计算机辅助几何设计期末论文姓名班级学号一、Coons曲面1、基本概念假定参数曲面片方程为，P(u,v),u,v[0,1]参数曲线P(u,0),P(u,1),P(0,v),P(1,v)称为曲面片的四条边界,P(0,0),P(0,1),P(1,0),P(1,1)称为曲面片的四个角点。
P(u,v)的u向和v向求偏导矢有：分别称为u线上和v线上的切矢。
边界线P(u,0)上的切矢为：同理，Pu(u,1),Pv(0,v),Pv(1,v)也是边界线上的切矢。
曲面示意图边界曲线P(u,0)上的法向（指参数v向）偏导矢：称为边界曲线的跨界切矢，同理，Pv(u,1),Pu(0,v),Pu(1,v)也是边界曲线的跨界切矢。
称为角点P(0,0)的u 向和v 向切矢，在曲面片的每个角点上都有两个这样的切 矢量。
称为混合偏导矢或扭矢，它反映了Pu 对v 的变化率或Pv 对u 的变化率。
同样，称为角点的扭矢，显然，曲面片的每个角点都有这样的扭矢。
2、曲面表示法与记号1) 曲面上的点（x,y,z ）可表示为双参数u 和w 的函数平P(u,w)： ()()()()[]w u z w u y w u x w u P ,,,,,,= []1,0,∈w u 2) 令w w =，则()0,w u P 是曲面上一条以u 为参数的曲线，称为u 向线或u 线。
w 的值由0变化到1，可得到一组u 向线，由此构成整张曲面片，类似地，参数u 由0变化到1，可得到一组w 向线，同样构成了整张曲面片。
3) 曲面片的四条边界曲线为P(u,0),P(u,1),P(0,w)和P(1,w)。
4) 曲面片的四个角点为P(0,0),P(0,1),P(1,0)和P(1,1). 3、插值四个角点的双线性曲面给定四个角点P(0,0),P(0,1),P(1,0)和P(1,1),则可按下式定义一双线性曲面Q(u,w):()()()()()()()()()uw P w u P w u P w u P w u Q 1,110,111,0110,0,+-+-+--=(1.1)显然上式满足给定的约束条件：()()()()()()()()1,11,1,0,10,1,1,01,0,0,00,0P Q P Q P Q P Q ≡≡≡≡4、线性插值两条边界的曲面给定两条边界P(u,0)和P(u,1)，可在其间构造一线性曲面()w u Q ,1：()()()()w u p w u P w u Q 1,10,,1+-= (1.2)显然，()()0,0,1u P u Q ≡，()()1,1,1u P u Q ≡。
类似地，可构造插值与另两边界P(0,w)和P(1,w)的线性曲面()w u Q ,2：()()()()u w p u w P w u Q ,11,0,2+-= (1.3)上述两式就是用Coons 方法定义的直纹面。
5、双线性Coons 曲面如果给定四条在空间围成封闭曲边四边形的参数曲线，P(u,0),P(u,1), P(0,v),P(1,v)，如图3.5.1，怎样构造一张参数曲面P(u,v),u,v [0,1]，使得以给定的四条参数曲线为边界？图3.5.1问题的解有无穷多个，我们来看一种最简单的情况。
首先，在u 向进行线 性插值，可以得到以P(0,v)和P(1,v)为边界的直纹面P1(u,v),，如3.5.2(a)：如3.5.2(a)再在v向进行线性插值，可以得到以P(u,0)和P(u,1)为边界的直纹P2(u,v), 如图3.5.2(b）如果把和迭加，产生的新曲面的边界是除给定的边界外，迭加了一个连接边界两个端点的直边。
为此，我们再构造分别过端点P(0,0)、P(0,1)及P(1,0、P(1,1)的双线性曲面容易验证便是所要求构造的曲面，称之为双线性Coons曲面片。
可进一步改写成矩阵的形式：观察，可以发现：对曲面片满足边界条件的要求提高一阶，曲面方程中的边界信息矩阵就要扩大二阶，并且要多用一对调和函数；边界信息矩阵的 第一行与第一列包含着全部给定边界信息；余下的子方阵则包含着角点信息。
认识了这些规律后，就能容易地构造出满足更高阶边界条件的Coons 曲面方程。
二、Bezier 曲面1，双三次Bezier 曲面定义一张双三次Bezier 曲面需16个控制顶点，式(2.1)为该顶点⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=C SCD SDC D SCB TC TD SDA SBC TB TA SAD B SBA SAB AV (2.1) V 称为定义双三次Bezier 曲面的特征多边形网格，双三次Bezier 曲面的形成过程如下：1) 由式(2.1)中的四个列阵生成四条三次Bezier 曲线()u S 0，()u S 1，()u S 2和()u S 3，表示为()()()()[]()()()[]V u u u u u u u S u S u S u S 3223321013131---=[]1,0∈u (2.2) 2) 给定任一u ，设1u u =，[]1,01∈u ，则可在上述四条曲线上分别得到点()10u S ，()11u S ，()12u S 和()13u S ，它们构成了一个新的多边形，该多边形在w 向定义了一条新的三次Bezier 曲线()w u P ,1：()()()()()[]()()()⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---=322313121110113131,w w w w w w u S u S u S u S w u P (2.3)取任意一w ，如1w w =，[]1,01∈w ，则可求得曲线()w u P ,1上的一个点()11,w u P 。
实际上，()11,w u P 就是曲面上与参数()11,w u 对应的一个点。
3) 当参数u 和w 在0到1上的区间上遍历时，就构成了整张双三次Bezier 曲面。
我们可以将式(2.3)表示成更一般的形式，即()()()()[]()()()TT WUBVB w w w w w w V u u u u u u w u P =⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡------=322332231313113131,(2.4)式中[][],1,12323w w w W u u u U == []1,0,∈w u⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----=0001003303631331B式(2.4)即为双三次Bezier 曲面的表达式，对该表达式做适当推导，可得到有关双三次Bezier 曲面的若干结论：(1),特征多边形网格的四个角点的A,B,C 和D 落在曲面的四角，其他顶点一般不在曲面上。
(2),多边形网格的四个边界多边形定义了曲面的四条边界。
(3),网格的四个内部顶点TA,TB,TA 和TD 不影响边界曲线的形状，但影响曲面的跨界切失和跨界曲率，从而影响曲面的内部形状。
(4),SBA,SAB,…等定义了角点处沿相应参数方向的切失。
2，有理Bezier 曲面 有理Bezier 曲面的表达式为()()()()()∑∑∑∑=====m i nj ijnj mi ij ij nj m i nj mi W w B u B V W w B u B w u P 000, (2.5)式中m,n 分别为曲面沿u,w 方向的幂次；()⋯=1,0,i u B mi ，m 为u 向Bernstein 基函数族； ()⋯=1,0,j w B nj ，n 为w 向Bernstein 基函数族；()n j m i V ij ,,1,0,,,1,0⋯=⋯=，为特征多边形网格顶点； ()n j m i W ij ,,1,0,,,1,0⋯=⋯= 为与顶点ijV 对应的权因子。
三、B 样条曲面1，双三次B 样条曲面的形成双三次B 样条曲面片包含16个顶点的特征网格定义，令网格为V ：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=44434241343332312423222114131211V V V V V V V V V V V V V V V V V网格V 的任意行或任意列都构成一个特征多边形设首先按上述网格V 中的行构造w 向的曲线，则可得四条B 样条曲线()w Q i ：()()4,3,2,1,413,==∑=i V w B w Q j ij j i (1.3) 式中()w B j 3,为与顶点ijV 对应的B 样条基函数；ijV 为控制顶点。
当参数w 在[0,1]内取值1w 时，则可分别在曲线()w Q 1，()w Q 2，()w Q 3和()w Q 4上得到四个点1q ，2q ，3q 和4q 。
若以该四个点作为新的特征多边形顶点再构造u 向的B 样条曲面()l w u P ,：()()()1413,,w Q u B w u P j j j l ∑== (3.2)则()l w u P ,为曲面片上的一条曲线，当u 和w 再[0,1]之间遍历时，就可得到一张双三次B 样条曲面片。
由曲面片的形成过程，可以写出双三次均匀B 样条曲面片的方程为()TT W UBVB w u P =, (3.3) 式中[]123u u u U =， []123w w w W =；⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=44434241343332312423222114131211V V V V V V V V V V V V V V V V V⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----=014103030363133161B 2， 二次有理B 样条曲面 二次有理B 样条曲面片可表示为()()()()()∑∑∑∑=====2022,2,2,20202,,i j ijj i ij ij j i j i W w B u B V W w B u B w u P (3.4)式中()u B i 2,，()w B j 2,分别是沿参数u 和w 方向的B 样条基函数；ijV 和ijW 分别为控制顶点网格及其权因子。
式(3.4)亦可表示为矩阵形式：()[]⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--⨯⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=1011022121011022121141,22222212120201212111110100202010100002w w V W V W V W V W V W V W V W V W V W u u W U WP (3.5) 显然，二次有理B 样条曲面的四条边界P(u,0)，P(u,1)，P(0,w)和P(1,w)均为二次有理B 样条曲线，每条u 线和w 线也都是二次有理B 样条曲线。
四、细分曲面细分方法就是根据给定初始多边形(网格)，计算一个细化的多边形(网格)序列，此序列收敛到一张极限曲线(曲面)。
通过插入新点，并按一定的规则与已有的多边形(网格)点相连，得到一个新的细化多边形(网格)。
