沪教版(上海)初中数学九年级第一学期 本章小结以二次函数为背景的综合题 教案

沪科版九年级数学上册《二次函数》教案及教学反思引言二次函数是初中数学中相对复杂的一个概念，它相对于一次函数来说有更多的特征与应用，如顶点、对称轴、零点、最值等。

本文将介绍一份针对沪科版九年级数学上册《二次函数》这一章节的教案，并对教学反思进行探讨。

教学背景这份教案是我在上海某初中进行的一次实验性课堂教学。

此教案适用于九年级的初中生，要求学生已经掌握了二元一次方程的求解、一次函数的性质和图像以及代数式的变形等基础知识。

教学目标1.掌握二次函数的定义及其一般式、顶点式和根式的相互转化；2.掌握二次函数的图像特征，如顶点坐标、对称轴、零点、最值等；3.了解二次函数的应用，如求解实际问题中的最值问题等。

教学过程第一步：引入老师问学生：你们对什么样的函数比较熟悉？学生回答可能会有：一次函数、常函数等等。

老师接着问：那么你们知道二次函数是什么吗？学生回答可能为不知道或者知道一点点。

老师引入二次函数，介绍二次函数的定义及一般式、顶点式、根式的相互转化。

第二步：解析图像老师通过投影仪将二次函数的图像投影到黑板上，让学生观察二次函数的图像特征，比如顶点的坐标、对称轴、零点、最值等等。

学生需要根据图像，计算出相关特征。

老师会鼓励学生以互动的方式来回答，更好地激励学生的思考和学习兴趣。

第三步：应用案例在此步骤，老师会带领学生运用所学知识，解决实际问题。

老师会给出一些二次函数的实际应用，如最值问题等，并引导学生通过图像及代数式求解。

第四步：交流与总结本节课主要以小组合作、分组讨论的方式展开，通过搜集资料、解决问题等等不同形式的活动，使学生从交流中学习彼此的思路与想法。

在教学结束时，本课将通过展示学生成果、集体现场讨论等方式，促进学生的学习体会及信息互换，进一步进行问题的探讨与总结。

教学反思相对于其他部分的数学教学，二次函数因为有着图像特征与复杂的应用，因此需要更多的实践性教学。

对于学生来说，记忆数学知识并不是最方便的方法，因此更好的方式是通过亲身体验与实践，理解数学应用的本质。

二次函数的复习一、教学目标：1、复习二次函数的概念。

2、复习二次函数的图像与性质：开口方向、对称轴、顶点坐标、图像的上升与下降、图像的平移、会根据图像判断a 、b 、c 的符号。

3、复习配方法与待定系数法。

4、带领学生一起探讨二次函数与相似三角形、锐角三角比的综合运用，提升解决数学综合问题的能力。

二、教学重点与难点：重点：复习二次函数的图像与性质，复习配方法与待定系数法。

难点：培养学生从图像中获取信息的能力，从中体会数形结合、分类讨论等数学思想。

三、教学过程：（一）、知识整理1（1）、二次函数的概念.（2）、怎样判断一个函数是否是二次函数？2、二次函数的图像与性质复习2ax y =、c ax y +=2、2)(m x a y +=、k m x a y ++=2)(、c bx ax y ++=2的开口方向、对称轴、顶点坐标、图像的上升与下降。

练习：(1) 当m = 时， m m x m y -+=2)1(是二次函数。

(2) 二次函数y=x(1-x)的开口方向向 .(3) 二次函数y=(x-1)2+2的图像的最 （高或低）点的坐标是 。

(4) 二次函数y=2x 2+4图像的顶点坐标是 , 对称轴是 。

(5) 二次函数y=2x 2+4x 图像的顶点坐标是 ， 对称轴是 。

(6) 抛物线y= -x 2-2x+1在对称轴左侧部分y 随x 的增大而 。

(7) 已知二次函数 m x m x y 4)2(32-+-=的对称轴是y 轴，则m=_________。

3、二次函数的上下、左右平移练习：将抛物线2)2(1--=x y 进行上下或左右两次平移后，使它的顶点移到点（3，-1）的位置，平移的方法可以是先向______平移______个单位，再向______平移______个单位。

4、二次函数的图像信息：会根据图像判断a 、b 、c 的符号；根据图像上的点求函数解析式；判断y 随x 的增大与减小等练习1：二次函数c bx ax y ++=2的图象如下图所示，则下列结论正确的是（ ）A.. 0,0,0>>>c b aB. 0,0,0><<c b aC. 0,0,0<><c b aD. 0,0,0>><c b a练习2、如果 （k 为常数），那么二次函数k <22y kx x k =-+的图像大致为 ( )5、配方法与待定系数法（二）、综合运用探讨：二次函数与相似三角形、锐角三角比的综合运用。

二次函数复习
教学目标：
1、总结二次函数的有关概念、常见表达形式、图像与性质以及平移法则。

2、经历二次函数运用综合练习，进一步体会待定系数法确定函数解析式，理解数学与生活
的联系。

3、培养观察、分析、归纳的能力，感受数形结合的数学思想。

教学重点
二次函数的图像和性质
难点：
二次函数的综合运用
()0，C ，图像关于y 轴对称。

可
以通过上面2
y ax =的图像如何移动得到？ 4、平移法则
上加下减，左加右减（变成顶点式才能进行）
练习4：
（1）抛物线2
x 23y x =--+与y
轴交于点 ，与x 轴交于点 对称轴 ,顶点坐标 ；将这个函数图像 平移可以得到2
y x =-的图像。

（2）在2
y x =-的图像上有两点
()()1122x ,,y x y ，若12x 0x ，则1y 2y
（3）已知二次函数2y ax bx c =++的图像如图,用
不等式连结下列各式: a __0,b __0,c ___0, △___0 a+b+c___0, a-b+c___0
变式练习：若抛物线
c bx ax y ++=2经过原点和第
一、二、三象限，则 a __0,b __0,c ___0
5、二次函数综合运用
1、二次函数的概念,二次函数的常见表达式.
2、选择适当的方法求二次函数
的解析式.
3、会求二次函数的顶点坐标、
对称轴，根据图形求出最值.
使学生掌握不同类型的二次函数的图像和性质.
的坐标；。

o
x
c 的符号。
y
巩 固 练 习 4 ： 抛 物 线 y ax2 bx c 的 大 致 图 象 如 图 所 示 ，
试确定 a、b、c 的符号。 知识应用二、 一、 已知一个二次函数的图像经过点 A（1，0），B（3，0）C（0，3） 求（1）函数解析式。
（2）顶点 D 坐标。 （3）求∠ACB 的正弦值。
y
x
C 3
AB
x
01 3
D
【课内小结】
2
1、本课主要复习了哪些内容？ 2、通过复习，你有什么体会或收获呢？ 【作业】 【基础练习 1】二次函数 y x2 2x 3
①
用配方法求其顶点 D 坐标；
② 求该二次函数与 x 轴的交点 A、B（点 A 在点 B 的左边），与 y 轴的交点 C 的
坐标。
式
；
④ 将 二 次 函 数 y x2 2x 3 图 像 绕 着 顶 点 旋 转 180 ° 可 得 解 析
式
；
【提高题】题组二：二次函数图像中的特殊图形
y
① 下图是二次函数 y x2 2x 3 的有哪些特殊的 图形吗，这些特殊的图形之间有什么关系吗？
把抛物线 y ax2 bx c 化为 y a(x m)2 k
1、例题：把抛物线 y 1 x2 2x 1 化为 y a(x m)2 k 的形式，并指出它
2
2
的开口方向、顶点坐标、对称轴以及 y 随 x 的变化情况.
2、巩固练习 3：把抛物线 y 2x2 4x 3化为 y a(x m)2 k 的形式，并指出
【基础练习 2】题组一：二次函数图像变换
① 将二次函数 y x2 2x 3 图像向右平移 2 个单位，再向上平移 1 个单位，可

二次函数基础知识复习（一）教学设计本节课是二次函数的复习课，主要梳理一模试卷中出现的二次函数题型的基础知识，从二次函数的定义、二次函数的图像和性质、以及二次函数解析式的确定三方面出发，概括相关知识点，训练学生的解题思维方式，能够快速解决相关填空和选择题。

一、教学目标1、 熟练掌握二次函数的定义、图像与性质2、 能够熟练掌握二次函数的两种表示方法二、教学重点回顾二次函数的图像与性质，并运用这些知识解决一些相关问题三、教学过程 1、 知识梳理：（1） 二次函数的定义：c bx ax ++=y 2（,0≠a c b a 都是常数，且、、）条件：0≠a 、 最高次数是2、 代数式是整式练一练：1、试判断以下哪些是二次函数：（1）c bx ax ++=y 2（2）x x y +3+1=2（3）22-)1+(=x x y （4）23+2=x x y 2、已知函数3-5+)1-(=y 1+2x x m m 是二次函数，求m 的值（2） 二次函数的图像和性质练一练：1）、试在箭头上方（或下方）写出以下二次函数的平移过程22=y x 3+2=y 2x 3+3+2=y 2）（x21+2=y ）（x 5+2-2=y 2）（x 1+4-2=y 2）（x思考：1+4-2=y 2）（x 1+4+2=y 2x x 2）、已知点A （-1，a ）、B （1，b ）是二次函数22-2=y ）（x 图像上的两点， 则a___b （填“>”“<”或“=”）练一练：判断a 、b 、c 的正负性（3） 抛物线解析式的确定已知抛物线三个点的坐标：设一般式c bx ax ++=y 2（,0≠a c b a 都是常数，且、、）已知抛物线的顶点坐标：设顶点式k m x a y +)+(=2（0≠a ）练一练：根据下列条件，求二次函数的解析式 1、 图像经过（0，0），（1，-2），（2，3） 2、 图像的顶点是（2，3），且经过点（3，1） 变式练习：1）、图像对称轴为直线x=2，且经过（2，1），（3，2）2）、已知二次函数对称轴为直线x=2，且最小值为4，图像与y 轴交于（0，6）2、课堂小结3、教学反思：二次函数是描述现实世界变量之间的重要数学模型，也是某些单变量最优化问题的数学模型，还是一种非常基本的初等函数，对二次函数的研究学习和复习，将为学生进一步学习函数，利用函数性质解决实际应用问题奠定基础积累经验。

⑴当1=x 时，cb a y ++=⑵当1-=x 时，cb a y +-=⑶当2=x 时，cb a y ++=24⑷当2-=x 时，cb a y +-=24⑸当ac b 42-=0，ac b 42-＞0和ac b 42-＜0时，图像与x 轴交点个数。

二、知识点探究：探究1：二次函数62--=x x y 的图象顶点坐标是______，对称轴是_________。

探究要求：学生分别利用配方法和顶点公式进行求解。

探究2：根据二次函数62--=x x y 的图象顶点坐标、对称轴及与x 轴y 轴交点画出函数图像草图，研究函数性质。

探究要点：1、如何画二次函数的大致图象:①画对称轴②确定顶点③确定与y 轴的交点④确定与x 轴的交点⑤连线；2、由学生亲手画出的二次函数的大致图象体会函数的增减性、最值和函数值的正负性。

探究3：将221x y =向左平移3个单位,再向下平移2个单位后,所得的抛物线的关系式是。

知识点：抛物线移动规律：上加下减，左加右减探究4：抛物线2)3(212-+=x y 关于x 轴对称的抛物线解析式是。

1、要点：关于x 轴对称:1将原抛物线写成顶点式y=a(x+h)2+k学生根据二次函数和一次函数的图像性质进行讨论探究，教师根据学情进行指导。

三、探究体会：1、二次函数的定义及两个不同表达式2、二次函数图像的性质特点3、二次函数解析式系数与图像的关系4、二次函数图像平移和对称变换四、知识应用，巩固训练五、归纳总结本节课内容六、布置作业当堂巩固测试1、在①y ＝－x 2②y ＝2x 2－x 1＋3③y ＝100－5x 2④y=－2x 2＋5x 3－3中有个是二次函数。

2、函数k k k y +-=2)1(是二次函数，则k 的值是3、抛物线342+-=x y 的对称轴及顶点坐标分别是（）A、y 轴，（0，-4）B、x＝3，（0，4）C、x 轴，（0，0）D、y 轴，（0，3）4、二次函数2)1(2---=x y 图象的顶点坐标和对称轴方程为（）A、（1，-2），x＝1B、（1，2)，x＝1C、（-1，-2），x＝-1D、（-1，2），x＝-15、函数32212++=x x y 的开口方向，顶点坐标是，对称轴是当x 时.y 随x 的增大而减小。

《二次函数》复习课教案一、复习目标：（一）知识与技能目标：1、已知二次函数的解析式，能熟练的判断抛物线开口方向，写出对称轴方程和顶点坐标，巩固二次函数的图像性质及其平移规律。

2、熟练待定系数法求二次函数解析式，并能解决简单的实际问题。

3、体验二次函数与其他数学知识之间的联系，为今后进一步掌握二次函数的综合应用做好准备。

（二）过程与方法目标：1、通过对二次函数的概念、顶点、对称轴的练习，回顾二次函数的基础知识。

2、通过对典型例题的分析解答，培养分析问题和解决问题的能力；初步掌握数形结合的思想方法。

（三）情感态度和价值观目标：通过本节课的学习，让学生学会整理所学知识，逐步学会自主学习、自主探索，并能在讨论交流中获益。

二、复习重难点：重点：根据题意求解二次函数的解析式。

难点：应用二次函数的有关知识，以及相似三角形、锐角三角比等知识解决实际问题。

复习方法：自主探究、合作交流三、复习过程：一、知识梳理（一）学生独立练习（同桌互改）1、函数+2x-5是二次函数时，m的值为。

2、①二次函数的图像开口方向，对称轴是，顶点坐标是。

②二次函数的图像开口方向，对称轴是，顶点坐标是。

③二次函数的图像开口方向，对称轴是，顶点坐标是，顶点是最点(填高,低)。

④二次函数的图像开口方向，对称轴是，顶点坐标是，对称轴侧的部分下降。

3、①把二次函数的图像向上平移3个单位，所得图像的解析式为：，再向左平移1个单位，则所得图像的解析式为：。

②将抛物线向右平移1个单位后，所得抛物线的解析式是____________．③抛物线是由抛物线向平移个单位又向平移个单位后得到的。

4、①抛物线开口方向，对称轴是，最低点坐标是，函数有最（填大，小）值是。

②抛物线的对称轴是，在对称轴右侧的部分是__________的。

（填“上升”或“下降”）5、抛物线的顶点坐标为，且经过点，则抛物线的解析式为。

（二）学生整理知识点（老师板书，投影）1、二次函数定义：形如ｙ=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数。

①a
0; ② c 0;
y ox
③ b2 4ac
0; ④ b
0;
小结： a 决定
，c 决定
， b2 4ac 决定
，
a 、 b 结合决定
.
2、若抛物线 y ax2 3x a2 1 的图像如图所示，
则a=
.
思维拓展
1、 中考链接
问题:卢浦大桥拱形可以近似看作抛物线的一部分。在大桥 截面 1∶11000 的比例图上，跨度 AB=5cm，拱高 OC=0.9cm，线段 DE 表示大桥拱内桥长，DE∥AB，如图 1，在比例图上，以直线 AB 为 x 轴，抛物线的对称轴为 y 轴，以 1cm 作为数轴的单位长 度，建立平面直角坐标系，如图 2。
学生分析意见:
(最好这里能帮忙做个二次函数的图像,同时有两只蚂 蚁在上面爬,爬到不同的位置,体现不同的点)
变式 1
已知 A（x1，y1）和 B（x2，y2）是二次函数 y 2x2 图像 上的两点，若 0<x1<x2，则 y1___y2．（填<、>、=）
学生分析意见:
变式 2 已知 A（3，y1）和 B（-4，y2）是二次函数 y 2x2 图像 上的两点，则 y1___y2．（填<、>、=）
学生分析意见:
变式 3 已知 A（x1，y1）和 B（x2，y2）是一次函数 y 2x 1 图像 上的两点，若 0<x1<x2，则 y1___y2．（填<、>、=）
学生分析意见:
变式 4 已知 A（x1，y1）和 B（x2，y2）是正比例函数 y 2x 图像 上的两点，若 0<x1<x2，则 y1___y2．（填<、>、=）

第一轮复习 二次函数（1）难点：二次函数知识的实际应用 【教学流程】 1. 知识回顾2. 通过例题讲解，巩固知识的掌握3. 通过训练，对二次函数的知识熟练应用4. 总结知识要点.5. 拓展思维，锻炼能力. 【学习导航】 一、知识梳理1、二次函数的定义：形如 2y ax bx c =++（b a 、是常数，且0≠a ） （1）定义要点：①0a ≠ ②最高次数2 ③代数式一定是整式 （2）自变量取值范围2、二次函数的图像和性质3、二次函数图像的平移 图像顶点的平移 平移二次函数图像的方法概括为:左 右 、上 下4、用待定系数法求二次函数的解析式（1）已知二次函数图像上三个点的坐标，设一般式 （2）已知二次函数图像与x 轴的两个交点的坐标，设交点式 （3）已知二次函数的顶点坐标或对称轴方程，设顶点式二、典型例题例1.,2)1(,523,5100,22,232222x x a y x x y x y xx y x y +-=+-=-=-=-=其中二次函数有_______个.例2.当m =_________时，函数13)1(1++-=+x x m y m 是二次函数. 例3、根据下列条件，求二次函数解析式 （1）图像经过原点，且过（2,5），（-1,3）两点； （2）图像经过点（2,0），（-1,0），与y 轴交点的纵坐标为2； （3）图像顶点在x 轴上，对称轴是直线1=x ，且经过点（2,3）.例4、如图,抛物线2y ax bx c =++,请判断下列各式的符号： ①a 0; ②c 0; ③24b ac - 0; ④b 0;小结：a 决定 ，c 决定 ，24b ac -决定 ，a 、b 结合决定 .变式1、若抛物线1322-+-=a x ax y 的图像如图所示， 则a =变式2、若抛物线342+-=x x y 的图像如图所示，则△ABC 的面积是三、巩固练习1.抛物线y=3x 2，y=-3x 2，y=31x 2+3共有的性质是（ ）A.开口向上B.对称轴是y 轴C.都有最高点D.y 随x 值的增大而增大2、二次函数21y mx x =+-的图像与x 轴有交点，则m 的取值范围是 .3、二次函数2244y x x =--+，当x 时y 随x 的增大而减小; 当x 时函数图像呈上升趋势.4、二次函数22y x =-的图像是由二次函数22(4)y x =-+的图像向 平移 ____个单位得到的.5、如图是二次函数y=ax 2+bx+c 的图象，则a 、b 、c 满足（ ） A.a>0,b>0,c>0 B.a>0,b<0,c>0 C.a>0,b>0,c<0 D.a>0,b<0,c<0xy oxyo四、课内小结五、思维拓展如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，二次函数图像经过(1,2)A-、B-和(0,1)C三点，顶点为P．(3,2)（1）求这个二次函数的解析式，并写出顶点P的坐标；（2）联结PC、BC，求BCP∠的正切值；（3）能否在第一象限内找到一点Q,使得以Q、C、A三点为顶点的三角形与以C、P、B三点为顶点的三角形相似？若能，请确定符合条件的点Q共有几个，并请直接写出它们的坐标；若不能，请说明理由．。

沪科版数学九年级上册21.1《二次函数》教学设计1一. 教材分析《二次函数》是沪科版数学九年级上册第21.1节的内容，本节主要让学生了解二次函数的定义、性质和图像，以及会运用二次函数解决实际问题。

二次函数是中学数学中的重要内容，也是高考的热点，对于培养学生的逻辑思维和解决问题的能力具有重要意义。

二. 学情分析九年级的学生已经学习了函数的基本概念和一次函数的性质，对于函数的概念和图像是有一定的了解的。

但是二次函数相对于一次函数来说，其图像和性质更加复杂，需要学生有良好的数学思维能力和抽象思维能力。

同时，学生对于实际问题的解决能力也需要加强。

三. 教学目标1.了解二次函数的定义，掌握二次函数的性质和图像；2.学会运用二次函数解决实际问题；3.培养学生的逻辑思维和解决问题的能力。

四. 教学重难点1.二次函数的定义和性质；2.二次函数图像的特点；3.运用二次函数解决实际问题。

五. 教学方法1.采用问题驱动法，引导学生探究二次函数的定义和性质；2.使用多媒体展示二次函数的图像，帮助学生直观理解二次函数的特点；3.通过实际例题，让学生运用二次函数解决实际问题；4.采用小组合作学习，培养学生的团队协作能力。

六. 教学准备1.多媒体教学设备；2.二次函数的PPT；3.实际问题的例题；4.练习题。

七. 教学过程1.导入（5分钟）利用多媒体展示一些实际问题，如抛物线射击、最大利润等问题，引导学生思考如何解决这些问题，从而引出二次函数的概念。

2.呈现（10分钟）通过PPT呈现二次函数的定义、性质和图像，让学生直观地了解二次函数的特点。

同时，教师进行讲解，让学生理解二次函数的概念和性质。

3.操练（10分钟）让学生分组讨论，每组选取一个实际问题，运用二次函数的知识解决问题。

教师巡回指导，解答学生的疑问。

4.巩固（10分钟）让学生独立完成一些练习题，巩固二次函数的知识。

教师选取一些题目进行讲解，纠正学生的错误。

5.拓展（10分钟）让学生思考一些拓展问题，如二次函数在实际生活中的应用等。

课题：§26.1 二次函数的概念【教学目标】1、理解二次函数的概念,会识别二次函数;2、会求一些简单的实际应用问题中二次函数的解析式和它的定义域;3、经历从实际应用问题引进二次函数概念的过程，初步体会用二次函数描述、研究变量之间的变化规律，并初步培养团队协作意识.【教学重难点】教学重点：二次函数概念的理解．教学难点：由实际问题确定函数解析式和定义域.【教学过程】一、复旧引新，探索新知1、复习提问【忆一忆】问题1 我们已经学习过哪些函数？问题2什么是一次函数？解析式中为什么k≠0 ?那么b呢？一般地,它的定义域是什么？2、探索新知【填一填】(1)一个边长为x 厘米的正方形，若它的面积是y 平方厘米，那么y关于x 的函数解析式是_____________(2)一个圆的半径是x 米，另一个圆的半径是1米，若它们的面积和是y 平方米，那么y关于x的函数解析式是_____________(3)某厂四月份的产值是100万元，设第二季度每个月产值的增长率相同，都为x(x>0).六月份的产值为y万元，那么y关于x的函数解析式是_________________(4)如图,用长为20米的篱笆，一面靠墙（墙的长度超过20米），围成一个矩形花圃，设AB边的长为x米，花圃的面积为y平方米，那么y关于x的函数解析式是 ________________二次函数:一般地，解析式形如y=ax2+bx+c(其中a、b、c是常数，且a≠0)的函数叫做二次函数.二次函数的定义域为一切实数.二、师生互动，内化新知【辨一辨】在下列关系式中，哪些是y关于x的二次函数？(1) y=−0.5x2+x5 (2)y=1x2+1(3)0=x(x−1)(4)y=34+x3(5)y=(x+2)2−3 (6)y=(x+4)2−x2（小结如何识别二次函数的方法）【想一想】已知函数y=ax2+bx+c（a，b，c为常数），那么y是关于x的什么函数？【试一试】1、已知函数y=(m−1)x2−4x+3，当这个函数是二次函数时, 求m 的取值范围？变式1:已知函数y=x m−1−4x+3，当这个函数是二次函数时, 求m的值？变式2:已知函数y=(m−1)x m2+1−4x+3，当这个函数是二次函数时,求m 的值？变式3:已知函数y=(m−1)x m+2−4x2+3，当这个函数是二次函数时,求m的值？2、已知y关于x的二次函数y=mx2+3x−m2，当x=1时，函数值为3，求m的值.（小组讨论，合作完成）三、学以致用，深化新知回到【填一填】环节中，探索实际应用问题中函数的定义域. 例题1 如图，用长为20米的篱笆，一面靠墙（墙的长度 超过20米），围成一个矩形花圃，并在花圃中间用篱笆 隔出两个矩形小花圃.设AB 边的长为x 米，花圃的面积 为y 平方米，求y 关于x 的函数关系式及函数的定义域.例题2 圆柱的体积V 的计算公式V =πr 2ℎ，其中r 是圆柱底面积的半径，h 是圆柱的高.（1）当r 是常量时，V 是h 的什么函数？ （2）当 h 是常量时，V 是r 的什么函数？变式: 已知长方体ABCD -A’B’C’D’的底面是正方形,若将底面边长记为m ，长方体的高记为n ， 请用y 表示一个与该长方体有关的变量并 写出一个y 关于m 或n 的二次函数.四、自主小结，发展提高通过本节课的学习谈谈自己的收获与体会.五、分层作业，发展个性必做：练习册P 50习题26.1 选做：习题26.1【试一试】。

二次函数复习【教学目标】1、了解二次函数解析式的基本性质；2、会用待定系数法求二次函数的解析式；3、能从某些实际问题中抽象出二次函数的解析式。

【知识梳理】⑴一般式： ，顶点坐标：对称轴：直线 当x= 时，值最..y =⑵顶点式：k m x a y ++=2)(()0≠a (，顶点坐标：（ ， ）对称轴：直线 当x= 时，值最..y =⑶两根式： ，其中21,x x 是c bx ax ++2=0()0≠a 的两个实数根，图象与x 轴的两个交点坐标为（ ， ）和 （ ， ）)0≠a2ax y =的图象 （ ）2)(m x a y +=的图象 （ ）km x a y ++=2)(的图象【例题探究】（1）、下列函数中，二次函数的是（ ）A ．y=ax 2+bx+cB 、y=(x+2)(x-2)-(x-1)2C 、D 、y=x(x —1) （2）、当k= 时，函数1)1(2+-=+k k x k y 为二次函数。

（3）、若二次函数y=（a-1）x 2+x+a 2－1的图像如图所示，则a 的值是________．（4）、求满足下列条件的二次函数解析式⑴图象过（1，0）、（0，-2）和（2，3）；⑵图象与x 轴的交点的横坐标为-2和1，且过点（2，4）；⑶当x=2时，y 最大值=3，且过点（1，-3）； ⑷已知经过（4，-2）的二次函数的对称轴为直线x=3，且与x 轴的一个交点为（6，0）， 例2、与二次函数的平移有关的问题： 1、将抛物线 y ＝2x 2 向下平移 2 个单位，所得的抛物线的解析式为 。

2、把抛物线y=3x 2先向上平移2个单位，再向右平移3个单位，所得抛物线的解析式是3、把抛物线y ＝12212-+x x 先向 平移 个单位，再向 平移 个单位就得到抛物线23212--=x x y 。

4、已知二次函数()2111y x bx b =-+-≤≤，当b 从1-逐渐变化到1的过程中，它所对应的抛物线位置也随之变动．下列关于抛物线的移动方向的描述中，正确的是（ ） Ａ．先往左上方移动，再往左下方移动Ｂ．先往左下方移动，再往左上方移动 Ｃ．先往右上方移动，再往右下方移动Ｄ．先往右下方移动，再往右上方移动 例3、与二次函数y=ax 2+bx+c(a ≠0)的图象和性质有关的问题:1、请研究二次函数23212++-=x x y 的图象和性质： ⑴开口方向：⑵对称轴：⑶顶点坐标：⑷图象与x 轴的交点坐标： 、⑸图象与y 轴的交点坐标：⑹图象与y 轴的交点关于对称轴的对称点的坐标：⑺用五点法画函数的草图⑻求这个函数的最值，当x= 时，⑼当 时；y=0，当 时，y>0；当 时，y<0。

二次函数与相似三角形教案教学目标：1、会正确求解二次函数解析式；2、根据条件寻找或构造相似三角形，在二次函数的综合题中利用其性质求出线段的长度，从而得出点的坐标。

教学重点：1、正确求解二次函数解析式；2、相似三角形的判定与性质在二次函数综合题中的运用。

教学难点：根据条件构造相似三角形解决问题。

教学过程：一、快速反应1、已知二次函数的图象经过点（-5，-1）、（0，-4）和（1,1），求这个二次函数的解析式．2、已知抛物线的顶点坐标为（2,1），与y轴交于点（0,5），求这条抛物线的解析式。

3、已知抛物线过A（-2,0）、B（1，0）、C（0，2）三点。

求这条抛物线的解析式。

4、已知二次函数对称轴是x=1，过点（-3，0），与y轴交点为（0，5）5、已知二次函数图像顶点是（2，1），图像在x轴上截得的线段长2，求这个二次函数解析式。

二、小试牛刀1、如图, 在△ABC中,AB=5,AC=4,E是AB上一点,AE=2, 在AC上取一点F,使以A、E、F 为顶点的三角形与△ABC相似,那么AF=________2、如图，已知A(-1,-5),B(0,-4),C(4,0),点D在x轴的正半轴上，若以点D、C、B组成的三角形与△OAB相似，试求点D的坐标．A.EB C三、例题解读例1：已知在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点A 、B ，与 轴交于点C ，直线经过A 、C 两点．（1）求抛物线的表达式；（2）动点M 在直线上，且△ABC 与△COM 相似，求点M 的坐标．（3）如果点P 、Q 在抛物线上（P 点在对称轴左边），PQ//AO ，PQ=2AO ，求点P 、Q 坐标。

练习：已知抛物线y =ax 2+bx -3与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，O 是坐标原点，已知点B 的坐标是（3，0），tan ∠OAC =3．（1）求该抛物线的函数表达式；（2）点D 是y 轴上一动点，若以D 、C 、B 为顶点的三角形与△ABC 相似，求出符合条件的点D 的坐标.四、课堂小结：二次函数与相似三角形综合题之解题策略1、 根据题意，先求相关点的坐标和相关线段的长度；2、 待定系数法求相关函数的解析式；3、 利用同角或等角找对应点，分类讨论；4、 根据题目条件，正确画图，注意数形结合；5、 利用几何定理和性质或者代数方法建立方程求解都是常用方法。

二次函数与一元二次方程教案本节课的主要内容是二次函数与一元二次方程之间的关系，要求用方程的根体会函数与x 轴的交点，用函数的观点看方程，渗透数形结合的思想。

【教学目标】1、 经历复习二次函数与一元二次方程关系的过程，进一步体会方程与函数之间的互相转化，能 够用函数的观点看方程。

2、 掌握二次函数与 x 轴交点的个数与一元二次方程的根的关系，掌握何时方程有两个不等的实 根、两个相等的实根和没有实根，并熟练的用于解题中。

3、 掌握二次函数y=ax ²+bx+c （a ≠0）图象与直线y=m 公共点的横坐标,就是一元二次方程 ax ²+bx+c=m （a ≠0）的根。

【教学重点】1、掌握方程与函数之间的联系.2. 掌握一元二次方程的实数根个数与二次函数与x 轴公共点个数的对应关系，根据具体的函数图 像解决有关问题；3、掌握二次函数y=ax ²+bx+c （a ≠0）图象与直线y=m 公共点的横坐标,就是一元二次方程 ax ²+bx+c=m （a ≠0）的根。

【教学难点】1、掌握二次函数与x 轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系. 探索方程与函数之间的联系的过程.2、掌握由函数图像与x 轴交点情况，确定参数的取值范围。

【教学方法】讲练法，教师引导启发，学生合作探索 【教学过程】 复习提问1、一元二次方程02=++c bx ax 的根判别式是什么 方程根的情况是：0>∆， 0<∆， 0=∆，2、二次函数y=ax 2+bx+c(a 、b 、c 是常数，且a ≠0)图像条自主学习一：二次函数图像与x轴交点个数有几种情况？想一想，画一画分开口向上；开口向下分别作图。

三种可能：①两个交点②一个交点③没有交点。

自主学习二：二次函数与x轴交点个数与一元二次方程的根个数有什么关系?二次函数y=x2-2x-3,y=x2-2x+1,y=x2-2x+3的图象如图：(1)一元二次方程x2-2x-3=0图象y=x2-2x-3与x轴有个交点，分别是(2)一元二次方程x2-2x+1=0图象y=x2-2x+1与x轴有个交点，分别是(3)一元二次方程x2-2x+2=0图象y=x2-2x+3与x轴交点结论：1、2、3、4、交点的横坐标是一元二次方程的根适时小结：二次函数y=ax ²+bx+c （a ≠0） 与 一元二次方程20ax bx c ++=（a ≠0）图像与x 轴的公共点判别式： △=b 2-4acax ²+bx+c=0的根与x 轴有两个不同的公共点 （x 1，0）（x 2，0） ⇔△ ＞0 有两个不同的根 x=x 1，x=x 2与x 轴有唯一个公共点（x 0，0），这个公共点是顶点。

§26.1二次函数的定义教学目的1.探索具体问题中的数量关系和变化规律,体会二次函数是刻画现实世界的一个有效的数学模型。

2.结合具体情境体会二次函数的意义,掌握二次函数的概念。

教学重点和难点教学重点：对二次函数概念的理解．教学难点：由实际问题确定函数解析式和确定自变量的取值范围．教学过程一、复习提问1．什么叫函数？它有几种表示方法？2．什么叫一次函数？(y=kx+b，k≠0)什么叫正比例函数？(y=kx，k≠0)什么叫反比例函数？(y=kx，k≠0)二、新课(一)引入问题1 要用长20m的铁栏杆，一面靠墙，围成一个矩形的花圃，怎样围法才能使围成的花圃的面积最大？试一试（1）设矩形花圃的垂直于墙的一边AB的长为x m，先取x的一些值，算出矩形的另一边BC的长，进而得出矩形的面积y m2.试将计算结果填写在下表的空格中.（2）x的值是否可以任意取？有限定范围吗？（3）我们发现，当AB的长（x）确定后，矩形的面积（y）也就随之确定，y 是x的函数，试写出这个函数的关系式．我们可以得到：问题1中的函数关系式为y＝x（20－2x）（0＜x＜10）即y＝－2x2＋20x（0＜x＜10）问题2某商店将每件进价为8元的某种商品按每件10元出售，一天可售出约100件．该店想通过降低售价、增加销售量的办法来提高利润．经过市场调查，发现这种商品单价每降低0.1元，其销售量可增加约10件．将这种商品的售价降低多少时，能使销售利润最大?分析在这个问题中，该商品每天的利润与其降价的幅度有关．设每件商品降价x 元（0≤x≤2），该商品每天的利润为y元，y是x的函数．我们可以得到：问题2中的函数关系式为y＝（10－x－8）（100＋100x）（0≤x≤2），即y＝－100x2＋100x＋200（0≤x≤2）.（二）定义观察得到的两个函数关系式有什么共同特点？这两个问题有什么共同特点？概括它们都是用自变量的二次多项式来表示的．问题都可归结为：自变量x为何值时，函数y取得最大值？形如y＝ax2＋bx＋c（a、b、c是常数，a≠0）的函数叫做x的二次函数（quadratic function）．注意：1．使学生理解强调“形如”，即由形来定义函数名称．二次函数即y是关于x的二次多项式．2．在y=ax2＋bx＋c中自变量是x，它的取值范围是一切实数．但在实际问题中，自变量的取值范围是使实际问题有意义的值．如问题1中，0＜x＜10；问题2中，0≤x≤2。

以二次函数为背景的综合题复习目标：1、熟练掌握用待定系数法求二次函数；2、结合二次函数的性质与多个知识点的沟通解决有关数学的综合题3、体会数学思想方法，如：数形结合思想、方程思想、分类讨论思想；复习重点：掌握函数中典型几何问题的解题方法复习难点：数学思想的渗透教学环节设计过程设计说明一、知识点回顾1、二次函数y＝－（x－1）2+3图像的顶点坐标是______开口方向________对称轴_________2、将抛物线向上平移3个单位，向左平移2个单位后可得到抛物线的解析式_________________3、如图，若a＜0，b＞0，c＜0，则抛物线y=ax2＋bx＋c的大致图像为（）通过这三个题目主要是回顾二次函数中的性质且灵活的运用性质二、知识探究已知：抛物线cbxaxy++=2经过点A（1，0），B（4，0），C（0，2）。

求：问题1：抛物线的解析式；变式1：将点C的坐标（0，2）这一条件改为：cot OBC∠=2,求点C的坐标。

变式2：将点C的坐标（0，2）这一条件改为：抛物线于y轴正半轴交C点，且OBCOCA∠=∠,求抛物线的解析式问题2：点D（-1，5）在所求的抛物线上吗？为什么?并求BCD∆的面积。

在直角坐标平面内，根据确定的三点用待定系数法求抛物线的解析式是每一个学生要掌握的。

变式1对锐角三角比这一知识点的复习，明确线段转化到点的坐标要注意象限性。

变式2对相似三角形的性质和判定的复习，注意规范解题格式。

问题2点是否在图像上主要是通过计算的方法去解决。

求BCD的面积有多种方法，一方面考虑通性、通法，另一方面考虑择优问题3：将所求的抛物线如何平移使顶点坐标恰好是坐标原点？变式1：沿y轴方向向上（下）平移几个单位后经过原点？变式2：将所求的抛物线沿y轴方向向上（下）平移几个单位后经过点（-1，0）？变式3：将所求抛物线沿x轴方向向左（右）平移几个单位后，使平移后的抛物线的对称轴为y 轴？问题4：在直角坐标平面内确定点M，使得以点M、A、B、C为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点M的坐标.问题5：如果⊙P过点A、B、C三点，求圆心P的坐标。

如果别人思考数学的真理像我一样深入持久，他也会找到我的发现。

——高斯课题：九年级数学专题复习课——二次函数与锐角三角比教学目标：1.能根据条件熟练运用求二次函数解析式及对称轴、顶点的方法.2.能运用二次函数背景下与角有关的锐角三角比问题求点的坐标，掌握通性通法.教学重点、难点：二次函数背景下有关锐角三角比的综合题 教学过程： 一、 概念复习：练习一：已知二次函数的图像过点A （0，5）B （1，0）、C （5，0），则此二次函数解析式是_____________________，其对称轴为_____________，顶点P 的坐标是________，=________________，tan OAB ∠=_________. 二、 例题讲解：例题1：如图，在平面直角坐标系中，顶点为M 的抛物线是由抛物线23y x =-向右平移一个单位后得到的，它与y 轴负半轴交于点A ，点B （1）求点M 、A 、B 坐标；（2）联结AB 、AM 、BM ，求ABM ∠的正切值；（3）点P 是顶点为M 的抛物线上一点，，当ABM α=∠时，求P 点坐标．BMAxyO例2：已知二次函数32++=bx ax y 的图像与x 轴交于点A ()0,1与B ()0,3，交y 轴于点C ，其图像顶点为D .（1）求此二次函数的解析式；（2）试问△ABD 与△BCO 是否相似？并证明你的结论；（3）若点P 是此二次函数图像上的点，且PAB ACB ∠=∠，试求点P 的坐标.思考：如图，抛物线y=ax 2+bx ﹣4a 经过A （﹣1，0）、C （0，4）两点，与x 轴交于另一点B ，已知点D （m ，m+1）在第一象限的抛物线上，联结BD .（1）求抛物线的解析式；（2）问在抛物线上是否存在点P ，使PBD 等于45度？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由.三、 课堂小结：这节课你有哪些收获？ABCA BC四、练习二：1. 在平面直角坐标系xOy 中，将抛物线21(3)4y x =-向下平移使之经过点(8,0)A ，平移后的抛物线交y 轴于点B ． （1）求∠OBA 的正切值；（2）点C 在平移后抛物线的对称轴上且位于第一象限，联结CA 、CB ，当∠=∠BCA OBA 时，求点C 坐标．2．在平面直角坐标系xOy 中，已知A （1-，3）、B （2，n ）两点在二次函数4312++-=bx x y 的图像上.（1）求b 与n 的值；（2）若点P （不与点A 重合）在题目中已经求出的二次函数的图像上，且︒=∠45POB ，求点P 的坐标.。