2021年八年级数学上册 黄金分割学案 人教新课标版

10.2 黄金分割教案【点拔·导学】学习目标：理解黄金分割的定义；会找一条线段的黄金分割点.学习重点：找一条线段的黄金分割点. 难点: 找黄金分割点和画黄金矩形.学法指导：【温故·知新】1．已知线段a =2，b =6，c =3，线段b 是a 和c 的比例中项吗？为什么？2．数12与3的比例中项是 .【探究·研讨】1．动手量一量，并算一算书85页两幅彩图相关线段的比值.2．生活中我们见到过许许多多的图形，形态各异，美观大方.下图是一个五角星图案，在五角星图案中，用刻度尺分别度量线段AC 、BC 的长度，然后计算AB AC 与ACBC ,它们的值相等吗？3.归纳:在线段AB 上，点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC ，如果ACBC AB AC =,那么称线段AB 被点C 黄金分割, 点C 叫做线段AB 的黄金分割点，AC 与AB 的比叫做黄金比. 其中AB AC =215-≈0.618.4.古希腊时期的巴台农神庙,把它的正面放在一个矩形ABCD 中，以矩形ABCD 的宽AD 为边在其内部作正方形AEFD ，那么我们可以惊奇地发现，BCAB BE BC =,点E 是AB 的黄金分割点吗？矩形ABCD 的宽与长的比是黄金比吗？因为四边形AEFD 是正方形，所以AD=BC=AE,又因为BC AB BE BC =,所以AEAB BE AE =,即C B AAEBE AB AE ,因此点E 是AB 的黄金分割点，矩形ABCD 宽与长的比是黄金比.这个矩形叫做黄金矩形.探索:请问矩形BCFE 是否是黄金矩形？请说明你的结论的正确性.【应用·巩固】1.已知C 是线段AB 的黄金分割点.如果A C ：AB ≈0.618,那么BC ：AC ≈ , BC:AB ≈ .（结果保留3个有效数字）2.若M 、N 是线段AB 上的两个黄金分割点,且AB=1㎝,则MN ≈ ㎝.（精确到0.001）3.如图,在等腰三角形ABC 中,∠A=36°,BD 、CE 分别是∠ABC 、∠ACB 的角平分线,BD 、CE 相交于点O,则图中的黄金三角形有（ ）（A ）3个 （B ）4个 （C ）5个 （D ）6个 【反思·小结】到此你已经学到了什么？你能记住该了吗？【测试·反馈】1．如下图，若点P 是AB 的黄金分割点，则线段A P 、PB 、AB 满足关系式 ，即AP 是________与________的比例中项.2．黄金矩形的宽与长的比大约为 （精确到0.001）3．以长为2的线段AB 为边作正方形ABCD ，取AB 的中点P ，连结PD ，在BA 的延长线上取点F ，使PF=PD ，以AF 为边作正方形AMEF ，点M 在AD 上，如右图（1）求AM 、DM 的长. （2）求证：AM 2=AD ·DM.（3）根据（2）的结论你能找出图中的黄金分割点吗？【迁移·提高】【体会·感想】OE D B C AB P A。

黄金分割教案黄金分割教案一、教学目标：1.了解黄金分割的定义和性质；2.学会计算黄金分割点的方法；3.培养学生的分析问题和解决问题的能力；4.增进学生对数学学科的兴趣。

二、教学内容：1.黄金分割的概念介绍；2.黄金分割点的计算方法；3.通过实例让学生进行练习。

三、教学重点和难点：1.黄金分割点的计算方法；2.运用黄金分割点解决实际问题。

四、教学过程：1.导入：通过一段视频演示黄金分割在建筑、艺术等领域的应用，引起学生的兴趣。

2.知识讲解：（1）黄金分割的定义和性质；黄金分割就是指一条线段，将其分割为两部分，使其比例等于整条线段的比例。

黄金分割的比例为：（1+√5）/2，约等于1.618。

黄金分割具有美学上的特点，常用于建筑、艺术等领域。

（2）黄金分割点的计算方法；设线段的长为x，分割点距离起点的长度为a，则黄金分割点满足以下比例：x/a = a/(x-a)，解得a^2 - ax + x^2 = 0。

求得a = x(√5 - 1)/2，即黄金分割点距离起点的长度为线段的长乘以（√5 - 1）/2。

3.实例讲解：（1）例一：已知一段线段的长为8cm，求黄金分割点距离起点的长度。

解：根据计算方法，可得a = 8(√5 - 1)/2 ≈ 3.0902cm。

（2）例二：一段线段分割成两部分，其中长部分为20cm，求黄金分割点距离起点的长度。

解：设黄金分割点距离起点的长度为a，则根据计算方法：20/a = a/(20-a)，解得a^2 - 20a + 20^2 = 0。

求得a ≈ 12.3614cm。

4.练习：（1）练习一：已知一段线段的长为10cm，求黄金分割点距离终点的长度。

（2）练习二：一段线段分割成两部分，其中短部分为15cm，求黄金分割点距离终点的长度。

5.总结和拓展：总结黄金分割的定义和性质，以及计算黄金分割点距离起点的方法。

拓展黄金分割在其他领域的应用，如绘画、设计等。

六、教学延伸：对于更高年级的学生，可以进一步引导他们进行更复杂的黄金分割问题的求解，培养他们的抽象思维能力和创新能力。

《黄金分割》教案一、教学目标：1. 让学生了解黄金分割的概念和特点。

2. 培养学生运用黄金分割知识解决实际问题的能力。

3. 提高学生对数学美的感知，培养学生的审美情趣。

二、教学内容：1. 黄金分割的定义及历史背景。

2. 黄金分割线的画法及应用。

3. 黄金分割在生活中的实例分析。

三、教学重点与难点：1. 黄金分割的概念及画法。

2. 黄金分割在实际问题中的应用。

四、教学方法：1. 采用讲授法，讲解黄金分割的概念、历史背景及应用。

2. 采用案例分析法，分析生活中的黄金分割实例。

3. 采用实践操作法，让学生动手画黄金分割线，提高实际应用能力。

五、教学过程：1. 导入新课：通过展示著名的黄金分割作品，引发学生对黄金分割的好奇心，激发学习兴趣。

2. 知识讲解：讲解黄金分割的定义、历史背景及画法，让学生掌握基本知识。

3. 案例分析：分析生活中的黄金分割实例，让学生了解黄金分割在现实生活中的应用。

4. 实践操作：让学生动手画黄金分割线，提高实际应用能力。

6. 板书设计：黄金分割1. 定义：线段分割的比例，使较长线段与整体线段的比等于较短线段与较长线段的比。

2. 画法：通过特定方法画出黄金分割线。

3. 应用：生活中的黄金分割实例分析。

六、教学评价：1. 课后作业：要求学生绘制一幅包含黄金分割的画作，并写一篇短文阐述黄金分割在作品中的运用及其美感。

2. 课堂表现：观察学生在课堂上的参与程度、提问回答等情况，了解学生的学习状态。

3. 同伴评价：学生之间互相评价对方的作品，从黄金分割的应用和创意等方面进行评价。

七、课后作业：1. 绘制一幅包含黄金分割的画作，并写一篇短文阐述黄金分割在作品中的运用及其美感。

2. 收集生活中的黄金分割实例，下节课分享。

八、教学反思：1. 课堂节奏是否适中，学生是否能跟上教学进度。

2. 教学方法是否有效，学生是否能更好地理解和掌握黄金分割的知识。

3. 学生参与度如何，是否都能积极投入到课堂活动中。

最新整理初二数学教案黄金分割导学案10.2黄金分割班级姓名学号学习目标1、探索黄金分割、黄金矩形、黄金三角形的过程，了解黄金分割在各个领域有价值的运用；2、会找一条线段的黄金分割点；3、在应用中进一步理解线段的比、成比例线段.学习重点了解黄金分割、黄金矩形、黄金三角形的意义.学习难点怎样找一条线段的黄金分割点.学习过程一、情境创设：1、欣赏芭蕾舞演员身体各部分之间适当的比例给人以匀称、协调的美感，请量出图中线段AB、AC的长度，并求出线段AB与AC的比值；2、上海东方明珠电视设计巧妙，整个塔体的挺拔秀丽，请量出图中线段AB、AC的长度，并求出线段AB与AC的比值；3、观察“你最喜欢的矩形”的调查结果，看看多数同学选择是哪一个矩形，在此矩形中，宽与长的比值约是多少？二、探索活动：活动一、计算（或）的值，引入黄金分割的概念.把矩形ABCD的长AB与宽BC画在同一条直线上，此时点B把线段AC分成两部分，如果，那么线段AC被点B黄金分割.（有一种通俗的说法是：较小的线段与较大的线段的比等于较大的线段与整个线段之比）BC与AC（或AC与AB）的比值约为0.168，这个比值称为黄金比.注意：（1）一条线段的黄金分割点有两个，它们关于中点中心对称；（2）若矩形的两条邻边长度的比值约为0.618，这种矩形称为黄金矩形.（3）若在黄金矩形中截取一个正方形，那么剩余的矩形是黄金矩形吗？活动二、认识黄金分割在几何中的一些应用.（如黄金三角形）1、作顶角为36°的等腰△ABC；2、分别量出底边BC与腰AB的长度；3、作∠B的平分线，交AC于点D，量出△BCD的底边CD的长度；最后，分别求出△ABC与△BCD的底边与腰的长度的比值（精确到0.001）问：比值是多少？所以我们把顶角为36°的三角形称为黄金三角形，它具有如下的性质：（1）；（2）设BD是△ABC的底角的平分线，则△BCD也是黄金三角形，且点D是线段AC的黄金分割点；（3）如再作∠C的平分线，交BD于点E，则△CDE也是黄金三角形，如此继续下去，可得到一串黄金三角形；活动三、如图，五边形ABCDE的5条边相等，5个内角也相等，（1）找出图中的黄金三角形；（2）图中的点F、G、H、M、N分别是那些线段的黄金分割点？你能说明理由吗？解：（1）△ACD、△BDE、△CAE、△DAB、△EBC、△AGD、△ABN、△BCF、△BAH、△CMB、△CDG、△DNC、△DEH、△EDF、△EMA；（2）点F是线段CG、CE、DN、BD的黄金分割点，……三、例题讲解：例1、若线段AB＝4cm，点C是线段AB的一个黄金分割点，则AC的长为多少？例2、我们知道古希腊时期的巴台农神庙（ParthenomTemple）的正面是一个黄金矩形，若已知黄金矩形的长等于6,则这个黄金矩形的宽等于多少？（结果保留根号）例3、如图的五角星中，AD=BC，且C、D两点都是AB的黄金分割点，AB=1，求CD的长.四、黄金分割在生活中的应用：（1）二胡的“千斤”放在琴弦的金分割点处，音色最佳；（2）据有关测定,当气温处于人体正常体温的黄金比值时,人体感到最舒适.因此夏天使用空调时室内温度调到什么温度最适合?（人的正常体温36.2℃～37.2℃）“人体舒适指数”----36.5℃×0.618≈23℃，“人体舒适指数”为22℃∽24℃；（3）植物茎的顶端向下，上下层的两片叶子间大约成137.50，这个角度对植物叶子采光、通风、光合作用最为有利，这是因为：137.5︰（360—137.5）≈0.618；……课后作业班级姓名学号(A)1、已知C是线段AB的黄金分割点（AC》BC），AC是线段______与线段______的比例中项，如果AB=10cm，那么AC≈_______cm，BC≈_________cm．(A)2、已知M、N是线段AB上的两个黄金分割点．若AB=1cm，则MN≈_______cm．(A)3、如果是a与c的比例中项，且a=1，那么c=.(A)4、如果点C在线段AB上，且AC:CB=5:2，那么AC:AB=；如果点C在线段AB的延长线上，且AC:CB=5:2，那么AC:AB=.(B)5、在菱形ABCD中，∠BAD=600，则BD:AC=.(A)6、如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD为∠ABC的平分线，CE是∠ACB的平分线，BD、CE相交于点O．图中的黄金三角形有（）A、3个B、4个C、5个D、6个(A)7、东方明珠塔高468m,上球体点A是塔身的黄金分割点.点A到塔底部的距离约是多少米（精确到0.1m）？(A)8、根据人的审美观点，当人的下肢长与身高之比为0.618时，能使人看起来感到匀称，某成年女士身高为166cm，下肢长为101cm，持上述观点,她所选的高跟鞋的最佳高度约为多少（精确到0.1cm）?(A)9、如图，在黄金矩形ABCD中，（1）作正方形AEFD，使顶点E、F分别在边AB、CD上；（2）分别量出矩形BCFE的边BE、BC的长度，它们的比值是否约等于0.618？(B)10、如图，“黄金矩形”ABCD（即≈0.618）中，依次画正方形①、②、③、④．（1）观察矩形⑤，你认为它也是一个黄金矩形吗？（2）设BC=1（单位长度），通过计算，能否验证你的判断？(A)11、如图，AB:AC=BD:BC,且AB=6cm，AC=4cm,BC=5cm,求BD、DC的长.(A)12、如图，∠DCE=900,甲、乙两个机器人同时从点C出发，分别沿CD、CE的方向前进，若甲每秒钟前进12cm,乙每秒钟前进9cm，经过ts后,甲、乙分别到达A、B处.（1）求的值；（2）t为何值时,AB=60cm？(B)13、如图，正方形ABCD的边长为2.E为AB的中点，点H在BA延长线上，且EH=ED，四边形AFGH是正方形.（1）求AF、DF的长；（2）点F是AD的黄金分割点吗？为什么？(B)14、给定一条线段AB，如何找到它的黄金分割点C呢？（1）作BD⊥AB，且使BD=AB；（2）连接AD，以D为圆心，BD长为半径画弧交AD于点E；（3）以A为圆心，AE长为半径画弧交AB于点C．点C就是线段AB 的黄金分割点．如果有兴趣的话，你可以和同学们探索一下，点C为什么是线段AB的黄金分割点？。

《黄金分割》教案一、教学目标1、知识与技能目标（1）理解黄金分割的定义，能准确找出黄金分割点。

（2）掌握黄金分割比的数值，并能进行简单的计算。

（3）了解黄金分割在生活中的应用，提高学生的数学应用意识。

2、过程与方法目标（1）通过观察、计算、推理等活动，培养学生的探究能力和逻辑思维能力。

（2）经历黄金分割的发现和探究过程，体会从特殊到一般的数学思想方法。

3、情感态度与价值观目标（1）感受黄金分割的美，激发学生对数学的兴趣和热爱。

（2）通过了解黄金分割在生活中的广泛应用，体会数学与生活的紧密联系，增强学生的应用意识和创新意识。

二、教学重难点1、教学重点（1）黄金分割的定义及黄金分割比的计算。

（2）黄金分割在实际生活中的应用。

2、教学难点（1）理解黄金分割的本质，能准确找出黄金分割点。

（2）灵活运用黄金分割解决实际问题。

三、教学方法讲授法、探究法、讨论法、演示法四、教学过程1、导入新课（1）展示一些具有美感的图片，如建筑、艺术作品等，引导学生观察并思考这些图片中美的共同特点。

（2）提出问题：为什么这些图片会给人一种美的感受？是否存在某种数学规律在其中？2、讲授新课（1）黄金分割的定义通过一个简单的几何图形，如线段，引入黄金分割的概念。

在线段 AB 上，点 C 把线段 AB 分成两条线段 AC 和 BC，如果AC/AB ＝ BC/AC，那么称线段 AB 被点 C 黄金分割，点 C 叫做线段AB 的黄金分割点，AC 与 AB 的比值约为 0618，这个比值称为黄金分割比。

（2）黄金分割比的计算设线段 AB 的长度为 1，点 C 为黄金分割点，AC 的长度为 x，则BC 的长度为 1 x。

根据黄金分割的定义可得：x/1 ＝（1 x)／x解方程可得：x ＝（√5 1)／2 ≈ 0618（3）黄金分割在几何图形中的应用①展示一些常见的几何图形，如矩形、三角形等，引导学生找出其中的黄金分割点和黄金分割比。

②以矩形为例，讲解如何通过黄金分割比来绘制一个具有美感的黄金矩形。

按照新课程标准要求，学科核心素养作为现代教育体系的核心理论，提高学生的兴趣、学习的主动性，是当前教育教学研究所注重的重要环节之一。

2021年4月，教育部发布文件，对教育机构改革进行了深入和细致的解读。

从中我们不难看出，作为一线教师，教育教学手段和理论知识水平是下一步需要进一步提高的重要能力。

本课作为课本中比较重要的一环，对核心素养进行了贯彻，将课堂环节设计进行了细致剖析，力求达到学生乐学，教师乐教的理想状态。

黄金分割课型：新授一、学习目标1、在应用中进一步理解线段的比、成比例线段，了解黄金分割、黄金矩形、黄金三角形的意义.2、会找出一条线段的黄金分割点，找出一个图形中的黄金分割点.二、学习重点：黄金分割、黄金矩形、黄金三角形的定义，会找出黄金分割点。

三、学习难点：探究黄金分割点。

四、学习过程： （一）活动一：观察课本P84—习题10.1第4题给出的一组矩形，你最喜欢哪个矩形？并与同学相互交流，选择大多数同学喜欢的那一个矩形，量出它的宽和长，并求出宽与长的比. 长方形的宽________，长______，宽：长=_________ （二）活动二自学课本p85—87，回答下列问题：1、 请通过度量求出图中芭蕾舞演员和上海东方明珠电视塔中线段AB 与AC 的比值. 芭蕾舞演员：AB:AC=_______；东方明珠：AB ：AC=__________2、当点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC ，满足____________时，我们称线段AB 被点C 黄金分割，点C 叫做______________.当AC>BC 时，__________叫做黄金比，它约等于__________. （三）活动三1、请在右边空白处作顶角为036的等腰三角形ABC2、量出底边BC 与腰AB 的长度，求出ABC ∆的底边与腰的长度的比值（精确到0.001）黄金三角形：顶角为______°的_________三角形称为____________ 3、作B ∠的平分线，交AC 于点D ，量出BCD ∆的底边CD 的长度。

黄金分割导学案第一篇：黄金分割导学案25.1比例线段——黄金分割导学案主备人：复备人：审核：温馨寄语：相信自己，挑战自己，超越自己。

【使用说明】1.自学课本59-60页,独立思考完成导学案，用红色笔勾画出疑惑点，以备上课时认真倾听同学的讲解，做好纠错、批注。

2.针对预习自学及合作探究找出的疑惑点进行交流探讨，高效展示，总结规律方法.【学习目标】1、借助图形认识黄金分割；2、通过作图能准确找到一条线段的黄金分割点，并能判断某一点是否为一条线段的黄金分割点；3、通过找一条线段的黄金分割点，培养自己的实践操作技能；4、能用黄金分割解释相关图形及在生活中的应用，认识数学在人类历史发展中的作用和蕴涵的文化价值。

【学习重点】认识黄金分割的概念并能解释生活中的相关现象；【学习难点】难点：找出黄金分割点和黄金分割在黄金矩形中的应用。

【学法指导】自主学习与合作探索相结合【学具准备】三角板、圆规【学习过程】（一）复习引入1、成比例线段：若四条线段a、b、c、d满足，那么就把这四条线段称为成比例线段。

2、若2：x=x:8,则x=(x为正数)。

（二）个性独学走进黄金分割1、黄金分割的发现：黄金分割是古希腊哲学家毕达哥拉斯发现。

一天，毕达哥拉斯从一家铁匠铺路过，被铺子中那有节奏的叮叮当当的打铁声所吸引，便站在那里仔细聆听，似乎这声音中隐匿着什么秘密。

他走进作坊，拿出一把尺量了一下铁锤和铁砧的尺寸，发现它们之间存在着一种十分和谐的关系。

回到家里，毕达哥拉斯拿出一根线，想将它分为两段。

怎样分才最好呢？经过反复比较，他最后确定1：0.618的比例截断最优美。

后来，德国的美学家泽辛把这一比例称为黄金分割律。

这个规律的意思是，较大部分与整体这个比等于较小部分与较大部分之比。

无论什么物体、图形，只要它各部分的关系都与这种分割法相符，这类物体、图形就能给人最悦目、最美的印象。

2、断臂维纳斯、金字塔、蒙娜丽莎的微笑、上海东方明珠塔及一些生物现象中用了很多的黄金分割。

第4课时 黄金分割学习目标：1、认识线段的黄金分割，理解黄金分割的概念.2、会运用黄金分割进行相关计算和证明.学习重点：比例性质的应用和黄金分割的概念.学习难点：运用黄金分割解决实际问题.【预习案】一、链接请写出比例的根本性质.二、导读阅读课本P95-96，答复以下问题：〔1〕 叫做黄金分割． 〔2〕黄金分割点是如何确定的？一条线段有几个黄金分割点？ 叫做线段的黄金分割点， 叫做黄金比. 【探究案】 ㈠、黄金分割的定义： 1、动手操作，然后算一算，完成下面的填空： 度量线段AC 、BC 的长度，线段AC= ，BC= ，计算AB AC = 、AC BC = , AB AC 与AC BC 的值 A B C相等吗？※在线段AB 上，点C 把线段AB 分成两条线段 和 ，如果 = ， 那么称线段AB 被点C ，点C 叫做线段AB 的 ，AC 与AB 的比叫做 。

其中AB AC = ≈※⑴、黄金分割是一种分割线段的方法，一条线段的黄金分割点有 个。

⑵、黄金比是两条线段的比，没有单位，它的比值为 ， 。

2、想一想：点C 是线段AB 的黄金分割点，那么ABAC = 。

㈡、确定黄金分割点：如图，线段AB ，按照如下方法作图： 〔1〕经过点B 作BD ⊥AB ，使BD=21AB. 〔2〕连接AD ，在DA 上截取DE=DB.〔3〕在AB 上截取AC=AE.点C 就是线段AB 的黄金分割点。

㈢、黄金矩形：宽与长的比是：的矩形叫做黄金矩形。

AB【训练案】1、假设点C 是线段AB 的黄金分割点，且AC ＞CB ，那么AB ：AC= ；BC ：AB= .2、假设在四边形ABCD 和四边形A 1B 1C 1D 1中，=11B A AB =11C B BC 1111CD DA C D D A ==58且四边形A 1B 1C 1D 1的周长为80cm ，求四边形ABCD 的周长.3、，如图在 △ABC 中 ECAE DB AD = 求证：(1)EC AC DB AB =; (2)EC AE AB AD = 4、设点C 是长度为2cm 的线段AB 的黄金分割点，那么AC 的长为 .第4课时 “斜边、直角边〞1．理解并掌握三角形全等的判定方法——“斜边、直角边〞．(重点)2．经历探究“斜边、直角边〞判定方法的过程，能运用“斜边、直角边〞判定方法解决有关问题．(难点)一、情境导入舞台背景的形状是两个直角三角形，工作人员想知道这两个直角三角形是否全等，但每个三角形都有一条直角边被花盆遮住无法测量．(1)你能帮他想个方法吗？(2)如果他只带了一个卷尺，能完成这个任务吗？工作人员测量了每个三角形没有被遮住的直角边和斜边，发现它们分别对应相等，于是他就肯定“两个直角三角形是全等的〞，你相信他的结论吗？二、合作探究探究点一：应用“斜边、直角边〞判定三角形全等如图，∠A ＝∠D ＝90°，E 、F 在线段BC 上，DE 与AF 交于点O ，且AB ＝CD ，BE ＝CF .求证：Rt △ABF ≌Rt △DCE .解析：由题意可得△ABF 与△DCE 都为直角三角形，由BE ＝CF 可得BF ＝CE ，然后运用“HL 〞即可判定Rt △ABF 与Rt △DCE 全等．证明：∵BE ＝CF ，∴BE ＋EF ＝CF ＋EF ，即BF ＝CE .∵∠A ＝∠D ＝90°，∴△ABF 与△DCE 都为直角三角形．在Rt △ABF 和Rt △DCE 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧BF ＝CE ，AB ＝CD ，∴Rt △ABF ≌Rt △DCE (HL)．方法总结：利用“HL 〞判定三角形全等，首先要判定这两个三角形是直角三角形，然后找出对应的斜边和直角边相等即可．探究点二：“斜边、直角边〞判定三角形全等的运用【类型一】 利用“HL 〞判定线段相等如图，AD ，AF 分别是两个钝角△ABC 和△ABE 的高，如果AD ＝AF ，AC ＝AE .求证：BC ＝BE . 解析：根据“HL 〞证Rt △ADC ≌Rt △AFE ，得CD ＝EF ，再根据“HL 〞证Rt △ABD ≌Rt △ABF ，得BD ＝BF ，最ED ACB后证明BC ＝BE .证明：∵AD ，AF 分别是两个钝角△ABC 和△ABE 的高，且AD ＝AF ，AC ＝AE ，∴Rt △ADC ≌Rt △AFE (HL)．∴CD ＝EF .∵AD ＝AF ，AB ＝AB ，∴Rt △ABD ≌Rt △ABF (HL)．∴BD ＝BF .∴BD －CD ＝BF －EF .即BC ＝BE .方法总结：证明线段相等可通过证明三角形全等解决，作为“HL 〞公理就是直角三角形独有的判定方法．所以直角三角形的判定方法最多，使用时应该抓住“直角〞这个隐含的条件． 【类型二】 利用“HL 〞判定角相等或线段平行如图，AB ⊥BC ，AD ⊥DC ，AB ＝AD ，求证：∠1＝∠2.解析：要证角相等，可先证明全等．即证Rt △ABC ≌Rt △ADC ，进而得出角相等．证明：∵AB ⊥BC ，AD ⊥DC ，∴∠B ＝∠D ＝90°，∴△ABC 与△ACD 为直角三角形．在Rt △ABC 和Rt △ADC 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝AD ，AC ＝AC ，∴Rt △ABC ≌Rt △ADC (HL)，∴∠1＝∠2. 方法总结：证明角相等可通过证明三角形全等解决．【类型三】 利用“HL 〞解决动点问题如图，有一直角三角形ABC ，∠C ＝90°，AC ＝10cm ，BC ＝5cm ，一条线段PQ ＝AB ，P 、Q 两点分别在AC 上和过A 点且垂直于AC 的射线AQ 上运动，问P 点运动到AC 上什么位置时△ABC 才能和△APQ 全等？解析：此题要分情况讨论：(1)Rt △APQ ≌Rt △CBA ，此时AP ＝BC ＝5cm ，可据此求出P 点的位置．(2)Rt △QAP ≌Rt △BCA ，此时AP ＝AC ，P 、C 重合．解：根据三角形全等的判定方法HL 可知：(1)当P 运动到AP ＝BC 时，∵∠C ＝∠QAP ＝90°.在Rt △ABC 与Rt △QPA 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧AP ＝BC ，PQ ＝AB ，∴Rt △ABC ≌Rt △QPA (HL)，∴AP ＝BC ＝5cm ；(2)当P 运动到与C 点重合时，AP ＝AC .在Rt △ABC 与Rt △QPA 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧AP ＝AC ，PQ ＝AB ，∴Rt △QAP ≌Rt △BCA (HL)，∴AP ＝AC ＝10cm ，∴当AP ＝5cm 或10cm 时，△ABC 才能和△APQ 全等．方法总结：判定三角形全等的关键是找对应边和对应角，由于此题没有说明全等三角形的对应边和对应角，因此要分类讨论，以免漏解．【类型四】 综合运用全等三角形的判定方法判定直角三角形全等如图，CD ⊥AB 于D 点，BE ⊥AC 于E 点，BE ，CD 交于O 点，且AO 平分∠BAC .求证：OB ＝OC .解析：BE ⊥AC ，CD ⊥AB 可推出∠ADC ＝∠BDC ＝∠AEB ＝∠CEB ＝90°，由AO 平分∠BAC 可知∠1＝∠2，然后根据AAS 证得△AOD ≌△AOE ，根据ASA 证得△BOD ≌△COE ，即可证得OB ＝OC .证明：∵BE ⊥AC ，CD ⊥AB ，∴∠ADC ＝∠BDC ＝∠AEB ＝∠CEB ＝90°.∵AO 平分∠BAC ，∴∠1＝∠2.在△AOD 和△AOE 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧∠ADC ＝∠AEB ，∠1＝∠2，OA ＝OA ，∴△AOD ≌△AOE (AAS)．∴OD ＝OE .在△BOD 和△COE 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧∠BDC ＝∠CEB ，OD ＝OE ，∠BOD ＝∠COE ，∴△BOD ≌△COE (ASA)．∴OB＝OC .方法总结：判定直角三角形全等的方法除“HL 〞外，还有：SSS 、SAS 、ASA 、AAS.三、板书设计“斜边、直角边〞1．斜边、直角边：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等．简记为“斜边、直角边〞或“HL 〞．2．方法归纳：(1)证明两个直角三角形全等的常用方法是“HL 〞，除此之外，还可以选用“SAS 〞“ASA 〞“AAS 〞以及“SSS 〞．(2)寻找未知的等边或等角时，常考虑转移到其他三角形中，利用三角形全等来进行证明．本节课的教学主要通过分组讨论、操作探究以及合作交流等方式来进行．在探究直角三角形全等的判定方法——“斜边、直角边〞时，要让学生进行合作交流．在寻找未知的等边或等角时，常考虑将其转移到其他三角形中，利用三角形全等来进行证明．此外，还要注重通过适量的练习稳固所学的新知识．。