2019-2020学年高中数学 第29课时 两条直线垂直导学案 苏教版必修2.doc

（新课标）2019—2020学年苏教版高中数学必修二课时25 两条直线的平行与垂直（2）【学习目标】1、理解并掌握两条直线平行与垂直的条件；2、会运用条件判定两直线是否平行或垂直.【课前预习】（一）知识学点设l 1：A 1x +B 1y +C 1=0，l 2：A 2x +B 2y +C 2=0.（1）l 1∥l 2⇐21A A =21B B ≠21C C A 1B 2=A 2B 1，A 1C 2≠A 2C 1.（2）l 1与l 2相交⇐21A A ≠21B B ⇔A 1B 2≠A 2B 1. （3）l 1与l 2重合⇐21A A =21B B =21C C A 1B 2=A 2B 1，A 1C 2=A 2C 1.（4）l 1⊥l 2⇔A 1A 2+B 1B 2=0.（二）练习1、若直线l 1：ax +2y +6=0与直线l 2：x +（a －1）y +（a 2－1）=0平行且不重合，则a 的值是____________.2、△ABC 中，a 、b 、c 是内角A 、B 、C 的对边，且lgsin A ，lgsin B ，lgsin C 成等差数列，⇔ ⇔则下列两条直线l 1：（sin 2A ）x +（sin A ）y －a =0，l 2：（sin 2B ）x +（sin C ）y －c =0的位置关系是____________.3、两直线0,0=+-=++m Ay Bx C By Ax 的位置关系是 ；4、已知点A （2，2），B （—1，0），线段AB 的垂直平分线的方程是 ；【课堂探究】例1 已知长方形ABCD 的三个顶点的坐标分别为A (0，1)，B (1，0)，C (3，2)，求第四个顶点D 的坐标.例2 已知两直线l 1：x ＋m 2y ＋6＝0，l 2：（m －2）x ＋3my ＋2m ＝0，当m 为何值时，l 1与l 2（1）相交；（2）平行；（3）重合?例3在△ABC 中，已知BC 边上的高所在直线的方程为x －2y +1=0，∠A 的平分线所在直线的方程为y =0.若点B 的坐标为（1，2），求点C 的坐标.【课堂巩固】已知直线07)4()3(:,042)4(:21=++-+=+++y m x m l my x m l ，当m 为何值时：（1）21//l l ；（2）21l l ⊥；【课时作业25】1．经过点(3,0)B 且与直线250x y +-=垂直的直线方程为 .2．过原点作直线l 的垂线，垂足为)32(，，则直线l 的方程是____________.3. 已知直线1l ：与02=+-a y ax 2l ： (21)0a ay a -++=互相垂直,则实数a 的值为 .4.已知直线l 的方程为01243=-+y x ，直线'l 与l 垂直,且'l 与坐标轴围成的三角形面积为6．则直线'l 的方程为 .5. 已知矩形ABCD 的三个顶点的分别为(0,1),(1,0),(3,2)A B C ，则第四个顶点D 的坐标为 ．6. 已知点),(b a P 和)1,1(+-a b Q 是关于直线l 对称的两点，则直线l 的方程为 .7.已知），（13A ，），，（），，（1211C B --求ABC ∆的BC 边上的高所在的直线的方程.8. 已知ABC ∆的顶点(2,1),(6,3)B C -，其垂心(三条高的交点)为(3,2)H -，求顶点A 的坐标．9．（探究创新题）已知直线024=-+y ax 与直线052=+-b y x 互相垂直相交于点），（c 1。

2.1.3 两条直线的平行与垂直（2）学习目标1. 掌握用斜率判断两条直线垂直的方法.2. 感受用代数方法研究几何图形性质的思想。

学习过程一 学生活动1．过点)3,2(-P 且平行于过两点)5,1()2,1(--N M ，的直线的方程为_______________．2．直线1l ：04)1(2=+++y m x 与直线2l ：023=-+y mx 平行，则m 的值为________________．3．已知点)322,2()322,6()2,4()2,0(++D C B A ，，，，判断四边形ABCD 的形状， 并说明此四边形的对角线之间有什么关系？二 建构知识1.当两条不重合的直线21,l l 的斜率都存在时，若它们相互垂直，则它们的斜率的乘积等于_____________，反之，若它们的斜率的乘积_____________，那么它们互相___________，即1l ⊥⇔2l ______________________．当一条直线的斜率为零且另一条直线的斜率不存在时，则它们______________________．2．直线1111:0l A x B y C ++=与直线2222:0l A x B y C ++=垂直的条件是12120A A B B +=，与直线0Ax By C ++=垂直的直线可设为0Bx Ay m -+=三 知识运用例题（1）已知四点)11,6()4,3()6,10()3,5(--D C B A ，，，，求证：CD AB ⊥； （2） 已知直线1l 的斜率为431=k ，直线2l 经过点)1,0()2,3(2+-a B a A ，， 且1l ⊥2l ，求实数a 的值．如图，已知三角形的顶点为),3,2(),2,1(),4,2(--C B A 求BC 边上的高AD所在的直线方程．例1 例2x例3 在路边安装路灯，路宽m 23，且与灯柱成ο120角，路灯采用锥形灯罩，灯罩轴线与灯杆垂直，当灯柱高h 为多少米是，灯罩轴线正好通过道路路面的中线？（精确到m 01.0）巩固练习1．求满足下列条件的直线l 的方程：（1）过点)1,3(且与直线0323=-+y x 垂直；（2）过点)7,5(且与直线03=-x 垂直；（3）过点)4,2(-且与直线5=y 垂直．2．如果直线0=+y mx 与直线012=++y x 垂直，则=m ___________________．3．直线1l ：062=++y ax 与直线2l ：0)1()1(2=-+-+a y a x 垂直，则a 的值为____________________．4．若直线1l 在y 轴上的截距为2，且与直线2l ：023=-+y x 垂直，则直线1l 的方程是_____________________________．5．以)4,1()1,2()1,1(C B A ，，--为顶点的三角形的形状是______________________．四 回顾小结两直线垂直的等价条件五 学习评价基础训练1. 直线l 在y 轴上的截距为2，且与直线320x y +-=垂直，则l 方程为_________1. 根据条件，判断直线l 1与2l 是否垂直： 1l 的倾斜角为45o ，2l 的方程为1x y += __________________;1l 经过点M （1，0），N （4，5），2l 经过点R （-6，0），S （-1，3）：__________. 235.2 ︒1203.若直线10ax y -+=和直线210x by +-=垂直，则,a b 满足____________________.4.已知两点(1,3),(3,1)A B -，点C 在坐标轴上.若ACB ∠=2π，则这样的点C 有_________个.5. 已知点(0,1),A -点B 在直线10x y -+=上且直线AB 垂直于该直线，则点B 的坐标是_________6.若原点在直线l 上的射影为(2,1)P ，则直线l 的方程为______________.7. 求与直线0734=+-y x 垂直，且与坐标轴围成的三角形面积是6的直线的方程．拓展延伸8.若三角形的一个顶点是A （2，3），两条高所在的直线的方程为230x y -+=和40x y +-=，试求此三角形三边所在直线的方程.9.已知直线l 方程为34120x y +-=，l '与l 垂直，且l '与坐标轴围成的三角形面积为4，求直线l '的方程.2.1.3 两条直线的平行与垂直（2）1.3x-y+2=0,2.（1）垂直；（2）不垂直3.2a-b=0；4.3 ,5.（-1,0），6.2x+y-5=07.3x+4y+12=0或3x+4y-12=0 ,8.2x+y-7=0,x-y+1=0,x+2y-5=0；9. 4x-3y 0±=.。

2．1.3 两条直线的平行与垂直如右图，在平面四边形ABCD中，由∠A＋∠B＝90°＋90°＝180°可知AD∥BC.或因为∠B＝90°，可知AB⊥BC；可由∠A＝90°，得到AD⊥AB，依据“在平面内垂直于同一条直线的两条直线互相平行”得到AD∥BC.在平面几何中，我们可依据几何图形的性质来证明直线相交、平行、重合或垂直．那么，在解析几何中，又如何证明或判断直线的这些关系呢？1．通过初中的学习我们知道“两直线平行，则两直线的倾斜角相等”，同样，两条直线平行，如果它们的斜率都存在，则它们的斜率相等．反之也成立，即：已知直线l1：y＝k1x＋b1；l2：y＝k2x＋b2，则l1∥l2⇔k1＝k2，且b1≠b2.这个结论成立的前提是两条直线不重合并且斜率都存在．特别地，若两不重合直线的斜率不存在，由于它们的倾斜角都是90°，所以它们互相平行．2．当直线l1，l2都垂直于x轴且不重合时，由于垂直于同一条直线的两条直线平行，可推得：l1∥l2，因此，两条不重合直线平行的判定的一般结论是：l1和l2的斜率都不存在或k1＝k2且b1≠b2.3．两直线的斜率都存在时，若两直线垂直，则它们的斜率k1，k2的乘积k1k2＝－1，反之也成立，即：l1⊥l2⇔k1k2＝－1.4．两条直线l1，l2，若一条直线的斜率不存在，同时另一条斜率为0，则两条直线垂直．这样，两条直线垂直的判定的一般结论就是：一条直线的斜率不存在，同时另一条斜率为0或k1k2＝－1．,一、两条直线平行与垂直的判定设两条不重合的直线l1，l2的斜率分别为k1，k2，①两条直线平行的条件为：l1∥l2⇔k1＝k2且b1≠b2；②两条直线垂直的条件为：l1⊥l2⇔k1k2＝－1；③两条直线l1与l2重合⇔k1＝k2且b1＝b2.以上给出了已知直线的斜截式方程条件下判定两条直线位置关系的又一常用方法．判断方法仅适用于两条直线都有斜率的直线．同学们要特别谨记：同时平行于同一坐标轴的两条直线互相平行，分别平行于两坐标轴的两条直线互相垂直．若两条直线的方程是一般式l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，则常有以下判定方法：①l 1与l 2平行⇔A 1B 2－A 2B 1＝0且(B 1C 2－B 2C 1)2＋(A 2C 1－A 1C 2)2≠0或A 1A 2＝B 1B 2≠C 1C 2(A 2B 2C 2≠0)；②l 1与l 2垂直⇔A 1A 2＋B 1B 2＝0；③l 1与l 2重合⇔A 1＝λA 2，B 1＝λB 2，C 1＝λC 2(λ≠0)或A 1A 2＝B 1B 2＝C 1C 2(A 2B 2C 2≠0)．基础巩固知识点一 两条直线平行1．已知过点A (－2，m )和B (m ，4)的直线与直线2x ＋y －1＝0平行，则m 的值为________．解析：kAB ＝4－m m ＋2，∵过AB 的直线与2x ＋y －1＝0平行，∴4－m m ＋2＝－2，解得m ＝－8. 答案：－82．已知直线l 1：(k －3)x ＋(4－k )y ＋1＝0与l 2：2(k －3)x －2y ＋5＝0平行，则k ＝________．解析：∵l 1∥l 2，∴－2(k －3)－2(4－k )(k －3)＝0，解得k ＝3或5，经检验k ＝3或5时，l 1∥l 2.答案：3或53．已知点A (3，1)、B (0，－1)、C (1，3)，则点D 满足什么条件时，可以使得AB ∥CD . 解析：设D (a ，b )，则kAB ＝1－（－1）3－0＝23，kCD ＝b －3a －1.∵AB ∥CD ，∴b －3a －1＝23.∴2a －3b ＋7＝0. ∴当点D 在直线2x －3y ＋7＝0上时，AB ∥CD .知识点二 两条直线垂直4．过点A (－1，0)和B (1，－1)的直线与过M (0，k )和N ⎝ ⎛⎭⎪⎫－k 2，0(k ≠0)两点的直线的位置关系是________．解析：kAB ＝－1－01＋1＝－12，kMN ＝0－k －k 2－0＝2， ∴kAB ·kMN ＝－12×2＝－1，即AB ⊥MN . 答案：垂直5．已知点A (2，2)、B (1，－2)，若点P 在坐标轴上，且∠APB 为直角，则这样的点P 有________个．解析：若点P 在y 轴上，则点P 只有一个；若点P 在x 轴上，则点P 有两个．故满足条件的点p 共有3个．答案：36．已知直线l 1经过点A (－2，0)和点B (1，3a )，直线l 2经过点M (0，－1)和点N (a ，－2a )，若l 1⊥l 2，试确定实数a 的值．解析：(1)当直线l 1、l 2的斜率都存在，即a ≠0时，直线l 1、l 2的斜率分别是k 1＝a ，k 2＝1－2a a. ∵l 1⊥l 2，∴a ·1－2a a＝－1. ∴a ＝1.(2)当a ＝0时，k 1＝0，k 2不存在，此时l 1⊥l 2.综合(1)(2)知，若l 1⊥l 2，则实数a 的值为1或0.知识点三 两条直线平行或垂直的判定与应用7．已知点A (－4，2)、B (6，－4)、C (12，6)、D (2，12)，下面四个结论中正确的是________(填序号)．①AB ∥CD; ②AB ⊥AD; ③AB ⊥BD; ④AC ⊥BD .解析：由题意得kAB ＝－35，kAD ＝53，kCD ＝－35，kAC ＝14，kBD ＝－4，∴kAB ＝kCD ，kAB ·kAD ＝－1，kAC ·kBD ＝－1.∴AB ∥CD ，AB ⊥AD ，AC ⊥BD ，①②④正确．又kAB ·kBD ≠－1，∴③错误．答案：①②④8．若已知直线l 1上的点满足ax ＋2y ＋6＝0，直线l 2上的点满足x ＋(a －1)y ＋a 2－1＝0(a ≠0)，当a 为何值时：(1)l 1∥l 2；(2)l 1⊥l 2.解析：k 1＝－a 2，k 2＝－1a －1. (1)l 1∥l 2时，k 1＝k 2，即－a 2＝－1a －1， 解得a ＝2或a ＝－1.当a ＝2时，l 1的方程为2x ＋2y ＋6＝0，即x ＋y ＋3＝0，l 2的方程为x ＋y ＋3＝0，则l 1与l 2重合．∴a ＝－1.(2)l 1⊥l 2时，由k 1k 2＝－1，得⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a －1＝－1，解得a ＝23. 综上可知，a ＝－1时，l 1∥l 2；a ＝23时，l 1⊥l 2.能力升级综合点一 平行与垂直的简单应用9．在直角坐标平面内有两个点A (4，2)、B (1，－2)，在x 轴上有点C ，使∠ACB ＝90°，则点C 的坐标是________．解析：设C (x 0，0)，由AC ⊥BC ，得0－2x 0－4·0＋2x 0－1＝－1，∴x 0＝0或x 0＝5. 答案：(0，0)或(5，0)10．若点A (1，2)在直线l 上的射影为B (－1，4)，则直线l 的方程是________． 解析：∵AB ⊥l ，kAB ＝4－2－1－1＝－1，∴kl ＝1.又l 过点B ，∴l ：y －4＝x ＋1，即直线l 的方程为x －y ＋5＝0.综合点二 平行与垂直的综合应用11．已知两点A (2，0)、B (3，4)，直线l 过点B ，且交y 轴于点C (0，y )，O 是坐标原点，且O ，A ，B ，C 四点共圆，那么y 的值是________．解析：由题意知，AB ⊥BC ，∴kAB ·kBC ＝－1，即4－03－2·4－y 3－0＝－1，解得y ＝194. 答案：19412．过点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，73与B (7，0)的直线l 1与过点(2，1)，(3，k ＋1)的直线l 2和两坐标轴围成的四边形内接于一个过原点的圆，则实数k 为________．解析：若l 1和l 2与坐标轴围成的四边形内接于一个过原点的圆，则l 1⊥l 2，而kl 1＝73－7＝－13，kl 2＝k ＋1－13－2＝k .而kl 1·kl 2＝－1，得k ＝3. 答案：3综合点三 平行直线系或垂直直线系问题13．已知直线l 1：x ＋y －1＝0，现将直线l 1向上平移到直线l 2的位置，若l 1，l 2和两坐标轴围成的梯形的面积是4，求l 2的方程．解析：∵l 1∥l 2，∴设l 2的方程为x ＋y －m ＝0.设l 1与x 轴，y 轴分别交于点A 、D ，l 2与x 轴，y 轴分别交于点B 、C ，易得：A (1，0)、D (0，1)、B (m ，0)，C (0，m )．又l 2在l 1的上方，∴m ＞0.S 梯形＝S Rt △OBC －S Rt △OAD ，∴4＝12m ·m －12×1×1. ∴m 2＝9，m ＝3.故l 2的方程是x ＋y －3＝0.。

2.1.3 两条直线的平行与垂直（2）教学目标:1. 掌握利用斜率判定两条直线垂直的方法，感受用代数方法研究几何问题的思想；2. 通过分类讨论、数形结合等数学思想的渗透，培养学生严谨、辩证的思维习惯.教材分析及教材内容的定位：本节课和上节课研究的内容有类似之处，都是通过方程研究几何性质的.教学重点：用斜率判断两直线垂直的方法.教学难点：理解直线垂直的解析刻画.教学方法：探究合作.教学过程：一、问题情境1•复习回顾：（1）利用直线的斜率关系判断两条直线平行；（2）利用直线的一般式方程判断两条直线的平行.2 •本节课研究的问题是：一一两条直线垂直，两条直线垂直，那么他们的斜率之间有什么关系，体现在方程有何特征？二、学生活动探究：两条直线垂直，即倾斜角的差为直角，那么他们的斜率如何？不妨设直线丨1,丨2（斜率存在）所对应的倾斜角分别为a 1, a 2,对应的斜率分别为k1, k2.因为两条直线相互垂直，不妨设 a 1 — a 2= 90 .根据倾斜角与斜率的关系，我们知道当倾斜角不是直角时，斜率存在，从而有k1=tan a 1, k2= tan a 2，于是根据诱导公式有1k1 tan 1 tan （90° 2）tan 2即k i k2=—1 .此时，若两直线平行，则两直线的斜率乘积为一1.反之，如果两直线的斜率(斜率存在)互为负倒数，即k i k2=—1,根据倾斜角和斜率的关系以及正切函数的单调性可知倾斜角的差等于直角，从而说明它们互相垂直.三、建构数学两直线垂直.一般地，设直线l i,丨 2 (斜率存在)所对应的斜率分别为k i, k2，则11 I2 k i k2 1说明：(1)如果直线丨1,丨2的斜率有一个不存在，那么其中有一条直线(不妨设为I 1 )与X轴垂直，此时两条直线垂直的等价条件为I 2的斜率为0；(2)在利用以上结论判定两直线的位置关系时，一定要注意前提条件，即斜率存在，因此在讨论问题过程中一定要注意对斜率是否存在作分类讨论.(3)设直线I 1: Ax + By+ Ci= 0, 12：Ax+ By + C2= 0，那么两条直线垂直的等价条件为：A1A2 B1 B20 .四、数学运用例1 (1 )已知四点A(5, 3), B (10, 6) , C(3, —4) , D(—6 , 11),求证：AB丄CD3 2(2)已知直线I 1的斜率k1= ,直线12经过点A (3a, —2) , B( 0 , a +1),且I』412 ,求实数a的值.例2 已知三角形的顶点为A (2 , 4), B (1, —2), C (—2 , 3),求BC边上的高AD 所在的直线.例3在路边安装路灯，路宽23m,灯杆长2. 5m且与灯柱成1200角.路灯采用锥形灯罩，灯罩轴线与灯杆垂直. 当灯柱高h为多少米时，灯罩轴线正好通过道路路面的中线？(精确到0. 01m)练习：1. 求过点A(0 , —3),且与直线2x+ y—5= 0垂直的直线的方程.2. 已知直线I与直线I : 3x+4y —12= 0互相垂直，且与坐标轴围成的三角形面积为6,求直线I的方程.3. 若直线(a+ 2)x + (1 —a)y —3 = 0 与(a—1)x + (2a+ 3)y+ 2= 0 互相垂直，则实数a4. 已知直线l i：mx^y —(n+1) = 0 与12：x+my-2m= 0 垂直，求m的值.5. 已知三条直线的方程分别为：2x—y+ 4= 0, x—y+ 5 = 0与2mx- 3y+ 12= 0.若三条直线能围成一个直角三角形，求实数m的值.五、要点归纳与方法小结两条直线垂直的等价条件是什么？课后思考题：已知三条直线的方程分别为：2x—y+ 4 = 0, x—y + 5 = 0与2mx- 3y + 12= 0.若三条直线能围成一个三角形，求实数m的取值范围.。

高中数学两直线垂直教案教学目标：1. 理解两直线垂直的定义；2. 掌握两直线垂直的判定方法；3. 能够应用垂直直线性质解决实际问题。

教学重点：1. 两直线垂直的定义；2. 垂直直线性质的应用。

教学难点：1. 利用判定方法证明两直线垂直；2. 运用垂直直线性质解决实际问题。

教学准备：1. 教师准备投影仪、计算机等教学用具；2. 学生准备笔记本、铅笔等学习用具。

教学步骤：一、导入（5分钟）教师通过展示两直线交角不为90度的图形引入本节课的主题，并让学生思考两直线垂直的定义。

二、讲解（15分钟）1. 教师讲解两直线垂直的定义，并说明垂直直线的性质；2. 介绍两直线垂直的判定方法，包括垂直直线的斜率乘积为-1、垂直直线的方向余弦乘积为-1等方法。

三、示例演练（20分钟）1. 教师通过实例向学生演示如何利用判定方法证明两直线垂直；2. 学生根据教师提示，尝试在黑板上解决几道垂直直线性质的题目。

四、练习巩固（15分钟）1. 学生课堂上完成教师布置的练习题，巩固所学知识；2. 学生互相交流答案，讨论解题思路。

五、拓展应用（10分钟）1. 教师引导学生思考垂直直线在现实生活中的应用，并提出相关的问题；2. 学生应用垂直直线性质解决实际问题。

六、总结（5分钟）教师对本节课的学习内容进行总结，强调重点，澄清疑惑，鼓励学生坚持学习，并提出下节课的预习内容。

教学反思：通过本节课的教学，学生基本掌握了两直线垂直的概念和判定方法，能够灵活运用这些知识解决问题。

在今后的教学中，可以通过更多的案例和实践引导学生深入理解和应用垂直直线性质。

2.1.3 两条直线的平行与垂直（2）从容说课两条直线的垂直是研究两条直线位置关系的又一重要形式.旧教材中通过向量来推导垂直，由于学生没有学过三角函数、向量，新教材通过特例来推导垂直的这一点只要让学生了解，不必深究.教学重点两条直线的垂直的判断.教学难点两条直线垂直的公式推导及分情况讨论.教具准备多媒体.课时安排1课时三维目标一、知识与技能1.掌握两条直线垂直的判断方法.2.理解两直线垂直条件的推导过程.二、过程与方法1.师生共同探究的方法.2.创设数学情境.三、情感态度与价值观代数化处理几何问题的方法及数学地思考问题的方法.教学过程导入新课师前面我们一起研究了在直角坐标系中如何判断两条直线平行的方法，判断两条直线平行的条件是什么？生l1、l2是不重合的两条直线.①如果l1、l2斜率都存在，则直线平行能得到斜率相等，反之，斜率相等也能得到直线平行；②如果l1、l2斜率都不存在，那么两直线都垂直于x轴，故它们平行．师对！判断两条直线平行的前提条件是：l1、l2是不重合的两条直线，另外要分直线的斜率存在和不存在来讨论.今天我们来研究如何判断两条直线垂直的方法.推进新课师两条直线垂直时，其倾斜角、斜率之间有什么关系呢？（同时在黑板上板图）我们看图：若l1⊥l2(l1,l2都不与x轴垂直)，如图，作PQ∥x轴，且PQ=1，过点Q作RS⊥PQ,分别交l1、l2于R、S，则k1=R Q,k2=-Q S.由Rt△PQ R∽Rt△S QP，故可得PQ2=R Q·Q S，从而1=-k1k2,即k 1k 2=-1.反过来，若k 1k 2=-1,可以证明l 1⊥l 2.因此，当两条直线的斜率都存在时，如果它们互相垂直，那么它们斜率的乘积等于－1，即l 1⊥l 2⇔k 1k 2=-1.师如果两条直线l 1、l 2中的一条斜率不存在，那么这两条直线什么时候互相垂直？ 生通过图形观察可以得到另一条直线的斜率为0.师逆命题成立吗？……（学生思考）逆命题是什么？生逆命题是如果两条直线l 1、l 2中的一条斜率不存在，另一条直线斜率为0，那么这两条直线互相垂直.师是逆命题，对吗？生对！师于是我们就可以得到判断两条直线垂直的方法（同时板书）：两直线垂直的判定.判定两直线垂直时也要注意分情况讨论：（1）当两直线的斜率都存在时，两直线垂直可得它们的斜率乘积等于-1；反之，两直线斜率乘积等于-1也能得到它们相互垂直．（2）当两直线中的一条斜率不存在时，另一条直线斜率为0时两直线垂直；反之，如果两直线垂直，则另一条直线斜率一定不存在．【例1】（1）已知四点A(5,3)、B(10,6)、C(3,-4)、D(-6，11),求证：AB ⊥CD.(2)已知直线l 1的斜率k 1=43，直线l 2经过点A(3a ，－2)、B （0，a 2＋1），且l 1⊥l 2，求实数a 的值.（1）证明：由斜率公式，得k AB ＝5351036＝--，k CD =3536411-----＝）（. 则k AB ·k CD =-1，所以AB ⊥CD. （2）解：由l 1⊥l 2可知k 1k 2=-1，即aa 30)2(1432---+⋅=-1，解得a ＝1或3. 师直角坐标系中判断两条直线垂直的方法关键是看其斜率之积是否为－1.【例2】如右图，已知三角形的顶点为A(2,4)、B(1,-2)、C(-2,3),求BC 边上的高AD 所在的直线方程.师要求BC 边上的高AD 所在的直线方程，已经知道哪些因素？生经过点A.师还差一个什么因素？生直线上一点或其斜率.师能否求出另外一点？生不好求.师能否求出其斜率？生可以，因为AD 垂直于BC ，所以直线AD 斜率是直线BC 斜率的负倒数.师我们一起看解题过程.解：直线BC 的斜率k BC =3512)2(3-=----,因为AD ⊥BC,所以k AD =-531=BC k .根据点斜式，得到所求直线的方程是y －4＝53(x -2),即3x -5y +14=0. 【例3】在路边安装路灯，路宽23m ，灯杆长2.5m ，且与灯柱成120°角.路灯采用锥形灯罩，灯罩轴线与灯杆垂直，当灯柱高h 为多少米时，灯罩轴线正好通过道路路面的中线？（精确到0.01m ）师这是一道与几何有关的应用题，大家先思考一下，能否借助于我们初中学过的几何知识解决？（3分钟后）生如右图记灯柱顶端为B ，灯罩顶为A ，灯杆为AB ，灯轴线与道路中线交于点C ，灯柱底端为O 点，灯柱OB.由已知可得到AB=2.5,OC=11.5,因为∠ABO ＝120°，所以∠ABD=∠OCD= 60°,先求出线段BD ，再求出DO ，最终可求得BO 的长.师说得对！我们还可以通过建立坐标系的方法来解决，如何建立坐标系呢？生以OC 为x 轴，OB 为y 轴.师说得还不够严谨，我们一起来观察.解：如右图，记灯柱顶端为B ，灯罩顶为A ，灯杆为AB ，灯轴线与道路中线交于点C ，以灯柱底端O 点为原点，灯柱OB 为y 轴，建立如图所示的直角坐标系.点B 的坐标为（0，h ），点C 的坐标为（11.5，0），因为∠OBA ＝120°，所以中线BA 的倾斜角为30°，则点A 的坐标为（2.5·5c os30°，h+2.5·5sin30°），即（1.253,h+1.25）.因为CA ⊥BA ，所以k CA =-︒-=30tan 11BA k =-3. 由直线的点斜式方程，得CA 的方程是y -(h+1.25)=-3(x -1.253).因为灯罩轴线CA 过点C,代入上式，解得h ≈14.92(m).答：灯柱高约为14.92m.（投影）课堂练习1.已知两条直线l 1：2x -4y +7=0，l 2：2x +y -5=0．求证：l 1⊥l 2．证明：l 1的斜率k 1=21，l 2的斜率k 2=-2，∴k 1k 2=-1.∴l 1⊥l 2． 2.求过点A(2，1)，且与直线2x +y -10=0垂直的直线方程．解法一：已知直线的斜率k=-2．∵所求直线与已知直线垂直，∴所求直线的斜率k 1=21. 根据点斜式得所求直线的方程是y -1=21(x -2)，就是x -2y =0. 解法二：∵所求直线与已知直线垂直，∴可设所求直线方程是x -2y +m=0，将点A(2，1)代入方程得m=0，所求直线的方程是x －2y =0．【例4】已知点A(0,2)、B(4,2)、C(6,2+23)、D(2,2+23)，求证：四边形ABCD 是菱形．分析：根据对角线互相垂直的四边形是菱形，只要证四边形ABCD 是平行四边形且对角线互相垂直．证明：∵k AB =0422--， k CD =26)322(322-+-+=0， k AD =3022322=--+， k BC =3462322=--+， ∴k AB =k CD ,k AD =k BC .∴AB ∥CD ，AD ∥BC.∴四边形ABCD 是平行四边形.又∵k AC =33062322=--+，k BD =3422322-=--+， ∴k AC ·5k BD =-1.∴对角线AC ⊥BD.∴四边形ABCD 是菱形．点评：待我们学习了“两点间的距离公式”后，本题还可以证明四边形ABCD 四条边长相等，从而得到菱形．课堂小结今天我们研究了两条直线垂直的判定，判定两直线垂直时要注意分情况讨论：（1）当两直线的斜率都存在时，两直线垂直可得它们的斜率乘积等于-1；反之，两直线斜率乘积等于-1，也能得到它们相互垂直．（2）当两直线中的一条斜率不存在时，另一条直线斜率为0时两直线垂直；反之，如果两直线垂直，其中一条直线斜率为0时，则另一条直线斜率一定不存在．同时还要注意与已知直线垂直的直线的设法．布置作业P 87习题2.1（2）第1题和第2题.板书设计2.1.3 两条直线的平行与垂直(2)例1 课堂小结例2 作业例3活动与探究【例题】（课本第88页习题第11题）直线l 1和l 2的方程分别是A 1x +B 1y +C 1=0和A 2x +B 2y +C 2=0，其中A 1、B 1不全为0，A 2、B 2也不全为0，试探究：（1）当l 1∥l 2时，直线方程中的系数应满足什么关系？（2）当l 1⊥l 2时，直线方程中的系数应满足什么关系？分析：由于l 1和l 2的斜率可能不存在，因此要分类讨论．解：（1）①当两直线方程中x 、y 的系数有一个为0时，不妨设B 1=0，则必有A 1≠0，此时直线l 1垂直于x 轴，其方程为A 1x +C 1=0，由l 1∥l 2知l 2也垂直于x 轴，其方程可以为A 2x +C 2=0，此时满足A 1B 2=A 2B 1；反之也成立．②当两直线方程中x 、y 的系数均不为0时，直线l 1和l 2的斜率分别为-11B A 、-22B A ，由l 1∥l 2得-11B A =-22B A , 即A 1B 2=A 2B 1．反之也成立．综合①②可知当l 1∥l 2时，A 1B 2=A 2B 1．（2）①当两直线方程中x 、y 的系数有一个为0时，不妨设B 1=0，则必有A 1≠0，此时直线l 1垂直于x 轴，其方程为A 1x +C 1=0，由l 1⊥l 2知，直线l 2平行于x 轴，故其方程为B 2y +C 2=0，满足A 1A 2+B 1B 2=0；反之也成立．②当两直线方程中x 、y 的系数均不为0时，直线l 1和l 2的斜率分别为-11B A 、-22B A ， 由l 1⊥l 2知(-11B A )(-22B A )=-1，∴A1A2+B1B2=0．反之也成立．综合①②可知当l1⊥l2时，A1A2+B1B2=0．备课资料一、利用几何特征解题【例题】已知△ABC的一个定点是A(3,-1)，∠B、∠C的平分线分别是x＝0，y＝x，求直线BC的方程．分析：利用角平分线的轴对称性质，求出A关于x＝0，y＝x的对称点，它们显然在直线BC上．解：A(3，－1)关于x＝0，y＝x的对称点分别是（－3，－1）和（－1，3），且这两点都在直线BC上，由两点式求得直线BC的方程为2x－y＋5＝0．二、备选练习或例题1.由四条直线:x+2y-1=0,2x-y-1=0,2x+4y+1=0,4x-2y+1=0围成的四边形是（）A.等腰梯形B.梯形C.长方形D.正方形2.已知三点A(0,0)、B(m,n)、C(-n,m)，则△ABC是（）A.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.不能确定3.已知点P(0,-1)，点Q在直线x-y+1=0上，若直线PQ垂直于直线x+2y-5=0，则点Q 的坐标是（）A.(-2,1)B.(2,1)C.(2,3)D.(-2,-1)4.过点A(1,0)且与过点B(-1,0)、C(1,2)的直线BC垂直的直线方程是_________．5.过点(2,1)的所有直线中，距离原点最远的直线方程是_________．6.若直线2x-3y-2=0与直线m x+(n+3)y+1=0垂直，且与直线2n x+m y+1=0平行，则m=_________，n=_________．7.过点M(-1,-2)作直线l交直线x+2y+1=0于点N，当线段MN最短时，求直线l的方程．8.分别经过点A(1,2)、B(2,4)的两条直线互相平行，当它们之间的距离达到最大时，求这两条直线的方程．参考答案：1.D2.A3.C4.x+y-1=05.2x+y-5=06.-9 37.y=2x.8.经过A、B的直线分别是x+y-1=0及x+2y-10=0．。

《两直线的垂直》导学活动单22 1．掌握利用斜率判定两条直线垂直的方法，感受用代数方法研究几何问题的思想；2．通过分类讨论、数形结合等数学思想的渗透，培养学生严谨、辩证的思维习惯．【重点】理解并掌握两条直线垂直的条件【难点】理解直线垂直的解析刻画．【课时安排】2课时【活动安排】 一．自学质疑：看书P90-P92，完成下面三题1、直线12:36120;:3660l x y l x y +-=+-=的位置关系为 ；2、直线12:3210;:2360l x y l x y +-=--=的位置关系为 ；3、若12:(1)210;:360l a x y l x ay ++-=--=互相垂直，则a = ；二、互动研讨活动一：直线垂直的解析表示两条直线垂直，那么他们的斜率之间有什么关系，体现在方程有何特征？探究一：（从斜率的实际意义出发：形-数） 两条直线垂直，即倾斜角的差为直角，不妨设直线l 1，l 2（斜率存在）所对应的倾斜角分别为α1，α2，对应的斜率分别为k 1，k 2．因为α1－α2＝ ．根据倾斜角与斜率的关系，当倾斜角不是直角时，===)tan(tan 11αk = ，即k 1k 2＝ ． 当其中一条倾斜角是直角时，斜率不存在，此时另一条直线倾斜角是 ，斜率反之（数-形），如果两直线的斜率k 1k 2＝－1，根据倾斜角和斜率的关系以及正切函数的单调性可知倾斜角的差等于直角，从而说明它们互相垂直．结论： 若111222:,:l y k x b l y k x b =+=+，即两条斜率存在，则1l ⊥2l ⇔ ； 若两直线中一条斜率不存在，另一斜率为0，则必有 ；探究二：（从特殊到一般的研究方法）若直线12:36120;:6360l x y l x y +-=--=， 请在右侧空白处作出直线1l 和2l ：通过观察图发现了什么？ ；再在右侧空白处作图12:320;:20l x l y -=+=，必修二：2.1. 3你又发现了什么？ ；结论：若11112222:0,:A x y 0l A x B y C l B C ++=++=，1l ⊥2l ⇔ ； 活动二：直线垂直的解析条件运用1、已知四点A （5，3），B （10，6），C （3，－4），D （－6，11），求证：AB ⊥CD ；2、过点A （2，4）且与直线23x y +=垂直的直线方程为 ；3、已知直线l 1的斜率k 1＝43，直线l 2经过点A （3a ，－2），B （0，a 2＋1），且l 1⊥l 2，求实数a 的值．4、 在路边安装路灯，路宽23m ，灯杆长2．5m ，且与灯柱成120º角．路灯采用锥形灯罩，灯罩轴线与灯杆垂直．当灯柱高h 为多少米时，灯罩轴线正好通过道路路面的中线？。

第29课时：两条直线的垂直【学习目标】掌握用斜率判定两条直线垂直的方法，感受用代数方法研究几何图形性质的思想方法，并通过分类讨论、数形结合的数学思想培养学生思维的严谨性、辩证性【问题情境】试在同一坐标系内分别画出下列各组直线(1) y1,x y x (2)12,2yx y x +1 (3)1,2xy问：他们的倾斜角如何？斜率之间的关系呢？【合作探究】两条直线垂直的条件一般地，设直线l 1，l 2（斜率存在）所对应的斜率分别为k 1，k 2，则思考：1.如果两条直线l 1，l 2中的一条斜率不存在，那么这两条直线什么时候互相垂直？逆命题成立吗？2.设直线l 1：1112,222A 0, A 0x B y C l x B y C 与直线：，那么两条直线垂直的等价条件是什么？【交流展示】例1. (1) 已知四点A （5，3），B （10，6），C （3，−4），D （−6，11），求证：AB ⊥CD ；(2) 已知直线l 1的斜率k 1=43，直线l 2经过点A （3a ，−2），B （0，a 2+1），且l 1⊥l 2，求实数a 的值．例2. 已知三角形的顶点为A（2，4），B（1，−2），C（−2，3），求BC边上的高AD所在的直线.例3. 在路边安装路灯，路宽23m，灯杆长2.5m，且与灯柱成120º角. 路灯采用锥形灯罩，灯罩轴线与灯杆垂直. 当灯柱高h为多少米时，灯罩轴线正好通过道路路面的中线？（精确到0.01m）【学以致用】1.直线l1:2x=7与直线l2:ax+3y-5=0垂直，则a的值为2．直线l1:y=ax-2与直线l2:y=(a+2)x+1垂直，则a的值为________________3.过点M(1,2),且与直线2x+y-10=0垂直的直线方程为4.已知直线l1 :ax+by+2a=0与直线l2:(a-1)x+y+b=0互相垂直，且直线l1过点（-1，1），则a=________,b=___________5.已知直线l1:(a+1)x+(1-a)y-3=0, l2:(a-1)x-(2a+1)y+2=0,,若l1⊥l2,求a的值;参考作案1.02.－13.x-2y+3=04.2，-25.直线L1:(a+2)x+(1-a)y-a=0与直线L2（a-1）x+(2a+3)y+2=0垂直首先讨论斜率不存在的情况如果a=1直线L1和y轴平行, 直线L2和x轴平行,显然垂直如果a=-3/2 L2和y轴平行 L3不和x平行,所以不垂直当斜率存在时,垂直的话,斜率乘积是-1那么（a+2）/(a-1) *(1-a)/(2a+3)=-1a+2=2a+3a=-1综上a=-1 或者a=1 时,垂直。

课时29 直线的位置关系习题课【要点归纳】1、如果1l 、2l 斜率都存在，则直线平行能得到斜率相等；如果1l 、2l 斜率都不存在，那么两直线都垂直于x 轴，故它们 平行2、当两条直线的斜率都存在时，如果它们 互相垂直 ，那么它们的斜率的乘积等于1-；若两条直线12,l l 中的一条斜率不存在，则另一条斜率为 0 时，12l l ⊥.3、两条直线的方程分别是1111:0l A x B y C ++=，1222:0l A x B y C ++=．构成方程组1112220A x B y C A x B y C ++=⎧⎨++=⎩．（＊）4、平面上两点111222(,),(,)P x y P x y 间的距离公式为12PP = ．5、中点坐标公式：对于平面上两点111222(,),(,)P x y P x y ，线段12PP 的中点是00(,)M x y ，则12012022x x x y y y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩6、点00(,)P x y 到直线l ：0=++C By Ax 的距离： ．7、两条平行直线1l ：01=++C By Ax ，2l ：02=++C By Ax （21C C ≠）之间的距离为d ，则 【合作探究】例1、两条直线m y x m l 352)3(1-=++：，16)5(42=++y m x l ：，求分别满足下列条件的m的值．(1) 1l 与2l 相交； (2) 1l 与2l 平行； (3) 1l 与2l 重合； (4) 1l 与2l 垂直； (5) 1l 与2l 夹角为︒45．例2、已知直线022=-+y x l ：，试求：(1)点)1,2(--P 关于直线l 的对称点坐标；(2)直线21-=x y l ：关于直线l 对称的直线2l 的方程； (3)直线l 关于点)1,1(的对称直线方程．例3、已知直线082=+-y x l ：和两点)0,2(A 、)4,2(--B ．(1)在l 上求一点P ，使PB PA +最小； (2)在l 上求一点P ，使PA PB -最大．例4、已知)3,0(A ，)0,1(-B ，)0,3(C ，求D 点的坐标，使四边形ABCD 为等腰梯形．【课时作业29】1． 已知(1,2),(0,4)A B -，点C 在x 轴上，且AC=BC ，则点C 的坐标为 . 2．已知点(0,1)P -，点Q 在直线x-y+1=0上，若直线PQ 垂直于直线x+2y-5=0，则点Q 的坐标是 .3.经过两条直线280x y +-=和210x y -+=的交点，且平行于直线4370x y --=的直线方程为 .4. 已知直线l 1: 2x-3y+10=0 , l 2: 3x+4y-2=0.则经过l 1和l 2的交点，且与直线l 3: 3x-2y+4=0垂直的直线l 的方程为 .5. 已知直线mx+ny+1=0平行于直线4x+3y+5=0，且在y 轴上的截距为13，则m ，n 的值分别为（ ）.6. 直线2x －y －4=0上有一点P ，则它与两定点A(4，－1)，B(3，4)的距离之差的最大值为 .7. 在直线20x y -=上求一点P ，使它到点(5,8)M 的距离为５，并求直线PM 的方程.8. 过点)8,6(P 作两条互相垂直的直线PB PA ,，分别交x 轴正方向于A ，交y 轴正方向于B ，若APB AOB S S ∆∆=，求PB PA ,所在直线的方程.9．（探究创新题）已知直线方程为(2+λ)x+(1-2λ)y+4-3λ=0.（1）求证不论λ取何实数值，此直线必过定点；（2）过这定点引一直线，使它夹在两坐标轴间的线段被这点平分，求这条直线方程.10．点P（x，y）在直线4x + 3y = 0上，且满足－14≤x－y≤7，求点P到坐标原点距离的取值范围.【疑点反馈】（通过本课时的学习、作业之后，还有哪些没有搞懂的知识，请记录下来）课时29 习题课例1 分析：可先从平行的条件2121b b a a =(化为1221b a b a =)着手． 解：由m m +=+5243得0782=++m m ，解得11-=m ，72-=m ． 由163543m m -=+得1-=m ． (1)当1-≠m 且7-≠m 时，2121b b a a ≠，1l 与2l 相交； (2)当7-=m 时，212121c c b b a a ≠=．21//l l ； (3)当1-=m 时，212121c c b b a a ==，1l 与2l 重合； (4)当02121=+b b a a ，即0)5(24)3(=+⋅+⋅+m m ，311-=m 时，21l l ⊥； (5) 231+-=m k ，mk +-=542． 由条件有145tan 11212=︒=+-k k k k ．将1k ，2k 代入上式并化简得029142=++m m ，527±-=m ；01522=-+m m ，35或-=m ．∴当527±-=m 或-5或3时1l 与2l 夹角为︒45．例2 分析：对称问题可分为四种类型：①点关于点的对称点；②点关于直线的对称点；③直线关于直线的对称直线；④直线关于点的对称直线．对于①利用中点坐标公式即可．对于②需利用“垂直”“平分”两个条件．若③④在对称中心（轴），及一个曲线方程已知的条件下给出，则通常采取坐标转移法，其次对于对称轴（中心）是特殊直线，如：坐标轴、直线b x y +±=，采取特殊代换法，应熟练掌握．解：(1)设点P 关于直线l 的对称点为),(00'y x P ，则线段'PP 的中点M 在对称轴l 上，且l PP ⊥'．∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=--⋅+--=-⋅++0221222,1)21(210000y x x y 解之得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==5195200y x 即'P 坐标为⎪⎭⎫ ⎝⎛519,52．(2)直线21-=x y l ：关于直线l 对称的直线为2l ，则2l 上任一点),(y x P 关于l 的对称点),('''y x P 一定在直线1l 上，反之也成立．由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+⋅++-=-⋅--.02222,1)21(''''y y x x x x y y 得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+--=+-=.5834,5443''y x y y x x把),(''y x 代入方程2-=x y 并整理，得：0147=--y x 即直线2l 的方程为0147=--y x ．(3)设直线l 关于点)1,1(A 的对称直线为'l ，则直线l 上任一点),(11y x P 关于点A 的对称点),('y x P 一定在直线'l 上，反之也成立．由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+12,1211y y x x 得⎩⎨⎧-=-=y y x x 2211将),(11y x 代入直线l 的方程得：042=-+y x ．∴直线'l 的方程为042=-+y x ．例3 分析：较直接的思路是：用两点间的距离公式求出PB PA +的表达式，再求它的最小值．这样计算量太大也不可行．我们可以求出A 关于直线l 的对称点'A ，从而将AP 转化为P A '，从而当B 、P 、'A 三点共线时，PB PA +才最小，对于PA PB -最大也可以利用这样的方法．解：(1)如图，设A 关于l 的对称点为),('n m A则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+⋅-+-=-082222,22n m m n∴2-=m ，8=n ．∴)8,2('-A∴B A '的的是2-=x ，B A '与l 的交点是)3,2(-，故所求的点为)3,2(-P ． (2)如下图，AB 是方程)2()2(2)4(0-----=x y ，即2-=x y ．代入l 的方程，得直线AB 与l 的交点)10,12(，故所求的点P 为)10,12(．例4 分析：利用等腰梯形所具备的性质“两底互相平行且两腰长相等”进行解题． 解：如图，设),(y x D ，若CD AB //，则CD AB k k =，BC AD =，即⎪⎩⎪⎨⎧=+=-+--=+-②①.1613)3(,301003222y x x y 由①、②解得)53,516(D ．若BC AD //，则⎪⎩⎪⎨⎧==,,BC AD k k BC AD即⎪⎩⎪⎨⎧+=+-=--④③.31)3(,0032222y x x y由③、④式解得)3,2(D ．故D 点的坐标为)53,516(或)3,2(． 1． 11(,0)22．（2，3）3. 4360x y --=.解析:设所求直线的方程为28(21)0x y x y λ+-+-+=，整理为(2)(12)80x y λλλ++-+-=.∵ 平行于直线4370x y --=， ∴ (2)(3)(12)40λλ+⨯---⨯=，解得2λ=. 则所求直线方程为4360x y --=. 4. 2x+3y-2=0.解析：解方程组231003420x y x y -+=⎧⎨+-=⎩， 得交点（-2，2）.又由l ⊥l 3，且332l k =，得到23l k =-， 所以直线l 的方程为22(2)3y x -=-+，即2x+3y-2=0.5.－4和－36. 解析:找A 关于l 的对称点A ′，A ′B 与直线l 的交点即为所求的P 点. 设'(,)A a b , 则12144124022b a a b +⎧⨯=-⎪⎪-⎨+-⎪⨯--=⎪⎩，解得01a b =⎧⎨=⎩，所以线段|'|A B ==7. 解:∵ 点P 在直线20x y -=上，∴ 可设(,2)P a a ，根据两点的距离公式得22222(5)(28)5,542640PM a a a a =-+-=-+=即, 解得3225a a ==或，∴3264(2,4)(,)55P 或． ∴ 直线PM 的方程为8585643248258555y x y x ----==----或， 即4340247640x y x y -+=--=或. 8. 解：设)0,0)(,0(),0,(>>b a b B a A ，则AB ：1=+bya x ，即0=-+ab ay bx 。