高考艺术生数学复习：集合

高考数学集合知识点归纳数学作为高考的一门重要科目，其中的知识点繁多且涉及广泛。

在数学的各个领域中，集合论是一个基础且重要的概念。

集合是高考数学中常见的考点之一，掌握好集合的相关知识，对于解题和理解其他数学概念具有重要意义。

一、什么是集合集合是指将具有某种特性的对象放在一起，形成一个整体。

集合包括元素和空集。

元素是指集合中的个体，是集合的组成部分。

空集是指不含任何元素的集合。

集合的常见表示方式有两种：列举法和描述法。

列举法是将集合中的元素一一列举出来，用花括号“{}”包围起来。

描述法则是通过一定的条件描述来定义集合，使用“|”表示“满足条件的”或者“属于”的意思。

二、集合的关系集合之间有着一系列的关系，常见的有包含关系、相等关系、并集、交集、差集、补集等。

包含关系指的是一个集合是否包含另一个集合的所有元素。

如果一个集合的所有元素都属于另一个集合，则前者是后者的子集，后者是前者的包集。

相等关系指的是两个集合中的元素完全相同，即集合A与集合B对应的包含关系和相等关系同时成立。

并集是指把两个集合中的所有元素放在一起形成一个新的集合。

记作A∪B，表示集合A与集合B的并集。

交集是指两个集合中共有的元素组成的新集合。

记作A∩B，表示集合A与集合B的交集。

差集是指一个集合中减去另一个集合中相同元素之后的剩余部分。

记作A-B，表示集合A与集合B的差集。

补集是指某个全集中除了集合本身的元素之外的所有元素组成的集合。

记作A的补集，表示全集中所有不属于A的元素。

三、集合的运算性质集合的运算有一些基本的性质，这些性质在解题过程中经常被应用。

1. 交换律：即A∪B=B∪A，A∩B=B∩A。

交集和并集的运算结果与顺序无关。

2. 结合律：即(A∪B)∪C=A∪(B∪C)，(A∩B)∩C=A∩(B∩C)。

对于交集和并集的运算，结果与括号的位置无关。

3. 分配律：即A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)，A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C)。

高考数学集合知识点集合是高中数学中的一个重要概念，也是高考中必考内容之一。

掌握集合的相关知识点对于提高数学成绩至关重要。

本文将介绍高考数学中与集合相关的知识点，帮助考生系统地理解和掌握。

一、集合的基本概念集合是指由各种对象组成的整体，这些对象称为集合的元素。

通常用大写字母A、B、C等表示集合，用小写字母a、b、c等表示集合的元素。

集合内的元素可以是数、图形、对象等各种各样的事物。

二、集合的表示方法1. 列举法：直接列举出集合中的元素，用花括号{}括起来。

例如，集合A={1, 2, 3}表示A是包含1、2和3三个元素的集合。

2. 描述法：通过一定的条件来描述集合中的元素。

例如，集合B={x|x是正整数，且x<10}表示B是由小于10的正整数组成的集合。

三、集合的运算1. 交集：给定两个集合A和B，它们的交集记作A∩B，表示同时属于A和B的元素组成的集合。

2. 并集：给定两个集合A和B，它们的并集记作A∪B，表示属于A或B中的元素组成的集合。

3. 差集：给定两个集合A和B，A减去B的差集记作A-B，表示属于A但不属于B的元素组成的集合。

4. 补集：给定一个全集U以及一个集合A，称全集U中属于A'而不属于A的元素组成的集合为集合A的补集，记作A'。

四、集合的性质1. 互斥：两个集合A和B没有相同的元素，即A∩B=∅。

2. 包含与被包含：集合A包含于集合B，即A⊆B，表示A中的任意元素也属于B；集合A被集合B包含，即B⊇A。

3. 子集与真子集：若集合A包含于集合B，且A≠B，则称A 为B的子集，记作A⊂B；若A⊂B且存在x∈B，但x∉A，则称A 为B的真子集，记作A⊊B。

4. 幂集：给定一个集合A，A的所有子集所构成的集合称为A 的幂集，记作P(A)。

例如，若A={1, 2}，则P(A)={{},{1},{2},{1,2}}。

五、常用定理与应用1. 德摩根定律：对于任意的集合A和B，有以下关系成立：（1）(A∪B)'=A'∩B'（2）(A∩B)'=A'∪B'2. 分配律：对于任意的集合A、B和C，有以下关系成立：（1）A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)（2）A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C)六、集合在高考中的应用1. 题型一：集合的基本运算高考中常会出现对两个或三个集合进行并、交、差等运算的求解题目。

高考集合数学知识点高考是每个学生都会经历的一场考试，而数学占据了高考的重要部分。

在数学科目中，集合是一个重要的知识点。

集合论是数学中的一门分支，它主要研究集合及其内部关系、方法和性质。

在高考中，集合也是一个常考的知识点。

接下来，我们将通过几个方面来探讨高考中的集合知识。

一、集合的基本概念集合是指由一些确定的事物（元素）组成的整体。

集合的描述可以使用罗列法、描述法、图示法等方式。

在高考中，我们经常会碰到如何描述集合的题目。

例如：“设集合A={1，2，3，4}，B={3，4，5，6}，求出集合A和集合B的交集和并集。

”这就要求我们通过集合的交集和并集的定义，运用符号来描述集合的关系。

二、集合的运算集合的运算包括并集、交集、差集和补集。

并集是指把两个集合中的所有元素加起来构成的新集合。

交集是指两个集合中共有的元素所组成的新集合。

差集是指属于一个集合而不属于另一个集合的所有元素所组成的新集合。

补集是指处于某个给定集合之外的所有元素所组成的新集合。

在高考中，经常会要求我们进行集合的运算，求出交集、并集、差集或补集。

在解决这类问题时，我们需要掌握集合运算的规律和性质。

例如：“已知集合A={1，2，3，4}，B={3，4，5，6}，求出集合A和集合B的交集，并将结果用集合的表示方式写出来。

”通过理解集合运算的概念和性质，我们可以通过计算得出集合的交集，并用集合的表示方式准确地表达出来。

三、集合间的关系集合之间的关系主要有包含关系、相等关系和互斥关系。

包含关系是指一个集合包含于另一个集合中。

相等关系是指两个集合完全相同，即所有元素都一样。

互斥关系是指两个集合没有共同的元素。

在高考中，会涉及到集合之间的关系，要求我们判断集合的包含关系、相等关系或互斥关系。

例如：“已知集合A={1，2，3}，B={2，3，4}，判断集合A和集合B的关系。

”通过对集合中元素的比较，我们可以判断出集合A和集合B的包含关系、相等关系或互斥关系。

新高考集合知识点归纳新高考制度下，集合作为数学中的一个基本概念，其知识点归纳主要包括以下几个方面：1. 集合的基本概念：集合是由一些确定的、互不相同的元素所组成的整体。

在数学中，我们用大写字母表示集合，如A、B等。

2. 元素与集合的关系：如果一个元素a属于集合A，我们用a∈A表示；如果a不属于集合A，我们用a∉A表示。

3. 集合的表示法：集合可以用列举法和描述法来表示。

列举法是直接列出集合中的所有元素，如A={1, 2, 3}；描述法是用一个性质来描述集合中的元素，如A={x | x是偶数}。

4. 特殊集合：空集是不含任何元素的集合，记作∅。

全集是包含所有元素的集合，记作U。

5. 子集与真子集：如果集合A的所有元素都属于集合B，则称A是B的子集，记作A⊆B。

如果A是B的子集，并且A不等于B，则称A是B 的真子集，记作A⊊B。

6. 集合的运算：包括并集、交集、差集和补集。

并集是两个集合所有元素的集合，记作A∪B；交集是两个集合共有元素的集合，记作A∩B；差集是A有而B没有的元素的集合，记作A-B；补集是全集中不属于A的元素的集合，记作∁_UA。

7. 幂集：一个集合的所有子集的集合称为该集合的幂集。

8. 集合的包含关系：如果集合A的所有元素都是集合B的元素，那么A是B的子集。

如果A是B的子集，并且A不等于B，则A是B的真子集。

9. 集合的相等：如果两个集合的元素完全相同，那么这两个集合是相等的。

10. 集合的笛卡尔积：两个集合A和B的笛卡尔积是所有可能的有序对(a, b)的集合，其中a属于A，b属于B，记作A×B。

11. 集合的等价关系：如果集合中的元素可以按照某种标准分成若干个互不相交的子集，那么这种关系称为等价关系。

12. 集合的划分：将一个集合分成若干个互不相交的非空子集，这些子集的并集等于原集合，称为集合的划分。

结束语：集合作为数学中的基础概念，其知识点广泛且重要。

掌握这些知识点对于理解更高层次的数学概念和解决实际问题具有重要意义。

（{1,2,3}B)U B ={4}{1,2,3}.，，则实数B ．1 ．2，而，（ ，故选：A、已知集合（ D ．【答案】C.，集合A ，B 满足A B ，则下列选项正确的有AB B =A B B = C ．()U A B =∅D ()U A B =∅【答案】B 、D 【解析】A B ，A B A ∴=，A B B =，()U C A B =≠∅，()U AC B =∅，{0,3,4}UB =(){3}U B =}1,2{2,B a a ={}1B ={}1B =1{|2A x =-<}20x ->B =}1x <-B R =A = RB =()2,1-(-∞{ R|B x = RB =(),1-∞{5,7,11B =B 中元素的个数为年高考全国Ⅲ卷理数已知集合{(A x = ） B ．3C ．4B 中的元素满足y x ≥的有(1,7),(2,6),(3,5),(4,4)B 中元素的个数为【新课标】已知集合A =B ={(,)x y │AB ．21相交于两点(1,1B 中有两个元素，T（）∅【答案】C【解析】任取t T∈因此，S T T=.故选：1、（2021·苏州·一模）如图，阴影部分表示的集合为(B)BM N P PB A B=∅【答案】B【解析】A=（－1，故B⊂≠A，故选4、（2021·山东青岛市·高三二模）已知的子集，且，则下面选项中一定成立的是（）．的子集，且，，，C方法总结(1)若B⊆A，应分两种情况讨论.已知两个集合间的关系求参数时，关键是将两个集合间的关系转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数满足的关系考向三集合的运算)RA B A⋂=A⊆A B R=B=∅R B=R)R B A=RBB=∅B=（，则：}0P Q ({B x=又全集所以，图中阴影部分所表示的集合为故选：D.方法总结：集合运算的常用方法①若集合中的元素是离散的，常用续的实数，则用数轴表示，此时要注意端点的情况．利用集合的运算求参数的值或取值范围的方法①与不等式有关的集合，一般利用数轴解决，要注意端点值则一般先用观察法得到不同集合中元素之间的关系，{3,2,3B =-{3,U =-){2,0B =-M P=，则[-1，1]M P=，所以a P∈，得的取值范围是[1,1]-={x|x2－2x＞＜5＝，则（B．A∪B，0)∪(2，N M=．高三二模）图中阴影部分用集合符号可以表示为（【答案】AD【解析】：由图可知，阴影部分是集合与C的交集，()B C()UB C⋂⋂)(A B A C⋂⋃⋂。

2023年高考数学总复习第一章集合与常用逻辑用语第1节集合考试要求1.了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系；能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题；2.理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集；在具体情境中了解全集与空集的含义；3.理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集；4.理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集；5.能使用韦恩(Venn)图表达集合间的基本关系及集合的基本运算．1.元素与集合(1)集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性.(2)元素与集合的关系是属于或不属于，表示符号分别为∈和∉.(3)集合的三种表示方法：列举法、描述法、图示法.2.集合间的基本关系表示关系文字语言符号语言集合间的基本关系相等集合A 与集合B 中的所有元素都相同A ＝B 子集A 中任意一个元素均为B 中的元素A ⊆B 真子集A 中任意一个元素均为B 中的元素，且B 中至少有一个元素不是A 中的元素A B空集空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集3.集合的基本运算集合的并集集合的交集集合的补集符号表示A ∪BA ∩B若全集为U ，则集合A 的补集为∁U A图形表示集合{x|x∈A，或x∈B}{x|x∈A，且x∈B}{x|x∈U，且x∉A}表示4.集合的运算性质(1)A∩A＝A，A∩＝，A∩B＝B∩A.(2)A∪A＝A，A∪＝A，A∪B＝B∪A.(3)A∩(∁U A)＝，A∪(∁U A)＝U，∁U(∁U A)＝A.1.若有限集A中有n个元素，则A的子集有2n个，真子集有2n－1个，非空子集有2n－1个，非空真子集有2n－2个.2.注意空集：空集是任何集合的子集，是非空集合的真子集.3.A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B⇔∁U A⊇∁U B.4.∁U(A∩B)＝(∁U A)∪(∁U B)，∁U(A∪B)＝(∁U A)∩(∁U B).1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)任何一个集合都至少有两个子集.()(2){x|y＝x2＋1}＝{y|y＝x2＋1}＝{(x，y)|y＝x2＋1}.()(3)若{x2，1}＝{0，1}，则x＝0，1.()(4)对于任意两个集合A，B，(A∩B)⊆(A∪B)恒成立.()2.若集合P＝{x∈N|x≤2023}，a＝22，则()A.a∈PB.{a}∈PC.{a}⊆PD.a∉P3.(2021·新高考Ⅰ卷)设集合A＝{x|－2<x<4}，B＝{2，3，4，5}，则A∩B＝()A.{2}B.{2，3}C.{3，4}D.{2，3，4}4.(易错题)(2021·南昌调研)集合A＝{－1，2}，B＝{x|ax－2＝0}，若B⊆A，则由实数a的取值组成的集合为()A.{－2}B.{1}C.{－2，1}D.{－2，1，0}5.(2021·西安五校联考)设全集U＝R，A＝{x|y＝2x－x2}，B＝{y|y＝2x，x∈R}，则(∁U A)∩B＝()A.{x|x<0}B.{x|0<x≤1}C.{x|1<x≤2}D.{x|x>2}6.(2021·全国乙卷)设集合S＝{s|s＝2n＋1，n∈Z}，T＝{t|t＝4n＋1，n∈Z}，则S∩T ＝()A. B.S C.T D.Z考点一集合的基本概念1.已知集合U＝{(x，y)|x2＋y2≤1，x∈Z，y∈Z}，则集合U中元素的个数为()A.3B.4C.5D.62.若集合A＝{a－3，2a－1，a2－4}，且－3∈A，则实数a＝________.3.(2022·武汉调研)用列举法表示集合A＝{x|x∈Z且86－x∈N}＝________.4.设A是整数集的一个非空子集，对于k∈A，如果k－1∉A，且k＋1∉A，那么称k是A的一个“孤立元”.给定S＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，由S的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有________个.考点二集合间的基本关系例1(1)已知集合A＝{－1，1}，B＝{x|ax＋1＝0}.若B⊆A，则实数a的所有可能取值的集合为()A.{－1}B.{1}C.{－1，1}D.{－1，0，1}(2)已知集合A＝{x|－3≤x≤4}，B＝{x|2m－1≤x≤m＋1}，且B⊆A，则实数m的取值范围是________.训练1(1)(2022·大连模拟)设集合A＝{1，a，b}，B＝{a，a2，ab}，若A＝B，则a2022＋b2023的值为()A.0B.1C.－2D.0或－1(2)已知集合A＝{x|log2(x－1)<1}，B＝{x||x－a|<2}，若A⊆B，则实数a的取值范围为()A.(1，3)B.[1，3]C.[1，＋∞)D.(－∞，3]考点三集合的运算角度1集合的基本运算例2(1)(2021·全国乙卷)已知全集U＝{1，2，3，4，5}，集合M＝{1，2}，N＝{3，4}，则∁U(M∪N)＝()A.{5}B.{1，2}C.{3，4}D.{1，2，3，4}(2)(2021·西安测试)设全集U＝R，M＝{x|y＝ln(1－x)}，N＝{x|2x(x－2)<1}，那么图中阴影部分表示的集合为()A.{x|x≥1}B.{x|1≤x<2}C.{x|0<x≤1}D.{x|x≤1}角度2利用集合的运算求参数例3(1)(2021·日照检测)已知集合A＝{x∈Z|x2－4x－5<0}，B＝{x|4x>2m}，若A∩B 中有三个元素，则实数m的取值范围是()A.[3，6)B.[1，2)C.[2，4)D.(2，4](2)已知集合A ＝{x |x 2－4≤0}，B ＝{x |2x ＋a ≤0}，若A ∪B ＝B ，则实数a 的取值范围是()A.a <－2B.a ≤－2C.a >－4D.a ≤－4训练2(1)(2021·全国甲卷改编)设集合M ＝{x |0<x <4}，N x |13≤x <aM ∩N ＝N ，则a 的取值范围为()A.a ≤13B.a >4C.a ≤4D.a >13(2)集合M ＝{x |2x 2－x －1<0}，N ＝{x |2x ＋a >0}，U ＝R .若M ∩(∁U N )＝∅，则a 的取值范围是()A.(1，＋∞)B.[1，＋∞)C.(－∞，1)D.(－∞，1]Venn 图的应用用平面上封闭图形的内部代表集合，这种图称为Venn 图.集合中图形语言具有直观形象的特点，将集合问题图形化.利用Venn 图的直观性，可以深刻理解集合的有关概念，快速进行集合的运算.例1设全集U ＝{x |0<x <10，x ∈N +}，若A ∩B ＝{3}，A ∩(∁U B )＝{1，5，7}，(∁U A )∩(∁U B )＝{9}，则A ＝________，B ＝________.例2(2020·新高考海南卷)某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有96%的学生喜欢足球或游泳，60%的学生喜欢足球，82%的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是()A.62%B.56%C.46%D.42%例3向100名学生调查对A，B两件事的看法，得到如下结果：赞成A的人数是全体的35，其余不赞成；赞成B的人数比赞成A的人数多3人，其余不赞成.另外，对A，B都不赞成的人数比对A，B都赞成的学生人数的13多1人，则对A，B都赞成的学生人数为________，对A，B都不赞成的学生人数为________.1.(2021·新高考Ⅱ卷)设集合U＝{1，2，3，4，5，6}，A＝{1，3，6}，B＝{2，3，4}，则A∩(∁U B)＝()A.{3}B.{1，6}C.{5，6}D.{1，3}2.(2021·郑州模拟)设集合A＝{x|3x－1<m}，若1∈A且2∉A，则实数m的取值范围是()A.(2，5)B.[2，5)C.(2，5]D.[2，5]3.(2021·浙江卷)设集合A＝{x|x≥1}，B＝{x|－1<x<2}，则A∩B＝()A.{x|x>－1}B.{x|x≥1}C.{x|－1<x<1}D.{x|1≤x<2}4.(2022·河南名校联考)已知集合A＝{a，a2，0}，B＝{1，2}，若A∩B＝{1}，则实数a的值为()A.－1B.0C.1D.±15.已知集合A＝{x∈Z|y＝log5(x＋1)}，B＝{x∈Z|x2－x－2<0}，则()A.A∩B＝AB.A∪B＝BC.B AD.A B6.设集合A＝{(x，y)|x＋y＝1}，B＝{(x，y)|x－y＝3}，则满足M⊆(A∩B)的集合M 的个数是()A.0B.1C.2D.37.(2022·太原模拟)已知集合M＝{x|(x－2)2≤1}，N＝{y|y＝x2－1}，则(∁R M)∩N＝()A.[－1，＋∞)B.[－1，1]∪[3，＋∞)C.[－1，1)∪(3，＋∞)D.[－1，1]∪(3，＋∞)8.设集合A ＝{x |(x ＋2)(x －3)≤0}，B ＝{a }，若A ∪B ＝A ，则a 的最大值为()A.－2B.2C.3D.49.(2021·合肥模拟)已知集合A ＝{－2，－1，0，1，2}，集合B ＝{x ||x －1|≤2}，则A ∩B ＝________.10.(2021·湖南雅礼中学检测)设集合A ＝{x |y ＝x －3}，B ＝{x |1<x ≤9}，则(∁R A )∩B ＝________.11.已知集合A ＝{x |y ＝lg(x －x 2)}，B ＝{x |x 2－cx <0，c >0}，若A ⊆B ，则实数c 的取值范围是________.12.已知集合A ＝{a ，b ，2}，B ＝{2，b 2，2a }，若A ＝B ，则a ＋b ＝________.13.若全集U ＝{－2，－1，0，1，2}，A ＝{－2，2}，B ＝{x |x 2－1＝0}，则图中阴影部分所表示的集合为()A.{－1，0，1}B.{－1，0}C.{－1，1}D.{0}14.(2020·浙江卷)设集合S ，T ，S ⊆N +，T ⊆N +，S ，T 中至少有2个元素，且S ，T 满足：①对于任意的x ，y ∈S ，若x ≠y ，则xy ∈T ；②对于任意的x ，y ∈T ，若x ＜y ，则y x ∈S .下列命题正确的是()A.若S 有4个元素，则S ∪T 有7个元素B.若S 有4个元素，则S ∪T 有6个元素C.若S 有3个元素，则S ∪T 有5个元素D.若S 有3个元素，则S ∪T 有4个元素15.已知集合A＝{x∈R||x＋2|<3}，集合B＝{x∈R|(x－m)(x－2)<0}，且A∩B＝(－1，n)，则m＝________，n＝________.16.当两个集合有公共元素，且互不为对方的子集时，我们称这两个集合“相交”.对于集合M＝{x|ax2－1＝0，a>0}，N＝{－12，12，1}，若M与N“相交”，则a＝________.。

一、集合与简易逻辑：一、理解集合中的有关概念（1）集合中元素的特征： ， ， 。

（2）集合与元素的关系用符号 ， 表示。

（3）常用数集的符号表示：自然数集 ；正整数集 、 ；整数集 ；有理数集 、实数集 。

（4）集合的表示法： ， ， 。

注意：区分集合中元素的形式：如：}12|{2++==x x y x A ；}12|{2++==x x y y B ；}12|),{(2++==x x y y x C }12|{2++==x x x x D ；},,12|),{(2Z y Z x x x y y x E ∈∈++==； }12|)',{(2++==x x y y x F ；},12|{2xy z x x y z G =++== （5）空集是指不含任何元素的集合。

（}0{、φ和}{φ的区别；0与三者间的关系） 空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。

注意：条件为B A ⊆，在讨论的时候不要遗忘了φ=A 的情况。

如：}012|{2=--=x ax x A ，如果φ=+R A ，求a 的取值。

二、集合间的关系及其运算（1）符号“∉∈,”是表示元素与集合之间关系的，立体几何中的体现 点与直线（面）的关系 ；符号“⊄⊂,”是表示集合与集合之间关系的，立体几何中的体现 面与直线(面)的关系 。

（2）_}__________{_________=B A ；____}__________{_________=B A ； _}__________{_________=A C U（3）对于任意集合B A ,，则：①A B B A ___；A B B A ___；B A B A ___；②⇔=A B A ；⇔=A B A ；⇔=U B A C U ；⇔=φB A C U ；③=B C A C U U ； )(B A C U =；（4）①若n 为偶数，则=n ；若n 为奇数，则=n ；②若n 被3除余0，则=n ；若n 被3除余1，则=n ；若n 被3除余2，则=n ；三、集合中元素的个数的计算：（1）若集合A 中有n 个元素，则集合A 的所有不同的子集个数为_________，所有真子集的个数是__________，所有非空真子集的个数是 。

集合考试内容：集合、子集、补集、交集、并集．逻辑联结词．四种命题．充分条件和必要条件． 考试要求：（1）理解集合、子集、补集、交集、并集的概念；了解空集和全集的意义；了解属于、包含、相等关系的意义；掌握有关的术语和符号，并会用它们正确表示一些简单的集合． （2）理解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义理解四种命题及其相互关系；掌握充分条件、必要条件及充要条件的意义．§01. 集合与简易逻辑 知识要点一、知识结构:本章知识主要分为集合、简单不等式的解法（集合化简）、简易逻辑三部分：二、知识回顾： （一） 集合1. 基本概念：集合、元素；有限集、无限集；空集、全集；符号的使用.2. 集合的表示法：列举法、描述法、图形表示法. 集合元素的特征：确定性、互异性、无序性. 集合的性质：①任何一个集合是它本身的子集，记为A A ⊆； ②空集是任何集合的子集，记为A ⊆φ； ③空集是任何非空集合的真子集； 如果B A ⊆，同时A B ⊆，那么A = B. 如果C A C B B A ⊆⊆⊆，那么，.[注]：①Z = {整数}（√） Z ={全体整数} （×）②已知集合S 中A 的补集是一个有限集，则集合A 也是有限集.（×）（例：S=N ； A=+N ，则C s A= {0}） ③ 空集的补集是全集.④若集合A =集合B ，则C B A = ∅， C A B = ∅ C S （C A B ）= D （ 注 ：C A B = ∅）. 3. ①{（x ，y ）|xy =0，x ∈R ，y ∈R }坐标轴上的点集.②{（x ，y ）|xy ＜0，x ∈R ，y ∈R}二、四象限的点集.③{（x ，y ）|xy ＞0，x ∈R ，y ∈R } 一、三象限的点集. [注]：①对方程组解的集合应是点集. 例： ⎩⎨⎧=-=+1323y x y x 解的集合{(2，1)}.②点集与数集的交集是φ. （例：A ={(x ，y )| y =x +1} B={y |y =x 2+1} 则A ∩B =∅） 4. ①n 个元素的子集有2n个. ②n 个元素的真子集有2n－1个. ③n 个元素的非空真子集有2n－2个.5. ⑴①一个命题的否命题为真，它的逆命题一定为真. 否命题⇔逆命题. ②一个命题为真，则它的逆否命题一定为真. 原命题⇔逆否命题. 例：①若325≠≠≠+b a b a 或，则应是真命题.解：逆否：a = 2且 b = 3，则a+b = 5，成立，所以此命题为真. ②且21≠≠y x 3≠+y . 解：逆否：x + y =3x = 1或y = 2.21≠≠∴y x 且3≠+y x ,故3≠+y x 是21≠≠y x 且的既不是充分，又不是必要条件.⑵小范围推出大范围；大范围推不出小范围. 3. 例：若255 x x x 或，⇒. 4. 集合运算：交、并、补.{|,}{|}{,}A B x x A x B A B x x A x B A x U x A ⇔∈∈⇔∈∈⇔∈∉U 交：且并：或补：且C 5. 主要性质和运算律 （1） 包含关系：,,,,,;,;,.U A A A A U A U A B B C A C A B A A B B A B A A B B ⊆Φ⊆⊆⊆⊆⊆⇒⊆⊆⊆⊇⊇C（2） 等价关系：U A B A B A A B B AB U ⊆⇔=⇔=⇔=C （3） 集合的运算律：交换律：.;A B B A A B B A ==结合律:)()();()(C B A C B A C B A C B A == 分配律:.)()()();()()(C A B A C B A C A B A C B A == 0-1律：,,,A A A U A A U A U Φ=ΦΦ===等幂律：.,A A A A A A ==求补律：A ∩C U A =φ A ∪C U A =U C U U =φ C U φ=U反演律：C U (A ∩B)= (C U A )∪(C U B ) C U (A ∪B)= (C U A )∩(C U B )6. 有限集的元素个数定义：有限集A 的元素的个数叫做集合A 的基数，记为card( A)规定 card(φ) =0.基本公式：(1)()()()()(2)()()()()()()()()card A B card A card B card A B card A B C card A card B card C card A B card B C card C A card A B C =+-=++---+(3) card ( U A )= card(U)- card(A)(二)含绝对值不等式、一元二次不等式的解法及延伸 1.整式不等式的解法 根轴法（零点分段法）①将不等式化为a 0(x-x 1)(x-x 2)…(x-x m )>0(<0)形式，并将各因式x 的系数化“+”；(为了统一方便)②求根，并在数轴上表示出来；③由右上方穿线，经过数轴上表示各根的点（为什么？）；④若不等式（x 的系数化“+”后）是“>0”,则找“线”在x 轴上方的区间；若不等式是“<0”,则找“线”在x 轴下方的区间.x（自右向左正负相间） 则不等式)0)(0(0022110><>++++--a a x a xa x a n n n n的解可以根据各区间的符号确定.特例① 一元一次不等式ax>b 解的讨论；2原命题若p 则q 否命题若┐p 则┐q 逆命题若q 则p逆否命题若┐q 则┐p 互为逆否互逆否互为逆否互互逆否互2.分式不等式的解法 （1）标准化：移项通分化为)()(x g x f >0(或)()(x g x f <0)；)()(x g x f ≥0(或)()(x g x f ≤0)的形式， （2）转化为整式不等式（组）⎩⎨⎧≠≥⇔≥>⇔>0)(0)()(0)()(;0)()(0)()(x g x g x f x g x f x g x f x g x f3.含绝对值不等式的解法（1）公式法：c b ax <+,与)0(>>+c c b ax 型的不等式的解法.（2）定义法：用“零点分区间法”分类讨论.（3）几何法：根据绝对值的几何意义用数形结合思想方法解题. 4.一元二次方程根的分布一元二次方程ax 2+bx+c=0(a ≠0) （1）根的“零分布”：根据判别式和韦达定理分析列式解之. （2）根的“非零分布”：作二次函数图象，用数形结合思想分析列式解之. （三）简易逻辑1、命题的定义：可以判断真假的语句叫做命题。

集合高考必考知识点总结高考是中国学生人生中最重要的考试之一，集合作为数学必考的重要知识点，在高考中占据着很大的比重。

本文将对高考数学中集合的必考知识点进行总结。

一、集合的基本概念集合是一个由确定的对象所构成的整体。

常用大写字母A、B、C 等表示集合，小写字母a、b、c等表示集合中的元素。

例如，集合A={1, 2, 3, 4}，其中的元素1、2、3和4都属于集合A。

二、集合的运算1. 交集运算：集合A和集合B的交集，表示为A∩B，表示A和B 共有的元素组成的集合。

例如，集合A={1, 2, 3}，集合B={2, 3, 4}，则A∩B={2, 3}。

2. 并集运算：集合A和集合B的并集，表示为A∪B，表示A和B 所有的元素组成的集合。

例如，集合A={1, 2, 3}，集合B={2, 3, 4}，则A∪B={1, 2, 3, 4}。

3. 补集运算：集合A相对于集合B的补集，表示为A-B，表示A 中除去B中的所有元素所组成的集合。

例如，集合A={1, 2, 3}，集合B={2, 3, 4}，则A-B={1}。

4. 包含关系：集合A包含集合B的情况，即A⊇B，表示A中的所有元素都属于B。

例如，集合A={1, 2, 3}，集合B={2, 3}，则A⊇B。

5. 空集与全集：空集是不包含任何元素的集合，用符号∅表示；全集是指讨论问题所涉及的全部元素组成的集合。

三、集合的性质1. 交换律：集合的交集和并集满足交换律。

即A∩B=B∩A，A∪B=B∪A。

2. 结合律：集合的交集和并集满足结合律。

即A∩(B∩C)=(A∩B)∩C，A∪(B∪C)=(A∪B)∪C。

3. 分配律：集合的交集和并集满足分配律。

即A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)，A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C)。

四、集合的表示方法1. 列举法：将集合中的元素一一列举出来。

例如，集合A={1, 2, 3, 4}。

2. 描述法：根据元素的性质进行描述。

高中数学高考专题复习《集合》含试题与详细解答1．已知∈b a ,R ，则“b a =”是“ab b a =+2”的 A 、充分不必要条件 B 、必要不充分条件C 、充要条件D 、既不充分也不必要条件2．已知命题b a p >若:，则b a 11<，那么“p ⌝”是( ) A 、若b a >，则b a 11≥ B 、若b a >，则不一定有ba 11< C 、若b a ≤，则b a 11< D 、若b a ≤，则ba 11≥ 3．如果22{|0,},{|0,}A x x x x R B x x x x R =-=∈=+=∈，那么AB =( ) A. 0 B. ∅ C. {0} D. {1,0,1}-4．对于集合N M ,，定义：M x x N M ∈=-|{且}N x ∉，)()(M N N M N M --=⊕ ，设A ＝),3|{2R x x x y y ∈-=，{})(log 2x y x B -==，则B A ⊕=（ ）A ．0]B ．0)C ．．5．非零向量,a b 使得||||||a b a b -=+成立的一个充分非必要条件是A . //a b B. a b = C. ||||a b a b = D. 20a b += 6．已知集合{}0=A y y A B B =∣≥，，则集合B 可能是（ ）（A ）{}=0y y x ∣≥ （B ）{}1=2x y y x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭R ∣， （C ）{}=ln 0y y x x ∣，＞ （D ）R7．命题“任意多面体的面至少有一个是三角形或四边形或五边形”的结论的否定形式是 ( )A.任意多面体没有一个是三角形或四边形或五边形的面B.任意多面体没有一个是三角形的面C.任意多面体没有一个是四边形的面D.任意多面体没有一个是五边形的面8．已知集合2{|1}M x x ==，{|1,}N a ax x M ==∈，则下列关于集合M 、N 之间关系的判断中，正确的是A ．N M Ø B.M N =∅ C. M N = D. M N =∅9．已知集合A={x ︱x>－2}且AB A = ，则集合B 可以是（ ）A. {x ︱x 2>4 }B. {x ︱y =C. {y ︱22,y x x R =-∈ }D.（－1,0,1,2,3）10．下列选项中，p 是q 的必要不充分条件的是( )A.p:a c +＞b+d , q:a ＞b 且c ＞dB.p:a ＞1,b>1, q:()(01)x f x a b a a =->≠，且的图象不过第二象限C.p: x=1, q:2x x =D.p:a ＞1, q: ()log (01)a f x x a a =>≠，且在(0,)+∞上为增函数11．已知集合{}1|2==x x P ，集合{}1|==ax x Q ，若P Q ⊆，那么a 的值是（ ）A ．1B ．-1C ．1或-1D ．0，1或-112．若集合{}0A x x =≥，且A B B =，则集合B 可能是（ ）A ．{}1,2B ．{}1x x ≤C ．{}1,0,1-D ．R13．定义}|{B x A x x B A ∉∈=-且，已知}4,3,1{},3,2{==B A 。

考点01集合（4种核心题型+基础保分练+综合提升练+拓展冲刺练）【考试提醒】1.了解集合的含义，了解全集、空集的含义.2.理解元素与集合的属于关系，理解集合间的包含和相等关系.3.会求两个集合的并集、交集与补集.4.能用自然语言、图形语言、集合语言描述不同的具体问题，能使用Venn图表示集合间的基本关系和基本运算．【知识点】1．集合与元素(1)集合中元素的三个特性：____________、____________、____________.(2)元素与集合的关系是________或________，用符号______或________表示．(3)集合的表示法：__________、____________、____________.(4)常见数集的记法集合非负整数集(或自然数集)正整数集整数集有理数集实数集符号N*(或N＋)2.集合的基本关系(1)子集：一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中____________都是集合B中的元素，就称集合A为集合B的子集，记作________(或B⊇A)．(2)真子集：如果集合A⊆B，但存在元素x∈B，且________，就称集合A是集合B的真子集，记作________(或B￿A)．(3)相等：若A⊆B，且________，则A＝B.(4)空集：不含任何元素的集合叫做空集，记为∅.空集是________________的子集，是________________________的真子集．3．集合的基本运算表示运算　集合语言图形语言记法并集交集补集常用结论1．若集合A 有n (n ≥1)个元素，则集合A 有2n 个子集，2n －1个真子集．2．A ∩B ＝A ⇔A ⊆B ，A ∪B ＝A ⇔B ⊆A .【核心题型】题型一　集合的含义与表示解决集合含义问题的关键有三点：一是确定构成集合的元素；二是确定元素的限制条件；三是根据元素的特征(满足的条件)构造关系式解决相应问题．【例1】下列四组集合中表示同一集合的为（ ）A ．(){}1,3M =-，(){}3,1N =-B ．{}1,3M =-，{}3,1N =-C ．(){}2,|3M x y y x x ==+，{}2|3N x y x x ==+D ．{}0M =，0N =【变式1】已知集合{,,}{1,0,1}a b c =-，若下列三个关系有且只有一个正确：①1a ¹-；②1b =-；③0c ¹，则202324a b c -+=（ ）A ．2B ．3C ．5D ．8【变式2】（23-24高三下·江西·阶段练习）已知{}210A x x ax =-+£，若2A Î，且3A Ï，则a 的取值范围是（ ）A ．510,23öé÷êëøB ．510,23æùçúèûC ．5,2éö+¥÷êëøD ．10,3æö-¥ç÷èø【变式3】（23-24高三下·湖南长沙·阶段练习）已知集合{}22e1xxA x -=£，{}1,0,1B =-，则集合A B Ç的非空子集个数为（ ）A ．4B ．3C ．8D ．7题型二　集合间的基本关系(1)空集是任何集合的子集，在涉及集合关系问题时，必须考虑空集的情况，否则易造成漏解．(2)已知两个集合间的关系求参数时，关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数所满足的关系，常用数轴、Venn 图等来直观解决这类问题．【例2】在集合{}1,1,2,3,4,5,6A =-的子集中，含有3个元素的子集的个数为.【变式1】（2024·海南·模拟预测）已知集合{}{}21,2,4,,A B a a==，若A B B =I ，则=a.【变式2】集合{3,}A m =-，{}24,1B m m =+-，且A B =，则实数m = ．【变式3】若集合{}210A x ax ax =-+<=Æ，则实数a 的值的集合为．题型三　集合的基本运算命题点1　集合的运算【例3】（23-24高三下·江西·阶段练习）已知集合π2π2π2π,Z 63A x k x k k ìü=+<<+Îíýîþ，集合ππππ,Z 43B x k x k k ìü=+<<+Îíýîþ，则A B =I （ ）A ．ππ2π,2π43k k æö++ç÷èø，Zk ÎB ．πππ,π43k k æö++ç÷èø，Zk ÎC ．ππ2π,2π63k k æö++ç÷èø，Zk ÎD ．πππ,π63k k æö++ç÷èø，Zk Î【变式1】（2024·云南红河·二模）设集合{}{}0,1,2,3,A B m ==，若{}2A B Ç=，则A B È=（ ）A ．{}0,1,2,3B ．{}0,1,2C ．{}1,2,3D ．{}2,3【变式2】（23-24高一上·陕西宝鸡·期中）已知{1,2,3,4,5,6,7},{2,4,5},{1,3,5,7},U A B ===则()U A B =I ð（ ）A ．{1,3,4}B ．{3,4}C ．{2,4,6}D ．{2,4}命题点2　利用集合的运算求参数的值(范围)对于集合的交、并、补运算，如果集合中的元素是离散的，可用Venn 图表示；如果集合中的元素是连续的，可用数轴表示，此时要注意端点的情况．【例4】（2024·四川凉山·二模）已知集合{}1,11A y y x x ==+-££，{}B x x a =£，若A B B È=，则a 的取值范围为（ ）A ．[]0,2B ．[)2,+¥C ．(],2-¥D ．(],1-¥【变式1】（2024·全国·模拟预测）已知集合{}5,1,1,5A =--，{}3B x a x a =<<+，若A B Ç中有2个元素，则实数a 的取值范围是（ ）A ．()2,1--B ．[]2,1--C ．(]2,2-D ．[)5,1--【变式2】．已知集合{}3217A x x =-<+<，{4B x x =<-或}2x >，{}321C x a x a =-<<+．(1)求()R A B I ð；(2)若“()R :p x A B ÎU ð”是“:q x C Δ的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．题型四　集合的新定义问题解决集合新定义问题的关键解决新定义问题时，一定要读懂新定义的本质含义，紧扣题目所给定义，结合题目所给定义和要求进行恰当转化，切忌同已有概念或定义相混淆．【例5】（23-24高三下·上海·阶段练习）对于全集R 的子集A ，定义函数()1,0,A x Af x x A Îì=íÎî为A 的特征函数．设A ，B 为全集R 的子集，下列结论中错误的是（ ）A ．若A B Í，则()()A B f x f x £B ．()1()A A f x f x =-C ．()()()A B A B f x f x f x Ç=×D ．()()()A B A B f x f x f x È=+【变式1】（2024·河南·模拟预测）定义()0,0sgn ,0x x x x x =ìï=í¹ïî，若集合()31|sgn i i A y y x =ìü==íýîþå，则A 中元素的个数为（ ）A ．6B ．7C ．8D ．9【变式2】（2024·黑龙江·二模）已知集合{}1,2A =，{}3,4B =，定义集合：(){},,A B x y x A y B *=ÎÎ，则集合A B *的非空子集的个数是（ ）个．A ．16B ．15C ．14D ．13【变式3】已知实数集A 满足条件:若a A Î，则11aA a+Î-，则集合A 中所有元素的乘积为（ ）A ．1B ．1-C ．1±D ．与a 的取值有关【课后强化】【基础保分练】一、单选题1．下列说法中正确的是（ ）A ．1与{}1表示同一个集合B ．由1，2，3组成的集合可表示为{}1,2,3或{}3,2,1C ．方程()()2120x x --=的所有解的集合可表示为{}1,1,2D ．集合{}5|4x x <<可以用列举法表示2．（2024·福建厦门·二模）设集合{}1,0,1A =-，(){}12345,,,,,1,2,3,4,5i B x x x x x x A i =Î=，那么集合B 中满足1234513x x x x x £++++£的元素的个数为（ ）A ．60B ．100C ．120D ．1303．集合{03}M x x =Î<<N∣的子集的个数是（ ）A ．16B ．8C ．7D ．44．（2024·浙江·模拟预测）已知全集{}(){}(){}(){}1,2,3,4,5,1,2,4,3U U U U M N M N M N ====I I U ððð，则M N Ç=（ ）A ．ÆB ．{}4C ．{}5D ．{}1,2二、多选题5．（2024·全国·模拟预测）设1A ，2A ，×××，()4n A n ³为集合{}1,2,,S n =×××的n 个不同子集，为了表示这些子集，作n 行n 列的数阵，规定第i 行第j 列的数为0,1,j ij j i A a i A Ïì=íÎî．则下列说法中正确的是（ ）A ．数阵中第一列的数全是0，当且仅当1A =ÆB ．数阵中第n 列的数全是1，当且仅当n A S =C ．数阵中第j 行的数字和表明集合j A 含有几个元素D ．数阵中所有的2n 个数字之和不超过2n n 1-+6．（2024高三·全国·专题练习）由无理数引发的数学危机一直延续到19世纪，直到1872年，德国数学家戴德金从连续性的要求出发，用有理数的“分割”来定义无理数(史称戴德金分割)，并把实数理论建立在严格的科学基础上，才结束了无理数被认为“无理”的时代，也结束了持续2000多年的数学史上的第一次大危机．所谓戴德金分割，是指将有理数集Q 划分为两个非空的子集M 与N ，且满足Q M N È=，M N Ç=Æ，M 中的每一个元素小于N 中的每一个元素，则称(,)M N 为戴德金分割．试判断下列选项中，可能成立的是（ ）A ．{}0M x x =<，{}0N x x =>是一个戴德金分割B ．M 没有最大元素，N 有一个最小元素C ．M 有一个最大元素，N 有一个最小元素D ．M 没有最大元素，N 也没有最小元素三、填空题7．已知集合{}{}1,2,1,,3A B a ==，且A B Í，则=a ．四、解答题8．已知集合A U Í，B U Í，全集{}1,2,3,4,5,6U =，且{}1,3,4U A =ð，{}3,5,6B =(1)求集合A ；(2)求A B Ç.9．已知集合{}1,4A =，{}1,4,5,6B =.(1)求A B Ç及A B È；(2)求B A ð.【综合提升练】一、单选题1．（2024高三·全国·专题练习）已知集合{}{}2450,34A x x x B x a x a =--³=-<<+，若A B =U R ，则实数a 的取值范围为（ ）A ．{}1a a >B ．{}12a a <<C ．{}2a a <D ．{}12a a ££2．（23-24高三下·河南·阶段练习）已知全集{}2,1,0,1,2U =--，集合{}{}22,0,20A B x x x =-=-=，则()U A B È=ð（ ）A ．{}1,1,2-B ．{}1,0,1-C ．{}1D ．{}1,1-3．（23-24高三下·湖北·阶段练习）已知集合{1,2}A =，{0,2}B =，若定义集合运算：{}*,,A B z z xy x A y B ==ÎÎ，则集合*A B 的所有元素之和为（ ）A ．6B ．3C ．2D ．04．（2024·全国·模拟预测）已知集合U =Z ，{}21,A x x k k ==+ÎZ ，{}42,B x x k k ==+ÎZ ，则{}4,x x k k =Î=Z （ ）A ．()U AB ÇðB ．()U A B U ðC ．U A B I ðD ．U A BÈð5．设全集U =R ，集合302x A xx ìü-£íý+îþ．集合{}ln 1B x x =³，则()U A B =I ð（ ）A ．()e,3B ．[]e,3C ．[]2,e -D ．()2,e -6．（2024·陕西咸阳·二模）已知集合105x A xx ìü+=³íý-îþ，(){}22log 16B x y x ==-，则()R A B Ç=ð（ ）A ．()1,4-B ．[]1,4-C ．(]1,5-D ．()4,57．已知集合S 是由某些正整数组成的集合，且满足：若a S Î，则当且仅当a m n =+（其中正整数m 、n S Î且m n ¹）或a p q =+（其中正整数p 、q S Ï且p q ¹）．现有如下两个命题：①5S Î；②集合{}*3,x x n n S =ÎÍN ．则下列判断正确的是（ ）A ．①对②对B ．①对②错C ．①错②对D ．①错②错8．已知函数()442xx f x =+，[]y x =为高斯函数，表示不超过实数x 的最大整数，例如[]0.51-=-，[]1.31=.记{}2,1,0,1A =--，()()111,22B yy f x f x x ìüéùéù==-+--ÎíýêúêúëûëûîþR ，则集合A ，B 的关系是（ ）A ．{}2A B Ç=-B ．{}1,0,1A B =-I C ．{}1,0A B Ç=-D ．{}0,1A B =I 二、多选题9．若全集{}1,2,3,4,5,6U =，{}1,4M =，{}2,3N =，则集合{}5,6等于（ ）A ．()()U U M N U ððB ．()U M N U ðC ．()U M N ððD ．()U N Mðð10．（2024·辽宁辽阳·一模）已知集合212{|N,N},{|67}1A x xB x x x x =ÎÎ=-<+，则（ ）A ．{}1,2,3,5AB Ç=B ．(){}1,711A B È=-ÈC ．{}12,x y x A y B Ï-ÎÎ∣D ．(){}2,lg 9Ra A y y x ax $Î=-+=∣11．已知集合,A B 满足(){},,11,,,B x y z x y z x y z A =++=Î∣，则下列说法正确的是（ ）A ．若{}2,0,1,13A =-，则B 中的元素的个数为1B ．若{}21,A xx k k ==+ÎN ∣，则B 中的元素的个数为15C ．若A +=N ，则B 中的元素的个数为45D ．若A =N ，则B 中的元素的个数为78三、填空题12．已知集合{}2,0,2,4M =-，{}N x x m =³，若M N M Ç=，则m 的最大值为．13．（2024·广东湛江·一模）已知全集U 为实数集R ，集合{}24A x x =£，{}2log 2B x x =>，则U A B =U ð ．14．（2024·辽宁·一模）已知集合{|M x y ==，{2}N x x =Î>-N∣，则M = ，M N Ç= .四、解答题15．（2024高三·全国·专题练习）已知集合A ＝{x |x 2－2x ＋a ＝0}，B ＝{1，2}，且A ⊆B ，求实数a 的取值范围．16．（2024高三·全国·专题练习）已知集合A ＝{x |x 2－4x －5≤0}，B ＝{x |2x －6≥0}，M ＝A ∩B .(1)求集合M ；(2)已知集合C ＝{x |a －1≤x ≤7－a ，a ∈R }，若M ∩C ＝M ，求实数a 的取值范围．17．已知a 为实数，设集合{}22A x x a x =-+£．(1)设集合{}lg 0B x x ==，若B A Í，求实数a 的取值范围．(2)若集合A =R ，求实数a 的取值范围；18．对于集合M ，定义函数()1,1,M x Mf x x M -Îì=íÏî．对于两个集合,M N ，定义集合()(){}1M N M N x f x f x Ä=×=-∣．已知集合{}{}1,3,5,7,9,2,3,5,6,9A B ==．(1)求()1A f 与()1B f 的值；(2)用列举法写出集合A B Ä；(3)用()Card M 表示有限集合M 所包含元素的个数．已知集合X 是正整数集的子集，求()()Card Card X A X B Ä+Ä的最小值，并说明理由.19．对于数集{}121,,,,n X x x x =-×××，其中120n x x x <<<×××<，2n ³，定义向量集(){},,,Y a a s t s X t X ==ÎÎr r，若对任意1a Y Îr ，存在2a Y Îr ，使得120a a ×=r r ，则称X 具有性质P ．(1)设{}1,1,2X =-，请写出向量集Y 并判断X 是否具有性质P （不需要证明）．(2)若102x <<，且集合11,,,12x ìü-íýîþ具有性质P ，求x 的值；(3)若X 具有性质P ，且2x q =，q 为常数且1q >，求证：34231n n x xx q x x x -==×××==．【拓展冲刺练】一、单选题1．（2023·上海宝山·一模）已知集合S 是由某些正整数组成的集合，且满足：若a S Î，则当且仅当(a m n =+其中,m n S Î且)m n ¹，或(a p q =+其中*,,,Z p q S p q ÏÎ且)p q ¹.现有如下两个命题: ①4S ∈；②集合{}35,N x x n n S =+ÎÍ.则下列选项中正确的是（ ）A ．①是真命题， ②是真命题；B ．①是真命题， ②是假命题C ．①是假命题， ②是真命题；D ．①是假命题， ②是假命题.2．已知函数()()221R f x x ax a =-+Î，若非空集合(){}()(){}0,1A x f x B x f f x =£=£∣∣，满足A B =，则实数a 的取值范围是（ ）A ．11éù--ëûB ．1éù-ëûC ．éëD ．1,1éë3．已知集合{}Z 10A x x =Î+³，{}23B x x =-<<，则A B =I （ ）A ．{}Z 1x x γ-B ．{}13x x -££C ．{}1,0,1,2,3-D ．{}1,0,1,2-4．（2024·全国·模拟预测）已知集合{}{}230,e 1x M x x N y y =->==+，则（ ）A ．31,2M N æö=ç÷èøIB ．3,2M N æö=+¥ç÷èøUC ．31,2N M æö=ç÷èøðD ．M NÍ5．（23-24高三上·上海·期中）设R a Î且0a ¹，n 为正整数，集合()cos πx S x a x n ìü==íýîþ．有以下两个命题：①对任意a ，存在n ，使得集合S 中至少有2个元素；②若存在两个n ，使得S 中只有1个元素，则25a <，那么（ ）A ．①是真命题，②是假命题B ．①是假命题，②是真命题C ．①、②都是假命题D ．①、②都是真命题二、多选题6．设集合X 是实数集R 的子集，如果点0R x Î满足：对任意0a >，都存在x X Î，使得00x x a <-<，称0x 为集合X 的聚点，则在下列集合中，以0为聚点的集合有（ ）A ．{}|R,0x x x ιB ．{Z |0}x x ιC ．*1,N x x n n ìü=ÎíýîþD ．*,N 1n x x n n ìü=Îíý+îþ7．下列说法正确的是（ ）A ．已知集合ππ,Z 42k M x x k ìü==+Îíýîþ，ππ,Z 24k N x x k ìü==+Îíýîþ，则M NB ．终边落在y 轴上的角的集合可表示为{}90π,Z k k a a =°+ÎC ．若sin cos 0x x ->，则π5π2π2π,Z 44x x k x k k ìüÎ+<<+ÎíýîþD ．在ABC V 中，若sin 2sin 2A B =，则ABC V 为等腰三角形三、填空题8．（23-24高三下·上海·开学考试）已知集合{}21A x x =-<£，集合{}211B x a x a =-££+，若A B Ç=Æ，则实数a 的取值范围为 .9．（2024·四川遂宁·二模）已知等差数列{}n a 的公差为23p ，集合*{|cos ,}n S x x a n ==ÎN 有且仅有两个元素，则这两个元素的积为 ．10．（23-24高三上·江西·期末）定义：有限集合{}++,,N ,N i A x x a i n i n ==£ÎÎ，12n S a a a =+++L 则称S 为集合A 的“元素和”，记为A .若集合(){}+12,,N ,N i P x x i i n i n +==+£ÎÎ，集合P 的所有非空子集分别为1P ，2P ，…，k P ，则12k P P P +++=L.四、解答题11．设自然数3n ³，由n 个不同正整数123,,,n a a a a L 构成集合{}123,,,n S a a a a =L ，若集合S 的每一个非空子集所含元素的和构成新的集合S P ，记()card S P 为集合S P 元素的个数(1)已知集合{1,2,3,4}A =，集合{1,2,4,8}B =，分别求解()()card ,card A B P P ．(2)对于集合{}123,,,n S a a a a =L ，若()card S P 取得最大值，则称该集合S 为“极异集合”①求()card S P 的最大值（无需证明）．②已知集合{}123,,,n S a a a a =L 是极异集合，记12i i i d a -=-求证：数列{}n d 的前n 项和0n D ³．12．（23-24高三下·北京·阶段练习）设k 是正整数，A 是*N 的非空子集（至少有两个元素），如果对于A 中的任意两个元素x ，y ，都有||x y k -¹，则称A 具有性质()P k ．(1)试判断集合{1,2,3,4}B =和{1,4,7,10}C =是否具有性质(2)P ？并说明理由．(2)若{}1212,,,{1,2,,20}A a a a =¼Í¼．证明：A 不可能具有性质(3)P ．(3)若{1,2,,2023}A ͼ且A 具有性质(4)P 和(7)P ．求A 中元素个数的最大值．13．（2024·北京·模拟预测）已知集合{}1,2,3,,A n =¼，其中*12,,,,m n A A A ÎN L 都是A的子集且互不相同，记i i M A =的元素个数，()ij i j N A A =Ç的元素个数{}(,1,2,,,)i j m i j Î<L .(1)若{}{}1213234,1,2,1,3,1n A A N N =====，直接写出所有满足条件的集合3A ；(2)若5n =，且对任意1i j m £<£，都有0ij N >，求m 的最大值；(3)若()7,31,2,,i n M i m ³£=L 且对任意1i j m £<£，都有1ij N =，求m 的最大值.。

高考复习学考——第一题（集合）一．选择题（共25小题）1．已知集合A＝{4，5，6}，B＝{3，5，7}，则A∩B＝（）A．∅B．{5}C．{4，6}D．{3，4，5，6，7} 2．已知集合A＝{x∈R|1＜x＜3}，则下列关系正确的是（）A．1∈A B．2∉A C．3∈A D．4∉A3．已知集合A＝{x|x2＝x}，B＝{﹣1，0，1}，则A∩B＝（）A．{1}B．{0，1}C．{﹣1，0}D．{﹣1，0，1} 4．设全集I＝{0，1，2，3}，∁I M＝{0，2}，则M＝（）A．{3}B．{1，3}C．{2，3}D．∅5．集合A＝{1，2，7，8}，集合B＝{2，3，5，8}，则A∩B＝（）A．{2}B．{3，5}C．{2，8}D．{1，2，3，5，7，8}6．设集合A＝{x|x≥﹣1}，则下列四个关系中正确的是（）A．1∈A B．1∉A C．{1}∈A D．1⊆A7．已知集合A＝{1，2，4}，B＝{2，4，6}，则A∪B＝（）A．{4}B．{1，6}C．{2，4}D．{1，2，4，6} 8．已知集合A＝{x∈Z|x2＜2}，B＝{x|2x＞1}，则A∩B＝（）A．{1}B．{1，2}C．{0，1}D．{﹣1，0，1} 9．已知集合S＝{0，1，2}，T＝{2，3}，则S∪T＝（）A．{0，1，2}B．{0，2}C．{0，1，2，3}D．{2}10．已知集合A＝{x|x＞1}，B＝{x|ax＞1}，若B⊆A，则实数a的取值范围为（）A．（0，1）B．（0，1]C．[0，1]D．[0，1）11．已知集合A＝{1，2，3，4}，B＝{x|x2﹣x﹣2＝0}，则A∩B＝（）A．{1}B．{2}C．{3}D．{1，2}12．若集合A＝{x|﹣1＜x＜2}，B＝{﹣2，0，1，2}，则A∩B＝（）A．∅B．{0，1}C．{0，1，2}D．{﹣2，0，1，2} 13．设集合A＝{x∈N|﹣1≤x≤3}，B＝{y|y＝x2，x∈R}，则A∩B＝（）A．{0，1，2，3}B．{1，2，3}C．[1，3]D．[0，3]14．已知集合M＝{﹣1，0，1，2}，N＝{1，2，3}，则M∪N＝（）A．M B．N C．{﹣1，0，1，2，3}D．{1，2} 15．设全集U＝R，集合P＝{x|﹣2≤x＜3}，则∁U P等于（）A．{x|x＜﹣2或x≥3} B．{x|x＜﹣2且x≥3}C．{x|x≤﹣2或x＞3}D．{x|x≤﹣2且x≥3}16．设集合M＝{0，1，2}，则（）A．1∈M B．2∉M C．3∈M D．{0}∈M17．下列表述正确的是（）A．∅＝{0}B．∅⊆{0}C．∅⊇{0}D．∅∈{0}18．集合A＝{﹣1，0}，B＝{0，1}，C＝{1，2}，则（A∩B）∪C等于（）A．∅B．{1}C．{0，1，2}D．{﹣1，0，1，2} 19．设集合A＝{0，1，2}，B＝{1，2，3}，则A∩B＝（）A．{0，1，2，3}B．{0，3}C．{1，2}D．∅20．已知集合A＝{1，2，3}，B＝{3，4，5，6}，则A∩B＝（）A．{3}B．{1，2}C．{4，5，6}D．{1，2，3，4，5，6}21．已知集合A＝{1，3，5}，B＝{3，5，7}，则A∩B＝（）A．{1，3，5，7}B．{1，7}C．{3，5}D．{5}22．已知全集U＝{1，2，3，4，5}，集合A＝{1，3，5}，则∁U A＝（）A．{2，4}B．{1，3，5}C．{1，2，3，4，5}D．∅23．已知集合A＝{1，3，5，7}，B＝{2，7，8}，则A∩B＝（）A．{3，5，7}B．{1，5，8}C．{7}D．{5，7}24．集合U＝{0，1，2，3，4}，M＝{0，3，4}，N＝{1，2，3}，则∁U M∩N＝（）A．{0，1，2，3，4}B．{1，2，3}C．{1，2}D．{3}25．若集合A＝{x|0≤x+1≤3，x∈N}，集合B＝{0，2，4}，则A∩B等于（）A．{0}B．{0，2}C．{0，2，4}D．{0，1，2，4}参考答案与试题解析一．选择题（共25小题）1．已知集合A＝{4，5，6}，B＝{3，5，7}，则A∩B＝（）A．∅B．{5}C．{4，6}D．{3，4，5，6，7}【分析】由交集的定义，可求得A∩B．【解答】解：∵A＝{4，5，6}，B＝{3，5，7}，∴A∩B＝{5}．故选：B．【点评】本题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键，属于基础题．2．已知集合A＝{x∈R|1＜x＜3}，则下列关系正确的是（）A．1∈A B．2∉A C．3∈A D．4∉A【分析】根据元素与集合的关系进行判断即可．【解答】解：集合A＝{x∈R|1＜x＜3}，则1∉A，所以选项A不对；2∈A，所以选项B不对；3∉A，所以选项C不对；4∉A，所以选项D对．故选：D．【点评】本题考查了元素与集合间关系的判断，比较基础．3．已知集合A＝{x|x2＝x}，B＝{﹣1，0，1}，则A∩B＝（）A．{1}B．{0，1}C．{﹣1，0}D．{﹣1，0，1}【分析】可求出集合A，然后进行交集的运算即可．【解答】解：∵A＝{0，1}，B＝{﹣1，0，1}，∴A∩B＝{0，1}．故选：B．【点评】本题考查了描述法、列举法的定义，交集的定义及运算，考查了计算能力，属于基础题．4．设全集I＝{0，1，2，3}，∁I M＝{0，2}，则M＝（）A．{3}B．{1，3}C．{2，3}D．∅【分析】由全集U及∁I M，即可求解结论．【解答】解：∵全集I＝{0，1，2，3}，∁I M＝{0，2}，则M＝{1，3}，故选：B．【点评】此题考查了补集及其运算，熟练掌握补集的定义是解本题的关键．5．集合A＝{1，2，7，8}，集合B＝{2，3，5，8}，则A∩B＝（）A．{2}B．{3，5}C．{2，8}D．{1，2，3，5，7，8}【分析】根据题意和交集的运算求解即可．【解答】解：∵集合A＝{1，2，7，8}，集合B＝{2，3，5，8}，则A∩B＝{2，8}，故选：C．【点评】本题考查交集及其运算，属于基础题．6．设集合A＝{x|x≥﹣1}，则下列四个关系中正确的是（）A．1∈A B．1∉A C．{1}∈A D．1⊆A【分析】根据描述法表示集合的含义，1≥﹣1，可得1是集合A中的元素．【解答】解：∵集合A＝{x|x≥﹣1}，是所有大于等于﹣1的实数组成的集合，∴1是集合中的元素，故1∈A，故选：A．【点评】本题考查了元素与集合关系的判断，元素与集合的关系是：“∈或∉”的关系．7．已知集合A＝{1，2，4}，B＝{2，4，6}，则A∪B＝（）A．{4}B．{1，6}C．{2，4}D．{1，2，4，6}【分析】利用并集定义直接求解．【解答】解：∵集合A＝{1，2，4}，B＝{2，4，6}，∴A∪B＝{1，2，4，6}．故选：D．【点评】本题考查并集的求法，考査并集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．8．已知集合A＝{x∈Z|x2＜2}，B＝{x|2x＞1}，则A∩B＝（）A．{1}B．{1，2}C．{0，1}D．{﹣1，0，1}【分析】求出集合A，B，由此能求出A∩B．【解答】解：∵集合A＝{x∈Z|x2＜2}＝{x∈Z|﹣}＝{﹣1，0，1}，B＝{x|2x＞1}＝{x|x＞0}，∴A∩B＝{1}．故选：A．【点评】本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．9．已知集合S＝{0，1，2}，T＝{2，3}，则S∪T＝（）A．{0，1，2}B．{0，2}C．{0，1，2，3}D．{2}【分析】进行并集的运算即可．【解答】解：S＝{0，1，2}，T＝{2，3}，∴S∪T＝{0，1，2，3}．故选：C．【点评】本题考查了列举法的定义，并集的定义及运算，考查了计算能力，属于基础题．10．已知集合A＝{x|x＞1}，B＝{x|ax＞1}，若B⊆A，则实数a的取值范围为（）A．（0，1）B．（0，1]C．[0，1]D．[0，1）【分析】利用集合的子集关系，分类讨论a的范围可解得a，【解答】解：已知集合A＝{x|x＞1}，B＝{x|ax＞1}，若B⊆A，则A集合包含B集合的所以元素，解B集合时，当a＜0时，不满足题设条件，当a＝0时，x无实数解，B集合为空集，满足条件，当a＞0时，x＞，则≥1，a≤1，即0＜a≤1，综上则实数a的取值范围为：[0，1]，故选：C．【点评】本题的考点是集合的包含关系，考查两个集合的子集关系，解题的关键是正确判断集合的含义．11．已知集合A＝{1，2，3，4}，B＝{x|x2﹣x﹣2＝0}，则A∩B＝（）A．{1}B．{2}C．{3}D．{1，2}【分析】可以求出集合B，然后进行交集的运算即可．【解答】解：∵A＝{1，2，3，4}，B＝{﹣1，2}，∴A∩B＝{2}．故选：B．【点评】本题考查了列举法、描述法的定义，交集的定义及运算，一元二次方程的解法，考查了计算能力，属于基础题．12．若集合A＝{x|﹣1＜x＜2}，B＝{﹣2，0，1，2}，则A∩B＝（）A．∅B．{0，1}C．{0，1，2}D．{﹣2，0，1，2}【分析】进行交集的运算即可．【解答】解：A＝{x|﹣1＜x＜2}，B＝{﹣2，0，1，2}，∴A∩B＝{0，1}．故选：B．【点评】考查描述法、列举法的定义，以及交集的运算．13．设集合A＝{x∈N|﹣1≤x≤3}，B＝{y|y＝x2，x∈R}，则A∩B＝（）A．{0，1，2，3}B．{1，2，3}C．[1，3]D．[0，3]【分析】对集合A用列举法进行表示，对集合B用不等式描述集合元素特征，然后根据集合交集的运算法则，求出A∩B．【解答】解：因为A＝{x∈N|﹣1≤x≤3}＝{0，1，2，3}，B＝{y|y＝x2，x∈R}＝{y|y≥0}，所以A∩B＝{0，1，2，3}，故选：A．【点评】本题考查了集合交集的运算、集合的表示方法．本题易错的地方是认为自然数集不包括零．解决集合问题的关键是对集合元素属性特征的认识．14．已知集合M＝{﹣1，0，1，2}，N＝{1，2，3}，则M∪N＝（）A．M B．N C．{﹣1，0，1，2，3} D．{1，2}【分析】进行并集的运算即可．【解答】解：∵M＝{﹣1，0，1，2}，N＝{1，2，3}，∴M∪N＝{﹣1，0，1，2，3}．故选：C．【点评】本题考查了列举法的定义，并集的定义及运算，考查了计算能力，属于基础题．15．设全集U＝R，集合P＝{x|﹣2≤x＜3}，则∁U P等于（）A．{x|x＜﹣2或x≥3} B．{x|x＜﹣2且x≥3}C．{x|x≤﹣2或x＞3} D．{x|x≤﹣2且x≥3}【分析】根据全集U及P，求出P的补集即可．【解答】解：∵全集U＝R，集合P＝{x|﹣2≤x＜3}，∴∁U P＝{x|x＜﹣2或x≥3}．故选：A．【点评】此题考查了补集及其运算，熟练掌握补集的定义是解本题的关键．16．设集合M＝{0，1，2}，则（）A．1∈M B．2∉M C．3∈M D．{0}∈M【分析】根据集合中元素的确定性解答．【解答】解：由题意，集合M中含有三个元素0，1，2．∴A选项1∈M，正确；B选项2∉M，错误；C选项3∈M，错误，D选项{0}∈M，错误；故选：A．【点评】本题考查了元素与集合关系的判定，一个元素要么属于集合，要么不属于这个集合，二者必居其一，这就是集合中元素的确定性．17．下列表述正确的是（）A．∅＝{0}B．∅⊆{0}C．∅⊇{0}D．∅∈{0}【分析】直接利用空集与非空集合的关系判断选项即可．【解答】解：因为空集是非空集合的子集，所以B正确．故选：B．【点评】本题考查集合之间的关系，空集的定义，是基本知识题目．18．集合A＝{﹣1，0}，B＝{0，1}，C＝{1，2}，则（A∩B）∪C等于（）A．∅B．{1}C．{0，1，2}D．{﹣1，0，1，2}【分析】根据交集和并集的定义，结合已知的集合A、B、C进行求解．【解答】解：（A∩B）∪C＝（{﹣1，0}∩{0，1}）∪{1，2}＝{0}∪{1，2}＝{0，1，2}故选：C．【点评】集合的运算一般难度较低，属于送分题，解答时一定要细心，“求稳不求快”．19．设集合A＝{0，1，2}，B＝{1，2，3}，则A∩B＝（）A．{0，1，2，3}B．{0，3}C．{1，2}D．∅【分析】集合A和集合B的公共元素构成A∩B，由此利用集合A＝{0，1，2}，B＝{1，2，3}，能求出A∩B．【解答】解：∵集合A＝{0，1，2}，B＝{1，2，3}，∴A∩B＝{1，2}．故选：C．【点评】本题考查集合的交集及其运算，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．20．已知集合A＝{1，2，3}，B＝{3，4，5，6}，则A∩B＝（）A．{3}B．{1，2}C．{4，5，6}D．{1，2，3，4，5，6}【分析】进行交集的运算即可．【解答】解：∵A＝{1，2，3}，B＝{3，4，5，6}，∴A∩B＝{3}．故选：A．【点评】考查列举法的定义，以及交集的运算．21．已知集合A＝{1，3，5}，B＝{3，5，7}，则A∩B＝（）A．{1，3，5，7}B．{1，7}C．{3，5}D．{5}【分析】利用交集定义直接求解．【解答】解：∵集合A＝{1，3，5}，B＝{3，5，7}，∴A∩B＝{3，5}．故选：C．【点评】本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．22．已知全集U＝{1，2，3，4，5}，集合A＝{1，3，5}，则∁U A＝（）A．{2，4}B．{1，3，5}C．{1，2，3，4，5}D．∅【分析】数一下不属于集合A的元素即可得解【解答】解：∵全集U＝{1，2，3，4，5}，集合A＝{1，3，5}∴∁U A＝{2，4}故选：A．【点评】本题考查集合运算，当集合是用列举法表示的且元素个数比较少时，可数一下元素，用观察法做题．属简单题23．已知集合A＝{1，3，5，7}，B＝{2，7，8}，则A∩B＝（）A．{3，5，7}B．{1，5，8}C．{7}D．{5，7}【分析】根据交集的定义可知，交集即为两集合的公共元素所组成的集合，求出即可．【解答】解：由集合A＝{1，3，5，7}，集合B＝{2，7，8}，得A∩B＝{7}故选：C．【点评】此题考查了两集合交集的求法，是一道基础题．24．集合U＝{0，1，2，3，4}，M＝{0，3，4}，N＝{1，2，3}，则∁U M∩N＝（）A．{0，1，2，3，4}B．{1，2，3}C．{1，2}D．{3}【分析】由题设条件先求出∁U M，再求（∁U M）∩N．【解答】解：∵集合U＝{0，1，2，3，4}，M＝{0，3，4}，N＝{1，2，3}，∴（∁U M）∩N＝{1，2}∩{1，2，3}＝{1，2}．故选：C．【点评】本题考查集合的交、并、补的混合运算，解题时要认真审题，仔细解答．25．若集合A＝{x|0≤x+1≤3，x∈N}，集合B＝{0，2，4}，则A∩B等于（）A．{0}B．{0，2}C．{0，2，4}D．{0，1，2，4}【分析】可求出集合A，然后进行交集的运算即可．【解答】解：∵A＝{x|﹣1≤x≤2，x∈N}＝{0，1，2}，B＝{0，2，4}，∴A∩B＝{0，2}．故选：B．【点评】本题考查了描述法和列举法的定义，交集及其运算，考查了计算能力，属于基础题。