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第44讲 排列组合一、单选题1．（2021·山东潍坊·高三月考）甲、乙、丙、丁、戊共5名同学进行劳动技术比赛，决出第1名到第5名的名次.甲和乙去询问成绩，回答者对甲说:“很遗憾，你和乙都没有得到冠军”，对乙说:“你不会是最差的”，从这两个回答分析，这5人的名次排列所有可能的情况共有（ ） A ．18种 B ．36种 C ．54种 D ．72种【答案】C 【详解】由题意得：甲、乙都不是第一名且乙不是最后一名．乙的限制最多，故先排乙，有可能是第二、三、四名3种情况；再排甲，也有3种情况；余下3人有33A 种排法．故共有33333332154A ⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=种不同的情况．故选：C.2．（2021·四川省内江市第六中学高三月考（理））一次劳动实践活动中，某同学不慎将两件次品混入三件正品中，它们形状、大小完全相同，该同学采用技术手段进行检测，恰好三次检测出两件次品的概率为（ ）A ．15B ．14C ．25D ．310【答案】D 【详解】由题意可知恰好三次就能确定出两件次品可分为前三次检测的均为正品，和前两次恰有一次检测出了一件次品，第三次检测出了一件次品两类情况，前三次检测的均为正品的概率为3335A A ，前两次恰有一次检测出了一件次品，第三次检测出了一件次品的概率为11122335C C C A ，故所求概率为31113223351836010A C C C A +==. 故选：D.3．（2021·上海师范大学第二附属中学）将6封不同的信投入5个不同的信箱，要求每个信箱至少有一封信，则不同的投法共有（ ） A ．3600种 B ．56种 C ．65种 D ．1800种【答案】D 【详解】由题意可知，有一个信箱有两封信，其余信箱都只有一封，由捆绑法可知，不同的投法共有25651800=C A 种故选：D4．（2021·河北邢台·高二月考）将4本不同的书本全部分给甲、乙、丙三位同学，每位同学都分到书的分法有（ ） A ．12种 B ．24种 C ．32种 D ．36种【答案】D 【详解】依题意，将4本不同的书任取2本为1份，余下两本各1份，分成3份有24C 种分法，再将分得的3份送给甲、乙、丙三位同学，每人1份有33A 种送法，由分步计数乘法原理得：234336C A =，所以每位同学都分到书的分法有36种. 故选：D5．（2021·河北邢台·高二月考）今年国庆假日期间甲､乙等6人计划分两组（每组3人）去旅行，每组将在云南丽江､广西桂林､河北石家庄､内蒙古呼和浩特选1个地方，且每组去的地方不同.已知甲不想去云南，乙只想去广西，其余4人这4个地方都想去，则他们分组旅行的方案种数为（ ） A ．24 B ．30 C ．18 D ．36【答案】A 【详解】解：若甲和乙都去广西桂林，则有1134C C 12=种方案； 若甲不去广西桂林，则有122412C C =种方案.故他们分组旅行的方案种数为121224+=. 故选：A6．（2021·宁夏银川一中高二期中（理））最近“你是什么垃圾？”这句流行语火爆全网，垃圾分类也成为时下热议的话题．银川市塞上骄子小区有如下六种垃圾桶：一天，张三提着六袋分别属于不同垃圾桶的垃圾进行投放，发现每个垃圾箱再各投一袋垃圾就满了，作为一名法外狂徒，张三要随机投放垃圾，则法外狂徒张三恰好投错三袋垃圾的概率为（ ） A ．12 B ．59C ．118D ．133240【答案】C【详解】根据题意，6袋垃圾随机投入6个垃圾桶共有66720A =种方法，张三要随机投放垃圾恰好投错三袋垃圾，共有36240C ⨯=种不同的方法， 所以法外狂徒张三恰好投错三袋垃圾的概率为40172018P ==. 故选：C.7．（2021·江苏灌云·高二期中）现安排甲、乙、丙、丁、戌5名同学参加上海世博会志愿者服务活动，每人从事翻译、导游、礼仪、司机四项工作之一，每项工作至少有一人参加．甲、乙、丙都能胜任四项工作，丁、戌不会开车但能从事其他三项工作，则不同安排方案的种数是（ ） A ．152 B ．126 C ．90 D ．54【答案】B 【详解】根据题意，分情况讨论：（1）丁、戌一起参加除了开车的三项工作之一，123318C A =种，（2）丁、戌不同时参加一项工作，进而又分为2种情况一是甲、乙、丙三人中有两人承担同一份工作，则先从翻译、导游、礼仪选两项工作安排给丁、戌有23A 种，再从甲、乙、丙三人中有两人承担同一份工作有23C 种，则有222332323236A C A =⨯⨯⨯=种，二是丁或戌与甲、乙、丙三人中的一人承担同一份工作，先从甲、乙、丙三人中选一人与丁、戌中选一人承担同一份工作有3211C C 种，然后从翻译、导游、礼仪选两项工作安排给含丁或戌的两组有23A 种，所以有211233223232272A C C A =⨯⨯⨯⨯=，由分类加法计数原理可得共有183672126++= 故选：B8．（2021·全国（文））我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“——”和阴爻“— —”，如图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是 A ．516B ．1132C ．2132D ．1116【答案】A 【详解】由题知，每一爻有2种情况，一重卦的6爻有62情况，其中6爻中恰有3个阳爻情况有36C ，所以该重卦恰有3个阳爻的概率为3662C =516，故选A ．二、多选题9．（2021·厦门海沧实验中学高二期中）下列结论正确的是（ ）A ．463456A ⨯⨯⨯= B ．233667C C C +=C ．3885C C =D ．“仁义礼智信”为儒家“五常”，由伟大的教育家孔子提出，现将“仁义礼智信”排成一排，则“礼智”互不相邻的排法总数为72 【答案】ABCD 【详解】 对于A ，121m nA n n n n m ，故A 正确；对于B ，2366152035C C ，3735C =，故B 正确； 对于C ，mn m nn C C ，故C 正确；对于D ，采用插空法，将“礼智”插入“仁义信”的4个空中，则一共有22342372C A A 种，故D 正确.故选：ABCD.10．（2021·重庆市两江中学校高二月考）现安排高二年级,,A B C 三名同学到甲、乙、丙、丁四个工厂进行社会实践，每名同学只能选择一个工厂，且允许多人选择同一个工厂，则下列说法正确的是（ ） A ．所有可能的方法有43种B ．若工厂甲必须有同学去，则不同的安排方法有37种C ．若同学A 必须去工厂甲，则不同的安排方法有16种D ．若三名同学所选工厂各不相同，则不同的安排方法有24种 【答案】BCD 【详解】所有可能的方法有34种，A 错误.对于B ，分三种情况：第一种：若有1名同学去工厂甲，则去工厂甲的同学情况为13C ，另外两名同学的安排方法有339⨯=种，此种情况共有13927C ⨯=种，第二种：若有两名同学去工厂甲，则同学选派情况有23C ，另外一名同学的排法有3种，此种情况共有2339C ⨯=种，第三种情况，若三名同学都去工甲，此种情况唯一，则共有279137++=种安排方法，B 正确.对于C ，若A 必去甲工厂，则B ，C 两名同学各有4种安排，共有4416⨯=种安排，C 正确.对于D ，若三名同学所选工厂各不同，则共有3424A =种安排，D 正确.故答案为：BCD11．（2021·全国高二单元测试）第三届世界智能驾驶挑战赛在天津召开，小张、小赵、小李、小罗、小王为五名志愿者．现有翻译、安保、礼仪、服务四项不同的工作可供安排，则下列说法正确的有（ ） A ．若五人每人可任选一项工作，则不同的选法有45种 B ．若每项工作至少安排一人，则有240种不同的方案C．若礼仪工作必须安排两人，其余工作安排一人，则有60种不同的方案D．已知五人身高各不相同，若安排五人拍照，前排2人，后排3人，后排要求三人中身高最高的站中间，则有40种不同的站法【答案】BCD【详解】解：根据题意，依次分析选项：对于A，若五人每人可任选一项工作，则每人都有4种选法，则5人共有5444444⨯⨯⨯⨯=种选法，A错误，对于B，分2步分析：先将5人分为4组，将分好的4组安排四项不同的工作，有2454240C A=种分配方法，B正确，对于C，分2步分析：在5人中任选2人，安排礼仪工作，有2510C=选法，再将剩下3人安排剩下的三项工作，有336A=种情况，则有10660⨯=种不同的方案，C正确，对于D，分2步分析：在5人中任选2人，安排在第一排，有2520A=排法，剩下3人安排在第二排，要求身高最高的站中间，有2种排法，则有20240⨯=种不同的方案，故选：BCD．12．（2021·全国高二课时练习）为弘扬我国古代的“六艺文化”，某夏令营主办单位计划利用暑期开设“礼”“乐”“射”“御”“书”“数”六门体验课程，每周一门，连续开设六周.则（）A．某学生从中选3门，共有30种选法B．课程“射”“御”排在不相邻两周，共有240种排法C．课程“礼”“书”“数”排在相邻三周，共有144种排法D．课程“乐”不排在第一周，课程“御”不排在最后一周，共有504种排法【答案】CD【详解】6门中选3门共有3620C=种，故A错误；课程“射”“御”排在不相邻两周，共有4245480A A=种排法，故B错误；课程“礼”“书”“数”排在相邻三周，共有3434144A A=种排法，故C正确；课程“乐”不排在第一周，课程“御”不排在最后一周，共有51145444504A C C A+=种排法，故D正确．故选：CD三、填空题13．（2021·安徽省亳州市第一中学高一期末）有4个不同的展览馆，甲、乙二人每人选2个去参观，则两人参观的展览馆中恰有一个馆相同的概率为_______．【答案】23【详解】 由题意知，甲乙每人去博物馆的选择均为24C 种，甲乙仅有一个馆相同，则概率为111432224423C C C C C =，故答案为：2314．（2021·河北高二期末）为庆祝中国共产党成立100周年，某校以班级为单位组织开展“走进革命老区，学习党史文化”研学游活动该校高一年级部7个班级分别去3个革命老区研学游，每个班级只去1个革命老区，每个革命老区至少安排2个班级，则不同的安排方法共有______种．（用数字作答） 【答案】630. 【详解】由题意，7个班级分别去3个革命老区，每个革命老区至少安排2个班级，分成3组有22375322C C C 105A =种情况，再把3组分到3个革命老区有33A 3216=⨯⨯=种情况，所以共有1056630⨯=种安排方法．故答案为：630.15．（2021·全国高三专题练习）有甲、乙、丙三项任务，甲、乙各需1人承担，丙需2人承担且至少1人是男生．现从3男3女共6名学生中选出4人承担这三项任务，不同的选法种数是__________．（用具体数字作答） 【答案】144 【详解】因为丙需2人承担且至少1人是男生，所以有二种情况：（1）一男生一女生选丙任务；（2）二男生选丙任务.（1）一男生一女生选丙任务：不同的选法种数为1123343343108C C A ⋅⋅=⨯⨯⨯=；（2）二男生选丙任务：不同的选法种数为223434336C A ⋅=⨯⨯=，所以从3男3女共6名学生中选出4人承担这三项任务，不同的选法种数是10836144+=. 16．（2021·浙江丽水·高二课时练习）7个人排成一排拍照片，若要求甲、乙两人必须相邻，则有_______种不同的排法（用数字作答）；若要求甲、乙两人相邻，但与丙均不相邻，则有_________种不同的排法.（用数字作答） 【答案】1440 960； 【详解】甲、乙两人必须相邻，甲、乙相邻全排有22212A =⨯=(种)然后把甲、乙看成一个整体全排，共有26261440A A ⋅=（种）；甲、乙两人相邻，但与丙均不相邻，把甲、乙看成一个整体全排， 然后把甲、乙看成一个整体，插在与丙均不相邻的空中，共有251254960A A C ⋅⋅=（种）.故答案为：1440；960 四、解答题17．（2021·全国高二课时练习）班上每个小组有12名同学，现要从每个小组选4名同学组成一支代表队，与其他小组进行辩论赛.（1）每个小组的代表队有多少种选法？（2）如果每支代表队还必须指定1名队长，那么每个小组的代表队有多少种选法？（3）如果每支代表队还要分别指定第一、二、三、四辩手，那么每个小组的代表队有多少种选法？ 【答案】（1）495；（2）1980；（3）11880. 【详解】（1）由题意从12名同学中选4名同学组成一支代表队，共有41212111094954321C ⨯⨯⨯==⨯⨯⨯种选法.（2）完成这件事情分为两步：第一步先选出队长，有112C 种选法；再选出3名队员，有311C 种选法，故共有131********121980321C C ⨯⨯=⨯=⨯⨯选法.（3）由题意从12名同学中选4名同学担任不同的辩手，有412121110911880A =⨯⨯⨯=种不同选法.18．（2021·全国高二课时练习）已知10件不同产品中有4件是次品，现对它们进行一一测试，直至找出所有4件次品为止．（1）若恰在第5次测试，才测试到第一件次品，第十次才找到最后一件次品，则这样的不同测试方法数是多少？（2）若恰在第5次测试后，就找出了所有4件次品，则这样的不同测试方法数是多少？ 【答案】（1）103680 （2）576 【详解】试题分析：（1）本题是一个分别计数问题，先排前4次测试，只能取正品，有A 64种不同测试方法，再从4件次品中选2件排在第5和第10的位置上测试，有C 42•A 22种测法， 再排除余下4件的测试位置有A 44种，根据分步计数原理得到结果．（2）恰在第5次测试后，就找出了所有4件次品，表示第5次测试恰为最后一件次品，另3件在前4次中出现，从而前4次有一件正品出现，利用组合数写出结果． 解：（1）由题意知本题是一个分别计数问题， 先排前4次测试，只能取正品，有A 64种不同测试方法，再从4件次品中选2件排在第5和第10的位置上测试，有C42•A22=A42种测法，再排余下4件的测试位置有A44种测法．∴共有不同排法A64•A42•A44=103680种．（2）第5次测试恰为最后一件次品，另3件在前4次中出现，从而前4次有一件正品出现．∴共有不同测试方法A41•（C61•C33）A44=576种．19．（2021·吴江汾湖高级中学高二月考）一个口袋内有4个不同的红球，6个不同的白球，（1）从中任取4个球，红球的个数不比白球少的取法有多少种？（2）若取一个红球记2分，取一个白球记1分，从中任取5个球，使总分不少于7分的取法有多少种？【答案】（1）115（2）186【详解】（1）从中任取4个球，红球的个数不比白球少的取法，红球4个，红球3个和白球1个，红球2个和白球2个，红球4个，取法有种，红球3个和白球1个，取法有种；红球2个和白球2个，取法有种；根据分类计数原理，红球的个数不比白球少的取法有12490115++=种．（2）使总分不少于7分情况有三种情况，4红1白，3红2白，2红3白.第一种，4红1白，取法有41466C C=种；第二种，3红2白，取法有324660C C⋅=种，第三种，2红3白，取法有2346120C C⋅=种，根据分类计数原理，总分不少于7分的取法有660120186.++=。
考点三十七 直线及其方程知识梳理1．直线的倾斜角(1)定义：在平面直角坐标系中，对于一条与x 轴相交的直线l ，把x 轴(正方向)按逆时针方向绕着交点旋转到和直线l 重合所成的角，叫作直线l 的倾斜角．当直线l 和x 轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°. (2)倾斜角的范围为[0°，180°)． 2．直线的斜率(1)定义：当直线l 的倾斜角α≠π2时，其倾斜角α的正切值tan α叫做这条直线的斜率，斜率通常用小写字母k 表示，即k ＝tan α.(2)过两点的直线的斜率公式：经过两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2) (x 1≠x 2)的直线的斜率公式为k ＝y 2－y 1x 2－x 1. (3) 直线的倾斜角α和斜率k 之间的对应关系每条直线都有倾斜角，但不是每条直线都有斜率，倾斜角是90°的直线斜率不存在．它们之间的关系如下：3．直线方程的五种形式4．过P 1(11222(1)若x 1＝x 2，且y 1≠y 2时，直线垂直于x 轴，方程为x ＝x 1； (2)若x 1≠x 2，且y 1＝y 2时，直线垂直于y 轴，方程为y ＝y 1； (3)若x 1＝x 2＝0，且y 1≠y 2时，直线即为y 轴，方程为x ＝0； (4)若x 1≠x 2，且y 1＝y 2＝0时，直线即为x 轴，方程为y ＝0.5．线段的中点坐标公式若点P 1、P 2的坐标分别为(x 1，y 1)、(x 2，y 2)，且线段P 1P 2的中点M 的坐标为(x ，y )，则⎩⎨⎧x ＝x 1＋x22y ＝y 1＋y 22，此公式为线段P 1P 2的中点坐标公式．典例剖析题型一 直线的倾斜角和斜率例1 已知两点A (－3，3)，B (3，－1)，则直线AB 的倾斜角等于__________． 答案 56π解析 斜率k ＝－1－33－(－3)＝－33，又∵θ∈[0，π)， ∴θ＝56π.变式训练 经过两点A (4,2y ＋1)，B (2，－3)的直线的倾斜角为3π4，则y ＝__________．答案 －3解析 由2y ＋1－(－3)4－2＝2y ＋42＝y ＋2，得y ＋2＝tan 3π4＝－1.∴y ＝－3.解题要点 求斜率的常见方法：1．若已知倾斜角α或α的某种三角函数值，一般根据k ＝tan α求斜率．2．若已知直线上两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，一般根据斜率公式k ＝y 2－y 1x 2－x 1(x 1≠x 2)求斜率．3．若已知直线的一般式方程ax ＋by ＋c ＝0，一般根据公式k ＝－ab 求斜率．题型二 直线方程的求解例2 已知△ABC 的三个顶点分别为A (－3,0)，B (2，1)，C (－2,3)，求： (1)BC 边所在直线的方程；(2)BC 边上中线AD 所在直线的方程； (3)BC 边的垂直平分线DE 的方程．解析 (1)因为直线BC 经过B (2,1)和C (－2,3)两点，由两点式得BC 的方程为y －13－1＝x －2－2－2，即x ＋2y －4＝0.(2)设BC 边的中点D 的坐标为(x ，y )，则x ＝2－22＝0，y ＝1＋32＝2.BC 边的中线AD 过点A (－3,0)，D (0,2)两点，由截距式得AD 所在直线方程为x －3＋y2＝1，即2x －3y ＋6＝0.(3)由(1)知，直线BC 的斜率k 1＝－12，则直线BC 的垂直平分线DE 的斜率k 2＝2.由(2)知，点D 的坐标为(0,2)．由点斜式得直线DE 的方程为y －2＝2(x －0)，即2x －y ＋2＝0. 变式训练 根据所给条件求直线的方程： (1)直线过点(－4,0)，倾斜角的正弦值为1010； (2)直线过点(－3,4)，且在两坐标轴上的截距之和为12； (3)直线过点(5,10)，且到原点的距离为5.解析 (1)由题设知，该直线的斜率存在，故可采用点斜式． 设倾斜角为α，则sin α＝1010(0<α<π)， 从而cos α＝±31010，则k ＝tan α＝±13.故所求直线方程为y ＝±13(x ＋4)．即x ＋3y ＋4＝0或x －3y ＋4＝0.(2)由题设知截距不为0，设直线方程为x a ＋y12－a ＝1，又直线过点(－3,4)，从而－3a ＋412－a ＝1，解得a ＝－4或a ＝9.故所求直线方程为4x －y ＋16＝0或x ＋3y －9＝0. (3)当斜率不存在时，所求直线方程为x －5＝0；当斜率存在时，设其为k ，则所求直线方程为y －10＝k (x －5)，即kx －y ＋(10－5k )＝0. 由点线距离公式，得|10－5k |k 2＋1＝5，解得k ＝34.故所求直线方程为3x －4y ＋25＝0.综上知，所求直线方程为x －5＝0或3x －4y ＋25＝0.解题要点 在求直线方程时，应先选择适当的直线方程的形式，并注意各种形式的适用条件．用斜截式及点斜式时，直线的斜率必须存在，而两点式不能表示与坐标轴垂直的直线，截距式不能表示与坐标轴垂直或经过原点的直线．故在解题时，若采用截距式，应注意分类讨论，判断截距是否为零；若采用点斜式，应先考虑斜率不存在的情况．题型三 直线的截距式方程有关的易错题例3 过点P (－2，3)且在两坐标轴上的截距相等的直线l 的方程为__________________． 答案 x ＋y －1＝0或3x ＋2y ＝0解析 (1)当截距不为0时，设所求直线方程为x a ＋ya ＝1，即x ＋y －a ＝0.∵点P (－2，3)在直线l 上，∴－2＋3－a ＝0， ∴a ＝1，所求直线l 的方程为x ＋y －1＝0.(2)当截距为0时，设所求直线方程为y ＝kx ，则有3＝－2k ，即k ＝－32，此时直线l 的方程为y ＝－32x ，即3x ＋2y ＝0.综上，直线l 的方程为x ＋y －1＝0或3x ＋2y ＝0.变式训练 过点M (－3，5)且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程为________． 答案 y ＝－53x 或x －y ＋8＝0解析 (1)当直线过原点时，直线方程为y ＝－53x ；(2)当直线不过原点时，设直线方程为x a ＋y－a ＝1，即x －y ＝a .代入点(－3，5)，得a ＝－8.即直线方程为x －y ＋8＝0.解题要点 1.弄清截距和距离的区别：截距不是距离，而是一个坐标值，纵截距是直线与y 轴交点的纵坐标值，横截距是直线与x 轴交点的横坐标值．截距可为一切实数，而距离是一个非负数．2.在求与截距有关的直线方程时，注意对直线的截距是否为零进行分类讨论，防止忽视截距为零的情形，导致产生漏解．3.常见的与截距问题有关的易误点有：“截距互为相反数”“一截距是另一截距的几倍”等，解决此类问题时，要先考虑零截距情形，注意分类讨论思想的运用.当堂练习1．已知直线l ：y ＝x ，则直线l 的倾斜角为__________． 答案 π4解析 ∵k ＝1.故倾斜角为π4.2．过点(－1,3)且垂直于直线x －2y ＋3＝0的直线方程为__________． 答案 2x ＋y －1＝0解析 因所求直线与直线x －2y ＋3＝0垂直，故可设为2x ＋y ＋m ＝0. 又因为所求直线过点(－1,3)，所以有2×(－1)＋3＋m ＝0，解得m ＝－1.故所求直线方程为2x ＋y －1＝0.3. 如图中的直线l 1、l 2、l 3的斜率分别为k 1、k 2、k 3，则k 1、k 2、k 3 的大小关系是__________．答案 k 1<k 3<k 2解析 直线l 1的斜率角α1是钝角，故k 1<0，直线l 2与l 3的倾斜角α2与α3均为锐角，且α2>α3，所以0<k 3<k 2，因此k 1<k 3<k 2.4．（2015山东理）一条光线从点(－2，－3)射出，经y 轴反射后与圆(x ＋3)2＋(y －2)2＝1相切，则反射光线所在直线的斜率为__________． 答案 －43或－34解析 由已知，得点(－2，－3)关于y 轴的对称点为(2，－3)，由入射光线与反射光线的对称性，知反射光线一定过点(2，－3)．设反射光线所在直线的斜率为k ，则反射光线所在直线的方程为y ＋3＝k (x －2)，即kx －y －2k －3＝0.由反射光线与圆相切，则有d ＝|－3k －2－2k －3|k 2＋1＝1，解得k ＝－43或k ＝－34.5．过点(2,1)且在x 轴上截距与在y 轴上截距之和为6的直线方程为________． 答案 x ＋y －3＝0或x ＋2y －4＝0解析 由题意可设直线方程为x a ＋yb＝1.则⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝6，2a ＋1b ＝1，解得a ＝b ＝3，或a ＝4，b ＝2.课后作业一、 填空题1．过两点(－1,1)和(0,3)的直线在x 轴上的截距为__________． 答案 －32解析 过两点(－1,1)和(0,3)的直线方程为y －13－1＝x －(－1)0－(－1) ，即y ＝2x ＋3，令y ＝0得x ＝－32，即为所求．2．已知直线l 1：(a －1)x ＋2y ＋1＝0与l 2：x ＋ay ＋3＝0平行，则a 等于__________． 答案 －1或2解析 由l 1∥l 2，得(a －1)×a －2×1＝0，即a 2－a －2＝0，解得a ＝－1或a ＝2. 当a ＝－1时，l 1：－2x ＋2y ＋1＝0，即2x －2y －1＝0， l 2：x －y ＋3＝0，显然l 1∥l 2. 当a ＝2时，l 1：x ＋2y ＋1＝0， l 2：x ＋2y ＋3＝0，显然l 1∥l 2， 综上，a ＝－1或2.3．已知A (3,4)，B (－1,0)，则过AB 的中点且倾斜角为120°的直线方程是__________． 答案 3x ＋y －2－3＝0解析 由题意可知A 、B 两点的中点坐标为(1,2)，且所求直线的斜率k ＝tan120°＝－ 3 ∴直线方程为y －2＝－3(x －1)，即3x ＋y －2－3＝0.4．直线l ：ax ＋y －2－a ＝0在x 轴和y 轴上的截距相等，则a 的值是__________． 答案 －2或1解析 由题意，知a ≠0，令x ＝0，得y ＝2＋a ；令y ＝0，得x ＝a ＋2a ，故2＋a ＝a ＋2a ，解得a ＝－2或a ＝1.5．直线x cos140°＋y sin40°＋1＝0的倾斜角是__________． 答案 50°解析 将直线x cos140°＋y sin40°＋1＝0化成x cos40°－y sin40°－1＝0，其斜率为k ＝cos40°sin40°＝tan50°，倾斜角为50°.6．直线l 过点(－1,2)且与直线2x －3y ＋4＝0平行，则l 的方程是_________________． 答案 2x －3y ＋8＝0解析 ∵2x －3y ＋4＝0的斜率为k ＝23，∴所求的直线方程为y －2＝23(x ＋1)，即2x －3y ＋8＝0.7．若过点M (－2，m )，N (m,4)的直线的斜率等于1，则m 的值为__________． 答案 1解析 ∵k MN ＝m －4－2－m＝1，∴m ＝1.8．已知直线PQ 的斜率为－3，将直线绕点P 顺时针旋转60°所得的直线的斜率为__________． 答案3解析 直线PQ 的斜率为－3，则直线PQ 的倾斜角为120°，所求直线的倾斜角为60°， tan60°＝ 3.9．若过点P (1－a,1＋a )与Q (3,2a )的直线的倾斜角为钝角，则实数a 的取值范围是__________． 答案 (－2,1)解析 k ＝tan α＝2a －(1＋a )3－(1－a ) ＝a －1a ＋2. ∵α为钝角，∴a －1a ＋2＜0，即(a －1)(a ＋2)＜0，故－2＜a ＜1. 10．过两直线x ＋3y －10＝0和y ＝3x 的交点，并且与原点距离为1的直线方程为__________． 答案 x ＝1或4x －3y ＋5＝0解析 设所求直线为(x ＋3y －10)＋λ(3x －y )＝0， 整理得(1＋3λ)x ＋(3－λ)y －10＝0. 由点到直线距离公式得|－10|(1＋3λ)2＋(3－λ)2＝1，解得λ＝±3.∴所求直线为x ＝1或4x －3y ＋5＝0.11．直线x cos θ＋3y ＋2＝0的倾斜角的范围是________． 答案 [0，π6]∪[56π，π)解析 由题知k ＝－33cos θ，故k ∈[－33，33]，结合正切函数的图象，当k ∈[0，33]时，直线倾斜角α∈[0，π6]，当k ∈[－33，0)时，直线倾斜角α∈[56π，π)，故直线的倾斜角的范围是[0，π6]∪[56π，π)．二、解答题12．求经过点(－2,2)，且与两坐标轴所围成的三角形面积为1的直线l 的方程． 解析 设所求直线方程为x a ＋yb ＝1，由已知可得⎩⎨⎧－2a ＋2b＝1，12|a ||b |＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－1b ＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1.， ∴所求直线方程为2x ＋y ＋2＝0或x ＋2y －2＝0． 13．已知△ABC 中，A (1，－4)，B (6,6)，C (－2,0)．求： (1)△ABC 的平行于BC 边的中位线的一般式方程和截距式方程； (2)BC 边的中线的一般式方程，并化为截距式方程．解析 (1)平行于BC 边的中位线就是AB 、AC 中点的连线．因为线段AB 、AC 中点坐标为⎝⎛⎭⎫72，1，⎝⎛⎭⎫－12，－2，所以这条直线的方程为y ＋21＋2＝x ＋1272＋12，整理得6x －8y －13＝0，化为截距式方程为x 136－y138＝1.(2)因为BC 边上的中点为(2,3)，所以BC 边上的中线方程为y ＋43＋4＝x －12－1，即7x －y －11＝0，化为截距式方程为x 117－y11＝1.。
第1节 集 合最新考纲核心素养 考情聚焦1.通过实例，了解集合的含义，理解元素与集合的属于关系．2.针对具体问题，能在自然语言和图形语言的基础上，用符号语言刻画集合．3.在具体情境中，了解全集与空集的含义．4.理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集．5.理解两个集合的并集与交集的含义，能求两个集合的并集与交集．6.理解在给定集合中一个子集的补集的含义，能求给定子集的补集．7.能使用Venn 图表达集合的基本关系与基本运算，体会图形对理解抽象概念的作用1.集合的基本概念，形成直观想象和提升数学运算的素养．2.集合间的基本关系，提升逻辑推理和数学运算的素养．3.集合的基本运算，形成直观想象，提升逻辑推理和发展数学运算的素养集合的概念及运算的考查以集合的运算为主，其中交、并、补集的运算以及两集合包含关系的考查是高考的热点；题型多以选择题或填空题的形式出现，一般难度不大，属低档题型，通常与函数、方程、不等式等知识结合，也常出现新情景设置题，考查考生函数与方程、转化与化归、数形结合等数学思想的运用以及对新情景设置题的阅读理解能力1．集合的基本概念(1)集合元素的性质：确定性、无序性、互异性． (2)元素与集合的关系①属于，记为∈；②不属于，记为∉. (3)常见数集的记法集合 自然数集正整数集 整数集 有理数集实数集符号NN *(或N ＋)ZQR(4)集合的表示方法：①列举法；②描述法；③图示法． 2．集合间的基本关系 关系自然语言符号语言Venn 图A B或B A{x|x∈A，且x∈1.A∪B＝A⇔B⊆A，A∩B＝A⇔A⊆B.2．若集合A中含有n个元素，则它的子集个数为2n，真子集个数为2n－1，非空真子集个数为2n－2.[思考辨析]判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”．(1)∅＝{0}．()(2)空集是任何集合的子集，两元素集合是三元素集合的子集．()(3)a在集合A中，可用符号表示为a⊆A.()(4)N⊆N*⊆Z.()(5)若A＝{x|y＝x2}，B＝{(x，y)|y＝x2}，则A∩B＝{x|x∈R}．()答案：(1)×(2)×(3)×(4)×(5)×[小题查验]1．若集合A＝{x∈N|x≤10}，a＝22，则下列结论正确的是()A ．{a }⊆AB ．a ⊆AC ．{a }∈AD ．a ∉A解析：D [由题意知A ＝{0,1,2,3}，由a ＝22，知a ∉A .] 2．(2018·全国Ⅰ卷)已知集合A ＝{x |x 2－x －2>0}，则∁R A ＝( ) A ．{x |－1<x <2} B ．{x |－1≤x ≤2} C ．{x |x <－1}∪{x |x >2}D ．{x |x ≤－1}∪{x |x ≥2}解析：B [A ＝{x |x 2－x －2>0}＝{x |x <－1或x >2}， ∴∁R A ＝{x |－1≤x ≤2}，故选B.]3．(2017·全国Ⅲ卷)已知集合A ＝{(x ，y )|x 2＋y 2＝1}，B ＝{(x ，y )|y ＝x }，则A ∩B 中元素的个数为( )A ．3B ．2C ．1D ．0解析：B [由题意可得：圆x 2＋y 2＝1与直线y ＝x 相交于两点⎝⎛⎭⎫22，22，⎝⎛⎭⎫－22，－22，所以A ∩B 中有两个元素．故选B.]4．(2019·全国Ⅲ卷)已知集合A ＝{－1,0,1,2}，B ＝{x |x 2≤1}，则A ∩B ＝( )A ．{－1,0,1}B ．{0,1}C ．{－1,1}D ．{0,1,2} 解析：A [本题考查了集合交集的求法，是基础题．由题意得，B ＝{x |－1≤x ≤1}，则A ∩B ＝{－1,0,1}．故选A.]5．(人教A 版教材习题改编)已知全集U ＝{1,2,3,4,5,6,7}，A ＝{2,4,5}，B ＝{1,3,5,7}，则A ∩(∁U B )＝___________________________.答案：{2,4}考点一 集合的基本概念(自主练透)[题组集训]1．(2018·全国Ⅱ卷)已知集合A ＝{(x ，y )|x 2＋y 2≤3，x ∈Z ，y ∈Z }，则A 中元素的个数为( )A ．9B ．8C ．5D ．4解析：A [∵x 2＋y 2≤3，∴x 2≤3，∵x ∈Z ，∴x ＝－1,0,1， 当x ＝－1时，y ＝－1,0,1； 当x ＝0时，y ＝－1,0,1； 当x ＝1时，y ＝－1,0,1； 所以共有9个，选A.]2．若集合A ＝{x ∈R |ax 2－3x ＋2＝0}中只有一个元素，则a ＝( )A.92B.98 C ．0D ．0或98解析：D [若集合A 中只有一个元素，则方程ax 2－3x ＋2＝0只有一个实根或有两个相等实根．当a ＝0时，x ＝23，符合题意；当a ≠0时，由Δ＝(－3)2－8a ＝0，得a ＝98，所以a 的取值为0或98.]3．已知集合A ＝{m ＋2,2m 2＋m }，若3∈A ，则m 的值为________． 解析：因为3∈A ，所以m ＋2＝3或2m 2＋m ＝3. 当m ＋2＝3，即m ＝1时，2m 2＋m ＝3， 此时集合A 中有重复元素3， 所以m ＝1不符合题意，舍去．当2m 2＋m ＝3时，解得m ＝－32或m ＝1(舍去)，此时当m ＝－32时，m ＋2＝12≠3符合题意．所以m ＝－32.答案：－324．已知集合M ＝{1，m }，N ＝{n ，log 2n }，若M ＝N ，则(m －n ) 2019＝________.解析：由M ＝N 知⎩⎪⎨⎪⎧ n ＝1，log 2n ＝m 或⎩⎪⎨⎪⎧n ＝m ，log 2n ＝1， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝0，n ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2，n ＝2.∴(m －n )2019＝－1或0. 答案：－1或01．研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性，对于含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合的元素是否满足互异性．2．对于集合相等首先要分析已知元素与另一个集合中哪一个元素相等，分几种情况列出方程(组)进行求解，要注意检验是否满足互异性．考点二 集合间的基本关系(师生共研)[典例] (1)已知集合A ＝{x |ax ＝1}, B ＝{x |x 2－1＝0}，若A ⊆B ，则a 的取值构成的集合是( )A ．{－1}B ．{1}C ．{－1,1}D ．{－1,0,1}(2)已知集合A ＝{x |－2≤x ≤7}，B ＝{x |m ＋1<x <2m －1}，若B ⊆A ，则实数m 的取值范围是________________________________________________________________________．[解析] (1)由题意，得B ＝{－1,1}， 因为A ⊆B ，所以当A ＝∅时，a ＝0；当A ＝{－1}时，a ＝－1；当A ＝{1}时，a ＝1. 又A 中至多有一个元素，所以a 的取值构成的集合是{－1,0,1}．故选D. (2)当B ＝∅时，有m ＋1≥2m －1，则m ≤2. 当B ≠∅时，若B ⊆A ，如图．则⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1≥－22m －1≤7m ＋1<2m －1，解得2<m ≤4.综上，m 的取值范围为m ≤4. [答案] (1)D (2){m | m ≤4} [互动探究]本例(1)中若A ＝{x |ax >1(a ≠0)}，B ＝{x |x 2－1>0}，其他条件不变，则a 的取值范围是________．解析：由题意，得B ＝{x |x >1，或x <－1}，对于集合A ，①当a >0时，A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x >1a . 因为A ⊆B ，所以1a≥1.又a >0，所以0<a ≤1.②当a <0时，A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x <1a. 因为A ⊆B ，所以1a ≤－1，又a <0，所以－1≤a <0，综上所述，0<a ≤1，或－1≤a <0.答案：[－1,0)∪(0,1]由集合的关系求参数的关键点由两集合的关系求参数，其关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，进而转化为参数满足的关系，解决这类问题常常要合理利用数轴、Venn 图帮助分析，而且常要对参数进行讨论，注意区间端点的取舍．提醒：解决两个集合的包含关系时，要注意空集的情况．[跟踪训练]1．若集合A＝{x|ax2＋ax＋1＝0}的子集只有两个，则实数a＝________.解析：∵集合A的子集只有两个，∴A中只有一个元素，即方程ax2＋ax＋1＝0只有一个根．当a＝0时方程无解．当a≠0时，Δ＝a2－4a＝0，∴a＝4.故a＝4.答案：42．已知集合A＝{x|log2x≤2}，B＝(－∞，a)，若A⊆B，则实数a的取值范围是(c，＋∞)，其中c＝________.解析：由log2x≤2，得0<x≤4，即A＝{x|0<x≤4}，而B＝(－∞，a)．由于A⊆B，如图所示，则a>4，即c＝4.答案：4考点三集合的基本运算(多维探究)[命题角度1]求交集、并集1．(2019·全国Ⅱ卷)设集合A＝{x|x＞－1}，B＝{x|x＜2}，则A∩B＝()A．(－1，＋∞)B．(－∞，2)C．(－1,2) D．∅解析：C[A＝{x|x＞－1}，B＝{x|x＜2}，∴A∩B＝(－1,2)．]2．(2017·全国Ⅰ卷)已知集合A＝{x|x<1}，B＝{x|3x<1}，则()A．A∩B＝{x|x<0} B．A∪B＝RC．A∪B＝{x|x>1} D．A∩B＝∅解析：A[A＝{x|x<1}，B＝{x|3x<1}＝{x|x<0}，所以A∩B＝{x|x<0}，A∪B＝{x|x<1}．] [命题角度2]集合的交、并、补的综合运算3．(2019·全国Ⅰ卷)已知集合U＝{1,2,3,4,5,6,7}，A＝{2,3,4,5}，B＝{2,3,6,7}，则B∩∁U A ＝()A．{1,6} B．{1,7}C．{6,7} D．{1,6,7}解析：C[∵∁U A＝{1,6,7}，∴B∩∁U A＝{6,7}．]4．(2019·长春市模拟)已知集合A＝{x|x2－x＋4＞x＋12}，B＝{x|2x－1＜8}，则A∩(∁R B)＝()A．{x|x≥4} B．{x|x＞4}C．{x|x≥－2} D．{x|x＜－2或x≥4}解析：B[由题意易得，A＝{x|x＜－2或x＞4}，B＝{x|x＜4}，则A∩(∁R B)＝{x|x＞4}．故选B.][命题角度3]利用集合的基本运算求参数的取值(范围)5．(2017·全国Ⅱ卷)设集合A＝{1,2,4}，B＝{x|x2－4x＋m＝0}．若A∩B＝{1}，则B＝() A．{1，－3} B．{1,0}C．{1,3} D．{1,5}解析：C[由题意知x＝1是方程x2－4x＋m＝0的解，代入解得m＝3，所以x2－4x＋3＝0，解得x＝1或x＝3，从而B＝{1,3}．]6．已知集合A＝{x|x≤a}，B＝{x|1≤x≤2}，且A∪(∁R B)＝R，则实数a的取值范围是________．解析：∁R B＝{x|x＜1，或x＞2}，要使A∪(∁R B)＝R，则a≥2.答案：[2，＋∞)解集合运算问题应注意以下三点(1)看元素组成．集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的关键．(2)对集合化简．有些集合是可以化简的，先化简再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了、易于解决．(3)注意数形结合思想的应用，常用的数形结合形式有数轴、坐标系和韦恩(Venn)图．提醒：Venn图图示法和数轴图示法是进行集合交、并、补运算的常用方法，其中运用数轴图示法要特别注意端点是实心还是空心．1．(2018·全国Ⅱ卷)已知集合A＝{1,3,5,7}，B＝{2,3,4,5}，则A∩B＝()A．{3}B．{5}C．{3,5} D．{1,2,3,4,5,7}解析：C[A＝{1,3,5,7}，B＝{2,3,4,5}，∴A∩B＝{3,5}，故选C.]2．(2019·全国Ⅰ卷)已知集合M＝{x|－4＜x＜2}，N＝{x|x2－x－6＜0}，则M∩N＝() A．{x|－4＜x＜3} B．{x|－4＜x＜－2}C ．{x |－2＜x ＜2}D ．{x |2＜x ＜3}解析：C [∵x 2－x －6＜0，∴－2＜x ＜3， 即N ＝{x |－2＜x ＜3}，∴M ∩N ＝{x |－2＜x ＜2}，故选C.]3．如图所示，I 为全集，M 、P 、S 是I 的三个子集，则阴影部分所表示的集合是( )A ．(M ∩P )∩SB ．(M ∩P )∪SC ．(M ∩P )∩(∁I S )D ．(M ∩P )∪(∁I S )解析：C [图中的阴影部分是M ∩P 的子集，不属于集合S ，属于集合S 的补集的子集，即是∁I S 的子集，则阴影部分所表示的集合是(M ∩P )∩(∁I S )．故选C.]4．(2019·漳州模拟)满足{2 018}⊆A{2 018,2 019，2 020}的集合A 的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：C [满足{2 018}⊆A {2 018,2 019,2 020}的集合A 可得：A ＝{2 018}，{2 018,2 019}，{2 018,2 020}．因此满足的集合A 的个数为3.]5．已知集合P ＝{x |x 2≤1}，M ＝{a }．若P ∪M ＝P ，则a 的取值范围是( ) A ．(－∞，－1] B ．[1，＋∞)C ．[－1,1]D ．(－∞，－1]∪[1，＋∞)解析：C [因为P ∪M ＝P ，所以M ⊆P ，即a ∈P ， 得a 2≤1，解得－1≤a ≤1，所以a 的取值范围是[－1,1]．]6．已知集合A ＝{y |y ＝x 2－1}，B ＝{x |y ＝lg(x －2x 2)}，则∁R (A ∩B )＝( ) A.⎣⎡⎭⎫0，12 B ．(－∞，0)∪⎣⎡⎭⎫12，＋∞ C.⎝⎛⎭⎫0，12 D ．(－∞，0]∪⎣⎡⎭⎫12，＋∞ 解析：D [A ＝{y |y ＝x 2－1}＝[0，＋∞)，B ＝{x |y ＝lg(x －2x 2)}＝⎝⎛⎭⎫0，12， 所以A ∩B ＝⎝⎛⎭⎫0，12，所以∁R (A ∩B )＝(－∞，0]∪⎣⎡⎭⎫12，＋∞.] 7．(2019·合肥模拟)已知A ＝[1，＋∞)，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ∈R |12a ≤x ≤2a －1，若A ∩B ≠∅，则实数a 的取值范围是( )A ．[1，＋∞)B.⎣⎡⎦⎤12，1C.⎣⎡⎭⎫23，＋∞ D ．(1，＋∞)解析：A [因为A ∩B ≠∅，所以⎩⎪⎨⎪⎧2a －1≥1，2a －1≥12a ，解得a ≥1，故选A.] 8．(2019·石家庄模拟)函数y ＝x －2与y ＝ln(1－x )的定义域分别为M ，N ，则M ∪N ＝( )A ．(1,2]B ．[1,2]C ．(－∞，1]∪[2，＋∞)D ．(－∞，1)∪[2，＋∞)解析：D [使x －2有意义的实数x 应满足x －2≥0，∴x ≥2，∴M ＝[2，＋∞)，y ＝ln(1－x )中x 应满足1－x ＞0，∴x ＜1，∴N ＝(－∞，1)，所以M ∪N ＝(－∞，1)∪[2，＋∞)，故选D.]9．已知集合A ＝{(x ，y )|x ，y ∈R ，x 2＋y 2＝1}，B ＝{(x ，y )|x ，y ∈R ，y ＝4x 2－1}，则A ∩B 的元素个数是________．解析：集合A 是以原点为圆心，半径等于1的圆周上的点的集合，集合B 是抛物线y ＝4x 2－1上的点的集合，观察图象可知，抛物线与圆有3个交点，因此A ∩B 中含有3个元素．答案：310．已知集合A ＝{x |4≤2x ≤16}，B ＝[a ，b ]，若A ⊆B ，则实数a －b 的取值范围是________． 解析：集合A ＝{x |4≤2x ≤16}＝{x |22≤2x ≤24}＝{x |2≤x ≤4}＝[2,4]，因为A ⊆B ，所以a ≤2，b ≥4，所以a －b ≤2－4＝－2，即实数a －b 的取值范围是(－∞，－2]．答案：(－∞，－2]11．对于集合M 、N ，定义M －N ＝{x |x ∈M ，且x ∉N }，M ⊕N ＝(M －N )∪(N －M )．设A ＝{y |y ＝3x ，x ∈R }，B ＝{y |y ＝－(x －1)2＋2，x ∈R }，则A ⊕B ＝________________.解析：由题意得A ＝{y |y ＝3x ，x ∈R }＝{y |y >0}，B ＝{y |y ＝－(x －1)2＋2，x ∈R }＝{y |y ≤2}，故A －B ＝{y |y >2}，B －A ＝{y |y ≤0}，所以A ⊕B ＝{y |y ≤0，或y >2}．答案：(－∞，0]∪(2，＋∞)12．(2019·淮南一模)若A ＝{x |ax 2－ax ＋1≤0，x ∈R }＝∅，则a 的取值范围是________． 解析：∵A ＝{x |ax 2－ax ＋1≤0，x ∈R }＝∅，∴a ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧a >0Δ＝(－a )2－4a <0，解得0≤a ＜4.∴a 的取值范围是[0,4)．答案：[0,4)。
第1节 任意角、弧度制及任意角的三角函数最新考纲核心素养考情聚焦1.了解任意角的概念和弧度制的概念，体会引入弧度制的必要性．2.能进行弧度与角度的互化．3.借助单位圆理解三角函数(正弦、余弦、正切)的定义1.角的集合表示及象限角的判定，达成数学抽象素养．2.扇形的弧长及面积公式，发展数学抽象和数学运算素养．3.三角函数的定义，提升数学抽象和数学运算素养．4.三角函数线、三角函数值的符号，提升直观想象素养对于角的概念与分类、弧度制及任意角的三角函数定义单独命题的概率很小，多与其他知识相结合，如三角恒等变换、同角三角函数基本关系式及诱导公式等综合命题，题型一般为选择题、填空题形式，属于中低档题目，考查学生的基本运算能力及等价转化能力1．角的概念的推广(1)定义：角可以看成平面内的一条射线绕着 端点 从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．(2)分类Error!(3)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S ＝{β|β＝α＋k ·360°，k ∈Z }．2．弧度制的定义和公式(1)定义：把长度等于 半径长 的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad.(2)公式角α的弧度数公式|α|＝(弧长用l 表示)lr 角度与弧度的换算①1°＝rad ；π180②1 rad ＝ ° (180π)弧长公式弧长l ＝ |α|r 扇形面积公式S ＝ lr ＝ |α|r 2 12123.任意角的三角函数三角函数正弦余弦正切设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P (x ，y )，那么定义 y 叫做α的正弦，记作sin α x 叫做α的余弦，记作cos α 叫做α的正yx 切，记作tan αⅠ＋＋＋Ⅱ＋－－Ⅲ－－＋Ⅳ－＋－各象限符号口决一全正、二正弦、三正切、四余弦三角函数线有向线段 MP 为正弦线有向线段 OM 为余弦线有向线段 AT 为正切线1．任意角三角函数的定义的推广设P (x ，y )是角α终边上异于顶点的任一点，其到原点O 的距离为r ，则sin α＝，cosyr α＝，tan α＝(x ≠0)．xr yx 2．三角函数值的符号规律三角函数值在各象限内的符号：一全正、二正弦、三正切、四余弦．3．若α分别为Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ象限角，则所在象限如图α2[思考辨析] 判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”．(1)小于90°的角是锐角．( )(2)锐角是第一象限角，反之亦然．( )(3)三角形的内角必是第一、第二象限角．( )(4)不相等的角终边一定不相同．( )(5)终边相同的角的同一三角函数值相等．( )(6)点P (tan α，cos α)在第三象限，则角α终边在第二象限．( )(7)α∈，则tan α>α>sin α.( )(0，π2)(8)α为第一象限角，则sin α＋cos α>1.( )答案：(1)× (2)× (3)× (4)× (5)√ (6)√ (7)√ (8)√ [小题查验]1．－870°角的终边在第几象限( )A ．一B ．二C ．三D ．四解析：C [∵－870°＝－360°×3＋210°，∴－870°与210°角终边相同．又∵210°角的终边在第三象限，∴－870°角的终边在第三象限．故选C.]2．下列与的终边相同的角的表达式中正确的是( )9π4A ．2k π＋45°(k ∈Z )B ．k ·360°＋π(k ∈Z )94C ．k ·360°－315°(k ∈Z )D ．k π＋(k ∈Z )5π4解析：C [与的终边相同的角可以写成2k π＋(k ∈Z )，但是角度制与弧度制不能混用，9π49π4所以只有C 正确．]3．若sin αtan α<0，且<0，则角α是( )cos αtan αA ．第一象限角 B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角解析：C [由sin αtan α<0可知sin α，tan α异号，从而α为第二或第三象限角．由<0可知cos α，tan α异号，从而α为第三或第四象限角．综上可知，α为第三象cos αtan α限角．]4．(人教A 版教材练习改编)已知角θ的终边经过点P (－12,5)，则sin θ＝____________，cos θ＝__________，tan θ＝________.答案： － －51312135125．已知扇形的周长是6 cm ，面积是2 cm 2，则扇形的圆心角的弧度数是________．解析：设扇形的半径和弧长分别为r ，l ，则易得Error!解得Error!或Error!故扇形的圆心角的弧度数是4或1.答案： 1或4考点一 角的集合表示及象限角的判定(师生共研)[典例] (1)若角θ的终边与角的终边相同，则在[0,2 π)内终边与角的终边相同的角为6 π7θ3__________．(2)如果α是第三象限的角，则角－α的终边所在位置是________，角2α的终边所在位置是________．[解析] (1)∵θ＝＋2k π(k ∈Z )，∴＝＋(k ∈Z )．依题意6π7θ32π72k π30≤＋＜2π⇒－≤k ＜，k ∈Z .2π72k π337187∴k ＝0,1,2，即在[0,2π)内终边与相同的角为，，.θ32π720π2134π21(2)由α是第三象限的角得π＋2k π＜α＜＋2k π，∴－－2k π＜－α＜－π－2k π，即3π23π2＋2k π＜－α＜π＋2k π(k ∈Z )，∴角－α的终边在第二象限．π2由π＋2k π＜α＜＋2k π得2π＋4k π＜2α＜3π＋4k π(k ∈Z )，3π2∴角2α的终边在第一、二象限及y 轴的非负半轴．[答案] (1)，， (2)第二象限；第一、二象限及y 轴的非负半轴2π720π2134π21[互动探究]在本例(2)的条件下，角终边所在的位置是________．α3解析：因为π＋2k π＜α＜＋2k π(k ∈Z )，所以＋＜＜＋(k ∈Z )．3π2π32k π3α3π22k π3当k ＝3n (n ∈Z )时，＋2n π＜＜＋2n π(n ∈Z )；π3α3π2当k ＝3n ＋1(n ∈Z )时，π＋2n π＜＜＋2n π(n ∈Z )；α37π6当k ＝3n ＋2(n ∈Z )时，＋2n π＜＜π＋2n π(n ∈Z )．5π3α3116综上，的终边在第一、三、四象限．α3答案：第一、三、四象限(1)利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角，方法是先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过对集合中的参数k 赋值来求得所需角．(2)表示区间角的三个步骤①先按逆时针方向找到区域的起始和终止边界．②按由小到大分别标出起始和终止边界对应的－360°～360°范围内的角α和β，写出最简区间．③起始、终止边界对应角α，β再加上360°的整数倍，即得区间角集合．(3)已知角α终边所在的象限，求2α、、π－α等角的终边所在象限问题，可由条件先写α2出α的范围，解不等式得出角2α、、π－α等的范围，再根据范围确定象限．α2[跟踪训练]1．若α＝k ·180°＋45°(k ∈Z )，则α在( )A ．第一或第三象限 B ．第一或第二象限C ．第二或第四象限D ．第三或第四象限解析：A [当k ＝2n (n ∈Z )时，α＝2n ·180°＋45°＝n ·360°＋45°，α为第一象限角．当k ＝2n ＋1(n ∈Z )时，α＝(2n ＋1)·180°＋45°＝n ·360°＋225°，α为第三象限角．所以α为第一或第三象限角．故选A.]2．已知角α的终边落在阴影所表示的范围内(包括边界)，则角α的集合为________．解析：在0°～360°范围内，终边落在阴影内的角为90°≤α≤135°或270°≤α≤315°.所以终边落在阴影所表示的范围内的角α的集合为{α|90°＋k ·360°≤α≤135°＋k ·360°，k ∈Z }∪{α|270°＋k ·360°≤α≤315°＋k ·360°，k ∈Z }＝{α|90°＋2k ·180°≤α≤135°＋2k ·180°，k ∈Z }∪{α|90°＋(2k ＋1)·180°≤α≤135°＋(2k ＋1)·180°，k ∈Z }＝{α|90°＋n ·180°≤α≤135°＋n ·180°，n ∈Z }．答案： {α|90°＋n ·180°≤α≤135°＋n ·180°，n ∈Z }考点二 扇形的弧长及面积公式(师生共研)[典例] 已知扇形周长为40，当它的半径和圆心角分别取何值时，扇形的面积最大？[思维导引] 建立扇形的面积S 与其半径r 的函数关系式求解．[解析] 设圆心角是θ，半径是r ，则2r ＋rθ＝40.又S ＝θr 2＝r (40－2r )＝r (20－r )＝－(r －10)2＋100≤100.当且仅当r ＝10时，1212S max ＝100，此时2×10＋10θ＝40，θ＝2.所以当r ＝10，θ＝2时，扇形的面积最大．[互动探究]1．本例题条件若变为“周长为6，面积是2”，试求圆心角的弧度数．解：设半径为r ，弧长为l ，则Error!解得Error!或Error!∴圆心角的弧度数为α＝4或1.2．本例题条件若变为“扇形的圆心角为120°，弦长为AB ＝12”，试求弧长l .解：设半径为r .则由＝sin 60°，6r ∴r ＝4，∴l ＝|α|·r ＝π.3833应用弧度制解决问题的方法(1)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度．(2)求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题，利用配方法使问题得到解决．(3)在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形．[跟踪训练]一扇形是从一个圆中剪下的一部分，半径等于圆半径的，面积等于圆面积的，则扇23527形的弧长与圆周长之比为________．解析：设圆的半径为r ，则扇形的半径为，记扇形的圆心角为α，2r3则＝，∴α＝.12α(2r 3)2πr 25275π6∴扇形的弧长与圆周长之比为＝＝.lc 5π6·23r 2πr 518答案：518考点三 三角函数的定义(子母变式)[母题] 设角α终边上一点P (－4a,3a )(a ＜0)，则 sin α的值为________．数学运算——三角函数定义应用中的核心素养信息提取信息解读数学运算已知角α终边上一点P 的坐标(－4a,3a )(a ＜0)角α的顶点在坐标原点，始边为x 轴的非负半轴，终边可以由点P 的坐标确定求sin α的值可以利用任意角的三角函数定义，求sin α的值先求点P 到坐标原点的距离r ，在利用sin α＝，求sin α的值yr [解析] 第一步：利用两点间的距离公式求出点P 到坐标原点的距离r .设P 与原点的距离为r ，∵P (－4a,3a )，a ＜0，∴r ＝＝|5a |＝－5a .(－4a )2＋(3a )2第二步，利用任意角的三角函数定义式求出sin α的值．∴sin α＝＝－.3a－5a 35[答案] －35[子题1] 若母题中“a ＜0”，改为“a ≠0”，则sin α的值为________．解析：当a ＜0时，sin α＝－；当a ＞0时，r ＝5a, sin α＝.3535 答案：－或3535[子题2] 已知角α的终边在直线3x ＋4y ＝0上，求sin α，cos α，tan α的值．解：设α终边上任一点为P (－4a,3a )，当a ＞0时，r ＝5a ，sin α＝，cos α＝－，tan α＝－；354534当a ＜0时，r ＝－5a ，sin α＝－，cos α＝，tan α＝－.354534[子题3] 已知角α的终边上一点P (－，m )(m ≠0), 且sin α＝，求cos α， tan α的32m4值．解：由题设知x ＝－，y ＝m ，3∴r 2＝|OP |2＝2＋m 2(O 为原点)，r ＝ .(－3)3＋m 2∴sin α＝＝＝，∴r ＝ ＝2，mr 2m4m223＋m 22即3＋m 2＝8，解得m ＝±.5当m ＝时，r ＝2，x ＝－，y ＝，5235∴cos α＝＝－， tan α＝－；－32264153当m ＝－时，r ＝2，x ＝－，y ＝－，5235∴cos α＝＝－， tan α＝.－32264153用定义法求三角函数值的两种情况(1)已知角α终边上一点P 的坐标，则可先求出点P 到原点的距离r ，然后用三角函数的定义求解；(2)已知角α的终边所在的直线方程，则可先设出终边上一点的坐标，求出此点到原点的距离，然后用三角函数的定义来求解．考点四 三角函数线、三角函数值的符号(自主练透)[题组集训]1．下列各选项中正确的是( )A ．sin 300°>0 B ．cos(－305°)<0C ．tan>0 D ．sin 10<0(－223π)解析：D [300°＝360°－60°，则300°是第四象限角，故sin300°<0；－305°＝－360°＋55°，则－305°是第一象限角，故cos(－305°)>0；而－π＝－8π＋π，所以－π是第二22323223象限角，故tan<0，因为3π<10<π，所以10是第三象限角，故sin 10<0.](－223π)722．已知sin 2θ<0，且|cos θ|＝－cos θ，则点P (tan θ，cos θ)在第________象限．解析：法一：由sin 2θ<0，得2k π＋π<2θ<2k π＋2π (k ∈Z )，k π＋<θ<k π＋π(k ∈Z )．π2当k 为奇数时，θ的终边在第四象限；当k 为偶数时，θ的终边在第二象限．又因cos θ≤0，所以θ的终边在左半坐标平面(包括y 轴)，所以θ的终边在第二象限．所以tan θ<0，cos θ<0，点P 在第三象限．法二：由|cos θ|＝－cos θ知cos θ≤0，①又sin 2θ<0，即2sin θcos θ<0 ②由①②可推出Error!.因此θ在第二象限，P (tan θ，cos θ)在第三象限．答案：三熟练掌握三角函数在各象限的符号．三角函数值在各象限的符号规律概括为：一全正、二正弦、三正切、四余弦.1．与30°角终边相同的角的集合是( )A.{α|α＝k ·360°＋π6，k ∈Z}B ．{α|α＝2k π＋30°，k ∈Z }C ．{α|α＝2k ·360°＋30°，k ∈Z }D.{α|α＝2k π＋π6，k ∈Z}解析：D [∵30°＝30°×＝，∴与30°终边相同的所有角可表示为π180°π6α＝2k π＋，k ∈Z ，故选D.]π62．如图，在直角坐标系xOy 中，射线OP 交单位圆O 于点P ，若∠AOP ＝θ，则点P 的坐标是( )A ．(cos θ，sin θ)B ．(－cos θ，sin θ)C ．(sin θ，cos θ)D ．(－sin θ，cos θ)解析：A [由三角函数的定义可知，点P 的坐标是(cos θ，sin θ)．]3．集合{α|k π＋≤α≤k π＋，k ∈Z }中的角的终边所在的范围(阴影部分)是( )π4π2解析：C [当k ＝2n 时，2n π＋≤α≤2n π＋；当k ＝2n ＋1时，π4π22n π＋π＋≤α≤2n π＋π＋.故选C.]π4π24．设θ是第三象限角，且＝－cos ，则是( )|c osθ2|θ2θ2A ．第一象限角 B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角解析：B [由于θ是第三象限角，所以2k π＋π<θ<2k π＋2k π＋(k ∈Z )，k π＋＜＜k π＋3π2π2θ2(k ∈Z )；又＝－cos ，所以cos ≤0，从而2k π＋≤≤2k π＋(k ∈Z )，综上可知3π4|c os θ2|θ2θ2π2θ23π22k π＋<<2k π＋(k ∈Z )，即是第二象限角．]π2θ23π4θ25．(2019·榆林市一模)若角α的终边经过点P ，则cos α·tan α的值是( )(35，－45)A ．－ B. C ．－ D.45453535解析：A [∵角α的终边经过点P ，(35，－45)∴x ＝，y ＝－，r ＝1.3545∴cos α＝＝，tan α＝＝－.x r 35y x 43∴cos α·tan α＝sin α＝＝－，故选A.]35(－43)456．已知角α＝2k π－(k ∈Z )，若角θ与角α的终边相同，则y ＝＋＋的π5sin θ|sin θ|cos θ|cos θ|tan θ|tan θ|值为________．解析：由α＝2k π－(k ∈Z )及终边相同的概念知，角α的终边在第四象限，又角θ与角π5α的终边相同，所以角θ是第四象限角，所以sin θ＜0，cos θ＞0，tan θ＜0.所以y ＝－1＋1－1＝－1.答案：－17．(2019·赤峰市一模)设点P (m ，)是角α终边上一点，若cos α＝，则m ＝________.222解析：由题意可知，α是第一象限角，则m >0，又cos α＝＝，得m ＝.mm 2＋2222答案：28．已知扇形的周长是4 cm ，则扇形面积最大时，扇形的圆心角的弧度数是________．解析：设此扇形的半径为r ，弧长为l ，则2r ＋l ＝4，面积S ＝rl ＝r (4－2r )1212＝－r 2＋2r ＝－(r －1)2＋1，故当r ＝1时S 最大，这时l ＝4－2r ＝2.从而α＝＝＝2.l r 21答案：29．已知角θ的终边上有一点P (x ，－1)(x ≠0)，且tan θ＝－x ，求sin θ＋cos θ的值．解：∵θ的终边过点(x ，－1)(x ≠0)，∴tan θ＝－.1x 又tan θ＝－x ，∴x 2＝1，即x ＝±1.当x ＝1时，sin θ＝－，cos θ＝.2222因此sin θ＋cos θ＝0；当x ＝－1时，sin θ＝－，cos θ＝－，2222因此sin θ＋cos θ＝－.2故sin θ＋cos θ的值为0或－.210．已知扇形AOB 的周长为8.(1)若这个扇形的面积为3，求圆心角的大小；(2)求这个扇形的面积取得最大值时圆心角的大小和弦长AB .解：设扇形AOB 的半径为r ，弧长为l ，圆心角为α，(1)由题意可得Error!解得Error!或Error!∴α＝＝或α＝＝6.l r 23lr (2)法一：∵2r ＋l ＝8，∴S 扇＝lr ＝l ·2r ≤2＝×2＝4，121414(l ＋2r2)14(82)当且仅当2r ＝l ，即α＝＝2时，扇形面积取得最大值4.lr ∴圆心角α＝2，弦长AB ＝2sin 1×2＝4sin 1.法二：∵2r ＋l ＝8，∴S 扇＝lr ＝r (8－2r )＝r (4－r )＝－(r －2)2＋4≤4，1212当且仅当r ＝2，即α＝＝2时，扇形面积取得最大值4.lr ∴弦长AB ＝2sin 1×2＝4sin 1.。
第22讲 解三角形【知识点总结】 1.角的关系++==+180,sin sin()A B C A B C =-+=-+cos cos(),tan tan(),A B C A B C++==sin cos ,cos sin .2222A B C A B C2.正弦定理===2(2sin sin sin a b c R R A B C 为∆ABC 的外接圆的直径）.正弦定理的应用：① 已知两角及一边求解三角形.②已知两边及其中一边的对角，求另一对角：若<a b ,已知角Ａ求角Ｂ. π⎧>⎪⎪===⎨⎪<⎪⎩无解；两解（一锐角、一钝角）1,sin 1,21,B B 若>a b ,已知角Ａ求角Ｂ，一解（锐角）.3.余弦定理=+-2222cos c a b ab C （已知两边a,b 及夹角Ｃ求第三边c ）+-=222cos 2a b c C ab（已知三边求角）.余弦定理的应用：①已知两边及夹角求解第三边； ② 已知三边求角；③已知两边及一边对角未知第三边. 4.三角形面积公式∆====1111sin sin sin .2222ABC S ah ab C bc A ac B【典型例题】例1．（2022·浙江·高三专题练习）ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，30A =︒，3a =，若这个三角形有两解，则b 的取值范围是（ ） A ．36b <≤ B ．36b << C ．6b <D ．6b ≤例2．（2022·浙江·高三专题练习）已知ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，且满足cos cos b C a c B =+，则该三角形的形状是（ ） A ．等腰三角形B ．等边三角形C ．直角三角形D ．等腰或直角三角形例3．（2022·全国·模拟预测）已知ABC 的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .且sin sin sin sin sin ,2sin a B Cb B a Ac C a A-=-=， 在①ABC 的周长为6；②sin 2sin B C =；③sin sin 3b C c B π⎛⎫ ⎪⎝+⎭=这三个条件中任选一个，补充在上面横线中，并解答下列问题.（1）求A ；（2）求ABC 的面积.注:如果选择多个条件分别解答﹐按第一个解答计分.例4．（2022·全国·高三专题练习）在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，角A 、B 、C 的度数成等差数列，b =．（1）若3sin 4sin C A =，求c 的值； （2）求a c +的最大值．例5．（2022·上海·高三专题练习）如图，在ABC 中，45B ∠=︒，点D 在BC 边上，且2CD =，3AD =，1cos 3ADC ∠=（1）求AC 的长； （2）求sin BAD ∠的值.例6．（2022·全国·高三专题练习）已知函数4cos sin 33f x x xπ．（Ⅰ）求函数()f x 在区间,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域．（Ⅰ）在ABC 中，角A ，B ，C ，所对的边分别是a ，b ，c ，若角C 为锐角，()f C ，且2c =，求ABC 面积的最大值．【技能提升训练】一、单选题1．（2022·全国·高三专题练习）在ABC 中，若22sin cos cos sin a A Bb A B=，则ABC 的形状为（ ）A ．等边三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．等腰或直角三角形2．（2022·全国·高三专题练习）在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，60A ∠=︒，1b =，ABCS2sin 2sin sin a b cA B C-+-+的值等于（ ）A B C D ．3．（2022·全国·高三专题练习（文））已知ABC 的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c 满足222b c a bc +-=且a =sin bB=（ ） A ．2 B ．3C ．4D ．4．（2022·全国·高三专题练习）在ABC 中，30A ∠=︒，AB =1BC =，则C ∠等于（ ） A ．3π或23πB ．6π或56π C ．6πD ．3π 5．（2022·全国·高三专题练习）黄鹤楼，位于湖北省武汉市武昌区，地处蛇山之巅，濒临万里长江，为武汉市地标建筑.某同学为了估算黄鹤楼的高度，在大楼的一侧找到一座高为)301m 的建筑物,AB 在它们之间的地面上的点(,,M B M D 三点共线）处测得楼顶A ､楼顶C 的仰角分别是15︒和60,︒在楼顶A 处测得楼顶C 的仰角为15︒，则估算黄鹤楼的高度CD 为（ ）A． B ． C ． D ．6．（2022·全国·高三专题练习）在△ABC 中，角A ､B ､C 的对边分别为a ､b ､c ，若a =1，b B =60°，则A =（ ） A ．30°B ．30°或150°C ．60°D ．60°或120°7．（2022·全国·高三专题练习）已知ABC 中，4BC =，AC =30A ∠=︒，则B ∠=（ ） A ．30B ．30或150︒C ．60︒D ．60︒或120︒8．（2022·全国·高三专题练习）在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知2220,a c b ac ABC +--=的ABC 的周长为9,则ac =（ ） A ．6B ．9C ．16D ．249．（2022·全国·高三专题练习）在ABC 中，6,,sin 2sin 3BC A B C π===.则ABC 的面积为（ ）A ．B ．6C ．D ．10．（2022·浙江·高三专题练习）在ABC 中，根据下列条件解三角形，则其中有两个解的是（ ） A ．502030A b c ===，， B ．502030A B c ===，， C ．243130a b A ===，，D ．504529A a c ===，，11．（2022·全国·高三专题练习）在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知12,30b A ==︒，使得三角形有两解的条件是（ ） A ．6a =B ．612a <<C ．12a ≥D ．6a <12．（2022·全国·高三专题练习）在ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，其中2a =，sin sin sin sin sin sin A B A C B C +=，则b c +的最小值为（ ）A ．6B ．7C ．8D ．913．（2022·全国·高三专题练习）在ABC 中，内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，2cos 3A =，2B A =．则ba=( ) A ．43B ．54 C ．32D ．6514．（2022·全国·高三专题练习）已知ABC 中，内角,,A B C 对应的边分别为a ，b ，c ，若4a b c +==，3C π=，则ABC 的面积为( )A B ．C ．4D ．15．（2022·全国·高三专题练习）已知ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且2a =，45C ︒=，2cos cos ac B b bc A =+，则ABC 的面积为（ ）A ．12B ．1C ．2D ．416．（2022·浙江·高三专题练习）在ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 所对的边长，若22()5c a b =-+，3C π=，则ABC 的面积是（ ）A ．3BCD ．17．（2022·全国·高三专题练习（文））已知a ，b ，c 分别为ABC 内角A ，B ，C 的对边，22213a b c -=，ABC 的面积为216c ，则A =（ ）A ．45°B ．60°C ．120°D ．150°18．（2022·全国·高三专题练习）在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若()()2232540a b a c -+-=，则ABC 最小内角的余弦值为（ ）A ．45B C ．35D ．3419．（2022·全国·高三专题练习）在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若222b c a +=，则角A 的大小为（ ） A ．6πB ．23π C ．3π D ．56π 20．（2022·全国·高三专题练习）为了在一条河上建一座桥，施工前在河两岸打上两个桥位桩A ，B (如图)，要测量A ，B 两点的距离，测量人员在岸边定出基线BC ，测得BC ＝50 m ，∠ABC ＝105°，∠BCA ＝45°．就可以计算出A ，B 两点的距离为（ ）．A． m B ．m C ．m D ． m二、多选题21．（2022·全国·高三专题练习）下列在解三角形的过程中，只能有1个解的是（ ） A ．3a =，4b =，30A =︒ B ．3a =，4b =，3cos 5B =C ．3a =，4b =，30C =︒D ．3a =，4b =，30B =︒22．（2022·全国·高三专题练习）在ABC 中，a ，b ，c 为三个内角A ，B ，C 的对边，若()222tan a c b B +-=，则角B =（ ） A ．30 B ．60︒ C ．150︒ D ．120︒三、填空题23．（2022·全国·高三专题练习）在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知120A =︒，7a =，11cos 14B =，则b =___________ 24．（2022·全国·高三专题练习）△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知b sin C ＋c sin B ＝4a sin B sin C ，b 2＋c 2－a 2＝8，则△ABC 的面积为________．25．（2022·全国·高三专题练习（文））在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．若1,4a B π==，ABC 的面积2S =，则ABC 的外接圆的面积为__________．26．（2022·全国·高三专题练习）在ABC 中，若()sin sin cos sin A B B C +=，a =ABC 外接圆的面积为__________.27．（2022·全国·高三专题练习）已知ABC 外接圆的直径为d ，4AB =，5AC =，7BC =，则d =___________.28．（2022·全国·高三专题练习）在ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若sin :sin :sin 7:5:4A B C =，则最大角等于_________．29．（2022·全国·高三专题练习）在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知23B C π+=，a =1b =，则ABC 的面积为______.30．（2022·全国·高三专题练习）在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若()cos cos 16c a B b A -=，8a b +=，60C ∠=，则c 的值等于__________31．（2022·全国·高三专题练习）已知在ABC 中，222sin sin sin A B C +-=则cos2C =________.32．（2022·全国·高三专题练习）在如图所示四边形ABCD 中，AD DC =，AC =BC =120ADC =∠︒，75BCD ∠=︒，则四边形ABCD 的面积为________.33．（2022·全国·高三专题练习）为测量山高MN .选择A 和另一座山的山顶C 为测量观测点.从A 点测得N 点的仰角30MAN ∠=︒，C 点的仰角60CAB ∠=︒以及105NAC ∠=︒，从C 点测得30NCA ∠=︒.已知山高150=BC 米.则所求山高MN 为___________米.四、解答题34．（2022·全国·高三专题练习）在ABC 中， a b c 、、分别为内角、、A B C 的对边，且2sin (2)sin (2)sin a A b c B c b C =+++（Ⅰ）求A 的大小；（Ⅰ）若sin sin 1B C +=，试判断ABC 的形状．35．（2022·全国·高三专题练习）在△ABC 中，a ＝8，b ＝6，cosA 13=-，求：（1）角B ； （2）BC 边上的高．36．（2022·全国·高三专题练习）在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知10a b +=，5c =，sin 2sin 0B B +=．（1）求a ，b 的值： （2）求sin C 的值．37．（2022·全国·高三专题练习）在ABC 中，,,a b c 分别为角,,A B C 的对边，且22cos b c a C -=. （1）求A ；（2）若ABC 为锐角三角形，2c =，求b 的取值范围.38．（2022·全国·高三专题练习）在ABC 中，已知角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c ，sin sin tan cos cos A BC A B+=+.（1）求角C ；（2）若2c =，求a b +的取值范围.39．（2022·天津北辰·模拟预测）在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知7,8a c == （1）若4sin 7C =，求角A 的大小； （2）若5b =，求ABC 的面积．40．（2022·上海·高三专题练习）在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a 、b 、c ，且22coscos 2A BB --sin()sin cos()A B B AC -++35=-（1）求cos A 的值；（2）若a =5b =，求B 和c .41．（2022·全国·高三专题练习）从①sin cos2A A=，②2cos cos cos a A b C c B =+，③()cos 2cos 0a C b c A ++=，这个条件中任选一个，补充在下面问题中，并给出解答．问题：在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，______． （1）求A ；（2）若2a =，求ABC 面积的最大值．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．42．（2022·全国·高三专题练习）在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且sin sin sin b B c C a A+=sin b C -．（1）求A ；（2）若点D 在BC 上，满足AD 为BAC ∠的平分线，1AC =且sin C =AD 的长．43．（2022·全国·高三专题练习）在钝角ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，()()sin sin 4sin 2A B A B A +--=.（1）求ba的值.（2）若c =π3C =，求ABC 的面积.44．（2022·全国·高三专题练习）ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知()()2cos 2cos cos a C c B A -=+.（Ⅰ）求cos C ；（Ⅰ）若ABC 的面积ABC S =△，()()sin sin 2sin 2A B A B B++-=，求c .45．（2022·全国·高三专题练习）在锐角ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，2sin 0b C -=． （1）求角B 的大小；（2）从条件①4b a ==；条件②2,4a A π==这两个条件中选择一个作为已知，求ABC 的面积．注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．46．（2022·全国·高三专题练习）ABC 中，2AB AC =，点D 在BC 边上，AD 平分BAC ∠.（1）若sin ABC ∠=cos BAC ∠；（2）若AD AC =，且ABC ，求BC .47．（2022·全国·高三专题练习（文））在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边为a ，b ，c ，且满足22b a ac -=，若.6A π=（1）求角B ；（2）若周长为6，求ABC 的面积.48．（2022·全国·高三专题练习（文））已知在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足()1sin B A C -=+，4b =.（1）求sin B ；（2）若2C A π-=，求ABC 的面积.49．（2022·全国·高三专题练习（文））在ABC 中，角A ，B ，C ，所对的边分别为a ，b ，c ，cos cos 3a B b A a +=，2cos 3B =． （Ⅰ）求c a的值；（Ⅰ）已知ABC 的面积为b ．50．（2022·全国·模拟预测）在△ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，2cos sin sin 0a B C A =. （1）求B ；（2）2,AC BC D ==是AC 边上的中点，求BD 的长.51．（2022·全国·高三专题练习）在锐角ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2cos cos ccos a A b C B -=．（Ⅰ）求角A 的大小；（Ⅰ）若2a =，求b c +的取值范围．52．（2022·全国·高三专题练习）如图，在四边形ABCD 中，2CD =，BC =4AB =，60BDC ∠=︒，cos ABC ∠=（1）求sin DBC ∠；（2）求AD .53．（2022·全国·高三专题练习）已知等腰三角形ABC ，AB AC =，D 为边BC 上的一点，90DAC ∠=︒，再从条件①、条件②、条件③中选择两个作为已知，求ABD △的面积及BD 的长．条件①6AB =；条件②1cos 3BAC ∠=-；条件③CD =54．（2022·全国·高三专题练习）如图，在平面四边形ABCD 中，5π6DAB ∠=，π4ADC ∠=，2AB AC ==1CD =.（1）求cos ACD ∠的值；（2）求BC 的值.55．（2022·全国·高三专题练习）如图，在四边形ABCD 中，AC 与BD 相交于点O ，且AC 为DAB ∠的角平分线，π3ABC ∠=，33AB BC ==．（1）求sin DAC ∠；（2）若2π3ADC ∠=，求四边形ABCD 的面积． 56．（2022·全国·高三专题练习）如图，ABC 中，角,,A B C 成等差数列，BAC DCA ∠=∠，1BD =，E 为AC 的中点.（1）若BCD S △CD ；（2）若AC A θ=，且122θππ<<，求sin θ的值．57．（2022·全国·高三专题练习）四边形ABCD 的内角A 与C 互补，AB ＝1，BC ＝3，CD ＝DA ＝2.(1)求C 和BD ；(2)求四边形ABCD 的面积．58．（2022·全国·高三专题练习）如图，测量河对岸的塔高AB 时，可以选与塔底B 在同一水平面内的两个测点C 与.D 现测得75BCD ∠=︒，60BDC ∠=︒，CD =C 测得塔顶A 的仰角为30，求塔高AB .第22讲 解三角形【知识点总结】1.角的关系++==+180,sin sin()A B C A B C =-+=-+cos cos(),tan tan(),A B C A B C++==sin cos ,cos sin .2222A B C A B C 2.正弦定理===2(2sin sin sin a b c R R A B C为∆ABC 的外接圆的直径）. 正弦定理的应用：① 已知两角及一边求解三角形.②已知两边及其中一边的对角，求另一对角：若<a b ,已知角Ａ求角Ｂ. π⎧>⎪⎪===⎨⎪<⎪⎩无解；两解（一锐角、一钝角）1,sin 1,21,B B 若>a b ,已知角Ａ求角Ｂ，一解（锐角）.3.余弦定理=+-2222cos c a b ab C （已知两边a,b 及夹角Ｃ求第三边c ）+-=222cos 2a b c C ab（已知三边求角）. 余弦定理的应用：①已知两边及夹角求解第三边；② 已知三边求角；③已知两边及一边对角未知第三边.4.三角形面积公式∆====1111sin sin sin .2222ABC S ah ab C bc A ac B 【典型例题】例1．（2022·浙江·高三专题练习）ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，30A =︒，3a =，若这个三角形有两解，则b 的取值范围是（ ）A ．36b <≤B ．36b <<C ．6b <D ．6b ≤【答案】B【详解】因为这个三角形有两解，故满足sin b A a b <<，即sin 303b b <<，解得36b <<.故选：B例2．（2022·浙江·高三专题练习）已知ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，且满足cos cos b C a c B =+，则该三角形的形状是（ ）A ．等腰三角形B ．等边三角形C ．直角三角形D ．等腰或直角三角形 【答案】C【详解】因为cos cos b C a c B =+，由正弦定理可得：sin cos sin sin cos B C A C B =+，所以[]sin cos sin cos sin ()B C C B B C π-=-+，所以sin()sin()B C B C -=+，所以B C B C -=+或B C B C π-=--，即0C =(舍去)或2B π=，故ABC 为直角三角形，故选：C例3．（2022·全国·模拟预测）已知ABC 的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .且sin sin sin sin sin ,2sin a B C b B a A c C a A-=-=， 在①ABC 的周长为6；②sin 2sin B C =；③sin sin 3b C c B π⎛⎫ ⎪⎝+⎭=这三个条件中任选一个，补充在上面横线中，并解答下列问题. （1）求A ；（2）求ABC 的面积.注:如果选择多个条件分别解答﹐按第一个解答计分.【解析】（1）由正弦定理及sin sin sin sin sin sin a B C b B a A c C A-=-， 得222b a bc c -=-，即222b c a bc +-=， 由余弦定理得2221cos 22b c a A bc +-==， 由于()0,A π∈，所以3A π=（2）选①:由ABC 的周长为6，得64b c a +=-=，由（1）得2222(31)6a b c bc b c bc =+-=+-=3,bc -所以21643a bc -==， 所以ABC的面积为11sin 422S bc A ==⨯= 选②:由正弦定理及sin 2sin ,B C =得2b c =，由余弦定理得，2222222423a b c bc c c c c =+-=+-=，即243c =，解得c =所以2b c ==， 所以ABC的面积为11sin 22S bc A === 选③:由正弦定理及sin sin 3b C c B π⎛⎫ ⎪⎝+⎭=，得sin sin sin sin 3()B C C B π=+， 因为0C π<<，所以sin 0C >， 所以sin sin()3B B π=+，即1sin sin 2B B B =，整理可得tan B = 因为0B π<<，则3B π=，所以ABC 为等边三角形，所以ABC的面积为211sin 422S a A ==⨯ 例4．（2022·全国·高三专题练习）在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，角A 、B 、C 的度数成等差数列，b =．（1）若3sin 4sin C A =，求c 的值；（2）求a c +的最大值．【详解】（1）由角A 、B 、C 的度数成等差数列，得2B ＝A ＋C ．又A B C π＋＋＝，∴3B π＝． 由正弦定理，得34c a ＝，即34c a ＝． 由余弦定理，得2222cos b a c ac B =+-， 即22331132442c c c c ⎛⎫=+-⨯⨯⨯ ⎪⎝⎭，解得4c =． （2）由正弦定理，得sin sin sin a c b A C B ===∴a A =，c C ．∴)()sin sin sin sin a c A C A A B +=+++⎤⎦π3πsin sin sin 326A A A A A ⎫⎤⎛⎫⎛⎫=++==+⎪ ⎪ ⎪⎥⎪⎝⎭⎝⎭⎦⎭． 由203A π<<，得5666A πππ<+<．所以当ππ=62A +时，即=3A π时，()max a c += 例5．（2022·上海·高三专题练习）如图，在ABC 中，45B ∠=︒，点D 在BC 边上，且2CD =，3AD =，1cos 3ADC ∠=（1）求AC 的长；（2）求sin BAD ∠的值.【详解】（1）2CD =，3AD =，1cos 3ADC ∠=， ∴在ADC 中，由余弦定理得222222321cos 22323AD CD AC AC ADC AD CD +-+-∠===⋅⨯⨯，29,3AC AC =∴=∴（2）1cos 3ADC ∠=，所以sin ADC ∠=，又由题意可得=BAD ADC B ∠∠-∠，sin =sin()sin cos cos sin BAD ADC B ADC B ADC B ∴∠∠-∠=∠∠-∠∠13==例6．（2022·全国·高三专题练习）已知函数4cos sin 33f x x x π．（Ⅰ）求函数()f x 在区间,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域．（Ⅰ）在ABC 中，角A ，B ，C ，所对的边分别是a ，b ，c ，若角C 为锐角，()f C ，且2c =，求ABC 面积的最大值．【详解】解：（Ⅰ）()4cos sin()3f x x x π=-4cos sin cos cos sin 33x x x ππ⎛⎫=- ⎪⎝⎭14cos sin 2x x x ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭22sin cos x x x =-sin 222sin(2)3x x x π==-， 由42x ππ，有22633x πππ-，所以1sin 2123x π⎛⎫≤-≤ ⎪⎝⎭∴函数()f x 的值域为[]1,2．（Ⅰ）由()f C sin(2)3C π-=C 为锐角，233C ππ∴-=，3C π∴=．2c =，∴由余弦定理得：224a b ab +-=，222a b ab +，224a b ab ab ∴=+-．1sin 32ABC S ab C ∴==，∴当a b =，即ABC 为正三角形时，ABC 【技能提升训练】 一、单选题1．（2022·全国·高三专题练习）在ABC 中，若22sin cos cos sin a A Bb A B =，则ABC 的形状为（） A ．等边三角形 B ．直角三角形 C ．等腰三角形 D ．等腰或直角三角形【答案】D【分析】由已知条件，结合正弦定理得sin 2sin 2A B =，有A B =或2A B π+=，即可知正确选项.【详解】由22sin cos cos sin a A Bb A B =知：22sin cos sin sin cos sin =A BA AB B ，即sin cos sin cos A A B B =， ∴sin 2sin 2A B =，即22A B =或22A B π+=，∴A B =或2A B π+=，故选：D2．（2022·全国·高三专题练习）在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，60A ∠=︒，1b =，ABC S 2sin 2sin sin a b c A B C-+-+的值等于（ ） ABCD．【答案】A【分析】根据面积公式及余弦定理求出a ，以及根据正弦定理变形2sin 2sin sin sin a b c a A B C A-+=-+，进一步求出答案. 【详解】 1sin 2S bc A =∴24sin S c b A === ∴22212cos 116214132a b c bc A =+-=+-⨯⨯⨯=， ∴a =∴2sin 2sin sin sin a b c a A B C A -+=-+ 故选：A.3．（2022·全国·高三专题练习（文））已知ABC 的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c 满足222b c a bc +-=且a =sin b B=（ ） A ．2B ．3C ．4D ．【答案】A【分析】先利用余弦定理求得3A π=，再利用正弦定理求解即可.【详解】 由题222b c a bc +-=，2221cos 222b c a bc A bc bc +-∴===,又0A π<<，3A π∴=，2sin sin b a B A ∴==， 故选：A.4．（2022·全国·高三专题练习）在ABC 中，30A ∠=︒，AB =1BC =，则C ∠等于（ ） A ．3π或23πB ．6π或56π C ．6πD ．3π 【答案】A 【详解】 由正弦定理知sin sin BC ABA C=，∴1sin sin 2AB C A BC =⋅==， ∵0πC <<，C A >，∴3C π=或23π. 故选：A.5．（2022·全国·高三专题练习）黄鹤楼，位于湖北省武汉市武昌区，地处蛇山之巅，濒临万里长江，为武汉市地标建筑.某同学为了估算黄鹤楼的高度，在大楼的一侧找到一座高为)301m 的建筑物,AB 在它们之间的地面上的点(,,M B M D 三点共线）处测得楼顶A ､楼顶C 的仰角分别是15︒和60,︒在楼顶A 处测得楼顶C 的仰角为15︒，则估算黄鹤楼的高度CD 为（ ）A． B． C． D．【答案】C 【分析】分别在ABM ，ACM △及CDM 应用正弦定理求解. 【详解】在ABM 中，15,AMB ∠=︒则sin15ABAM == 在ACM △中，因为151530,1806015(105)CAM CMA ∠=︒+︒=︒∠=︒-︒+︒=︒， 所以1801053045MCA ∠=︒-︒-︒=︒因为sin sin CM AM MAC MCA =∠∠，所以()60CM m =，故)sin 60CD CM m =︒=.故选：C.6．（2022·全国·高三专题练习）在△ABC 中，角A ､B ､C 的对边分别为a ､b ､c ，若a =1，bB =60°，则A =（ ） A ．30° B ．30°或150°C ．60°D ．60°或120°【答案】A 【分析】 根据正弦定理sin sin a bA B=的式子，代入题中数据算出1sin 2A =，结合△ABC 中A <B ，可得A =30°.【详解】解：∵在△ABC 中，B =60°，∴根据正弦定理sin sin a bA B =，可得sin s 1i n 2a B b A ︒===， 又∵在△ABC 中a <b ，可得A <B ，∴A =30°. 故选：A .7．（2022·全国·高三专题练习）已知ABC 中，4BC =，AC =30A ∠=︒，则B ∠=（ ） A ．30 B ．30或150︒ C ．60︒ D ．60︒或120︒【答案】D 【分析】直接利用正弦定理计算即可得出答案. 【详解】解：因为4BC =，AC =30A ∠=︒， sin sin BC ACA B=，所以1sin 2sin 4AC AB BC⋅=== 所以B ∠=60︒或120︒. 故选：D.8．（2022·全国·高三专题练习）在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知2220,a c b ac ABC +--=的ABC 的周长为9,则ac =（ ）A ．6B ．9C ．16D ．24【答案】B 【分析】首先由余弦定理可得2221cos 22a cb B ac +-==，所以3B π=，再由正弦定理可得 2sin 3b R B ==，根据周长为9，由22()39a c ac b +-==即可得解. 【详解】在ABC 中，由2220,a c b ac +--=可得222a c b ac +-=， 所以2221cos 22a cb B ac +-==， 由0B π<<可得3B π=，所以2sin 3b R B ===， 由ABC 的周长为9,所以9936a c b +=-=-=， 由2220,a c b ac +--= 可得22()39a c ac b +-==， 所以327ac =，所以9ac =， 故选：B9．（2022·全国·高三专题练习）在ABC 中，6,,sin 2sin 3BC A B C π===.则ABC 的面积为（ ）A．B ．6 C ．D ．【答案】A 【分析】由余弦定理可得2236c b bc =+-，由正弦定理可得2b c =，解得b 和c 的值，再由1sin 2S bc A =即可得解．【详解】2222cos a b c bc A =+-，2236c b bc ∴=+-，sin 2sin B C =，2b c ∴=.解得：c b ==∴ABC 的面积为11sin 22S bc A ==⨯=故选：A.10．（2022·浙江·高三专题练习）在ABC 中，根据下列条件解三角形，则其中有两个解的是（ ） A ．502030A b c ===，， B ．502030A B c ===，， C ．243130a b A ===，， D ．504529A a c ===，，【答案】C 【分析】根据三角形的性质依次分析各选项即可得答案. 【详解】解：对于A 选项，已知两边及夹角，由余弦定理可知第三边为定值，故只有一个解； 对于B 选项，已知两角及任意一边，则三角形确定，只有一个解； 对于C 选项，由正弦定理得sin 31sin sin 3048b A B a ==>，所以B 有两个解； 对于D 选项，由正弦定理和大边对大角得C 为小于50的锐角，故只有一个解. 故选：C11．（2022·全国·高三专题练习）在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知12,30b A ==︒，使得三角形有两解的条件是（ ） A ．6a = B ．612a << C ．12a ≥ D ．6a <【答案】B 【分析】计算C 到AB 的距离h ，结合图形即可得出结论． 【详解】12b =，30A =︒，C ∴到AB 的距离sin 6h b A ==，∴当6a <时，三角形无解，当6a =时，三角形有一解， 当612a <<时，三角形有两解， 当12a 时，三角形有一解． 故选：B ．12．（2022·全国·高三专题练习）在ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，其中2a =，sin sin sin sin sin sin A B A C B C +=，则b c +的最小值为（ ）A ．6B ．7C ．8D ．9【答案】C 【分析】根据题意，利用正弦定理得到ab ac bc +=，进而得到221c b+=，再结合基本不等式，即可求解.【详解】由题意知sin sin sin sin sin sin A B A C B C +=， 根据正弦定理，可得ab ac bc +=，因为2a =，所以22b c bc +=，即221c b+=，则2222()()448b c b c b c c b c b +=++=++≥+， 当且仅当4c b ==时等号成立，即b c +的最小值为8． 故选：C ．13．（2022·全国·高三专题练习）在ABC 中，内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，2cos 3A =，2B A =．则ba=( ) A ．43B ．54 C ．32D ．65【答案】A 【分析】利用正弦定理并结合已知条件即可求解. 【详解】 由正弦定理可得，sin sin 22sin cos 42cos sin sin sin 3b B A A A A a A A A =====.故选：A.14．（2022·全国·高三专题练习）已知ABC 中，内角,,A B C 对应的边分别为a ，b ，c ，若4a b c +==，3C π=，则ABC 的面积为( )A B ．C ．4D ．【答案】A 【分析】已知两边之和与第三边，直接套用余弦定理公式求出两边之积，再代入面积公式计算. 【详解】由余弦定理可得22272cos ()3163a b ab C a b ab ab =+-=+-=-，所以3ab =.所以11sin 322S ab C ==⨯=． 故选：A ．15．（2022·全国·高三专题练习）已知ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且2a =，45C ︒=，2cos cos ac B b bc A =+，则ABC 的面积为（ ）A ．12B ．1C ．2D ．4【答案】B 【分析】根据题意，结合余弦定理化简得出222a b =，从而求得b =in 12s S ab C =，即可求出结果. 【详解】解：已知2cos cos ac B b bc A =+，由余弦定理得：222222222a c b b c a ac b bc ac bc+-+-⋅=+⋅，解得：222a b =，故b =11sin 2122S ab C ∴==⨯=. 所以ABC 的面积为1. 故选：B.16．（2022·浙江·高三专题练习）在ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 所对的边长，若22()5c a b =-+，3C π=，则ABC 的面积是（ ）A ．3 BCD．【答案】C 【分析】先根据题意以及余弦定理求出ab ，再根据三角形面积公式即可求解. 【详解】解：2222()525c a b a ab b =-+=-++， 即22225a b c ab +-=-，由余弦定理得：222251cos 3222a b c ab ab ab π+--===， 解得：5ab =，则ABC的面积为：11sin 522ab C =⨯=故选：C.17．（2022·全国·高三专题练习（文））已知a ，b ，c 分别为ABC 内角A ，B ，C 的对边，22213a b c -=，ABC 的面积为216c ，则A =（ ）A ．45°B ．60°C ．120°D ．150°【答案】A 【分析】由余弦定理和面积公式分别可得cos 3c A b =，sin 3cA b=，可得tan 1A =即可得解. 【详解】 由余弦定理可得：222223cos 223c b c a c A bc bc b+-===由211sin 26ABCSbc A c == 可得sin 3cA b=， 所以sin cos A A =，即tan 1A =，由0180A <<，所以45A =. 故选：A.18．（2022·全国·高三专题练习）在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若()()2232540a b a c -+-=，则ABC 最小内角的余弦值为（ ） A ．45BC ．35D ．34【答案】D 【分析】首先根据题意得到320450a b c a -=⎧⎨-=⎩，从而得到3254b a c a ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即可得到ABC 的最小内角为角A ，再计算cos A 即可.【详解】因为()()2232540a b a c -+-=，所以320450a b c a -=⎧⎨-=⎩，解得3254b a c a ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，可知ABC 的最小内角为角A ，所以22222229253416cos 3524224a a abc a A bc a +-+-===⨯⨯. 19．（2022·全国·高三专题练习）在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若222b c a +=，则角A 的大小为（ ） A ．6πB ．23π C ．3π D ．56π 【答案】D 【分析】根据给定条件结合余弦定理求出cos A 即可得解. 【详解】在ABC中，因222b c a +=，由余弦定理得222cos 2b c a A bc +-===0A π<<， 所以56A π=.故选：D20．（2022·全国·高三专题练习）为了在一条河上建一座桥，施工前在河两岸打上两个桥位桩A ，B (如图)，要测量A ，B 两点的距离，测量人员在岸边定出基线BC ，测得BC ＝50 m ，∠ABC ＝105°，∠BCA ＝45°．就可以计算出A ，B 两点的距离为（ ）．A ．m B ．m C ．m D ．m【答案】D 【分析】根据正弦定理，结合三角形内角和定理进行求解即可. 【详解】由三角形内角和定理可知：18030BAC ACB ABC ︒︒∠=-∠-∠=， 由正弦定理得:501sin sin 2AB BC AB ACB BAC =⇒=⇒=∠∠ 故选：D二、多选题21．（2022·全国·高三专题练习）下列在解三角形的过程中，只能有1个解的是（ ） A ．3a =，4b =，30A =︒ B ．3a =，4b =，3cos 5B =C ．3a =，4b =，30C =︒D ．3a =，4b =，30B =︒【答案】BCD 【分析】利用正弦定理、余弦定理一一判断即可； 【详解】解：根据题意，在A 条件下sin 42sin sin sin 33a A B A b B =⇒=⨯=，因为1223<<所以角B 在,64ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭和35,46ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上各有一个解，并且这两个解与角A 的和都小于π，所以A 不满足；在B 条件下，3a =，4b =，3cos 5B =，根据余弦定理可得2222cos b a c ac B =+-，即2181695c c =+-，解得5c =或75c =-（舍），所以只有1个解，满足题意；在C 条件下，条件为边角边，所以有唯一解；在D 条件下，sin 33sin sin sin 48a A A Bb B =⇒=⨯=，因为3182<，所以角A 在0,6π⎛⎫ ⎪⎝⎭和5,6ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上各有一个解，当解在5,6ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭时，角B 与角A 的和大于π，所以只有1个解，满足题意， 故选：BCD ．22．（2022·全国·高三专题练习）在ABC 中，a ，b ，c 为三个内角A ，B ，C 的对边，若()222tan a c b B +-=，则角B =（ ） A ．30 B ．60︒ C ．150︒ D ．120︒【答案】BD 【分析】由余弦定理化边为角即得. 【详解】由题得222tan 2a c b B ac +-=根据余弦定理可知cos tan sin B B B ==， ∴60B =︒或120B =︒． 故选：BD.三、填空题23．（2022·全国·高三专题练习）在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知120A =︒，7a =，11cos 14B =，则b =___________ 【答案】5 【分析】先结合B 的范围和同角三角函数的平方关系得到sin B = 【详解】由题意，由于B 为ABC 的内角，故(0,)sin 0B B π∈∴>sin B ∴=由正弦定理，sin sin sin sin a b a Bb A B A=∴=代入可得：75b == 故答案为：524．（2022·全国·高三专题练习）△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知b sin C ＋c sin B ＝4a sin B sin C ，b 2＋c 2－a 2＝8，则△ABC 的面积为________．【分析】利用正弦定理、余弦定理化简已知条件，求得sin ,A bc ，由此求得三角形ABC 的面积. 【详解】由b sin C ＋c sin B ＝4a sin B sin C ，得sin B sin C ＋sin C sin B ＝4sin A sin B sin C ， 因为sin B sin C ≠0，所以1sin 2A =. 因为b 2＋c 2－a 2＝8，所以222cos 02b c a A bc +-=>，0,cos 6A A A ππ<<⇒==，故222822b c a bc bc bc +-==⇒所以111sin 222ABCSbc A ====25．（2022·全国·高三专题练习（文））在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．若1,4a B π==，ABC 的面积2S =，则ABC 的外接圆的面积为__________．【答案】252π【分析】由ABC 的面积2S =，可求得c =5b =，然后利用正弦定理求出ABC 的外接圆的半径，从而可求出外接圆面积【详解】因为12sin 2S ac B ==⨯，所以c = 由余弦定理得2222cos 25b a c ac B =+-=，所以5b =，所以sin bB=所以ABC 的外接圆的面积为2252ππ⨯=⎝⎭． 故答案为：252π26．（2022·全国·高三专题练习）在ABC 中，若()sin sin cos sin A B B C +=，a =ABC 外接圆的面积为__________. 【答案】π 【分析】将给定等式消去角C ，而求得A ，再由正弦定理求出外接圆半径即可得解. 【详解】ABC 中，因()sin sin cos sin A B B C +=，则sin sin sin cos sin()A B A B A B +=+，化简得sin sin cos sin A B A B =，而sin B>0，则tan A =1，sin A =ABC 外接圆半径为R ，由正弦定理得22sin aR A==，即R =1， 所以ABC 外接圆的面积为2S R ππ==. 故答案为：π27．（2022·全国·高三专题练习）已知ABC 外接圆的直径为d ，4AB =，5AC =，7BC =，则d =___________.【分析】根据余弦定理，求得cos A ，根据同角三角函数的关系，求得sin A ，利用正弦定理，即可求得答案. 【详解】由余弦定理得：2224571cos 2455A +-==-⨯⨯，所以sin A =由正弦定理得sin BC d A =28．（2022·全国·高三专题练习）在ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若sin :sin :sin 7:5:4A B C =，则最大角等于_________．【答案】1arccos 5⎛⎫- ⎪⎝⎭【分析】由sin :sin :sin 7:5:4A B C =，利用正弦定理可得::7:5:4a b c =，从而可得角A 为最大角，设()7,5,40a x b x c x x ===>，再利用余弦定理即可的解. 【详解】解：因为sin :sin :sin 7:5:4A B C =，所以::7:5:4a b c =， 所以a b c >>，所以A B C >>， 设()7,5,40a x b x c x x ===>，则2222516491cos 2545x x x A x x +-==-⨯⨯，所以1arc cos 5A ⎛⎫=- ⎪⎝⎭， 即最大角为1arccos 5⎛⎫- ⎪⎝⎭.故答案为：1arccos 5⎛⎫- ⎪⎝⎭29．（2022·全国·高三专题练习）在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知23B C π+=，a =1b =，则ABC 的面积为______.【分析】利用余弦定理求得边c ，再利用三角形的面积公式即可得出答案. 【详解】 解：因为23B C π+=，所以3A π=， 则2222cos a b c bc A =+-，即231c c =+-，解得2c =或1-（舍去），所以1sin 2ABCSbc A =30．（2022·全国·高三专题练习）在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若()cos cos 16c a B b A -=，8a b +=，60C ∠=，则c 的值等于__________【分析】由余弦定理把角化为边，即可求得,a b ，再由余弦定理即可求解 【详解】()222222cos cos ()1622a c b b c a c a B b A c a b ac bc+-+--=⋅-⋅=，∴()()2216a b a b a b -=+-=，又8a b +=，则2a b -=， ∴5a =，3b =， 又60C ∠=°，故2222cos 2591519c a b ab C =+-=+-=，∴c =故答案为：c =31．（2022·全国·高三专题练习）已知在ABC 中，222sin sin sin A B C +-=则cos2C =________.1 【分析】利用正弦定理将角化边可得222b c a +-=2cos C ，进而可求2sin C ，从而利用二倍角公式可解. 【详解】解：因为222sin sin sin A B C +-=所以由正弦定理得222b c a +-=，即2222b c ab a +-=由余弦定理得cos C =，所以2cos C =22sin 1co s C C =-=，所以22cos 2cos sin 1C C C =-==，1.32．（2022·全国·高三专题练习）在如图所示四边形ABCD 中，AD DC =，AC =BC =，120ADC =∠︒，75BCD ∠=︒，则四边形ABCD 的面积为________.【答案】【分析】由已知条件可得5AD DC，6DCA π∠=，4ACB π∠=，应用三角形面积公式求ADC S △，ACB S △，即可求四边形ABCD 的面积. 【详解】 由题意，知：52sin 2ACAD DC ADC ===∠，且6DCA π∠=，4ACB π∠=， ∴1sin 2ADCSDC AC DCA =⋅⋅∠，1sin 2ACBS AC BC ACB =⋅⋅∠， ∴四边形ABCD的面积111522222ADCACBS S+=⨯⨯+⨯=. 故答案为：33．（2022·全国·高三专题练习）为测量山高MN .选择A 和另一座山的山顶C 为测量观测点.从A 点测得N 点的仰角30MAN ∠=︒，C 点的仰角60CAB ∠=︒以及105NAC ∠=︒，从C 点测得30NCA ∠=︒.已知山高150=BC 米.则所求山高MN 为___________米.【答案】【分析】在Rt ABC中可求得AC =ACN △利用正弦定理可求出AN =. 【详解】由题，在Rt ABC 中，150,60BC CAB =∠=，AC ∴= 在ACN △中，105NAC ∠=︒，30NCA ∠=︒，则45ANC ∠=，由正弦定理可得sin sin AN AC NCA ANC=∠∠，即12AN =AN = 又在Rt AMN △中，30MAN ∠=︒，MN ∴= 所以所求山高MN为.故答案为：.四、解答题34．（2022·全国·高三专题练习）在ABC 中， a b c 、、分别为内角、、A B C 的对边，且2sin (2)sin (2)sin a A b c B c b C =+++（Ⅰ）求A 的大小；（Ⅰ）若sin sin 1B C +=，试判断 ABC 的形状．【答案】o 120 ，等腰三角形 【详解】试题分析：（1）利用正弦定理，化简得222a b c bc =++，在利用余弦定理，求解1cos 2A =-，即可求解角A的大小；（2）由（1），利用两角差的正弦函数，化简得0sin sin sin(60)B C B +=+，即可求解sin sin B C +的最大值.试题解析：（1）由已知，根据正弦定理得22(2)(2)a b c b c b c =+++ 即222a b c bc =++，由余弦定理得2222cos a b c bc A =+- 故1cos 2A =-，0120A =（2）由（1）得：001sin sin sin sin(60)sin sin(60)2B C B B B B B +=+-=+=+ 故当030B =时，sin sin B C +取得最大值1，此时三角形为等腰三角形. 考点：正弦定理；余弦定理.35．（2022·全国·高三专题练习）在△ABC 中，a ＝8，b ＝6，cosA 13=-，求：（1）角B ； （2）BC 边上的高．【答案】（1）B 4π=（2）4【分析】（1）由同角的三角函数关系可得sinA =再根据正弦定理解得sinB =即可求角；（2）先可求得()4sin sin 6C A B =+=,即可求得面积1sin 162ABCS ab C ==-进而求得BC 边上的高 【详解】（1）在△ABC 中,a ＝8,b ＝6,cosA 13=-,所以角A 为钝角,由sin 2A +cos 2A ＝1,解得sinA =由正弦定理可得a b sinA sinB =,解得sinB =所以B 4π=（2）由（1）可得sinC ＝sin （A +B ）＝sinAcosB +cosAsinB 13⎛⎫=-=⎪⎝⎭,所以11861622ABCSabsinC ==⨯⨯=-,由于1116822ah h =-=⨯⨯,解得h ＝4,故BC 边上的高为4 【点睛】本题考查求三角函数值,考查正弦定理的应用,考查三角形面积公式的应用,考查运算能力36．（2022·全国·高三专题练习）在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知10a b +=，5c =，sin 2sin 0B B +=．（1）求a ，b 的值： （2）求sin C 的值．【答案】（1）3a =，7b =；（2. 【分析】（1）利用二倍角公式求得cos B ，由此求得B ，结合已知条件和余弦定理求得,a b ； （2）先求得sin B ，由正弦定理求得sin C . 【详解】（1）由sin 2sin 0B B +=，得2sin cos sin 0B B B +=， 因为在ABC 中，sin 0B ≠，得1cos 02B =-<， 由于0B π<<，所以23B π=. 由余弦定理2222cos b a c ac B =+-，得22215252b a a ⎛⎫=+-⨯⨯⨯- ⎪⎝⎭，因为10b a =-，所以2221(10)5252a a a ⎛⎫-=+-⨯⨯⨯- ⎪⎝⎭，解得3a =，所以7b =.（2）由（1）得2sin sin3B π==由正弦定理得5sin sin 7c C B b ===37．（2022·全国·高三专题练习）在ABC 中，,,a b c 分别为角,,A B C 的对边，且22cos b c a C -=. （1）求A ；（2）若ABC 为锐角三角形，2c =，求b 的取值范围. 【答案】（1）3A π=；（2）()1,4.【分析】（1）根据正弦定理即可解决.（2）利用正弦定理表示出b ，再根据是锐角三角形求出角C 的范围即可得到b 的取值范围. 【详解】（1）由正弦定理得：2sin sin 2sin cos B C A C -=，。
考点五十九 推理与证明知识梳理1．推理(1)定义：是根据一个或几个已知的判断来确定一个新的判断的思维过程．(2)分类：推理⎩⎪⎨⎪⎧合情推理演绎推理2．合情推理合情推理包括归纳推理和类比推理．(1)归纳推理：根据一类事物中部分事物具有某种属性，推断该类事物中每一个事物都有这种属性．我们将这种推理方式称为归纳推理(简称归纳)．简言之，归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理．(2)类比推理：由于两类不同对象具有某些类似的特征，在此基础上，根据一类对象的其他特征，推断另一类对象也具有类似的其他特征，我们把这种推理过程称为类比推理(简称类比)．简言之，类比推理是两类事物特征之间的推理．归纳推理和类比推理是最常见的合情推理，合情推理的结果不一定正确． 3．演绎推理(1)定义：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理．(2)特点：演绎推理是由一般到特殊的推理． (3)模式：三段论⎩⎪⎨⎪⎧①大前提：已知的一般原理；②小前提：所研究的特殊情况；③结论：根据一般原理，对特殊情况做出的判断.4．归纳推理与类比推理的步骤 (1)归纳推理的一般步骤：①通过观察个别情况发现某些相同特征；②从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题． (2)类比推理的一般步骤：①找出两类事物之间的相似性或一致性；②用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题(猜想)． 5．合情推理与演绎推理的区别：归纳和类比是常用的合情推理．从推理形式上看，归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理，类比推理是由特殊到特殊的推理；而演绎推理是由一般到特殊的推理．从推理所得的结论来看，合情推理的结论不一定正确，有待进一步证明；演绎推理在大前提、小前提和推理形式都正确的前提下，得到的结论一定正确．就数学而言，演绎推理是证明数学结论、建立数学体系的重要思维过程，但数学结论、证明思路等的发现，主要靠合情推理．因此，我们不仅要学会证明，也要学会猜想．6．平面到空间中的常见类比7．直接证明有两种基本方法：综合法和分析法．(1) 综合法：从命题的条件出发，利用定义、公理、定理及运算法则，通过演绎推理，一步一步地接近要证明的结论，直到完成命题的证明．我们把这样的思维方法称为综合法．(2) 分析法：从求证的结论出发，一步一步地探索保证前一个结论成立的充分条件，直到归结为这个命题的条件，或者归结为定义、公理、定理等．我们把这样的思维方法称为分析法．8．间接证明间接证明的一种基本方法是反证法．(1)反证法：我们可以先假定命题结论的反面成立，在这个前提下，若推出的结果与定义、公理、定理相矛盾，或与命题中的已知条件相矛盾，或与假定相矛盾，从而说明命题结论的反面不可能成立，由此断定命题的结论成立．这种证明方法叫作反证法．(2)反证法的证题步骤是：①反设：假定所要证的结论不成立，而设结论的反面(否定命题)成立；(否定结论)②归谬：将“反设”作为条件，由此出发经过正确的推理，导出矛盾——与已知条件、已知的定义、公理、定理及明显的事实矛盾或自相矛盾；(推导矛盾)③立论：因为推理正确，所以产生矛盾的原因在于“反设”的谬误．既然原命题结论的反面不成立，从而肯定了原命题成立．(命题成立)典例剖析题型一 归纳推理 例1 观察下列等式1＝1 2＋3＋4＝9 3＋4＋5＋6＋7＝25 4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝49…照此规律，第五个等式应为_________________________________． 答案 5＋6＋7＋8＋9＋10＋11＋12＋13＝81 解析 由于1＝12， 2＋3＋4＝9＝32， 3＋4＋5＋6＋7＝25＝52， 4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝49＝72，所以第五个等式为5＋6＋7＋8＋9＋10＋11＋12＋13＝92＝81. 变式训练 （2015陕西文）观察下列等式： 1－12＝12， 1－12＋13－14＝13＋14， 1－12＋13－14＋15－16＝14＋15＋16， …，据此规律，第n 个等式可为_______________________________． 答案 1－12＋13－14＋…＋12n －1－12n ＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n解析 等式左边的特征：第1个等式有2项，第2个有4项，第3个有6项，且正负交错，故第n 个等式左边有2n 项且正负交错，应为1－12＋13－14＋…＋12n －1－12n ；等式右边的特征：第1个有1项，第2个有2项，第3个有3项，故第n 个有n 项，且由前几个的规律不难发现第n 个等式右边应为1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n .解题要点 (1)归纳是依据特殊现象推断出一般现象，因而由归纳所得的结论超越了前提所包含的范围；(2)归纳的前提是特殊的情况，所以归纳是立足于观察、经验或试验的基础之上的； (3)归纳推理所得结论未必正确，有待进一步证明，但对数学结论和科学的发现很有用． 题型二 类比推理例2 在平面上，若两个正三角形的边长的比为1∶2，则它们的面积比为1∶4.类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长的比为1∶2，则它们的体积比为________． 答案 1∶8解析 V 1V 2＝13S 1h 113S 2h 2＝⎝⎛⎭⎫S 1S 2·h 1h 2＝14×12＝18. 变式训练 在平面上，设h a ，h b ，h c 是三角形ABC 三条边上的高，P 为三角形内任一点，P 到相应三边的距离分别为P a ，P b ，P c ，我们可以得到结论：P a h a ＋P b h b ＋P ch c ＝1.把它类比到空间，则三棱锥中的类似结论为______________________． 答案P a h a ＋P b h b ＋P c h c ＋P dh d＝1 解析 设h a ，h b ，h c ，h d 分别是三棱锥A －BCD 四个面上的高，P 为三棱锥A －BCD 内任一点，P 到相应四个面的距离分别为P a ，P b ，P c ，P d ， 于是可以得出结论：P a h a ＋P b h b ＋P c h c ＋P dh d＝1.解题要点 (1)进行类比推理，应从具体问题出发，通过观察、分析、联想进行类比，提出猜想．其中找到合适的类比对象是解题的关键．(2)类比推理常见的情形有平面与空间类比；低维的与高维的类比；等差数列与等比数列类比；数的运算与向量的运算类比；圆锥曲线间的类比等． 题型三 演绎推理例3 如果函数f (x )在区间D 上是凸函数，那么对于区间D 内的任意x 1，x 2，…，x n ，都有f (x 1)＋f (x 2)＋…＋f (x n )n ≤f ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 2＋…＋x n n .若y ＝sin x 在区间(0，π)上是凸函数，那么在△ABC中，sin A ＋sin B ＋sin C 的最大值是________． 答案332解析 由题意知，凸函数满足f (x 1)＋f (x 2)＋…＋f (x n )n ≤f⎝⎛⎭⎫x 1＋x 2＋…＋x n n ，又y ＝sin x 在区间(0，π)上是凸函数，则sin A ＋sin B ＋sin C ≤3sin A ＋B ＋C 3＝3sin π3＝332.题型四 综合法和分析法的应用例4 在锐角三角形ABC 中，求证：sin A ＋sin B ＋sin C ＞cos A ＋cos B ＋cos C . 证明：∵△ABC 为锐角三角形， ∴A ＋B ＞π2，∴A ＞π2－B ，∵y ＝sin x 在⎝⎛⎭⎫0，π2上是增函数， ∴sin A ＞sin ⎝⎛⎭⎫π2－B ＝cos B ， 同理可得sin B ＞cos C ，sin C ＞cos A ， ∴sin A ＋sin B ＋sin C ＞cos A ＋cos B ＋cos C .变式训练 设a 、b 、c 均为大于1的正数，且ab ＝10，求证：log a c ＋log b c ≥4lgc.证明：(分析法)由于a>1，b>1，c>1，故要证明log a c ＋log b c ≥4lgc ，只要证明lgc lga ＋lgclgb ≥4lgc ，即lga ＋lgb lga ·lgb≥4，因为ab ＝10，故lga ＋lgb ＝1.只要证明1lgalgb ≥4，由于a>1，b>1，故lga>0，lgb>0，所以0<lgalgb ≤⎝⎛⎭⎫lga ＋lgb 22＝⎝⎛⎭⎫122＝14，即1lgalgb ≥4成立．所以原不等式成立．解题要点 1.综合法是“由因导果”，它是从已知条件出发，顺着推证，经过一系列的中间推理，最后导出所证结论的真实性．分析法是“由果执因”，先从结论入手，由此逐步推出保证此结论成立的充分条件，而当这些判断恰恰都是已证的命题(定义、公理、定理、法则、公式等)或要证命题的已知条件时命题得证。
第48讲 正态分布一、单选题1．（2021·全国高二课时练习）在某市2020年3月份的高三线上质量检测考试中，学生的数学成绩服从正态分布N (98，100)．已知参加本次考试的全市学生有9 455人，如果某学生在这次考试中的数学成绩是108分，那么他的数学成绩大约排在全市第（ ） A ．1 500名 B ．1 700名 C ．4 500名 D ．8 000名【答案】A 【详解】因为学生的数学成绩X 服从正态分布N (98，100)，则P (X >108)=12[1-P (88≤X ≤108)]=12[1-P (μ-σ≤X ≤μ+σ)]≈12×(1-0.6827)=0.15865， 而0.15865×9455≈1500，所以该学生的数学成绩大约排在全市第1500名. 故选：A2．（2021·全国高二课时练习）关于正态分布N (μ，2σ)，下列说法正确的是（ ） A ．随机变量落在区间长度为3σ的区间之外是一个小概率事件 B ．随机变量落在区间长度为6σ的区间之外是一个小概率事件 C ．随机变量落在[－3σ，3σ]之外是一个小概率事件 D ．随机变量落在[μ－3σ，μ＋3σ]之外是一个小概率事件 【答案】D 【详解】由正态分布中的3σ原则，可得3309().973P X μσμσ-≤≤+≈，所以(3P X μσ>-或3)1(33)10.99730.0027X P X μσμσμσ<+=--≤≤+=-≈， 所以随机变量X 落在[]33μσμσ-+，之外是一个小概率事件. 故选：D.3．（2021·全国高二课时练习）设有一正态总体，它的正态曲线是函数f (x )的图象，且()2(10)8x f x --，则这个正态总体的均值与标准差分别是（ ） A ．10与8 B ．10与2 C ．8与10 D ．2与10【答案】B 【详解】由正态密度函数的定义和解析式可知，总体的均值10μ=，方差24σ=，即2σ=. 故选：B.4．（2021·全国高二课时练习）已知X ～N (0，1)，则X 在区间(－∞，－2)内取值的概率约为（ ） A ．0.954 B ．0.046 C ．0.977 D ．0.023【答案】D 【详解】由题意知，正态曲线的对称轴为x ＝0，所以P (X ＜－2)＝0.5－12P (－2≤X ≤2)＝0.5－0.95442＝0.022 8. 故选：D.5．（2021·全国高二课时练习）正态分布N (0，1)在区间(－2，－1)和(1，2)上取值的概率为P 1，P 2，则二者大小关系为（ ） A ．P 1＝P 2 B ．P 1＜P 2C ．P 1＞P 2D ．不确定【答案】A 【详解】根据正态曲线的特点，图象关于x ＝0对称，可得在区间(－2，－1)和(1,2)上取值的概率P 1，P 2相等． 故选：A6．（2021·河北邢台·高三月考）已知随机变量ξ服从正态分布N （3，4），若(21)(21)P c P c ξξ>+=<-，则c 的值为（ ） A ．32B ．2C ．1D ．12【答案】A 【详解】由正态分布的对称性知，(21)33(21)c c +-=--，得32c =. 故选：A7．（2021·河北沧州·）某杂交水稻种植研究所调查某地水稻的株高X （单位：cm ）的情况，得出()2100,10X N ~，随机测量一株水稻，其株高在()110,120（单位：cm ）范围内的概率为（ ）（附：若随机变量()2,X N μσ，则()0.6826P X μσμσ-<<+=，()220.9544P X μσμσ-<<+=）A ．0.0456B ．0.1359C ．0.2718D ．0.3174【答案】B 【详解】由题意得()901100.6826P X <<=，()801200.9544P X <<=，所以()0.95440.68261101200.13592P X -<<==，故选：B8．（2021·全国高二专题练习）正态分布概念是由德国数学家和天文学家Moivre 在1733年首先提出，由于德国数学家高斯率先把其应用于天文学研究，故我们把正态分布又称作高斯分布，早期的天文学家通过长期对某一天体的观测收集到大量数据；对这些数据进行分析发现这些数据变量,X 近似服从()29,N σ，若()100.91P X <=，则()8P X ≤= A ．0.09 B ．0.41C ．0.59D ．0.91【答案】A 【详解】()()()8101100.09P X P X P X ≤=≥=-<=，故选：A . 二、多选题9．（2021·全国高二课时练习）下面给出的关于正态曲线的4个叙述中，正确的有（ ） A ．曲线在x 轴上方，且与x 轴不相交B ．当x >μ时，曲线下降，当x <μ时，曲线上升C ．当μ一定时，σ越小，总体分布越分散，σ越大，总体分布越集中D ．曲线关于直线x ＝μ对称，且当x ＝μ时，位于最高点 【答案】ABD 【详解】由正态密度曲线的几何特点可知：（1）曲线在x 轴上方，且与x 轴不相交；故A 正确.（2）曲线关于直线对称，当x μ=时，曲线处于最高点，当向左右远离时，曲线不断降低，呈现出“中间高、两边低”的钟形曲线；故D 正确.（3）当x μ<时，曲线上升，当x μ>时，曲线下降，并且当曲线向左向右无限延伸时，以x 轴为渐近线，向x 轴无限靠近；故B 正确.（4）当μ一定时，曲线的形状由σ确定；σ越小，曲线越“瘦高”，总体分布越集中，σ越大，曲线越“矮胖”，总体分布越分散；故C 错误. 故选：ABD.10．（2021·全国高二专题练习）如图分别是甲、乙、丙三种品牌手表日走时误差分布的正态分布密度曲线，则下列说法正确的是（ ）A ．三种品牌的手表日走时误差的均值相等B ．三种品牌的手表日走时误差的均值从大到小依次为甲、乙、丙C ．三种品牌的手表日走时误差的方差从小到大依次为甲、乙、丙D ．三种品牌手表中甲品牌的质量最好 【答案】ACD 【详解】由题中图象可知三种品牌的手表日走时误差的平均数（均值）相等，由正态密度曲线的性质，可知σ越大，正态曲线越扁平，σ越小，正态曲线越瘦高，故三种手表日走时误差的标准差（或方差2σ）从小到大依次为甲、乙、丙，甲品牌的质量最好. 故选：ACD.11．（2021·阳江市第一中学高二月考）已知()2~,X N μσ，()()021P X P X ≥+≥-=，且()20.3P X ≤-=，则（ ）A ．1μ=-B ．2μ=-C ．()200.4P X -≤≤=D ．()200.3P X -≤≤=【答案】AC 【详解】因为()()021P X P X ≥+≥-=，所以()()02P X P X ≥=≤-，所以1μ=-. 故()2010.320.4P X -≤≤=-⨯=. 故选：AC12．（2021·福建三明·高二期末）若随机变量()()()~0,2,N x P x ξφξ=≤，其中0x >，则下列等式成立的有（ ） A ．()()1x x φφ-=- B ．()()22x x φφ= C ．()()21P x x ξφ<=- D ．()()22P x x ξφ>=-【答案】ACD 【详解】因为()~0,2N ξ，所以其正态曲线关于直线0x =对称，因为()()x P x φξ=≤，0x >，所以()()()1x P x x φξφ-=≤-=-，A 正确；因为()()()(),2222P x P x x x φξφξ==≤≤，所以()()22x x φφ=不一定成立，B 不正确； 因为()()()()1221P x P x x x x ξξφφ<=-<<=--=-，C 正确；因为()(P x P x ξξ>=>或)x ξ<-()()()122x x x φφφ=-+-=-，D 正确； 故选：ACD.三、填空题13．（2021·全国高二单元测试）设随机变量ξ服从正态分布()43N ，，若()()51P a P a ξξ<-=>+，则实数a =______. 【答案】6 【详解】由题意，随机变量ξ服从正态分布()4,3N ，可得24,3μσ==， 又由()()51P a P a ξξ<-=>+，可得5x a =-和1x a =+关于4x =， 所以518a a -++=，解得6a =. 故答案为：6.14．（2021·福建福州三中高三月考）已知随机变量ξ服从正态分布()2,N μσ，若()()24P m P m ξξ≥-=≤+()m ∈R ，则μ=______． 【答案】3 【详解】 依题意可知()()2432m m μ-++==．故答案为：3.15．（2021·全国高二单元测试）已知随机变量X 服从正态分布N (3，1)，且P (X <2c +2)=P (X >c +4)，则c =__．【答案】0 【详解】因随机变量X 服从正态分布N (3，1)，则它对应的正态密度曲线对称轴为x =3，又P (X <2c +2)=P (X >c +4)， 则由正态分布的对称性可得2c +2+c +4=6，解得c =0， 所以c =0. 故答案为：016．（2021·浙江丽水·高二课时练习）如果随机变量ξ服从N (μ，σ)，且E (ξ)＝3，D (ξ)＝1，那么μ＝________，σ＝________.【答案】3 1 【详解】()~,,N ξμσ()()23,1,E D ξμξσ∴====1σ∴=，故答案为3,1.四、解答题17．（2021·福建三明·高三模拟预测）为促进物资流通，改善出行条件，驻某县扶贫工作组引入资金新建了一条从该县到市区的快速道路.该县脱贫后，工作组为了解该快速道路的交通通行状况，调查了行经该道路的各种类别的机动车共1000辆，对行车速度进行统计后，得到如图所示的频率分布直方图：（1）试根据频率分布直方图，求样本中的这1000辆机动车的平均车速(同一组中的数据用该组区间的中点值代替)；（2）设该公路上机动车的行车速度v 服从正态分布()2,N μσ，其中μ，2σ分别取自该调查样本中机动车的平均车速和车速的方差2s (经计算2210.25s =).（i ）请估计该公路上10000辆机动车中车速不低于85千米/时的车辆数(精确到个位)：（ii ）现从经过该公路的机动车中随机抽取10辆，设车速低于85千米/时的车辆数为X ，求X 的数学期望.附注：若()2~,N ξμσ，则()0.6827P μσξμσ-<≤+=，()220.9545P μσξμσ-<≤+=，()330.9973P μσξμσ-<≤+=.参考数据：229841=.【答案】（1）70.5千米/时；（2）（i ）1587辆，（ii ）()8.4135E X =. 【详解】（1）由图知：(450.01550.015650.02750.03850.015950.01)1070.5v =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯=千米/时. ∴这1000辆机动车的平均车速为70.5千米/时.（2）由（1）及题设知：(70.5,210.25)v N ，则70.5,14.5μσ==， （i ）1()(85)()0.158652P v P v P v μσμσμσ--≤≤+≥=≥+==，∴10000辆机动车中车速不低于85千米/时的车辆数100000.158651587⨯≈辆. （ii ）由（2）知：车速低于85千米/时的概率为10.158650.84135P =-=，故(10,0.84135),X B∴()100.841358.4135E X =⨯=.18．（2021·重庆市清华中学校高三月考）国家发展改革委、住房城乡建设部于2017年发布了《生活垃圾分类制度实施方案》，规定46个城市在2020年底实施生活垃圾强制分类，垃圾回收、利用率要达35%以上.截至2019年底，这46个重点城市生活垃圾分类的居民小区覆盖率已经接近70%.武汉市在实施垃圾分类之前，从本市人口数量在两万人左右的320个社区中随机抽取50个社区，对这50个社区某天产生的垃圾量（单位：吨）进行了调查，得到如下频数分布表，并将人口数量在两万人左右的社区垃圾数量超过28吨/天的确定为“超标”社区：（2）若该市人口数量在两万人左右的社区这一天的垃圾量大致服从正态分布()2,N μσ，其中μ近似为（1）中的样本平均值x ，2σ近似为样本方差2s ，经计算得 5.2s =.请利用正态分布知识估计这320个社区中“超标”社区的个数.（参考数据：()0.6827P X μσμσ-<≤+≈；()220.9545P X μσμσ-<≤+≈；()330.9974P X μσμσ-<≤+≈）【答案】（1）22.8吨；（2）51. 【详解】（1）由频数分布表得： 1451762092312268296322.7622.8542x ⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=+≈⨯⨯=+，所以这50个社区这一天垃圾量的平均值为22.8吨；（2）由（1）知22.8μ=， 5.2s =， 5.2s σ∴==，则28μσ=+， ()()()110.6827280.1586522P X P X P X μσμσμσ--<≤+-∴>=>+===，3200.1586550.76851⨯=≈，所以这320个社区中“超标”社区的个数为51.19．（2021·全国高二单元测试）设从某地前往火车站，可乘公共汽车，也可乘地铁，若乘公共汽车所需时间（单位：min ）X ～N （50，102），乘地铁所需时间Y ～N （60，42），则 （1）若有70min 可用，则乘公共汽车好还是乘地铁好？（2）由于时间紧迫，决定做出租车去火车站，此时使用手机中打车软件甲，甲软件定位了A 公司2辆出租车，B 公司4辆出租车，每车被叫中的概率相等，甲软件能叫来两辆车，求A 公司出租车被叫来的辆数ξ的分布列和数学期望E （ξ）.（已知P （μ﹣3σ＜X ≤μ+3σ）＝0.9974，P （μ﹣2σ＜X ≤μ+2σ）＝0.9544）【答案】（1）乘地铁；（2）分布列见解析，23.【详解】解：（1）乘公共汽车及时赶到的概率为()()10.9544070170192.772P X P X ≤=->-=-= 乘地铁及时赶到的概率为()()()7068168110.95440.97722P Y P Y P Y ≤>≤=->==-- 因此在这种情况下应乘地铁. （2）ξ的取值为0，1，2.则P （ξ＝0）＝2426C C ＝25，P （ξ＝1）＝112426C C C ＝815，P （ξ＝2）＝2226C C ＝115，ξ的分布列E ξ＝0×5+1×15+2×15＝3. 20．（2021·河南（理））市教育局举办了全市高中生关于创建文明城市的知识竞赛（满分120分），规定竞赛成绩不低于90分的为优秀，低于90分的为非优秀.为了解竞赛成绩与学生课外阅读量之间的关系，某研究机构随机抽取了参加竞赛的60名高中生，通过问卷调查，得到以下数据：（2）若参加这次竞赛的高中生共有20000名，参赛学生的竞赛成绩()~90,100N ξ，试估计竞赛成绩大于110分的学生大约有多少人？参考公式及数据：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中na b c d =+++.~,N ξμσ时， 0.6826P μσξμσ-<≤+=，220.9544P μσξμσ-<≤+=.【答案】（1）有99.5%的把握认为课外阅读量与本次竞赛的成绩优秀有关；（2）456人. 【详解】（1）∵()()()()()()2226022208101359.6437.8793030322814n ad bc K a b c d a c b d -⨯-⨯===≈>++++⨯⨯⨯， ∴有99.5%的把握认为课外阅读量与本次竞赛的成绩优秀有关.（2）由()~90,100N ξ，知：90μ=，10σ=. ∴()()()111021220.02282P P P ξξμσμσξμσ>=>+=--<≤+=⎡⎤⎣⎦，故竞赛成绩大于110分的学生约有200000.0228456⨯=，∴估计竞赛成绩大于110分的学生大约有456人.。
考点二十一 不等关系与不等式知识梳理1．不等式在现实世界和日常生活中，既有相等关系，又存在着形形色色的不等关系，它们都是客观存在的基本数量关系，是数学研究的重要内容．在数学中，我们用不等式表示不等关系．不等式的定义：用数学符号“≠”、“＞”、“＜”、“≥”、“≤”连接两个实数或代数式，以表示它们之间的不等关系．含有这些不等号的式子，叫做不等式．注意：“a ≥b ”是指“a ＞b 或a =b ”，等价说法是“a 不小于b ”，对于“a ≥b ”而言，只要a ＞b 和a =b 中有一个成立，a ≥b 就成立，例如：3≥2,2≥2等都是真命题．同理，“a ≤b ”是指“a ＜b 或a =b ”，等价说法是“a 不大于b ”，只要a ＜b 和a =b 中只要有一个成立，a ≤b 就成立． 2．同向不等式我们把a ＞b 和c ＞d (或a ＜b 和c ＜d )这类不等号方向相同的不等式，叫做同向不等式． 3．实数比较大小的两大法则：作差比较和作商比较法关系法则作差比较 作商比较a ＞b a －b ＞0 a b ＞1(a ，b ＞0)或ab＜1(a ，b ＜0) a ＝b a －b ＝0 ab＝1(b ≠0) a ＜ba －b ＜0a b ＜1(a ，b ＞0)或ab＞1(a ，b ＜0) 注意：作商比较时要分清所研究变两个变量的正负，然后根据“若a b ＞1，b ＞0，则a ＞b ；若ab ＞1，b ＜0则a ＜b )”的原则进行判断． 4．不等式的基本性质 (1)对称性：a ＞b ⇔b ＜a . (2)传递性：a ＞b ，b ＞c ⇒a ＞c . (3)可加性：a ＞b ⇒a ＋c ＞b ＋c .(4)可乘性：a ＞b ，c ＞0⇒ac ＞bc ；a ＞b ，c ＜0⇒ac ＜bc . (5)加法法则：a ＞b ，c ＞d ⇒a ＋c ＞b ＋d . (6)乘法法则：a ＞b ＞0，c ＞d ＞0⇒ac ＞bd . (7)乘方法则：a ＞b ＞0⇒a n ＞b n (n ∈N ，n ≥2)． (8)开方法则：a ＞b ＞0⇒n a ＞nb (n ∈N ，n ≥2)． 5．不等式的倒数性质(1)a ＞b ，ab ＞0⇒1a ＜1b .(2)a ＜0＜b ⇒1a ＜1b .(3)a ＞b ＞0,0＜c ＜d ⇒a c ＞bd.注意：(1)在应用传递性时，注意等号是否传递下去，如果两个不等式中有一个带等号而另一个不带等号，那么等号是传递不过去的．如a ≤b ，b ＜c ⇒a ＜c ；(2)在乘法法则中，要特别注意“乘数c 的符号”，例如当c ≠0时，有a ＞b ⇒ac 2＞bc 2；若无c ≠0这个条件，a ＞b ⇒ac 2＞bc 2就是错误结论(当c ＝0时，取“＝”)．典例剖析题型一 不等关系例1 某汽车公司因发展需要需购进一批汽车，计划使用不超过1 000万元的资金购买单价分别为40万元、90万元的A 型汽车和B 型汽车，根据需要，A 型汽车至少买5辆，B 型汽车至少买6辆，写出满足上述所有不等关系的不等式．解析 设购买A 型汽车和B 型汽车分别为x 辆、y 辆， 则⎩⎪⎨⎪⎧40x ＋90y ≤1 000，x ≥5，y ≥6，x ，y ∈N *.即⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋9y ≤100，x ≥5，y ≥6，x ，y ∈N *.变式训练 某校对高一美术生划定录取分数线，专业成绩x 不低于95分，文化课总分y 高于380分，体育成绩z 超过45分，用不等式(组)表示就是__________．(填序号)① ② ③ ④答案 ④解析 ∵x 不低于95分，∴ x ≥95. ∵y 是高于380分，∴y >380. ∵z 超过45分．∴z >45.解题要点 解题时关键是要弄懂“不超过”、“至少”、“不低于”、“超过”这些文字语言，它们与不等号的对应关系如下表：文字语言不超过，至多，小于等于不低于，至少，大于等于超过，大于，高于少于，小于，低于不等号 ≤ ≥ ＞ ＜题型二 比较大小例2 比较下列各组中两个代数式的大小： (1)x 2＋3与3x ； (2)x 1＋x 2与12. 解析 (1)(x 2＋3)－3x ＝x 2－3x ＋3＝(x －32)2＋34≥34＞0，∴x 2＋3＞3x .(2) ∵x 1＋x 2－12＝2x －1－x 22(1＋x 2)＝－(x －1)22(1＋x 2) ≤0，∴x 1＋x 2≤12. 变式训练 已知x <1，试比较x 3－1与2x 2－2x 的大小． 解析 (x 3－1)－(2x 2－2x ) ＝(x －1)(x 2＋x ＋1)－2x (x －1)＝(x －1)(x 2－x ＋1)＝(x －1)[(x －12)2＋34]，∵x <1，∴x －1<0.又(x －12)2＋34>0，∴(x －1)[(x －12)2＋34]<0，∴x 3－1<2x 2－2x .解题要点 “作差比较法”的一般步骤为: (1)作差：对要比较大小的两个式子作差；(2)变形：对差式通过通分、因式分解、配方等手段进行变形； (3)判断符号：对变形后的结果结合题设条件判断出差的符号； (4)作出结论．题型三 不等式的性质例3 (2014·四川)若a >b >0，c <d <0，则一定有__________．(填序号) ① a c >bd②a c <b d ③a d >b c④a d <bc答案 ④解析 方法一：令a ＝3，b ＝2，c ＝－3，d ＝－2，则a c ＝－1，bd ＝－1，所以①，②错误；a d ＝－32，b c ＝－23，所以a d <bc ，所以③错误．故选④.方法二：因为c <d <0，所以－c >－d >0，所以1－d >1－c>0.又a >b >0，所以a －d >b －c，所以a d <bc .故选④.变式训练 设a ，b 是非零实数，若a <b ，则下列不等式成立的是__________．(填序号) ① a 2<b 2 ②ab 2<a 2b ③1ab 2<1a 2b④b a <ab答案 ③解析 当a <0时，a 2<b 2不一定成立，故①错． 因为ab 2－a 2b ＝ab (b －a )，b －a >0，ab 符号不确定， 所以ab 2与a 2b 的大小不能确定，故②错． 因为1ab 2－1a 2b ＝a －ba 2b 2<0，所以1ab 2<1a 2b ，故③正确．④项中b a 与ab的大小不能确定．解题要点 在利用不等式的性质比较不等式时，如果可以赋值，就用赋值法，这样可使问题快速得解；如果赋值不能排除，则应通过推理判断，结合不等式的性质作出判断. 题型三 不等式的性质的应用例4 设α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，β∈⎣⎡⎦⎤0，π2，那么2α－β3的取值范围是__________． 答案 ⎝⎛⎭⎫－π6，π 解析 由题设得0＜2α＜π，0≤β3≤π6，∴－π6≤－β3≤0，∴－π6＜2α－β3＜π.变式训练 若α，β满足⎩⎪⎨⎪⎧－1≤α＋β≤1，1≤α＋2β≤3，则α＋3β的取值范围为________．答案 [1，7]解析 设α＋3β＝x (α＋β)＋y (α＋2β)＝(x ＋y )α＋(x ＋2y )β.则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝1，x ＋2y ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝2. ∵－1≤－(α＋β)≤1，2≤2(α＋2β)≤6， 两式相加，得1≤α＋3β≤7. ∴α＋3β的取值范围是[1，7]．解题要点 在利用同向不等式相加求解表达式范围时，一般可用待定系数法.注意，如果多次利用不等式有可能扩大变量取值范围．当堂练习1．若a 、b 为实数，则“0<ab <1”是“b <1a”的__________条件．答案 既不充分也不必要解析 若0<ab <1，当a <0时，b >1a ，反之，若b <1a ，当a <0时，ab >1.故为既不充分也不必要条件.2．已知a <0，－1<b <0，那么下列不等式成立的是__________．(填序号) ① a >ab >ab 2 ② ab 2>ab >a ③ ab >a >ab 2 ④ ab >ab 2>a 答案 ④解析 ∵a <0，－1<b <0，∴ab 2－a ＝a (b 2－1)>0，ab －ab 2＝ab (1－b )>0. ∴ab >ab 2>a .也可利用特殊值法，取a ＝－2，b ＝－12，则ab 2＝－12，ab ＝1，从而ab >ab 2>a .故应选④.3. 设a ，b ，c ∈R ，且a ＞b ，则__________．(填序号) ① ac ＞bc ② 1a ＜1b ③ a 2＞b 2 ④ a 3＞b 3答案 ④解析 ①项中，若c 小于等于0则不成立；②项中，若a 为正数b 为负数则不成立；③项中，若a ，b 均为负数则不成立．故选④.4．若角α，β满足－π2<α<β<π，则α－β的取值范围是__________．答案 (－3π2，0)解析 ∵－π2<α<β<π，∴－π2<α<π，－π<－β<π2，∴－3π2<α－β<3π2，又α－β<0， ∴－3π2<α－β<0.5．若a 、b ∈R ，则下列不等式：①a 2＋3＞2a ；②a 2＋b 2≥2(a －b －1)；③a 5＋b 5＞a 3b 2＋a 2b 3；④a ＋1a ≥2中一定成立的是__________．(填序号) 答案 ①②解析 ①a 2－2a ＋3＝(a －1)2＋2＞0； ②a 2＋b 2－2a ＋2b ＋2＝(a －1)2＋(b ＋1)2≥0；③a 5－a 3b 2＋b 5－a 2b 3＝a 3(a 2－b 2)＋b 3(b 2－a 2)＝(a 2－b 2)(a 3－b 3)＝(a ＋b )(a －b )2(a 2＋ab ＋b 2)，若a ＝b ，则上式＝0，不成立； ④若a ＜0，则a ＋1a ＜0.∴①②一定成立.课后作业一、 填空题1．设a ，b ∈R ，若b －|a |>0，则下列不等式中正确的是__________．(填序号) ①a －b >0 ② a ＋b >0 ③ a 2－b 2>0 ④ a 3＋b 3<0 答案 ②解析 由b >|a |，可得－b <a <b .由a <b ，可得a －b <0，所以选项①错误．由－b <a ，可得a ＋b >0，所以选项②正确．由b >|a |，两边平方得b 2>a 2，则a 2－b 2<0，所以选项③错误，由－b <a ，可得－b 3<a 3，则a 3＋b 3>0，所以选项④错误.2．设a <b <0，则下列不等式中不成立的是__________．(填序号) ①1a >1b ②1a －b >1a ③|a |>－b ④－a >－b 答案 ②解析 由题设得a <a －b <0，所以有1a －b <1a 成立，即1a －b >1a 不成立．3．若a ＞b ＞0，则下列不等式中一定成立的是__________．(填序号) ①a ＋1b ＞b ＋1a ②b a ＞b ＋1a ＋1 ③a －1b ＞b －1a ④2a ＋b a ＋2b ＞a b答案 ①解析 ∵a ＞b ＞0，∴1b ＞1a ＞0，∴a ＋1b ＞b ＋1a，选①项．4．设a ，b ∈R ，则“(a －b )·a 2<0”是“a <b ”的__________条件． 答案 充分而不必要解析 若(a －b )·a 2<0，则a ≠0，且a <b ，所以充分性成立；若a <b ，则a －b <0，当a ＝0时，(a －b )·a 2＝0，所以必要性不成立．故“(a －b )·a 2<0”是“a <b ”的充分而不必要条件． 5．若a 、b 、c 为实数，则下列命题正确的是__________．(填序号) ①若a ＞b ，c ＞d ，则ac ＞bd ②若a ＜b ＜0，则a 2＞ab ＞b 2 ③若a ＜b ＜0，则1a ＜1b ④若a ＜b ＜0，则b a ＞ab答案 ②解析 对于①，只有当a ＞b ＞0，c ＞d ＞0时，不等式才成立；③中由a ＜b ＜0，得1a ＞1b ，故③不正确，又b a －a b ＝b 2－a 2ba ＝(b ＋a )(b －a )ab ，又a ＜b ＜0，∴(b ＋a )(b －a )ab ＜0，∴b a ＜ab ，故④不正确；对于②，∵a ＜b ＜0，∴a 2＞ab ＞b 2，故选②. 6．若a ，b ∈R ，下列命题中①若|a |＞b ，则a 2＞b 2； ②若a 2＞b 2，则|a |＞b ； ③若a ＞|b |，则a 2＞b 2； ④若a 2＞b 2，则a ＞|b |. 其中正确的是__________．(填序号) 答案 ②和③解析 条件|a |＞b ，不能保证b 是正数，条件a ＞|b |可保证a 是正数， 故①不正确，③正确．a 2＞b 2⇒|a |＞|b |≥b ，故②正确，④不正确．7．已知a ，b ，c 满足c ＜b ＜a 且ac ＜0，则下列选项中不一定能成立的是__________．(填序号) ①c a ＜b a ②b －a c ＞0 ③b 2c ＜a 2c ④a －c ac ＜0 答案 ③解析 ∵c ＜b ＜a ，且ac ＜0，∴c ＜0，a ＞0，∴c a ＜b a ，b －a c ＞0，a －c ac ＜0，但b 2与a 2的关系不确定，故b 2c ＜a 2c不一定成立．选③项． 8．若a ，b ，c ∈R ，a >b ，则下列不等式成立的是__________．(填序号) ①a 2>b 2 ②a |c |>b |c | ③1a <1b ④a c 2＋1>bc 2＋1答案 ④解析 方法一：(特殊值法)令a ＝1，b ＝－2，c ＝0，代入①，②，③，④中，可知①，②，③均错，故选④. 方法二：(直接法)∵a >b ，c 2＋1>0，∴a c 2＋1>bc 2＋1，故选④.9．若a >b >c ，则1b －c 与1a －c的大小关系为________． 答案1a －c <1b －c解析 ∵a >b >c ，∴a －c >b －c >0，∴1a －c <1b －c.10．现给出三个不等式：①a 2＋1>2a ；②a 2＋b 2>2a －b －32；③7＋10>3＋14.其中恒成立的不等式共有________个． 答案 2解析 ①∵a 2＋1－2a ＝(a －1)2≥0，故①不恒成立； ②a 2＋b 2－2a ＋2b ＋3＝(a －1)2＋(b ＋1)2＋1>0， ∴a 2＋b 2>2a －b －32恒成立;③∵(7＋10)2＝17＋270，(3＋14)2＝17＋242， 又∵70>42， ∴17＋270>17＋242， ∴7＋10>3＋14，成立．11．若x ＞y ，a ＞b ，则在 ①a －x ＞b －y ，②a ＋x ＞b ＋y ，③ax ＞by ，④x －b ＞y －a ，⑤a y ＞bx 这五个式子中，恒成立的不等式的序号是__________．(写出所有恒成立的不等式的序号)． 答案 ②④解析 令x ＝－2，y ＝－3，a ＝3，b ＝2， 符合题设条件x ＞y ，a ＞b ，∵a －x ＝3－(－2)＝5，b －y ＝2－(－3)＝5， ∴a －x ＝b －y ，因此①不成立． 又∵ax ＝－6，by ＝－6， ∴ax ＝by ，因此③也不正确． 又∵a y ＝3－3＝－1，b x ＝2－2＝－1，∴a y ＝bx，因此⑤不正确． 由不等式的性质可推 出②④成立． 二、解答题12．已知某学生共有10元钱，打算购买单价分别为0.6元和 0.7元的铅笔和练习本，根据需要，铅笔至少买7枝，练习本至少买6本．写出满足条件的不等式． 解析 设铅笔买x 枝，练习本买y 本(x ，y ∈N *)，总钱数为 0.6x ＋0.7y ，且不大于10，∴⎩⎪⎨⎪⎧0.6x ＋0.7y ≤10，x ≥7，x ∈N *，y ≥6，y ∈N *.13．设x ＝(a ＋3)(a －5)，y ＝(a ＋2)(a －4)，试比较x 与y 的大小． 解析 ∵x －y ＝a 2＋3a －5a －15－a 2－2a ＋4a ＋8＝－7<0，∴x <y .。
艺术生高考数学复习资料1、1、1任意角一、【学习目标】1、将00—3600的角推广到任意角；2、理解任意角、象限角、终边相同的角的概念和含义；3、理解象限角集合、终边相同角集合、轴线角集合.<1>什么是角？角是怎么定义的？结论：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形. 如图所示，一条射线的端点是O，它从起始位置OA按逆时针方向旋转到终止位置OB，形成一个角∠α，射线OA、OB分别是角α的始边和终边.注意：为了简单起见，在不引起混淆的前提下，∠α可以简记为α.<2>什么是正角？什么是负角？什么是零度角？结论：按逆时针方向旋转形成的角是正角.按顺时针方向旋转所形成的角叫负角.一条射线没有做任何旋转，我们称为零角.<3>什么是任意角？结论：这样，我们把角分为了正角、负角、零度角，我们就把角的概念推广到了任意角. 如图所示.图1中的角是一个正角，它等于750；图2中的正角为2100，负角为-1500，-6600.<1>什么是象限角？结论：我们常在直角坐标系内讨论角，为了讨论问题方便，我们使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么，角的终边在第几象限，我们就说这个角是第几象限角.例如，图中的300角、-1200角分别是第一象限角和第三象限角.<2>将角按照上述方法放在直角坐标系中，给定一个角，就有唯一的一条终边与之对应.反之，对于直角坐标系内任意一条射线OB，以它为终边的角是否唯一？如果不唯一，那么终边相同的角有什么关系？（终边相同的角.）结论：不难发现，在图中，如果-320的终边是OB，那么3280，-3920……角的终边都是OB，并且与-32角终边相同的这些角都可以表示成-32的角与k个（k∈Z）周角的和，如3280=-320+3600（这里k=1），-3920=-320-3600（这里k=-1）.设S={β|β=-32+k360，k∈Z }，则3280，-3920都是S的元素，-320也是S 的元素，这里k=0.因此所有与-320角终边相同的角，连同-320在内，都是集合S的元素；反过来，集合S的任一元素显然与-320角终边相同.一般地，我们有：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合：S={β|β=α+k3600，k∈Z }，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和.注意：①α为任意角；②k3600与α之间是“+”号，k3600-α可以理解为k3600+（-α）.③相等的角，终边一定相同；终边相同的角不一定相等，中边相同的角有无数个，它们相差3600的整数倍；④k∈Z这一条件必不可少.练习一：教材例1、例2、例3例1.例1、在0360︒︒~X 围内，找出与95012'︒－角终边相同的角，并判定它是第几象限角.（注：0360︒︒－是指0360β︒︒≤<）例2、写出终边在y 轴上的角的集合.例3、写出终边直线在y x =上的角的集合S ,并把S 中适合不等式360α︒-≤720︒<的元素β写出来.练习二：教材第5页练习（1）、（2）(1)(口答)锐角是第几象限角?第一象限角一定是锐角吗?再分别就直角、钝角来回答这两个问题.(2)(回答)今天是星期三那么7()k k Z ∈天后的那一天是星期几?7()k k Z ∈天前的那一天是星期几?100天后的那一天是星期几?练习三：教材第5页练习（3）、（4）、（5）. 【教学效果】：理解象限角、轴线角的概念. 3、知识点引申 <1>象限角集合第一象限角的集合为：{x|k3600<x<k3600+900，k ∈Z}; 第二象限角的集合为：{x|k3600+900<x<k3600+1800，k ∈Z} 第三象限角的集合为：{x|k3600+1800<x<k3600+2700，k ∈Z} 第四象限角的集合为：{x|k3600+2700<x<k3600+3600，k ∈Z} <2>轴线角的集合终边落在x 轴的非负半轴上的角的集合为{x|x=k3600，k ∈Z} 终边落在x 轴的非正半轴上的角的集合为{x|x=k3600+1800，k ∈Z} 终边落在x 轴上的角的集合为{x|x=k1800，k ∈Z}终边落在y 轴的非负半轴上的角的集合为{x|x=k3600+900，k ∈Z} 终边落在y 轴的非正半轴上的角的集合为{x|x=k3600—900，k ∈Z} 终边落在y 轴上的角的集合为{x|x=k1800+900，k ∈Z}【教学效果】：理解轴线角、象限角的集合，对以后的学习是很有用的.1、1、2弧度制一、【学习目标】1、理解弧度的概念，会熟练的进行角度与弧度的转换；2、能用弧度表示终边相同角的角；3、熟记并能熟练应用弧长公式、扇形面积公式. <1>什么叫角度制，请简要复述之.结论：角度制规定：将一个圆周分成360份，每一份叫做1度，故一周等于360度，平角等于180度，直角等于90度等等. <2>什么叫做弧度制，请简要复述之.结论：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度角，记作1rad ，或1弧度，或1(单位可以省略不写).如图所示：<3>半径为r 的圆的圆心与圆点重合，角α的始边与x 轴的非负半轴重合，交圆于点A ，终边与圆交于点B.请在下列表格中 填空.结论：我们知道，角有正负零角之分，它的弧度数也应该有正负零之分，如-π，-2π等等，一般地, 正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0,角的正负主要由角的旋转方向来决定.<4>如果一个半径为r 的圆的圆心角α所对的弧长是l ,那么a 的弧度数是多少?结论：角α的弧度数的绝对值是：r l /=α，其中，l 是圆心角所对的弧长，r 是半径. 角的正负主要由角的旋转方向来决定 <5>熟记下列特殊角的弧度数：00，300，450，600，900，1200，1350，1500，1800，2100，2250，2400，2700，3000，3150，3300，3600 结论：角的概念推广以后,在弧度制下,角的集合与实数集R 之间建立了一一对应关系:即每一个角都有唯一的一个实数(即这个角的弧度数)与它对应；反过来，每一个实数也都有唯一的一个角（即弧度数等于这个实数的角）与它对应.例1、按照下列要求,把'6730︒化成弧度:精确值；精确到0.001的近似值. 例2、将3.14rad 换算成角度(用度数表示,精确到0.001). 例4、利用计算器比较sin1.5和sin850的大小.注意:角度制与弧度制的换算主要抓住180rad π︒=,另外注意计算器计算非特殊角的方法.<6>利用弧度制证明下列关于扇形的公式:(1)l R α=; (2)20.5S R α=; (3)0.5S lR =.其中R 是半径,l 是弧长,(02)ααπ<<为圆心角,S 是扇形的面积. 训练题1、已知扇形的周长是6，面积是2，则扇形的中心角是多少？（2或4）2、已知扇形的周长为10cm ，面积为4cm 2，求扇形圆心角的弧度数.3、已知扇形的圆心角为72，半径等于200，求扇形的面积.4、与-15600终边相同的角的集合中，最小正角是多少？最大负角是多少？绝对值最小的角是多少？任意角的三角函数教学目的：1、 掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义，；2、 掌握三角函数值的符号的确定方法；3、 记住三角函数的定义域、值域，诱导公式（一）； 教学重点、难点重点：三角函数的定义，各三角函数值在每个象限的符号，特殊角的三角函数值难点：对三角函数的自变量的多值性的理解，三角函数的求值中符号的确定 教学过程： 一、复习引入：初中锐角的三角函数是如何定义的？在Rt △ABC 中，设A 对边为a ，B 对边为b ，C 对边为c ，锐角A 的正弦、余弦、正切依次为,,a b asinA cosA tanA c c b=== ． 角推广后，这样的三角函数的定义不再适用，我们必须对三角函数重新定义。
三、平面向量1．基本概念：向量的定义、向量的模、零向量、单位向量、相反向量、共线向量、相等向量。
2． 加法与减法的代数运算：(1)n n n A A A A A A A A 113221=+++- ．(2)若a =（11,y x ）,b =（22,y x ）则a ±b =（2121,y y x x ±±）． 向量加法与减法的几何表示：平行四边形法则、三角形法则。
以向量AB =a 、AD =b 为邻边作平行四边形ABCD ，则两条对角线的向量AC =a +b ,=b －a ,=a －b且有︱︱－︱︱≤︱±︱≤︱︱+︱︱．向量加法有如下规律：＋=＋(交换律); +(+c )=(+ )+c （结合律）; +0= ＋(－)=0.3．实数与向量的积：实数λ与向量a 的积是一个向量。
(1)︱λa ︱=︱λ︱·︱a ︱;(2) 当λ＞0时，λ与的方向相同；当λ＜0时，λ与的方向相反；当λ=0时，λ=0．(3)若=（11,y x ），则λ·=（11,y x λλ）． 两个向量共线的充要条件：(1) 向量b 与非零向量a 共线的充要条件是有且仅有一个实数λ，使得b =λa ． (2) 若=（11,y x ）,b =（22,y x ）则∥b 01221=-⇔y x y x ． 平面向量基本定理：若e 1、e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数1λ，2λ，使得a =1λe 1+ 2λe 2．4．P 分有向线段21P P 所成的比：设P 1、P 2是直线l 上两个点，点P 是l 上不同于P 1、P 2的任意一点，则存在一个实数λ使P P 1=λ2P P ，λ叫做点P 分有向线段21P P 所成的比。
当点P 在线段21P P 上时，λ＞0；当点P 在线段21P P 或12P 的延长线上时，λ＜0； 分点坐标公式：若P P 1=λ2P P ；21,,P P P 的坐标分别为（11,y x ）,（y x ,）,（22,y x ）；则⎩⎨⎧++=++=λλλλ112121x x x y y y （λ≠－1）， 中点坐标公式：⎩⎨⎧+=+=222121x x x y y y ．5． 向量的数量积： （1）向量的夹角：已知两个非零向量与b ，作=, =b ,则∠AOB=θ （001800≤≤θ）叫做向量与b 的夹角。
第7节 抛物线最新考纲核心素养考情聚焦1.了解抛物线的实际背景，了解抛物线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用．2.掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质1.抛物线的定义及其应用，达成直观想象和数学建模的素养． 2.抛物线的标准方程与几何性质掌握与应用，增强直观想象、逻辑推理和数学运算的素养． 3.直线与抛物线的位置关系的判断与应用，提升逻辑推理、数学抽象和数学运算的素养抛物线的定义、标准方程、几何性质近年高考命题的热点．常与圆、椭圆、双曲线、直线、导数等知识交汇考查，考查学生的分析问题解决问题的能力．三种题型都有可能出现，选择题、填空题一般为中低档题型，解答题为中高档题．做题时要充分利用函数与方程思想、转化与化归思想、数形结合等数学思想的运用1．抛物线的定义(1)平面内与一个定点F 和一条定直线l (F ∉l )的距离 相等 的点的轨迹叫做抛物线．点F 叫做抛物线的焦点，直线l 叫做抛物线的 准线 .(2)其数学表达式：|MF |＝d (其中d 为点M 到准线的距离)． 2．抛物线的标准方程与几何性质 标准方程y 2＝2px (p ＞0)y 2＝－2px (p ＞0)x 2＝2py (p ＞0)x 2＝－2py (p ＞0)p 的几何意义：焦点F 到准线l 的 距离图形顶点 O (0,0)对称轴 y ＝0x ＝0焦点 F ⎝⎛⎭⎫p 2，0F ⎝⎛⎭⎫－p2，0 F ⎝⎛⎭⎫0，p2 F ⎝⎛⎭⎫0，－p2 离心率 e ＝ 1准线方程x ＝－p2x ＝p2y ＝－p2y ＝p 2范围 x ≥0，y ∈R x ≤0， y ∈R y ≥0， x ∈Ry ≤0，x ∈R 开口方向 向 右 向 左 向 上 向 下 焦半径(其中P (x 0，y 0))|PF |＝ x 0＋p2|PF |＝－x 0＋p2|PF |＝y 0＋p2|PF |＝ －y 0＋p2与焦点弦有关的常用结论(以下图为依据)(1)y 1y 2＝－p 2，x 1x 2＝p 24. (2)|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝2psin 2θ(θ为AB 的倾斜角)．(3)1|AF |＋1|BF |为定值2p. (4)以AB 为直径的圆与准线相切． (5)以AF 或BF 为直径的圆与y 轴相切[思考辨析]判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”． (1)平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹一定是抛物线．( ) (2)抛物线y 2＝4x 的焦点到准线的距离是4.( )(3)若直线与抛物线只有一个交点，则直线与抛物线一定相切．( )(4)方程y ＝ax 2(a ≠0)表示的曲线是焦点在x 轴上的抛物线，且其焦点坐标是⎝⎛⎭⎫a 4，0，准线方程是x ＝－a4.( )(5)若一抛物线过点P (－2,3)，其标准方程可写为y 2＝2px (p >0)．( )(6)过抛物线的焦点与抛物线对称轴垂直的直线被抛物线截得的线段叫做抛物线的通径，那么抛物线x 2＝－2ay (a >0)的通径长为2a .( )答案：(1)× (2)× (3)× (4)× (5)× (6)√ [小题查验]1．坐标平面内到定点F (－1,0)的距离和到定直线l ：x ＝1的距离相等的点的轨迹方程是( )A ．y 2＝2xB ．y 2＝－2xC ．y 2＝4xD ．y 2＝－4x解析：D [由抛物线的定义知，点的轨迹是开口向左的抛物线，且p ＝2，∴其方程为y 2＝－2px ＝－4x .]2．(2019·南昌市一模)已知抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，准线l 与x 轴的交点为K ，抛物线上一点P ，若|PF |＝5，则△PKF 的面积为( )A ．4B ．5C ．8D ．10解析：A [F (1,0)，K (－1,0)，准线方程为x ＝－1.设P (x 0，y 0)，则|PF |＝x 0＋1＝5，即x 0＝4，.不妨设P 在第一象限，则P (4,4)，∴S PKF ＝12×|FK |×|y 0|＝12×2×4＝4.故选A.]3．(2019·西宁市模拟)已知点P 是抛物线y 2＝4x 上的一点，F 为抛物线的焦点，若|PF |＝5，则点P 的横坐标为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：D [如图，抛物线y 2＝4x 的焦点F (1,0)，准线方程为x ＝－1. 由|PF |＝5，得x P ＋1＝5，则x P ＝4. 即点P 的横坐标为4.故选D.]4．(2018·北京卷)已知直线l 过点(1,0)且垂直于x 轴，若l 被抛物线y 2＝4ax 截得的线段长为4，则抛物线的焦点坐标为________．解析：由题可得：点P (1,2)在抛物线上，将P (1,2)代入y 2＝4ax 中解得：a ＝1，∴y 2＝4x . 由抛物线方程可得：2p ＝4，p ＝2，p2＝1∴焦点坐标为(1,0)．答案：(1,0)5．(人教A 版教材例题改编)已知抛物线的顶点是原点，对称轴为坐标轴，并且经过点P (－2，－4)，则该抛物线的标准方程为________．解析：很明显点P 在第三象限，所以抛物线的焦点可能在x 轴负半轴上或y 轴负半轴上． 当焦点在x 轴负半轴上时，设方程为y 2＝－2px (p ＞0)，把点P (－2，－4)的坐标代入得(－4)2＝－2p ×(－2)，解得p ＝4，此时抛物线的标准方程为y 2＝－8x ；当焦点在y 轴负半轴上时，设方程为x 2＝－2py (p ＞0)，把点P (－2，－4)的坐标代入得(－2)2＝－2p ×(－4)，解得p ＝12，此时抛物线的标准方程为x 2＝－y .综上可知，抛物线的标准方程为y 2＝－8x 或x 2＝－y . 答案：y 2＝－8x 或x 2＝－y考点一 抛物线的标准方程与几何性质(自主练透)[题组集训]1．(2019·泉州市模拟)如图，过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 的直线依次交抛物线及准线于点A ，B ，C ，若|BC |＝2|BF |，且|AF |＝3，则抛物线的方程为( )A ．y 2＝32xB ．y 2＝3xC ．y 2＝92xD ．y 2＝9x解析：B [如图，分别过点A ，B 作准线的垂线，分别交准线于点E ，D ，设|BF |＝a ，则由已知得|BC |＝2a .由定义得：|BD |＝a ，故∠BCD ＝30°.在直角三角形ACE 中，因为|AF |＝3，|AC |＝3＋3a ，又2|AE |＝|AC |，所以3＋3a ＝6，从而得a ＝1.因为BD ∥FG ，所以1p ＝23，求得p ＝32，因此抛物线方程为y 2＝3x .故选B.]2．(2019·全国Ⅱ卷)若抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点是椭圆x 23p ＋y 2p＝1的一个焦点，则p ＝( )A ．2B ．3C ．4D ．8解析：D [由椭圆x 23p ＋y 2p ＝1，知半焦距c ＝3p －p ＝2p ，∴2p ＝p2，∴p ＝8.]3．(2017·高考全国Ⅱ卷)已知F 是抛物线C ：y 2＝8x 的焦点，M 是C 上一点，FM 的延长线交y 轴于点N .若M 为FN 的中点，则|FN |＝________.解析：抛物线C ：y 2＝8x 的焦点为F (2,0)，准线l ：x ＝－2，如图，M 为FN 的中点，故易知线段BM 为梯形AFMC 的中位线．∵|CN |＝2，| AF |＝4，∴|MB |＝3.又由定义|MB |＝|MF |，且|MN |＝|MF |， ∴|NF |＝|NM |＋|MF |＝6.答案：61．求抛物线的标准方程的方法(1)求抛物线的标准方程常用待定系数法，因为未知数只有p ，所以只需一个条件确定p 值即可．(2)因为抛物线方程有四种标准形式，因此求抛物线方程时，需先定位，再定量． 2．确定及应用抛物线性质的技巧(1)利用抛物线方程确定及应用其焦点、准线等性质时，关键是将抛物线方程化为标准方程．(2)要结合图形分析，灵活运用平面几何的性质以图助解．考点二抛物线的定义及其应用(多维探究)[命题角度1]到焦点与定点距离之和最小问题1．已知抛物线的方程为x2＝8y，F是焦点，点A(－2,4)，在此抛物线上求一点P，使|PF|＋|P A|的值最小，则点P的坐标为________．直观想象、逻辑推理数学运算——抛物线的定义及其应用中的核心素养以抛物线的简单几何性质的相关知识为基础，借助抛物线及其他平面图形的几何性质和数量关系建立有关的方程及不等式，通过解方程式不等式求距离和最小值，增强直观想象、逻辑推理和数学运算的核心素养．信息提取信息解读直观想象、逻辑推理和数学运算抛物线的方程为x2＝8y，F 是焦点，点A(－2,4)点A(－2,4)在抛物线x2＝8y的内部直观想象：画出符合题意的图形．逻辑推理：数形结合，利用抛物线的定义以及三角形三边关系定理，过点A作准线l的垂线，垂线与抛物线的交点即为点P.数学运算：点P的横坐标就是点A的横坐标，将其代入抛物线的方程即可求出点P的纵坐标在此抛物线上求一点P，使|PF|＋|P A|的值最小根据抛物线的定义，|PF|等于点P到抛物线的准线为l的距离解析：∵(－2)2<8×4，∴点A(－2,4)在抛物线x2＝8y的内部．如图，设抛物线的准线为l，过点P作PQ⊥l于点Q，过点A作AB⊥l于点B，连接AQ.由抛物线的定义可知|PF|＋|P A|＝|PQ|＋|P A|≥|AQ|≥|AB|，当且仅当P，Q，A三点共线时，|PF|＋|P A|取得最小值，即为|AB|.∵A(－2,4)，∴不妨设|PF|＋|P A|的值最小时，点P的坐标为(－2，y0)，代入x2＝8y，得y0＝12.故使|PF |＋|P A |的值最小的抛物线上的点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫－2，12. 答案：⎝⎛⎭⎫－2，12与抛物线有关的最值问题，一般情况下都与抛物线的定义有关．由于抛物线的定义在运用上有较大的灵活性，因此此类问题也有一定的难度．“看到准线想焦点，看到焦点想准线”，这是解决抛物线焦点弦有关问题的重要途径. 将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，利用“与直线上所有点的连线中垂线段最短”原理解决．[命题角度2] 到点与准线的距离之和最小问题2．已知P 为抛物线y 2＝4x 上一个动点，Q 为圆x 2＋(y －4)2＝1上一个动点，那么点P 到点Q 的距离与点P 到抛物线准线的距离之和的最小值是________．解析：由题意知，圆x 2＋(y －4)2＝1的圆心为C (0,4)，半径为1，抛物线的焦点为F (1,0)．根据抛物线的定义，点P 到点Q 的距离与点P 到抛物线准线的距离之和即点P 到点Q 的距离与点P 到抛物线焦点的距离之和，因此|PQ |＋|PF |≥|PC |＋|PF |－1≥|CF |－1＝17－1.答案：17－1将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离，构造出“两点之间线段最短”，使问题得解．[命题角度3] 到定直线的距离最小问题3．抛物线y ＝－x 2上的点到直线4x ＋3y －8＝0距离的最小值是________．解析：法一：如图，设与直线4x ＋3y －8＝0平行且与抛物线y ＝－x 2相切的直线为4x ＋3y ＋b ＝0，切线方程与抛物线方程联立得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x 2，4x ＋3y ＋b ＝0消去y 整理得3x 2－4x －b ＝0，则Δ＝16＋12b ＝0，解得b ＝－43，所以切线方程为4x ＋3y －43＝0，抛物线y ＝－x 2上的点到直线4x ＋3y －8＝0距离的最小值是这两条平行线间的距离d ＝⎪⎪⎪⎪8－435＝43.法二：对y ＝－x 2，有y ′＝－2x .如图，设与直线4x ＋3y －8＝0平行且与抛物线y ＝－x 2相切的直线与抛物线的切点是T (m ，－m 2)，则切线斜率k ＝y ′|x ＝m ＝－2m ＝－43，所以m ＝23，即切点T ⎝⎛⎭⎫23，－49，点T 到直线4x ＋3y －8＝0的距离d ＝⎪⎪⎪⎪83－43－816＋9＝43，由图知抛物线y ＝－x 2上的点到直线4x ＋3y －8＝0距离的最小值是43.答案：43到定直线的距离最小问题，实际是求已知直线的平行线与抛物线相切，再求两条平行直线之间的距离．[命题角度4] 焦点弦中距离之和最小问题4．已知抛物线y 2＝4x ，过焦点F 的直线与抛物线交于A ，B 两点，过A ，B 分别作y 轴垂线，垂足分别为C ，D ，则|AC |＋|BD |的最小值为________．解析：由题意知F (1,0)，|AC |＋|BD |＝|AF |＋|FB |－2＝|AB |－2，即|AC |＋|BD |取得最小值时当且仅当|AB |取得最小值．依抛物线定义知当|AB |为通径，即|AB |＝2p ＝4时，为最小值，所以|AC |＋|BD |的最小值为2.答案：2在圆锥曲线中，在过焦点的所有弦中，通径最短．这是一个定值问题，需牢记．考点三 直线与抛物线的位置关系(多维探究)[命题角度1] 直线与抛物线的公共点(交点)问题1．(2018·高考北京卷)已知抛物线C ：y 2＝2px 经过点P (1,2)，过点Q (0,1)的直线l 与抛物线C 有两个不同的交点A ，B ，且直线P A 交y 轴于M ，直线PB 交y 轴于N .(1)求直线l 的斜率的取值范围；(2)设O 为原点，QM →＝λQO →，QN →＝μQO →，求证：1λ＋1μ为定值．解：(1)依题意，抛物线y 2＝2px 经过点P (1,2)， 可得：4＝2p ，解得p ＝2，所以抛物线的方程为y 2＝4x .由题意可知直线l 的斜率存在，设直线l 的斜率为k ，由题意可知k ≠0. ①若直线l 恰好过点P (1,2)，此时k ＝2－11－0＝1，由题意可知直线l 不能过点P ， ∴直线l 的斜率k ≠1.②若直线l 与抛物线的一个交点恰为(1，－2)，此时该点与P 点所在直线斜率不存在，则该直线与y 轴无交点，与题目条件矛盾，此时k ＝－2－11－0＝－3∴直线l 的斜率k ≠－3.③设直线l 的方程为y ＝kx ＋1，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1y 2＝4x ，消y 整理可得：k 2x 2＋(2k －4)x ＋1＝0.∵直线l 与抛物线有两个不同的交点， ∴Δ＝(2k －4)2－4k 2>0，解得：k <1.综上所述，k 的取值范围是(－∞，－3)∪(－3,0)∪(0,1) (2)证明：因为A (x 1，y 1)B (x 2，y 2)，P (1,2)，Q (0,1)， 所以直线P A 的方程为y －2＝y 1－2x 1－1(x －1)，令x ＝0，解得y ＝2－y 1x 1－1＋2＝2x 1－y 1x 1－1，所以M 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，2x 1－y 1x 1－1.同理可得：N 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，2x 2－y 2x 2－1.所以QM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，2x 1－y 1x 1－1－1， QN →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，2x 2－y 2x 2－1－1，QO →＝(0，－1)， 由QM →＝λQO →，QN →＝μQO →可得： 2x 1－y 1x 1－1－1＝－λ，2x 2－y 2x 2－1－1＝－μ 所以λ＝1－2x 1－y 1x 1－1＝x 1－1－2x 1＋(kx 1＋1)x 1－1＝x 1(k －1)x 1－1，同理可得：μ＝x 2(k －1)x 2－1.所以1λ＋1μ＝x 1－1x 1(k －1)＋x 2－1x 2(k －1)＝1k －1⎝⎛⎭⎫x 1－1x 1＋x 2－1x 2 ＝1k －1·2x 1x 2－(x 1＋x 2)x 1x 2.由(1)可得：x 1＋x 2＝4－2k k 2，x 1x 2＝1k2，所以1λ＋1μ＝1k －1·2·1k 2－4－2k k 21k 2＝1k －1·(2k －2)＝2.所以1λ＋1μ为定值2.①判断直线与圆锥曲线的交点个数时，可直接求解相应方程组得到交点坐标，也可利用消元后的一元二次方程的判别式来确定，需注意利用判别式的前提是二次项系数不为0.②解题时注意应用根与系数的关系及设而不求、整体代换的技巧．[命题角度2] 与抛物线弦长(中点)有关的问题2．(2019·泰安市模拟)已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，抛物线C 与直线l 1：y ＝－x 的一个交点的横坐标为8.(1)求抛物线C 的方程；(2)不过原点的直线l 2与l 1垂直，且与抛物线交于不同的两点A ，B ，若线段AB 的中点为P ，且|OP |＝|PB |，求△F AB 的面积．解：(1)易知直线与抛物线的交点坐标为(8，－8)， ∴(－8)2＝2p ×8，∴2p ＝8，∴抛物线方程为y 2＝8x .(2)直线l 2与l 1垂直，故可设直线l 2∶x ＝y ＋m ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，且直线l 2与x 轴的交点为M .由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝8x ，x ＝y ＋m ，得y 2－8y －8m ＝0， Δ＝64＋32m >0，∴m >－2.y 1＋y 2＝8，y 1y 2＝－8m ，∴x 1x 2＝y 21y 2264＝m 2.由题意可知OA ⊥OB ，即x 1x 2＋y 1y 2＝m 2－8m ＝0， ∴m ＝8或m ＝0(舍)，∴直线l 2∶x ＝y ＋8，M (8,0)． 故S △F AB ＝S △FMB ＋S △FMA ＝12·|FM |·|y 1－y 2|＝3(y 1＋y 2)2－4y 1y 2＝24 5.(1)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB |＝x 1＋x 2＋p ，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．(2)涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”“整体代入”等解法．(3)涉及弦的中点、斜率时，一般用“点差法”求解.1．(2019·沈阳市监测)抛物线y ＝4ax 2(a ≠0)的焦点坐标是( ) A ．(0，a ) B ．(a,0) C.⎝⎛⎭⎫0，116a D.⎝⎛⎭⎫116a ，0解析：C [将y ＝4ax 2(a ≠0)化为标准方程得x 2＝14a y (a ≠0)，所以焦点坐标为⎝⎛⎭⎫0，116a ，所以选C.]2．已知抛物线C 与双曲线x 2－y 2＝1有相同的焦点，且顶点在原点，则抛物线C 的方程是( )A ．y 2＝±22xB ．y 2＝±2xC ．y 2＝±4xD ．y 2＝±42x解析：D [因为双曲线的焦点为(－2，0)，(2，0)， 设抛物线方程为y 2＝±2px (p ＞0)，则p2＝2，所以p ＝22，所以抛物线方程为y 2＝±42x .]3．(2019·海淀区一模)若抛物线y 2＝2px (p ＞0)上任意一点到焦点的距离恒大于1，则p 的取值范围是( )A ．p ＜1B ．p ＞1C ．p ＜2D ．p ＞2解析：D [∵设P 为抛物线的任意一点，则P 到焦点的距离等于到准线：x ＝－p2的距离，显然当p 为抛物线的顶点时，p 到准线的距离取得最小值p 2.∴p2＞1，即p ＞2.故选D.]4．(2019·广州市模拟)如果P 1，P 2，…，P n 是抛物线C ：y 2＝4x 上的点，它们的横坐标依次为x 1，x 2，…，x n ，F 是抛物线C 的焦点，若x 1＋x 2＋…＋x n ＝10，则|P 1F |＋|P 2F |＋…＋|P n F |＝( )A ．n ＋10B ．n ＋20C ．2n ＋10D ．2n ＋20解析：A [由抛物线的方程y 2＝4x 可知其焦点为(1,0)，准线为x ＝－1，由抛物线的定义可知|P 1F |＝x 1＋1，|P 2F |＝x 2＋1，…，|P n F |＝x n ＋1，所以|P 1F |＋|P 2F |＋…＋|P n F |＝x 1＋1＋x 2＋1＋…＋x n ＋1＝(x 1＋x 2＋…＋x n )＋n ＝n ＋10.故选A.]5．(2019·上饶市一模)已知抛物线C ：y 2＝8x 的焦点为F ，点M (－2,2)，过点F 且斜率为k 的直线与C 交于A ，B 两点，若MA →·MB →＝0，则k ＝( )A.2B.22 C.12D ．2 解析：D [由抛物线C ：y 2＝8x 得焦点F (2,0)．由题意可知：斜率k 存在，设直线AB 为y ＝k (x －2)， 代入抛物线方程，得到k 2x 2－(4k 2＋8)x ＋4k 2＝0，Δ＞0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，∴x 1＋x 2＝4＋8k 2，x 1x 2＝4，∴y 1＋y 2＝8k，y 1y 2＝－16.又MA →·MB →＝0，∴MA →·MB →＝(x 1＋2，y 1－2)·(x 2＋2，y 2－2)＝16k 2－16k＋4＝0，∴k ＝2.故选D.]6．(2019·邯郸市模拟)设点P 在圆C ：x 2＋(y －6)2＝5上，点Q 在抛物线x 2＝4y 上，则|PQ |的最小值为________．解析：设Q (x ，y )，其中x 2＝4y .又圆心C (0,6)，则|QC |＝x 2＋(y －6)2＝4y 2＋(y －6)2 ＝y 2－8y ＋36(y ≥0)．当y ＝4时，|QC |min ＝25，所以|PQ |min ＝|QC |min －r ＝25－5＝ 5. 答案： 57．(2019·来宾市调研)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线与抛物线y 2＝2px (p >0)的准线分别交于A ，B 两点，O 为坐标原点，若双曲线的离心率为2，△AOB 的面积为3，则该抛物线的标准方程是________________________________________________________．解析：把x ＝－p 2代入y ＝±b a x ，解得y ＝±pb2a，所以|AB |＝pb a .因为△AOB 的面积为3，所以12×p 2×pb a ＝3，由e ＝ca ＝1＋⎝⎛⎭⎫b a 2＝2.解得b a ＝3，所以p 24×3＝3，解得p ＝2，所以该抛物线的标准方程是y 2＝4x . 答案：y 2＝4x8．(2019·重庆市模拟)过抛物线y 2＝2x 的焦点F 作直线交抛物线于A ，B 两点，若|AB |＝2512，|AF |<|BF |，则|AF |＝________.解析：F 点坐标为⎝⎛⎭⎫12，0，设A ，B 两点的横坐标为x 1，x 2.因|AF |<|BF |，故直线AB 不垂直于x 轴．设直线AB 为y ＝k ⎝⎛⎭⎫x －12，联立直线与抛物线的方程，得k 2x 2－(k 2＋2)x ＋k24＝0，①则x 1＋x 2＝k 2＋2k 2.又|AB |＝x 1＋x 2＋1＝2512，可解得k 2＝24，代入①式得12x 2－13x ＋3＝0，即(3x －1)(4x －3)＝0.而|AF |<|BF |，所以x 1＝13.由抛物线的定义，得|AF |＝x 1＋12＝56.答案：569．(2018·全国卷Ⅱ)设抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，过F 且斜率为k (k >0)的直线l 与C 交于A ，B 两点，|AB |＝8.(1)求l 的方程；(2)求过点A ，B 且与C 的准线相切的圆的方程．解：(1)设直线l 的方程为y ＝k (x －1)，代入抛物线y 2＝4x 中得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0， 而Δ＝(2k 2＋4)2－4k 4＝16k 2＋16>0恒成立． 设A (x ，y )，B (x 2，y 2)，则 ⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝2＋4k 2x 1x 2＝1∴|AB |＝1＋k 2(x 1＋x 2)2－4x 1x 2 ＝1＋k 2⎝⎛⎭⎫2＋4k 22－4.∴1＋k 2⎝⎛⎭⎫2＋4k 22－4＝8，解得k 2＝1， 即k ＝±1，又∵k >0，∴k ＝1.∴直线l 的方程为y ＝x －1，即x －y －1＝0(2)由(1)得AB 的中点坐标为(3,2)，所以AB 的垂直平分线方程为y －2＝－(x －3)，即y ＝－x ＋5，设所求圆的圆心坐标为(x 0，y 0)，由勾股弦可得⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝－x 0＋5(x 0＋1)2＝(x 0－y 0－1)22＋16. 解得⎩⎪⎨⎪⎧ x 0＝3y 0＝2，或⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝11y 0＝－6，故所求圆的方程为(x －3)2＋(y －2)2＝16或(x －11)2＋(y ＋6)2＝144.10．(2018·高考全国卷Ⅱ)设抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，过F 且斜率为k (k ＞0)的直线l 与C 交于A ，B 两点，|AB |＝8.(1)求l 的方程；(2)求过点A ，B 且与C 的准线相切的圆的方程．解：(1)设直线l 的方程为y ＝k (x －1)，代入抛物线y 2＝4x 中得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0， 而Δ＝(2k 2＋4)2－4k 4＝16k 2＋16>0恒成立． ⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝2＋4k 2x 1x 2＝1∴|AB |＝1＋k 2(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝1＋k 2⎝⎛⎭⎫2＋4k 22－4.∴1＋k 2⎝⎛⎭⎫2＋4k 22－4＝8，解得k 2＝1， 即k ＝±1.∵k ＞0，∴k ＝1.∴直线l 的方程为y ＝x －1，即x －y －1＝0.(2)由(1)得AB 的中点坐标为(3,2)，所以AB 的垂直平分线方程为y －2＝－(x －3)，即y ＝－x ＋5，设所求圆的圆心坐标为(x 0，y 0)，由勾股弦可得⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝－x 0＋5(x 0＋1)2＝(x 0－y 0－1)22＋16. 解得⎩⎪⎨⎪⎧ x 0＝3y 0＝2或⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝11y 0＝－6，故所求圆的方程为(x －3)2＋(y －2)2＝16或(x －11)2＋(y ＋6)2＝144.。
第1节 常见不等式及其解法1．一元一次不等式的解法不等式ax ＞b (a ≠0)的解集为：当a ＞0时，解集为{x |x ＞b a }．当a ＜0时，解集为{x |x ＜ba}．的情形，以便确定解集的形式．解集是解的集合，故一元二次不等式的解集一定要写成集合或区间的形式！！解不等式（高中我们能遇到的所有不等式）的通用步骤：①解方程②画图像③写解集 例1．解下列不等式：(1)2x 2＋7x ＋3＞0； (2)x 2－4x －5≤0； (3)－4x 2＋18x －814≥0；(4)－12x 2＋3x －5＞0；(5)－2x 2＋3x －2＜0；(6)已知关于x 的不等式x 2＋ax ＋b ＜0的解集为{x |1＜x ＜2}，求关于x 的不等式bx 2＋ax ＋1＞0的解集． 例2．解下列不等式： (1)x ＋23－x ≥0； (2)2x －13－4x >11．已知集合P ＝{x |x 2－x －2≤0}，Q ＝{x |log 2(x －1)≤1}，则(?R P )∩Q ＝( )A ．[2,3]B ．(－∞，1]∪[3，＋∞)C ．(2,3]D ．(－∞，－1]∪(3，＋∞)2．设a >0，不等式－c <ax ＋b <c 的解集是{x |－2<x <1}，则a ∶b ∶c ＝( )A ．1∶2∶3B ．2∶1∶3C ．3∶1∶2D ．3∶2∶1 3．(2013·高考江西卷)下列选项中，使不等式x ＜1x＜x 2成立的x 的取值范围是( )A ．(－∞，－1)B ．(－1,0)C ．(0,1)D ．(1，＋∞)4．若不等式mx 2＋2mx －4＜2x 2＋4x 对任意x 均成立，则实数m 的取值范围是( )A ．(－2,2]B ．(－2,2)C ．(－∞，－2)∪[2，＋∞)D ．(－∞，2]5．解下列不等式 6．解下列方程组第2节 高考数学中的运算——对数运算对数的概念 (1)对数的定义：如果a x ＝N (a >0且a ≠1)，那么数x 叫做以a 为底N 的对数，记作x ＝log a N ，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数（真数必为正数）．当a ＝10时叫常用对数，记作x ＝lg N ；当a ＝e 时叫自然对数，记作x ＝ln N ．(2)对数的常用关系式(a ，b ，c ，d 均大于0且不等于1)： ①log a 1＝0．②log a a ＝1，m a ma =log③对数恒等式：a log aN ＝N ．④换底公式：log a b ＝log c blog c a ，推广log a b ＝1log b alog a b ·log b c ·log c d ＝log a d ．(3)对数的运算法则：如果a >0，且a ≠1，M >0，N >0，那么： ①log a (M ·N )＝log a M ＋log a N ； ②log a MN＝log a M －log a N ；③log a M n ＝n log a M (n ∈R)；④log a m M n ＝nmlog a M=1．化简下列各式： (1)14lg 23lg5lg5+-(2)3lglg 70lg 37+-(3) 2lg 2lg5lg 201+⋅-(4)25941log log 27log 123235-+2（15．浙江）计算：22log 2=________，24log 3log 32+=________．若，则________．3．方程log 2 (1－2x )＝1的解x ＝_________． 计算log 6[log 4(log 381)]＝_________． 4．有下列五个等式，其中a>0且a≠1，x>0 , y>0，其中正确的是 ． ①log ()log log a a a x y x y +=⋅， ②22log ()2(log log )a a a x y x y -=-③1log log log 2aa a x y y =-， ④log log log ()a a a x y x y ⋅=⋅ 第3节 高考数学中的运算——三角计算一．任意角 1．角的概念角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．2．角的表示顶点：用O 表示；始边：用OA 表示，用语言可表示为起始位置； 终边：用OB 表示，用语言可表示为终止位置．3．角的分类（1）正角：按 方向旋转形成的角；加一个角按 方向旋转． （2）负角：按 方向旋转形成的角；减一个角按 方向旋转．（3）零角：射线没有作任何旋转，称为形成一个零角．任意角大小比较： ，因此小于90°的角不一定是锐角…………4．象限角在直角坐标系中研究角时，当角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合时，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角．如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限．5．终边相同的角所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S ＝{}β|β＝α＋k ·360°，k ∈Z ，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和．二．弧度制2．任意角的弧度数与实数的对应关系正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0． 3．角的弧度数的计算如果半径为r 的圆的圆心角α所对弧的长为l ，那么，角α的弧度数的绝对值是|α|＝lr．扇形的面积公式：4．角度制与弧度制的换算 (1)1．任意角三角函数的定义将角的顶点与原点O 重合，始边与直角坐标系x 轴非负半轴重合，角的终边上任意取一点P (x ，y )，则对应角的正弦值sin α＝22y x y +，余弦值cos α＝22y x x + ，正切值tan α＝xy，常记22y x r +=． 由此定义，求任意角的三角函数值可按以下步骤完成：常见特殊角三角函数值（利用两特殊直角三角形计算并记忆！）2例1．根据下列条件求sin α，cos α，tan α．(1)α＝－π3； (2)已知角α的终边经过点P (－3,4)．(3)角α的终边经过点P (－4a,3a )(a ≠0)，则sin α＝________；(4)已知角α的终边过点P (5，a )，且tan α＝－125，求sin α＋cos α的值．1．已知角α的终边经过点P (－1,2)，则cos α的值为( )A ．－55B ．－5C ．255D ．522．α是第二象限角，P (x ，5)是其终边上一点，且cos α＝24x ，则x 的值为( ) A ． 3B ．±3C ．－ 3D ．－ 23．如果点P (sin θ＋cos θ，sin θcos θ)位于第二象限，那么角θ所在的象限是( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限4．若角α是第二象限角，则点P (sin α，cos α)在第________象限．5．(2011·江西高考)已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x 轴的正半轴，若P (4，y )是角θ终边上一点，且sin θ＝－255，则y ＝________． 四．同角三角函数的基本关系子成立，如sin 22α＋cos 22α＝1，tan 3α＝sin 3αcos 3α都是成立的．2．两个公式常见变形（解题时可“知一求二”： ） sin 2α＋cos 2α＝1?sin 2α＝1－cos 2α?cos 2α＝1－sin 2α；tan α＝sin αcos α?sin α＝tan α·cos α．例1．已知tan α＝43，且α是第三象限角(1)求sin α，cos α的值；(2)求6sin α－2cos α3sin α＋5cos α的值．例2．(1)已知sin α－cos α＝12，求sin αcos α的值．(2)已知0＜α＜π，sin α＋cos α＝15，求tan α的值．(3)已知α∈R ，sin α＋2cos α＝102求tan 2α．(4)已知3tan sin 2=⋅αα，求αα44cos sin +的值．五．三角函数的诱导公式诱导公式填空(1)公式一：sin(α＋2k π)＝ ，cos(α＋2k π)＝ ， tan(α＋2k π)＝ [k ∈Z]． (2)公式二：sin(π＋α)＝ ， cos(π＋α)＝ ， tan(π＋α)＝ ． (3)公式三：sin(－α)＝ ， cos(－α)＝ ， tan(－α)＝ ． (4)公式四：sin(π－α)＝ ， cos(π－α)＝ ，tan(π－α)＝ ．(5)公式五：sin(π2－α)＝ ，cos(π2－α)＝ ， tan(π2－α)＝ ．(6)公式六：sin(π2＋α)＝ ， cos(π2＋α)＝ ， t an(π2－α)＝ ．口诀记法：“奇变偶不变，符号看象限”例．已知f (α)＝cos ?π2＋α?·cos ?2π－α?·sin ?－α＋3π2?sin ?－π－α?·sin ?3π2＋α?．(1)化简f (α)；(2)若α是第三象限角，且cos(α－3π2)＝15，求f (α)的值．1．已知sin(α－π4)＝13，则cos(π4＋α)的值等于( )A ．223B ．－233C ．13D ．－132．填正负号：)32sin(__)23sin(ππ-=-x x ，)32cos(__)23cos(ππ-=-x x ，)3tan(__)3tan(ππ-=-x x第4节 正余弦定理解三角形：一般地，三角形的三个角A,B,C 和它们的三条对边a ，b ，c 叫做三角形的元素．已知三角形的几个元素求其它元素的过程叫作解三角形．设△ABC 的三边分别为a 、b 、c ，所对的三个角分别为A 、B 、C ，其面积为S ．(1)S ＝12ah (h 为BC 边上的高)；(2)S ＝12absin C ＝12bcsin A ＝12acsinB （一般根据角选公式）重点考法：判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转化，统一成边的形式或角的形式．若转化为边边关系，一般通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状；若转化为内角的三角函数间的关系，通过三角函数恒等变形，得出内角的关系，从而判断出三角形的形状。
一集合与简易逻辑基本知识点1.________________________________________叫集合,______________________叫元素;2.集合按其元素个数分类:可分为:1.__________;2.__________;3.__________;3.集合的表示方法有:1._____________; 2._____________;3._____________;4.集合元素的3个性质:1._____________; 2._____________;3._____________;5.常见的数集:数集符号6.若_______________________________________,则称A是B的真子集,记作___________;若_______________________________________,则称A与B相等.7.设全集为U,__________________________________叫A在U中的补集,记作___________;8. ____________________________________________叫A与B的交集,记作___________; _____________________________________________叫A与B的并集,记作___________.9.含有n个元素的集合有个子集.10.原命题:若p则q;逆命题为: ;否命题为: ;逆否命题为: ;11.四种命题的真假关系:两个命题互为逆否命题,它们有的真假性;四种命题中真命题或假命题的个数必为___________个.12.充分条件与必要条件:⑴如果p⇒q,则p是q的条件,q是p的条件;⑵如果p⇒q,q⇒p,则p是q的条件.⑶如果,则p是q的充分而不必要条件;⑷如果,则p是q的必要而不充分条件;⑸如果,则p是q的既不充分也不必要条件.13.复合命题形式的真假判别方法;p q 非p P或q P且q真真真假假真假假14.““∃x∈M,p(x)”的否定为___________________;15. “p∧q”的否定为__________________;“p∨q”的否定为___________________;二基本初等函数知识点1.函数的定义:_________________________________________________________________, _____________叫定义域,____________叫值域.2.函数的表示方法:⑴___________;⑵___________;⑶___________;3.____________________________________________________________________叫增函数; __________________________________________________________________叫减函数;4.__________________________________叫奇函数;其图象特征:_______________________; ___________________________________叫偶函数;其图象特征:______________________;奇偶函数的定义域_______________________________;5._____________________________________叫周期函数,________________叫最小正周期.6.基本初等函数的图象与性质:一次函数y＝kx+b反比例函数y=kx(k≠0)k>0 k<0 k>0 k<0 图象性质定义域值域单调性二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)钩函数y=x+1x桥函数y=x－1xa>0 a<0图象性质定义域值域顶点极值点: 零点: 对称轴渐近线: 渐近线: 单调性7.nm a ＝___________;nm a＝________＝__________(a>0,m,n ∈N*);8.对数定义:a b ＝N ___________________(a>0,a ≠1);9.对数运算性质:⑴__________________;⑵__________________;⑶____________________; 10.对数恒等式:_________________;换底公式:________________________; 11.指数函数,对数函数图象与性质指数函数y ＝_________ 对数函数y ＝_________a>1 0<a<1a>10<a<1图象性质定义域 值域过定点单调性12.幂函数的图象与性质 y=x α(α∈Q) 奇偶性 α>1 0<α<1 α<0 图象 图象 图象 α=奇奇α=偶奇α=奇偶三 导数基本知识点1.设函数y=f(x)在区间上(a,b)有定义,x 0∈(a,b),当x 的增量△x 无限趋近于0时,比值△x△y=___________________________无限趋近于一个常数A,则称函数f(x)在x=x 0处可导,并称该常数A 为函数y=f(x)在x=x 0处的_______,记作________. 2.导数的几何意义:曲线y=f(x)上有两点:Q(x 0,f((x 0)),P(x 0+△x,f((x 0+△x)),则割线PQ 的斜率为_____________,当点P 沿着曲线向点Q 无限靠近时,割线PQ 的斜率就会无限逼近点Q 处切线斜率,即当△x 无限趋近于0时,k PQ ＝____________无限趋近点Q 处切线的_________,即y=f(x)在点(x 0,f((x 0))处的________. 4.基本初等函数的求导公式:(C)′＝________;(x α)′＝________,(α为常数);(a x )′＝________,(a ＞0,a ≠1) (log a x)′＝________＝________,(a ＞0,a ≠1); 注:当a ＝e 时, (e x )′＝________,(lnx)′＝________, (sinx)′＝_________,(cosx)′＝_________; 5.导数的运算法则法则1 [u(x)±v(x)]′＝_____________________; 法则2 [cu(x)] ′＝_____________________; 法则3 [u(x)v(x)]′＝_____________________; 法则4 [u(x)v(x)]′＝_____________________(v(x)≠0).6.用导数的符号判别函数增减性的方法:若f′(x)>0,则函数f(x)为_____________,若f′(x)<0,则函数f(x)为____________;7.求可导函数单调区间的一般步骤和方法:⑴确定函数f(x)的_________;⑵求f′(x),令f′(x)＝0,解此方程,求出它在定义域内的一切___________;⑶把上面的各实根按由_________的顺序排列起来,然后用这些点把函数f(x)的定义区间分成若干个小区间;⑷确定f′(x)在各个小区间内的符号,根据f′(x)的_______判断函数f′(x)在每个相应小区间内的增减性; 8.函数极值的定义:设函数f(x)在点x 0附近有定义,如果对0x 附近的所有点,都有f(x)<f(x 0)(或f(x)>f(x 0)),就说f(x 0)是函数f(x)的一个极_____值(或极______值); __________和___________统称为极值;9.求可导函数f(x)在[a,b]上的最大或最小值的一般步骤和方法:①求函数f(x)在(a,b)上的值;②将极值与区间端点的函数值f(a),f(b) 比较,确定最值.四 三角函数基本知识点1.与角α终边相同的角的集合___________________________;2.360°＝_____rad,180°＝____rad,1°＝____rad≈____rad, 1rad ＝____°≈____°;3.用弧度表示的弧长公式:____________,面积公式:_________________.4.三角函数定义:__________________________________________________; 正弦,余弦,正切在各个象限的符号:___________________________________.5.______________________公式:⑴平方关系:_______________________,⑵商数关系:_____________________; 6._____________公式:⑴sin(2kπ＋α)＝_______,cos(2kπ＋α)＝_________,tan(2kπ＋α)＝________; ⑵sin(－α)＝__________,cos(－α)＝____________,tan(－α)＝___________; ⑶sin(π－α)＝_________,cos(π－α)＝___________,tan(π－α)＝__________; ⑷sin(π＋α)＝_________,cos(π＋α)＝___________,tan(π＋α)＝__________;⑸sin(2π－α)＝_________,cos(2π－α)＝___________,tan(2π－α)＝__________;⑹sin(π2－α)＝_______,cos(π2－α)＝_______; ⑺sin(π2＋α)＝______,cos(π2＋α)＝_______;⑻sin(3π2－α)＝______,cos(3π2－α)＝______; ⑼sin(3π2+α)＝______,cos(3π2+α)＝______;记忆口诀:_____________________________________________.7.特殊角三角函数值角度 0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° 270° 360° 弧度sinαcosαtanα函数正弦余弦正切图象定义域值域周期性奇偶性单调性对称性9.图象变换(写出下列图象变换过程)y＝sinx—————————→y＝sin(x＋φ)y＝sin(ωx)———————→y＝sin(ωx＋φ)———→y＝Asin(ωx＋φ)(A>0,ω>0) 10._____________公式:cos(α－β)＝____________________;cos(α＋β)＝_____________________;sin(α－β)＝____________________;sin(α＋β)＝______________________;tan(α－β)＝____________________;tan(α＋β)＝______________________;11._____________公式:asinα＋bcosα＝____________________________________;12._____________公式:sin2α＝_________,cos2α＝____________＝____________＝_____________,tan2α＝_________;13._____________公式:sin2α＝___________,cos2α＝___________,tan2α＝____________;14._____________公式:设t ＝tan α2,则sinα＝_________,cosα＝__________,tanα＝___________;15.用sinα,cosα表示tan α2＝_________＝_________;16.正弦定理:_____________________________________________; 17.三角形面积公式:_______________________________________;18.余弦定理:⑴a 2＝_______________,b 2＝_______________,c 2＝____________;⑵cosA ＝___________________,cosB ＝___________________,cosC ＝_________________;五 向量基本知识点1.向量概念:⑴___________________________叫向量;________________叫做向量的模. ⑵____________________________叫零向量, _______________________叫单位向量. ⑶___________________________叫平行向量,又叫_______向量,规定:0→与任一向量共线. ⑷__________________________叫相等向量,___________________________叫相反向量. 2.向量加法运算律:⑴_________________; ⑵_________________; 3.向量共线定理:与共线⇔___________________________________; 4.向量加法,减法,数乘的坐标运算法则:已知＝(x 1,y 1),＝(x 2,y 2),λ∈R,那么＋＝________;－＝_________;λ＝__________;5.向量AB 坐标(x,y)与其起点A(x 1,y 1),终点B(x 2,y 2)坐标关系:______________;6.向量平行的坐标表示:已知＝(x 1,y 1),＝(x 2,y 2),与平行⇔_______;7.向量数量积的定义:________________________________;8.向量数量积的运算律:⑴_____________; ⑵____________; ⑶__________;9.向量数量积的坐标表示:已知a ＝(x 1,y 1),b ＝(x 2,y 2),则a ·b ＝_____________; 10.已知＝(x,y),则2＝____________; ||＝____________＝__________; 11.两点间距离公式:_____________________________________________; 12.已知非零向量a ＝(x 1,y 1),b ＝(x 2,y 2),它们的夹角为θ,则其夹角公式: ________＝_________________＝________________;13.已知非零向量a ＝(x 1,y 1),b ＝(x 2,y 2),则a ⊥b ⇔_______⇔_______;六数列基本知识点㈠数列1.____________________________________________叫数列; ______________叫数列的项, 数列可以看作一个定义域为____________的函数,它的图象是____________.2._________________________________________________________叫数列的通项公式.3.________________________________________________________叫数列的递推公式.4.数列的分类:⑴按项数分:______________,______________;⑵按照项与项的大小关系分:__________,__________,_____________,_______________,5.若已知数列{a n}的前n项和S n,则其通项a n=_____________.㈡等差数列6.______________________________________叫等差数列; 常数叫这个等差数列的______.7.______________________________________________叫等差中项.8.等差数列的通项公式___________________,_____________________.9.等差数列的图象是______________________.10.等差数列前n项和公式______________________,________________________.求等差数列前n项和的方法叫______________________.11.{a n}是等差数列⇔a n＝_____________________;{a n}是等差数列⇔S n＝______________________;12.一个等差数列有五个基本元素:_________________________,知道其中___个,就可以求出其它___个,即“知___求___”.13.等差数列的单调性:①d>0时,{a n}递_____,S n有最____值;②d<0时,{a n}递_____,S n有最____值;③d＝0时,{a n}_______.14.下标和性质:等差数列{a n}中,m,n,p,q∈N*,若m＋n＝p＋q,则_____________;若m＋n＝2p,则___________15.等差数列{a n}中,S n是前n项和,则S m, _________,________是等差数列.16.{a n},{b n}均为等差数列,m,k∈R,则________________________仍是等差数列.17.等差数列{a n},{b n}的前n项和分别为S n,T n,则a mb m＝__________.18.等差数列{a n}中,①若a n＝m,a m＝n(m≠n),则a m＋n＝________;②若S n＝m,S m＝n(m≠n),则S m＋n＝________;㈢等比数列19.______________________________________________________叫等比数列;常数叫这个等比数列的______.20.______________________________________________叫等比中项.21.等比数列的通项公式___________________,_____________________.22.等比数列前n项和公式____________________,________________________.求等比数列前n项和的方法叫______________________.23.一个等比数列有五个基本元素:_________________________,知道其中___个,就可以求出其它___个,即“知___求___”.24.已知等比数列{a n }首项a1,公比q,则其单调性:①________________________________________________时,{a n }递增;②________________________________________________时,{a n }递减;③_______________时,{a n }为常数列;④___________时,{a n }为摆动数列.25.下标和性质:等比数列{a n}中,m,n,p,q∈N*,若m＋n＝p＋q,则_______________;若m＋n＝2p,则___________26.等比数列{a n}中,S n是前n项和,则S m, _________,__________是等比数列.27.{a n},{b n}均为等比数列,m,k∈R,则__________________仍是等比数列.七不等式基本知识点1.三个“二次型”的关系判别式△＞0 △=0 △＜0 二次函数y=ax2+bx+c(a＞0)的图象一元二次方程ax2+bx+c=0(a＞0)的解一元二次不等式的解集ax2+bx+c>0 (a>0) ax2+bx+c<0 (a>0)2.不等式性质:①对称性a>b⇔________;②传递性a>b,b>c⇒________;③加法性质a>b,c∈R⇒____________,a>b,c>d⇒_____________;④乘法性质a>b,c>0⇒_________,a>b,c<0⇒_________,a>b>0,c>d>0⇒_____________;⑤正数乘方a>b>0⇒____________;⑥正数开方a>b>0⇒____________.3.已知a,b∈(0,+∞),有四个数:a2＋b22,a+b2,ab,21a＋1b,用“≤”连接这几个数.___________________________.使用基本不等式要注意:一正,二定,三相等.4.a>0,b>0,a,b的乘积为定值,那么当且仅当________时,a+b有最值是_______;a,b的和为定值,那么当且仅当______时,ab有最_____值是_____.所谓和定积最大,积定和最小.5.二元一次不等式表示平面区域:在平面直角坐标系中,直线Ax+By+C=0(A,B不同时为0)将平面分成三个部分,直线上的点满足于_______________________,直线一边为________ ___________,另一边为________________,如何判断不等式只需取一个_______代入即可.6.线性规划问题一般用图解法,其步骤如下:⑴根据题意设出_________________________;⑵找出________________;⑶确定____________;⑷画出_________________;⑸利用线性目标函数___________________;观察函数图形,找出_______________________,给出答案.八立体几何基本知识点一空间几何体及表面积和体积1.________________________________的几何体叫棱柱,棱柱的底面是______________,且对应边________,侧面都是_____________;_______________________________叫直棱柱, ___________________________叫正棱柱.2._____________________________的几何体叫棱锥,棱锥的底面是__________,侧面是___; __________________________________________________________叫正棱锥.3.____________________________________________________的几何体叫棱台.4.圆柱由________形绕_________旋转而成;圆锥由____________形绕__________旋转而成;圆台由_______形绕___________旋转而成;球由_______形绕______旋转而成.5.直棱柱侧面积公式:S直棱柱=_________; 正棱锥侧面积公式:S正棱锥=__________;正棱台侧面积公式:S正棱台=_________; 球表面积公式:S球=______________;6.柱体体积公式:V柱体=________;锥体体积公式:V锥体=________;球体体积公式:V球=_______.二点线面位置关系1.平面的基本性质及推论:⑴公理1:__________________________________________________________;⑵公理2:__________________________________________________________;⑶公理3:__________________________________________________________;①推论1:__________________________________________________________;②推论2:__________________________________________________________;③推论3:__________________________________________________________;⑷公理4:__________________________________________________________;⑸等角定理:_______________________________________________________;2.空间两条直线的位置关系有:_____________,通常有两种分类方法:_________________.3.________________________________________叫异面直线所成角,其范围是_________. 直线与平面的位置关系有:________种.位置关系公共点符号表示图形表示定理名称图形符号表示证明方向线面平行判定定理aα bααα∥∥ababa⇒⎪⎭⎪⎬⎫⊂⊄线线平行=>线面平行线面平行性质定理线面垂直判定定理线面垂直性质定理6.__________________________________________叫直线与平面所成的角其范围是_____.7.平面与平面的位置关系有:________种:位置关系公共点符号表示图形表示叫二面角, ________________________叫二面角的平面角,其范围是__________.用符号表述下列定理,并画出图形定理名称图形符号表示证明方向面面平行判定定理面面平行性质定理面面垂直判定定理面面垂直性质定理九解析几何基本知识点㈠直线和圆1.___________________________________________叫直线的倾斜角,其范围是__________; ___________________________________叫直线的斜率,它与倾斜角的关系是________.2.直线方程有5种形式:①________式:_______________;②________式:_________________;③_____式:________________;④_______式:_________________;⑤____式:___________.3.⑴已知直线l1:y＝k1x＋b1,l2:y＝k2x＋b2,则l1∥l2⇔______________;l1与l2重合⇔________; l1与l2相交⇔___________;l1⊥l2⇔_____________;⑵已知直线l1:A1x＋B1y＋C1＝0,l2:A2x＋B2y＋C2＝0,则l1∥l2⇔_____________________; l1与l2重合⇔________________;l1与l2相交⇔_______________;l1⊥l2⇔_____________;4.直线l 1:A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0,l 2:A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0,则方程组⎩⎨⎧=++=++0C y B x A 0C y B x A 222111________时, l 1∥l 2;方程组_______________时,l 1与l 2重合;方程组________时,l 1与l 2相交,_______就是交点坐标.5.坐标平面上两点间距离公式:______________________;中点坐标公式______________.6.点P(x 0,y 0)到直线l :Ax ＋By ＋C ＝0距离公式:_____________________________;两平行直线l 1:Ax ＋By ＋C 1＝0,l 2:Ax ＋By ＋C 2＝0间距离公式___________.7.圆的标准方程:__________________________;圆的一般方程:________________________,已知点A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),以线段AB 为直径的圆方程:_____________________________. 8.已知⊙C 方程f(x,y)=0,点P(x 0,y 0),则点P 在⊙C 上⇔___________________;点P 在⊙C 外⇔________________;点P 在⊙C 内⇔______________; 9.直线和圆的位置关系.直线与圆位置 相离 相切 相交 判断方法代数法(两方程联立)几何法(圆心到直线距离d,半径r)10.圆的切线:⑴点P(x 0,y 0)在圆x 2+y 2=r 2上,则过点P 的圆的切线方程:__________________; ⑵点P(x 0,y 0)在圆(x －a)2+(y －b)2=r 2上,则过点P 的圆的切线方程:____________________; ⑶点P(x 0,y 0)在圆C 外,则过点P 的圆的切线有_____条,先设出切线的________式方程,再利用_____________求出切线斜率,如果只求出一个斜率值,要注意斜率不存在时的情况. 11.直线和圆相交,⑴设圆心到直线距离为d,圆的半径为r,则直线被圆截得的弦长为_______;⑵斜率为k 的直线l 与曲线相交于点A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),则|AB|=____________=__________. 12.断圆和圆的位置关系. 圆与圆位置 外离 外切 相交 内切 内含 判断方法:几何法(两圆心距d, 两圆半径R,r)13.⑴经过圆C 1:f(x,y)=0,圆C 2:g(x,y)=0交点的圆系方程:______________________________; ⑵经过圆C 1:f(x,y)=0,圆C 2:g(x,y)=0交点的直线(即公共弦所在直线)方程:____________; 14.空间直角坐标系中两点间距离公式:_________________;中点坐标公式______________.㈡椭圆1椭圆的第一定义:___________________________________________________________ 注:a＞0,当|PF1|＋|PF2|＝2a ＞|F1F2|＝2c时,满足条件的轨迹是________________; 当|PF1|＋|PF2|＝2a ＝|F1F2|＝2c时,满足条件的轨迹是____________________; 当|PF1|＋|PF2|＝2a ＜|F1F2|＝2c时,满足条件的轨迹是____________________.2.椭圆的第二定义:3.椭圆的的标准方程和几何性质标准方程x2a2+y2b2＝1(a>b>0)y2a2+x2b2＝1(a>b>0)图形几何性质范围焦点顶点对称性长短轴离心率准线方程㈢双曲线4.双曲线的第一定义:___________________________________________________________ 注:a＞0,当| |PF1|－|PF2| |＝2a ＜|F1F2|＝2c时,满足条件的轨迹是________________; 当| |PF1|－|PF2| |＝2a ＝|F1F2|＝2c时,满足条件的轨迹是____________________;当| |PF1|－|PF2| |＝2a ＞|F1F2|＝2c时,满足条件的轨迹是____________________. 5.双曲线的第二定义: .6.双曲线的的标准方程和几何性质标准方程x2a2－y2b2＝1(a>0,b>0)y2a2－x2b2＝1(a>0,b>0)图形几何性质范围焦点顶点对称性实虚轴长离心率准线方程渐近线方程7.抛物线的定义:___________________________________________________________8.抛物线的标准方程和几何性质标准方程y2=2px(p>0) y2=－2px(p>0) x2=2py(p>0) y2=－2px(p>0) 图形几何性质范围焦点顶点对称性离心率准线方程焦半径通径十 复数基本知识点1.复数的概念及分类:⑴概念:形如a ＋bi(a,b ∈R)的数叫做 ,其中a 与b 分别为它的 和______.⑵分类:①若a ＋bi(a,b ∈R)为实数,则 ,②若a ＋bi(a,b ∈R)为虚数,则 ,③若a ＋bi(a,b ∈R)为纯虚数,则 ;⑶复数相等:若复数a ＋bi ＝c ＋di(a,b,c,d ∈R)⇔ ;⑷共轭复数: a ＋bi 与c ＋di 共轭(a,b,c,d ∈R)⇔________,z 的共轭复数记作________; 2.复数的加、减、乘、除法则:设z 1＝a ＋bi,z 2＝c ＋di(a,b,c,d ∈R),则 ⑴加法:z 1＋z 2＝______;⑵减法:z 1－z 2＝______;⑶乘法:z 1·z 2＝______;⑷乘方:z n ＝______; z m ·z n ＝_______________;(z m )n ＝_______________;(z 1·z 2)n ＝_______________;⑸除法:z 1z 2＝_________________;3.复数的几何意义:⑴复平面的概念:建立直角坐标系来表示复数的平面叫做 , 叫做实轴,____叫做虚轴;实轴上的点表示 ,除原点外,虚轴上的点都表示 .⑵复数z=a+bi 都可以由复平面中的点(a,b)表示,因而复数与复平面中的点是_______关系; ⑶复平面上,两个复数z 1,z 2对应的两点Z 1,Z 2间的距离| Z 1Z 2|=_____________.4.复数的模:向量OZ 的模叫做复数z ＝a ＋bi(a,b ∈R)的 (或 ),即|z|＝|a ＋bi|＝____; 复数模的性质:⑴|z 1|－|z 2|≤|z 1±z 2|≤|z 1|＋|z 2|;⑵|z|2＝|z ˉ|2＝|z 2|＝|z ˉ2|＝z·z ˉ;5.常见的结论:⑴i 的运算律:i 4n ＝____, i 4n+1＝____, i 4n+2＝____, i 4n+3＝____,i n ＋i n+1＋i n+2＋i n+3＝______;⑵(1＋i)2＝_____;(1－i)2＝_____;1＋i 1－i ＝______;1－i1＋i＝______;⑶设ω＝－12±32i,则ω3＝_________,ω2＝__________,1＋ω＋ω2＝_________.十一 算法框图、概率统计基本知识点1.算法是指:__________________________________________________________________.2.算法的特点:⑴.________________________;⑵.________________________.3.流程图是_______________________________________________________;4.流程图中的常用符号名称 _____框 _____框 _____框 _____框 流程线 含义图形6._______________叫必然事件,用____表示;____________叫不可能事件,用________表示; ______________________叫随机事件,随机事件A 的概率记作_________.7.______________________叫互斥事件;_______________________叫对立事件; 互斥事件概率的加法公式:___________________________________________; 特别地,若事件A 与B 是对立事件,则其概率关系为_____________________.8.古典概型必然满足的两个条件是:⑴______________________;⑵___________________. 9.求古典概型概率的公式为:_________________________.10.几何概型必然满足的两个条件是:⑴___________________;⑵______________________. 11.求几何概型概率的公式为:_________________________________.。
第1节 常见不等式及其解法1．一元一次不等式的解法不等式ax ＞b (a ≠0)的解集为：当a ＞0时，解集为{x |x ＞b a }．当a ＜0时，解集为{x |x ＜ba}．的情形，以便确定解集的形式．解集是解的集合，故一元二次不等式的解集一定要写成集合或区间的形式！！解不等式（高中我们能遇到的所有不等式）的通用步骤：①解方程②画图像③写解集 例1．解下列不等式：(1)2x 2＋7x ＋3＞0； (2)x 2－4x －5≤0； (3)－4x 2＋18x －814≥0；(4)－12x 2＋3x －5＞0；(5)－2x 2＋3x －2＜0；(6)已知关于x 的不等式x 2＋ax ＋b ＜0的解集为{x |1＜x ＜2}，求关于x 的不等式bx 2＋ax ＋1＞0的解集．例2．解下列不等式： (1)x ＋23－x ≥0； (2)2x －13－4x>1叮叮小文库1．已知集合P ＝{x |x 2－x －2≤0}，Q ＝{x |log 2(x －1)≤1}，则(∁R P )∩Q ＝( )A ．[2,3]B ．(－∞，1]∪[3，＋∞)C ．(2,3]D ．(－∞，－1]∪(3，＋∞)2．设a >0，不等式－c <ax ＋b <c 的解集是{x |－2<x <1}，则a ∶b ∶c ＝( )A ．1∶2∶3B ．2∶1∶3C ．3∶1∶2D ．3∶2∶1 3．(2013·高考江西卷)下列选项中，使不等式x ＜1x＜x 2成立的x 的取值范围是( )A ．(－∞，－1)B ．(－1,0)C ．(0,1)D ．(1，＋∞)4．若不等式mx 2＋2mx －4＜2x 2＋4x 对任意x 均成立，则实数m 的取值范围是( )A ．(－2,2]B ．(－2,2)C ．(－∞，－2)∪[2，＋∞)D ．(－∞，2]5．解下列不等式214x +≥1213x <-<6．解下列方程组213211x y x y +=⎧⎨-=⎩2214x y x y +=⎧⎨+=⎩22112y x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩第2节 高考数学中的运算——对数运算对数的概念 (1)对数的定义：如果a x ＝N (a >0且a ≠1)，那么数x 叫做以a 为底N 的对数，记作x ＝log a N ，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数（真数必为正数）．当a ＝10时叫常用对数，记作x ＝lg N ；当a ＝e 时叫自然对数，记作x ＝ln N ．(2)对数的常用关系式(a ，b ，c ，d 均大于0且不等于1)： ①log a 1＝0．②log a a ＝1，m a ma =log③对数恒等式：a log aN ＝N ．④换底公式：log a b ＝log c blog c a ，推广log a b ＝1log b alog a b ·log b c ·log c d ＝log a d ．(3)对数的运算法则：如果a >0，且a ≠1，M >0，N >0，那么： ①log a (M ·N )＝log a M ＋log a N ； ②log a MN＝log a M －log a N ；③log a M n ＝n log a M (n ∈R)；④log a m M n ＝nmlog a M=1．化简下列各式： (1)14lg 23lg5lg 5+-(2)3lglg 70lg 37+-(3) 2lg 2lg5lg 201+⋅- (4)25941log log 27log 123235-+2（15．浙江）计算：2log =________，24log 3log 32+=________．若4log 3a =，则22a a -+=________．3．方程log 2 (1－2x )＝1的解x ＝_________． 计算log 6[log 4(log 381)]＝_________． 4．有下列五个等式，其中a>0且a≠1，x>0 , y>0，其中正确的是 ． ①log ()log log a a a x y x y +=⋅，②22log ()2(log log )a a a x y x y -=-③1log log log aa a x x y =-， ④log log log ()a a a x y x y ⋅=⋅第3节 高考数学中的运算——三角计算一．任意角 1．角的概念角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．2．角的表示顶点：用O 表示；始边：用OA 表示，用语言可表示为起始位置； 终边：用OB 表示，用语言可表示为终止位置．3．角的分类（1）正角：按 方向旋转形成的角；加一个角按 方向旋转． （2）负角：按 方向旋转形成的角；减一个角按 方向旋转． （3）零角：射线没有作任何旋转，称为形成一个零角．任意角大小比较： ，因此小于90°的角不一定是锐角…………4．象限角在直角坐标系中研究角时，当角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合时，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角．如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限．5．终边相同的角所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S ＝{}β|β＝α＋k ·360°，k ∈Z ，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和．二．弧度制1．角度制和弧度制角度制用度作为度量单位来度量角的单位制叫做角度制，规定1度的角等于周角的1360弧度制长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号rad 表示，读作弧度以弧度作为单位来度量角的单位制叫做弧度制2．任意角的弧度数与实数的对应关系正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0． 3．角的弧度数的计算如果半径为r 的圆的圆心角α所对弧的长为l ，那么，角α的弧度数的绝对值是|α|＝lr．扇形的面积公式：4．角度制与弧度制的换算 (1)角度制与弧度制的互化：角度化弧度 弧度化角度 360°＝2π rad 2π rad ＝360° 180°＝π rad π rad ＝180° 1°＝π180rad ≈0．01745 rad 1 rad ＝(180π)°≈57．30°度 0° 1° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° 270° 360°弧度 0 π180 π6 π4 π3 π2 2π3 3π4 5π6 π 3π22π三．任意角的三角函数1．任意角三角函数的定义将角的顶点与原点O 重合，始边与直角坐标系x 轴非负半轴重合，角的终边上任意取一点P (x ，y )，则对应角的正弦值sin α＝22y x y +，余弦值cos α＝22y x x + ，正切值tan α＝xy，常记22y x r +=． 由此定义，求任意角的三角函数值可按以下步骤完成：常见特殊角三角函数值（利用两特殊直角三角形计算并记忆！）2．三角函数值的符号例1．根据下列条件求sin α，cos α，tan α．(1)α＝－π3； (2)已知角α的终边经过点P (－3,4)．(3)角α的终边经过点P (－4a,3a )(a ≠0)，则sin α＝________；(4)已知角α的终边过点P (5，a )，且tan α＝－125，求sin α＋cos α的值．1．已知角α的终边经过点P (－1,2)，则cos α的值为( )A ．－55B ．－5C ．255D ．522．α是第二象限角，P (x ，5)是其终边上一点，且cos α＝24x ，则x 的值为( ) A ． 3B ．±3C ．－ 3D ．－ 23．如果点P (sin θ＋cos θ，sin θcos θ)位于第二象限，那么角θ所在的象限是( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限4．若角α是第二象限角，则点P (sin α，cos α)在第________象限．5．(2011·江西高考)已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x 轴的正半轴，若P (4，y )是角θ终边上一点，且sin θ＝－255，则y ＝________． 四．同角三角函数的基本关系子成立，如sin 22α＋cos 22α＝1，tan 3α＝sin 3αcos 3α都是成立的．2．两个公式常见变形（解题时可“知一求二”： ） sin 2α＋cos 2α＝1⇔sin 2α＝1－cos 2α⇔cos 2α＝1－sin 2α； tan α＝sin αcos α⇔sin α＝tan α·cos α．例1．已知tan α＝43，且α是第三象限角(1)求sin α，cos α的值；(2)求6sin α－2cos α3sin α＋5cos α的值．例2．(1)已知sin α－cos α＝12，求sin αcos α的值．(2)已知0＜α＜π，sin α＋cos α＝15，求tan α的值．(3)已知α∈R ，sin α＋2cos α＝102求tan 2α．(4)已知3tan sin 2=⋅αα，求αα44cos sin +的值．五．三角函数的诱导公式诱导公式填空(1)公式一：sin(α＋2k π)＝ ，cos(α＋2k π)＝ ， tan(α＋2k π)＝ [k ∈Z]． (2)公式二：sin(π＋α)＝ ， cos(π＋α)＝ ， tan(π＋α)＝ ． (3)公式三：sin(－α)＝ ， cos(－α)＝ ， tan(－α)＝ ． (4)公式四：sin(π－α)＝ ，cos(π－α)＝ ，tan(π－α)＝ ．(5)公式五：sin(π2－α)＝ ， cos(π2－α)＝ ， tan(π2－α)＝ ．(6)公式六：sin(π2＋α)＝ ， cos(π2＋α)＝ ， t an(π2－α)＝ ．口诀记法：“奇变偶不变，符号看象限”例．已知f (α)＝cos (π2＋α)·cos (2π－α)·sin (－α＋3π2)sin (－π－α)·sin (3π2＋α)．(1)化简f (α)；(2)若α是第三象限角，且cos(α－3π2)＝15，求f (α)的值．1．已知sin(α－π4)＝13，则cos(π4＋α)的值等于( )A ．223B ．－233C ．13D ．－132．填正负号：)32sin(__)23sin(ππ-=-x x ，)32cos(__)23cos(ππ-=-x x ，)3tan(__)3tan(ππ-=-x x第4节 正余弦定理解三角形：一般地，三角形的三个角A,B,C 和它们的三条对边a ，b ，c 叫做三角形的元素．已知三角形的几个元素求其它元素的过程叫作解三角形．2．三角形面积公式设△ABC 的三边分别为a 、b 、c ，所对的三个角分别为A 、B 、C ，其面积为S ．(1)S ＝12ah (h 为BC 边上的高)；(2)S ＝12absin C ＝12bcsin A ＝12acsinB （一般根据角选公式）重点考法：判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转化，统一成边的形式或角的形式．若转化为边边关系，一般通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状；若转化为内角的三角函数间的关系，通过三角函数恒等变形，得出内角的关系，从而判断出三角形的形状。
