2015届高考理科数学第一轮总复习教(学)案79

第四章平面向量、数系的扩充与复数的引入第一节平面向量的概念及其线性运算(1)向量：既有大小，又有方向的量叫向量；向量的大小叫做向量的模．(2)零向量：长度为0的向量，其方向是任意的．(3)单位向量：长度等于1个单位的向量．(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：0与任一向量共线．(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量．(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量．2．向量的线性运算平行四边形法则3．共线向量定理向量a (a ≠0)与b 共线的充要条件是存在唯一一个实数λ，使得b ＝λa .1．作两个向量的差时，要注意向量的方向是指向被减向量的终点； 2．在向量共线的重要条件中易忽视“a ≠0”，否则λ可能不存在，也可能有无数个；3．要注意向量共线与三点共线的区别与联系． [试一试]1．若向量a 与b 不相等，则a 与b 一定( ) A ．有不相等的模 B ．不共线C ．不可能都是零向量D ．不可能都是单位向量答案：C2．若菱形ABCD 的边长为2，则|AB －CB＋CD |＝________.解析：|AB －CB ＋CD |＝|AB ＋BC ＋CD |＝|AD|＝2. 答案：21．向量的中线公式若P 为线段AB 的中点，O 为平面内一点，则OP OP ＝12(OA ＋OB)． 2．三点共线等价关系A ，P ，B 三点共线⇔AP ＝λAB(λ≠0)⇔OP ＝(1－t )·OA ＋t OB (O 为平面内异于A ，P ，B 的任一点，t ∈R )⇔OP ＝x OA ＋y OB(O 为平面内异于A ，P ，B 的任一点，x ∈R ，y ∈R ，x ＋y ＝1)．[练一练]1．D 是△ABC 的边AB 上的中点，则向量CD等于( ) A ．－BC ＋12BAB ．－BC －12BAC ．BC －12BAD ．BC ＋12BA答案：A2．已知a 与b 是两个不共线向量，且向量a ＋λb 与－(b －3a )共线，则λ＝________.解析：由题意知a ＋λb ＝k [－(b －3a )]， 所以⎩⎨⎧λ＝－k ，1＝3k ，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝13，λ＝－13.答案：－131.给出下列命题： ①若|a |＝|b |，则a ＝b ；②若A ，B ，C ，D 是不共线的四点，则AB ＝DC是四边形ABCD 为平行四边形的充要条件；③若a ＝b ，b ＝c ，则a ＝c ； ④a ＝b 的充要条件是|a |＝|b |且a ∥b ； ⑤若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c . 其中正确命题的序号是( )A ．②③B ．①②C ．③④D ．④⑤解析：选A ①不正确．两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同．②正确．∵AB ＝DC ，∴|AB |＝|DC |且AB ∥DC， 又A ，B ，C ，D 是不共线的四点， ∴四边形ABCD 为平行四边形； 反之，若四边形ABCD 为平行四边形，则AB ∥DC 且|AB |＝|DC |，因此，AB ＝DC. ③正确．∵a ＝b ，∴a ，b 的长度相等且方向相同， 又b ＝c ，∴b ，c 的长度相等且方向相同， ∴a ，c 的长度相等且方向相同，故a ＝c .④不正确．当a ∥b 且方向相反时，即使|a |＝|b |，也不能得到a ＝b ，故|a |＝|b |且a ∥b 不是a ＝b 的充要条件，而是必要不充分条件．⑤不正确．考虑b ＝0这种特殊情况． 综上所述，正确命题的序号是②③.故选A.2．设a 0为单位向量，①若a 为平面内的某个向量，则a ＝|a |a 0；②若a 与a 0平行，则a ＝|a |a 0；③若a 与a 0平行且|a |＝1，则a ＝a 0.上述命题中，假命题的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：选D 向量是既有大小又有方向的量，a 与|a |a 0的模相同，但方向不一定相同，故①是假命题；若a 与a 0平行，则a 与a 0的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时a ＝－|a |a 0，故②③也是假命题．综上所述，假命题的个数是3.[类题通法]平面向量中常用的几个结论(1)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性．(2)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量．解题时不要把它与函数图像的平移混为一谈．(3)a |a |是与a 同向的单位向量，a －|a |是与a 反向的单位向量．[典例] (1)如图，在正六边形ABCDEF 中，BA ＋CD ＋EF＝( )A ．0B ． BEC ．ADD ． CF(2)(2013·江苏高考)设D ，E 分别是△ABC 的边AB ，BC 上的点，AD ＝12AB ，BE ＝23BC .若DE ＝λ1AB ＋λ2AC (λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________．[解析] (1)如图，∵在正六边形ABCDEF 中，CD ＝AF，BF ＝CE，∴BA ＋CD ＋EF ＝BA ＋AF ＋EF ＝BF ＋EF ＝CE＋EF ＝CF.(2)由题意DE ＝CE ＋BE ＝12AB ＋23BC ＝12AB ＋23(BA ＋AC )＝－16AB＋23AC，所以λ1＝－16，λ2＝23，即λ1＋λ2＝12. [答案] (1)D (2)12解析：∵CD ＝CA ＋AD ，CD ＝CB ＋BD ，∴2CD ＝CA ＋CB ＋AD ＋BD .又∵AD＝2CE ， ∴2CD ＝CA ＋CB ＋13AB ＝CA ＋CB ＋13(CB －CA )＝23CA＋43CB .∴CD ＝13CA ＋23CB ，即λ＝23. 答案：23 [类题通法]在向量线性运算时，要尽可能转化到平行四边形或三角形中，运用平行四边形法则、三角形法则，利用三角形中位线、相似三角形对应边成比例等平面几何的性质，把未知向量转化为与已知向量有直接关系的向量来求解．[针对训练]若A ，B ，C ，D 是平面内任意四点，给出下列式子：①AB ＋CD ＝BC ＋DA ；②AC ＋BD ＝BC＋AD ； ③AC －BD ＝DC ＋AB.其中正确的有( ) A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个解析：选C ①式的等价式是AB －BC ＝DA －CD ，左边＝AB ＋CB，右边＝DA ＋DC ，不一定相等；②式的等价式是AC －BC ＝AD －BD ，AC＋CB＝AD ＋CE ＝AB 成立；③式的等价式是AC －DC ＝AB ＋BD ，AD ＝AD成立．[典例] 设两个非零向量a 与b 不共线，(1)若AB＝a ＋b ，BC ＝2a ＋8b ，CD ＝3(a －b )， 求证：A ，B ，D 三点共线．(2)试确定实数k ，使k a ＋b 和a ＋k b 共线．[解] (1)证明：∵AB＝a ＋b ，BC ＝2a ＋8b ，CD ＝3(a －b )，∴BD ＝BC ＋CD ＝2a ＋8b ＋3(a －b )＝2a ＋8b ＋3a －3b ＝5(a ＋b )＝5AB. ∴AB ，BD共线， 又∵它们有公共点B ， ∴A ，B ，D 三点共线． (2)∵k a ＋b 与a ＋k b 共线，∴存在实数λ，使k a ＋b ＝λ(a ＋k b )， 即k a ＋b ＝λa ＋λk b . ∴(k －λ)a ＝(λk －1)b .∵a ，b 是不共线的两个非零向量， ∴k －λ＝λk －1＝0， ∴k 2－1＝0.∴k ＝±1. [类题通法]1．共线向量定理及其应用(1)可以利用共线向量定理证明向量共线，也可以由向量共线求参数的值． (2)若a ，b 不共线，则λa ＋μb ＝0的充要条件是λ＝μ＝0，这一结论结合待定系数法应用非常广泛．2．证明三点共线的方法若AB＝λAC ，则A 、B 、C 三点共线． [针对训练]已知a ，b 不共线，OA ＝a ，OB ＝b ， OC ＝c ， OD ＝d ， OE＝e ，设t ∈R ，如果3a ＝c,2b ＝d ，e ＝t (a ＋b )，是否存在实数t 使C ，D ，E 三点在一条直线上？若存在，求出实数t 的值，若不存在，请说明理由．解：由题设知，CD ＝d －c ＝2b －3a ，CE＝e －c ＝(t －3)a ＋t b ，C ，D ，E 三点在一条直线上的充要条件是存在实数k ，使得CE ＝k CD，即(t －3)a ＋t b ＝－3k a ＋2k b ，整理得(t －3＋3k )a ＝(2k －t )b .因为a ，b 不共线，所以有⎩⎨⎧t －3＋3k ＝0，t －2k ＝0，解之得t ＝65.故存在实数t ＝65使C ，D ，E 三点在一条直线上．第二节平面向量的基本定理及坐标表示1．平面向量基本定理如果e 1，e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2.其中，不共线的向量e 1，e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．2．平面向量的坐标运算(1)向量加法、减法、数乘向量及向量的模： 设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ＋b ＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)，a －b ＝(x 1－x 2，y 1－y 2)，λa ＝(λx 1，λy 1)，|a |(2)向量坐标的求法：①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．②设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB＝(x 2－x 1，y 2－y 1)，|AB|3．平面向量共线的坐标表示设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，其中b ≠0.a ∥b ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0.1．若a 、b 为非零向量，当a ∥b 时，a ，b 的夹角为0°或180°，求解时容易忽视其中一种情形而导致出错；2．要区分点的坐标与向量坐标的不同，尽管在形式上它们完全一样，但意义完全不同，向量坐标中既有方向也有大小的信息．3．若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b 的充要条件不能表示成x 1x 2＝y 1y 2，因为x 2，y 2有可能等于0，应表示为x 1y 2－x 2y 1＝0.[试一试]1．若向量BA＝(2,3)，CA ＝(4,7)，则BC ＝( ) A ．(－2，－4) B ．(2,4) C ．(6,10)D ．(－6，－10)答案：A2．(2013·石家庄模拟)已知向量a ＝(1,2)，b ＝(x,1)，u ＝a ＋2b ，v ＝2a －b ，且u ∥v ，则实数x 的值是________．解析：∵u ＝(1＋2x,4)，v ＝(2－x,3)，u ∥v ，∴8－4x ＝3＋6x ，∴x ＝12. 答案：12用基向量表示所求向量时，注意方程思想的运用． [练一练]设e 1、e 2是平面内一组基向量，且a ＝e 1＋2e 2，b ＝－e 1＋e 2，则向量e 1＋e 2可以表示为另一组基向量a ，b 的线性组合，即e 1＋e 2＝________a ＋________b .解析：由题意，设e 1＋e 2＝m a ＋n b . 因为a ＝e 1＋2e 2，b ＝－e 1＋e 2，所以e 1＋e 2＝m (e 1＋2e 2)＋n (－e 1＋e 2)＝(m －n )e 1＋(2m ＋n )·e 2. 由平面向量基本定理，得⎩⎨⎧m －n ＝1，2m ＋n ＝1，所以⎩⎪⎨⎪⎧m ＝23，n ＝－13.答案：23 －131.(2014·昆明一中摸底)已知点M (5，－6)和向量a ＝(1，－2)，若MN＝－3a ，则点N 的坐标为( )A ．(2,0)B ．(－3,6)C ．(6,2)D ．(－2,0)解析：选A MN ＝－3a ＝－3(1，－2)＝(－3,6)，设N (x ，y )，则MN＝(x －5，y －(－6))＝(－3,6)，所以⎩⎨⎧ x －5＝－3，y ＋6＝6，即⎩⎨⎧x ＝2，y ＝0，选A.2．(2013·北京高考)向量a ，b ，c 在正方形网格中的位置如图所示．若c ＝λa ＋μb (λ，μ∈R )，则λμ＝________.解析：设i ，j 分别为水平方向和竖直方向上的正向单位向量，则a ＝－i ＋j ，b ＝6i ＋2j ，c ＝－i －3j ，所以－i －3j ＝λ(－i ＋j )＋μ(6i ＋2j )，根据平面向量基本定理得λ＝－2，μ＝－12，所以λμ＝4.答案：43．已知A (－2,4)，B (3，－1)，C (－3，－4)．设AB＝a ，BC ＝b ，CA ＝c . (1)求3a ＋b －3c ；(2)求满足a ＝m b ＋n c 的实数m ，n .解：由已知得a ＝(5，－5)，b ＝(－6，－3)，c ＝(1,8)． (1)3a ＋b －3c ＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1,8) ＝(15－6－3，－15－3－24) ＝(6，－42)．(2)∵m b ＋n c ＝(－6m ＋n ，－3m ＋8n )， ∴⎩⎨⎧ －6m ＋n ＝5，－3m ＋8n ＝－5，解得⎩⎨⎧m ＝－1，n ＝－1.[类题通法]1．向量的坐标运算实现了向量运算代数化，将数与形结合起来，从而可使几何问题转化为数量运算．2．两个向量相等当且仅当它们的坐标对应相同．此时注意方程(组)思想的应用．[典例] 如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，且AD ＝13BC ，E ，F 分别为线段AD 与BC 的中点．设BA＝a ，BC ＝b ，试用a ，b 为基底表示向量EF ， DF ，CD.[解] EF ＝EA ＋AB ＋BF ＝－16b －a ＋12b ＝13b －a ，DF ＝DE ＋EF ＝－16b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13b －a ＝16b －a ，CD ＝CF ＋FD ＝－12b －⎝ ⎛⎭⎪⎫16b －a ＝a －23b .[类题通法]用平面向量基本定理解决问题的一般思路(1)先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示为向量的形式，再通过向量的运算来解决．(2)在基底未给出的情况下，合理地选取基底会给解题带来方便．另外，要熟练运用平面几何的一些性质定理．[针对训练](2014·济南调研)如图，在△ABC 中，AN ＝13NC，P 是BN上的一点，若AP ＝m AB ＋211AC ，则实数m 的值为________．解析：因为AP ＝AB ＋BP ＝AB ＋k BN ＝AB＋k (AN －AB )＝AB ＋k ⎝ ⎛⎭⎪⎫14 AC－AB＝(1－k )AB ＋k 4AC，且AP ＝m AB ＋211AC， 所以1－k ＝m ，k 4＝211， 解得k ＝811，m ＝311. 答案：311[典例] 平面内给定三个向量a ＝(3,2)，b ＝(－1,2)，c ＝(4,1)． (1)求满足a ＝m b ＋n c 的实数m ，n ； (2)若(a ＋k c )∥(2b －a )，求实数k ； [解] (1)由题意得(3,2)＝m (－1,2)＋n (4,1)，所以⎩⎨⎧－m ＋4n ＝3，2m ＋n ＝2，得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝59，n ＝89.(2)a ＋k c ＝(3＋4k,2＋k )，2b －a ＝(－5,2)， 由题意得2×(3＋4k )－(－5)×(2＋k )＝0. ∴k ＝－1613.解：设由题意得⎩⎨⎧4(x －4)－2(y －1)＝0，(x －4)2＋(y －1)2＝5， 得⎩⎨⎧ x ＝3，y ＝－1或⎩⎨⎧x ＝5，y ＝3. ∴d ＝(3，－1)或(5,3)． [类题通法]1．向量共线的两种表示形式设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，①a ∥b ⇒a ＝λb (b ≠0)；②a ∥b ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0，至于使用哪种形式，应视题目的具体条件而定，一般情况涉及坐标的应用②.2．两向量共线的充要条件的作用判断两向量是否共线(平行)，可解决三点共线的问题；另外，利用两向量共线的充要条件可以列出方程(组)，求出未知数的值．[针对训练]已知A (1,1)，B (3，－1)，C (a ，b )．(1)若A ，B ，C 三点共线，求a ，b 的关系式； (2)若AC ＝2AB，求点C 的坐标．解：(1)由已知得AB＝(2，－2)，AC ＝(a －1，b －1)，∵A ，B ，C 三点共线，∴AB ∥AC. ∴2(b －1)＋2(a －1)＝0，即a ＋b ＝2.(2)∵AC ＝2AB ，∴(a －1，b －1)＝2(2，－2)． ∴⎩⎨⎧ a －1＝4，b －1＝－4，解得⎩⎨⎧a ＝5，b ＝－3. ∴点C 的坐标为(5，－3)．第三节平面向量的数量积与平面向量应用举例1．平面向量的数量积 平面向量数量积的定义已知两个非零向量a 和b ，它们的夹角为θ，把数量|a||b|cos θ叫做a 和b 的数量积(或内积)，记作a·b .即a·b ＝|a||b|cos θ，规定0·a ＝0.2．向量数量积的运算律 (1)a·b ＝b·a .(2)(λa )·b ＝λ(a·b )＝a·(λb ). (3)(a ＋b )·c ＝a·c ＋b·c .3．平面向量数量积的有关结论 已知非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)1．若a ，b ，c 是实数，则ab ＝ac ⇒b ＝c (a ≠0)；但对于向量就没有这样的性质，即若向量a ，b ，c ，若满足a ·b ＝a ·c (a ≠0)，则不一定有b ＝c ，即等式两边不能同时约去一个向量，但可以同时乘以一个向量．2．数量积运算不适合结合律，即(a ·b )·c ≠a ·(b ·c )，这是由于(a ·b )·c 表示一个与c 共线的向量，a ·(b ·c )表示一个与a 共线的向量，而a 与c 不一定共线，因此(a ·b )·c 与a ·(b ·c )不一定相等．[试一试]1．(2013·广州调研)已知向量a ，b 都是单位向量，且a ·b ＝12，则|2a －b |的值为________．解析：|2a －b |＝(2a －b )2＝4a 2－4a ·b ＋b 2＝4－2＋1＝ 3. 答案： 32．(2013·山东高考)在平面直角坐标系xOy 中，已知OA ＝(－1，t )，OB ＝(2,2)．若∠ABO ＝90°，则实数t 的值为________．解析：AB ＝OB －OA ＝(3,2－t )，由题意知OB ·AB＝0，所以2×3＋2(2－t )＝0，t ＝5.答案：51．明确两个结论：(1)两个向量a 与b 的夹角为锐角，则有a ·b >0，反之不成立(因为夹角为0时不成立)；(2)两个向量a 与b 的夹角为钝角，则有a ·b <0，反之不成立(因为夹角为π时不成立)．2．利用向量垂直或平行的条件构造方程或函数是求参数或最值问题常用的方法与技巧．[练一练]1．已知向量a ，b 均为非零向量，(a －2b )⊥a ，(b －2a )⊥b ，则a ，b 的夹角为( )A.π6 B.π3 C.2π3D.5π6解析：选B (a －2b )·a ＝|a |2－2a ·b ＝0，(b －2a )·b ＝|b |2－2a ·b ＝0，所以|a |2＝|b |2，即|a |＝|b |，故|a |2－2a ·b ＝|a |2－2|a |2cos a ，b ＝0，可得cos a ，b ＝12，又因为0≤ a ，b ≤π，所以 a ，b ＝π3.2．(2013·福建高考)在四边形ABCD 中，AC ＝(1,2)，BD＝(－4,2)，则该四边形的面积为( )A. 5B ．2 5C ．5D ．10解析：选C 依题意得，AC ·BD＝1×(－4)＋2×2＝0， ∴AC ⊥BD ，∴四边形ABCD 的面积为12|AC|·|BD |＝12×5×20＝5.1.(2014·11＝(x 2，y 2)，若|＝2，|b |＝3，a ·b ＝－6.则x 1＋y 1x 2＋y 2的值为( ) A.23 B ．－23 C.56D ．－56解析：选B 由已知得，向量a ＝(x 1，y 1)与b ＝(x 2，y 2)反向，3a ＋2b ＝0，即3(x 1，y 1)＋2(x 2，y 2)＝(0,0)，得x 1＝－23x 2，y 1＝－23y 2，故x 1＋y 1x 2＋y 2＝－23.2．(2014·温州适应性测试)在△ABC 中，若∠A ＝120°，AB ·AC＝－1，则|BC |的最小值是( )A. 2B ．2C. 6D ．6 解析：选C ∵AB ·AC ＝－1，∴|AB |·|AC |cos 120°＝－1，即|AB |·|AC|＝2，∴|BC |2＝|AC －AB |2＝AC 2－2AB ·AC ＋AB 2≥2|AB |·|AC |－2AB ·AC ＝6，∴|BC|min ＝ 6.3．(2013·南昌模拟)已知向量e 1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π4，sin π6，e 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2sin π4，4cos π3，则e 1·e 2＝________.解析：由向量数量积公式得e 1·e 2＝cos π4×2sin π4＋sin π6×4cos π3＝22×2＋12×2＝2.答案：24．(2013·全国卷Ⅱ)已知正方形ABCD 的边长为2，E 为CD 的中点，则AE ·BD＝________.解析：因为AE ＝AD ＋12AB ，BD ＝AD －AB ，所以AE ·BD ＝(AD ＋12AB )·(AD －AB )＝AD 2－12AD ·AB －12AB 2＝2. 答案：2 [类题通法]向量数量积的两种运算方法(1)当已知向量的模和夹角时，可利用定义法求解，即a ·b ＝|a ||b |cos a ，b ．(2)当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解，即若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ·b ＝x 1x 2＋y 1y 2.运用两向量的数量积可解决长度、夹角、垂直等问题，解题时应灵活选择相应公式求解．(1)平面向量的模； (2)平面向量的夹角； (3)平面向量的垂直．角度一 平面向量的模1．(2013·天津高考)在平行四边形ABCD 中，AD ＝1，∠BAD ＝60° , E 为CD的中点．若AC ·BE＝1 , 则AB 的长为________． 解析：由已知得AC ＝AD ＋AB ，BE ＝AD －12AB，∴AC ·BE ＝AD 2－12AB ·AD ＋AB ·AD －12AB 2＝1＋12AB·AD －12|AB |2＝1＋12|AB |·|AD |cos 60°－12|AB|2＝1，∴|AB |＝12.答案：12角度二 平面向量的夹角2．(1)已知平面向量a ，b ，|a |＝1，|b |＝3，且|2a ＋b |＝7，则向量a 与a ＋b 的夹角为( )A.π2 B.π3 C.π6D ．π解析：选B ∵|2a ＋b |2＝4|a |2＋4a ·b ＋|b |2＝7，|a |＝1，|b |＝3，∴4＋4a ·b ＋3＝7，∴a ·b ＝0，∴a ⊥b .如图所示，a 与a ＋b 的夹角为∠COA .∵tan ∠COA ＝|CA ||OA |＝|b ||a |＝3，∴∠COA ＝π3，即a 与a ＋b 的夹角为π3. (2)(2014·云南第一次检测)若平面向量a 与平面向量b 的夹角等于π3，|a |＝2，|b |＝3，则2a －b 与a ＋2b 的夹角的余弦值等于( )A.126B ．－126C.112D ．－112解析：选B 记向量2a －b 与a ＋2b 的夹角为θ，又(2a －b )2＝4×22＋32－4×2×3×cos π3＝13，(a ＋2b )2＝22＋4×32＋4×2×3×cos π3＝52，(2a －b )·(a ＋2b )＝2a 2－2b 2＋3a ·b ＝8－18＋9＝－1，故cos θ＝(2a －b )·(a ＋2b )|2a －b |·|a ＋2b |＝－126，即向量2a－b 与a ＋2b 的夹角的余弦值是－126，因此选B.角度三 平面向量的垂直3．(1)(2013·荆州高中毕业班质量检查Ⅰ)已知向量a 与b 的夹角是2π3，且|a |＝1，|b |＝4，若(2a ＋λb )⊥a ，则实数λ＝________.解析：若a ⊥(2a ＋λb )，则a ·(2a ＋λb )＝0，即2|a |2＋λ·|a ||b |·cos 2π3＝0，∴2＋λ×1×4×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝0.∴λ＝1.答案：1(2)在直角三角形ABC 中，已知AB＝(2,3)，AC ＝(1，k )，则k 的值为________． 解析：①当A ＝90°时，∵AB ⊥AC ，∴AB ·AC＝0. ∴2×1＋3k ＝0，解得k ＝－23.②当B ＝90°时，∵AB ⊥BC， 又BC ＝AC －AB＝(1，k )－(2,3)＝(－1，k －3)，∴AB ·BC＝2×(－1)＋3×(k －3)＝0， 解得k ＝113.③当C ＝90°时， ∵AC ⊥BC，∴1×(－1)＋k (k －3)＝0， 即k 2－3k －1＝0.∴k ＝3±132.答案：－23或113或3±132. [类题通法]1．求两非零向量的夹角时要注意： (1)向量的数量积不满足结合律；(2)数量积大于0说明不共线的两向量的夹角为锐角，数量积等于0说明两向量的夹角为直角，数量积小于0且两向量不能共线时两向量的夹角就是钝角．2．利用数量积求解长度问题的处理方法 (1)a 2＝a ·a ＝|a |2或|a |＝a ·a . (2)|a ±b |＝(a ±b )2＝a 2±2a ·b ＋b 2. (3)若a ＝(x ，y )，则|a |＝x 2＋y 2.[典例sin α)，b ＝(cos ，sin β)，0<β<α<π.(1)若|a －b |＝2，求证：a ⊥b ；(2)设c ＝(0,1)，若a ＋b ＝c ，求α，β的值． [解] (1)证明：由题意得|a －b |2＝2， 即(a －b )2＝a 2－2a ·b ＋b 2＝2. 又因为a 2＝b 2＝|a |2＝|b |2＝1， 所以2－2a ·b ＝2，即a ·b ＝0，故a ⊥b .(2)因为a ＋b ＝(cos α＋cos β，sin α＋sin β)＝(0,1)， 所以⎩⎨⎧cos α＋cos β＝0，sin α＋sin β＝1.由此得，cos α＝cos (π－β)，由0<β<π，得0<π－β<π. 又0<α<π，故α＝π－β.代入sin α＋sin β＝1， 得sin α＝sin β＝12，而α>β，所以α＝5π6，β＝π6. [类题通法]平面向量与三角函数的综合问题的解题思路(1)题目条件给出向量的坐标中含有三角函数的形式，运用向量共线或垂直或等式成立等，得到三角函数的关系式，然后求解．(2)给出用三角函数表示的向量坐标，要求的是向量的模或者其他向量的表达形式，解题思路是经过向量的运算，利用三角函数在定义域内的有界性，求得值域等．[针对训练]已知向量a ＝(sin θ，cos θ－2sin θ)，b ＝(1,2)． (1)若a ∥b ，求tan θ的值； (2)若|a |＝|b |,0<θ<π，求θ的值．解：(1)因为a ∥b ，所以2sin θ＝cos θ－2sin θ， 于是4sin θ＝cos θ，故tan θ＝14.(2)由|a |＝|b |，知sin 2θ＋(cos θ－2sin θ)2＝5， 所以1－2sin 2θ＋4sin 2θ＝5.从而－2sin 2θ＋2(1－cos 2θ)＝4，即sin 2θ＋cos 2θ＝－1， 于是sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ＋π4＝－22.又由0<θ<π，知π4<2θ＋π4<9π4， 所以2θ＋π4＝5π4或2θ＋π4＝7π4. 因此θ＝π2或θ＝3π4.第四节数系的扩充与复数的引入1．复数的有关概念 (1)复数的概念：形如a ＋b i(a ，b ∈R )的数叫复数，其中a ，b 分别是它的实部和虚部．若b ＝0，则a ＋b i 为实数；若b ≠0，则a ＋b i 为虚数；若a ＝0且b ≠0，则a ＋b i 为纯虚数．(2)复数相等：a ＋b i ＝c ＋d i ⇔a ＝c 且b ＝d (a ，b ，c ，d ∈R )． (3)共轭复数：a ＋b i 与c ＋d i 共轭⇔a ＝c ，b ＝－d (a ，b ，c ，d ∈R )． (4)复数的模：向量OZ ―→的模r 叫做复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )的模，记作|z |或|a ＋b i|，即|z |＝|a ＋b i|＝a 2＋b 2.2．复数的几何意义 (1)复数z ＝a ＋b i复平面内的点Z (a ，b )(a ，b ∈R )．(2)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R ) 平面向量OZ.3．复数的运算(1)复数的加、减、乘、除运算法则设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R )，则 ①加法：z 1＋z 2＝(a ＋b i)＋(c ＋d i)＝(a ＋c )＋(b ＋d )i ； ②减法：z 1－z 2＝(a ＋b i)－(c ＋d i)＝(a －c )＋(b －d )i ； ③乘法：z 1·z 2＝(a ＋b i)·(c ＋d i)＝(ac －bd )＋(ad ＋bc )i ； ④除法：z 1z 2＝a ＋b i c ＋d i ＝(a ＋b i )(c －d i )(c ＋d i )(c －d i )＝ac ＋bd c 2＋d 2＋bc －ad c 2＋d 2i(c ＋d i ≠0)． (2)复数加法的运算定律复数的加法满足交换律、结合律，即对任何z 1，z 2，z 3∈C ，有z 1＋z 2＝z 2＋z 1，(z 1＋z 2)＋z 3＝z 1＋(z 2＋z 3)．1．判定复数是实数，仅注重虚部等于0是不够的，还需考虑它的实部是否有意义．2．利用复数相等a ＋b i ＝c ＋d i 列方程时，注意a ，b ，c ，d ∈R 的前提条件． 3．z 2<0在复数范围内有可能成立，例如：当z ＝3i 时z 2＝－9<0. [试一试]1．(2014·惠州调研)i 是虚数单位，若z (i ＋1)＝i ，则|z |等于( ) A ．1 B.32 C.22D.12解析：选C 由题意知z ＝i i ＋1＝i (1－i )(i ＋1)(1－i )＝1＋i 2，|z |＝22，故选C. 2．(2013·天津高考)已知a ，b ∈R ，i 是虚数单位．若(a ＋i)·(1＋i)＝b i ，则a ＋b i ＝________.解析：因为(a ＋i)(1＋i)＝a －1＋(a ＋1)i ＝b i ，a ，b ∈R ，所以⎩⎨⎧a －1＝0，a ＋1＝b ，解得⎩⎨⎧a ＝1，b ＝2，所以a ＋b i ＝1＋2i. 答案：1＋2i1．把握复数的运算技巧(1)设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，利用复数相等和相关性质将复数问题实数化是解决复数问题的常用方法．(2)在复数代数形式的四则运算中，加、减、乘运算按多项式运算法则进行，除法则需分母实数化．2．掌握复数代数运算中常用的几个结论在进行复数的代数运算时，记住以下结论，可提高计算速度． (1)(1±i)2＝±2i ；1＋i 1－i ＝i ；1－i 1＋i＝－i ；(2)－b ＋a i ＝i(a ＋b i)；(3)i 4n ＝1，i 4n ＋1＝i ，i 4n ＋2＝－1，i 4n ＋3＝－i ，i 4n ＋i 4n ＋1＋i 4n ＋2＋i 4n ＋3＝0，n ∈N *. [练一练](2013·安徽联考)已知i 是虚数单位，则⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 2 2 013在复平面内对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析：选C ∵⎝⎛⎭⎪⎫1＋i 22＝2i2＝i ， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 2 2 013＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 2 2 0121＋i 2＝i 1 006·1＋i 2＝i 2·1＋i 2＝－22－22i.∴其对应点位于第三象限，故选C.1.(2014·湖北八校联考)设x ∈R ，则“x ＝1”是“复数z ＝(x 2－1)＋(x ＋1)i 为纯虚数”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选C 由纯虚数的定义知：⎩⎨⎧x 2－1＝0，x ＋1≠0，⇒x ＝1，选C.2．(2014·安徽“江南十校”联考)若a ＋b i ＝51＋2i(i 是虚数单位，a ，b ∈R )，则ab ＝( )A ．－2B ．－1C ．1D ．2解析：选A a ＋b i ＝51＋2i＝1－2i ，所以a ＝1，b ＝－2，ab ＝－2. 3．(2013·安徽高考)设i 是虚数单位，若复数a －103－i(a ∈R )是纯虚数，则a 的值为( )A ．－3B ．－1C ．1D ．3解析：选D 复数a －103－i ＝a －10(3＋i )(3－i )(3＋i )＝(a －3)－i 为纯虚数，则a －3＝0，即a ＝3.4．(2013·洛阳统考)设复数z ＝－1－i(i 为虚数单位)，z 的共轭复数为z ，则|(1－z )·z －|＝( )A.10 B ．2 C. 2D ．1解析：选A 依题意得(1－z )·z －＝(2＋i)(－1＋i)＝－3＋i ，|(1－z )·z －|＝|－3＋i|＝(－3)2＋12＝10.选A.[类题通法]解决复数概念问题的方法及注意事项(1)复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可．(2)解题时一定要先看复数是否为a ＋bi (a ，b ∈R )的形式，以确定实部和虚部．[典例] (1)(2013·四川高考)如图，在复平面内，点A 表示复数z ，则图中表示z 的共轭复数的点是( )A ．AB ．BC ．CD ．D(2)(2014·郑州质量预测)复数z 1＝3＋i ，z 2＝1－i ，则z ＝z 1z 2的共轭复数在复平面内的对应点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限[解析] (1)设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，且a <0，b >0，则z 的共轭复数为a －b i ，其中a <0，－b <0，故应为B 点．(2)依题意得，z ＝3＋i 1－i ＝(3＋i )(1＋i )(1－i )(1＋i )＝2＋4i 2＝1＋2i ，因此复数z ＝z 1z 2的共轭复数1－2i 在复平面内的对应点的坐标是(1，－2)，该点位于第四象限，选D.[答案] (1)B (2)D[类题通法]对复数几何意义的理解及应用(1)复数z 、复平面上的点Z 及向量OZ相互联系，即z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )⇔Z (a ，b )⇔ OZ(2)由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此可把复数、向量与解析几何联系在一起，解题时可运用数形结合的方法，使问题的解决更加直观．[针对训练]1．(2013·湖北八校联考)已知i 是虚数单位，z ＝1＋i ，z －为z 的共轭复数，则复数z 2z－在复平面上对应的点的坐标为________．解析：z ＝1＋i ，则z 2z －＝(1＋i )21－i ＝2i 1－i ＝2i (1＋i )(1－i )(1＋i )＝－1＋i ，则复数z 2z－在复平面上对应的点的坐标为(－1,1)．答案：(－1,1)2．已知复数z 1＝－1＋2i ，z 2＝1－i ，z 3＝3－4i ，它们在复平面上对应的点分别为A ，B ，C ，若OC ＝λOA ＋μOB，(λ，μ∈R )，则λ＋μ的值是________．解析：由条件得OC ＝(3，－4)，OA＝(－1,2)， OB＝(1，－1)，根据OC ＝λOA ＋μOB 得(3，－4)＝λ(－1,2)＋μ(1，－1)＝(－λ＋μ，2λ－μ)， ∴⎩⎨⎧ －λ＋μ＝3，2λ－μ＝－4，解得⎩⎨⎧λ＝－1，μ＝2. ∴λ＋μ＝1. 答案：1[典例] (1)若复数z 满足z (2－i)＝11＋7i(i 为虚数单位)，则z 为( ) A ．3＋5iB ．3－5iC ．－3＋5iD ．－3－5i(2)(2013·长春调研)已知复数z ＝1＋a i(a ∈R ，i 是虚数单位)，z －z ＝－35＋45i ，则a ＝( )A ．2B ．－2C ．±2D ．－12[解析] (1)z ＝11＋7i 2－i ＝(11＋7i )(2＋i )(2－i )(2＋i )＝15＋25i5＝3＋5i.(2)由题意可知：1－a i 1＋a i ＝(1－a i )2(1＋a i )(1－a i )＝1－2a i －a 21＋a 2＝1－a 21＋a 2－2a 1＋a 2i ＝－35＋45i ，因此1－a 21＋a 2＝－35，化简得5a 2－5＝3a 2＋3，a 2＝4，则a ＝±2，由－2a 1＋a 2＝45可知a <0，仅有a ＝－2满足，故选B.[答案] (1)A (2)B解：∵z ＝3＋5i ，∴z －＝3－5i∴(1＋z )·z －＝(4＋5i)(3－5i)＝12－20i ＋15i ＋25＝37－5i. [类题通法]复数四则运算的解答策略复数的加法、减法、乘法运算可以类比多项式的运算，除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，解题中要注意把i 的幂写成最简形式．[针对训练]1．(2013·山东高考)复数z 满足(z －3)(2－i)＝5(i 为虚数单位)，则z 的共轭复数z 为( )A ．2＋iB ．2－iC ．5＋iD ．5－i解析：选D 由(z －3)(2－i)＝5，得z ＝3＋52－i ＝3＋5(2＋i )(2－i )(2＋i )＝3＋2＋i ＝5＋i，所以z＝5－i.2．设复数z的共轭复数为z，若z＝1－i(i为虚数单位)，则zz＋z2的值为()A．－3i B．－2i C．i D．－i解析：选D依题意得zz＋z2＝1＋i1－i＋(1－i)2＝－i2＋i1－i－2i＝i－2i＝－i.。

[课堂练通考点]1．下面给出4个幂函数的图像，则图像与函数的大致对应是( )A ．①y ＝x 13，②y ＝x 2，③y ＝x 12，④y ＝x －1B ．①y ＝x 3，②y ＝x 2，③y ＝x 12，④y ＝x －1C ．①y ＝x 2，②y ＝x 3，③y ＝x 12，④y ＝x －1D ．①y ＝x 13，②y ＝x 12，③y ＝x 2，④y ＝x －1解析：选B 图像①对应的幂函数的幂指数必然大于1，排除A ，D.图像②中幂函数是偶函数，幂指数必为正偶数，排除C.故选B.2．(2013·张家口模拟)已知函数h (x )＝4x 2－kx －8在[5,20]上是单调函数，则k 的取值范围是( )A ．(－∞，40]B ．[160，＋∞)C ．(－∞，40]∪[160，＋∞)D ．∅解析：选C 函数h (x )的对称轴为x ＝k 8，要使h (x )在[5,20]上是单调函数，应有k 8≤5或k 8≥20，即k ≤40或k ≥160，故选C.3．二次函数的图像过点(0,1)，对称轴为x ＝2，最小值为－1，则它的解析式为________． 解析：依题意可设f (x )＝a (x －2)2－1， 又其图像过点(0,1)， ∴4a －1＝1，∴a ＝12.∴f (x )＝12(x －2)2－1.答案：f (x )＝12(x －2)2－14．若二次函数f (x )＝ax 2－4x ＋c 的值域为[0，＋∞)，则a ，c 满足的条件是________．解析：由已知得⎩⎪⎨⎪⎧a >0，4ac －164a ＝0，⇒⎩⎪⎨⎪⎧a >0，ac －4＝0.答案：a >0，ac ＝45．已知函数f (x )＝(m 2－m －1)x －5m －3，m 为何值时，f (x )是幂函数，且在(0，＋∞)上是增函数？解：∵函数f (x )＝(m 2－m －1)x－5m －3是幂函数，∴m 2－m －1＝1，解得m ＝2或m ＝－1. 当m ＝2时，－5m －3＝－13，函数y ＝x－13在(0，＋∞)上是减函数；当m ＝－1时，－5m －3＝2，函数y ＝x 2在(0，＋∞)上是增函数． ∴m ＝－1.[课下提升考能]第Ⅰ组：全员必做题1．(2014·济南模拟)函数y ＝x －x 13的图像大致为( )解析：选A 函数y ＝x －x 13为奇函数．当x >0时，由x －x 13>0，即x 3>x 可得x 2>1，即x >1，结合选项，选A.2．已知二次函数的图像如图所示，那么此函数的解析式可能是( )A ．y ＝－x 2＋2x ＋1B ．y ＝－x 2－2x －1C ．y ＝－x 2－2x ＋1D ．y ＝x 2＋2x ＋1解析：选C 设二次函数的解析式为f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，由题图像得：a <0，b <0，c >0.选C.3．已知函数f (x )＝x 12，若0<a <b <1，则下列各式中正确的是( ) A ．f (a )<f (b )<f ⎝⎛⎭⎫1a <f ⎝⎛⎭⎫1b B ．f ⎝⎛⎭⎫1a <f ⎝⎛⎭⎫1b <f (b )<f (a ) C ．f (a )<f (b )<f ⎝⎛⎭⎫1b <f ⎝⎛⎭⎫1a D ．f ⎝⎛⎭⎫1a <f (a )<f ⎝⎛⎭⎫1b <f (b )解析：选C 因为函数f (x )＝x 12在(0，＋∞)上是增函数，又0<a <b <1b <1a ，故f (a )<f (b )<f ⎝⎛⎭⎫1b <f ⎝⎛⎭⎫1a .4．(2013·浙江高考)已知a ，b ，c ∈R ，函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c .若f (0)＝f (4)>f (1)，则( ) A ．a >0,4a ＋b ＝0 B ．a <0,4a ＋b ＝0 C ．a >0,2a ＋b ＝0D ．a <0,2a ＋b ＝0解析：选A 由f (0)＝f (4)得f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的对称轴为x ＝－b2a ＝2，∴4a ＋b ＝0，又f (0)>f (1)，∴f (x )先减后增，于是a >0.5．关于x 的二次方程(m ＋3)x 2－4mx ＋2m －1＝0的两根异号，且负根的绝对值比正根大，那么实数m 的取值范围是( )A ．－3<m <0B ．0<m <3C ．m <－3或m >0D ．m <0或m >3解析：选A 由题意知⎩⎨⎧Δ＝16m 2－4(m ＋3)(2m －1)>0， ①x 1＋x 2＝4m m ＋3<0， ②x 1·x 2＝2m－1m ＋3<0， ③由①②③得－3<m <0，故选A.6．“a ＝1”是“函数f (x )＝x 2－4ax ＋3在区间[2，＋∞)上为增函数”的________条件． 解析：函数f (x )＝x 2－4ax ＋3在区间[2，＋∞)上为增函数，则满足对称轴－－4a 2＝2a ≤2，即a ≤1，所以“a ＝1”是“函数f (x )＝x 2－4ax ＋3在区间[2，＋∞)上为增函数”的充分不必要条件．答案：充分不必要7．(2014·中山一模)若函数f (x )＝x 2－ax －a 在区间[0,2]上的最大值为1，则实数a 等于________．解析：函数f (x )＝x 2－ax －a 的图像为开口向上的抛物线，∴函数的最大值在区间的端点取得，∵f (0)＝－a ，f (2)＝4－3a ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ －a >4－3a ，－a ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧－a ≤4－3a ，4－3a ＝1，解得a ＝1.答案：18．已知f (x )是定义域为R 的偶函数，当x ≥0时，f (x )＝x 2－4x ，那么，不等式f (x ＋2)<5的解集是________．解析：设x <0，则－x >0.∵当x ≥0时，f (x )＝x 2－4x ，∴f (－x )＝(－x )2－4(－x )． ∵f (x )是定义在R 上的偶函数， ∴f (－x )＝f (x )， ∴f (x )＝x 2＋4x (x <0)，∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ，x ≥0，x 2＋4x ，x <0.由f (x )＝5得⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＝5，x ≥0或⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4x ＝5，x <0，∴x ＝5或x ＝－5.观察图像可知由f (x )<5，得－5<x <5. ∴由f (x ＋2)<5，得－5<x ＋2<5，∴－7<x <3. ∴不等式f (x ＋2)<5的解集是{x |－7<x <3}． 答案：{x |－7<x <3} 9．已知幂函数f (x )＝x21()m m －＋(m ∈N *)，经过点(2，2)，试确定m 的值，并求满足条件f (2－a )>f (a －1)的实数a 的取值范围．解：∵幂函数f (x )经过点(2，2)， ∴2＝221()m m －＋，即212＝221()m m －＋ .∴m 2＋m ＝2. 解得m ＝1或m ＝－2. 又∵m ∈N *， ∴m ＝1.∴f (x )＝x 12，则函数的定义域为[0，＋∞)，并且在定义域上为增函数． 由f (2－a )>f (a －1) 得⎩⎪⎨⎪⎧2－a ≥0，a －1≥0，2－a >a －1， 解得1≤a <32.∴a 的取值范围为⎣⎡⎭⎫1，32. 10．已知函数f (x )＝ax 2－2ax ＋2＋b (a ≠0)，若f (x )在区间[2,3]上有最大值5，最小值2.(1)求a ，b 的值；(2)若b <1，g (x )＝f (x )－mx 在[2,4]上单调，求m 的取值范围． 解：(1)f (x )＝a (x －1)2＋2＋b －a . 当a >0时，f (x )在[2,3]上为增函数，故⎩⎪⎨⎪⎧ f (3)＝5，f (2)＝2，⇒⎩⎪⎨⎪⎧ 9a －6a ＋2＋b ＝5，4a －4a ＋2＋b ＝2，⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝0. 当a <0时，f (x )在[2,3]上为减函数，故⎩⎪⎨⎪⎧f (3)＝2，f (2)＝5，⇒⎩⎪⎨⎪⎧9a －6a ＋2＋b ＝2，4a －4a ＋2＋b ＝5，⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝3. (2)∵b <1，∴a ＝1，b ＝0，即f (x )＝x 2－2x ＋2. g (x )＝x 2－2x ＋2－mx ＝x 2－(2＋m )x ＋2， ∵g (x )在[2,4]上单调，∴2＋m 2≤2或m ＋22≥4.∴m ≤2或m ≥6.故m 的取值范围为(－∞，2]∪[6，＋∞)． 第Ⅱ组：重点选做题1.(创新题)已知y ＝f (x )是偶函数，当x >0时，f (x )＝(x －1)2，若当x ∈⎣⎡⎦⎤－2，－12时，n ≤f (x )≤m 恒成立，则m －n 的最小值为( )A.13 B.12 C.34D ．1解析：选D 当x <0时，－x >0，f (x )＝f (－x )＝(x ＋1)2，∵x ∈⎣⎡⎦⎤－2，－12， ∴f (x )min ＝f (－1)＝0，f (x )max ＝f (－2)＝1，∴m ≥1，n ≤0，m －n ≥1. ∴m －n 的最小值是1.2．(2013·青岛质检)设f (x )与g (x )是定义在同一区间[a ，b ]上的两个函数，若函数y ＝f (x )－g (x )在x ∈[a ，b ]上有两个不同的零点，则称f (x )和g (x )在[a ，b ]上是“关联函数”，区间[a ，b ]称为“关联区间”．若f (x )＝x 2－3x ＋4与g (x )＝2x ＋m 在[0,3]上是“关联函数”，则m 的取值范围为________．解析：由题意知，y ＝f (x )－g (x )＝x 2－5x ＋4－m 在[0,3]上有两个不同的零点．在同一直角坐标系下作出函数y ＝m 与y ＝x 2－5x ＋4(x ∈[0,3])的图像如图所示，结合图像可知，当x ∈[2,3]时，y ＝x 2－5x ＋4∈⎣⎡⎦⎤－94，－2，故当m ∈⎝⎛⎦⎤－94，－2时，函数y ＝m 与y ＝x 2－5x ＋4(x ∈[0,3])的图像有两个交点．答案：⎝⎛⎦⎤－94，－2。

2015届高考数学（理）一轮专题复习特训：数列一、选择题错误！未指定书签。

1．（山东省单县第五中学2014届高三第二次阶段性检测试题(数理)）已知数列{ a n }的前n 项和为Sn,且Sn=2(a n —1),则a 2等于 （ ）A ．4B ．2C ．1D ．-2 【答案】A2错误！未指定书签。

．（山东省莱芜四中2014届高三第二次月考数学理试题）已知n n a )31(=,把数列{}n a 的各项排列成如下的三角形状,记),n m A （表示第m 行的第n 个数,则）（12,10A =（ ）A ．9331）（B ．9231）（C ．9431）（D ．11231）（ 【答案】A3错误！未指定书签。

．（山东省淄博第五中学2014届高三10月份第一次质检数学（理）试题）设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和,若5359a a =,则95SS = （ ） A ．1 B ．-1 C ．2 D ．12【答案】A4错误！未指定书签。

．（山东省淄博一中2014届高三上学期10月阶段检测理科数学）数列}{n a 中,前n项和为nS ,且n n n a a a a )1(1,2,1221-++===+ ,则100S = （ ）A ．2600B ．2601C ．2602D ．2603 【答案】A5错误！未指定书签。

．（山东省莱芜四中2014届高三第二次月考数学理试题）设等比数列{}n a 中,前n 项和为n S ,已知7863==S S ，,则=++987a a a（ ）A ．81B ．81-C ．857D ．855【答案】A6错误！未指定书签。

．（山东省郯城一中2014届高三上学期第一次月考数学（理）试题）已知{an}是由正数组成的等比数列,Sn 表示数列{an}的前n 项的和,若a1=3,a2a4=144,则S5的值为 （ ）A ．692B ．69C ．93D ．189【答案】C7错误！未指定书签。

A；；；2015理科数学第一轮复习直观图“斜二测画法”一、斜二测画法的关键步骤:(平面图形)1、建立坐标轴（原图上是垂直，直观图上成45度夹角）2、横长不变，竖长减半.注意：一般建立坐标轴时要经过图形的顶点，这样简单些例：用斜二测画法画出下列图形的直观图二、考考自己1、如上图为水平放置的正方形ABCO，它在直角坐标系xOy中点B的坐标为（2,2），则在用斜二测画法画出的正方形的直观图中，顶点B'到x'轴的距离为2．对于一个底边在x轴上的三角形，采用斜二测画法作出其直观图，其直观图面积是原三角形面积的（）A．2倍B．22倍C．24倍 D．12倍3．如图所示的直观图，其平面图形的面积为（）A．3B．6C．D．4、正方形的边长为1，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长是多少5．用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为如图7－1－3所示的一个正方形则原来的图形是()6、[2011·辽宁卷]一个正三棱柱的侧棱长和底面边长相等，体积为23，它的三视图中的俯视图如图1－3所示，左视图是一个矩形，则这个矩形的面积是()A．4 B．2 3 C．2 D.37．某高速公路收费站入口处的安全标识墩如图(1)所示．墩的上半部分是正四棱锥P－EFGH(底面为正方形，从顶点向底面作垂线，垂足是底面中心)，下半部分是长方体ABCD－EFGH.图(2)、图(3)分别是该标识墩的正视图和俯视图．(1)请画出该安全标识墩的侧视图；(2)求该安全标识墩的体积．8、已知某几何体的俯视图是如图5所示的矩形，正视图（或称主视图）是一个底边长为8、高为4的等腰三角形，侧视图（或称左视图）是一个底边长为6、高为4的等腰三角形．（1）求该几何体的体积V；（2）求该几何体的侧面积S．。

普通高中课程标准理科数学2015届高考总复习第一轮复习计划书（征求意见稿）东莞市东华高级中学高三理科数学组（2014.8）一、背景分析最近3年广东高考数学命题很平稳，坚持了稳中求改、稳中创新的原则。

充分发挥数学作为基础学科的作用，既重视考查中学数学基础知识的掌握程度，又注意考查进入高校继续学习的潜能。

做到了总体保持稳定，深化能力立意，积极改革创新，兼顾了数学基础、思想方法、思维、应用、运算和潜能等多方面的考查，融入课程改革的理念，拓宽题材，选材多样化，宽角度、多视点地考查数学素养，多层次地考查思想能力，充分体现新课标的特色。

二. 教学指导原则1、高度重视基础知识，基本技能和基本方法的复习。

“基础知识，基本技能和基本方法”是高考复习的重点。

在复习课中要认真落实双基，并注意蕴涵在基础知识中的能力因素，注意基本问题中的能力培养. 特别是要学会把基础知识放在新情景中去分析，应用。

2、高中的“重点知识”复习中要保持较大的比重和必要的深度。

重点内容函数、三角、不等式、数列、立体几何，向量、概率及解析几何中的综合问题等。

在教学中，要避免重复及简单的操练。

总之高三的数学复习课要以培养逻辑思维能力为核心，加强运算能力为主体进行复习。

3、重视“通性、通法”的落实。

要把复习的重点放在教材中典型例题、习题上；放在体现通性、通法的例题、习题上；放在各部分知识网络之间的内在联系上抓好课堂教学质量，定出实施方法和评价方案。

4、渗透数学思想方法, 培养数学学科能力。

《考试说明》明确指出要考查数学思想方法, 要加强学科能力的考查。

我们在复习中要加强数学思想方法的复习, 如转化与化归的思想、函数与方程的思想、分类讨论的思想、数形结合的思想. 以及换元法、待定系数法、反证法、数学归纳法等数学基本方法都要有意识地根据学生学习实际予以复习及落实。

5、结合实际，了解学生，分类指导。

重点打造尖子生同时全力进行辅弱工作，对临界生进行辅导，根据学校的具体安排，作出全面的落实，三、教学参考进度：第一轮的复习要以基础知识、基本技能、基本方法为主，为以后的模拟考试做好准备。

第七章不等式高考导航知识网络7.1 不等式的性质典例精析题型一 比较大小【例1】已知a ＞0，a ≠1，P ＝log a (a 3－a ＋1)，Q ＝log a (a 2－a ＋1)，试比较P 与Q 的大小. 【解析】因为a 3－a ＋1－(a 2－a ＋1)＝a 2(a －1)， 当a ＞1时，a 3－a ＋1＞a 2－a ＋1，P ＞Q ； 当0＜a ＜1时，a 3－a ＋1＜a 2－a ＋1，P ＞Q ； 综上所述，a ＞0，a ≠1时，P ＞Q .【点拨】作差比较法是比较两个实数大小的重要方法之一，其解题步骤为：①作差； ②变形；③判断符号；④得出结论.【变式训练1】已知m ＝a ＋1a －2(a ＞2)，n ＝x －2(x ≥12)，则m ，n 之间的大小关系为( )A.m ＜nB.m ＞nC.m ≥nD.m ≤n【解析】选C.本题是不等式的综合问题，解决的关键是找中间媒介传递. m ＝a ＋1a －2＝a －2＋1a －2＋2≥2＋2＝4，而n ＝x －2≤(12)－2＝4.题型二 确定取值范围【例2】已知－π2≤α＜β≤π2，求α＋β2，α－β2的取值范围.【解析】因为－π2≤α＜β≤π2，所以－π4≤α2＜π4，－π4＜β2≤π4，两式相加得－π2＜α＋β2＜π2.又－π4≤－β2＜π4，所以－π2≤α－β2＜π2，又因为α＜β，所以α－β2＜0，所以－π2≤α－β2＜0，综上－π2＜α＋β2＜π2，－π2≤α－β2＜0为所求范围.【点拨】求含字母的数(式)的取值范围，一定要注意题设的条件，否则易出错，同时在变换过程中，要注意准确利用不等式的性质.【变式训练2】已知函数f (x )＝ax 2－c ，且－4≤f (1)≤－1，－1≤f (2)≤5，求f (3)的取值范围. 【解析】由已知－4≤f (1)＝a －c ≤－1，－1≤f (2)＝4a －c ≤5. 令f (3)＝9a －c ＝γ(a －c )＋μ(4a －c )，所以⎩⎨⎧-=--=+1,94μγμγ⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=38,35μγ 故f (3)＝－53(a －c )＋83(4a －c )∈[－1,20].题型三 开放性问题【例3】已知三个不等式：①ab ＞0；② c a ＞db ；③bc ＞ad .以其中两个作条件，余下的一个作结论，则能组成多少个正确命题？【解析】能组成3个正确命题.对不等式②作等价变形:c a ＞d b ⇔bc －adab ＞0.(1)由ab ＞0，bc ＞ad ⇒bc －adab＞0，即①③⇒②；(2)由ab ＞0，bc －adab ＞0⇒bc －ad ＞0⇒bc ＞ad ，即①②⇒③；(3)由bc －ad ＞0，bc －adab ＞0⇒ab ＞0，即②③⇒①.故可组成3个正确命题.【点拨】这是一类开放性问题，要求熟练掌握不等式的相关性质，并能对题目条件进行恰当的等价变形.【变式训练3】a 、b 、c 、d 均为实数，使不等式a b ＞cd ＞0和ad ＜bc 都成立的一组值(a ，b ，c ，d )是_______________(只要写出符合条件的一组即可).【解析】写出一个等比式子，如21＝42＞0.此时内项的积和外项的积相等，减小42的分子，把上式变成不等式21＞32＞0，此时不符合ad ＜bc 的条件，进行变换可得21＞－3－2＞0，此时2×(－2)＜1×(－3).故(2,1，－3，－2)是符合要求的一组值.总结提高1.不等式中有关判断性命题，主要依据是不等式的概念和性质.一般地，要判断一个命题是真命题，必须严格证明.要判断一个命题是假命题，只要举出反例，或者由题设条件推出与结论相反的结果.在不等式证明和推理过程中，关键是要弄清每个性质的条件与结论及其逻辑关系，要注意条件的弱化与加强，不可想当然.如在应用ab ＞0，a ＞b ⇒1a ＜1b 这一性质时，不可弱化为a ＞b ⇒1a ＜1b ，也不可强化为a ＞b ＞0⇒1a ＜1b.2.题设条件含有字母，而结论唯一确定的选择题，采用赋值法解答可事半功倍.3.比较大小的常用方法是作差比较法和作商比较法，变形是关键.7.2 简单不等式的解法典例精析题型一 一元二次不等式的解法 【例1】解下列不等式： (1)x 2－2x －3＞0；(2)已知A ＝{x |3x 2－7x ＋2＜0}，B ＝{x |－2x 2＋x ＋1≤0}，求A ∪B ，(∁R A )∩B . 【解析】(1)方程两根为x 1＝－1，x 2＝3， 所以原不等式解集为{x |x ＜－1或x ＞3}.(2)因为A ＝{x |13＜x ＜2}，∁R A ＝{x |x ≤13或x ≥2}，B ＝{x |x ≤－12或x ≥1}，所以A ∪B ＝{x |x ≤－12或x ＞13}，(∁R A )∩B ＝{x |x ≤－12或x ≥2}.【点拨】一元二次不等式、一元二次方程及一元二次函数联系非常紧密，要注意转化，同时要熟练掌握一元二次不等式恒成立与对应方程的判别式的关系.对于Δ＞0的不等式解集简称“大于取两端，小于取中间”.【变式训练1】设函数f (x )＝⎩⎨⎧≤++>-),0()0(22x c bx x x 若f (－4)＝f (0)，f (－2)＝0，则关于x 的不等式f (x )≤1的解集为( )A.(－∞，－3]∪[－1，＋∞)B.[－3，－1]C.[－3，－1]∪(0，＋∞)D.[－3，＋∞)【解析】选C.由已知对x ≤0时f (x )＝x 2＋bx ＋c ，且f (－4)＝f (0)，知其对称轴为x ＝－2，故－b2＝－2⇒b ＝4.又f (－2)＝0，代入得c ＝4，故f (x )＝⎩⎨⎧≤++>-),0(44)0(22x x x x分别解之取并集即得不等式解集为[－3，－1]∪(0，＋∞). 题型二 解含参数的一元二次不等式问题【例2】解关于x 的不等式mx 2＋(m －2)x －2＞0 (m ∈R ).【解析】当m ＝0时，原不等式可化为－2x －2＞0，即x ＜－1； 当m ≠0时，可分为两种情况：(1)m ＞0 时，方程mx 2＋(m －2)x －2＝0有两个根，x 1＝－1，x 2＝2m .所以不等式的解集为{x |x ＜－1或x ＞2m}；(2)m ＜0时，原不等式可化为－mx 2＋(2－m )x ＋2＜0， 其对应方程两根为x 1＝－1，x 2＝2m ，x 2－x 1＝2m －(－1)＝m ＋2m .①m ＜－2时，m ＋2＜0，m ＜0，所以x 2－x 1＞0，x 2＞x 1， 不等式的解集为{x |－1＜x ＜2m }；②m ＝－2时，x 2＝x 1＝－1，原不等式可化为(x ＋1)2＜0，解集为∅； ③－2＜m ＜0时，x 2－x 1＜0，即x 2＜x 1， 不等式解集为{x |2m ＜x ＜－1}.综上所述：当m ＜－2时，解集为{x |－1＜x ＜2m }；当m ＝－2时，解集为∅；当－2＜m ＜0时，解集为{x |2m ＜x ＜－1}；当m ＝0时，解集为{x |x ＜－1}； 当m ＞0时，解集为{x |x ＜－1或x ＞2m}.【点拨】解含参数的一元二次不等式，首先要判断二次项系数的符号，其次讨论根的情况，然后讨论根的大小，最后依据二次项系数的符号和根的大小写出解集.【变式训练2】解关于x 的不等式ax －1x ＋1＞0.【解析】原不等式等价于(ax －1)(x ＋1)＞0. 当a ＝0时，不等式的解集为{x |x ＜－1}； 当a ＞0时，不等式的解集为{x |x ＞1a 或x ＜－1}；当－1＜a ＜0时，不等式的解集为{x |1a ＜x ＜－1}；当a ＝－1时，不等式的解集为∅；当a ＜－1时，不等式的解集为{x |－1＜x ＜1a }.题型三 一元二次不等式与一元二次方程之间的联系【例3】已知ax 2＋bx ＋c ＞0的解集为{x |1＜x ＜3}，求不等式cx 2＋bx ＋a ＜0的解集. 【解析】由于ax 2＋bx ＋c ＞0的解集为{x |1＜x ＜3}，因此a ＜0，且ax 2＋bx ＋c ＝0的两根为1、3，则－b a ＝1＋3，c a ＝1×3，即b a ＝－4，ca ＝3.又a ＜0，不等式cx 2＋bx ＋a ＜0可以化为c a x 2＋ba x ＋1＞0，即3x 2－4x ＋1＞0，解得x ＜13或x ＞1.【点拨】解一元二次不等式时，要注意联系相应的一元二次方程与一元二次函数，明确一元二次不等式的解区间的端点就是相应一元二次方程的根.【变式训练3】(2009江西)若不等式9－x 2≤k (x ＋2)－2的解集为区间[a ，b ]，且b －a ＝2，则k ＝ . 【解析】 2.作出函数y ＝9－x 2和y ＝k (x ＋2)－2的图象，函数y ＝9－x 2的图象是一个半圆，函数y ＝k (x ＋2)－2的图象是过定点(－2，－2)的一条动直线.依题意，半圆在直线下方的区间长度为2，则必有a ＝1，即 1是方程9－x 2＝k (x ＋2)－2的根，代入得k ＝2.总结提高1.解一元二次不等式的一般步骤:(1)对不等式变形，使一端为零且二次项系数大于零； (2)计算相应的判别式；(3)当Δ＞0时，求出相应的一元二次方程的两根； (4)根据一元二次不等式的结构，写出其解集.2.当含有参数时，需分类讨论.分类标准往往根据需要而设定.如：是一元一次不等式还是一元二次不等式；开口方向如何；根的判别式的正负；根的大小等.3.要注意三个“二次”之间的联系，重视数形结合思想的应用.7.3 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题典例精析题型一 平面区域【例1】已知函数f (x )的定义域为[－2，＋∞)，且f (4)＝f (－2)＝1，f ′(x )为f (x )的导函数，函数y ＝f ′(x )的图象如图所示，则平面区域⎪⎩⎪⎨⎧<+≥≥1)2(,0,0b a f b a 所围成的面积是( )A.2B.4C.5D.8【解析】选B.由f ′(x )的图象可知，f (x )在[－2,0]上是减函数，在[0，＋∞)上是增函数.因为f (－2)＝f (4)＝1，所以当且仅当x ∈(－2,4)时，有f (x )＜f (－2)＝f (4)＝1.作出可行域如图所示，其围成的图形面积为4.【点拨】不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面区域点的交集，因而是各个不等式所表示的平面区域的公共部分.【变式训练1】若a ≥0，b ≥0，且当⎪⎩⎪⎨⎧≤+≥≥1,0,0y x y x 时，恒有ax ＋by ≤1，则以a ，b 为坐标的点P (a ，b )所形成的平面区域的面积是() A.12B.π4C.1D.π2【解析】选C.当a ＝b ＝1时，满足x ＋y ≤1，且可知0≤a ≤1，0≤b ≤1，所以点P (a ，b )所形成的平面区域为边长为1的正方形，所以面积为1.本题关键是确定点所形成的区域形状.题型二 利用线性规划求最值(1)z ＝x ＋2y －4的最大值； (2)z ＝x 2＋y 2－10y ＋25的最小值； (3)z ＝2y ＋1x ＋1的取值范围.【解析】作出可行域如图所示，并求出顶点的坐标A (1,3)，B (3,1)，C (7,9). (1)易知直线x ＋2y －4＝z 过点C 时，z 最大. 所以x ＝7，y ＝9时，z 取最大值21.(2)z ＝x 2＋(y －5)2表示可行域内任一点(x ，y )到定点M (0,5)的距离的平方， 过点M 作直线AC 的垂线，易知垂足N 在线段AC 上， 故z 的最小值是(|0－5＋2|2)2＝92.(3)z ＝2·y －(－12)x －(－1)表示可行域内任一点(x ，y )与定点Q (－1，－12)连线斜率的2倍.因为k QA ＝74，k QB ＝38，所以z的取值范围为[34，72].【点拨】线性目标函数的最大值、最小值一般在可行域的顶点处或边界上取得，充分理解目标函数赋予的几何意义是本例的关键.【变式训练2】已知函数f (x )＝13x 3＋ax 2－bx ＋1(a ，b ∈R )在区间[－1,3]上是减函数，求a ＋b 的最小值.【解析】因为f ′(x )＝x 2＋2ax －b ，f (x )在区间[－1,3]上是减函数.所以f ′(x )≤0在[－1,3]上恒成立.则作出点(a ，b )表示的平面区域.令z ＝a ＋b ，求出直线－2a －b ＋1＝0与6a －b ＋9＝0的交点A 的坐标为(－1,3). 当直线z ＝a ＋b 过点A (－1,3)时，z ＝a ＋b 取最小值2. 题型三 线性规划的实际应用【例3】某木器厂生产圆桌和衣柜两种产品，现有两种木料，第一种有72 m 3，第二种有56 m 3.假设生产每种产品都需要用两种木料，生产一张圆桌需要用第一种木料0.18 m 3，第二种木料0.08m 3，可获利润6元，生产一个衣柜需要用第一种木料0.09 m 3，第二种木料0.28 m 3，可获利润10元.木器厂在现有木料条件下，圆桌和衣柜应各生产多少时才能使所获利润最大？最大利润是多少？【解析】设圆桌生产的张数为x ，衣柜生产的个数为y ，所获利润为z ，则z ＝6x ＋10y ，当直线l ：6x ＋10y ＝0平移到经过点M (350,100)时，z ＝6x ＋10y 最大. z max ＝6×350＋10×100＝3 100，所以生产圆桌350张，衣柜100个可获得最大利润3 100元.【点拨】解实际线性规划问题，首先设出变量，建立不等式模型表示出约束条件，一定要注意问题的实际意义(如本题中x ≥0，y ≥0)，然后画出可行域，利用图形求解.【变式训练3】某实验室需购某种化工原料至少106千克，现在市场上该原料有两种包装：一种是每袋35千克，价格为140元；另一种是每袋24千克，价格为120元.在满足需要的条件下，最少要花费 元.【解析】500.设需35千克的x 袋，24千克的y 袋，则目标函数z ＝140x ＋120y ，约束条件为⎩⎨⎧∈≥+N y x y x ,106,2435当x ＝1时，y ≥7124，即y ＝3，这时z min ＝140＋120×3＝500. 总结提高1.用图解法解决线性规划问题时，分析题目的已知，找出约束条件和目标函数是关键.2.可行域是二元一次不等式组所表示的平面区域，可行域可以是封闭的多边形，亦可是一侧开放的无限大的平面区域.3.若可行域是一个多边形，那么一般在顶点处，使目标函数值取得最值，最优解一般是多边形的某个顶点.4.实际问题的最优解要求是整数解时，这时要对最优解(非整数解)进行适当调整，其方法是在边界直线的附近寻求与目标函数直线距离最近的整点，而不要在最优解的附近寻找.7.4 基本不等式及应用典例精析题型一 利用基本不等式比较大小【例1】(1)设x ，y ∈R ＋，且xy －(x ＋y )＝1，则( ) A.x ＋y ≥2(2＋1) B.x ＋y ≤2(2＋1) C.x ＋y ≤2(2＋1)2D.x ＋y ≥(2＋1)2(2)已知a ，b ∈R ＋，则ab ，a ＋b2，a 2＋b 22，2aba ＋b的大小顺序是 . 【解析】(1)选A.由已知得xy ＝1＋(x ＋y )，又xy ≤(x ＋y 2)2，所以(x ＋y 2)2≥1＋(x ＋y ).解得x ＋y ≥2(2＋1)或x ＋y ≤2(1－2). 因为x ＋y ＞0，所以x ＋y ≥2(2＋1).(2)由a ＋b 2≥ab 有a ＋b ≥2ab ，即a ＋b ≥2ab ab ，所以ab ≥2aba ＋b .又a ＋b 2＝a 2＋2ab ＋b 24≤2(a 2＋b 2)4，所以a 2＋b 22≥a ＋b2， 所以a 2＋b 22≥a ＋b 2≥ab ≥2aba ＋b. 【点拨】本题(2)中的结论由基本不等式简单推导而来，可作为结论使用.【变式训练1】设a ＞b ＞c ，不等式1a －b ＋1b －c ＞λa －c 恒成立，则λ的取值范围是 .【解析】(－∞，4).因为a ＞b ＞c ，所以a －b ＞0，b －c ＞0，a －c ＞0. 而(a －c )(1a －b ＋1b －c )＝[(a －b )＋(b －c )](1a －b ＋1b －c)≥4，所以λ＜4.题型二 利用基本不等式求最值【例2】(1)已知x ＜54，则函数y ＝4x －2＋14x －5的最大值为 ；(2)已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的导数f ′(x )，f ′(0)＞0，对任意实数x ，有f (x )≥0，则f (1)f ′(0)的最小值为( )A.3B.52C.2D.32【解析】(1)因为x ＜54，所以5－4x ＞0.所以y ＝4x －2＋14x －5＝－(5－4x ＋15－4x)＋3≤－2＋3＝1. 当且仅当5－4x ＝15－4x ，即x ＝1时，等号成立.所以x ＝1时，y max ＝1.(2)选C.因为f (x )≥0，所以⎩⎨⎧≤-=>.0402ac b Δa 所以c ≥b 24a .又f ′(x )＝2ax ＋b ，所以f ′(0)＝b ＞0，f (1)f ′(0)＝a ＋b ＋c b ＝1＋a ＋c b ≥1＋4a 2＋b 24ab ≥1＋24a 2b 24ab ＝2， 当且仅当c ＝b 24a且4a 2＝b 2时等号成立.【点拨】应用基本不等式求最值时，常见的技巧是“拆或凑”，同时注意“一正、二定、三相等”这三个条件，避免出现错误.【变式训练2】已知x ，a ，b ，y 成等差数列，x ，c ，d ，y 成等比数列，求(a ＋b )2cd 的取值范围.【解析】由等差数列、等比数列的性质得a ＋b ＝x ＋y ， cd ＝xy ，所以(a ＋b )2cd ＝(x ＋y )2xy ＝2＋x y ＋yx ，当y x ＞0时，(a ＋b )2cd ≥4；当yx ＜0时，(a ＋b )2cd ≤0， 故(a ＋b )2cd 的取值范围是(－∞，0]∪[4，＋∞).题型三 应用基本不等式解实际应用问题【例3】某食品厂定期购买面粉，已知该厂每天需用面粉6吨，每吨面粉的价格为1 800元，面粉的保管等其他费用为平均每吨每天3元，购面粉每次需支付运费900元.(1)求该厂多少天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少(所购面粉第二天才能使用)； (2)若提供面粉的公司规定：当一次购买面粉不少于210吨时，其价格可享受9折优惠(即原价的90%)，问该厂是否可以利用此优惠条件？请说明理由.【解析】(1)设该厂x 天购买一次面粉，其购买量为6x 吨，面粉的保管等其他费用为3[6x ＋6(x －1)＋…＋6×2＋6×1]＝9x (x ＋1).设平均每天所支付的总费用为y 1，则y 1＝1x [9x (x ＋1)＋900]＋6×1 800＝900x ＋9x ＋10 809≥2x x9900 ＋10 809＝10 989， 当且仅当9x ＝900x，即x ＝10时，取等号. 即该厂应10天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少.(2)若厂家利用此优惠条件，则至少应35天购买一次面粉，设该厂利用此优惠条件后，每x (x ≥35)天购买一次面粉，平均每天支付的总费用为y 2，则y 2＝1x [9x (x ＋1)＋900]＋6×1 800×0.9＝900x＋9x ＋9 729(x ≥35). 因为y 2′＝9－900x 2，当x ≥35时，y 2′＞0. 所以y 2＝900x＋9x ＋9 729在[35，＋∞)上是增函数. 所以x ＝35时，y 2取最小值70 4887. 由70 4887＜10 989知，该厂可以利用此优惠条件. 【点拨】解决这类应用题，首先要依题意构造出相应的数学模型，并通过适当的变形使所得到的模型符合基本不等式的结构，再求最值.当等号不能成立时，常利用函数的单调性来处理.【变式训练3】已知a ＞0，b ＞0，且2a ＋b ＝1，求S ＝2ab －4a 2－b 2的最大值.【解析】因为a ＞0，b ＞0,2a ＋b ＝1，所以4a 2＋b 2＝(2a ＋b )2－4ab ＝1－4ab ，且1＝2a ＋b ≥22ab ，即ab ≤24，ab ≤18. 所以S ＝2ab －4a 2－b 2＝2ab －(1－4ab )＝2ab ＋4ab －1≤2－12， 当且仅当a ＝14，b ＝12时，等号成立. 总结提高1.基本不等式的几种常见变形公式：ab ≤(a ＋b 2)2≤a 2＋b 22(a ，b ∈R )； 2ab a ＋b ≤ab ≤a ＋b 2≤a 2＋b 22(a ＞0，b ＞0). 注意不等式成立的条件及等号成立的条件.2.合理拆分或配凑因子是常用的技巧，配、凑的目的在于使几个数的积为定值或和为定值，且等号能够成立.3.多次使用基本不等式求最值时，要特别注意等号能否同时成立.7.5 不等式的综合应用典例精析题型一 含参数的不等式问题【例1】若不等式组⎩⎨⎧<+++>--05)25(2,0222k x k x x x 的解集中所含整数解只有－2，求k 的取值范围. 【解析】由x 2－x －2＞0有x ＜－1或x ＞2，由2x 2＋(5＋2k )x ＋5k ＜0有(2x ＋5)(x ＋k )＜0.因为－2是原不等式组的解，所以k ＜2.由(2x ＋5)(x ＋k )＜0有－52＜x ＜－k . 因为原不等式组的整数解只有－2，所以－2＜－k ≤3，即－3≤k ＜2，故k 的取值范围是[－3,2).【点拨】涉及到含参数的不等式解集的有关问题时，借助数轴分析，往往直观、简洁.【变式训练1】不等式(－1)na ＜2＋(－1)n ＋1n 对任意n ∈N *恒成立，求实数a 的取值范围. 【解析】当n 为奇数时，－a ＜2＋1n ，即a ＞－(2＋1n). 而－(2＋1n)＜－2，则a ≥－2； 当n 为偶数时，a ＜2－1n ，而2－1n ≥2－12＝32，所以a ＜32. 综上可得－2≤a ＜32. 【点拨】不等式中出现了(－1)n 的时候，常常分n 为奇数和偶数进行分类讨论.题型二 不等式在函数中的应用【例2】已知函数f (x )＝2x －a x 2＋2在区间[－1,1]上是增函数. (1)求实数a 的值组成的集合A ；(2)设x 1，x 2是关于x 的方程f (x )＝1x的两个相异实根，若对任意a ∈A 及t ∈[－1,1]，不等式m 2＋tm ＋1≥|x 1－x 2|恒成立，求实数m 的取值范围.【解析】(1)f ′(x )＝4＋2ax －2x 2(x 2＋2)2， 因为f (x )在[－1,1]上是增函数，所以当x ∈[－1,1]时，f ′(x )≥0恒成立，令φ(x )＝x 2－ax －2，即x 2－ax －2≤0恒成立.所以A ＝{a |－1≤a ≤1}.(2)由f (x )＝1x得x 2－ax －2＝0. 设x 1，x 2是方程x 2－ax －2＝0的两个根，所以x 1＋x 2＝a ，x 1x 2＝－2.从而|x 1－x 2|＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝a 2＋8，因为a ∈[－1,1]，所以a 2＋8≤3，即|x 1－x 2|max ＝3.不等式对任意a ∈A 及t ∈[－1,1]不等式恒成立，即m 2＋tm －2≥0恒成立.设g (t )＝m 2＋tm －2＝mt ＋m 2－2，则解得m ≥2或m ≤－2.故m 的取值范围是(－∞，－2]∪[2，＋∞).【点拨】对于在给定区间上恒成立的不等式问题，通常可以转化为给定区间上的函数最大值(最小值)大于零(或小于零)，亦可分离变量或者利用数形结合的方法，分离变量和数形结合更加简单明了.【变式训练2】设a ，b ＞0，且ab ＝1，不等式a a 2＋1＋b b 2＋1≤λ恒成立，则λ的取值范围是 . 【解析】[1，＋∞).因为ab ＝1，所以a a 2＋1＋b b 2＋1＝2a ＋b ≤22ab＝1，所以λ≥1. 题型三 不等式在实际问题中的应用【例3】某森林出现火灾，火势正以100 m 2/分钟的速度顺风蔓延，消防站接到报警立即派消防队员前去，在火灾发生后5分钟到达救火现场，已知消防队员在现场平均每人灭火50 m 2/分钟，所消耗的灭火材料，劳务津贴等费用为人均125元/分钟，另附加每次救火所耗损的车辆，器械和装备等费用人均100元，而烧毁森林的损失费60元/m 2，问应该派多少消防队员前去救火才能使总损失最少？【解析】设派x 名消防队员前去救火，用t 分钟将火扑灭，总损失为y ，则t ＝5×10050x －100＝10x －2， y ＝灭火劳务津贴＋车辆、器械装备费＋森林损失费＝125xt ＋100x ＋60(500＋100t )＝125x ×10x －2＋100x ＋30 000＋60 000x －2＝100(x －2)＋62 500x －2＋31 450 ≥2100(x －2)·62 500x －2＋31 450＝36 450，当且仅当100(x －2)＝62 500x －2，即x ＝27时，y 有最小值36 450，故应派27人前去救火才能使总损失最少，最少损失36 450元.【点拨】本题需要把实际问题抽象为数学问题，建立不等式模型，利用基本不等式求最值，基本不等式是历年高考考查的重要内容.【变式训练3】某学校拟建一块周长为400 m 的操场，如图所示，操场的两头是半圆形，中间区域是矩形，学生做操一般安排在矩形区域，为了能让学生的做操区域尽可能大，试问如何设计矩形的长和宽？【解析】设中间矩形区域的长，宽分别为x m ，y m ，中间的矩形区域面积为S ，则半圆的周长为πy 2， 因为操场周长为400，所以2x ＋2×πy 2＝400， 即2x ＋πy ＝400(0＜x ＜200,0＜y ＜400π)， 所以S ＝xy ＝12π·(2x )·(πy )≤12π·⎝⎛⎭⎫2x ＋πy 22＝20 000π， 由⎩⎨⎧=+=,400π2,π2y x y x 解得⎪⎩⎪⎨⎧==π200,100y x 所以当且仅当⎪⎩⎪⎨⎧==π200,100y x 时等号成立， 即把矩形的长和宽分别设计为100 m 和200πm 时，矩形区域面积最大. 总结提高1.不等式应用大致可分为两类：一类是建立不等式求参数的取值范围，或解决一些实际应用问题；另一类是建立函数关系，利用基本不等式求最值问题.不等式的综合题主要是不等式与函数、解析几何、数列、三角函数等知识的综合.解决这些问题的关键是找出综合题的各部分知识及联系，充分利用数学思想和数学方法解题.2.建立不等式的主要途径有：利用基本不等式；利用问题的几何意义；利用判别式；利用函数的有界性；利用函数的单调性等.3.解答不等式的实际应用问题一般分四步，即审题、建模、求解、检验.。

[课堂练通考点]1．下列函数中，最小正周期为π的奇函数是( ) A ．y ＝cos 2x B ．y ＝sin 2x C ．y ＝tan 2xD ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π2解析：选B 选项A 、D 中的函数均为偶函数，C 中函数的最小正周期为π2，故选B.2．已知函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π6(ω>0)的最小正周期为π，则f (x )的单调递增区间为( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π3，k π＋5π6(k ∈Z ) B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π6，2k π＋π3(k ∈Z ) C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π3，k π＋π6(k ∈Z ) D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π6，k π＋π3(k ∈Z ) 解析：选D 根据已知得2πω＝π，得ω＝2.由不等式2k π－π2≤2x －π6≤2k π＋π2(k ∈Z )，解得k π－π6≤x ≤k π＋π3(k ∈Z )，所以函数f (x )的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π6，k π＋π3(k ∈Z )． 3．函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－2x 的单调减区间为________．解析：由y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－2x ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4得 2k π≤2x －π4≤2k π＋π(k ∈Z )，解得k π＋π8≤x ≤k π＋5π8(k ∈Z )．所以函数的单调减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π8，k π＋5π8(k ∈Z )．答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π8，k π＋5π8(k ∈Z )4．函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的图像与x 轴交点的坐标是________． 解析：由2x ＋π4＝k π(k ∈Z )得， x ＝k π2－π8(k ∈Z )．∴函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的图像与x 轴交点的坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2－π8，0. 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2－π8，05．(2013·陕西高考)已知向量a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x ，－12，b ＝(3sin x ，cos 2x )，x ∈R ，设函数f (x )＝a ·b .(1)求f (x )的最小正周期．(2)求f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最大值和最小值．解：f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x ，－12·( 3 sin x ，cos 2x )＝3cos x sin x －12cos 2x ＝32sin 2x －12cos 2x ＝cos π6sin 2x －sin π6cos 2x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6.(1)f (x )的最小正周期为T ＝2πω＝2π2＝π， 即函数f (x )的最小正周期为π. (2)∵0≤x ≤π2，∴－π6≤2x －π6≤5π6.由正弦函数的性质，知当2x －π6＝π2，即x ＝π3时，f (x )取得最大值1. 当2x －π6＝－π6，即x ＝0时，f (x )取得最小值－12. 因此，f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最大值是1，最小值是－12.[课下提升考能]第Ⅰ卷：夯基保分卷 1．函数y ＝ cos x －32的定义域为( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π6 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π6，k π＋π6，k ∈Z C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π6，2k π＋π6，k ∈Z D ．R解析：选C ∵cos x －32≥0，得cos x ≥32，∴2k π－π6≤x ≤2k π＋π6，k ∈Z .2．(2013·洛阳统考)如果函数y ＝3sin(2x ＋φ)的图像关于直线x ＝π6对称，则|φ|的最小值为( )A.π6 B.π4 C.π3D.π2解析：选A 依题意得，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋φ＝±1，则π3＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )，即φ＝k π＋π6(k ∈Z )，因此|φ|的最小值是π6，选A.3．(2014·聊城期末)已知函数f (x )＝2sin ωx (ω>0)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4上的最小值是－2，则ω的最小值等于( )A.23 B.32 C ．2D ．3解析：选B ∵ω>0，－π3≤x ≤π4，∴－ωπ3≤ωx ≤ωπ4. 由已知条件知－ωπ3≤－π2，∴ω≥32.4．(2014·安徽黄山高三联考)设函数f (x )＝3cos(2x ＋φ)＋sin(2x ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫|φ|<π2，且其图像关于直线x ＝0对称，则( )A ．y ＝f (x )的最小正周期为π，且在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上为增函数B ．y ＝f (x )的最小正周期为π，且在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上为减函数C ．y ＝f (x )的最小正周期为π2，且在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4上为增函数D ．y ＝f (x )的最小正周期为π2，且在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4上为减函数 解析：选B f (x )＝3cos(2x ＋φ)＋sin(2x ＋φ) ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋φ，∵其图像关于x ＝0对称，∴f (x )是偶函数， ∴π3＋φ＝π2＋k π，k ∈Z . 又∵|φ|<π2，∴φ＝π6.∴f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋π6＝2cos 2x .易知f (x )的最小正周期为π，在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上为减函数．5．(2013·浙江高考改编)已知函数f (x )＝A cos(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，φ∈R )，则“f (x )是奇函数”是“φ＝π2”的________条件．解析：若f (x )是奇函数，则φ＝π2＋k π(k ∈Z )； 当φ＝π2时，f (x )为奇函数．答案：必要不充分6．函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3－1，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3的值域为________，并且取最大值时x 的值为________．解析：∵0≤x ≤π3，∴π3≤2x ＋π3≤π， ∴0≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3≤1， ∴－1≤2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3－1≤1，即值域为[－1,1]；且当sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝1，即x ＝π12时，y 取最大值．答案：[－1,1] π12 7．设f (x )＝1－2sin x . (1)求f (x )的定义域；(2)求f (x )的值域及取最大值时x 的值．解：(1)由1－2sin x ≥0，根据正弦函数图像知：定义域为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪2k π＋56π≤x ≤2k π＋13π6，k ∈Z .(2)∵－1≤sin x ≤1，∴－1≤1－2sin x ≤3， ∵1－2sin x ≥0，∴0≤1－2sin x ≤3， ∴f (x )的值域为[0，3]，当x ＝2k π＋3π2，k ∈Z 时，f (x )取得最大值．8．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫0<φ<2π3的最小正周期为π.(1)求当f (x )为偶函数时φ的值；(2)若f (x )的图像过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，32，求f (x )的单调递增区间．解：∵由f (x )的最小正周期为π，则T ＝2πω＝π，∴ω＝2. ∴f (x )＝sin(2x ＋φ)．(1)当f (x )为偶函数时，f (－x )＝f (x )．∴sin(2x ＋φ)＝sin(－2x ＋φ)， 展开整理得sin 2x cos φ＝0， 由已知上式对∀x ∈R 都成立， ∴cos φ＝0，∵0<φ<2π3，∴φ＝π2.(2)f (x )的图像过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，32时，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π6＋φ＝32，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋φ＝32.又∵0<φ<2π3，∴π3<π3＋φ<π. ∴π3＋φ＝2π3，φ＝π3. ∴f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.令2k π－π2≤2x ＋π3≤2k π＋π2，k ∈Z ， 得k π－5π12≤x ≤k π＋π12，k ∈Z .∴f (x )的递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－5π12，k π＋π12，k ∈Z .第Ⅱ卷：提能增分卷1．(2013·福建质检)已知函数f (x )＝sin x ＋cos x ，x ∈R . (1)求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12的值；(2)试写出一个函数g (x )，使得g (x )f (x )＝cos 2x ，并求g (x )的单调区间． 解：(1)因为f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＋π4＝2sin π3＝62.(2)g (x )＝cos x －sin x . 理由如下：因为g (x )f (x )＝(cos x －sin x )(sin x ＋cos x )＝cos 2x －sin 2x ＝cos 2x ， 所以g (x )＝cos x －sin x 符合要求．又g (x )＝cos x －sin x ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4，由2k π＋π<x ＋π4<2k π＋2π，得2k π＋3π4<x <2k π＋7π4，k ∈Z . 所以g (x )的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫2k π＋3π4，2k π＋7π4，k ∈Z .由2k π<x ＋π4<2k π＋π，得2k π－π4<x <2k π＋3π4，k ∈Z . 所以g (x )的单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫2k π－π4，2k π＋3π4，k ∈Z .2. (创新题)设函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx 3－π6－2cos 2πx 6.(1)求y ＝f (x )的最小正周期及单调递增区间；(2)若函数y ＝g (x )与y ＝f (x )的图像关于直线x ＝2对称，求当x ∈[0,1]时，函数y ＝g (x )的最大值．解：(1)由题意知f (x )＝32sin πx 3－32cos πx 3－1＝3·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx 3－π3－1，所以y ＝f (x )的最小正周期T ＝2ππ3＝6.由2k π－π2≤π3x －π3≤2k π＋π2，k ∈Z ， 得6k －12≤x ≤6k ＋52，k ∈Z ，所以y ＝f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤6k －12，6k ＋52，k ∈Z .(2)因为函数y ＝g (x )与y ＝f (x )的图像关于直线y ＝2对称， 所以当x ∈[0,1]时，y ＝g (x )的最大值即为x ∈[3,4]时， y ＝f (x )的最大值，当x ∈[3,4]时，π3x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤23π，π，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，32，f (x )∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，12，即此时y ＝g (x )的最大值为12.3．已知a >0，函数f (x )＝－2a sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋2a ＋b ，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，－5≤f (x )≤1.(1)求常数a ，b 的值；(2)设g (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2且lg g (x )>0，求g (x )的单调区间．解：(1)∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，∴2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，7π6.∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1，∴－2a sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6∈[－2a ，a ]． ∴f (x )∈[b,3a ＋b ]， 又∵－5≤f (x )≤1，∴b ＝－5,3a ＋b ＝1，因此a ＝2，b ＝－5. (2)由(1)得，f (x )＝－4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6－1，g (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝－4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋7π6－1＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6－1，又由lg g (x )>0，得g (x )>1， ∴4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6－1>1，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6>12，∴2k π＋π6<2x ＋π6<2k π＋5π6，k ∈Z ， 其中当2k π＋π6<2x ＋π6≤2k π＋π2，k ∈Z 时， g (x )单调递增，即k π<x ≤k π＋π6，k ∈Z ， ∴g (x )的单调增区间为 ⎝ ⎛⎦⎥⎤k π，k π＋π6，k ∈Z .又∵当2k π＋π2<2x ＋π6<2k π＋5π6，k ∈Z 时， g (x )单调递减，即k π＋π6<x <k π＋π3，k ∈Z . ∴g (x )的单调减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫k π＋π6，k π＋π3，k ∈Z .。

2015届高考数学一轮复习角的概念及任意角三角函数学案理知识梳理： (阅读教材必修4第2页—第17页)(一)、角的概念的推广1、角的概念：2、正角、负角和零角：3、象限角：4、终边相同的角：所在与终边相同的角，连同在内的角可以构成一个集合5、终边落在x轴上的角的集合：；终边浇在y轴上的角的集合：。

（二）、弧度制1、角的度量：角度制：弧度制：2、正角的弧度数是一个正数，负角的弧度是一个负数，零角的弧度数是0。

3、角度制与弧度制之间的换算关系：==；1rad=（4、弧度制下的弧公式与扇形的面积公式：（三）任意角的三角函数：1、设任意角的终边上任意一点p（除原点外）的坐标为（x，y），它到原点的距离为r=。

（1）、比值 叫做的正弦，记作sin ，即（2）、比值 叫做的余弦，记作cos ，即（3）、比值 叫做的正切，记作tan ，即s 2、单位圆中的三角函数线如图： Sin =MP ，cos =OM ，tan =AT一、 题型探究：探究一：终边相同的角的集合的表示 例1：如图： 分别为终边落在OM 、ON ，位置上的两个角，且=，。

（1）、求终边落在圆阴影部分（含边界）时所有角的集合； （2）、求终边落在圆阴影部分（含边界），且满足条件{x|}的所有角的集合；X探究二：象限角的意义：X例 2：若是第二象限角，试确定2， 的终边所在的位置探究三：扇形的面积：例3：1弧度的圆心角所对的弦长为2，求此圆心角所夹扇形 的面积。

探究四：任意角的三角函数的定义：例4 【2014安徽理科】 .设函数))((R x x f ∈满足.sin )()(x x f x f +=+π当π<≤x 0时，0)(=x f ，则=)623(πf （ ） A.21 B. 23 C.0 D.21-例5：(2014新课标I). 如图，圆O 的半径为1，A 是圆上的定点，P 是圆上的动点，角x 的始边为射线OA ，终边为射线OP ，过点P 作直线OA 的垂线，垂足为M ，将点M 到直例6：若sin tan cot ()22ππαααα>>-<<，则α∈（ B ）()A (,)24ππ-- ()B (,0)4π- ()C (0,)4π ()D (,)42ππ二、方法提升：1、 要确定所在的象限，只要把表示为=2k +，02），就可以由所在的象限判定所在的象限，则已知角的范围求未知角的范围是，通常要用不等式的性质来解决，切忌不要扩大角的范围。

某某省东北师X大学附属中学2015届高考数学一轮复习三角函数的图象及性质教案理知识梳理：(阅读教材必修4第30页—第72页)1、三角函数的图象及性质函数正弦函数余弦函数正切函数图象定义域值域单调性奇偶性周期性对称中心对称轴2、周期函数：对于函数如果存在一个非零常数T，使得当x取定义内的每一个值时，都有=，那么函数就叫做周期函数，非零常数T叫做函数的周期；最小正周期：对于周期函数，如果在它的所有周期中，存在一个最小正数，那么这个最小的正数就叫做函数的最小正周期，常把最小正周期叫做函数的周期。

3、三角函数的图象的画法：（1）、利用三角函数线的几何画法；（2）、利用变换法（3）、五点法作图4、三角函数方程与三角不等式的解法主要根据三角函数的图象，先找出在一个周期内的方程或不等式的解，再写出和它们终边相同的角的集合。

探究一：三角函数的定义域问题例1：（1）、求函数的定义域；（2）、求函数的定义域；（3）、求函数的定义域。

探究二：三角函数的最值问题例2：(2014某某)（本小题满分13分）已知函数()23cos sin 3cos 34f x x x x π⎛⎫=⋅+-+ ⎪⎝⎭，x R ∈. （Ⅰ）求()f x 的最小正周期； （Ⅱ）求()f x 在闭区间,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值. 【答案】 （1） π（2）41,21-本小题主要考查两角和与差的正弦公式、二倍角公式与余弦公式，三角函数的最小正周期、单调性等基础知识. 考查基本运算能力. 满分13分.（Ⅰ）解：由已知，有cosx(sinxcos +cosxsin )-= sinxcosx-cos 2x+=+=(1+cos2) +==所以，f x 的最小正周期T==例3：（2014新课标2 理科）.函数()()()sin 22sin cos f x x x ϕϕϕ=+-+的最大值为_________.探究三：三角函数的图象与性质例4：设函数f(x)的图角的一条对称轴是(1): 求；(2): 求函数的单调区增区间例5：函数在区间[]上的最大值为1，求探究四：三角函数的值域例6：+)例7：sinx+cosx+sinxcosx+1 ，x]例8：一、方法提升1、求三角函数的定义域常用的方法：通过解不等式最后化成一个三角函数值的X围，再利用三角函数的图象或三角函数线求解，若需要解三角不等式组，要注意运用数轴取交集；2、求三角函数的值域或最值常用方法：（1）将三角函数关系式化成一角一函数的形式，利用三角函数的有界性或三角函数的单调性来解；（2）将三角函数关系式化成一个角的三角函数式的二次函数式，利用配方或二次函数的图象求解，要注意变量的X围；（3）数形结合法、换元法。

2015届高考数学（理）一轮专题复习特训：函数一、选择题1、(2014山东理)(3)函数1)(log 1)(22-=x x f 的定义域为（ ）A. )21,0(B. ),2(+∞C. ),2()21,0(+∞D. ),2[]21,0(+∞答案：C2、(2014山东理)(8)已知函数()21,().f x x g x kx =-+=若方程()()f x g x =有两个不相等的实根，则实数k 的取值范围是（ ）A.1(0,)2B.1(,1)2 C.(1,2) D.(2,)+∞答案：B3、（2013山东理）3．已知函数()f x 为奇函数，且当0x >时，21()f x x x =+，则(1)f -=(A) 2- (B) 0 (C) 1 (D) 2 答案：3．A4、（2011山东理数5）对于函数(),y f x x R =∈,“|()|y f x =的图象关于y 轴对称”是“y =()f x 是奇函数”的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要答案：B5、（2011山东理数10）10．已知()f x 是R 上最小正周期为2的周期函数，且当02x ≤<时,3()f x x x =-,则函数()y f x =的图象在区间[0,6]上与x 轴的交点的个数为A ．6B ．7C ．8D ．9 答案：B错误！未指定书签。

6．（山东省临沂一中2014届高三9月月考数学（理科）试题）函数1()1f x n x =+的定义域为 （ ）A ．(,4][2,)-∞-+∞B ．(4,0)(0,1)-⋃C ．[4,0)(0,1]-D ．[4,0)(0,1]-⋃【答案】D 7．（山东省日照市第一中学2014届高三上学期第一次月考数学（理）试题）已知函数9()4(1)1f x x x x =-+>-+,当x=a 时,()f x 取得最小值,则在直角坐标系中,函数11()()x g x a +=的大致图象为【答案】B9941+511y x x x x =-+=+-++,因为1x >-,所以910,01x x +>>+,所以由均值不等式得91+5511y x x =+-≥=+,当且仅当911x x +=+,即2(1)9x +=,所以13,2x x +==时取等号,所以2a =,所以1111()()()2x x g x a ++==,又1111(),11()()222,1x x x x g x x +++⎧≥-⎪==⎨⎪<-⎩,所以选 B ．8错误！未指定书签。

[课堂练通考点]1．如图，在平行四边形ABCD 中，E 为DC 边的中点，且AB ＝a ，AD＝b ，则BE＝( )A ．b －12a B ．b ＋12a C ．a ＋12bD ．a －12b解析：选A BE ＝BA ＋AD ＋DE ＝－a ＋b ＋12a ＝b －12a .2．已知向量a ＝(2,3)，b ＝(－1,2)，若(m a ＋n b )∥(a －2b )，则mn 等于( ) A ．－2 B ．2 C ．－12D.12解析：选C 由题意得m a ＋n b ＝(2m －n,3m ＋2n ) a －2b ＝(4，－1)， 由于(m a ＋n b )∥(a －2b )， 可得－(2m －n )－4(3m ＋2n )＝0， 可得m n ＝－12，故选C.3．(2013·大连沙河口模拟)非零不共线向量OA 、OB ，且2OP ＝x OA ＋y OB，若PA ＝λAB(λ∈R )，则点Q (x ，y )的轨迹方程是( )A ．x ＋y －2＝0B ．2x ＋y －1＝0C ．x ＋2y －2＝0D ．2x ＋y －2＝0解析：选A PA ＝λAB，得OA －OP ＝λ(OB －OA )，即OP ＝(1＋λ)OA －λOB .又2OP ＝x OA ＋y OB ，∴⎩⎨⎧x ＝2＋2λ，y ＝－2λ，消去λ得x ＋y ＝2，故选A.4．已知点A (2,1)，B (0,2)，C (－2,1)，O (0,0)，给出下面的结论：①直线OC 与直线BA 平行；②AB ＋BC＝CA ；③OA ＋OC ＝OB ；④AC ＝OB －2OA .其中正确结论的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：选C ∵由题意得k OC ＝1－2＝－12，k BA ＝2－10－2＝－12，∴OC ∥BA ，①正确；∵AB ＋BC＝AC ，∴②错误；∵OA ＋OC ＝(0,2)＝OB，∴③正确； ∵OB －2OA ＝(－4,0)，AC＝(－4,0)，∴④正确．5．(2013·保定调研)已知两点A (1,0)，B (1,1)，O 为坐标原点，点C 在第二象限，且∠AOC ＝135°，设OC ＝－OA ＋λOB(λ∈R )，则λ的值为________．解析：由∠AOC ＝135°知，点C 在射线y ＝－x (x <0)上，设点C 的坐标为(a ，－a )，a <0，则有(a ，－a )＝(－1＋λ，λ)，得a ＝－1＋λ，－a ＝λ，消掉a 得λ＝12.答案：126．(2014·朝阳一模)在△ABC 中，M 为边BC 上任意一点，N 为AM 中点，AN＝λAB＋μAC ，则λ＋μ的值为( )A.12 B.13 C.14D ．1解析：选A ∵M 为边BC 上任意一点，∴可设AM ＝x AB＋y AC (x ＋y ＝1)． ∵N 为AM 中点，∴AN ＝12AM ＝12x AB ＋12y AC ＝λAB＋μAC . ∴λ＋μ＝12(x ＋y )＝12.[课下提升考能]第Ⅰ组：全员必做题1．(2013·辽宁高考)已知点A (1,3)，B (4，－1)，则与向量AB同方向的单位向量为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫35，－45 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫45，－35 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，45D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－45，35 解析：选A AB ＝(3，－4)，则与其同方向的单位向量e ＝AB|AB|＝15(3，－4)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫35，－45. 2．已知△ABC 中，点D 在BC 边上，且CD ＝2CE ，CD ＝r AB＋s AC ，则r ＋s 的值是( )A.23B.43 C ．－3D ．0解析：选D ∵CD ＝2CE，∴CD ＝23CB ＝23(AB －AC)，∴CD ＝23AB －23AC ，又CD ＝r AB ＋s AC ，∴r ＝23，s ＝－23， ∴r ＋s ＝0.故选D.3．(2014·江苏五市联考)已知向量a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫8，12x ，b ＝(x,1)，其中x >0，若(a －2b )∥(2a ＋b )，则x 的值为( )A ．4B ．8C ．0D ．2解析：选A a －2b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫8－2x ，12x －2，2a ＋b ＝(16＋x ，x ＋1)， 由已知(a －2b )∥(2a ＋b )，显然2a ＋b ≠0， 故有⎝ ⎛⎭⎪⎫8－2x ，12x －2＝λ(16＋x ，x ＋1)，λ∈R ，∴⎩⎪⎨⎪⎧8－2x ＝λ(16＋x )，12x －2＝λ(x ＋1)⇒x ＝4(x >0)．4.(创新题)若α，β是一组基底，向量γ＝x α＋y β(x ，y ∈R )，则称(x ，y )为向量γ在基底α，β下的坐标，现已知向量a 在基底p ＝(1，－1)，q ＝(2,1)下的坐标为(－2,2)，则a 在另一组基底m ＝(－1,1)，n ＝(1,2)下的坐标为( )A ．(2,0)B ．(0，－2)C ．(－2,0)D ．(0,2)解析：选D ∵a 在基底p ，q 下的坐标为(－2,2)， 即a ＝－2p ＋2q ＝(2,4)，令a ＝x m ＋y n ＝(－x ＋y ，x ＋2y )， ∴⎩⎨⎧ －x ＋y ＝2，x ＋2y ＝4，即⎩⎨⎧x ＝0，y ＝2. ∴a 在基底m ，n 下的坐标为(0,2)．5.如图，在平行四边形ABCD 中，O 是对角线AC ，BD的交点，N 是线段OD 的中点，AN 的延长线与CD 交于点E ，则下列说法错误的是( ) A ．AC ＝AB ＋ADB ．BD ＝AD －ABC ．AO ＝12AB ＋12ADD ．AE ＝53AB ＋AD解析：选D 由向量减法的三角形法则知，BD ＝AD －AB，排除B ；由向量加法的平行四边形法则知，AC ＝AB ＋AD ， AO ＝12AC ＝12AB ＋12AD，排除A 、C.6．在△ABC 中，点P 在BC 上，且BP ＝2PC ，点Q 是AC 的中点，若PA＝(4,3)，PQ＝(1,5)，则BC ＝________.解析： AO ＝PQ －PA＝(－3,2)，∴AC ＝2AO＝(－6,4)． PC ＝PA ＋AC＝(－2,7)， ∴BC ＝3PC＝(－6,21)． 答案：(－6,21)7．(2014·九江模拟)P ＝{a |a ＝(－1,1)＋m (1,2)，m ∈R }，Q ＝{b |b ＝(1，－2)＋n (2,3)，n ∈R }是两个向量集合，则P ∩Q 等于________．解析：P 中，a ＝(－1＋m,1＋2m )，Q 中，b ＝(1＋2n ，－2＋3n )． 则⎩⎨⎧ －1＋m ＝1＋2n ，1＋2m ＝－2＋3n .得⎩⎨⎧m ＝－12，n ＝－7.此时a ＝b ＝(－13，－23)．答案：{}(－13，－23)8．已知向量OA ＝(1，－3)，OB ＝(2，－1)，OC＝(k ＋1，k －2)，若A ，B ，C 三点能构成三角形，则实数k 应满足的条件是________．解析：若点A ，B ，C 能构成三角形，则向量AB ，AC不共线．∵AB ＝OB－OA ＝(2，－1)－(1，－3)＝(1,2)， AC ＝OC －OA＝(k ＋1，k －2)－(1，－3)＝(k ，k ＋1)， ∴1×(k ＋1)－2k ≠0，解得k ≠1. 答案：k ≠19．已知a ＝(1,0)，b ＝(2,1)．求： (1)|a ＋3b |；(2)当k 为何实数时，k a －b 与a ＋3b 平行，平行时它们是同向还是反向？ 解：(1)因为a ＝(1,0)，b ＝(2,1)，所以a ＋3b ＝(7,3)， 故|a ＋3b |＝72＋32＝58.(2)k a －b ＝(k －2，－1)，a ＋3b ＝(7,3)， 因为k a －b 与a ＋3b 平行， 所以3(k －2)＋7＝0，即k ＝－13. 此时k a －b ＝(k －2，－1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－73，－1，a ＋3b ＝(7,3)，则a ＋3b ＝－3(k a －b )， 即此时向量a ＋3b 与k a －b 方向相反．10．已知点O 为坐标原点，A (0,2)，B (4,6)，OM ＝t 1OA ＋t 2AB. (1)求点M 在第二或第三象限的充要条件；(2)求证：当t 1＝1时，不论t 2为何实数，A ，B ，M 三点都共线．解：(1)OM ＝t 1OA ＋t 2AB＝t 1(0,2)＋t 2(4,4)＝(4t 2,2t 1＋4t 2)． 当点M 在第二或第三象限时，有⎩⎨⎧4t 2<0，2t 1＋4t 2≠0，故所求的充要条件为t 2<0且t 1＋2t 2≠0.(2)证明：当t 1＝1时，由(1)知OM＝(4t 2,4t 2＋2)．∵AB ＝OB－OA ＝(4,4)，AM ＝OM －OA ＝(4t 2,4t 2)＝t 2(4,4)＝t 2AB， ∴A ，B ，M 三点共线． 第Ⅱ组：重点选做题1．在△ABC 中，点D 在线段BC 的延长线上，且BC ＝3CD，点O 在线段CD 上(与点C 、D 不重合)，若AO ＝x AB＋(1－x )AC ，则x 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，0 解析：选D 依题意，设BO ＝λBC ，其中1<λ<43，则有AO ＝AB ＋BO ＝AB ＋λBC ＝AB ＋λ(AC －AB )＝(1－λ)AB＋λAC .又AO ＝x AB ＋(1－x )AC ，且AB ，AC 不共线，于是有x ＝1－λ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，0，即x 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，0.2．(2014·湖南五市联合检测)设向量a ＝(a 1，a 2)，b ＝(b 1，b 2)，定义一种向量积a ⊗b ＝(a 1b 1，a 2b 2)，已知向量m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2，12，n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0，点P (x ，y )在y ＝sin x的图像上运动．Q 是函数y ＝f (x )图像上的点，且满足OQ＝m ⊗OP ＋n (其中O 为坐标原点)，则函数y ＝f (x )的值域是________．解析：令Q (c ，d )，由新的运算可得OQ ＝m ⊗OP ＋n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ，12sin x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，12sin x ， ⎩⎪⎨⎪⎧c ＝2x ＋π3，d ＝12sin x ，消去x 得d ＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12c －π6，所以y ＝f (x )＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π6，易知y ＝f (x )的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12.答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12。

一、知识梳理：（阅读教材必修1第2页—第14页）1、集合的含义与表示（1）、一般地，我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合；（2）、集合中的元素有三个性质: 确定性，无序性，互异性；（3）、集合中的元素与集合的关系属于和不属于，分别用和表示；（4）、几个常用的集合表示法AA B4、常用结论（1）、集合A中有n个元素，则集合A的子集有个；真子集有个；（2）、并集：A B= B ，A A=A ；A =A ；A B A ；A B=B（3）、A B=A B ；A A=A ；A；=A；（4）、补集：A =; A=U133,11,1222=++=+=+a a a a 或）或（若a ＋2＝1， 得:1-=a ， 但此时21332+==++a a a ，不符合集合元素的互异性。

若1)1(2=+a ，得：2-,0或=a 。

但2-=a 时，22)1(133+==++a a a ，不符合集合元素的互异性。

若,1332=++a a 得：。

或－2,1-=a 1)1(-2a 1;2a ,-1a 2=+==+=a 时，时但，都不符合集合元素的互异性。

综上可得，a ＝ 0。

【小结】集合元素的确定性和互异性是解决问题的理论依据。

确定性是入手点，互异性是检验结论的工具。

例2：已知集合P={y=} , Q={y|y=}, R={ x|y=} ,M={ (x,y)|y=},N={x|x},则（ D ）（A ）P=M （B ） Q= R （C ）R=M （D ） Q= N [探究二]、集合间的基本关系例3：【2014高考北京理】已知集合A={x|},B={0,1,2},则A B=( )A{0}. B ．{0,1}. C ． {0,2}. D ．{0,1,2}. [答案C]【解析】：集合A={x|}={0,2},则A B={0,2},故选C ，考点：交集的运算，容易题。

例4：【2014辽宁高考理第1题】已知全集,{|0},{|1}U R A x x B x x ==≤=≥，则集合()U C AB =（ D ）A ．{|0}x x ≥B ．{|1}x x ≤C ．{|01}x x ≤≤D ．{|01}x x <<例5: 设集合{}1,2,3,4,5,6,A ={}4,5,6,7,B =则满足S A ⊆且的集合S 为( B )（A ）57 （B ）56 （C ）49 （D ）8【命题意图】本题考查集合间的基本关系，考查集合的基本运算，考查子集问题，查组合知识.属中等难度题.【解析】集合A 的所有子集共有6264=个，其中不含4,5,6的子集有328=个,（即只含1，2，3），所以集合S 共有56个.故选B.例6:(2012全国新课标理) 已知集合A ＝{1.3.}，B ＝{1，m} ,A B ＝A, 则m=(A )A 0B 0或3C 1D 1或3 [探究三]、集合的运算例7: 【2014山东高考理第2题】 设集合{}{}]2,0[,2|,2|1||∈==<-=x y y B x x A x ，则A B=（ ）]2,0[ B. )3,1( C. )3,1[ D. )4,1([解析]:答案[C],由集合A={x|-1<x<3},B={1x 4},所以，A B=[1,3),选C ，考点：绝对值不等式的解法，指数函数的性质，集合的运算。

平远一中2015届高三理科数学第一轮数学复习计划高考数学命题近年来经历了由“知识立意”向“能力立意”的转变，体现了对能力和潜能的考察，使知识考查服务于能力考查。

针对这一命题走向，根据本校学生的实际，立足基础，构建知识网络，形成完整的知识体系。

面向低、中档题抓训练，提高学生运用知识的能力，要突出抓思维教学，强化数学思想的运用，要研究高考题，分析相应的应试对策，更新复习理念，优化复习过程，提高复习效益。

一、夯实基础。

今年高考数学试题的一个显著特点是注重基础。

扎实的数学基础是成功解题的关键，从学生反馈来看，平时学习成绩不错但得分不高的主要原因不在于难题没做好，而在于基本概念不清，基本运算不准，基本方法不熟，解题过程不规范，结果“难题做不了，基础题又没做好”，因此在第一轮复习中，我们将格外突出基本概念、基础运算、基本方法，具体做法如下：1.注重课本的基础作用和考试说明的导向作用；2.加强主干知识的生成，重视知识的交汇点；3.培养逻辑思维能力、直觉思维、规范解题习惯；4.加强反思，完善复习方法。

二、解决好课内课外关系。

课内：（1）例题讲解前，留给学生思考时间；讲解中，让学生陈述不同解题思路，对于解题过程中的闪光之处或不足之处进行褒扬或纠正；讲解后，对解法进行总结。

对题目尽量做到一题多解，一题多用。

一题多解的题目让学生领会不同方法的优劣，一题多用的题目让学生领会知识间的联系。

（2）学生作业和考试中出现的错误，不但指出错误之处，更要引导学生寻根问底，使学生找出错误的真正原因。

（3）每节课留10分钟让学生疏理本节知识，理解本节内容。

课外：除了正常每天布置适量作业外，另外布置一两道中档偏上的题目，判作业时面批面改，指出知识的疏漏。

三、注重师生互动1.多让学生思考回答问题，对于有些章节知识，按难易程度选择六至八道，尽量独自完成，无法独立解决的可以提示思路。

2.让学生自我小结，每一章复习完后，让学生自己建立知识网络结构，包括典型题目、思想方法、解题技巧，易错易做之题；3.每次考试结束后，让学生自己总结：①试题考查了哪些知识点；②怎样审题，怎样打开解题思路；③试题主要运用了哪些方法，技巧，关键步在哪里；④答题中有哪些典型错误，哪些是知识、逻辑心理因素造成，哪些是属于思路上的。

山东省2015年高考数学一轮专题复习特训函数一、选择题1、(2014山东理)(3)函数1)(log 1)(22-=x x f 的定义域为（ ）A. )21,0(B. ),2(+∞C. ),2()21,0(+∞D. ),2[]21,0(+∞答案：C2、(2014山东理)(8)已知函数()21,().f x x g x kx =-+=若方程()()f x g x =有两个不相等的实根，则实数k 的取值范围是（ ）A.1(0,)2B.1(,1)2 C.(1,2) D.(2,)+∞答案：B3、（2013山东理）3．已知函数()f x 为奇函数，且当0x >时，21()f x x x =+，则(1)f -=(A) 2- (B) 0 (C) 1 (D) 2 答案：3．A4、（2011山东理数5）对于函数,“的图象关于y 轴对称”是“=是奇函数”的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要答案：B5、（2011山东理数10）10．已知是上最小正周期为2的周期函数，且当时,,则函数的图象在区间[0,6]上与轴的交点的个数为A ．6B ．7C ．8D ．9 答案：B 1 6．（山东省临沂一中2014届高三9月月考数学（理科）试题）函数221()1(32)34f x n x x x x x =-++--+的定义域为 （ ）A ．(,4][2,)-∞-+∞B ．(4,0)(0,1)-⋃(),y f x x R =∈|()|y f x =y ()f x ()f x R 02x ≤<3()f x x x =-()y f x =xC ．[4,0)(0,1]-D ．[4,0)(0,1]-⋃【答案】D 7．（山东省日照市第一中学2014届高三上学期第一次月考数学（理）试题）已知函数,当x=a 时,取得最小值,则在直角坐标系中,函数的大致图象为【答案】B,因为,所以,所以由均值不等式得,当且仅当,即,所以时取等号,所以,所以,又,所以选 B ．82．（山东省博兴二中2014届高三第一次复习质量检测理科数学试卷）函数()xx x f 2log 12-=的定义域为 （ ） A ．()+∞,0 B ．()+∞,1 C ．()1,0 D ．()()+∞,11,0【答案】D 93．（山东省聊城市某重点高中2014届高三上学期期初分班教学测试数学（理）试题）函数||x y x x=+的图象是【答案】C 函数与图象配伍问题,要注意定义域.值域.奇偶性(对称性).单调性等.该函数是奇函数,图象关于原点对称.所以,选 C ． 104．（山东省桓台第二中学2014届高三9月月考数学（理）试题）设函数则)]1([-f f = （ ）A ．2B ．1C ．-2D ．-1 【答案】D 5 11．（山东省临沂一中2014届高三9月月考数学（理科）试题）已知函数2()21,()1x f x g x x =-=-,构造函数()F x 的定义如下:当|()|()f x g x ≥时,()|()|F x f x =,当|()|()f x g x <时,()()F x g x =-,则()F x （ ）A ．有最小值0,无最大值B ．有最小值-1,无最大值C ．有最大值1,无最小值D ．无最大值,也无最小值 【答案】B 6 12．（山东省日照市第一中学2014届高三上学期第一次月考数学（理）试题）已知函数的定义域为,且为偶函数,则实数的值可以是 （ ）A ．B ．C ．D ． 【答案】B 因为函数为偶函数,所以,即函数关于对称,所以区间关于对称,所以,即,所以选 B ．137．（山东省德州市平原一中2014届高三9月月考数学（理）试题）已知函数⎪⎩⎪⎨⎧<-≥-=2,1)21(2,)2()(x x x a x f x 满足对任意的实数21x x ≠都有0)()(2121<--x x x f x f 成立,则实数a 的取值范围为 （ ）()22,0log ,0,x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩A ．)2,(-∞B ．]813,(-∞ C ．]2,(-∞ D ．)2,813[ 【答案】B [来源:][来源: 数理化网] 148．（山东省临沂一中2014届高三9月月考数学（理科）试题）若函数2()2(1)2f x x a x =+-+在区间(,4]-∞上是减函数,则实数a 的取值范围是（ ） A ．(,3]-∞- B ．(,4]-∞ C ．(,5]-∞ D ．[3,)+∞【答案】A 159．（山东省郯城一中2014届高三上学期第一次月考数学（理）试题）已知函数f(x)=⎩⎨⎧ax ， x<0，(a －3)x ＋4a ， x ≥0.满足对任意x1≠x2,都有f(x1)－f(x2)x1－x2<0成立,则a 的取值范围是 （ ） A ．(0,3) B ．(1,3) C ．(0,14] D ．(-∞,3)【答案】 C ． 1610．（山东省德州市平原一中2014届高三9月月考数学（理）试题）奇函数f(x)在(0,+∞)上为单调递减函数,且f(2)=0,则不等式3fx 2fx5x ≤0的解集为 （ ）A ．(-∞,-2]∪(0,2]B ．[-2,0]∪[2,+∞)C ．(-∞,-2]∪[2,+∞)D ．[-2,0)∪(0,2] 【答案】D11 17．（山东省临沂一中2014届高三9月月考数学（理科）试题）已知()f x 在R 上是奇函数,且2(4)(),(0,2)()2,(7)f x f x x f x x f +=∈==当时，则 （ ） A ．-2 B ．2 C ．-98 D ．98 【答案】A 1812．（山东省德州市平原一中2014届高三9月月考数学（理）试题）已知函数()x f 是R 上的奇函数,当0≥x 时,()b x x f x ++=22(b 为常数),则()1-f 的值是 （ ）A ．3B ．-3C ．-1D ．1 【答案】B1913．（山东省桓台第二中学2014届高三9月月考数学（理）试题）已知函数是定义在R 上的偶函数, 且在区间单调递增. 若实数a 满足, 则a 的取值范围是 （ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C 因为函数是定义在R 上的偶函数,且,所以,即,因为函数在区间单调递增,所以,即,所以,解得,即a 的取值范围是,选C 2014．（山东省桓台第二中学2014届高三9月月考数学（理）试题）在R上是奇函数,.（ ）A ．-2B ．2C ．-98D ．98【答案】A 由,得,所以函数的周期是4.所以,选A2115．（山东省博兴二中2014届高三第一次复习质量检测理科数学试卷）下列函数中,既是偶函数又在(0,)+∞单调递增的函数是 （ ）A ．1y x=- B ．2lg(4)y x =- C ．||e x y = D ．cos y x =【答案】C 2216．（山东省威海市乳山一中2014届高三上学期第一次质量检测数学试题）已知对任意实数,有,,且时,,,则 时 （ ）A ．,B ．,C ．,D ．,【答案】B 2317．（山东省聊城市某重点高中2014届高三上学期期初分班教学测试数学（理）试题）函数()f x 是定义在R 上的偶函数,且对任意的x R ∈,都有(2)()f x f x +=.当01x ≤≤时,2()f x x =.若直线y x a =+与函数()y f x =的图象有两个不同的()f x 122log log a a=-222122(log )(log )(log )(log )2(log )2(1)f a f a f a f a f a f +=+-=≤2(log )(1)f a f ≤[0,)+∞2(log )(1)f a f ≤2log 1a ≤21log 1a -≤≤122a ≤≤1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦()f x )()2(x f x f -=+2(4)(),(0,2)()2,(7)f x f x x f x x f +=∈==当时，则)()2(x f x f -=+(4)()f x f x +=()f x (7)(1)(1)2f f f =-=-=-x ()()f x f x -=-()()g x g x -=0x >()0f x '>()0g x '>0x <()0f x '>()0g x '>()0f x '>()0g x '<()0f x '<()0g x '>()0f x '<()0g x '<公共点,则实数a 的值为 （ ） A ．n ()n ∈Z B ．2n ()n ∈Z C ．2n 或124n -()n ∈Z D ．n 或14n -()n ∈Z 【答案】C 因为,函数()f x 是定义在R 上的偶函数,且对任意的x R ∈,都有(2)()f x f x +=.所以,函数()f x 周期为2,又当01x ≤≤时,2()f x x =.结合其图象及直线y x a =+可知,直线y x a =+与函数()y f x =的图象有两个不同的公共点,包括相交.一切一交等两种情况,结合选项,选C ．2418．（山东省临沂一中2014届高三9月月考数学（理科）试题）若函数(),()f x g x 分别是R 上的奇函数.偶函数,且满足()()x f x g x e -=,则有 （ ） A ．(2)(3)(0)f f g << B ．(0)(3)(2)g f f << C ．(2)(0)(3)f g f << D ．(0)(2)(3)g f f <<【答案】D2519．（山东省临朐七中2014届高三暑假自主学习效果抽测（二）数学试题）函数()f x 是定义域为R 的奇函数,当0>x 时,1)(+-=x x f ,则当0<x 时,()f x 的表达式为 （ ）A ．1+-xB ．1--xC ．1+xD ．1-x 【答案】B 二、填空题 120．（山东省临朐七中2014届高三暑假自主学习效果抽测（二）数学试题）设函数2211()21x x f x x x x ⎧-⎪=⎨+->⎪⎩，，，，≤则1(2)f f ⎛⎫⎪⎝⎭的值为__________________. 【答案】1516221．（山东省郯城一中2014届高三上学期第一次月考数学（理）试题）若函数41(),10(),(log 3)44,01xx x f x f x ⎧-≤<⎪==⎨⎪≤≤⎩则_____________.【答案】3322．（山东省临沂一中2014届高三9月月考数学（理科）试题）已知2(3)4log 31990x f x =+,则(64)f 的值等于____________.【答案】2014 . 423．（山东省德州市平原一中2014届高三9月月考数学（理）试题）函数2211()21x x f x x x x ⎧-⎪=⎨+->⎪⎩，，，，≤则1(2)f f ⎛⎫⎪⎝⎭的值为__________________. 【答案】524．（山东省桓台第二中学2014届高三9月月考数学（理）试题）函数f(x)=12log ,12,1x x x x ≥⎧⎪⎨⎪<⎩的值域为_________ 【答案】(,2)-∞625．（山东省博兴二中2014届高三第一次复习质量检测理科数学试卷）若f(x)是奇函数,且在(0,+∞)内是增函数,又f(-3)=0,则()0x f x <的解集是___★___.【答案】(-3,0)U(0,3)726．（山东省郯城一中2014届高三上学期第一次月考数学（理）试题）设R b a ∈,,且2≠a ,若定义在区间),(b b -内的函数xaxx f 211lg )(++=是奇函数,则b a +的取值范围是_______________【答案】(-2,23-]三、解答题 127．（山东省临沂一中2014届高三9月月考数学（理科）试题）已知函数21(0)()21(1)x c cx x c f x c x -+<<⎧⎪=⎨⎪+<⎩ ≤ 满足29()8f c =.(1)求常数c 的值 ; (2)解不等式2()18f x >+. 【答案】解:(1)因为01c <<,所以2c c <;由29()8f c =,即3918c +=,∴12c =(2)由(1)得411122()211x x x f x x -⎧⎛⎫+0<< ⎪⎪⎪⎝⎭=⎨1⎛⎫⎪+< ⎪⎪2⎝⎭⎩，，≤,由2()18f x >+得,当102x <<时,解得2142x <<; 当112x <≤时,解得1528x <≤ 所以2()18f x >+的解集为2548xx ⎧⎫⎪⎪<<⎨⎬⎪⎪⎩⎭ 228．（山东省临沂一中2014届高三9月月考数学（理科）试题）设a 为实数,记函数x x x a x f -+++-=111)(2的最大值为)(a g .(1)设t=x x -++11,求t 的取值范围,并把f(x)表示为t 的函数m(t) ; (2)求)(a g ;(3)试求满足)1()(ag a g =的所有实数a.【答案】解:(1)∵x x t -++=11,∴要使t 有意义,必须01≥+x 且01≥-x ,即11≤≤-x .∵]4,2[12222∈-+=x t ,且0≥t ① ∴t 的取值范围是]2,2[, 由①得:121122-=-t x ,∴t t a t m +-=)121()(2a t at -+=221,]2,2[∈t(2)由题意知)(a g 即为函数)(t m a t at -+=221,]2,2[∈t 的最大值,∵直线a t 1-=是抛物线)(t m a t at -+=221的对称轴,∴可分以下几种情况进行讨论:①当0>a 时,函数)(t m y =,]2,2[∈t 的图象是开口向上的抛物线的一段, 由01<-=at 知)(t m 在]2,2[∈t 上单调递增,故)(a g )2(m =2+=a ; ②当0=a 时,t t m =)(,]2,2[∈t ,有)(a g =2;③当0<a 时,,函数)(t m y =,]2,2[∈t 的图象是开口向下的抛物线的一段, 若a t 1-=]2,0(∈即22-≤a 时,)(a g 2)2(==m , 若a t 1-=]2,2(∈即]21,22(--∈a 时,)(a g a a a m 21)1(--=-=, 若a t 1-=),2(+∞∈即)0,21(-∈a 时,)(a g )2(m =2+=a . 综上所述,有)(a g =12,,2121,,22222,.2a a a a a a ⎧+>-⎪⎪⎪---<≤-⎨⎪⎪≤-⎪⎩(3)当21->a 时,)(a g 2+=a 223>>;当2122-≤<-a 时,)22,21[∈-a ,]1,22(21∈-a ,∴a a 21-≠-, )(a g 2)21()(221=-⋅->--=aa a a ,故当22->a 时,)(a g 2>;当0>a 时,01>a ,由)(a g )1(a g =知:2+a 21+=a ,故1=a ; 当0<a 时,11=⋅a a ,故1-≤a 或11-≤a ,从而有2)(=a g 或2)1(=ag ,要使)(a g )1(a g =,必须有22-≤a ,221-≤a ,即222-≤≤-a ,此时,2)(=a g )1(ag =.329．（山东省博兴二中2014届高三第一次复习质量检测理科数学试卷）定义在D 上的函数f(x),如果满足:对任意x ∈D,存在常数M>0,都有|f(x)|≤M 成立,则称f(x)是D 上的有界函数,其中M 称为函数f(x)的上界.已知函数f(x)=1+a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫12x+⎝ ⎛⎭⎪⎫14x.(1)当a=1时,求函数f(x)在(-∞,0]上的值域,并判断函数f(x)在(-∞,0]上是否为有界函数,请说明理由;(2)若函数f(x)在[0,+∞)上是以3为上界的有界函数,求实数a 的取值范围. 【答案】[解析] (1)当a=1时,f(x)=1+⎝ ⎛⎭⎪⎫12x+⎝ ⎛⎭⎪⎫14x.因为f(x)在(-∞,0]上递减,所以f(x) ≥f(0)=3, 即f(x)在(-∞,0]上的值域为[3,+∞) 故不存在常数M>0,使|f(x)|≤M 成立.所以函数f(x)在(-∞,0]上不是有界函数(2)由题意知,|f(x)|≤3在[0,+∞)上恒成立. ∴-3≤f(x)≤3,即-4-⎝ ⎛⎭⎪⎫14x ≤a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ≤2-⎝ ⎛⎭⎪⎫14x,∴-4·2x-⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ≤a ≤2·2x-⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 在[0,+∞)上恒成立,设2x=t,h(t)=-4t-1t ,p(t)=2t-1t ,由x ∈[0,+∞)得t ≥1, 设1≤t1<t2,h(t1)-h(t2)=t2－t14t1t2－1t1t2>0p(t1)-p(t2)=t1－t22t1t2＋1t1t2<0所以h(t)在[1,+∞)上递减,p(t)在[1,+∞)上递增,h(t)在[1,+∞)上的最大值为h(1)=-5,p(t)在[1,+∞)上的最小值为p(1)=1, 所以实数a 的取值范围为[-5,1]430．（山东省枣庄三中2014届高三10月学情调查数学（理）试题）已知函数()f x 对任意的实数x 、y 都有()()()1f x y f x f y +=+-,且当0x >时,()1f x >. (1)求证:函数()f x 在R 上是增函数;(2)若关于x 的不等式()()25f x ax a f m -+<的解集为{}|32x x -<<,求m 的值.(3)若()12f =,求()2013f 的值.【答案】(1)证明:设12x x >,则120x x ->,从而()121f x x ->,即()1210f x x --> ()()()()()121221221f x f x x x f x f x x f x =+-=+-->⎡⎤⎣⎦,故()f x 在R 上是增函数.4分(2)设()2f b =,于是不等式为()()25f x ax a f m -+<.则25x ax a m -+<, 即250x ax a m -+-<∵不等式()()25f x ax a f m -+<的解集为{}|32x x -<<,∴方程250x ax a m -+-=的两根为3-和2,于是32325a a b -+=⎧⎨-⨯=-⎩,解得1,1.a m =-⎧⎨=⎩(3)在已知等式中令,1x n y ==,得()()1 1.f n f n +-=所以累加可得,()()2111f n n n =+-⨯=+, 故()20132014f =531．（山东省临沂一中2014届高三9月月考数学（理科）试题）已知函数[]6,2,12)(∈-=x x x f ,试判断此函数)(x f 在[]2,6x ∈上的单调性,并求此函数)(x f在[]2,6x ∈上的最大值和最小值.【答案】解:设x1.x2是区间[2,6]上的任意两个实数,且x1<x2,则)()(21x f x f -=121-x -122-x =)1)(1()]1()1[(22112-----x x x x =)1)(1()(22112---x x x x 由于2<x1<x2<6,得x2-x1>0,(x1-1)(x2-1)>0,于是0)()(21>-x f x f ,即()()21x f x f > 所以函数12)(-=x x f 是区间[2,6]上的减函数 因此函数12)(-=x x f 在区间[2,6]的两个端点上分别取得最大值与最小值,.52)6()(,2)2()(min max ====∴f x f f x f 故函数)(x f 在[]2,6x ∈上的最大值和最小值分别为2和52632．（山东省德州市平原一中2014届高三9月月考数学（理）试题）已知函数()f x 是定义在[]1,1-上的奇函数,在[0,1]上()()2ln 11x f x x =++-(Ⅰ)求函数()f x 的解析式;并判断()f x 在[]1,1-上的单调性(不要求证明) (Ⅱ)解不等式2(21)(1)0f x f x -+-≥【答案】。

2015届高考数学一轮总复习10-1随机抽样基础巩固强化一、选择题1．(文)在简单随机抽样中，某一个个体被抽到的可能性是()A．与第几次抽样有关，第一次抽到的可能性最大B．与第几次抽样有关，第一次抽到的可能性最小C．与第几次抽样无关，每一次抽到的可能性相等D．与第几次抽样无关，与抽取几个样本有关[答案] C[解析]简单随机抽样过程中，每个个体被抽到的机会均等．(理)(2013·潍坊模拟)为调查参加运动会的1000名运动员的年龄情况，从中抽查了100名运动员的年龄，就这个问题来说，下列说法正确的是()A．1000名运动员是总体B．每个运动员是个体C．抽取的100名运动是样本D．样本容量是100[答案] D[解析]本题主要考察对基本概念的理解，考察对象是运动员的年龄，故总体、个体、样本都应是运动员的年龄，因此A、B、C都不对，选D.2．为了了解参加一次知识竞赛的3204名学生的成绩，决定采用系统抽样的方法抽取一个容量为80的样本，那么总体中应随机剔除的个体数目是()A．2B．3C．4D．5[答案] C[解析]因为3204＝80×40＋4，所以应随机剔除4个个体，故选C.3．(文)某工厂生产A、B、C三种不同型号的产品，产品的数量之比依次为3:4:7，现在用分层抽样的方法抽出容量为n的样本，样本中A型产品有15件，那么样本容量n为() A．50 B．60C．70 D．80[答案] C[解析]n×33＋4＋7＝15，解得n＝70.(理)一工厂生产了某种产品24000件，它们来自甲、乙、丙3条生产线，现采用分层抽样的方法对这批产品进行抽样检查．已知从甲、乙、丙3条生产线依次抽取的个体数恰好组成一个等差数列，则这批产品中乙生产线生产的产品数量是()A ．12000B ．6000C ．4000D ．8000[答案] D[解析] 由分层抽样的性质知，这批产品中甲、乙、丙3条生产线生产的新产品数量也成等差数列，再由等差数列性质知，乙生产线生产的产品数量为240003＝8000.4．(2013·哈尔滨模拟)一个样本容量为10的样本数据，它们组成一个公差不为0的等差数列{a n }，若a 3＝8，且a 1、a 3、a 7成等比数列，则此样本的平均数和中位数分别是( )A ．13,12B ．13,13C ．12,13D ．13,14 [答案] B[解析] 设等差数列{a n }的公差为d (d ≠0)，a 3＝8，a 1a 7＝a 23＝64，(8－2d )(8＋4d )＝64，(4－d )(2＋d )＝8,2d －d 2＝0，又d ≠0，∴d ＝2，故样本数据为4,6,8,10,12,14,16,18,20,22，样本的平均数为12(4＋22)×1010＝13，中位数为12＋142＝13，故选B.5．(2013·安徽理，5)某班有50名学生，其中有30名男生和20名女生，随机咨询了该班五名男生和五名女生在某次数学测验中的成绩，五名男生的成绩分别为86,94,88,92,90，五名女生的成绩分别为88,93,93,88,93.下列说法一定正确的是( )A ．这种抽样方法是一种分层抽样B ．这种抽样方法是一种系统抽样C ．这五名男生成绩的方差大于这五名女生成绩的方差D ．该班男生成绩的平均数小于该班女生成绩的平均数 [答案] C[解析] 五名男生成绩的平均数为15(86＋94＋88＋92＋90)＝90，五名女生成绩的平均数为15(88＋93＋93＋88＋93)＝91，五名男生成绩的方差为s 21＝(86－90)2＋(94－90)2＋(88－90)2＋(92－90)2＋(90－90)25＝8，五名女生成绩的方差为s 22＝2(88－91)2＋3(93－91)25＝6，所以s 21>s 22，故选C.6．(文)(1)某学校为了了解2013年高考数学科的考试成绩，在高考后对1200名学生进行抽样调查，其中文科400名考生，理科600名考生，艺术和体育类考生共200名，从中抽取120名考生作为样本．(2)从10名家长中抽取3名参加座谈会．Ⅰ.简单随机抽样法 Ⅱ.系统抽样法 Ⅲ.分层抽样法． 问题与方法配对正确的是( ) A ．(1)Ⅲ，(2)ⅠB ．(1)Ⅰ，(2)ⅡC ．(1)Ⅱ，(2)ⅢD ．(1)Ⅲ，(2)Ⅱ [答案] A[解析] (1)总体是有明显差异的三个构成部分，故应采用分层抽样法． (2)总体容量与样本容量都比较小，宜采用简单随机抽样法．(理)问题：①三种不同的容器中分别装有同一型号的零件400个、200个、150个，现在要从这750个零件中抽取一个容量为50的样本；②从20名学生中选出3名参加座谈会．方法：Ⅰ.随机抽样法 Ⅱ.系统抽样法 Ⅲ.分层抽样法． 其中问题与方法能配对的是( ) A ．①Ⅰ，②Ⅱ B ．①Ⅲ，②Ⅰ C ．①Ⅱ，②Ⅰ D ．①Ⅲ，②Ⅱ [答案] C[解析] ①容器与抽取的样本无关，且总体数比较大，故可用系统抽样来抽取样本，②总体与样本都较少，可用随机抽样法．故选C.二、填空题7．(2013·武汉模拟)用系统抽样法要从160名学生中抽取容量为20的样本，将160名学生随机地从1～160编号，按编号顺序平均分成20组(1～8号，9～16号，…，153～160号)，若第16组抽出的号码为126，则第1组中用抽签方法确定的号码是________．[答案] 6[解析] 按系统抽样的定义，设第一组抽取号码为x ，则第16组抽取的号码为x ＋(16－1)×16020＝126，∴x ＝6.8．(2013·沈阳质检)沈阳市某高中有高一学生600人，高二学生500人，高三学生550人，现对学生关于消防安全知识了解情况进行分层抽样调查，若抽取了一个容量为n 的样本，其中高三学生有11人，则n 的值等于________．[答案] 33[解析] 由于分层抽样各层抽样比相等． ∴n 600＋500＋550＝11550，∴n ＝33.9．(文)(2012·浙江文，11)某个年级有男生560人，女生420人，用分层抽样的方法从该年级全体学生中抽取一个容量为280的样本，则此样本中男生人数为________．[答案] 160[解析] 本题考查了分层抽样的特点，因抽样比为280560＋420＝27，所以样本中男生数应为560×27＝160.(理)(2013·福建漳州模拟)某校高三年级的学生共1000人，一次测验成绩的频率分布直方图如图所示，现要按如图所示的4个分数段进行分层抽样，抽取50人了解情况，则80～90分数段应抽取________人．[答案] 20[解析] 各分数段人数的比例为0.01:0.02:0.03:0.04＝1:2:3:4，故抽取50人，80～90分数段应抽取41＋2＋3＋4×50＝20(人)．三、解答题10．(文)有关部门要了解地震预防知识在学校的普及情况，命制了一份有10道题的问卷到各学校做问卷调查．某中学A 、B 两个班各被随机抽取5名学生接受问卷调查，A 班5名学生得分为5、8、9、9、9；B 班5名学生得分为6、7、8、9、10.(1)请你估计A 、B 两个班中哪个班的问卷得分要稳定一些；(2)如果把B 班5名学生的得分看成一个总体，并用简单随机抽样方法从中抽取样本容量为2的样本，求样本平均数与总体平均数之差的绝对值不小于1的概率．[解析] (1)∵A 班的5名学生的平均得分为(5＋8＋9＋9＋9)÷5＝8，方差s 21＝15[(5－8)2＋(8－8)2＋(9－8)2＋(9－8)2＋(9－8)2]＝2.4；B 班的5名学生的平均得分为(6＋7＋8＋9＋10)÷5＝8，方差s 22＝15[(6－8)2＋(7－8)2＋(8－8)2＋(9－8)2＋(10－8)2]＝2.∴s 21>s 22.∴B 班的预防知识的问卷得分要稳定一些．(2)从B 班5名同学中用简单随机抽样方法抽取容量为2的样本共有不同抽法有10种，∵总体平均数为x －＝15×(6＋7＋8＋9＋10)＝8，∴其中样本6和7,6和8,8和10,9和10的平均数满足条件，故所求的概率为410＝25.(理)为预防禽流感病毒暴发，某生物技术公司研制出一种新流感疫苗，为测试该疫苗的有效性(若疫苗有效的概率小于90%，则认为测试没有通过)，公司选定2000个流感样本分成三组，测试结果如下表：(1)求x 的值；(2)现用分层抽样的方法在全体样本中抽取360个测试结果，问应在C 组抽取多少个？ (3)已知y ≥465，z ≥30，求不能通过测试的概率．[解析] (1)∵在全体样本中随机抽取1个，抽取B 组疫苗有效的概率约为其频率，即x2000＝0.33， ∴x ＝660.(2)C 组样本个数为y ＋z ＝2000－(673＋77＋660＋90)＝500，现用分层抽样的方法在全体样本中抽取360个测试结果，则应在C 组抽取个数为3602000×500＝90.(3)设测试不能通过的事件为A ，C 组疫苗有效与无效的可能的情况记为(y ，z )，由(2)知y ＋z ＝500，且y ，z ∈N ，所有基本事件有：(465,35)，(466,34)，(467,33)，(468,32)，(469,31)，(470,30)共6个，若测试不能通过，则77＋90＋z >2000×(1－0.9)，即z >33，事件A 包含的基本事件有：(465,35)，(466,34)共2个，∴P (A )＝26＝13，故不能通过测试的概率为13. 能力拓展提升一、选择题11．(2012·大连部分中学联考)某公司有普通职员150人、中级管理人员40人、高级管理人员10人，现采用分层抽样的方法从这200人中抽取40人进行问卷调查，若在已抽取的40人的问卷中随机抽取一张，则所抽取的恰好是一名高级管理人员的答卷的概率为( )A.14B.15C.120D.1100 [答案] C[解析] 由分层抽样知，在普通职员中抽30人，中级管理人员抽8人，高级管理人员中抽2人．由古典概型知，所抽取的恰好是一名高级管理人员的答卷的概率为120，选C.12．学校为了调查学生在课外读物方面的支出情况，抽取了一个容量为n 的样本，其频率分布直方图如图所示，其中支出在[50,60)的同学有30人，若想在这n 个人中抽取50个人，则在[50,60)之间应抽取的人数为( )A ．10B ．15C ．25D ．30 [答案] B[解析] 根据频率分布直方图得总人数n ＝301－(0.01＋0.024＋0.036)×10＝100，依题意知，应采取分层抽样，再根据分层抽样的特点，则在[50,60)之间应抽取的人数为50×30100＝15.13．(2013·新课标Ⅰ理，3)为了解某地区的中小学生视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大，在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是( )A ．简单随机抽样B ．按性别分层抽样C ．按学段分层抽样D ．系统抽样 [答案] C[解析] 因为学段层次差异较大，所以在不同学段中抽取宜用分层抽样． 二、填空题14．(2013·皖南八校第二次联考)某班有50名学生，现要采取系统抽样的方法在这50名学生中抽出10名学生，将这50名学生随机编号1～50号，并分组，第一组1～5号，第二组6～10号，…，第十组46～50号，若在第三组中抽得号码为12的学生，则在第八组中抽得号码为________的学生．[答案] 37[解析] 组距为5010＝5，第八组抽得号码为(8－3)×5＋12＝37.15．(2014·锦州期中)某公路设计院有工程师6人，技术员12人，技工18人，要从这些人中抽取n 个人参加市里召开的科学技术大会．如果采用系统抽样和分层抽样的方法抽取，不用剔除个体；如果参会人数增加1个，则在采用系统抽样时，需要在总体中先剔除1个个体，则n ＝________.[答案] 6[解析] 总体容量为6＋12＋18＝36.当样本容量是n 时，由题意知，系统抽样的间隔为36n ，分层抽样的比例是n36，抽取的工程师人数为n 36×6＝n 6，技术员人数为n 36×12＝n 3，技工人数为n 36×18＝n2，所以n 应是6的倍数，36的约数，即n ＝6,12,18.当样本容量为(n ＋1)时，总体需剔除1人，系统抽样的间隔为35n ＋1，因为35n ＋1必须是整数，所以n 只能取6.即样本容量n ＝6.三、解答题16．(文)郑州市某学校为了促进教师业务能力的提升，决定组织部分学科教师参加市达标课活动，规定用分层抽样的方法，先从语文、英语、政治、历史、地理学科中抽取部分教师参加，各学科教师人数分布表如下：(1)求a 、(2)若要在历史和地理学科已抽取的教师中，随机选取两名教师参加市教学技能竞赛，求抽取的两位教师全是历史教师的概率．[解析] (1)因为语文、英语、政治、历史、地理这5个学科的总人数之比为8:8:5:4:3，所以按照分层抽样各学科抽取的教师人数分别为8人、8人、5人、4人、3人．故a ＝5，b ＝4，c ＝3.(2)将历史教师分别记为x 1、x 2、x 3、x 4，地理教师分别记为y 1、y 2、y 3，则抽取两位教师可以是(x 1，y 1)，(x 1，y 2)，(x 1，y 3)，(x 2，y 1)，(x 2，y 2)，(x 2，y 3)，(x 3，y 1)，(x 3，y 2)，(x 3，y 3)，(x 4，y 1)，(x 4，y 2)，(x 4，y 3)，(x 1，x 2)，(x 1，x 3)，(x 1，x 4)，(x 2，x 3)，(x 2，x 4)，(x 3，x 4)，(y 1，y 2)，(y 1，y 3)，(y 2，y 3)，共21种情况；抽取的两位教师全是历史教师有(x 1，x 2)，(x 1，x 3)，(x 1，x 4)，(x 2，x 3)，(x 2，x 4)，(x 3，x 4)，共6种情况．所以抽取的两位教师全是历史教师的概率为621＝27.(理)(2013·长安一中模拟)某高校在2013年的自主招生考试成绩中随机抽取100名学生的笔试成绩，按成绩分组，得到的频率分布表如下表所示.(1)求出频率分布表中x 、y 的值，再在答题纸上完成下列频率分布直方图；(2)为了能选拔出最优秀的学生，高校决定在笔试成绩高的第3、4、5组中用分层抽样抽取6名学生进入第二轮面试，求第3、4、5组每组各抽取多少名学生进入第二轮面试；(3)在(2)的前提下，学校决定在6名学生中随机抽取2名学生接受A 考官进行面试，求第4组至少有一名学生被A 考官面试的概率．[解析] (1)由题可知，第2组的频数x ＝0.35×100＝35人， 第3组的频率为y ＝30100＝0.300，频率分布直方图如下：(2)因为第3、4、5组共有60名学生，所以利用分层抽样在60名学生中抽取6名学生，每组分别为：第3组：3060×6＝3人，第4组：2060×6＝2人，第5组：1060×6＝1人，所以第3、4、5组分别抽取3人，2人，1人．(3)设第3组的3位同学为A 1、A 2、A 3，第4组的2位同学为B 1、B 2，第5组的1位同学为C 1，则从这六位同学中抽取两位同学有15种可能如下：(A 1，A 2)，(A 1，A 3)，(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 1，C 1)，(A 2，A 3)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 2，C 1)，(A 3，B 1)，(A 3，B 2)，(A 3，C 1)，(B 1，B 2)，(B 1，C 1)，(B 2，C 1)．第4组至少有一位同学入选的有：(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 3，B 1)，(B 1，B 2)，(A 3，B 2)，(B 1，C 1)，(B 2，C 1)，9种可能，所以其中第4组的2名同学中至少有一名学生被A 考官面试的概率为915＝35.考纲要求1．理解随机抽样的必要性和重要性． 2．会用简单随机抽样方法从总体中抽取样本． 3．了解分层抽样和系统抽样方法． 补充说明1．总体、个体、样本把所考察对象的某一数值指标的全体构成的集合看成总体，构成总体的每一个元素为个体．从总体中随机抽取若干个个体构成的集合叫做总体的一个样本．2．随机抽样抽样时保持每一个个体都可能被抽到，每一个个体被抽到的机会是均等的，满足这样条件的抽样是随机抽样．3．简单随机抽样需满足：(1)抽取的个体数有限；(2)逐个抽取；(3)是不放回抽取；(4)是等可能抽取．4．随机数法 a ．随机数表．随机数表是由0,1,2，…，9这10个数字组成的数表，并且表中的每一位置出现各个数字的可能性相同．b ．用随机数表抽样的步骤．第一步：将总体中的个体编号．为了保证抽取样本有很好的代表性，编号时位数要相同． 第二步：选定开始的数字．为了保证所选定数字的随机性，应在面对随机数表之前就指出开始数字的纵横位置．第三步：获取样本号码．随机确定一个读数方向，读数的方向可以向右，也可以向左、向上、向下等，重复的号码跳过．直到获取全部号码为止．5．分层抽样分层抽样使用的前提是总体可以分层，层与层之间有明显区别，而层内个体间差异较小，每层中所抽取的个体数可按各层个体数在总体中所占比例抽取．备选习题1．(2013·贵州六校联考)为了参加2013贵州省高中篮球比赛，某中学决定从四个篮球较强的班级的篮球队员中选出12人组成男子篮球队，代表该地区参赛，四个篮球较强的班级篮球队员人数如下表：(1) (2)该中学篮球队奋力拼搏，获得冠军．若要从高三(7)班和高三(17)班抽出的队员中选出两位队员作为冠军的代表发言，求选出的两名队员来自同一班的概率．[解析] (1)由题知，应从高三(7)班中抽出12×1236＝4人，应从高三(17)班中抽出12×636＝2人， 应从高二(31)班中抽出12×936＝3人， 应从高二(32)班中抽出12×936＝3人． (2)记高三(7)班抽出的4人为A 1、A 2、A 3、A 4，高三(17)班抽出的两人为B 1、B 2，则从这6个人中抽出2人的基本事件有：(A 1，A 2)、(A 1，A 3)、(A 1，A 4)、(A 1，B 1)、(A 1，B 2)、(A 2，A 3)、(A 2，A 4)、(A 2，B 1)、(A 2，B 2)、(A 3，A 4)、(A 3，B 1)、(A 3，B 2)、(A 4，B 1)、(A 4，B 2)、(B 1，B 2)共15个．记“抽出的2人来自同一班”的事件C ，则事件C 含：(A 1，A 2)、(A 1，A 3)、(A 1，A 4)、(A 2，A 3)、(A 2，A 4)、(A 3，A 4)、(B 1，B 2)共7个，故P (C )＝715.。