No 5-3 冯怡蓝 修正投影同步

统一混沌系统的修正投影同步冯怡蓝王锦成（漳州师范学院数学与信息科学系，漳州，363000）摘要本文研究两个统一混沌系统之间的修正投影同步。

应用李雅普诺夫稳定性理论，在系统参数已知和未知时，分别采用非线性反馈控制和自适应控制方法设计相应的控制器实现驱动系统与响应系统各状态的修正投影同步，并且参数未知时可以辨识出驱动系统的未知参数。

数值仿真结果进一步验证本文控制方法的有效性。

关键词统一混沌系统；修正投影同步；非线性反馈控制；自适应控制; 参数辨识引言混沌同步因其在生命科学、信号处理、保密通信等领域的巨大应用前景[1]，成为人们长期研究的热点课题。

自从1990年Pecora和Carroll首次提出并实现了不同初始条件下两个同结构混沌系统的同步[2]以来，该方向的研究工作进展非常迅速，且取得了一系列可喜的研究成果。

常见的混沌同步类型有：完全同步、相同步、反同步、广义同步、延迟同步、投影同步等[2-7]。

相应的理论研究方法也有很多，如：驱动-响应同步法、主动控制、线性或非线性反馈控制、脉冲控制、自适应控制等[1,8]。

投影同步是指混沌系统在进行同步时，耦合的驱动与响应系统状态的输出相位是锁定的，且各对应状态的振幅按某一比例因子关系演化。

文献[9]提出了在广义Lorenz系统中同时存在完全同步与反同步的现象。

受其启发，本文研究混沌系统各状态变量可同时实现多种投影同步的情况，即修正投影同步[10，11]。

它是将投影同步中的比例因子换成一常量对角矩阵来考虑混沌同步。

这样，通过选取不同矩阵，驱动与响应系统各对应状态就能同时实现多种投影同步。

这种性质使得该方法可以十分灵活地实现混沌系统的同步，也大大提高了同步的复杂程度，因而，它在保密通信中有重要的应用价值。

基于上述讨论，本文以著名的统一混沌系统为研究对象，考虑参数已知和未知时系统的修正投影同步。

其中，参数已知时，本文采用非线性反馈控制方法，根据Lyapunov 稳定性理论，设计了只含一个同步控制增益的控制器，并计算出该增益的稳定范围,具有较强的实用性；参数未知时，则使用自适应控制方法，由Lyapunov 稳定性理论，设计出不含未知参数的控制函数与参数更新律，并能辨识出驱动系统的未知参数。

对于实际所需的同步，只要更改上述控制规律中相应的比例因子即可。

本文修正投影同步的结果包含了完全同步、反同步以及完全同步和反同步共存[9]等类型。

因此，这种方法对实现同步具有很好的灵活性与普适性。

最后，通过数值仿真进一步验证了该方法是有效、可行的。

1. 问题描述与系统模型考虑如下驱动—响应系统：),(x t f x= (1) ),,(),(y x t u y t g y+= (2) 其中n R y x ∈,分别为驱动系统和响应系统的n 维状态向量，n n R R g f →：,是连续且可导的非线性函数，),,,(),,(21n u u u y x t u =是控制函数。

定义误差y x t e α-=)(，这里n n n R diag ⨯∈=),,,(21αααα 为比例因子，且i α),,1(n i =是非零常数。

我们的目标是设计控制器u 使得系统（1）和（2）从不同初始值出发的轨线满足 lim lim 0t t e x y α→∞→∞=-=,即两个系统各对应状态在任意比例因子n ααα,,,21 下渐近达到同步,这时就称系统（1）、（2）获得修正投影同步。

统一混沌系统的数学模型如下[5]：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=-+--=-+=32132311212138)129()3528())(1025(x x x x x x x x x x x x θθθθ (3)其中T x x x ),,(321是系统的状态向量，[]10，∈θ。

特别地，当18.00===θθθ，，时，该系统分别对应Lorenz 系统，Lu系统，Chen 系统 。

取2.0=θ和9.0=θ时，系统的混沌吸引子分别如图所示。

(a) 2.0=θ,初值为3)0(,2)0(,1)0(321=-==x x x (b) 9.0=θ,初值为3)0(,9)0(,10)0(321==-=x x x图 1 2.0=θ和9.0=θ时系统(3)的混沌吸引子Fig.1 The chaotic attractor of system (3) when the system parameter 2.0=θ and9.0=θ以系统(3)为驱动系统,下面从参数θ已知和未知两种情况讨论系统的同步。

2. 使用非线性反馈控制实现参数θ已知时系统的同步考虑如下与式（3）同结构的响应系统⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++-=+-+--=+-+=33213223112112138)129()3528())(1025(u y y y y u y y y y y u y y y θθθθ (4) 其中,T y y y ),,(321是响应系统状态向量，T u u u u ),,(321=是控制器。

记状态误差为,),,(),,(333222111321T T y x y x y x e e e e ααα---==这里)3,2,1(0=≠i i α。

由系统（3）与系统（4）可得误差系统⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧--+++-++-=--+--+-+-+--=--++-+=3321213211221213332231312112313131221331221122122111)1()(38)1()1)(3528()()129()3528())1()(1025(u x x e x e x e e e e u x x x e x e e e e x e u x e e e αααααααθααααααθαααθαθαααααααθ (5) 由于系统(3)是混沌的,其状态轨迹(1,2,3)i x i =有界,不妨设N M 32≤≤x x ，。

选取 Lyapunov 函数。

这里0,)1001103(21)(232221>++=ββe e e t V 它沿误差系统(5)对t 的导数为3122133321213213212322323223131211231321222322211221121331221213321213211221213332231312112313131221331221122122111332211100))1(30(10013008))1()1)(3528(3030(103)129(103))1)(1025(())3528(103)1025(()1025())1()(38(1001))1()1)(3528()()129()3528((103)))1()(1025((1001103e e x u x x e e e e u x x x e x e e u x e e e x e u x x e x e x e e e e u x x x e x e e e e x e u x e e e e e e e e e V ααααααααααααθααααααθαααααθαααθβαθααβθααθβαααααααθααααααθαααθαθαααααααθββ+--+-++---+--+-+-+--++--++++-=--+++-++-+--+--+-+-+--+--++-+=++=取控制函数如下：⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧-+-=+-+--+-=-+=))1(30(1))1()1)(3528(3030(1)1)(1025(121213213212322332313121123132122232222111x x e e u ke x x x e x u x u ααααααααααααααθααααααααθα (6) 则2221123233212213131238(2510)(291)((2510)103003(2835))10100V e k e e x e e x e e αθβθθθβαααθαααα+=-++---+++--+222123312121321312T12312338(2510)(291)103003((2510)(2835))10100(,,)(,,)e k e e Ne e M e e e e e P e e e θβθθαααθβθααααα+≤-+--+-+++-++=- 其中⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫+-+----+=30080100210)129(103211002121)1025(213213θαααθαααθβM k sM s P ,)3528(103)1025(31221αθααβθααNs +-++=。

(7) β和k 满足条件：P 的顺序主子式0,0,0321>∆>∆>∆时，矩阵P 正定，即：12008)10041)1025(3008)(129(103041)129)(1025(1030)1025(2222133221>+--+++-=∆>-+-+=∆>+=∆s M k s k θαααβθθθθθβθβ (8)于是可取：⎩⎨⎧⎭⎬⎫+++->+++=22222133608,)1025(65max 129,)1025)(8()4100(75s s k M θθβθθθαααβ (9)此时P 正定，从而V是负定的。

故误差系统（5）在原点渐近稳定，即对于任意初始条件，均有0)(lim =∞→t e t 。

于是，通过非线性控制器(6),可使系统(3)、(4)实现修正投影同步。

3. 使用自适应控制实现参数θ未知时系统的同步考虑受控的响应系统为：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧++-=+-+--=+-+=3321322311211213ˆ8)1ˆ29()ˆ3528())(10ˆ25(u y y y y u y y y y y u y y y θθθθ (10) 其中T y y y ),,(321是响应系统状态向量，θˆ是θ的估计，T u u u u ),,(321=是控制器。

记状态误差为,),,(),,(333222111321T T y x y x y x e e e e ααα---==这里)3,2,1(0=≠i i α。

记参数误差为θθθˆ~-=。

由系统（3）与系统（10）可得误差系统 ⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧--+++-++--=--+--+-+-+--++-=--++-++-=332121321122121333322313121123131312213312212112212211121)1()(3ˆ83~)1()1)(ˆ3528()()1ˆ29()ˆ3528()2935(~))1()(10ˆ25()(~25u x x e x e x e e e x e u x x x e x e e e e x x x e u x e e x x e αααααααθθααααααθαααθαθααθαααααθθ (11) 构造正定Lyapunov 函数2232221~21)(21),~,(θθ+++=e e e t e V则它沿误差系统(11)对t 的导数为112233111211221121222322212131311313121322313ˆ()ˆ(25()(2510)((1)))((3529)ˆˆˆ(2835)(291)()(2835)(1)(1))(3V e e e e e e e x x e e x u e x x x e e e e x e x x x u e θθααθθαθαααααθθθααααααθααα=+++-=-++-++--+-++--+-+-+--+--+- 333122112123123312ˆ8()3ˆ(1))()x e e e x e x e x x u αθααααθθαα+-+-+++--+-23121112211121322222322222131132223123113222333122112312ˆˆˆˆ10(25((2510)(2835))(2510)(1))8ˆˆ(29(2835)(1)(1))3ˆ((13x e e e x u e e e x e x x x u e e e e e x e αααθθθθαααααααααθθααααααααααθααααα=-+-+++--++----+++--+----+-+++3123331232111223))ˆ(25()(3529))3x x u e x x x e x x e e ααααθθ--+-+-+--取控制函数和参数更新律如下：⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧-+-+-=-++-+-=-+--+-+=-++--+++-=3322111221213122132132123223333131211231321222322222123312211113)2935()(25ˆ))1(3ˆ(1))1()1)(ˆ3528(ˆ29(1))1)(10ˆ25())ˆ3528()10ˆ25((ˆ25(1e x e x x e x x x x e x e e e u x x x e x e u x e x e u θαααααααααααθααααααθαααααθαααθαθααθααθα (12) 则22212381003T V e e e e Ke =---=-≤ ， 其中81013K diag =（，，）是正定的。