：激发学生学习数学的兴趣，培养学生勇于探究的精神，增强学生运用数学知识解决实际问题的意识。

四. 说教学重难点1.教学重点：分式方程的解法及其在实际问题中的应用。

2.教学难点：如何将实际问题转化为分式方程，以及分式方程在实际问题中的灵活运用。

五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用问题驱动法、合作交流法、案例教学法等，引导学生主动探究，培养学生的解决问题的能力。

2.教学手段：利用多媒体课件、黑板、粉笔等传统教学手段，结合现代教育技术，提高教学效果。

六. 说教学过程1.导入新课：通过一个实际问题，引发学生对分式方程的思考，激发学生的学习兴趣。

2.讲解新知：讲解分式方程的解法，并通过例题让学生理解和掌握。

3.应用拓展：让学生分组讨论，运用分式方程解决实际问题，培养学生的合作精神和解决问题的能力。

4.总结反思：让学生总结本节课所学知识，反思自己在解决问题过程中的优点和不足。

七. 说板书设计板书设计要清晰、简洁，突出本节课的主要内容。

主要包括以下几个部分：1.分式方程的定义2.分式方程的解法3.分式方程在实际问题中的应用八. 说教学评价教学评价主要从学生的学习效果、解决问题的能力、合作交流等方面进行。

人教版九年级数学下册： 28.2.2 《应用举例》说课稿2

人教版九年级数学下册： 28.2.2 《应用举例》说课稿2

人教版九年级数学下册： 28.2.2 《应用举例》说课稿2一. 教材分析人教版九年级数学下册28.2.2《应用举例》这一节主要讲述了分式方程的应用。

在学习了分式方程的基本概念和求解方法之后，学生可以通过本节课的学习，将分式方程应用到实际问题中，提高解决实际问题的能力。

教材通过举例的方式，让学生了解分式方程在生活中的应用，培养学生的数学应用意识。

二. 学情分析九年级的学生已经掌握了分式方程的基本知识，对于如何求解分式方程已经有了一定的了解。

但是，将分式方程应用到实际问题中，解决实际问题，这是学生们的弱项。

因此，在教学过程中，需要引导学生将理论知识与实际问题相结合，提高学生的数学应用能力。

三. 说教学目标1.知识与技能：让学生掌握分式方程在实际问题中的应用，提高学生解决实际问题的能力。

2.过程与方法：通过举例，让学生学会如何将分式方程应用到实际问题中，培养学生的数学应用意识。

3.情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的数学思维，使学生感受到数学在生活中的重要性。

四. 说教学重难点1.教学重点：让学生掌握分式方程在实际问题中的应用。

2.教学难点：如何引导学生将分式方程与实际问题相结合，提高学生的数学应用能力。

五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用案例教学法，让学生通过分析、讨论实际问题，掌握分式方程在实际问题中的应用。

2.教学手段：利用多媒体课件，展示实际问题，引导学生进行分析、讨论。

六. 说教学过程1.导入：以一个实际问题引入，让学生思考如何用数学知识解决这个问题。

2.新课讲解：讲解分式方程在实际问题中的应用，让学生通过案例学习，掌握解决实际问题的方法。

3.课堂练习：给出几个实际问题，让学生独立解决，巩固所学知识。

4.总结：对本节课的内容进行总结，强调分式方程在实际问题中的应用。

5.作业布置：布置一些相关的实际问题，让学生课后练习。

七. 说板书设计板书设计主要包括以下几个部分：1.分式方程在实际问题中的应用2.案例分析3.解题步骤4.课堂练习八. 说教学评价教学评价主要从学生的课堂表现、作业完成情况、课后练习三个方面进行。

人教版九年级下册28.2.2应用举例(第二课时)方位角优秀教学案例

人教版九年级下册28.2.2应用举例(第二课时)方位角优秀教学案例
三、教学策略
（一）情景创设
1.利用现实生活中的情境，如迷路、找方向等，引发学生对方位角的兴趣，激发学生的学习动机。
2.通过展示图片、视频等多媒体资源，让学生直观地感受方位角在实际生活中的应用，增强学生的空间想象力。
3.设计具有挑战性和启发性的问题，引导学生主动探究方位角的定义和计算方法，提高学生的思维能力。
（四）总结归纳
1.教师引导学生总结本节课所学的内容，如方位角的定义、计算方法和应用等。
2.学生分享自己在讨论过程中的收获和感悟，总结解决问题的方法和经验。
3.教师强调方位角在实际生活中的应用，提醒学生关注数学与生活的联系。
4.教师对学生的学习情况进行点评，给予肯定和鼓励，并提出改进建议。
（五）作业小结
（三）学生小组讨论
1.教师布置具有挑战性和启发性的任务，让学生分组讨论并解决实际问题。
2.教师指导学生运用所学知识，如方位角、坐标系等，进行问题分析和解决。
3.教师关注学生的讨论过程，及时给予指导和鼓励，促进学生的有效合作。
4.各小组展示讨论成果，分享解决问题的方法和经验，促进学生之间的相互学习和借鉴。
（四）反思与评价
1.教师引导学生对自己的学习过程进行反思，总结学习经验和教训，提高学生的自我认知能力。
2.教师通过课堂提问、作业批改等方式，及时了解学生的学习情况，给予针对性的指导和反馈。
3.教师组织学生进行自我评价和同伴评价，让学生了解自己的优点和不足，培养学生的评价能力。
4.教师注重评价学生的综合素质，如空间想象力、逻辑思维能力、合作意识等，全面客观地评价学生的学习成果。通过评价激发学生的学习动力，促进学生的全面发展。
1.教师布置具有针对性和实践性的作业，让学生巩固所学知识，提高应用能力。

人教版九年级下册数学 28.2.2解直角三角形的应用举例 例5 航海——方位角(共18张PPT)

人教版九年级下册数学 28.2.2解直角三角形的应用举例 例5 航海——方位角(共18张PPT)
军舰从B处向正西方向行驶至C处时，发现灯塔A在我军舰的北偏东60°的方向，求该军舰行驶的路程。
险区。这渔船如果继续向东追赶鱼群，有没有进入危险 将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，转化为解直角三角形的问题）；
方位角
区的可能？ (3)边角之间的关系:
某社会实践活动小组实地测量两岸互相平行的一段河的宽度，在河的南岸边点A处，测得河的北岸边点B在其北偏东45°方向，然后向
的速度沿西偏北30°方向前进，乙船以每小时15千米的速度沿东北 方向前进，甲船航行2小时到达C处，此时甲船发现渔具丢在乙船上， 于是甲船快速（匀速）沿北偏东75°的方向追赶，结果两船在B处 相遇。 （1）甲船从C处追赶上乙船用了多长时间？ （2）甲船追赶乙船的速度北是每小时多少千米？
B
D
C 75°
45°
西走60米到达C点，测得点B在点C的北偏东60°方向。 这渔船如果继续向东追赶鱼群，有没有进入危险区的可能？
C
为有效开发海洋资源，保护海洋权益，我国对南海诸岛
2解直角三角形的应用举例
北 为有效开发海洋资源，保护海洋权益，我国对南海诸岛
进行了全面调查，一测量船在A岛测得B岛2解直角三角形的应用举例 航海问题——方位角
北 M东
B
A
D
N
解直角三角形的依据
(1)三边之间的关系: (2)锐角之间的关系:
(3)边角之间的关系:
Ｂ
c a
Ａ
bＣ
仰角俯角
A
?
E 34
F
18
D
10米
B
方位角
北
C
西
O
B
东
南
利用锐角三角函数解决航海问题
如图，一艘海伦位于灯塔P的北偏东65°方向，距离灯 塔80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达 位于灯塔P的南偏东34°方向的B处。这时，B处距离 灯塔P有多远？（结果取整数）（cos25°=0.9063, sin34°=0.5291, ）

28.2.2 解直角三角形应用举例(第3课时)

28.2.2 解直角三角形应用举例(第3课时)

l
α
h
修路、挖河、开渠和筑坝时，设计图纸上都要 注明斜坡的倾斜程度.
坡面的铅垂高度（ h ）和水平长度（ l ）的比 h 叫做坡面坡度（或坡比）. 记作i , 即 i = . l 坡度通常写成1∶m的形式，如 i=1∶6.坡面与 水平面的夹角叫做坡角，记作a，有
i＝ h = tan a. 显然，坡度越大，坡角a就越大，坡面就越陡.
（3）得到数学问题的答案；
（4）得到实际问题的答案．
当堂反馈
1.如图1，已知楼房AB高为50m，铁塔塔基距楼房地 100 3 基间的水平距离BD为100m，塔高CD为 ( 50) m 3 ，则下面结论中正确的是（ C ） A．由楼顶望塔顶仰角为60° B．由楼顶望塔基俯角为60° C．由楼顶望塔顶仰角为30° D．由楼顶望塔基俯角为30°
l h α
l
h
α
与测坝高相比，测山高的困难在于；坝坡是“直”的，而山坡 是“曲”的，怎样解决这样的问题呢？
我们设法“化曲为直，以直代曲”． 我们可以把山坡
“化整为零”地划分为一些小段，如图表示其中一部分小
段，划分小段时，注意使每一小段上的山坡近似是“直” 的，可以量出这段坡长l1，测出相应的仰角a1，这样就可以 算出这段山坡的高度h1=l1sina1.
l
例7. 如图，拦水坝的横断面为梯形ABCD（图中i=1:3是指坡面 的铅直高度DE与水平宽度CE的比），根据图中数据求：
（1）坡角a和β;
（2）坝斜坡AB的长（精确到0.1m） 解：（1）在Rt△AFB中，∠AFB=90°
AF tan i 11.5 ： BF
A 6m
D i=1:3 β C
i=1:1.5 B α
33.7

应用举例

应用举例
知识点二仰 Nhomakorabea、俯角问题
【示范题2】(2015·凉山州中考)如图,在楼房AB和塔CD之间有一棵 树EF,从楼顶A处经过树顶E点恰好看到塔的底部D点,且俯角α 为45°, 从楼底B点1米的P点处经过树顶E点恰好看到塔的顶部C点,且仰角β 为 30°.已知树高EF=6米,求塔CD的高度(结果保留根号).
【小题快练】
1.判断对错:
(1)视线与水平线的夹角叫仰角. (2)水平线下方的角叫俯角. (3)仰角可以是钝角. (×) (×)
(×)
2.高度为8 3 m的一棵树,在水平地面上形成的影子长为24m,那么太 30° 阳光线与水平地面形成的夹角是_____. 3.如图,为测量一幢大楼的高度,在地面上距离楼底O点20m的点A处, 42.9 测得楼顶B点的仰角∠OAB=65°,则这幢大楼的高度为_____m.
28.2.2 应用举例
第1课时
如图,完成下列填空题:
DAB 如图是两座楼房的位置,在点A观察点D的仰角是60°,即∠____=60 °; BAC 在点A观察点C的俯角是45°,即∠____=45 °.
【结论】仰角、俯角的概念 上方 的角叫 (1)测量时,在视线与水平线所成的角中,视线在水平线_____ 做仰角. 下方 的角叫做俯角(如图所示). (2)视线在水平线_____
【思路点拨】根据题意求出∠BAD=∠ADB=45°,进而根据等腰直角三
角形的性质求得FD,在Rt△PEH中,利用特殊角的三角函数值求出PH, 即可求得PG,在Rt△PCG中,求出CG的长度,进而求出CD的长度.
【自主解答】由题意可知∠BAD=∠ADB=45°,
∴FD=EF=6米,
在Rt PEH中， tan BF EH 5 ， PH BF

三角函数应用举例(1)仰角俯角


A
C
从D看B的仰角是 ∠BDE .
水平线
例4: 热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部
的仰角为30°，看这栋高楼底部的俯 角为60°，热气
球与高楼的水平距离为120m，这栋高楼有多高（结果
取整数）
分析：我们知道，在视线与水平线所
仰角
水平线
成的角中视线在水平线上方的是仰角
B
，视线在水平线下方的是俯角，因此
答：开挖点E离点D 332.8m正好能使A，C，E成一直线.
我的收获
模型一
模型二
A
B
模型三
C
A
D
C
Байду номын сангаас
D
B
模型四
总结
1、弄清俯角、仰角的意义，明确各术语与示 意图中的什么元素对应，只有明确这些概念， 才能恰当地把实际问题转化为数学问题；
2、认真分析题意、画图并找出要求的直角三角 形；
当堂反馈
3.如图，在离铁塔BE 120m的A处，用测角仪测量塔顶的仰 角为30°，已知测角仪高AD=1.5m，则塔高BE=(4_0__3___1_.5_)_m （结果保留根号）．
4.如图,从甲楼底部A处测得乙楼顶部C处的仰角 是30∘,从甲楼顶部B处测得乙楼底部D处的俯角是 45∘,已知甲楼的高AB是120m,则乙楼的高CD是 _4_0__3_m(结果保留根号)
解决问题）
变式2： 站在一栋楼的顶端A处，看另一栋楼楼 顶的俯角为30°，看这栋楼底部的俯角为60° ，这两栋楼间的水平距离为240m，楼BC有多高 ？（注：此题可以转化为变式1的解法）
当堂反馈
1．如图（2），在高出海平面100米的悬崖顶A处， 观测海平面上一艘小船B，并测得它的俯角为 45°，则船与观测者之间的水平距离BC=__10_0__米. 2．如图（3），两建筑物AB和CD的水平距离为30 米，从A点测得D点的俯角为30°，测得C点的俯 角为60°，则建筑物CD的高为_____米.

锐角三角函数《应用举例》第2课时示范公开课教学设计【人教版九年级数学下册】

第二十八章锐角三角函数28.2.2应用举例第2课时一、教学目标1.能够把解直角三角形相关知识应用到实际问题中；2.能从实际问题中构造直角三角形，把实际问题转化为解直角三角形的问题，并能灵活选择三角函数解决问题；3.经历从实际问题到数学问题的思考，培养学生数学建模思想和分析问题、解决问题的能力；4.体会数学在解决实际问题中的应用，使学生感受数学在航海方面的应用，使学生感受到数学的广泛作用.二、教学重难点重点：能够把解直角三角形相关知识应用到实际问题中.难点：灵活选择三角函数解决问题.三、教学用具多媒体等.四、教学过程设计教学环节教师活动学生活动设计意图环节一创设情景【回顾】教师活动：教师带领学生回顾前面所学知识，为下面做基础.如图，在Rt△ABC中，共有六个元素（三条边，三个角），其中∠C=90°.(1) 三边之间的关系:a2+b2=__c2___；思考并配合老师回答问题通过前面所学知识的复习，为后面解题做基础.(2) 锐角之间的关系：∠A+∠B=__90°___；(3) 边角之间的关系：sin A=__ac___，cos A=_bc____，tan A=_ab____.解直角三角形的应用：(1)将实际问题抽象为数学问题(画出平面图形，转化为解直角三角形的问题)；(2)根据条件的特点，适当选用锐角三角函数等知识去解直角三角形；(3)得到数学问题答案；(4)得到实际问题答案.环节二探究新知【探究】如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东65°方向，距离灯塔80 n mile的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东34 °方向上的B处.这时，B处距离灯塔P有多远(结果取整数) ？【归纳】方位角:指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的角叫做方位角.在下图中依次画出表示东南方向、西北方向、北偏东65°、南偏东34°方向的射线.学生跟随教师写过程经历从实际问题到数学问题的思考，培养学生数学建模思想和分析问题、解决问题的能力.解：如图 ，在Rt △APC 中， PC ＝P A ·cos(90°－65°) ＝80×cos25° ≈72.505在Rt △BPC 中，∠B =34°，sin PCB PB=()72505130n mile sin sin34PC .PB B ∴==≈ 当海轮到达位于灯塔P 的南偏东34°方向时，它距离灯塔P 大约130海里． 环节三应用新知 【典型例题】例1：铁路的路基横断面为一个等腰梯形，若腰的坡度为i ＝3∶2，顶宽是3m ，路基高是1.5m ，求路基的下底宽是多少？【归纳】坡度（坡比）：坡面的铅直高度h 和水平距离l 的比叫做坡度，用字母 i 表示，如图，坡度通常写成tan hi lα==的形式.坡度越大 坡角越大 坡面越陡解：如图，AD =3m ，作AE ⊥BC ， DF ⊥BC .集体回答通过例题，规范学生对解题步骤的书写，让学生感受数学的严谨性.∵i=3∶2，AE=DF=1.5m.∴BE=CF=1m.∴BC=1+1+3=5m.环节四巩固新知【随堂练习】教师活动：通过Pk作答的形式，让学生独立思考，再由老师带领整理思路过程.练习1如图，水库的横断面是梯形ABCD，迎水坡AB的坡度i=1∶1，坝高BE=20m，迎水坡AB=_______m，坡角α=_______.答案：202；45°练习2如图，海中有一个小岛A，它的周围8海里内有暗礁，渔船跟踪鱼群由西向东航行，在B点测得小岛A在北偏东60°方向上，航行12海里到达D点，这时测得小岛A在北偏东30°方向上，如果渔船不改变航线继续向东航行，有没有触礁的危险？答案：(方法1）解：如图，过A作AC⊥BD，交BD的延长线于点C，则AC的长是A到BD的最短距离，由题意，得∠CAD=30°，∠CAB=60°，∠ABD=90°－60°= 30°，又∵∠BAD=∠CAB－∠CAD=60° －30°=30°，∴∠ABD=∠BAD，分组讨论进一步巩固本节课的内容.了解学习效果，让学生经历运用知识解决问题的过程，给学生获得成功体验的空间.=⨯12∴渔船继续向正东方向行驶，没有触礁的危险．3=tan30360°= 30°=3x以思维导图的形式呈现本节课所讲解的内容.。

解直角三角形教案最新

28.2.1 解直角三角形教学目标：知识与技能：1、使学生理解直角三角形中五个元素的关系，会运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形．2、通过综合运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形，逐步培养学生分析问题、解决问题的能力．3、渗透数形结合的数学思想，培养学生良好的学习习惯．过程与方法：通过综合运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形，逐步培养学生分析问题、解决问题的能力．情感态度与价值观：渗透数形结合的数学思想，培养学生良好的学习习惯．重难点、关键：1．重点：直角三角形的解法．2．难点：三角函数在解直角三角形中的灵活运用．教学过程：一、复习旧知、引入新课【引入】我们一起来解决关于比萨斜塔问题见课本在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=5.2m，AB=54.5m．sin=5.254.5BCAB≈0.0954．所以∠A≈5°28′．二、探索新知、分类应用【活动一】理解直角三角形的元素【提问】1．在三角形中共有几个元素？什么叫解直角三角形？总结：一般地，直角三角形中，除直角外，共有5个元素，即3条边和2个锐角，由直角三角形中除直角外的已知元素，求出其余未知元素的过程，叫做解直角三角形。

【活动二】直角三角形的边角关系直角三角形ABC 中，∠C=90°，a 、b 、c 、∠A 、∠B 这五个元素间有哪些等量关系呢？(1)边角之间关系a b A b a A c b A c a A ====cot ;tan ;cos ;sin如果用α∠表示直角三角形的一个锐角，那上述式子就可以写成.的对边的邻边；的邻边的对边；斜边的邻边；斜边的对边αααααααααα∠∠=∠∠=∠=∠=cot tan cos sin(2)三边之间关系a 2 +b 2 =c 2 (勾股定理)(3)锐角之间关系∠A+∠B=90°．以上三点正是解直角三角形的依据，通过复习，使学生便于应用．【活动三】解直角三角形例1：在△ABC 中，∠C 为直角，∠A 、∠B 、∠C 所对的边分别为a 、b 、c ，且2a=6解直角三角形的方法很多，灵活多样，学生完全可以自己解决，但例题具有示范作用．因此，此题在处理时，首先，应让学生独立完成，培养其分析问题、解决问题能力，同时渗透数形结合的思想．其次，教师组织学生比较各种方法中哪些较好，选一种板演．例2：在Rt△ABC中，∠B =35°，b=20，解这个三角形（结果保留小数点后一位．引导学生思考分析完成后，让学生独立完成。

数学人教版九年级下册28.2.2解直角三角形的应用——坡度问题


E
F
B
A=4 5 ,
AE = DE = 6 ∴AB=AE+EF+FB=22
答:路基的底宽为22米，坡角为45°.
∴BF=6
练习．如图，一段河坝的断面为梯形ABCD，坝高10 米，斜坡AB的坡度 i1 = 1 : 3,斜坡CD的坡度为 i2 = 1 : 3
练 习一
求（1）斜坡CD的坡角； （2）斜坡AB的长度。
天高任鸟飞，海阔凭鱼跃。
三边之间关系 锐角之间关系
a2+b2=c2（勾股定理）
∠A+∠B=90º
A的对边 a = = sin A c 斜边
A的对边 a = tan A = A的邻边 b
边角之间关系 (以锐角A为例)
A的邻边 b = cos A = c 斜边
观察
图（１）和（２）中，哪个山坡比较陡？
1 0.
答：斜坡CD的坡角为30°，斜坡AB的长度为 10 10 ( m )
有一段防洪大堤，横截面为梯形ABCD，
AB∥CD，斜坡AD的坡度 i 1 为1：1.2，斜坡BC
的坡度 为1：0.8，大坝底宽AB为10米,坝高2 2 米,求坝顶宽。
D 2米 A E 10米 F C
i
B
小结
山坡的坡度 i =
M
6
E 2 B
4
6
C
H
A
D
H
6 E BB 2 CC 666 6 4 4 4 A A N G 图① F H
M
D DD
图③
图②
B C
i1 = 1 : 3
A
10米
i2 = 1 : 3
D F
E
B
C
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A 6m β F E C D i=1:3
33.7
B
在Rt△CDE中，∠CED=90°
DE tan i 1: 3 CE
18.4
120 3 120 3
BC BD CD 40 3 120 3
160 3 277.1
答：这栋楼高约为277.1m
C
练习 1. 建筑物BC上有一旗杆AB，由距BC40m的 D处观察旗杆顶部A的仰角54°，观察底部B 的仰角为45°，求旗杆的高度（精确到0.1m） 解：在等腰三角形BCD中∠ACD=90° BC=DC=40m 在Rt△ACD中 D AC tan ADC DC
例5. 如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东65°方向，距 离灯塔80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后， 到达位于灯塔P的南偏东34°方向上的B处，这时，海 轮所在的B处距离灯塔P有多远？ （精确到0.01海里）
A C
65° P
34°
B
方位角
• 指南或指北的方向线与目标方向线构成小于 900的角,叫做方位角. • 如图：点A在O的北偏东30° • 点B在点O的南偏西45°（西南方向）
利用解直角三角形的知识解决实际问题的 一般过程是:
1.将实际问题抽象为数学问题; (画出平面图形,转化为解直角三角形的问题)
2.根据条件的特点,适当选用锐角三角函数等去解直角三 角形;
3.得到数学问题的答案; 4.得到实际问题的答案.
在进行观察或测量时，
仰角和俯角
从下向上看，视线与水平线的夹角叫做仰角； 从上往下看，视线与水平线的夹角叫做俯角. 铅 垂 线
新人教版九年级数学(下册)第二十八章
§28.2.2应用举例
在解直角三角形的过程中，一般要用到下面一些关系：
（1）三边之间的关系
a b c （勾股定理）
2 2 2
b c
A
（2）两锐角之间的关系 ∠A＋∠B＝90°
（3）边角之间的关系
C
a
B
A的对边 a sin A 斜边 c
A的邻边 b cos A 斜边 c
B的对边 b sin B 斜边 c
B的邻边 a cos B 斜边 c
B的对边 b tan B B的邻边 a
A的对边 a tan A A的邻边 b
例3 2012年6月18日，“神州”九号载人航天飞船与 “天宫”一号目标飞行器成功实现交汇对接。“神州” 九号与“天宫”一号的组合体在离地球表面343km的圆 形轨道上运行，如图，当组合体运行到地球表面P点的 正上方时，从中能直接看到的地球表面最远的点在什么 位置？最远点与P点的距离是多少（地球半径约6400km， π取3.142，结果取整数）？
A B
45° 54° 40m
C
AC tan ADC DC
tan 54 40 1.38 40 55.2
所以AB=AC－BC=55.2－40=15.2
答：棋杆的高度为15.2m.
2. 如图，沿AC方向开山修路．为了加快施工进度，要 在小山的另一边同时施工，从AC上的一点B取∠ABD = 140°，BD = 520m，∠D=50°，那么开挖点E离D多 远正好能使A，C，E成一直线（精确到0.1m） 解：要使A、C、E在同一直 线上，则 ∠ABD是 △BDE 的一个外角
PC sin B PB PC 72.8 72.8 PB 130.23 sin B sin 34 0.559
B
当海轮到达位于灯塔P的南偏东34°方向时，它距离灯 塔P大约130.23海里．
气象台发布的卫星云图显示，代号为W的台风在某海岛（设为 点O）的南偏东45°方向的B点生成，测得 OB 100 6km ． 台
200 20 6 30
5 6 11 D
O
60
C
x/km
台风从生成到最初侵袭该城要经过 11小时．
B
图2
1、海中有一个小岛A，它的周围8海里范围内有暗礁， 渔船跟踪鱼群由西向东航行，在B点测得小岛A在北偏 东60°方向上，航行12海里到达D点，这时测得小岛A 在北偏东30°方向上，如果渔船不改变航线继续向东 航行，有没有触礁的危险？
A
30°
பைடு நூலகம்
60°
B
12
D
F
解：由点A作BD的垂线
交BD的延长线于点F，垂足为F， ∠AFD=90° 由题意图示可知∠DAF=30°
设DF= x , AD=2x 则在Rt△ADF中，根据勾股定理
60°
B D F 30°
A
AF AD DF
2 2
2x
2
x 2 3x
在Rt△ABF中，
A B 140° C E
∴∠BED=∠ABD－∠D=90° DE cos BDE BD
50° D
DE cos BDE BD
cos 50 520 0.64 520 332.8
答：开挖点E离点D 332.8m正好能使A，C，E成一直线.
思想与方法
1．数形结合思想. 2 ． 方程思想 . 3．转化（化归）思想. 方法：把数学问题转化成解直角三角形问题，如 果示意图不是直角三角形，可添加适当的辅助线 ，构造出直角三角形.
视线
仰角 水平线
俯角 视线
例4: 热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的仰 角为30°，看这栋高楼底部的俯 角为60°，热气球与高楼 的水平距离为120m，这栋高楼有多高（结果精确到0.1m）
分析：我们知道，在视线与水平线 所成的角中视线在水平线上方的是 仰角，视线在水平线下方的是俯角， 因此，在图中，a=30°,β=60° Rt△ABC中，a =30°，AD＝ 120，所以利用解直角三角形的知 识求出BD；类似地可以求出CD， 进而求出BC．
风中心从点B以40km/h的速度向正北方向移动，经5h 后到达海面上的点C处．因受气旋影响，台风中心从点 C开始以30km/h的速度向北偏西60°方向继续移 动．以O为原点建立如图12所示的直角坐标系． （1）台风中心生成点B的坐标为 ，台风中心转 折点C的坐标为 ；（结果保留根号） （2）已知距台风中心20km的范围内均会受到台风的 侵袭．如果某城市（设为A点） y/km 位于点O的正北方向且处于台风 A 中心的移动路线上，那么台风从 生成到最初侵袭该城要经过多长 C x/km 时间？ O
A 仰角 水平线
B
α β D
俯角 C
解：如图，a = 30°,β= 60°， AD＝120．
BD CD tan a , tan AD AD
B α A β D
BD AD tana 120 tan30
3 120 40 3 3
CD AD tan 120 tan60
3x AF tan 30 tan ABF BF 12 x
解得x=6
AF 6 x 6 3 10.4
10.4 > 8没有触礁危险
2、 如图，拦水坝的横断面为梯形ABCD（图中i=1:3是 指坡面的铅直高度DE与水平宽度CE的比），根据图中 数据求：（1）坡角a和β; （2）坝顶宽AD和斜坡AB的长（精确到0.1m） 解：（1）在Rt△AFB中， ∠AFB=90 AF ° i=1:1.5 tan i 11.5 ： BF α
北 东
B
解：（1） B(100
200 100 3) 3， 100 3) C(100 3，
（2）过点C作 CD OA 于点D，如图2，则
CD 100 3
在 Rt△ ACD 中
ACD 30 CD 100 3
y/km
CD 3 cos 30 CA 200 CA 2 A
北 30° A
西
O 45°
东
B
南
例5 如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东65°方向，距 离灯塔80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后， 到达位于灯塔P的南偏东34°方向上的B处，这时，海 轮所在的B处距离灯塔P有多远（精确到0.01海里）？ 解：如图 ，在Rt△APC中， A 65° PC＝PA· cos（90°－65°） ＝80×cos25° P C ≈80×0.91 =72.8 34° 在Rt△BPC中，∠B＝34°