28.2《应用举例(2)》同步训练(含答案)

㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀28.2.2.1㊀应用举例(1)(1)如图28.2.2-23所示,测量河宽AB (假设河的两岸平行),在C 点测得øACB =30ʎ,D 点测得øADB =60ʎ,又CD =60m,则河宽AB 为㊀㊀㊀㊀m (结果保留根号).(2)林业工人为调查树木的生长情况,常用一种角卡为工具,可以很快测出大树的直径,其工作原理如图28.2.2-24所示.现已知øBAC =53ʎ8ᶄ,AB =0.5m,则这棵大树的直径约为㊀㊀㊀㊀m .图28.2.2-23㊀㊀㊀图28.2.2-24㊀㊀㊀图28.2.2-25(3)如图28.2.2-25,在建筑平台CD 的顶部C 处,测得大树AB 的顶部A 的仰角为45ʎ,测得大树AB 的底部B 的俯角为30ʎ,已知平台CD 的高度为5m,则大树的高度为㊀㊀㊀㊀m .(结果保留根号)(1)已知如图28.2.2-26,将两根宽度为2cm 的纸带交叉叠放,若øα为已知,则阴影部分面积为㊀㊀㊀㊀cm 2.图28.2.2-26㊀㊀㊀图28.2.2-27(2)如图28.2.2-28,某幼儿园要在围墙的附近安装一套秋千.已知秋千顶端距地面距离OA =2m,秋千摆动时距地面的最低距离AB =0.4m,秋千摆动到最高点C 时,OC 与铅直线OA 的夹角øCOA =55ʎ.使用时要求秋千摆动的最高点C 距离围墙DE 之间的距离DC =0.8m .那么秋千固定点A 点应距围墙DE 多远?(提示:sin55ʎʈ0.77)图28.2.2-28㊀㊀㊀图28.2.2-29(3)如图28.2.2-30,某同学在大楼AD 的观光电梯中的E 点测得大楼BC 楼底C 点的俯角为45ʎ,此时该同学距地面高度AE 为20m,电梯再上升5m 到达D 点,此时测得大楼BC 楼顶B 点的仰角为37ʎ,求大楼的高度BC.(参考数据:sin37ʎʈ0.60,cos37ʎʈ0.80,tan37ʎʈ0.75)图28.2.2-30㊀㊀㊀图28.2.2-311基础训练(1)某人沿倾斜角为β的斜坡前进100m,则上升的最大高度是(㊀㊀).A.100sin βm B.100sin βm C 100cos βm D.100cos βm (2)如图28.2.2-32所示,为测楼房BC 的高,在距楼房30m 的A 处,测得楼顶B 的仰角为α,则楼房BC的高为(㊀㊀)A.30tan αm B.30tan αm C.30sin αm D.30sin αm (3)如果在观察点A 测得点B 的仰角是32ʎ,那么在点B 观测点A ,所测得的俯角的度数是㊀㊀㊀㊀.(4)如图28.2.2-33所示,一棵树因雪灾于A 处折断,测得树梢触地点B 到树根C 处的距离为4m,øABC 约45ʎ,树干AC 垂直于地面,那么此树在未折断之前的高度约为㊀㊀㊀㊀m .(答案保留根号)图28.2.2-32㊀图28.2.2-33㊀图28.2.2-34(5)如图28.2.2-34所示,交警为提醒广大司机前方道路塌陷在路口设立了警示牌.已知立杆AD 的高度是3m,从侧面B 点测得警示牌顶端C 点和底端D 点的仰角分别是60ʎ和45ʎ.那么警示牌CD 的高度为㊀㊀㊀㊀m .拓展提高(1)某小区改造项目中,要将一棵没有价值的树放倒,栽上白玉兰,在操作过程中,李师傅要直接把树放倒,张师傅不同意,他担心这样会损坏这棵树周围7m 处的花园和雕塑.请你根据图28.2.2-35中标注的测量数据:øBCD =60ʎ,øDCA =5ʎ,BD =6m,通过计算说明:张师傅的担心是否有必要?(供选数据:sin65ʎʈ0.9,cos65ʎʈ0.4,tan65ʎʈ2.1,3ʈ1.7).图28.2.2-35(2)如图28.2.2-36所示,线段AB ,DC 分别表示甲㊁乙两建筑物的高.某初三课外兴趣活动小组为了测量两建筑物的高,用自制测角仪在B 处测得D 点的仰角为α,在A 处测得D 点的仰角为β.已知甲㊁乙两建筑物之间的距离BC 为m.请你通过计算用含α㊁β㊁m 的式子分别表示出甲㊁乙两建筑物的高度.图28.2.2-36发散思维(1)现在各地房产开发商,为了获取更大利益,缩短楼间距,以增加住宅楼栋数.合肥市某小区正在兴建的若干幢20层住宅楼,国家规定普通住宅层高宜为2.80m .如果楼间距过小,将影响其他住户的采光,见图28.2.2-37,窗户高1m .①合肥的太阳高度角(即正午太阳光线与水平面的夹角):夏至日为81.4度,冬至日为34.88度.为了2不影响各住户的采光,两栋住宅楼的楼间距至少为多少米?②有关规定:平行布置住宅楼,其建筑间距应不小于南侧建筑高度的1.2倍;按照此规定,是否影响北侧住宅楼住户的全年的采光?若有影响,试求哪些楼层的住户受到影响?(本题参考值:sin81.4ʎ=0.99, cos81.4ʎ=0.15,tan81.4ʎ=6.61;sin34.88ʎ=0.57,cos34.88ʎ=0.82,tan34.88ʎ=0.70)图28.2.2-37(2)我市在城市建设中,要拆除旧烟囱AB,如图28.2.2-38所示,在烟囱正西方向的楼CD的顶端C,测得烟囱的顶端A的仰角为45ʎ,底端B的俯角为30ʎ,已量得DB=21m.①在原图上画出点C望点A的仰角和点C望点B的俯角,并分别标出仰角和俯角的大小.②拆除时若让烟囱向正东倒下,试问:距离烟囱正东35m远的一棵大树是否被歪倒的烟囱砸着?请说明理由.(3ʈ1.732)图28.2.2-383。

人教版九年级数学下册： 28.2.2 《应用举例》说课稿4一. 教材分析人教版九年级数学下册28.2.2《应用举例》是全册书的重点内容之一，主要讲述了分式方程的应用。

本节课通过具体的例子，让学生了解并掌握分式方程的解法及其在实际问题中的应用。

教材内容紧密联系实际，具有一定的挑战性，有利于培养学生的思维能力和解决问题的能力。

二. 学情分析九年级的学生已经掌握了分式的基本知识，对分式方程有一定的了解。

但学生在解决实际问题时，往往不知道如何将实际问题转化为分式方程，因此在教学过程中，需要引导学生将实际问题与数学知识有机结合，提高学生运用数学知识解决实际问题的能力。

三. 说教学目标1.知识与技能目标：让学生掌握分式方程的解法，并能灵活运用分式方程解决实际问题。

2.过程与方法目标：通过合作交流，培养学生解决问题的能力，提高学生的逻辑思维能力。

3.情感态度与价值观目标：激发学生学习数学的兴趣，培养学生勇于探究的精神，增强学生运用数学知识解决实际问题的意识。

四. 说教学重难点1.教学重点：分式方程的解法及其在实际问题中的应用。

2.教学难点：如何将实际问题转化为分式方程，以及分式方程在实际问题中的灵活运用。

五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用问题驱动法、合作交流法、案例教学法等，引导学生主动探究，培养学生的解决问题的能力。

2.教学手段：利用多媒体课件、黑板、粉笔等传统教学手段，结合现代教育技术，提高教学效果。

六. 说教学过程1.导入新课：通过一个实际问题，引发学生对分式方程的思考，激发学生的学习兴趣。

2.讲解新知：讲解分式方程的解法，并通过例题让学生理解和掌握。

3.应用拓展：让学生分组讨论，运用分式方程解决实际问题，培养学生的合作精神和解决问题的能力。

4.总结反思：让学生总结本节课所学知识，反思自己在解决问题过程中的优点和不足。

七. 说板书设计板书设计要清晰、简洁，突出本节课的主要内容。

主要包括以下几个部分：1.分式方程的定义2.分式方程的解法3.分式方程在实际问题中的应用八. 说教学评价教学评价主要从学生的学习效果、解决问题的能力、合作交流等方面进行。

《应用举例》同步练习1、如图，电线杆CD 的高度为h ，两根拉线AC 与BC 相互垂直，∠CAB =α，则拉线BC 的长度为（A 、D 、B 在同一条直线上）（ ）A 。

sin h α B 。

cos h α C 。

tan h αD 。

cos h α⋅2、如图，钓鱼竿AC 长6m ，露在水面上的鱼线BC 长32m ，某钓者想看看鱼钓上的情况，把鱼竿AC 转动到AC '的位置，此时露在水面上的鱼线B ′C ′为33m ，则鱼竿转过的角度是（ ）A 。

60°B 。

45°C 。

15°D 。

90°3、如图，为了测量河岸A ，B 两点的距离，在与AB 垂直的方向上取点C ，测得AC =α，∠ABC =α，那么AB 等于（ ）A 。

sin a α⋅B 。

cos a α⋅C 。

tan a α⋅D 。

tan a α◆ 选择题1、小蓝周末去广场放风筝，如图，当风筝飞到点C处时的线长BC约为25m，此时小蓝正好站在点A处，并测得∠CBD=61°，牵引底端B距离地面1.5m，则此时风筝距离地面的高度CE约为m（用科学计算器计算，结果精确到0.1m）。

2、如图1是一种阳台户外伸缩晾衣架，侧面示意图如图2所示，其支架AB，CD，EF，GH，BE，DG，FK的长度都为40cm（支架的宽度忽略不计），四边形BQCP、DMEQ、FNGM 是互相全等的菱形，当晾衣架的A端拉伸到距离墙壁最远时，∠B=∠D=∠F=80°，这时A 端到墙壁的距离约为cm。

（sin40°≈0.643，cos40°≈0.766，tan40°≈0.839）3、如图1是带支架功能的某品牌手机壳，将其侧面抽象为如图2所示的几何图形，已知AC=5.46cm，∠ABC=75°，∠C=45°，则点B到AC的距离为cm。

（结果精确到0.1cm，3≈1.73）◆填空题1、如图是一辆小汽车与墙平行停放的平面示意图，汽车靠墙一侧OB与墙MN平行且距离为0.8米。

人教版九年级数学下册： 28.2.2 《应用举例》说课稿2一. 教材分析人教版九年级数学下册28.2.2《应用举例》这一节主要讲述了分式方程的应用。

在学习了分式方程的基本概念和求解方法之后，学生可以通过本节课的学习，将分式方程应用到实际问题中，提高解决实际问题的能力。

教材通过举例的方式，让学生了解分式方程在生活中的应用，培养学生的数学应用意识。

二. 学情分析九年级的学生已经掌握了分式方程的基本知识，对于如何求解分式方程已经有了一定的了解。

但是，将分式方程应用到实际问题中，解决实际问题，这是学生们的弱项。

因此，在教学过程中，需要引导学生将理论知识与实际问题相结合，提高学生的数学应用能力。

三. 说教学目标1.知识与技能：让学生掌握分式方程在实际问题中的应用，提高学生解决实际问题的能力。

2.过程与方法：通过举例，让学生学会如何将分式方程应用到实际问题中，培养学生的数学应用意识。

3.情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的数学思维，使学生感受到数学在生活中的重要性。

四. 说教学重难点1.教学重点：让学生掌握分式方程在实际问题中的应用。

2.教学难点：如何引导学生将分式方程与实际问题相结合，提高学生的数学应用能力。

五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用案例教学法，让学生通过分析、讨论实际问题，掌握分式方程在实际问题中的应用。

2.教学手段：利用多媒体课件，展示实际问题，引导学生进行分析、讨论。

六. 说教学过程1.导入：以一个实际问题引入，让学生思考如何用数学知识解决这个问题。

2.新课讲解：讲解分式方程在实际问题中的应用，让学生通过案例学习，掌握解决实际问题的方法。

3.课堂练习：给出几个实际问题，让学生独立解决，巩固所学知识。

4.总结：对本节课的内容进行总结，强调分式方程在实际问题中的应用。

5.作业布置：布置一些相关的实际问题，让学生课后练习。

七. 说板书设计板书设计主要包括以下几个部分：1.分式方程在实际问题中的应用2.案例分析3.解题步骤4.课堂练习八. 说教学评价教学评价主要从学生的课堂表现、作业完成情况、课后练习三个方面进行。

军舰从B处向正西方向行驶至C处时，发现灯塔A在我军舰的北偏东60°的方向，求该军舰行驶的路程。
险区。这渔船如果继续向东追赶鱼群，有没有进入危险 将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，转化为解直角三角形的问题）；
方位角
区的可能？ (3)边角之间的关系:
某社会实践活动小组实地测量两岸互相平行的一段河的宽度，在河的南岸边点A处，测得河的北岸边点B在其北偏东45°方向，然后向
的速度沿西偏北30°方向前进，乙船以每小时15千米的速度沿东北 方向前进，甲船航行2小时到达C处，此时甲船发现渔具丢在乙船上， 于是甲船快速（匀速）沿北偏东75°的方向追赶，结果两船在B处 相遇。 （1）甲船从C处追赶上乙船用了多长时间？ （2）甲船追赶乙船的速度北是每小时多少千米？
B
D
C 75°
45°
西走60米到达C点，测得点B在点C的北偏东60°方向。 这渔船如果继续向东追赶鱼群，有没有进入危险区的可能？
C
为有效开发海洋资源，保护海洋权益，我国对南海诸岛
2解直角三角形的应用举例
北 为有效开发海洋资源，保护海洋权益，我国对南海诸岛
进行了全面调查，一测量船在A岛测得B岛2解直角三角形的应用举例 航海问题——方位角
北 M东
B
A
D
N
解直角三角形的依据
(1)三边之间的关系: (2)锐角之间的关系:
(3)边角之间的关系:
Ｂ
c a
Ａ
bＣ
仰角俯角
A
?
E 34
F
18
D
10米
B
方位角
北
C
西
O
B
东
南
利用锐角三角函数解决航海问题
如图，一艘海伦位于灯塔P的北偏东65°方向，距离灯 塔80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达 位于灯塔P的南偏东34°方向的B处。这时，B处距离 灯塔P有多远？（结果取整数）（cos25°=0.9063, sin34°=0.5291, ）

4.结合实际情境，培养学生运用方向角和坡角解决实际问题的能力。
本节课将通过以下案例进行讲解：
1.在地图上确定目标位置，求方向角；
2.计算建筑物的高度，求坡角；
3.解决户外徒步时，如何根据方向角和坡角选择最佳路线的问题。
二、核心素养目标
1.理解方向角和坡角的概念，培养学生的空间想象能力；
2.掌握方向角和坡角的计算方法，提高学生的数学运算能力；
-在坡角计算中，教师应详细解释如何从实际情境中提取必要数据，并将其转化为数学计算模型；
-针对实际问题的综合应用，教师应设计具有挑战性的案例，指导学生如何将方向角和坡角知识综合运用，解决如多路径选择、最短距离计算等问题。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《应用举例：与方向角，坡角有关的实际应用》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过需要确定方向或计算坡度的情况？”（例如：在地图上找方向，评估建筑物的高度等）这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索方向角和坡角的奥秘。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调方向角的计算方法和坡角的实际应用这两个重点。对于难点部分，如方向角的转换和坡角的计算，我会通过实际例子和图示来帮助大家理解。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与方向角或坡角相关的实际问题，如设计一条通往山顶的最佳路线。
1.教学重点
-理解方向角的概念及其在实际问题中的应用，如地图上的方向定位；
-掌握坡角的定义及其在生活中的应用，如建筑物的倾斜度；
-学会计算方向角和坡角，并能Biblioteka 用于解决实际问题，如户外徒步导航。

人教版高中数学（理）必修5（实验班）全册同步练习及答案1.1.1 正弦定理一、选择题1．在ABC ∆中，10a =，60B =，45C =，则c = ( )A ．10B ．1)C ．1)D ．2.在ABC ∆中，下列关系式中一定成立的是 （ ） A ．sin a b A > B ．sin a b A = C ．sin a b A <D ．sin a b A ≥3. 在ABC ∆中，已知60A =，a =sin sin sin a b cA B C++=++ （ ）A B D ．4. 在ABC ∆中，已知22tan tan a B b A =，则此三角形是 （ ） A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形D ．直角或等腰三角形5. 在锐角ABC ∆中，已知4AB = ，1AC = ，ABC S ∆=，则AB AC的值为（ ）A ．2-B ．2C ．4±D ．2±6. 在ABC ∆中，a ，b ，c 分别为角A ,B ,C 的对边，且4a =，5b c +=，tan tan tan B C B C += ，则ABC ∆的面积为 （ ）A ．．34二、填空题7．在ABC ∆中，若1b =，c =C ＝2π3，则a =________．8．已知a ，b ，c 分别是△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边．若a ＝1，b ＝3，A ＋C ＝2B ，则sin C ＝________．三、解答题9．根据下列条件，解ABC ∆.（1）已知4b =，8c =，30B =，解此三角形； （2）已知45B =，75C =，2b =，解此三角形.10. 在ABC ∆中，a ，b ，c 分别为内角A ,B ,C 的对边，若2a =，4C π=，cos25B =， 求ABC ∆的面积S .1.1.1正弦定理一、选择题1.B2.D3.B4.D5.B6.C 二、填空题 7．1 8. 1三、解答题9. 解：（1）由正弦定理得sin 8sin30sin 14c B C b ===由c b >知30150C << ，得90C =从而60A = ，a ==（2）由180+=A B C + 得60A =∵sin sin a b A B = ∴sin 2sin 60sin sin 45b A a B ===同理sin 2sin 751sin sin 45b C c B ===10. 解：由2cos 2cos12B B =-知43cos 2155B =⨯-=又0B π<<，得4sin 5B ==sin sin[()]sin()A B C B C π∴=-+=+sin cos cos sin 10B C B C =+= 在ABC ∆中，由sin sin a c A C =知sin 10sin 7a C c A == 111048sin 222757S ac B ∴==⨯⨯⨯=.1.1.2 余弦定理一、选择题1．在ABC ∆中，已知13,34,8===c b a ，则ABC ∆的最小角为 （ ） A ．3π B ．4π C ．4π D ．12π 2．在ABC ∆中，如果bc a c b c b a 3))((=-+++,则角A 等于 （ ）A ．030B ．060C ．0120D ．01503．在ABC ∆中，若8,3,7===c b a ，则其面积等于 （ ） A ．12 B ．221C ．28D ．36 4．在ABC ∆中，若bc a c b c b a 3))((=-+++，并有sin 2sin cos A B C =,那么ABC ∆是 （ ） A ．直角三角形 B ．等边三角形 C ．等腰三角形 D ．等腰直角三角形5.在ABC ∆中，60A = ，1b =，ABC S ∆，则sin sin sin a b cA B C++=++ （ ）A B D 6．某班设计了一个八边形的班徽(如右图)，它由腰长为1，顶角为α的四个等腰三角形及其底边构成的正方形所组成，该八边形的面积为 （ ）A ．2sin 2cos 2αα-+B ．sin 3αα+C ．3sin 1αα+D ．2sin cos 1αα-+ 二、填空题7．在ABC ∆中，三边的边长为连续自然数，且最大角是钝角，这个三角形三边的长分别为_______ .8. 在ABC ∆中，a ，b ，c 分别为角A ,B ,C 的对边，若)cos cos c A a C -=，则cos A = .三、解答题9．在△ABC 中，已知030,35,5===A c b ，求C B a 、、及面积S .10．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边．已知：b ＝2，c ＝4，cos A ＝34.(1)求边a 的值；(2)求cos(A －B )的值．1.1.2余弦定理一、选择题1.B2.B3.D4.B5.B6.A 二、填空题 7．8.三、解答题9. 解 由余弦定理，知A bc c b a cos 2222-+=2530sin 3552)35(5022=⨯⨯-+= ∴5=a 又∵b a =∴030==A B ∴00120180=--=B A C432530sin )35(521sin 210=⨯⨯==A bc S10. 解：(1)a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A＝22＋42－2×2×4×34＝8，∴a ＝2 2.(2)∵cos A ＝34，∴sin A ＝74，a sin A ＝bsin B ， 即2274＝2sin B .∴sin B ＝148.又∵b <c ，∴B 为锐角．∴cos B ＝528. ∴cos(A －B )＝cos A cos B ＋sin A sin B ＝34×528＋74×148＝11216.1.1.3 正、余弦定理的综合应用一、选择题1．在ABC ∆中，若sin :sin :sin 5:7:8A B C =，则B ∠的大小是 （ ）A ．6π B ．56π C ．3πD ．23π2．在ABC ∆中，a ，b ，c 分别为角A ,B ,C 的对边，如果c =，30B =，那么角C等于 ( ) A ．120B ．105C ．90D ．753．ABC ∆的两边长分别为2,3，其夹角的余弦值为13，则其外接圆的半径为( )A B C D ． 4．在ABC ∆中，若1413cos ,8,7===C b a ，则最大角的余弦是 （ ） A ．51- B ．61- C ．71- D ．81-5． 在ABC ∆中，A ∠满足条件cm BC cm AB A A 32,2,1cos sin 3===+，ABC ∆的面积等于 （ ）A ．3B ．CD 6．在ABC ∆中，2sin22A c b c-= (a ，b ，c 分别为角A ,B ,C 的对边)，则ABC ∆的形状为 ( )A ．正三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰三角形 二、填空题7．已知在ABC ∆中，060A =，最大边和最小边的长是方程0322732=+-x x 的两实根，那么BC 边长等于________.8．已知锐角ABC ∆的三边a ，b ，c 分别为角A ,B ,C 的对边，且222()tan b c a A +-，则角A 的大小_________.三、解答题9．在ABC ∆中，a ，b ，c 分别为角A ,B ,C 的对边，且满足(2)cos cos a c B b C -=.(1)求角B 的大小；(2)若b =4a c +=，求ABC ∆的面积．10．在ABC ∆中，a ，b ，c 分别为角A ,B ,C 的对边，已知1cos 24C =-. (1)求sin C 的值；(2)当2a =，2sin sin A C =时，求b 及c 的长．1.1.3正、余弦定理的综合应用一、选择题1.C2.A3.C4.C5.C6.B 二、填空题 7．78.60三、解答题9. 解：(1)由正弦定理得a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ， 代入(2a －c )cos B ＝b cos C ，整理，得2sin A cos B ＝sin B cos C ＋sin C cos B ， 即2sin A cos B ＝sin(B ＋C )＝sin A . 又sin A >0，∴2cos B ＝1，由B ∈(0，π)，得B ＝π3. (2)由余弦定理得 b 2＝a 2＋c 2－2ac ·cos B ＝(a ＋c )2－2ac －2ac cos B .将b ＝7，a ＋c ＝4，B ＝π3代入整理，得ac ＝3.∴△ABC 的面积为S ＝12ac sin B ＝32sin60°＝334.10. 解：(1)因为cos2C ＝1－2sin 2C ＝－14，所以sin C ＝±104， 又0<C <π，所以sin C ＝104.(2)当a ＝2,2sin A ＝sin C 时，由正弦定理a sin A ＝csin C ，得c ＝4. 由cos2C ＝2cos 2C －1＝－14，且0<C <π得cos C ＝±64. 由余弦定理c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，得b 2±6b －12＝0， 解得b ＝6或26，所以⎩⎨⎧ b ＝6，c ＝4，或⎩⎨⎧b ＝26，c ＝4.1.2应用举例（二）一、选择题1. 在某测量中，设A 在B 的南偏东3427' ，则B 在A 的 （ ） A.北偏西3427'B. 北偏东5533'C. 北偏西5533'D. 南偏西5533'2．台风中心从A 地以20 km/h 的速度向东北方向移动，离台风中心30 km 内的地区为危险区，城市B 在A 的正东40 km 处，B 城市处于危险区内的时间为（ ）A.0.5 hB.1 hC.1.5 hD.2 h3．已知D 、C 、B 三点在地面同一直线上，DC a =，从C 、D 两点测得A 的点仰角分别为α、()βαβ>，则A 点离地面的高AB 等于 （ ） A ．)sin(sin sin βαβα-a B ．)cos(sin sin βαβα-a C ．)sin(cos cos βαβα-a D ． )cos(cos cos βαβα-a4.有一长为1公里的斜坡，它的倾斜角为20°，现要将倾斜角改为10°，则坡底要伸长 （ ）A ．1公里B ．sin10°公里C ．cos10°公里D ．cos20°公里5. 如右图，在某点B 处测得建筑物AE 的顶端A 的仰角为θ，沿BE 方向前进30米至C 处测得顶端A 的仰角为2θ，再继续前进103米至D 处，测得顶端A 的仰角为4θ，则θ的值为 ( )A ．15°B ．10°C ．5°D ．20°6．一船向正北航行，看见正西方向有相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60°， 另一灯塔在船的南偏西75°西，则这只船的速度是每小时（ ）A.5海里B.53海里C.10海里D.103海里° 二、填空题7．我舰在敌岛A 南偏西50 相距12n mile 的B 处，发现敌舰正由岛沿北偏西10 的方向以10n mile /h 的速度航行，我舰要用2小时追上敌舰，则需要速度的大小为 .8．在一座20m 高的观测台顶测得地面一水塔塔顶仰角为60 ，塔底俯角为45 ，那么这座塔的高为___ ____.三、解答题°9．如图，甲船在A处，乙船在A处的南偏东45 方向，距A有9n mile并以/h的速度航行用多20n mile/h的速度沿南偏西15 方向航行，若甲船以28n mile少小时能尽快追上乙船？10.在海岸A处发现北偏东45°方向，距A处(3－1)海里的B处有一艘走私船，在A处北偏西75°方向，距A处2海里的C处的我方缉私船，奉命以103海里/小时的速度追截走私船，此时走私船正以10海里/小时的速度，从B处向北偏东30°方向逃窜．问：缉私船应沿什么方向行驶才能最快截获走私船？并求出所需时间．1.2应用举例（二）一、选择题1.A2.B3.A4.A5.A6.C 二、填空题 7．14nmile/h8. 20（1+3）m三、解答题9. 解：设用t h ，甲船能追上乙船，且在C 处相遇。

28.2.2应用举例姓名：得分：日期：一、选择题（本大题共 7 小题）1、如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东30°方向，距离灯塔80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东45°方向上的B处，这时，海轮所在的B处与灯塔P 的距离为（）A.40√2海里B.40√3海里C.80海里D.40√6海里2、如图，在斜坡EF上有一信号发射塔CD，某兴趣小组想要测量发射塔CD的高度，于是在水平地面用仪器测得塔顶D的仰角为31°，已知仪器AB高为2m，斜坡EF的坡度为i=3：4，塔底距离坡底的距离CE=10m，最后测得塔高为12m，A、B、C、D、E在同一平面内，则仪器到坡底距离AE约为（）米（结果精确到0.1，参考数据：sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.6）A.18.6B.18.7C.22.0D.24.03、如图，在一笔直的沿湖道路l上有A，B两个游船码头，观光岛屿C在码头A北偏东60°的方向，在码头B北偏西45°的方向，AC＝8 km.游客小张准备从观光岛屿C乘船沿CA回到码头A或沿CB回到码头B，设开往码头A，B的游船速度分别为v1，v2，若他回到A，B所用时间等于( )相等，则v1v2A.12B.√3 C.√2 D.√224、如图，木工师傅在板材边角处作直角时，往往使用“三弧法”，其作法是：（1）作线段AB，分别以A，B为圆心，以AB长为半径作弧，两弧的交点为C；（2）以C为圆心，仍以AB长为半径作弧交AC的延长线于点D；（3）连接BD，BC．下列说法不正确的是（）A.∠CBD=30°B.S△BDC=√34AB2C.点C是△ABD的外心D.sin2A+cos2D=15、图1是一个地铁站入口的双翼闸机．如图2，它的双翼展开时，双翼边缘的端点A与B之间的距离为10cm，双翼的边缘AC=BD=54cm，且与闸机侧立面夹角∠PCA=∠BDQ=30°．当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为（）A.(54√3+10)cmB.(54√2+10)cmC.64 cmD.54cm6、如图,一个坡角为15∘的看台横截面上有旗杆 CD ,在这横截面上进行测量得到以下数据:在点 A 和点 B 处测得旗杆顶端的仰角分别为60∘和30∘，点 A 离地面高度为1米,且测得点 A 到点 B 的距离为8√6米,则旗杆的高度为( )A.23米B.24米C.25米D.26米7、如图，地面上点A和点B方间有一堵墙MN（墙的厚度忽略不计），在墙左侧的小明想测量墙角点M到点B的距离．于是他从点A出发沿着坡度为i=1：0.75的斜坡AC走10米到点C，再沿水平方向走4米到点D，最后向上爬6米到达瞭望塔DE的顶端点E，测得点B的俯角为40°，已知AM=8米，则BM大约为（）米．（参考数据：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84）A.8.6B.10.7C.15.4D.16.7二、填空题（本大题共 6 小题）8、如图，往竖直放置的在A处山短软管连接的粗细均匀细管组成的“U形装置中注入一定量的水，水面高度为9cm，现将右边细管绕A处顺时针方向旋转60°到AB位置，则AB中水柱的长度为______cm．9、如图所示，小亮家在点O处，其所在学校的校园为矩形ABCD，东西长AD=1000米，南北长AB=600米．学校的南正门在AD的中点E处，B为学校的西北角门．小亮从家到学校可以走马路，路线O→M→E（∠M=90°）；也可以走沿河观光路，路线O→B．小亮在D处测得O位于北偏东30°，在B处测得O位于北偏东60°小亮从家到学校的两条路线中，长路线比短路线多______米．（结果保留根号）10、如图，从地面上的点A看一山坡上的电线杆PQ，测得杆顶端点P的仰角是45°，向前走6m到达B点，测得杆顶端点P和杆底端点Q的仰角分别是60°和30°．则该电线杆PQ的高度是______（结果可保留根号）11、永定塔是北京园博园的标志性建筑，其外观为辽金风格的八角九层木塔，游客可登至塔顶，俯瞰园博园全貌．如图，在A处测得∠CAD=30°，在B处测得∠CBD=45°，并测得AB=52米，那么永定塔的高CD约是______米．（√2≈1.4，√3≈1.7，结果保留整数）12、如图，已知∠MAN=30°，点B在边AM上，且AB=4√3，点P从点A出发沿射线AN方向运动，在边AN上取点C（点C在点P右侧），连结BP，BC．设PC=m，当△BPC成为等腰三角形的个数恰好有3个时，m的值为______．13、某兴趣小组借助无人飞机航拍，如图，无人飞机从A处飞行至B处需12秒，在地面C处同一方向上分别测得A处的仰角为75°，B处的仰角为30°．已知无人飞机的飞行速度为3米/秒，则这架无人飞机的飞行高度为（结果保留根号）______米．三、解答题（本大题共 6 小题）14、某地下车库出口处安装了“两段式栏杆”，如图1所示，点A是栏杆转动的支点，点E是栏杆；两段的联结点．当车辆经过时，栏杆AEF最多只能升起到如图2所示的位置，其示意图如图3所示（栏杆宽度忽略不计，EF长度远大于车辆宽度），其中AB⊥BC，EF∥BC，∠AEF=143°，AB=AE=1.2米，该地下车库出口的车辆限高标志牌设置如图4是否合理？请通过计算说明理由．（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）15、如图1，研究发现，科学使用电脑时，望向荧光屏幕画面的“视线角”α约为20°，而当手指接触键盘时，肘部形成的“手肘角”β约为100°．图2是其侧面简化示意图，其中视线AB水平，且与屏幕BC垂直．（1）若屏幕上下宽BC=20cm，科学使用电脑时，求眼睛与屏幕的最短距离AB的长；（2）若肩膀到水平地面的距离DG=100cm，上臂DE=30cm，下臂EF水平放置在键盘上，其到地面的距离FH=72cm．请判断此时β是否符合科学要求的100°？（参考数据：sin69°≈1415，cos21°≈1415，tan20°≈411，tan43°≈1415，所有结果精确到个位）16、某学生为测量一棵大树AH及其树叶部分AB的高度，将测角仪放在F处测得大树顶端A 的仰角为30°，放在G处测得大树顶端A的仰角为60°，树叶部分下端B的仰角为45°，已知点F、G与大树底部H共线，点F、G相距15米，测角仪高度为1.5米．求该树的高度AH和树叶部分的高度AB．17、夏季多雨，在山坡CD处出现了滑坡，为了测量山体滑坡的坡面长度CD，探测队在距离坡底C点120√3米处的E点用热气球进行数据监测，当热气球垂直升腾到B点时观察滑坡的终端C点，俯视角为60°，当热气球继续垂直升腾90米到达A点，此时探测到滑坡的始端D点，俯视角为45°，若滑坡的山体坡角∠DCH为30°，求山体滑坡的坡面长度CD的长．（计算保留根号）18、如图，一扇窗户垂直打开，即O M⊥OP，AC是长度不变的滑动支架，其中一端固定在窗户的点A处，另一端C在OP上滑动，将窗户OM按图示方向向内旋转37°到达ON位置，此时，点A、C的对应位置分别是点B、D．测量出∠ODB为28°，点D到点O的距离为30cm．（1）求B点到OP的距离；（2）求滑动支架的长．（结果精确到0.1）（数据：sin28°≈0.47，cos28°≈0.88，tan28°≈0.53，sin 53°≈0.8，cos53°≈0.6，tan53°≈1.33）19、如图，海上有一灯塔P，在它周围6海里内有暗礁．一艘海轮以18海里/时的速度由西向东方向航行，行至A点处测得灯塔P在它的北偏东60°的方向上，继续向东行驶20分钟后，到达B处又测得灯塔P在它的北偏东45°方向上，如果海轮不改变方向继续前进有没有暗礁的危险？。

《应用举例》学历案（第一课时）一、学习主题本节课的学习主题是“初中数学课程《应用举例》”，主要围绕初中数学知识的实际应用展开，旨在让学生通过实际问题的解决，掌握数学知识的实际应用，提高解决实际问题的能力。

二、学习目标1. 掌握初中数学知识的实际应用，能够运用所学知识解决实际问题。

2. 培养学生的数学思维，提高学生的逻辑思维能力和空间想象力。

3. 培养学生的合作意识和团队协作能力，通过小组合作完成实际问题解决。

4. 让学生体验数学学习的乐趣，增强学习数学的信心和兴趣。

三、评价任务1. 评价学生对数学知识的理解和掌握程度，能否正确运用所学知识解决实际问题。

2. 评价学生的合作意识和团队协作能力，能否在小组合作中积极参与、有效沟通。

3. 评价学生的学习态度和学习能力，是否能够认真听讲、积极思考、独立完成作业。

四、学习过程1. 导入新课：通过生活中的实例，引导学生思考数学知识的实际应用，激发学生的学习兴趣。

2. 知识讲解：教师通过讲解、演示等方式，让学生掌握本节课所需掌握的数学知识。

3. 实例分析：教师通过实际问题，引导学生分析问题的本质，找出解决问题的关键，让学生了解数学知识的实际应用。

4. 小组合作：学生分组合作，运用所学知识解决实际问题，培养学生的合作意识和团队协作能力。

5. 交流分享：小组代表向全班同学展示本组的解决方案，其他同学进行评价和补充。

6. 总结归纳：教师对本节课的知识进行总结归纳，强调数学知识的实际应用和重要性。

五、检测与作业1. 课堂检测：通过简单的练习题，检测学生对本节课所学知识的掌握程度。

2. 作业布置：布置相关的实际问题，让学生运用所学知识解决，巩固所学知识，提高学生的实际应用能力。

六、学后反思1. 学生反思：学生应反思自己在本次学习中的表现，找出自己的不足之处，制定改进措施。

2. 教师反思：教师应对本次教学进行反思，总结教学经验和不足之处，为今后的教学提供参考。

3. 教学改进：根据学生和教师的反思，对教学内容、方法、手段等方面进行改进，提高教学效果。

答卷时应注意事项１、拿到试卷，要认真仔细的先填好自己的考生信息。

２、拿到试卷不要提笔就写，先大致的浏览一遍，有多少大题，每个大题里有几个小题，有什么题型，哪些容易，哪些难，做到心里有底；３、审题，每个题目都要多读几遍，不仅要读大题，还要读小题，不放过每一个字，遇到暂时弄不懂题意的题目，手指点读，多读几遍题目，就能理解题意了；容易混乱的地方也应该多读几遍，比如从小到大，从左到右这样的题；４、每个题目做完了以后，把自己的手从试卷上完全移开，好好的看看有没有被自己的手臂挡住而遗漏的题；试卷第１页和第２页上下衔接的地方一定要注意，仔细看看有没有遗漏的小题；５、中途遇到真的解决不了的难题，注意安排好时间，先把后面会做的做完，再来重新读题，结合平时课堂上所学的知识，解答难题；一定要镇定，不能因此慌了手脚，影响下面的答题；６、卷面要清洁，字迹要清工整，非常重要；７、做完的试卷要检查，这样可以发现刚才可能留下的错误或是可以检查是否有漏题，检查的时候，用手指点读题目，不要管自己的答案，重新分析题意，所有计算题重新计算，判断题重新判断，填空题重新填空，之后把检查的结果与先前做的结果进行对比分析。

亲爱的小朋友，你们好!经过两个月的学习，你们一定有不小的收获吧，用你的自信和智慧，认真答题，相信你一定会闯关成功。

相信你是最棒的！课时练第28章锐角三角函数28.2.2应用举例一、选择题1．一小球从斜坡的顶端沿斜坡向下滚落到斜坡底端，行了100米，下落的铅直高度为50米，则该斜坡的坡度为（）A．30°B．C D．122．如图，在离地面高度6m处引拉线固定电线杆，拉线和地面成60°角，则拉线AC的长是（）A．12m B．C．D．3．如图，点A到点C的距离为100米，要测量河对岸B点到河岸AD的距离．小明在A点测得B在北偏东60°的方向上，在C点测得B在北偏东30°的方向上，则B点到河岸AD的距离为（）A．100米B．50米C．米D．4．如图，滑雪场有一坡角为20°的滑道，滑雪道的长AC为100米，则BC的长为（）米．A ．100cos20°B ．100cos20°C ．100sin 20°D ．100sin20°5．如图，为测量一幢大楼的高度，在地面上与楼底点O 相距30米的点A 处，测得楼顶B 点的仰角65OAB °Ð=，则这幢大楼的高度为（）A ．30sin 65°×米B ．30cos 65°米C ．30tan 65°×米D ．30tan 65°米6．如图，一艘轮船在小岛A 的西北方向距小岛C 处，沿正东方向航行一段时间后到达小岛A 的北偏东60°的B 处，则该船行驶的路程为（）A ．80海里B ．120海里C ．(40+海里D ．(40+海里7．如图，在平地上种植树时，要求株距（相邻两树间的水平距离）为4m ．如果在坡度为0.5的山坡上种植树，也要求株距为4m ，那么相邻两树间的坡面距离约为（）A ．4.5mB ．4.6mC ．6mD ．8m8．如图，AC 是电杆AB 的一根拉线，测得6BC =米，52ACB Ð=°，则拉线AC 的长为（）A ．6sin 52°米B ．6sin52°米C ．6cos52×°米D ．6cos52°米9．如图所示，某村准备在坡角为a 的山坡上栽树，要求相邻两棵树之间的水平距离为m （m ），那么这两棵树在坡面上的距离AB 为（）A ．m cos a （m ）B ．co m s a （m ）C ．m sin a （m ）D ．sin m a（m ）10．如图，某停车场入口的栏杆AB ，从水平位置绕点O 旋转到A B ¢¢的位置，已知AO 的长为5米．若栏杆的旋转角AOA a ¢Ð=，则栏杆A 端升高的高度为（）A ．5sin a 米B ．5cos a 米C ．5sin a 米D ．5cos a 米二、填空题11．已知斜坡坡度为3:4，如果斜坡长为100米，那么斜坡的高为________米．12．一条上山直道的坡度为1:3，沿这条直道上山，每前进100米所上升的高度为____米．13．如图，某山的斜坡AB 的长为300米，坡角∠BAC ＝37°，则该斜坡的高BC 的长为_____米（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）．14．南偏西25°：_________北偏西70°：_________南偏东60°：_________15．北京冬奥会雪上项目竞赛场地“首钢滑雪大跳台”巧妙地融入了敦煌壁画“飞天”元素．如图，赛道剖面图的一部分可抽象为线段AB ．已知坡AB 的长为30m ，坡角ABH Ð约为37°，则坡AB 的铅直高度AH 约为______m ．（参考数据：sin 370.60°»，cos370.80°»，tan 370.75°»．）三、解答题16．如图，某飞机于空中A 处探测到目标C ，此时飞行高度1200AC =m ，从飞机上看地平面指挥台B 的俯角37a =°．求飞机A 与指挥台B 的距离．【参考数据：sin 370.6°»，cos370.8°»，tan 370.75°»】．17．风筝起源于春秋战国时期，至今已有两千多年．星期日，小明（A ）与小丽（B ）两人来到广阔的草原，一前一后在水平地面AD 上放风筝，结果风筝在空中C 处纠缠在一起，如图所示，测得∠CAD =40°，∠CBD =60°，且小丽、小明之间的距离AB =20m ，求此时风筝C 处距离地面的高度．（温馨提示：sin 40°≈0.64，cos 40°≈0.76，tan 40°≈0.84，结果保留一位小数）18．如图所示，某中学九年级数学活动小组选定测量学校前面小河对岸大树BC 的高度，他们在斜坡上D 处测得大树顶端B 的仰角是30°，朝大树方向下坡走6米到达坡底A 处，在A处测得大树顶端B 的仰角是45°，若斜坡FA 的坡比1i =（结果保留整数）参考数据：取1.7）19．如图，为了测量甲楼CD 的高度，由于甲楼的底部D 不能直接到达，于是，测量人员在乙楼的顶部A 测得甲楼的顶C 的仰角是65°，底部D 的俯角是45°，已知乙楼AB 的高度是12米，求甲楼CD 的高度．（参考数据：sin650.91,cos650.42,tan65 2.14°»°»°»，结果精确到0.1米）20．始建于1375年的孟城驿是目前全国规模最大、保存最完好的古代驿站，小明为测量盂城驿中的鼓楼高度，采用如下方法：如图，首先站在鼓楼AB 正对面C 处，用测角仪测得鼓楼的最高处A 的仰角为43°，再向前走了1米到E 处，测得最高处A 的仰角为45°，已知测角仪的高度为1米．请你根据以上信息，求出鼓楼的高度AB ．（结果保留一位小数，参考数据：sin 430.68°»，cos 430.73°»，tan 430.93°»）21．避雷针是用来保护建筑物、高大树木等避免雷击的装置．如图，小陶同学要测量垂直于地面的大楼BC 顶部避雷针CD 的长度（B，C，D 三点共线），在水平地面A 点测得∠CAB=53°，∠DAB=58°，A 点与大楼底部B 点的距离AB=20m，求避雷针CD 的长度．（结果精确到0.1m．参考数据：sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.60，sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33）22．今年第6号台风“烟花”登录我国沿海地区，风力强，累计降雨量大，影响范围大，有极强的破坏力．如图，台风“烟花”中心沿东西方向AB 由A 向B 移动，已知点C 为一海港，在A 处测得C 港在北偏东45°方向上，在B 处测得C 港在北偏西60°方向上，且400AB =+千米，以台风中心为圆心，周围600千米以内为受影响区域．(1)海港C受台风影响吗？为什么？(2)若台风中心的移动速度为20千米/时，则台风影响该海港持续的时间有多长？（结果保留1.41» 1.73» 2.24»）23．如图，小松在斜坡AM坡脚A处测得山坡对面一水泥厂烟囱顶点C的仰角为67.5°，沿山坡向上走到D处再测得烟囱顶点C的仰角为53°．已知26AD=米，且A、B在同一条直线上，山坡坡度5:12i=．（1）求小松所在位置点D的铅直高度．（2）求水泥厂烟囱BC的高．（测倾器的高度忽略不计，参考数据：sin534 5°»，cos533 5°»，tan534 3°»，sin67.50.92°»，cos67.50.38°»，tan67.5 2.4°»）参考答案1．B2．C3．D4．B5．C6．D7．A8．D9．B10．C 11．6012．13．18014．射线OA射线OB射线OC15．1816．飞机A与指挥台B的距离约为2000米17．风筝C处距离地面的高度为32.6m．18．14米19．甲楼CD的高度约为37.7米20．14.321．避雷针DC的长度为5.4米22．(1)海港C受台风影响，理由见解析．(2)台风影响该海港持续的时间有45小时．23．(1)10米(2)94.5米。

应用举例第1课时 仰角、俯角与圆弧问题 [见B 本P84]1．身高相等的四名同学甲、乙、丙、丁参加放风筝比赛，四人放出风筝的线长、线与地面的夹角如下表(假设风筝线是拉直的)，则四名同学所放的风筝中最高的是( D ) 同学 甲 乙 丙 丁放出风筝线长 140 m 100 m 95 m 90 m线与地面夹角 30° 45° 45° 60°A.甲 B ．乙 C ．丙 D ．丁【解析】 设风筝的线长、风筝高分别为l ，h ，线与地面的夹角为α，所以h ＝l sin α，代入计算，比较大小．2．如图28－2－9，为测量某物体AB 的高度，在D 点测得A 点的仰角为30°，朝物体AB 方向前进20米，到达点C ，再次测得A 点的仰角为60°，则物体AB 的高度为( A )A ．103米B ．10米C ．203米 D.2033米图28－2－93．如图28－2－10，在两建筑物正中间有一旗杆，高15米，从A 点经过旗杆顶点恰好看到矮建筑物的墙角C 点，且俯角α为60°，又从A 点测得D 点的俯角β为30°，若旗杆底G 点为BC 的中点，则矮建筑物的高CD 为( A )A ．20米B ．103米C ．153米D ．56米图28－2－104．如图28－2－11，⊙O 的半径为4 cm ，PA ，PB 是⊙O 的两条切线，∠APB ＝60°，则AP ＝__43__cm__．图28－2－115．如图28－2－12，在高度是21米的小山A 处测得建筑物CD 顶部C 处的仰角为30°，底部D 处的俯角为45°，则这个建筑物的高度CD ＝__73＋21__米(结果可保留根号)．图28－2－126．如图28－2－13，为测量江两岸码头B ，D 之间的距离，从山坡上高度为50米的点A 处测得码头B 的俯角∠EAB 为15°，码头D 的俯角∠EAD 为45°，点C 在线段BD 的延长线上，AC ⊥BC ，垂足为C ，求码头B ，D 之间的距离(结果保留整数，参考数据：sin15°≈0.26，cos15°≈0.97，tan15°≈0.27)．图28－2－13解：∵AE ∥BC ，∴∠ADC ＝∠EAD ＝45°.又∵AC ⊥CD ，∴CD ＝AC ＝50.∵AE ∥BC ，∴∠ABC ＝∠EAB ＝15°.又∵tan ∠ABC ＝AC BC ，∴BC ＝AC tan ∠ABC≈185.2， ∴BD ＝BC －CD ≈185.2－50≈135(米)．答：码头B ，D 之间的距离约为135米．图28－2－147. 天封塔历史悠久，是宁波著名的文化古迹．如图28－2－14，从位于天封塔的观测点C 测得两建筑物底部A ，B 的俯角分别为45°和60°，若此观测点离地面的高度为51米，A ，B 两点在CD 的两侧，且点A ，D ，B 在同一水平直线上，求A ，B 之间的距离(结果保留根号)解：由题意得，∠ECA ＝45°，∠FCB ＝60°，∵EF ∥AB ，∴∠CAD ＝∠ECA ＝45°，∠CBD ＝∠FCB ＝60°，∵∠ADC ＝∠CDB ＝90°，在Rt △CDB 中，tan ∠CBD ＝CD BD， ∴BD ＝51tan 60°＝173米， ∵AD ＝CD ＝51米，∴AB ＝AD ＋BD ＝51＋17 3.答：A ，B 之间的距离为(51＋173)米．8．如图28－2－15，甲楼AB 的高度为123 m ，自甲楼楼顶A 处，测得乙楼顶端C 处的仰角为45°，测得乙楼底部D 处的俯角为30°，求乙楼CD 的高度(结果精确到0.1 m ，3取1.73)．图28－2－15第8题答图解：如图，过点A 作AE ⊥CD 于点E ，根据题意，∠CAE ＝45°，∠DAE ＝30°.在Rt△ADE 中，DE ＝AB ＝123，∠DAE＝30°，∴AE ＝3DE ＝123 3.在Rt △ACE 中，由∠CAE ＝45°，得CE ＝AE ＝1233，∴CD ＝CE ＋DE ＝123(3＋1)≈335.8(m)．答：乙楼CD 的高度为335.8 m.图28－2－169. 如图28－2－16，小明为了测量小山顶上的塔高，他在A 处测得塔尖D 的仰角为45°，再沿AC 方向前进73.2米到达山脚B 处，测得塔尖D 的仰角为60°，塔底E 的仰角为30°，求塔高。

第2课时与方向角、坡度有关的解直角三角形应用题01 基础题知识点1 利用方向角解直角三角形1．(石家庄校级模拟)如图，某渔船在海面上朝正东方向匀速航行，在A处观测到灯塔M在北偏东60°方向上，且AM＝100海里，那么该船继续航行多少海里可使渔船到达离灯塔距离最近的位置( )A．50 3 B．40 C．30 D．202．(新疆内高班)轮船从B处以每小时50海里的速度沿南偏东30°方向匀速航行，在B处观测灯塔A位于南偏东75°方向上，轮船航行半小时到达C处，在C处观测灯塔A位于北偏东60°方向上，则C处与灯塔A的距离是( ) A．253海里B．252海里C．50海里D．25海里3．(珠海中考)如图，一艘渔船位于小岛M的北偏东45°方向、距离小岛180海里的A处，渔船从A处沿正南方向航行一段距离后，到达位于小岛南偏东60°方向的B处．(1)求渔船从A到B的航行过程中与小岛M之间的最小距离(结果用根号表示)；(2)若渔船以20海里/小时的速度从B沿BM方向行驶，求渔船从B到达小岛M的航行时间．(结果精确到0.1小时)(参考数据：2≈1.41，3≈1.73，6≈2.45)知识点2 利用坡度解直角三角形4．(聊城中考)河堤横断面如图所示，堤高BC＝6米，迎水坡AB的坡比为1∶3，则AB的长为( )A．12米B．43米C．53米D．63米5．四个规模不同的滑梯A，B，C，D，它们的滑板长(平直的)分别为300 m，250 m，200 m，200 m；滑板与地面所成的角度分别为30°，45°，45°，60°，则关于四个滑梯的高度正确说法()A．A的最高B．B的最高C．C的最高D．D的最高6．(巴中中考)如图，一水库大坝的横断面为梯形ABCD，坝顶BC宽6米，坝高20米，斜坡AB的坡度i＝1∶2.5，斜坡CD的坡角为30°，求坝底AD的长度．(精确到0.1米，参考数据：2≈1.414，3≈1.732)02 中档题7．(南京中考)如图，轮船甲位于码头O的正西方向A处，轮船乙位于码头O的正北方向C处，测得∠CAO＝45°，轮船甲自西向东匀速行驶，同时轮船乙沿正北方向匀速行驶，它们的速度分别为45 km/h和36 km/h.经过0.1 h，轮船甲行驶至B处，轮船乙行驶至D处，测得∠DBO＝58°.此时B处距离码头O有多远？(参考数据：sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.60)8．(遵义中考)如图，一楼房AB后有一假山，其坡度为i＝1∶3，山坡坡面上E点处有一休息亭，测得假山坡脚C与楼房水平距离BC＝25米，与亭子距离CE＝20米，小丽从楼房顶测得E点的俯角为45°，求楼房AB的高．(注：坡度i是指坡面的铅直高度与水平宽度的比)03综合题9．(营口中考)如图，我国南海某海域A 处有一艘捕鱼船在作业时突遇特大风浪，船长马上向我国渔政搜救中心发出求救信号，此时一艘渔政船正巡航到捕鱼船正西方向的B 处，该渔政船收到渔政求救中心指令前去救援，但两船之间有大片暗礁，无法直线到达，于是决定马上调整方向，先向北偏东60°方向以每小时30海里的速度航行半小时到达C 处，同时捕鱼船低速航行到A 点的正北1.5海里D 处，渔政船航行到点C 处时测得点D 在南偏东53°方向上．(1)求C 、D 两点的距离；(2)渔政船决定再次调整航向前去救援，若两次航速不变，并且在点E 处相会合，求∠ECD 的正弦值．(参考数据：sin 53°≈45，cos 53°≈35，tan 53°≈43)参考答案1．A 2.D3．(1)过点M作MD⊥AB于点D，∵∠AME＝45°，∴∠AMD＝∠MAD＝45°.∵AM＝180海里，∴MD＝AM cos45°＝902(海里)．答：渔船从A到B的航行过程中与小岛M之间的最小距离是902海里．(2)在Rt△DMB中，∵∠BMF＝60°，∴∠DMB＝30°.∵MD＝902海里，∴MB＝MDcos30°＝606(海里)．∴606÷20＝36≈3×2.45＝7.35≈7.4(小时)．答：渔船从B到达小岛M的航行时间约为7.4小时．4．A 5.B6．作BE⊥AD，CF⊥AD，垂足分别为点E、F，则四边形BCFE是矩形．由题意得，BC＝EF＝6米，BE＝CF＝20米，斜坡AB的坡度i为1∶2.5，在Rt△ABE中，BE＝20米，BEAE＝12.5，∴AE＝50米．在Rt△CFD中，∠D＝30°，∴DF＝CFtan D＝203米．∴AD＝AE＋EF＋FD＝50＋6＋203≈90.6(米)．答：坝底AD的长度约为90.6米．7．设B处距离码头O为x km.在Rt △CAO 中，∠CAO ＝45°，∵tan ∠CAO ＝CO AO， ∴CO ＝AO·tan ∠CAO ＝(45×0.1＋x)·tan 45°＝4.5＋x.在Rt △DBO 中，∠DBO ＝58°，∵tan ∠DBO ＝DO BO， ∴DO ＝BO·tan ∠DBO ＝x·tan 58°.∵DC ＝DO －CO ，∴36×0.1＝x·tan 58°－(4.5＋x)．∴x ＝36×0.1＋4.5tan 58°－1≈36×0.1＋4.51.60－1＝13.5. 因此，B 处距离码头O 大约13.5 km .8．过点E 作EF⊥BC 的延长线于F ，EH ⊥AB 于点H ，在Rt △CEF 中，∵i ＝EF CF ＝13＝tan ∠ECF ，∴∠ECF ＝30°. ∴EF ＝12CE ＝10米，CF ＝103米． ∴BH ＝EF ＝10米，HE ＝BF ＝BC ＋CF ＝(25＋103)米． 在Rt △AHE 中，∵∠HAE ＝45°，∴AH ＝HE ＝(25＋103)米．∴AB ＝AH ＋HB ＝(35＋103)米．答：楼房AB 的高为(35＋103)米． 9．(1)过点C 作CG⊥AB 交AB 于点G ，过点D 作DF 垂直CG 于点F ，BC ＝30×12＝15(海里)， CG ＝BC sin 30°＝7.5海里，FG ＝AD ＝1.5海里，CF ＝7.5－1.5＝6(海里)，CD ＝6cos 53°＝10海里． (2)设t 小时后，两船在E 处会合，则ED ＝3t ，CE ＝30t. 过点E 作EH⊥CD 交CD 于点H.∵CG ∥AE ，∴∠GCD ＝∠CDE，HE ＝ED sin 53°＝12t 5，CE ＝30t.在Rt △CEH 中，sin ∠ECD ＝125t 30t ＝225.。

∴AD＝AE＋EF＋FD＝69＋6＋57.5＝132.5(m)．
1 ∵斜坡AB的坡度i＝tanα ＝ ≈0.33，∴α ≈18.43°， 3 23 BE BE ∵ ＝sinα ，∴AB＝ ＝ ≈72.7(m)． 0 . 3162 sin AB 点拨：求解坡角相关的问题，一般作高把斜坡放到直角三角形
∵AB＝80海里，∴AD＋BD＝80海里， ∴x•tan42°＋x•tan55°＝80.解得x≈34.4
答：海轮在航行过程中与灯塔C的最短距离是34.4海里．
CD CD (2)在Rt△BCD中，cos55°＝ ，∴BC＝ ≈60(海里)． BC cos 55°
答：海轮在B处时与灯塔C的距离是60海里．
解:过点A作,垂足为H, (2) 求海轮在B处时与灯塔 C的距离 (结果保留整数)． 由题意可知四边形 ABDH为矩形 ,, ,,参考数据：sin55°≈0.819，cos55°≈0.574，tan55°≈1.428，tan42°≈0.900， ( 在中,, tan35 °≈0.700，tan48°≈1.111) , (米), , , 在中, ,, (米), 答:拉线CE的长约为5.7米.
知识回顾
问题探究
课堂小结
随堂检测
探究三：怎样灵活运用解直角三角形的方法解决跟方位角、坡 重点、难点知识★ 角相关的问题？
活动1
构造单一直角三角形
例1：平放在地面上的直角三角形铁板ABC的一部分被沙堆掩埋，其示 意图如图所示．量得∠A为54°，斜边AB的长为2.1 m，BC边上露出部 分的长为0.9 m．求铁板BC边被掩埋部分CD的长．(结果精确到0.1 m， 参考数据：sin54°≈0.81，cos54°≈0.59，tan54°≈1.38) 解：由题意，得∠C＝180°－∠B－∠A

《应用举例》习题一、单选题1. 在离地面高度5米处拉线固定电线杆，拉线和地面成30°角，则拉线长为（ ）. A ．米 B ．米 C ．米 D ．10米2. 如图，A 、B 两点在河的两岸，要测量这两点之间的距离，测量者在与A 同侧的河岸边选定一点C ，测出AC =a 米，∠A =90°，∠C =40°，则AB 等于（ ）米．A ．a sin40°B ．a cos40°C ．a tan40°D ．tan 40a3.某时刻海上点P 处有一客轮，测得灯塔A 位于客轮P 的北偏东30°方向，且相距20海里．客轮以60海里/小时的速度沿北偏西60°方向航行小时到达B 处，那么tan ∠ABP ＝（ ）.A ．B ．2C ．D ． 4. 某水库大坝高20米，背水坝的坡度为1∶，则背水面的坡长为（ ）. A ．40米 B ．60米 C ．30米 D ．20米 5. （2013年四川绵阳3分）如图，在两建筑物之间有一旗杆，高15米，从A 点经过旗杆顶点恰好看到矮建筑物的墙角C 点，且俯角α为60°，又从A 点测得D 点的俯角β为30°，若旗杆底总G 为BC 的中点，则矮建筑物的高CD 为（ ）.A．20米B．米C．米D．米6.如图，一艘海轮位于灯塔P的南偏东70°方向的M处，它以每小时40海里的速度向正北方向航行，2小时后到达位于灯塔P的北偏东40°的N处，则N处与灯塔P的距离为（）.A．40海里B．60海里C．70海里D．80海里二、填空题7.如图，河堤横断面迎水坡AB的坡比是1，则坡角∠A= 度.8.如图，把两块相同的含30°角的三角尺如图放置，若cm，则三角尺的最长边长为____________．9. 如图，在水平地面上，由A点测得大树BC的顶端C的仰角为60°，A点到大树的距离AB＝1 0 m，则大树的高BC为______m．10. 如图，在小山的东侧A点处有一个热气球，由于受风向的影响，该热气球以每分钟30米的速度沿与地面成75°角的方向飞行，25分钟后到达C处，此时热气球上的人测得小山西侧B 点的俯角为30°，则A，B两点间的距离为米．11. 同学们对公园的滑梯很熟悉吧！如图是某公园新增设的一台滑梯，该滑梯高度AC=2米，滑梯AB的坡比是1∶2（即AC∶BC=1∶2），则滑梯AB的长是米．12.小兰想测量南塔的高度.她在A处仰望塔顶，测得仰角为30°，再往塔的方向前进50m至B 处，测得仰角为60°，那么塔高约为_________m.（小兰身高忽略不计，）.13.如图，河堤横断面如图所示，迎水坡AB的坡比为1∶，则坡角∠A的度数为.14.如图，在矩形ABCD中，点E在AB边上，沿CE折叠矩形ABCD，使点B落在AD边上的点F 处，若AB＝4，BC＝5，则tan∠AFE的值为_________.三、解答题15.一条船在海面上自西向东沿直线航行，在A处测得航标C在北偏东60°方向上，前进100米到达B处，又测得航标C在北偏东45°方向上．【小题1】请根据以上描述，画出图形．【小题2】已知以航标C为圆心，120米为半径的圆形区域内有浅滩，若这条船继续前进，是否有被浅滩阻碍的危险？为什么？16. 某地震救援队探测出某建筑物废墟下方点C处有生命迹象，已知废墟一侧地面上探测点A、B相距4m，探测线与地面的夹角分别是30º和60º，试确定生命所在点C的深度（结果精确到0.1参考数据）．17.如图，一艘核潜艇在海面下500米A点处测得俯角为30°正前方的海底有黑匣子信号发出，继续在同一深度直线航行3000米后再次在B点处测得俯角为60°正前方的海底有黑匣子信号发出，求海底黑匣子C点处距离海面的深度？（精确到1米）18.如图，西园中学数学兴趣小组的同学欲测量一座垂直于地面的古塔BD的高度，他们先在A处测得古塔顶端点D的仰角为，再沿着的方向后退20 m至处，测得古塔顶端点D的仰角为30°，求该古塔BD的高度（，结果保留一位小数）.19.某商场为方便顾客使用购物车，准备将滚动电梯的坡面坡度由1∶1.8改为1∶2.4（如图）．如果改动后电梯的坡面长为13米，求改动后电梯水平宽度增加部分BC的长．20.身高1.65米的兵兵在建筑物前放风筝，风筝不小心挂在了树上．在如图所示的平面图形中，矩形CDEF代表建筑物，兵兵位于建筑物前点B处，风筝挂在建筑物上方的树枝点G处（点G在FE的延长线上）．经测量，兵兵与建筑物的距离BC=5米，建筑物底部宽FC=7米，风筝所在点G与建筑物顶点D及风筝线在手中的点A在同一条直线上，点A距地面的高度AB=1.4米，风筝线与水平线夹角为37°．（1）求风筝距地面的高度GF；（2）在建筑物后面有长5米的梯子MN，梯脚M在距墙3米处固定摆放，通过计算说明：若兵兵充分利用梯子和一根米长的竹竿能否触到挂在树上的风筝？（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）《应用举例》习题答案1.知识点：锐角三角函数的定义、解直角三角形的应用答案：D2.知识点：解直角三角形的应用答案：C3.知识点：解直角三角形的应用-方向角问题答案：A4.知识点：解直角三角形的应用-坡度坡角问题答案：A解析：试题分析：∵大坝高20米，背水坝的坡度为1：，∴水平距离=20×=20米．根据勾股定理可得背水面的坡长为40米．故选A考点：解直角三角形的应用-坡度坡角问题．5. 知识点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题答案：A6.知识点：解直角三角形的应用-方向角问题答案：D解析：分析：依题意，知MN＝40海里/小时×2小时＝80海里，∵根据方向角的意义和平行的性质，∠M＝70°，∠N＝40°，∴根据三角形内角和定理得∠MPN＝70°。

实用文档《应用举例》同步训练题一、解答题1、一个人在建筑物的正西A 点，测得建筑物顶的仰角是α，这个人再从A 点向南走到B 点，再测得建筑物顶的仰角是β，设A ，B 间的距离是a ．2、飞机的航线和山顶在同一个铅垂平面内，已知飞机的高度为海拔20250m ，速度为1000km/h ，飞行员先看到山顶的俯角为1830'，经过150s 后又看到山顶的俯角为81，求山顶的海拔高度（精确到1m ）．1830'81αABDCβah3、一架飞以326km/h的速度，沿北偏东75的航向从城市A出发向城市B飞行，18min以后，飞机由于天气原因按命令改飞另一个城市C，问收到命令时飞机应该沿什么航向飞行，此时离城市C的距离是多少？4、A，B两地相距2558m，从A，B两处发出的两束探照灯光照射在上方一架飞机的机身上（如图），飞机离72.376.5实用文档实用文档5、为测量某塔的高度，在A ，B 两点进行测量的数据如图所示，求塔的高度．6、一架飞机从A 地飞到B 到，两地相距700km ．飞行员为了避开某一区域的雷雨云层，从机场起飞后，就沿与原来的飞行方向成21角的方向飞行，飞行到中途，再沿与原来的飞行方向成35夹角的方向继续飞行直到终点．这样飞机的飞行路程比原来路程700km 远了多少？700k21BC35实用文档7、一架飞机在海拔8000m 的高度飞行，在空中测出前下方海岛两侧海岸俯角分别是2739和，计算这个海岛的宽度．8、如图，已知一艘船从30 n mile/h 的速度往北偏东10的A 岛行驶，计划到达A 岛后停留10 min 后继续驶往B 岛，B 岛在A 岛的北偏西60的方向上．船到达Ｃ处时是上午10时整，此时测得B 岛在北偏西30的方向，经过20 min 到达Ｄ处，测得B 岛在北偏西45的方向，如果一切正常的话，此船何时能到达B 岛？304560 BCA20 minPQ实用文档9、轮船A 和轮船B 在中午12时离开海港C ，两艘轮船的航行方向之间的夹角为120，轮船A 的航行速度是25 n mile/h ，轮船B 的航行速度是15 n mile/h ，下午2时两船之间的距离是多少？10、(6739)第4题. 如图，货轮在海上以35n mile / h 的速度沿着方位角（从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角）为148的方向航行．为了确定船位，在B 点观察灯塔A 的方位角是126，航行半小时后到达Ｃ点，观察灯塔A 的方位角是78．求货轮到达Ｃ点时与灯塔A 的距离（精确到１ nmile ）．11、测山上石油钻井的井架BC 的高，从山脚A 测得65.3AC =m ，塔顶B 的仰角α是2525'． 已知山坡的倾斜角是1738'，求井架的高C78 AＡβαＣ实用文档BC ．12、如图，在山脚A 测得出山顶P 的仰角为a ，沿倾斜角为β的斜坡向上走a 米到B ，在B 处测得山顶P 的仰角为γ，求证：山高()()sin sin sin -a a h a γβγ-=．Ａ ＱαβaBγＣＰ13、如图，一艘船以32.2n mile/h的速度向正北航行．在Ａ处看灯塔Ｓ在船的北偏东20的方向，30 min后航行到Ｂ处，在Ｂ处看灯塔在船的北偏东65的方向，已知距离此灯塔6.5n mile以外的海区为航行安全区域，这艘船可以继续沿正北方向航行吗？20以下是答案实用文档实用文档一、解答题1．答案：设建筑物的同度是h ，建筑物的底部是C ， 则tan tan h h AC BC αβ==，． ABC △是直角三角形，BC 是斜边， 所以222tan tan b h a αβ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，222211tan tan a h βα⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-⎢⎥⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦， 222222tan tan tan tan a h αβαβ=-2222222sin sin sin cos cos sin a αβαβαβ=- ()()222sin sin sin sin a αβαβαβ=--． 所以，h =实用文档2、飞行在150秒内飞行的距离是150100010003600d =⨯⨯m ， 根据正弦定理，()sin18.5sin 8118.5d x=-，这里x 是飞机看到山顶的俯角为81时飞机与山顶的距离．飞机与山顶的海拔的差是：()sin18.5tan81tan8114721.64sin 8118.5d x =≈-(m)，山顶的海拔是2025014721.645528-≈m ．3、AE =3261897.860⨯=km ， 在ACD △中，根据余弦定理：AC=101.235=根据正弦定理：sin sin AD ACACD ADC=∠∠， sin 57sin 66sin 0.5144101.235AD ADC ACD AC ∠∠==≈，30.96ACD ∠≈，13330.96102.04ACB ∠≈-=．在ABC △中，根据余弦定理：AB ==245.93≈，实用文档222cos 2AB AC BC BAC AB AC +-∠=222245.93101.2352042245.93101.235+-=⨯⨯0.5847≈，54.21BAC ∠=．在ACE △中，根据余弦定理：CE=90.75≈，222cos 2AE EC AC AEC AE EC +-∠=．22297.890.75101.2350.4254297.890.75+-≈≈⨯⨯，64.82AEC ∠=，()180180757564.8210.18AEC -∠--=-=．所以，飞机应该以南偏西10.18的方向飞行，飞行距离约90.75km ．CDBAE实用文档4、飞机离A 处控照灯的距离是4801.53m ，飞机离B 处探照灯的距离是4704.21m ，飞机的高度是约4574.23m ．5、在21.418.6 2.8ABT ATB ∠=-=△中，，9018.6ABT ∠=+，15AB =（m ）． 根据正弦定理，sin 2.8cos18.6AB AT =，15cos18.6sin 2.8AT ⨯=． 塔的高度为15cos18.6tan 21.4tan 21.4114.05sin 2.8AT =≈（m ）．6、在ABC △中，700AB =km ，1802135124ACB ∠=--=， 根据正弦定理，700sin124sin 35sin 21AC BC ==， 700sin 35sin124AC =， 700sin 21sin124BC =， 700sin 35700sin 21786.89sin124sin124AC BC +=+≈（km ）， 所以路程比原来远了约86.89km ．7、约5821.71m ．8、在BCD △中，301040,BCD ∠=+=实用文档1801804510125BDC ADB ∠=-∠=--=，130103CD =⨯=（n mile ）， 根据正弦定理，sin sin CD BD CBD BCD =∠∠，()10sin 40sin 18040125BD =∠--， 10sin 40sin15BD ⨯=． 在ABD △中，451055ADB ∠=+=，1806010110BAD ∠=--=，1801105515ABD ∠=--=．根据正弦定理，sin sin sin AD BD AB ABD BAD ADB==∠∠∠， 就是 sin15sin110sin 55AD BD AB ==， sin1510sin 40 6.84sin 70sin110BD AD ==≈（n mile ）． sin 5510sin 40sin 5521.65sin110sin15sin 70BD AB ==≈(n mile)． 如果这一切正常，此船从Ｃ开始到Ｂ所需要的时间为：6.8421.65206010306086.983030AD AB +++⨯+≈+⨯≈（min ） 即约１小时26分59秒．所以此船约在11时27分到达Ｂ岛．实用文档9、70 n mile ．10、在ABC △中，BC ＝350.517.5⨯=n mile ，14812612ABC ∠=-=， ()78180148110ACB ∠=+-=，1801101258BAC ∠=--=， 根据正弦定理，sin sin AC BC ABC BAC=∠∠， sin 17.5sin12 4.29sin sin 58BC ABC AC BAC ∠==≈∠（nmile ）． 货轮到达Ｃ点时与灯塔的距离是约4.29n mile ．11、在ABC △中，65.3AC =m ，=25251738747BAC αβ'''∠=--=，90=9017387222ABC β''∠=--=，根据正弦定理，sin sin AC BC ABC BAC=∠∠ ()sin 65.3sin 7479.3m sin sin 7222AC BAC BC ABC '∠==≈'∠ 井架的高约为9.3m ．12、在ABP △中，180+ABP γβ∠=-，实用文档 ()()()180- 180-180+ =-BPA ABPαβαβγβγα∠=--∠=---．在ABP △中，根据正弦定理，()()()()sin sin sin -sin 180+αsin -sin -AP AB ABP APBAP AP αγαγβγβγα=∠∠=-⨯= 所以山高为()()sin sin -sin sin -h AP ααγβαγα==． 13、答案：在ABS △中，32.20.516.1AB =⨯=n mile ，115ABS ∠=， 根据正弦定理，()sin sin 6520AS AB ABS =∠-， ()sin sin 16.1sin1152sin 6520AB BAS AB ABS ⨯==⨯∠=⨯⨯-， S 到直线AB 的距离是sin 2016.1sin1152sin 207.06d AS =⨯=⨯⨯⨯≈（cm ）． 所以这艘船可以继续沿正北方向航行．。

《应用举例（1）》基础训练知识点1一般的实际问题1.[2017湖南益阳中考]如图，电线杆CD 的高度为h ，两根拉线AC 与BC 相互垂直，∠CAB =a ，则拉线BC 的长度为(A ，D ，B 在同一条直线上)( )A.sin h a B. cos h a C. tan haD.h ·cosa 2.如图，A ，B 两地之间有一座山，汽车原来从A 地到B 地需经C 地沿折线ACB 行驶，现开通隧道后，汽车直接沿直线AB 行驶即可到达B 地.已知AC =120km ，∠A =30°，∠B =135°，求隧道开通后汽车从A 地到B 地需行驶多少千米.知识点2与圆相关的问题3.山东聊城“水城之眼”摩天轮是亚洲三大摩天轮之一，也是全球首座建筑与摩天轮相结合的城市地标.如图，点O 是摩天轮的圆心，长为110m 的AB 是其垂直地面的直径，小莹在地面C 点处利用测角仪测得摩天轮的最高点A 的仰角为33°，测得圆心0的仰角为21°，则小莹所在点C 到直径AB 所在直线的距离约为(tan 33°≈0.65，tan 21°≈0.38)( )A.169mB.204mC.240mD.407m4.某新农村乐园设置了一个秋千场所，如图所示，秋千拉绳0B的长为3m，静止时，踏板到地面距离BD的长为0.6m(踏板厚度忽略不计).为安全起见，乐园管理处规定:儿童的“安全高度”为hm，成人的“安全高度”为2m.(计算结果精确到0.1m)(1)当摆绳OA与0B成45°夹角时，恰为儿童的安全高度，则h=____；(2)某成人在玩秋千时，摆绳0C与OB的最大夹角为55°，问此人是否安全？(参考数据: 2≈1.41，sin55°≈0.82，cos55°≈0.57，tan55°≈1.43)知识点3仰角、俯角问题5.[2018海南定安期末]如图，为测量一棵与地面垂直的树OA的高度，在距离树的底端25米的B处，测得树顶A的仰角∠ABO为a，则树0A的高度为( )A.25tan a米 B.25sina米 C.25tana米 D.25cosa米6.[浙江宁波中考]如图，某高速公路建设中需要测量某条江的宽度AB，飞机上的测量人员在C处测得A，B两点的俯角分别为45°和30°.若飞机离地面的高度CH为1200米，且点H，A，B在同一水平直线上，则这条江的宽度AB为_____米(结果保留根号)7.如图，大楼AB右侧有一障碍物，在障碍物的旁边有一幢小楼DE，在小楼的顶端D处测得障碍物边缘点C的俯角为30°，测得大楼顶端A的仰角为45°(点B，C，E在同一水平直线上)，已知AB=80m，DE=10m，求障碍物B，C两点间的距离.(结果精确到0.1m，参考数据2≈1.414，3≈1.732)参考答案1.B【解析】根据同角的余角相等，得∠CAD=∠BCD，由cos∠BCD=CDBC，知BC=CDcos∠BCD=hcos a.故选B.2.【解析】过点C作CD⊥AB交AB的延长线于点D，在Rt△ACD中，∵AC=120km，∠A=30°，∴CD=ACsin30°=60km，AD=ACcos30°=603km，∵∠ABC=135°，∴∠CBD=45°，∴BD=CD=60km，AB=AD－BD=(603－60)km.故隧道开通后汽车从A地到B地需行驶(603－60)千米.3.B【解析】如图，过点C作CD⊥AB，交AB的延长线于点D，在Rt△ACD中，AD=CD·tan∠ACD=CD·tan33°，在Rt△DCO中，OD=CD·tan∠DCO=CD·tan21°，∵AB=110m，∴AO=55m，∴AO=AD－OD=CD·tan33°－CD·tan21°=55，∴CD=tan3351 5－tan2︒︒≈0.65550.38-≈204(m).故小莹所在点C到直径从所在直线的距离约为204m.故选B.归纳总结：在解决实际问题时，关键是要将实际问题转化为数学问题，要将某些实际问题中的数量关系归结为直角三角形中的元素(边、角)之间的关系，这样就能很好地运用解直角三角形的方法求解.4.【解析】(1)1.5如图，在Rt△OAE中，OA=OB=3m，∠AOE=A5°，OE=OA×cos45°=3×232(m)，∴BE=0B－OE=3－322=6322-(m)，∴DE=BE＋BD=6322-＋0.6≈1.5(m)，即h=1.5.(2)如图，过点C作CF⊥OB于点F，在Rt△COF中，0C=OB=3m，∠COF=55°，∴OF=OC×cos55°≈3×0.57=1.71(m)，BF=OB－OF=3－1.71=1.29(m)，DF=BF＋BD=1.29＋0.6≈1.9(m)，∵1.9m＜2m，∴此人安全.5.C【解析】在Rt△ABO中，∵BO=25米，∠ABO=a，AO=BOtana=25tana米.故选C.6.(12003－1200)【解析】在Rt△ACH中，CH=l200米，∠CAH=∠ACD=45°，∴AH=CH=1200米.在Rt△BCH中，CH=1200米，∠CBH=∠BCD=30°，∴BH=CHtan30︒=3= 12003(米)，∴AB=BH－AH=(12003－1200)米.7.【解析】如图，过点D作DF⊥AB于点F，则四边形FBED是矩形.∴FD=BE，BF=DE=10m，FD∥BE.∵∠FDC=30°，FD∥BE，∴∠DCE=∠FDC=30°.在Rt△DEC中，∠DEC=90°，DE=10m，∠DCE=30°，∴CE=DEtan30︒=103=103(m).在Rt△AFD中，∠AFD=90°，∠ADF=∠FAD=45°，∴FD=AF. ∵AB=80m，BF=10m，∴FD=AF=AB－BF=80－10=70(m).∴BC=BE－CE=FD－CE=70－103≈5207(m).因此，障碍物两点间的距离约为52.7m.《应用举例（1）》提升训练1.[2018江西临川一中课时作业]如图，在两建筑物之间有一旗杆，高15米，从A点经过旗杆顶点恰好看到矮建筑物的墙角C点，且俯角α为60°，又从A点测得D点的俯角β为30°，若旗杆底端G为BC的中点，则矮建筑物的高CD为( )A.20米B.103米C.153米D.56米2.[2017辽宁抚顺中考]如图，某城市的电视塔AB坐落在湖边，数学老师带领学生隔湖测量电视塔AB的高度，在点M处测得塔尖点A的仰角∠AMB为22.5°，沿射线MB方向前进200米到达湖边点N处，测得塔尖点A在湖中的倒影点A’的俯角∠A’NB为45°，则电视塔AB的高度为____米.(结果保留根号)3.[2018山东济南育英中学课时作业]在一个阳光明媚的周末，小明和小强一起到郊外放风筝.他们把风筝放飞后，把两个风筝的引线一端都固定在地面上的C处(如图).现已知风筝A的引线(线段AC)长20m，风筝B的引线(线段BC)长24m，在C处测得风筝A的仰角为60°，风筝B的仰角为45°.(1)试通过计算，比较风筝A与风筝B谁离地面更高；(2)求风筝A与风筝B的水平距离.(结果精确到0.01m，2≈1.4143≈1.732)4.[2018江苏盐城市一中课时作业]一批武警官兵奉命营救小山两侧A，B两地的被困人员，为了圆满完成空降任务，需知道小山高度及两地的距离.已知当飞机飞至高空C处时，发现飞机与山顶P及村庄B在同一条直线上，且点A，B，C，P在同一平面内，并测得A，B两地的俯角分别为75°和30°，飞机离A地的距离AC=1400米，又知在A处测得山顶P的仰角为45°，求A，B两地的距离及小山的高.(结果保留根号)参考答案1.A【解析】由题意知GE∥AB∥CD，BC=2GC，GE=15米，∴AB=2GE=30米，∴AF=BC=AB·tan∠BAC=30×tan30°=103(米).在Rt△AFD中，DF=AF·tan30°=103×33=10(米)，∴CD=CF－DF=AB－DF=30－10=20(米).故选A.2.1002【解析】连接AN，易证△ABN≌△A’BN，∴A’N=AN，∠ANB=∠A’NB=45°. ∵∠AMB=22.5°，∴∠MAN=22.5°，∴AN=MN=200米，∴AB=AN·sin∠ANB=200×sin45°=200×22=1002(米).3.【解析】(1)如图，分别过点A，B作地面的垂线，垂足分别为D，E.在Rt△ADC中，∵AC=20m，∠ACD=60°，∴AD=20×sin60°=103≈17.32(m).在Rt△BEC中，∵BC=24m，∠BCE=45°，∴BE=24×sin45°=122≈16.97(m).∵17.32＞16.97，∴风筝A离地面更高.(2)在Rt△ADC中，∵AC=20m，∠ACD=60°，∴DC=20×cos60°=10(m).在Rt△BEC中，∵BC=24m，∠BCE=45°，∴EC=BE≈16.97m，∴ED=EC－DC≈6.97m，即风筝A与风筝B的水平距离约为6.97m.4.【分析】首先过点A作AE⊥BC于点E，过点P作PH⊥AB于点H，根据题意得，∠DCA=75°，∠DCB=30°，DC∥AB，然后由三角函数的知识，求得AE与EC的值，进而求得AB的值与小山的高.【解析】如图，过点A作AE⊥BC于点E，过点P作PH⊥AB于点H，根据题意得，∠DCA=75°，∠DCB=30°，DC∥AB，∴∠B=∠DCB=30°，∠BCA=∠DCA－∠DCB=45°，∴AE=EC=AC·sin∠ECA=1400×22(米)，∴AB=AEsin B=7002122米).∴BE=AB·cosB2×326米),∴BC=BE＋EC62) (米)，∵∠B=∠B，∠BAP=∠BCA=45°，∴△ABP∽△CBA，∴AB PHBC AE=，∴1400270067002+=7002，∴PH=(7006－7002)米.∴A，B两地的距离为14002米，小山的高为(7006－7002)米.。

九年级数学上册《应用举例》同步练习一．选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1．如图，铁道口栏杆的短臂长为1.2 m，长臂长为8 m，当短臂端点下降0.6 m时，(杆的粗细忽略不计)长臂端点升高( )A．3 m B．4 mC．5m D．6 m2. 如图，利用标杆BE测量建筑物的高度．已知标杆BE高1.2 m，测得AB＝1.6 m，BC＝12.4 m，则建筑物CD的高是( )A．9.3 m B．10.5 mC．12.4 m D．14 m3. 《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，成书于约一千五百年前，其中有首歌谣：今有竿不知其长，量得影长一丈五尺，立一标杆，长一尺五寸，影长五寸，问竿长几何？意即：如图，有一根竹竿不知道有多长，量出它在太阳下的影子长为一丈五尺，同时立一根一尺五寸的小标杆，它的影长五寸(提示：1丈＝10尺，1尺＝10寸)，则竹竿的长为( )A．五丈B．四丈五尺C．一丈D．五尺4．学校门口的栏杆如图，将栏杆从水平位置BD绕点O旋转到AC的位置．已知AB⊥BD，CD⊥BD，A．0.2 m B．0.3 mC．0.4 m D．0.5 m5．如图，路灯距地面8米，身高1.6米的小明从距离灯的底部(点O)20米的点A处，沿OA所在的直线行走14米到点B时，人影的长度( )A．增大1.5米B．减小1.5米C．增大3.5米D．减小3.5米6. 如图，小明在地面上放置一个平面镜E来测量铁塔AB的高度，镜子与铁塔的距离EB＝20米，镜子与小明的距离ED＝2米时，小明刚好从镜子中看到铁塔顶端A.已知小明的眼睛距地面的高度CD ＝1.6米，(根据光的反射原理，∠1＝∠2)则铁塔AB的高度是( )．A．16米B．18米C．12米D．15米7．在同一时刻两根木竿在太阳光下的影子如图所示，其中木竿AB＝2 m，它的影子BC＝1.6 m，木竿PQ的影子有一部分落在了墙上，PM＝1.2 m，MN＝0.8 m，则木竿PQ的长度为( )A．2.3 m B．2.5 mC．2.4 m D．2.1 m8. 如图，小明在A时测得某树的影长为2 m，B时又测得该树的影长为8 m．若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为( )A．3 m B．5 m9. 如图，某校数学兴趣小组利用自制的直角三角形硬纸板DEF来测量操场旗杆AB的高度，他们通过调整测量位置，使斜边DF与地面保持平行，并使边DE与旗杆顶点A在同一直线上，已知DE＝0.5米，EF＝0.25米，目测点D到地面的距离DG＝1.5米，到旗杆的水平距离DC＝20米，旗杆的高度是( )A．11.6米B．11.8米C．11.2米D．11.5米10. 如图，丁轩同学在晚上由路灯AC走向路灯BD，当他走到点P时，发现身后他影子的顶部刚好接触到路灯AC的底部，当他向前再步行20 m到达Q点时，发现身前他影子的顶部刚好接触到路灯BD的底部，已知丁轩同学的身高是1.5 m，两个路灯的高度都是9 m，则两路灯之间的距离是( ) A．30 m B．50 mC．40 m D．20 m二．填空题（共8小题，3*8=24）11小强身高1.7 m，测得他站立在阳光下的影子长为0.85 m，紧接着他把手臂竖直举起，此时影子长为1.1 m，那么小强举起的手臂超过头顶_________.12. 如图是测量河宽的示意图，AE与BC相交于点D，∠B＝∠C＝90°，测得BD＝120 m，DC＝60 m，EC＝50 m，求得河宽AB＝__________m.13. 九章算术》是中国传统数学最重要的著作，在“勾股”章中有这样一个问题：“今有邑方二百步，各中开门，出东门十五步有木，问：出南门几步而见木？”用今天的话说，大意是：如图，DEFG是一座边长为200步(“步”是古代的长度单位)的正方形小城，东门H位于GD的中点，南门K位于ED的中点，出东门15步的A处有一树木，求出南门多少步恰好看到位于A处的树木(即点D在直线AC上)？请你计算KC的长为_______步．14. 如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上．已知纸板的两条边DF＝50 cm，EF＝30 cm，测得边DF离地面的高度AC＝1.5 m，CD＝20 m，则树高AB为__________.15. 某同学想利用相似三角形的有关知识来求一座铁塔的高度．某一时刻，他先测量出铁塔落在地面上的影长为14 m，然后在同一时刻立一根高2 m的标杆，测得标杆影长为0.5 m，那么铁塔的高度为_______m.16. 路边有一根电线杆AB和一块正方形广告牌，有一天，小明突然发现在太阳光照射下，电线杆顶端A的影子刚好落在正方形广告牌的上边中点G处，而正方形广告牌的影子刚好落在地面上的E点处(如图)，已知BC＝5 m，正方形广告牌的边长为2 m，DE＝4 m，则此时电线杆的高度是_____m.17．如图，身高为1.7 m的小明AB站在河的一岸，利用树的倒影去测量河对岸一棵树CD的高度，CD在水中的倒影为C′D，A，E，C′在一条线上，已知河BD的宽度为12 m，BE＝3 m，则树CD的高为__________.18．阳光通过窗口照射到室内，在地面上留下2.7 m宽的亮区(如图所示)，已知亮区到窗口下的墙脚距离EC＝8.7 m，窗口高AB＝1.8 m，则窗口底边离地面的高BC＝_______m.三．解答题（共7小题，46分）19．(6分)某一时刻，身髙1.6 m的小明在阳光下的影长是0.4 m，同一时刻同一地点测得某旗杆的影长是5 m，则该旗杆的高度是多少？20．(6分)如图，某班上体育课，当甲、乙两名同学分别站在C，D的位置时，乙的影子恰好在甲的影子里边，已知甲身高1.8米，乙身高1.5米，甲的影长是6米，求甲、乙两名同学相距多少米．21．(6分)高明为了测量一大楼的高度，如图，在地面上放一平面镜，镜子与楼的距离AE＝27 m，当他与镜子的距离是2.1 m时，刚好能从镜子中看到楼顶B，已知他的眼睛到地面的高度CD为1.6 m，结果他很快计算出大楼的高度AB，你知道是为什么吗？试加以说明．22．(6分) 如图，矩形ABCD为台球桌面．AD＝260 cm，AB＝130 cm.球目前在点E的位置，AE ＝60 cm.如果小丁瞄准BC边上的点F将球打过去，经过反弹，球刚好弹到点D的位置．(1)求证：△BEF∽△CDF.(2)求CF的长．23．(6分) 如图，一油桶高AE为1 m，桶内有油，一根木棒AB的长为1.2 m，从桶盖的小口(A)处斜插入桶内，一端插到桶底，另一端与小口(A)齐平，抽出木棒，量得棒上未浸油部分AC的长为0.48 m．求桶内油面的高度DE.24.(8分)如图，某测量工作人员眼睛A与标杆顶端F、电视塔顶端E在同一直线上，已知此人眼睛距地面1.6米，标杆高为3.2米，且BC＝1米，CD＝5米，求电视塔的高ED.25．(8分) 周末，小凯和同学带着皮尺，去测量杨大爷家露台遮阳篷的宽度．如图，由于无法直接测量，小凯便在楼前地面上选择了一条直线EF，通过在直线EF上选点观测，发现当他位于N点时，他的视线从M点通过露台D点正好落在遮阳篷A点处；当他位于N′点时，视线从M′点通过D点正好落在遮阳篷B点处，这样观测到的两个点A，B间的距离即为遮阳篷的宽．已知AB∥CD∥EF，点C在AG上，AG，DE，MN，M′N′均垂直于EF，MN＝M′N′，露台的宽CD＝GE.实际测得，GE ＝5米，EN＝15.5米，NN′＝6.2米．请根据以上信息，求出遮阳篷的宽AB是多少米？参考答案：1-5 BBBCD 6-10 AACDA11．0.5 m12. 10013. 2000314．16.5 m15. 5616. 517. 5.1m18. 419. 解：设该旗杆的高度为x m.根据题意，得1.6∶0.4＝x ∶5，解得x ＝20.即该旗杆的高度是20 m.20. 解：设甲、乙两名同学相距x 米．∵△ADE ∽△ACB ，∴DE BC ＝AD AC， 即1.51.8＝6－x 6，解得x ＝1. 答：甲、乙两名同学相距1米．21. 解：∵反射角等于入射角，∴∠BEA ＝∠DEC.又∵AB ⊥AC ，DC ⊥AC ，∴∠BAE ＝∠DCE ＝90°，∴△ABE ∽△CDE ，∴AE EC ＝AB CD， 即272.1＝AB 1.6，解得AB ＝1447. 答：楼高AB 为1447m. 22. 证明：(1)∵∠DFC ＝∠EFB ，∠EBF ＝∠FCD ＝90°， ∴△BEF ∽△CDF.(2)由(1)知，△BEF ∽△CDF.∴BE CD ＝BF CF ，即130－60130＝260－CF CF，即CF 的长是169 cm.23. 解：∵CD ∥BE ，∴△ACD ∽△ABE ，∴AC AB ＝AD AE ，即AC AB ＝AE －DE AE ， ∴0.481.2＝1－DE 1，解得DE ＝0.6. 答：桶内油面的高度DE 为0.6 m.24. 解：如图，作AG ⊥ED 交CF 于点H ，交DE 于点G ，则△AFH ∽△AEG ，AH AG ＝FH EG， FH ＝3.2－1.6＝1.6，AH ＝BC ＝1，AG ＝6，从而1.6EG ＝16，得EG ＝9.6， ED ＝9.6＋1.6＝11.2(米)，即电视塔的高ED 为11.2米25. 解：延长MM′交DE 于H ，则HM ＝EN ＝15.5米， CD ＝GE ＝5米，MM′＝NN′＝6.2米，∵CD ∥HM ，∴∠ADC ＝∠DMH ，∴Rt △ACD ∽Rt △DHM ，∴AD DM ＝CD HM ＝515.5， ∵AB ∥MM′，∴△ABD ∽△MM′D ，∴AB MM′＝AD DM ，∴AB MM′＝CD HM ，即AB 6.2＝515.5，解得AB ＝2米， 答：遮阳篷的宽AB 是2米。