南邮 数理方程1 定解问题56页PPT

流体流动和传热分析
通过求解本征值问题，可以研究流体的流动和传热特 性，为流体动力学的研究提供基础数据。
在量子力学中的应用
原子结构和光谱
利用定解问题的方法，可以求解原子的结构和光谱， 从而研究原子和分子的物理性质。
量子纠缠和相干性
通过求解本征值问题，可以研究量子纠缠和相干性等量 子力学的基本现象。
2023 WORK SUMMARY
PART 06
定解问题和本征值问题在 物理中的应用
在固体物理中的应用
晶体结构分析
利用定解问题的方法，可以求解晶体的内部结构，从而 研究晶体的物理性质。
电子状态和能带结构
通过求解本征值问题，可以得到晶体中电子的状态和能 带结构，进而研究材料的电子学性质。
在流体动力学中的应用
流体稳定性分析
利用定解问题的方法，可以研究流体的稳定性，预测 流体的运动状态。
唯一性
在一定条件下，本征值是唯一的。这些条件包括：线性算子是自伴的、有界可逆的、或者具有某种特 定的对称性。在这些条件下，本征值是唯一的，相应的本征函数也是唯一的。
PART 04
常用本征值问题的求解方 法
幂级数展开法
总结词
幂级数展开法是一种求解本征值问题的常用 方法，适用于具有特定解析性质的问题。
VS
格林函数法适用于一些具有特定性质 的问题，如求解电磁场问题、声波传 播问题等。
PART 03
本征值问题概述
定义与分类
定义
本征值问题是指求解一个线性算子，以及其对应的本征函数。本征值是线性算子作用在本征函数上的一种特殊的 标量值。
分类
根据本征值的性质，本征值问题可以分为实本征值问题和复本征值问题。实本征值问题对应的是实数域上的线性 算子和本征函数，而复本征值问题则对应复数域上的线性算子和本征函数。

数学物理方程与特殊函数
第3章行波法与积分变换法
2u 2u 2u ( A B) AB 2 0 2 xy x y
u u u u u A B x x x
y Ax
y Bx
2 2 2u u u u u 2u 2 u 2 u A B A B A 2 AB B 2 2 x x x 2 u u u u u y y y
( x at ) 代表以速度a 沿x 轴正向传播的波 ( x at ) 代表以速度a 沿x 轴负向传播的波
1 2
1 x at ( )d b. 只有初始速度时： u ( x, t ) x at 2a 假使初始速度在区间 上是常数 ，而在此区间外恒等于0
u( x, t ) 1 ( x at ) 1 ( x at )
e
( x at ) 2
]
1 2

x at x at

x at
2ase
s 2
ds

( x at ) 1 [ e 2
2
2
e
( x at ) 2
] 1 [ e 2
x atቤተ መጻሕፍቲ ባይዱx at s 2
e
s 2
ds2
e ( xat )
x at
数学物理方程与特殊函数
数学物理方程与特殊函数
第3章行波法与积分变换法
2 2 u2 u2 2 a f ( x, t ), x , t 0 2 t 2 x u ( x, 0) 0, u2 ( x, 0) 0, x 2 t 利用齐次化原理，若 满足：

数学物理方程01_数学物理方 程定解问题
11、战争满足了，或曾经满足过人的 好斗的 本能， 但它同 时还满 足了人 对掠夺 ，破坏 以及残 酷的纪 律和专 制力的 欲望。 ——查·埃利奥 特 12、不应把纪律仅仅看成教育的手段 。纪律 是教育 过程的 结果， 首先是 学生集 体表现 在一切 生活领 域—— 生产、 日常生 活、学 校、文 化等领 域中努 力的结 果。— —马卡 连柯(名 言网)
42、只有在人群中间，才能认识自 己。——德国
43、重复别人所说的话，只需要教育； 而要挑战别人所说的话，则需要头脑。—— 玛丽·佩蒂博恩·普尔
44、卓越的人一大优点是：在不利与艰 难的遭遇里百折不饶。——贝多芬
45、自己的饭量Βιβλιοθήκη 己知道。——苏联13、遵守纪律的风气的培养，只有领 导者本 身在这 方面以 身作则 才能收 到成效 。—— 马卡连 柯 14、劳动者的组织性、纪律性、坚毅 精神以 及同全 世界劳 动者的 团结一 致，是 取得最 后胜利 的保证 。—— 列宁 摘自名言网
15、机会是不守纪律的。——雨果
41、学问是异常珍贵的东西，从任何源泉吸 收都不可耻。——阿卜·日·法拉兹

F (x 1 ,L ,x n ,u , x u 1,L , x u n,L , x 1 m 1 x 2 m m 2 u L x n m n) 0(1.1)
4
方程(1.1)是在自变量x1,x2, …的n维空间Rn 中的一个适 当的区域D内进行考察的，我们要求能找出在D内恒 满足方程(1.1)的那些函数u。如果这种函数存在，那
和时间无关。弦是柔软有弹性的，即它不能抵抗弯矩， 因此在任何时刻弦的张力T总是沿着弦的切线方向。
u
F
△x
Q T
P
a
T
N
O
x
N'
x+△x
x
13
或
综合上述分析，由牛顿第二定律可得
a T si T n si F n x x ttu( 1 . 3 )
又 tanaux ，故 sia n taan ux 1ta2na 1ux2
，薄膜所形成的曲面方程为u=u(x,y)。
5. 拟线性偏微分方程：若非线性方程中未知多元函 数的所有最高阶偏导数都是线性的，而其系数含有 未知多元函数或其低阶偏导数，则称为拟线性偏微 分方程。如书中例1.8
6. 非齐次项和非齐次方程：在线性偏微分方程中， 不含未知函数及其偏导数的非零项称为非齐次项， 而含有该非齐次项的方程称之为非齐次方程。如书 中例1.1
3. 线性偏微分方程：如果一个偏微分方程对于未知 函数及它的所有偏导数来说都是线性的，且方程中 的系数都仅依赖于自变量，那么这样的偏微分方程 就称为线性偏微分方程。
例如： 书中例1.1、1.2
y2u2xy2uu1
x2
y2
(二阶线性偏微分方程)
否则称之为非线性偏微分方程。 书中例1.5
6
4. 半线性偏微分方程：若非线性方程中未知多元函 数的所有最高阶偏导数都是线性的，而其系数不含 有未知多元函数及其低阶偏导数，则称为半线性偏 微分方程。如书中例1.6

数学物理方程与特殊函数
第1章 典型方程和定解条件的推导
数学物理方程与特殊函数
☆ 数学和物理的关系 数学和物理从来是没有分开过的
☆ 数学物理方程的定义 用微分方程来描述给定的物理现象和物理规律。
☆ 课程的主要内容
三种方程、 四种求解方法、 二个特殊函数
波动方程 热传导 拉普拉斯方程
1
分离变量法 行波法 积分变换法 格林函数法
例2、时变电磁场
从麦克斯韦方程出发：
v H v E
v Jc
v B
v D t
v
t
D v
v
B 0
在自由空间：Jrc 0,v0
D E
B H
H
E
E
t H
t
E 0
H 0
15
19.05.2020
数学物理方程与特殊函数
第1章 典型方程和定解条件的推导
H
E
E
t H
t
E 0
对第一方程两边取旋度，得：
H (E )
t
根据矢量运算：
r
rr
H ( H ) 2 H
H 0
r
由此得：2H r (H)
即：
t t
2H2H
t2
2tH 2 1 ( 2 x H 2 2 yH 2 2 zH 2) ——磁场的三维波动方程
同理可得：
2E t2
1
2E
——电场的三维波动方程
其中：cos1cos'1
sin tan u(x,t)
x
T
x
M'
ds
T'
'
gds x dx x
sin ' tan ' u(x dx,t)

T'
ds
'
u x, t ds 1 dx dx. x
2

T
M
gds
x x dx x
带入原方程中得： T sin T 'sin ' gds ma
2u x , t u x dx, t u x, t T dx gdx 2 x x t
其中 f ( x, t ) F x, t 表示t时刻单位质量的弦在x点所 受的外力。
1
Nanjing University of Posts and Telecommunications
数理方程
波动方程
一维形式 二维形式
2u x, y , t t 2
2 2u x, t u x, t 2 a f ( x, t ) 2 2 t x
cos 1
故：
ds
'

T
M
gds
x x dx x
2
2!

4
4!

cos 1 cos ' 1
T T'
Nanjing University of Posts and Telecommunications
数理方程 纵向： T sin T 'sin ' gds ma y
共性：数理方程是把物理规律用数学语言描述出来，也就是研究
某个物理量在空间的分布规律和随时间变化的规律。简单地说， 就是用数学物理方程表达物理规律。这种物理规律反映的是同一 类物理现象的共同规律，也就是所谓的共性。 泛定方程：数学上描述同一类物理现象共性的方程称为泛定方程。 个性：但同一类物理现象中，各个具体问题又具有特殊性，也就

a2
2u x2
f
(x,t)
其中 f (x,t) F
也称上式为一维（非齐次）波动方程
16
二、热传导问题
1. 问题描述 考察均匀且各向同性的导热体内温度分布情况。
2. 模型分析 ➢ 均匀：介质密度相同，为常数； ➢ 各项同性：物体的比热、热传导系数为常数； ➢ 体：三维问题; ➢ 物理规律：能量守恒定律、Fourier热传导实验定律 3. 导出方
❖ Chapter 1
1. PDE基础知识（阶，线性，齐次，分类等）； 2. 定解问题的提法：基本概念，三类边界条件； 3. PDE解的基本性质。
1
❖ Chapter 2
1. ODE及Fourier级数的补充知识； 2. 定解问题的三类基于分离变量的求法：分离变量，特征函数，
边界条件齐次化； 3. Laplace方程的极坐标形式及其分离变量求解。
5
第一章 一些典型方程和定解条件的推导
1. 前言 2. 基本方程的建立 3. 初始条件与边界条件 4. 定解问题的提法
6
1. 前言
1.1 课程特点及其研究对象
数学物理方程，是指从物理学、力学及其他自然科学、 技术科学中所产生的偏微分方程，有时也包括与此有关的积分 方程，微分积分方程，甚至常微分方程等。
1. Laplace方程边值问题四种提法； 2. 第一、第二Green公式； 3. 调和函数的基本性质； 4. 特殊区域上的Green函数及其求解定解问题。
4
所需知识
高等数学 常微分方程 积分变换
课程评价(Grading Policies)
期末考试成绩 (80%左右)
平时成绩 (20%左右)
x
ds 1 ux 2 dx dx

P5 (1.5) ”是否合理？
结点与节点有区别吗？
Rdx
+
- v(x,t)
Ldx
i(x,t)
Cdx
P● ＋
－
i +di C L– L
GdxC v dv
x
●
图 12
x dx
iC
C
duC dt
di
u L
L
dt 19
梁昆淼先生的做法：
“今考虑一来一往的高频传输线，每单位长一来一往所具有的电阻，电感，电容， 电漏分别记以 R，L，C，G。于是
x1d2x
3、忽略与近似
T cos Tcos 0
(1)
T sin T sin ds g ds utt
(2)
①对于小振动： 0; 0
cos 1 ; cos 1
sin
tg 1 tg2
tg u x
x
sin
tg 1 tg2
tg u x
x dx
于是（1）式变为：
T T
代入（2）式变为：
T sin T sin ds(utt g)
T u x
xdx T
u x
x
ds(ut t g)
②一般说来，ut t g ， 将 g 略去，上式变为
Cdx
Gdx v dv
x
●
x dx
17
电路准备知识 电容元件：
du
i C C
C
dt
q Cu
i dq d(Cu) C du
dt dt
dt
q idt
电感元件：

定沿回路顺时针方向的电动势和电流都为正，反之为
n
n
负)．即 Ik Rk k
k 1
k 1
(10)Faraday 电磁感应定律 不论任何原因使通过回路面 积的磁通量发生变化时，回路中产生的感应电动势与磁通 量对时间的变化率的负值成正比。即 N d 其中，N 为
dt 感应回路串联线圈的匝数．此即法拉第电磁感应定律。由 该定律知，当闭合回路(或线圈)中的电流发生变化而引起
c
为杆的导热率（与材料有关），c 为杆的比热容(即，单位物质
升高单位温度所需的热量。与材料有关）， 为杆的体密度，
F 为热源密度(即，单位时间内单位体积所放出的热量)。
2 建立(导出)方程时常用到的物理学定律
（1）Newton 第二定律：F ma
（2）Fourier 实验定律（即热传导定律） 当物体内存在温
自身回路的磁通量改变而产生的自感电动势为 L dI
dt 其中， L为自感系数．
(11)Hooke 定律 在弹性限度内，弹性体的弹力和弹性体
的形变量成正比。即 f kx 其中，k 为弹性体的劲度系 数．负号表示弹力的方向和形变量的方向相反．
应力＝杨氏棋量×相对伸长
(三)定解条件
定解条件是确定数理方程解中所含的任意函数或常数， 使解具有惟一性的充分而且必要的条件。它又分为初始条 件和边界条件两种。若所研究的系统是由几种不同介质组 成的，则在两种介质的交界面上定解条件还应当有衔接条 件。
差时，会产生热量的流动。热流密度q （即，单位时间内流
过 单 位 横 截面 积 的 热量 ），与 温 度 的下 降 率成 正 比 。 即
q ku 其中， k 为热传导系数，负号表示温度下降的方
向．写成分量式即 qx

线性与非线性
热传导方程可以是线性的，也可以是非线性的，这取决于所描述的 物理现象和材料的属性。
热传导方程的定解问题分类
1 2
初始条件
描述某一时刻物体内部和表面的温度分布。
边界条件
描述物体边界上的温度分布或热量交换情况。
3
混合条件
同时包含初始条件和边界条件的问题。
热传导方程的定解问题求解方法
分离变量法
01
02
03
04
常微分方程
描述物理量随时间变化的规律 ，不涉及空间变量。
偏微分方程
描述物理量在空间和时间上的 变化规律，如波动方程、热传
导方程等。
积分微分方程
结合了积分和微分形式的方程 ，用于描述连续分布的物理量
。
泛函微分方程
在泛函分析框架下定义的微分 方程，用于描述动态系统的行
为。
数学物理方程的解法
有限差分法
用差分近似代替微分，将微分方程转 化为差分方程进行求解。
有限元法
将连续的求解域离散化为有限个小的 单元，对每个单元进行求解，再通过 组合得到原问题的解。
谱方法
利用傅里叶变换或其它正交函数变换， 将原问题转化为易于求解的代数问题。
定解问题的应用实例
01
02
03
波动方程
描述波动现象，如声波、 光波和水波等。
数学物理方程第一章定解 问
• 引言 • 数学物理方程的基本概念 • 定解问题的分类与求解方法 • 偏微分方程的定解问题 • 波动方程的定解问题 • 热传导方程的定解问题
01
引言
背景介绍
01
数学物理方程是描述物理现象和 过程的数学模型，广泛应用于科 学、工程和技术领域。