混沌修正函数投影同步(方洁著)思维导图

七年级数学下册思维导图(超全)第一章：实数1. 实数的概念2. 实数的分类有理数整数正整数、负整数、零分数正分数、负分数无理数3. 实数的运算加法减法乘法除法乘方开方第二章：代数式1. 代数式的概念2. 代数式的分类单项式多项式3. 代数式的运算减法乘法除法乘方第三章：方程与不等式1. 方程的概念2. 一元一次方程求解方法3. 不等式的概念4. 一元一次不等式求解方法第四章：函数1. 函数的概念2. 函数的表示方法解析式法图象法3. 一次函数定义图象性质4. 二次函数定义图象第五章：几何图形1. 点、线、面2. 线段3. 角锐角、直角、钝角、平角、周角4. 三角形定义分类性质5. 四边形定义分类性质6. 圆定义性质第六章：概率与统计1. 概率的概念2. 概率的计算方法3. 统计的概念4. 数据的收集与整理5. 数据的表示方法表格法6. 数据的分析方法七年级数学下册思维导图(超全)第一章：实数1. 实数的概念实数是包括有理数和无理数在内的所有数的集合。

2. 实数的分类有理数整数正整数、负整数、零分数正分数、负分数无理数不能表示为两个整数比例的数，如根号2、π等。

3. 实数的运算加法将两个实数相加得到一个新的实数。

减法将一个实数减去另一个实数得到一个新的实数。

乘法将两个实数相乘得到一个新的实数。

除法将一个实数除以另一个非零实数得到一个新的实数。

乘方将一个实数乘以自身多次得到一个新的实数。

开方求一个实数的平方根或立方根等。

第二章：代数式1. 代数式的概念代数式是由数、字母和运算符号组成的表达式。

2. 代数式的分类单项式只有一个项的代数式。

多项式由多个项组成的代数式。

3. 代数式的运算加法将两个代数式相加得到一个新的代数式。

减法将一个代数式减去另一个代数式得到一个新的代数式。

乘法将两个代数式相乘得到一个新的代数式。

除法将一个代数式除以另一个非零代数式得到一个新的代数式。

乘方将一个代数式乘以自身多次得到一个新的代数式。

初中物理：所有章节思维导图！全面系统，考前必看！我是一只初中物理老师。

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我是柴森，我在西城，我爱大北京！柴森：此文来自网络，非原创。

思维导图，知识点一目了然。

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初中阶段所学的物理知识，可以分成五个部分：声、光、电、力、热。

声学部分：1章1、声现象光学部分：2章1、光现象2、透镜及其应用电学部分：7章1、电流和电路2、电压和电阻3、欧姆定律（电流与电压、电阻的关系）说明：所谓纯电阻电路就是将电能转化为内能的电路。

比如电阻、电灯。

而非纯电阻电路还会把电能转化为其他形式的能。

比如电风扇、电动机会把电能转化成大部分的机械能和一小部分的内能（电器发热）此时，电流和电压、电阻的关系就不适用欧姆定律。

4、电能与电功率5、电热与安全用电6、电与磁的关系7、信息的传递力学部分：7章1、质量和密度2、运动和力的关系说明：物理学中所谓运动状态是指物体运动速度，包含速度大小和速度方向。

只要有一个改变了，就算运动状态改变。

比如做匀速圆周运动（速度大小不变，而方向时刻改变）的物体，即他的运动状态是改变的，因此可以判断它受到的力肯定不是平衡力。

3、常见的力：重力、弹力、摩擦力4、简单机械：杠杆和滑轮说明：平衡的杠杆既满足合力为0，也满足杠杆平衡条件。

5、压强6、浮力浮力产生的原因：流体对物体的各个方向压力的合力7、功功率机械能热学部分：3章1、物态变化2、热和能3、能源与可持续发展tips：1、各位同学可以选择自己即将考试的内容查看哦。

比如中考复习的同学可以参考最新的中考说明把相关知识点结合此思维导图看。

2、看的过程中要尝试回忆公式和定律，如果想不起来，就要查看书和笔记，争取记住。

3、祝大家中考、期末取得好成绩！—————————————————我是一个网课小老师，我相信：只要懂题型方法，每个孩子都能大幅提高。

第40卷第1期2021年1月大连工业大学学报J o u r n a l o fD a l i a nP o l y t e c h n i cU n i v e r s i t yV o l .40N o .1J a n .2021收稿日期:2020-10-30.基金项目:国家自然科学基金项目(61775198);河南省科技攻关项目(202102210317,192102210083);河南省高等学校重点科研项目(20A 413012).作者简介:方洁(1981-),女,教授;通信作者:邓玮(1973-),女,教授,E -m a i l :d e n gw e i 1973@126.c o m.D O I :10.19670/j .c n k i .d l g yd x x b .2021.0111新超混沌及其复混沌系统设计与电路实现方 洁, 姜明浩, 李宗翰, 刘 娜, 邓 玮(郑州轻工业大学电气信息工程学院,河南郑州 450002)摘要:构造了一个新的四维超混沌系统,该系统含有6个参数,每个微分方程均含有非线性乘积项㊂基于M a t l a b 仿真软件分析了该超混沌系统的动力学行为,数值仿真结果表明该系统随参数的变化可产生周期轨道㊁拟周期轨道㊁混沌吸引子等丰富的动力学行为㊂进一步将超混沌系统从实数域扩展到复数域,得到了一个新的复混沌系统,该复混沌系统具有2个正的李雅普诺夫指数,混沌动力学行为丰富㊂运用M u l t i s i m 仿真软件搭建了所设计的超混沌系统及其对应的复混沌系统的仿真电路,仿真结果验证了新混沌系统的物理可实现性㊂关键词:超混沌系统;复混沌系统;仿真电路中图分类号:O 415.5;T P 391.9文献标志码:A文章编号:1674-1404(2021)01-0057-10D e s i g n a n d c i r c u i t i m p l e m e n t a t i o n o f n e wh y p e r c h a o s a n d c o m p l e x c h a o s s ys t e m F A N G J i e , J I A N G M i n g h a o , L I Z o n gh a n , L I U N a , D E N G W e i (S c h o o l o f E l e c t r i c a l a n d I n f o r m a t i o nE n g i n e e r i n g ,Z h e n g z h o uU n i v e r s i t y o f L i g h t I n d u s t r y ,Z h e n gz h o u 450002,C h i n a )A b s t r a c t :An e wf o u r -d i m e n s i o n a l h y p e r c h a o t i c s ys t e mi s c o n s t r u c t e d .I t c o n t a i n s s i x p a r a m e t e r s ,a n d e a c hd i f f e r e n t i a l e q u a t i o n c o n t a i n s a n o n l i n e a r pr o d u c t t e r m.B a s e d o n t h eM a t l a b s i m u l a t i o n s o f t w a r e ,t h e d y n a m i cb e h a v i o ro f t h eh y p e r c h a o t i cs y s t e mi sa n a l yz e df r o mt h en u m e r i c a l s i m u l a t i o nr e s u l t s s h o w e d t h a t t h e s y s t e mc a n p r o d u c e p e r i o d i c o r b i t s ,Q u a s i -p e r i o d i c o r b i t s ,c h a o t i c a t t r a c t o r s a n d o t h e r r i c h d y n a m i c b e h a v i o r s w i t h c h a n g e s o f p a r a m e t e r s .F u r t h e r m o r e ,t h e h y p e r c h a o t i c s ys t e m i s e x t e n d e d f r o mt h er e a ln u m b e rd o m a i nt ot h ec o m p l e xn u m b e rd o m a i n ,a n dan e wc o m p l e xc h a o t i c s y s t e mi s o b t a i n e d .T h e c o m p l e x c h a o t i c s y s t e mh a s t w o p o s i t i v eL y a p u n o v e x p o n e n t s a n d r i c h c h a o t i c d y n a m i c s .T h e s i m u l a t i o n c i r c u i t s o f t h e d e s i g n e dh y p e r c h a o t i c s y s t e ma n d i t s c o r r e s p o n d i n g c o m pl e x c h a o t i c s y s t e ma r e b u i l t u s i n g M u l t i s i ms o f t w a r e .T h e s i m u l a t i o n r e s u l t s v e r i f y t h e p h y s i c a l f e a s i b i l i t y o f t h en e wc h a o t i c s ys t e m.K e y wo r d s :h y p e r c h a o t i c s y s t e m ;c o m p l e x c h a o t i c s y s t e m ;s i m u l a t i o n c i r c u i t 0 引 言混沌是非线性动力学系统中存在一种特有的不可预测的㊁类似随机性的运动形式㊂超混沌系统具有两个或两个以上正的李雅普诺夫指数,具有复杂的动力学行为,超混沌系统构建和实现是混沌研究的一个重要方向,对深入理解混沌信号产生的本质以及工程实践具有重要理论价值和现实意义[1]㊂在已有文献中,对混沌系统构建研究大多是在实数域上完成的㊂F a n g等[2]基于超混沌系统特征,构建了新的四维超混沌系统,分析了动力学特性并搭建了仿真电路㊂Z h a n g等[3]提出了具有蝴蝶效应的超混沌系统,通过数值模拟和电路实现的方法,研究了系统的基本动力学性质㊂R a j a g o p a l等[4]构建了一个由四维超混沌系统改进而成的新型磁控四维混沌系统,并采用自适应滑模控制方法实现了系统的同步㊂S h i k h a等[5]构建了具有双涡旋吸引子的四维连续自治超混沌系统,通过理论分析和数值仿真研究系统基本动力学性质㊂S i n g h等[6]构造了3个具有二次平衡面的四维超混沌系统,该系统表现出3种超混沌态和5种混沌态㊂C h e n等[7]提出了一个新的四维超混沌系统,该系统同时满足高复杂度㊁强鲁棒性和均匀分布带宽等重要性质㊂Y a n g等[8]通过将一个特定的三维混沌系统线性扩充为六维系统,研究了如何用隐藏吸引子来创建一个特定的超混沌系统的方法㊂M a等[9]基于忆阻电容器构建了一个简单混沌电路,并在数字信号处理器平台上实现了该电路㊂马旭炯等[10]构造了一个四维离散超混沌系统,结合重复量化算法分析了其动力学特性㊂复混沌系统中存在复变量,复变量经过虚实部分离后具有双倍的变量数,产生的混沌信号具有更加不可预测性和随机性,使得复混沌系统在保密通信领域有着巨大的应用潜力㊂目前关于复混沌系统研究已经取得了一系列进展㊂党红刚等[11]研究了一个三维混沌复系统的基本性质,实现了系统的自适应混沌同步和参数辨识㊂张芳芳等[12]研究了时滞复L o r e n z系统的动态特性及时滞因数的影响,并基于非线性反馈控制方法实现了复L o r e n z系统的自时滞混沌同步㊂L i u等[13]以超混沌复系统为载体,研究了该系统的动力学行为,通过将脉冲注入控制参数中来增强该混沌系统的随机性,并将其应用于彩色图像加密中㊂S u n等[14]构建了一个新的复混沌系统,分析了其动力学行为,实现了3个复混沌系统的组合函数投影同步㊂H u a n g等[15]在采样数据控制的基础上,通过将复混沌系统分解为2个实系统,研究了时滞复混沌L u r e系统的主从同步问题㊂L i u 等[16]基于自适应控制技术,实现了具有已知或未知复变量的复混沌系统的组合函数投影同步㊂M a h m o u d等[17]通过设计自适应复滞后同步控制器,构建了一组具有未知参数的复混沌系统,实现了两个系统的滞后同步㊂Z h a o等[18]采用主动控制方案,研究了复数域上激光混沌系统的复杂自同步㊂在实数域与复数域混沌系统研究的基础上,基于产生超混沌系统需要满足的2个必要条件构建了一个新的四维超混沌系统㊂对该系统进行了理论推导和数值模拟,研究了该系统的基本动力学特性,并分析了参数改变时系统的动力学行为的变化,从多方面验证了该系统的混沌行为㊂并以该超混沌系统为基础,将系统变量从实数域扩展到复数域,得到了一个新的复混沌系统㊂该复混沌系统具有2个正的李雅普诺夫指数,能够产生丰富的动力学行为㊂运用M u l t i s i m软件对所设计的超混沌系统及其对应的复混沌系统进行电路仿真,电路仿真结果和数值分析结果吻合,表明了所设计新混沌系统的物理可实现性㊂1超混沌系统分析构建超混沌系统必须满足2个必要条件:一是对于自治系统而言,至少是四维的;二是至少有2个正的李雅普诺夫指数且所有李雅普诺夫指数之和小于零㊂基于2个必要条件,构造四维超混沌系统如式(1)㊂x=a(y-x)+y zy=d x-c y-x z+e wz=-b z+x yw=r w-y zìîíïïïï(1)式中:a,b,c,d,r,e为实常数㊂当参数a=27,b= 1.5,c=5,d=43,r=0.5,e=3.5时,系统存在一典型的超混沌吸引子,如图1所示㊂2新超混沌系统的基本动力学特性2.1耗散性和吸引子的存在性通过式(1)所构造四维超混沌系统的梯度(能量函数)为ÑV=∂x∂x+∂y∂y+∂z∂z+∂w∂w=-a-c-b+r(2)要想确保该系统是耗散的,必须满足-a-c-b+r<0㊂当a=27,b=1.5,c=5,d=43,r= 0.5,e=3.5时,ÑV=∂x∂x+∂y∂y+∂z∂z+∂w∂w=-a-c-b+r=-46.5<0,满足耗散性条件,即当tңɕ时,系统的轨迹最终以指数速率渐近地收缩到一个特定的零体积的极限集中,并最终被固定在一个吸引子上㊂85大连工业大学学报第40卷(a )x -y-z 三维相图(b )y-z -w 三维相图(c )x -y 平面相图(d )x -z 平面相图(e )y-z 平面相图(f )z -w 平面相图图1 超混沌系统的混沌吸引子F i g .1 C h a o t i c a t t r a c t o r s o f h y p e r c h a o t i c s ys t e m 2.2 平衡点及稳定性令所构造系统的右边等于零,即a (y -x )+y z =0d x -c y -x z +e w =0-b z +x y =0r w -yz =0ìîíïïïï(3)求解式(3),可得系统3个平衡点:S 0=(0,0,0,0);S 1=(-52.5569,-5.9903,209.883,-2514.6);S 2=(52.5569,5.9903,209.883,2514.6)㊂在所构造系统的平衡点处,对系统进行线性化得其J a c o b i a n 矩阵为-a (a +z )y0(d -z )-c -xe y x -b 00-z-y r éëêêêêêùûúúúúúS 0处计算可得4个特征根λ1=-51.805,λ2=19.805,λ3=1.5,λ4=0.5㊂λ1为负且λ2㊁λ3㊁λ4为正,S 0为不稳定的鞍点㊂S 1处计算可得4个特征根λ1=-13.455+206.92j ,λ2=-13.455-206.92j ,λ3=-6.339,λ4=0.248㊂λ3为负数,λ4为正数,λ1λ2为实部为负的共轭复数,S 1为不稳定的鞍焦点㊂S 2处计算可得4个特征根λ1=-13.429+206.919j ,λ2=-13.429-206.919j ,λ3=-6.288,λ4=3.147㊂λ3为负数,λ4为正数,λ1㊁λ2为实部为负的共轭复数,S 2为不稳定的鞍焦点㊂2.3 新混沌系统李雅普诺夫指数及李雅普诺夫维数采用雅阁比矩阵方法计算系统的李雅普诺夫指数,得到L E 1=0.458349,L E 2=0.1812509,L E 3=0,L E 4=-33.611039,即该系统有2个正的李雅普诺夫指数,因此是超混沌的㊂新混沌系统李雅普诺夫指数如图2所示㊂图2 新混沌系统李雅普诺夫指数图F i g .2 L y a p u n o v e x p o n e n t s s p e c t r u mo f n e wc h a o t i c s ys t e m 混沌系统的一个典型特征就是其李雅普诺夫维数为分数维㊂以σi 表示按照从大到小排序第i 个李雅普诺夫指数,S K =ðKi =0σi ,令K 为满足ðK i =0σiȡ0且ðK +1i =0σi<0的最大整数㊂则系统的李雅普诺夫维数D L =K +S KσK +1=3.019新系统的李雅普诺夫维数为分数维,进一步说明新系统是混沌的㊂95第1期方洁等:新超混沌及其复混沌系统设计与电路实现2.4参数变化对系统的影响参数的改变,系统的稳定性会发生变化,使系统处于不同的状态㊂可用李雅普诺夫指数谱及分岔图对照分析系统状态变化㊂固定参数b=1.5,c=5,d=43,r=0.5,e=3.5改变a,aɪ(15,40)㊂系统的李雅普诺夫指数谱(第4条李雅普诺夫指数曲线省略)及分岔图如图3所示㊂当aɪ(15,17.5)时系统处于超混沌㊁混沌㊁拟周期㊁周期交替出现状态;当aɪ(17.5,21)时系统处于混沌状态;当aɪ(21,22)系统处于拟周期状态;当aɪ(22,24.2)系统处于周期状态;当aɪ(24.2,26.6)时,系统处于超混沌㊁混沌㊁拟周期㊁周期交替出现状态;当aɪ(26.6,30)系统处于超混沌状态;当aɪ(30,33.3)时系统处于周期状态;当aɪ(33.3,34.3)系统处于拟周期状态;当aɪ(34.3,40)系统处于混沌状态㊂(a)李雅普诺夫指数谱(b)状态变量x分叉图图3aɪ(15,40)时新超混沌系统的李雅普诺夫指数谱和分岔图F i g.3L y a p u n o v e x p o n e n t s s p e c t r u ma n db i f u r c a t i o nd i a g r a m o f ne w h y p e r c h a o t i c s y s t e m w h e naɪ(15,40)固定参数a=27,c=5,d=43,r=0.5,e= 3.5改变b,bɪ(0,25)㊂系统的李雅普诺夫指数谱及分岔图如图4所示㊂当bɪ(0,1)时,系统处于混沌㊁周期㊁拟周期交替出现状态㊂当bɪ(1, 4.4)时,系统处于超混沌状态;当bɪ(4.4,5.25)系统处于周期状态;当bɪ(5.25,7.05)时系统处于混沌状态;当bɪ(7.05,8.78)时,系统处于周期状态;当bɪ(8.78,12.6)时,系统处于混沌状态;当bɪ(12.6,18.85)时,系统处于拟周期状态;当bɪ(18.85,25)时,系统处于周期状态㊂(a)李雅普诺夫指数谱(b)状态变量x分叉图图4bɪ(0,25)时新超混沌系统的李雅普诺夫指数谱和分岔图F i g.4L y a p u n o ve x p o n e n t ss p e c t r u m a n db i f u r c a t i o nd i a g r a m o f ne w h y p e r c h a o t i c s y s t e m w h e nbɪ(0,25)固定参数a=27,b=1.5,d=43,r=0.5,e= 3.5改变c,cɪ(25,55)㊂系统的李雅普诺夫指数谱及分岔图如图5所示㊂当cɪ(0,14)时,系统处于超混沌㊁混沌交替出现状态;当cɪ(14,30)时系统处于周期状态㊂固定参数a=27,b=1.5,c=5,r=0.5,e= 3.5改变d,dɪ(25,55)㊂系统的李雅普诺夫指数谱及分岔图分别如图6所示㊂当dɪ(25,26.9)时,系统处于拟周期状态;当dɪ(26.9,29)时,系统处于混沌状态;当dɪ(29,30.6)时,系统处于周期㊁混沌交替出现状态;当dɪ(30.6,44)时,系统处于超混沌状态;当dɪ(44,48.6)时,系统处于周期状态;当dɪ(48.6,51.5)时,系统处于混沌状态;当dɪ(51.5,55)时,系统处于周期状态㊂固定参数a=27,b=1.5,c=5,d=43,e=3.5改变参数r,rɪ(-20,3.5)㊂超混沌系统的李雅普诺夫指数谱及分岔图如图7所示㊂当rɪ(-20,-17.2)时,系统处于周期状态;当rɪ(-17.2,-7.4)时系统处于混沌状态;当rɪ(-7.4,-1.5)时系统处于周期状态;当rɪ(-1.5,1.6)时系统处于超混沌状态;当rɪ(1.6,3.5)时系统处于混沌状态㊂06大连工业大学学报第40卷(a)李雅普诺夫指数谱(b)状态变量x分叉图图5cɪ(25,55)时新超混沌系统的李雅普诺夫指数谱和分岔图F i g.5L y a p u n o ve x p o n e n t ss p e c t r u m a n db i f u r c a t i o nd i a g r a m o f ne w h y p e r c h a o t i c s y s t e m w h e ncɪ(25,55)(a)李雅普诺夫指数谱(b)状态变量x分叉图图6dɪ(25,55)时新超混沌系统的李雅普诺夫指数谱和分岔图F i g.6L y a p u n o ve x p o n e n t ss p e c t r u m a n db i f u r c a t i o nd i a g r a m o f ne w h y p e r c h a o t i c s y s t e m w h e ndɪ(25,55)2.5P o i n c a ré截面图图8展示了新超混沌系统在不同截面上的P o i n c a ré映像㊂截面上的截点形成连续的线状或片状的稠密点集,进一步验证了该系统的混沌特性㊂(a)李雅普诺夫指数谱(b)状态变量x分叉图图7rɪ(-20,3.5)时新超混沌系统的李雅普诺夫指数谱和分岔图F i g.7L y a p u n o ve x p o n e n t ss p e c t r u m a n db i f u r c a t i o nd i a g r a m o f ne w h y p e r c h a o t i c s y s t e m w h e nrɪ(-20,3.5)3新超混沌系统电路实现超混沌系统的状态变量实际上是处于一个很大的动力学变化范围,在构建实际混沌电路时,这个范围超出了所使用的运算放大器所能提供的电压范围㊂由于变量替换并不会改变系统状态和特性,因此可进行适当的变化,令x1=x/50,y1= y/50,z1=z/50,w1=w/50㊂由此原系统可转化为x1=a(y1-x1)+50y1z1y1=d x1-c y1-50x1z1+e w1z1=-b z1+50x1y1w1=r w1-50y1z1ìîíïïïïï(4)转化后的系统式(4)的电路方程为U3=R3C1R4(1R1(U7-U3)+1R2U7U10)U7=R13C2R14(-1R7U3U10-1R10U7+1R11U3+1R12U13)U10=R19C3R20(-1R17U10+1R18U3U7)U13=R25C4R26(-1R23U7U10+1R24U13(5)16第1期方洁等:新超混沌及其复混沌系统设计与电路实现(a)x=0(二维)(b)y=0(c)z=(d)x=0(三维)(e)z=32(f)w=0图8新超混沌系统的P o i n c a ré截面图F i g.8 P o i n c a rés e c t i o no f n e wh y p e r c h a o t i c s y s t e m式中:U3=x,U7=y,U10=z,U13=w,R3R1=a=27,R3R2=50,R13R7=50,R13R10=c=5,R13R11=d=43,R13R12=e=3.5,R19R17=b=1.5,R19R18=50,R25R23=50,R25R24=r=0.5㊂超混沌系统的电路设计如图9所示㊂将示波器的A㊁B㊁C㊁D4个端口分别连接超混沌电路的输出节点U3㊁U7㊁U10㊁U13之后进行电路仿真,得到超混沌系统电路的相图实验结果如图10所示㊂将图10中M u l t i s i m电路仿真结果与图1中M a t l a b仿真结果进行对比,可见仿真结果一致,证明了该系统的物理可实现性㊂图9新超混沌系统电路图F i g.9 C i r c u i t d i a g r a mo f n e wh y p e r c h a o t i c s y s t e m26大连工业大学学报第40卷图9 (续)F i g.9 (C o n t i n u a t i o n)(a )x -y平面相图(b )x -z平面相图(c )y-z平面相图(d )z -w 平面相图图10 混沌相图电路仿真结果F i g.10 C i r c u i t s i m u l a t i o n r e s u l t s o f c h a o t i c p h a s e d i a gr a m 4 复混沌系统4.1 复混沌系统设计在超混沌系统式(1)中,令x =x 1+j x 2,y =x 3+j x 4,z =x 5+j x 6,w =x 7,其中j =-1,并将复变量的实部和虚部进行分离得到方程(6): x 1=a (x 3-x 1)+x 3x 5x 2=a (x 4-x 2)+x 4x 6 x 3=d x 1-c x 3+e x 7-x 1x 5 x 4=d x 2-c x 4+e x 7-x 2x 6x 5=-b x 5+x 1x 3 x 6=-b x 6+x 2x 4 x 7=r x 7-x 3x 5ìîíïïïïïïïïïï(6)当参数取a =15,b =1.5,c =5,d =43,r =0.5,e =3.5时,复混沌系统处于超混沌状态,其相图如图11所示㊂4.2 复混沌系统的电路实现基于M u l t i s i m 构建复混沌系统仿真电路如图12所示㊂仿真结果如图13所示㊂对比图13与图11可见仿真结果一致,该复混沌系统在物理层面是可以实现的㊂4.3 李雅普诺夫指数及李雅普诺夫维数复混沌系统式(6)的李雅普诺夫指数计算可得L E 1=3.945771,L E 2=0.001854,L E 3=0,L E 4=-1.289807,L E 5=-4.019445,L E 6=-9.318841,L E 7=-19.702222,该系统有两个正的李雅普诺夫指数,因此是超混沌的,复混沌系统的李雅普诺夫指数图如图14所示㊂计算复混沌系统李雅普诺夫维数为4.6612,为分数维,进一步说明该复系统是混沌的㊂5 结 论构造了一个新的有5个可变参数的四维超混沌系统㊂随着参数改变,系统可以出现混沌吸引子㊁超混沌吸引子㊁周期㊁拟周期等丰富的动力学行为㊂将新超混沌系统的状态变量从实数域扩展到复数域,得到一个新的复混沌系统㊂用M u l t i s i m 设计实现了新超混沌系统及复混沌系统的仿真电路㊂电路仿真结果与数值分析结果一致,验证了新该系统的存在性和物理可实现性,为混沌系统在信息传递㊁超导㊁保密通信等领域的应用奠定了基础㊂36第1期方洁等:新超混沌及其复混沌系统设计与电路实现(a)x3-x5-x6三维相图(b)x2-x4-x7三维相图(c)x4-x5-x6三维相图(d)x2-x3-x4三维相图(e)x1-x3平面相图(f)x2-x3平面相图(g)x3-x4平面相图(h)x2-x7平面相图图11复混沌系统混沌吸引子F i g.11 C h a o t i c a t t r a c t o r s o f c o m p l e x c h a o t i c s y s t em图12复混沌系统电路图F i g.12 C i r c u i t d i a g r a mo f c o m p l e x c h a o t i c s y s t e m46大连工业大学学报第40卷图12(续) F i g.12(C o n t i n u a t i o n)56第1期方洁等:新超混沌及其复混沌系统设计与电路实现(a)x1-x3平面相图(b)x2-x3平面相图(c)x3-x4平面相图(d)x2-x7平面相图图13复混沌相图电路仿真结果F i g.13 C i r c u i t s i m u l a t i o n r e s u l t s o f c o m p l e x c h a o t i cp h a s e d i a g r am图14复混沌系统的李雅普诺夫指数图F i g.14 L y a p u n o v e x p o n e n t s s p e c t r u mo f c o m p l e xc h a o t i c s y s t e m参考文献:[1]牟俊,杨飞飞,罗春凤,等.基于一维L o g i s t i c离散系统控制的最简L o r e n z系统动力学分析[J].大连工业大学学报,2018,37(5):412-418.[2]F A N GJ,D E N G W,WU Y M,e t a l.An o v e l h y p e r-c h a o t i c s y s t e ma nd i t s c i r c u i t i m p le m e n t a t i o n[J].O p-t i k,2014,125(20):6305-6311.[3]Z HA N G L M.A n o v e l4-D b u t t e r f l y h y p e r c h a o t i cs y s t e m[J].O p t i k,2017,131(9):215-220.[4]R A J A G O P A L K,V A I D Y A N A T HA N S,K A R T H I K E Y A N A,e t a l.C o m p l 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R(o)ssler混沌系统的函数投影同步
罗润梓;邓述程;魏正民
【期刊名称】《工程数学学报》
【年(卷),期】2010(027)005
【摘要】混沌同步是非线性科学中的一个重要课题.目前大多数同步都是考虑参数已知的情形,然而在实际情况下,一些系统的参数是不能事先确定的,因此考虑参数未知系统的同步就很必要.本文讨论P(o)ssler混沌系统的函数投影同步,分别考虑了参数已知和未知的两种情形,由线性系统的稳定性理论和Lyapunov稳定性理论给出了两个混沌系统渐近稳定的充分条件,并通过数值模拟说明所给方法的有效性.【总页数】11页(P809-819)
【作者】罗润梓;邓述程;魏正民
【作者单位】南昌大学数学系,南昌,330031;南昌大学数学系,南昌,330031;南昌大学数学系,南昌,330031
【正文语种】中文
【中图分类】O193
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5.激光复混沌系统构建及其点乘函数投影同步 [J], 方洁;姜明浩;安小宇;邓玮
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