艺术生高考数学专题讲义：考点16 同角三角函数的关系式及诱导公式

同角三角函数的基本关系与诱导公式考点与提醒归纳1.同角三角函数的基本关系：在一个单位圆上，以原点为中心，作出一个角度为θ的角。

那么，角θ的终边与单位圆交于一点P，点P的坐标可以表示为(Px,Py)。

根据三角函数的定义，可以得到以下关系：(1) 正弦函数（sin）：sinθ = Py(2) 余弦函数（cos）：cosθ = Px(3) 正切函数（tan）：tanθ = Py / Px2.诱导公式：诱导公式是利用同角三角函数的基本关系，通过一些简单的代数运算推导出来的公式。

下面是一些常用的诱导公式：（1）tanθ = sinθ / cosθ -> sinθ = tanθ * cosθ（2）tanθ = py / Px -> Py = tanθ * Px（3）cotθ = 1 / tanθ -> cotθ = cosθ / sinθ（4）secθ = 1 / cosθ -> secθ = 1 / cosθ（5）cscθ = 1 / sinθ -> cscθ = 1 / Py3.开放、诱导角的关系：开放角和诱导角是同角三角函数中的两个重要概念。

（1）开放角：开放角是指角θ的终边所在的象限。

根据角度θ所在的象限，可以确定sinθ、cosθ、tanθ的正负关系。

（2）诱导角：角θ的终边与x轴正半轴之间的夹角记为θ0，称为角θ的诱导角。

根据θ0所在的象限，可以确定sinθ0、cosθ0、tanθ0的值。

4.注意事项：（1）需要记住各个象限中正弦函数、余弦函数、正切函数的正负关系。

通过画图和思考可以帮助记忆。

（2）要掌握正弦函数、余弦函数、正切函数在不同象限中的取值范围，充分理解诱导角与开放角的关系。

（3）熟练掌握诱导公式，能够熟练地根据一个三角函数的值求得其他三个函数的值。

（4）在解决实际问题和解题时，要善于利用诱导公式将一个三角函数转化为其他三个函数，以便更好地解题。

总之，同角三角函数的基本关系与诱导公式是学习三角函数的重要内容，掌握和理解好这一知识点对后续学习和解题非常有帮助。

高三数学 同角三角函数关系与诱导公式、三角函数的图像、三角函数的性质 知识精讲一. 同角三角函数关系与诱导公式 1. 同角三角函数间八大基本关系式 （1）平方关系：s i n cos tansec cot csc 222222111αααααα+=+=+=（2）倒数关系：t a n c o t c o s s e c s i n c s c αααααα⋅=⋅=⋅=111（3）商数关系：t a n s i n c o sc o t c o ss i n αααααα==2. 同角关系式的主要应用（1）已知某角的一个三角函数值，求它的其他三角函数值； （2）化简三角函数式； （3）证明三角恒等式。

3. 诱导公式 k ⋅±πα2的各三角函数值，当k 为偶数时，得角α的同名三角函数值；当k 为奇数时得角α的相应的余函数值，然后放上把α看作锐角时原函数所在象限的符号。

为便于记忆，还可用口诀表示上面的概括。

“奇变偶不变，符号看象限”。

4. 正确理解及灵活应用同角三角函数式和诱导公式求值，化简、证明。

（1）运用诱导公式求三角函数值的步骤是：任意角→正角→0360︒︒~→锐角→求值。

运用同角关系求值时要注意结合方程思想方法（如考题的“代换技巧”）。

（2）三角函数式化简的要求： （a ）项数尽量少；（b ）函数种类尽量少； （c ）次数尽量低； （d ）尽量不含分母； （e ）尽量不带根号；（f ）能求出值的求出数值。

（3）证明三角恒等式的一般方法：（a ）化繁为简：从一边开始证得它等于另一边。

（b ）左、右同一：证明左、右两边都等于同一个式子（或值）。

（c ）变换结论，即改证与其等价的结论。

三角变形技巧常用弦切互化；“1”的代换法，有时用到比例性质。

二. 三角函数的图像1. 正弦、余弦、正切、余切函数的图像三角函数的图像从“形”的方面反映了任意角（弧度数）与它的函数y 的对应关系，形像直观，有助于理解和记忆三角函数的性质，应注意充分运用图像的直观性来解答三角函数的值域，最值，比较三角函数值的大小，解简单的三角方程和不等式。

同角三角函数的基本关系与诱导公式[课程标准]1.借助单位圆的对称性，利用定义推导出诱导公式±π2，α±π理解同角三角函数的基本关系式sin 2α＋cos 2α＝1，sin αcos α＝tan α.1．同角三角函数的基本关系式(1)平方关系：01sin 2α＋cos 2α＝1．(2)商数关系：02sin αcos α＝tan α．2．六组诱导公式公式一二三四五六角2k π＋α(k ∈Z )π＋α－απ－απ2－απ2＋α正弦sin α－sin α－sin αsin αcos αcos α余弦cos α－cos αcos α－cos αsin α－sin α正切tan αtan α－tan α－tan α－－口诀函数名不变，符号看象限函数名改变，符号看象限同角三角函数基本关系式的常用变形(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α；(sin α＋cos α)2＋(sin α－cos α)2＝2；(sin α＋cos α)2－(sin α－cos α)2＝4sin αcos α；sin α＝tan αcos ≠π2＋k π，k ∈sin 2α＝sin 2αsin 2α＋cos 2α＝≠π2＋k π，k ∈cos 2α＝cos 2αsin 2α＋cos 2α＝≠π2＋k π，k ∈1．(人教B 必修第三册7.2.3练习A T 1(2)改编)若cos α＝13，α－π2，tan α＝()A ．－24B.24C ．－22D ．22答案C解析由已知得sin α＝－1－cos 2α＝－1－19＝－223，所以tan α＝sin αcos α＝－22.故选C.2．已知cos31°＝a ，则sin239°tan149°的值为()A.1－a 2a B.1－a 2C.a 2－1a D ．－1－a 2答案B解析sin239°tan149°＝sin(270°－31°)tan(180°－31°)＝－cos31°·(－tan31°)＝sin31°＝1－a 2.3．(人教B 必修第三册第七章复习题A 组T 6改编)已知tan θ＝2，则3sin α＋2cos α4sin α－3cos α＝________．答案85解析∵tan θ＝2，∴原式＝3tan α＋24tan α－3＝3×2＋24×2－3＝85.4．(人教A 必修第一册习题5.2T 12改编)已知αtan α＝2，则cos α＝________．答案55解析∵α∴sin α＞0，cos α＞0，∵tan α＝2＝sin αcos α，sin 2α＋cos 2α＝1，∴cos α＝55.5．(人教A 必修第一册5.3例4改编)α－π)cos(2π－α)的结果为________．答案－sin 2α解析原式＝sin αcos α(－sin α)cos α＝－sin 2α.角度常规问题例1(1)已知角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边上一点A (2sin α，3)(sin α≠0)，则cos α＝()A.12B ．－12C.32D ．－32答案A解析由三角函数定义，得tan α＝32sin α，所以sin αcos α＝32sin α，则2(1－cos 2α)＝3cos α，所以(2cos α－1)(cos α＋2)＝0，则cos α＝12.(2)(2023·全国乙卷)若θtanθ＝12，则sinθ－cosθ＝________．答案－55解析因为θsinθ>0，cosθ>0，又因为tanθ＝sinθcosθ＝12，则cosθ＝2sinθ，且cos2θ＋sin2θ＝4sin2θ＋sin2θ＝5sin2θ＝1，解得sinθ＝55或sinθ＝－5 5(舍去)，所以sinθ－cosθ＝sinθ－2sinθ＝－sinθ＝－55.利用同角三角函数的基本关系式求值的三个基本题型1.(2023·长郡十八校联盟联考)已知第二象限角α的终边上有两点A(－1，a)，B(b，2)，且cosα＋3sinα＝0，则b－3a＝()A．－7B．－5C．5D．7答案A解析因为cosα＋3sinα＝0，所以3sinα＝－cosα，所以tanα＝－13，又因为tanα＝a－1＝2b，所以a＝13，b＝－6，所以b－3a＝－7.故选A.2．(2024·东莞模拟)已知2sin2θ－3sinθ－2＝0，θ－π2，cosθ的值为()A.3 3B.32C.22D.12答案B解析因为θ－π2，sin θ∈(－1，1)，cos θ>0，因为2sin 2θ－3sin θ－2＝(2sin θ＋1)·(sin θ－2)＝0，则sin θ＝－12，因此cos θ＝1－sin 2θ＝32.故选B.角度“1”的变换例2(2021·新高考Ⅰ卷)若tan θ＝－2，则sin θ（1＋sin2θ）sin θ＋cos θ＝()A ．－65B ．－25C.25D.65答案C解析解法一：因为tan θ＝－2，所以sin θ（1＋sin2θ）sin θ＋cos θ＝sin θ（sin θ＋cos θ）2sin θ＋cos θ＝sin θ(sin θ＋cos θ)＝sin 2θ＋sin θcos θsin 2θ＋cos 2θ＝tan 2θ＋tan θ1＋tan 2θ＝4－21＋4＝25.故选C.解法二：sin θ（1＋sin2θ）sin θ＋cos θ＝sin θ（sin 2θ＋2sin θcos θ＋cos 2θ）sin θ＋cos θ＝sin θ(sin θ＋cos θ)＝cos 2θ(tan 2θ＋tan θ)．由tan θ＝sin θcos θ＝－2，sin 2θ＋cos 2θ＝1，解得cos 2θ＝15.所以sin θ（1＋sin2θ）sin θ＋cos θ＝cos 2θ(tan 2θ＋tan θ)＝15×(4－2)＝25.故选C.对于含有sin 2α，cos 2α，sin αcos α的三角函数求值问题，一般可以考虑添加分母1，再将1用“sin 2α＋cos 2α”代替，然后用分子分母同除以角的余弦的平方的方式将其转化为关于tan α的式子，从而求解．(2023·海口模拟)已知角α的顶点为坐标原点，始边为x 轴的非负半轴，终边上有一点P (1，2)，则sin 2α1－3sin αcos α＝________．答案－4解析因为角α的终边上有一点P (1，2)，所以tan α＝2.所以sin 2α1－3sin αcos α＝sin 2αsin 2α＋cos 2α－3sin αcos α＝tan 2αtan 2α＋1－3tan α＝2222＋1－3×2＝－4.角度sin x ＋cos x ，sin x －cos x ，sin x cos x 之间的关系例3(2023·济南模拟)已知α－π2，sin α＋cos α＝55，则tan α的值为________．答案－12解析∵sin α＋cos α＝55，∴sin 2α＋cos 2α＋2sin αcos α＝15，∴sin αcos α＝－25＜0，∴sin 2α＋cos 2α－2sin αcos α＝95＝(sin α－cos α)2，又α－π2，∴sin α＜0，cos α＞0，∴cos α－sin α＝355，∴sin α＝－55，cos α＝255，∴tan α＝－12.(1)已知a sin x ＋b cos x ＝c 可与sin 2x ＋cos 2x ＝1联立，求得sin x ，cos x .(2)sin x ＋cos x ，sin x －cos x ，sin x cos x 之间的关系为(sin x ＋cos x )2＝1＋2sin x cos x ，(sin x －cos x )2＝1－2sin x cos x ，(sin x ＋cos x )2＋(sin x －cos x )2＝2.因此，已知上述三个代数式中的任意一个代数式的值，便可求其余两个代数式的值．(2024·青岛调研)若sin θ＋cos θ＝233，则sin 4θ＋cos 4θ＝()A.56B.1718C.89D.23答案B解析由sin θ＋cos θ＝233，平方得1＋2sin θcos θ＝43，∴sin θcos θ＝16，∴sin 4θ＋cos 4θ＝(sin 2θ＋cos 2θ)2－2sin 2θcos 2θ＝1－＝1718.故选B.例4(1)(2023·北京市八一中学模拟)若角α的终边在第三象限，则下列三角函数值中小于零的是()A ．sin(π＋α)B ．cos(π－α)C ．D ．答案D解析因为角α的终边在第三象限，所以sin α<0，cos α<0.对于A ，sin(π＋α)＝－sin α>0；对于B ，cos(π－α)＝－cos α>0；对于C ，sin α>0；对于D ，cos α<0.故选D.(2)化简：tan （π＋α）cos （2π＋α）2cos （－α－3π）sin （－3π－α）＝________．答案－1解析cos （3π＋α）[－sin （3π＋α）]tan αcos αcos α－cos αsin α＝－tan αcos αsin α＝－sin αcos α·cos αsin α＝－1.(3)已知cos(75°＋α)＝513，α是第三象限角，则sin(195°－α)＋cos(α－15°)的值为________．答案－1713解析因为cos(75°＋α)＝513>0，α是第三象限角，所以75°＋α是第四象限角，sin(75°＋α)＝－1－cos 2（75°＋α）＝－1213.所以sin(195°－α)＋cos(α－15°)＝sin[180°＋(15°－α)]＋cos(15°－α)＝－sin(15°－α)＋cos(15°－α)＝－sin[90°－(75°＋α)]＋cos[90°－(75°＋α)]＝－cos(75°＋α)＋sin(75°＋α)＝－513－1213＝－1713.利用诱导公式化简求值的基本步骤提醒：用诱导公式求值时，要善于观察所给角之间的关系，利用整体代换的思想简化解题过程．常见的互余关系有π3－α与π6＋α，π3＋α与π6－α，π4＋α与π4－α等，常见的互补关系有π6－θ与5π6＋θ，π3＋θ与2π3－θ，π4＋θ与3π4－θ等．1.(2024·江西宜春中学诊断)若α为锐角，且13，则cos ()A.223 B.23C.26D.526答案A解析∵0<α<π2，∴π6<α＋π6<2π3，∴223，∴－π2＝＝223.故选A.2．(2023·咸阳模拟)已知角α终边上一点P (sin1180°，cos1180°)，那么cos(3α＋60°)＝()A．0 B.12C．1 D.32答案D解析∵|OP|＝sin21180°＋cos21180°＝1，∴sinα＝cos1180°＝cos(100°＋3×360°)＝cos100°＝－sin10°＝sin(－10°)，cosα＝sin1180°＝sin(100°＋3×360°)＝sin100°＝cos10°＝cos(－10°)，∴α＝－10°＋k·360°(k∈Z)，cos(3α＋60°)＝cos(－30°＋3k·360°＋60°)＝cos30°＝32.故选D.例5(1)(2023·南京二模)利用诱导公式可以将任意角的三角函数值转化为0°～90°之间角的三角函数值，而这个范围内的三角函数值又可以通过查三角函数表得到．如表为部分锐角的正弦值，则tan1600°的值为(小数点后保留两位有效数字)()α10°20°30°40°sinα0.17360.34200.50000.6428α50°60°70°80°sinα0.76600.86600.93970.9848A.－0.42B．－0.36C．0.36D．0.42答案B解析tan1600°＝tan(4×360°＋160°)＝tan160°＝－tan20°＝－sin20°cos20°＝－sin20°sin70°＝－0.34200.9397≈－0.36.故选B.(2)(2023·聊城模拟)已知角α为锐角，且2tan(π－α)－5＝0，tan(π＋α)＋6sin(π＋β)－1＝0，则sinα＝()A.355B.377C.31010D.13答案C解析β－2tan α＋5＝0，α－6sin β－1＝0，消去sin β，得tan α＝3，所以sin α＝3cos α，代入sin 2α＋cos 2α＝1，化简得sin 2α＝910，因为α为锐角，所以sin α＝31010.(1)利用同角三角函数的基本关系式和诱导公式求值或化简时，关键是寻求条件、结论间的联系，灵活使用公式进行变形．(2)注意角的范围对三角函数符号的影响．1.(2023·吉安模拟)已知＝－35，且α是第四象限角，则cos(－3π＋α)的值为()A.45B ．－45C ．±45 D.35答案B解析∵＝－35，∴sin α＝－35.∵α是第四象限角，∴cos(－3π＋α)＝－cos α＝－1－sin 2α＝－45.故选B.2．(2023·黄山模拟)已知＝1cos x ，则sin x ＝()A.3－12B.5－12C.1－52D.－1±52答案B解析由1cos x ，可得cos x sin x ＝1cos x，即cos 2x －sin x ＝0，即sin 2x ＋sin x －1＝0，解得sin x故选B.课时作业一、单项选择题1．(2024·衡阳月考)若角α的终边在第三象限，则cos α1－sin 2α＋2sin α1－cos 2α的值为()A ．3B ．－3C ．1D ．－1答案B解析因为角α的终边在第三象限，所以sin α<0，cos α<0，所以原式＝cos α－cos α＋2sin α－sin α＝－3.2．设sin25°＝a ，则sin65°cos115°tan205°＝()A.a 21－a 2B ．－a 21－a 2C ．－a 2D ．a 2答案C解析因为sin65°＝cos25°，cos115°＝cos(90°＋25°)＝－sin25°，tan205°＝tan(180°＋25°)＝tan25°＝sin25°cos25°，所以sin65°cos115°tan205°＝－sin 225°＝－a 2.3．(2023·湖北四校联考)已知角α是第二象限角，且满足3cos(α－π)＝1，则tan(π＋α)＝()A.3B ．－3C ．－33D ．－1答案B解析由3cos(α－π)＝1，得cos α－3cos α＝1，∴cos α＝－12，∵角α是第二象限角，∴sin α＝32，∴tan(π＋α)＝tan α＝sin αcos α＝－3.4．(2024·泰安质检)已知＝13，则cos ()A.13B.223C ．－13D ．－223答案A解析－π12＋＝13.5．已知函数f (x )＝a sin(πx ＋α)＋b cos(πx ＋β)，且f (3)＝3，则f (2024)的值为()A ．－1B ．1C ．3D ．－3答案D解析∵函数f (x )＝a sin(πx ＋α)＋b cos(πx ＋β)，∴f (3)＝a sin(3π＋α)＋b cos(3π＋β)＝－(a sin α＋b cos β)＝3，∴a sin α＋b cos β＝－3.∴f (2024)＝a sin(2024π＋α)＋b cos(2024π＋β)＝a sin α＋b cos β＝－3.故选D.6．(2023·辽宁校考一模)已知角αsin4π5，α的最小正值为()A.π5B.3π10C.4π5D.17π10答案D解析因为4π5＝π2－所以sin 4π5＝sin π2－而cos4π5＝cos π2－＝sin，所以角α终边上的点的坐标可写为α＝－3π10＋2k π，k ∈Z ，因此α的最小正值为－3π10＋2π＝17π10.故选D.7．(2023·益阳模拟)若sin α＋cos αsin α－cos α＝12，则sin 2α－sin αcos α－3cos 2α＝()A.110B.310C.910D ．－32答案C 解析由sin α＋cos αsin α－cos α＝12，得tan α＋1tan α－1＝12tan α＝－3，∴sin 2α－sin αcos α－3cos 2α＝sin 2α－sin αcos α－3cos 2αsin 2α＋cos 2α＝tan 2α－tan α－3tan 2α＋1＝910.故选C.8．(2024·青岛模拟)田忌赛马是中国古代对策论与运筹思想运用的著名范例．故事中齐将田忌与齐王赛马，孙膑献策以下马对齐王上马，以上马对齐王中马，以中马对齐王下马，结果田忌一负两胜，从而获胜．在比大小游戏中(大者为胜)，已知我方的三个数为a ＝cos θ，b ＝sin θ＋cos θ，c ＝cos θ－sin θ，对方的三个数以及排序如表：第一局第二局第三局2tan θsin θ若0<θ<π4，则我方必胜的排序是()A ．a ，b ，cB ．b ，c ，aC ．c ，a ，bD ．c ，b ，a答案D解析因为当0<θ<π4时，sin θ>0，cos θ>0，tan θ>0，sin θ－tan θ＝sinθ（cosθ－1）cosθ<0，所以sinθ<tanθ<2，cosθ－sinθ<cosθ<sinθ＋cosθ，即c<a<b.又b2＝(sinθ＋cosθ)2＝1＋2sinθcosθ>1，所以b＝sinθ＋cosθ>1>tanθ，a＝cosθ>sinθ，c＝cosθ－sinθ<2，故类比“田忌赛马”，我方必胜的排序是c，b，a.故选D.二、多项选择题9．在△ABC中，下列结论正确的是()A．sin(A＋B)＝sin C B．sin B＋C2＝cos A2C．tan(A＋B)＝－tanD．cos(A＋B)＝cos C答案ABC解析在△ABC中，有A＋B＋C＝π，则sin(A＋B)＝sin(π－C)＝sin C；sin B＋C2＝cos A2；tan(A＋B)＝tan(π－C)＝－tancos(A＋B)＝cos(π－C)＝－cos C.10．(2024·淄博调研)已知θ∈(0，π)，sinθ＋cosθ＝15，则下列结论正确的是()A．θB．cosθ＝－35C．tanθ＝－34D．sinθ－cosθ＝75答案ABD解析因为sinθ＋cosθ＝15，所以1＋2sinθcosθ＝125，所以2sinθcosθ＝－2425<0，又θ∈(0，π)，所以θA正确；进而可得sinθ>cosθ，因为(sinθ－cosθ)2＝1－2sinθcosθ＝4925，所以sinθ－cosθ＝75，D正确；θ＋cosθ＝15，θ－cosθ＝75，解得sinθ＝45，cos θ＝－35，进而得tan θ＝－43，故B 正确，C 错误．故选ABD.11．(2023·宜昌高三模拟)定义：角θ与φ都是任意角，若满足θ＋φ＝π2，则称θ与φ“广义互余”．已知sin(π＋α)＝－14，下列角β中，可能与角α“广义互余”的是()A ．sin β＝154B ．cos(π＋β)＝14C ．tan β＝15D ．tan β＝155答案AC解析∵sin(π＋α)＝－sin α＝－14，∴sin α＝14，若α＋β＝π2，则β＝π2－α.sin β＝cos α＝±154，故A 符合条件；cos(π＋β)＝－sin α＝－14，故B 不符合条件；tan β＝15，即sin β＝15cos β，又sin 2β＋cos 2β＝1，∴sin β＝±154，故C 符合条件；tan β＝155，即sin β＝155cos β，又sin 2β＋cos 2β＝1，∴sin β＝±64，故D 不符合条件．故选AC.三、填空题12．(2023·西安调研)sin(－570°)＋cos(－2640°)＋tan1665°＝________．答案1解析原式＝sin(－570°＋720°)＋cos(－2640°＋2880°)＋tan(1665°－1620°)＝sin150°＋cos240°＋tan45°＝sin30°－cos60°＋1＝12－12＋1＝1.13．已知角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边过点P (sin138°，cos138°)，则tan(α＋18°)＝________．答案－33解析因为cos138°<0，sin138°>0，所以点P 在第四象限，即α为第四象限角，由三角函数定义得tanα＝cos138°sin138°＝cos（90°＋48°）sin（90°＋48°）＝－sin48°cos48°＝sin（－48°）cos（－48°）＝tan(－48°)，所以α＝－48°＋k·360°，k∈Z，所以tan(α＋18°)＝tan(－48°＋k·360°＋18°)＝tan(－30°)＝－33.14．(2023·浙江名校协作体检测)已知π2－－7π2＋＝1225，且0<α<π4，则sinα＝________，cosα＝________．答案354 5解析－π2－－7π2＋cosα(－sinα)＝sinαcosα＝1225.∵0<α<π4，∴0<sinα<cosα.αcosα＝1225，2α＋cos2α＝1，得sinα＝35，cosα＝45.四、解答题15．已知tanαtanα－1＝－1，求下列各式的值．(1)sinα－3cosαsinα＋cosα；(2)sin2α＋sinαcosα＋2.解由已知得tanα＝12.(1)sinα－3cosαsinα＋cosα＝tanα－3tanα＋1＝－53.(2)sin2α＋sinαcosα＋2＝sin2α＋sinαcosαsin2α＋cos2α＋2＝tan2α＋tanαtan2α＋1＋2＋12＋1＋2＝13 5 .16．(2023·郴州质检)已知－π2<α<0，且函数f (α)＝sin α·1＋cos α1－cos α－1.(1)化简f (α)；(2)若f (α)＝15，求sin αcos α和sin α－cos α的值．解(1)∵－π2<α<0，∴sin α<0，∴f (α)＝sin α－sin α·（1＋cos α）21－cos 2α－1＝sin α＋sin α·1＋cos αsin α－1＝sin α＋cos α.(2)解法一：由f (α)＝sin α＋cos α＝15，平方可得sin 2α＋2sin αcos α＋cos 2α＝125，即2sin αcos α＝－2425，∴sin αcos α＝－1225.又－π2<α<0，∴sin α<0，cos α>0，∴sin α－cos α<0.∵(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝4925，∴sin α－cos α＝－75.α＋cos α＝15，2α＋cos 2α＝1，α＝－35，α＝45α＝45，α＝－35.∵－π2<α<0，α＝－35，α＝45，∴sin αcos α＝－1225，sin α－cos α＝－75.17．是否存在α－π2，β∈(0，π)，使等式sin(3π－α)＝2cos 3cos(－α)＝－2cos(π＋β)同时成立？若存在，求出α，β的值；若不存在，说明理由．解存在．由sin(3π－α)＝2cos sin α＝2sin β，①由3cos(－α)＝－2cos(π＋β)得3cos α＝2cos β，②∴sin 2α＋3cos 2α＝2(sin 2β＋cos 2β)＝2，∴1＋2cos 2α＝2，∴cos 2α＝12，又α－π2，∴cos α＝22，从而α＝π4或－π4，当α＝π4时，由①知sin β＝12，由②知cos β＝32，又β∈(0，π)，∴β＝π6，当α＝－π4时，由①知sin β＝－12，与β∈(0，π)矛盾，舍去．∴存在α＝π4，β＝π6，符合题意．。

艺术生高考数学专题讲义考点16同角三角函数的关系式及诱导公式同角三角函数是指在同一个角度下应用不同的三角函数。

因为三角函数的值与角度的大小有关，所以在同一个角度下，不同的三角函数值也会有一定的关系。

首先，我们来介绍同一个角度下的正弦函数、余弦函数和正切函数之间的关系式。

在单位圆上，考虑角度θ的位置，点P(x, y)的坐标为(cosθ,sinθ)，其中x为P点在单位圆上的横坐标，即cosθ；y为P点在单位圆上的纵坐标，即sinθ。

由此可得：sinθ = ycosθ = xtanθ = y / x从上面的关系中可以直接得到第一个关系式：sin²θ + cos²θ = 1推导：由于x² + y² = 1，将x替换为cosθ，y替换为sinθ，得到cos²θ + sin²θ = 1接下来，我们知道正弦函数和余弦函数之间有一个重要的关系，即余弦函数可以表示为正弦函数的导数，其关系如下：cosθ = sin(π/2 - θ)这是因为从单位圆的定义可以看出，对于任意角度θ，点P(x, y)在单位圆上的对称点为P(-x, y)，即P点关于y轴的对称点。

那么点(-x, y)的坐标为(cos(π - θ), sin(π - θ))。

由于(cosθ, sinθ)与(cos(π - θ), sin(π - θ))坐标相同，所以cosθ = cos(π - θ)，即cosθ = sin(π - θ)。

同理，可以推导出正弦函数可以表示为余弦函数的导数：sinθ = cos(π/2 - θ)除此之外，还有一些其他的关系式，通过上述的关系式可以得到如下诱导公式：tanθ = sinθ / cosθ = (1 / cosθ) / (1 / sinθ) = (cscθ)/ (secθ)cotθ = cosθ/ sinθ = (1 / sinθ) / (1 / cosθ) = (secθ)/ (cscθ)其中，cscθ = 1 / sinθ为余割函数，secθ = 1 / cosθ为正割函数。

2019高考数学复习重要知识点：同角三角函数的基本关系式和诱导公式三角函数是以角度为自变量，角度对应任意角终边与单位圆交点坐标或其比值为因变量的函数，下面是2019高考数学复习重要知识点：同角三角函数的基本关系式和诱导公式，希望对考生有帮助。

常用的诱导公式有以下几组：公式一：设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：sin(2kπ+α)=sinα (k∈Z)cos(2kπ+α)=cosα (k∈Z)tan(2kπ+α)=tanα (k∈Z)cot(2kπ+α)=cotα (k∈Z)公式二：设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：sin(π+α)=-sinαcos(π+α)=-cosαtan(π+α)=tanαcot(π+α)=cotα公式三：任意角α与-α的三角函数值之间的关系：sin(-α)=-sinαcos(-α)=cosαtan(-α)=-tanαcot(-α)=-cotα公式四：利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系：sin(π-α)=sinαcos(π-α)=-cosαtan(π-α)=-tanαcot(π-α)=-cotα公式五：利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系：sin(2π-α)=-sinαcos(2π-α)=cosαtan(2π-α)=-tanαcot(2π-α)=-cotα公式六：π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系：sin(π/2+α)=cosαcos(π/2+α)=-sinαtan(π/2+α)=-cotαcot(π/2+α)=-tanαsin(π/2-α)=cosαcos(π/2-α)=sinαtan(π/2-α)=cotαcot(π/2-α)=tanαsin(3π/2+α)=-cosαcos(3π/2+α)=sinαtan(3π/2+α)=-cotαcot(3π/2+α)=-tanαsin(3π/2-α)=-cosαcos(3π/2-α)=-sinαtan(3π/2-α)=cotαcot(3π/2-α)=tanα(以上k∈Z)注意：在做题时，将a看成锐角来做会比较好做。

第十六部分同角三角函数的基本关系及诱导公式一、基本知识点1．同角三角函数的基本关系(1)平方关系：________________________.(2)商数关系：______________.2．下列各角的终边与角α的终边的关系角2kπ＋α(k∈Z)π＋α－α图示与角α终边的关系角π－απ2－απ2＋α图示与角α终边的关系3.六组诱导公式组数一二三四五六角2kπ＋α(k∈Z)π＋α－απ－απ2－απ2＋α正弦余弦正切口诀函数名不变符号看象限函数名改变符号看象限二、内容扩充1．同角三角函数的基本关系(1)同角三角函数的关系是由三角函数的定义决定的．例如：∵sin α＝y r ，cos α＝xr，∴sin 2α＋cos 2α＝x 2＋y2r 2＝1.(2)利用平方关系解决问题时，要注意开方运算结果的符号，需要根据角α的范围进行确定． (3)同角三角函数的基本关系反映了同一个角的不同三角函数之间的必然联系，它为三角函数的化简、求值、证明等又提供了一种重要的方法．2．三角函数诱导公式f ⎝⎛⎭⎫k 2π＋α (k ∈Z )的本质 三角函数诱导公式f ⎝⎛⎭⎫k2π＋α (k ∈Z )的本质是：奇变偶不变，符号看象限． 对诱导公式口诀“奇变偶不变，符号看象限”含义的理解：即诱导公式的左边为π2·k ＋α (k ∈Z )的正弦或余弦函数，当k 为奇数时，右边的函数名称正余互变；当k 为偶数时，右边的函数名称不改变，这就是“奇变偶不变”的含义，再就是将α“看成”锐角(可能并不是锐角，也可能是大于锐角也可能小于锐角还有可能是任意角)，然后分析π2·k ＋α (k ∈Z )为第几象限角，再判断公式左边这个三角函数(原函数)在此象限是正还是负，也就是公式右边的符号． 诱导公式的应用是：求任意角的三角函数值，其一般步骤：①负角变正角，再写成2k π＋α，0≤α<2π；②转化为锐角． 三、小练习1.若sin θ＝－45，tan θ>0，则cos θ＝________.2.若tan α＝2，则2sin α－cos αsin α＋2cos α的值为________．3．tan(－1 560°)＝________.4．已知α是第二象限的角，tan α＝－12，则cos α＝________.5．sin 43π·cos 56π·tan ⎝⎛⎭⎫－43π的值是 ( )A ．－334 B.334 C ．－34 D.34四、题型分析题型一 同角三角函数的基本关系式的应用 例1已知α是三角形的内角，且sin α＋cos α＝15.(1)求tan α的值；(2)把1cos 2α－sin 2α用tan α表示出来，并求其值．探究提高 (1)对于sin α＋cos α，sin αcos α，sin α－cos α这三个式子，已知其中一个式子的值，其余二式的值可求．转化的公式为(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α；(2)关于sin α，cos α的齐次式，往往化为关于tan α的式子．练习 (1)已知tan α＝2，求sin 2α＋sin αcos α－2cos 2α； (2)已知sin α＝2sin β，tan α＝3tan β，求cos α. 题型二 三角函数的诱导公式的应用例2(1)已知cos ⎝⎛⎭⎫π6＋α＝33，求cos ⎝⎛⎭⎫5π6－α的值； (2)已知π<α<2π，cos(α－7π)＝－35，求sin(3π＋α)·tan ⎝⎛⎭⎫α－72π的值． 探究提高 熟练运用诱导公式和基本关系式，并确定相应三角函数值的符号是解题成败的关键．另外，切化弦是常用的规律技巧．练习 (1)化简：tan (π＋α)cos (2π＋α)sin ⎝⎛⎭⎫α－3π2cos (－α－3π)sin (－3π－α)；(2)已知f (x )＝sin (π－x )cos (2π－x )tan (－x ＋π)cos ⎝⎛⎭⎫－π2＋x ，求f ⎝⎛⎭⎫－31π3的值． 题型三 三角函数式的化简与证明例3求证：sin θ(1＋tan θ)＋cos θ⎝⎛⎭⎫1＋1tan θ＝1sin θ＋1cos θ.探究提高 证明三角恒等式离不开三角函数的变换．在变换过程中，把正切函数化成正弦或余弦函数，减少函数种类，往往有利于发现等式两边的关系或使式子简化．要细心观察等式两边的差异，灵活运用学过的知识，使证明简便． 练习 证明下列恒等式：(1)1＋2sin (360°＋x )cos (360°＋x )cos 2(360°＋x )－sin 2(360°＋x )＝1＋tan x 1－tan x ； (2)tan (2π－α)sin (－2π－α)cos (6π－α)cos (α－π)sin (5π－α)＝－tan α.练习(1)化简：sin ⎝⎛⎭⎫4n －14π－α＋cos ⎝⎛⎭⎫4n ＋14π－α (n ∈Z )；(2)化简：sin (n π－α)cos[(n －1)π－α]sin[(n ＋1)π＋α]cos (n π＋α) (n ∈Z )．解 (1)当n 为偶数时，设n ＝2k (k ∈Z )，则原式＝sin ⎝⎛⎭⎫8k －14π－α＋cos ⎝⎛⎭⎫8k ＋14π－α＝sin ⎣⎡⎦⎤2k π＋⎝⎛⎭⎫－π4－α＋cos ⎣⎡⎦⎤2k π＋⎝⎛⎭⎫π4－α ＝sin ⎝⎛⎭⎫－π4－α＋cos ⎝⎛⎭⎫π4－α ＝－sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α＋cos ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫π4＋α ＝－sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α＋sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝0. [3分]当n 为奇数时，设n ＝2k ＋1 (k ∈Z )时， 原式＝sin ⎝⎛⎭⎫8k ＋34π－α＋cos ⎝⎛⎭⎫8k ＋54π－α＝sin ⎣⎡⎦⎤2k π＋⎝⎛⎭⎫3π4－α＋cos ⎣⎡⎦⎤2k π＋⎝⎛⎭⎫5π4－α ＝sin ⎝⎛⎭⎫3π4－α＋cos ⎝⎛⎭⎫5π4－α ＝sin ⎣⎡⎦⎤π－⎝⎛⎭⎫π4＋α＋cos ⎣⎡⎦⎤π＋⎝⎛⎭⎫π4－α＝sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α－cos ⎝⎛⎭⎫π4－α ＝sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α－cos ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫π4＋α ＝sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α－sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝0. [5分] 故sin ⎝⎛⎭⎫4n －14π－α＋cos ⎝⎛⎭⎫4n ＋14π－α＝0.[6分](2)当n ＝2k (k ∈Z )时，原式＝sin (2k π－α)cos[(2k －1)π－α]sin[(2k ＋1)π＋α]cos (2k π＋α)＝sin (－α)·cos (－π－α)sin (π＋α)·cos α＝－sin α(－cos α)－sin α·cos α＝－1；[9分]当n ＝2k ＋1 (k ∈Z )时， 原式＝sin[(2k ＋1)π－α]·cos[(2k ＋1－1)π－α]sin[(2k ＋1＋1)π＋α]·cos[(2k ＋1)π＋α]＝sin (π－α)·cos αsin α·cos (π＋α)＝sin α·cos αsin α(－cos α)＝－1. [11分]综上，原式＝－1.[12分]批阅笔记 (1)本题的化简过程，突出体现了分类讨论的思想，当然除了运用了分类讨论的思想将n 分两类情况来讨论外，在解答过程中还处处体现了化归思想和整体思想． (2)在转化过程中，考生缺乏整体意识，是出错的主要原因. 方法与技巧同角三角恒等变形是三角恒等变形的基础，主要是变名、变式．1．同角关系及诱导公式要注意象限角对三角函数符号的影响，尤其是利用平方关系在求三角函数值时，进行开方时要根据角的象限或范围，判断符号后，正确取舍．2．三角求值、化简是三角函数的基础，在求值与化简时，常用的方法有：(1)弦切互化法：主要利用公式tan x ＝sin xcos x 化成正弦、余弦函数；(2)和积转换法：如利用(sin θ±cos θ)2＝1±2sin θcos θ的关系进行变形、转化；(3)巧用“1”的变换：1＝sin 2θ＋cos 2θ＝cos 2θ(1＋tan 2θ)＝sin 2θ⎝⎛⎭⎫1＋1tan 2θ ＝tan π4＝….3．证明三角恒等式的主要思路有：(1)左右互推法：由较繁的一边向简单一边化简；(2)左右归一法：使两端化异为同，把左右式都化为第三个式子；(3)转化化归法：先将要证明的结论恒等变形，再证明．4．利用诱导公式进行化简求值时，先利用公式化任意角的三角函数为锐角三角函数，其步骤：去负—脱周—化锐． 特别注意函数名称和符号的确定．5．在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号． 6．注意求值与化简后的结果一般要尽可能有理化、整式化．限时训练A 组(时间：60分钟)一、选择题1．cos(－2 013π)的值为( )A.12 B ．－1 C ．－32D ．02．当0<x <π4时，函数f (x )＝cos 2xcos x sin x －sin 2x的最小值是( )A.14B.12 C ．2 D ．4 二、填空题3．已知cos ⎝⎛⎭⎫π6－α＝23，则sin ⎝⎛⎭⎫α－2π3＝________. 4．已知sin ⎝⎛⎭⎫α＋π12＝13，则cos ⎝⎛⎭⎫α＋7π12的值为________． 5.sin ⎝⎛⎭⎫α＋3π2·tan (α＋π)sin (π－α)＝________.6．已知cos α＝－513，且α是第二象限的角，则tan(2π－α)＝________.三、解答题7．已知sin(3π＋θ)＝13，求cos (π＋θ)cos θ[cos (π－θ)－1]＋cos (θ－2π)sin ⎝⎛⎭⎫θ－3π2cos (θ－π)－sin ⎝⎛⎭⎫3π2＋θ的值．限时训练B 组一、选择题1．若sin ⎝⎛⎭⎫π6－α＝13，则cos ⎝⎛⎭⎫2π3＋2α等于 ( )A ．－79B ．－13 C.13D.79 2．已知1＋sin αcos α＝－12，则cos αsin α－1的值是( )A.12 B ．－12 C ．2 D ．－2 3．若cos α＋2sin α＝－5，则tan α等于( )A.12B ．2C ．－12D ．－2二、填空题4．已知sin α·cos α＝18，且π4<α<π2，则cos α－sin α的值是________．5．设α∈⎝⎛⎭⎫0，π4，sin α＋cos α＝75，则tan α＝______________________________________. 6．已知cos ⎝⎛⎭⎫π6－θ＝a (|a |≤1)，则cos ⎝⎛⎭⎫5π6＋θ＋sin ⎝⎛⎭⎫2π3－θ的值是________． 三、解答题7．已知α是第三象限角，且f (α)＝tan (π－α)cos (2π－α)sin ⎝⎛⎭⎫－α＋3π2cos (－α－π)tan (－π－α).(1)化简f (α)；(2)若cos ⎝⎛⎭⎫α－3π2＝15，求f (α)的值； (3)若α＝－1 860°，求f (α)的值．答案要点梳理1．(1)sin 2α＋cos 2α＝1 (2)sin αcos α＝tan α2．相同 关于原点对称 关于x 轴对称 关于y 轴对称 关于直线y ＝x 对称 3．正弦：sin α －sin α －sin α sin α cos α cos α 余弦：cos α －cos α cos α －cos α sin α －sin α 正切：tan α tan α －tan α －tan α 基础自测1．－35 2.34 3. 34．－255 5.A题型分类·深度剖析例1 解 (1)∵sin α＋cos α＝15，∴(sin α＋cos α)2＝⎝⎛⎭⎫152，即1＋2sin αcos α＝125，∴2sin αcos α＝－2425，∴(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝1＋2425＝4925.∵sin αcos α＝－1225<0且0<α<π，∴sin α>0，cos α<0，∴sin α－cos α>0，∴sin α－cos α＝75，由⎩⎨⎧ sin α＋cos α＝15sin α－cos α＝75，得⎩⎨⎧sin α＝45cos α＝－35， ∴tan α＝－43.(2)1cos 2α－sin 2α＝sin 2α＋cos 2αcos 2α－sin 2α ＝sin 2α＋cos 2αcos 2αcos 2α－sin 2αcos 2α＝tan 2α＋11－tan 2α， ∵tan α＝－43，∴1cos 2α－sin 2α＝tan 2α＋11－tan 2α＝⎝⎛⎭⎫－432＋11－⎝⎛⎭⎫－432＝－257. 变式训练1 解 (1)sin 2α＋sin αcos α－2cos 2α＝sin 2α＋sin αcos α－2cos 2αsin 2α＋cos 2α＝tan 2α＋tan α－2tan 2α＋1＝45.(2)∵sin α＝2sin β，tan α＝3tan β， ∴sin 2α＝4sin 2β， ① tan 2α＝9tan 2β，② 由①÷②得：9cos 2α＝4cos 2β，③①＋③得：sin 2α＋9cos 2α＝4，∵cos 2α＋sin 2α＝1，∴cos 2α＝38，即cos α＝±64.例2 解 (1)∵⎝⎛⎭⎫π6＋α＋⎝⎛⎭⎫5π6－α＝π， ∴5π6－α＝π－⎝⎛⎭⎫π6＋α. ∴cos ⎝⎛⎭⎫5π6－α＝cos ⎣⎡⎦⎤π－⎝⎛⎭⎫π6＋α ＝－cos ⎝⎛⎭⎫π6＋α＝－33， 即cos ⎝⎛⎭⎫5π6－α＝－33. (2)∵cos(α－7π)＝cos(7π－α)＝cos(π－α)＝－cos α＝－35，∴cos α＝35.∴sin(3π＋α)·tan ⎝⎛⎭⎫α－72π ＝sin(π＋α)·⎣⎡⎦⎤－tan ⎝⎛⎭⎫72π－α ＝sin α·tan ⎝⎛⎭⎫π2－α ＝sin α·sin ⎝⎛⎭⎫π2－αcos ⎝⎛⎭⎫π2－α＝sin α·cos αsin α＝cos α＝35.变式训练2 解 (1)原式＝tan αcos αsin ⎣⎡⎦⎤－2π＋⎝⎛⎭⎫α＋π2cos (3π＋α)[－sin (3π＋α)]＝tan αcos αsin ⎝⎛⎭⎫π2＋α(－cos α)sin α＝tan αcos αcos α(－cos α)sin α＝－tan αcos αsin α＝－sin αcos α·cos αsin α＝－1.(2)∵f (x )＝sin x ·cos x ·(－tan x )sin x＝－cos x ·tan x ＝－sin x ，∴f ⎝⎛⎭⎫－31π3＝－sin ⎝⎛⎭⎫－31π3＝sin 31π3＝sin ⎝⎛⎭⎫10π＋π3＝sin π3＝32. 例3 证明 左边＝sin θ⎝⎛⎭⎫1＋sin θcos θ＋cos θ⎝⎛⎭⎫1＋cos θsin θ ＝sin θ＋sin 2θcos θ＋cos θ＋cos 2θsin θ＝⎝⎛⎭⎫sin θ＋cos 2θsin θ＋⎝⎛⎭⎫cos θ＋sin 2θcos θ＝sin 2θ＋cos 2θsin θ＋cos 2θ＋sin 2θcos θ＝1sin θ＋1cos θ＝右边． 变式训练3 证明 (1)左边＝ cos 2x ＋sin 2x ＋2sin x cos xcos 2x －sin 2x＝(cos x ＋sin x )2(cos x ＋sin x )(cos x －sin x ) ＝cos x ＋sin x cos x －sin x ＝1＋tan x 1－tan x ＝右边． ∴原式得证．(2)左边＝－tan αsin (－α)cos (－α)cos (π－α)sin (π－α)＝－tan α(－sin α)cos α－cos αsin α＝－tan α＝右边．∴原式得证． 课时规范训练 A 组1．B 2．D3．－23 4.－135．－1 6.1257．解 ∵sin(3π＋θ)＝－sin θ＝13，∴sin θ＝－13，∴原式＝－cos θcos θ(－cos θ－1)＋cos (2π－θ)－sin ⎝⎛⎭⎫3π2－θcos (π－θ)＋cos θ＝11＋cos θ＋cos θ－cos 2θ＋cos θ＝11＋cos θ＋11－cos θ＝21－cos 2θ＝2sin 2θ＝2⎝⎛⎭⎫－132＝18. B 组1．A 2．A 3．B4．－32 5.346．07．解 (1)f (α)＝tan (π－α)cos (2π－α)sin ⎝⎛⎭⎫－α＋3π2cos (－α－π)tan (－π－α)＝－tan αcos α(－cos α)－cos α(－tan α)＝cos α.(2)∵cos ⎝⎛⎭⎫α－3π2＝15， ∴－sin α＝15，∴sin α＝－15，又α是第三象限角，∴cos α＝－265.∴f (α)＝cos α＝－265.(3)∵α＝－1 860°＝－360°×5－60°， ∴cos α＝cos(－1 860°)＝cos(－60°)＝cos 60°＝12.∴f (α)＝12.。

§4.2 同角三角函数基本关系式及诱导公式考试要求 1.理解同角三角函数的基本关系式sin 2α＋cos 2α＝1，sin αcos α＝tan α.2.掌握诱导公式，并会简单应用．知识梳理1．同角三角函数的基本关系 (1)平方关系：sin 2α＋cos 2α＝1.(2)商数关系：sin αcos α＝tan α⎝⎛⎭⎫α≠π2＋k π，k ∈Z . 2．三角函数的诱导公式公式 一 二 三 四 五 六 角 2k π＋α (k ∈Z ) π＋α －α π－α π2－α π2＋α 正弦 sin α －sin α －sin α sin α cos α cos α 余弦 cos α －cos α cos α －cos α sin α －sin α 正切 tan αtan α－tan α－tan α口诀奇变偶不变，符号看象限常用结论同角三角函数的基本关系式的常见变形 sin 2α＝1－cos 2α＝(1＋cos α)(1－cos α)； cos 2α＝1－sin 2α＝(1＋sin α)(1－sin α)； (sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α. 思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)若α，β为锐角，则sin 2α＋cos 2β＝1.( × ) (2)若α∈R ，则tan α＝sin αcos α恒成立．( × )(3)sin(π＋α)＝－sin α成立的条件是α为锐角．( × ) (4)若sin ⎝⎛⎭⎫3π2－α＝13，则cos α＝－13.( √ )教材改编题1．已知α是第二象限角，sin α＝55，则cos α的值为 ． 答案 －255解析 ∵sin α＝55，α是第二象限角， ∴cos α＝－1－sin 2α＝－255.2．已知sin α－2cos α3sin α＋5cos α＝－5，那么tan α的值为 ．答案 －2316解析 由sin α－2cos α3sin α＋5cos α＝－5，知cos α≠0，等式左边分子、分母同时除以cos α，可得tan α－23tan α＋5＝－5，解得tan α＝－2316.3．化简cos ⎝⎛⎭⎫α－π2sin ⎝⎛⎭⎫5π2＋α·sin(α－π)·cos(2π－α)的结果为 ． 答案 －sin 2α解析 原式＝sin αcos α·(－sin α)·cos α＝－sin 2α.题型一 同角三角函数基本关系例1 (1)已知cos α＝－513，则13sin α＋5tan α＝ .答案 0解析 ∵cos α＝－513<0且cos α≠－1，∴α是第二或第三象限角． ①若α是第二象限角，则sin α＝1－cos 2α＝1－⎝⎛⎭⎫－5132＝1213， ∴tan α＝sin αcos α＝1213－513＝－125.此时13sin α＋5tan α＝13×1213＋5×⎝⎛⎭⎫－125＝0. ②若α是第三象限角， 则sin α＝－1－cos 2α＝－1－⎝⎛⎭⎫－5132 ＝－1213，∴tan α＝sin αcos α＝－1213－513＝125，此时，13sin α＋5tan α＝13×⎝⎛⎭⎫－1213＋5×125＝0. 综上，13sin α＋5tan α＝0.(2)已知tan α＝12，则sin α－3cos αsin α＋cos α＝ ；sin 2α＋sin αcos α＋2＝ .答案 －53 135解析 已知tan α＝12，所以sin α－3cos αsin α＋cos α＝tan α－3tan α＋1＝－53.sin 2α＋sin αcos α＋2 ＝sin 2α＋sin αcos αsin 2α＋cos 2α＋2＝tan 2α＋tan αtan 2α＋1＋2＝⎝⎛⎭⎫122＋12⎝⎛⎭⎫122＋1＋2＝135.(3)已知sin θ＋cos θ＝713，θ∈(0，π)，则tan θ＝ .答案 －125解析 由sin θ＋cos θ＝713，得sin θcos θ＝－60169，因为θ∈(0，π)，所以sin θ>0，cos θ<0， 所以sin θ－cos θ＝1－2sin θcos θ＝1713， 联立⎩⎨⎧sin θ＋cos θ＝713，sin θ－cos θ＝1713，解得⎩⎨⎧sin θ＝1213，cos θ＝－513，所以tan θ＝－125.教师备选1．(2022·锦州联考)已知sin α＋3cos α3cos α－sin α＝5，则cos 2α＋12sin 2α等于( )A.35 B ．－35C ．－3D ．3答案 A解析 由sin α＋3cos α3cos α－sin α＝5，得tan α＋33－tan α＝5，可得tan α＝2，则cos 2α＋12sin 2α＝cos 2α＋sin αcos α＝cos 2α＋sin αcos αcos 2α＋sin 2α＝1＋tan α1＋tan 2α＝35. 2．若α∈(0，π)，sin(π－α)＋cos α＝23，则sin α－cos α的值为( ) A.23B ．－23 C.43 D ．－43答案 C解析 由诱导公式得sin(π－α)＋cos α＝sin α＋cos α＝23， 所以(sin α＋cos α)2＝1＋2sin αcos α＝29，则2sin αcos α＝－79<0，因为α∈(0，π)，所以sin α>0， 所以cos α<0，所以sin α－cos α>0， 因为(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝169，所以sin α－cos α＝43.思维升华 (1)应用公式时注意方程思想的应用：对于sin α＋cos α，sin αcos α，sin α－cos α这三个式子，利用(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α，可以知一求二．(2)注意公式逆用及变形应用：1＝sin 2α＋cos 2α，sin 2α＝1－cos 2α，cos 2α＝1－sin 2α. 跟踪训练1 (1)(2021·新高考全国Ⅰ)若tan θ＝－2，则sin θ(1＋sin 2θ)sin θ＋cos θ等于( )A ．－65B ．－25 C.25 D.65答案 C解析 方法一 因为tan θ＝－2， 所以角θ的终边在第二或第四象限，所以⎩⎨⎧sin θ＝25，cos θ＝－15或⎩⎨⎧sin θ＝－25，cos θ＝15，所以sin θ(1＋sin 2θ)sin θ＋cos θ＝sin θ(sin θ＋cos θ)2sin θ＋cos θ＝sin θ(sin θ＋cos θ) ＝sin 2θ＋sin θcos θ ＝45－25＝25.方法二 (弦化切法)因为tan θ＝－2， 所以sin θ(1＋sin 2θ)sin θ＋cos θ＝sin θ(sin θ＋cos θ)2sin θ＋cos θ＝sin θ(sin θ＋cos θ) ＝sin 2θ＋sin θcos θsin 2θ＋cos 2θ＝tan 2θ＋tan θ1＋tan 2θ＝4－21＋4＝25.(2)已知α是三角形的内角，且tan α＝－13，则sin α＋cos α的值为 ．答案 －105解析 由tan α＝－13，得sin α＝－13cos α，将其代入sin 2α＋cos 2α＝1，得109cos 2α＝1，所以cos 2α＝910，易知cos α<0，所以cos α＝－31010，sin α＝1010，故sin α＋cos α＝－105. 题型二 诱导公式例2 (1)已知sin ⎝⎛⎭⎫α－π4＝13，则cos ⎝⎛⎭⎫π4＋α的值为( ) A.223B ．－223C.13 D ．－13答案 D解析 cos ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝cos ⎣⎡⎦⎤π2＋⎝⎛⎭⎫α－π4 ＝－sin ⎝⎛⎭⎫α－π4＝－13.延伸探究 本例(1)改为已知θ是第二象限角，且sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝45，则tan ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝ . 答案 34解析 ∵θ是第二象限角，且sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝45， ∴θ＋π4为第二象限角，∴cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝－35， ∴tan ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝sin ⎝⎛⎭⎫θ－π4cos ⎝⎛⎭⎫θ－π4 ＝sin ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫θ＋π4－π2cos ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫θ＋π4－π2 ＝－cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π4sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝－⎝⎛⎭⎫－3545＝34. (2)tan (π－α)cos (2π－α)sin ⎝⎛⎭⎫－α＋3π2cos (－α－π)sin (－π－α)的值为( )A ．－2B ．－1C ．1D ．2 答案 B解析 原式＝－tan α·cos α·(－cos α)cos (π＋α)·[－sin (π＋α)]＝tan α·cos 2α－cos α·sin α ＝－sin αcos α·cos αsin α＝－1.教师备选1．已知函数f (x )＝a x －2＋2(a >0且a ≠1)的图象过定点P ，且角α的始边与x 轴的正半轴重合，终边过点P ，则cos ⎝⎛⎭⎫11π2－αsin ⎝⎛⎭⎫9π2＋α＋sin 2αcos ⎝⎛⎭⎫π2＋αsin (－π－α)等于( )A.23 B ．－23C.32 D ．－32答案 B解析 易知函数f (x )＝a x －2＋2(a >0且a ≠1)的图象过定点P (2,3)， 故tan α＝32，则cos ⎝⎛⎭⎫11π2－αsin ⎝⎛⎭⎫9π2＋α＋sin 2αcos ⎝⎛⎭⎫π2＋αsin (－π－α)＝cos ⎝⎛⎭⎫3π2－αsin ⎝⎛⎭⎫π2＋α＋sin 2αcos ⎝⎛⎭⎫π2＋αsin α＝－sin αcos α＋2sin αcos α－sin αsin α＝－cos αsin α＝－1tan α＝－23.2．若sin x ＝3sin ⎝⎛⎭⎫x －π2，则cos x ·cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π2等于( ) A.310 B ．－310C.34 D ．－34答案 A解析 易知sin x ＝3sin ⎝⎛⎭⎫x －π2＝－3cos x ， 所以tan x ＝－3， 所以cos x cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π2 ＝－sin x cos x ＝－sin x cos xsin 2x ＋cos 2xtan 2x ＋110思维升华 (1)诱导公式的两个应用①求值：负化正，大化小，化到锐角为终了； ②化简：统一角，统一名，同角名少为终了． (2)诱导公式的应用步骤任意负角的三角函数――――――→利用诱导公式三或一任意正角的三角函数――――――→利用诱导公式一0～2π内的角的三角函数――――――→利用诱导公式二或四或五或六锐角三角函数． 跟踪训练2 (1)已知cos(75°＋α)＝13，求cos(105°－α)＋sin(15°－α)＝ .答案 0解析 因为(105°－α)＋(75°＋α)＝180°， (15°－α)＋(α＋75°)＝90°，所以cos(105°－α)＝cos[180°－(75°＋α)] ＝－cos(75°＋α)＝－13，sin(15°－α)＝sin[90°－(α＋75°)] ＝cos(75°＋α)＝13.所以cos(105°－α)＋sin(15°－α)＝－13＋13＝0.(2)(2022·盐城南阳中学月考)设tan(5π＋α)＝2，则sin (－3π＋α)＋cos (α－π)cos ⎝⎛⎭⎫α－112π＋sin ⎝⎛⎭⎫9π2＋α＝ .答案 3解析 由已知tan(5π＋α)＝tan α＝2， sin (－3π＋α)＋cos (α－π)cos ⎝⎛⎭⎫α－112π＋sin ⎝⎛⎭⎫9π2＋α＝sin (π＋α)＋cos (π－α)cos ⎝⎛⎭⎫α＋π2＋sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α－sin α＋cos α＝sin α＋cos αsin α－cos α＝tan α＋1tan α－1＝3. 题型三 同角三角函数基本关系式和诱导公式的综合应用 例3 已知f (α)＝sin (α－3π)cos (2π－α)sin ⎝⎛⎭⎫－α＋3π2cos (－π－α)sin (－π－α).(1)化简f (α)；(2)若α＝－31π3，求f (α)的值；(3)若cos ⎝⎛⎭⎫－α－π2＝15，α∈⎣⎡⎦⎤π，3π2，求f (α)的值． 解 (1)f (α)＝sin (α－3π)cos (2π－α)sin ⎝⎛⎭⎫－α＋3π2cos (－π－α)sin (－π－α)＝－sin α×cos α×(－cos α)－cos α×sin α＝－cos α. (2)若α＝－31π3，则f (α)＝－cos ⎝⎛⎭⎫－31π3＝－cos π3＝－12. (3)由cos ⎝⎛⎭⎫－α－π2＝15， 可得sin α＝－15，因为α∈⎣⎡⎦⎤π，3π2， 所以cos α＝－265，所以f (α)＝－cos α＝265.教师备选设f (α)＝2sin (π＋α)cos (π－α)－cos (π＋α)1＋sin 2α＋cos ⎝⎛⎭⎫3π2＋α－sin 2⎝⎛⎭⎫π2＋α(1＋2sin α≠0)． (1)化简f (α)；(2)若α＝－23π6，求f (α)的值． 解 (1)f (α)＝(－2sin α)·(－cos α)－(－cos α)1＋sin 2α＋sin α－cos 2α＝2sin αcos α＋cos α2sin 2α＋sin α＝cos α(2sin α＋1)sin α(2sin α＋1)＝cos αsin α＝1tan α. (2)当α＝－23π6时， f (α)＝f ⎝⎛⎭⎫－23π6＝1tan ⎝⎛⎭⎫－23π6 ＝1tan ⎝⎛⎭⎫－4π＋π6 ＝1tan π6＝133＝ 3. 思维升华 (1)利用同角三角函数关系式和诱导公式求值或化简时，关键是寻求条件、结论间的联系，灵活使用公式进行变形．(2)注意角的范围对三角函数符号的影响．跟踪训练3 (1)(2022·聊城模拟)已知α为锐角，且2tan(π－α)－3cos ⎝⎛⎭⎫π2＋β＋5＝0，tan(π＋α)＋6sin(π＋β)－1＝0，则sin α的值是( )A.355B.377C.31010D.13答案 C解析 由已知得⎩⎪⎨⎪⎧3sin β－2tan α＋5＝0，tan α－6sin β－1＝0. 消去sin β，得tan α＝3，∴sin α＝3cos α，代入sin 2α＋cos 2α＝1，化简得sin 2α＝910，则sin α＝31010(α为锐角)． (2)已知－π<x <0，sin(π＋x )－cos x ＝－15，则sin 2x ＋2sin 2x 1－tan x＝ . 答案 －24175解析 由已知，得sin x ＋cos x ＝15， 两边平方得sin 2x ＋2sin x cos x ＋cos 2x ＝125， 整理得2sin x cos x ＝－2425. ∴(sin x －cos x )2＝1－2sin x cos x ＝4925， 由－π<x <0知，sin x <0，又sin x cos x ＝－1225<0， ∴cos x >0，∴sin x －cos x <0，故sin x －cos x ＝－75. ∴sin 2x ＋2sin 2x 1－tan x ＝2sin x (cos x ＋sin x )1－sin x cos x＝2sin x cos x (cos x ＋sin x )cos x －sin x＝－2425×1575＝－24175.课时精练1．cos ⎝⎛⎭⎫－19π3等于( ) A ．－32 B ．－12 C.12D.32 答案 C解析 cos ⎝⎛⎭⎫－19π3＝cos 19π3＝cos ⎝⎛⎭⎫6π＋π3＝cos π3＝12. 2．若cos 165°＝a ，则tan 195°等于( )A.1－a 2B.1－a 2aC ．－1－a 2aD ．－a 1－a 2 答案 C解析 若cos 165°＝a ，则cos 15°＝cos(180°－165°)＝－cos 165°＝－a ，sin 15°＝1－a 2，所以tan 195°＝tan(180°＋15°)＝tan 15°＝sin 15°cos 15°＝－1－a 2a. 3．若cos ⎝⎛⎭⎫α－π5＝513，则sin ⎝⎛⎭⎫7π10－α等于( ) A ．－513B ．－1213 C.1213 D.513答案 D解析 因为7π10－α＋⎝⎛⎭⎫α－π5＝π2，所以7π10－α＝π2－⎝⎛⎭⎫α－π5，所以sin ⎝⎛⎭⎫7π10－α＝cos ⎝⎛⎭⎫α－π5＝513.4．(2022·天津西青区模拟)已知sin α＋cos α＝－2，则tan α＋1tan α等于() A ．2 B.12 C ．－2 D ．－12答案 A解析 由已知得1＋2sin αcos α＝2，∴sin αcos α＝12，∴tan α＋1tan α＝sin αcos α＋cos αsin α＝sin 2α＋cos 2αsin αcos α＝112＝2.5．(多选)在△ABC 中，下列结论正确的是( )A ．sin(A ＋B )＝sin CB ．sin B ＋C 2＝cos A 2C ．tan(A ＋B )＝－tan C ⎝⎛⎭⎫C ≠π2D ．cos(A ＋B )＝cos C答案 ABC解析 在△ABC 中，有A ＋B ＋C ＝π，则sin(A ＋B )＝sin(π－C )＝sin C ，A 正确．sin B ＋C 2＝sin ⎝⎛⎭⎫π2－A 2＝cos A 2，B 正确．tan(A ＋B )＝tan(π－C )＝－tan C ⎝⎛⎭⎫C ≠π2，C 正确．cos(A ＋B )＝cos(π－C )＝－cos C ，D 错误．6．(多选)已知α∈(0，π)，且sin α＋cos α＝15，则( ) A.π2<α<π B ．sin αcos α＝－1225C ．cos α－sin α＝75D ．cos α－sin α＝－75答案 ABD解析 ∵sin α＋cos α＝15， 等式两边平方得(sin α＋cos α)2＝1＋2sin αcos α＝125， 解得sin αcos α＝－1225，故B 正确； ∵α∈(0，π)，sin αcos α＝－1225<0， ∴α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，故A 正确；cos α－sin α<0，且(cos α－sin α)2＝1－2sin αcos α＝1－2×⎝⎛⎭⎫－1225＝4925， 解得cos α－sin α＝－75，故D 正确． 7．cos 1°＋cos 2°＋cos 3°＋…＋cos 177°＋cos 178°＋cos 179°＝ .答案 0解析 因为cos(180°－α)＝－cos α，于是得cos 1°＋cos 2°＋cos 3°＋…＋cos 89°＋cos 90°＋cos 91°＋…＋cos 177°＋cos 178°＋cos 179° ＝cos 1°＋cos 2°＋cos 3°＋…＋cos 89°＋cos 90°－cos 89°－…－cos 3°－cos 2°－cos 1° ＝cos 90°＝0.8．设f (θ)＝2cos 2θ＋sin 2(2π－θ)＋sin ⎝⎛⎭⎫π2＋θ－32＋2cos 2(π＋θ)＋cos (－θ)，则f ⎝⎛⎭⎫17π3＝ . 答案 －512解析 ∵f (θ)＝2cos 2θ＋sin 2θ＋cos θ－32＋2cos 2θ＋cos θ＝cos 2θ＋cos θ－22cos 2θ＋cos θ＋2，又cos 17π3＝cos ⎝⎛⎭⎫6π－π3＝cos π3＝12，∴f ⎝⎛⎭⎫17π3＝14＋12－212＋12＋2＝－512.9．(1)已知cos α是方程3x 2－x －2＝0的根，且α是第三象限角，求sin ⎝⎛⎭⎫－α＋3π2cos ⎝⎛⎭⎫3π2＋αtan 2(π－α)cos ⎝⎛⎭⎫π2＋αsin ⎝⎛⎭⎫π2－α的值；(2)已知sin x ＋cos x ＝－713(0<x <π)，求cos x －2sin x 的值．解 (1)因为方程3x 2－x －2＝0的根为x 1＝1，x 2＝－23，又α是第三象限角，所以cos α＝－23，所以sin α＝－53，tan α＝52.所以原式＝－cos αsin αtan 2α－sin αcos α＝tan 2α＝54.(2)∵sin x ＋cos x ＝－713(0<x <π)，∴cos x <0，sin x >0，即sin x －cos x >0，把sin x ＋cos x ＝－713，两边平方得1＋2sin x cos x ＝49169， 即2sin x cos x ＝－120169， ∴(sin x －cos x )2＝1－2sin x cos x ＝289169， 即sin x －cos x ＝1713， 联立⎩⎨⎧ sin x ＋cos x ＝－713，sin x －cos x ＝1713，解得sin x ＝513，cos x ＝－1213， ∴cos x －2sin x ＝－2213. 10．(2022·衡水模拟)已知角α的终边经过点P (3m ，－6m )(m ≠0)．(1)求sin (α＋π)＋cos (α－π)sin ⎝⎛⎭⎫α＋π2＋2cos ⎝⎛⎭⎫α－π2的值； (2)若α是第二象限角，求sin 2⎝⎛⎭⎫α＋3π2＋sin(π－α)cos α－cos ⎝⎛⎭⎫π2＋α的值． 解 (1)∵m ≠0，∴cos α≠0，即sin (α＋π)＋cos (α－π)sin ⎝⎛⎭⎫α＋π2＋2cos ⎝⎛⎭⎫α－π2 ＝－sin α－cos αcos α＋2sin α＝－tan α－11＋2tan α. 又∵角α的终边经过点P (3m ，－6m )(m ≠0)，∴tan α＝－6m 3m＝－2， 故sin (α＋π)＋cos (α－π)sin ⎝⎛⎭⎫α＋π2＋2cos ⎝⎛⎭⎫α－π2＝－tan α－11＋2tan α ＝2－11＋2×(－2)＝－13. (2)∵α是第二象限角，∴m <0，则sin α＝－6m (3m )2＋(－6m )2 ＝－6m 35|m | ＝255， cos α＝3m(3m )2＋(－6m )2 ＝3m 35|m | ＝－55， ∴sin 2⎝⎛⎭⎫α＋3π2＋sin(π－α)cos α－cos ⎝⎛⎭⎫π2＋α ＝cos 2α＋sin αcos α＋sin α＝⎝⎛⎭⎫－552＋255×⎝⎛⎭⎫－55＋255＝－1＋255.11．(多选)已知角α满足sin α·cos α≠0，则表达式sin (α＋k π)sin α＋cos (α＋k π)cos α(k ∈Z )的取值可能为( )A ．－2B ．－1或1C ．2D ．－2或2或0答案 AC解析 当k 为奇数时，原式＝－sin αsin α＋－cos αcos α＝(－1)＋(－1)＝－2；当k 为偶数时，原式＝sin αsin α＋cos αcos α＝1＋1＝2. ∴原表达式的取值可能为－2或2.12．(2022·河北六校联考)若sin α是方程5x 2－7x －6＝0的根，则sin ⎝⎛⎭⎫－α－3π2sin ⎝⎛⎭⎫3π2－αtan 2(2π－α)cos ⎝⎛⎭⎫π2－αcos ⎝⎛⎭⎫π2＋αsin (π＋α)等于( )A.35B.53C.45D.54答案 B解析 方程5x 2－7x －6＝0的两根为x 1＝－35，x 2＝2，则sin α＝－35. 原式＝cos α(－cos α)tan 2αsin α(－sin α)(－sin α)＝－1sin α＝53. 13．曲线y ＝e x ＋x 2－23x 在x ＝0处的切线的倾斜角为α，则sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π2＝ . 答案 45解析 由题意得y ′＝f ′(x )＝e x ＋2x －23， 所以f ′(0)＝e 0－23＝13， 所以tan α＝13， 所以α∈⎝⎛⎭⎫0，π2， 所以cos α＝310， 所以sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π2 ＝cos 2α＝2cos 2α－1＝2×910－1＝45. 14．函数y ＝log a (x －3)＋2(a >0且a ≠1)的图象过定点Q ，且角α的终边也过点Q ，则3sin 2α＋2sin αcos α＝ .答案 75解析 由题意可知点Q (4,2)，所以tan α＝12， 所以3sin 2α＋2sin αcos α＝3sin 2α＋2sin αcos αsin 2α＋cos 2α ＝3tan 2α＋2tan α1＋tan 2α＝3×14＋2×121＋14＝75.15．(多选)已知f (α)＝2sin αcos α－2sin α＋cos α＋1⎝⎛⎭⎫0≤α≤π2，则下列说法正确的是() A ．f (α)的最小值为－ 2B ．f (α)的最小值为－1C ．f (α)的最大值为2－1D ．f (α)的最大值为1－ 2答案 BD解析 设t ＝sin α＋cos α＝2sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4，由0≤α≤π2，得π4≤α＋π4≤3π4，则1≤t ≤2，又由(sin α＋cos α)2＝t 2，得2sin αcos α＝t 2－1，所以f (α)＝g (t )＝t 2－1－2t ＋1＝t －1－2t ＋1，又因为函数y ＝t －1和y ＝－2t ＋1在[1，2]上单调递增，所以g (t )＝t －1－2t ＋1在[1，2]上单调递增， g (t )min ＝g (1)＝－1，g (t )max ＝g (2)＝1－ 2.16．已知关于x 的方程2x 2－(3＋1)x ＋m ＝0的两根分别是sin θ和cos θ，θ∈(0,2π)，求：(1)sin 2θsin θ－cos θ＋cos θ1－tan θ的值； (2)m 的值；(3)方程的两根及此时θ的值．解 (1)原式＝sin 2θsin θ－cos θ＋cos θ1－sin θcos θ＝sin 2θsin θ－cos θ＋cos 2θcos θ－sin θ＝sin 2θ－cos 2θsin θ－cos θ＝sin θ＋cos θ.由已知得sin θ＋cos θ＝3＋12， 所以sin 2θsin θ－cos θ＋cos θ1－tan θ＝3＋12. (2)由已知得sin θcos θ＝m 2， 因为1＋2sin θcos θ＝(sin θ＋cos θ)2，所以1＋m ＝⎝⎛⎭⎪⎫3＋122， 解得m ＝32. (3)联立⎩⎪⎨⎪⎧ sin θ＋cos θ＝3＋12，sin θcos θ＝34，解得⎩⎨⎧ sin θ＝32，cos θ＝12 或⎩⎨⎧ sin θ＝12，cos θ＝32.因为θ∈(0,2π)，所以θ＝π3或π6.。

同角三角函数的基本关系与诱导公式知识点同角三角函数的基本关系与诱导公式是解决三角函数之间的相互关系的重要工具。

它们包含了三角函数的定义、性质和相互之间的关联，通过这些关联可以简化三角函数的计算和推导，提供了解决三角函数问题的便捷方法。

在学习和应用三角函数时，掌握这些知识点非常重要。

基本关系：sinθ = 角对边 / 斜边cosθ = 邻边 / 斜边tanθ = 角对边 / 邻边这些定义描述了角度和三角函数之间的基本关系。

通过这些基本关系，可以推导出其他三角函数之间的关系。

诱导公式：诱导公式是通过基本关系推导得到的，它们描述了不同角度的三角函数之间的关系。

常用的诱导公式有：1.正弦的诱导公式：sin(π/2 - θ) = cosθsin(π/2 + θ) = cosθsin(π - θ) = sinθsin(2π - θ) = -sinθ2.余弦的诱导公式：cos(π/2 - θ) = sinθcos(π/2 + θ) = -sinθcos(π -θ) = -cosθcos(2π - θ) = cosθ3.正切的诱导公式：tan(π/2 - θ) = cotθtan(π/2 + θ) = -cotθtan(π - θ) = -tanθtan(2π - θ) = tanθ4.余切的诱导公式：cot(π/2 - θ) = tanθcot(π/2 + θ) = -tanθcot(π- θ) = -cotθcot(2π - θ) = cotθ通过这些诱导公式，可以将一个三角函数的值转化为与之相关的其他三角函数的值，从而简化计算和推导的过程。

这些基本关系和诱导公式在解决各种三角函数问题时是非常有用的。

通过掌握这些知识点，我们可以灵活运用三角函数的定义和性质，快速推导出需要的结果。

在解决具体问题时，可以利用诱导公式将所给角度转化为更简单的角度，从而获得更便捷的计算方法。

此外，这些基本关系和诱导公式还可以用于推导其他三角函数的性质和公式，扩展和深入了解三角函数的知识，为进一步研究和应用三角函数打下坚实基础。

第2讲 同角三角函数的基本关系与诱导公式 最新考纲考向预测1.理解同角三角函数的基本关系式sin 2x ＋cos 2x ＝1，sin xcos x ＝tan x .2.借助单位圆的对称性，利用定义推导出诱导公式⎝ ⎛⎭⎪⎫α±π2，α±π的正弦、余弦、正切. 命题趋势 考查利用同角三角函数的基本关系、诱导公式解决条件求值问题，常与三角恒等变换相结合起到化简三角函数关系的作用，强调利用三角公式进行恒等变形的技巧以及基本的运算能力.核心素养数学运算1．同角三角函数的基本关系 (1)平方关系：sin 2x ＋cos 2x ＝1．(2)商数关系：tan x ＝sin x cos x ⎝ ⎛⎭⎪⎫其中x ≠k π＋π2，k ∈Z .2．三角函数的诱导公式 组数 一 二 三 四 五 六 角 α＋2k π (k ∈Z ) π＋α －α π－α π2－α π2＋α 正弦 sin α －sin__α －sin__α sin__α cos__α cos__α 余弦 cos α －cos__α cos__α －cos__α sin__α －sin__α正切tan αtan__α－tan__α－tan__α常用结论1．诱导公式的记忆口诀“奇变偶不变，符号看象限”，其中的奇、偶是指π2的奇数倍和偶数倍，变与不变指函数名称的变化．2．同角三角函数的基本关系式的几种变形 (1)sin 2α＝1－cos 2α＝(1＋cos α)(1－cos α)；cos 2α＝1－sin 2α＝(1＋sin α)(1－sin α)； (sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α. (2)sin α＝tan αcos α⎝ ⎛⎭⎪⎫α≠π2＋k π，k ∈Z .(3)sin 2α＝sin 2αsin 2α＋cos 2α＝tan 2αtan 2α＋1；cos 2α＝cos 2αsin 2α＋cos 2α＝1tan 2α＋1.常见误区1．同角三角函数的基本关系式及诱导公式要注意角的范围对三角函数符号的影响，尤其是利用平方关系求三角函数值，进行开方时要根据角的范围，判断符号后，正确取舍．2．注意求值与化简后的结果一般要尽可能有理化、整式化．1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)对任意的角α，β，都有sin 2α＋cos 2β＝1.( ) (2)若α∈R ，则tan α＝sin αcos α恒成立．( )(3)sin(π＋α)＝－sin α成立的条件是α为锐角．( ) (4)若cos(n π－θ)＝13(n ∈Z )，则cos θ＝13.( ) 答案：(1)× (2)× (3)× (4)×2．(易错题)已知cos(π＋α)＝23，则tan α＝( ) A ．52 B ．255 C ．±52D ．±255解析：选C.因为cos(π＋α)＝23， 所以cos α＝－23，则α为第二或第三象限角，所以sin α＝±1－cos 2α＝±53.所以tan α＝sin αcos α＝±53－23＝±52. 3．已知sin αcos α＝12，则tan α＋1tan α＝( ) A ．2 B ．12 C ．－2D ．－12解析：选A.tan α＋1tan α＝sin αcos α＋cos αsin α＝sin 2α＋cos 2αsin αcos α＝112＝2.4．sin 2 490°＝________；cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52π3＝________．解析：sin 2 490°＝sin(7×360°－30°)＝－sin 30°＝－12.cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52π3＝cos 52π3＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫16π＋π＋π3＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π＋π3＝－cos π3＝－12. 答案：－12 －125．化简cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫52π＋α·cos(2π－α)的结果为________．解析：原式＝sin αcos α·cos α＝sin α. 答案：sin α同角三角函数的基本关系式 角度一 “知一求二”问题(2020·北京市适应性测试)已知α是第四象限角，且tan α＝－34，则sinα＝( )A ．－35 B.35 C.45 D ．－45 【解析】 因为tan α＝sin αcos α＝－34， 所以cos α＝－43sin α ①.sin 2α＋cos 2α＝1 ②，由①②得sin 2α＝925，又α是第四象限角，所以sin α<0，则sin α＝－35，故选A.【答案】 A利用同角三角函数的基本关系求解问题的关键是熟练掌握同角三角函数的基本关系的正用、逆用、变形．同角三角函数的基本关系本身是恒等式，也可以看作是方程，对于一些题，可利用已知条件，结合同角三角函数的基本关系列方程组，通过解方程组达到解决问题的目的．角度二 sin α，cos α的齐次式问题已知tan αtan α－1＝－1，求下列各式的值：(1)sin α－3cos αsin α＋cos α；(2)sin 2α＋sin αcos α＋2. 【解】 由已知得tan α＝12. (1)sin α－3cos αsin α＋cos α＝tan α－3tan α＋1＝－53.(2)sin 2α＋sin αcos α＋2＝sin 2α＋sin αcos αsin 2α＋cos 2α＋2＝tan 2α＋tan αtan 2α＋1＋2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋1＋2＝135.关于sin α与cos α的齐n 次分式或齐二次整式的化简求值的解题策略已知tan α，求关于sin α与cos α的齐n次分式或齐二次整式的值．角度三sin α±cos α，sin αcos α之间的关系已知α∈(－π，0)，sin α＋cos α＝1 5.(1)求sin α－cos α的值；(2)求sin 2α＋2sin2α1－tan α的值．【解】(1)由sin α＋cos α＝1 5，平方得sin2α＋2sin αcos α＋cos2α＝1 25，整理得2sin αcos α＝－24 25.所以(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝49 25.由α∈(－π，0)，知sin α<0，又sin α＋cos α>0，所以cos α>0，则sin α－cos α<0，故sin α－cos α＝－7 5.(2)sin 2α＋2sin2α1－tan α＝2sin α（cos α＋sin α）1－sin αcos α＝2sin αcos α（cos α＋sin α）cos α－sin α＝－2425×1575＝－24175.sin α±cos α与sin αcos α关系的应用技巧(1)通过平方，sin α＋cos α，sin α－cos α，sin αcos α之间可建立联系，若令sin α＋cos α＝t ，则sin αcos α＝t 2－12，sin α－cos α＝±2－t 2(注意根据α的范围选取正、负号)．(2)对于sin α＋cos α，sin α－cos α，sin αcos α这三个式子，可以知一求二．1．(2020·河南六市一模)已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝35，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π2，则tan α＝( )A ．43 B ．34 C ．－34D ．±34解析：选B.因为cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝35，所以sin α＝－35.又α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π2，所以cos α＝－1－sin 2α＝－45，所以tan α＝sin αcos α＝34.2．已知tan α＝－34，则sin α(sin α－cos α)＝( ) A.2125 B.2521 C.45D.54解析：选 A.sin α(sin α－cos α)＝sin 2α－sin αcos α＝sin 2α－sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝tan 2α－tan αtan 2α＋1，将tan α＝－34代入得原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－342－⎝ ⎛⎭⎪⎫－34⎝ ⎛⎭⎪⎫－342＋1＝2125.3．(一题多解)已知sin α－cos α＝2，α∈(0，π)，则tan α＝( ) A ．－1 B ．－22 C ．22D ．1解析：选A.方法一：由⎩⎨⎧sin α－cos α＝2，sin 2α＋cos 2α＝1，得2cos 2α＋22cos α＋1＝0，即(2cos α＋1)2＝0， 所以cos α＝－22.又α∈(0，π)，所以α＝3π4， 所以tan α＝tan 3π4＝－1.方法二：因为sin α－cos α＝2， 所以2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝2，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝1.因为α∈(0，π)，所以α＝3π4，所以tan α＝－1.法三：由sin α－cos α＝2得1－sin 2α＝2，所以sin 2α＝－1. 设sin α＋cos α＝t ，所以1＋sin 2α＝t 2，所以t ＝0.由⎩⎨⎧sin α－cos α＝2，sin α＋cos α＝0得sin α＝22，cos α＝－22， 所以tan α＝－1.诱导公式的应用(1)sin(－1 200°)cos 1 290°＝________．(2)已知角θ的顶点在坐标原点，始边与x 轴正半轴重合，终边在直线3x －y ＝0上，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋θ＋2cos （π－θ）sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θ－sin （π－θ）等于________．【解析】 (1)原式＝－sin 1 200°cos 1 290° ＝－sin(3×360°＋120°)cos(3×360°＋210°) ＝－sin 120°cos 210°＝－sin(180°－60°)cos(180°＋30°) ＝sin 60°cos 30°＝32×32＝34.(2)由题意可知tan θ＝3，原式＝－cos θ－2cos θcos θ－sin θ＝－31－tan θ＝32.【答案】 (1)34 (2)32【引申探究】 (变问法)若本例(2)的条件不变，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋θ－sin （－π－θ）cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫11π2－θ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫9π2＋θ＝________．解析：由题意可知tan θ＝3， 原式＝－sin θ＋sin （π＋θ）cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫6π－π2－θ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4π＋π2＋θ ＝－sin θ－sin θcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋θ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋θ＝－2sin θ－sin θ＋cos θ＝2tan θtan θ－1＝2×33－1＝3.答案：3(1)诱导公式用法的一般思路①化负为正，化大为小，化到锐角为止；②角中含有加减π2的整数倍时，用公式去掉π2的整数倍． (2)常见的互余和互补的角①常见的互余的角：π3－α与π6＋α；π3＋α与π6－α；π4＋α与π4－α等； ②常见的互补的角：π3＋θ与2π3－θ；π4＋θ与3π4－θ等．1．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3＝13，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6的值是( )A ．－13 B.13 C.223 D ．－223解析：选A.因为sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3＝13，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3＝－13.2．(多选)已知A ＝sin （k π＋α）sin α＋cos （k π＋α）cos α＋tan （k π＋α）tan α，则A 的值可以是( )A ．3B ．－3C ．1D ．－1解析：选AD.由已知可得，当k 为偶数时，A ＝sin （k π＋α）sin α＋cos （k π＋α）cos α＋tan （k π＋α）tan α＝sin αsin α＋cos αcos α＋tan αtan α＝3；当k 为奇数时，A ＝sin （k π＋α）sin α＋cos （k π＋α）cos α＋tan （k π＋α）tan α＝－sin αsin α＋－cos αcos α＋tan αtan α＝－1，所以A 的值可以是3或－1.故答案为AD.同角三角函数的基本关系式与诱导公式的综合应用(2020·湖北宜昌一中期末)已知α是第三象限角，且cos α＝－1010. (1)求tan α的值；(2)化简并求cos （π－α）2sin （－α）＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α的值．【解】 (1)因为α是第三象限角，cos α＝－1010， 所以sin α＝－1－cos 2α＝－31010，所以tan α＝sin αcos α＝3.(2)原式＝－cos α－2sin α＋cos α＝cos α2sin α－cos α＝12tan α－1，由(1)知tan α＝3，所以原式＝12×3－1＝15.求解诱导公式与同角关系综合问题的基本思路和化简要求基本 思路①分析结构特点，选择恰当公式； ②利用公式化成单角三角函数；③整理得最简形式化简 要求①化简过程是恒等变换；②结果要求项数尽可能少，次数尽可能低，结构尽可能简单，能求值的要求出值1．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π2＋α＝35，所以tan α的值为( )A ．－43B ．－34C ．±43D ．±34解析：选C.sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π2＋α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝cos α＝35，所以sin α＝±45，tan α＝sin αcos α＝±43.2．已知tan(π－α)＝－23，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π，－π2，则cos （－α）＋3sin （π＋α）cos （π－α）＋9sin α的值为( )A ．－15B ．－37 C.15 D.37解析：选 A.因为tan(π－α)＝－23，所以tan α＝23，所以cos （－α）＋3sin （π＋α）cos （π－α）＋9sin α＝cos α－3sin α－cos α＋9sin α＝1－3tan α－1＋9tan α＝1－2－1＋6＝－15，故选A.[A 级 基础练]1．(多选)已知x ∈R ，则下列等式恒成立的是( ) A ．sin(－x )＝sin x B ．sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－x ＝cos xC ．cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋x ＝－sin xD ．cos(x －π)＝－cos x解析：选CD.sin(－x )＝－sin x ，故A 不成立；sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－x ＝－cos x ，故B 不成立；cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋x ＝－sin x ，故C 成立；cos(x －π)＝－cos x ，故D 成立．2．(多选)若sin α＝45，且α为锐角，则下列选项中正确的有( )A ．tan α＝43 B ．cos α＝35 C ．sin α＋cos α＝85D ．sin α－cos α＝－15解析：选AB.因为sin α＝45，且α为锐角， 所以cos α＝1－sin 2α＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫452＝35，故B 正确， 所以tan α＝sin αcos α＝4535＝43，故A 正确，所以sin α＋cos α＝45＋35＝75≠85，故C 错误， 所以sin α－cos α＝45－35＝15≠－15，故D 错误．3．已知角α是第二象限角，且满足sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π2＋α＋3cos(α－π)＝1，则tan(π＋α)＝( )A ． 3B ．－ 3C ．－33D ．－1解析：选B.由sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π2＋α＋3cos(α－π)＝1，得cos α－3cos α＝1，所以cos α＝－12， 因为角α是第二象限角，所以sin α＝32， 所以tan(π＋α)＝tan α＝sin αcos α＝－ 3.4．已知f (α)＝sin （2π－α）cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＋αtan （π＋α），则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝( ) A ．12 B ．22 C ．32D ．－12解析：选A.f (α)＝sin （2π－α）cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＋αtan （π＋α）＝－sin α·（－sin α）sin α·tan α＝sin 2αsin α·sin αcos α＝cos α，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝cos π3＝12.5．已知角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边上一点A (2sin α，3)(sin α≠0)，则cos α＝( )A ．12B ．－12C ．32D ．－32解析：选A.由三角函数定义得tan α＝32sin α，即sin αcos α＝32sin α，得3cos α＝2sin 2α＝2(1－cos 2α)，解得cos α＝12或cos α＝－2(舍去)．故选A.6．计算：sin 11π6＋cos 10π3的值为________．解析：原式＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π－π6＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π＋π3＝－sin π6－cos π3＝－12－12＝－1.答案：－17．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2－αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－7π2＋α＝1225，且0＜α＜π4，则sin α＝________，cos α＝________．解析：sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2－αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－7π2＋α＝－cos α·(－sin α)＝sin αcos α＝1225.因为0＜α＜π4，所以0＜sin α＜cos α.又因为sin 2α＋cos 2α＝1，所以sin α＝35，cos α＝45.答案：35 45 8．化简1－2sin 40°cos 40°cos 40°－1－sin 250°＝________． 解析：原式＝sin 240°＋cos 240°－2sin 40°cos 40°cos 40°－cos 50°＝|sin 40°－cos 40°|sin 50°－sin 40°＝|sin 40°－sin 50°|sin 50°－sin 40°＝sin 50°－sin 40°sin 50°－sin 40°＝1.答案：19．已知sin(3π＋α)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋α，求下列各式的值：(1)sin α－4cos α5sin α＋2cos α；(2)sin 2α＋sin 2α.解：由已知得sin α＝2cos α. (1)原式＝2cos α－4cos α5×2cos α＋2cos α＝－16.(2)原式＝sin 2α＋2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝sin 2α＋sin 2αsin 2α＋14sin 2α＝85.10．已知角θ的终边与单位圆x 2＋y 2＝1在第四象限交于点P ，且点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，y .(1)求tan θ的值；(2)求cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θ＋cos （θ－2π）sin θ＋cos （π＋θ）的值．解：(1)由θ为第四象限角，终边与单位圆交于点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，y ，得⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋y 2＝1，y <0，解得y ＝－32，所以tan θ＝－3212＝－ 3.(2)因为tan θ＝－3， 所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θ＋cos （θ－2π）sin θ＋cos （π＋θ）＝sin θ＋cos θsin θ－cos θ＝tan θ＋1tan θ－1＝－3＋1－3－1＝2－ 3. [B 级 综合练]11．(多选)已知角θ的终边与坐标轴不重合，式子1－sin 2（π＋θ）化简的结果为－cos θ，则( )A ．sin θ>0，tan θ>0B ．sin θ<0，tan θ>0C ．sin θ<0，tan θ<0D ．sin θ>0，tan θ<0解析：选BD.1－sin 2（π＋θ）＝1－sin 2θ＝cos 2θ＝|cos θ|＝－cos θ，所以cos θ<0，角θ的终边落在第二或三象限，所以sin θ>0，tan θ<0或sin θ<0，tan θ>0，故选BD.12．(2020·陕西汉中月考)已知角α为第二象限角，则cos α·1＋sin α1－sin α＋sin 2α1＋1tan 2α＝( )A ．1B ．－1C ．0D ．2解析：选B.因为角α为第二象限角，所以sin α>0，cos α<0，所以cos α 1＋sin α1－sin α＝cos α（1＋sin α）2cos 2α＝cos α·1＋sin α|cos α|＝－1－sin α，sin 2α1＋1tan 2α＝sin 2α1＋cos 2αsin 2α＝sin 2αsin 2α＋cos 2αsin 2α＝sin 2α1sin 2α＝sin 2α⎪⎪⎪⎪⎪⎪1sin α＝sin α，所以cos α1＋sin α1－sin α＋sin 2α1＋1tan 2α＝－1－sin α＋sin α＝－1.故选B.13．是否存在α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，β∈()0，π使等式sin(3π－α)＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－β，3cos(－α)＝－2cos(π＋β)同时成立？若存在，求出α，β的值；若不存在，请说明理由．解：假设存在角α，β满足条件． 由已知条件可得⎩⎨⎧sin α＝2sin β，①3cos α＝2cos β，②由①2＋②2，得sin 2α＋3cos 2α＝2.所以sin 2α＝12，所以sin α＝±22.因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，所以α＝±π4. 当α＝π4时，由②式知cos β＝32， 又β∈(0，π)，所以β＝π6，此时①式成立； 当α＝－π4时，由②式知cos β＝32，又β∈(0，π)， 所以β＝π6，此时①式不成立，故舍去． 所以存在α＝π4，β＝π6满足条件． 14．在△ABC 中，(1)求证：cos 2A ＋B 2＋cos 2 C2＝1；(2)若cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋B tan(C －π)＜0，求证：△ABC 为钝角三角形．证明：(1)在△ABC 中，A ＋B ＝π－C ， 所以A ＋B 2＝π2－C2，所以cos A ＋B 2＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－C 2＝sin C 2，所以cos 2A ＋ B 2＋cos 2C2＝1.(2)若cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋B tan(C －π)＜0，所以(－sin A )(－cos B )tan C ＜0， 即sin A cos B tan C ＜0.因为在△ABC 中，0＜A ＜π，0＜B ＜π，0＜C ＜π且sin A ＞0， 所以⎩⎨⎧cos B ＜0，tan C ＞0或⎩⎨⎧cos B ＞0，tan C ＜0，所以B 为钝角或C 为钝角，所以△ABC 为钝角三角形．[C 级 创新练]15．(2020·山东肥城统考)公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派研究过正五边形和正十边形的作图，发现黄金分割比例为5－12≈0.618，这一数值也可以表示为m ＝2sin 18°.若m 2＋n ＝4，则m n2cos 227°－1＝( )A ．4B ．3C ．2D ．1解析：选C.因为m ＝2sin 18°，且m 2＋n ＝4，所以n ＝4－m 2＝4－4sin 218°＝4(1－sin 218°)＝4cos 218°，所以m n2cos 227°－1＝2sin 18°4cos 218°cos 54°＝4sin 18°cos 18°sin 36°＝2.故选C.16．已知α，β∈(0，2π)且α<β，若关于x 的方程(x ＋sin α)(x ＋sin β)＋1＝0有实数根，则代数式3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－β2－sin （π－α）cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋β＝________．解析：整理方程(x ＋sin α)(x ＋sin β)＋1＝0得x 2＋x (sin α＋sin β)＋sin αsin β＋1＝0.由题意得Δ＝(sin α＋sin β)2－4sin αsin β－4≥0， 即(sin α－sin β)2≥4①.因为－1≤sin α≤1，－1≤sin β≤1，所以sin α－sin β∈[－2，2]，从而(sin α－sin β)2≤4②.由①②得sin α－sin β＝±2，所以⎩⎨⎧sin α＝1，sin β＝－1或⎩⎨⎧sin α＝－1，sin β＝1.因为α，β∈(0，2π)且α<β，所以α＝π2，β＝3π2，即⎩⎨⎧sin α＝1，sin β＝－1.因此3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－β2－sin （π－α）cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋β＝3cos α－sin β2－sin αsin β＝12＋1＝13.答案：13第2讲 同角三角函数的基本关系与诱导公式 最新考纲考向预测1.理解同角三角函数的基本关系式sin 2x ＋cos 2x ＝1，sin xcos x ＝tan x .2.借助单位圆的对称性，利用定义推导出诱导公式⎝ ⎛⎭⎪⎫α±π2，α±π的正弦、余弦、正切. 命题趋势 考查利用同角三角函数的基本关系、诱导公式解决条件求值问题，常与三角恒等变换相结合起到化简三角函数关系的作用，强调利用三角公式进行恒等变形的技巧以及基本的运算能力.核心素养数学运算1．同角三角函数的基本关系 (1)平方关系：sin 2x ＋cos 2x ＝1．(2)商数关系：tan x ＝sin x cos x ⎝ ⎛⎭⎪⎫其中x ≠k π＋π2，k ∈Z .2．三角函数的诱导公式 组数 一 二 三 四 五 六 角 α＋2k π (k ∈Z ) π＋α －α π－α π2－α π2＋α 正弦 sin α －sin__α －sin__α sin__α cos__α cos__α 余弦 cos α －cos__α cos__α －cos__α sin__α －sin__α正切tan αtan__α－tan__α－tan__α常用结论1．诱导公式的记忆口诀“奇变偶不变，符号看象限”，其中的奇、偶是指π2的奇数倍和偶数倍，变与不变指函数名称的变化．2．同角三角函数的基本关系式的几种变形 (1)sin 2α＝1－cos 2α＝(1＋cos α)(1－cos α)；cos 2α＝1－sin 2α＝(1＋sin α)(1－sin α)； (sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α. (2)sin α＝tan αcos α⎝ ⎛⎭⎪⎫α≠π2＋k π，k ∈Z .(3)sin 2α＝sin 2αsin 2α＋cos 2α＝tan 2αtan 2α＋1；cos 2α＝cos 2αsin 2α＋cos 2α＝1tan 2α＋1.常见误区1．同角三角函数的基本关系式及诱导公式要注意角的范围对三角函数符号的影响，尤其是利用平方关系求三角函数值，进行开方时要根据角的范围，判断符号后，正确取舍．2．注意求值与化简后的结果一般要尽可能有理化、整式化．1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)对任意的角α，β，都有sin 2α＋cos 2β＝1.( ) (2)若α∈R ，则tan α＝sin αcos α恒成立．( )(3)sin(π＋α)＝－sin α成立的条件是α为锐角．( ) (4)若cos(n π－θ)＝13(n ∈Z )，则cos θ＝13.( ) 答案：(1)× (2)× (3)× (4)×2．(易错题)已知cos(π＋α)＝23，则tan α＝( ) A ．52 B ．255 C ．±52D ．±255解析：选C.因为cos(π＋α)＝23， 所以cos α＝－23，则α为第二或第三象限角，所以sin α＝±1－cos 2α＝±53.所以tan α＝sin αcos α＝±53－23＝±52. 3．已知sin αcos α＝12，则tan α＋1tan α＝( ) A ．2 B ．12 C ．－2D ．－12解析：选A.tan α＋1tan α＝sin αcos α＋cos αsin α＝sin 2α＋cos 2αsin αcos α＝112＝2.4．sin 2 490°＝________；cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52π3＝________．解析：sin 2 490°＝sin(7×360°－30°)＝－sin 30°＝－12.cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52π3＝cos 52π3＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫16π＋π＋π3＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π＋π3＝－cos π3＝－12. 答案：－12 －125．化简cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫52π＋α·cos(2π－α)的结果为________．解析：原式＝sin αcos α·cos α＝sin α. 答案：sin α同角三角函数的基本关系式 角度一 “知一求二”问题(2020·北京市适应性测试)已知α是第四象限角，且tan α＝－34，则sinα＝( )A ．－35 B.35 C.45 D ．－45 【解析】 因为tan α＝sin αcos α＝－34， 所以cos α＝－43sin α ①.sin 2α＋cos 2α＝1 ②，由①②得sin 2α＝925，又α是第四象限角，所以sin α<0，则sin α＝－35，故选A.【答案】 A利用同角三角函数的基本关系求解问题的关键是熟练掌握同角三角函数的基本关系的正用、逆用、变形．同角三角函数的基本关系本身是恒等式，也可以看作是方程，对于一些题，可利用已知条件，结合同角三角函数的基本关系列方程组，通过解方程组达到解决问题的目的．角度二 sin α，cos α的齐次式问题已知tan αtan α－1＝－1，求下列各式的值：(1)sin α－3cos αsin α＋cos α；(2)sin 2α＋sin αcos α＋2. 【解】 由已知得tan α＝12. (1)sin α－3cos αsin α＋cos α＝tan α－3tan α＋1＝－53.(2)sin 2α＋sin αcos α＋2＝sin 2α＋sin αcos αsin 2α＋cos 2α＋2＝tan 2α＋tan αtan 2α＋1＋2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋1＋2＝135.关于sin α与cos α的齐n 次分式或齐二次整式的化简求值的解题策略已知tan α，求关于sin α与cos α的齐n次分式或齐二次整式的值．角度三sin α±cos α，sin αcos α之间的关系已知α∈(－π，0)，sin α＋cos α＝1 5.(1)求sin α－cos α的值；(2)求sin 2α＋2sin2α1－tan α的值．【解】(1)由sin α＋cos α＝1 5，平方得sin2α＋2sin αcos α＋cos2α＝1 25，整理得2sin αcos α＝－24 25.所以(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝49 25.由α∈(－π，0)，知sin α<0，又sin α＋cos α>0，所以cos α>0，则sin α－cos α<0，故sin α－cos α＝－7 5.(2)sin 2α＋2sin2α1－tan α＝2sin α（cos α＋sin α）1－sin αcos α＝2sin αcos α（cos α＋sin α）cos α－sin α＝－2425×1575＝－24175.sin α±cos α与sin αcos α关系的应用技巧(1)通过平方，sin α＋cos α，sin α－cos α，sin αcos α之间可建立联系，若令sin α＋cos α＝t ，则sin αcos α＝t 2－12，sin α－cos α＝±2－t 2(注意根据α的范围选取正、负号)．(2)对于sin α＋cos α，sin α－cos α，sin αcos α这三个式子，可以知一求二．1．(2020·河南六市一模)已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝35，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π2，则tan α＝( )A ．43 B ．34 C ．－34D ．±34解析：选B.因为cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝35，所以sin α＝－35.又α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π2，所以cos α＝－1－sin 2α＝－45，所以tan α＝sin αcos α＝34.2．已知tan α＝－34，则sin α(sin α－cos α)＝( ) A.2125 B.2521 C.45D.54解析：选 A.sin α(sin α－cos α)＝sin 2α－sin αcos α＝sin 2α－sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝tan 2α－tan αtan 2α＋1，将tan α＝－34代入得原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－342－⎝ ⎛⎭⎪⎫－34⎝ ⎛⎭⎪⎫－342＋1＝2125.3．(一题多解)已知sin α－cos α＝2，α∈(0，π)，则tan α＝( ) A ．－1 B ．－22 C ．22D ．1解析：选A.方法一：由⎩⎨⎧sin α－cos α＝2，sin 2α＋cos 2α＝1，得2cos 2α＋22cos α＋1＝0，即(2cos α＋1)2＝0， 所以cos α＝－22.又α∈(0，π)，所以α＝3π4， 所以tan α＝tan 3π4＝－1.方法二：因为sin α－cos α＝2， 所以2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝2，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝1.因为α∈(0，π)，所以α＝3π4，所以tan α＝－1.法三：由sin α－cos α＝2得1－sin 2α＝2，所以sin 2α＝－1. 设sin α＋cos α＝t ，所以1＋sin 2α＝t 2，所以t ＝0.由⎩⎨⎧sin α－cos α＝2，sin α＋cos α＝0得sin α＝22，cos α＝－22， 所以tan α＝－1.诱导公式的应用(1)sin(－1 200°)cos 1 290°＝________．(2)已知角θ的顶点在坐标原点，始边与x 轴正半轴重合，终边在直线3x －y ＝0上，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋θ＋2cos （π－θ）sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θ－sin （π－θ）等于________．【解析】 (1)原式＝－sin 1 200°cos 1 290° ＝－sin(3×360°＋120°)cos(3×360°＋210°) ＝－sin 120°cos 210°＝－sin(180°－60°)cos(180°＋30°) ＝sin 60°cos 30°＝32×32＝34.(2)由题意可知tan θ＝3，原式＝－cos θ－2cos θcos θ－sin θ＝－31－tan θ＝32.【答案】 (1)34 (2)32【引申探究】 (变问法)若本例(2)的条件不变，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋θ－sin （－π－θ）cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫11π2－θ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫9π2＋θ＝________．解析：由题意可知tan θ＝3， 原式＝－sin θ＋sin （π＋θ）cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫6π－π2－θ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4π＋π2＋θ ＝－sin θ－sin θcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋θ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋θ＝－2sin θ－sin θ＋cos θ＝2tan θtan θ－1＝2×33－1＝3.答案：3(1)诱导公式用法的一般思路①化负为正，化大为小，化到锐角为止；②角中含有加减π2的整数倍时，用公式去掉π2的整数倍． (2)常见的互余和互补的角①常见的互余的角：π3－α与π6＋α；π3＋α与π6－α；π4＋α与π4－α等； ②常见的互补的角：π3＋θ与2π3－θ；π4＋θ与3π4－θ等．1．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3＝13，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6的值是( )A ．－13 B.13 C.223 D ．－223解析：选A.因为sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3＝13，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3＝－13.2．(多选)已知A ＝sin （k π＋α）sin α＋cos （k π＋α）cos α＋tan （k π＋α）tan α，则A 的值可以是( )A ．3B ．－3C ．1D ．－1解析：选AD.由已知可得，当k 为偶数时，A ＝sin （k π＋α）sin α＋cos （k π＋α）cos α＋tan （k π＋α）tan α＝sin αsin α＋cos αcos α＋tan αtan α＝3；当k 为奇数时，A ＝sin （k π＋α）sin α＋cos （k π＋α）cos α＋tan （k π＋α）tan α＝－sin αsin α＋－cos αcos α＋tan αtan α＝－1，所以A 的值可以是3或－1.故答案为AD.同角三角函数的基本关系式与诱导公式的综合应用(2020·湖北宜昌一中期末)已知α是第三象限角，且cos α＝－1010. (1)求tan α的值；(2)化简并求cos （π－α）2sin （－α）＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α的值．【解】 (1)因为α是第三象限角，cos α＝－1010， 所以sin α＝－1－cos 2α＝－31010，所以tan α＝sin αcos α＝3.(2)原式＝－cos α－2sin α＋cos α＝cos α2sin α－cos α＝12tan α－1，由(1)知tan α＝3，所以原式＝12×3－1＝15.求解诱导公式与同角关系综合问题的基本思路和化简要求基本 思路①分析结构特点，选择恰当公式； ②利用公式化成单角三角函数；③整理得最简形式化简 要求①化简过程是恒等变换；②结果要求项数尽可能少，次数尽可能低，结构尽可能简单，能求值的要求出值1．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π2＋α＝35，所以tan α的值为( )A ．－43B ．－34C ．±43D ．±34解析：选C.sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π2＋α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝cos α＝35，所以sin α＝±45，tan α＝sin αcos α＝±43.2．已知tan(π－α)＝－23，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π，－π2，则cos （－α）＋3sin （π＋α）cos （π－α）＋9sin α的值为( )A ．－15B ．－37 C.15 D.37解析：选 A.因为tan(π－α)＝－23，所以tan α＝23，所以cos （－α）＋3sin （π＋α）cos （π－α）＋9sin α＝cos α－3sin α－cos α＋9sin α＝1－3tan α－1＋9tan α＝1－2－1＋6＝－15，故选A.[A 级 基础练]1．(多选)已知x ∈R ，则下列等式恒成立的是( ) A ．sin(－x )＝sin x B ．sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－x ＝cos xC ．cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋x ＝－sin xD ．cos(x －π)＝－cos x解析：选CD.sin(－x )＝－sin x ，故A 不成立；sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－x ＝－cos x ，故B 不成立；cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋x ＝－sin x ，故C 成立；cos(x －π)＝－cos x ，故D 成立．2．(多选)若sin α＝45，且α为锐角，则下列选项中正确的有( )A ．tan α＝43 B ．cos α＝35 C ．sin α＋cos α＝85D ．sin α－cos α＝－15解析：选AB.因为sin α＝45，且α为锐角， 所以cos α＝1－sin 2α＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫452＝35，故B 正确， 所以tan α＝sin αcos α＝4535＝43，故A 正确，所以sin α＋cos α＝45＋35＝75≠85，故C 错误， 所以sin α－cos α＝45－35＝15≠－15，故D 错误．3．已知角α是第二象限角，且满足sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π2＋α＋3cos(α－π)＝1，则tan(π＋α)＝( )A ． 3B ．－ 3C ．－33D ．－1解析：选B.由sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π2＋α＋3cos(α－π)＝1，得cos α－3cos α＝1，所以cos α＝－12， 因为角α是第二象限角，所以sin α＝32， 所以tan(π＋α)＝tan α＝sin αcos α＝－ 3.4．已知f (α)＝sin （2π－α）cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＋αtan （π＋α），则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝( ) A ．12 B ．22 C ．32D ．－12解析：选A.f (α)＝sin （2π－α）cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＋αtan （π＋α）＝－sin α·（－sin α）sin α·tan α＝sin 2αsin α·sin αcos α＝cos α，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝cos π3＝12.5．已知角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边上一点A (2sin α，3)(sin α≠0)，则cos α＝( )A ．12B ．－12C ．32D ．－32解析：选A.由三角函数定义得tan α＝32sin α，即sin αcos α＝32sin α，得3cos α＝2sin 2α＝2(1－cos 2α)，解得cos α＝12或cos α＝－2(舍去)．故选A.6．计算：sin 11π6＋cos 10π3的值为________．解析：原式＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π－π6＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π＋π3＝－sin π6－cos π3＝－12－12＝－1.答案：－17．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2－αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－7π2＋α＝1225，且0＜α＜π4，则sin α＝________，cos α＝________．解析：sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2－αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－7π2＋α＝－cos α·(－sin α)＝sin αcos α＝1225.因为0＜α＜π4，所以0＜sin α＜cos α.又因为sin 2α＋cos 2α＝1，所以sin α＝35，cos α＝45.答案：35 45 8．化简1－2sin 40°cos 40°cos 40°－1－sin 250°＝________． 解析：原式＝sin 240°＋cos 240°－2sin 40°cos 40°cos 40°－cos 50°＝|sin 40°－cos 40°|sin 50°－sin 40°＝|sin 40°－sin 50°|sin 50°－sin 40°＝sin 50°－sin 40°sin 50°－sin 40°＝1.答案：19．已知sin(3π＋α)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋α，求下列各式的值：(1)sin α－4cos α5sin α＋2cos α；(2)sin 2α＋sin 2α.解：由已知得sin α＝2cos α. (1)原式＝2cos α－4cos α5×2cos α＋2cos α＝－16.(2)原式＝sin 2α＋2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝sin 2α＋sin 2αsin 2α＋14sin 2α＝85.10．已知角θ的终边与单位圆x 2＋y 2＝1在第四象限交于点P ，且点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，y .(1)求tan θ的值；(2)求cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θ＋cos （θ－2π）sin θ＋cos （π＋θ）的值．解：(1)由θ为第四象限角，终边与单位圆交于点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，y ，得⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋y 2＝1，y <0，解得y ＝－32，所以tan θ＝－3212＝－ 3.(2)因为tan θ＝－3， 所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θ＋cos （θ－2π）sin θ＋cos （π＋θ）＝sin θ＋cos θsin θ－cos θ＝tan θ＋1tan θ－1＝－3＋1－3－1＝2－ 3. [B 级 综合练]11．(多选)已知角θ的终边与坐标轴不重合，式子1－sin 2（π＋θ）化简的结果为－cos θ，则( )A ．sin θ>0，tan θ>0B ．sin θ<0，tan θ>0C ．sin θ<0，tan θ<0D ．sin θ>0，tan θ<0解析：选BD.1－sin 2（π＋θ）＝1－sin 2θ＝cos 2θ＝|cos θ|＝－cos θ，所以cos θ<0，角θ的终边落在第二或三象限，所以sin θ>0，tan θ<0或sin θ<0，tan θ>0，故选BD.12．(2020·陕西汉中月考)已知角α为第二象限角，则cos α·1＋sin α1－sin α＋sin 2α1＋1tan 2α＝( )A ．1B ．－1C ．0D ．2解析：选B.因为角α为第二象限角，所以sin α>0，cos α<0，所以cos α 1＋sin α1－sin α＝cos α（1＋sin α）2cos 2α＝cos α·1＋sin α|cos α|＝－1－sin α，sin 2α1＋1tan 2α＝sin 2α1＋cos 2αsin 2α＝sin 2αsin 2α＋cos 2αsin 2α＝sin 2α1sin 2α＝sin 2α⎪⎪⎪⎪⎪⎪1sin α＝sin α，所以cos α1＋sin α1－sin α＋sin 2α1＋1tan 2α＝－1－sin α＋sin α＝－1.故选B.13．是否存在α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，β∈()0，π使等式sin(3π－α)＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－β，3cos(－α)＝－2cos(π＋β)同时成立？若存在，求出α，β的值；若不存在，请说明理由．解：假设存在角α，β满足条件． 由已知条件可得⎩⎨⎧sin α＝2sin β，①3cos α＝2cos β，②由①2＋②2，得sin 2α＋3cos 2α＝2.所以sin 2α＝12，所以sin α＝±22. 因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，所以α＝±π4. 当α＝π4时，由②式知cos β＝32，又β∈(0，π)，所以β＝π6，此时①式成立；当α＝－π4时，由②式知cos β＝32，又β∈(0，π)，所以β＝π6，此时①式不成立，故舍去．所以存在α＝π4，β＝π6满足条件．14．在△ABC 中，(1)求证：cos 2A ＋B 2＋cos 2 C 2＝1；(2)若cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋B tan(C －π)＜0，求证：△ABC 为钝角三角形． 证明：(1)在△ABC 中，A ＋B ＝π－C ，所以A ＋B 2＝π2－C 2，所以cos A ＋B 2＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－C 2＝sin C 2， 所以cos 2A ＋ B 2＋cos 2C 2＝1.(2)若cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋B tan(C －π)＜0， 所以(－sin A )(－cos B )tan C ＜0，即sin A cos B tan C ＜0.因为在△ABC 中，0＜A ＜π，0＜B ＜π，0＜C ＜π且sin A ＞0，所以⎩⎨⎧cos B ＜0，tan C ＞0或⎩⎨⎧cos B ＞0，tan C ＜0， 所以B 为钝角或C 为钝角，所以△ABC 为钝角三角形．[C 级 创新练]15．(2020·山东肥城统考)公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派研究过正五边形和正十边形的作图，发现黄金分割比例为5－12≈0.618，这一数值也可以表示为m ＝2sin 18°.若m 2＋n ＝4，则m n 2cos 227°－1＝( ) A ．4 B ．3 C ．2 D ．1解析：选C.因为m ＝2sin 18°，且m 2＋n ＝4，所以n ＝4－m 2＝4－4sin 218°＝4(1－sin 218°)＝4cos 218°，所以m n 2cos 227°－1＝2sin 18°4cos 218°cos 54°＝4sin 18°cos 18°sin 36°＝2.故选C.16．已知α，β∈(0，2π)且α<β，若关于x 的方程(x ＋sin α)(x ＋sin β)＋1＝0有实数根，则代数式3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－β2－sin （π－α）cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋β＝________． 解析：整理方程(x ＋sin α)(x ＋sin β)＋1＝0得x 2＋x (sin α＋sin β)＋sin αsin β＋1＝0.由题意得Δ＝(sin α＋sin β)2－4sin αsin β－4≥0，即(sin α－sin β)2≥4①.因为－1≤sin α≤1，－1≤sin β≤1，所以sin α－sin β∈[－2，2]，从而(sin α－sin β)2≤4②.由①②得sin α－sin β＝±2，所以⎩⎨⎧sin α＝1，sin β＝－1或⎩⎨⎧sin α＝－1，sin β＝1.因为α，β∈(0，2π)且α<β，所以α＝π2，β＝3π2，即⎩⎨⎧sin α＝1，sin β＝－1. 因此3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－β2－sin （π－α）cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋β＝3cos α－sin β2－sin αsin β＝12＋1＝13. 答案：13。