【2021届高考二轮精品资源-数学】专题二 三角函数、解三角形、平面向量与数列(文理) 3讲 平(教师版)

第二讲 三角函数的图象与性质1．(2019·豫南九校联考)将函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向右平移π6个单位，则所得函数图象的解析式为( )A ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－5π24B ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－π3C ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－5π12 D.y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －7π12 解析：函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4经伸长变换得y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－π4，再作平移变换得y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤12⎝⎛⎭⎪⎫x －π6－π4＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－π3.答案：B2．(2019·某某亳州一中月考)函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π3在一个周期内的图象是( )解析：由题意得函数的周期为T ＝2π，故可排除B ，D.对于C ，图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0，代入解析式，不成立，故选A. 答案：A3．(2019·某某某某十校期末测试)要得到函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象，只需将函数y ＝cos 2x的图象( )A ．向左平移π3个单位长度B ．向左平移π6个单位长度C ．向右平移π6个单位长度D ．向右平移π3个单位长度解析：∵y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6，∴要得到函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象，只需将函数y ＝cos 2x 的图象向左平移π6个单位长度．答案：B4．(2019·东北三省三校一模)已知函数f (x )＝3sin ωx ＋cos ωx (ω>0)的图象的相邻两条对称轴之间的距离是π2，则该函数的一个单调增区间为( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π6 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π12，π12 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，2π3D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，2π3解析：由题意得2πω＝2×π2，解得ω＝2，所以f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.令－π2＋2k π≤2x ＋π6≤π2＋2k π(k ∈Z)，解得－π3＋k π≤x ≤π6＋k π.当k ＝0时，有x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π6.故选A.答案：A5．(2019·高考全国卷Ⅱ)若x 1＝π4，x 2＝3π4是函数f (x )＝sin ωx (ω>0)两个相邻的极值点，则ω＝( ) A ．2B.32 C ．1D.12解析：由题意及函数y ＝sin ωx 的图象与性质可知， 12T ＝3π4－π4，∴T ＝π，∴2πω＝π，∴ω＝2. 故选A. 答案：A6．(2019·某某某某一模)已知函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3的图象的一个对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0，其中ω为常数，且ω∈(1,3)．若对任意的实数x ，总有f (x 1)≤f (x )≤f (x 2)，则|x 1－x 2|的最小值是( ) A ．1 B.π2C ．2D.π解析：∵函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3的图象的一个对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0，∴π3ω＋π3＝k π，k ∈Z ，∴ω＝3k －1，k ∈Z ，由ω∈(1,3)，得ω＝2.由题意得|x 1－x 2|的最小值为函数的半个周期，即T 2＝πω＝π2.答案：B7．(2019·某某平遥中学调研)已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0，|φ|<π)的部分图象如图所示，已知点A (0，3)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0，若将它的图象向右平移π6个单位长度，得到函数g (x )的图象，则函数g (x )图象的一条对称轴方程为( ) A ．x ＝π12B.x ＝π4C ．x ＝π3D.x ＝2π3解析：由题意知图象过A (0，3)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0， 即f (0)＝2sin φ＝3，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6·ω＋φ＝0，又ω>0，|φ|<π，并结合图象知φ＝2π3，π6·ω＋φ＝π＋2k π(k ∈Z)，得ω＝2，所以f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋2π3， 移动后g (x )＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x －π6＋2π3＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，所以对称轴满足2x ＋π3＝π2＋k π(k ∈Z)，解得x ＝π12＋k π2(k ∈Z)，所以满足条件的一条对称轴方程是x ＝π12，故选A.答案：A8．(2019·某某某某适应性统考)已知A ，B ，C ，D ，E 是函数y ＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫ω>0，0<φ<π2一个周期内的图象上的五个点，如图所示，A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，0，B 为y 轴上的点，C 为图象上的最低点，E 为该函数图象的一个对称中心，B 与D 关于点E 对称，CD →在x 轴上的投影为π12，则ω，φ的值为( )A ．ω＝2，φ＝π3B.ω＝2，φ＝π6C ．ω＝12，φ＝π3D.ω＝12，φ＝π12解析：由题意知T ＝4×⎝⎛⎭⎪⎫π12＋π6＝π，所以ω＝2.因为A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，0，所以0＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＋φ. 又0<φ<π2，所以φ＝π3.答案：A9．(2019·某某某某3月模拟)已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π6(ω>0)，f (0)＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，若f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上有且仅有三个零点，则ω的可能取值为( )A.23 B.2 C.143D.263解析：∵函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π6(ω>0)，f (0)＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2， ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2ω－π6＝－12，∴π2ω－π6＝2k π＋π6或π2ω－π6＝2k π＋5π6，k ∈Z ，∴ω＝4k ＋23或ω＝4k ＋2，k ∈Z.∵函数f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上有且仅有三个零点，∴ωx －π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，ωπ2－π6，∴2π<ωπ2－π6≤3π，∴133<ω≤193，∴ω＝143或ω＝6.故选C.答案：C10．(2019·贺州一模)已知函数f (x )＝sin(2x ＋φ)(φ∈R)，若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x ＝f (x )，且f (π)>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，则函数f (x )取得最大值时x 的可能值为( )A.π6B.π5C.π3D.π2解析：因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x ＝f (x )， 即y ＝f (x )的图象关于直线x ＝π6对称，即函数f (x )在x ＝π6时取得最值，①当函数f (x )在x ＝π6时取得最大值时，又因为函数f (x )的周期为π，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝f (π)，满足题意， ②当函数f (x )在x ＝π6时取得最小值时，又因为函数f (x )的周期为π，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝f (π)，不满足题意， 综合①②得：函数f (x )取得最大值时x 的可能值为π6.故选A. 答案：A11．(2019·某某一模)若函数f (x )＝sinωx2·sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx 2＋π2(ω>0)在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π2内有且仅有一个最大值，则ω的取值X 围是( ) A ．(0,5)B.[1,5)C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，92 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫1，92 解析：f (x )＝sinωx2sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx 2＋π2＝12sin ωx ，当ωx ＝2k π＋π2，即x ＝2k π＋π2ω(k ∈Z)时函数取最大值，又函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π2内有且仅有一个最大值，即有两种情况，一是区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π2内只有一个极值点，二是函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π2内单调递增，所以有⎩⎪⎨⎪⎧π2≤ωπ2<5π2，－3π2<－ωπ3或⎩⎪⎨⎪⎧π2≥ωπ2，－π2≤－ωπ3，解得ω∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫1，92或ω∈(－∞，1]，又∵ω>0，所以ω∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，92，故选C. 答案：C12．(2019·某某一模)函数f (x )＝sin(2x ＋θ)＋cos 2x ，若f (x )最大值为G (θ)，最小值为g (θ)，则( )A ．∃θ0∈R ，使G (θ0)＋g (θ0)＝πB ．∃θ0∈R ，使G (θ0)－g (θ0)＝πC ．∃θ0∈R ，使|G (θ0)·g (θ0)|＝πD ．∃θ0∈R ，使⎪⎪⎪⎪⎪⎪G (θ0)g (θ0)＝π解析：f (x )＝sin(2x ＋θ)＋cos 2x ＝cos θ·sin 2x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin θ＋12·cos 2x ＋12＝54＋sin θsin(2x ＋φ)＋12，所以G (θ)＝54＋sin θ＋12，g (θ)＝－54＋sin θ＋12， ①对于选项A ，G (θ0)＋g (θ0)＝54＋sin θ＋12－54＋sin θ＋12＝1，显然不满足题意，即A 错误，②对于选项B ，G (θ0)－g (θ0)＝54＋sin θ＋12＋54＋sin θ－12＝254＋sin θ∈[1,3]，显然不满足题意，即B 错误， ③对于选项C ，G (θ0)·g (θ0)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫54＋sin θ＋12·⎝ ⎛⎭⎪⎫54＋sin θ－12＝1＋sin θ∈[0,2]，显然不满足题意，即C 错误，④对于选项D ，⎪⎪⎪⎪⎪⎪G (θ)g (θ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪154＋sin θ－12＋1∈[2，＋∞)，即∃θ0∈R ，使⎪⎪⎪⎪⎪⎪G (θ0)g (θ0)＝π，故D 正确， 故选D. 答案：D13．(2019·某某模拟)函数f (x )＝4cos x sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6－1(x ∈R)的最大值为________．解析：∵f (x )＝4cos x sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6－1＝4cos x ⎝ ⎛⎭⎪⎫32sin x ＋12cos x －1＝23sin x cos x ＋2cos 2x －1＝3sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，∴f (x )max ＝2. 答案：214．设函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)．若函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π2上具有单调性，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，则函数f (x )的最小正周期为________． 解析：∵f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π2上具有单调性，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3， ∴x ＝π2和x ＝2π3均不是f (x )的极值点，其极值应该在x ＝π2＋2π32＝7π12处取得，∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，∴x ＝π6也不是函数f (x )的极值点，又f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π2上具有单调性， ∴x ＝π6－⎝⎛⎭⎪⎫7π12－π2＝π12为f (x )的另一个相邻的极值点，故函数f (x )的最小正周期T ＝2×⎝⎛⎭⎪⎫7π12－π12＝π.答案：π15．(2019·某某某某武邑中学模拟)将f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4(ω>0)的图象向右平移π4ω个单位，得到y ＝g (x )的图象，若y ＝g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π4上为增函数，则ω的最大值为________．解析：将f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4(ω>0)的图象向右平移π4ω个单位，得到y ＝g (x )＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ω⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4ω＋π4＝2sin ωx 的图象，若y ＝g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π4上为增函数，则满足T 4≥π4，即T ≥π，即2πω≥π，所以0<ω≤2，即ω的最大值为2.答案：216．已知函数f (x )＝2a sin(πωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫a ≠0，ω>0，|φ|≤π2，直线y ＝a 与f (x )的图象的相邻两个距离最近的交点的横坐标分别是2和4，现有如下命题： ①该函数在[2,4]上的值域是[a ，2a ]；②在[2,4]上，当且仅当x ＝3时函数取得最大值； ③f (x )的图象可能过原点． 其中真命题的个数为________．解析：对于①，∵直线y ＝a 与函数f (x )＝2a sin(πωx ＋φ)的图象的相邻两个距离最近的交点的横坐标分别为2和4，∴结合图象可以看出，当a >0时，f (x )在[2,4]上的值域为[a ，2a ]，当a <0时，f (x )在[2,4]上的值域为[2a ，a ]，①错误；对于②，根据三角函数图象的对称性，显然x ＝2和x ＝4的中点是x ＝3，即当a >0时，f (x )在x ＝3处有最大值f (3)＝2a ，当a <0时，f (x )在x ＝3处有最小值f (3)＝2a ，②错误； 对于③，f (0)＝2a sin φ，令f (0)＝0，得φ＝0，此时f (x )＝2a sin πωx ，由2a sin πωx ＝a 得sin πωx ＝22，则πωx ＝2k π＋π4(k ∈Z)或πωx ＝2k π＋3π4(k ∈Z)，∴x ＝2k ＋14ω(k ∈Z)或x ＝2k ＋34ω(k ∈Z)，∵直线y ＝a 与函数f (x )＝2a sin(πωx ＋φ)的图象的相邻两个距离最近的交点的横坐标分别为2和4，∴令⎩⎪⎨⎪⎧2k ＋14ω＝2，2k ＋34ω＝4，解得k ＝18∉Z ，即不存在这样的k 符合题意，③错误． 综上，没有真命题． 答案：0。

一讲三角函数的图象与性质课时作业文编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2017届高考数学二轮复习第一部分专题篇专题二三角函数、平面向量第一讲三角函数的图象与性质课时作业文）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

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第一讲三角函数的图象与性质课时作业文1．（2016·西安质检)将函数f(x)＝sin错误!的图象上各点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍,所得图象的一条对称轴方程可能是( )A．x＝－π12B．x＝错误!C．x＝错误!D．x＝错误!解析：将函数f(x)＝sin错误!的图象上各点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，得到函数y＝sin错误!的图象，由错误!x＋错误!＝错误!＋kπ，k∈Z，得x＝错误!＋2kπ，k∈Z,∴当k＝0时，函数图象的对称轴为x＝2π3.故应选D.答案：D2．(2016·贵阳监测）已知函数f（x）＝sin（ωx＋φ)错误!的部分图象如图所示,如果x1，x2∈错误!,且f（x1）＝f(x2），则f(x1＋x2)＝( )A.错误!B。

错误!C。

错误!D．1解析：由题图可知,错误!＝错误!－错误!＝错误!,则T＝π，ω＝2，又错误!＝错误!，∴f(x)的图象过点错误!，即sin错误!＝1，得φ＝错误!，∴f(x)＝sin错误!。

而x1＋x2＝－错误!＋错误!＝错误!，∴f（x1＋x2）＝f错误!＝sin错误!＝sin 错误!＝错误!.答案：B3．（2016·高考山东卷)函数f（x)＝(错误!sin x＋cos x）·（错误!cos x－sin x）的最小正周期是（）A。

专题能力提升练七三角恒等变换与解三角形(45分钟80分)一、选择题(每小题5分,共30分)1.cos15°-4sin215°cos15°=()A. B. C.1D.【解析】选D.cos 15°-4sin215°cos 15°=cos 15°-2sin 15°×2sin 15°cos 15°=cos 15°-2sin 15°sin 30°=cos 15°-sin 15°=2cos(15°+30°)=.2.(2018·永州二模)已知△ABC的内角A,B,C的对边分别是a,b,c,若+=2a,则△ABC是()A.等边三角形B.锐角三角形C.等腰直角三角形D.钝角三角形【解析】选 C.因为+=2a,所以由正弦定理可得,+=2sinA≥2=2,所以sin A=1,当=时,“=”成立,所以A=,b=c,所以△ABC是等腰直角三角形.3.(2018·全国卷Ⅱ)在△ABC中,cos=,BC=1,AC=5,则AB= ( )A.4B.C.D.2【解析】选A.cos C=2cos2-1=2×-1=-,在△ABC中,由余弦定理AB2=CA2+CB2-2CA·CB·cos C,得AB2=25+1-2×1×5×=32,所以AB=4.4.若向量a=,向量b=(1,sin22.5°),则a·b=( )A.2B.-2C.D.-【解析】选A.由题得a·b=tan67.5°+=tan 67.5°+=tan 67.5°-tan 22.5°=tan 67.5°-==2×=2×=2.【加固训练】(2018·会宁一中一模)已知x为锐角,=,则a的取值X围为( ) A.[-2,2] B.(1,)C.(1,2]D.(1,2)【解析】选C.由=,可得:a=sin x+cos x=2sin,又x∈,所以x+∈,所以a的取值X围为(1,2].5.在锐角△ABC中,A=2B,则的取值X围是( )A.(-1,3)B.(1,3)C.(,)D.(1,2)【解析】选D.====3-4sin2B.因为△ABC是锐角三角形,所以得<B<⇒sin2B∈.所以=3-4sin2B∈(1,2).6.(2018·全国卷Ⅲ)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若△ABC的面积为,则C= ()A. B. C. D.【解析】选C.由题意S△ABC=absin C=,即sin C=,由余弦定理可知sin C=cos C,即tan C=1,又C∈(0,π),所以C=.【加固训练】(2018·某某一模) 已知△ABC中,sinA,sinB,sinC成等比数列,则的取值X围是( )A. B.C.(-1,]D.【解析】选 B.由已知可知sin2B=sin A·sin C,即b2=ac,cos B==≥=,即0<B≤,sin B+cos B=sin∈(1,],原式==,设t=sin B+cos B,即原式==t-(1<t≤),函数是增函数,当t=1时,函数等于0,当t=时,函数等于,所以原式的取值X围是.二、填空题(每小题5分,共10分)7.(2018·全国卷Ⅱ)已知tan=,则tanα=________.【解析】因为tan=tan=,所以=,解得tan α=.答案:【加固训练】(2018·某某市一模) 已知cos=,则sin2α=________.【解析】sin 2α=sin=-cos2=1-2cos2=1-2×=-.答案:-8.为了竖起一块广告牌,要制造三角形支架,如图,要求∠ACB=60°,BC的长度大于1米,且AC 比AB长0.5米,为了稳定广告牌,要求AC越短越好,则AC最短为________.【解题指南】首先根据余弦定理找出边BC与AC之间的关系,用边BC表示出边AC,结合函数知识即可求解.【解析】由题意设BC=x(x>1)米,AC=t(t>0)米,依题设AB=AC-0.5=(t-0.5)米,在△ABC中,由余弦定理得:AB2=AC2+BC2-2AC·BCcos 60°,即(t-0.5)2=t2+x2-tx,化简并整理得:t=(x>1),即t=x-1++2,因为x>1,故t=x-1++2≥2+,当且仅当x=1+时取等号,此时取最小值2+. 答案:2+三、解答题(每小题10分,共40分)9.(2018·全国卷Ⅰ)在平面四边形ABCD中,∠ADC=90°,∠A=45°,AB=2,BD=5.(1)求cos∠ADB.(2)若DC=2,求BC.【解析】(1)在△ABD中,由正弦定理得=.由题设知,=,所以sin∠ADB=.由题意知,∠ADB<90°,所以cos∠ADB==.(2)由题意及(1)知,cos∠BDC=sin∠ADB=.在△BCD中,由余弦定理得BC2=BD2+DC2-2·BD·DC·cos∠BDC=25+8-2×5×2×=25. 所以BC=5.10.如图,在△ABC中,AB=2,cosB=,点D在线段BC上.(1)若∠ADC=,求AD的长.(2)若BD=2DC,△ACD的面积为,求的值.【解题指南】(1)首先利用同角三角函数间的基本关系求得sin B的值,然后利用正弦定理即可求得AD的长.(2)首先利用三角形面积间的关系求得S△ABC,然后利用三角形面积公式结合余弦定理即可求得的值.【解析】(1)在三角形中,因为cos B=,所以sin B=,在△ABD中,由正弦定理得=,又AB=2,∠ADB=,sin B=.所以AD=.(2)因为BD=2DC,所以S△ABD=2S△ADC,S△ABC=3S△ADC,又S△ADC=,所以S△ABC=4,因为S△ABC=AB·BCsin∠ABC,所以BC=6,因为S△ABD=AB·ADsin∠BAD,S△ADC=AC·ADsin∠CAD,S△ABD=2S△ADC,所以=2·,在△ABC中,由余弦定理得AC2=AB2+BC2-2AB·BCcos∠ABC.所以AC=4,所以=2·=4.11.已知函数f(x)=2sinxcosx+2cos2x-1(x∈R).(1)求函数f(x)的最小正周期及在区间上的最大值和最小值.(2)若f(x0)=,x0∈,求cos2x0的值.【解析】(1)f(x)=2sin xcos x+2cos2x-1=(2sin xcos x)+(2cos2x-1)=sin 2x+cos 2x=2sin,所以函数f(x)的最小正周期为π;因为x∈,所以2x+∈,sin∈,所以函数f(x)=2sin在区间上的最大值为2,最小值为-1.(2)由(1)可知f(x0)=2sin,又因为f(x0)=,所以sin=,由x0∈,得2x0+∈,从而cos=-=-,所以cos 2x0=cos=cos cos +sin sin =12.在△ABC中,D是边BC上的点,AB=AD=,cos∠BAD=.(1)求sinB.(2)若AC=4,求△ADC的面积.【解题指南】(1)直接利用余弦定理和正弦定理求出结果.(2)利用(1)的结论和余弦定理求出三角形的面积.【解析】(1)在△ABD中,BD2=AB2+AD2-2AB·AD·cos∠BAD=7+7-2×××=12,得BD=2.由cos∠BAD=,得sin∠BAD=,在△ABD中,由正弦定理得=,所以sin B=×=.(2)因为sin B=,B是锐角,所以cos B=,设BC=x,在△ABC中,AB2+BC2-2AB·BC·cos B=AC2,即7+x2-2·x··=16,化简得:x2-2x-9=0,解得x=3或x=-(舍去),则CD=BC-BD=3-2=,由∠ADC和∠ADB互补,得sin∠ADC=sin∠ADB=sin B=,所以△ADC的面积S=·AD·DC·sin∠ADC=×××=.【加固训练】(2018·某某二模)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知△ABC的面积为acsin2B.(1)求sinB的值.(2)若c=5,3sin2C=5sin2B·sin2A,且BC的中点为D,求△ABD的周长.【解析】(1)由S△ABC=acsinB=acsin2B,得sin B=2sin B·cos B,因为0<B<π,所以sin B>0,故cos B=,又sin2B+cos2B=1,所以sin B=.(2)由(1)和3sin2C=5sin2B·sin2A得16sin2C=25sin2A,由正弦定理得16c2=25a2,因为c=5,所以a=4,BD=a=2,在△ABD中,由余弦定理得:AD2=c2+BD2-2c·BD·cos B=52+22-2×5×2×=24,所以AD=2.所以△ABD的周长为c+BD+AD=7+2.(建议用时:50分钟)1.(2018·某某一模)南宋数学家秦九韶早在《数书九章》中就独立创造了已知三角形三边求其面积的公式:“以小斜幂并大斜幂,减中斜幂,余半之,自乘于上,以小斜幂乘大斜幂减之,以四约之,为实,一为从隅,开方得积.”(即:S=,c>b>a),并举例“问沙田一段,有三斜(边),其小斜一十三里,中斜一十四里,大斜一十五里,欲知为田几何?”则该三角形田面积为( )A.82平方里B.83平方里C.84平方里D.85平方里【解析】选C.由题意可得:a=13,b=14,c=15代入:S===84,则该三角形田面积为84平方里.2.已知△ABC的三个内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若2sin=1,且a=2,则△ABC 的面积的最大值为( )A. B. C. D.2【解析】选B.sin=,-=,A=,由于a=2为定值,由余弦定理得4=b2+c2-2bccos ,即4=b2+c2+bc.根据基本不等式得4=b2+c2+bc≥2bc+bc=3bc,即bc≤,当且仅当b=c时,等号成立.S△=bcsin A≤··=.3.在△ABC中,a,b,c分别是内角A,B,C的对边,sinAcosB-(c-cosA)·sinB=0,则边b=________.【解析】由sin Acos B-(c-cos A)·sin B=0,得sin Acos B+cos Asin B=csin B,所以sin C=csin B,即=sin B,由正弦定理=,故b==1.答案:14.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,设△ABC的面积为S,若3a2=2b2+c2,则的最大值为________.【解析】因为3a2=2b2+c2,所以3a2=3b2-b2+3c2-2c2,所以b2+2c2=3(b2+c2-a2)=6bccos A,所以==tan A.由题得a2=,所以 cos A===≥=,所以tan A=≤=,当且仅当b=c时取等号.所以的最大值为.答案:【加固训练】(2018·某某中学模拟)在锐角△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知a=,(b2+c2-3)tanA=bc,2cos2=(-1)cosC,则△ABC的面积等于________.【解析】条件(b2+c2-3)tan A=bc即为(b2+c2-a2)tan A=bc,由余弦定理得2bccos Atan A=bc,所以得sin A=,又A为锐角,所以A=.又2cos2=1+cos(A+B)=1-cos C=(-1)cos C,所以cos C=,得C=,故B=.在△ABC中,由正弦定理得=,所以c===.故△ABC的面积S=acsin B=×××sin =.答案:5.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知(b-c)2=a2-bc.(1)求sinA.(2)若a=2,且sinB,sinA,sinC成等差数列,求△ABC的面积.【解析】(1)由(b-c)2=a2-bc,得b2+c2-a2=bc,即=,由余弦定理得cos A=,因为0<A<π,所以sin A=.(2)由sin B,sin A,sin C成等差数列,得sin B+sin C=2sin A,由正弦定理得b+c=2a=4,所以16=(b+c)2,所以16=b2+c2+2bc.由(1)得16=a2+bc,所以16=4+bc,解得bc=,所以S△ABC=bcsin A=××=.6.(2018·某某一模)△ABC的内角为A,B,C的对边分别为a,b,c,已知=+.(1)求sin(A+B)+sinAcosA+cos(A-B)的最大值.(2)若b=,当△ABC的面积最大时,求△ABC的周长.【解题指南】(1)先根据正弦定理将边角关系转化为角的关系,再根据三角公式转化为二次函数求解.(2)根据余弦定理利用基本不等式求解.【解析】(1)由=+得:=,a=bcos C+csin B,即sin A=sin Bcos C+sin Csin B,所以cos B=sin B,B=;由sin(A+B)+sin Acos A+cos(A-B)=(sin A+cos A)+sin Acos A,令t=sin A+cos A,原式=t2+t-,当且仅当A=时,上式取最大值,最大值为.(2)S=acsin B=ac,b2=a2+c2-2accos B,即2=a2+c2-ac≥(2-)ac,ac≤2+,当且仅当a=c=等号成立;S max=,周长L=a+b+c=2+.7.(2018·某某二模) 如图,在平面四边形ABCD中,AB=2,AC=2,∠ADC= ∠CAB=90°,设∠DAC=θ.(1)若θ=60°,求BD 的长度;(2)若∠ADB=30°,求tanθ.【解题指南】(1)在△ABD中,利用余弦定理直接求出BD.(2)在△ABD中,写出正弦定理再化简即得解.【解析】(1)由题意可知,AD=1.在△ABD中,∠DAB=150°,AB=2,AD=1,由余弦定理可知,BD2=(2)2+12-2×2×1×=19,BD=.(2)由题意可知,AD=2cos θ,∠ABD=60°-θ,在△ABD中,由正弦定理可知,=,所以=4,所以tan θ=.。

三角函数与解三角形一、单选题 一、单选题1．（2021·江苏盐城市·高三二模）计算2cos10sin 20cos 20︒-︒︒所得的结果为（ ）A ．1BCD ．2【答案】C 【解析】将cos10︒转化成cos(3020)︒-︒，展开整理化简即可. 【详解】2cos10sin 202cos(3020)sin 20cos 20cos 20︒-︒︒-︒-︒=︒︒==故选：C2．（2021·浙江高一期末）在地球公转过程中，太阳直射点的纬度随时间周而复始不断变化，太阳直射点回归运动的一个周期就是一个回归年.某科研小组以某年春分(太阳直射赤道且随后太阳直射点逐渐北移的时间)为初始时间，统计了连续400天太阳直射点的纬度值(太阳直射北半球时取正值，直射南半球时取负值).设第x 天时太阳直射点的纬度值为,y 该科研小组通过对数据的整理和分析.得到y 与x 近似满足23.43929110.01720279y sin x =.则每400年中，要使这400年与400个回归年所含的天数最为接近.应设定闰年的个数为(精确到1)（ ） 参考数据182.62110.01720279π≈A ．95B ．96C ．97D ．98【答案】C 【解析】求得y 的最小正周期，由此求得每400年差的天数，由此确定需要设定的闰年的个数. 【详解】()2182.62112365.2422,40036596.88970.01720279T T π=≈⨯=-=≈，所以应设定闰年的个数为97.故选：C3．（2021·山东高三专题练习）密位制是度量角的一种方法．把一周角等分为6000份，每一份叫做1密位的角．以密位作为角的度量单位，这种度量角的单位制，叫做角的密位制．在角的密位制中，采用四个数码表示角的大小，单位名称密位二字可以省去不写．密位的写法是在百位数与十位数字之间画一条短线，如密位7写成“007-”，478密位写成“478-”，1周角等于6000密位，记作1周角6000=-，1直角1500=-．如果一个半径为2的扇形，它的面积为76π，则其圆心角用密位制表示为（ ） A ．1250- B ．1750- C ．2100-D ．3500-【答案】B 【解析】计算出扇形所对圆心角的弧度数，可计算出扇形圆心角的密位数，结合密位制可得结果. 【详解】设扇形所对的圆心角为α，α所对的密位为n ，则217226απ⨯=，解得7π12α=，由题意可得71260002n ππ=，解得76000175024n =⨯=， 因此，该扇形圆心角用密位制表示为1750-. 故选：B.4．（2021·江苏常州市·高三一模）函数()()2sin ln1f x x x x =+-的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】根据()00f =，排除B 、C 选项；再由函数的奇偶性，排除D 选项，即可求解. 【详解】由题意，函数())2sin ln 1f x x x x =+，可得()00f =，可排除B 、C 选项；又由()())2sin ln1f x x x x -=-+=22211sin ln 1x x x x x x x +++--+-⎝)122sin ln sin ln 11x x x xx x -⎛⎫=-=-++-)()2sin ln1x x x f x =+=，所以函数()f x 为偶函数，所以排除D 选项. 故选：A.5．（2021·河南高三月考（文））函数2()23sin cos 2sin 1f x x x x =-+的图象向右平移24π个单位长度后得到函数()g x 的图象，对于函数()g x ，下列说法不正确的是（ ） A ．()g x 的最小正周期为π B ．()g x 的图象关于直线524x π=对称 C ．()g x 在区间,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增 D ．()g x 的图象关于点13,024π⎛⎫-⎪⎝⎭对称【答案】C 【解析】将函数转化为()f x =2sin 26x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭，再由平移变换得到()g x 2sin 212x π⎫⎛=+⎪⎝⎭，然后逐项判断. 【详解】因为()23sin cos f x x x =-22sin 12sin 26x x π⎫⎛+=+ ⎪⎝⎭．其图象向右平移24π个单位长度后得到函数()2sin 2246g x x ππ⎡⎤⎫⎛=-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦2sin 212x π⎫⎛=+ ⎪⎝⎭的图象．所以()g x 的最小正周期为π，故A 正确；当524x π=时，2122x ππ+=，所以()g x 的图象关于直线524x π=对称，故B 正确；当,44x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，572,121212x πππ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦，所以()g x 在间,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上不单调，故C 错误；当1324x π=-时，212x ππ+=-，所以函数()g x 的图象关于点13,024π⎛⎫- ⎪⎝⎭对称，故D 正确． 故选：C6．（2021·河南高三月考（文））函数()cos 1xf x x =-的部分图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】通过函数的定义域判断选项C ，通过函数的奇偶性判断选项B ，当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，通过函数的正负判断选项A ，即可得出结果. 【详解】因为cos 10x -≠，所以()f x 的定义域为{|2,}x x k k π≠∈Z ，则0x ≠，故排除C ； 而()cos()1x f x x --=--()cos 1xf x x -==--，所以()f x 为奇函数，其图象关于原点对称，故排除B ； 当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，cos 10x -<，()0cos 1x f x x =<-，所以排除A ． 故选：D ．7．（2021·全国高三专题练习（文））已知()2sin 3sin 2ππαα⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭，则221sin sin 2cos 2ααα--=（ ） A ．513B ．113C ．513-D ．113【答案】B 【解析】由诱导公式以及商数关系得出3tan 2α=，再由倍角公式以及弦化切得出答案. 【详解】由2sin()3sin 2ππαα⎛⎫-=+⎪⎝⎭，得2sin 3cos αα=，所以3tan 2α=从而222222221sin sin cos cos tan tan 11sin sin 2cos 2sin cos tan 113αααααααααααα------===-++． 故选：B8．（2021·山东德州市·高三一模）已知π1sin sin 33αα⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，则πcos 6α⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值为（ ）．A ．13B ．13-C D ．3-【答案】B 【解析】利用两角和的正弦公式化简然后使用辅助角公式计算即可.【详解】由π1sin sin 33αα⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，所以111sin sin coscos sinsin 33323ππααααα=++=++111sin 233πcos 6ααα-=-⇒⎛⎫+ ⎪=-⎝⎭ 故选：B9．（2021·山东日照市·高三一模）将函数sin y x =的图象向左平移2π个单位，得到函数()y f x =的图象，则下列说法正确的是（ ） A ．()y f x =是奇函数B ．()y f x =的周期为πC ．()y f x =的图象关于点,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭对称D ．()y f x =的图象关于直线2x π=对称【答案】C 【解析】先求出()y f x =的解析式，再根据余弦函数的性质逐一判断四个选项的正误即可得正确选项. 【详解】sin y x =的图象向左平移2π个单位，得到函数()sin cos 2y f x x x π⎛⎫==+= ⎪⎝⎭，()cos y f x x ==，()()()cos cos f x x x f x -=-==，所以()cos y f x x ==是偶函数，故选项A 不正确；()cos y f x x ==的周期为221T ππ==，故选项B 不正确； ()cos y f x x ==的图象对称中心为(),02k k Z ππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，所以关于点,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭对称，故选项C 正确；()cos y f x x ==对称轴为()x k k Z π=∈，直线2x π=不是()y f x =的图象的对称轴，故选项D 不正确；故选：C.10．（2021·全国高三专题练习（文））明朝早期，郑和七下西洋过程中，将中国古代天体测量方面所取得的成就创造性地应用于航海，形成了一套先进的航海技术——“过洋牵星术”，简单地说，就是通过观测不同季节、时辰的日月星辰在天空运行的位置和测量星辰在海面以上的高度来判断水位.其采用的主要工具是牵星板，其由12块正方形模板组成，最小的一块边长约2厘米（称一指），木板的长度从小到大依次成等差数列，最大的边长约24厘米（称十二指）.观测时，将木板立起，一手拿着木板，手臂伸直，眼睛到木板的距离大约为72厘米，使牵星板与海平面垂直，让板的下缘与海平面重合，上边缘对着所观测的星辰依高低不同替换、调整木板，当被测星辰落在木板上边缘时所用的是几指板，观测的星辰离海平面的高度就是几指，然后就可以推算出船在海中的地理纬度.如图所示，若在一次观测中，所用的牵星板为六指板，则sin 2α约为（ ）A ．1235B ．1237C ．16D ．13【答案】B 【解析】根据12块正方形模板成等差数列可知6指板的长度，再由三角恒等变换求值即可. 【详解】由题意，12块正方形模板组成以2厘米为首项，最大边长24厘米的等差数列， 所以公差2422121d -==-，故第6块正方形模板边长为2(61)212+-⨯=厘米，即 6指的板长度为12厘米. 因为眼睛到木板距离为72厘米， 故在直角三角中61tan 726α==， 所以222122sin cos 2tan 126sin 22sin cos 1sin cos 1tan 37136ααααααααα⨯=====+++， 故选：B11．（2021·山东青岛市·高三一模）已知角θ终边上有一点417tan π,2sin π36P ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则cos θ的值为（ ）A ．12B ．12-C ．D ．2【答案】D 【解析】先算出点P 的坐标，再利用三角函数的定义计算即可. 【详解】因为4tantan tan 333ππππ⎛⎫=+== ⎪⎝⎭17sin sin 266ππππ⎛⎫⎛⎫-=--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1sin sin sin 6662πππππ⎛⎫⎛⎫=-+=--=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即112sin 16π⎛⎫-=- ⎪⎝⎭所以)1P-所以cos θ==故选：D.12．（2021·湖南高二月考）将函数f (x )=sin x 的图象上所有点的横坐标变为原来的1ω(ω>0)，纵坐标不变，得到函数g (x )的图象，若函数g (x )的最小正周期为6π，则（ ） A ．ω=13B ．ω=6C ．ω=16D ．ω=3【答案】A 【解析】由伸缩变换求出()g x 的解析式，再由周期公式得出答案. 【详解】由题意可知()sin g x x ω=，由26ππω=，解得13ω=故选：A13．（2021·广东广州市·高三一模）函数3()sin f x x x =-在[1,1]-上的图像大致为（ ）A ．B ．C．D ．【答案】C 【解析】根据解析式和图象，结合特殊值，判断选项. 【详解】因为函数3()sin f x x x =-，()11sin10f =->，故排除AD ，331sin 066662f ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故排除B ，只有C 满足条件.故选：C14．（2021·山东菏泽市·高三一模）函数的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】判断函数的奇偶性，再判断函数值的正负，从而排除错误选项，得正确选项． 【详解】 因为()sin x xx xy f x e e --==+所以()()sin sin x xx x x x x xf x e e e e------+-==++ 得()()f x f x =--， 所以sin x xx xy e e --=+为奇函数排除C;在[0,)+∞，设()sin g x x x =-， ()1cos 0g x x ='-≥，()g x 单调递增，因此()(0)0g x g ≥=， 故sin 0x xx xy e e--=≥+在 [0,)+∞上恒成立， 排除AD 故选：B.15．（2021·广东肇庆市·高三二模）已知角α的顶点与坐标原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它的终边与以O 为圆心的单位圆相交于A 点.若A 6） A ．6sin α=B ．2cos 23α=-C ．5sin 2α=D ．5tan 2α=【答案】B 【解析】根据三角函数的定义求得cos ,sin αα，再由二倍角公式求得sin 2,cos 2αα，然后由同角关系得tan 2α后判断各选项． 【详解】由三角函数的定义，可知cos 6α=，sin 6α=±，则22cos 22cos 13αα=-=-，sin 2α、tan 2α均有两解 故选：B.16．（2021·山东淄博市·高三一模）已知()()cos cos f x x x x =在区间,3m π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值是32，则实数m 的最小值是（ ） A ．12πB ．3πC ．12π-D ．6π 【答案】D 【解析】利用()f x 在区间,3m π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值，结合()f x 的单调性求得m 的最小值. 【详解】()()cos cos f x x x x =+2cos cos x x x =1cos 21122cos 2222x x x x +=+=++1sin 262x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭. 由于1131sin 21,sin 262622x x ππ⎛⎫⎛⎫-≤+≤-≤++≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即()f x 的值域为13,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦， 211sin 33622f πππ⎛⎫⎛⎫-=-++=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即()f x 在3x π=-处取得最小值，而()f x 的最小正周期为22ππ=，其一半为2π，则326πππ-+=，所以()f x 在,36ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上递增，且在6x π=处取得最大值32，故m 的最小值为6π. 故选：D17．（2021·辽宁高三二模）若1tan 23=α，则()5πsin 12sin 3παα⎛⎫+- ⎪⎝⎭=-（ ） A ．13-B ．3-C ．13D ．3【答案】A 【解析】先根据诱导公式化简得()5πsin 1cos 12sin 3πsin αααα⎛⎫+- ⎪-⎝⎭=-,再结合半角公式整理得()5πsin 1cos 112tan sin 3πsin 23ααααα⎛⎫+- ⎪-⎝⎭==-=--. 【详解】由诱导公式化简整理得：()5πsin 1cos 12sin 3πsin αααα⎛⎫+- ⎪-⎝⎭=-， 由于2cos 12sin,sin 2sincos222ααααα=-=，所以()25πsin 12sin cos 1122tan sin 3πsin 232sin cos 22αααααααα⎛⎫+-- ⎪-⎝⎭===-=--⋅ 故选：A18．（2021·湖南衡阳市·高三一模）已知函数()cos f x x ω=（0>ω），将()f x 的图像向右平移3ωπ个单位得到函数()g x 的图像，点A ，B ，C 是()f x 与()g x 图像的连续相邻三个交点，若ABC 是钝角三角形，则ω的取值范围为（ ）A．0,2⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭ B．0,3⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭ C．,3⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭ D．,2⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭【答案】B 【解析】先由平移变换得到()cos 3g x x πω⎛⎫=-⎪⎝⎭，在同一坐标系中作出两个函数图像，设D 为AC 的中点，由cos cos 3x x πωω⎛⎫=- ⎪⎝⎭，3cos 2x ω=±，然后根据ABC 为钝角三角形，只须4ACB π∠<，由tan 1BDACB DC∠=<求解， 【详解】由题意得，()cos 3g x x πω⎛⎫=-⎪⎝⎭，作出两个函数图像，如图：A ，B ，C 为连续三交点，（不妨设B 在x 轴下方），D 为AC 的中点， 由对称性，则ABC 是以B 为顶角的等腰三角形，2AC T πω==，由cos cos 3x x πωω⎛⎫=-⎪⎝⎭，整理得cos 3sin x x ωω=， 解得3tan x ω=3cos x ω= 即32C B y y =-=， 所以23B BD y ==， 因为ABC 为钝角三角形，则4ACB π∠<，所以tan 1BD ACB DC π∠==<，解得03ω<<， 故选：B.19．（2021·全国高三专题练习（文））已知sin 3cos 36ππαα⎛⎫⎛⎫-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则sin 2α的值是（ ） A．BC．-D．【答案】D 【解析】利用两角差的正弦和余弦公式可求得tan α的值，利用二倍角公式可得出sin 22sin cos ααα=，在所得代数式上除以22sin cos αα+，在所得分式的分子和分母中同时除以2cos α，代入tan α的值计算即可得解. 【详解】sin 3cos 36ππαα⎛⎫⎛⎫-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即1331sincos 3cos sin 2222，整理得2sin αα=，tan α∴=，因此，222222sin cos 2tan sin 22sin cos sin cos tan 11ααααααααα⎛⨯ ⎝⎭=====++⎛+⎝⎭故选：D.20．（2021·山东滨州市·高三一模）将函数()222cos 1f x x x =+-的图象向右平移02πϕϕ⎛⎫<< ⎪⎝⎭个单位长度后得到函数()g x 的图象，若对于满足()()124f x g x -=的1x ，2x ，有12min6x x π-=，则ϕ=（ ）A ．6πB ．4πC ．3πD ．512π 【答案】C 【解析】()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，()2sin 226g x x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭ϕ，故12min 226T x x ππϕϕ-=-=-=，解得答案.【详解】()222cos 12cos 22sin 26f x x x x x x π⎛⎫=+-=+=+ ⎪⎝⎭，()2sin 226g x x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭ϕ，()()124f x g x -=，则12min226T x x ππϕϕ-=-=-=，故3πϕ=. 故选：C . 二、多选题21．（2021·河北唐山市·高三二模）设函数()sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象为曲线E ，则（ ） A ．将曲线sin 2y x =向右平移3π个单位长度，与曲线E 重合B ．将曲线sin 3y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，与曲线E 重合C ．,012π⎛⎫-⎪⎝⎭是曲线E 的一个对称中心 D ．若12x x ≠，且()()120f x f x ==，则12x x -的最小值为2π【答案】BD 【解析】A ：根据正弦型函数图象变换的规律进行判断即可；B ：根据正弦型函数图象变换的规律进行判断即可；C ：根据正弦型函数的对称性进行判断即可；D ：根据正弦型函数的零点进行判断即可；【详解】A ：曲线sin 2y x =向右平移3π个单位长度，得到函数2sin 2()sin(2)sin(2)sin(2)3333y x x x x πππππ=-=-=-+=-+， 显然该函数的图象与曲线E 不重合，故本说法不正确； B ：由曲线sin 3y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，可得 sin 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，故本说法正确；C ：因为()sin 101263f πππ⎛⎫-=--=-≠ ⎪⎝⎭，所以点,012π⎛⎫- ⎪⎝⎭不是该函数的对称中心，故本选项不正确； D ：由()sin 203f x x π⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，可得2()()326k x k k Z x k Z ππππ-=∈⇒=+∈ 因为()()120f x f x ==，所以111()26k x k Z ππ=+∈，222()26k x k Z ππ=+∈， 所以12122x x k k π-=-，因为12x x ≠，12,k k Z ∈，所以12k k -的最小值为1，即12x x -的最小值为2π，故本选项正确， 故选：BD22．（2021·辽宁高三二模）以下有关三角函数()sin cos2f x x x =⋅的说法正确的为（ ） A ．x ∀∈R ，()()0f x f x --= B ．0T ∃≠，使得f x Tf xC ．()f x 在定义域内有偶数个零点D ．x ∀∈R ，()()π0f x f x --=【答案】BD 【解析】 对于A ，取3x π=可得答案；对于B ，取2T π=可得答案；对于C ，根据奇函数图象的对称性可得答案；对于D ，利用解析式运算可得答案. 【详解】对于A ，22()()sin()cos sin cos 333333f f ππππππ--=-⋅-⋅11()()22=--=0≠，故A错误.对于B ，因为()()()2πsin 2πcos 22πsin cos 2f x x x x x +=++=⎡⎤⎣⎦， 所以0T ∃≠，使得f x Tf x ，故B 正确.对于C ，因为()sin()cos(2)sin cos 2()f x x x x x f x -=--=-=-，所以()f x 为奇函数，因为0x =在定义域内，所以()00f =，故()f x 有奇数个零点，故C 错误.对于D ，()()()π()sin πcos 2πsin cos 2sin cos 2f x f x x x x x x x --=---=⎡⎤⎣⎦sin cos 20x x -=，故D 正确. 故选：BD23．（2021·全国高三专题练习）已知函数()()()sin 00f x x ωϕωϕπ=+><<，，将()y f x =的图象上所有点向右平移23π个单位长度，然后横坐标缩短为原来的12倍，纵坐标不变，得到函数()y g x =的图象.若()g x 为偶函数，且最小正周期为2π，则下列说法正确的是（ ） A ．()y f x =的图象关于012π⎛⎫⎪⎝⎭，对称 B ．()f x 在5012π⎛⎫⎪⎝⎭，上单调递减 C ．()g x ≥12的解为()6232k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦， D ．方程()2x f x g ⎛⎫= ⎪⎝⎭在504π⎛⎫⎪⎝⎭，上有2个解 【答案】AC 【解析】根据三角函数的平移变换原则求出()g x ，再根据三角函数的性质求出,ωϕ，由三角函数的性质逐一判断 即可. 【详解】将()y f x =的图象上所有点向右平移23π个单位长度，可得2sin 3y x πωϕ⎡⎤⎛⎫=-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦， 横坐标缩短为原来的12倍，纵坐标不变， 可得()4sin 23g x x πωϕ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭， 由()g x 为偶函数，且最小正周期为2π， 则4,32k k Z ππϕπ-+=+∈，且222ππω=，0ϕπ<< 解得2ω=，56πϕ=，所以()5sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，对于A ，当12x π=时，526x ππ+=，即n 012si f ππ⎛⎫== ⎪⎝⎭， 故()y f x =的图象关于012π⎛⎫⎪⎝⎭，对称，故A 正确； 对于B ，由5012x π<<，则5552,663x πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭， 正弦函数的单调递减区间为32,2,22k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦， 由55,63ππ⎛⎫⎪⎝⎭不是32,2,22k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦的子集，故B 不正确；对于C ，()g x ≥12，即()1cos 42g x x =-≥，即1cos 42x ≤， 即24242,33k x k k Z ππππ+≤≤+∈， 解得,6232k k x k Z ππππ+≤≤+∈，故C 正确； 对于D ，()2x f x g ⎛⎫=⎪⎝⎭，即5sin 2cos 26x x π⎛⎫+=-⎪⎝⎭， 作出函数图象()y f x =与()y g x =的图象，如下：由图象可知，两函数的图象在504π⎛⎫⎪⎝⎭，上交点个数为3个，故D 不正确. 故选：AC24．（2021·山东高三专题练习）已知()442sin ,cos 22x x a f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，11,2b ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，若a 与b 共线，则下列说法正确的是（ ） A ．将()f x 的图象向左平移π3个单位得到函数1π3cos 2434y x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的图象B ．函数()f x 的最小正周期为πC ．直线3π2x =是()f x 的一条对称轴 D ．函数()f x 在ππ,24⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调递减 【答案】BC 【解析】根据向量共线的坐标表示求出()f x ，由三角函数的平移变换原则可判断A ；由2T πω=可判断B ；将3π2x =代入，结合余弦函数的对称轴可判断C ；利用余弦的单调递减区间为()2,2,k k k Z πππ+∈可判断D. 【详解】因为a 与b 共线，则()4412sincos 0222x xf x ⎛⎫⨯--+= ⎪⎝⎭，所以()442222cossin cos sin 2cos sin 222222x x x x x x f x ⎛⎫=+=+-⋅ ⎪⎝⎭ ()211131sin 11cos 2cos 22444x x x =-=--=+.对于A ，将()f x 的图象向左平移π3个单位得到函数12π3cos 2434y x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的图象，故A 错误；对于B ，222T πππω===，故B 正确；对于C ，当3π2x =时，则3232ππ⨯=， 由余弦函数的对称轴为,x k k Z π=∈，故C 正确； 对于D ，ππ,24x ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭，则π22,x π⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭，由余弦函数的单调递增区间为()2,2,k k k Z πππ-∈， 当0k =时，余弦函数的单调递增区间为(),0π-， 所以函数()f x 在ππ,24⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调递增. 故选：BC25．（2021·广东广州市·高三一模）已知函数2()sin 22cos f x x x =+，则（ ） A ．()f x 的最大值为3 B ．()f x 的图像关于直线8x π=对称C ．()f x 的图像关于点,18π⎛⎫- ⎪⎝⎭对称 D ．()f x 在,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增【答案】BC 【解析】 化简得出()2214f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，即可根据正弦函数的性质分别判断.【详解】2()sin 22cos sin 2cos212sin 214f x x x x x x π⎛⎫=+=++=++ ⎪⎝⎭，则()f x 的最大值为21+，故A 错误；()2sin 2121884f ⎛⎫=⨯++=+ ⎪⎝⎭πππ，则()f x 的图像关于直线8x π=对称，故B 正确； ()2sin 211884f ⎡⎤⎛⎫-=⨯-++= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦πππ，则()f x 的图像关于点,18π⎛⎫- ⎪⎝⎭对称，故C 正确；当,44x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，32,444x πππ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦，则可得2,442x πππ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦时，函数单调递增；当32,424x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦πππ时，函数单调递减，故D 错误. 故选：BC.26．（2021·广东肇庆市·高三二模）函数()()sin A f x x ωϕ+（0A >）的部分图象如图所示，则()f x =（ ）A ．22sin 23x π⎛⎫+⎪⎝⎭B ．52sin 23x π⎛⎫-⎪⎝⎭C ．2cos 26x π⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．72cos 6x π⎛⎫-⎪⎝⎭【答案】BC 【解析】先求出A ，再根据图像得出周期，进而算出ω，最后代入点算出ϕ. 【详解】根据图象，可得2A =，设()f x 的最小正周期为T则37341264T πππ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭，解得T π=，所以22Tπω==. 将最低点的坐标7,212π⎛⎫-⎪⎝⎭代入()()2sin 2f x x ϕ=+中 得72sin 2212πϕ⎛⎫⨯+=- ⎪⎝⎭，则7262k ππϕπ+=-（k ∈Z ） 解得523k πϕπ=-（k ∈Z ），所以()52sin 223x k f x ππ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭. 令0k =，则()5772sin 22sin 22cos 22cos 236266x x x f x x πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=--=--=- ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭故选：BC.27．（2021·广东深圳市·高三一模）已知函数()cos22sin cos 22f x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则（ ） A ．()f x 的最大值为3 B ．()f x 的最小正周期为πC ．()f x 的图象关于直线8x π=对称D ．()f x 在区间3,88ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减 【答案】BC 【解析】首先利用诱导公式和二倍角公式、辅助角公式化简()f x ，再利用正弦函数的性质逐一检验四个选项的正误即可求解. 【详解】()()cos 22sin cos cos 22cos sin 22f x x x x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=--+=-⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭cos 22cos sin cos 2sin 224x x x x x x π⎛⎫=+⋅=+=+ ⎪⎝⎭所以()f x A 不正确； ()f x 的最小正周期为22T ππ==，故选项B 正确； 因为2842k ππππ⨯+=+，解得：0k =，所以直线8x π=是()f x 的图象的对称轴，故选项C 正确；令()3222242k x k k Z πππππ+≤+≤+∈，解得：()588k x k k Z ππππ+≤≤+∈， 所以()f x 在区间73,88ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦和5,88ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递减，在3,88ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，故选项D 不正确，故选：BC.28．（2021·山东菏泽市·高三一模）已知函数()()(0)20,2f x sin x πωϕωϕ=+><<.2x π=为函数的一条对称轴，且318f π⎛⎫= ⎪⎝⎭.若()f x 在3,84ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调，则ω的取值可以是（ ） A ．43 B ．83C ．163D ．323【答案】BC 【解析】 由2x π=为对称轴，及318f π⎛⎫=⎪⎝⎭求出ω的取值集合，再根据函数在区间上单调，求出ω的范围，即可求出ω的值； 【详解】 解：2x π=为对称轴22k ππωϕπ⇒+=+，k Z ∈；3312886f m πππωϕπ⎛⎫=⇒+=+ ⎪⎝⎭或526m ππ+，m Z ∈； 联立解之得:()8823k m ω=-+或()8823k m ω=--，k Z ∈，m Z ∈； 又在3,84ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调， 348160ππππωω⎧⎛⎫---=≤⎪ ⎪∴⎝⎭⎨⎪>⎩，所以08ω<≤83ω∴=或163故选：BC29．（2021·全国高三专题练习）已知函数21,0()cos ,0x x f x x x ⎧+=⎨<⎩，，则下列结论正确的是（ ）A ．()f x 是偶函数B ．312f f π⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．()f x 是增函数D ．()f x 的值域为[1,)-+∞【答案】BD 【解析】利用反例可判断AC 错误，结合函数的解析式可判断BD 为正确，从而可得正确的选项. 【详解】()12f =，而()()1cos11f f -=<，故()f x 不是偶函数，故A 错误.因为77cos cos 3333f f ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故()f x 不是增函数，故C 错误. ()3012f f f π⎛⎫⎛⎫-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故B 正确. 当0x <时，()[]1,1f x ∈-，当0x ≥时，()[)1,f x ∈+∞， 故()f x 的值域为[1,)-+∞，故D 正确. 故选：BD.30．（2021·山东枣庄市·高三二模）已知函数()sin 2f x x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，则（ ） A ．()f x 在,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值是1 B ．()f x 的最小正周期是2π C ．直线()2k x k Z π=∈是()f x 图象的对称轴 D ．直线2y x π=与()f x 的图象恰有2个公共点【答案】ACD 【解析】利用正弦型函数的最值可判断A 选项的正误；利用特殊值法可判断B 选项的正误；利用函数的对称性可判断C 选项的正误；利用图象法可判断D 选项的正误. 【详解】对于A 选项，当,2x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()sin sin sin 2sin 23f x x x x x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=-===- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且2633x πππ≤-≤，则当36x ππ-=时，函数()f x 取最小值，即()min 2sin 16f x π==， A 选项正确；对于B 选项，()sin f x x x =，()0f =12f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，则()02f f π⎛⎫≠ ⎪⎝⎭，故函数()f x 的最小正周期不是2π，B 选项错误； 对于C 选项，若k 为奇数，则()()()()sin sin cos sin f k x k x k x x x x x f x πππ-=--===；若k 为偶数，则()()()()sin sin sin f k x k x k x x x x x f x πππ-=--=-+=+=. 由上可知，当k Z ∈时，()()f k x f x π-=， 所以，直线()2k x k Z π=∈是()f x 图象的对称轴，C 选项正确；对于D 选项，()()()sin sin cos sin f x x x x x x x πππ+=+++=-+=+，所以，π为函数()f x 的周期.当02x π≤≤时，()sin 2sin 23f x x x x π⎛⎫==+≤ ⎪⎝⎭；当2x ππ≤≤时，()sin 2sin 23f x x x x π⎛⎫==-≤ ⎪⎝⎭.综上可知，()2f x ≤.当0x <时，20x π<，()sin 0f x x x =≥，即函数2y x π=与()f x 在(),0-∞上的图象无交点；当x π>时，22x π>，()2f x ≤，所以，函数2y x π=与()f x 在(),π+∞上的图象也无交点.作出函数2y x π=与函数()f x 在[]0,π上的图象如下图所示：由图象可知，函数2y x π=与函数()f x 在[]0,π上的图象有两个交点，D 选项正确.故选：ACD.31．（2021·山东高三专题练习）已知函数()sin cos f x x x =，则（ ）A ．()f x 是周期函数B ．()f x 的图象必有对称轴C ．()f x 的增区间为,,2k k k Z πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦D ．()f x 的值域为48⎡⎣ 【答案】ABD 【解析】对A ，由()2f x f x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭可判断；对B ，由()()f x f x -=可判断；对C ，根据4f π⎛⎫⎪⎝⎭和2f π⎛⎫⎪⎝⎭的大小可判断；对D ，求出()f x 在0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦π的取值范围即可. 【详解】 对A ，()sin cos cos sin 222f x x x x x f x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故2π是()f x 的周期，故A 正确； 对B ，()()()()sin cos sin cos f x x x x x f x -=--==，故()f x 关于y 轴对称，故B 正确；对C ，当0k =时，区间为0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，34sincos2444f πππ⎛⎫== ⎪⎝⎭，34122f π⎛⎫==< ⎪⎝⎭，故()f x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦不单调递增，故C 错误；对D ，由AB 可得()()2f x f x f x π⎛⎫+==- ⎪⎝⎭，则()f x 关于4x π=对称，且周期为2π，故()f x 的值域即为()f x 在0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦π的取值范围，此时()f x =()))3322cos sinx x f x -'=，0,4x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，cos sin x x ∴>，()0f x '∴>，可知()f x 在0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦π单调递增，()01f =，4f π⎛⎫= ⎪⎝⎭()f x 的值域为⎡⎣. 故选：ABD.32．（2021·辽宁铁岭市·高三一模）已知函数()()()sin 0,0,0πf x A x B A ωϕωϕ=++>><<的部分自变量、函数值如下表所示，下列结论正确的是（ ）．A ．函数解析式为()5π3sin 226f x x ⎛⎫ ⎝=⎪⎭++B ．函数()f x 图象的一条对称轴为2π3x =- C ．5π,012⎛⎫-⎪⎝⎭是函数()f x 图象的一个对称中心 D ．函数()f x 的图象左平移π12个单位，再向下移2个单位所得的函数为奇函数 【答案】ABD【解析】首先根据表格，利用最值求A 和B ，再根据周期求ω，以及根据最小值点求ϕ，求得函数的解析式，再分别代入23x π=-和512x π=-，判断BC 选项，最后根据平移规律求平移后的解析式.【详解】由表格可知，2B =， 函数的最大值是5，所以25A B A +=+=，即3A =， 当3x π=时，函数取得最小值，最小值点和相邻的零点间的距离是71234πππ-=，所以12244ππωω⨯=⇒=， 当3x π=时，322,32k k Z ππϕπ⨯+=+∈，解得：526k πϕπ=+，0ϕπ<<， 56πϕ∴=，所以函数()53sin 226f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，故A 正确； B.当23x π=-时，252362πππ⎛⎫⨯-+=- ⎪⎝⎭，能使函数取得最小值，所以23x π=-是函数的一条对称轴，故B 正确； C.当512x π=-时，5520126ππ⎛⎫⨯-+= ⎪⎝⎭，此时2y =，所以5,212π⎛⎫- ⎪⎝⎭是函数的一个对称中心，故C 不正确；D.函数向左平移12π个单位后，再向下平移2个单位后，得()53sin 2223sin 23sin 2126y x x x πππ⎡⎤⎛⎫=+++-=+=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，函数是奇函数，故D 正确.故选：ABD33．（2021·山东烟台市·高三一模）已知函数()2sin cos 1f x x x +=-，则（ ） A ．()f x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增 B ．直线2x π=是()f x 图象的一条对称轴C ．方程()1f x =在[]0,π上有三个实根D ．()f x 的最小值为1-34．（2021·江苏常州市·高三一模）函数()sin 24f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则（ ）A ．函数()y f x =的图象可由函数sin 2y x =的图象向右平移4π个单位得到 B ．函数()y f x =的图象关于直线8x π=轴对称C ．函数()y f x =的图象关于点,08π⎛⎫- ⎪⎝⎭中心对称D ．函数2()y x f x =+在08π⎛⎫⎪⎝⎭，上为增函数【答案】BCD 【解析】对四个选项，一一验证：对于选项A ，利用三角函数相位变化即可；对于选项B ，利用正弦函数的对称轴经过最高（低）点判断； 对于选项C ，利用正弦函数的对称中心直接判断； 对于选项D ，利用复合函数的单调性“同增异减”判断； 【详解】由题意，对于选项A ，函数sin 2y x =的图象向右平移4π个单位可得到()sin 2sin 2cos 242f x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以选项A 错误；对于选项B ，sin 21884f πππ⎛⎫⎛⎫=⨯+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，取到了最大值，所以函数()y f x =的图象关于直线8x π=轴对称，所以选项B 正确；对于选项C ，08f π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以函数()y f x =的图象关于点,08π⎛⎫- ⎪⎝⎭中心对称，所以选项C 正确；对于选项D ，函数2yx 在08π⎛⎫⎪⎝⎭，上为增函数，08x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，时，2442x πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，，单调递增，所以函数2()y x f x =+在08π⎛⎫⎪⎝⎭，上为增函数，所以选项D 正确.故选：BCD.35．（2021·山东德州市·高三一模）已知函数()()()sin 0,0,πf x A x A ωϕωϕ=+>><的部分图像如图所示，将函数()f x 的图像上所有点的横坐标变为原来的23，纵坐标不变，再将所得函数图像向右平移π6个单位长度，得到函数()g x 的图像，则下列关于函数()g x 的说法正确的是（ ）．A ．()g x 的最小正周期为2π3B ．()g x 在区间ππ,93⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增C ．()g x 的图像关于直线4π9x =对称 D ．()g x 的图像关于点π,09⎛⎫⎪⎝⎭成中心对称 【答案】AC 【解析】根据函数图象得到A =2，2,2T T ππω===，再根据函数图象过点5,212π⎛⎫- ⎪⎝⎭，求得函数()f x 的解析式，然后利用伸缩变换和平移变换得到()g x 的解析式，再逐项判断. 【详解】由函数图象知：A =2，5212122T πππ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭， 所以2,2T Tππω===， 所以()()2sin 2f x x ϕ=+，因为函数图象过点5,212π⎛⎫-⎪⎝⎭， 所以52sin 2212πϕ⎛⎫⨯+=- ⎪⎝⎭， 则532,62k k Z ππϕπ+=+∈，解得22,3k k Z πϕπ=+∈， 所以()22sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭， 将函数()f x 的图像上所有点的横坐标变为原来的23，得到()22sin 33f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭， 纵坐标不变，再将所得函数图像向右平移π6个单位长度，得到()2sin 36g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，A. ()g x 的周期是23T π=，故正确； B. 因为ππ,93x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以π7π3,626x π⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，故错误； C. 因为3,62x k k Z πππ+=+∈，所以,39k x k Z ππ=+∈，故正确； D. 因为2sin 3296ππ⎛⎫⨯+= ⎪⎝⎭，故错误.故选：AC36．（2021·辽宁沈阳市·高三一模）已知函数()22sin cos f x x x x =+则下列结论中正确的是（ ）A ．()f x 的图象是由y= 2sin2x 的图象向左移3π个单位得到的B ．()f x 在,03π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增 C ．()f x 的对称中心的坐标是(),026k k Z ππ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭D ．函数()()g x f x =[]0,10内共有8个零点 【答案】BCD 【解析】A.化简得()2sin(2)3f x x π=+，利用函数的图象变换得该选项错误；B.利用复合函数的单调性原理分析得该选项正确；C. 由2,3x k k Z ππ+=∈得该选项正确；D.解方程sin 23x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭得该选项正确. 【详解】()2π2sin cos sin 222sin 22sin 236f x x x x x x x x π⎛⎫⎛⎫=+==+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，把2sin 2y x =的图象向左平移6π个单位，得到()f x ，所以选项A 不正确; 设23t x π=+，则t 在,03π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调增， ,03x π⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦2,333x πππ⎡⎤∴+∈-⎢⎥⎣⎦,,33t ππ⎡⎤∴∈-⎢⎥⎣⎦又sin y t =在,33ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增， ()2sin 23f x x π⎛⎫∴=+ ⎪⎝⎭在,03π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，所以选项B 正确;由2,3x k k Z ππ+=∈得对称中心为(),062k k Z ππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭，所以选项C 正确；由sin 232x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭得2233x k πππ+=+或222,33x k k Z πππ+=+∈ 解得x k π=或,6x k k Z ππ=+∈，又[]0,10,x ∈0,1,2,3k ∴=时，713190,,,,2,,3,6666x πππππππ=，共8个零点，所以选项D 正确. 故选：BCD37．（2021·山东济宁市·高三一模）将函数()2πsin 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象向左平移π6个单位长度后得到函数()g x 的图象，则下列说法正确的是（ ）A ．π4g ⎛⎫= ⎪⎝⎭B ．π,06⎛⎫⎪⎝⎭是函数()g x 图象的一个对称中心C ．函数()g x 在π0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增D ．函数()g x 在ππ,63⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的值域是⎡⎢⎣⎦【答案】BC 【解析】首先求得函数()sin 23g x x π=-⎛⎫⎪⎝⎭，再根据选项，整体代入，判断函数的性质. 【详解】()2sin 2sin 2633g x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+-=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，1sin 462g ππ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故A 错误；sin 0633g πππ⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故B 正确；0,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，2,,33622x πππππ⎡⎤⎡⎤-∈-⊆-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，所以函数()g x 在0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦π上单调递增，故C 正确；,63x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，22,333x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，当232x ππ-=-时，函数取得最小值-1，当233x ππ-=时，函数取得最大值2，所以函数的值域是⎡-⎢⎣⎦.故选：BC38．（2021·山东高三专题练习）函数()2cos 2sin 1f x x x x =-+，下列结论正确的是（ ）A ．()f x 在区间,36ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增 B ．()f x 的图象关于点,06π⎛⎫⎪⎝⎭成中心对称C ．将()f x 的图象向左平移512π个单位后与2sin 2y x =-的图象重合 D ．若12,x x π-=则()()12f x f x =【答案】ACD 【解析】由二倍角公式、两角和的正弦公式化函数为一个角的一个三角函数形式，然后结合正弦函数性质判断． 【详解】1()2cos 222cos 22sin 226f x x x x x x π⎫⎛⎫=+=+=+⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， ,36x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，t =2,622x πππ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦，此时sin y t =递增，A 正确；2sin 220666f πππ⎛⎫⎛⎫=⨯+=≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，B 错误；将()f x 的图象向左平移512π个单位后得解析式52sin 2()2sin(2)2sin 2126y x x x πππ⎡⎤=++=+=-⎢⎥⎣⎦，C 正确；易知函数周期为22T ππ==，因此当12,x x π-=则()()12f x f x =，D 正确． 故选：ACD ．39．（2021·广东汕头市·高三一模）知函数()()sin 04f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，则下述结论中正确的是（ ）A ．若()f x 在[]0,2π有且仅有4个零点，则()f x 在[]0,2π有且仅有2个极小值点B ．若()f x 在[]0,2π有且仅有4个零点，则()f x 在20,15π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增 C ．若()f x 在[]0,2π有且仅有4个零点，则ω的范是1519,88⎡⎫⎪⎢⎣⎭ D ．若()f x 的图象关于4x π=对称，且在5,1836ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调，则ω的最大值为9 【答案】ACD 【解析】 令4t x πω=+，由[]0,2x π∈，可得出,244t ππωπ⎡⎤∈+⎢⎥⎣⎦，作出函数sin y t =在区间,244ππωπ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦上的图象，可判断A 选项正误；根据已知条件求出ω的取值范围，可判断C 选项正误；利用正弦型函数的单调性可判断B 选项的正误；利用正弦型函数的对称性与单调性可判断D 选项的正误. 【详解】 令4t x πω=+，由[]0,2x π∈，可得出,244t ππωπ⎡⎤∈+⎢⎥⎣⎦，作出函数sin y t =在区间,244ππωπ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦上的图象，如下图所示：对于A 选项，若()f x 在[]0,2π有且仅有4个零点，则()f x 在[]0,2π有且仅有2个极小值点，A 选项正确； 对于C 选项，若()f x 在[]0,2π有且仅有4个零点，则4254ππωππ≤+<，解得151988ω<≤，C 选项正确； 对于B 选项，若151988ω<≤，则2192154604πππππω≤+<+， 所以，函数()f x 在区间20,15π⎛⎫⎪⎝⎭上不单调，B 选项错误； 对于D 选项，若()f x 的图象关于4x π=对称，则()442k k Z ωππππ+=+∈，()14k k Z ω∴=+∈.52361812T ππππω∴=≥-=，12ω∴≤，()41k k Z ω=+∈，max 9ω∴=. 当9ω=时，()sin 94f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，当5,1836x ππ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，339442x πππ<+<，此时，函数()f x 在区间5,1836ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，合乎题意，D 选项正确. 故选：ACD. 三、填空题40．（2021·山东烟台市·高三一模）已知2()0,a π∈，若1sin 223πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则tan α的值为___________.【答案】2【解析】由诱导公式可求得1cos 23α=，再根据二倍角的余弦公式求得sin ,cos αα，即可求得tan α. 【详解】1sin 2cos 223παα⎛⎫+== ⎪⎝⎭，2()0,a π∈，sin 3α∴==，cos 3α==，sin tan cos ααα∴==.故答案为：2. 41．（2021·全国高三专题练习（文））若1cos 63x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则sin 26x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭__________．【答案】79- 【解析】利用诱导公式和二倍角的余弦公式可求得sin 26x 的值.【详解】27sin 2sin 2cos 22cos 6366912x x x x πππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪ ⎪⎡⎤+=-=-=-⎭ ⎪⎢⎥⎝⎝⎭⎝⎭⎝⎣=-⎢⎥⎣⎭⎦⎦.故答案为：79-.42．（2021·山东高三专题练习）已知sin 63πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则cos 23πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭______． 【答案】59【解析】利用二倍角的余弦公式可求得结果.【详解】由二倍角的余弦公式可得225cos 2cos 212sin 123669πππααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-=--=-⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎝⎭. 故答案为：59.43．（2021·全国高三专题练习）拿破仑定理是法国著名军事家拿破仑·波拿巴最早提出的一个几何定理：“以任意三角形的三条边为边，向外构造三个等边三角形，则这三个等边三角形的外接圆圆心恰为另一个等边三角形（此等边三角形称为拿破仑三角形）的顶点.”已知ABC 内接于单位圆，以BC ，AC ，AB 为边向外作三个等边三角形，其外接圆圆心依次记为A '，B '，C '.若30ACB ∠=︒，则A B C '''的面积最大值为_______.【解析】设,BC a AC b ==，求出90B CA ''∠=︒，从而可得2221()3A B a b ''=+，在ABC 中，设BAC α∠=，由正弦定理用α表示出,a b ，这样22a b +就表示为α的函数，然后由降幂公式，两角差的正弦公式化函数为一个角的一个三角函数形式，结合正弦函数性质可得最大值，从而得面积最大值． 【详解】解：设,BC a AC b ==，由题意以,,AC BC CA 边向外作等边三角形,,ACE BCD ABF △△△，其外接圆圆心分别为,,A B C '''，连接,CB CA ''并延长分别交,EA BD 于,P Q ，则2233CB CP '===，同理CA '=， ,ACE BCD 都是等边三角形，则30PCA QCB ∠=∠=︒，又30ACB ∠=︒，则90A CB ''∠=︒，所以222221()3A B CB CA a b ''''=+=+，A B C '''是正三角形，所以其面积为2221)22412SA B A B A B a b ''''''=⨯==+， ABC 内接于单位圆，即其外接圆半径为1r =，则2sin 2sin a r BAC BAC =∠=∠，同理。

高考数学二轮复习考点知识讲解与练习第29讲三角函数与解三角形热点问题核心热点真题印证核心素养三角函数的图象与性质2022·全国Ⅰ，7；2022·全国Ⅲ，16；2022·天津，8；2019·全国Ⅰ，11；2019·北京，9；2019·全国Ⅲ，12；2019·天津，7；2018·全国Ⅱ，10；2018·全国Ⅰ，16；2018·全国Ⅲ，15直观想象、逻辑推理三角恒等变换2022·全国Ⅰ，9；2022·全国Ⅱ，2；2022·全国Ⅲ，9；2019·全国Ⅱ，10；2019·浙江，18；2018·浙江，18；2018·江苏，16；2018·全国Ⅱ，15；2018·全国Ⅲ，4逻辑推理、数学运算解三角形2022·全国Ⅰ，16；2022·全国Ⅲ，7；2022·北京，17；2022·天津，16；2022·新高考山东，17；2022·浙江，18；2019·全国Ⅰ，17；2019·全国Ⅲ，18；2019·北逻辑推理、数学运算京，15；2019·江苏，15；2018·全国Ⅰ，17三角函数的图象与性质(必修4P147复习参考题A 组第9题、第10题)题目9 已知函数y ＝(sin x ＋cos x )2＋2cos 2x . (1)求它的递减区间； (2)求它的最大值和最小值．题目10 已知函数f (x )＝cos 4x －2sin x cos x －sin 4x . (1)求f (x )的最小正周期；(2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，求f (x )的最小值及取得最小值时x 的集合．[试题评析]两个题目主要涉及三角恒等变换和三角函数的性质，题目求解的关键在于运用二倍角公式及两角和公式化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k 的形式，然后利用三角函数的性质求解. 【教材拓展】 已知函数f (x )＝4tan x sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3－ 3.(1)求f (x )的定义域与最小正周期； (2)讨论f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4上的单调性．解 (1)f (x )的定义域为{x |x ≠π2＋k π，k ∈Z}， f (x )＝4tan x cos x cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3－ 3＝4sin x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3－ 3＝4sin x ⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos x ＋32sin x － 3＝2sin x cos x ＋23sin 2x － 3 ＝sin 2x －3cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3.所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π. (2)由－π2＋2k π≤2x －π3≤π2＋2k π(k ∈Z)，得－π12＋k π≤x ≤5π12＋k π(k ∈Z).设A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4，B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x |－π12＋k π≤x ≤5π12＋k π，k ∈Z ，易知A ∩B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，π4. 所以当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4时，f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，π4上单调递增，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，－π12上单调递减．探究提高 1.将f (x )变形为f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3是求解的关键，(1)利用商数关系统一函数名称；(2)活用和、差、倍角公式化成一复角的三角函数．2．把“ωx ＋φ”视为一个整体，借助复合函数性质求y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B 的单调性及奇偶性、最值、对称性等问题．【链接高考】(2019·浙江卷)设函数f (x )＝sin x ，x ∈R. (1)已知θ∈[0,2π)，函数f (x ＋θ)是偶函数，求θ的值；(2)求函数y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π122＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π42的值域．解 (1)因为f (x ＋θ)＝sin(x ＋θ)是偶函数， 所以，对任意实数x 都有sin(x ＋θ)＝sin(－x ＋θ)， 即sin x cos θ＋cos x sin θ＝－sin x cos θ＋cos x sin θ， 故2sin x cos θ＝0，所以cos θ＝0. 又θ∈[0,2π)，因此θ＝π2或3π2. (2)y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π122＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π42＝sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π12＋sin 2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝1－12⎝ ⎛⎭⎪⎫32cos 2x －32sin 2x＝1－32cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.由于x ∈R ，知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3∈[－1,1]，因此，所求函数的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－32，1＋32.三角函数与平面向量【例题】(2021·湘赣十四校联考)已知向量m ＝(sin x ，－1)，n ＝(3，cos x )，且函数f (x )＝m ·n .(1)若x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，且f (x )＝23，求sin x 的值；(2)在锐角三角形ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若a ＝7，△ABC 的面积为332，且f ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋π6＝73b sin C ，求△ABC 的周长．[自主解答]解 (1)f (x )＝m ·n ＝(sin x ，－1)·(3，cos x ) ＝3sin x －cos x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6.∵f (x )＝23，∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π6＝13.又∵x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴x －π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，π3，∴cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π6＝223.∴sin x ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＋π6＝13×32＋223×12＝3＋226. (2)∵f ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋π6＝73b sin C ， ∴2sin A ＝73b sin C ，即6sin A ＝7b sin C ． 由正弦定理可知6a ＝7bc . 又∵a ＝7，∴bc ＝6.由已知△ABC 的面积等于12bc sin A ＝332，∴sin A ＝32. 又∵A ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，∴A ＝π3.由余弦定理，得b 2＋c 2－2bc cos A ＝a 2＝7，故b 2＋c 2＝13， ∴(b ＋c )2＝25，∴b ＋c ＝5， ∴△ABC 的周长为a ＋b ＋c ＝5＋7.探究提高 1.破解平面向量与“三角”相交汇题的常用方法是“化简转化法”，即先利用三角公式对三角函数式进行“化简”；然后把以向量共线、向量垂直、向量的数量积运算等形式出现的条件转化为三角函数式；再活用正、余弦定理对边、角进行互化． 2．这种问题求解的难点一般不是向量的运算，而是三角函数性质、恒等变换及正、余弦定理的应用，只不过它们披了向量的“外衣”．【尝试训练】(2021·沧州质检)已知a ＝(53cos x ，cos x )，b ＝(sin x,2cos x )，函数f (x )＝a ·b ＋|b |2.(1)求函数f (x )的最小正周期； (2)求函数f (x )的单调减区间；(3)当π6≤x ≤π2时，求函数f (x )的值域．解 f (x )＝a ·b ＋|b |2＝53cos x sin x ＋2cos 2x ＋sin 2x ＋4cos 2x ＝53sin x cos x ＋sin 2x ＋6cos 2x ＝532sin 2x ＋1－cos 2x 2＋3(1＋cos 2x ) ＝532sin 2x ＋52cos 2x ＋72＝5sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋72.(1)f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π. (2)由2k π＋π2≤2x ＋π6≤2k π＋3π2(k ∈Z)得k π＋π6≤x ≤k π＋2π3(k ∈Z)．∴f (x )的单调减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π6，k π＋2π3(k ∈Z)．(3)∵π6≤x ≤π2，∴π2≤2x ＋π6≤7π6，∴－12≤sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6≤1， ∴1≤5sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋72≤172. ∴当π6≤x ≤π2时，函数f (x )的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，172.解三角形【例题】(12分)(2022·全国Ⅱ卷)△ABC 中，sin 2A －sin 2B －sin 2C ＝sin B sin C ．(1)求A ；(2)若BC ＝3，求△ABC 周长的最大值． [规范解答]解 (1)由正弦定理和已知条件得用正弦定理化角为边BC 2－AC 2－AB 2＝AC ·AB .①2′由余弦定理得BC 2＝AC 2＋AB 2－2AC ·AB cos A ．② 由①②得cos A ＝－12. 用余弦定理化边为角4′因为0<A <π，所以A ＝2π3.6′ (2)由正弦定理及(1)得AC sin B＝AB sin C＝BC sin A＝23，8′从而AC ＝23sin B ，AB ＝23sin(π－A －B )＝3cos B －3sin B ． 故BC ＋AC ＋AB ＝3＋3sin B ＋3cos B＝3＋23sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫B ＋π3. 两角和正弦公式的逆用10′又0<B <π3，所以当B ＝π6时，△ABC 周长取得最大值3＋2 3. 三角函数性质的应用12′❶写全得步骤分：对于解题过程中得分点的步骤有则给分，无则没分，所以得分点步骤一定要写全，如第(1)问中只要写出0<A <π就有分，没写就扣1分，第(2)问中0<B <π3也是如此．❷写明得关键分：对于解题过程中的关键点，有则给分，无则没分，所以在答题时要写清得分关键点，如第(1)问中由正弦定理得BC 2－AC 2－AB 2＝AC ·AB ，由余弦定理得BC 2＝AC 2＋AB 2－2AC ·AB ·cos A ，第(2)问中ACsin B＝AB sin C＝BC sin A＝23等．❸保证正确得计算分：解题过程中计算准确，是得满分的根本保证，如第(1)问中，cos A ＝－12，若计算错误，则第(1)问最多2分；再如第(2)问3＋3sin B ＋3cos B ＝3＋23sin ⎝⎛⎭⎪⎫B ＋π3化简如果出现错误，则第(2)问最多得2分．……利用正弦、余弦定理，对条件式进行边角互化……由三角函数值及角的范围求角……由正弦、余弦定理及条件式实现三角恒等变换……利用角的范围和三角函数性质求出最值……检验易错易混，规范解题步骤得出结论【规范训练】(2022·浙江卷)在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知2b sin A －3a ＝0. (1)求角B 的大小；(2)求cos A ＋cos B ＋cos C 的取值范围． 解 (1)由正弦定理，得2sin B sin A ＝3sin A ，故sin B ＝32，由题意得B ＝π3. (2)由A ＋B ＋C ＝π，得C ＝2π3－A . 由△ABC 是锐角三角形，得A ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π2 .由cos C ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2π3－A ＝－12cos A ＋32sin A ，得 cos A ＋cos B ＋cos C ＝32sin A ＋12cos A ＋12＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋π6＋12∈⎝⎛⎦⎥⎤3＋12，32. 故cos A ＋cos B ＋cos C 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤3＋12，32.1．(2019·天津卷)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知b ＋c ＝2a ， 3c sin B ＝4a sin C ． (1)求cos B 的值； (2)求sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2B ＋π6的值．解 (1)在△ABC 中，由正弦定理b sin B＝c sin C，得b sin C ＝c sin B ．又由3c sin B ＝4a sin C ， 得3b sin C ＝4a sin C ，即3b ＝4a . 因为b ＋c ＝2a ，所以b ＝43a ，c ＝23a . 由余弦定理可得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋49a 2－169a 22·a ·23a ＝－14. (2)由(1)可得sin B ＝1－cos 2B ＝154， 从而sin 2B ＝2sin B cos B ＝－158， cos 2B ＝cos 2B －sin 2B ＝－78， 故sin ⎝⎛⎭⎪⎫2B ＋π6＝sin 2B cos π6＋cos 2B sin π6 ＝－158×32－78×12＝－35＋716. 2．已知函数f (x )＝a ·b ，其中a ＝(2cos x ，－3sin 2x )，b ＝(cos x,1)，x ∈R.(1)求函数y ＝f (x )的单调递减区间；(2)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，f (A )＝－1，a ＝7，且向量m ＝(3，sin B )与n ＝(2，sin C )共线，求边长b 和c 的值．解 (1)f (x )＝2cos 2x －3sin 2x ＝1＋cos 2x －3sin 2x ＝1＋2cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3， 令2k π≤2x ＋π3≤2k π＋π(k ∈Z)， 解得k π－π6≤x ≤k π＋π3(k ∈Z)， ∴函数y ＝f (x )的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π6，k π＋π3(k ∈Z)． (2)∵f (A )＝1＋2cos ⎝⎛⎭⎪⎫2A ＋π3＝－1， ∴cos ⎝⎛⎭⎪⎫2A ＋π3＝－1，又π3＜2A ＋π3＜7π3， ∴2A ＋π3＝π，即A ＝π3. ∵a ＝7，∴由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝(b ＋c )2－3bc ＝7.①∵向量m ＝(3，sin B )与n ＝(2，sin C )共线，∴2sin B ＝3sin C ，由正弦定理得2b ＝3c ，②由①②得b ＝3，c ＝2.3．已知函数f (x )＝cos x (cos x ＋3sin x )．(1)求f (x )的最小值；(2)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若f (C )＝1，S △ABC ＝334，c ＝7，求△ABC 的周长．解 (1)f (x )＝cos x (cos x ＋3sin x )＝cos 2x ＋3sin x cos x ＝1＋cos 2x 2＋32sin 2x ＝12＋sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6. 当sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＝－1时，f (x )取得最小值－12. (2)f (C )＝12＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2C ＋π6＝1，∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫2C ＋π6＝12， ∵C ∈(0，π)，2C ＋π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，13π6，∴2C ＋π6＝5π6，∴C ＝π3.∵S △ABC ＝12ab sin C ＝334，∴ab ＝3. 又(a ＋b )2－2ab cos π3＝7＋2ab ， ∴(a ＋b )2＝16，即a ＋b ＝4，∴a ＋b ＋c ＝4＋7， 故△ABC 的周长为4＋7.4．(2021·东北三省三校联考)已知在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若b 2tan A ＝a 2tan B ，2sin 2A ＋B 2＝1＋cos 2C .(1)求角A 的大小； (2)若点D 为AB 上一点，满足∠BCD ＝45°，且CD ＝32－6，求△ABC 的面积． 解 (1)由2sin 2A ＋B2＝1＋cos 2C 得1－cos(A ＋B )＝2cos 2C ，即2cos 2C －cos C －1＝0， 解得cos C ＝－12(cos C ＝1舍去)，故C ＝120°. 因为asin A ＝bsin B ，b 2tan A ＝a 2tan B ，所以sin 2B sin A cos A ＝sin 2A sin B cos B， 即sin A ·cos A ＝sin B cos B ，故sin 2A ＝sin 2B ，因此A ＝B 或A ＋B ＝90°(舍去)，故A ＝30°.(2)由(1)知△ABC 为等腰三角形，设BC ＝AC ＝m ，由S △ABC ＝S △ACD ＋S △BCD 得12m 2·sin 120°＝12m · CD ·sin 45°＋12m ·CD ·sin 75°，整理得32m＝CD⎝⎛⎭⎪⎫22＋2＋64＝()32－6×32＋64，解得m＝23，故S△ABC＝12m2·sin 120°＝3 3.5．(2021·郑州调研)已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，其面积S＝b2＋c2－a24.(1)若a＝6，b＝2，求cos B；(2)求sin(A＋B)＋sin B cos B＋cos(B－A)的最大值．解(1)∵S＝b2＋c2－a24，∴12bc sin A＝b2＋c2－a24，即sin A＝b2＋c2－a22bc＝cos A，则tan A＝1，又A∈(0，π)，∴A＝π4.由正弦定理asin A ＝bsin B，得622＝2sin B，∴sin B＝66，又a>b，∴cos B＝1－16＝306.(2)由第(1)问可知，A＝π4，sin(A ＋B )＋sin B cos B ＋cos(B －A )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫B ＋π4＋sin B cos B ＋cos ⎝⎛⎭⎪⎫B －π4 ＝22sin B ＋22cos B ＋sin B cos B ＋22cos B ＋22sin B ＝2(sin B ＋cos B )＋sin B cos B ，令t ＝sin B ＋cos B ，则t 2＝1＋2sin B cos B ，sin(A ＋B )＋sin B cos B ＋cos(B －A )＝2t ＋12(t 2－1)， 令y ＝12t 2＋2t －12＝12(t ＋2)2－32，t ∈(0，2]， ∴当t ＝2，即B ＝π4时， sin(A ＋B )＋sin B cos B ＋cos(B －A )取得最大值52.。

2018-2020年高考全国卷数学之三角函数专题训练一．选择题（共25小题）1．（2018•全国）要得到y＝cos x，则要将y＝sin x（）A．向左平移π个单位B．向右平移π个单位C．向左平移个单位D．向右平移个单位2．（2018•全国）已知α为第二象限的角，且tanα＝﹣，则sinα+cosα＝（）A．﹣B．﹣C．﹣D．3．（2020•新课标Ⅰ）已知α∈（0，π），且3cos2α﹣8cosα＝5，则sinα＝（）A．B．C．D．4．（2020•新课标Ⅰ）设函数f（x）＝cos（ωx+）在[﹣π，π]的图象大致如图，则f（x）的最小正周期为（）A．B．C．D．5．（2020•新课标Ⅱ）若α为第四象限角，则（）A．cos2α＞0B．cos2α＜0C．sin2α＞0D．sin2α＜0 6．（2020•新课标Ⅲ）已知2tanθ﹣tan（θ+）＝7，则tanθ＝（）A．﹣2B．﹣1C．1D．27．（2020•新课标Ⅲ）在△ABC中，cos C＝，AC＝4，BC＝3，则cos B＝（）A．B．C．D．8．（2020•新课标Ⅲ）在△ABC中，cos C＝，AC＝4，BC＝3，则tan B＝（）A．B．2C．4D．8 9．（2020•新课标Ⅲ）已知sinθ+sin（θ+）＝1，则sin（θ+）＝（）A．B．C．D．10．（2019•新课标Ⅰ）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知a sin A﹣b sin B ＝4c sin C，cos A＝﹣，则＝（）A．6B．5C．4D．3 11．（2019•新课标Ⅰ）tan255°＝（）A．﹣2﹣B．﹣2+C．2﹣D．2+ 12．（2019•新课标Ⅱ）下列函数中，以为最小正周期且在区间（，）单调递增的是（）A．f（x）＝|cos2x|B．f（x）＝|sin2x|C．f（x）＝cos|x|D．f（x）＝sin|x| 13．（2019•新课标Ⅱ）已知α∈（0，），2sin2α＝cos2α+1，则sinα＝（）A．B．C．D．14．（2019•新课标Ⅱ）若x1＝，x2＝是函数f（x）＝sinωx（ω＞0）两个相邻的极值点，则ω＝（）A．2B．C．1D．15．（2019•新课标Ⅲ）设函数f（x）＝sin（ωx+）（ω＞0），已知f（x）在[0，2π]有且仅有5个零点．下述四个结论：①f（x）在（0，2π）有且仅有3个极大值点②f（x）在（0，2π）有且仅有2个极小值点③f（x）在（0，）单调递增④ω的取值范围是[，）其中所有正确结论的编号是（）A．①④B．②③C．①②③D．①③④16．（2019•全国）已知tan A＝2，则＝（）A．B．C．3D．5 17．（2018•新课标Ⅱ）若f（x）＝cos x﹣sin x在[0，a]是减函数，则a的最大值是（）A．B．C．D．π18．（2018•新课标Ⅲ）函数f（x）＝的最小正周期为（）A．B．C．πD．2π19．（2018•新课标Ⅱ）若f（x）＝cos x﹣sin x在[﹣a，a]是减函数，则a的最大值是（）A．B．C．D．π20．（2018•新课标Ⅱ）在△ABC中，cos＝，BC＝1，AC＝5，则AB＝（）A．4B．C．D．2 21．（2018•新课标Ⅲ）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若△ABC的面积为，则C＝（）A．B．C．D．22．（2018•新课标Ⅲ）若sinα＝，则cos2α＝（）A．B．C．﹣D．﹣23．（2018•新课标Ⅰ）已知角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边上有两点A（1，a），B（2，b），且cos2α＝，则|a﹣b|＝（）A．B．C．D．1 24．（2018•新课标Ⅰ）已知函数f（x）＝2cos2x﹣sin2x+2，则（）A．f（x）的最小正周期为π，最大值为3B．f（x）的最小正周期为π，最大值为4C．f（x）的最小正周期为2π，最大值为3D．f（x）的最小正周期为2π，最大值为425．（2017•全国）cos20°cos25°﹣sin20°sin25°＝（）A．B．C．0D．二．填空题（共7小题）26．（2020•新课标Ⅱ）若sin x＝﹣，则cos2x＝．27．（2019•新课标Ⅰ）函数f（x）＝sin（2x+）﹣3cos x的最小值为．28．（2019•新课标Ⅱ）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若b＝6，a＝2c，B ＝，则△ABC的面积为．29．（2019•新课标Ⅱ）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知b sin A+a cos B＝0，则B＝．30．（2018•新课标Ⅱ）已知tan（α﹣）＝，则tanα＝．31．（2018•新课标Ⅱ）已知sinα+cosβ＝1，cosα+sinβ＝0，则sin（α+β）＝．32．（2018•新课标Ⅰ）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知b sin C+c sin B＝4a sin B sin C，b2+c2﹣a2＝8，则△ABC的面积为．三．解答题（共8小题）33．（2020•新课标Ⅰ）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知B＝150°．（1）若a＝c，b＝2，求△ABC的面积；（2）若sin A+sin C＝，求C．34．（2020•新课标Ⅱ）△ABC中，sin2A﹣sin2B﹣sin2C＝sin B sin C．（1）求A；（2）若BC＝3，求△ABC周长的最大值．35．（2020•新课标Ⅱ）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cos2（+A）+cos A＝．（1）求A；（2）若b﹣c＝a，证明：△ABC是直角三角形．36．（2019•新课标Ⅰ）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．设（sin B﹣sin C）2＝sin2A﹣sin B sin C．（1）求A；（2）若a+b＝2c，求sin C．37．（2019•新课标Ⅲ）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a，b，c．已知a sin＝b sin A．（1）求B；（2）若△ABC为锐角三角形，且c＝1，求△ABC面积的取值范围．38．（2019•全国）已知函数f（x）＝2sin2x﹣4cos2x+1．（1）求f（x）的最小正周期；（2）设g（x）＝f（），求g（x）在区间[0，]的最大值与最小值．39．（2018•新课标Ⅰ）在平面四边形ABCD中，∠ADC＝90°，∠A＝45°，AB＝2，BD＝5．（1）求cos∠ADB；（2）若DC＝2，求BC．40．（2018•全国）在△ABC中，角A、B、C对应边a、b、c，外接圆半径为1，已知2（sin2A ﹣sin2C）＝（a﹣b）sin B．（1）证明a2+b2﹣c2＝ab；（2）求角C和边c．2021年02月06日步步高的高中数学组卷参考答案与试题解析一．选择题（共25小题）1．【解答】解：要将y＝sin x的图象向左平移个单位，可得y＝sin（x+）＝cos x的图象，故选：C．2．【解答】解：tanα＝＝﹣，①，sin2α+cos2α＝1，②，又α为第二象限的角，∴sinα＞0，cosα＜0，联立①②，解得，，则sinα+cosα＝．故选：C．3．【解答】解：由3cos2α﹣8cosα＝5，得3（2cos2α﹣1）﹣8cosα﹣5＝0，即3cos2α﹣4cosα﹣4＝0，解得cosα＝2（舍去），或cos．∵α∈（0，π），∴α∈（，π），则sinα＝＝．故选：A．4．【解答】解：由图象可得最小正周期小于π﹣（﹣）＝，大于2×（）＝，排除A，D；由图象可得f（﹣）＝cos（﹣ω+）＝0，即为﹣ω+＝kπ+，k∈Z，（*）若选B，即有ω＝＝，由﹣×+＝kπ+，可得k不为整数，排除B；若选C，即有ω＝＝，由﹣×+＝kπ+，可得k＝﹣1，成立．故选：C．5．【解答】解：α为第四象限角，则﹣+2kπ＜α＜2kπ，k∈Z，则﹣π+4kπ＜2α＜4kπ，∴2α是第三或第四象限角或为y轴负半轴上的角，∴sin2α＜0，故选：D．6．【解答】解：由2tanθ﹣tan（θ+）＝7，得2tanθ﹣＝7，即2tanθ﹣2tan2θ﹣tanθ﹣1＝7﹣7tanθ，得2tan2θ﹣8tanθ+8＝0，即tan2θ﹣4tanθ+4＝0，即（tanθ﹣2）2＝0，则tanθ＝2，故选：D．7．【解答】解：在△ABC中，cos C＝，AC＝4，BC＝3，由余弦定理可得AB2＝AC2+BC2﹣2AC•BC•cos C＝42+32﹣2×4×3×＝9；故AB＝3；∴cos B＝＝＝，故选：A．8．【解答】解：∵cos C＝，AC＝4，BC＝3，∴tan C＝＝，∴AB＝＝＝3，可得A＝C，∴B＝π﹣2C，则tan B＝tan（π﹣2C）＝﹣tan2C＝＝＝4．故选：C．9．【解答】解：∵sinθ+sin（）＝1，∴sinθ+sinθ+cosθ＝1，即sinθ+cosθ＝1，得（cosθ+sinθ）＝1，即sin（）＝1，得sin（）＝故选：B．10．【解答】解：∵△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a sin A﹣b sin B＝4c sin C，cos A＝﹣，∴，解得3c2＝，∴＝6．故选：A．11．【解答】解：tan255°＝tan（180°+75°）＝tan75°＝tan（45°+30°）＝＝＝．故选：D．12．【解答】解：f（x）＝sin|x|不是周期函数，可排除D选项；f（x）＝cos|x|的周期为2π，可排除C选项；f（x）＝|sin2x|在处取得最大值，不可能在区间（，）单调递增，可排除B．故选：A．13．【解答】解：∵2sin2α＝cos2α+1，∴可得：4sinαcosα＝2cos2α，∵α∈（0，），sinα＞0，cosα＞0，∴cosα＝2sinα，∵sin2α+cos2α＝sin2α+（2sinα）2＝5sin2α＝1，∴解得：sinα＝．故选：B．14．【解答】解：∵x1＝，x2＝是函数f（x）＝sinωx（ω＞0）两个相邻的极值点，∴T＝2（）＝＝∴ω＝2，故选：A．15．【解答】解：当x∈[0，2π]时，ωx+∈[，2πω+]，∵f（x）在[0，2π]有且仅有5个零点，∴5π≤2πω+，∴，故④正确，因此由选项可知只需判断③是否正确即可得到答案，下面判断③是否正确，当x∈（0，）时，ωx+∈[，]，若f（x）在（0，）单调递增，则，即ω＜3，∵，故③正确．故选：D．16．【解答】解：tan A＝2，则＝＝＝．故选：B．17．【解答】解：f（x）＝cos x﹣sin x＝﹣（sin x﹣cos x）＝﹣sin（x﹣），由﹣+2kπ≤x﹣≤+2kπ，k∈Z，得﹣+2kπ≤x≤+2kπ，k∈Z，取k＝0，得f（x）的一个减区间为[﹣，]，由f（x）在[0，a]是减函数，得a≤．则a的最大值是．故选：C．18．【解答】解：函数f（x）＝＝＝sin2x的最小正周期为＝π，故选：C．19．【解答】解：f（x）＝cos x﹣sin x＝﹣（sin x﹣cos x）＝，由，k∈Z，得，k∈Z，取k＝0，得f（x）的一个减区间为[，]，由f（x）在[﹣a，a]是减函数，得，∴．则a的最大值是．故选：A．20．【解答】解：在△ABC中，cos＝，cos C＝2×＝﹣，BC＝1，AC＝5，则AB＝＝＝＝4．故选：A．21．【解答】解：∵△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．△ABC的面积为，∴S△ABC＝＝，∴sin C＝＝cos C，∵0＜C＜π，∴C＝．故选：C．22．【解答】解：∵sinα＝，∴cos2α＝1﹣2sin2α＝1﹣2×＝．故选：B．23．【解答】解：∵角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边上有两点A（1，a），B（2，b），且cos2α＝，∴cos2α＝2cos2α﹣1＝，解得cos2α＝，∴|cosα|＝，∴|sinα|＝＝，|tanα|＝||＝|a﹣b|＝＝＝．故选：B．24．【解答】解：函数f（x）＝2cos2x﹣sin2x+2＝2cos2x﹣sin2x+2sin2x+2cos2x＝4cos2x+sin2x＝3cos2x+1＝＝，故函数的最小正周期为π，函数的最大值为，故选：B．25．【解答】解：因为cos20°cos25°﹣sin20°sin25°＝cos（20°+25°）＝．故选：A．二．填空题（共7小题）26．【解答】解：∵sin x＝﹣，∴cos2x＝1﹣2sin2x＝1﹣2×（﹣）2＝．故答案为：．27．【解答】解：∵f（x）＝sin（2x+）﹣3cos x，＝﹣cos2x﹣3cos x＝﹣2cos2x﹣3cos x+1，令t＝cos x，则﹣1≤t≤1，令g（t）＝﹣2t2﹣3t+1的开口向下，对称轴t＝，在[﹣1，1]上先增后减，故当t＝1即cos x＝1时，函数有最小值﹣4．故答案为：﹣428．【解答】解：由余弦定理有b2＝a2+c2﹣2ac cos B，∵b＝6，a＝2c，B＝，∴36＝（2c）2+c2﹣4c2cos，∴c2＝12，∴S△ABC＝，故答案为：6．29．【解答】解：∵b sin A+a cos B＝0，∴由正弦定理可得：sin A sin B+sin A cos B＝0，∵A∈（0，π），sin A＞0，∴可得：sin B+cos B＝0，可得：tan B＝﹣1，∵B∈（0，π），∴B＝．故答案为：．30．【解答】解：∵tan（α﹣）＝，∴tan（α）＝，则tanα＝tan（α+）＝＝＝＝＝，故答案为：．31．【解答】解：sinα+cosβ＝1，两边平方可得：sin2α+2sinαcosβ+cos2β＝1，①，cosα+sinβ＝0，两边平方可得：cos2α+2cosαsinβ+sin2β＝0，②，由①+②得：2+2（sinαcosβ+cosαsinβ）＝1，即2+2sin（α+β）＝1，∴2sin（α+β）＝﹣1．∴sin（α+β）＝．故答案为：．32．【解答】解：△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．b sin C+c sin B＝4a sin B sin C，利用正弦定理可得sin B sin C+sin C sin B＝4sin A sin B sin C，由于0＜B＜π，0＜C＜π，所以sin B sin C≠0，所以sin A＝，则A＝由于b2+c2﹣a2＝8，则：，①当A＝时，，解得bc＝，所以．②当A＝时，，解得bc＝﹣（不合题意），舍去．故：．故答案为：．三．解答题（共8小题）33．【解答】解：（1）△ABC中，B＝150°，a＝c，b＝2，cos B＝＝＝，∴c＝2（负值舍去），a＝2，∴＝．（2）sin A+sin C＝，即sin（180°﹣150°﹣C）+＝，化简得＝，sin（C+30°）＝，∵0°＜C＜30°，∴30°＜C+30°＜60°，∴C+30°＝45°，∴C＝15°．34．【解答】解：（1）设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，因为sin2A﹣sin2B﹣sin2C＝sin B sin C，由正弦定理可得a2﹣b2﹣c2＝bc，即为b2+c2﹣a2＝﹣bc，由余弦定理可得cos A＝＝﹣＝﹣，由0＜A＜π，可得A＝；（2）由题意可得a＝3，又B+C＝，可设B＝﹣d，C＝+d，﹣＜d＜，由正弦定理可得＝＝＝2，可得b＝2sin（﹣d），c＝2sin（+d），则△ABC周长为a+b+c＝3+2[sin（﹣d）+sin（+d）]＝3+2（cos d﹣sin d+cos d+sin d），＝3+2cos d，当d＝0，即B＝C＝时，△ABC的周长取得最大值3+2．另解：a＝3，A＝，又a2＝b2+c2﹣2bc cos A，∴9＝b2+c2+bc＝（b+c）2﹣bc≥（b+c）2﹣（b+c）2，由b+c＞3，则b+c≤2（当且仅当b＝c时，“＝”成立），则△ABC周长的最大值为3+2．35．【解答】解：（1）∵cos2（+A）+cos A＝sin2A+cos A＝1﹣cos2A+cos A═，∴cos2A﹣cos A+＝0，解得cos A＝，∵A∈（0，π），∴A＝；（2）证明：∵b﹣c＝a，A＝，∴由正弦定理可得sin B﹣sin C＝sin A＝，∴sin B﹣sin（﹣B）＝sin B﹣cos B﹣sin B＝sin B﹣cos B＝sin（B﹣）＝，∵B，B﹣∈（﹣，），∴B﹣＝，可得B＝，可得△ABC是直角三角形，得证．36．【解答】解：（1）∵△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．∵（sin B﹣sin C）2＝sin2A﹣sin B sin C．∴sin2B+sin2C﹣2sin B sin C＝sin2A﹣sin B sin C，∴由正弦定理得：b2+c2﹣a2＝bc，∴cos A＝＝＝，∵0＜A＜π，∴A＝．（2）∵a+b＝2c，A＝，∴由正弦定理得，∴解得sin（C﹣）＝，∴C﹣＝，C＝，∴sin C＝sin（）＝sin cos+cos sin＝+＝．37．【解答】解：（1）a sin＝b sin A，即为a sin＝a cos＝b sin A，可得sin A cos＝sin B sin A＝2sin cos sin A，∵sin A＞0，∴cos＝2sin cos，若cos＝0，可得B＝（2k+1）π，k∈Z不成立，∴sin＝，由0＜B＜π，可得B＝；（2）若△ABC为锐角三角形，且c＝1，由余弦定理可得b＝＝，由三角形ABC为锐角三角形，可得a2+a2﹣a+1＞1且1+a2﹣a+1＞a2，且1+a2＞a2﹣a+1，解得＜a＜2，可得△ABC面积S＝a•sin＝a∈（，）．38．【解答】解：f（x）＝2sin2x﹣4cos2x+1＝1﹣cos2x﹣2（1+cos2x）+1＝﹣3cos2x．（1）f（x）的最小正周期T＝；（2）g（x）＝f（）＝，∵x∈[0，]，∴﹣3cos x∈[﹣3，]．即g（x）在区间[0，]的最大值为﹣，最小值为﹣3．39．【解答】解：（1）∵∠ADC＝90°，∠A＝45°，AB＝2，BD＝5．∴由正弦定理得：＝，即＝，∴sin∠ADB＝＝，∵AB＜BD，∴∠ADB＜∠A，∴cos∠ADB＝＝．（2）∵∠ADC＝90°，∴cos∠BDC＝sin∠ADB＝，∵DC＝2，∴BC＝＝＝5．40．【解答】证明：（1）∵在△ABC中，角A、B、C对应边a、b、c，外接圆半径为1，∴由正弦定理得：＝2R＝2，∴sin A＝，sin B＝，sin C＝，∵2（sin2A﹣sin2C）＝（a﹣b）sin B，∴2（）＝（a﹣b）•，化简，得：a2+b2﹣c2＝ab，故a2+b2﹣c2＝ab．解：（2）∵a2+b2﹣c2＝ab，∴cos C＝＝＝，解得C＝，∴c＝2sin C＝2•＝．。