沪教版(上海)初中数学九年级第一学期 26.3 二次函数y=ax2+bx+c的图像与性质 教案

⑶ a，b决定对称轴的位置: b 抛物线对称轴是直线x =
2a
a，b同号,对称轴在y轴左侧； b=0,对称轴是y轴； a，b异号,对称轴在y轴右侧
6
练
习
1、已知函数y = ax2 +bx +c的图象如下图所示， 根据图象信息你能得到关于系数 a ， b ， c 的一 些什么结论？
y
-1
.
.
1
x
y
x o D -3
y
x
-3
9
小
结
开口方向
当a > 0时，抛物线开口向上 当a < 0时，抛物线开口向下 直线
b 4ac b 2 ( , ) 2a 4a
对称轴
顶点坐标
x =
b 2a
开口向上，顶点是最低点 开口向下，顶点是最高点
a＞0,开口向上，a＜0,开口向下 c＜0,图象与y轴交点在x轴下方 c＞0,图象与y轴交点在x轴上方 c =0,图象过原点 a，b同号,对称轴在y轴左侧； b=0,对称轴是y轴； a，b异号,对称轴在y轴右侧
4
思考与归纳
2 y ax bx c 的图象如图所示，则( 抛物线
)
A. a>0，b>0，c>0 C. a<0，b>0，c>0
B. a>0，b<0，c>0 D. a<0，b&
5
思考与归纳
⑴ a决定抛物线开口方向：a＞0,开口向上 a＜0,开口向下
⑵ c决定抛物线与y轴交点的位置： c＜0,图象与y轴交点在x轴下方 c＞0,图象与y轴交点在x轴上方 c =0,图象过原点
顶点坐标
a>0时，对称轴左侧部分是下降的，右侧部分是上升的 a<0时，对称轴左侧部分是上升的，右侧部分是下降的

对称轴是直线__x_=_-_m__；顶点坐标是_(_-_m_,_k_)_.
当a＞0时，它的开口向__上_，顶点是抛物线的最_低__点； 当a＜0时，它的开口_向__下，顶点是抛物线的最_高__点．
课堂练习
4．指出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标．
函数
开口方向 对称轴 顶点坐标
y 2 x 1 2 1 2
y ax2 左右平移
y ax m2
上 下 平 移
y ax2 k
左右平移
上 下 平 移
y ax m2 k
（2）如果抛物线y＝x2+ m +1的顶点是坐标轴的原点， 那么m的值是__m__=_－__1__．
（3）如果抛物线y＝(x+m)2+m+3的对称轴是直线x=1，那 么它的顶点坐标是_(_1_,_2_)_．
课堂练习
5.填空： （4）如果抛物线y＝m(x+1)2+m+1的顶点坐标是 （－1,－2），那么它的开口方向是__向__下____.
2
平移后 2.说出抛物线y＝3(x－ 移得到．
1 3
平移前 )2＋4是由抛物线y＝3x2怎样平
向右平移 1 个单位，再向上平移4个单位．
3
课堂练习
3.抛物线y＝(x＋2)2是由抛物线 y＝(x＋2)2－6怎 样平移得到．
向上平移6个单位．
新课学习
二次函数y=a(x+m)2+k的图像的直观特征
抛物线y＝a (x＋m ) 2＋k（a、m、k是常数，a≠0）
（5）如果抛物线y＝a(x+m)2+k的顶点坐标是 （3,2），这个图像是由抛物线y＝-2x2平移得到，则这

1、“手和脑在一块干是创造教育的开始，手脑双全是创造教育的目的。” 2、一切真理要由学生自己获得，或由他们重新发现，至少由他们重建。 3、反思自我时展示了勇气，自我反思是一切思想的源泉。 4、好的教师是让学生发现真理，而不只是传授知识。 5、数学教学要“淡化形式，注重实质.
6、“教学的艺术不在于传授本领，而在于激励、唤醒、鼓舞”。2021年11月2021/11/82021/11/82021/11/811/8/2021 7、“教师必须懂得什么该讲，什么该留着不讲，不该讲的东西就好比是学生思维的器，马上使学生在思维中出现问题。”“观察是 思考和识记之母。”2021/11/82021/11/8November 8, 2021 8、普通的教师告诉学生做什么，称职的教师向学生解释怎么做，出色的教师示范给学生，最优秀的教师激励学生。 2021/11/82021/11/82021/11/82021/11/8
在同一坐标系中，画出函数：
y=- 1x2 y=- x12-1 y=- (x1+1)2-1的图象。
2
2
2
函数y=a(x-h)2+k的特点：
1、a>0时，开口向上；a<0时，开口向 下；
2、对称轴是直线x=h;
3、顶点坐标是（h，k）.
你知道哪些地方用到了抛物线。
你知道哪些地方用到了抛物线。
你知道哪些地方用到了抛物线。
生活中的抛物线
生活中的抛物线
画出函数: y= x2 y=x2+1
y=x2-1的图象
❖ y=x2+1开口向上，对称 轴为y轴，顶点是（0、1）。
❖ y=x2-1开口向上，对称 轴为y轴，顶点是（0、-1）。
画 的图出象函数。y=-12 x2 y=- 12(x+1)2与y=- 12(x-1)2

左 单位
2
y (x 2)
26.3（1） 二次函数y=ax2+bx+c的图像
思
考
y (x 2) 2 抛物线的解析式是什么？
如果将抛物线
1 3个单位，所得的 2 向上平移
y
y
1 2 (x 2) 3 2 P
1 2 y (x 2) Q 2
o
y
1 2 x 2
x
试 一 试
怎样将抛物线 别得到下列抛物线
1 2 通过左右、上下二次平移，分 2
y x
1 2 y （x - 3） 2 2
1 2 y （x 3） - 2 2
1 2 y （x - 3） -4 2
思考与归纳
y ax
2当m>0,向左平移
当m<0,向右平移
y a( x m) 2 当k>０，向上平移 y a( x m) 2 k
练
习
1、与抛物线y=－4x2形状相同，顶点为（2，-3）的抛 物线解析式为 。 y=±4(x-2）2 -3
2、如果抛物线
1 y 的顶点坐标是（ ( x h) 2 k-1，5）, 2
.
5
则h=
,k= 1
练
习
3、已知二次函数图象顶点为(-1，-6)，并且图象经过 点(0，5)，求这个二次函数的解析式。
当x=-m时,最小值为k.
当x=-m时,最大值为k.
作
业
练习册：26.3（1）
小
结
抛物线 顶点坐标 对称轴 开口方向 增减性 最值
y=a(x+m)2+k (a>0) （- m，k） 直线x= - m 向上

23、如果不明白，那就放手吧。并非所有的努力都会有结果，而且并非所有的过程都是没有意义的。您不必为不值得的人感到难过，也不 必为不爱您的人感到冤屈。
20、不要相信普通的东西是有价值的。您必须为生活中的所有事物而奋斗。如果今天和昨天没有什么不同，那就快点改变自己。 7、要坚强，不要在悲伤中流泪，而要在擦掉眼泪后微笑并面对未来的生活。 8、如果您现在正走在一条似乎没有前途的曲折道路上，则必须走下去，因为只有在完成这条道路时，您才会知道想要什么。 15、朝着自己的目标奔跑，为什么不关心那些不幸的事情，只要您的信心不消失，就可以看到正确的方向，风适合步行，逆风更适合您飞行 ，您不应该害怕生活中的任何事情，只怕放弃。
3、利用对称性描点画图 .
课堂小结
学习感想说一说
１．这节课你学会了什么？ ２．你认为有哪些要注意的地方？ ３．你还有什么疑惑吗？
配方法的步骤：
• 一化(化二次项系数为1) • 二配(配常数项) • 三合(合成完全平方形式) • 四合并常数项.
注意：其中第2步----配常数项,具体方法是:在二次项系数为1的前
5、生命很短暂，没有必要太在乎生命，有些事情不了解，他们不了解；有些人无法猜测，他们不会猜测；一些理想不认为。生活不会因为您 的抱怨而改变；生活不会因为你的忧郁而改变。
24、做事的最佳状态是：不是故意的。不要刻意自我表达，不要刻意淡化名利；不故意迎合，也不故意自大；不要刻意追逐流行，也不刻意 出类拔萃。如果是这样，您不会感到疲倦，纠结或失望。
顶点2， 1
数无形时少直觉，形少数时难入微， 数形结合百般好，隔离分家万事休
变式训练，一题多解 1．指出下列函数的开口方向、对称轴和
顶点坐标：
1 y 1 xx 2
2 y 3x 1x 2

b 2a
2
5
2
5 4
4ac b2 4a
42 7 52 4 2
81 8
∴抛物线的开口方向向上，顶点坐标是( 5 , 81)，对称
48
轴是直线 x
5 4
,抛物线在直线 x
5左侧的部分是
4
上升的、右侧的部分是下降的.
‹# ›
课堂练习
二
‹# ›
‹# ›
‹# ›
‹# ›
26.3（3） 二次函数y=ax2+bx+c的图像
解：
y
2 3x2
5
x
2
2
a 3 0,b 5 , c 2
52
b 2a
2
2 3
5 12
4ac b2 4a
4
2
3
4 3
5
2
2
71 48
∴抛物线的开口方向向上，
顶点坐标是( 5 , 71) ，
12 对称轴是直线
48
x
5
12
.
(4) y 3x2 2x
解：a=3>0,b=2,c=0
对称轴是直线 x 3，
顶点坐标是 (3,12) .
(2) y 2x2 5x 2
解：a=2>0,b=-5,c=2
b 5 5 2a 2 2 4
4ac b2 4 2 2 52 9
4a
42
8
∴抛物线开口向上，
对称轴是直线 x 5 ，
顶点坐标是(
5
,
9
4 ).
48
‹# ›
课堂练习
(3) y 5 x 2 3x2
进门测
二次函数 y 2x2 4x 3图像的开口方向、对称 轴、对称顶点为？

练习 2在平面直角坐标系xoy中，画出二次函数
y=（x-1）2+4的图像。
解：此抛物线开口___，对称轴_________，顶点坐标___________。
x
…
…
y=(x-1)2+4
…
…
描点、连线 ，画出抛物线y=(x-1)2+4
思考：将抛物线y=(x-1)2-4进行怎样的图形运动可以和
抛物线y=（x-1）2+4重合？
课题：26.3（2）二次函数y=ax2+bx+c的图像
学情分析：通过前面的学习，学生已经掌握了形如y=ax2、y=ax2+k、y=a(x+m)2的特殊二次
函数图像的特征和画法，并初步掌握了形如y=a(x+m)2+k的二次函数图像的基本特征和简单
平移，但对于二次函数y=a(x+m)2+k图像的画法、平移规律的应用还不够了解和熟练。
板书
课题
利用
多媒
体教
学，
展示
图形
运动
的过
程
板演
作图
过程
强调
作图
要求
启发
学生
观察
思考
得出
结论
巡视
个别
辅导
展示
学生
作图
师生
共同
纠错
欣赏
点评
动画
演示
促进
理解
总结
独立
思考
口答
问题
观察
图像
变化过程，Fra bibliotek并解答
独立
完成
自主
归纳
观察
分析
师生
共同
归纳

沪教版数学九年级上学期一课一练、单元测试卷和参考答案目录第二十四章相似三角形24.1放缩与相似形（1） 3 24.2 比例线段（1） 6 24.3三角形一边的平行线第一课时（1） 10 24.3三角形一边的平行线第二课时（1） 14 24.3三角形一边的平行线第三课时（1） 19 24.3三角形一边的平行线第四课时（1） 22 24.4相似三角形的判定第一课时（1） 25 24.4相似三角形的判定第二课时（1） 29 24.4相似三角形的判定第三课时（1） 33 24.4相似三角形的判定第四课时（1） 37 24.5相似三角形的性质第一课时（1） 43 24.5相似三角形的性质第二课时（1） 47 24.5相似三角形的性质第三课时（1） 52 24.6实数与向量相乘第一课时（1） 57 24.7向量的线性运算第一课时（1） 62 九年级(上)数学第二十四章相似三角形单元测试卷一 67 第二十五章锐角三角比25.1锐角三角比的意义（1） 72 25.2求锐角的三角比的值（1） 75 25.3 解直角三角形（1） 7925.4 解直角三角形的应用（1） 84 九年级(上)数学第二十五章锐角的三角比单元测试卷一 90 第二十六章二次函数26.1 二次函数的概念（1） 9426.2 特殊二次函数的图像第一课时（1） 98 26.2 特殊二次函数的图像第二课时（1） 102 26.2 特殊二次函数的图像第三课时（1） 106 26.3二次函数y=ax2+bx+c的图像第一课时（1） 111 26.3二次函数y=ax2+bx+c的图像第二课时（1） 116 26.3二次函数y=ax2+bx+c的图像第三课时（1） 121 九年级(上)数学第二十六章二次函数单元测试卷一 126 参考答案 132数学九年级上第二十四章相似三角形24.1放缩与相似形（1）一、选择题1下列各组图形中一定是相似三角形的是（）A. 两个等腰三角形B. 两个直角三角形C. 一个角为30 的等腰三角形D. 两个等边三角形2下列各组图形中一定是相似多边形的是（）A. 两个平行四边形B. 两个正方形C. 两个矩形D. 两个菱形3某两地的实际距离为3000米，画在地图上的距离是15厘米，则在地图上的距离与实际的距离之比是（）A 1:200B 1:2000C 1:20 000D 1:200 0004. 下列不一定是相似形的是（）A. 边数相同的正多边形B. 两个等腰直角三角形C. 两个圆D. 两个等腰三角形5. 下列给出的图形中，是相似形的是（）A. 三角板的、外三角形B. 两孪生兄弟的照片C. 行书中的“中”楷书中的“中”D. 同一棵树上摘下的两片树叶6. 下列各组图形中，一定是相似多边形的是（）A. 两个直角三角形B. 两个平行四边形C. 两个矩形D. 两个等边三角形7下列图形中，相似的有（）①放大镜下的图片与原来图片；②幻灯的底片与投影在屏幕上的图像③天空中两朵白云的照片④用同一底片洗出的两大小不同的照片A. 4组B. 3组C. 2组D. 1组8. 对一个图形进行放缩时，下列说确的是（）A. 图形中线段的长度与角的大小都保持不变B. 图形中线段的长度与角的大小都会改变C. 图形中线段的长度保持不变，角的大小可以改变D. 图形中线段的长度可以改变，角的大小都保持不变二、填空题9. ABC ∆与'''A B C ∆相似，则它们的对应角，对应边。

回顾与思考
1．抛物线y=5(x+1)2与y轴的交点坐标是（-1,0）。
2．抛物线y=-2x2+1沿y轴向下平移2个单位与y轴的交 （0，-1） 点坐标是 。
3．抛物线y=3x2先沿x轴向左平移3个单位，再沿y轴向 （-3，-2）。 下平移2个单位，顶点坐标是
4、二次函数y=x2的图像向右平移2个单位，得到二次 函数 y=(x-2)2 的图像，再向上平移1个单位，得 2 +1 y=(x-2) 到二次函数 的图像.
2 2
开口向上， 顶点2， 1 对称轴：直线 x 2，
5
练
习
1．指出下列函数的开口方向、对称轴和顶点坐标：
1
3
2.
1 2 y x 2x 2
2
4
y 2 x 2 x 1
y 3 x 1 x 2
，
y 1 x x 2
2
2
1 2 y x 2x 5 3 1 2 x 6x 5 3 1 2 x 6x 9 9 5 3 1 2 x 3 8. 3




二次函数一般式的配方法： (1) 提 (2) 配 (3)指出下列函数的开口方向、对称轴和顶点坐标：
8
作
业
练习册：26.3（3）
9
1
2
3
y x x
2
y 1 3x 3x
2
3
1 2 y x 4x 3 2 1 2 5 y x 3x 2 2
4
举
例3
2
指出二次函数 y x 4 x 3的开口方向、对称 轴和顶点坐标，并画出这个函数的图像.
y x 4 x 3 x 2 1

2021-2022学年九年级数学上册尖子生同步培优题典【沪教版】专题26.3一般二次函数的图象姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________注意事项：本试卷满分100分，试题共24题，选择10道、填空8道、解答6道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（2021•杨浦区三模）将抛物线y＝x2向左平移2个单位后得到新的抛物线的表达式为（）A．y＝x2+2B．y＝x2﹣2C．y＝（x+2）2D．y＝（x﹣2）22．（2020秋•长宁区期末）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，那么a、c满足（）A．a＞0，c＞0B．a＞0，c＜0C．a＜0，c＞0D．a＜0，c＜03．（2020秋•浦东新区期末）已知点A（1，2）、B（2，3）、C（2，1），那么抛物线y＝ax2+bx+1可以经过的点是（）A．点A、B、C B．点A、B C．点A、C D．点B、C4．（2020秋•徐汇区期末）已知抛物线y＝﹣x2+4x+c经过点（4，3），那么下列各点中，该抛物线必经过的点是（）A．（0，2）B．（0，3）C．（0，4）D．（0，5）5．（2020秋•闵行区期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝ax2+bx+c图象经过点O（0，0），那么根据图象，下列判断正确的是（）A．a＜0B．b＞0C．ab＞0D．c＝06．（2020秋•宝山区期末）如图所示是二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分，那么下列说法中不正确的是（）A．ac＜0B．抛物线的对称轴为直线x＝1C．a﹣b+c＝0D．点（﹣2，y1）和（2，y2）在抛物线上，则y1＞y27．（2020秋•兰陵县期末）二次函数y＝﹣x2+2x+4，当﹣1≤x≤2时，则（）A．1≤y≤4B．y≤5C．4≤y≤5D．1≤y≤58．（2020秋•镇平县期末）如图，抛物线y＝﹣x2+2x+c与x轴正半轴，y轴正半轴分别交于点A，B且OA ＝OB，则c的值为（）A．0B．1C．2D．39．（2020•湘西州）已知二次函数y＝ax2+bx+c图象的对称轴为x＝1，其图象如图所示，现有下列结论：①abc＞0，②b﹣2a＜0，③a﹣b+c＞0，④a+b＞n（an+b），（n≠1），⑤2c＜3b．正确的是（）A．①③B．②⑤C．③④D．④⑤10．（2021•深圳模拟）如图为二次函数y＝ax2+bx+c的图象，给出下列说法：①ab＜0；②方程ax2+bx+c＝0的根为x1＝﹣1，x2＝3；③a+b+c＞0；④当x＜1时，y随x值的增大而增大；⑤当y＞0时，x＜﹣1或x ＞3．其中，正确的说法有（）A．①②④B．①②⑤C．①③⑤D．②④⑤二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上11．（2021•上海模拟）已知点A（1，y1）、点B（2，y2）在抛物线y＝ax2﹣2上，且y1＜y2，那么a的取值范围是．12．（2021•宝山区二模）已知点A（﹣3，y1）和点B（−23，y2）都在二次函数y＝ax2﹣2ax+m（a＞0）的图象上，那么y1﹣y20（结果用＞，＜，＝表示）．13．（2021•青浦区二模）如果将抛物线y＝﹣x2向下平移，使其经过点（0，﹣2），那么所得新抛物线的表达式是．14．（2021•奉贤区二模）如果抛物线y＝ax2+bx+c在对称轴左侧呈上升趋势，那么a的取值范围是．15．（2020秋•嘉定区期末）二次函数y＝（x+1）2﹣3的图象与y轴的交点坐标为．16．（2020秋•嘉定区期末）如果抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴是直线x＝1，那么2a+b0．（从＜，＝，＞中选择）17．（2020秋•黄浦区期末）如果抛物线y＝x2+（b+3）x+2c的顶点为（b，c），那么该抛物线的顶点坐标是．18．（2020秋•闵行区期末）将抛物线y＝x2+2x向下平移1个单位，那么所得抛物线与y轴的交点的坐标为．三、解答题（本大题共6小题，共46分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．（2020秋•黄浦区期末）将二次函数y＝x2+2x+3的图象向右平移3个单位，求所得图象的函数解析式；请结合以上两个函数图象，指出当自变量x在什么取值范围内时，上述两个函数中恰好其中一个的函数图象是上升的，而另一个的函数图象是下降的．20．（2021•松江区二模）在平面直角坐标系xOy中，直线y＝3x+3与x轴、y轴分别交于点A、B，抛物线y ＝ax2+bx﹣5a经过点A．将点B向右平移5个单位长度，得到点C．（1）求点C的坐标；（2）求抛物线的对称轴；（3）若抛物线的顶点在△OBC的内部，求a的取值范围．21．（2020秋•石城县期末）已知抛物线y＝x2﹣2mx+3m+4（1）抛物线经过原点时，求m的值；（2）顶点在x轴上时，求m的值．22．（2020•上城区校级三模）已知二次函数y＝ax2+bx（a≠0）与一次函数y＝ax+b．（1）当a＝1，b＝﹣2时，求这两个函数图象的交点坐标；（2）若二次函数y＝ax2+bx的图象的顶点恰好在一次函数y＝ax+b的图象上，求ab应满足的条件；（3）若这两个函数的图象经过的象限完全相同，请直接写出ab应满足的条件．23．（2020•朝阳区模拟）在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝ax2﹣2kx+k2+k图象的对称轴为直线x＝k，且k≠0，顶点为P．（1）求a的值；（2）求点P的坐标（用含k的式子表示）；（3）已知点A（0，1），B（2，1），若函数y＝ax2﹣2kx+k2+k（k﹣1≤x≤k+1）的图象与线段AB恰有一个公共点，直接写出k的取值范围．24．（2021•杭州一模）在平面直角坐标系中，设二次函数y=−12（x﹣2m）2+1﹣m（m是实数）．（1）当m＝2时，若点A（6，n）在该函数图象上，求n的值．（2）小明说二次函数图象的顶点可以是（2，﹣1），你认为他的说法对吗？为什么？（3）已知点P（a+1，c），Q（4m﹣7+a，c）都在该二次函数图象上，求证：c≤−7 8．。

数学九年级上 第二十六章 二次函数26.3二次函数y=ax 2+bx+c 的图像 第一课时（1）一、选择题1. 抛物线4)21(22++-=x y 的顶点坐标是 （ ） A. )4,21( B. )4,21(- C. )4,21(- D. )4,21(--2. 把抛物线22x y =先向上平移3个单位，再向左平移2个单位，所得的抛物线的解析式是 （ ） A. 3)2(22+-=x y B. 3)2(22--=x y C. 3)2(22-+=x y D. 3)2(22++=x y3.顶点坐标为(－2,3),开口方向和大小与抛物线y ＝12x 2相同的解析式为 ( )A. y ＝12 (x －2)2＋3B. y ＝12 (x ＋2)2－3C. y ＝12 (x ＋2)2＋3D. y ＝－12(x ＋2)2＋34. 已知二次函数y ＝a (x+m)2＋k 的图像，则a,m,k 满足 （ ） A. a>0, m<0, k<0 B. a>0, m>0, k>0 C. a>0, m<0, k>0 D. a>0, m>0, k<05. 如果抛物线mx x m y ++=2)3(的开口方向向下，那么m 的取值范围是 （ ） A.03<<-m B. m <-3 C. 3-<m D. 0<m6. 二次函数822-+=mx x y 的图像过点（-1，3），则m 的值为 （ ） A. -8 B. -9 C. -10 D. -11二、填空题7.抛物线y ＝2 (x+m)2＋k 的开口方向________,对称轴是 ，顶点坐标________________. 8. 若二次函数4)1()2(22-++++=m x m x m y 的图像经过原点，则m= . 9. 若二次函数k m x y ++=2)(21的图像的顶点在第三象限，则m,k 的取值范围是 。

点为 (-1,0), (2,0)
课堂练习
7. 一个足球被从地面向上踢出，它距地面的高度h(m)可用公
式h=-4.9t2+19.6t来表示，其中t(s)表示足球被踢出后经过的时间.
(1)作出函数h=-4.9t2+19.6t的图象；
(2)当t=1，t=2时，足球距地面的高度分别是多少？
(3)方程-4.9t2+19.6t =0， 4.9t2+19.6t =14.7的根的实际意义分
ax2+bx+c=0
探究新知
为一个常数
（定值）
从上面发现，二次函数y=ax2+bx+c何时为一元二次方程?
一般地，当y取定值且a≠0时，二次函数为一元二次方程.
如：y=5时，则5 = 2 + + 就是
一个一元二次方程.
归纳小结
例如，已知二次函数 = − 2 + 4
已知二次函数，求自变量的值
题中h的值代入函数解析式，得到关于t的一元二次方
程. 如果方程有合乎实际的解，则说明小球的飞行高
度可以达到问题中h的值；否则，说明小球的飞行高度
不能达到问题中h的值.
探究新知
(1) 小球的飞行高度能否达到 15 m？如果能，需要多
少飞行时间？
解：解方程
15=20t-5t2
h
15
t2-4t+3=0
O 1
别是什么？你能用图象表示出来吗？
解：（1）略
（2）14.7m,19.2m.
（3）足球离开地面及落地的时间，足球高度是14.7m时的时间。
课堂小结
二次函数与一元
二次方程的关系
y=ax2+bx+c(a ≠0)，当y取定值时

§26.2（2）二次函数y=a的图像一、教学目标1、经历由抛物线y=a的平移得出二次函数y=a的图像的过程。

2、知道抛物线y=a与抛物线y=a的共同点与不同点。

3、知道a、c的抛物线y=a图像的影响。

4、渗透“数形结合”与“类比”的数学思想。

5、让学生通过观察、分析、归纳函数y=a的直观性质，提高学生的概括能力。

二、教学重点1、通过函数y=a的图像与抛物线y=a对比，体会平移的意义，进而得出函数y=a的图像的直观性质。

三、教学难点1、让学生运用从特殊到一般的数学思想，得出函数y=a的图像可由抛物线y=a通过上下平移得到。

四、课前复习1、复习二次函数的一般形式：y=a(a≠0)2、复习函数y=a图像与性质:①它的图像是一条抛物线， ②对称轴为y 轴，即直线x=o, ③顶点坐标（0，0），④当a>0开口向上，图像有最低点，当a<0开口向上，图像有最高点。

⑤∣a ∣越大抛物线的开口越小，∣a ∣越小抛物线的开口越大。

五、新课1、在同一坐标系里画函数y=与函数y=的图像。

①列表： ②描点：x … -2--1 0 12 …y= (2)2 …Y=…424 …③连线：2、思考1：分析列表中的数据，可以看出;在x的取值相同的情况下，函数y=的值与函数 y=的值相差2，在图像上反应出来就可以看成是把函数y=上的点向上平移2个单位与函数y=上的对应点重合。

3、问题：对于函数y=的图像上任意一点p,设它的坐标为（）则，过点p作垂直于x轴的直线，与函数y=的图像的交点记为Q,则P与Q点的横坐标相同，设Q点的坐标为（），则，于是得到，所以点P向上平移2个单位就与点Q重合。

因为P为函数y=的图像上任意一点，所以将函数y=向上平移2个单位就与函数y=的图像重合。

4、思考2：将函数y=的图像与函数y=的图像进行比较，函数y=的图像有哪些性质？①它的图像是一条抛物线， ②对称轴为y 轴，即直线x=o, ③顶点坐标（0，2），④当a>0开口向上，图像有最低点，当a<0开口向上，图像有最高点。

y(C) O x如果别人思考数学的真理像我一样深入持久，他也会找到我的发现。

——高斯26.3（3）二次函数的应用一、教学目标1．解决二次函数的实际综合问题．2．找到熟练解决应用问题的途径，并顺利地解决二次函数的应用问题． 二、教学重点、难点重点：构建适当的平面直角坐标系. 难点：构造与问题相关的数学模型. 教学环节教 师 活 动学生活动 设计意图（一） 情境 引入 激发 兴趣【情境引入】观看上海一些建筑物的图片，寻找期中的二次函数，感知生活中的二次函数． 【知识梳理】1．二次函数的解析式一般式：顶点式：交点式：2．二次函数的图象是 线。

3．抛物线y =ax 2+bx +c (a ≠0)的位置由a ,b ,c 决定： ① 的符号决定抛物线的开口方向② 的符号决定抛物线与y 轴交点的位置 ③ 的符号决定抛物线与x 轴交点的个数 ④a 、b 号，对称轴在y 轴的左侧 ⑤a 、b 号，对称轴在y 轴的右侧 分析问题， 积极思考．通过观看上海一些建筑物的图片，可以使学生体验数学来源于生活，服务于生活的道理，激发学生学习数学的兴趣．（二） 例题分析 解决问题【提出问题】一座抛物线型拱桥如图所示，桥下水面宽度是4m 时，水面离拱顶的高度是是2m ．当水面下降1m 后，水面宽度是多少？ （结果保留根号）【解决问题】解法一：如图2，水面的宽度AB =4m ，以AB 的中点O 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系。

由抛物线的对称性知，抛物线的顶点C在y 轴正半轴上．解法二：如图，以抛物线的顶点为原点构建平面直角坐标系．自主探究， 尝试解题． 综合运用， 解决问题. 通过本例题，使学生学会根据题意，构建适当的平面直角坐标系解决二次函数的应用问题，为今后学习数学建模提供基础．解法三：如图，以A点为坐标原点构建平面直角坐标系．（三）学以致用巩固方法1．如图，已知一抛物线型大门，其地面宽度AB=18m，一同学站在门内，在离门脚B点1m远的D处，垂直于地面手持一根1.7m长的木杆，其顶端恰好顶在抛物线型门上C处，根据这些条件，请你求出该大门的高h．2．如图，一单杠高2.2m，两立柱之间的距离为1.6m，将一根绳子的两端拴于立柱与横杠结合处，绳子自然下垂呈抛物线形状，一身高0.7m的小孩站在离左边立柱0.4m处，其头部刚好触到绳子，求绳子最低点到地面的距离．拓展：设计一条隧道，要使高4米，宽4米的巨型载重货车能单向通过，隧道上的纵断面是如图抛物线形状的拱，拱宽是高的4倍，求拱宽可以取得的最小整数解．讨论探究，解决问题．通过练习，让学生学会构建实际背景下的二次函数，并运用所学知识解决实际问题，培养学生解决实际问题的能力与方法。

26.3 二次函数y=ax 2+bx+c(a ≠0)的图象与性质 同步测试一、选择题1. 已知抛物线y=ax 2+bx+c （a ＞0）过（﹣2，0），（2，3）两点，那么抛物线的对称轴（ ）.A ．只能是x=﹣1B ．可能是y 轴C ．在y 轴右侧且在直线x=2的左侧D ．在y 轴左侧且在直线x=﹣2的右侧 2．已知抛物线2(0)y ax bx c a =++<过点(2,0)A -，(0,0)O ，1(3,)B y -，2(3,)C y 四点，则1y 与2y 的大小关系是（ ）．A ．12y y >B ．12y y =C ．12y y <D ．不能确定3．一次函数y=ax +b （a ≠0）与二次函数y=ax 2+bx +c （a ≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．4．已知二次函数2y ax bx c =++中，其函数y 与自变量x 之间的部分对应值如下表所示：x …… 0 1 2 3 4 …… y……4114……点A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)在函数的图象上，则当1＜x 1＜2，3＜x 2＜4时，y 1与y 2的大小关系正确的 是( )A ．y 1＞y 2B ．y 1＜y 2C ．y 1≥y 2D ．y 1≤y 25．如图所示，平面直角坐标系中，两条抛物线有相同的对称轴，则下列关系正确的是( ) A ．m ＝n ，k ＞h B ．m ＝n ，k ＜h C ．m ＞n ，k ＝h D ．m ＜n ，k ＝h第5题 第6题6．已知二次函数的图象(0≤x ≤3)如图所示，关于该函数在自变量取值范围内，下列说法正确的是( ) A ．有最小值0，有最大值3 B ．有最小值-1，有最大值0 C ．有最小值-1，有最大值3 D ．有最小值-1，无最大值 二、填空题7．如果抛物线y=ax 2+2a 2x ﹣1的对称轴是直线x=﹣1，那么实数a= ．8．如图所示，是二次函数2(0)y ax bx c a =++≠在平面直角坐标系中的图象．根据图形判断①c ＞0； ②a+b+c ＜0；③2a-b ＜0；④284b a ac +>中正确的是________（填写序号）．9．如图，在平面直角坐标系中，点A在抛物线y=x2﹣2x+2上运动．过点A作AC⊥x轴于点C，以AC 为对角线作矩形ABCD，连结BD，则对角线BD的最小值为．10．抛物线y=x2+bx+c与x轴的正半轴交于A，B两点，与y轴交于C点，且线段AB的长为1，△ABC的面积为1，则b的值是_____.11．抛物线y=x2+kx-2k通过一个定点，这个定点的坐标是_ ____.12．已知抛物线y=x2+x+b2经过点，则y1的值是___ __.三、解答题13．在平面直角坐标系xOy中，过点（0，2）且平行于x轴的直线，与直线y=x﹣1交于点A，点A关于直线x=1的对称点为B，抛物线C1：y=x2+bx+c经过点A，B．（1）求点A，B的坐标；（2）求抛物线C1的表达式及顶点坐标；（3）若抛物线C2：y=ax2（a≠0）与线段AB恰有一个公共点，结合函数的图象，求a的取值范围．14．如图，已知抛物线的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴与x轴交于点D. 点M从O点出发，以每秒1个单位长度的速度向B运动，过M作x轴的垂线，交抛物线于点P，交BC于Q.(1)求点B和点C的坐标；(2)设当点M运动了x(秒)时，四边形OBPC的面积为S，求S与x的函数关系式，并指出自变量x取值范围.(3)在线段BC上是否存在点Q，使得△DBQ成为以BQ为一腰的等腰三角形？若存在，求出点Q的坐标，若不存在，说明理由.15.如图，抛物线经过直线与坐标轴的两个交点，此抛物线与轴的另一个交点为，抛物线的顶点为.(1)求此抛物线的解析式；(2)点为抛物线上的一个动点，求使的点的坐标.答案与解析 一、选择题 1.【答案】D ；【解析】∵抛物线y=ax 2+bx+c （a ＞0）过（﹣2，0），（2，3）两点，∴点（﹣2，0）关于对称轴的对称点横坐标x 2满足：﹣2＜x 2＜2，∴﹣2＜＜0，∴抛物线的对称轴在y 轴左侧且在直线x=﹣2的右侧．故选D ．2.【答案】A ；【解析】由于抛物线2y ax bx c =++经过点A(-2，0)，O(0，0)，所以其对称轴为1x =-，根据抛物线对称性知当3x =-和1x =时，其函数值相等，∵ 0a <，开口向下，当2x >-时，y 随x 增大而减小，又213-<<，∴ 12y y >．3.【答案】C ．【解析】A 、由抛物线可知，a ＜0，由直线可知，故本选项错误； B 、由抛物线可知，a ＞0，x=﹣＞0，得b ＜0，由直线可知，a ＞0，b ＞0，故本选项错误； C 、由抛物线可知，a ＜0，x=﹣＜0，得b ＜0，由直线可知，a ＜0，b ＜0，故本选项正确； D 、由抛物线可知，a ＜0，x=﹣＜0，得b ＜0，由直线可知，a ＜0，b ＞0故本选项错误．故选C ．4.【答案】B ；【解析】由表可知1＜x 1＜2，∴ 0＜y 1＜1，3＜x 2＜4，∴ 1＜y 2＜4，故y 1＜y 2. 5.【答案】A ；【解析】由顶点(n ，k)在(m ，h)的上方，且对称轴相同，∴ m ＝n ，k ＞h. 6.【答案】C ；【解析】观察图象在0≤x ≤3时的最低点为(1，-1)，最高点为(3，3)，故有最小值-1，有最大值3. 二、填空题 7.【答案】1.【解析】∵抛物线y=ax 2+2a 2x ﹣1的对称轴是直线x=﹣1，∴﹣1=﹣解得：a=1．8．【答案】②④；【解析】观察图象知抛物线与y 轴交于负半轴，则0c <，故①是错误的；当1x =时，0y <，即0a b c ++<，故②是正确的；由于抛物线对称轴在y 轴右侧，则02ba->， ∵ 0a >，∴ 0b <，故20a b ->，故③是错误的；∵ 0a >，240b ac ->， ∴ 284b a ac +>，故④是正确的．9．【答案】1；【解析】∵y=x 2﹣2x+2=（x ﹣1）2+1，∴抛物线的顶点坐标为（1，1）， ∵四边形ABCD 为矩形，∴BD=AC ， 而AC ⊥x 轴，∴AC 的长等于点A 的纵坐标，当点A 在抛物线的顶点时，点A 到x 轴的距离最小，最小值为1， ∴对角线BD 的最小值为1．10．【答案】-3；【解析】设抛物线y=x 2+bx+c 与x 轴交点的坐标是x 1、x 2，则x 2- x 1=1，△ABC 的面积为1得c=2,由根与系数关系化为123x x +=±， 即=3b a -±，由20b a -＞得=3ba-，3b =-. 11．【答案】(2，4)；【解析】若抛物线y=x 2+kx-2k 通过一个定点，则与k 值无关，即整理y=x 2+kx-2k 得y=x 2+k （x-2），x-2=0，解得x=2,代入y=x 2+k （x-2），y=4,所以过点(2，4). 12．【答案】34； 【解析】又因为函数图象经过，所以，代入即可求得.三、解答题13.【答案与解析】 解：（1）当y=2时，则2=x ﹣1，解得：x=3， ∴A （3，2），∵点A 关于直线x=1的对称点为B ， ∴B （﹣1，2）． （2）把（3，2），（﹣2，2）代入抛物线C 1：y=x 2+bx+c 得：解得：∴y=x 2﹣2x ﹣1．顶点坐标为（1，﹣2）．（3）如图，当C 2过A 点，B 点时为临界，代入A（3，2）则9a=2，解得：a=，代入B（﹣1，2），则a（﹣1）2=2，解得：a=2，∴14.【答案与解析】(1)把x=0代入得点C的坐标为C(0，2)把y=0代入得点B的坐标为B(3，0)；(2)连结OP，设点P的坐标为P(x，y)==∵点M运动到B点上停止，∴，∴()；(3)存在. BC==①若BQ=DQ ∵ BQ=DQ，BD=2∴ BM=1 ∴OM=3-1=2∴∴QM=所以Q的坐标为Q(2，)；②若BQ=BD=2∵△BQM∽△BCO，∴==∴=∴ QM=∵=∴=∴BM=∴ OM=所以Q的坐标为Q(，).15.【答案与解析】(1)直线与坐标轴的交点，.则解得此抛物线的解析式.(2)抛物线的顶点，与轴的另一个交点.设，则.化简得.当，得或. 或当时，即，此方程无解.综上所述，满足条件的点的坐标为或.。

26.3（3）二次函数的图像教材分析：二次函数在初中函数的教学中优重要的地位，它不仅是初中代数内容的引申，更为以后学习一元二次不等式等奠定基础。

在历届中考中是不可缺少的内容，在复习二次函数的基础知识时，要注重待定系数法、函数思想、数形结合思想的应用。

学情分析：1、初三学生在新课的学习中已掌握二次函数的定义、图像及性质等基本知识；2、学生具有一定的自主探究和合作学习的能力；3、学生差异较大，两极分化明显。

教学目标：1、通过配方法把二次函数化成的形式，从而确定开口方向，对称轴，顶点坐标；2、用描点法画二次函数的图像。

教学重点：通过配方法描述二次函数图像的特征。

教学难点：二次函数的配方过程。

一、复习：1、用配方法解方程：（复习配方法）2、抛物线是二次函数的式，它的开口方向，对称轴是，顶点坐标是；它是由抛物线向平移个单位，再向平移个单位得到的。

（复习顶点式）二、新课：思考：二次函数的图像是什么？它的开口方向，对称轴，顶点坐标又是什么？（新课引入，自己尝试配方）例4、用配方法把下列函数解析式化为的形式：（练习配方法）（1）（2）例5、指出下列二次函数图像的开口方向、对称轴和顶点坐标：（巩固配方法并说说图像特征）（1）（2）（3）例6、指出二次函数图像的开口方向、对称轴和顶点坐标，并画出这个函数的图像。

（通过分析图像特征，利用描点法画图像）能力提升：二次函数的图像向上平移2个单位，再向右平移3个单位后得到抛物线，求原抛物线的解析式。

三、小结：说说这节课的收获26.3（3）二次函数的图像（学习单）一、课前练习：1、用配方法解方程：2、抛物线是二次函数的式，它的开口方向，对称轴是，顶点坐标是；它是由抛物线向平移个单位，再向平移个单位得到的。

二、试一试：3、把化为的形式三、练习：4、用配方法把化为的形式5、指出下列二次函数图像的开口方向、对称轴和顶点坐标：（1）（2）（3）6、指出二次函数图像的开口方向、对称轴和顶点坐标，并画出这个函数的图像。