数理方程作业

第二次作业1.化下列方程为标准形式：0=+yy xx yu u解：根据题意可得y c b a ===,0,1，则有y ac b -=-=∆2。

（1）当0=y 时，0=∆，方程为抛物型方程，标准形式为0=xx u ；（2）当0>y 时，0<∆，方程为椭圆型方程，对应的特征方程为022=+ydx dy解得两条特征线为C ix y =±2 选取变换x y ==ηξ,2，带入原方程可得01=-+ξηηξξξu u u （3）当0<y 时，0>∆，方程为双曲型方程，对应的特征方程为022=+ydx dy解得两条特征线为C x y =±--2 选取变换y x y x -+=--=2,2ηξ，带入原方程可得()()ηξξηηξu u u ---=21 2.确定下列方程的通解：023=+-yy xy xx u u u解：根据题意可得2,23,1=-==c b a ，0412>=-=∆ac b ，方程为双曲型方程，对应的特征方程为 02322=++dx dxdy dy解得两条特征线为212C x y C x y =+=+选取变换x y x y 2,+=+=ηξ，可把原方程化简为0=ξηu此方程的通解是()()ηξg f u +=其中是g f ,关于ηξ,的任意二次可微的连续函数，所以原方程的通解为()()y x g y x f u +++=2作业中出现的问题：第一题：1.有的同学以为特征线就是通解，这也太荒谬了。

2.有的同学没有讨论0=y 时候的情况。

3.作变量代换的时候有的同学设的变量很复杂，不可取。

另外化简的时候没有化到最简，方程中还包含y x ,。

此外有的同学认为书上最简形式的椭圆、双曲方程就是本题的结果，这是完全错误的。

还有计算问题也出现了很多。

第二题：1.到0=ξηu 这一步都没有什么大问题，主要是后面求这个积分出现了问题，一方面有的同学最后结果中后面还带着积分号，另一方面有很多同学都没有讨论g f ,和性质。

（2） z 4 4 0 ； 解 z 4 4 2 4 1 2 4 cos j sin
93


2k 1 j sin 2k 1 = 2 cos 4 4
k 0,1,2,3
1 1 k 0 ： z1 2 cos j sin 2 j 1 j 4 4 2 2 3 3 1 1 k 1 ： z2 2 cos j sin 2 j 1 j 4 4 2 2 5 5 1 1 k 2 ： z3 2 cos j sin 2 j 1 j 4 4 2 2 7 7 1 1 k 3 ： z4 2 cos j sin 2 j 1 j 4 4 2 2
3 8
k k 2 8 cos j sin 2 16 2 16
3 3 8 3
k 0,1,2,3
7 7 2 cos j sin ， 2 8 cos j sin ， 16 16 16 16 9 15 15 9 2 cos j sin ， 2 8 cos j sin ； 16 16 16 16
1 3 5 5 （2） j sin cos j sin 2 2 j cos 3 3 3 3 1 3 j 2 2
4
cos j sin 4 4
4
2
cos j sin 1 j 3 5 5 cos j sin 3 3

所以初边值问题的解为
u(x,t) = cos at sin x
注记：如果用系数计算公式
∫ ∫ Cn
=
2 L
L sin(ξ ) sin(nξ )dξ
0
， Dn
=
2 nπa
L 0 × sin(nξ )dξ ，（n=1，2，……）
0
会得出同样结论。
例 8．用分离变量法求解双曲型方程初边值问题
⎧u ⎪⎪⎨u
[Cn
n=1
cos
nπ L
t
+
Dn
sin
nπ L
t]sin
nπ L
x
利用初值条件，得
∑ ∑ ∞ Cn
n=0
sin
nπ L
x
=
x(L −
x) ， π L
∞
nDn
n=0
sin
nπ L
x
=
0
为计算系数，首先令ϕ(x) = x(L − x) ，显然ϕ(0) = 0,ϕ(L) = 0 ，且
ϕ′(x) = L − 2x ，ϕ′′(x) = −2
x x
+ +
C1 C2
⎡ ∂ξ
构造变换：
⎧ξ ⎩⎨η
= =
2 sin 4 sin
x x
+ +
cos cos
y y
，
⎢ ⎢ ⎢
∂x ∂η
⎢⎣ ∂x
∂ξ ⎤
∂y ∂η
⎥ ⎥ ⎥
=
⎡2 ⎢⎣4
cos cos
x x
∂y ⎥⎦
− sin y⎤ − sin y⎥⎦
所以， a12 = 8sin 2 y cos2 x − 18cos2 x sin 2 y + 8cos2 x sin 2 y = −2 cos2 x sin 2 y

d dx
k
(x)
dy dx
q(x)
y
(x)
y
0
在第一类齐次边界条件及自然条件下
特征函数系
Pm (r)
J
n
(
(n m R
)
r)
m 1, 2,...
R 0
rJ
n
(
(n) m R
r
)J
n
(
(n) k R
r)dr
0 mk
R2 2
J
2 n1
(m(n)
)
R2 2
J
2 n1
(
(n m
)
)
mk
设
① ② ①-②
J0 ( x)
贝塞尔函数的图象
J1(x)
J 2 ( x)
J3 ( x)
贝塞尔方程在第一 类边界条件下的 特征值和特征函数
r2P(r) rP(r) (r2 n2 )P(r) 0
P(r) rR 0
P(r) r0
Jn ( R) 0
R
(n) m
(m 1, 2,...)
(n) m
(
(n) m
贝塞尔函数的性质（4）
二维热传导物理问题
u
t
a2
2u x2
2u y 2
u t0 (x, y)
,
x2 y2 R2
u 0 x2 y2 R2
u(x, y,t) V (x, y)T (t)
T (t) a2T (y 2
V
0
V 0 x2 y2 R2
贝塞尔函数的性质（1）
第一类贝赛尔函数：
在整个数轴上收敛，在每个指定的点都
取有限值 第二类贝赛尔函数：

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第一题：
设函数u(x,y,z)及矢量
A P(x, y,z)i Q(x, y,z) j R(x, y,z)k
的三个坐标函数都有二阶连续偏导数，求证：
(1)rot( gradu) 0 (2)div(rotA) 0 2u 2u 2u (3)div( gradu) 2 2 2 x y z
u ( x dx ) u ( x) u T x x F ( x) sin t t 2 dx
2
令a2=T/
2 2u u 2 a f ( x) sin t 2 2 t x
u( x, t ) x0 0
u( x, t ) x L 0
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u u u u u a t t t
2u u u u u u u 2 u 2 u a a a a t t t 2 2 u 2u 2u a 2 2 2
u u u u u x x x
2u u u u u u u u u 2 x x x 2u 2u 2u 2 2 2
u 2u
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第二题：
若F(z)、G(z)是任意两个二次连续可微函数， 验证u=F(x+at)+G(x-at)满足方程
2 2u u 2 a 2 2 t x

P746.用分离变量法求解由下述调和方程的第一边界问题所描述的矩形平板)0,0b y a x ≤≤≤≤（上的稳定温度分布：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=====∂∂+∂∂.0),(,sin )0,(0),(),0(02222b x u a x x u y a u y u y uxu π 解：令)()(),(y Y x X y x u =代入方程 ，得λ-=''-=''YY x X x X )()(再由一对齐次边界条件0),(),0(==y a u y u 得0)()0(==a X X由此得边值问题 ⎩⎨⎧===+''0)()0(0a X X X X λ由第一章讨论知，当2)(an n πλλ==时，以上问题有零解 .s i n )(x an x X n π= ),2,1( =n又 0)(2=-''n n Y an Y π求出通解，得yan n yan n n eB eA Y ππ-+=所以 ∑∞=-+=1.s i n)()(n ya n n yan n x an eB eA y x u πππ，由另一对边值，得⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫+=+=∑∑∞=-∞=11s i n )(0s i n )(s i n n b a n n b a n n n n n x a n e B e A x a n B A a xπππππ 由此得，⎪⎩⎪⎨⎧==+==+=+-,2,10,3,20111n e B e A n B A B A ba n nb a n nn n ππ，解得 bashe A baππ--=211 bashe B baππ211=,3,20===n B A n n代入),(y x u 的表达式得x ae e bash y x u y b ay b aππππsin)(121),()()(----⋅=x ay b xsh bashπππsin)(1-=P794．证明当u(M)在闭曲面Γ的外部调和，并且在无穷远处成立着 ))(1(),1()(2∞→=∂∂=oM oMoMr r o ru r o M u则公式(2.6)仍成立，但0M 是Γ外的任一点。

第三章 习题
1 设y = y (x)是一条连接点A(0, a)和点B (l, b)的光滑曲线，即y = y (x) ∈ C 1 [0, l]， 且y (0) = a, y (l) = b. 试建立连接A, B 两点的短程线所满足的变分问题以及等价的常微分方程边 值问题，并求出它的解. 2 求解以下变分问题： 设M = {v | v (x) ∈ C 1 [0, 1], v (1) = 0} 求u(x) ∈ M ，使得 J (u) = min J (v )
i=N +1
gi (φi , φ1 )H , · · ·
N +M ∑ i=N +1
)T gi (φi , φN )H .
由此可以看出通过变分原理与分片线性插值函数相结合，有限元方法从根本上 克服了Galerkin方法所带来的不足. 从而使变分方法焕发了新的生命力，得到 了工程与科学的很多领域的广泛认可，成为了当前解决实际问题的重要手段. 当然有关刚度矩阵的构成以及算法上的一些具体实施细节，例如区域的自动剖 分，节点的有序排列等内容已超出本课程的要求，在计算方法课程中有专门介 绍，在这里我们只介绍形成算法的基本原函数只能在Ω的边界∂ Ω上达 11 (强极值原理)一个定义在Ω 到它的最大和最小值. 试比较这个论断与定理4.2的差别. 提示：利用调和函数的平均值公式，通过反证法导出矛盾.
88
第三章 变分方法与近似求解
通过与上面完全相仿的推导，我们得到⃗ c = (c1 , · · · cN )T 适合的代数方程组 ⃗∗ , K⃗ c=f ⃗∗ 为 这里荷载向量f ⃗∗ = f ⃗− f ( N +M ∑
89
0<x<1
b. 取S N = Span{sin nπx, n = 1, · · · , 2N } 证明由Galerkin方法得到的近似解可 表为 uN (x) =

数学物理方程例题和习题（2009-10-31）一、常微分方程回顾1．一阶常微分方程常数变易法用于解源函数不为零的常微分方程问题⎩⎨⎧=>=+'α)0(0),()()(y x x f x ry x y 先求解对应的齐次方程（源函数为零）：0)()(=+'x ry x y用常微分方程分离变量方法：ry dxdy-= → rdx y dy -= → c rx y +-=ln 得齐次方程通解)exp()(rx C x y -=为了求解非齐次方程（源函数不为零），应用常数变易法。

将上式中C 替换为待定函数，设 )exp()()(rx x u x y -=对其求导数，得)exp()()exp()()(rx x u r rx x u x y ---'=')()exp()(x ry rx x u --'=将其代入非齐次方程，得)()exp()(x f rx x u =-' → )()exp()(x f rx x u ='→ C d f r x u x+=⎰)()ex p()(ξξξ代入表达式)exp()()(rx x u x y -=，得)ex p(])()ex p([)(0rx C d f r x y x-+=⎰ξξξ应用初始条件，得解函数⎰--+-=xd f x r rx x y 0)()](ex p[)ex p()(ξξξα从两部分解读解函数的意义。

第一部分利用了初始条件的信息，第二部分利用了微分方程右端项的信息。

它们分别是两个子问题的解⎩⎨⎧==+'α)0(0y ry y ，⎩⎨⎧==+'0)0()(y x f ry y 2．二阶常微分方程常数变易法二阶常微分方程初值问题⎩⎨⎧='=>=+''βαω)0(,)0(0),()()(2y y x x f x y x y 先考虑对应齐次方程：02=+''y y ω。

例 1.1.1 设v=v(线x,y),二阶性偏微分方程v xy =xy 的通解。

解 原方程可以写成 ð／ðx（ðv／ðy） =xy 两边对x 积分，得 v y =¢（y ）+1/2 x 2Y ,其中¢（y ）是任意一阶可微函数。

进一步地，两边对y 积分，得方程得通解为v （x,y ）=∫v y dy+f （x ）=∫¢（y ）dy+f （x ）+1/4 x 2y 2=f （x ）+g （y ）+1/4 x 2y 2其中f （x ）,g （y ）是任意两个二阶可微函数。

例1.1.2即 u(ξ,η) = F(ξ) + G(η),其中F(ξ),G(η)是任意两个可微函数。

例1.2.1设有一根长为L 的均匀柔软富有弹性的细弦，平衡时沿直线拉紧，在受到初始小扰动下，作微小横振动。

试确定该弦的运动方程。

取定弦的运动平面坐标系是O XU ,弦的平衡位置为x 轴，弦的长度为L ，两端固定在O,L 两点。

用u(x,t)表示弦上横坐标为x 点在时刻t 的位移。

由于弦做微小横振动，故u x ≈0.因此α≈0，cos α≈1,sin α≈tan α=u x ≈0,其中α表示在x 处切线方向同x 轴的夹角。

下面用微元法建立u 所满足的偏微分方程。

在弦上任取一段弧'MM ,考虑作用在这段弧上的力。

作用在这段弧上的力有张力和外力。

可以证明，张力T 是一个常数，即T 与位置x 和时间t 的变化无关。

事实上，因为弧振动微小，则弧段'MM 的弧长dx u xx xx ⎰∆++=∆21s ≈x ∆。

这说明该段弧在整个振动过程中始终未发生伸长变化。

于是由Hooke 定律，张力T 与时间t 无关。

因为弦只作横振动，在x 轴方向没有位移，故合力在x 方向上的分量为零，即T(x+x ∆)cos α’-T(x)cos α=0.由于co's α’≈1，cos α≈1,所以T(X+∆x)=T(x),故张力T 与x 无关。

数理方程练习题一（2009研）1. 设(,)u u x y =，求二阶线性方程20ux y∂=∂∂ 的一般解。

2. 设u f = 满足Laplace 方程22220u u x y ∂∂∂∂+=求函数u.3. 求Cauchy 问题22000(,)(0,)cos tt xx t t t u a u x t u x u x x ==⎧-=∈⨯∞⎪⎨==∈⎪⎩的解．4. 求解Cauchy 问题200cos (,)(0,)cos 010tt xx t t t u a u t x x t x x u x u x ==⎧-=∈⨯∞⎪≥⎧⎨==⎨⎪<⎩⎩5. 解在半无界问题20000(,)(0,)sin (0)0(0)tt xx t t t x u a u x t u x u x x u t +===⎧+=∈⨯∞⎪⎪==≤≤∞⎨⎪=≥⎪⎩6. 求解二维Cauchy 问题222200(,,)(0,)0()(,)tt t t t u a u x y t u u x x y x y ==⎧-∆=∈⨯∞⎪⎨==+∈⎪⎩求下列函数的Fourier 变换1 0()00axe xf x a x -⎧≥=>⎨<⎩2 1||()0||a x a x x a≤⎧∏=⎨>⎩3 2()x f x e -=7. 磁致伸缩换能器、鱼群探测换能器等器件的核心是两端自由的均匀杆，它作纵振动．研究两端自由棒的自由纵振动，即定解问题。

200,0(,0)(),(,0)()0(0,)(,)00tt xx t xx u a u x l t u x x u x x x l u t u l t t ϕψ⎧-=<<>⎪==≤≤⎨⎪==≥⎩8. 散热片的横截面为矩形。

它的一边y=b 处于较高温度V ，其他三边b=0，x=0，x=a 则处于冷却介质中因而保持较低的温度v 求解这横截面上的稳定温度分布Ux,y)即定解问题0;0(0,),(,)0(,0),(,)()0xx yy u u x a y b u y v u a y vy b u x v u x b V x x a +=<<<<⎧⎪==<<⎨⎪==<<⎩9. 求解定解问题2000cos sin 0,00,0ttxx x x x x l t t t x u a u A t lu u u u πω====⎧-=⎪⎪⎪==⎨⎪'==⎪⎪⎩10. 求解定解问题200sin 0,00t xx x x x l t u a u A tu u u ω===⎧-=⎪⎪==⎨⎪=⎪⎩ 11. 弦的x=0端固定而x=l 端受迫作谐振动sin A t ω，则弦的初始位移和初始速度都是零，求弦的振动。

X A sin x B cos x
X (l ) B sin l 0 2 n n n2 , n 1,2,3, l n X n Bn cos x l
2 u u 2 , 0 x l, t 0 a 2 t x u (l , t ) u (0, t ) 0, 0, t 0 x x 0 xl u ( x,0) ( x), T a 2T 0
令
X X 0 T a 2 T 0
X X 0 0 x l X (l ) 0 X (0) 0,
X X 0 0 x l X (l ) 0 X (0) 0,
2 0
X 2 X 0
V 2 V 2 a p a W 2 t x
p a 2W 0 W (0) 0 W (l ) 0 p 2 p 2 pl W 2 x Ax B 2 x 2 x 2a 2a 2a 2 V V 2 0 x l, t 0 t a x 2 , t 0 V (0, t ) 0, V (l , t ) 0, p 2 pl V ( x, 0) W ( x) 2 x 2 x, 0 x l 2a 2a
X A cos x B sin x X (l ) B sin l 0
n n , n 1,2,3, l
2 n
2
2 u u 2 , 0 x l, t 0 a 2 x t u (0, t ) 0, u (l , t ) 0, t 0 u ( x,0) ( x), 0 xl T a 2T 0

数理方程试题一．判断题（每题2分）.1. 2u u x y x y x+=是非线性偏微分方程.( )2. 绝对可积函数一定可做Fourier 积分变化.( )3. ()(1) 1.n n F x n Legendre F =是次正交多项式，则 ( )4. (,)0xy f x y =的解是调和函数.( )5. **12u u 已知,是线性偏微分方程(,)xx yy u u f x y +=的解，则**12u u -是0u ?= 的解.( )二．填空题（每题2分）.1. ()sin t xx yy u u u xt -+= 是____________型偏微分方程.2. 内部无热源的半径为R 的圆形薄板,内部稳态温度分布，当边界上温度为()t φ时，试建立方程的定解问题________________________.3. 2x 的Legendre 正交多项式的分解形式为__________________.4.某无界弦做自由振动,此弦的初始位移为()x φ,初始速度为()a x φ-,则弦振动规律为______________________________.5. []()____________.at m L e t s = 三．求解定解问题（12分）20sin ;0,0;0.t xx xx xx lt u a u A t u u u ω===-====四．用积分变换方法求解以下微分方程（每题12分，共24分）（1）1,0,0;1,1.xy x y u x y uy u===>>=+=（2） 00230, 1.tt t y y y e y y =='''+-='==五．某半无界弦的端点是自由的，初始位移为零，初始速度为cos x ，求弦的自由振动规律。

（12分）六．设有长为a ，宽为b 的矩形薄板，两侧面绝热，有三边的温度为零，另一边的温度分布为x ，内部没有热源，求稳定状态时板内的温度分布。

数理方程练习题一（2009研）1. 设(,)u u x y =，求二阶线性方程20ux y∂=∂∂ 的一般解。

解 先把所给方程改写为()0ux y∂∂=∂∂ 2分 两边对x 积分，得()0()()u udx dx y y y x yϕϕ∂∂∂==+=∂∂∂⎰⎰ 4分 这里， ()y ϕ是任意函数。

再两边对y 积分，得方程的一般解为y()()()()uu dy y dy f x f x g y yϕ∂==+=+∂⎰⎰ 6分 这里，(),()f x g y 是任意两个一次可微函数。

2. 设u f = 满足Laplace 方程22220u u x y ∂∂∂∂+=求函数u.解: ,.r x r y r x r x r ∂∂===∂∂ ''(),().u x u y f r f r x r y r∂∂⇒==∂∂ 3分 因此有222'''223222'''223()()()()u x y f r f r x r ru y x f r f r y r r ∂=+∂∂=+∂ 3分 原方程化为:'''1()()0f r f r r+= 2分 故有:1212()ln r u f r c c c c ==+= 2分例1 求Cauchy 问题22000(,)(0,)cos tt xx t t t u a u x t u x u x x ==⎧-=∈⨯∞⎪⎨==∈⎪⎩R R的解．解 由定理3.1得22222()()1u(x, t)cos 221cos sin x atx atx at x at d a x a t x ataξξ+-++-=+=++⎰例2 求解Cauchy 问题200cos (,)(0,)cos 010tt xx t t t u a u t x x t x x u x u x ==⎧-=∈⨯∞⎪≥⎧⎨==⎨⎪<⎩⎩R解 由公式错误！未找到引用源。

uyy + uzz = 0的解; (3) un (r, θ) = rn cos(nθ)), rn sin(nθ)) (n = 0, 1, 2, · · · )是拉普拉斯方程urr +
1 r ur 1 u r2 θθ
+
= 0的解. ut = −uxx , u(x, 0) = 1,
10. 说明定解问题
− auxx = 0的解.
((x, y ) ̸= (0, 0)), eax cos(ay ), eax sin(ay )均是二维 ((x, y, z ) ̸= (0, 0, 0))是三维拉普拉斯方程uxx +
拉普拉斯方程uxx + uyy = 0的解; (2) u(x, y, z ) = √
1 x2 + y 2 + z 2
证. (方法一) 极坐标系与直角坐标系之间的变换关系为 x = r cos θ, 或者为 r = (x2 + y 2 ) 2 , 于是 ∂r x = = cos θ, ∂x r ∂θ y sin θ =− 2 =− , 2 ∂x x +y r 从而 ∂u ∂r ∂u ∂θ ∂u ∂u sin θ ∂u = + = cos θ − , ∂x ∂r ∂x ∂θ ∂x ∂r ∂θ r ∂u ∂u ∂r ∂u ∂θ ∂u ∂u cos θ = + = sin θ + , ∂y ∂r ∂y ∂θ ∂y ∂r ∂θ r ∂r y = = sin θ, ∂y r ∂θ x cos θ = 2 = . 2 ∂y x +y r
习题1
1. 对下列偏微分方程, 指出它的阶, 并指出它是线性的、拟线性的还是非线性 的. 若是线性的, 再指出它是齐次的还是非齐次的. (1) u3 x + 2uuy = xy ; (2) uuy − 6xyux = 0; (3) uxx − x2 uy = sin x;

数理方程课后习题答案数理方程课后习题答案数理方程是数学中的一个重要分支，它研究的是各种数学模型中的方程。

在学习数理方程的过程中，课后习题是巩固知识、提高能力的重要途径之一。

本文将为大家提供一些数理方程课后习题的答案，希望能对大家的学习有所帮助。

1. 解方程：2x + 5 = 13解答：将方程中的常数项5移到等号右边，得到2x = 13 - 5，即2x = 8。

然后将2移到等号右边，得到x = 8/2，即x = 4。

所以方程的解为x = 4。

2. 解方程组：{2x + y = 7，x - y = 1}解答：可以使用消元法来解决这个方程组。

首先将第二个方程的系数取负，得到{-x + y = -1}。

然后将第二个方程乘以2，得到{-2x + 2y = -2}。

将这两个方程相加，得到{0x + 3y = -3}，即3y = -3。

解得y = -1。

将y的值代入第一个方程，得到2x - 1 = 7，即2x = 8。

解得x = 4。

所以方程组的解为x = 4，y = -1。

3. 解二次方程：x^2 - 5x + 6 = 0解答：可以使用因式分解法来解决这个二次方程。

将方程因式分解为(x - 2)(x - 3) = 0。

根据乘积为零的性质，得到x - 2 = 0或x - 3 = 0。

解得x = 2或x = 3。

所以方程的解为x = 2或x = 3。

4. 解三次方程：x^3 - 6x^2 + 11x - 6 = 0解答：可以使用因式分解法来解决这个三次方程。

观察方程，可以发现x = 1是一个解。

通过除以x - 1，得到(x - 1)(x^2 - 5x + 6) = 0。

将x^2 - 5x + 6进行因式分解，得到(x - 1)(x - 2)(x - 3) = 0。

根据乘积为零的性质，得到x - 1 = 0或x - 2 = 0或x - 3 = 0。

解得x = 1或x = 2或x = 3。

所以方程的解为x = 1或x = 2或x = 3。

第三次作业题目：试求适合于下列处置条件及边界条件的一维热传导方程的解.0,0),(),0(;0),()0,(>==≤≤-=t t l u t u l x x l x x u解：设),(t x u 为下列问题的解：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>==≤≤-=><<=∂∂-∂∂0,0),(),0(0),()0,(0,0,0222t t l u t u l x x l x x u t l x x u a t u1.分离变量设)()(),(t T x X t x u =，)(),(t T x X 非零，则有0)()()()0(,)()()()(''2'==-==t T l X t T X x X x X t T a t T λ，所以有0)()0(==l X X ，则)(x X 满足下列方程：⎩⎨⎧===+)2(,0)()0()1(,0)()(''l X X x X x X λ2.求解)(x X① 若0<λ，则（1）式通解为xxBe Aex X λλ---+=)(，由（2）式可得0==B A ，0)(=x X ，不满足题意，舍去。

② 若0=λ，则（1）式通解为B Ax x X +=)(，由（2）式可得0==B A ，0)(=x X ，不满足题意，舍去。

③若0>λ，则（1）式通解为x B x A x X λλsin cos)(+=，由（2）式可得0sin 0==l B A λ，，所以有2⎪⎭⎫⎝⎛=l n n πλ，则⋯==3,2,1,sin )(n x l n B x X n n π 3.求解)(t T将2⎪⎭⎫ ⎝⎛=l n n πλ带入)(t T 满足的方程，则有0)()(2222'=+t T l n a t T n n π，解得tl n a n n eC t T 2222)(π-=，则有x ln eD t x u tl a n n n ππs i n ),(2222-=，其中n n n C B D =，所以有∑∞=-=1sin),(2222n tl a n n x ln eD t x u ππ 4.求解系数 根据初始条件，有)(sin1x l x x ln D n n -=∑∞=π，则有()⎪⎩⎪⎨⎧=-=⎰为偶数，为奇数n n n l xdx l n x l x l D ln 0,8sin )(2320ππ，所以有()⎪⎩⎪⎨⎧=∑∞=-为偶数，为奇数n n x ln e n l t x u n tla n 0,sin 8),(1322222πππ本次作业出现的问题：1.没有按照步骤分步求解2.求)(x X n 时出现错误3.求系数()⎪⎩⎪⎨⎧=-=⎰为偶数，为奇数n n n l xdx l n x l x l D ln 0,8sin )(2320ππ 时学生不会求第四次作业1.求下列定解问题：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≤≤=>==><<+∂∂=∂∂l x x u t t l u t u t l x A x u a t u 0,0)0,(0,0),(),0(0,0,222解:令)(),(),(x W t x V t x u +=，带入上述方程组，则有⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≤≤=+>=+=+><<+∂∂+∂∂=∂∂l x x W x V t l W t l V W t V t l x A x W x V a t V 0,0)()0,(0,0)(),()0(),0(0,0,22222）（ ① ，为了化为齐次方程组，则)(x W 满足的方程组为⎪⎩⎪⎨⎧>==><<=+∂∂0,0)()0(0,0,0222t l W W t l x A x Wa ，则有x a Al x a A x W 22222)(+-= 此外，),(t x V 满足的方程组为⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≤≤-=>==><<∂∂=∂∂l x x W x V t t l V t V t l x x V a t V 0),()0,(0,0),(),0(0,0,222 ②利用分离变量法求解),(t x V 。

1．一根水平放置长度为L 的弦(两端被固定) ，其单位长 度的重力为ρ g ，其ρ 中是弦的线密度，g 是重力加速 度。

若弦的初始形状如图所示： （1）推导出弦的微振动方程； （2）写出定解问题。

解：（1）设弦的微震动方程为：22222(,)u u f x t t xα∂∂=+∂∂ 依题意(,)f x t =-g ，所以弦的微震动方程为：22222u u g t xα∂∂=-∂∂ （2）根据所给图形，利02()(,)|t L x u x t hL=-= 依题意，刚开始时，v=0.，所以0(,)|0t u x t t=∂=∂又弦的两端固定，所以0(,)|0x u x t ==，(,)|0x L u x t == 所以定解问题为：22222u u g t xα∂∂=-∂∂ 02(,)|t x u x t hL == 02Lx ≤≤ 02()(,)|t L x u x t h L =-= 2Lx L ≤≤0(,)|0t u x t t=∂=∂ 用相似三角形，得：当02L x ≤≤，02(,)|t xu x t h L==；当2L x L ≤≤时，0(,)|0x u x t ==，(,)|0x L u x t ==2.设有一个横截面积为S ，电阻率为r 的匀质导线，内有电流密度为j 的均匀分布的直流电通过。

试证明导线内的热传导方程为：222u ucp k j r t x∂∂-=∂∂其中c ，ρ ，k 分别为导线的比热，体密度，及热传导系数解：设导线内的热传导方程为：22(,)u k uf x t t c x ρ∂∂=+∂∂ 依题意，(,)f x t =2j rc ρ将其代入得222u ucp k j r t x∂∂-=∂∂3．长度为L 的均匀杆，侧面绝热，其线密度为ρ、 热传导系数为k 、比热为c 。

（1）推导出杆的热传导方程；（2）设杆一端的温度为零，另一端有恒定热流 q 进入（即单位时间内通过单位面积流入 的热量为q ），已知杆的初始温度分布为()2x L x - ，试写出相应的定解问题。