2.3.2平面与平面垂直的判定及习题课

2.3.2平面与平面垂直的判定一、基础巩固1.下列说法：①两个相交平面所组成的图形叫做二面角;②二面角的平面角是从棱上一点出发，分别在两个面内作射线所成的角;③二面角的大小与其平面角的顶点在棱上的位置有关系.其中说法正确的个数是()A.0B.1C.2D.32.如图，在三棱锥P-ABC中，P A⊥平面ABC，∠BAC=60°，则二面角B-P A-C的大小等于()A.90°B.60°C.45°D.30°3.对于直线m，n和平面α，β，能得出α⊥β的一个条件是()A.m⊥n，m∥α，n∥βB.m⊥n，α∩β=m，n⊂αC.m∥n，n⊥β，m⊂αD.m∥n，m⊥α，n⊥β4.如图，AB是圆的直径，P A⊥AC，P A⊥BC，C是圆上一点(不同于A，B)，且P A=AC，则二面角P-BC-A的平面角为()A.∠P ACB.∠CP AC.∠PCAD.∠CAB5.如图，在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD为正方形，SA⊥平面ABCD，AC与BD相交于点O，点P是侧棱SC上一动点，则一定与平面PBD垂直的平面是()A.平面SABB.平面SACC.平面SCDD.平面ABCD6. 如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，截面C1D1AB与底面ABCD所成的二面角C1-AB-C 的大小为.7.经过平面α外一点和平面α内一点与平面α垂直的平面有个.8.如图，在三棱锥P-ABC中，已知P A⊥PB，PB⊥PC，PC⊥P A，则在三棱锥P-ABC的四个面中，互相垂直的面有对.9.如图，在四棱锥P-ABCD中，P A⊥平面ABCD，底面ABCD是直角梯形，AB⊥AD，CD⊥AD.求证：平面PDC⊥平面P AD.二、能力提升1.如果直线l，m与平面α，β，γ满足：l=β∩γ，l∥α，m⊂α和m⊥γ，那么必有()A.α⊥γ，且l⊥mB.α⊥γ，且m∥βC.m∥β，且l⊥mD.α∥β，且α⊥γ2.在四棱锥P-ABCD中，已知P A⊥底面ABCD，且底面ABCD为矩形，则下列结论中错误的是()A.平面P AB⊥平面P ADB.平面P AB⊥平面PBCC.平面PBC⊥平面PCDD.平面PCD⊥平面P AD3.如果一个二面角的两个半平面分别垂直于另一个二面角的两个半平面，那么这两个二面角()A.相等B.互补C.相等或互补D.大小关系无法确定4.如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，BC=2，AA1=1，E，F分别在AD和BC上，且EF∥AB.若二面角C1-EF-C等于45°，则BF=.5.如图，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，AB=AC=1，将△ABC沿斜线BC上的高AD 折叠，使平面ABD⊥平面ACD，则BC=.6.如图，已知在三棱锥P-ABC中，D，E，F分别为棱PC，AC，AB的中点，P A⊥AC，P A=6，BC=8，DF=5.求证：(1)直线P A∥平面DEF;(2)平面BDE⊥平面ABC.7.如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为1的菱形，∠BCD=60°，E是CD的中点，P A⊥底面ABCD，P A=√3.(1)求证：平面PBE⊥平面P AB;(2)求二面角A-BE-P的大小.【参考答案】一、基础巩固1.【答案】A2.【解析】因为P A⊥平面ABC，所以P A⊥AB，P A⊥AC.所以∠BAC是二面角B-P A-C的平面角.又∠BAC=60°，则二面角B-P A-C的平面角是60°.【答案】B3.【解析】∵m∥n，n⊥β，∴m⊥β.又m⊂α，∴α⊥β.【答案】C4.【解析】因为AB为圆的直径，所以AC⊥BC.因为P A⊥BC，AC∩P A=A，所以BC⊥平面P AC.所以BC⊥PC.所以∠PCA为二面角P-BC-A的平面角.【答案】C5.【解析】∵在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD为正方形，∴BD⊥AC.∵SA⊥平面ABCD，∴SA⊥BD.∵SA∩AC=A，∴BD⊥平面SAC.∵BD⊂平面PBD，∴平面PBD⊥平面SAC.故选B.【答案】B6.【解析】∵AB⊥BC，AB⊥BC1，∴∠C1BC为二面角C1-AB-C的平面角，其大小为45°.【答案】45°7.【解析】设平面α外的一点为A，平面α内的一点为B，当直线AB垂直于平面α时，经过直线AB的任意一个平面均垂直于平面α，即此时有无数个;当直线AB与平面α相交但不垂直时，过点A作直线AC垂直于平面α，则直线AC仅有一条，由于直线AC和AB是两条相交直线，则AB和AC确定一个平面且该平面垂直于平面α，此时仅有一个与平面α垂直的平面.【答案】1个或无数8.【解析】因为P A⊥PB，P A⊥PC，PB∩PC=P，所以P A⊥平面PBC.因为P A⊂平面P AB，P A⊂平面P AC，所以平面P AB⊥平面PBC，平面P AC⊥平面PBC.同理可证平面P AB⊥平面P AC.【答案】39.证明：因为P A⊥平面AC，CD⊂平面AC，所以P A⊥CD.因为CD⊥AD，P A∩AD=A，所以CD⊥平面P AD.因为CD⊂平面PDC，所以平面PDC⊥平面P AD.二、能力提升1.【解析】∵m⊂α，m⊥γ，∴α⊥γ.∵l=β∩γ，∴l⊂γ，∴m⊥l.【答案】A2.【解析】因为底面ABCD是矩形，所以AB⊥AD.因为P A⊥平面AC，AB⊂平面AC，所以AB⊥P A.而AD∩P A=A，所以AB⊥平面P AD.因为AB⊂平面P AB，所以平面P AB⊥平面P AD.同理可证，平面P AB⊥平面PBC，平面PCD⊥平面P AD.【答案】C3.【解析】如图，平面EFDG⊥平面ABC，当平面HDG绕DG转动时，平面HDG始终与平面BCD垂直，因为二面角H-DG-F的大小不确定，所以两个二面角的大小关系不确定.【答案】D4.【解析】因为AB⊥平面BC1，C1F⊂平面BC1，CF⊂平面BC1，所以AB⊥C1F，AB⊥CF.又EF∥AB，所以C1F⊥EF，CF⊥EF，所以∠C1FC是二面角C1-EF-C的平面角，即∠C1FC=45°，所以△FCC1是等腰直角三角形，所以CF=CC1=AA1=1.又BC=2，所以BF=BC-CF=2-1=1.【答案】15.【解析】因为AD⊥BC，所以AD⊥BD，AD⊥CD，所以∠BDC是二面角B-AD-C的平面角.因为平面ABD⊥平面ACD，所以∠BDC=90°.连接BC，在△BCD中，∠BDC=90°，BD=CD=√22，所以BC=√(√22)2+(√22)2=1.【答案】16.证明：(1)因为D，E分别为棱PC，AC的中点，所以DE∥P A.又因为P A⊄平面DEF，DE⊂平面DEF，所以直线P A∥平面DEF.(2)因为D，E，F分别为棱PC，AC，AB的中点，P A=6，BC=8，所以DE∥P A，DE=12PA=3，EF=12BC=4.又因为DF=5，故DF2=DE2+EF2，所以∠DEF=90°，即DE⊥EF.又P A⊥AC，DE∥P A，所以DE⊥AC.因为AC∩EF=E，AC⊂平面ABC，EF⊂平面ABC，所以DE⊥平面ABC.又DE⊂平面BDE，所以平面BDE⊥平面ABC.7.(1)证明：如图，连接BD，由ABCD是菱形，且∠BCD=60°知，△BCD是等边三角形.因为E是CD的中点，所以BE⊥CD.又AB∥CD，所以BE⊥AB.又因为P A⊥平面ABCD，BE⊂平面ABCD，所以P A⊥BE.而P A∩AB=A，因此BE⊥平面P AB.又BE⊂平面PBE，所以平面PBE⊥平面P AB.(2)解：由(1)知BE⊥平面P AB，PB⊂平面P AB，所以PB⊥BE.又AB⊥BE，所以∠PBA是二面角A-BE-P的平面角.在Rt△P AB中，tan∠PBA=PAAB=√3，∠PBA=60°，故二面角A-BE-P的大小是60°.。

2.3.2平面与平面垂直的判定一、基础达标1．如果直线l，m与平面α，β，γ满足：l＝β∩γ，l∥α，m⊂α和m⊥γ，那么必有() A．α⊥γ且l⊥m B．α⊥γ且m∥βC．m∥β且l⊥m D．α∥β且α⊥γ答案A解析B错，有可能m与β相交；C错，有可能m与β相交；D错，有可能α与β相交．2．从空间一点P向二面角αlβ的两个面α，β分别作垂线PE，PF，E，F为垂足，若∠EPF ＝60°，则二面角的平面角的大小是()A．60° B．120°C．60°或120° D．不确定答案C解析若点P在二面角内，则二面角的平面角为120°；若点P在二面角外，则二面角的平面角为60°.3. 如图，在立体图形DABC中，若AB＝CB，AD＝CD，E是AC的中点，则下列说法中正确的是()A．平面ABC⊥平面ABDB．平面ABC⊥平面BDE，且平面ADC⊥平面BDEC．平面ABD⊥平面BDCD．平面ABC⊥平面ADC，且平面ADC⊥平面BDE答案B解析由条件得AC⊥DE，AC⊥BE，又DE∩BE＝E，∴AC⊥平面BDE，又AC⊂面ADC，AC⊂面ABC.∴平面ABC⊥平面BDE，平面ADC⊥平面BDE，故选B.4. 如图所示，四棱锥P－ABCD的底面ABCD是边长为a的正方形，侧棱P A＝a，PB＝PD ＝2a，则它的5个面中互相垂直的面有()A．2对B．3对C．4对D．5对答案D5. 如图，AB是圆的直径，P A垂直于圆所在的平面，C是圆上一点(不同于A、B)且P A＝AC，则二面角PBCA的大小为()A．60° B．30°C．45° D．15°答案C解析由条件得：P A⊥BC，AC⊥BC又P A∩AC＝C，∴BC⊥平面P AC，∴∠PCA为二面角PBCA的平面角．在Rt△P AC中，由P A＝AC得∠PCA ＝45°，∴C对．6．已知三棱锥DABC的三个侧面与底面全等，且AB＝AC＝3，BC＝2，则二面角DBCA 的大小为________．答案90°解析如图，由题意知AB＝AC＝BD＝CD＝3，BC＝AD＝2.取BC的中点E，连接DE，AE，则AE⊥BC，DE⊥BC，所以∠DEA为所求二面角的平面角．易得AE＝DE＝2，又AD＝2，所以∠DEA ＝90°.7. 如图，在底面为直角梯形的四棱锥P ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC ＝90°，P A ⊥平面ABCD ，AC ∩BD ＝E ，AD ＝2，AB ＝23，BC ＝6.求证：平面PBD ⊥平面P AC .证明 ∵P A ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，∴BD ⊥P A .又tan ∠ABD ＝AD AB ＝33，tan ∠BAC ＝BCAB ＝3，∴∠ABD ＝30°，∠BAC ＝60°，∴∠AEB ＝90°，即BD ⊥AC . 又P A ∩AC ＝A ， ∴BD ⊥平面P AC .又BD ⊂平面PBD ，∴平面PBD ⊥平面P AC . 二、能力提升8．在正四面体P ABC 中，D 、E 、F 分别是AB 、BC 、CA 的中点，下面四个结论中不成立的是( )A ．BC ∥面PDFB ．DF ⊥面P AEC ．面PDF ⊥面ABCD ．面P AE ⊥面ABC 答案 C解析 如图所示，∵BC ∥DF ，∴BC ∥平面PDF .∴A 正确． 由BC ⊥PE ，BC ⊥AE ， ∴BC ⊥平面P AE .∴DF ⊥平面P AE .∴B 正确．∴平面ABC ⊥平面P AE (BC ⊥平面P AE )．∴D正确．9. 如图所示，已知六棱锥P ABCDEF的底面是正六边形，P A⊥平面ABC，P A＝2AB，则下列结论正确的是()A．PB⊥ADB．平面P AB⊥平面PBCC．直线BC∥平面P AED．直线PD与平面ABC所成的角为45°答案D解析∵P A⊥平面ABC，∴∠ADP是直线PD与平面ABC所成的角．∵六边形ABCDEF是正六边形，∴AD＝2AB，即tan∠ADP＝P AAD＝2AB2AB＝1，∴直线PD与平面ABC所成的角为45°，选D.10．在边长为1的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，把菱形沿对角线AC折起，使折起后BD＝32，则二面角BACD的大小为________．答案60°解析如图所示，由二面角的定义知∠BOD即为二面角的平面角．∵DO＝OB＝BD＝3 2，∴∠BOD＝60°.11. 如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，M，N分别是A1B1，BC，C1D1和B1C1的中点．(1)求证：平面MNF⊥平面ENF；(2)求二面角M－EF－N的平面角的正切值．(1)证明 连接MN ，∵N ，F 均为所在棱的中点， ∴NF ⊥平面A 1B 1C 1D 1. 而MN ⊂平面A 1B 1C 1D 1， ∴NF ⊥MN .又∵M ，E 均为所在棱的中点，∴△C 1MN 和△B 1NE 均为等腰直角三角形． ∴∠MNC 1＝∠B 1NE ＝45°，∴∠MNE ＝90°， ∴MN ⊥NE .∴MN ⊥平面NEF . 而MN ⊂平面MNF ， ∴平面MNF ⊥平面NEF .(2)解 在平面NEF 中，过点N 作NG ⊥EF 于点G ，连接MG . 由(1)得知MN ⊥平面NEF ， 又EF ⊂平面NEF ，∴MN ⊥EF .又MN ∩NG ＝N ，∴EF ⊥平面MNG ，∴EF ⊥MG . ∴∠MGN 为二面角M －EF －N 的平面角． 设该正方体的棱长为2.在Rt △NEF 中，NG ＝NE ·NF EF ＝233，∴在Rt △MNG 中，tan ∠MGN ＝MN NG ＝2233＝62.∴二面角M －EF －N 的平面角的正切值为62. 三、探究与创新12. 已知三棱锥P ABC 中，∠ACB ＝90°，BC ＝4，AB ＝20.D 为AB 的中点，且△PDB 为等边三角形，P A ⊥PC .(1)求证：平面P AC ⊥平面ABC ； (2)求二面角DAPC 的正弦值．(1)证明 在Rt △ACB 中，D 是斜边AB 的中点， 所以BD ＝DA .因为△PDB 是等边三角形，所以BD ＝DP ＝BP ，则BD ＝DA ＝DP ， 因此△APB 为直角三角形，即P A ⊥BP . 又P A ⊥PC ，PC ∩BP ＝P ， 所以P A ⊥平面PCB .因为BC ⊂平面PCB ，所以P A ⊥BC . 又AC ⊥BC ，P A ∩AC ＝A ， 所以BC ⊥平面P AC ， 因为BC ⊂平面ABC ， 所以平面P AC ⊥平面ABC .(2)解 由(1)知P A ⊥PB 及已知P A ⊥PC ， 故∠BPC 即为二面角DAPC 的平面角． 由(1)知BC ⊥平面P AC ，则BC ⊥PC . 在Rt △BPC 中，BC ＝4，BP ＝BD ＝10，所以sin ∠BPC ＝BC BP ＝410＝25，即二面角DAPC 的正弦值为25.13. 如图所示，四棱锥P ABCD 的底面ABCD 是边长为1的菱形，∠BCD ＝60°，E 是CD 的中点，P A ⊥底面ABCD ，P A ＝ 3.(1)证明：平面PBE⊥平面P AB；(2)求二面角ABEP的大小．(1)证明如图所示，连接BD，由ABCD是菱形且∠BCD＝60°知，△BCD是等边三角形．因为E是CD的中点，所以BE⊥CD.又AB∥CD，所以BE⊥AB.又因为P A⊥平面ABCD，BE⊂平面ABCD，所以P A⊥BE.而P A∩AB＝A，因此BE⊥平面P AB.又BE⊂平面PBE，所以平面PBE⊥平面P AB.(2)解由(1)知BE⊥平面P AB，PB⊂平面P AB，所以PB⊥BE.又AB⊥BE，所以∠PBA是二面角ABEP的平面角．在Rt△P AB中，tan∠PBA＝P AAB＝3，∠PBA＝60°，故二面角ABEP的大小是60°.。

2. 3. 2平面与平面垂直的判定1. 了解二面角及其平面角的定义，并会 求简单二面角的大小.2. 理解两个平面互相垂直的定义.3. 理解两个平面垂直的判定定理，并能 用定理判定面面垂直・ 通过对二面角及平面与平面垂直判定 解决问题能力. 素养达成定理的学习，培养学生的观察、分析、目标导舟几课标要求新知导学•素养养成1・二面角⑴定义:从一条直线出发的两耶绳•啊］图形叫做二面角（如图）. _ 叫做二面角的棱, ________ 叫做二面角的面.直线AB 半平面a和卩当棱记为I时,可记作P-AB-Qa-l-p P-I-Qa(2)二面角的平面角：①定义:在二面角a ・l ・0的棱止任取一点0,如图所示，以点O 为垂足，在 分别作垂直于棱I 的射线OA 和0B 侧射线0A 和0B 构成的zAOB 叫做直角②直車f 彌吕附陌角是一的二面角. 思考1:楼I 与平请0AB 什么关系？ 答案：垂直. 二面角的平面角0 A B2.平面与平面垂直(1)面面垂直的定义①定义:如果两个平面相交，且它们所成的二面角是 ____ ，就说这两个平面互相雲直. 直二面角②画法：记作: _____C（丄0(2)判定定理思考2:垂直于同一个平面的两个平面什么关系？答案：平行或相交.名师点津(1) 二面角的平面角的定义是两条“射线”的夹角，不是两条直线的夹角,因此, 二面角e的取值范围是0。

<e<i80°•二面角的平面角体现了“空间问题平面化”的思想.(2) 尢理的奚键词是“过另一平面的垂线”，所以应用的关键是在平面内寻找另”个平面的垂线.课堂探究•素养提升题型一求二面角［例1］⑴如图，在正方体ABCD-A'B'CD中:①二面角D^-AB-D的大小为_____ ;②二面角A r-AB-D的大小为______ ;⑴解析:①在正方体ABCD-ABCD中,AB丄平面AD：所以AB丄AD；AB丄AD, 因此zD'AD为二面角D'-AB-D的平面角•在RMD'DA中,zD'AD二45：所以二面角D'-AB-D的大小为45°.②因为AB丄平面AD：所以AB丄AD,AB丄AA：因此zA'AD为二面角A f-AB-D 的平面角，又ZA'AD二90。

2.3.2 平面与平面垂直的判定1．设a，b是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列四种说法：①若a⊥b，a⊥α，则b∥α；②若a∥α，β⊥α，则a∥β；③若a⊥β，β⊥α，则a∥α；④若a⊥b，a⊥α，b⊥β，则β⊥α.其中正确的个数是()A．0个B．1个C．2个D．3个2．在空间四边形ABCD中，平面ABD⊥平面BCD，且DA⊥平面ABC，则△ABC是() A．直角三角形B．等腰三角形C．等边三角形D．等腰直角三角形3．已知α-l-β是直二面角，A∈α，B∈β，A，B∉l，设直线AB与α、β所成的角分别为θ1，θ2，则()A．θ1＋θ2＝90°B．θ1＋θ2≥90°C．θ1＋θ2≤90°D．θ1＋θ2<90°4．如图，在三棱锥P-ABC中，已知PC⊥BC，PC⊥AC，点E，F，G分别是所在棱的中点，则下面结论中错误的是()A．平面EFG∥平面PBCB．平面EFG⊥平面ABCC．∠BPC是直线EF与直线PC所成的角D．∠FEG是平面P AB与平面ABC所成二面角的平面角5．已知m、l是直线，α、β是平面，给出下列命题：(1)若l垂直于α内两条相交直线，则l⊥α；(2)若l平行于α，则l平行于α内的所有直线；(3)若m⊂α，l⊂β，且l⊥m，则α⊥β；(4)若l⊂β，且l⊥α，则α⊥β；(5)若m⊂α，l⊂β，且α∥β，则l∥m.其中正确的命题的序号是()A．(1)(2) B．(2)(3)C．(1)(3) D．(1)(4)6.如图，AB为圆O的直径，点C在圆周上(异于A，B两点)，直线P A垂直于圆O所在的平面，点M为线段PB的中点，有以下四个结论：①P A∥平面MOB；②MO∥平面P AC；③OC⊥平面P AB；④平面P AC⊥平面PBC.其中正确的结论是________．(填序号)7．三棱锥P-ABC的两个侧面△P AB与△PBC都是边长为a的正三角形且AC＝2a.则平面ABC与平面P AC的位置关系是________．8.如图，正方形BCDE的边长为a，已知AB＝3BC，将Rt△ABE沿BE边折起，点A在平面BCDE上的射影为点D，在翻折后的几何体中有如下结论：①AB与DE所成角的正切值是2；②AB∥CD；③平面EAB⊥平面ADE；④直线BA与平面ADE所成角的正弦值为3 3.其中正确的结论有________．(填序号)9．如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，A1B1＝A1C1，D，E分别是棱BC，CC1上的点(点D 不同于点C)，且AD⊥DE，F为B1C1的中点．求证：(1)平面ADE⊥平面BCC1B1；(2)直线A1F∥平面ADE.10．如图，在三棱台DEF-ABC中，AB＝2DE，G，H分别为AC，BC的中点．若CF⊥平面ABC，AB⊥BC，CF＝DE，∠BAC＝45°，求平面FGH与平面ACFD所成的角(锐角)的大小．参考答案1．【答案】B【解析】①中可能b∥α或b⊂α；②中可能有a∥β，a⊂β或a与β相交；③中可能a∥α，或a⊂α；④正确．2．【答案】A【解析】过点A作AH⊥BD于点H，由平面ABD⊥平面BCD，得AH⊥平面BCD，则AH ⊥BC.又DA⊥平面ABC，所以BC⊥AD，所以BC⊥平面ABD，所以BC⊥AB，即△ABC为直角三角形．故选A.3．【答案】C【解析】如图，作AC⊥l于点C，BD⊥l于点D，则∠BAD＝θ1，∠ABC＝θ2，由最小角原理知，θ2＝∠ABC≤∠ABD，而∠ABD＋∠BAD＝90°，∴θ1＋θ2≤90°.4．【答案】D【解析】平面P AB与平面ABC交于AB，由于GE，EF未必与棱AB垂直，故不一定是二面角的平面角．5．【答案】D【解析】命题(1)是线面垂直的判定定理，所以正确；命题(2)，l∥α，但l不能平行于α内所有直线；命题(3)，l⊥m，不能保证l⊥α，即分别包含l与m的平面α、β可能平行也可能相交而不垂直；命题(4)，为面面垂直的判定定理，所以正确；命题(5)，α∥β，但分别在α、β内的直线l与m可能平行，也可能异面．6. 【答案】②④【解析】由题意可知P A在平面MOB内，所以①不正确；因为M为线段PB的中点，OA＝OB，所以OM∥P A，又OM不在平面P AC内，所以MO∥平面P AC，②正确；当OC与AB 不垂直时，推不出OC⊥平面P AB，所以③不正确；因为AB是直径，所以BC⊥AC，又P A 垂直于圆O所在的平面，所以P A⊥BC，所以BC⊥平面P AC，而BC⊂平面PBC，所以平面PBC⊥平面P AC，所以④正确．综上所述，正确的结论是②④.7．【答案】垂直【解析】如图，取AC的中点O，连接PO、OB，由题意知PO⊥AC，PO＝22a，PB＝a，OB＝22a，∴PB2＝PO2＋OB2，∴PO⊥OB，∴PO⊥平面ABC，又∵PO⊂平面P AC，∴平面ABC⊥平面P AC.8. 【答案】①③④【解析】由题意可得翻折后的几何体如图所示．对于①，因为BC∥DE，所以∠ABC即为AB与DE所成的角，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝2a，BC＝a，所以tan ∠ABC＝2，故①正确；②明显错误；对于③，因为AD⊥平面BCDE，所以AD⊥BE，又因为DE⊥BE，所以BE⊥平面ADE，所以平面EAB⊥平面ADE，故③正确；对于④，易知∠BAE即为直线BA与平面ADE所成的角，在△ABE中，∠AEB＝90°，AB＝3a，BE＝a，所以sin ∠BAE＝33，故④正确．9．证明：(1)因为ABC-A1B1C1是直三棱柱，所以CC1⊥平面ABC，又AD⊂平面ABC，所以CC1⊥AD.又因为AD⊥DE，CC1，DE⊂平面BCC1B1，CC1∩DE＝E，所以AD⊥平面BCC1B1，又AD⊂平面ADE，所以平面ADE⊥平面BCC1B1.(2)因为A1B1＝A1C1，F为B1C1的中点，所以A1F⊥B1C1.因为CC1⊥平面A1B1C1，且A1F⊂平面A1B1C1，所以CC1⊥A1F.又因为CC1，B1C1⊂平面BCC1B1，CC1∩B1C1＝C1，所以A1F⊥平面BCC1B1.由(1)知AD⊥平面BCC1B1，所以A1F∥AD.又AD ⊂平面ADE ，A 1F ⊄平面ADE ，所以A 1F ∥平面ADE .10．解：作HM ⊥AC 于点M ，作MN ⊥GF 于点N ，连接NH . 由FC ⊥平面ABC ，得HM ⊥FC ，又FC ∩AC ＝C ，所以HM ⊥平面ACFD .因此GF ⊥NH ，所以∠MNH 即为所求的角．在△BGC 中，MH ∥BG ，MH ＝12BG ＝22， 由△GNM ∽△GCF ，可得MN FC ＝GM GF， 从而MN ＝66. 由HM ⊥平面ACFD ，MN ⊂平面ACFD ，得HM ⊥MN ，因此tan ∠MNH ＝HM MN＝3， 所以∠MNH ＝60°.所以平面FGH 与平面ACFD 所成角(锐角)的大小为60°.。

2.3.2平面与平面垂直的判定一、选择题1．若一个二面角的两个半平面分别垂直于另一个二面角的两个半平面，那么这两个二面角的平面角()A．相等B．互补C．相等或互补D．关系无法确定2．如图，设P是正方形ABCD所在平面外一点，且P A⊥平面ABCD，则平面P AB与平面PBC、平面P AD的位置关系是()A．平面P AB与平面PBC、平面P AD都垂直B．它们两两垂直C．平面P AB与平面PBC垂直，与平面P AD不垂直D．平面P AB与平面PBC、平面P AD都不垂直3．在正四面体P－ABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，下面四个结论中不成立的是()A．BC∥平面PDFB．DF⊥平面P AEC．平面PDF⊥平面ABCD．平面P AE⊥平面ABC4．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°，将△ABD沿BD折起，使平面ABD⊥CD，构成几何体A－BCD，则在几何体A－BCD中，下列结论正确的是()A．平面ABD⊥平面ABCB．平面ADC⊥平面BDCC．平面ABC⊥平面BDCD．平面ADC⊥平面ABC5．在二面角α－l－β的一个面α内有一条直线AB，若AB与棱l的夹角为45°，AB与平面β所成的角为30°，则此二面角的大小是()A．30° B．30°或45°C．45° D．45°或135°二、填空题6．在二面角α－l－β中，A∈α，AB⊥平面β于点B，BC⊥平面α于点C．若AB＝6，BC ＝3，则二面角α－l－β的平面角的大小为________．7．如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，过点A作平面A1BD的垂线，垂足为点H，有下面三个结论：①点H是△A1BD的中心；②AH垂直于平面CB1D1；③直线AC1与直线B1C所成的角是90°．其中正确结论的序号是________．8．如图，P是二面角α－AB－β的棱AB上一点，分别在α，β上引射线PM，PN，截PM ＝PN．若∠BPM＝∠BPN＝45°，∠MPN＝60°，则二面角α－AB－β的大小是________．三、解答题9．如图所示，在三棱锥A－BCD中，AB⊥平面BCD，BD⊥CD．(1)求证：平面ABD⊥平面ACD；(2)若AB＝2BD，求二面角A－DC－B的正弦值．10．如图，在四棱锥P－ABCD中，P A⊥底面ABCD，底面ABCD为直角梯形，AB∥CD，AB⊥AD，且CD＝2AB．(1)若AB＝AD，直线PB与CD所成的角为45°，求二面角P－CD－B的大小；(2)若E为线段PC上一点，试确定点E的位置，使得平面EBD⊥平面ABCD，并说明理由．【参考答案】一、选择题1．【答案】D【解析】如图所示，设平面ABC⊥平面BCD，平面EFDG⊥平面ABC，GD⊥平面BCD，当平面HDGM绕DG转动时，平面HDG始终与平面BCD垂直，因为二面角H－DG－F的大小不确定，所以两个二面角的大小关系不确定．2．【答案】A【解析】∵P A⊥平面ABCD，∴P A⊥BC，AD⊥P A．又∵BC⊥AB，P A∩AB＝A，∴BC⊥平面P AB．∵BC⊂平面PBC，∴平面PBC⊥平面P AB．∵AD⊥P A，AD⊥AB，P A∩AB＝A，∴AD⊥平面P AB．∵AD⊂平面P AD，∴平面P AD⊥平面P AB．由已知易得平面PBC与平面P AD不垂直，故选A．3．【答案】C【解析】如图，∵BC∥DF，∴BC∥平面PDF．∴A正确．由BC⊥PE，BC⊥AE，∴BC⊥平面P AE．∴DF⊥平面P AE．∴B正确．∴平面ABC⊥平面P AE(BC⊥平面P AE)，∴D正确．4．【答案】D【解析】∵CD⊥平面ABD，从而CD⊥AB，又∵AB⊥AD，AD∩DC＝D，故AB⊥平面ADC．又AB⊂平面ABC，∴平面ABC⊥平面ADC．5．【答案】D【解析】如图所示，设AB 与l 交于一点C ，在AB 上任取一点M ，过M 作MN ⊥β于N ， 过M 作ME ⊥l 于E ，连接NE ，则NE ⊥l ．∠NEM 为二面角α－l －β的平面角或它的补角，连接NC ．∵∠BCE ＝45°，∠BCN ＝30°．设ME ＝x ，则MC ＝2x ，MN ＝22x ． 在Rt △MNE 中，sin ∠NEM ＝NM ME ＝22x x ＝22， ∴∠NEM 等于45°或135°，故选D ．二、填空题6．【答案】60°或120°【解析】如图，∵AB ⊥β，∴AB ⊥l ．∵BC ⊥α，∴BC ⊥l ，∴l ⊥平面ABC ．设平面ABC ∩l ＝D ，则∠ADB 为二面角α－l －β的平面角或补角．∵AB ＝6，BC ＝3，∴∠BAC ＝30°，∴∠ADB ＝60°，∴二面角α－l －β的平面角的大小为60°或120°．7．【答案】①②③【解析】①正确，连接A 1H ，BH ，DH ．因为AB ＝AD ＝AA 1，AH ⊥平面A 1BD ，所以Rt △ABH ≌Rt △ADH ≌Rt △AA 1H ，所以HB ＝HD ＝HA 1．又因为△A 1BD 是等边三角形，所以点H 是△A 1BD 的中心．②正确，因为A 1B 1∥AB ，A 1B 1＝AB ，CD ∥AB ，CD ＝AB ，所以A 1B 1∥CD ，且A 1B 1＝CD ，所以四边形A 1B 1CD 是平行四边形，所以B 1C ∥A 1D ．又因为A 1D ⊂平面A 1BD ，B 1C ⊄平面A 1BD ，所以B 1C ∥平面A 1BD ．同理可证B 1D 1∥平面A 1BD ．又因为B 1C ∩B 1D 1＝B 1，所以平面CB 1D 1∥平面A 1BD ．又因为AH 垂直于平面A 1BD ，所以AH 垂直于平面CB 1D 1．③正确，连接BC 1，AC 1，AD 1，因为四边形BCC 1B 1是正方形，所以B 1C ⊥BC 1．因为AB ⊥平面BCC 1B 1，B 1C ⊂平面BCC 1B 1，所以B 1C ⊥AB ．又因为BC 1∩AB ＝B ，所以B 1C ⊥平面ABC 1D 1．又因为AC 1⊂平面ABC 1D 1，所以AC 1⊥B 1C ，所以直线AC 1与直线B 1C 所成的角是90°．8．【答案】90°【解析】在α内过点M 作MO ⊥AB 于点O ，连接NO ，设PM ＝PN ＝a ．∵∠BPM ＝∠BPN ＝45°，∴△OPM ≌△OPN ，∴NO ⊥AB ，∴∠MON 为二面角α－AB －β的平面角．连接MN ．∵∠MPN ＝60°，∴MN ＝a ．又∵MO ＝NO ＝22a ，∴MO 2＋NO 2＝MN 2，∴∠MON ＝90°． 三、解答题9．解 (1)证明：∵AB ⊥平面BCD ，CD ⊂平面BCD ，∴AB ⊥CD ，又BD ⊥CD 且BD ∩AB ＝B ．∴CD ⊥平面ABD ．又CD ⊂平面ACD ．∴平面ABD ⊥平面ACD ．(2)由(1)知∠ADB 为二面角A －DC －B 的平面角．在Rt △ABD 中，AB ＝2BD ，∴AD ＝AB 2＋BD 2＝5BD ，∴sin ∠ADB ＝AB AD ＝255． 即二面角A －DC －B 的正弦值为255． 10．解 (1)∵AB ⊥AD ，CD ∥AB ，∴CD ⊥AD ，又P A ⊥底面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，∴P A ⊥CD ．又P A ∩AD ＝A ，∴CD ⊥平面P AD ，又PD ⊂平面P AD ，∴CD ⊥PD ，∴∠PDA 即是二面角P －CD －B 的平面角．又直线PB 与CD 所成的角为45°，∴∠PBA ＝45°，P A ＝AB ．∴在Rt △P AD 中，P A ＝AD ，∴∠PDA ＝45°，即二面角P －CD －B 的大小为45°．(2)当点E 在线段PC 上，且满足PE ∶EC ＝1∶2时，平面EBD ⊥平面ABCD ．理由如下：连接AC交BD于点O，连接EO．由△AOB∽△COD，且CD＝2AB，得CO＝2AO，∴PE∶EC＝AO∶CO＝1∶2，∴P A∥EO．∵P A⊥底面ABCD，∴EO⊥底面ABCD．又EO⊂平面EBD，∴平面EBD⊥平面ABCD．∴在线段PC上存在点E，满足PE∶EC＝1∶2时，平面EBD⊥平面ABCD．。

课题：§2.3.2 平面与平面垂直的判定总第个教案课型：新授课执行时间：年月日教学目标1.学问与技能（1）使同学正确理解和把握“二面角”、“二面角的平面角”及“直二面角”、“两个平面相互垂直”的概念；（2）使同学把握两个平面垂直的判定定理及其简洁的应用；（3）使同学理睬“类比归纳”思想在数学问题解决上的作用。

2.过程与方法（1）通过实例让同学直观感知“二面角”概念的形成过程；（2）类比已学学问，归纳“二面角”的度量方法及两个平面垂直的判定定理。

3.情感、态度与价值观通过揭示概念的形成、进展和应用过程，使同学理睬教学存在于观实生活四周，从中激发同学乐观思维，培育同学的观看、分析、解决问题力量。

教学重点平面与平面垂直的判定定理教学难点如何度量二面角的大小教学方法借助实例，通过观看、思考、沟通、争辩等教学过程：批注活动一：创设情景、引入课题（5分钟）问题1：上一节课中，如何定义直线与平面垂直？我们学过那些方法来推断直线与平面垂直？问题2：如何定义直线与平面所成的角？它们的范围是多少？问题3：平面几何中“角”是怎样定义的？问题4：在立体几何中，“异面直线所成的角”、“直线和平面所成的角”又是怎样定义的？它们有什么共同的特征？以上问题让同学自由发言，老师再作小结，并顺势抛出问题：在生产实践中，有很多问题要涉及到两个平面相交所成的角的情形，你能举出这个问题的一些例子吗？如修水坝、放射人造卫星等，而这样的角有何特点，该如何表示呢？下面我们共同来观看,研探。

这就是我们本节课所要学习的内容。

点题：今日学习空间中平面与平面的垂直的判定（板书课题）活动二：师生沟通、进入新知，（20分钟）1．二面角（1）半平面平面内的一条直线把平面分成两部分，这两部分通常称为半平面.（2）二面角从一条直线动身的两个半平面所组成的图形叫做二面角（dihedral angle）.这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面.（3）二面角的求法与画法棱为AB、面分别为α、β的二面角记作二面角ABαβ--. 有时为了便利，也可在,αβ内(棱以外的半平面部分)分别取点P、Q，将这个二面角记作二面角P–AB –Q.假如棱记作l，那么这个二面角记作二面角lαβ--或P–l–Q.2．二面角的平面角如图（1）在二面角cαβ--的棱l上任取一点O，以点O为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱l的射线OA和OB，则射线OA和OB构成的∠AOB叫做二面角的平面角.（2）二面角的平面角的大小与O点位置无关.（3）二面角的平面角的范围是[0，180°]（4）平面角为直角的二面角叫做直二面角.2、二面角的度量二面角定理地反映了两个平面相交的位置关系，如我们常说“把门开大一些”，是指二面角大一些，那我们应如何度量二两角的大小呢？师生活动：师生共同做一个小试验（预先预备好的二面角的模型）在其棱上位取一点为顶点，在两个半平面内各作一射线（如图 2.3-3），通过试验操作，研探二面角大小的度量方法——二面角的平面角。

课时作业16平面与平面垂直的判定——基础巩固类——D1．已知a⊂α，b⊂β，c⊂β，a⊥b，a⊥c，则()A．α⊥βB．α∥βC．α与β相交 D．以上都有可能解析：因为b⊂β，c⊂β，a⊥b，a⊥c，若b，c相交，则a⊥β，从而α⊥β.又α∥β或α与β相交时，可以存在a⊥b，a⊥c，所以选D.2．已知二面角α-l-β的大小为60°，m，n为异面直线，且mB⊥α，n⊥β，则m，n所成的角为()A．30°B．60°C．90°D．120°解析：m，n所成的角等于二面角α-l-β的平面角．3．空间四边形ABCD 中，若AD ⊥BC ，BD ⊥AD ，那么有( )A ．平面ABC ⊥平面ADCB ．平面ABC ⊥平面ADBC ．平面ABC ⊥平面DBCD ．平面ADC ⊥平面DBCD 解析： ⎭⎪⎬⎪⎫AD ⊥BC AD ⊥BD BC ∩BD ＝B ⇒⎭⎪⎬⎪⎫AD ⊥平面DBC AD ⊂平面ADC ⇒平面ADC ⊥平面DBC .4.如图所示，在三棱锥P -ABC 中，P A ⊥平面ABC ，∠BAC ＝90°，则二面角B -P A -C 的大小为()A ．90°B ．60°C ．45°D ．30°A 解析：∵P A ⊥平面ABC ，∴P A ⊥AB ，P A ⊥AC ，∴∠BAC 即为二面角B -P A -C 的平面角．又∠BAC ＝90°，所以二面角B -P A -C 的平面角为90°.5．一个二面角的两个半平面分别垂直于另一个二面角的两个半平面，则这两个二面角的关系是()DA．相等B．互补C．相等或互补D．不确定解析：举例如下：开门的过程中，门所在平面及门轴所在墙面分别垂直于地面与另一墙面，但门所在平面与门轴所在墙面所成二面角的大小不定，而另一二面角却是90°，所以这两个二面角不一定相等或互补．6.如图所示，在三棱锥D-ABC中，若AB＝CB，AD＝CD，E是AC的中点，则下列结论中正确的是()A．平面ABC⊥平面ABDB．平面ABD⊥平面BDCC．平面ABC⊥平面BDE，且平面ADC⊥平面BDE D．平面ABC⊥平面ADC，且平面ADC⊥平面BDEC解析：因为AB＝CB，且E是AC的中点，所以BE⊥AC.同理有DE⊥AC，BE∩DE＝E，所以AC⊥平面BDE.因为AC⊂平面ABC，所以平面ABC⊥平面BDE.又因为AC⊂平面ACD，所以平面ACD⊥平面BDE.故选C.7．如图，在正四面体P-ABC(棱长均相等)中，E是BC的中点．则平面P AE与平面ABC的位置关系是垂直．解析：因为PB＝PC，E是BC的中点，所以PE⊥BC，同理AE⊥BC，又AE∩PE＝E，所以BC⊥平面P AE.又BC⊂平面ABC，所以平面P AE⊥平面ABC.8．如图所示，检查工件的相邻两个面是否垂直时，只要用曲尺的一边紧靠在工件的一个面上，另一边在工件的另一个面上转动，观察尺边是否和这个面密合就可以了，其原理是面面垂直的判定定理．解析：如图，因为OA⊥OB，OA⊥OC，OB⊂β，OC⊂β，且OB∩OC＝O，根据线面垂直的判定定理，可得OA⊥β.又OA ⊂α，根据面面垂直的判定定理，可得α⊥β.9．如图所示，在△ABC 中，AD ⊥BC ，△ABD 的面积是△ACD 的面积的2倍．沿AD 将△ABC 翻折，使翻折后BC ⊥平面ACD ，此时二面角B -AD -C 的大小为.60° 解析：由已知得，BD ＝2CD .翻折后，在Rt △BCD 中，∠BDC ＝60°，而AD ⊥BD ，CD ⊥AD ，故∠BDC 是二面角B -AD -C 的平面角，其大小为60°.10．如图，四棱锥P-ABCD的底面是边长为a的正方形，PB ⊥平面ABCD.(1)求证：平面P AD⊥平面P AB；(2)若平面PDA与平面ABCD成60°的二面角，求该四棱锥的体积．解：(1)证明：∵PB ⊥平面ABCD ，AD ⊂平面ABCD ，∴PB⊥AD . ∵AD ⊥AB ，且AB ∩PB ＝B ，∴AD ⊥平面P AB .又∵AD ⊂平面P AD ，∴平面P AD ⊥平面P AB .(2)由(1)的证明知，∠P AB 为平面PDA 与平面ABCD 所成的二面角的平面角，即∠P AB ＝60°，∴PB ＝3a .∴V P -ABCD ＝13·a 2·3a ＝3a 33.11．如图所示，在矩形ABCD 中，已知AB ＝12AD ，E 是AD 的中点，沿BE 将△ABE 折起至△A ′BE 的位置，使A ′C ＝A ′D ，求证：平面A ′BE ⊥平面BCDE .证明：如图所示，取CD 的中点M ，BE 的中点N ，连接A ′M ，A ′N ，MN ，则MN ∥BC .∵AB ＝12AD ，E 是AD 的中点， ∴AB ＝AE ，即A ′B ＝A ′E .∴A ′N ⊥BE .∵A ′C ＝A ′D ，∴A ′M ⊥CD .在四边形BCDE 中，CD ⊥MN ，又MN ∩A ′M ＝M ，∴CD ⊥平面A ′MN .∴CD ⊥A ′N .∵DE ∥BC 且DE ＝12BC ，∴BE 必与CD 相交．又A ′N ⊥BE ，A ′N ⊥CD ，∴A ′N ⊥平面BCDE .又A ′N ⊂平面A ′BE ，∴平面A ′BE ⊥平面BCDE .——能力提升类——12．若P是等边三角形ABC所在平面外一点，且P A＝PB＝PC，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，则下列结论中不正确D的是()A．BC∥平面PDF B．DF⊥平面P AEC．平面P AE⊥平面ABC D．平面PDF⊥平面ABC解析：∵P是等边三角形ABC所在平面外一点，且P A＝PB ＝PC，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，∴DF∥BC，又∵DF⊂平面PDF，BC⊄平面PDF，∴BC∥平面PDF，故A正确．∵P A＝PB＝PC，△ABC为等边三角形，E是BC中点，∴PE⊥BC，AE⊥BC.∵PE∩AE＝E，∴BC⊥平面P AE.∵DF∥BC，∴DF⊥平面P AE，故B正确．∵BC⊥平面P AE，BC⊂平面ABC，∴平面P AE⊥平面ABC，故C正确．设AE∩DF＝O，连接PO.∵O不是等边三角形ABC的重心，∴PO与平面ABC不垂直，∴平面PDF与平面ABC不垂直，故D错误．13．在二面角α-l-β中，A∈α，AB⊥平面β于点B，BC⊥平面α于点C，若AB＝6，BC＝3，则二面角α-l-β的平面角的大小D为()A．30°B．60°C．30°或150°D．60°或120°解析：∵AB⊥β，∴AB⊥l.∵BC⊥α，∴BC⊥l，∴l⊥平面ABC，设平面ABC∩l＝D，则∠ADB即为二面角α-l-β的平面角或其补角．∵AB＝6，BC＝3，∴∠BAC＝30°，∴∠ADB＝60°，∴二面角大小为60°或120°.14.如图所示，在四棱锥P -ABCD 中，P A ⊥底面ABCD ，且底面各边都相等，M 是PC 上一动点．当点M 满足时，平面MBD ⊥平面PCD .(只要填写一个你认为正确的条件即可)DM ⊥PC (或BM ⊥PC 等)解析：连接AC，则BD⊥AC.由P A⊥底面ABCD，可知BD ⊥P A，所以BD⊥平面P AC，所以BD⊥PC，所以当DM⊥PC(或BM⊥PC)时，即有PC⊥平面MBD.而PC⊂平面PCD，所以平面MBD⊥平面PCD.15．在图(1)等边三角形ABC中，AB＝2，E是线段AB上的点(除点A外)，过点E作EF⊥AC于点F，将△AEF沿EF折起到△PEF(点A与点P重合，如图(2))，使得∠PFC＝60°.(1)求证：EF⊥PC；(2)试问，当点E在线段AB上移动时，二面角P-EB-C的大小是否为定值？若是，求出这个二面角的平面角的正切值，若不是，请说明理由．解：(1)证明：因为EF⊥PF，EF⊥FC，又由PF∩FC＝F，所以EF⊥平面PFC.又因为PC⊂平面PFC，所以EF⊥PC.(2)是定值．由(1)知，EF⊥平面PFC，所以平面BCFE⊥平面PFC，如图，作PH⊥FC，则PH⊥平面BCFE，作HG⊥BE，连接PG，则BE⊥PG，所以∠PGH是这个二面角的平面角，设AF＝x，则0<x≤1，因为∠PFC＝60°，所以FH＝x2，PH＝32x，易求GH＝334x，所以tan∠PGH＝PHGH＝23，所以二面角P-EB-C的大小是定值．。