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计算机辅助几何设计含参数保形有理样条插值计算机辅助几何设计（Computer-Aided Geometric Design，简称 CAGD）是计算机科学、数学和工程的交叉学科，它的发展历程可以追溯到20世纪70年代。
CAGD主要是利用计算机帮助人们完成各种几何设计任务，如曲线拟合、曲面建模、数据可视化等等。
其中，参数保形有理样条插值是CAGD中的一种基本技术之一，下面我们将对其进行详细介绍。
一、CAGD简介计算机辅助几何设计是一种利用计算机技术进行几何建模、分析、验证和制造的方法。
CAGD的应用范围非常广泛，涵盖了工业设计、航空航天、汽车制造、医学医疗、艺术设计等领域。
通过CAGD的技术手段，可以在计算机上创建数学模型，并对其进行几何变换、仿真分析、优化求解等操作，从而提高设计效率和质量。
CAGD的发展历程可以追溯到20世纪70年代，当时计算机的性能和软件工具都比较有限，所以主要应用于科学计算和工程仿真领域。
随着计算机技术的飞速发展，CAGD的应用范围也越来越广泛，涌现出了许多优秀的方法和算法，如Bezier曲线、B样条曲线、NURBS曲面、三角网格模型等等。
二、参数保形有理样条插值有理样条曲线是一种常用的数学曲线，它可以用来表示各种形状的曲线和曲面。
和其他曲线表示方法相比，有理样条曲线具有重要的优点，如良好的几何性质、局部控制性能、优秀的逼近性能等等。
参数保形有理样条插值是有理样条曲线中的一种插值方法，它可以通过已知的插值点来构造一条参数保形的有理样条曲线。
插值问题是求解函数$f(x)$在一些已知点$x_i$处的函数值$f(x_i)$的问题。
对于一些简单的函数，这个问题可以直接求解。
但是对于复杂的函数，如曲线和曲面，这个问题并不容易解决。
在实际应用中，经常需要求解一条曲线通过已知点，并且曲线在每个插值点处具有特定的曲率、斜率等属性。
这个问题就可以通过参数保形有理样条插值方法来解决。
参数保形有理样条插值是一种基于控制点的插值方法。
几何造型技术的名词解释几何造型技术是一种应用数学几何学原理和方法，用于描述和呈现物体形状和结构的技术。
在现代科技领域，几何造型技术被广泛应用于计算机图形学、工程设计、建筑设计、汽车设计、航空航天等领域。
1. CAD（计算机辅助设计）CAD是几何造型技术的重要应用之一。
它使用计算机软件辅助进行图形设计和模型构建。
通过CAD软件，设计师可以轻松创建三维模型，并进行模拟和分析。
CAD技术大大提高了设计效率和精确度，并广泛应用于工业制造、建筑设计等领域。
2. 曲线和曲面造型曲线和曲面造型是几何造型技术中常用的方法。
曲线可以用来描述二维图形的形状，曲面则用于描述三维物体的形状。
常见的曲线造型方法包括贝塞尔曲线、B样条曲线等，而曲面造型方法则有贝塞尔曲面、B样条曲面等。
这些方法能够准确描述复杂物体的形状，并为后续的分析和加工提供基础。
3. 多边形网格多边形网格是一种常用的离散化表示方法，用于描述三维物体的表面。
它将物体的表面划分成由三角形或四边形组成的网格结构，每个网格点都有自己的坐标和法线向量。
多边形网格可以通过各种技术生成，如手动建模、扫描、造型软件生成等。
它广泛应用于计算机图形学、三维建模等领域。
4. 网格编辑和细分网格编辑和细分是几何造型技术中常用的操作。
在网格编辑过程中，设计师可以对多边形网格进行修改，包括添加、删除或移动网格点等操作，从而调整物体的形状。
而网格细分则是通过对网格进行逐步细化，使其更加平滑和精细。
这些操作可以帮助设计师创建更加复杂和精美的几何模型。
5. 参数化造型参数化造型是一种通过调整参数值来自动生成不同形状的技术。
设计师可以通过改变一些参数值，如长度、角度、比例等，从而快速生成不同形态的模型。
参数化造型技术在计算机辅助设计中经常使用，它提供了一种高效、灵活的方式来生成各种形状。
6. 隐式曲面隐式曲面是一种通过数学方程来描述几何形状的技术。
它可以通过一个或多个方程来表示曲面的形状，而不需要用户指定具体的曲面边界。
计算机辅助几何造型技术主讲教师：秦开怀教授、博导qkh-dcs@所在单位：清华大学计算机科学与技术系 时间：2007年9月~2008年1月Textbooks/ReferencesJ. Hoschek& D. Lasser, Fundamentals of Computer Aided Geometric Design A K Peters Computer Aided Geometric Design, A K Peters, Ltd, Massachusetts, 1993.David F Rogers Introduction to NURBS Morgan David F Rogers,Introduction to NURBS, Morgan Kaufmann,2001.L Piegl&W Tiller The NURBS Book(2L. Piegl & W. Tiller, The NURBS Book (2nd Edition), Springer-Verlag Berlin Heidelberg, NewYork, 1997.York1997Carl deBoor, A Practical Guide to Splines, New York, Springer Verlag, 1978.York Springer-Verlag1978(Continued)M. E. Mortenson, Geometric Modeling , J h W l &S I 1985John Waley & Sons, Inc., 1985. G. Farin, Curves and Surfaces for ,Computer Aided Geometric Design (5th Edition), Elsevier Inc., 2002.(李双喜译，),,(CAGD 曲线曲面，科学出版社，2006）E J Stollnitz T DeRose &D H Salesin E. J. Stollnitz, T. DeRose & D. H. Salesin, Wavelets for Computer Graphics, Theory & Morgan Kaufmann PublishersApplications , Morgan Kaufmann Publishers, Inc., San Francisco, 1996.(Continued)Denis Zorin & Peter Schroder, Subdivision for M d li d A i ti SIGGRAPH 2000Modeling and Animation , SIGGRAPH 2000 Course Notes #23, 2000. R. Barzel, Physically-Based Modeling for Computer Graphics, A Structured Approach,Academic Press, Inc., San Diego, 1992.D. N. Metaxas, Physic-Based Deformable ,yModels, Applications to Computer Vision, Graphics & Medical Imaging , Kluwer Academicp g g ,Publishers, Massachusetts, 1997.(Continued)Donald Hearn & M.Pauline Baker, C t G hi ith O GL (Thi d Computer Graphics with OpenGL (Third Edition), Pearson Education, 2004 (中译本赫恩等著本：赫恩等著, 蔡士杰等译,《计算机图形学（第三版）》, 电子工业出版社, 200506)2005-06.) J. D. Foley, et al, Computer Graphics: y,,p pPrinciples & Practice (2nd Edition in C),Addison-Wesley, Reading, MA, 1996.y,g,,G di P li Grading PolicyThree assignments 30%Discussions/learning in classroom 5% One project substituting for the final p j g examination 65%R kRemarksThe three assignment is to be completed individually on yourself, but discussions among fellow students areyourself but discussions among fellow students areallowed.The project substitutes for the final examination Two The project substitutes for the final examination. Twostudents can work together as a group.Absolutely no sharing or copying of any code for both Absolutely no sharing or copying of any code for boththe assignments and the project! Offenders will be givena failure grade and the case will be reported to theg pdepartment.You are welcome to turn off your mobile phone before You are welcome to turn off your mobile phone beforeattending lectures.This course concentrates on seven main issues:i iNURBS curves and surfaces (including Bezier, B-spline curves and surfaces)gTriangular surfacesGordon-Coons surfacesSubdivision surfaces of arbitrary topologySubdivision surfaces of arbitrary topologyThe 2nd generation wavelets for multi-resolution modelingmodelingSolid modelingNew technology for geometric modelingContents of This Course1.Introduction2.∆Mathematic BasicsAffine mapsAffine mapsDivided differenceFunction spaceGeometric basics from curves and surfaces 3.∆Interpolatory Polynomial SplinesHermite interpolationHermite interpolationContents of This Course Contents of This Course (Continued)Quadric polynomial spline curvesCubic polynomial spline curvesSolving a linear system of equations with a g y q tridiagonal coefficient matrix Cubic parametric spline curves Cubic parametric spline curves4.*Bezier Curves and Surfaces Bezier curves defined by edge vectorsBernstein-Bezier curvesProperties of Bernstein-Bezier curves(Continued)De Casteljau algorithmDi t ti f B iDiscrete generation of Bezier curvesDegree elevation of Bezier curvesD d i f B iDegree reduction of Bezier curvesBezier spline curvesBezier interpolation curvesMatrix formula of Bezier curvesRational Bezier curvesProduct & inner product of Bezier curves Bezier surfaces(Continued)5.*B-spline Curves and SurfacesB-spline basis functions and their p ppropertiesB-spline curvesOpen curves and knot vectorsOpen curves and knot vectorsUniform B-spline curvesEndpoint interpolating B spline curves Endpoint interpolating B-spline curvesClosed B-spline curves(Continued)Chaikin algorithmDe Boor algorithmInserting knots in B-spline curves Inserting knots in B spline curvesBoehm algorithmOlso algorithmGeneral knot insertion for B-spline curvesDegree elevation of B-spline curves Degree elevation of B-spline curvesMarsden identity and recursive degree elevationPrautzsch algorithm(Continued)Arbitrarily high degree elevation for B-spline curvesDegree reduction of B-spline curvesB-spline surfacesInterpolating B-spline curves and p g p surfaces Matrix formulas of B-spline curves and Matrix formulas of B spline curves and surfaces(Continued)Matrix formula of uniform B_spline curvesMatrix formula of non-uniform B_splines Inner product of B-spline curvesGeneralized Marsden identityB-spline curve productInner product of B-spline basis functionsInner product of B-spline curves6.*NURBS Curves and SurfacesNURBS curvesNURBS curvesRepresenting conics using NURBS(Continued)Parameterization of curvesfNURBS surfacesRepresenting quadrics using NURBS surfacesfInterpolating NURBS curves and surfaces 7.Blossoming PrincipleLooking at de Casteljau algorithm from a Looking at de Casteljau algorithm from a blossoming point of viewKnot insertion from a blossoming point of Knot insertion from a blossoming point of view(Continued)Generating de Boor points based on the blossoming principleblossoming principleDegree raising of B-spline curves by blossoming8.* Triangular SurfacesBarycentric coordinatesgTriangular Bezier surfacesContinuity conditions for triangular Bezier ppatchesRational Triangular surfaces(Continued)9.*Gordon-Coons SurfacesCoons surfacesGordon-Coons surfaces on rectanglesGordon-Coons surfaces on triangles0Subd s o Su a s o b a y 10.*Subdivision Surfaces of ArbitraryTopologyCatmull-Clark surfacesCatmull-Clark surfacesDoo-Sabin surfacesContinuity of uniform subdivision surfaces Continuity of uniform subdivision surfacesNon-uniform subdivision surfaces(Continued)Convergence and continuity of non-uniform subdivision surfaces11.*The 2nd Generation Wavelets forMulti-resolution modelingMulti-resolution modelingB-spline wavelets for Multi-resolution modeling Endpoint interpolating B-spline wavelets Endpoint interpolating B-spline waveletsArbitrary Non-uniform B-spline waveletsB-spline wavelets with constraintsB spline wavelets with constraintsSubdivision-based Surface waveletsLoop Subdivision WaveletsCatmull-Clark Subdivision Wavelets√3-subdivision-based Bi-orthogonal Wavelets(Continued)12.∆Scattered Data Interpolation13.*Intersections of Curves and Surfaces14.Solid Modeling14*Solid Modeling15.Parameterization Modeling for ShapeDesign and Feature-based Modeling 16.New Technology for Geometric 16.*New Technology for GeometricModelingHierarchical B splinesHierarchical B-splinesPhysics-based modelingContents of This Course Contents of This Course (Continued)Modeling fractalized scenes (mountains,f lowers etc.)Particle system for modeling fires, clouds, water, forests etc.1.Introduction1. IntroductionSome Applications of CAGDRepresentation of large data setsVisualizing productsAutomatically producing sectionalAutomatically producing sectional drawingsModeling surfaces arising inModeling surfaces arising in construction of cars, ships & airplanesDesigning pipe systems, e.g. in chemical plants(continued)Drawing marine charts and city and relief i h maps in cartographyProduction and quality control, e.g. in q y ,g the sewing machine, textile and shoe industriesPlanning and controlling surgery Creating images in advertising television Creating images in advertising, television and film industries(continued)Constructing virtual environmentsDescribing robot paths and controlling their movementstheir movementsControlling milling machines used in manufacturingCurve modeling with constrained B-spline wavelets 保特征点的多分辨率曲线造型29曲线的多分辨率分段无缝表示30细分曲面带约束的样条曲面小波左图是采用经典B 样条曲面小波分片多分辨率表示的结果,右图是采用带约束B 的样条曲面小波分片多分辨率表示的结果,其中约束施加在接合线处。
自由曲线曲面造型技术
自由曲线曲面造型技术是一种高级的设计工具，它可以让设计师以非常灵活的方式构建起各种曲线曲面形状。
这种技术通常在工业设计、汽车设计、航空航天设计、建筑设计等领域中被广泛应用。
通过使用自由曲线曲面造型技术，设计师可以更加自由地控制曲线曲面的形态和特征，从而实现更加精细的设计。
自由曲线曲面造型技术通常需要使用专业的软件来实现，其中比较常见的软件包括CATIA、SolidWorks、Rhino、Alias等。
这些软件可以提供各种曲线曲面建模工具和功能，例如NURBS曲线、Bezier
曲面、B样条曲线等。
设计师可以使用这些工具来创建、编辑和操纵曲线曲面，实现各种复杂的形状和结构。
自由曲线曲面造型技术的应用范围非常广泛，可以用于设计各种产品和构件。
例如，在汽车设计中，设计师可以使用自由曲线曲面造型技术来实现汽车的车身造型，从而实现更加美观和动态的外观。
在建筑设计中，设计师可以使用自由曲线曲面造型技术来创造独特的建筑形态和空间感受。
在航空航天设计中，设计师可以使用自由曲线曲面造型技术来打造更加流线型的飞机外形，从而提高其飞行效率和性能。
总之，自由曲线曲面造型技术是一种非常强大和灵活的设计工具，它可以为设计师提供更多的创意和自由度，帮助他们实现更加复杂和精细的设计。
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计算机辅助几何设计专业介绍计算机辅助几何设计（Computer Aided Geometric Design,简写为CAGD）主要研究曲面造型的数学基础理论与方法。
1974年在美国的Utah大学举行了名为CAGD的学术会议，这次会议标志着CAGD作为计算数学的一个分支学科正式建立。
上世纪八十年代初，中国科学技术大学数学系的常庚哲教授和冯玉瑜教授分别在美国Utah大学、Brown大学和Wisconsin大学系统学习CAGD、样条函数和函数逼近论等最新进展。
随后两人相继回到中国科大，于1982年招收了第一批硕士研究生。
他们的归国与合作，标志着数学系CAGD研究小组的正式建立。
初期，CAGD研究小组在曲面的保形与逼近、三角域上的Bernstein-Bézier 曲面、样条函数等方面取得了一系列令国内外同行所关注的成果，曾获得中科院自然科技成果二等奖。
常庚哲教授于1984年到2000年一直担任国际刊物《Computer Aided Geometric Design》的编委，并于2007年在第三届全国几何设计与计算学术会议上获得由中国工业与应用数学学会几何设计与计算专业委员会颁发的首届“中国几何设计与计算贡献奖”。
研究小组与美国和欧洲等地的学者建立了广泛的国际联系。
近十年来，随着常庚哲教授和冯玉瑜教授相继退休，本研究小组队伍大大年轻化，形成了以陈发来、邓建松教授为主的年轻学术梯队，其中陈发来教授2002年获得国家杰出青年基金，并担任国际著名期刊《The Visual Computer》以及多个国内期刊的编委，多次担任国际会议的程序委员。
本小组继承了常庚哲、冯玉瑜教授开创的传统，在以计算代数几何为工具进行几何造型方面做了有特色的工作。
近几年来在以下几方面做了较为系统的研究：（1）分片代数曲面造型：通过系统学习计算代数几何的理论，提出了各种应用计算代数几何理论构造分片代数曲面的算法框架。
最近又基于优化的理论，提出了隐式曲面重构的新型算法，解决了以往方法中剖分难以构造等困难。
计算机辅助几何造型技术第三版课程设计一、课程设计背景在计算机科学技术的发展中，计算机辅助设计技术已经成为现代设计领域中不可或缺的一部分。
几何造型技术是计算机辅助设计领域中的一项重要技术，可以应用于建筑设计、汽车设计、航空航天设计等各个领域。
计算机辅助几何造型技术第三版课程旨在通过教授基本几何造型原理和使用几何造型软件进行实践操作来培养学生计算机辅助几何造型技术的实践能力和理论思维能力。
二、课程设计目标本课程设计的目标，主要是使学生掌握几何造型技术的使用和基础原理，培养学生的计算机辅助设计能力。
具体可分为以下几个方面：1.学习几何造型原理，能够进行简单的几何造型计算；2.掌握几何造型软件的使用方法，能够进行简单的几何造型设计；3.通过实践操作，掌握几何造型的制作过程，培养实践能力；4.培养学生的团队合作意识和沟通能力，能够独立完成一个小型几何造型项目。
三、课程设计内容本课程设计内容主要包括以下几个部分：3.1 几何造型原理1.基础几何概念的回顾及其应用；2.几何体建模基础原理；3.自由曲面设计基础原理。
3.2 几何造型软件1.几何造型软件的种类及其使用方法；2.SolidWorks软件的使用方法；3.Pro/E软件的使用方法；4.AutoCAD软件的使用方法。
3.3 实践操作1.设计小型几何形体；2.计算几何体表面积和体积；3.制作自由曲面模型；4.进行网格优化和细化。
3.4 项目实践1.小组项目设计；2.撰写终稿及展示。
四、考核方式本课程设计的考核方式将通过以下几种方式来完成：1.期中考试：占总成绩的40%；2.课程作业：占总成绩的30%；3.项目评估：占总成绩的20%；4.课堂表现：占总成绩的10%。
五、总结通过本次计算机辅助几何造型技术第三版课程设计的学习和实践操作，学生可以掌握基本几何造型原理，能够进行简单的几何造型计算，并且掌握几何造型软件的使用方法，能够进行简单的几何造型设计。
在项目实践中，学生将获得更加完整和深入的实践体验，可以培养学生实践能力和团队合作意识。
