选修2-2--2.1合情推理与演绎推理课件

数学上的证明主要通过演绎推理来进行的，我们来看一个例子。
例1.如图所示，在锐角三角形ABC中，AD⊥BC， BE⊥AC，D，E是垂足。求证：AB的中点M到D，E 的距离相等。
C D E （1）因为有一个内角是直角的三角形是直角三角形， 证明： ………………………………………………大前提 在△ABD中，AD⊥BC，即∠ADB=900，………小前提 所以△ABD是直角三角形。……………结论
1、什么是推理
推理是人们思维活动的过程，是根据一个 或几个已知的判断来确定一个新的判断的思 维过程。
在日常生活中，人们常常需要进行这样那样的推理。 例如: 医生诊断病人的病症， 警察侦破案件， 气象专家预测天气的可能状态， 考古学家推断遗址的年代， 数学家论证命题的真伪等等。 在数学中，证明的过程更离不开推理。
2 1+3+…+(2n－1)=n ．
an 例1:已知数列{an}的第1项a1=1且 an1 1 an
1 1 a2 ; 解: 当n=1时, a1=1; 当n=2时， 1 1 2 1
1 3
(n=1,2,3 …),试归纳出这个数列的通项公式.
观察可得,数列的前4项都等于相应序号的倒数, 1 由此猜想,这个数列的通项公式为: an n
(3)从逆运算的角度考虑，二者都有逆运算，加法的逆运算是减法， 乘法的逆运算是除法，这就使得方程
都有唯一解
xa 0
|
x a
|
(4)在加法中，任意实数与0相加都不改变大小；乘法中的1与加法 中的0类似，即任意实数与1的积都等于原来的数，即
a+0=a
1 x a
ax 1(a 0)
a 1 a
d 2 r
4r 4 球的体积 V r 3 3
2
例2 类比实数的加法和乘法，列出它们相似的运算性质。
解(1)两个实数经过加法运算或乘法运算后，所得的结果仍然是 一个实数。 (2)从运算律的角度考虑，加法和乘法都满足交换律和结合律， 即 a+b=b+a ab=ba (a+b)+c=a+(b+c) (ab) c=a (bc)
大前提 小前提 结论
三段论是演绎推理的一般模式,包括:
(1)大前提 (2)小前提 (3)结论 已知的一般原理;
M是P，
所研究的特殊情况; S是M， 根据一般原理,对特 所以，S是P。 殊情况做出的判断.
☆用集合论的观点看,三段论的依据是:若集 合M的所有元素都具有性质P,S是M的一个子 集,那么S中所有元素也都具有性质P. M
所以，所有的金属受热后都体积膨胀。
例如： 磨擦双手（S1 ）能产生热（P）， 敲击石头（S2 ）能产生热（P） ， 锤击铁块（S3 ）能产生热（P） ， 磨擦双手、敲击石头、锤击铁块都是物质运动；
所以，物质运动能产生热。
如:观察下图,可以发现
1+3=4=22， 1+3+5=9=32， 1+3+5+7=16=42， 1+3+5+7+9=25=52， ……
累加得: f ( n) f (3) 3 4 5
( n 1)
归纳推理的一般步骤：
⑴ 对有限的资料进行观察、分析、 归纳整理；
⑵ 提出带有规律性的结论，即猜想； ⑶ 检验猜想。
归纳推理所得的结论仅是一种猜想，未必可靠，还 需证明 例如，法国数学家费马观察到
2 1 5,2 1 17,2 1 257,2 1 65537

a
S
一条抛物线 练习.把“函数y x 2 x 1的图象是___________?
恢复成完全三段论。
大前提: 二次函数的图象是一条抛物线 小前提: 函数y x 2 x 1是二次函数; 结 论: 所以，函数 y x2 x 1的图象是一条抛物线
感受理解
说明:为了方便,在运用三段论推理时,常常 采用省略大前提或小前提的表述方式.
6＝3+3， 8＝3+5，10＝5+5，12＝5+7，14＝7+7，16＝5+11，…， 1 000＝29+971，…
猜想： 一个偶数（不小于6）总可以表示成两个奇质数之和；
哥德巴赫猜想 (Goldbach Conjecture)
世界近代三大数学难题之一。哥德巴赫 是德国一位中学教师，也是一位著名的 数学家，生于1690年，1725年当选为俄 国彼得堡科学院院士。1742年，哥德巴赫在教学中发现， 每个不小于6的偶数都是两个素数（只能被和它本身整除 的数）之和。如6＝3＋3，12＝5＋7等等。 公元1742年6月7日哥德巴赫(Goldbach)写信给当时的大 数学家欧拉(Euler)，提出了以下的猜想: (a)任何一个≥6之偶数,都可以表示成两个奇质数之和。 (b)任何一个≥9之奇数,都可以表示成三个奇质数之和。
本节知识结构
推理
（或然性推理） （部分到整体、 特殊到一般）
合情推理
演绎推理 （必然性推理）
归纳
类比 三段论 （特殊到特殊） （一般到特殊）
归纳推理
歌德巴赫猜想的提出过程：
3＋7＝10，3＋17＝20，13＋17＝30，
10＝3＋7，20＝3＋17，30＝13＋17．
一个规律： 偶数＝奇质数＋奇质数
得到猜想：
“空间中，同时垂直于一个平面的两个平面互相平行”
显然，这个猜想是错误的。
合情推理
归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过 观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提 出猜想的推理，我们把它们统称为合情推理。 通俗地说，合情推理是指“合乎情理”的推理。
合情推理在数学中的作用
数学研究中，得到一个新结论之前，合情推理常 常能帮助我们猜测和发现结论。 证明一个数学结论之前，合情推理常常能为我们 提供证明的思路和方向
类比推理的一般步骤：
⑴ 找出两类对象之间可以确切表述的相似特征；
⑵ 用一类对象的已知特征去推测另一类对象的特征， 从而得出一个猜想； ⑶ 检验猜想。
你认为平面几何中的哪一类图形可以作为四面体的类 比对象？ 从构成几何体的元素数目看，四面体由4个平面围成， 它是空间中由数目最少的基本元素（平面）围成的封 闭几何体；
从构成几何体的元素数目看，三角形由3条直线围成， 它是平面内由数目最少的基本元素（直线）围成的封 闭图形。 从这个角度看，我们可以把三角形作为四面体的类比 对象。
例3 类比平面内直角三角形的勾股定理，试给出空间 中四面体性质的猜想。 P B 解：考虑到直角三角形的 两条边互相垂直，我们可 S a c S D 以选取有3个面两两互相 S F 垂直的四面体，作为直角 C b A E 三角形的类比对象。 如图，Rt△ABC中有勾股定理：a2+b2=c2。 类似地,在四面体P-DEF中，∠PDF= ∠PDE= ∠EDF=900。 设S1，S2，S3和S分别表示△PDF， △PDE， △EDF 和△PEF的面积。 直角三角形有2条直角边a，b和1条斜边c，类似于四面 体P-DEF有3个“直角面” S1，S2，S3和1个“斜面”S.
1 类比的结论是什么？ 2 请对以上结论进行探究。
射线OP , OQ 和OR上分别存在点P ， ，点Q， ， 1 P2 1 Q2 和点R 1 R2
O P1 P2 P O1 R1 R2 R Q O3
Q1
Q2
O2
同样地，类比推理所得的结论也不一定可靠。 例如，
“平面内，同时垂直于一条直线的两条直线互相平行”
据说春秋时代鲁国的公输班（后人称鲁班， 被认为是木匠业的祖师）一次去林中砍树 时被一株齿形的茅草割破了手，这桩倒霉 事却使他发明了锯子.
鲁班的思路是这样的：
茅草是齿形的；
茅草能割破手. 它也可以是齿形的. 这个推理过程是归纳推理吗？
我需要一种能割断木头的工具；
地球
火星
行星、围绕太阳运行、绕 行星、围绕太阳运行、绕 轴自转 轴自转 有大气层 有大气层 一年中有四季的变更 一年中有四季的变更 大部分时间的温度适合地 球上某些已知生物的生存
从一般性的命题推演出特殊性命题的推理 方法，称为演绎推理．
注： １．演绎推理是由一般到特殊的推理； ２．“三段论”是演绎推理的一般模式；如 下： 1.所有的金属都能导电, 大前提 小前提 因为铜是金属, 结论 所以铜能够导电. 2.三角函数都是周期函数, 因为tan 是三角函数, 所以tan 是周期函数
都是质数，于是他用归纳推理提出猜想：任何形如 2n * 2 1(n N ) 的数都是质数。 ——这就是著名的费马猜想。 半个世纪之后，善于计算的欧拉发现，第5个费马数
21
22
23
24
F5 2 1 4294967297 641 6700417
不是质数，从而推翻了费马的猜想。
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且仅有两条直线互相平行,任意三条直线不过同一点.若 用f(n)表示这n条直线交点的个数, f(4)=
1 时,f(n)= ( n 2)( n 1) .(用n表示) 2
5
,当n>4
f (4) f (3) 3 f (5) f (4) 4
f (6) f (5) 5
f (n) f (n 1) n 1
判断下列推理是否是合情推理
1.所有的金属都能导电, 因为铜是金属, 所以铜能够导电. 2.一切奇数都不能被2整除, 因为(2100+1)是奇数, 所以(2100+1)不能被2整除. 3.三角函数都是周期函数, 因为tan 是三角函数, 所以tan 是周期函数
我们常以某些一般的判断为前提，得出一些个别 的、具体的判断。
归纳推理的定义:
由某类事物的部分对象具有某些特征,推