《数学物理方法》第九章 定解问题

2023年《高等数学》第四册(数学物理方法)课后习题答案下载《高等数学》第四册内容简介第一篇复变函数论第一章复数与复变函数第一节复数1.1.1. 复数域1.1.2. 复平面1.1.3. 复数的模与幅角1.1.4. 复数的乘幂与方根第二节复变函数的基本概念1.2.1. 区域与约当曲线1.2.2. 复变函数的概念1.2.3. 复变函数的极限与连续性第三节复球面与无穷远点1.3.1. 复球面1.3.2. 闭平面上的几个概念习题第二章解析函数第一节解析函数的概念及哥西一黎曼条件 2.1.1. 导数的定义2.1.2. 哥西一黎曼条件2.1.3. 解析函数的定义第二节解析函数与调和函数的关系2.2.1. 共轭调和函数的求法2.2.2. 共轭调和函数的几何意义第三节初等解析函数2.3.1. 初等单值函数2.3.2. 初等多值函数习题第三章哥西定理哥西积分第一节复变积分的概念及其简单性质3.1.1. 复变积分的定义及其计算方法3.1.2. 复变积分的简单性质第二节哥西积分定理及其推广3.2.1. 哥西积分定理3.2.2. 不定积分3.2.3. 哥西积分定理推广到复围线的情形第三节哥西积分公式及其推广3.3.1. 哥西积分公式3.3.2. 解析函数的无限次可微性3.3.3. 模的最大值原理哥西不等式刘维尔定理摩勒纳定理第四节解析函数在平面场中的应用3.4.1. 什么叫平面场3.4.2. 复位势3.4.3. 举例习题第四章解析函数的幂级数表示第一节函数项级数的基本性质4.1.1. 数项级数4.1.2. 一致收敛的函数项级数第二节幂级数与解析函数4.2.1. 幂级数的敛散性4.2.2. 解析函数的幂级数表示第三节罗朗级数4.3.1. 双边幂级数的收敛圆环4.3.2. 解析函数的罗朗展式4.3.3. 罗朗展式举例第四节单值函数的孤立奇点4.4.1. 孤立奇点的`三种类型4.4.2. 可去奇点……习题第五章残数及其应用第六章保角变换第二篇数学物理方程第七章一维波动方程的付氏解第八章热传导方程的付氏解第九章拉普拉斯方程的圆的狄利克雷问题的付氏解第十章波动方程的达朗贝尔解第十一章数学物理方程的解的积分方式第十二章定解问题的适定性第十三章付里叶变换第十四章拉普拉斯变换第三篇特殊函数第十五章勒让德多项式球函数第十六章贝塞耳函数柱函数第十七章厄密多项式和拉盖尔多项式附录《高等数学》第四册目录本书内容为数学物理方法，包括复变函数论、数学物理方程、积分变换和特殊函数等部分，可供综合大学和师范学院物理类专业作为教材。

高等数学 第四册（第三版） 数学物理方法 答案（完整版）第七章 一维波动方程的傅氏解1． 今有一弦，其两端被钉子钉紧，作自由，它的初位移为： 2．(01)()(2)(12)hx x x h x x ϕ≤<⎧=⎨-≤≤⎩，初速度为0，试求其付氏解，其中h 为已知常数。

解：所求问题是一维波动方程的混合问题：2(12,0)(0,)(,)0(0)(01)(,0)(2)(12)(,0)0tt xx t u a u x t u t u l t t hx x u x h x x u x ⎧=<<>⎪==≥⎪⎪≤≤⎧⎨=⎨⎪-≤≤⎩⎪⎪=⎩，根据前面分离变量解法得其傅氏解为：1(,)(cossin )sin n n n n at n at n xu x t C D l l l πππ∞==+∑。

其中，122201228()sin [sin (2)sin ]222l n n n n hC d h d h d l l n πξπξπξϕξξξξξξπ==+-=⎰⎰⎰，0n D =，于是所求傅氏解为：2218(,)cos sin n h n at n xu x t n l l πππ∞==∑2.将前题之初始条件改为：(1)(10)()(1)(01)h x x x h x x ϕ+-≤≤⎧=⎨-≤≤⎩，试求其傅氏解。

解：所求问题为一维波动方程的混合问题：211((1)sin (1)sin n n l l l h d h d πξπξξξξξ--=++-⎰⎰n c 012222211(sinsinsin )n n n h d d d πξπξπξξξξξ--=++⎰⎰⎰2282sin h n n ππ=22821(,)sin cossinh n n at n x lln n u x t ππππ∞=∴=∑。

3今有一弦，其两端0x =和x l =为钉所固定，作自由摇动，它的初位移为0。

初速度为[](2()0(2,c x x x βϕβ≤≤⎧=⎨∉⎩，其中c 为常数，0,l αβ<<<试求其傅氏解。

第九章 数学建模——数学物理定解问题习题及解答 长为l 的均匀细弦，两端固定于0,x x l ==，弦中的张力为. 在点处，以横向力拉弦，达到稳定后放手任其自由振动，写出初始条件.【答案 00000(), [0,]|(), [,]t F l h x x h T l u F h l x x h l T l =-⎧∈⎪⎪=⎨-⎪∈⎪⎩】长为l 的均匀杆两端受拉力作用而作纵振动，写出边界条件.【答案000|, |x x x x l YSu F YSu F ====】 长为的均匀杆，两端有恒定热流进入，其强度为，写出这个热传导问题的边界条件.【答案 000|,|x x x x L ku q ku q ==-==】一根长为的均匀细弦，两端固定于0,x x L ==，用手将弦于处朝横向拉开距离h ，然后放手任其振动，试写出其定解问题.【答案 20;(0,)0(,);(,0)0,(0)(,0)() ()tt xx t u a u u t L t u x h x x l l u x H L x l x L L l -====⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪-≤≤⎪-⎩】有一均匀细杆，一端固定，另一端受到纵向力0()sin F t F t ω=作用，试写出其纵振动方程与定解条件.【答案 20sin 0;(0,)0,(,);(,0)0,(,0)0tt xx x t t u a u u t u l t F u x u x Ys ω-=====】有一均匀细杆，一端固定，另一端沿杆的轴线方向被拉长ε而静止（设拉长在弹性限度内）.突然放手任其振动，试推导其其纵振动方程与定解条件.【答案 20;(0,)0(,);(,0),(,0)0tt xx x t u a u u t u l t u x x u x l ε-=====】长为l 的理想传输线，一端接于交流电源，其电动势为0sin E t ω，另一端开路。

试写出线上的稳恒电振荡方程和定解条件.【答案22i 0010,(),|,|0t tt xx x x l a a E e i LC ω==-====v v v 】研究细杆导热问题，初始时刻杆的一端温度为零度，另一端温度为，杆上温度梯度均匀，零度的一端保持温度不变，另一端与外界绝热，试写出细杆上温度的变化所满足的方程，及其定解条件.【答案 2200,(/);(0,)0,(,)0;(,0)/,(0,)t xx x u a u a k c u t u l t u x T x l x l ρ-=====∈】9.9试推导均匀弦的微小横振动方程.【答案 具有类型：2tt xx u a u f -=，详细自行讨论】9.10 试推导出一维和三维热传导方程.【答案 具有类型：22;()t xx t xx yy zz u a u f u a u u u f -=-++=，详细自行讨论】9.11 试推导静电场的电势方程.【答案 具有类型：xx yy u u f +=，详细自行讨论】9.12 推导水槽中的重力波方程. 水槽长为l ，截面为矩形，两端由刚性平面封闭.槽中的水在平衡时深度为h .【提示：取x 沿槽的长度方向，取u 为水的质点的x 方向位移】【答案 取x 沿槽的长度方向，u 为水的质点的x 方向位移，则tt xx u ghu =】9.11. 有一长为l 的均匀细弦,一端固定,另一端为弹性支撑,设弦上各点受有垂直于平衡位置的外力,外力线密度已知,开始时.弦12处受到冲量I 作用,试写出其定解问题. 答 ()()()()()()()[]22222,0,,0,0.,00,00,00,2t u u a f x t x l t t x u l t u t hu l t t x u x I l u x x x l δρ⎧∂∂=+∈>⎪∂∂⎪∂⎪=+=≥⎪∂⎨⎪=⎪⎛⎫⎪=-∈ ⎪⎪⎝⎭⎩9.14由一长为l 的均匀细杆,侧面与外界无热交换,杆内有强度随时间连续变化的热源,设在同一截面上具有同一热源强度及初始温度,且杆的一端保持零度,另一端绝热,试推导定解问题.(答()()()()()()[]222,,0,,0,0,0,0,0,0,u u a f x t x l t t x u l t u t t x u x x x l ϕ⎧∂∂=+∈>⎪∂∂⎪∂⎪==≥⎨∂⎪=∈⎪⎪⎩) 9.15 设有高为h 半径为R 的圆柱体,圆柱体内有稳恒热源,且上下底面温度已知,圆柱侧面绝热,写出描述稳恒热场分布的定解问题.答 ()[)[)()2222222011,, 0,,0,2,0,, 0z z h r R u u u u f r z r R z h r r r r z u A u B ur θθπθ===⎧∂∂∂∂+++=∈∈∈⎪∂∂∂∂⎪⎪==⎨⎪∂⎪=⎪∂⎩9.16 设有定解问题()()222222000,0,0;00,0,0,,,,0,0x x a y y b t t t u u u x a y b t t x y u u u u t u x y u x y x a y b ϕψ======⎧∂∂∂=+<<<<>⎪∂∂∂⎪⎪==⎪⎨==≥⎪⎪=⎪⎪=<<<<⎩给出与其对应的物理模型.答 边界固定的矩形膜的自由振动,其初始位移于初始速度已知本章计算机仿真编程实践9.18 试求泊松方程2223y xy x u ++=∆的一般解，并尝试用计算机仿真的方法求解。

第一章 复述和复变函数 1.5连续若函数)(x f 在0z 的领域内（包括0z 本身）已经单值确定，并且)()(0lim 0zf z f z z =→，则称f(z)在0z 点连续。

1.6导数若函数在一点的导数存在，则称函数在该点可导。

f(z)=u(x,y)+iv(x,y)的导数存在的条件 (i)x u ∂∂、y u ∂∂、x v ∂∂、yv ∂∂在点不仅存在而且连续。

(ii)C-R 条件在该点成立。

C-R 条件为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∂∂-=∂∂∂∂=∂∂y y x u xy x v y y x v x y x u ),(),(),(),( 1.7解析若函数不仅在一点是可导的，而且在该点的领域内点点是可导的，则称该点是解析的。

解析的必要条件：函数f(z)=u+iv 在点z 的领域内(i)x u ∂∂、y u ∂∂、x v ∂∂、yv ∂∂存在。

(ii)C-R 条件在该点成立。

解析的充分条件：函数f(z)=u+iv 在领域内(i)x u ∂∂、y u ∂∂、x v ∂∂、yv∂∂不仅存在而且连续。

(ii)C-R 条件在该点成立。

1.8解析函数和调和函数的关系 拉普拉斯方程的解都是调和函数：22x u ∂∂+22y u∂∂=0 ①由此可见解析函数的实部和虚部都是调和函数。

但是任意的两个调和函数作为虚实两部形成的函数不一定是解析函数，因为它们不一定满足C —R 条件。

②当知道f(z)=u(x,y)+iv(x,y)中的u(x,y)时，如何求v(x,y)?通过C —R 条件列微分方程 第二章 复变函数的积分 2.2解析函数的积分柯西定理：若函数f(z)在单连区域D 内是解析的，则对于所有在这个区域内而且在两个公共端点A 与B 的那些曲线来讲，积分⎰BAdz z f )(的值均相等。

柯西定理推论：若函数f(z)在单连区域D 内解析，则它沿D 内任一围线的积分都等于零。

⎰=Cdz z f 0)(二连区域的柯西定理：若f(z)在二连区域D 解析，边界连续，则f(z)沿外境界线(逆时针方向)的积分等于f(z)沿内境界线(逆时针方向)的积分。