11沪教版-初三数学-中考总复习(二次函数) - 学生版-基础

教学内容—二次函数综合复习知识精要二次函数的概念：形如2(0)y ax bx c a =++≠的函数。

定义域是一切实数。

二次函数的图像函数 对称轴顶点 开口方向最值 ()20y ax a =≠ y 轴 （0，0）a>0,图像开口向上,顶点是最低点; a<0,图像开口向下,顶点是最高点.()20y ax c a =+≠ y 轴),0(cc()()20y a x m a =+≠m x -= ()0,m -)0()(2≠++=a k m x a y m x -=),(k m -k()02≠++=a c bx ax yabx 2-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--a b ac a b 44,22 ab ac 442-)0)()((1≠--=a x x x x a y x221x x x +=一、选择题典型例题1）有关二次函数图像与系数关系1．如果0k <（k 为常数），那么二次函数22y kx x k =-+的图像大致为 （ ）．2. 已知二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的图像如图所示， 以下关于实数c b a ,,的符号判断中，正确的是（ ） A.0,0,0>>>c b a B.0,0,0><>c b a C.0,0,0<>>c b a D.0,0,0<<>c b a第6题ABCDy O x y Ox yOxyOx2）二次函数性质的判断：对称轴，开口方向，顶点，增减性1． 已知点11()x y ，，22()x y ，均在抛物线21y x =-上，下列说法中正确的是 （ ） A. 若12y y =，则12x x = B. 若12x x =-，则12y y =- C. 若120x x <<，则12y y > D. 若120x x <<，则12y y > 2．关于抛物线4)1(32-+-=x y ，下列说法正确的是 （ ）A ．抛物线的对称轴是直线1=x ；B ．抛物线在y 轴上的截距是4-；C ．抛物线的顶点坐标是（41--，）； D ．抛物线的开口方向向上． 3．已知函数222y x x =--的图像如图所示，根据图像提供的信息，可得y ≤1时，x 的取值范围是 （ ）A ．3x -≥B ．31x -≤≤C ． 13x -≤≤D ．1x -≤或3x ≥4．对于抛物线23y x =-，下列说法中正确的是（ ）A ．抛物线的开口向下 ；B ．顶点（0，－3）是抛物线的最低点 ；C ．顶点（0，－3）是抛物线的最高点；D ．抛物线在直线0x =右侧的部分下降的．3）二次函数的平移问题1．把抛物线22y x =--平移后得到抛物线2y x =-,平移的方法可以是（ ）． A. 沿y 轴向上平移2个单位； B. 沿y 轴向下平移2个单位； C. 沿x 轴向右平移2个单位； D. 沿x 轴向左平移2个单位．2. 把抛物线()216+=x y 平移后得到抛物线26x y = ，平移的方法可以是 （ ）.A. 沿y 轴向上平移1个单位；B. 沿y 轴向下平移1个单位；C. 沿x 轴向左平移1个单位；D. 沿x 轴向右平移1个单位. 巩固练习1．已知抛物线解析式为243y x x =--，若点P （2-，5）与点Q 关于该抛物线的对称轴对称，则点Q 的坐标是__________．2．二次函数322+=x y 图象的顶点坐标是 .3．如果二次函数()()21122+-++=x k x k y ，那么它的图象的开口向 .4. 如果)8,(x A ，),2(y B -是二次函数221x y =图像上的两个点，那么=+y x . 5．抛物线c bx x y ++=2经过点)3,0(和)0,1(-，那么抛物线的解析式是 ． 6．如果二次函数a x x y ++=2与x 轴有交点,那么实数a 的取值范围是 .7. 抛物线12-=ax y 上有一点)2,2(P ，平移该抛物线，使其顶点落在点)1,1(A 处，这时，点P 落在点Q 处，则点Q 的坐标为 ．二、 二次函数解答题典型例题例1.在直角坐标平面内，已知抛物线()()012>-=a x a y 顶点为A ,与y 轴交于点C ，点B 是抛物线上另一点，且横坐标为3，若⊿ABC 为直角三角形时，求a 的值.例2．如图，抛物线322++=ax ax y 与y 轴交于点C ，与x 轴交于A 、B 两点（点A 和点B 分别在x 轴的正、负半轴上），3cot =∠OCA ． （1）求抛物线的解析式；（2）平行于x 轴的直线l 与抛物线交于点E 、F （点F 在点E 的左边），如果四边形OBFE 是平行四边形，求点E 的坐标．巩固练习1. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y =ax 2+bx +c 与x 轴交于A 、B 两点，点A 在x 轴负半轴，点B 在x 轴正半轴，与y 轴交于点C ，且tan ∠ACO =12，CO =BO ，AB =3，求这条抛物线的函数解析式.CyO A BxCxy oA 11-4B三、二次函数与相似结合题例1. 抛物线2y ax bx c =++的图象如图所示，已知该抛物线与x 轴交于A 、B 两点，顶点为C ， （1）根据图象所给信息，求出抛物线的解析式； （2）求直线BC 与y 轴交点D 的坐标；（3）点P 是直线BC 上的一点，且APB ∆与DOB ∆相似，求点P 的坐标.例2．如图9，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，二次函数图像经过(1,2)A -、(3,2)B -和(0,1)C 三点，顶点为P ．（1）求这个二次函数的解析式，并写出顶点P 的坐标； （2）联结PC 、BC ，求BCP ∠的正切值；（3）能否在第一象限内找到一点Q ,使得以Q 、C 、A 三点为顶点的三角形与以C 、P 、B 三点为顶点的三角形相似？若能，请确定符合条件的点Q 共有几个，并请直接写出它们的坐标；若不能，请说明理由．自我测试1．下列抛物线中，顶点在第一象限内的是 ( ) A.2)1(21-=x y B. 3212+=x y C. 3)1(212++=x y D. 3)1(212+-=x y . 2．若A （113,4y -），B （2,45y -），C （3,41y ）为二次函数245y x x =--的图像上的三点，则1,y 2,y 3y 的大小关系是 （ ）．A.123y y y <<B. 321y y y <<C. 312y y y <<D. 132y y y << 3．将抛物线y =2x 2向左平移1个单位，再向上平移3个单位得到的抛物线，其解析式是( ) A. y=2(x+1)2 +3； B. y=2(x －1)2－3； C. y=2(x+1)2－3； D. y=2(x －1)2+3．4. 若二次函数k x x y +-=32的图像与x 轴有公共点,则实数k 的取值范围是 。

二次函数基础知识复习（一）教学设计本节课是二次函数的复习课，主要梳理一模试卷中出现的二次函数题型的基础知识，从二次函数的定义、二次函数的图像和性质、以及二次函数解析式的确定三方面出发，概括相关知识点，训练学生的解题思维方式，能够快速解决相关填空和选择题。

一、教学目标1、 熟练掌握二次函数的定义、图像与性质2、 能够熟练掌握二次函数的两种表示方法二、教学重点回顾二次函数的图像与性质，并运用这些知识解决一些相关问题三、教学过程 1、 知识梳理：（1） 二次函数的定义：c bx ax ++=y 2（,0≠a c b a 都是常数，且、、）条件：0≠a 、 最高次数是2、 代数式是整式练一练：1、试判断以下哪些是二次函数：（1）c bx ax ++=y 2（2）x x y +3+1=2（3）22-)1+(=x x y （4）23+2=x x y 2、已知函数3-5+)1-(=y 1+2x x m m 是二次函数，求m 的值（2） 二次函数的图像和性质练一练：1）、试在箭头上方（或下方）写出以下二次函数的平移过程22=y x 3+2=y 2x 3+3+2=y 2）（x21+2=y ）（x 5+2-2=y 2）（x 1+4-2=y 2）（x思考：1+4-2=y 2）（x 1+4+2=y 2x x 2）、已知点A （-1，a ）、B （1，b ）是二次函数22-2=y ）（x 图像上的两点， 则a___b （填“>”“<”或“=”）练一练：判断a 、b 、c 的正负性（3） 抛物线解析式的确定已知抛物线三个点的坐标：设一般式c bx ax ++=y 2（,0≠a c b a 都是常数，且、、）已知抛物线的顶点坐标：设顶点式k m x a y +)+(=2（0≠a ）练一练：根据下列条件，求二次函数的解析式 1、 图像经过（0，0），（1，-2），（2，3） 2、 图像的顶点是（2，3），且经过点（3，1） 变式练习：1）、图像对称轴为直线x=2，且经过（2，1），（3，2）2）、已知二次函数对称轴为直线x=2，且最小值为4，图像与y 轴交于（0，6）2、课堂小结3、教学反思：二次函数是描述现实世界变量之间的重要数学模型，也是某些单变量最优化问题的数学模型，还是一种非常基本的初等函数，对二次函数的研究学习和复习，将为学生进一步学习函数，利用函数性质解决实际应用问题奠定基础积累经验。

⑴当1=x 时，cb a y ++=⑵当1-=x 时，cb a y +-=⑶当2=x 时，cb a y ++=24⑷当2-=x 时，cb a y +-=24⑸当ac b 42-=0，ac b 42-＞0和ac b 42-＜0时，图像与x 轴交点个数。

二、知识点探究：探究1：二次函数62--=x x y 的图象顶点坐标是______，对称轴是_________。

探究要求：学生分别利用配方法和顶点公式进行求解。

探究2：根据二次函数62--=x x y 的图象顶点坐标、对称轴及与x 轴y 轴交点画出函数图像草图，研究函数性质。

探究要点：1、如何画二次函数的大致图象:①画对称轴②确定顶点③确定与y 轴的交点④确定与x 轴的交点⑤连线；2、由学生亲手画出的二次函数的大致图象体会函数的增减性、最值和函数值的正负性。

探究3：将221x y =向左平移3个单位,再向下平移2个单位后,所得的抛物线的关系式是。

知识点：抛物线移动规律：上加下减，左加右减探究4：抛物线2)3(212-+=x y 关于x 轴对称的抛物线解析式是。

1、要点：关于x 轴对称:1将原抛物线写成顶点式y=a(x+h)2+k学生根据二次函数和一次函数的图像性质进行讨论探究，教师根据学情进行指导。

三、探究体会：1、二次函数的定义及两个不同表达式2、二次函数图像的性质特点3、二次函数解析式系数与图像的关系4、二次函数图像平移和对称变换四、知识应用，巩固训练五、归纳总结本节课内容六、布置作业当堂巩固测试1、在①y ＝－x 2②y ＝2x 2－x 1＋3③y ＝100－5x 2④y=－2x 2＋5x 3－3中有个是二次函数。

2、函数k k k y +-=2)1(是二次函数，则k 的值是3、抛物线342+-=x y 的对称轴及顶点坐标分别是（）A、y 轴，（0，-4）B、x＝3，（0，4）C、x 轴，（0，0）D、y 轴，（0，3）4、二次函数2)1(2---=x y 图象的顶点坐标和对称轴方程为（）A、（1，-2），x＝1B、（1，2)，x＝1C、（-1，-2），x＝-1D、（-1，2），x＝-15、函数32212++=x x y 的开口方向，顶点坐标是，对称轴是当x 时.y 随x 的增大而减小。

例3:在同一直角坐标系中，一次函数 y=ax+c和二次函数y=ax2+c的图象大致为
y
y
y
y
O
x
A
x
O
x
O
O
x
B
C
D
答案: B 前进
2021
26
(三)根据函数性质求函数解析式
例4、已知二次函数y=ax2+bx+c的最 大值是2，图象顶点在直线y=x+1上，并 且图象经过点（3，-6）。求a、b、c。
0
(1)a确定抛物线的开口方向：
a>0
a<0
(2)c确定抛物线与y轴的交点位置:
c>0
c=0 c<0
x
(3)a、b确定对称轴
b x=- 2a
的位置:
ab>0 ab=0 ab<0
(4)Δ确定抛物线与x轴的交点个数：
Δ>0
Δ=0 Δ<0
2021
20
(1)a确定抛物线的开口方向：
a>0
a<0
y
(2)c确定抛物线与y轴的交点位置:
（小）值，这个最大（小）值是多少？
（6）x为何值时，y<0？x为何值时，y>0？
解 :(5)
x=-1
当x≤-1时，y随x的增大 而减小;
当x=-1时，y有最小值为 y最小值=-2
•(-3,0) • • (-1,-2)
•(1,0) x
0
• 3 前进 (0,-–2)
例（5：1）求已抛知物二线次开函口数方y=向—12，x2对+x称-—32轴和顶点M的坐标。
(4)Δ确定抛物线与x轴的交点个数：

《二次函数》复习课教案一、复习目标：（一）知识与技能目标：1、已知二次函数的解析式，能熟练的判断抛物线开口方向，写出对称轴方程和顶点坐标，巩固二次函数的图像性质及其平移规律。

2、熟练待定系数法求二次函数解析式，并能解决简单的实际问题。

3、体验二次函数与其他数学知识之间的联系，为今后进一步掌握二次函数的综合应用做好准备。

（二）过程与方法目标：1、通过对二次函数的概念、顶点、对称轴的练习，回顾二次函数的基础知识。

2、通过对典型例题的分析解答，培养分析问题和解决问题的能力；初步掌握数形结合的思想方法。

（三）情感态度和价值观目标：通过本节课的学习，让学生学会整理所学知识，逐步学会自主学习、自主探索，并能在讨论交流中获益。

二、复习重难点：重点：根据题意求解二次函数的解析式。

难点：应用二次函数的有关知识，以及相似三角形、锐角三角比等知识解决实际问题。

复习方法：自主探究、合作交流三、复习过程：一、知识梳理（一）学生独立练习（同桌互改）1、函数+2x-5是二次函数时，m的值为。

2、①二次函数的图像开口方向，对称轴是，顶点坐标是。

②二次函数的图像开口方向，对称轴是，顶点坐标是。

③二次函数的图像开口方向，对称轴是，顶点坐标是，顶点是最点(填高,低)。

④二次函数的图像开口方向，对称轴是，顶点坐标是，对称轴侧的部分下降。

3、①把二次函数的图像向上平移3个单位，所得图像的解析式为：，再向左平移1个单位，则所得图像的解析式为：。

②将抛物线向右平移1个单位后，所得抛物线的解析式是____________．③抛物线是由抛物线向平移个单位又向平移个单位后得到的。

4、①抛物线开口方向，对称轴是，最低点坐标是，函数有最（填大，小）值是。

②抛物线的对称轴是，在对称轴右侧的部分是__________的。

（填“上升”或“下降”）5、抛物线的顶点坐标为，且经过点，则抛物线的解析式为。

（二）学生整理知识点（老师板书，投影）1、二次函数定义：形如ｙ=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数。

第一轮复习 二次函数（1）【复习目标】重点：二次函数的图像性质及用待定系数法求二次函数解析式 难点：二次函数知识的实际应用 【教学流程】流程图说明1.知识回顾2.通过例题讲解，巩固知识的掌握3.通过训练，对二次函数的知识熟练应用4.总结知识要点.5.拓展思维，锻炼能力.【学习导航】一、知识梳理1、二次函数的定义：形如（是常数，且）（1）定义要点：①②最高次数2 ③代数式一定是整式（2）自变量取值范围2、二次函数的图像和性质函数（）a > 0 a<0图像开口方向对称轴顶点坐标增减性3、二次函数图像的平移图像顶点的平移平移二次函数图像的方法概括为:左右、上下4、用待定系数法求二次函数的解析式（1）已知二次函数图像上三个点的坐标，设一般式（2）已知二次函数图像与x轴的两个交点的坐标，设交点式（3）已知二次函数的顶点坐标或对称轴方程，设顶点式二、典型例题例1.其中二次函数有_______个.例2.当=_________时，函数是二次函数.例3、根据下列条件，求二次函数解析式（1）图像经过原点，且过（2,5），（-1,3）两点；（2）图像经过点（2,0），（-1,0），与轴交点的纵坐标为2；（3）图像顶点在轴上，对称轴是直线，且经过点（2,3）.例4、如图,抛物线,请判断下列各式的符号：① 0; ② 0;③ 0; ④ 0;小结：决定，决定，决定，、结合决定 .变式1、若抛物线的图像如图所示，则=变式2、若抛物线的图像如图所示，则△ABC的面积是三、巩固练习1.抛物线y=3x2，y=-3x2，y=x2+3共有的性质是（）A.开口向上B.对称轴是y轴C.都有最高点D.y随x值的增大而增大2、二次函数的图像与轴有交点，则m的取值范围是 .3、二次函数，当x 时y随x的增大而减小; 当x 时函数图像呈上升趋势.4、二次函数的图像是由二次函数的图像向平移____个单位得到的.5、如图是二次函数y=ax2+bx+c的图象，则a、b、c满足（）A.a>0,b>0,c>0B.a>0,b<0,c>0C.a>0,b>0,c<0D.a>0,b<0,c<0四、课内小结五、思维拓展如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，二次函数图像经过、和三点，顶点为．（1）求这个二次函数的解析式，并写出顶点的坐标；（2）联结、，求的正切值；（3）能否在第一象限内找到一点,使得以、、三点为顶点的三角形与以、、三点为顶点的三角形相似？若能，请确定符合条件的点共有几个，并请直接写出它们的坐标；若不能，请说明理由．。

二次函数知识点汇总1.定义：一般地，如果是常数，，那么叫做的一元二次函数.2.二次函数的性质(1)抛物线的顶点是原点，对称轴是轴.(2)函数的图像与的符号关系：①当时抛物线开口向上顶点为其最低点；②当时抛物线开口向下顶点为其最高点3.二次函数的图像是对称轴平行于(包括重合)轴的抛物线.4.二次函数用配方法可化成：的形式，其中.5.抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点.①决定抛物线的开口方向：当时，开口向上；当时，开口向下；越小，抛物线的开口越大，越大，抛物线的开口越小。

②对称轴为平行于轴(或重合)的直线，记作.特别地，轴记作直线.③定点是抛物线的最值点[最大值(时)或最小值(时)]，坐标为(,)。

6.求抛物线的顶点、对称轴的方法(1)公式法：，∴顶点是，对称轴是直线.(2)配方法：运用配方法将抛物线的解析式化为的形式，得到顶点为(,)，对称轴是.(3)运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以抛物线上纵坐标相等的两个点连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点.★用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失★7.抛物线中，的作用(1)决定开口方向及开口大小，这与中的完全一样.(2)和共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线的对称轴是直线,故：①时，对称轴为轴；②时,对称轴在轴左侧；③时,对称轴在轴右侧.(3)的大小决定抛物线与轴交点的位置.当时，，∴抛物线与轴有且只有一个交点(0，)：1，抛物线经过原点; ②,与轴交于正半轴；③,与轴交于负半轴.以上三点中，当结论和条件互换时仍成立.如抛物线的对称轴在轴右侧，则.8. 二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：①；②；③；④；⑤.图像特征如下：函数解析式开口方向对称轴顶点坐标当时开口向上(轴)(0,0) ( (0,当时开口向下轴))(,0)(,)()9.用待定系数法求二次函数的解析式(1)一般式：.已知图像上三点或三对、的值，通常选择一般式.(2)顶点式：.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.(3)交点式：已知图像与轴的交点坐标、，通常选用交点式：.10.直线与抛物线的交点（或称二次函数与一次函数关系）(1)轴与抛物线得交点为()(2)与轴平行的直线与抛物线有且只有一个交点(,).(3)抛物线与轴的交点二次函数的图像与轴的两个交点的横坐标、，是对应一元二次方程的两个实数根.抛物线与轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：①有两个交点抛物线与轴相交；②有一个交点(顶点在轴上)抛物线与轴相切；③没有交点抛物线与轴相离.(4)平行于轴的直线与抛物线的交点同(3)一样可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为，则横坐标是的两个实数根.而根的存在情况仍如(3)一样由根的判别式判定。

二次函数章节复习课前测试【题目】课前测试已知二次函数y=ax2+bx+c经过一、三、四象限（不经过原点和第二象限），则直线y=ax+bc 不经过（）。

A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】A【解析】二次函数经过一、三、四象限，画出二次函数大致图像，易得函数开口方向向下，对称轴在原点右侧，同时与y轴交点在原点下方，即有2abac<⎧⎪⎪->⎨⎪⎪<⎩，解得abc<⎧⎪>⎨⎪<⎩，由此可得0a<，0bc<，根据一次函数经过象限的特征，可知直线y ax bc=+经过二、三、四象限，即函数不过第一象限，故选A。

总结：本题考查了一次函数以及二次函数图像与函数解析式之间的关联，属于比较基础但是又是比较重要的知识点，需要每位学生熟练掌握。

通过该题检测学生对一次函数、二次函数解析式与函数图像相关的基础知识点掌握情况。

根据相关特征判断二次函数图像大致形状，一般从以下几个角度出手：开口方向、对称轴、与x轴、y轴交点，顶点等，即可确定二次函数大致图像和相关参数范围，而根据一次函数一次项系数和常数项的正负确定一次函数经过的象限。

学生若是花费时间较长，老师应该采用鼓励的手段，利用数形结合给予适当提示；学生若是花费时间较短，说明该学生基础尚可，此时引导学生进入下面综合题的练习。

【难度】3【题目】课前测试如图，在平面直角坐标系中，现将一块等腰直角三角板ABC 放在第二象限，斜靠在两坐标轴上，且点A （0,2），点C （-1,0），抛物线22y ax ax =+-经过点B 。

（1）求点B 的坐标；（2）求抛物线的表达式；（3）在抛物线上是否还存在点P （点B 除外），使ACP ∆仍 然是以AC 为直角边的等腰直角三角形？若存在，写出所以点P 的坐标；若不存在，请说明理由。

【答案】（1）B （-3，1）； （2）211222y x x =+-； （3）P 1（1，-1），P 2（2，1）, 【解析】（1）过B 作BD ⊥x 轴于点D ，∵△ABC 是等腰直角三角形∴△OCA≌△DBC，∴OC=BD=1，OA=CD=2，∴B（-3,1）；（2）抛物线22y ax ax =+-过（-3,0），则9a-3a-2=1，a=12， 解得抛物线的解析式为211222y x x =+-； （3）①当∠ACP =90°，过C 点作y 轴和x 轴的平行线，如右图所示，xyABCOAB C DxyOPMN∵△ACP 是等腰直角三角形，∴△ACM≌△CPN，∴NP=CM=2，CN=AM=1， ∴P 1（1，-1）；代入211222y x x =+-，P 1点在抛物线上； ②当∠CAP =90°，同①得P 2（2,1），代入211222y x x =+-，P 2点在抛物线上总结：本题主要考察在二次函数背景下存在特殊三角形的问题，属于二次函数综合应用中常考题型，也是模拟考以及中考中第24题函数压轴题的常考题型，具有一定的综合性。

初三数学二次函数知识点总结一、二次函数概念:21•二次函数的概念：一般地，形如y ax bx c （a , b ,c是常数，a 0）的函数，叫做二次函数。

这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数 a 0，而b, c可以为零•二次函数的定义域是全体实数.22.二次函数y ax bx c的结构特征：⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式，x的最高次数是2 •⑵a , b, c是常数，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项.二、二次函数的基本形式1. 二次函数基本形式：y ax2的性质:a的绝对值越大，抛物线的开口越小。

22. y ax c的性质:上加下减。

23. y a x h的性质:24. y a x hk 的性质:a 的符号开口方向 顶点坐标 对称轴 性质a 0向上h , kX=hx h 时，y 随x 的增大而增大；x h 时，y 随 x 的增大而减小；x h 时，y 有最小值k •a 0向下 h , kX=hx h 时，y 随x 的增大而减小；x h 时，y 随 x 的增大而增大；x h 时，y 有最大值k •三、二次函数图象的平移1.平移步骤：2⑴将抛物线解析式转化成顶点式 y a X h k ，确定其顶点坐标 h, k ；⑵ 保持抛物线y ax 2的形状不变，将其顶点平移到h ，k 处，具体平移方法如下:2.平移规律在原有函数的基础上 h 值正右移，负左移； k 值正上移，负下移概括成八个字“左加右减，上加下减”四、二次函数y ax h 2 k 与y ax 2 bx c 的比较当x b时，y 随x 的增大而减小；2a 当x —时，y 随x 的增大而增大；y=ax 2平移|k|个单位向右(h>0)【或左(h<0)】平移|k|个单位从解析式上看，ya x h $ k 与 y ax 2到前者，即y a xb224ac b，其中h2a4a六、二次函数y 2ax bx c 的性质bx c 是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得1•当a 0时，抛物线开口向上，对称轴为x 佥，顶点坐标为b 4ac b 22a' 4a向右(h>0)【或左(h<0)】y=a (x h)2+k向上(k>0)【或下(k<0)】平移|k|个单位向上(k>0)【或下(k<0)平移|k|个单位y=a(x h)2向右(h>0)【或左(h<0)】 平移|k|个单位向上(k>0)【或向下(k<0)】平移|k 个单位 -------------------・ y=ax 2+ k22a2a时，y随X的增大而减小；当X 2a时，y有最大值富七、二次函数解析式的表示方法21. 一般式：y ax bx c （a，b，c 为常数，a 0）；2. 顶点式：y a（x h）2 k （a，h，k 为常数，a 0）；3. 两根式（交点式）：y a（x xj（x X2）（a 0,石，x?是抛物线与x轴两交点的横坐标）.注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式, 只有抛物线与x轴有交点，即b2 4ac 0时，抛物线的解析式才可以用交点式表示•二次函数解析式的这三种形式可以互化…八、二次函数的图象与各项系数之间的关系a的值越大，开口越小，反之a的值越小，开口越大；a的值越小，开口越小，反之a的值越大，开口越大.b决定了抛物线的对称轴.（同左异右b为0对称轴为y轴）十、二次函数与一元二次方程:1.二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与、2一兀二次方程ax bx c 0是二次函数yx轴交点情况）：2ax bx c当函数值y 0时的特殊情况图象与x轴的交点个数:2 , - , _____________________________________b 4ac 0时，图象与x轴交于两点, 0 , B X2 , 0 （为次方程ax bx c0 a 0的两根..②当0时, 图象与x轴只有- 个交点；③当0时，图象与x轴没有交点.1'当a0时，图象落在X轴的上方，无论x为任何实数, 都有y 0 ；2'当a0时，图象洛在X轴的下方，无论X为任何实数，都有y 0.2.抛物线y ax2bx c的图象与y轴一定相交，交点坐标为（0c）；2•当a 0时，抛物线开口向下，对称轴为b2a，顶点坐标为b 4ac b22a， 4ab2a时,y随x的增大而增大；当x1. 二次项系数a⑴当a 0时，抛物线开口向上,⑵当a 0时，抛物线开口向下,2. 一次项系数b在二次项系数a确定的前提下, 3.常数项c⑴当c⑵当c⑶当c 总结起来,抛物线与y轴的交点在x轴上方，即抛物线与抛物线与y轴的交点为坐标原点，即抛物线与抛物线与0时，0时，0时，c决定了抛物线与y轴交点的位置.y轴的交点在x轴下方，即抛物线与y轴交点的纵坐标为正；y轴交点的纵坐标为0 ;y轴交点的纵坐标为负.X2）,其中的人,x是二次函数对应练习试题、选择题1.二次函数yx 2 4x 7的顶点坐标是A.(2, — 11)B.(-2, 7) C. (2, 11) D. (2, - 3)2.把抛物线y 22x 向上平移1个单位, 得到的抛物线是（A. y 2(x 1)2B.y 2( x1)2 C. y 2x 2 1 D. 2x 2 13.函数y kx 2 k 和y k(k x0）在同一直角坐标系中图象可能是图中的24.已知二次函数y ax bx 当x 1和x 3时，函数值相等：③4a b 0④当y确的个数是（） A.1个 B.2 个 C. 3 c （a 0）的图象如图所示5.已知二次函数 y ax 2 bx c(a 由图象可知关于兀二次方程 ax A. — 1 . 3 B.-2.3 6.已知二次函数 ax 2 bx A.第一象限 C.第三象限 7.方程2x x 2 A.0个个 D. 4C.-0.3D.-3.3c 的图象如图所示，则点（ac,bc ）在（B.第二象限 D .第四象限 -的正根的个数为（ ）x B.1C.28.已知抛物线过点A(2,0),B(-1,0),与y轴交于点C,且OC=2则这条抛物线的解析式为A. y x2x 2B.y x2x 22C. y X x 2 或y x2x 2D.y x2x 2 或y x2 x 2二、填空题9 •二次函数y x2 bx 3的对称轴是x 2，则b ______________ 。

二次函数复习课（一）一、教学目标：1．梳理二次函数知识，加深对二次函数概念和二次函数图像及其性质的理解；2．能从二次函数图像上获取正确、有用的信息，并能用合理的方法求函数解析式，提高观察、分析、归纳和概括的能力.3．在综合运用二次函数知识的过程中领会图形运动、数形结合以及分类、化归等数学思想方法.二、教学重点与难点：重点：二次函数概念和从二次函数图像上获取正确有用的信息.难点：二次函数知识综合运用中的分类讨论.环节教师活动学生活动教学意图一问题引入我们已经学习了二次函数的概念以及二次函数图像及其特征，对二次函数有了一定的了解，同学们对二次函数的相关知识也进行了梳理，今天我们就来温故而知新，进一步研究二次函数概念和二次函数图像及其性质.师问：什么是二次函数？其定义域是什么？反馈练习一：下列函数中哪些是二次函数？（1）13212+-+=xxxy（2）552-=xy（3）2)2()1)(1(+--+=xxxy（4）3)14()1(2-+-+-=mxmxmy师：我们知道了二次函数的概念，同时也对二次函数的图像及其性质进行了梳理，下面看看同学们能否熟练运用：反馈练习二：二次函数3)5(2+--=xy的图像开口方向，图像有最点,把图像向右平移1个单位，再向下平移7个单位, 得到的新函数图像解析式是，它的对称轴是，顶点坐标是，在对称轴的左侧，图像是___________.（填“上升或下降”）交流知识点的归纳、整理，形成知识体系.学生思考并回答：由二次函数的定义可知，函数（2）（4）是二次函数，函数（5）只有当m≠1时是二次函数.强调二次函数平移的规律.明确本节课的教学任务.正确把握二次函数概念.构建知识框架，形成知识体系，提升归纳能力.通过反馈及时了解掌握知识点掌三训练巩固请同学继续观察图像给的信息，看看能否求出二次函数的解析式？ 二次函数2y ax bx c =++的图像如图所示，求此函数解析式. 二次函数y= ax 2+bx+c的图像如图所示，求此函数解析式.例1-432问：从图像上得到什么信息？你如何求？ 解：如图依题意设2y ax bx c =++（0a ≠） 又抛物线图像经过（2，0）（-4，3）（0，3） 可得： 42031643a b c c a b c ++=⎧⎪=⎨⎪-+=⎩ 解得：1413a b c ⎧=-⎪⎪=-⎨⎪=⎪⎩ 所以二次函数的解析式为： 2134y x x =--+追问：还可以用其它方法求解析式吗？预设生答：抛物线经过点（-4,0）、（2,0）、（0，3）三点，可设一般式用待定系数法列方程组求解.也可以用交点式求解析式.（或回答用顶点式求解.）通过图像获取信息，提高读图能力和由形导数能力.选择恰当的方法用待定系数法求函数解析式，感受数形结合、方程等数学思想与方法. 四 运用提升 例 二次函数的图像与x 负半轴交于点A ，与y 轴正半轴于点C ，且AO =2,CO =1，若B 为抛物线图像上一点，联结BC 使AC =BC 且∠ACB =90°，求：（1）点B 的坐标； （2）求这个二次函数的解析式.分析：根据题意，易在平面直角坐标系中画出点A 、点C ，由AC =BC 知点B 在以C 为圆心，半径为AC 的圆上，又由∠ACB =90°可知点B在过点C 且于AC 垂直的直线上. 如图： 例2二次函数的图像与x 负半轴交于点A ，与y 轴正半轴于点C ，且AO=2,CO=1，若B 为抛物线图像上一点，联结BC 使AC=BC 且∠ACB=900，求：（1）点B 的坐标（2）求这个二次函数的解析式BAC xO yDE yC B D引导学生进一步学习探索，不断运用所学知识解决问题.。

二次函数的复习一、教学目标：1、复习二次函数的概念。

2、复习二次函数的图像与性质：开口方向、对称轴、顶点坐标、图像的上升与下降、图像的平移、会根据图像判断a 、b 、c 的符号。

3、复习配方法与待定系数法。

4、带领学生一起探讨二次函数与相似三角形、锐角三角比的综合运用，提升解决数学综合问题的能力。

二、教学重点与难点：重点：复习二次函数的图像与性质，复习配方法与待定系数法。

难点：培养学生从图像中获取信息的能力，从中体会数形结合、分类讨论等数学思想。

三、教学过程：（一）、知识整理1（1）、二次函数的概念.（2）、怎样判断一个函数是否是二次函数？2、二次函数的图像与性质复习2ax y =、c ax y +=2、2)(m x a y +=、k m x a y ++=2)(、c bx ax y ++=2的开口方向、对称轴、顶点坐标、图像的上升与下降。

练习：(1) 当m = 时， m m x m y -+=2)1(是二次函数。

(2) 二次函数y=x(1-x)的开口方向向 .(3) 二次函数y=(x-1)2+2的图像的最 （高或低）点的坐标是 。

(4) 二次函数y=2x 2+4图像的顶点坐标是 , 对称轴是 。

(5) 二次函数y=2x 2+4x 图像的顶点坐标是 ， 对称轴是 。

(6) 抛物线y= -x 2-2x+1在对称轴左侧部分y 随x 的增大而 。

(7) 已知二次函数 m x m x y 4)2(32-+-=的对称轴是y 轴，则m=_________。

3、二次函数的上下、左右平移练习：将抛物线2)2(1--=x y 进行上下或左右两次平移后，使它的顶点移到点（3，-1）的位置，平移的方法可以是先向______平移______个单位，再向______平移______个单位。

4、二次函数的图像信息：会根据图像判断a 、b 、c 的符号；根据图像上的点求函数解析式；判断y 随x 的增大与减小等练习1：二次函数c bx ax y ++=2的图象如下图所示，则下列结论正确的是（ ）A.. 0,0,0>>>c b aB. 0,0,0><<c b aC. 0,0,0<><c b aD. 0,0,0>><c b a练习2、如果 （k 为常数），那么二次函数k <22y kx x k =-+的图像大致为 ( )5、配方法与待定系数法（二）、综合运用探讨：二次函数与相似三角形、锐角三角比的综合运用。

word 版 初中数学沪科版九年级数学中考复习二次函数的图象和性质一、 选择题1. (·玉林)对于函数y ＝－2(x －m)2的图象，下列说法不正确的是( )A. 开口向下B. 对称轴是x ＝mC. 最大值为0D. 与y 轴不相交2. (·金华)对于二次函数y ＝－(x －1)2＋2的图象与性质，下列说法正确的是( )A. 对称轴是直线x ＝1，最小值是2B. 对称轴是直线x ＝1，最大值是2C. 对称轴是直线x ＝－1，最小值是2D. 对称轴是直线x ＝－1，最大值是23. (·哈尔滨)抛物线y ＝－35⎝⎛⎭⎫x ＋122－3的顶点坐标是( )A. ⎝⎛⎭⎫12，－3B. ⎝⎛⎭⎫－12，－3C. ⎝⎛⎭⎫12，3D. ⎝⎛⎭⎫－12，3 4. (·宁波)抛物线y ＝x 2－2x ＋m 2＋2(m 是常数)的顶点在( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限5. (·陕西)已知抛物线y ＝x 2－2mx －4(m>0)的顶点M 关于坐标原点O 的对称点为M ′.若点M ′在这条抛物线上，则点M 的坐标为( )A. (1，－5)B. (3，－13)C. (2，－8)D. (4，－20)6. (·杭州)设直线x ＝1是函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a ，b ，c 是实数，且a<0)的图象的对称轴，则下列说法正确的是( )A. 若m>1，则(m －1)a ＋b>0B. 若m>1，则(m －1)a ＋b<0C. 若m<1，则(m ＋1)a ＋b>0D. 若m<1，则(m ＋1)a ＋b<07. (·牡丹江)若抛物线y ＝－x 2＋bx ＋c 经过点(－2，3)，则2c －4b －9的值是( )A. 5B. －1C. 4D. 188. (·眉山)若一次函数y ＝(a ＋1)x ＋a 的图象经过第一、三、四象限，则二次函数y ＝ax 2－ax( )A. 有最大值a 4B. 有最大值－a4C. 有最小值a 4D. 有最小值－a49. (·连云港)已知抛物线y ＝ax 2(a>0)过A(－2，y 1)，B(1，y 2)两点，则下列关系式一定正确的是( )A. y 1>0>y 2B. y 2>0>y 1C. y 1>y 2>0D. y 2>y 1>010. (·乐山)已知二次函数y ＝x 2－2mx(m 为常数)，当－1≤x ≤2时，函数值y 的最小值为－2，则m 的值是()A. 32 B. 2C. 32或 2D. －32或 211. (·包头)已知一次函数y 1＝4x ，二次函数y 2＝2x2＋2，在实数范围内，对于x 的同一个值，这两个函数所对应的函数值为y 1与y 2，则下列关系正确的是( )A. y 1>y 2B. y 1≥y 2C. y 1<y 2D. y 1≤y 2 12. (·襄阳)将抛物线y ＝2(x －4)2－1先向左平移 4个单位长度，再向上平移2个单位长度，平移后所得抛物线的解析式为( )A. y ＝2x 2＋1 B. y ＝2x 2－3 C. y ＝2(x －8)2＋1 D. y ＝2(x －8)2－313. (·淄博)将二次函数y ＝x 2＋2x －1的图象沿x 轴向右平移2个单位长度，得到的图象对应的函数解析式是( )A. y ＝(x ＋3)2－2 B. y ＝(x ＋3)2＋2 C. y ＝(x －1)2＋2 D. y ＝(x －1)2－214. (·丽水)将函数y ＝x 2的图象用下列方法平移后，所得的图象不经过点A(1，4)的是( )A. 向左平移1个单位长度B. 向右平移3个单位长度C. 向上平移3个单位长度D. 向下平移1个单位长度15. (·天津)已知抛物线y ＝x 2－4x ＋3与x 轴相交于点A ，B(点A 在点B 左侧)，顶点为M.平移该抛物线，使点M 平移后的对应点M ′落在x 轴上，点B 平移后的对应点B ′落在y 轴上，则平移后的抛物线解析式为( )A. y ＝x 2＋2x ＋1 B. y ＝x 2＋2x －1 C. y ＝x 2－2x ＋1 D. y ＝x 2－2x －116. (·绵阳)将二次函数y ＝x 2的图象先向下平移1个单位长度，再向右平移3个单位长度，得到的图象与一次函数y ＝2x ＋b 的图象有公共点，则实数b 的取值范围是( )A. b>8B. b>－8C. b ≥8D. b ≥－8 17. (·盐城)如图，将函数y ＝12(x －2)2＋1的图象沿y轴向上平移得到一条新抛物线，其中点A(1，m)，B(4，n)平移后的对应点分别为点A ′，B ′.若曲线段AB 扫过的面积为9(图中的涂色部分)，则新抛物线的解析式是( )A. y ＝12(x －2)2－2B. y ＝12(x －2)2＋7C. y ＝12(x －2)2－5D. y ＝12(x －2)2＋4第17题 第18题18. (·扬州)如图，△ABC 的顶点坐标分别为A(0，2)，B(1，0)，C(2，1)，若二次函数y ＝x 2＋bx ＋1的图象与涂色部分(含边界)有公共点，则实数b 的取值范围是( )A. b ≤－2B. b<－2C. b ≥－2D. b>－219. (·兰州)下表是一组二次函数y ＝x 2＋3x －5的自变量x 与函数值y 的对应值：那么方程x 2＋3x －5＝0的一个近似根是( ) A. x ＝1 B. x ＝1.1 C. x ＝1.2 D. x ＝1.3 20. (·苏州)若二次函数y ＝ax 2＋1的图象经过点(－2，0)，则关于x 的方程a(x －2)2＋1＝0的实数根为( )A. x 1＝0，x 2＝4B. x 1＝－2，x 2＝6C. x 1＝32，x 2＝52D. x 1＝－4，x 2＝021. (·泰安)已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 中y 与x 的部分对应值如下表：下列结论：① 抛物线的开口向下；② 其图象的对称轴为x ＝1；③ 当x<1时，函数值y 随x 的增大而增大；④ 方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一个根大于4.其中正确的有( )A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个22. (·徐州)若函数y ＝x 2－2x ＋b 的图象与坐标轴有三个交点，则b 的取值范围是( )A. b<1且b ≠0B. b>1C. 0<b<1D. b<123. (·枣庄)已知函数y ＝ax 2－2ax －1(a 是常数，a ≠0)，下列结论正确的是( )A. 当a ＝1时，函数图象经过点(－1，1)B. 当a ＝－2时，函数图象与x 轴没有交点C. 若a<0，函数图象的顶点始终在x 轴的下方D. 若a>0，则当x ≥1时，y 随x 的增大而增大 24. (·安徽)已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 与反比例函数y ＝bx 的图象在第一象限有一个公共点，其横坐标为1，则一次函数y ＝bx ＋ac 的图象可能是( )A BC D25. (·凉山州)已知抛物线y ＝x 2＋2x －m －2与x 轴没有交点，则函数y ＝mx的大致图象是( )ABC D26. (·广州)已知a ≠0，函数y ＝a x 与y ＝－ax 2＋a 在同一直角坐标系中的大致图象可能是( )A BC D27. (·菏泽)一次函数y ＝ax ＋b 和反比例函数y ＝cx 在同一个平面直角坐标系中的图象如图所示，则二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象可能是( )ABC D第27题第28题28. (·威海)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，则正比例函数y＝(b＋c)x与反比例函数y＝a－b＋cx在同一坐标系中的大致图象是( )A BC D29. (·成都)在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，下列说法正确的是( )A. abc<0，b2－4ac>0B. abc>0，b2－4ac>0C. abc<0，b2－4ac<0D. abc>0，b2－4ac<0第29题第30题30. (·南充)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，且a≠0)的图象如图所示，下列结论错误的是( )A. 4ac<b2B. abc<0C. b＋c>3aD. a<b31. (·烟台)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，对称轴是直线x＝1，下列结论：① ab<0；② b2>4ac；③ a＋b＋2c<0；④ 3a＋c<0.其中正确的是( )A. ①④B. ②④C. ①②③D. ①②③④第31题第32题32. (·宜宾)如图，抛物线y1＝12(x＋1)2＋1与y2＝a(x －4)2－3交于点A(1，3)，过点A作x轴的平行线，分别交两条抛物线于B，C两点，且D，E分别为顶点．则下列结论：① a＝23；② AC＝AE；③△ABD是等腰直角三角形；④当x>1时，y1>y2.其中正确的有( )A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个33. (·安顺)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，给出下列四个结论：① 4ac－b2<0；② 3b＋2c<0；③ 4a＋c<2b；④ m(am＋b)＋b<a(m≠－1)．其中正确的个数是( )A. 1B. 2C. 3D. 4第33题第34题34.(·齐齐哈尔)如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的对称轴为直线x＝－2，与x轴的一个交点在(－3，0)和(－4，0)之间，其部分图象如图所示，则下列结论：① 4a－b ＝0；② c<0；③－3a＋c>0；④ 4a－2b>at2＋bt(t为实数)；⑤若⎝⎛⎭⎫－92，y1，⎝⎛⎭⎫－52，y2，⎝⎛⎭⎫－12，y3是该抛物线上的点，则y1<y2<y3.其中，正确的有( )A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个35.(·泸州)已知抛物线y＝14x2＋1具有如下性质：该抛物线上任意一点到定点F(0，2)的距离与到x轴的距离始终相等．如图，点M的坐标为(3，3)，P是抛物线y＝14x2＋1上一个动点，则△PMF周长的最小值是( )A. 3B. 4C. 5D. 6第35题第36题36. (11744058)(·南宁)如图，垂直于x 轴的直线AB 分别与抛物线C 1：y ＝x 2(x ≥0)和抛物线C 2：y ＝x 24(x ≥0)交于A ，B 两点，过点A 作CD ∥x 轴分别与y 轴和抛物线C 2交于点C ，D ，过点B 作EF ∥x 轴分别与y 轴和抛物线C 1交于点E ，F ，则S △OFBS △EAD的值为( )A.26 B. 24 C. 14 D. 16二、 填空题37. (1) (·邵阳)若抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的开口向下，则a 的值可能是________；(写一个即可)(2) (·上海)已知一个二次函数的图象开口向上，顶点坐标为(0，－1)，那么这个二次函数的解析式可以是__________．(写一个即可)38. (·广州)当x ＝________时，二次函数y ＝x 2－2x ＋6有最小值________．39. (·兰州)如图，若抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 上的 P(4，0)，Q 两点关于它的对称轴x ＝1对称，则点Q 的坐标为________．第39题第44题40. (·衡阳)已知函数y ＝－(x －1)2图象上两点 A(2，y 1)，B(a ，y 2)，其中a>2，则y 1与y 2的大小关系是y 1________y 2.(填“>”“<”或“＝”)41. (·百色)经过A(4，0)，B(－2，0)，C(0，3)三点的抛物线的解析式是____________．42. (1) (·兰州)将抛物线y ＝3x 2－3向右平移3个单位长度，得到的新抛物线的解析式为____________；(2) (·宿迁)将抛物线y ＝x 2先向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，所得抛物线相应的函数解析式是____________；(3) (·常德)将抛物线y ＝2x 2先向右平移3个单位长度，再向下平移5个单位长度，得到的抛物线的解析式为____________．43. (1) (·青岛)若抛物线y ＝x 2－6x ＋m 与x 轴没有交点，则m 的取值范围是________；(2) (·镇江)若二次函数y ＝x 2－4x ＋n 的图象与x 轴只有一个公共点，则实数n ＝________．44. (·牡丹江)若将如图所示的抛物线y ＝x 2－2x ＋c向上平移，使它经过点(2，0)，则此时的抛物线位于x 轴下方的图象对应x 的取值范围是__________．45. (·随州)对于二次函数y ＝x 2－2mx －3，下列结论：① 它的图象与x 轴有两个交点；② 方程x 2－2mx ＝3的两根之积为－3；③ 它的图象的对称轴在y 轴的右侧；④ 当x<m 时，y 随x 的增大而减小．其中错误的是________．(填序号)46. (·武汉)已知关于x 的二次函数y ＝ax 2＋(a 2－1)x －a 的图象与x 轴的一个交点的坐标为(m ，0)．若 2<m<3，则a 的取值范围是______________．47. (·咸宁)如图，直线y ＝mx ＋n 与抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 交于A(－1，p)，B(4，q)两点，则关于x 的不等式mx ＋n>ax 2＋bx ＋c 的解集是________．第47题第50题48. (·鄂州)已知正方形ABCD 的顶点坐标分别为 A(1，1)，B(1，2)，C(2，2)，D(2，1)，若将抛物线y ＝(x ＋1)2向下平移m 个单位长度后(m>0)与正方形ABCD 的边(包括四个顶点)有交点，则m 的取值范围是________．49. (·玉林)已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c(a>0)经过 A(－1，1)，B(2，4)两点，顶点坐标为(m ，n)，有下列结论：① b<1；② c<2；③ 0<m<12；④ n ≤1.则所有正确结论的序号是________．50. (·天水)如图是抛物线y 1＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)的一部分，抛物线的顶点坐标是A(1，3)，与x 轴的一个交点是B(4，0)，直线y 2＝mx ＋n(m ≠0)与抛物线交于A ，B 两点，下列结论：① abc>0；② 方程ax 2＋bx ＋c ＝3有两个相等的实数根；③ 抛物线与x 轴的另一个交点是(－1，0)；④ 当1<x<4时，有y 2>y 1；⑤ x(ax ＋b)≤a ＋b.其中正确的结论是________．(填序号)51. (·贺州)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a ，b ，c 为常数，a ≠0)的图象如图所示，下列结论：① abc<0；② 2a ＋b<0；③ b 2－4ac ＝0；④ 8a ＋c<0；⑤ a ∶b ∶c ＝－1∶2∶3.其中正确的结论有________．(填序号)第51题第52题52. (·株洲)如图，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 图象的对称轴在y 轴的右侧，其图象与x 轴交于点A(－1，0)与点C(x 2，0)，且与y 轴交于点B(0，－2)，小强得到以下结论：① 0<a<2；② －1<b<0；③ c ＝－1；④ 当|a|＝|b|时，x 2>5－1.其中正确结论的序号为________．53. (·乌鲁木齐)如图，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 过点(－1，0)，且对称轴为直线x ＝1，有下列结论：① abc<0；② 10a ＋3b ＋c>0；③ 若抛物线经过点(4，y 1)与点(－3，y 2)，则y 1>y 2；④ 无论a ，b ，c 取何值，抛物线都经过同一个点⎝⎛⎭⎫－c a ，0；⑤ am 2＋bm ＋a ≥0.其中所有正确的结论是________．(填序号)第53题54.(·河北)对于实数p ，q ，我们用符号min{p ，q}表示p ，q 两数中较小的数，如min{1，2}＝1，因此，min{－2，－3}＝________；若min{(x －1)2，x 2}＝1，则x ＝________．三、 解答题55. (·云南)已知二次函数y ＝－2x 2＋bx ＋c 图象的顶点坐标为(3，8)，该二次函数图象的对称轴与x 轴的交点为A ，M 是这个二次函数图象上的点，O 是原点．(1) 不等式b ＋2c ＋8≥0是否成立？请说明理由．(2) 设S 是△AMO 的面积，求满足S ＝9的所有点M 的坐标．56. (·江西)已知抛物线C 1：y ＝ax 2－4ax －5(a>0)．(1) 当a ＝1时，求抛物线C 1与x 轴的交点坐标及对称轴．(2) ① 试说明无论a 为何值，抛物线C 1一定经过两个定点，并求出这两个定点的坐标；② 将抛物线C 1沿这两个定点所在直线翻折，得到抛物线C2，直接写出C2的函数解析式．(3) 若(2)中抛物线C2的顶点到x轴的距离为2，求a 的值．57. (·齐齐哈尔)如图，抛物线y＝－x2＋bx＋c与x 轴交于点A(－1，0)和点B(3，0)，与y轴交于点C，连接BC交抛物线的对称轴于点E，D是抛物线的顶点．(1) 求此抛物线的解析式；(2) 直接写出点C和点D的坐标；(3) 若点P在第一象限内的抛物线上，且S△ABP＝4S△COE，求点P的坐标．第57题58. (·杭州)在平面直角坐标系中，设二次函数y1＝(x ＋a)(x－a－1)，其中a≠0.(1) 若函数y1的图象经过点(1，－2)，求函数y1的解析式；(2) 若一次函数y2＝ax＋b的图象与y1的图象经过x轴上同一点，探究实数a，b满足的关系式；(3) 已知点P(x0，m)和点Q(1，n)在函数y1的图象上，若m<n，求x0的取值范围．59. (·衡阳)如图，△AOB的顶点A，B分别在x轴、y 轴上，∠BAO＝45°，且△AOB的面积为8.(1) 直接写出A，B两点的坐标．(2) 过点A，B的抛物线G与x轴的另一个交点为C.①若△ABC是以BC为腰的等腰三角形，求此时抛物线对应的函数解析式；②将抛物线G向下平移4个单位长度后，恰好与直线AB只有一个交点N，求点N的坐标．第59题60. (·天门)已知关于x的一元二次方程x2－(m＋1)x＋12(m2＋1)＝0有实数根．(1) 求m的值；(2) 先将抛物线y＝x2－(m＋1)x＋12(m2＋1)沿x轴翻折，然后将所得图形向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，写出变化后的图象对应的函数解析式；(3) 在(2)的条件下，当直线y＝2x＋n(n≥m)与变化后的图象有公共点时，求n2－4n的最大值和最小值．61. (·恩施州)如图，抛物线y＝ax2＋c过点(－2，2)，(4，5)，过y轴上定点F的直线l：y＝kx＋2与抛物线交于A，B两点，点B在点A的右侧，过点B作x轴的垂线，垂足为C.(1) 求抛物线对应的函数解析式；(2) 当点B在抛物线上运动时，判断线段BF与BC的数量关系，并证明你的判断；(3) P为y轴上一点，若以B，C，F，P为顶点的四边形是菱形，设点P(0，m)，求自然数m的值．第61题62. (·龙东五市)如图，Rt△AOB的直角边OA在x轴上，OA＝2，AB＝1，将Rt△AOB绕点O逆时针旋转90°得到Rt△COD，抛物线y＝－56x2＋bx＋c经过B，D两点．(1) 求二次函数的解析式；(2) 连接BD，P是抛物线上一点，直线OP把△BOD的周长分成相等的两部分，求点P的坐标．第62题63. (·泰安)将抛物线y＝－x2平移后得到的抛物线如图所示，它的对称轴为直线x＝1，与x轴的一个交点为A(－1，0)，另一个交点为B，与y轴的交点为C.(1) 求抛物线对应的函数解析式．(2) 若N为抛物线上一点，且BC⊥NC，求点N的坐标．(3) P是抛物线上一点，Q是一次函数y＝32x＋32的图象上一点，若四边形OAPQ为平行四边形，这样的点P，Q是否存在？若存在，分别求出点P，Q的坐标；若不存在，说明理由．第63题64. (·临沂)如图，抛物线y＝ax2＋bx－3经过点 A(2，－3)，与x轴负半轴交于点B，与y轴交于点C，且OC＝3OB.(1) 求抛物线对应的函数解析式．(2) 已知点D在y轴上，且∠BDO＝∠BAC，求点D的坐标．(3) 点M在抛物线上，点N在抛物线的对称轴上，是否存在以点A，B，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．第64题65. (·衢州)定义：如图①，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a ≠0)与x轴交于A，B两点，点P在该抛物线上(点P与A，B两点不重合)，如果△ABP的三边满足AP2＋BP2＝AB2，则称P为抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的勾股点．第65题(1) 直接写出抛物线y＝－x2＋1的勾股点的坐标；(2) 如图②，抛物线C：y＝ax2＋bx(a≠0)与x轴交于A，B两点，P(1，3)是抛物线C的勾股点，求抛物线C的函数解析式；(3) 在(2)的条件下，点Q在抛物线C上，求满足条件S△ABQ＝S△ABP的Q点(异于点P)的坐标．66. (·毕节)如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象交坐标轴于A(－1，0)，B(4，0)，C(0，－4)三点，P 是直线BC下方抛物线上一动点．(1) 求这个二次函数的解析式．(2) 是否存在点P，使△POC是以OC为底边的等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．(3) 动点P运动到什么位置时，△PBC面积最大，求出此时点P的坐标和△PBC的最大面积．第66题67.(·贵港)如图，二次函数y＝a(x－1)(x－3)的图象与x轴交于A，B两点，与y轴的正半轴交于点C，其顶点为D.(1) 写出C，D两点的坐标(用含a的式子表示)；(2) 设S△BCD∶S△ABD＝k，求k的值；(3) 当△BCD是直角三角形时，求对应抛物线的解析式．第67题68.(·邵阳)如图，顶点为⎝⎛⎭⎫12，－94的抛物线y＝ax2＋bx＋c过点M(2，0)．(1) 求抛物线对应的函数解析式；(2) A是抛物线与x轴的交点(不与点M重合)，B是抛物线与y轴的交点，C是直线y＝x＋1上一点(位于x轴下方)，D是反比例函数y＝kx(k>0)图象上一点，若以点A，B，C，D为顶点的四边形是菱形，求k的值．第68题69. (·岳阳)如图，抛物线y＝23x2＋bx＋c经过点B(3，0)，C(0，－2)，直线l：y＝－23x－23交y轴于点E，且与抛物线交于A，D两点，P为抛物线上一动点(不与点A，D重合)．(1) 求抛物线对应的函数解析式．(2) 当点P在直线l下方时，过点P作PM∥x轴交l 于点M，PN∥y轴交l于点N，求PM＋PN的最大值．(3) 设F为直线l上的点，以E，C，P，F为顶点的四边形能否构成平行四边形？若能，求出点F的坐标；若不能，请说明理由．第69题70. (·新疆)如图，抛物线y＝－12x2＋32x＋2与x轴交于点A，B，与y轴交于点C.(1) 试求A，B，C的坐标．(2) 将△ABC绕AB中点M旋转180°，得到△BAD.①求点D的坐标；②判断四边形ADBC的形状，并说明理由．(3) 在该抛物线对称轴上是否存在点P，使△BMP与△BAD相似？若存在，请写出所有满足条件的P点的坐标；若不存在，请说明理由．第70题71. (·鄂州)如图，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋3(a<0)与x 轴交于A(3，0)，B 两点，与y 轴交于点C ，抛物线的对称轴是直线x ＝1，D 为抛物线的顶点，y 轴上的点E 在点C 的上方，且CE ＝12.(1) 求抛物线的解析式及顶点D 的坐标；(2) 求证：直线DE 是△ACD 外接圆的切线； (3) 在直线AC 上方的抛物线上找一点P ，使S △ACP ＝12S △ACD，求点P 的坐标；(4) 在坐标轴上找一点M ，使以点B ，C ，M 为顶点的三角形与△ACD 相似，直接写出点M 的坐标．第71题72. (·淄博)如图①，经过原点O 的抛物线y ＝ax 2＋bx(a ≠0)与x 轴交于另一点A ⎝⎛⎭⎫32，0，在第一象限内与直线y ＝x 交于点B(2，t)．(1) 求这条抛物线的解析式．(2) 在第四象限内的抛物线上有一点C ，满足以B ，O ，C 为顶点的三角形的面积为2，求点C 的坐标．(3) 如图②，若点M 在这条抛物线上，且∠MBO ＝∠ABO ，在(2)的条件下，是否存在点P ，使得△POC ∽△MOB ？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．第72题1. 二次函数的图象和性质一、 1. D 2. B 3. B 4. A 5. C 6. C 7. A 8. B 9. C 10. D 11. D 12. A 13. D 14. D 15. A 16. D 17. D 18. C 19. C 20. A 21. B 22. A 23. D 24. B 25. C26. D 27. A 28. C 29. B 30. D 31. C 32. B 33. C 34. B 35. C 36. D二、 37. (1) 答案不唯一，如－1 (2) 答案不唯一，比如y ＝2x 2－1 38. 1 5 39. (－2，0) 40.> 41. y＝－38x 2＋34x ＋3 42. (1) y ＝3(x －3)2－3 (2) y ＝(x －2)2＋1 (3) y ＝2(x －3)2－5 43. (1) m>9 (2) 4 44.0<x<2 45. ③ 46.13<a<12或－3<a<－2 47. x<－1或x>448. 2≤m ≤8 49. ①②④ 50. ②⑤ 51. ①④⑤ 52. ①④ 53. ②④⑤54. － 3 2或－1三、 55. (1) 成立 理由：∵ 抛物线的顶点坐标为(3，8)，∴ 抛物线对应的函数解析式为y ＝－2(x －3)2＋8，即y ＝－2x 2＋12x －10.∴ b ＝12，c ＝－10.此时b ＋2c ＋8＝12－20＋8＝0，∴ 不等式b ＋2c ＋8≥0成立． (2) 设M(m ，n)．由题意，A(3，0)，∴ OA ＝3.∵ S ＝9，∴ 12×3×|n|＝9，∴ n ＝±6.① 当n ＝6时，6＝－2m 2＋12m －10，解得m ＝2或4；② 当n ＝－6时，－6＝－2m 2＋12m －10，解得m ＝3±7.∴ 满足条件的点M 的坐标为(2，6)或(4，6)或(3＋7，－6)或(3－7，－6)56. (1) 当a ＝1时，抛物线C 1为y ＝x 2－4x －5，可化为y ＝(x －2)2－9，∴ 对称轴为直线x ＝2.令y ＝0，得(x －2)2－9＝0，解得x 1＝－1，x 2＝5，∴ 抛物线C 1与x 轴的交点坐标为(－1，0)和(5，0) (2) ① 抛物线C 1的函数解析式为 y ＝ax 2－4ax －5，即y ＝ax(x －4)－5.∵ 当ax(x －4)＝0时，y 恒定为－5，∴ 抛物线C 1一定经过两个定点(0，－5)，(4，－5) ② 抛物线C 1：y ＝ax 2－4ax －5＝a(x －2)2－4a －5，它的顶点坐标为(2，－4a －5)．过两个定点的直线为直线y ＝－5.将抛物线C 1沿上述直线翻折，得到抛物线C 2，开口大小不变、方向相反，顶点坐标为(2，4a －5)，∴抛物线C 2的函数解析式为y ＝－a(x －2)2＋4a －5，即y ＝－ax 2＋4ax －5 (3) ∵ 抛物线C 2的顶点(2，4a －5)到x 轴的距离为2，∴ |4a －5|＝2，即4a －5＝2或4a －5＝－2，解得a ＝74或3457. (1) ∵ 抛物线y ＝－x 2＋bx ＋c 与x 轴交于点A(－1，0)和点B(3，0)，∴ ⎩⎨⎧－1－b ＋c ＝0，－9＋3b ＋c ＝0，解得⎩⎨⎧b ＝2，c ＝3.∴ 抛物线的解析式为y ＝－x 2＋2x ＋3 (2) 令x ＝0，则y ＝3，∴ C(0，3)．∵ y ＝－x 2＋2x ＋3＝－(x －1)2＋4，∴ D(1，4) (3) 设 P(x ，y)(x>0，y>0)．∵ A(－1，0)，B(3，0)，C(0，3)，∴ AB ＝3－(－1)＝4，OC ＝3.∵ 抛物线的对称轴为直线x ＝1，∴ 点E 到y 轴的距离h ＝1.∴ S △COE ＝12OC ×h＝12×3×1＝32，S △ABP ＝12AB ×y P ＝12×4y ＝2y.∵ S △ABP ＝4S △COE ，∴ 2y ＝4×32，解得y ＝3.此时－x 2＋2x ＋3＝3，即x 2－2x＝0，解得x 1＝0(不合题意，舍去)，x 2＝2，∴ 点P 的坐标为(2，3)58. (1) ∵ 函数y 1的图象经过点(1，－2)，∴ (a ＋1)(－a)＝－2，即a 2＋a －2＝0，解得a 1＝－2，a 2＝1.当a ＝－2时，函数y 1的解析式为y 1＝(x －2)(x ＋2－1)，化简，得y 1＝x 2－x －2；当a ＝1时，函数y 1的解析式为y 1＝(x ＋1)(x －2)，化简，得y 1＝x 2－x －2.综上所述，函数y 1的解析式为y 1＝x 2－x －2 (2) 当y 1＝0时，(x ＋a)(x －a －1)＝0，解得x 1＝－a ，x 2＝a ＋1，∴ y 1的图象与x 轴的交点是(－a ，0)，(a ＋1，0)．当y 2＝ax ＋b 经过(－a ，0)时，－a 2＋b ＝0，即b ＝a 2；当y 2＝ax ＋b 经过(a ＋1，0)时，a2＋a ＋b ＝0，即b ＝－a 2－a (3) y 1＝(x ＋a)(x －a －1)可化为y ＝x 2－x －a 2－a ，显然函数y 1的图象的对称轴为直线x ＝12，∴ 点 Q(1，n)与点(0，n)关于直线x ＝12对称．又∵ 函数y 1的图象开口向上，∴ 当m<n 时，0<x 0<159. (1) ∵ 在Rt △AOB 中，∠BAO ＝45°，∴ ∠BAO ＝∠ABO.∴ OA ＝OB.∵ S △AOB ＝12·OA ·OB ＝8，∴ OA ＝OB ＝4.∴ A(4，0)，B(0，4) (2) ① 由题意，得C(－4，0)，即抛物线经过C(－4，0)，B(0，4)，A(4，0)．设抛物线对应的函数解析式为y ＝a(x ＋4)(x －4)，代入B(0，4)，得a ＝－14，∴ y ＝－14(x ＋4)(x －4)，即y ＝－14x 2＋4 ② ∵A(4，0)，B(0，4)在抛物线上，∴ 抛物线G 向下平移4个单位后，经过原点(0，0)和(4，－4)．设此时的抛物线为y ＝mx 2＋nx ，把(4，－4)代入，得n ＝－1－4m ，即抛物线的函数解析式为y ＝mx 2＋(－1－4m)x.易求得直线AB 的函数解析式为y ＝－x ＋4.由⎩⎨⎧y ＝－x ＋4，y ＝mx 2＋（－1－4m ）x ，消去y 得到mx 2－4mx －4＝0.由题意，得Δ＝0，∴ 16m 2＋16m ＝0，解得m 1＝0(不合题意，舍去)，m 2＝－1.∴ 抛物线的函数解析式为y ＝－x 2＋3x.解⎩⎨⎧y ＝－x ＋4，y ＝－x 2＋3x ，得⎩⎨⎧x ＝2，y ＝2，∴ 点N 的坐标为(2，2)60. (1) 由题意，Δ＝[－(m ＋1)]2－2(m 2＋1)＝－m 2＋2m －1＝－(m －1)2，∵ 方程有实数根，∴ －(m －1)2≥0，即(m －1)2≤0.又∵ (m －1)2≥0，∴ (m －1)2＝0，即m ＝1 (2) 由(1)可知y ＝x 2－2x ＋1＝(x －1)2，沿x 轴翻折，得 y ＝－(x －1)2，两次平移后，得y ＝－(x －1＋3)2＋2，即变化后的图象对应的函数解析式为y ＝－x 2－4x －2 (3) 由⎩⎨⎧y ＝2x ＋n ，y ＝－x 2－4x －2消去y ，得x 2＋6x ＋n ＋2＝0.由题意 Δ≥0，即36－4n －8≥0，解得n ≤7.∵ n ≥m ，m ＝1，∴ 1≤n ≤7.令y ′＝n 2－4n ＝(n －2)2－4，∴ 当n ＝2时，y ′的值最小，最小值为－4；当n ＝7时，y ′的值最大，最大值为21.综上所述，n 2－4n 的最大值为21，最小值为－461. (1) 把点(－2，2)，(4，5)代入y ＝ax 2＋c ，得⎩⎨⎧4a ＋c ＝2，16a ＋c ＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝14，c ＝1.∴ 抛物线对应的函数解析式为y ＝14x 2＋1 (2) BF ＝BC 在y ＝kx ＋2中，令x ＝0，得y ＝2，∴ F(0，2)．∴ OF ＝2.如图，过点F 作FH ⊥BC ，垂足为H.设 B ⎝⎛⎭⎫t ，14t 2＋1，则FH ＝OC ＝t ，BC ＝14t 2＋1，∴ BH＝BC －OF ＝14t 2－1.∴ 在Rt △BHF 中，BF 2＝t 2＋⎝⎛⎭⎫14t 2－12＝⎝⎛⎭⎫14t 2＋12.∴ BF ＝14t 2＋1.∴ BF ＝BC(3) 如图，∵ m 为自然数，∴ 点P 在点F 上方．∵ 以B ，C ，F ，P 为顶点的四边形是菱形，∴ CB ＝CF ＝PF.由(2)得，CB ＝FB ，∴ BC ＝CF ＝BF.∴ △BCF 为等边三角形．∴ ∠BCF ＝60°.∴ ∠OCF ＝30°.∴ 在Rt △OCF 中，CF ＝2OF ＝4.∴ PF ＝CF ＝4.∴ OP ＝6.∴ P(0，6)．∴ 自然数m 的值为6第61题62. (1) ∵ Rt △AOB 绕点O 逆时针旋转90°得到Rt△COD ，∴ CD ＝AB ＝1，OA ＝OC ＝2.∴ B(2，1)，D(－1，2)．将(2，1)，(－1，2)两点的坐标代入y ＝－56x 2＋bx ＋c ，得⎩⎨⎧－103＋2b ＋c ＝1，－56－b ＋c ＝2，解得⎩⎨⎧b ＝12，c ＝103，∴ 二次函数的解析式为 y ＝－56x 2＋12x ＋103 (2) 设OP 、BD 交于点Q.∵ 直线OP把△BOD 的周长分成相等的两部分，且OB ＝OD ，∴ DQ ＝BQ ，即Q 为BD 的中点．∴ 点Q 的坐标为⎝⎛⎭⎫12，32.设直线OP 的函数解析式为y ＝kx ，将点Q 的坐标代入，得k ＝3，∴ 直线OP 的函数解析式为y ＝3x.令 －56x 2＋12x ＋103＝3x ，解得x 1＝1，x 2＝－4.当x ＝1时，y ＝3x ＝3；当x ＝－4时，y ＝3x ＝－12.∴ 点P 的坐标为(1，3)或(－4，－12)63. (1) 设抛物线对应的函数解析式是y ＝－(x －1)2＋k.把 A(－1，0)代入，得0＝－(－1－1)2＋k ，解得k ＝4，∴ 抛物线对应的函数解析式是y ＝－(x －1)2＋4，即y ＝－x 2＋2x ＋3 (2) 在y ＝－x 2＋2x ＋3中，令x ＝0，则y ＝3，即点C 的坐标是(0，3)，∴ OC ＝3.∵ 点A 的坐标为(－1，0)，根据抛物线的轴对称性，得点B 的坐标是(3，0)，∴ OB ＝3.∴ OC ＝OB.从而△OBC 是等腰直角三角形．∴ ∠OCB ＝45°.如图，过点N 作NH ⊥y 轴，垂足是H.∵ ∠NCB ＝90°，∴ ∠NCH ＝45°.∴ NH ＝CH.∴ HO ＝OC ＋CH ＝3＋CH ＝3＋NH.设点N 的坐标为(a ，3＋a)．∵ 点N 在抛物线y ＝－x2＋2x ＋3上，∴ 3＋a ＝－a 2＋2a ＋3，解得a 1＝0(舍去)，a 2＝1.∴ 点N 的坐标是(1，4) (3) ∵ 四边形OAPQ 是平行四边形，∴ PQ ＝OA ＝1，且PQ ∥OA.设 P(t ，－t 2＋2t ＋3)，则Q(t ＋1，－t 2＋2t ＋3)，把点Q 的坐标代入y ＝32x ＋32，得－t 2＋2t ＋3＝32(t ＋1)＋32，整理，得2t 2－t ＝0，解得t＝0或12.∴ －t 2＋2t ＋3的值相应为3或154.∴ 满足题意的P ，Q 的坐标是P 1(0，3)，Q 1(1，3)或P 2⎝⎛⎭⎫12，154，Q 2⎝⎛⎭⎫32，154第63题64. (1) 在y ＝ax 2＋bx －3中，令x ＝0，得y ＝－3，∴ 点C 的坐标为(0，－3)．∴ OC ＝3.∵ OC ＝3OB ，∴ OB ＝1.∴ 点B 的坐标为(－1，0)．把A(2，－3)，B(－1，0)代入y ＝ax 2＋bx －3，得⎩⎨⎧4a ＋2b －3＝－3，a －b －3＝0，解得⎩⎨⎧a ＝1，b ＝－2，∴ 抛物线对应的函数解析式为y ＝x 2－2x －3 (2) 如图，连接AC ，过点B 作BF ⊥AC 交AC 的延长线于点F.∵ A(2，－3)，C(0，－3)，∴ AF ∥x 轴．∵ B(－1，0)，∴ F(－1，－3)．∴ BF ＝3，AF ＝2－(－1)＝3.∴ BF ＝AF.∴ 在Rt △AFB 中，∠BAC ＝45°.设D(0，m)，则OD ＝|m|.∵ ∠BDO ＝∠BAC ，∴ ∠BDO ＝45°.∴ OD ＝OB ＝1.∴ |m|＝1.∴ m ＝±1.∴ D 1(0，1)，D 2(0，－1) (3) 设N(1，t)．① 当AB 为平行四边形的一边时，则AB ∥MN ，AB ＝MN.∵ A(2，－3)，B(－1，0)，∴ 点A 先向左平移3个单位长度，再向上平移 3个单位得到点B.若形成▱BANM ，则M(－2，t ＋3)，代入y ＝x 2－2x －3，得t ＝2，此时M 1(－2，5)；若形成▱BAMN ，则M(4，t －3)，代入y ＝x 2－2x －3，得t ＝8，此时M 2(4，5)；② 当AB 为平行四边形的对角线时，AB ，MN 互相平分．∵ A(2，－3)，B(－1，0)，∴ AB 的中点坐标为⎝⎛⎭⎫12，－32.∴ MN 的中点坐标为⎝⎛⎭⎫12，－32.∴ M(0，－3－t)．代入y ＝x 2－2x －3，得t ＝0，此时M 3(0，－3)．综上所述，存在以点A ，B ，M ，N 为顶点的四边形是平行四边形，符合条件的点M 的坐标为(4，5)或(－2，5)或(0，－3)第64题65. (1) 抛物线y ＝－x 2＋1的勾股点的坐标为(0，1) (2) 抛物线y ＝ax 2＋bx 过原点，即点A(0，0)，如图，过点P 作PG ⊥x 轴于点G.∵ 点P 的坐标为(1，3)，∴ AG ＝1，PG ＝ 3.∴ PA ＝12＋（3）2＝2，tan ∠PAB ＝PGAG＝ 3.∴ ∠PAB ＝60°.∵ P 是抛物线C 的勾股点，∴ △ABP 的三边满足AP 2＋BP 2＝AB 2.∴ ∠APB ＝90°.在Rt △PAB 中，AB＝PAcos 60°＝4，∴ 点B 的坐标为(4，0)．将点P ，B 的坐标分别代入y ＝ax 2＋bx ，得a ＝－33，b ＝433，∴ 抛物线C 的函数解析式为y ＝－33x 2＋433x (3) ① 当点Q 在x 轴上方时，由S △ABQ ＝S △ABP ，知点Q 的纵坐标为3，令 －33x 2＋433x ＝3，解得x 1＝3，x 2＝1(不合题意，舍去)，∴ Q 1的坐标为(3，3)；② 当点Q 在x 轴下方时，由S △ABQ ＝S △ABP ，知点Q 的纵坐标为－3，令－33x 2＋433x ＝－3，解得x 1＝2＋7，x 2＝2－7，∴ Q 2(2＋7，－3)，Q 3(2－7，－3)．综上所述，满足条件的点Q 有3个，分别为(3，3)或(2＋7，－3)或(2－7，－3)第65题66. (1) 设二次函数的解析式为y ＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)，把A ，B ，C三点坐标代入可得⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＋c ＝0，16a ＋4b ＋c ＝0，c ＝－4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－3，c ＝－4，∴ 二次函数的解析式为y ＝x 2－3x －4 (2) 如图①，作OC 的垂直平分线DP ，交OC 于点D ，交BC 下方抛物线于点P ，∴ PO ＝PC.此时P 即为满足条件的点．∵ C(0，－4)，∴ D(0，－2)．∴ 点P 的纵坐标为－2.在y ＝x 2－3x －4中，令y ＝－2，得x 2－3x －4＝－2，解得x 1＝3－172(该值小于0，舍去)，x 2＝3＋172，∴ 存在满足条件的点P ，其坐标为⎝⎛⎭⎫3＋172，－2 (3) ∵ 点P 在抛物线上，∴ 可设P(t ，t 2－3t －4)．如图②，过点P 作PE ⊥x 轴于点E ，交直线BC 于点F ，∵ B(4，0)，C(0，－4)，∴ 直线BC 对应的函数解析式为y ＝x －4.∴ F(t ，t －4)．∴ PF ＝(t －4)－(t 2－3t －4)＝－t 2＋4t.∴ S △PBC ＝S △PFC ＋S △PFB ＝12PF ·OE＋12PF ·BE ＝12PF ·(OE ＋BE)＝12PF ·OB ＝12(－t 2＋4t)×4＝－2(t －2)2＋8.∴ 当t ＝2时，S △PBC 的最大值为8，此时t2－3t －4＝－6.∴ 当点P 的坐标为(2，－6)时，△PBC 的最大面积为8第66题67. (1) 在y ＝a(x －1)(x －3)中，令x ＝0，得y ＝3a ，∴ C(0，3a)．∵ y ＝a(x －1)(x －3)＝a(x 2－4x ＋3)＝a(x －2)2－a ，∴ D(2，－a) (2) 在y ＝a(x －1)(x －3)中，令y ＝0，得x ＝1或3，∴ A(1，0)，B(3，0)．∴ AB ＝3－1＝2.∵ 抛物线开口向上，∴ a>0.∴ S △ABD ＝12AB ·|y D |＝12×2×|－a|＝|a|＝a.设直线CD 交x 轴于点E ，直线CD 的解析式为y ＝mx ＋n ，把点C ，D 的坐标代入，得⎩⎨⎧n ＝3a ，2m ＋n ＝－a ，解得⎩⎨⎧m ＝－2a ，n ＝3a ，∴ 直线CD 的解析式为y ＝－2ax ＋3a.令 y＝0可解得x ＝32，∴ E ⎝⎛⎭⎫32，0.∴ BE ＝3－32＝32.∴ S △BCD ＝S△BEC＋S △BED ＝12BE ·|y C －y D |＝12×32×[3a －(－a)]＝3a.∴ S △BCD∶S △ABD ＝(3a)∶a ＝3.∴ k ＝3 (3) ∵ B(3，0)，C(0，3a)，D(2，－a)，∴ BC 2＝32＋(3a)2＝9＋9a 2，CD 2＝22＋(－a －3a)2＝4＋16a 2，BD 2＝(3－2)2＋a 2＝1＋a 2.∵ ∠BCD<∠BCO<90°，∴ △BCD 为直角三角形时，只能有∠CBD ＝90°或∠CDB ＝90°两种情况．① 当∠CBD ＝90°时，则BC 2＋BD 2＝CD 2，即9＋9a 2＋1＋a 2＝4＋16a 2，解得a ＝－1(不合题意，舍去)或a ＝1，此时抛物线的解析式为y ＝x 2－4x ＋3；② 当∠CDB ＝90°时，则CD 2＋BD 2＝BC 2，即4＋16a 2＋1＋a 2＝9＋9a 2，解得a ＝－22(不合题意，舍去)或a ＝22，此时抛物线的解析式为y ＝22x 2－22x ＋322.综上所述，当△BCD 是直角三角形时，抛物线的解析式为y ＝x 2－4x ＋3或y ＝22x 2－22x ＋32268. (1) 依题意可设抛物线对应的函数解析式为y ＝a ⎝⎛⎭⎫x －122－94(a ≠0)，将点M(2，0)代入，可得 a ⎝⎛⎭⎫2－122－94＝0，解得a ＝1.∴ 抛物线对应的函数解析式为y ＝⎝⎛⎭⎫x －122－94 (2) 在y ＝⎝⎛⎭⎫x －122－94中，令y ＝0，即⎝⎛⎭⎫x －122－94＝0，解得x 1＝－1，x 2＝2，∴ A(－1，0)．在y ＝⎝⎛⎭⎫x －122－94中，令x ＝0，得y ＝－2，∴ B(0，－2)．在Rt △OAB 中，OA ＝1，OB ＝2，∴ AB ＝ 5.设直线y ＝x ＋1与y 轴交于点G ，则G(0，1)，∴ OG ＝1.∴ Rt △AOG 是等腰直角三角形．∴ ∠AGO ＝45°.∵ C 是直线y ＝x ＋1上一点(处于x 轴下方)，k>0，∴ 反比例函数y ＝kx (k>0)的图象位于第一、三象限，点D 只能在第一、三象限．∴ 符合条件的菱形只能有如下两种情况：① 此菱形以AB 为边且AC 也为边，如图①所示，过点D 作DN ⊥y 轴于点N.在Rt △BDN 中，∵ ∠DBN ＝∠AGO＝45°，∴ DN ＝BN ＝52＝102.∴ D ⎝⎛⎭⎫－102，－102－2.∵ 点 D 在y ＝k x (k>0)的图象上，∴ k ＝－102×⎝⎛⎭⎫－102－2＝5＋2102；② 此菱形以AB 为对角线，如图②，作AB 的垂直平分线CD 交直线y ＝x ＋1于点C ，交反比例函数y ＝kx (k>0)的图象于点D.再分别过点D ，B 作DF ⊥x轴于点F ，BE ⊥y 轴，DF 与BE 相交于点E.在Rt △BDE 中，同①可证∠AGO ＝∠DBO ＝∠BDE ＝45°，∴ BE ＝DE.不妨设点D 的坐标为(x ，x －2)．∵ BE 2＋DE 2＝BD 2，∴ BD ＝2BE ＝2x.∵ 四边形ABCD 是菱形，∴ AD ＝BD ＝2x.∴ 在Rt △ADF 中，AD 2＝AF 2＋DF 2，即(2x)2＝(x ＋1)2＋(x －2)2，解得x ＝52.∴ 点D 的坐标是⎝⎛⎭⎫52，12.∵ 点D 在y ＝kx (k>0)的图象上，∴ k ＝52×12＝54.综上所述，k 的值是5＋2102或54第68题69. (1) 把B(3，0)，C(0，－2)代入y ＝23x 2＋bx ＋c ，得⎩⎪⎨⎪⎧23×32＋3b ＋c ＝0，c ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－43，c ＝－2，∴ 抛物线对应的函数解析式为y ＝23x 2－43x －2 (2) 设P(m ，23m 2－43m －2)，∵PM ∥x 轴，PN ∥y 轴，M ，N 在直线AD 上，∴ 点N 的坐标为⎝⎛⎭⎫m ，－23m －23，点M 的坐标为⎝⎛⎭⎫－m 2＋2m ＋2，23m 2－43m －2.∵ 点P 在直线l 下方，∴ PN ＝⎝⎛⎭⎫－23m －23－⎝⎛⎭⎫23m 2－43m －2＝－23m 2＋23m ＋43，PM ＝(－m 2＋2m ＋2)－m ＝－m 2＋m ＋2，∴ PM ＋PN ＝－53m 2＋53m ＋103＝－53⎝⎛⎭⎫m －122＋154.∴ 当m ＝12时，PM＋PN 的最大值是154 (3) 能 ∵ y ＝－23x －23交y 轴于点E ，∴ E ⎝⎛⎭⎫0，－23.∴ CE ＝⎝⎛⎭⎫－23－(－2)＝43.设P ⎝⎛⎭⎫t ，23t 2－43t －2.∴ 分两种情况讨论：① 若CE 作为平行四边形的一边，∴ CE ∥PF ，CE ＝PF.∴ F ⎝⎛⎭⎫t ，－23t －23.此时PF ＝⎝⎛⎭⎫－23t －23－⎝⎛⎭⎫23t 2－43t －2＝－23t 2＋23t ＋43，∴ －23t2＋23t ＋43＝43.整理，得t 2－t ＝0，解得t 1＝1，t 2＝0(不合题意，舍去)，∴ F 1⎝⎛⎭⎫1，－43；② 若CE 作为平行四边形的一条对角线，则CE ，PF 互相平分．∵ C(0，－2)，E ⎝⎛⎭⎫0，－23，∴ CE 的中点坐标为⎝⎛⎭⎫0，－43.∵ P ⎝⎛⎭⎫t ，23t 2－43t －2，∴ 点F 的坐标为(－t ，－23t 2＋43t －23)．∵ 点F 在直线y ＝－23x－23上，∴ －23t 2＋43t －23＝23t －23.整理，得t 2－t ＝0，解得t 1＝1，t 2＝0(不合题意，舍去)，∴ F 2(－1，0)．综上所述，以E ，C ，P ，F 为顶点的四边形能构成平行四边形，点F 的坐标为⎝⎛⎭⎫1，－43或(－1，0)70. (1) 在y ＝－12x 2＋32x ＋2中，令y ＝0，得0＝－12x2＋32x ＋2，解得x 1＝－1，x 2＝4，∴ A(－1，0)，B(4，0)．令 x ＝0，得y ＝2，∴ C(0，2) (2) ① ∵ A(－1，0)，B(4，0)，C(0，2)，∴ OA ＝1，OB ＝4，OC ＝2.如图，过点D 作DE ⊥x 轴于点E.∵ 将△ABC 绕AB 中点M 旋转180°，得到△BAD ，∴ DE ＝CO ＝2，AO ＝BE ＝1.∴ OE ＝OB －BE ＝3.∴ D(3，－2) ② ∵ 将△ABC 绕AB 中点M 旋转180°，得到△BAD ，∴ AC ＝BD ，AD ＝BC.∴ 四边形ADBC 是平行四边形．∵ AC ＝12＋22＝5，BC ＝22＋42＝25， AB ＝5，∴ AC 2＋BC 2＝AB 2＝25.∴ △ACB 是直角三角形．∴ ∠ACB ＝90°.∴ 四边形ADBC 是矩形 (3) 由题意，得抛物线的对称轴为直线x ＝32，BD ＝AC ＝5，AD ＝BC ＝25，∴ BDAD ＝12.假设存在点P ，使△BMP 与△BAD 相似．当△BMP ∽△ADB时，则PM BD ＝BM AD ，即PM BM ＝BD AD ＝12.∵ BM ＝12AB ＝52，则PM ＝54，此时P ⎝⎛⎭⎫32，54.同理，P 1⎝⎛⎭⎫32，－54.当△BMP 2∽△BDA 时，P 2MAD ＝BM BD ，即P 2M BM ＝ADBD ＝2.∴ P 2M ＝5.∴ P 2⎝⎛⎭⎫32，5.同理，P 3＝⎝⎛⎭⎫32，－5.综上所述，存在这样的点P.满足条件的P 点的坐标为⎝⎛⎭⎫32，54或⎝⎛⎭⎫32，－54或⎝⎛⎭⎫32，5或⎝⎛⎭⎫32，－5第70题71. (1) ∵ 抛物线的对称轴是直线x ＝1，点A 的坐标为(3，0)，∴ 根据抛物线的对称性知点B 的坐标为(－1，0)，OA ＝3.将A(3，0)，B(－1，0)代入抛物线y ＝ax 2＋bx ＋3中，得⎩⎨⎧9a ＋3b ＋3＝0，a －b ＋3＝0，解得⎩⎨⎧a ＝－1，b ＝2，∴ 抛物线的解析式为y ＝－x 2＋2x ＋3.令x ＝1，得y ＝4，∴ 顶点D(1，4) (2) 在 y ＝－x 2＋2x ＋3中，令x ＝0，得y ＝3，∴ 点C 的坐标为(0，3)．∴ AC ＝32＋32＝32，CD ＝12＋12＝2，AD ＝22＋42＝2 5.∴ AC 2＋CD 2＝AD 2＝20.∴ △ACD 为直角三角形，∠ACD ＝90°.∴ AD 为△ACD 外接圆的直径．∵ y 轴上的点E 在点C 的上方，且CE ＝12，∴ E ⎝⎛⎭⎫0，72.∴ AE＝32＋⎝⎛⎭⎫722＝1285，DE ＝12＋⎝⎛⎭⎫122＝125.∴ DE 2＋AD 2＝AE 2＝854.∴ △AED 为直角三角形，∠ADE ＝90°.∴AD ⊥DE.又∵ AD 为△ACD 外接圆的直径，∴ DE 是△ACD 外接圆的切线 (3) 设直线AC 的解析式为y ＝kx ＋b ，代入A(3，0)，C(0，3)，得⎩⎨⎧3k ＋b ＝0，b ＝3，解得⎩⎨⎧k ＝－1，b ＝3，∴ 直线AC 的解析式为y ＝－x ＋3.∵ A(3，0)，D(1，4)，∴ 线段AD 的中点N 的坐标为(2，2)．如图，过点N 作NP ∥AC ，交抛物线于点P ，此时S △ACP ＝S △ACN ＝12S △ACD .设直线NP 的解析式为y＝－x ＋c ，代入N(2，2)，得c ＝4，∴ 直线NP 的解析式为y ＝－x ＋4.解⎩⎨⎧y ＝－x ＋4，y ＝－x 2＋2x ＋3，得P 1⎝⎛⎭⎫3＋52，5－52，P 2(3－52，5＋52) (4) 点M 的坐标为(0，0)或(9，0)或⎝⎛⎭⎫0，－13点拨：分三种情况：① M 恰好为原点，满足△CMB ∽△ACD ，M(0，0)；② M 在x 轴正半轴上，满足△MCB ∽△ACD ，此时M(9，0)；③ M 在y 轴负半轴上，满足△CBM ∽△ACD ，此时M ⎝⎛⎭⎫0，－13.第71题72. (1) 把点B(2，t)代入y ＝x ，得t ＝2，∴ B(2，2)．把 A ⎝⎛⎭⎫32，0，B(2，2)代入y ＝ax 2＋bx ，得⎩⎪⎨⎪⎧0＝a ×⎝⎛⎭⎫322＋32b ，2＝4a ＋2b ，解得⎩⎨⎧a ＝2，b ＝－3，∴ 抛物线的解析式为y＝2x 2－3x (2) 如图①，过点C 作CD ∥y 轴交OB 于点D ，交x 轴于点E.过点B 作BF ⊥CD ，垂足为F.设 C(m ，2m 2－3m)，则E(m ，0)，D(m ，m)，∴ CD ＝m －(2m 2－3m)＝－2m 2＋4m.∵ S △OBC ＝S △CDO ＋S △CDB ＝12CD ·OE ＋12CD ·BF ＝12CD ·(OE ＋BF)＝2，∴ 12(－2m 2＋4m)×2＝2，解得m 1＝m 2＝1.当m ＝1时，2m 2－3m ＝－1，∴ 点C 的坐标为(1，－1) (3) 如图②，设BM 交y 轴于点G.∵ 直线 y ＝x 平分∠AOG ，∴ ∠GOB ＝∠AOB.又 ∵ OB ＝OB ，∠ABO ＝∠MBO ，∴ △OBG ≌△OBA.∴ OG ＝OA.∵ A ⎝⎛⎭⎫32，0，∴ OG ＝OA ＝32.∴ G ⎝⎛⎭⎫0，32.易求直线BG 的函数解析式为y ＝14x ＋32，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝14x ＋32，y ＝2x 2－3x ，得⎩⎨⎧x ＝2，y ＝2或⎩⎨⎧x ＝－38，y ＝4532.∴ M ⎝⎛⎭⎫－38，4532.∵ C(1，－1)，B(2，2)，∴ ∠COA ＝45°，∠BOA ＝45°，OC ＝2，OB ＝2 2.∴ ∠COB ＝90°，OB OC ＝2.∵ △POC ∽△MOB ，∴ OM OP ＝OBOC ＝2，∠POC ＝∠MOB.当点P 在第一象限时，如图②，过点M 作MQ ⊥y 轴于点Q ，过点P 1作P 1H ⊥x 轴于点H.∵ ∠COA ＝∠BOG ＝45°，∴ ∠MOQ ＝∠P 1OH.又∵ ∠P 1HO ＝∠MQO ，∴ △MOQ ∽△P 1OH.∴ OM OP ＝MQ P 1H ＝OQ OH ＝2.∵ M ⎝⎛⎭⎫－38，4532，∴ MQ ＝38，OQ ＝4532.∴ P 1H ＝316，OH ＝4564.∴ P 1⎝⎛⎭⎫4564，316.同理可得，当点P 在第三象时，点P 2的坐标为⎝⎛⎭⎫－316，－4564.综上，存在点P 使得△POC ∽△MOB.点P 的坐标有两种情况，分别是P 1⎝⎛⎭⎫4564，316，P 2⎝⎛⎭⎫－316，－4564 第72题。

y
O
x y
O
x
（a≠0）的根
有两个不同的 解x=x1，x=x2
有两个相等的
解
x1=x2=
b 2a
与x轴没有
y
b2-4ac＜0 交点
没有实数根
O
x
二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点有
三种情况:
(1)有两个交点
△=b2 – 4ac > 0
(2)有一个交点 (3)没有交点
△= b2 – 4ac= 0 △= b2 – 4ac< 0
若抛物线y=ax2+bx+c与x轴有交点,则
△= b2 – 4ac≥0
例2:已知抛物线y=x2-2x-8， （1）求证：该抛物线与x轴一定有两个交点； （2）若该抛物线与x轴的两个交点分别为A、 B，且它的顶点为P，求△ABP的面积。
(1)证明:∵△=22-4 × (-8)=36>0 ∴该抛物线与x轴一定有两个交点
当 x 1 时,y有最 小值,是 25
2
4
（—12 ，-—245）
函数值y的正负性: 当 x<-2或x>3 时,y>0
当 x=-2或x=3 时,y=0
当 -2<x<3
时,y<0
1、根据下列条件，求二次函数的解析式。 (1)、图象经过(0，0)， (1，-2) ， (2，3) 三点；
(2)、图象的顶点(2，3)， 且经过点(3，1) ；
问：给出五个结论：①a>0；②b>0;③c>0；④a+b+c=0; ⑤a-b+c<1.其中正确的结论的序号是 （ ①④ ）
练习： １、二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图 y

初中数学二次函数复习专题〖知识点〗二次函数、抛物线的顶点、对称轴和开口方向 〖大纲要求〗1． 理解二次函数的概念；2． 会把二次函数的一般式化为顶点式，确定图象的顶点坐标、对称轴和开口方向，会用描点法画二次函数的图象；3． 会平移二次函数y ＝ax 2(a ≠0)的图象得到二次函数y ＝a(ax ＋m)2＋k 的图象，了解特殊与一般相互联系和转化的思想； 4． 会用待定系数法求二次函数的解析式；5． 利用二次函数的图象，了解二次函数的增减性，会求二次函数的图象与x 轴的交点坐标和函数的最大值、最小值，了解二次函数与一元二次方程和不等式之间的联系。

内容（1）二次函数及其图象如果y=ax 2+bx+c(a,b,c 是常数，a ≠0),那么，y 叫做x 的二次函数。

二次函数的图象是抛物线，可用描点法画出二次函数的图象。

（2）抛物线的顶点、对称轴和开口方向抛物线y=ax 2+bx+c(a ≠0)的顶点是)44,2(2a b ac a b --，对称轴是ab x 2-=，当a>0时，抛物线开口向上，当a<0时，抛物线开口向下。

抛物线y=a （x+h ）2+k(a ≠0)的顶点是（-h ，k ），对称轴是x=-h. 〖考查重点与常见题型〗1． 考查二次函数的定义、性质，有关试题常出现在选择题中，如：已知以x 为自变量的二次函数y ＝(m －2)x 2＋m 2－m －2额图像经过原点， 则m 的值是2． 综合考查正比例、反比例、一次函数、二次函数的图像，习题的特点是在同一直角坐标系内考查两个函数的图像，试题类型为选择题，如：如图，如果函数y ＝kx ＋b 的图像在第一、二、三象限内，那么函数y ＝kx 2＋bx －1的图像大致是（ ）3． 考查用待定系数法求二次函数的解析式，有关习题出现的频率很高，习题类型有中档解答题和选拔性的综合题，如： 已知一条抛物线经过(0,3)，(4,6)两点，对称轴为x ＝53，求这条抛物线的解析式。

沪科版九年级数学上册知识点总结二次函数基本知识一．二次函数2y ax bx c =++的性质1. 当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2bx a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2b x a <-时，y 随x 的增大而减小；当2b x a >-时，y 随x 的增大而增大；当2bx a=-时，y 有最小值244ac b a-．2. 当0a <时，抛物线开口向下，对称轴为2b x a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2bx a <-时，y 随x 的增大而增大；当2b x a >-时，y 随x 的增大而减小；当2bx a=-时，y 有最大值244ac b a -．二．二次函数解析式的表示方法1. 一般式：2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ≠）；2. 顶点式：2()y a x h k =-+（a ，h ，k 为常数，0a ≠）；3. 两根式：12()()y a x x x x =--（0a ≠，1x ，2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标）.4. 一次项系数bab 的符号的判定：对称轴abx 2-=在y 轴左边则0>ab ，在y 轴的右侧则0<ab ，概括的说就是“左同右异” 5. 常数项c⑴ 当0c >时，抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为正； ⑵ 当0c =时，抛物线与y 轴的交点为坐标原点，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为0； ⑶ 当0c <时，抛物线与y 轴的交点在x 轴下方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为负． 总结起来，c 决定了抛物线与y 轴交点的位置． 总之，只要a b c ，，都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的．相似三角形基本知识一．比例性质1.基本性质: bcad d cb a =⇔= （两外项的积等于两内项积）2.合比性质：ddc b b ad c b a ±=±⇒=（分子加（减）分母,分母不变） 3.等比性质：（分子分母分别相加，比值不变.）如果)0(≠++++====n f d b nmf e d c b a ，那么b a n f d b m e c a =++++++++ ． 二．黄金分割1）定义：在线段AB 上，点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC （AC ＞BC ），如果ACBC AB AC =，即AC 2=AB ×BC ，那么称线段AB 被点C 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点，AC 与AB 的比叫做黄金比。

(2)方法一： 根据题意，得y1＝(m－1)2－4，y2＝(m＋n－1)2－4， ∵y1＝y2， ∴(m－1)2－4＝(m＋n－1)2－4，即(m－1)2＝(m＋n－1)2. ∵n＞0，∴m－1＝－(m＋n－1)，化简，得2m＋n＝2；
例2 要修建一个圆形喷水池,在池中心竖直安装一根
水管.在水管的顶端安装一个喷水头,使喷出的抛物线
知识要点
二次函数y=ax2 与y=ax2+k（a ≠ 0）的图象的关系 二次函数y=ax2+k的图象可以由 y=ax2 的图象平
移得到：
当k > 0 时,向上平移k个单位长度得到.
当k < 0 时,向下平移-k个单位长度得到.
上下平移规律： 平方项不变，常数项上加下减.
例.不画函数y=-x2和y=-x2+1的图象回答下面的问题： （1）抛物线y=-x2+1经过怎样的平移才能得到抛物线 y=-x2. 向下平移1个单位.
在对称轴左侧递减 在对称轴右侧递增
典例精析
例1已知 y =(m+1)x m +m 是二次函数,且其图象开口向 上,求m的值和函数解析式 解: 依题意有: m+1>0 ① m2+m=2 ② 解②得:m1=－2, m2=1 由①得:m>－1 ∴ m=1 此时,二次函数为: y=2x2.
2
例2.已知 y (k 2) x
2
要点归纳
二次函数y=ax2 与y=a（x+h)2+k的关系
可以看作互相平移得到的.
平移规律 左 右 平 移 y = ax2 + k y = a( x+h )2 + k 简记为： 上 下 上下平移， 平 移 括号外上加下减； y = a(x+h )2 左右平移， 括号内左加右减.

课题：二次函数复习教学目标：1、梳理二次函数的概念、图像特征与图像平移规律，巩固待定系数法确定二次函数的解析式，能用二次函数的知识解决一些综合问题；2、在二次函数图像特征与图像平移规律运用等过程中，进一步体会函数思想、分类讨论思想、数形结合思想；体会解决问题方法的选择，提高分析问题和解决问题的能力 ． 教学重难点：重点：二次函数解析式的确定及其图像特征 难点：图像特征、与图形几何性质的综合运用． 教学过程：（一）问题引领，梳理探索 问题1 观察下列y 关于x 的函数：①y =3x －1 ②y =3x 2③y =2(x +1)(x －1) ④y=x 2－x (1+x )⑤y=ax 2+3x+1 ⑥32x x xy x++=其中一定是二次函数的有 （填序号） ． 追问：224x y +=是二次函数吗？ 【设计意图：复习二次函数的概念．】 问题2 已知抛物线21322y x x =-- （1）抛物线的开口方向 ,对称轴是 ；（2）抛物线的顶点坐标是____________,是最 点（填“高”或“低”）； （3）抛物线上有两点(2，y 1)和(3，y 2)，则y 1 y 2（填“＞”“＝”“＜”）； （4）将该抛物线向左平移3个单位，再向下平移1个单位所得新抛物线的表达式 是问题3：（1）如果点A （2，m ）在抛物线2x y =上，将此抛物线向右平移3个单位后，点A 同时平移到点A’ ，那么点A’坐标为_________.（将上题中的“向右”改为“向上”这时点A’坐标为_________.）变式:1：已知抛物线y =x 2+2x －3经过上、下平移后过点M (2，2)，求平移后的抛物线的表达式； 变式2：已知抛物线y =x 2+2x －3经过左、右平移后过点N (-1，5)，求平移后的抛物线的表达式。

问题4 ：已知抛物线经过A (－3，0)、B （1，0）、C （0，－3）三点，顶点为D . （1）可用哪些方法求抛物线的表达式及顶点坐标， 哪种方法较为简便？（如果已知抛物线经过A (3，1)、B （1，1）、C （1，－3）三点，选哪种方法？） （2）联结AC 、AD 、CB 、CD ，你能得到怎样的结论？（3）若二次函数图像上有一点E ，且EAO CAD ∠=∠,求点E 的坐标；（4）在抛物线上是否存在一点F ，使△ABF 的面积等于四边形ADCO 面积的 45 ？若存在，请指出满足条件的点F 有几个？若不存在，请说明理由.（5）若点P 是线段AC 上一个动点，联结OP ．问：是否存在点P ，使得以点O 、C 、P 为顶点的三角形与△ABC 相似？若存在，求出P 点的坐标；若不存在，请说明理由．（二） 课堂小结（三） 布置作业课后练习一．选择题1、下列函数中，有几个二次函数？ （ ） （1）02=-x y （2）2)1()2)(2(---+=x x x y（3）xx y 12+= （4）322-+=x x y A.0个 B.1个 C. 2个 D. 3个 2、二次函数y ＝－（x －1）2+3图像的顶点坐标是 （ ）A. （－1，3）B. （1，3）C. （－1，－3）D. （1，－3）3、已知函数y=ax+b 的图像经过第一、二、三象限，那么y=ax 2+bx+1的图像大致为（ ）4、已知：抛物线y=ax 2+bx+c ，当x =1时有最小值，若x =2，－2，－4时对应的函数值分别为y 1、y 2、y 3，则y 1、y 2、y 3的大小关系为 ( )A.y 1＜y 2＜y 3B.y 1＞y 2＞y 3C.y 1＞y 3＞y 2D.y 2＞y 3＞y 1yx二．填空题5、抛物线5)3(22+-=x y 的顶点坐标是 ．6、抛物线9412-=x y 的开口 ，对称轴是 ，顶点坐标是 ，它可以看作是由抛物线241x y =向 平移 个单位得到的． 7、将抛物线y ＝x 2向右平移4个单位后，再向上平移2个单位， 则此时抛物线的解析式是 ．8、抛物线y =3x 2可以看成由抛物线y =3(x ﹣2)2+5向____平移___个单位，再向 平移 个单位所得．9、抛物线y ＝2x 2+4x +5的对称轴是 ．10、抛物线4)3(22+-=x y 在对称轴 侧部分上升．11、如图，抛物线2y ax bx c =++，请判断下列各式的符号： a 0； b 0； c 0．12、已知二次函数的图像开口向上，且顶点在y 轴的负半轴上， 请你写出一个满足条件的二次函数的表达式 ．13、如图所示的抛物线是二次函数2231y ax x a =-+-的图像，那么a 的值是 ． 14、如果抛物线h x a y +-=2)1(经过点A （0，4）、B （2，m ），那么m 的值是 ． 15、已知二次函数图像的对称轴在y 轴的左侧，且在对称轴的右侧函数y 的值随x 的增大而减小．请写出一个符合上述条件的二次函数的解析式 ．（只需写一个） 16、二次函数2y ax bx c =++的变量x 与变量y 部分对应值如下表：x… 3-2- 0 1 3 5 … y…7 0 8- 9- 5- 7…那么1-=x 时，对应的函数值y = ▲ ． 三．解答题17．已知二次函数的图像经过一次函数y =－x －4的图像与x 轴、y 轴的交点A 、C ，并且经过点 B （2，- 4），求这个二次函数的解析式；18、已知二次函数的图像经过A (－3，0)、B （1，0）、C （0，－3）三点． （1）求这个二次函数的解析式；（2）若抛物线的顶点为D ，求 CAD 与 OBC 的和；（3）在x 轴上方的抛物线上是否存在一点M ，过M 作MN ⊥x 轴于点N ，使以A 、M 、N 为顶点的三角形与△O BC 相似？若存在，则求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．Oyx（第13题图）19、如图，二次函数图像的顶点为坐标原点O 、且经过点A （3，3），一次函数的图像经过点A 和点B （6，0）． （1）求二次函数与一次函数的解析式；（2）如果一次函数图像与y 相交于点C ，点D 在线段AC 上，与y 轴平行的直线DE 与二次函数图像相交于点E ，∠CDO =∠OED ，求点D 的坐标．AOxy（第19题图）CBDE。