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《 数学分析续论 》模拟试题及答案一、 单项选择题（56⨯'）（１）设{}n a 为单调数列，若存在一收敛子列{}j n a ，这时有 ．．．．．．．．．．．．[ ] Ａ．j n j n n a a ∞→∞→=lim lim ； Ｂ．{}n a 不一定收敛； Ｃ．{}n a 不一定有界；Ｄ．当且仅当预先假设了{}n a 为有界数列时，才有Ａ成立．（２）设)(x f 在R 上为一连续函数，则有 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．[ ]Ａ．当I 为开区间时)(I f 必为开区间； Ｂ．当)(I f 为闭区间时I 必为闭区间； Ｃ．当)(I f 为开区间时I 必为开区间； Ｄ．以上Ａ、Ｂ、Ｃ都不一定成立． （３）设)(x f 在某去心邻域)(0x U 内可导．这时有 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．[ ]Ａ．若A x f x x ='→)(lim 0存在，则A x f =')(0；Ｂ．若f 在0x 连续，则A 成立；Ｃ．若A x f =')(0存在，则A x f x x ='→)(lim 0；Ｄ．以上Ａ、Ｂ、Ｃ都不一定成立．（４）设)(x f 在],[b a 上可积，则有 ．．．．．．．．．．．.．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．[ ]Ａ．)(x f 在],[b a 上必定连续； Ｂ．)(x f 在],[b a 上至多只有有限个间断点； Ｃ．)(x f 的间断点不能处处稠密； Ｄ．)(x f 在],[b a 上的连续点必定处处稠密．（５）设∑∞=1n nu 为一正项级数．这时有 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．[ ]Ａ．若0lim =∞→n n u ,则 ∑∞=1n n u 收敛； Ｂ．若∑∞=1n n u 收敛，则1lim1<+∞→nn n u u ；C ．若∑∞=1n nu 收敛，则1lim<∞→nn n u ； Ｄ．以上Ａ、Ｂ、Ｃ都不一定成立．二、计算题（401⨯'）（１）试求下列极限：①⎪⎭⎫⎝⎛-+-+++∞→n n n n 3)12(31lim ； ② ⎰⎰⎪⎭⎫⎝⎛∞+→xt x t x tt 022022lim d ed e ．（２）设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=+x y u f u y x u y x arctan e )(,21,220． 试求)()(0u f u f ''与． （３）试求由曲线 12-=x y ，直线2=x ，以及二坐标轴所围曲边梯形的面积 S ．（４）用条件极值方法（Lagrange 乘数法）导出从固定点),(00y x 到直线0=++C y B x A 的距离计算公式．三、证明题（301⨯'）（１）设)()(x g x f 与在],[b a 上都连续．试证：若)()(,)()(b g b f a g a f ><，则必存在),(0b a x ∈，满足)()(00x g x f =．（２）证明x x x f ln )(=在其定义域上为一严格凸函数，并导出不等式：c b a cb ac b a c b a <⎪⎭⎫ ⎝⎛++++3, 其中 c b a ,,均为正数．( 提示：利用詹森不等式．)（３） 证明：∑∞=π=+-0412)1(n n n ．解 答一、［答］（１）Ａ； （２）Ｃ； （３）Ｂ； （４）Ｄ； （５）Ｄ． 二、［解］（１） ① 333lim 3)12(31lim -=+-=⎪⎭⎫⎝⎛-+-+++∞→∞→n n n n n n n ；②.022limd 2limd 2limd ed e lim2222222220200220====⎪⎭⎫⎝⎛∞+→∞+→∞+→∞+→⎰⎰⎰⎰x x x x x tx x xt xx xt xt x x t ttt eeee ee e（２） ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-='⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡++-='++515242)(,e 2e 2)(55022222222e e u f y x xy x y y x u f y x y x ．（３）所围曲边梯形如右图所示．其面积为.212)3(01)3()1()1(3312122=-+-=-+-=⎰⎰x x x x xx x x S d d（４）由题意，所求距离的平方（2d ）为020)()(y y x x -+-的最小值，其中),(y x 需满足0=++C By Ax ，故此为一条件极小值问题．依据 Lagrange 乘数法，设)()()(2020C By Ax y y x x L ++λ+-+-=，并令⎪⎩⎪⎨⎧.0,0)(2,0)(200=++==λ+-==λ+-=λC y B x A L B y y L A x x L y x （Ｆ）由方程组（Ｆ）可依次解出：.2200202022200222202022********)()(,)()(4)()(,2,)(2,2,2BA C yB x A y y x x d B AC y B x A B A y y x x BA C yB x A B A y B Ax y B x AC By y Ax x +++=-+-=⇒+++=+λ=-+-⇒+++=λ⇒+λ-+=+=-λ-=λ-=最后结果就是所求距离d 的计算公式．注 上面的求解过程是由（Ｆ）求出λ后直接得到2d ，而不再去算出y x 与的值，这是一种目标明确而又简捷的解法． 三、［证］（１）只需引入辅助函数：)()()(x g x f x h -=．易知)(x h 在],[b a 上连续，满足0)(,0)(><b h a h ，故由介值性定理（或根的存在定理），必存在),(0b a x ∈，满足0)(0=x h ，即)()(00x g x f =．（２）x x x f ln )(=的定义域为),0(∞+，在其上满足：),0(,01)(,1ln )(∞+∈>=''+='x xx f x x f ， 所以)(x f 为一严格凸函数．根据詹森不等式，对任何正数c b a ,,，恒有.)(ln )3(ln )ln ln ln (31)3(ln 3cb ac b a c b a c b a c c b b a a c b a c b a <++⇒++<++++++最后借助函数x ln 的严格递增性，便证得不等式c b a cb ac b a c b a <⎪⎭⎫ ⎝⎛++++3．（３）由于较难直接求出该级数的部分和，因此无法利用部分和的极限来计算级数的和．此时可以考虑把该级数的和看作幂级数=)(x S ∑∞=++-01212)1(n n n n x 在1=x 处的值，于是问题转为计算)(x S ．不难知道上述幂级数的收敛域为]1,1[-，经逐项求导得到]1,1[,)1()(02-∈-='∑∞=x x x S n n n ；这已是一个几何级数，其和为]1,1[,11)()(22-∈+=-='∑∞=x xx x S n n ．再通过两边求积分，还原得⎰⎰=+='=-xxx t tt t S S x S 02,arctan 11)()0()(d d由于这里的0)0(=S ，于是求得∑∞=π===+-041arctan )1(12)1(n n S n ．。
数学分析续论A 卷复习资料一. 计算题1.求函数11(,)f x y y x=+在点(0,0)处的二次极限与二重极限. 解：11(,)f x y y x ==，因此二重极限为0.因为011x y x →与011y y x→均不存在，故二次极限均不存在。
2. 设(),()y y x z z x =⎧⎨=⎩ 是由方程组(),(,,)0z xf x y F x y z =+⎧⎨=⎩所确定的隐函数,其中f 和F 分别具有连续的导数和偏导数,求dzdx.3. 取,μν为新自变量及(,)w w v μ=为新函数，变换方程 222z z zz x x y x ∂∂∂++=∂∂∂∂。
设,,22y x y x yw ze μν+-=== （假设出现的导数皆连续）. 解：z 看成是,x y 的复合函数如下：,(,),,22y w x y x y z w w e μνμν+-====。
代人原方程，并将,,x y z 变换为,,w μν。
整理得：2222w ww μμν∂∂+=∂∂∂。
4. 要做一个容积为31m 的有盖圆桶,什么样的尺寸才能使用料最省? 解： 设圆桶底面半径为r ,高为h ,则原问题即为：求目标函数在约束条件下的最小值，其中目标函数: 222S rh r ππ=+表, 约束条件: 21r h π=。
构造Lagrange 函数：22(,,)22(1)F r h rh r r h λππλπ=++-。
令 22420,20.r h F h r rh F r r πππλππλ=++=⎧⎨=+=⎩ 解得2h r =，故有r h == 由题意知问题的最小值必存在，当底面半径为r =高为h =时，制作圆桶用料最省。
5. 设322()y x y y F y e dx -=⎰,计算()F y '.解：由含参积分的求导公式332222322222()32y y x yx y x yxy x yx y y yyF y e dx x e dx y e ye ----=='⎛⎫'==-+- ⎪⎝⎭⎰⎰327522232y x y y y y x e dx y e ye ---=-+-⎰375222751222y y y x y y y e ye e dx y ---=--⎰。
《 数学分析续论 》模拟试题（三）一、 实数完备性问题．（１５分）( 1 ) 叙述单调有界定理与区间套定理； ( 2 ) 用区间套定理证明单调有界定理．［答（１）］单调有界定理：单调有界数列必定存在极限． 区间套定理：若{}],[n n b a 为一区间套，即满足：① ,2,1,],[],[11=⊂++n b a b a n n n n ； ②0)(lim =-∞→n n n a b ，则存在惟一的∈ξ],[n n b a ， ,2,1=n ．［证（２）］设{}n x 为递减且有下界M 的数列，欲证{}n x 收敛．为此构造区间套如下：令],[],[111x M b a =；记2111b a c +=，再令{}{}⎪⎩⎪⎨⎧=;,],[,,],[],[11111122的下界不是若的下界是若n n x c c a x c b c b a……，用逐次二等分法继续做下去，构造得一区间套{}],[n n b a ，使得 ,2,1,=n a n 恒为{}n x 的下界，而 ,2,1,=n b n 不是{}n x 的下界． 由区间套定理，∈ξ∃],[n n b a ，,2,1=n ．下面进一步证明 ξ=∞→n n x lim ．根据区间套定理的推论，K k K ≥∈∃>ε∀+当使,,0Ν时，);(],[εξ⊂ U b a k k ．由于 ,2,1,=k a k 恒为{}n x 的下界，而 ,2,1,=k b k 不是{}n x 的下界，故对上述K ，必有K K b x <；且因{}n x 为递减数列，当K n >时满足K K n K b x x a <≤≤，于是{}n x );(εξ⊂U ，这就证得ξ=∞→n n x lim ．同理可证{}n x 为递增而有上界的情形，请读者自行写出它的证明． □二、（１０分）( 1 ) 写出2R 中点集E 为开集的定义；( 2 ) 用定义证明：若E 、2R ⊂F 都为开集，则并集F E H ⋃=与交集F E G ⋂= 亦都为开集．［答（１）］所谓2R ⊂E 是开集，是指E 中所有点都是E 的内点．即p ∀E ∈，0>δ∃，满足E p U ⊂δ);(．［证（２）］设E 、2R ⊂F 都为开集，下面证明F E H ⋃=为开集．为此任取H p ∈，由F E H ⋃=，则E p ∈或F p ∈．根据开集定义，0>δ∃，使得E p U ⊂δ);(，或F p U ⊂δ);(，从而H p U ⊂δ);(．这就证得F E H ⋃=为2R 中的一个开集．类似地可证F E G ⋂=亦为开集，请读者自行写出它的证明． □三、（１０分）已知f 在区间I 上连续，且为一一映射．证明：f 在I 上必为严格单调函数．（提示：使用反证法，并借助连续函数的介值性．）［证］倘若f 在I 上不是严格单调函数，则I x x x ∈∃321,,)(321x x x <<，使得[][]0)()()()(2312<--x f x f x f x f .，不失一般性，设)()()(132x f x f x f >>．现任取μ满足)()(32x f x f >μ>，则由连续函数的介值性，),(,),(3221x x x x ∈η∈ξ∃，使得μ=η=ξ)()(f f ．而这与f 在I 上为一一映射的假设相矛盾，所以f 在I 上必为严格单调函数． □注意 在函数f 为连续的前提下，严格 单调与一一映射才是等价的；而在一般情形下， 一一映射的f 不一定是严格单调的．例如右 图所示的函数)(x f y =，它在],[b a 上是一 一映射，但却不是严格单调的．四、（１０分） 设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=)(ln )(,43,220y x y x u f u y x u ． 试求)()(0u f u f ''与．［解］根据向量函数的导数的定义，容易求得：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-++=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡∂∂∂∂+∂∂+∂∂='yxy x y y x x y x yy x x y x y y x xu f 11ln ln )(22222222， ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-='41315453)(0u f ． □五、（１５分） 证明：在n 个正数的乘积为定值的条件a x x x n = 21之下，这n 个正数的和n x x x +++ 21的最小值为n a n ．并由此结果推出以下不等式：nx x x x x x nnn +++≤2121．［证］用 Lagrange 乘数法，设)(2121a x x x x x x L n n -λ++++= ，并令nn n n x n x a x x x a x x x L x x L x x L n ====⇒⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫=-='=λ+='=λ+='λ- 2121112,0,01,011.............．由于n x x x +++ 21的最大值不存在)(+∞，最小值存在，因此()n n a n x x x =+++ 21min ；并有n n a n x x x ≥+++ 21．以 a x x x n = 21代入上式，则得所求之不等式nx x x x x x nnn +++≤2121． □六、积分问题．（２０分）（１） 画出曲线 )2(||x x y -=；并求由该曲线和直线,1-=x 以及x 轴 所围图形的面积S ；（２）设f 为连续函数，证明：⎰⎰πππ=)sin (2)sin (x x f x x f x d d ．［解（１）］为画出曲线，可先改写其方程为⎩⎨⎧<--≥--=.0,1)1(,0,)1(122x x x x y 此曲线和直线,1-=x 以及x 轴所围图形如右图 所示．其面积计算如下：.383434)3()3(d )2(d )2(2032102322012=+=-+-=-+-=--⎰⎰x x x x x x x x x x S［证（２）］作变换x u -π=，把原积分化为.⎰⎰⎰⎰ππππ-π=--π-π=00d )sin (d )sin ()d ())sin(()(d )sin (u u f u u u f u u f u x x f x由此移项后即得 ⎰⎰πππ=00)sin (2)sin (x x f x x f x d d ． □七、级数问题．（２０分） （１） 证明：0!3lim=∞→n n nnn ；y（２） 证明：∑∞==+11!)1(n n n．提示：利用幂级数∑∞=++=11!)1()(n n n x n x S ，∑∑∞=∞=+=-='101!!)1()(n n n n n x n x x S ．［证（１）］考察级数∑∑∞=∞==113n n n n n n n a !．由于)(13e1313)1(3)1(111∞→<→⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++=+++n n n n n n n a a n n n n n n n .!.!， 故此级数收敛．依据级数收敛的必要条件，便证得0!3lim=∞→n n nnn ．［证（２）］考察幂级数∑∞=++=11)1()(n n n x n x S !．由于x 01e )1()(x n x x n x x S n nn n ==-='∑∑∞=∞=!!，因此1e e 0d e )0()(0+-+=+=⎰x xx u x u u S x S ．从而求得1)1()1(1∑∞===+n S n n!． □。
二、填空题1．已知},{},,{d c B b a A ==，则________________=⨯A B .2．设R 为X 中的关系，若R 是反身的、对称的、传递的，则称关系R是 .3．若集合A 能与其任意真子集1A 之间建立一个双射，则集合A是 .4．=ix e . 5．设n n n x n x f ∑∞=--=11)1()(，则ln(_____))(=x f . 三、计算题1、(1)dx x x +⎰． 2、2ln x x dx ⎰． 四、解答题1．已知函数)(x f 满足34)1(2+-=+x x x f ，求)(x f .2．求函数xx x f 1)(+=的极值.五、证明题1．设)(x f y =是从]1,0[到]1,0[的连续函数，则存在点]1,0[0∈x ，使n x x f 00)(=，其中n 是一个非零自然数.2．设C B A ,,为三角形的三个内角，求证：812sin 2sin 2sin≤⋅⋅C B A .《数学分析》二、填空题1．)},(),,(),,(),,{(b d a d b c a c 2.等价关系；3.无限集；4. x i x sin cos +； 5. x +1.三、计算题1、解2、解 ：由分部积分公式得： 111 (1)1x x x x=-++ 231ln ln 3x xdx xdx =⎰⎰ 1 (1)dx x x ∴+⎰3311ln ln 33x x x d x =-⎰ 11()1dx x x=-+⎰ 33111ln 33x x x dx x=-⋅⎰ ln ln 1.x x C =-++3211ln 33x x x dx =-⎰3311ln 39x x x C =-+ 四、解答题 1．解 34)1(2+-=+x x x f8)1(6)1(2++-+=x x故86)(2+-=x x x f2．解 令 011)(2=-='xx f 解得 1±=x312)(xx f ⋅=''，,02)1(>=''f 故1=x 是极小值点，2)1(=f 是极小值 ； ,02)1(<-=-''f 故1-=x 是极大值点，2)1(-=-f 是极大值。
《数学分析续论》教学大纲《数学分析续论》课程是数学与应用数学、统计学和信息与计算科学专业的选修课程．《数学分析续论》以数学分析为起点的，"数学分析"是数学系本科生一门重要的基础课，恰当的习题配置和解题指导是数学分析教材不可或缺的一部分．事实上，学生要想较熟练地掌握数学分析的思想、方法和技巧，非要做一定数量的习题不可．本课程是数学分析的后续课程，结合数学其他课程，如：高等代数、空间解析几何、常微分方程等一门学科．辅导怎样"答"题的同时，还通过"敲条件，举反例"等方式引导学生如何"问"问题，就是如何给自己"提问题"．设置本课程的目的是：一方面使学生学好作为数学基础的数学分析，以便为以后进一步学习；另一方面培养学生理论联系实际和分析问题、解决问题的能力，会用数学其他分支解决数学分析重点和难点问题．学习本课程的要求是：学习者应应了解与数学分析的概念与方法，会用高等代数、空间解析几何、常微分方程的方法解决数学分析的重点和难点问题．注意培养学科结合交叉应用的能力，从具体到抽象的能力．先修课程要求：数学分析，高等代数，空间解析几何，常微分方程．本课程计划54学时，3学分，每周3个课时．选用教材：林源渠.方企勤著，数学分析解题指南，北京大学出版社．2004年5月．教学手段：课堂讲授为主，习题课，试卷为辅考核方法：闭卷书面考试教学进程安排表第一章不等式一、学习目的不等式的证明是数学中的一个重要的问题．在数学分析中,不等式的证明不仅有初等的方法和基于导数的Lagrange公式，也还有积分的方法．本讲介绍不等式证明的一些方法．着重强调用积分的方法来证明不等式．对涉及到Taylor级数展开式的不等式证明将在后面介绍．本章计划6学时．二、课程内容§1.1 数学归纳法在证明含有自然数的不等式中，数学归纳法是首先考虑到的证明方法．§1.2 初等证明方法在不等式证明，以及一切数学问题的解答中，将问题变换成等价的简单的形式，对问题的解决会有意想不到的结果．§1.3 Lagrange中值定理Lagrange中值定理是证明不等式最强有力的工具，相信读者对此非常熟悉．§1.4 积分将不等式转化为函数的积分表达式，利用积分的性质证明，是不等式证明的另一种重要的证明方法．三、重点、难点提示和教学手段（一）重点、难点1、数学归纳法；2、初等证明方法；3、Lagrange中值定理；4、积分．（二）教学手段课堂讲授与习题课相结合．四、思考与练习（注：思考与练习的形式有教师自行确定）第二章数列和函数的极限一、学习目的极限是数学分析中的最重要的也是最基本的概念,本章介绍各种求极限的方法,希望能加强读者对极限的理解.在这里我们将数列和函数的极限一起讨论,包含函数连续性的证明．通过本章的学习，熟练掌握求极限的几种简单方法：定义法，几何比率方法，单调有界方法，Stocks公式，极限与其它知识混合问题的求解方法．本章计划6学时．二、课程内容§2.1 几何数列对于一般由递推公式给出的数列,我们可以求出的解,然后证明数列是比率小于1的几何数列来证明.利用几何级数的比率小于1来证明级数收敛是一个非常有效,且也是简单的方法．§2.2 夹逼定理利用夹逼定理来求极限的关键是寻求数列的上下界,然后证明数列的上下界收敛到同一个数值．§2.3 单调有界有极限定理利用单调有界有极限定理求极限．§2.4 利用Taylor级数利用函数的Taylor级数展开式求极限也是一种有效的方法,特别对一些问题,利用一般的夹逼方法是无效的情形．§2.5 利用Stocks公式利用Stocks公式求极限也是一种有效的方法．三、重点、难点提示和教学手段（一）重点、难点1、几何数列；2、夹逼定理；3、单调有界有极限定理；4、Taylor级数；5、Stocks公式．（二）教学手段课堂讲授与习题课相结合．四、思考与练习（注：思考与练习的形式有教师自行确定）第三章连续函数和一致连续函数一、学习目的通过本章的学习，要求理解连续函数的有关性质和一致连续函数的有关性质，掌握连续函数和一致连续函数的联系和区别．本章计划6学时．二、课程内容§3.1 连续函数的有关性质熟练掌握连续函数的几种性质．熟练应用连续函数的性质解题．§3.2 一致连续函数的有关性质熟练掌握一致连续函数的几种性质．熟练应用一致连续函数的性质解题，并注意区分连续函数和一致连续函数，以及比连续函数更好的性质．三、重点、难点提示和教学手段（一）重点、难点1、连续函数的有关性质；2、一致连续函数的有关性质；3、连续函数和一致连续函数的联系和区别．（二）教学手段课堂讲授与习题课相结合四、思考与练习（注：思考与练习的形式有教师自行确定）第四章级数一、学习目的通过本章的学习，熟练掌握级数的收敛性、级数的和的概念，收敛级数的基本性质，Gauchy收敛法则．正项级收敛判别法：比较法、比式法与根式法．一般级数的绝对收敛与条件收敛；交错级的莱布尼兹判别法；一般级数的阿贝尔判别法与狄里克勒判别数法；绝对收敛级数的重排定理．本章计划6学时．二、课程内容§4.1 数项级数熟练掌握级数的收敛性、级数的和的概念，收敛级数的基本性质，Gauchy收敛法则．正项级收敛判别法：比较法、比式法与根式法．一般级数的绝对收敛与条件收敛．交错级的莱布尼兹判别法．一般级数的阿贝尔判别法与狄里克勒判别数法．绝对收敛级数的重排定理．§4.2 函数列与函数项级数熟练掌握函数列与函数项级的收敛与一致收敛概念．一致收敛的Gauchy优级数判别法，函数列极限函数与函数项级数和的连续性、逐项可积性与逐项可微性．§4.3 幂级数熟练掌握阿贝尔第一定理；收敛半径与收敛区间；一致收敛性；连续性；逐项积分与逐项微分；四则运算；泰勒级数；泰勒展开条件；初等函数的泰勒展开；近似计算（包括e, л的近似计算与e的无理性证明）．§4.4 Fouier级数熟练掌握三角级数．三角函数系的正交性．傅立叶级数．奇函数与偶函数的傅立叶级数．以2Π为周期的函数的傅立叶级数的收敛性定理．按段光滑且以2Π为周期的函数展开为傅立叶级数的收敛性定理．§4.5 Taylor级数熟练掌握Taylor公式，Taylor公式的余项（皮亚诺型与拉格朗日型），一些初等函数的Taylor级数展开式．三、重点、难点提示和教学手段（一）重点、难点1、数项级数；2、函数列与函数项级数；3、幂级数；4、Fouier级数及其展开式；5、Taylor级数及其展开式；6、条件收敛、一致收敛、和函数的分析性质．（二）教学手段课堂讲授与习题课相结合四、思考与练习（注：思考与练习的形式有教师自行确定）第五章曲线积分、曲面积分与场论一、学习目的通过本章的学习，要求理解第一、二类曲线积分与曲面积分的概念；掌握利用Green公式、Gauss公式和Stokes公式计算曲线积分与曲面积分的方法；理解曲线积分与路径无关的条件；理解梯度、通量与散度、向量线、环量与旋度的概念．本章计划6学时．二、课程内容§5.1 第一类曲线积分与第一类曲面积分第一类曲线积分的概念；第一类曲线积分的性质：线性性与路径可加性；第一类曲线积分的计算公式及其应用；用微元法计算曲面的面积；第一类曲面积分的概念、计算及应用．§5.2 第二类曲线积分与第二类曲面积分第二类曲线积分的概念及性质：方向性、线性性与路径可加性；第二类曲线积分的计算公式及其应用；理解曲面的侧的相关概念及应用；第二类曲面积分的概念及性质：方向性、线性性与曲面可加性；第二类曲面积分的计算及应用．§5.3 Green公式、Gauss公式和Stokes公式Green公式的形式及意义；Green公式与Newton-Leibniz公式的关系；用Green公式计算曲线积分及求区域的面积；曲线积分与路径无关的条件及其应用；Gauss公式及其应用；Stokes公式及其应用；Green 公式、Gauss公式和Stokes公式三者之间的关系．§5.4 微分形式的外微了解外微分的概念及性质；外微分的应用．§5.5 场论初步梯度、通量与散度、向量线、环量与旋度的概念、意义、计算及简单应用；Hamilton算子及调和函数的概念与计算；Green第一公式和Green第二公式；场论中的一些基本关系式；保守场与势函数的概念；保守场与有势场的关系．三、重点、难点提示和教学手段（一）重点、难点1、第一、二类曲线积分与曲面积分的概念与计算；2、Green公式、Gauss公式和Stokes公式及其应用；3、梯度、通量与散度、向量线、环量与旋度的概念及应用；4、微分形式的外微分及其应用．（二）教学手段课堂讲授与习题课相结合四、思考与练习（注：思考与练习的形式有教师自行确定）第六章多元函数一、学习目的通过本章的学习，准确掌握偏导数和高阶偏导数的概念与计算；理解方向导数﹑梯度﹑切线与法平面的概念；掌握隐函数及多元复合函数的求导法则；无条件极值与条件极值的计算方法．本章计划6学时．二、课程内容§6.1 二元函数掌握二元函数概念，二重极限，累次极限，二重极限与累次极限的关系，二元函数的连续性、复合函数的连续性定理、有界闭域上连续函数的性质，二元函数的泰勒定理，二元函数的极值．§6.2 偏导数与全微分偏导数﹑方向导数﹑梯度与全微分的概念；函数的偏导数﹑方向导数﹑梯度﹑全微分及高阶偏导数与高阶微分的计算；向量值函数的导数及其计算．§6.3 多元复合函数求导法则复合函数的求偏导的链式法则；利用链式法则求函数及向量值函数的偏导数；一阶全微分的形式不变性．§6.4 偏导数与在几何中的应用空间曲线的切线与法平面的概念及对应的切线与法平面方程的计算；曲面的切平面与法线的概念；会计算曲面在给定点处的切平面与法线方程；偏导数与在几何中的其它应用．§6.5 条件极值问题与Lagrange乘数法Lagrange乘数法及条件极值的必要条件；函数的条件极值与最值的计算；条件极值在几何﹑不等式及其它实际问题中的应用．三、重点、难点提示和教学手段（一）重点、难点1、偏导数和高阶偏导数；2、全微分的意义及其几何意义；3、微分、偏导数与连续三者之间的关系；4、隐函数的导数；5、无条件极值与条件极值的求法．（二）教学手段课堂讲授与习题课相结合四、思考与练习（注：思考与练习的形式有教师自行确定）阅读书目（或参考文献）[1]. 陈纪修於崇华金路编著，数学分析：上下册（第二版），高等教育出版社，2004[2].裴礼文著，数学分析中的典型问题和方法，高等教育出版社，2003年3月．[3].吉米多维奇(Б．П．ДЕМИДОВИЧ)著，Б.П.吉米多维奇数学分析习题集题解，山东科学技术出版社，2005年1月．[4].明清河著，数学分析的思想与方法，山东科学技术出版社，2005年4月．[5].(美)Walter Rudin 著，数学分析原理（英文版·第3版），机械工业出版社，2004年1月．[6].数学分析简明教程，常庚哲.徐森林，中国科学技术大学出版社，1998年．。
