12三角函数应用举例课件导入

高中数学课件：三角函数 应用举例
本课件将带你深入了解三角函数的丰富应用领域，包括在数学、物理学、航 空航天、地理学、生物学、建筑学等领域的实际应用。
三角函数的定义及性质回顾
回顾三角函数的定义，思考其基本性质，并通过实例加深理解。
用三角函数计算直角三角形的例题
已知斜边和一个角度
通过正弦、余弦和正切函数，计算出直角三角 形的其他边长。
求解三角函数方程的方法
1 利用单位圆的性质
通过单位圆，解三角方程，求解不同范围内 的解集。
2 使用三角恒等式
通过应用三角恒等式，简化方程，得出解集。
3 借助图形法
利用图形法求解三角方程的解集。
4 利用技巧和变换
通过基本数学技巧和变换，解决复杂的三角 方程。
三角函数在电路中的应用
1
交流电的频率和相位差
已知两个边长
通过正弦、余弦和正切函数，计算出直角三角 形的角度。
用三角函数计算一般三角形的例题
已知两边和一个角度
根据三角函数的定义，计算出三 角形的面积和其弦定理、正弦定理等相关 公式，求解三角形的角度和面积。
利用余弦定理、正弦定理等相关 公式，计算出三角形的第三边和 其他两个角度。
三角函数在计算机图形学中的应用
坐标变换和旋转
利用三角函数描述二维和三维图 形的坐标变换和旋转。
分形图形的生成
通过三角函数的迭代运算生成各 种神奇的分形图形。
动画的平滑过渡
通过三角函数描述动画的平滑过 渡和插值。
利用正弦函数和余弦函数描述交流电的
电阻、电感和电容的阻抗
2
频率和相位差。
通过三角函数计算电路中电阻、电感和
电容的阻抗。
3
电压和电流的相位关系

31、只有永远躺在泥坑里的人，才不会再掉进坑里。——黑格尔 32、希望的灯一旦熄灭，生活刹那间变成了一片黑暗。——普列姆昌德 33、希望是人生的乳母。——科策布 34、形成天才的决定因素应该是勤奋。——郭沫若 35、学到很多东西的诀窍，就是一下子不要学很多。——洛克
1、不要轻言放弃，否则对不起自己。
2、要冒一次险!整个生命就是一场冒险。走得最远的人，常是愿意 去做，并愿意去冒险的人。“稳妥”之船，从未能从岸边喝起来是苦涩的，回味起来却有 久久不会退去的余香。
《三角函数应用举例》 4、守业的最好办法就是不断的发展。 5、当爱不能完美，我宁愿选择无悔，不管来生多么美丽，我不愿失 去今生对你的记忆，我不求天长地久的美景，我只要生生世世的轮 回里有你。

根据散点图（如图）， 分析得出位移y随时间t的变化规律可以用 y＝Asin（ωx＋φ)这个函数模型进行刻画．
新知探究
问题4 由数据表和散点图，你能说出振子振动时位移的最 大值A，周期T，初始状态（t＝0）时的位移吗？根据这些值， 你能求出函数的解析式吗？
A＝20，T＝60 s，初始状态的位移为－20 mm．
模型一：简谐运动
新知探究
问题2 如何利用三角函数刻画弹簧振子的 运动过程？
因为弹簧振子离开中心位置的位移随着时间呈周期性变化，所以可以 用弹簧振子离开中心位置的位移与时间的三角函数关系来刻画弹簧振 子的运动过程．
新知探究
例1 某个弹簧振子在完成一次全振动的过程中，时间t（单位s）与位 移y（单位mm）之间的对应数据如表所示．试根据这些数据确定这个 振子的位移关于时间的函数解析式．
解答：（1）最大偏角为0.1203 rad． （2）要使沙漏摆动的周期是1 s，线的长度l应当为24.8 cm．
新知探究
模型二：交变电流 播放视频：交变电流的产生
问题5 如何利用三角函数刻画交变电流的周期性变化？
因为交变电流随着时间呈周期性变化，所以可以用交变电流与时间的 三角函数关系来刻画交变电流的周期性变化．
由这些值可求得电流i随时间t的变化的解析式是
i 5sin(100πt π )，t [0， )
当t 0时，i 5 3；当t 1 时，i 5；
3
2
600
当t 1 时，i 0； 当t 7 时，i 5；当t 1 时，i 0．
150
600
60
新知探究
练习3：一台发电机产生的电流是正弦式电流，电压和时间之间的关系 如图所示．由图象说出它的周期、频率和电压的最大值，并求出电压U （单位V）关于时间t（单位s）的函数解析式．

根据图象过点（0.005，311），代入U=311sin(100πt+φ)，可得φ=2kπ，k∈Z． 所以U=311sin(100πt)，t∈[0，+∞)．
归纳小结
问题9 对于一个周期性现象，你该如何利用三角函数来刻画？在本节课中， 涉及哪些数学思想？
答案：利用三角函数刻画周期性现象，就是要找出这一现象中哪两个变量满 足“当其中一个变量增加相同的常数时，另一个变量的值重复出现”，然后通过 数学建模，求出这两个变量之间满足的三角函数关系．
s 3cos( g t ), t ∈[0,∞).
l3
（1）当l=25时，求沙漏的最大偏角（精确到0.0001rad）； （2）已知g=9.8m/s2，要使沙漏摆动的周期是1s，线的长度应当是多少（精确到 0.1cm）?
新知探究
4．建模解模
解：（1）∵ s 3cos( g t ) ，∴可得s的最大值为3．
时，i
－5
；
当 t 1 时，i 0．
60
新知探究
4．建模解模
练习1 如图，一根绝对刚性且长度不变、质量可忽略不 计的线，一端固定，另一端悬挂一个沙漏．让沙漏在偏离平 衡位置一定角度（最大偏角）后在重力作用下铅锤面内做周 期摆动．若线长lcm，沙漏摆动时离开平衡位置的位移为s（ 单位：cm）与时间t（单位：s）的函数关系是
φ为初相． 问题8 根据图象3（2），你能说出电流的的最大值A，周期T，初始状态（
t=0）的电流吗？由这些值，你能进一步完成例2的解答吗？ 答案： 由图可知，A=5，T= 1 s，初始状态的电流为4.33A．
50
新知探究
4．建模解模
解：由图3（2）可知，电流最大为5A，因此A=5；
电流变化的周期T= 1 s，即 2π = 1 s，解得ω=100π；

解：如图，在Rt△ABC中，有
sin ABC AC AB
即 AC ABsin ABC 4sin 40
cosABC BC AB
即 BC ABcosABC 4cos40
A
在Rt△ADC中，有
sin D AC 即 AD AC AC ＝４sin 40
AD
sin D sin 35 sin 35
tan D AC 即 DC AC ４sin 40
DC
tan D tan 35
D
B
C
∴
调整后的楼梯会加长４sin 40
sin 35
4
0.48(m)，多占
４sin 40 tan 35
4
cos40
0.61(m)
长一段地面.
1.如图，一灯柱AB被一钢缆CD固定.CD与地面成40°夹角,且DB=5m.现再在CD上方 2m处加固另一根钢缆ED,那么,钢缆ED的长度为多少?(结果精确到0.01m) .
如图1-14，小明想测量塔CD的高度.他在A处仰望塔顶,测得仰角为30°,再往
塔的方向前进50m至B处,测得仰角为60°,那么该塔有多高?(小明的身高忽略不计,
结果精确到1m)
解：在Rt△ADC中，有
tan A CD AC
即 AC CD CD
tan A tan 30
在Rt△BDC中，有
tan DBC CD BC
在Rt△CDF中，有
sin CDF DF ，cosCDF CF
CD
CD
∴ DF=CDsin∠CDF=8sin45°４ ２m CF=CDcos∠CDF=8cos45°４ ２m
∴ AE=DF ４ ２m ∴ BE=BC-EF-CF 30 6 ４ ２ (24 ４ ２)m 在Rt△ABE中，有

总结词
解决物理问题中，三角函数的应用广泛且重要。
详细描述
在物理问题中，如振动、波动、电磁场等，经常需要用到三角函数来描述物理量的变化规律。例如，简谐振动的 位移、速度和加速度可以用正弦和余弦函数表示。
应用实例二：利用三角函数解决几何问题
总结词
在几何问题中，三角函数常用于角度、长度等的计算。
详细描述
在几何问题中，如三角形、圆、椭圆等，三角函数可以用于计算角度、长度等几何量。例如，在直角 三角形中，可以利用正切函数来计算对边长度。
应用实例三：利用三角函数解决金融问题
总结词
在金融领域，三角函数的应用相对较少 ，但仍然存在一些应用场景。
VS
详细描述
在金融领域，如股票价格、债券收益率等 时间序列数据的分析中，有时会用到三角 函数来描述其波动规律。此外，在保险精 算中，也可能会用到三角函数来计算赔率 等。
05
总结与展望
三角函数应用的重要性和意义
三角函数在数学、物理和工程领域中具有广泛的应用，是解决实际问题的重要工具 之一。
三角函数可以描述周期性变化的现象，例如振动、波动、交流电等，为解决这些问 题提供了数学模型和计算方法。
三角函数在几何学、解析几何和线性代数等领域也有着重要的应用，为解决复杂的 几何问题和线性方程组提供了有效的工具。
THANKS
感谢观看
在平面几何中，三角函数用于计算角度、边长和面积。在立体几何中，三角函数 用于描述三维空间中的角度和距离。
三角函数在金融领域的应用
总结词
金融领域中，三角函数常用于分析周 期性数据，如股票价格、利率等。
详细描述
在金融分析中，三角函数用于描述周 期性数据的波动和趋势。此外，三角 函数在复利计算、债券定价和期权定 价等方面也有应用。

第二章 三角函数的应用ppt课件
§2—1 解直角三角形及其应用
节菜单
一、在推导计算公式中的应用 2—1 解直角三角形及其应用
2—2 正弦定理和余弦定理的应用
2—3 三角函数的常用公式及应用
2—4 正弦型函数的图像及应用
2—5 反三角函数及应用
第二章 三角函数的应用ppt课件
§2—1 解直角三角形及其应用
2—5 反三角函数及应用
第二章 三角函数的应用ppt课件
§2—4 正弦型函数的图像及应用
节菜单
二、正弦型函数的图像——1.正弦型曲线的变换作图法 2—1 解直角三角形及其应用
2—2 正弦定理和余弦定理的应用
2—3 三角函数的常用公式及应用
2—4 正弦型函数的图像及应用
2—5 反三角函数及应用
第二章 三角函数的应用ppt课件
第二章 三角函数的应用ppt课件
§2—3 三角函数的常用公式及应用
节菜单
2—1 解直角三角形及其应用 2—2 正弦定理和余弦定理的应用 2—3 三角函数的常用公式及应用 2—4 正弦型函数的图像及应用 2—5 反三角函数及应用
第二章 三角函数的应用ppt课件
§2—4 正弦型函数的图像及应用
节菜单
2—1 解直角三角形及其应用 2—2 正弦定理和余弦定理的应用 2—3 三角函数的常用公式及应用 2—4 正弦型函数的图像及应用 2—5 反三角函数及应用
第二章 三角函数的应用ppt课件
§2—4 正弦型函数的图像及应用
节菜单
一、三角函数的图像及性质
2—1 解直角三角形及其应用
2—2 正弦定理和余弦定理的应用
第二章 三角函数的应用ppt课件
§2—2 正弦定理和余弦定理的应用

3
实例分析
通过实例分析，揭示三角函数在实际 问题中的重要作用。
三角函数的周期性及其证明
周期性理论
讲解三角函数的周期性理论，包括周期性 的数学证明。
周期函数图像
通过图像展示周期函数的特点和周期变化， 帮助理解周期性。
周期函数应用
深入讨论周期函数在实际问题中的应用，如调和信号和周期运动。
介绍三角函数的复合函 数并讨论其定义和性质。
讨论复合函数在实际问 题中的应用，如周期性 和波动率。
3 函数组合的实例
通过实例演示复合函数 在几何和物理问题中的 应用。
实际问题中的三角函数应用
1
几何问题
应用三角函数解决几何问题，如测量
物理问题
2
高度、角度和距离等。
探索三角函数在物理学中的应用，如
弹性力、振动和波动等。
加法公式 倍角公式
差化积公式 半角公式
三角函数的逆函数及其定义、图像和性质
逆函数定义
引入三角函数的逆函数并讨论 其定义。
逆函数图像
观察三角函数和其逆函数的图 像并分析其性质。
逆函数应用
探索逆函数在实际问题中的应 用，包括反向运动和角度解的 应用。
三角函数的复合函数及其应用
1 复合函数定义
2 复合函数的应用
《高中数学课件-三角函 数的应用》
欢迎来到《高中数学课件-三角函数的应用》！本课件将带您深入了解三角函 数的定义、图像、性质以及在实际问题中的应用，让您轻松掌握这一重要概 念。
三角函数的定义及其基本性质
正弦、余弦、正切
掌握三角函数的定义及其 常用性质，包括周期、定 义域和值域。
用例分析
通过实例演示正弦、余弦、 正切函数在几何和物理问 题中的应用。

再见
高中数学人教A版必修第一册单元教学设计
三角函数的应用
第2课时
-.
整体感知
问题1 匀速圆周运动、简谐运动和交变电流都是理想化的运动变化现象， 可以用三角函数模型准确地描述它们的运动变化规律，其中分别是通过什么 方法构建得到其中的函数模型？
答案：匀速圆周运动是依据三角函数定义，直接推理得出变量之间的关系 ，得到函数模型；简谐运动和交变电流是通过收集数据——画散点图——选择 函数模型——求解函数模型的方法建立函数模型．
新知探究
5．模型应用
问题6 可以将上述求得的点A，B，C，D的横坐标作为进出港时间吗？为 什么？
答案：事实上为了安全，进港时间要比算出的时间推后一些，出港时间要比 算出的时间提前一些，这样才能保证货船始终在安全水域．
例如，由模型解出的凌晨进港时间约等于0.3975时，如果考虑到安全因素， 在稍后的0.5时，即0时30分进港是合适的.
5．模型应用
问题5 例2（2）中，货船需要的安全深度是多少？转化为数学问题，就是 在函数的解析式中，哪个变量需要满足什么条件，该船就可以进入港口？从图 象上看呢？
答案：货船需要的安全水深为4+1.5=5.5m． 从函数的解析式来看，满足y≥5.5，该船可以进入港口； 从图象上看，就是函数 y 2.5 sin 5π x 5 的图象在直线y=5.5上方时，该船可
31
，因此5π x 0.2014 ，或π 5π x 0.2014 ．
31
31
解得xA≈0.3975，xB≈5.8025．
由函数的周期性易得：
xC≈12.4+0.3975=12.7975，xD≈12.4+5.8025=18.2025． 因此，货船可以在零时30分左右进港，早晨5时45分左右进港；或在下午 13时左右进港，下午18时左右出港．每次可以在港口停留5小时左右．

答案：2π，4x＋π6
题型一 三角函数在物理中的应用 例 1 已知弹簧上挂着的小球做上下振动，它离开平衡位置(静 止 时 的 位 置 ) 的 距 离 h(cm) 与 时 间 t(s) 的 函 数 关 系 式 为 ： h ＝ 3sin2t＋π4. （1）求小球开始振动的位置； （2）求小球第一次上升到最高点和下降到最低点的时间； （3）经过多长时间小球往返振动一次？ （4）每秒内小球能往返振动多少次？
（2）明确物理概念的意义，此类问题往往涉及诸如频率、振
幅等概念，因此要熟知其意义并与对应的三角函数知识结合解题．
跟踪训练 1 已知弹簧上挂着的小球做上下振动时，小球离开 平衡位置的位移 s(cm)随时间 t(s)的变化规律为 s＝4sin2t＋π3， t∈[0，＋∞)．用“五点法”做出这个函数的简图，并回答下列问 题：
题型二 三角函数在实际生活中的应用[教材 P245 例 2] 例 2 海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫 潮．一般地，早潮叫潮，晚潮叫汐．在通常情况下，船在涨潮时驶 进航道，靠近码头；卸货后，在落潮时返回海洋．下表是某港口某 天的时刻与水深关系的预报.
（2）在建立变量关系这一关键步骤上，要充分运用数形结合 的思想、图形语言和符号语言并用的思维方式来打开思想解决问 题．
（3）实际问题的背景往往比较复杂，而且需要综合应用多门 学科的知识才能完成，因此，在应用数学知识解决实际问题时，应 当注意从复杂的背景中抽取基本的数学关系，还要调动相关学科知 识来帮助解决问题．
知识点三 三角函数模型的拟合应用 我们可以利用搜集到的数据，做出相应的“_散__点__图___”，通过 观察散点图并进行数据拟合，从而获得具体的函数模型，最后利用 这个函数模型来解决相应的实际问题．

三角函数的应用领域
01
02
03
物理学
在物理学的振动、波动、 电磁学等领领域中，三角函数用于 解决各种实际问题。
航海学
在航海学中，三角函数用 于计算航行角度、距离等 关键参数。
02
三角函数的基本性质
正弦函数
定义
正弦函数是三角函数的一种，定 义为y=sinx，x∈R。
详细描述
在数学中，三角函数被广泛应用于解决各种 问题，如代数、几何、微积分等。例如，在 求解代数方程时，可以通过三角函数进行因 式分解；在求解几何问题时，可以通过三角 函数计算角度和长度；在微积分中，三角函 数可以用于求解微分方程和积分方程等。
经济问题中的三角函数应用
要点一
总结词
要点二
详细描述
在经济领域中，三角函数的应用相对较少，但在某些特定 问题中仍然有应用。
复数的运算
掌握利用三角函数进行复数的运 算，如乘法、除法、指数运算等。
傅里叶变换
理解傅里叶变换的概念，掌握利 用三角函数进行傅里叶变换的方 法，解决信号处理、图像处理等
领域的问题。
05
总结与展望
三角函数应用的总结
三角函数在数学、物理和工程领域中的应用
三角函数在解决数学问题、分析物理现象和设计工程结构等方面发挥了重要作用。例如，在解析几何中，三角函 数用于研究平面和三维空间中的角和线段；在物理学中，三角函数用于分析振动、波动和电磁波等现象；在工程 学中，三角函数用于设计桥梁、建筑和机械等结构。
三角函数的周期性和奇偶性
周期性
正弦函数、余弦函数和正切函数的 周期分别为2π、2π和π。
奇偶性
正弦函数和正切函数是奇函数， 余弦函数是偶函数。
03

【解析】在等腰三角形BCD中∠ACD=90°，BC=DC=40m，
在Rt△ACD中：
A
tan ADC AC DC
B
AC tan ADC DC
tan 54 40 1.38 40 55.2m
所以AB=AC－BC=55.2－ 答40：=棋15杆.2旳m高度为15.2m.
54° 45° D 40m C
34°
远？（成果取整数）
B
【解析】如图 ，在Rt△APC中，
PC＝PA·cos（90°－65°）
＝80×cos25°
65° A
≈72.505
P C
在Rt△BPC中，∠B＝34°
sin B PC
34°
PB
PB PC 72.505 130海里
sin B sin 34
B
答：当海轮到达位于灯塔P旳南偏东34°方向时，它距离
灯塔P大约130海里．
1.海中有一种小岛A，它旳周围8海里内有暗礁，渔船跟踪鱼群 由西向东航行，在B点测得小岛A在北偏东60°方向上，航行12 海里到达D点，这时测得小岛A在北偏东30°方向上，假如渔船
不变化航线继续向东航行，有无触礁旳危险？
北
A 60°BD来自坡度(坡比)、坡角： (1)坡度也叫坡比，用i表达. 即i=h/l，h是坡面旳铅直高度， l为相应水平宽度，如图所示 (2)坡角：坡面与水平面旳夹角. (3)坡度与坡角(若用α表达)旳关系：i=tanα. 方向角：指南或北方向线与目旳方向线所成旳不大于 90°旳角，叫方向角.
O
B
1.（2023·青海中考）如图，从热气球C上测定建筑物A、B
底部旳俯角分别为30°和60°，假如这时气球旳高度CD为 150米，且点A、D、B在同一直线上，建筑物A、B间旳距离 为（ C ）