高考数学总复习习题3-1

高考数学总复习 1-3 充分条件与必要条件但因为测试新人教B版1.(文)(2011·福建文，3)若a∈R，则“a＝1”是“|a|＝1”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件[答案] A[解析]a＝1成立，则|a|＝1成立．但|a|＝1成立时a＝1不一定成立，所以a＝1是|a|＝1的充分不必要条件．(理)(2011·大纲全国文，5)下列四个条件中，使a>b成立的充分而不必要的条件是()A．a>b＋1B．a>b－1C．a2>b2D．a3>b3[答案] A[解析]∵a>b＋1⇒a－b>1⇒a－b>0⇒a>b∴a>b＋1是a>b的充分条件又∵a>b⇒a－b>0⇒／a>b＋1∴a>b＋1不是a>b的必要条件∴a>b＋1是a>b成立的充分而不必要条件．[点评]如a＝2＝b，满足a>b－1，但a>b不成立；又a＝－3，b＝－2时，a2>b2，但a>b不成立；a>b⇔a3>b3.故B、C、D选项都不对．2．(2011·湖南湘西州联考)已知条件p：a<0，条件q：a2>a，则綈p是綈q的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件[答案] B[解析]由a2>a得，a<0或a>1.所以q是p成立的必要不充分条件，其逆否命题綈p也是綈q的必要不充分条件3．(文)(2011·聊城模拟)“k＝1”是“直线x－y＋k＝0与圆x2＋y2＝1相交”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件[答案] A[解析]k＝1时，圆心O(0,0)到直线距离d＝12<1，∴直线与圆相交；直线与圆相交时，圆心到直线距离d＝|k|2<1，∴－2<k<2，故选A.(理)(2011·通化模拟)直线x－y＋m＝0与圆x2＋y2－2x－1＝0有两个不同交点的充分不必要条件是() A．－3<m<1 B．－4<m<2C．0<m<1 D．m<1[答案] C[解析] 联立方程得⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋m ＝0x 2＋y 2－2x －1＝0，得x 2＋(x ＋m )2－2x －1＝0，即2x 2＋(2m －2)x ＋m 2－1＝0，直线与圆有两个不同交点的充要条件为Δ＝(2m －2)2－4×2(m 2－1)>0，解得－3<m <1，只有C 选项符合要求．[点评] 直线与圆有两个不同交点⇔－3<m <1，故其充分不必要条件应是(－3,1)的真子集． 4．(文)(2011·太原模考)“α≠β”是“sin α≠sin β”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件[答案] B[解析] 命题“若α≠β，则sin α≠sin β”等价于命题“若sin α＝sin β，则α＝β”，这个命题显然不正确，故条件是不充分的；命题“若sin α≠sin β，则α≠β”等价于命题“若α＝β，则sin α＝sin β”，这个命题是真命题，故条件是必要的．故选B.(理)(2011·沈阳二中月考)“θ＝2π3”是“tan θ＝2cos ⎝⎛⎭⎫π2＋θ”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 [答案] A[解析] 解法1：∵θ＝2π3为方程tan θ＝2cos ⎝⎛⎭⎫π2＋θ的解， ∴θ＝2π3是tan θ＝2cos ⎝⎛⎭⎫π2＋θ成立的充分条件； 又∵θ＝8π3也是方程tan θ＝2cos ⎝⎛⎭⎫π2＋θ的解， ∴θ＝2π3不是tan θ＝2cos ⎝⎛⎭⎫π2＋θ的必要条件，故选A. 解法2：∵tan θ＝2cos ⎝⎛⎭⎫π2＋θ，∴sin θcos θ＝－2sin θ， ∴sin θ＝0或cos θ＝－12，∴方程tan θ＝2cos ⎝⎛⎭⎫π2＋θ的解集为A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫θ⎪⎪θ＝k π或θ＝2k π±23π，k ∈Z ， 显然⎩⎨⎧⎭⎬⎫2π3A ，故选A.5．“m ＝－1”是“直线mx ＋(2m －1)y ＋1＝0和直线3x ＋my ＋3＝0垂直”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件[答案] A[解析] 直线mx ＋(2m －1)y ＋1＝0和直线3x ＋my ＋3＝0垂直的充要条件是3m ＋m (2m －1)＝0，解得m ＝0或m ＝－1.∴“m ＝－1”是上述两条直线垂直的充分不必要条件．6．(文)已知数列{a n }，“对任意的n ∈N *，点P n (n ，a n )都在直线y ＝3x ＋2上”是“{a n }为等差数列”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 [答案] A[解析] 点P n (n ，a n )在直线y ＝3x ＋2上，即有a n ＝3n ＋2，则能推出{a n }是等差数列；但反过来，{a n }是等差数列，a n ＝3n ＋2未必成立，所以是充分不必要条件，故选A.(理)(2011·海南五校联考)下列说法错误．．的是( ) A ．“sin θ＝12”是“θ＝30°”的充分不必要条件B ．命题“若a ＝0，则ab ＝0”的否命题是：“若a ≠0，则ab ≠0”C ．若命题p ：∃x ∈R ，x 2－x ＋1<0，则綈p ：∀x ∈R ，x 2－x ＋1≥0D ．如果命题“綈p ”与命题“p 或q ”都是真命题，那么命题q 一定是真命题 [答案] A[解析] ∵sin θ＝12⇒θ＝k ·360°＋30°，反之当θ＝30°时，sin θ＝12，∴“sin θ＝12”是“θ＝30°”的必要不充分条件．故选A.7．(2010·江苏省南通市调研)在平面直角坐标系xOy 中，直线x ＋(m ＋1)y ＝2－m 与直线mx ＋2y ＝－8互相垂直的充要条件是m ＝________.[答案] －23[解析] x ＋(m ＋1)y ＝2－m 与mx ＋2y ＝－8垂直⇔ 1·m ＋(m ＋1)·2＝0， 得m ＝－23.8．给出下列命题：①“m >n >0”是“方程mx 2＋ny 2＝1表示焦点在y 轴上的椭圆”的充要条件． ②对于数列{a n }，“a n ＋1>|a n |，n ＝1,2，…”是{a n }为递增数列的充分不必要条件．③已知a ，b 为平面上两个不共线的向量，p ：|a ＋2b |＝|a －2b |；q ：a ⊥b ，则p 是q 的必要不充分条件． ④“m >n ”是“(23)m <(23)n ”的充分不必要条件．其中真命题的序号是________． [答案] ①②[解析] ①∵m >n >0，∴0<1m <1n ，方程mx 2＋ny 2＝1化为x 21m ＋y 21n ＝1，故表示焦点在y 轴上的椭圆，反之亦成立．∴①是真命题；②对任意自然数n ，a n ＋1>|a n |≥0，∴a n ＋1>a n ，∴{a n }为递增数列；当取a n ＝n －4时，则{a n }为递增数列，但a n ＋1>|a n |不一定成立，如a 2>|a 1|就不成立．∴②是真命题；③由于|a ＋2b |＝|a －2b |⇔(a ＋2b )2＝(a －2b )2⇔a ·b ＝0⇔a ⊥b ，因此p 是q 的充要条件，∴③是假命题； ④∵y ＝⎝⎛⎭⎫23x是减函数，∴当m >n 时，⎝⎛⎭⎫23m <⎝⎛⎭⎫23n ，反之，当(23)m <⎝⎛⎭⎫23n 时，有m >n ，因此m >n ⇔⎝⎛⎭⎫23m <⎝⎛⎭⎫23n ，故④是假命题．9．(2011·济南三模)设p ：⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋3y －12≥03－x ≥0x ＋3y ≤12，q ：x 2＋y 2>r 2(x ，y ∈R ，r >0)，若p 是q 的充分不必要条件，则r的取值范围是________．[答案] (0，125][解析] 设A ＝{(x ，y )|⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋3y －12≥03－x ≥0x ＋3y ≤12}，B ＝{(x ，y )|x 2＋y 2>r 2，x ，y ∈R ，r >0}，则集合A 表示的区域为图中阴影部分，集合B 表示以原点为圆心，以r 为半径的圆的外部，设原点到直线4x ＋3y －12＝0的距离为d ，则d ＝|4×0＋3×0－12|5＝125，∵p 是q 的充分不必要条件，∴A B ，则0<r ≤125. 10．(2010·浙江温州十校联考)已知p ：|x －3|≤2，q ：(x －m ＋1)(x －m －1)≤0，若綈p 是綈q 的充分而不必要条件，求实数m 的取值范围．[解析] 由题意p ：－2≤x －3≤2，∴1≤x ≤5. ∴綈p ：x <1或x >5.q ：m －1≤x ≤m ＋1， ∴綈q ：x <m －1或x >m ＋1.又∵綈p 是綈q 的充分不必要条件，∴⎩⎪⎨⎪⎧ m －1≥1，m ＋1<5.或⎩⎪⎨⎪⎧m －1>1m ＋1≤5，∴2≤m ≤4.11.(文)(2011·湖南高考)设集合M ＝{1,2}，N ＝{a 2}，则“a ＝1”是“N ⊆M ”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分又不必要条件[答案] A[解析] 显然a ＝1时一定有N ⊆M ，反之则不一定成立，如a ＝3.故是充分不必要条件． [点评] 若N ⊆M ，则应有a 2＝1或a 2＝2，∴a ∈{－1,1，2，－2}，由于－1,1，2，－2}，∴应选A.(理)(2011·杭州二检)已知α，β表示两个不同的平面，m 是一条直线且m ⊂α，则“α⊥β”是“m ⊥β”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 [答案] B [解析]⎭⎪⎬⎪⎫m ⊥βm ⊂α⇒α⊥β；但α⊥β时，设α∩β＝l ，当m ∥l 时，m 与β不垂直，故选B. 12．(文)(2011·浙江五校联考)已知不重合的直线a ，b 和不重合的平面α，β，a ⊥α，b ⊥β，则“a ⊥b ”是“α⊥β”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件[答案] C[解析] ∵⎩⎪⎨⎪⎧a ⊥bb ⊥β，∴a ∥β或a ⊂β，∵a ⊥α，∴α⊥β；反之，由α⊥β也可以推出a ⊥b ，故选C.(理)(2011·山东济宁一模)已知p ：x －1x ≤0，q ：4x ＋2x －m ≤0，若p 是q 的充分条件，则实数m 的取值范围是( )A ．m >2＋ 2B ．m ≤2＋ 2C ．m ≥2D ．m ≥6[答案] D[解析] 由x －1x≤0，得0<x ≤1；∵p 是q 的充分条件，设A ＝(0,1]，B 是不等式4x ＋2x －m ≤0的解集，则A ⊆B ， ∴当x ∈A 时，不等式4x ＋2x －m ≤0恒成立， 由4x ＋2x －m ≤0得，m ≥4x ＋2x ＝(2x ＋12)2－14，因为0<x ≤1，所以m ≥(2＋12)2－14＝6，即m ≥6.13．(文)(2011·福建质检)已知i 为虚数单位，a 为实数，复数z ＝(1－2i)(a ＋i)在复平面内对应的点为M ，则“a >12”是“点M 在第四象限”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件[答案] C[解析] 注意到z ＝(1－2i)(a ＋i)＝(a ＋2)＋(1－2a )i 在复平面内对应的点为M (a ＋2,1－2a )．当a >12时，有a ＋2>0,1－2a <0，故点M 在第四象限；反过来，当点M 在第四象限时，有a ＋2>0且1－2a <0，由此解得a >12.所以“a >12”是“点M 在第四象限”的充要条件，故选C.(理)(2011·宁夏三市联考)设x 、y 是两个实数，命题“x 、y 中至少有一个数大于1”成立的充分不必要条件是( ) A ．x ＋y ＝2 B ．x ＋y >2 C ．x 2＋y 2>2 D ．xy >1[答案] B[解析] 命题“x 、y 中至少有一个数大于1”等价于“x >1或y >1”．若x ＋y >2，必有x >1或y >1，否则x ＋y ≤2；而当x ＝2，y ＝－1时，2－1＝1<2，所以x >1或y >1不能推出x ＋y >2.对于x ＋y ＝2，当x ＝1，且y ＝1时，满足x ＋y ＝2，不能推出x >1或y >1.对于x 2＋y 2>2，当x <－1，y <－1时，满足x 2＋y 2>2，不能推出x >1或y >1.对于xy >1，当x <－1，y <－1时，满足xy >1，不能推出x >1或y >1.故选B.14．(文)(2011·广州二测)已知p ：k >3；q ：方程x 23－k ＋y 2k －1＝1表示双曲线，则p 是q 的( )A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分也非必要条件[答案] A[解析] 由k >3得3－k <0，k －1>0，方程x 23－k ＋y 2k －1＝1表示双曲线，因此p 是q 的充分条件；反过来，由方程x 23－k ＋y 2k －1＝1表示双曲线不能得到k >3，如k ＝0时方程x 23－k ＋y 2k －1＝1也表示双曲线，因此p 不是q 的必要条件．综上所述，p 是q 的充分不必要条件，选A.(理)(2011·黑龙江铁岭六校第二次联考)命题P ：不等式lg[x (1－x )＋1]>0的解集为{x |0<x <1}，命题Q ：在△ABC 中，A >B 是cos 2(A 2＋π4)<cos 2(B 2＋π4)成立的必要不充分条件，则( )A ．P 真Q 假B ．P ∧Q 为真C ．P ∨Q 为假D ．P 假Q 真[答案] A[解析] 由lg[x (1－x )＋1]>0，得x (1－x )＋1>1， 解得0<x <1，即命题p 正确； 由cos 2(A 2＋π4)<cos 2(B 2＋π4)得，1＋A ＋π22<1＋B ＋π22，化简得sin A >sin B .因为A >B ⇔a >b ⇔sin A >sin B ，即命题q 不正确．15．(2011·日照模拟)设命题p ：实数x 满足x 2－4ax ＋3a 2<0，其中a ≠0，命题q ：实数x 满足⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －6≤0x 2＋2x －8>0，(1)若a ＝1，且p ∧q 为真，求实数x 的取值范围； (2)若p 是q 的必要不充分条件，求实数a 的取值范围． [解析] (1)a ＝1时，p ：x 2－4x ＋3<0，即p ：1<x <3，q ：⎩⎪⎨⎪⎧－2≤x ≤3x <－4或x >2，即q ：2<x ≤3， 由p ∧q 为真知，2<x <3.(2)由x 2－4ax ＋3a 2<0，得(x －a )(x －3a )<0， 若a <0，则3a <x <a ，不合题意； 若a >0，则a <x <3a ，由题意知，a,3a )，∴⎩⎨⎧a ≤23a >3，∴1<a ≤2.*16.(2011·蚌埠质检)设函数f (x )＝ln x －px ＋1.(1)当p >0时，若对任意的x >0，恒有f (x )≤0，求p 的取值范围； (2)证明：当x >0时，1＋ln x x≤1.[解析] (1)显然函数定义域为(0，＋∞)． 且f ′(x )＝1x －p ＝1－px x.当p >0时，令f ′(x )＝0，∴x ＝1p ∈(0，＋∞)，f ′(x )，f (x )随x 的变化情况如下表：↗↘从上表可以看出：当p >0时，有唯一的极大值点x ＝1p.当p >0时在x ＝1p 处取得极大值f ⎝⎛⎭⎫1p ＝ln 1p ，此极大值也是最大值， 要使f (x )≤0恒成立，只需f ⎝⎛⎭⎫1p ＝ln 1p ≤0，即p ≥1. ∴p 的取值范围为[1，＋∞)．(2)当p ＝1时，f (x )＝ln x －x ＋1.由(1)可知，函数f (x )在x ＝1处取最大值，即f (x )≤f (1)＝0，即ln x ≤x －1. 故当x >0时，1＋ln xx≤1.1．△ABC 中“cos A ＝2sin B sin C ”是“△ABC 为钝角三角形”的( ) A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 [答案] B[解析] cos A ＝－cos(B ＋C )＝－cos B cos C ＋sin B sin C ＝2sin B sin C ，∴cos(B －C )＝0.∴B －C ＝π2.∴B ＝π2＋C >π2，故为钝角三角形，反之显然不成立，故选B.2．(2010·山东聊城模拟)设不等式|2x －a |<2的解集为M ，则“0≤a ≤4”是“1∈M ”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 [答案] B[解析] 解绝对值不等式可得M ＝⎝⎛⎭⎫a －22，a ＋22，故0≤a ≤4时，不一定推出1∈M ，反之若1∈M ，则有⎩⎨⎧a －22<1a ＋22>1⇒0<a <4，故“0≤a ≤4”是“1∈M ”的必要但不充分条件．3．(2010·上海十三校联考)“a ＝1”是“函数f (x )＝|x －a |在区间(－∞，1]上为减函数”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 [答案] A[解析] 当a ＝1时，f (x )＝|x －1|＝⎩⎪⎨⎪⎧x －x 1－xx，所以f (x )在区间(－∞，1]上是减函数；若f (x )在区间(－∞，1]上是减函数，结合图象可得a ≥1，所以前者是后者的充分不必要条件．4．“a ＝1”是“直线x ＋y ＝0和直线x －ay ＝0互相垂直”的( )[答案] C[解析] 直线x ＋y ＝0与直线x －a y ＝0垂直⇔1×1＋1×(－a )＝0⇔a ＝1. 5．(2010·北京东城区)“x ＝π4”是“函数y ＝sin2x 取得最大值”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 [答案] A[解析] x ＝π4时，y ＝sin2x 取最大值，但y ＝sin2x 取最大值时，2x ＝2k π＋π2，k ∈Z ，不一定有x ＝π4.6．若集合A ＝{1，m 2}，B ＝{2,4}，则“m ＝2”是“A ∩B ＝{4}”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件[答案] A[解析] 由“m ＝2”可知A ＝{1,4}，B ＝{2,4}，所以可以推得A ∩B ＝{4}，反之，如果“A ∩B ＝{4}”可以推得m 2＝4，解得m ＝2或－2，不能推得m ＝2，所以“m ＝2”是“A ∩B ＝{4}”的充分不必要条件．7．(2010·辽宁文，4)已知a ＞0，函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，若x 0满足关于x 的方程2ax ＋b ＝0，则下列选项的命题中为假命题的是( )A ．∃x ∈R ，f (x )≤f (x 0)B ．∃x ∈R ，f (x )≥f (x 0)C ．∀x ∈R ，f (x )≤f (x 0)D ．∀x ∈R ，f (x )≥f (x 0) [答案] C[解析] ∵f ′(x )＝2ax ＋b ， 又2ax 0＋b ＝0，∴有f ′(x 0)＝0 故f (x )在点x 0处切线斜率为0 ∵a ＞0 f (x )＝ax 2＋bx ＋c ∴f (x 0)为f (x )的图象顶点的函数值 ∴f (x )≥f (x 0)恒成立 故C 选项为假命题，选C. [点评] 可以用作差法比较．8．(2011·成都二诊)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2xxx ＋cx ，则“c ＝－1”是“函数f (x )在R 上递增”的( )[答案] A[解析] 当c ＝－1时，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2xxx －x ，易知函数f (x )在(－∞，1)、(1，＋∞)上分别是增函数，且注意到log 21＝1－1＝0，此时函数f (x )在R 上是增函数；反过来，当函数f (x )在R 上是增函数时，不能得出c ＝－1，如c ＝－2，此时也能满足函数f (x )在R 上是增函数．综上所述，“c ＝－1”是“函数f (x )在R 上递增”的充分不必要条件，选A.9．(2011·山东济南一中阶段考试)给出如下四个命题： ①若“p 且q ”为假命题，则p ，q 均为假命题；②命题“若a >b ，则2a >2b －1”的否命题为“若a ≤b ，则2a ≤2b －1”； ③“若x ∈R ，则x 2＋1≥1”的逆否命题是真命题； ④在△ABC 中，“A >B ”是“sin A >sin B ”的充要条件． 其中假命题的个数是( )A ．4B ．3C ．2D ．1 [答案] D[解析] 若“p 且q ”为假命题，则p 和q 中至少有一个为假命题，故①错；根据否命题的定义，易知②正确；因为原命题为真命题，所以其逆否命题也为真命题，故③正确；在△ABC 中，因为A >B ，所以a >b ，由正弦定理asin A ＝bsin B，知sin A >sin B ，反之亦成立，故④正确．。

专题3.1 函数的概念及其表示【考纲解读与核心素养】1．了解函数的概念，会求简单的函数的定义域和值域.2．理解函数的三种表示法：解析法、图象法和列表法.3．了解简单的分段函数，会用分段函数解决简单的问题.4.本节涉及所有的数学核心素养：数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算、数据分析等. 5．高考预测：（1）分段函数的应用,要求不但要理解分段函数的概念，更要掌握基本初等函数的图象和性质．（2）函数的概念，经常与函数的图象和性质结合考查.6.备考重点：（1）理解函数的概念、函数的定义域、值域、函数的表示方法；（2）以分段函数为背景考查函数的相关性质问题.【知识清单】1．函数的概念2．函数的定义域、值域(1)在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域.(2)如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则这两个函数为相等函数.3．分段函数(1)若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数.(2)分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数.【典例剖析】高频考点一 函数的概念【典例1】（2020·洪洞县第一中学高三期中（文））下面各组函数中是同一函数的是（ ） A ．32y x =-与2y x x =- B ．()2y x =与y x =C ．11y x x =+⋅-与()()11y x x =+-D ．()221f x x x =--与()221g t t t =-- 【答案】D 【解析】因为选项A 中，对应关系不同，选项B 中定义域不同，对应关系不同，选项C 中，定义域不同，选项D 中定义域和对应法则相同，故选D.【典例2】在下列图形中，表示y 是x 的函数关系的是________．【答案】①②【解析】由函数定义可知，自变量x 对应唯一的y 值，所以③④错误，①②正确． 【规律方法】函数的三要素中，若定义域和对应关系相同，则值域一定相同．因此判断两个函数是否相同，只需判断定义域、对应关系是否分别相同． 【变式探究】1.x R ∈，则()f x 与()g x 表示同一函数的是（ ） A. ()2f x x =， ()2g x x =B. ()1f x =， ()()01g x x =-C.()()2x f x x=， ()()2xg x x= D. ()293x f x x -=+， ()3g x x =-【答案】C【解析】A 中: ()2g x x =2x x =≠;B 中: ()()()0110g x x x =-=≠;C 中：， ()()2x f x x=1,0{1,0x x >=-< ， ()()2xg x x =1,0{ 1,0x x >=-<；D 中： ()()29333x f x x x x -==-≠-+,因此选C.2.（2018届江西省检测考试（二））设，，函数的定义域为，值域为，则的图象可以是（ ）A. B.C. D.【答案】B【解析】因为定义域为，所以舍去A;因为值域为，所以舍去D;因为对于定义域内每一个x 有且只有一个y 值，所以去掉C ；选B. 【易混辨析】1.判断两个函数是否为相同函数，注意把握两点，一看定义域是否相等，二看对应法则是否相同．2.从图象看，直线x=a 与图象最多有一个交点. 高频考点二：求函数的定义域【典例3】（2019·江苏高考真题）函数276y x x =+-_____. 【答案】[1,7]-. 【解析】由已知得2760x x +-≥, 即2670x x --≤解得17x -≤≤， 故函数的定义域为[1,7]-.【典例4】（2020·河南省郑州一中高二期中（文））已知函数(1)y f x =+定义域是[2,3]- ，则(21)y f x =-的定义域是（ ） A ．[0,52] B ．[1,4]- C ．[5,5]- D ．[3,7]-【答案】A 【解析】因为函数(1)y f x =+定义域是[2,3]- 所以114x -≤+≤所以1214x -≤-≤，解得：502x ≤≤ 故函数(21)y f x =-的定义域是[0,52] 故选：A【典例5】（2019·邵阳市第十一中学高一期中）已知函数(31)f x -的定义域是[]0,2,则函数()f x 的定义域是( ) A.[]0,2 B.1[1]3，C.[-15]，D.无法确定【答案】C 【解析】由已知02x ≤≤，1315x ∴-≤-≤，即函数()f x 的定义域是[-15]，， 故选：C ． 【规律方法】1.已知函数的具体解析式求定义域的方法(1)若f (x )是由一些基本初等函数通过四则运算构成的，则它的定义域为各基本初等函数的定义域的交集． (2)复合函数的定义域：先由外层函数的定义域确定内层函数的值域，从而确定对应的内层函数自变量的取值范围，还需要确定内层函数的定义域，两者取交集即可． 2．抽象函数的定义域的求法(1)若已知函数f (x )的定义域为[a ，b ]，则复合函数f (g (x ))的定义域由a ≤g (x )≤b 求出． (2)若已知函数f (g (x ))的定义域为[a ，b ]，则f (x )的定义域为g (x )在x ∈[a ，b ]时的值域． 【变式探究】1.（2019·山东省章丘四中高三月考）函数1()lg(1)f x x =++ ）A ．[2,2]-B ．[2,0)(0,2]-C ．(1,0)(0,2]-⋃D ．(-1,2]【答案】C 【解析】1011()lg(1)00(1,0)(0,2]lg(1)202x x f x x x x x x x +>⇒>-⎧⎪=++≠⇒≠⇒∈-⋃⎨+⎪-≥⇒≤⎩故答案选C2．（2020·福建省福州第一中学高三）已知函数()f x 的定义域为[0，2]，则()()21f xg x x =-的定义域为（ ）A ．[)(]0,11,2B ．[)(]0,11,4C ．[)0,1D ．(]1,4 【答案】C 【解析】函数()f x 的定义域是[0，2]，要使函数()()21f xg x x =-有意义,需使()2f x 有意义且10x -≠ .所以10022x x -≠⎧⎨≤≤⎩ 解得01x ≤< 故答案为C 【特别提醒】求函数的定义域，往往要解不等式或不等式组，因此，要熟练掌握一元一次不等式、一元二次不等式的解法、牢记不等式的性质，学会利用数形结合思想，借助数轴解题.另外，函数的定义域、值域都是集合，要用适当的表示方法加以表达或依据题目的要求予以表达． 高频考点三：求函数的解析式【典例6】（2019·天津南开中学高一期中）设函数()f x 满足1()11xf x x-=++，则()f x 的表达式为（ ）A ．2211x x-+ B ．221x + C ．21x + D ．11x x -+ 【答案】C 【解析】 设11x t x -=+，则11t x t -=+，所以12()111t f t t t -=+=++，所以2()1f x x=+，故选C ．【典例7】（2019·安徽省毛坦厂中学高三月考（理））已知二次函数()2f x ax bx c =++，满足()02f =，()()121f x f x x +-=-.（1）求函数()f x 的解析式；（2）求()f x 在区间[]1,2-上的最大值；（3）若函数()f x 在区间[],1a a +上单调，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）()222f x x x =-+；（2）5；（3）(][),01,-∞⋃+∞.【解析】（1）由()02f =，得2c =，由()()121f x f x x +-=-，得221ax a b x ++=-，故221a a b =⎧⎨+=-⎩，解得12a b =⎧⎨=-⎩， 所以()222f x x x =-+.（2）由（1）得：()()222211f x x x x =-+=-+， 则()f x 的图象的对称轴方程为1x =， 又()15f -=，()22f =，所以当1x =-时()f x 在区间[]1,2-上取最大值为5. （3）由于函数()f x 在区间[],1a a +上单调， 因为()f x 的图象的对称轴方程为1x =， 所以1a ≥或11a +≤，解得：0a ≤或1a ≥，因此a 的取值范围为：(][),01,-∞⋃+∞. 【规律方法】1.已知函数类型，用待定系数法求解析式．2.已知函数图象，用待定系数法求解析式，如果图象是分段的，要用分段函数表示．3.已知()f x 求[()]f g x ，或已知[()]f g x 求()f x ，用代入法、换元法或配凑法．4.若()f x 与1()f x或()f x -满足某个等式，可构造另一个等式，通过解方程组求解． 5.应用题求解析式可用待定系数法求解． 【变式探究】1.（2018届安徽省安庆市第一中学）已知单调函数，对任意的都有，则( )A. 2B. 4C. 6D. 8 【答案】C 【解析】 设，则，且，令，则，解得，∴，∴．故选C ．2．（2020·江苏省高三专题练习）已知2()(1)()2f x f x f x +=+，(1)1f =，（x N +∈），()f x =__________．【答案】21x + 【解析】()()()212f x f x f x +=+11111111(1)1(1)(1)()2()(1)222x x x f x f x f x f +⇒=+⇒=+-⨯=+-⨯=⇒+ ()21f x x =+高频考点四：求函数的值域【典例8】（2019·浙江省镇海中学高一期中）函数()()10f x x x x=+<的值域为（ ）A ．[)2,+∞B ．(][),22,-∞+∞ C ．(],2-∞-D ．R【答案】C 【解析】当0x <时，0x ->，()12f x x x ⎛⎫∴=---≤-=- ⎪⎝⎭（当且仅当1x x -=-，即1x =-时取等号），()f x ∴的值域为(],2-∞-.故选：C .【典例9】（2020·甘肃省武威十八中高三期末（理））高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设x ∈R ，用[]x 表示不超过x 的最大整数，则[]y x =称为高斯函数，例如：[]3.54-=-，[]2.12=，已知函数()112x xe f x e =-+，则函数()y f x ⎡⎤=⎣⎦的值域是__________ 【答案】{}1,0- 【解析】依题意()111111221x x xe f x e e +-=-=-++，由于11xe +>，故11112212x e -<-<+，即()f x 的值域为11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以函数()y f x ⎡⎤=⎣⎦的值域是{}1,0-. 故填：{}1,0-.【典例10】（2020·辽河油田第二高级中学高二月考）函数()f x x =的值域是________________． 【答案】1,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭【解析】函数()f x x ，令0t t =≥则21122x t =-， 则()2211112222f t t t t t =+-=+-()21112t =+-，0t ≥. 由二次函数性质可知，在[)0,t ∈+∞内单调递增，所以当0t =即12x =-时取得最小值，最小值为12-，因而()1,2x f ⎡⎫∈-+∞⎪⎢⎣⎭， 故答案为：1,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭. 【规律方法】函数值域的常见求法： (1)配方法配方法是求“二次函数型函数”值域的基本方法，形如F (x )＝a [f (x )]2＋bf (x )＋c (a ≠0)的函数的值域问题，均可使用配方法． (2)数形结合法若函数的解析式的几何意义较明显，如距离、斜率等，可用数与形结合的方法． (3)基本不等式法：要注意条件“一正，二定，三相等”．（可见上一专题） (4)利用函数的单调性①单调函数的图象是一直上升或一直下降的，因此若单调函数在端点处有定义，则该函数在端点处取最值，即若y ＝f (x )在[a ，b ]上单调递增，则y 最小＝f (a )，y 最大＝f (b )； 若y ＝f (x )在[a ，b ]上单调递减，则y 最小＝f (b )，y 最大＝f (a )．②形如y ＝ax ＋b ＋dx ＋c 的函数，若ad ＞0，则用单调性求值域；若ad ＜0，则用换元法．③形如y ＝x ＋k x (k ＞0)的函数，若不能用基本不等式，则可考虑用函数的单调性，当x ＞0时，函数y ＝x ＋kx (k ＞0)的单调减区间为(0，k ]，单调增区间为[k ，＋∞)．一般地，把函数y ＝x ＋kx (k ＞0，x ＞0)叫做对勾函数，其图象的转折点为(k ，2k )，至于x ＜0的情况，可根据函数的奇偶性解决． *(5)导数法利用导函数求出最值，从而确定值域．高频考点五：分段函数及其应用【典例11】（2019·永济中学高一月考）已知5,6()(2),6x xf xf x x-≥⎧=⎨+<⎩，则(3)f为（）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】A【解析】(3)(32)(52)752f f f=+=+=-=故选：A【典例12】（2018届湖北省5月）设函数，若，则实数的值为（）A. B. C. 或 D.【答案】B【解析】因为，所以所以选B.【典例13】（2018年新课标I卷文）设函数，则满足的x的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】将函数的图象画出来，观察图象可知会有，解得，所以满足的x的取值范围是，故选D.【典例14】（2020·上海高三）若函数()6,23log ,2a x x f x x x -+≤⎧=⎨+>⎩（0a >且1a ≠）的值域是[)4,+∞，则实数a 的取值范围是__________．【答案】(]1,2【解析】 由于函数()()6,2{0,13log ,2a x x f x a a x x -+≤=>≠+>的值域是[)4,+∞，故当2x ≤时，满足()64f x x =-≥，当2x >时，由()3log 4a f x x =+≥，所以log 1a x ≥，所以log 2112a a ≥⇒<<，所以实数a 的取值范围12a <≤.【总结提升】1.“分段求解”是处理分段函数问题解的基本原则；2.数形结合往往是解答选择、填空题的“捷径”.【变式探究】1.（2020·辽宁省高三二模（理））设函数21log (2),1(),1x x x f x e x +-<⎧=⎨≥⎩，则(2)(ln 6)f f -+=（ ） A ．3B ．6C ．9D ．12 【答案】C【解析】 由题意，函数21log (2),1(),1x x x f x e x +-<⎧=⎨≥⎩， 则ln 62(2)(ln 6)1log [2(2)]1269f f e -+=+--+=++=.2.（2020·浙江省高三二模）已知函数()231,0,2,0,x x f x x x x ⎧-≥=⎨--<⎩若存在唯一的整数x ，使得()()0x f x a ⋅-<成立，则实数a 的取值范围是（ ）A ．12a ≤≤B ．01a ≤<或28a <≤C ．28a <≤D ．11a -<<或28a <≤ 【答案】B【解析】如图所示，画出函数()f x 图像，当0x >时，()()0x f x a ⋅-<，即()f x a <，故()()12f a f <≤，即23131a -<≤-，即28a <≤；当0x =时，易知不满足；当0x <时，()()0x f x a ⋅-<，即()f x a >，故()01a f ≤<-，即()011a f ≤<-=.综上所述：01a ≤<或28a <≤.故选：B.3.（2018届河北省唐山市三模）设函数则使得成立的得取值范围是__________． 【答案】.由，得或， 得或，即得取值范围是， 故答案为. 4．（2020·江苏省高三月考）已知函数()2,0228,2x x x f x x x ⎧+<<=⎨-+≥⎩，若()()2f a f a =+，则1f a ⎛⎫ ⎪⎝⎭的值是_____.【答案】2【解析】由2x ≥时，()28f x x =-+是减函数可知，当2a ≥，则()()2f a f a ≠+，所以02a <<，由()(+2)f a f a =得 22(2)8a a a +=-++，解得1a =， 则21(1)112f f a ⎛⎫==+= ⎪⎝⎭. 故答案为：2.【易错提醒】因为分段函数在其定义域内的不同子集上其对应法则不同，而分别用不同的式子来表示，因此在求函数值时，一定要注意自变量的值所在子集，再代入相应的解析式求值．。

专题三函数的概念、性质与基本初等函数【考情探究】课标解读考情分析备考指导主题内容一、函数的概念1.了解函数三要素及分段函数,会求简单函数的定义域、值域.2.会根据不同需要选择恰当方法表示函数.1.常以基本函数或由基本函数组合的函数为臷体,考查函数的定义域、值域,函数的表示方法及性质,图象.2.常与导数、不等式、方程知识交汇命题,考查数形结合、分类讨论、转化与化归,函数与方程思想方法.3.根据实际问题,建立函数模型或用已知模型解决实际问题,考查建模及应用能力.1.高考对本专题的考查依然是基础与能力并存,函数性质、零点问题是本专题的重点考查内容.2.以函数性质为主,常以指数函数、对数函数为载体,考查求函数值、比较大小,函数图象识辨及实际应用问题.二、函数的基本性质了解函数奇偶性、周期性的含义,理解函数单调性、最值及几何意义.三、二次函数与幂函数了解二次函数、幂函数的概念,理解二次函数图象并简单应用.四、指数与指数函数了解指数函数模型背景,实数指数幂的含义,理解有理指数幂的含义,指数函数的概念,单调性.掌握幂的运算,指数函数的图象.五、对数与对数函数理解对数的概念及运算性质,对数函数的概念及性质,掌握对数函数的图象经过的特殊点,会用换底公式.六、函数的图象理解描点法作图和图象变换.利用函数图象讨论函数性质.七、函数与方程了解函数零点与方程根的联系.八、函数模型及函数的综合应用了解函数模型的广泛应用,基本函数等不同函数类型的增长意义.【真题探秘】§3.1 函数的概念 基础知识专题固本夯基【基础训练】考点一 函数的有关概念1.设函数f(x)＝lg(1-x),则函数f(f(x))的定义域为( ) A.(-9,+∞) B.(-9,1) C.[-9,+∞) D.[-9,1) 【参考答案】B2.下列函数为同一函数的是( )A.y ＝x 2-2x 和y ＝t 2-2t B.y ＝x 0和y ＝1C.y ＝√(x +1)2和y ＝x+1D.y ＝lg x 2和y ＝2lg x【参考答案】A 3.函数f(x)＝12-|x|+√x 2-1+(x-4)0的定义域为 .【参考答案】{x|x<-2或-2<x ≤-1或1≤x<2或2<x<4或x>4}4.已知函数f(2x-1)的定义域为(-1,2),则f(x)的定义域为 , f(2-3x)的定义域为 . 【参考答案】(-3,3);(-13,53)考点二 函数的表示方法5.下列图象可以表示以M ＝{x|0≤x ≤1}为定义域,以N ＝{y|0≤y ≤1}为值域的函数是( )【参考答案】C6.已知f(2x+1)＝x 2-2x,则f(x)＝ , f(3)＝ . 【参考答案】14x 2-32x+54;-17.若函数f(x)＝{-x +8,x ≤2,log a x +5,x >2(a>0且a ≠1)的值域为[6,+∞),则实数a 的取值范围是 .【参考答案】(1,2]8.设函数f(x)＝{x 2+2x +2,x ≤0,-x 2,x >0.若f(f(a))＝2,则a ＝ .【参考答案】√2综合篇知能转换【综合集训】考法一 函数定义域的求法1.函数y ＝√1-log 2x 的定义域是( )A.(-∞,2]B.(0,2]C.(-∞,1]D.[1,2] 【参考答案】B2.函数f(x)＝ln(x 2-x)的定义域为( ) A.(0,1) B.[0,1]C.(-∞,0)∪(1,+∞)D.(-∞,0]∪[1,+∞) 【参考答案】C3.已知函数y ＝f(x)的定义域是[0,2],那么g(x)＝f(x 2)1+lg(x+1)的定义域是.【参考答案】(-1,-910)∪(-910,√2] 考法二 函数解析式的求法4.(2018广东珠海期中,4)已知f(x 5)＝lg x,则f(2)＝( ) A.15lg 2 B.12lg 5 C.13lg 2 D.12lg 3 【参考答案】A5.若二次函数g(x)满足g(1)＝1,g(-1)＝5,且图象过原点,则g(x)的解析式为( ) A.g(x)＝2x 2-3x B.g(x)＝3x 2-2x C.g(x)＝3x 2+2x D.g(x)＝-3x 2-2x 【参考答案】B6.已知函数f(x)满足f(x)+2f(-x)＝e x,则函数f(x)的解析式为 . 【参考答案】f(x)＝23e -x-13e x7.已知函数f(x)＝axx -1,若f(x)+f (1x)＝3,则f(x)+f(2-x)＝ .【参考答案】68.(2018河南南阳第一中学第二次考试,16)已知f(1-cos x)＝sin 2x,则f(x 2)的解析式为 . 【参考答案】f(x 2)＝-x 4+2x 2,x ∈[-√2,√2]考法三 分段函数问题的解题策略9.(2019山西太原三中模拟,10)设函数f(x)＝{x 2-1(x ≥2),log 2x(0<x <2),若f(m)＝3,则实数m 的值为( )A.-2B.8C.1D.2 【参考答案】D10.已知实数a ≠0,函数f(x)＝{2x +a,x <1,-x -2a,x ≥1,若f(1-a)＝f(1+a),则a 的值为( )A.-34B.34C.-35D.35【参考答案】A11.(2018安徽合肥一模,3)已知函数f(x)＝{x +1x -2,x >2,x 2+2,x ≤2,则f(f(1))＝( ) A.-12B.2C.4D.11 【参考答案】C12.已知函数f(x)＝{2x +1,x <1,x 2+ax,x ≥1,若f(f(0))＝4a,则实数a 等于( )A.12B.45C.2D.9 【参考答案】C13.(2018河南濮阳二模,5)若f(x)＝{2x -3,x >0,g(x),x <0是奇函数,则f(g(-2))的值为( )A.52B.-52C.1D.-1 【参考答案】C14.(2018福建福州模拟,6)设函数f(x)＝{0,x ≤0,2x -2-x ,x >0,则满足f(x 2-2)>f(x)的x 的取值范围是( )A.(-∞,-1)∪(2,+∞)B.(-∞,-√2)∪(√2,+∞)C.(-∞,-√2)∪(2,+∞)D.(-∞,-1)∪(√2,+∞) 【参考答案】C【5年高考】考点一 函数的有关概念1.(2019江苏,4,5分)函数y ＝√7+6x -x 2的定义域是 . 【参考答案】[-1,7]2.(2018江苏,5,5分)函数f(x)＝√log 2x -1的定义域为 . 【参考答案】[2,+∞)考点二 函数的表示方法3.(2015课标Ⅱ,5,5分)设函数f(x)＝{1+log 2(2-x), x <1,2x -1, x ≥1.则f(-2)+f(log 212)＝( )A.3B.6C.9D.12 【参考答案】C4.(2015山东,10,5分)设函数f(x)＝{3x -1,x <1,2x,x ≥1.则满足f(f(a))＝2f(a)的a 的取值范围是( ) A.[23,1] B.[0,1] C.[23,+∞) D.[1,+∞) 【参考答案】C5.(2017课标Ⅲ,15,5分)设函数f(x)＝{x +1,x ≤0,2x ,x >0,则满足f(x)+f (x -12)>1的x 的取值范围是 . 【参考答案】(-14,+∞)6.(2018江苏,9,5分)函数f(x)满足f(x+4)＝f(x)(x ∈R ),且在区间(-2,2]上, f(x)＝{cos πx2,0<x ≤2,|x+12|,-2<x ≤0, 则f(f(15))的值为 . 【参考答案】√22教师专用题组考点一 函数的有关概念1.(2014山东,3,5分)函数f(x)＝1(log 2x)-1的定义域为( )A.(0,12)B.(2,+∞)C.(0,12)∪(2,+∞) D.(0,12]∪[2,+∞) 【参考答案】C2.(2014江西,3,5分)已知函数f(x)＝5|x|,g(x)＝ax 2-x(a ∈R ).若f[g(1)]＝1,则a ＝( ) A.1 B.2 C.3 D.-1 【参考答案】A3.(2013大纲全国,4,5分)已知函数f(x)的定义域为(-1,0),则函数f(2x+1)的定义域为( ) A.(-1,1) B.(-1,-12) C.(-1,0) D.(12,1) 【参考答案】B考点二 函数的表示方法4.(2014福建,7,5分)已知函数f(x)＝{x 2+1,x >0,cosx,x ≤0,则下列结论正确的是( )A.f(x)是偶函数B.f(x)是增函数C.f(x)是周期函数D.f(x)的值域为[-1,+∞) 【参考答案】D5.(2015浙江,10,6分)已知函数f(x)＝{x +2x-3, x ≥1,lg(x 2+1), x <1,则f(f(-3))＝ , f(x)的最小值是 .【参考答案】0;2√2-36.(2014浙江,15,4分)设函数f(x)＝{x 2+x, x <0,-x 2, x ≥0.若f(f(a))≤2,则实数a 的取值范围是 .【参考答案】(-∞,√2]7.(2014四川,12,5分)设f(x)是定义在R 上的周期为2的函数,当x ∈[-1,1)时, f(x)＝{-4x 2+2,-1≤x <0,x,0≤x <1,则f (32)＝ . 【参考答案】1【三年模拟】一、单项选择题(每题5分,共45分)1.(2019届山东单县五中10月月考,4)函数y ＝√-x 2-x+2lnx的定义域为( )A.(-2,1)B.[-2,1]C.(0,1)D.(0,1] 【参考答案】C2.(2020届四川双流中学9月月考,3)设函数f(x)＝{4x -1,x ≤0,log 2x,x >0,则f(f(1))＝( )A.0B.1C.2D.3 【参考答案】A3.(2019届湖北“荆、荆、襄、宜四地七校考试联盟”联考,7)已知函数f(x)＝{(12)x-7,x <0,log 2(x +1),x ≥0,若f(a)<1,则实数a 的取值范围是( )A.(-∞,-3)∪[0,1)B.(-3,0)∪(0,1)C.(-3,1)D.(-∞,-3)∪(1,+∞) 【参考答案】C4.(2019届山东枣庄八中10月月考,2)已知函数f(x)的图象如图所示,设集合A ＝{x|f(x)>0},B ＝{x|x 2<4},则A ∩B ＝( )A.(-2,-1)∪(0,2)B.(-1,1)C.(-2,-1)∪(1,2)D.(-∞,3) 【参考答案】C5.(2020届河南南阳一中第一次月考,6)已知函数f(x)满足f (1x )+1xf(-x)＝2x(x ≠0),则f(-2)＝( ) A.-72 B.-92 C.72 D.92【参考答案】C6.(2019山东菏泽模拟,5)已知函数f(x)＝log 2x 的值域是[1,2],则函数φ(x)＝f(2x)+f(x 2)的定义域为( ) A.[√2,2] B.[2,4] C.[4,8] D.[1,2] 【参考答案】A7.(2019山东师范大学附中二模,3)已知函数f(x)＝{(1-2a)x +3a(x <1),lnx(x ≥1)的值域为R ,则实数a 的取值范围是( )A.(-∞,-1)B.[12,1] C.[-1,12) D.(0,12) 【参考答案】C8.(2020届重庆万州第二高级中学第一次月考,10)若函数y ＝f(x)的值域是[1,3],则函数F(x)＝1-f(x+3)的值域是( ) A.[-8,-3] B.[-5,-1] C.[-2,0] D.[1,3] 【参考答案】C9.(2019安徽安庆模拟,4)若函数y ＝f(x)的图象的一部分如图(1)所示,则图(2)中的图象所对应的函数解析式可以是( )A.y ＝f (2x -12) B.y ＝f(2x-1) C.y ＝f (12x -12) D.y ＝f (12x -1) 【参考答案】B二、多项选择题(每题5分,共15分)10.(改编题)设集合M ＝{x|0≤x ≤2},N ＝{y|0≤y ≤2},那么下面的4个图形中,能表示从集合M 到集合N 的函数关系的有( )【参考答案】BC11.(改编题)下列各组函数中,不表示同一函数的是( ) A.f(x)＝e ln x,g(x)＝x B.f(x)＝x 2-4x+2,g(x)＝x-2 C.f(x)＝sin2x2cosx,g(x)＝sin xD.f(x)＝|x|,g(x)＝√x 2 【参考答案】ABC12.(改编题)已知f(x)＝{log 3x,x >0,a x +b,x ≤0且f(0)＝2, f(-1)＝3,则( )A.a ＝12,b ＝1 B.f(f(-3))＝2 C.a ＝1,b ＝12D.f(f(-3))＝12【参考答案】AB三、填空题(每题5分,共25分)13.(2019广东深圳期末,14)一次函数f(x)是减函数,且满足f[f(x)]＝4x-1,则f(x)＝ . 【参考答案】-2x+114.(2020届山西平遥中学月考,13)已知函数f(x)＝{log 2(1-x),x <1,3x -10,x ≥1,若f(x)＝-1,则x ＝ .【参考答案】12或215.(2019届四川高三第一次诊断性测试,15)已知函数f(x)＝{2-x -2,x ≤0,f(x -2)+1,x >0,则f(2 019)＝ .【参考答案】1 01016.(2018河北石家庄月考,15)已知函数f(x)＝2x+1与函数y ＝g(x)的图象关于直线x ＝2成轴对称图形,则函数y ＝g(x)的解析式为 . 【参考答案】g(x)＝9-2x17.(改编题)已知函数f(x)＝{(lnx)2+alnx+b(x>0),e x+12(x≤0).若f(e2)＝f(1), f(e)＝43f(0),则a,b的值为,;函数f(x)的值域为.【参考答案】-2;3;(12,32]∪[2,+∞)。

高考数学总复习 3-1 导数的概念及运算但因为测试 新人教B版1.(文)(2011·龙岩质检)f ′(x )是f (x )＝13x 3＋2x ＋1的导函数，则f ′(－1)的值是( )A ．1B ．2C ．3D ．4 [答案] C[解析] ∵f ′(x )＝x 2＋2，∴f ′(－1)＝3.(理)(2011·青岛质检)设f (x )＝x ln x ，若f ′(x 0)＝2，则x 0＝( ) A ．e 2 B ．e C.ln22 D ．ln2[答案] B[解析] f ′(x )＝1＋ln x ，∴f ′(x 0)＝1＋ln x 0＝2， ∴ln x 0＝1，∴x 0＝e ，故选B.2．(2011·皖南八校联考)直线y ＝kx ＋b 与曲线y ＝x 3＋ax ＋1相切于点(2,3)，则b 的值为( )A ．－3B ．9C ．－15D ．－7[答案] C[解析] 将点(2,3)分别代入曲线y ＝x 3＋ax ＋1和直线y ＝kx ＋b ，得a ＝－3,2k ＋b ＝3. 又k ＝y ′|x ＝2＝(3x 2－3)|x ＝2＝9， ∴b ＝3－2k ＝3－18＝－15.3．(文)(2011·广东省东莞市模拟)已知曲线y ＝18x 2的一条切线的斜率为12，则切点的横坐标为( )A ．4B ．3C ．2 D.12[答案] C[解析] k ＝y ′＝14x ＝12，∴x ＝2.(理)(2011·广东华南师大附中测试)曲线y ＝2x 2在点P (1，2)处的切线方程是( ) A ．4x －y －2＝0 B ．4x ＋y －2＝0 C ．4x ＋y ＋2＝0 D ．4x －y ＋2＝0[答案] A[解析] k ＝y ′|x ＝1＝4x |x ＝1＝4，∴切线方程为y －2＝4(x －1)，即4x －y －2＝0. 4．(文)(2010·黑龙江省哈三中)已知y ＝tan x ，x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，当y ′＝2时，x 等于( )A.π3B.23πC.π4D.π6[答案] C[解析] y ′＝(tan x )′＝⎝⎛⎭⎫sin x cos x ′＝cos 2x ＋sin 2x cos 2x ＝1cos 2x ＝2，∴cos 2x ＝12，∴cos x ＝±22， ∵x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴x ＝π4. (理)(2010·黑龙江省哈三中)已知y ＝sin x 1＋cos x ，x ∈(0，π)，当y ′＝2时，x 等于( )A.π3B.2π3 C.π4 D.π6[答案] B[解析] y ′＝cos x · 1＋cos x －sin x · －sin x 1＋cos x 2＝11＋cos x＝2，∴cos x ＝－12，∵x ∈(0，π)，∴x ＝2π3.5．(2011·山东淄博一中期末)曲线y ＝13x 3＋x 在点⎝⎛⎭⎫1，43处的切线与坐标轴围成的三角形面积为( )A ．1 B.19 C.13 D.23[答案] B[解析] ∵y ′＝x 2＋1，∴k ＝2，切线方程y －43＝2(x －1)，即6x －3y －2＝0，令x ＝0得y ＝－23，令y ＝0得x ＝13，∴S ＝12×13×23＝19.6．(文)已知f (x )＝log a x (a >1)的导函数是f ′(x )，记A ＝f ′(a )，B ＝f (a ＋1)－f (a )，C ＝f ′(a ＋1)，则( )A ．A >B >C B ．A >C >B C ．B >A >CD ．C >B >A[答案] A[解析] 记M (a ，f (a ))，N (a ＋1，f (a ＋1))，则由于B ＝f (a ＋1)－f (a )＝f a ＋1 －f a a ＋1 －a，表示直线MN 的斜率，A ＝f ′(a )表示函数f (x )＝log a x 在点M 处的切线斜率；C ＝f ′(a ＋1)表示函数f (x )＝log a x 在点N 处的切线斜率．所以，A >B >C .(理)设函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6－1(ω>0)的导函数f ′(x )的最大值为3，则f (x )图象的一条对称轴方程是( )A ．x ＝π9B ．x ＝π6C ．x ＝π3D ．x ＝π2[答案] A[解析] f ′(x )＝ωcos ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6的最大值为3， 即ω＝3，∴f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫3x ＋π6－1. 由3x ＋π6＝π2＋k π得，x ＝π9＋k π3 (k ∈Z)．故A 正确．7．如图，函数y ＝f (x )的图象在点P (5，f (5))处的切线方程是y ＝－x ＋8，则f (5)＋f ′(5)＝________.[答案] 2[解析] 由条件知f ′(5)＝－1，又在点P 处切线方程为y －f (5)＝－(x －5)，∴y ＝－x ＋5＋f (5)，即y ＝－x ＋8，∴5＋f (5)＝8，∴f (5)＝3，∴f (5)＋f ′(5)＝2.8．(文)(2011·北京模拟)已知函数f (x )＝3x 3＋2x 2－1在区间(m,0)上总有f ′(x )≤0成立，则m 的取值范围为________．[答案] [－49，0)[解析] ∵f ′(x )＝9x 2＋4x ≤0在(m,0)上恒成立，且f ′(x )＝0的两根为x 1＝0，x 2＝－49，∴－49≤m <0. (理)设a ∈R ，函数f (x )＝x 3＋ax 2＋(a －3)x 的导函数是f ′(x )，若f ′(x )是偶函数，则曲线y ＝f (x )在原点处的切线方程为________．[答案] y ＝－3x[解析] f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋(a －3)，又f ′(－x )＝f ′(x )，即3x 2－2ax ＋(a －3)＝3x 2＋2ax ＋(a －3) 对任意x ∈R 都成立，所以a ＝0，f ′(x )＝3x 2－3，f ′(0)＝－3， 曲线y ＝f (x )在原点处的切线方程为y ＝－3x .9．(2011·济南模拟)设曲线y ＝x n ＋1(n ∈N *)在点(1,1)处的切线与x 轴的交点的横坐标为x n ，令a n ＝lg x n ，则a 1＋a 2＋…＋a 99的值为________．[答案] －2[解析] 点(1,1)在曲线y ＝x n ＋1(n ∈N *)上，点(1,1)为切点，y ′＝(n ＋1)x n ，故切线的斜率为k ＝n ＋1，曲线在点(1,1)处的切线方程y －1＝(n ＋1)(x －1)，令y ＝0得切点的横坐标为x n ＝n n ＋1，故a 1＋a 2＋…＋a 99＝lg(x 1x 2…x 99)＝lg(12×23×…×99100)＝lg 1100＝－2.10．(文)设函数y ＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d 的图象与y 轴交点为P ，且曲线在P 点处的切线方程为12x －y －4＝0. 若函数在x ＝2处取得极值0，试确定函数的解析式.[解析] ∵y ＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d 的图象与y 轴的交点为P (0，d )，又曲线在点P 处的切线方程为y ＝12x －4，P 点坐标适合方程，从而d ＝－4； 又切线斜率k ＝12，故在x ＝0处的导数y ′|x ＝0＝12而y ′|x ＝0＝c ，从而c ＝12； 又函数在x ＝2处取得极值0，所以⎩⎪⎨⎪⎧ y ′|x ＝2＝0f 2＝0即⎩⎪⎨⎪⎧12a ＋4b ＋12＝08a ＋4b ＋20＝0解得a ＝2，b ＝－9所以所求函数解析式为y ＝2x 3－9x 2＋12x －4.(理)(2010·北京东城区)已知函数f (x )＝ax 2＋b ln x 在x ＝1处有极值12.(1)求a ，b 的值；(2)判断函数y ＝f (x )的单调性并求出单调区间． [解析] (1)因为函数f (x )＝ax 2＋b ln x ， 所以f ′(x )＝2ax ＋bx.又函数f (x )在x ＝1处有极值12，所以⎩⎪⎨⎪⎧ f ′ 1＝0f 1＝12，即⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋b ＝0a ＝12， 可得a ＝12，b ＝－1.(2)由(1)可知f (x )＝12x 2－ln x ，其定义域是(0，＋∞)，且f ′(x )＝x －1x ＝x ＋1 x－1 x.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：所以函数y11.(文)(2011·聊城模拟)曲线y ＝e x 在点(2，e 2)处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积为( )A.94e 2 B ．2e 2 C ．e 2D.e 22[答案] D[解析] y ′|x ＝2＝e 2，∴切线方程为y －e 2＝e 2(x －2)， 令x ＝0得y ＝－e 2，令y ＝0得x ＝1， ∴所求面积S ＝e 22.(理)(2011·湖南文，7)曲线y ＝sin x sin x ＋cos x －12在点M (π4，0)处的切线的斜率为( )A ．－ 12B.12 C ．－22D.22[答案] B[解析] ∵y ′＝cos x s in x ＋cos x －sin x c os x －sin x s in x ＋cos x 2＝1s in x ＋cos x 2，∴y ′|x ＝π4 ＝12. 12．(文)(2011·江西理，4)若f (x )＝x 2－2x －4ln x ，则f ′(x )＞0的解集为( ) A ．(0，＋∞) B ．(－1,0)∪(2，＋∞) C ．(2，＋∞) D ．(－1,0)[答案] C[解析] 因为f (x )＝x 2－2x －4ln x ，∴f ′(x )＝2x －2－4x ＝2 x 2－x －2x>0，即⎩⎪⎨⎪⎧x >0x 2－x －2>0，解得x >2，故选C.(理)(2011·广东省汕头市四校联考)已知函数f (x )(x ∈R)满足f (1)＝1，且f (x )的导函数f ′(x )<12，则f (x )<x 2＋12的解集为( )A ．{x |－1<x <1}B ．{x |x <－1}C ．{x |x <－1或x >1}D ．{x |x >1}[答案] D[解析] 令φ(x )＝f (x )－x 2－12，则φ′(x )＝f ′(x )－12<0，∴φ(x )在R 上是减函数，φ(1)＝f (1)－12－12＝1－1＝0，∴φ(x )＝f (x )－x 2－12<0的解集为{x |x >1}，选D.13．(文)二次函数y ＝f (x )的图象过原点，且它的导函数y ＝f ′(x )的图象是过第一、二、三象限的一条直线，则函数y ＝f (x )的图象的顶点在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限[答案] C[解析] 由题意可设f (x )＝ax 2＋bx ，f ′(x )＝2ax ＋b ，由于f ′(x )图象是过第一、二、三象限的一条直线，故2a >0，b >0，则f (x )＝a (x ＋b 2a )2－b 24a ，顶点(－b 2a ，－b 24a )在第三象限，故选C.(理)函数f (x )＝x cos x 的导函数f ′(x )在区间[－π，π]上的图象大致为( )[答案] A[解析] ∵f (x )＝x cos x ， ∴f ′(x )＝cos x －x sin x ，∴f ′(－x )＝f ′(x )，∴f ′(x )为偶函数，排除C ； ∵f ′(0)＝1，排除D ；由f ′⎝⎛⎭⎫π2＝－π2<0，f ′(2π)＝1>0，排除B ，故选A. 14．(文)(2011·山东省济南市调研)已知函数f (x )的图象在点M (1，f (1))处的切线方程是2x －3y ＋1＝0，则f (1)＋f ′(1)＝________.[答案] 53[解析] 由题意知点M 在f (x )的图象上，也在直线2x －3y ＋1＝0上，∴2×1－3f (1)＋1＝0，∴f (1)＝1，又f ′(1)＝23，∴f (1)＋f ′(1)＝53.(理)(2011·朝阳区统考)若曲线f (x )＝ax 3＋ln x 存在垂直于y 轴的切线，则实数a 的取值范围是________．[答案] (－∞，0)[解析] 由题意，可知f ′(x )＝3ax 2＋1x ，又因为存在垂直于y 轴的切线，所以3ax 2＋1x ＝0⇒a ＝－13x3(x >0)⇒a ∈(－∞，0)．15．(文)(2010·北京市延庆县模考)已知函数f (x )＝x 3－(a ＋b )x 2＋abx ，(0<a <b )． (1)若函数f (x )在点(1,0)处的切线的倾斜角为3π4，求a ，b 的值；(2)在(1)的条件下，求f (x )在区间[0,3]上的最值； (3)设f (x )在x ＝s 与x ＝t 处取得极值，其中s <t ， 求证：0<s <a <t <b .[解析] (1)f ′(x )＝3x 2－2(a ＋b )x ＋ab ，tan 3π4＝－1.由条件得⎩⎪⎨⎪⎧ f 1＝0f ′ 1＝－1，即⎩⎪⎨⎪⎧1－a ＋b ＋ab ＝03－2 a ＋b ＋ab ＝－1， 解得a ＝1，b ＝2或a ＝2，b ＝1，因为a <b ，所以a ＝1，b ＝2.(2)由(1)知f (x )＝x 3－3x 2＋2x ，f ′(x )＝3x 2－6x ＋2， 令f ′(x )＝3x 2－6x ＋2＝0，解得x 1＝1－33，x 2＝1＋33. 在区间[0,3]上，x ，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：(3)证明：f ′(x )＝3x 2－2(a ＋b )x ＋ab ，依据题意知s ，t 为二次方程f ′(x )＝0的两根． ∵f ′(0)＝ab >0，f ′(a )＝a 2－ab ＝a (a －b )<0， f ′(b )＝b 2－ab ＝b (b －a )>0，∴f ′(x )＝0在区间(0，a )与(a ，b )内分别有一个根． ∵s <t ，∴0<s <a <t <b .(理)已知定义在正实数集上的函数f (x )＝12x 2＋2ax ，g (x )＝3a 2ln x ＋b ，其中a >0.设两曲线y ＝f (x )，y ＝g (x )有公共点，且在该点处的切线相同．(1)用a 表示b ，并求b 的最大值； (2)求证：f (x )≥g (x ) (x >0)．[解析] (1)设y ＝f (x )与y ＝g (x )(x >0)的公共点为(x 0，y 0)，∴x 0>0. ∵f ′(x )＝x ＋2a ，g ′(x )＝3a 2x，由题意f (x 0)＝g (x 0)，且f ′(x 0)＝g ′(x 0)．∴⎩⎨⎧12x 20＋2ax 0＝3a 2ln x 0＋b x 0＋2a ＝3a2x，由x 0＋2a ＝3a 2x 0得x 0＝a 或x 0＝－3a (舍去)．则有b ＝12a 2＋2a 2－3a 2ln a ＝52a 2－3a 2ln a .令h (a )＝52a 2－3a 2ln a (a >0)，则h ′(a )＝2a (1－3ln a )．由h ′(a )>0得，0<a <e 13， 由h ′(a )<0得，a >e 13.故h (a )在(0，e 13)为增函数，在(e 13，＋∞)上为减函数， ∴h (a )在a ＝e 13时取最大值h (e 13)＝32e 23.即b 的最大值为32e 23.(2)设F (x )＝f (x )－g (x )＝12x 2＋2ax －3a 2ln x －b (x >0)，则F ′(x )＝x ＋2a －3a 2x ＝x －a x ＋3a x (x >0)．故F (x )在(0，a )为减函数，在(a ，＋∞)为增函数，于是函数F (x )在(0，＋∞)上的最小值是F (a )＝F (x 0)＝f (x 0)－g (x 0)＝0. 故当x >0时，有f (x )－g (x )≥0， 即当x >0时，f (x )≥g (x )．1．(2011·安徽省“江南十校”高三联考)已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，且满足f (x )＝2xf ′(1)＋x 2，则f ′(1)＝( )A ．－1B ．－2C ．1D ．2[答案] B[解析] f ′(x )＝2f ′(1)＋2x ，令x ＝1得f ′(1)＝2f ′(1)＋2，∴f ′(1)＝－2，故选B. 2．(2011·茂名一模)设函数f (x )＝g (x )＋x 2，曲线y ＝g (x )在点(1，g (1))处的切线方程为y ＝2x ＋1，则曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处切线的斜率为( )A ．4B ．－14C ．2D ．－12[答案] A[解析] ∵f (x )＝g (x )＋x 2，∴f ′(x )＝g ′(x )＋2x ，∴f ′(1)＝g ′(1)＋2，由条件知，g ′(1)＝2，∴f ′(1)＝4，故选A.3．(2010·新课标高考)曲线y ＝xx ＋2在点(－1，－1)处的切线方程为( )A ．y ＝2x ＋1B ．y ＝2x －1C ．y ＝－2x －3D ．y ＝－2x －2[答案] A [解析] ∵y ′＝x ′ x ＋2 －x x ＋2 ′x ＋2 2＝2x ＋2 2， ∴k ＝y ′|x ＝－1＝2－1＋2 2＝2，∴切线方程为：y ＋1＝2(x ＋1)，即y ＝2x ＋1.4．(2011·湖南湘西联考)下列图象中有一个是函数f (x )＝13x 3＋ax 2＋(a 2－1)x ＋1(a ∈R ，a ≠0)的导函数f ′(x )的图象，则f (－1)＝( )A.13 B ．－13C.53 D ．－53[答案] B[解析] f ′(x )＝x 2＋2ax ＋(a 2－1)，∵a ≠0， ∴其图象为最右侧的一个． 由f ′(0)＝a 2－1＝0，得a ＝±1. 由导函数f ′(x )的图象可知，a <0， 故a ＝－1，f (－1)＝－13－1＋1＝－13.5．(2011·广东省佛山市测试)设f (x )、g (x )是R 上的可导函数，f ′(x )、g ′(x )分别为f (x )、g (x )的导函数，且满足f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )<0，则当a <x <b 时，有( )A ．f (x )g (b )>f (b )g (x )B ．f (x )g (a )>f (a )g (x )C ．f (x )g (x )>f (b )g (b )D ．f (x )g (x )>f (a )g (a ) [答案] C[解析] 因为f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )＝[f (x )g (x )]′，所以[f (x )g (x )]′<0，所以函数y ＝f (x )g (x )在11 给定区间上是减函数，故选C.6．若函数f (x )＝e x sin x ，则此函数图象在点(4，f (4))处的切线的倾斜角为( )A.π2B ．0C ．钝角D ．锐角 [答案] C[解析] y ′|x ＝4＝(e x sin x ＋e x cos x )|x ＝4＝e 4(sin4＋cos4)＝2e 4sin(4＋π4)<0，故倾斜角为钝角，选C.7．(2010·东北师大附中模拟)定义方程f (x )＝f ′(x )的实数根x 0叫做函数f (x )的“新驻点”，若函数g (x )＝x ，h (x )＝ln(x ＋1)，φ(x )＝x 3－1的“新驻点”分别为α，β，γ，则α，β，γ的大小关系为( )A ．α>β>γB ．β>α>γC ．γ>α>βD ．β>γ>α [答案] C[解析] 由g (x )＝g ′(x )得，x ＝1，∴α＝1，由h (x )＝h ′(x )得，ln(x ＋1)＝1x ＋1，故知1<x ＋1<2，∴0<x <1，即0<β<1，由φ(x )＝φ′(x )得，x 3－1＝3x 2，∴x 2(x －3)＝1，∴x >3，故γ>3，∴γ>α>β.[点评] 对于ln(x ＋1)＝1x ＋1，假如0<x ＋1<1，则ln(x ＋1)<0，1x ＋1>1矛盾；假如x ＋1≥2，则1x ＋1≤12，即ln(x ＋1)≤12，∴x ＋1≤e ，∴x ≤e －1与x ≥1矛盾． 8．等比数列{a n }中，a 1＝2，a 8＝4，函数f (x )＝x (x －a 1)(x －a 2)…(x －a 8)，则f ′(0)＝( )A ．26B ．29C ．212D ．215[答案] C[解析] f ′(x )＝x ′·[(x －a 1)(x －a 2)…(x －a 8)]＋[(x －a 1)(x －a 2)…(x －a 8)]′·x＝(x －a 1)(x －a 2)…(x －a 8)＋[(x －a 1)(x －a 2)…(x －a 8)]′·x ，所以f ′(0)＝(0－a 1)(0－a 2)…(0－a 8)＋[(0－a 1)(0－a 2)…(0－a 8)]′·0＝a 1a 2…a 8.因为数列{a n }为等比数列，所以a 2a 7＝a 3a 6＝a 4a 5＝a 1a 8＝8，所以f ′(0)＝84＝212.。

课时规范练32 复数基础巩固组1.已知复数z 满足z (3-i)=10，则z=( )A.-3-iB .-3+iC .3-iD .3+i2.(2021湖北黄冈中学三模)已知复数z 满足z 2+4i =0，则|z|=( )A.4B.2C.√2D.13.设复数z 满足|z+1|=|z-i |，z 在复平面内对应的点为(x ，y )，则( )A.x=0B .y=0C .x-y=0D .x+y=04.(2021山东聊城二模)已知复数z 1=-2+i ，z 2=z1i ，在复平面内，复数z 1和z 2对应的两点之间的距离是( )A.√5B.√10C.5D.105.复数z=a+(1-a )i ，a ∈R ，则z 在复平面内对应的点不可能在的象限为( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限6.已知i 为虚数单位，则下列结论不正确的是( )A.复数z=1+2i 1−i 的虚部为32B.复数z=2+5i-i 的共轭复数z =-5-2iC.复数z=12−12i 在复平面内对应的点位于第二象限D.复数z 满足1z ∈R ，则z ∈R7.复数z 在复平面内所对应的点的坐标为(1，1)，则|z|z 的实部与虚部的和是( )A.√2 B .0C .√22D .√22−√22i8.已知i 是虚数单位，则复数z=(1+i)(2-i)的实部是 .9.(2021河北石家庄二模)设a ，b 为实数，若复数1+2i a+bi =1-i ，则a b = .综合提升组10.对任意z 1，z 2，z ∈C ，下列结论不成立的是( )A.当m ，n ∈N *时，有z m z n =z m+nB.当z 1，z 2∈C 时，若z 12+z 22=0，则z 1=0且z 2=0C.互为共轭复数的两个复数的模相等，且|z |2=|z|2=z zD.z 1=z 2的必要不充分条件是|z 1|=|z 2|11.设z 1，z 2是复数，则下列命题是假命题的有( )A.若|z 1-z 2|=0，则z 1=z 2B.若z 1=z 2，则z 1=z 2C.若|z 1|=|z 2|，则z 1z 1=z 2z 2D.若|z 1|=|z 2|，则z 12=z 2212.(2021山东淄博三模)已知复数z 满足等式|z-i |=1，则|z-1|的最大值为 .13.(2020全国Ⅱ，理15)设复数z 1，z 2满足|z 1|=|z 2|=2，z 1+z 2=√3+i ，则|z 1-z 2|= .14.已知复数z 1=i ，z 2=2i 1+i ，则|z 1+z 2|= ，z 1+z 12+…+z 12020= .创新应用组15.已知复数z=1+cos 2θ+isin 2θ-π2<θ<π2，则下列说法错误的是( )A.复数z 在复平面上对应的点可能落在第二象限B.z 可能为实数C.|z|=2cos θD.1z 的实部为1216.国际数学教育大会(ICME)是世界数学教育规模最大、水平最高的学术性会议，第十四届大会将在上海召开，其会标如图，包含着许多数学元素.主画面是非常优美的几何化的中心对称图形，由弦图、圆和螺线组成，主画面标明的ICME-14下方的“”是用中国古代八进制的计数符号写出的八进制数3744，也可以读出其二进制码(0)11111100100，换算成十进制的数是n ，则(1+i)2n = ，(1+i √2)n= .17.已知复数z 对应的点在复平面第一象限内，甲、乙、丙、丁四人对复数z 的陈述如下(i 为虚数单位):甲:z+z =2;乙:z-z =2√3i;丙:z z =4;丁:z =z 22.在甲、乙、丙、丁四人陈述中，有且只有两个人的陈述正确，则复数z= .课时规范练32 复数1.D 解析:z=103−i =10(3+i)(3-i)(3+i)=3+i ，故选D .2.B 解析:设z=a+b i(a ，b ∈R )，则z 2+4i =(a+b i)2+4i =a 2-b 2+(2ab+4)i =0，所以a 2=b 2且ab=-2，即a=√2，b=-√2或a=-√2，b=√2，故|z|=√a 2+b 2=2.故选B .3.D 解析:复数z 满足|z+1|=|z-i |，∴√(x +1)2+y 2=√x 2+(y -1)2，化简得x+y=0，故选D .4.B 解析:z 1=-2+i 在复平面内对应的点的坐标为(-2，1)， z 2=z 1i =-i(-2+i)-i 2=1+2i 在复平面内对应的点的坐标为(1，2)，所以复数z 1和z 2在复平面内对应的两点之间的距离为√(-2-1)2+(1−2)2=√10.故选B .5.C 解析:当在复平面内对应的点在第三象限时，满足{1−a <0,a <0,此时a 不存在. 故选C .6.C 对于A ，z=1+2i 1−i =(1+2i)(1+i)(1-i)(1+i)=-12+32i ，其虚部为32，故A 正确;对于B ，z=2+5i -i =(2+5i)i =-5+2i ，故z =-5-2i ，故B 正确;对于C ，z=12−12i 在复平面内对应点的坐标为12，-12，位于第四象限，故C 不正确;对于D ，设z=a+b i(a ，b ∈R )，则1z =1a+bi =a -bi a 2+b 2，又1z ∈R ，得b=0，所以z=a ∈R ，故D正确.故选C.7.B 由题意可得，z=1+i ，z =1-i ，则|z|=|z |=√2，∴|z|z =√21+i =√2(1-i)(1+i)(1-i)=√22−√22i ，所以|z|z 的实部为√22，虚部为-√22，故实部和虚部的和为0，故选B .8.3 解析:z=(1+i)(2-i)=3+i ，实部是3.9.-13 解析:1+2i a+bi =1-i ，则a+b i =1+2i 1−i =(1+2i)(1+i)(1-i)(1+i)=-1+3i 2=-12+32i ， 所以a=-12，b=32，因此a b =-13.10.B解析:由复数乘法的运算律知，A正确;取z1=1，z2=i，满足z12+z22=0，但z1=0且z2=0不成立，故B错误;由复数的模及共轭复数的概念知结论成立，故C正确;由z1=z2能推出|z1|=|z2|，但|z1|=|z2|推不出z1=z2，因此z1=z2的必要不充分条件是|z1|=|z2|，故D正确.故选B.11.D解析:对于A，若|z1-z2|=0，则z1-z2=0，z1=z2，所以z1=z2，故A为真命题;对于B，若z1=z2，则z1和z2互为共轭复数，所以z1=z2，故B为真命题;对于C，设z1=a1+b1i，z2=a2+b2i，a1，b1，a2，b2∈R，若|z1|=|z2|，则√a12+b12=√a22+b22，即a12+b12=a22+b22，所以z1z1=a12+b12=a22+b22=z2z2，故C为真命题;对于D，若z1=1，z2=i，则|z1|=|z2|，而z12=1，z22=-1，故D为假命题.故选D.12.√2+1解析:因为|z-i|=1，所以复数z在复平面内对应的点是以(0，1)为圆心，1为半径的圆，如图所示，则|z-1|的最大值为圆心(0，1)到点A(1，0)的距离加1，即√(0-1)2+(1-0)2+1=√2+1.13.2√3解析:设z1=a+b i，z2=c+d i，a，b，c，d∈R.∵|z1|=|z2|=2，∴a2+b2=4，c2+d2=4.又z1+z2=(a+c)+(b+d)i=√3+i，∴a+c=√3，b+d=1.∴(a+c)2+(b+d)2=a2+b2+c2+d2+2ac+2bd=8+2ac+2bd=4.∴2ac+2bd=-4.∴(a-c)2+(b-d)2=a2+c2+b2+d2-2ac-2bd=8-(-4)=12.∴|z1-z2|=√(a-c)2+(b-d)2=2√3.14.√50解析:因为z2=2i1+i =2i(1−i)(1+i)(1-i)=1+i，z1+z2=i+(1+i)=1+2i，所以|z1+z2|=√12+22=√5;z1+z12+…+z12020=z1(1-z12020)1−z1=i(1−i2020)1−i=i[1−(i4)505]1−i=i(1−1)1−i=0.15.A解析:因为-π2<θ<π2，所以-π<2θ<π，所以-1<cos2θ≤1，所以0<1+cos2θ≤2，故A错误;当sin2θ=0，θ=0∈-π2,π2时，复数z是实数，故B正确;|z|=√(1+cos2θ)2+(sin2θ)2=√2+2cos2θ=2cosθ，故C正确;1 z =11+cos2θ+isin2θ=1+cos2θ-isin2θ(1+cos2θ+isin2θ)(1+cos2θ-isin2θ)=1+cos2θ-isin2θ2+2cos2θ，则1z的实部是1+cos2θ2+2cos2θ=12，故D正确.故选A.16.-22 020-1∵11111100100=1×210+1×29+1×28+1×27+1×26+1×25+0×24+0×23+1×22+0×21+0×20=2020.∴(1+i)2n=(2i)2020=-22020.(√2)n=(√2)2020=(√2)2×1010=i1010=-1.17.1+i解析:设z=a+b i(a>0，b>0)，则z=a-b i，∴z+z=2a，z-z=2b i，z z=a2+b2，z =z2a2+b2.∵z z=4与z =z22不可能同时成立，∴丙、丁的陈述不能同时正确;∵当z-z=2√3i时，b2=3>2，此时z =z22不成立，∴乙、丁的陈述不能同时正确;当甲、乙的陈述正确时，a=1，b=√3，则丙的陈述也正确，不合题意;当甲、丙的陈述正确时，a=1，b=√3，则乙的陈述也正确，不合题意;当乙、丙的陈述正确时，b=√3，a=1，则甲的陈述也正确，不合题意;当甲、丁的陈述正确时，a=b=1，乙、丙的陈述错误，符合题意.故z=1+i.。

题组层级快练3.3.1导数的应用--极值与最值一、单项选择题1．(2021·辽宁沈阳一模)设函数f(x)＝xe x＋1，则()A．x＝1为f(x)的极大值点B．x＝1为f(x)的极小值点C．x＝－1为f(x)的极大值点D．x＝－1为f(x)的极小值点2．(2021·河北邯郸一中月考)若函数f(x)＝ae x－sinx在x＝0处有极值，则a的值为() A．－1B．0C．1D．e3．函数f(x)＝12x－sinx在0，π2上的最小值和最大值分别是()A.π6－32，0 B.π4－1，0 C.π6－32，π4－1D．－12，124．(2021·杭州学军中学模拟)函数f(x)＝xe－x，x∈[0，4]的最小值为()A．0 B.1e C.4e4D.2e25．若函数f(x)＝x3－3x＋a有3个不同的零点，则实数a的取值范围是()A．(－2，2)B．[－2，2]C．(－∞，－1)D．(1，＋∞)6．若函数y＝ax3＋bx2取得极大值和极小值时的x的值分别为0和13，则()A．a－2b＝0B．2a－b＝0C．2a＋b＝0D．a＋2b＝07．设二次函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数f(x)在x＝－2处取得极小值，则函数y＝xf′(x)的图象可能是()二、多项选择题8．已知函数f(x)＝x3－ax－1，以下结论正确的是()A．当a＝0时，函数f(x)的图象的对称中心为(0，－1)B．当a≥3时，函数f(x)在(－1，1)上为单调递减函数C．若函数f(x)在(－1，1)上不单调，则0<a<3D．当a＝12时，f(x)在[－4，5]上的最大值为159．(2021·山东临沂期末)已知函数f(x)＝x＋sinx－xcosx的定义域为[－2π，2π)，则()A．f(x)为奇函数B．f(x)在[0，π)上单调递增C．f(x)恰有4个极大值点D．f(x)有且仅有4个极值点三、填空题与解答题10．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1处取得极值10，则f(2)的值为________．11．(2021·内蒙古兴安盟模拟)已知f(x)＝2x3－6x2＋m(m为常数)，在[－2，2]上有最大值3，那么此函数在[－2，2]上的最小值为________．12．(2018·江苏)若函数f(x)＝2x3－ax2＋1(a∈R)在(0，＋∞)内有且只有一个零点，则f(x)在[－1，1]上的最大值与最小值的和为________．13．(2021·广东省高二期末)已知函数f(x)＝13x3－4x＋3.(1)求函数f(x)的单调区间；(2)求函数f(x)在区间[－3，5]上的最大值与最小值．14．已知函数f(x)＝(x2－2x)e x(x∈R，e为自然对数的底数)．(1)求函数f(x)的单调区间；(2)求函数f(x)在区间[0，m]上的最大值和最小值．15．(2021·天水一中诊断)若函数f(x)＝ax22－(1＋2a)·x＋2lnx(a>0)a的取值范围是()B．(1，＋∞)C．(1，2)D．(2，＋∞)16．(2016·北京)设函数f(x)3－3x，x≤a，2x，x>a.(1)若a＝0，则f(x)的最大值为________；(2)若f(x)无最大值，则实数a的取值范围是________．17．(2020·衡水中学调研卷)已知函数f(x)＝xlnx.(1)求函数f(x)的极值点；(2)设函数g(x)＝f(x)－a(x－1)，其中a∈R，求函数g(x)在区间[1，e]上的最小值．(其中e为自然对数的底数)．3.3.1导数的应用--极值与最值参考答案1．答案D解析由f(x)＝xe x ＋1，可得f ′(x)＝(x ＋1)e x ，令f ′(x)>0可得x>－1，即函数f(x)在(－1，＋∞)上单调递增；令f ′(x)<0可得x<－1，即函数f(x)在(－∞，－1)上单调递减，所以x ＝－1为f(x)的极小值点．故选D.2．答案C解析f ′(x)＝ae x －cosx ，若函数f(x)＝ae x －sinx 在x ＝0处有极值，则f ′(0)＝a －1＝0，解得a ＝1，经检验a ＝1符合题意．故选C.3．答案A解析函数f(x)＝12x －sinx ，f ′(x)＝12－cosx ，令f ′(x)>0，解得π3＜x ≤π2，令f ′(x)<0，解得0≤x<π3，所以f(x)在0，π2上单调递增，所以f(x)min ＝＝π6－32，而f(0)＝0，＝π4－1<0，故f(x)在区间0，π2上的最小值和最大值分别是π6－32，0.故选A.4．答案A解析f ′(x)＝1－xe x，当x ∈[0，1)时，f ′(x)>0，f(x)单调递增，当x ∈(1，4]时，f ′(x)<0，f(x)单调递减，因为f(0)＝0，f(4)＝4e 4>0，所以当x ＝0时，f(x)有最小值，且最小值为0.故选A.5．答案A解析f ′(x)＝3x 2－3，令f ′(x)＝0，得x ＝±1.三次方程f(x)＝0有3个根⇔f(x)极大值>0且f(x)极小值<0.∵x ＝－1为极大值点，x ＝1为极小值点，（－1）＝2＋a>0，（1）＝a －2<0，∴－2<a<2.故选A.6．答案D解析y ′＝3ax 2＋2bx ，据题意，0，13是方程3ax 2＋2bx ＝0的两根，∴－2b 3a ＝13，∴a ＋2b ＝0.故选D.7．答案C解析由f(x)在x ＝－2处取得极小值可知，当x<－2时，f ′(x)<0，则xf ′(x)>0；当－2<x<0时，f ′(x)>0，则xf ′(x)<0；当x ＞0时，f ′(x)＞0，则xf ′(x)＞0.故选C.8．答案ABC解析本题考查利用导数研究函数的单调性、极值、最值．y ＝x 3为R 上的奇函数，其图象的对称中心为原点，当a ＝0时，根据平移知识，函数f(x)的图象的对称中心为(0，－1)，A 正确；由题意知f ′(x)＝3x 2－a ，因为当－1<x<1时，3x 2<3，又a ≥3，所以f ′(x)<0在(－1，1)上恒成立，所以函数f(x)在(－1，1)上为单调递减函数，B 正确；f ′(x)＝3x 2－a ，当a ≤0时，f ′(x)≥0，f ′(x)不恒等于0，此时f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增，不符合题意，故a>0.令f ′(x)＝0，解得x ＝±3a3.因为f(x)在(－1，1)上不单调，所以f ′(x)＝0在(－1，1)上有解，所以0<3a3<1，解得0<a<3，C 正确；令f ′(x)＝3x 2－12＝0，得x ＝±2.根据函数的单调性，f(x)在[－4，5]上的最大值只可能为f(－2)或f(5)．因为f(－2)＝15，f(5)＝64，所以最大值为64，D 错误．故选ABC.9．答案ABD解析A 显然正确；∵f(x)＝x ＋sinx －xcosx ，∴f ′(x)＝1＋cosx －(cosx －xsinx)＝1＋xsinx.当x ∈[0，π)时，f ′(x)>0，则f(x)在[0，π)上单调递增．显然f ′(0)≠0，令f ′(x)＝0，得sinx ＝－1x ，分别作出函数y＝sinx ，y ＝－1x的图象如图．由图可知，这两个函数的图象在区间[－2π，2π)上共有4个公共点，且两图象在这些公共点上都不相切，故f(x)在区间[－2π，2π)上有4个极值点，且只有2个极大值点．10．答案18解析f ′(x)＝3x 2＋2ax ＋b 1）＝10，1）＝0，2＋a ＋b ＋1＝10，＋b ＋3＝0，＝4，＝－11＝－3，＝3.当a ＝－3，b ＝3时，f ′(x)＝3(x －1)2≥0，f(x)无极值，故舍去．当a ＝4，b ＝－11时，令f ′(x)＝0，得x 1＝1，x 2＝－113.当x 变化时，f ′(x)，f(x)的变化情况如下表：∴f(x)＝x 3＋4x 2－11x ＋16，f(2)＝18.11．答案－37解析由已知可得，f ′(x)＝6x 2－12x ，由6x 2－12x ≥0得x ≥2或x ≤0，因此当x ∈[2，＋∞)，(－∞，0]时f(x)单调递增，当x ∈[0，2]时f(x)单调递减，又因为x ∈[－2，2]，所以当x ∈[－2，0]时f(x)单调递增，当x ∈[0，2]时f(x)单调递减，所以f(x)max ＝f(0)＝m ＝3，故有f(x)＝2x 3－6x 2＋3，所以f(－2)＝－37，f(2)＝－5.因为f(－2)＝－37＜f(2)＝－5，所以函数f(x)的最小值为f(－2)＝－37.12．答案－3解析令f(x)＝2x 3－ax 2＋1＝0⇒a ＝2x ＋1x2.令g(x)＝2x ＋1x 2(x>0)，g ′(x)＝2－2x 3>0⇒x>1⇒g(x)在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增．∵有唯一零点，∴a ＝g(1)＝2＋1＝3⇒f(x)＝2x 3－3x 2＋1.求导可知在[－1，1]上，f(x)min ＝f(－1)＝－4，f(x)max ＝f(0)＝1，∴f(x)min ＋f(x)max ＝－3.13．答案(1)函数f(x)的单调递增区间为(－∞，－2)，(2，＋∞)，单调递减区间为(－2，2)(2)函数f(x)在区间[－3，5]上的最大值为743，最小值为－73思路(1)求导后，利用导数的符号可得函数的单调区间；(2)由(1)知，函数f(x)在[－3，－2)上单调递增，在[－2，2]上单调递减，在(2，5]上单调递增，根据单调性可得最大最小值．解析(1)f ′(x)＝x 2－4，由f ′(x)>0，得x>2或x<－2；由f ′(x)<0，得－2<x<2，所以函数f(x)的单调递增区间为(－∞，－2)，(2，＋∞)，单调递减区间为(－2，2)．(2)由(1)知，函数f(x)在[－3，－2)上单调递增，在(－2，2)上单调递减，在(2，5]上单调递增，因为f(－3)＝13×(－3)3－4×(－3)＋3＝6，f(2)＝13×23－4×2＋3＝－73，f(－2)＝13×(－2)3－4×(－2)＋3＝253，f(5)＝13×53－4×5＋3＝743，所以函数f(x)在区间[－3，5]上的最大值为743，最小值为－73.14．答案略解析(1)f(x)＝(x 2－2x)e x ，求导得f ′(x)＝e x (x 2－2)．因为e x >0，令f ′(x)＝e x (x 2－2)>0，即x 2－2>0，解得x<－2或x> 2.令f ′(x)＝e x (x 2－2)<0，即x 2－2<0，解得－2<x< 2.所以函数f(x)在(－∞，－2)和(2，＋∞)上单调递增，在(－2，2)上单调递减．即函数f(x)的单调递增区间为(－∞，－2)，(2，＋∞)，单调递减区间为(－2，2)．(2)①当0<m ≤2时，因为f(x)在(－2，2)上单调递减，所以f(x)在区间[0，m]上的最大值为f(0)＝0，f(x)在区间[0，m]上的最小值为f(m)＝(m 2－2m)e m .②当2<m ≤2时，因为f(x)在(－2，2)上单调递减，f(x)在(2，＋∞)上单调递增，且f(0)＝f(2)＝0，所以f(x)在[0，m]上的最大值为f(0)＝0，f(x)在区间[0，m]上的最小值为f(2)＝(2－22)e 2.③当m>2时，因为f(x)在(－2，2)上单调递减，f(x)在(2，＋∞)上单调递增，且f(m)>0＝f(0)，所以f(x)在[0，m]上的最大值为f(m)＝(m 2－2m)·e m ，f(x)在区间[0，m]上的最小值为f(2)＝(2－22)e 2.15．思路把函数f(x)题，然后再通过分离参数的方法求出参数a 的取值范围．答案C 解析由f(x)＝ax 22－(1＋2a)x ＋2lnx(a>0，x ＞0)，得导数f ′(x)＝ax －(1＋2a)＋2x(x ＞0)，∵函数f(x)＝ax 22－(1＋2a)x ＋2lnx(a>0)∴方程ax －(1＋2a)＋2x＝0∴a ＝1x 在区间故a ＝1x∈(1，2)，则a 的取值范围是(1，2)．故选C.评说涉及函数的极值问题，往往要使用导数这个解题的工具，在解题时要注意运用等价转化的解题思想．16．答案(1)2(2)(－∞，－1)解析(1)若a ＝0，则f(x)3－3x ，x ≤0，2x ，x>0，当x>0时，－2x<0；当x ≤0时，f ′(x)＝3x 2－3＝3(x ＋1)·(x－1)，令f ′(x)>0，得x<－1，令f ′(x)<0，得－1<x ≤0，所以函数f(x)在(－∞，－1)上单调递增，在(－1，0]上单调递减，所以函数f(x)在(－∞，0]上的最大值为f(－1)＝2.综上可得，函数f(x)的最大值为2.(2)函数y ＝x 3－3x 与y ＝－2x 的大致图象如图所示，由图可知当f(x)无最大值时，a ∈(－∞，－1)．17．答案(1)极小值点为x ＝1e，无极大值点(2)当a ≤1时，g(x)min ＝0，当1<a<2时，g(x)min ＝a －e a －1，当a ≥2时，g(x)min ＝a ＋e －ae 解析(1)f ′(x)＝lnx ＋1，x>0，由f ′(x)＝0，得x ＝1e .所以f(x)所以x ＝1e 是函数f(x)的极小值点，极大值点不存在．(2)g(x)＝xlnx －a(x －1)，则g ′(x)＝lnx ＋1－a ，由g ′(x)＝0，得x ＝e a －1.所以在区间(0，e a －1)上，g(x)单调递减，在区间(e a －1，＋∞)上，g(x)单调递增．当e a －1≤1，即a ≤1时，在区间[1，e]上，g(x)单调递增，所以g(x)的最小值为g(1)＝0.当1<e a－1<e，即1<a<2时，g(x)的最小值为g(e a－1)＝a－e a－1.当e a－1≥e，即a≥2时，在区间[1，e]上，g(x)单调递减，所以g(x)的最小值为g(e)＝a＋e－ae.综上，当a≤1时，g(x)的最小值为0；当1<a<2时，g(x)的最小值为a－e a－1；当a≥2时，g(x)的最小值为a＋e－ae.。