北京艺术生高考数学复习资料—五数列

1高中数学必修5__第二章《数列》复习知识点总结与练习（一）2一．数列的概念与简单表示法3知识能否忆起41．数列的定义、分类与通项公式5(1)数列的定义：6①数列：按照一定顺序排列的一列数．7②数列的项：数列中的每一个数．8(2)数列的分类：910(3)数列的通项公式：11如果数列{a n}的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．12 2．数列的递推公式13 如果已知数列{a n }的首项(或前几项)，且任一项a n 与它的前一项a n －1(n ≥2)(或14 前几项)间的关系可用一个公式来表示，那么这个公式叫数列的递推公式．15 1.对数列概念的理解16 (1)数列是按一定“顺序”排列的一列数，一个数列不仅与构成它的“数”有17 关，而且还与这些“数”的排列顺序有关，这有别于集合中元素的无序性．因18 此，若组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的两个数列． 19 (2)数列中的数可以重复出现，而集合中的元素不能重复出现，这也是数列与20 数集的区别．21 2．数列的函数特征22 数列是一个定义域为正整数集N *(或它的有限子集{1,2,3，…，n })的特殊函23 数，数列的通项公式也就是相应的函数解析式，即f (n )＝a n (n ∈N *)．24 25 3.考点26 （一）由数列的前几项求数列的通项公式27 [例1] (2012·天津南开中学月考)下列公式可作为数列{a n }：28 1,2,1,2,1,2，…的通项公式的是( )29 A ．a n ＝1 B ．a n ＝－1n ＋1230C ．a n ＝2－⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin n π2 D ．a n ＝－1n －1＋3231[自主解答] 由a n ＝2－⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin n π2可得a 1＝1，a 2＝2， 32 a 3＝1，a 4＝2，…. 33 [答案] C 34 由题悟法35 1．根据数列的前几项求它的一个通项公式，要注意观察每一项的特点，观察36 出项与n 之间的关系、规律，可使用添项、通分、分割等办法，转化为一些常37 见数列的通项公式来求．对于正负符号变化，可用(－1)n 或(－1)n ＋1来调整． 38 2．根据数列的前几项写出数列的一个通项公式是不完全归纳法，它蕴含着39 “从特殊到一般”的思想40 以题试法41 写出下面数列的一个通项公式． 42 (1)3,5,7,9，…； 43 (2)12，34，78，1516，3132，…； 44 (3)3,33,333,3 333，…； 45 (4)－1，32，－13，34，－15，36，….46 解：(1)各项减去1后为正偶数，所以a n ＝2n ＋1.47 (2)每一项的分子比分母少1，而分母组成数列21,22,23,24，…，所以a n ＝2n －12n .48(3)将数列各项改写为93，993，9993，99993，…，分母都是3，而分子分别是1049 －1,102－1,103－1,104－1，….50 所以a n ＝13(10n －1)．51 (4)奇数项为负，偶数项为正，故通项公式的符号为(－1)n ；各项绝对值的分52 母组成数列1,2,3,4，…；而各项绝对值的分子组成的数列中，奇数项为1，偶53 数项为3，即奇数项为2－1，偶数项为2＋1，54 所以a n ＝(－1)n·2＋－1nn，也可写为55a n＝⎩⎪⎨⎪⎧－1n ，n 为正奇数，3n ，n 为正偶数.56（二）由a n 与S n 的关系求通项a n57 已知数列{a n }的前n 项和S n ，求数列的通项公式，其求解过程分为三步： 58 (1)先利用a 1＝S 1求出a 1；59 (2)用n －1替换S n 中的n 得到一个新的关系，利用a n ＝S n －S n －1(n ≥2)便可求60 出当n ≥2时a n 的表达式；61 (3)对n ＝1时的结果进行检验，看是否符合n ≥2时a n 的表达式，如果符合，62 则可以把数列的通项公式合写；如果不符合，则应该分n ＝1与n ≥2两段来写． 63 [例2] 已知数列{a n }的前n 项和S n ，根据下列条件分别求它们的通项a n . 64 (1)S n ＝2n 2＋3n ；(2)S n ＝3n ＋1.65[自主解答] (1)由题可知，当n ＝1时，a 1＝S 1＝2×12＋3×1＝5， 66 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(2n 2＋3n )－[2(n －1)2＋3(n －1)]＝4n ＋1. 67 当n ＝1时，4×1＋1＝5＝a 1，故a n ＝4n ＋1. 68 (2)当n ＝1时，a 1＝S 1＝3＋1＝4， 69 当n ≥2时，70 a n ＝S n －S n －1＝(3n ＋1)－(3n －1＋1)＝2×3n －1. 71 当n ＝1时，2×31－1＝2≠a 1， 72 故a n ＝⎩⎨⎧4， n ＝1，2×3n －1， n ≥2.73以题试法74 (2012·聊城模拟)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝nn ＋1，则1a 5＝( )75A.56B.65 76C.130D ．3077解析：选D 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝nn ＋1－n －1n ＝1n n ＋1，则a 5＝15×678 ＝130. 79 （三）数列的性质80 [例3] 已知数列{a n }的通项公式为a n ＝n 2－21n ＋20.81(1)n 为何值时，a n 有最小值？并求出最小值； 82 (2)n 为何值时，该数列的前n 项和最小？83 [自主解答] (1)因为a n ＝n 2－21n ＋20＝⎝⎛⎭⎪⎫n －2122－3614，可知对称轴方程为n84 ＝212＝10.5.又因n ∈N *，故n ＝10或n ＝11时，a n 有最小值，其最小值为112－85 21×11＋20＝－90.86 (2)设数列的前n 项和最小，则有a n ≤0，由n 2－21n ＋20≤0，解得1≤n ≤20，87 故数列{a n }从第21项开始为正数，所以该数列的前19或20项和最小． 88 由题悟法89 1．数列中项的最值的求法90 根据数列与函数之间的对应关系，构造相应的函数a n ＝f (n )，利用求解函数91 最值的方法求解，但要注意自变量的取值．92 2．前n 项和最值的求法93 (1)先求出数列的前n 项和S n ，根据S n 的表达式求解最值；94 (2)根据数列的通项公式，若a m ≥0，且a m ＋1<0，则S m 最大；若a m ≤0，且a m ＋1>0，95 则S m 最小，这样便可直接利用各项的符号确定最值. 96 以题试法97 3．(2012·江西七校联考)数列{a n }的通项a n ＝nn 2＋90，则数列{a n }中的最大值98 是( )99 A ．310B ．19100C.119D.1060101解析：选C a n ＝1n＋90n，由基本不等式得，1n＋90n≤1290，由于n∈N*，易知102当n＝9或10时，a n＝119最大．103二．等差数列及其前n项和104知识能否忆起105一、等差数列的有关概念1061．定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个107常数，那么这个数列就叫做等差数列．符号表示为a n＋1－a n＝d(n∈N*，d为常数)．1082．等差中项：数列a，A，b成等差数列的充要条件是A＝a＋b2，其中A叫做109a，b的等差中项．110二、等差数列的有关公式1111．通项公式：a n＝a1＋(n－1)d. 1122．前n项和公式：S n＝na1＋n n－12d＝a1＋a n n2.113三、等差数列的性质1141．若m，n，p，q∈N*，且m＋n＝p＋q，{a n}为等差数列，则a m＋a n＝a p＋a q. 1152．在等差数列{a n}中，a k，a2k，a3k，a4k，…仍为等差数列，公差为kd.1163．若{a n}为等差数列，则S n，S2n－S n，S3n－S2n，…仍为等差数列，公差为n2d. 1174．等差数列的增减性：d>0时为递增数列，且当a1<0时前n项和S n有最小值．d<0 118时为递减数列，且当a1>0时前n项和S n有最大值．1195．等差数列{a n}的首项是a1，公差为d.若其前n项之和可以写成S n＝An2＋Bn，120则A＝d2，B＝a1－d2，当d≠0时它表示二次函数，数列{a n}的前n项和S n＝An2＋121Bn是{an }成等差数列的充要条件．1221.与前n项和有关的三类问题123(1)知三求二：已知a1、d、n、a n、S n中的任意三个，即可求得其余两个，这124体现了方程思想．125(2)S n＝d2n2＋⎝⎛⎭⎪⎫a1－d2n＝An2＋Bn⇒d＝2A.126(3)利用二次函数的图象确定S n的最值时，最高点的纵坐标不一定是最大值，127最低点的纵坐标不一定是最小值．1282．设元与解题的技巧129已知三个或四个数组成等差数列的一类问题，要善于设元，若奇数个数成等130差数列且和为定值时，可设为…，a－2d，a－d，a，a＋d，a＋2d，…；131若偶数个数成等差数列且和为定值时，可设为…，a－3d，a－d，a＋d，a＋1323d，…，其余各项再依据等差数列的定义进行对称设元．133134考点135等差数列的判断与证明136[例1] 在数列{a n}中，a1＝－3，a n＝2a n－1＋2n＋3(n≥2，且n∈N*)．137(1)求a2，a3的值；138(2)设b n＝an＋32n(n∈N*)，证明：{b n}是等差数列．139[自主解答] (1)∵a1＝－3，a n＝2a n－1＋2n＋3(n≥2，且n∈N*)，∴a2＝2a1＋14022＋3＝1，a3＝2a2＋23＋3＝13.141(2)证明：对于任意n∈N*，142∵b n＋1－b n＝an＋1＋32n＋1－an＋32n＝12n＋1[(a n＋1－2a n)－3]＝12n＋1[(2n＋1＋3)－3]＝1，143∴数列{b n}是首项为a1＋32＝－3＋32＝0，公差为1的等差数列．144由题悟法1451．证明{a n}为等差数列的方法：146(1)用定义证明：a n－a n－1＝d(d为常数，n≥2)⇔{a n}为等差数列；147(2)用等差中项证明：2a n＋1＝a n＋a n＋2⇔{a n}为等差数列；148(3)通项法：a n为n的一次函数⇔{a n}为等差数列；149(4)前n项和法：S n＝An2＋Bn或S n＝n a1＋a n2.1502．用定义证明等差数列时，常采用的两个式子a n＋1－a n＝d和a n－a n－1＝d，但151它们的意义不同，后者必须加上“n≥2”，否则n＝1时，a0无定义．152以题试法1531．已知数列{a n}的前n项和S n是n的二次函数，且a1＝－2，a2＝2，S3＝6. 154(1)求S n ；155 (2)证明：数列{a n }是等差数列． 156 解：(1)设S n ＝An 2＋Bn ＋C (A ≠0)，157则⎩⎨⎧－2＝A ＋B ＋C ，0＝4A ＋2B ＋C ，6＝9A ＋3B ＋C ，158解得A ＝2，B ＝－4，C ＝0.故S n ＝2n 2－4n . 159 (2)证明：∵当n ＝1时，a 1＝S 1＝－2.160 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n 2－4n －[2(n －1)2－4(n －1)]＝4n －6. 161 ∴a n ＝4n －6(n ∈N *)．a n ＋1－a n ＝4， 162 ∴数列{a n }是等差数列. 163 等差数列的基本运算 164165 典题导入166 [例2] (2012·重庆高考)已知{a n }为等差数列，且a 1＋a 3＝8，a 2＋a 4＝12. 167 (1)求{a n }的通项公式；168 (2)记{a n }的前n 项和为S n ，若a 1，a k ，S k ＋2成等比数列，求正整数k 的值． 169 [自主解答] (1)设数列{a n }的公差为d ，由题意知 170 ⎩⎨⎧2a 1＋2d ＝8，2a 1＋4d ＝12，解得⎩⎨⎧a 1＝2，d ＝2.171所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2＋2(n －1)＝2n .172 (2)由(1)可得S n ＝n a 1＋a n2＝n 2＋2n2＝n (n ＋1)．173 因为a 1，a k ，S k ＋2成等比数列，所以a 2k ＝a 1S k ＋2. 174 从而(2k )2＝2(k ＋2)(k ＋3)，即k 2－5k －6＝0， 175 解得k ＝6或k ＝－1(舍去)，因此k ＝6.176 由题悟法177 1．等差数列的通项公式a n ＝a 1＋(n －1)d 及前n 项和公式S n ＝n a 1＋a n2＝178na 1＋n n －12d ，共涉及五个量a 1，a n ，d ，n ，S n ，知其中三个就能求另外两个，179 体现了方程的思想．180 2．数列的通项公式和前n 项和公式在解题中起到变量代换作用，而a 1和d 是181 等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法．182 以题试法183 2．(1)在等差数列中，已知a 6＝10，S 5＝5，则S 8＝________.184 (2)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 412－S 39＝1，则公差为________．185 解析：(1)∵a 6＝10，S 5＝5， 186 ∴⎩⎨⎧a 1＋5d ＝10，5a 1＋10d ＝5.187解方程组得⎩⎨⎧a 1＝－5，d ＝3.188 则S 8＝8a 1＋28d ＝8×(－5)＋28×3＝44.189 (2)依题意得S 4＝4a 1＋4×32d ＝4a 1＋6d ，S 3＝3a 1＋3×22d ＝3a 1＋3d ，于是有190 4a 1＋6d 12－3a 1＋3d9＝1，由此解得d ＝6，即公差为6. 191 答案：(1)44 (2)6 192 等差数列的性质193194 典题导入195 [例3] (1)等差数列{a n }中，若a 1＋a 4＋a 7＝39，a 3＋a 6＋a 9＝27，则前9项和196 S 9等于( )197 A ．66 B ．99 198 C ．144D ．297199 (2)(2012·天津模拟)设等差数列{a n }的前n 项和S n ，若S 4＝8，S 8＝20，则a 11200 ＋a 12＋a 13＋a 14＝( )201 A ．18 B ．17 202 C ．16D ．15203 [自主解答] (1)由等差数列的性质及a 1＋a 4＋a 7＝39，可得3a 4＝39，所以a 4204 ＝13.同理，由a 3＋a 6＋a 9＝27，可得a 6＝9.205所以S9＝9a1＋a92＝9a4＋a62＝99.206(2)设{a n}的公差为d，则a5＋a6＋a7＋a8＝S8－S4＝12，(a5＋a6＋a7＋a8)－S4＝20716d，解得d＝14，a11＋a12＋a13＋a14＝S4＋40d＝18.208[答案] (1)B (2)A209由题悟法2101．等差数列的性质是等差数列的定义、通项公式以及前n项和公式等基础知211识的推广与变形，熟练掌握和灵活应用这些性质可以有效、方便、快捷地解决212许多等差数列问题．2132．应用等差数列的性质解答问题的关键是寻找项的序号之间的关系．214以题试法2153．(1)(2012·江西高考)设数列{a n}，{b n}都是等差数列，若a1＋b1＝7，a3＋216b3＝21，则a5＋b5＝________.217(2)(2012·海淀期末)若数列{a n}满足：a1＝19，a n＋1＝a n－3(n∈N*)，则数列218{a n}的前n项和数值最大时，n的值为( )219A．6 B．7220C．8 D．9221解析：(1)设两等差数列组成的和数列为{c n}，由题意知新数列仍为等差数列222且c1＝7，c3＝21，则c5＝2c3－c1＝2×21－7＝35.223(2)∵a n＋1－a n＝－3，∴数列{a n}是以19为首项，－3为公差的等差数列，∴224a n ＝19＋(n －1)×(－3)＝22－3n .设前k 项和最大，则有⎩⎨⎧a k ≥0，a k ＋1≤0，即225 ⎩⎨⎧22－3k ≥0，22－3k ＋1≤0，226解得193≤k ≤223.∵k ∈N *，∴k ＝7.故满足条件的n 的值为7.227 答案：(1)35 (2)B228 三．等比数列及其前n 项和229230 [知识能否忆起]231 1．等比数列的有关概念 232 (1)定义：233 如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数(不为234 零)，那么这个数列就叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，通常用字235 母q 表示，定义的表达式为a n ＋1a n＝q (n ∈N *，q 为非零常数)． 236 (2)等比中项：237 如果a 、G 、b 成等比数列，那么G 叫做a 与b 的等比中项．即：G 是a 与b 的238 等比中项⇔a ，G ，b 成等比数列⇒G 2＝ab .239 2．等比数列的有关公式 240 (1)通项公式：a n ＝a 1q n －1.241(2)前n 项和公式：S n＝⎩⎨⎧na 1，q ＝1，a 11－q n1－q＝a 1－a nq1－q ，q ≠1.242243 3．等比数列{a n }的常用性质244 (1)在等比数列{a n }中，若m ＋n ＝p ＋q ＝2r (m ，n ，p ，q ，r ∈N *)，则a m ·a n ＝245a p ·a q ＝a 2r . 246 特别地，a 1a n ＝a 2a n －1＝a 3a n －2＝….247 (2)在公比为q 的等比数列{a n }中，数列a m ，a m ＋k ，a m ＋2k ，a m ＋3k ，…仍是等比数248 列，公比为q k ；249 数列S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…仍是等比数列(此时q ≠－1)；250 a n ＝a m q n －m . 251 1.等比数列的特征252 (1)从等比数列的定义看，等比数列的任意项都是非零的，公比q 也是非零常253 数．254 (2)由a n ＋1＝qa n ，q ≠0并不能立即断言{a n }为等比数列，还要验证a 1≠0. 255 2．等比数列的前n 项和S n256 (1)等比数列的前n 项和S n 是用错位相减法求得的，注意这种思想方法在数列257 求和中的运用．258 (2)在运用等比数列的前n 项和公式时，必须注意对q ＝1与q ≠1分类讨论，259 防止因忽略q ＝1这一特殊情形导致解题失误260考点261 等比数列的判定与证明262263 典题导入264 [例1] 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a n ＋S n ＝n . 265 (1)设c n ＝a n －1，求证：{c n }是等比数列； 266 (2)求数列{a n }的通项公式．267 [自主解答] (1)证明：∵a n ＋S n ＝n ，① 268 ∴a n ＋1＋S n ＋1＝n ＋1.② 269 ②－①得a n ＋1－a n ＋a n ＋1＝1， 270 ∴2a n ＋1＝a n ＋1，∴2(a n ＋1－1)＝a n －1，271 ∴a n ＋1－1a n －1＝12. 272 ∵首项c 1＝a 1－1，又a 1＋a 1＝1，273 ∴a 1＝12，c 1＝－12.274又c n ＝a n －1，故{c n }是以－12为首项，12为公比的等比数列．275(2)由(1)可知c n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12·⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ，276∴a n ＝c n ＋1＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n.277278 在本例条件下，若数列{b n }满足b 1＝a 1，b n ＝a n －a n －1(n ≥2)，证明{b n }是等比279 数列．280 证明：∵由(2)知a n ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n，281 ∴当n ≥2时，b n ＝a n －a n －1 282 ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1283＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n. 284又b 1＝a 1＝12也符合上式，∴b n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n .285∵b n ＋1b n ＝12，∴数列{b n }是等比数列． 286287 由题悟法288 等比数列的判定方法289 (1)定义法：若a n ＋1a n ＝q (q 为非零常数，n ∈N *)或a na n －1＝q (q 为非零常数且n ≥2，290n ∈N *)，则{a n }是等比数列． 291 (2)等比中项法：若数列{a n }中，a n ≠0且a 2n ＋1＝a n ·a n ＋2(n ∈N *)，则数列{a n }292是等比数列．293(3)通项公式法：若数列通项公式可写成a n＝c·q n(c，q均是不为0的常数，294n∈N*)，则{an }是等比数列．295以题试法2961．(2012·沈阳模拟)已知函数f(x)＝log a x，且所有项为正数的无穷数列{a n} 297满足log a a n＋1－log a a n＝2，则数列{a n}( )298A．一定是等比数列299B．一定是等差数列300C．既是等差数列又是等比数列301D．既不是等差数列又不是等比数列302解析：选A 由log a a n＋1－log a a n＝2，得log a an＋1an＝2＝log a a2，故an＋1an＝a2.又a>0303且a≠1，所以数列{a n}为等比数列．304等比数列的基本运算305306典题导入307[例2] {an }为等比数列，求下列各值：308(1)a6－a4＝24，a3a5＝64，求an；309(2)已知a2·a8＝36，a3＋a7＝15，求公比q.310解：(1)设数列{an }的公比为q，311由题意得⎩⎨⎧a 6－a 4＝a 1q3q 2－1＝24， ①a 3a 5＝a 1q32＝64. ②312 由②得a 1q 3＝±8，313 将a 1q 3＝－8代入①中，得q 2＝－2(舍去)． 314 将a 1q 3＝8代入①中，得q 2＝4，q ＝±2. 315 当q ＝2时，a 1＝1，∴a n ＝a 1q n －1＝2n －1.316 当q ＝－2时，a 1＝－1，∴a n ＝a 1q n －1＝－(－2)n －1. 317 ∴a n ＝2n －1或a n ＝－(－2)n －1.318 (2)∵a 2·a 8＝36＝a 3·a 7，而a 3＋a 7＝15， 319 ∴⎩⎨⎧a 3＝3，a 7＝12或⎩⎨⎧a 3＝12，a 7＝3.320∴q 4＝a 7a 3＝4或14.321∴q ＝±2或q ＝±22. 322323 由题悟法324 1．等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，数列中有五个量a 1，325n ，q ，a n ，S n ，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)可迎刃而解． 326 2．在使用等比数列的前n 项和公式时，应根据公比q 的情况进行分类讨论，327 切不可忽视q 的取值而盲目用求和公式．328以题试法3292．(2012·山西适应性训练)已知数列{a n}是公差不为零的等差数列，a1＝2，330且a2，a4，a8成等比数列．331(1)求数列{a n}的通项公式；332(2)求数列{3a n}的前n项和．333解：(1)设等差数列{a n}的公差为d(d≠0)．334因为a2，a4，a8成等比数列，335所以(2＋3d)2＝(2＋d)·(2＋7d)，336解得d＝2.337所以a n＝2n(n∈N*)．338(2)由(1)知3a n＝32n，设数列{3a n}的前n项和为S n，339则S n＝32＋34＋…＋32n＝91－9n1－9＝98(9n－1)．340等比数列的性质341342典题导入343[例3] (1)(2012·威海模拟)在由正数组成的等比数列{a n}中，若a3a4a5＝3π，344则sin(log3a1＋log3a2＋…＋log3a7)的值为( )345A.12B.32346C ．1D ．－32347 (2)设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 6∶S 3＝1∶2，则S 9∶S 3等于( ) 348 A ．1∶2 B ．2∶3 349 C ．3∶4D ．1∶3350 [自主解答] (1)因为a 3a 4a 5＝3π＝a 34，所以a 4＝3π3. 351 log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a 7 352 ＝log 3(a 1a 2…a 7)＝log 3a 74353 ＝7log 33π3＝7π3， 354故sin(log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a 7)＝32. 355 (2)由等比数列的性质：S 3，S 6－S 3，S 9－S 6仍成等比数列，于是(S 6－S 3)2＝S 3·(S 9356 －S 6)，357 将S 6＝12S 3代入得S 9S 3＝34.358 [答案] (1)B (2)C359 由题悟法360 等比数列与等差数列在定义上只有“一字之差”，它们的通项公式和性质有361 许多相似之处，其中等差数列中的“和”“倍数”可以与等比数列中的362 “积”“幂”相类比．关注它们之间的异同有助于我们从整体上把握，同时也363有利于类比思想的推广．对于等差数列项的和或等比数列项的积的运算，若能364 关注通项公式a n ＝f (n )的下标n 的大小关系，可简化题目的运算．365 以题试法366 3．(1)(2012·新课标全国卷)已知{a n }为等比数列，a 4＋a 7＝2，a 5a 6＝－8，则367a 1＋a 10＝( )368 A ．7 B ．5 369 C ．－5D ．－7370 (2)(2012·成都模拟)已知{a n }是等比数列，a 2＝2，a 5＝14，则a 1a 2＋a 2a 3＋…371 ＋a n a n ＋1＝( ) 372 A ．16(1－4－n )B ．16(1－2－n ) 373 C.323(1－4－n )D.323(1－2－n ) 374 解析：(1)选D 法一：375 由题意得⎩⎨⎧a 4＋a 7＝a 1q 3＋a 1q 6＝2，a 5a 6＝a 1q 4×a 1q 5＝a 21q 9＝－8，376解得⎩⎨⎧q 3＝－2，a 1＝1或⎩⎨⎧q 3＝－12，a 1＝－8，377故a 1＋a 10＝a 1(1＋q 9)＝－7. 378 法二：由⎩⎨⎧a 4＋a 7＝2，a 5a 6＝a 4a 7＝－8，解得⎩⎨⎧a 4＝－2，a 7＝4或⎩⎨⎧a 4＝4，a 7＝－2.379则⎩⎨⎧q 3＝－2，a 1＝1或⎩⎨⎧q 3＝－12，a 1＝－8，故a 1＋a 10＝a 1(1＋q 9)＝－7.380(2)选C ∵a 2＝2，a 5＝14，∴a 1＝4，q ＝12，a n a n ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122n －5.381故a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n a n ＋1＝8⎝⎛⎭⎪⎫1－14n 1－14＝323(1－4－n )．382练习题383 1．(教材习题改编)数列1，23，35，47，59…的一个通项公式是 ( )384A ．a n ＝n2n ＋1 B ．a n ＝n 2n －1 385C ．a n ＝n2n －3D ．a n ＝n 2n ＋3386 答案：B387 2．设数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2，则a 8的值为( ) 388 A ．15 B ．16 389 C ．49D ．64390 解析：选A a 8＝S 8－S 7＝64－49＝15.391 3．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝nn ＋1，则这个数列是( )392 A ．递增数列 B ．递减数列393C ．常数列D ．摆动数列394 解析：选A a n＋1－a n ＝n ＋1n ＋2－nn ＋1＝n ＋12－n n ＋2n ＋1n ＋2＝395 1n ＋1n ＋2>0.3964．(教材习题改编)已知数列{a n }的通项公式是a n ＝⎩⎨⎧2·3n －1n 为偶数，2n －5n 为奇数，397 则a 4·a 3＝________.398 解析：a 4·a 3＝2×33·(2×3－5)＝54. 399 答案：54400 5．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝pn ＋q n ，且a 2＝32，401a 4＝32，则a 8＝________.402解析：由已知得⎩⎪⎨⎪⎧2p ＋q 2＝32，4p ＋q 4＝32，解得⎩⎨⎧p ＝14，q ＝2.403则a n ＝14n ＋2n ，故a 8＝94.404答案：94405 1．(2012·福建高考)等差数列{a n }中，a 1＋a 5＝10，a 4＝7，则数列{a n }的公差406 为( )407A ．1B ．2 408C ．3D ．4409 解析：选B 法一：设等差数列{a n }的公差为d ，由题意得⎩⎨⎧2a 1＋4d ＝10，a 1＋3d ＝7.410解得⎩⎨⎧a 1＝1，d ＝2.故d ＝2.411 法二：∵在等差数列{a n }中，a 1＋a 5＝2a 3＝10，∴a 3＝5. 412 又a 4＝7，∴公差d ＝7－5＝2.413 2．(教材习题改编)在等差数列{a n }中，a 2＋a 6＝3π2，则sin ⎝⎛⎭⎪⎫2a 4－π3＝( )414A.32B.12 415C ．－32D ．－12416解析：选D ∵a 2＋a 6＝3π2，∴2a 4＝3π2. 417∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 4－π3＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫3π2－π3＝－cos π3＝－12. 418 3．(2012·辽宁高考)在等差数列{a n }中，已知a 4＋a 8＝16，则该数列前11项419 和S 11＝( )420 A ．58B ．88421 C ．143D ．176422解析：选B S 11＝11a 1＋a 112＝11a 4＋a 82＝88.423 4．在数列{a n }中，若a 1＝1，a n ＋1＝a n ＋2(n ≥1)，则该数列的通项a n ＝________. 424 解析：由a n ＋1＝a n ＋2知{a n }为等差数列其公差为2. 425 故a n ＝1＋(n －1)×2＝2n －1. 426 答案：2n －1427 5．(2012·北京高考)已知{a n }为等差数列，S n 为其前n 项和，若a 1＝12，S 2＝428a 3，则a 2＝________，S n ＝________. 429 解析：设{a n }的公差为d ，430 由S 2＝a 3知，a 1＋a 2＝a 3，即2a 1＋d ＝a 1＋2d ， 431 又a 1＝12，所以d ＝12，故a 2＝a 1＋d ＝1，432S n ＝na 1＋12n (n －1)d ＝12n ＋12(n 2－n )×12433＝14n 2＋14n . 434答案：1 14n 2＋14n435 1．(2011·江西高考){a n }为等差数列，公差d ＝－2，S n 为其前n 项和．若S 10436 ＝S 11，则a 1＝( )437 A ．18 B ．20438C ．22D ．24439 解析：选 B 由S 10＝S 11，得a 11＝S 11－S 10＝0，a 1＝a 11＋(1－11)d ＝0＋(－440 10)×(－2)＝20.441 2．(2012·广州调研)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 5＝8，S 3＝6，则442 S 10－S 7的值是( ) 443 A ．24 B ．48 444 C ．60D ．72445 解析：选B 设等差数列{a n }的公差为d ，由题意可得⎩⎨⎧a 5＝a 1＋4d ＝8，S 3＝3a 1＋3d ＝6，解446 得⎩⎨⎧a 1＝0，d ＝2，则S 10－S 7＝a 8＋a 9＋a 10＝3a 1＋24d ＝48.447 3．(2013·东北三校联考)等差数列{a n }中，a 5＋a 6＝4，则448 log 2(2a 1·2a 2·…·2a 10)＝( )449 A ．10 B ．20 450 C ．40D ．2＋log 25451 解析：选B 依题意得，a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 10＝10a 1＋a 102＝5(a 5＋a 6)＝20，452 因此有log 2(2a 1·2a 2·…·2a 10)＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 10＝20.453 4．(2012·海淀期末)已知数列{a n }满足：a 1＝1，a n >0，a 2n ＋1－a 2n ＝1(n ∈N *)，454 那么使a n <5成立的n 的最大值为( )455 A ．4B ．5 456C ．24D ．25457解析：选C ∵a 2n ＋1－a 2n ＝1，∴数列{a 2n }是以a 21＝1为首项，1为公差的等差数458 列．∴a 2n ＝1＋(n －1)＝n .又a n >0，∴a n ＝n .∵a n <5，∴n <5.即n <25.故n 的459 最大值为24.460 5．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，并且S 10>0，S 11<0，若S n ≤S k 对n ∈N *461 恒成立，则正整数k 的值为( )462 A ．5 B ．6 463 C ．4D ．7464 解析：选A 由S 10>0，S 11<0知a 1>0，d <0，并且a 1＋a 11<0，即a 6<0，又a 5＋a 6>0，465 所以a 5>0，即数列的前5项都为正数，第5项之后的都为负数，所以S 5最大，466 则k ＝5.467 6．数列{a n }的首项为3，{b n }为等差数列且b n ＝a n ＋1－a n (n ∈N *)．若b 3＝－2，468 b 10＝12，则a 8＝( ) 469 A ．0 B ．3 470 C ．8D ．11471 解析：选B 因为{b n }是等差数列，且b 3＝－2，b 10＝12，472 故公差d ＝12－－210－3＝2.于是b 1＝－6，473 且b n ＝2n －8(n ∈N *)，即a n ＋1－a n ＝2n －8.474 所以a 8＝a 7＋6＝a 6＋4＋6＝a 5＋2＋4＋6＝…＝a 1＋(－6)＋(－4)＋(－2)＋0475 ＋2＋4＋6＝3.476 7．(2012·广东高考)已知递增的等差数列{a n }满足a 1＝1，a 3＝a 22－4，则a n477＝________.478 解析：设等差数列公差为d ，∵由a 3＝a 22－4，得1＋2d ＝(1＋d )2－4，解得d 2479 ＝4，即d ＝±2.由于该数列为递增数列，故d ＝2.480 ∴a n ＝1＋(n －1)×2＝2n －1. 481 答案：2n －1482 8．已知数列{a n }为等差数列，S n 为其前n 项和，a 7－a 5＝4，a 11＝21，S k ＝9，483 则k ＝________.484 解析：a 7－a 5＝2d ＝4，则d ＝2.a 1＝a 11－10d ＝21－20＝1，485 S k ＝k ＋k k －12×2＝k 2＝9.又k ∈N *，故k ＝3.486 答案：3487 9．设等差数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为S n ，T n ，若对任意自然数n 都有S nT n488 ＝2n －34n －3，则a 9b 5＋b 7＋a 3b 8＋b 4的值为________． 489 解析：∵{a n }，{b n }为等差数列，490 ∴a 9b 5＋b 7＋a 3b 8＋b 4＝a 92b 6＋a 32b 6＝a 9＋a 32b 6＝a 6b 6. 491∵S 11T 11＝a 1＋a 11b 1＋b 11＝2a 62b 6＝2×11－34×11－3＝1941，∴a 6b 6＝1941. 492答案：1941493 10．(2011·福建高考)已知等差数列{a n }中，a 1＝1，a 3＝－3.494(1)求数列{a n }的通项公式；495 (2)若数列{a n }的前k 项和S k ＝－35，求k 的值． 496 解：(1)设等差数列{a n }的公差为d ，则a n ＝a 1＋(n －1)d . 497 由a 1＝1，a 3＝－3，可得1＋2d ＝－3，解得d ＝－2. 498 从而a n ＝1＋(n －1)×(－2)＝3－2n . 499 (2)由(1)可知a n ＝3－2n ，500 所以S n ＝n [1＋3－2n ]2＝2n －n 2.501 由S k ＝－35，可得2k －k 2＝－35， 502 即k 2－2k －35＝0，解得k ＝7或k ＝－5. 503 又k ∈N *，故k ＝7.504 11．设数列{a n }的前n 项积为T n ，T n ＝1－a n ，505 (1)证明⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1T n 是等差数列；506(2)求数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a n T n 的前n 项和S n .507解：(1)证明：由T n ＝1－a n 得，当n ≥2时，T n ＝1－T nT n －1， 508两边同除以T n 得1T n －1T n －1＝1.509 ∵T 1＝1－a 1＝a 1，510故a 1＝12，1T 1＝1a 1＝2.511∴⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1T n 是首项为2，公差为1的等差数列．512(2)由(1)知1T n ＝n ＋1，则T n ＝1n ＋1，513从而a n ＝1－T n ＝nn ＋1.故a nT n＝n .514∴数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a n T n 是首项为1，公差为1的等差数列．515∴S n ＝n n ＋12.516 12．已知在等差数列{a n }中，a 1＝31，S n 是它的前n 项和，S 10＝S 22. 517 (1)求S n ；518 (2)这个数列的前多少项的和最大，并求出这个最大值． 519 解：(1)∵S 10＝a 1＋a 2＋…＋a 10，520 S 22＝a 1＋a 2＋…＋a 22，又S 10＝S 22， 521 ∴a 11＋a 12＋…＋a 22＝0， 522 即12a 11＋a 222＝0，故a 11＋a 22＝2a 1＋31d ＝0.523 又∵a 1＝31，∴d ＝－2，524 ∴S n ＝na 1＋n n －12d ＝31n －n (n －1)＝32n －n 2.525(2)法一：由(1)知S n ＝32n －n 2，526 故当n ＝16时，S n 有最大值，S n 的最大值是256. 527 法二：由S n ＝32n －n 2＝n (32－n )，欲使S n 有最大值， 528 应有1<n <32，从而S n ≤⎝⎛⎭⎪⎫n ＋32－n 22＝256， 529 当且仅当n ＝32－n ，即n ＝16时，S n 有最大值256.530 1．(教材习题改编)等比数列{a n }中，a 4＝4，则a 2·a 6等于( ) 531 A ．4 B ．8 532 C ．16D ．32533 解析：选C a 2·a 6＝a 24＝16.534 2．已知等比数列{a n }的前三项依次为a －1，a ＋1，a ＋4，则a n ＝( ) 535 A ．4·⎝ ⎛⎭⎪⎫32nB ．4·⎝ ⎛⎭⎪⎫23n536C ．4·⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －1D ．4·⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －1537 解析：选C (a ＋1)2＝(a －1)(a ＋4)⇒a ＝5，538 a 1＝4，q ＝32，故a n ＝4·⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －1.539 3．已知等比数列{a n }满足a 1＋a 2＝3，a 2＋a 3＝6，则a 7＝( ) 540 A ．64B ．81541 C ．128D ．243542解析：选A q ＝a 2＋a 3a 1＋a 2＝2， 543 故a 1＋a 1q ＝3⇒a 1＝1，a 7＝1×27－1＝64.544 4．(2011·北京高考)在等比数列{a n }中，若a 1＝12，a 4＝4，则公比q ＝________；545a 1＋a 2＋…＋a n ＝________.546 解析：a 4＝a 1q 3，得4＝12q 3，解得q ＝2，a 1＋a 2＋…＋a n ＝121－2n 1－2＝2n －1－12.547答案：2 2n －1－12548 5．(2012·新课标全国卷)等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＋3S 2＝0，则549 公比q ＝________.550 解析：∵S 3＋3S 2＝0，∴a 1＋a 2＋a 3＋3(a 1＋a 2)＝0， 551 ∴a 1(4＋4q ＋q 2)＝0. 552 ∵a 1≠0，∴q ＝－2. 553 答案：－2554 1．设数列{a n }是等比数列，前n 项和为S n ，若S 3＝3a 3，则公比q 为( ) 555 A ．－12B ．1556C ．－12或1D.14557 解析：选C 当q ＝1时，满足S 3＝3a 1＝3a 3.558当q ≠1时，S 3＝a 11－q 31－q ＝a 1(1＋q ＋q 2)＝3a 1q 2，559解得q ＝－12，综上q ＝－12或q ＝1.560 2．(2012·东城模拟)设数列{a n }满足：2a n ＝a n ＋1(a n ≠0)(n ∈N *)，且前n 项和561 为S n ，则S 4a 2的值为( )562A.152 B.154563 C ．4D ．2564解析：选A 由题意知，数列{a n }是以2为公比的等比数列，故S 4a 2＝a 11－241－2a 1×2565 ＝152. 566 3．(2012·安徽高考)公比为2的等比数列{a n }的各项都是正数，且a 3a 11＝16，567 则log 2a 10＝( )568 A ．4 B ．5 569 C ．6D ．7570 解析：选B ∵a 3·a 11＝16，∴a 27＝16. 571 又∵等比数列{a n }的各项都是正数，∴a 7＝4. 572 又∵a 10＝a 7q 3＝4×23＝25，∴log 2a 10＝5.573 4．已知数列{a n }，则“a n ，a n ＋1，a n ＋2(n ∈N *)成等比数列”是“a 2n ＋1＝a n a n ＋2”574 的( )575A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件 576C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件577 解析：选A 显然，n ∈N *，a n ，a n ＋1，a n ＋2成等比数列，则a 2n ＋1＝a n a n ＋2，反之，578 则不一定成立，举反例，如数列为1,0,0,0，…579 5．(2013·太原模拟)各项均为正数的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S n ＝2，580S 3n ＝14，则S 4n 等于( ) 581 A ．80 B ．30 582 C ．26D ．16583 解析：选B 设S 2n ＝a ，S 4n ＝b ，由等比数列的性质知： 584 2(14－a )＝(a －2)2，解得a ＝6或a ＝－4(舍去)， 585 同理(6－2)(b －14)＝(14－6)2，所以b ＝S 4n ＝30.586 6．已知方程(x 2－mx ＋2)(x 2－nx ＋2)＝0的四个根组成以12为首项的等比数列，587 则m n＝( )588A.32B.32或23589C.23D ．以上都不对590 解析：选B 设a ，b ，c ，d 是方程(x 2－mx ＋2)(x 2－nx ＋2)＝0的四个根，不591 妨设a <c <d <b ，则a ·b ＝c ·d ＝2，a ＝12，故b ＝4，根据等比数列的性质，得到592c＝1，d＝2，则m＝a＋b＝92，n＝c＋d＝3，或m＝c＋d＝3，n＝a＋b＝92，则mn＝5933 2或mn＝23.5947．已知各项不为0的等差数列{a n}，满足2a3－a27＋2a11＝0，数列{b n}是等比595数列，且b7＝a7，则b6b8＝________.596解析：由题意可知，b6b8＝b27＝a27＝2(a3＋a11)＝4a7，597∵a7≠0，∴a7＝4，∴b6b8＝16.598答案：165998．(2012·江西高考)等比数列{a n}的前n项和为S n，公比不为1.若a1＝1，600则对任意的n∈N*，都有a n＋2＋a n＋1－2a n＝0，则S5＝________.601解析：由题意知a3＋a2－2a1＝0，设公比为q，则a1(q2＋q－2)＝0.由q2＋q－6022＝0解得q＝－2或q＝1(舍去)，则S5＝a11－q51－q＝1－－253＝11.603答案：116049．(2012·西城期末)已知{a n}是公比为2的等比数列，若a3－a1＝6，则a1＝605________；1a21＋1a22＋…＋1a2n＝________.606解析：∵{a n}是公比为2的等比数列，且a3－a1＝6，∴4a1－a1＝6，即a1＝2，607故a n＝a12n－1＝2n，∴1an＝⎝⎛⎭⎪⎫12n，1a2n＝⎝⎛⎭⎪⎫14n，即数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1a2n是首项为14，公比为14的等比608数列，609∴1a 21＋1a 22＋…＋1a 2n ＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14n 1－14＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14n . 610答案：2 13⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14n 611 10．设数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，且数列{S n }是以2为公比的等比数列． 612 (1)求数列{a n }的通项公式； 613 (2)求a 1＋a 3＋…＋a 2n ＋1.614 解：(1)∵S 1＝a 1＝1，且数列{S n }是以2为公比的等比数列，∴S n ＝2n －1， 615 又当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n －2(2－1)＝2n －2. 616 ∴a n ＝⎩⎨⎧1，n ＝1，2n －2，n ≥2.617 (2)a 3，a 5，…，a 2n ＋1是以2为首项，以4为公比的等比数列，618 ∴a 3＋a 5＋…＋a 2n ＋1＝21－4n 1－4＝24n －13.619∴a 1＋a 3＋…＋a 2n ＋1＝1＋24n －13＝22n ＋1＋13.620 11．设数列{a n }的前n 项和为S n ，其中a n ≠0，a 1为常数，且－a 1，S n ，a n ＋1成621 等差数列．622 (1)求{a n }的通项公式；623 (2)设b n ＝1－S n ，问：是否存在a 1，使数列{b n }为等比数列？若存在，求出a 1624 的值；若不存在，请说明理由．625解：(1)依题意，得2S n ＝a n ＋1－a 1. 626 当n ≥2时，有⎩⎨⎧2S n ＝a n ＋1－a 1，2S n －1＝a n －a 1.627 两式相减，得a n ＋1＝3a n (n ≥2)． 628 又因为a 2＝2S 1＋a 1＝3a 1，a n ≠0，629 所以数列{a n }是首项为a 1，公比为3的等比数列． 630 因此，a n ＝a 1·3n －1(n ∈N *)．631 (2)因为S n ＝a 11－3n1－3＝12a 1·3n －12a 1， 632b n ＝1－S n ＝1＋12a 1－12a 1·3n .633要使{b n }为等比数列，当且仅当1＋12a 1＝0，即a 1＝－2.634 所以存在a 1＝－2，使数列{b n }为等比数列．635 12． (2012·山东高考)已知等差数列{a n }的前5项和为105，且a 10＝2a 5. 636 (1)求数列{a n }的通项公式；637 (2)对任意m ∈N *，将数列{a n }中不大于72m 的项的个数记为b m .求数列{b m }的前638m 项和S m . 639 解：(1)设数列{a n }的公差为d ，前n 项和为T n ， 640 由T 5＝105，a 10＝2a 5，641得⎩⎨⎧5a 1＋5×5－12d ＝105，a 1＋9d ＝2a 1＋4d ，642解得a 1＝7，d ＝7.643 因此a n ＝a 1＋(n －1)d ＝7＋7(n －1)＝7n (n ∈N *)． 644 (2)对m ∈N *，若a n ＝7n ≤72m ，则n ≤72m －1. 645 因此b m ＝72m －1.646 所以数列{b m }是首项为7，公比为49的等比数列，647 故S m ＝b 11－q m 1－q ＝7×1－49m 1－49＝7×72m －148＝72m ＋1－748.648649650。

《数列》复习1.数列的通项求数列通项公式的常用方法：（1）观察与归纳法：先观察哪些因素随项数n 的变化而变化，哪些因素不变：分析符号、数字、字母与项数n 在变化过程中的联系，初步归纳公式。

（2）公式法：等差数列与等比数列。

（3）利用n S 与n a 的关系求n a ：11,(1),(2)n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩（4）构造新数列法；（5）逐项作差求和法；（6）逐项作商求积法 2.等差数列{}n a 中：（1）等差数列公差的取值与等差数列的单调性； （2）1(1)n a a n d =+-()m a n m d =+-； （3）{}n ka 也成等差数列；(4)两等差数列对应项和(差)组成的新数列仍成等差数列. (5)1211221213,,m m m m m m ma a a a a a a a a +++++++++++++仍成等差数列.（6）1()2n n n a a S +=，1(1)2n n n S na d -=+，21()22n d dS n a n =+-， 2121n n S a n -=-，()(21)n n nn A af n f n B b =⇒=-.(7)若m n p q +=+，则m n p q a a a a +=+；若2p qm +=，则2p q m a a a += ,()0p q p q a q a p p q a +==≠⇒=，,()()p q p q S q S p p q S p q +==≠⇒=-+；m n m n S S S mnd +=++.(8)“首正”的递减等差数列中，前n 项和的最大值是所有非负项之和； （9）等差中项：若,,a A b 成等差数列，则2a bA +=叫做,a b 的等差中项。

（10）判定数列是否是等差数列的主要方法有：定义法、中项法、通项法、和式法、图像法。

3.等比数列{}n a 中：（1）等比数列的符号特征(全正或全负或一正一负)，等比数列的首项、公比与等比数列的单调性。

专题7.5 数列的综合应用（知识点讲解）【知识框架】【核心素养】1.数列与传统数学文化、实际问题相结合，考查等差、等比数列的基本运算，凸显数学建模的核心素养． 2．数列与新定义问题相结合，考查转化、迁移能力，凸显数学抽象的核心素养．3．数列与函数、不等式、解析几何等相结合，考查学生综合分析解决问题的能力，凸显逻辑推理的核心素养．【知识点展示】（一）数列与函数数列与函数的综合问题主要有以下两类：（1）已知函数条件，解决数列问题，此类问题一般是利用函数的性质、图象研究数列问题；（2）已知数列条件，解决函数问题，解决此类问题一般要充分利用数列的范围、公式、求和方法对式子化简变形．（二）数列与不等式1.数列型不等式的证明常用到“放缩法”，一是在求和中将通项“放缩”为“可求和数列”；二是求和后再“放缩”．放缩法常见的放缩技巧有： (1)1k 2＜1k 2－1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1k －1－1k ＋1.(2)1k －1k ＋1＜1k 2＜1k －1－1k . (3)2(n ＋1－n )＜1n＜2(n －n －1)．2.数列中不等式恒成立的问题数列中有关项或前n 项和的恒成立问题，往往转化为数列的最值问题；求项或前n 项和的不等关系可以利用不等式的性质或基本不等式求解．（三）解答数列实际应用问题的步骤(1)确定模型类型：理解题意，看是哪类数列模型，一般有等差数列模型、等比数列模型、简单递推数列模型．基本特征如下：等差数列模型：均匀增加或者减少等比数列模型：指数增长或减少，常见的是增产率问题、存款复利问题简单递推数列模型：指数增长的同时又均匀减少．如年收入增长率为20%，每年年底要拿出a(常数)作为下年度的开销，即数列{}1 1.2n n n a a a a ＋满足＝－(2)准确解决模型：解模就是根据数列的知识，求数列的通项、数列的和、解方程(组)或者不等式(组)等，在解模时要注意运算准确．(3)给出问题的回答：实际应用问题最后要把求解的数学结果化为对实际问题的答案，在解题中不要忽视了这点．【常考题型剖析】题型一：数列与函数的综合例1.（2021·河南·睢县高级中学高三阶段练习（理））已知数列{}n a 的首项11a =，函数()()41cos221n n f x x a x a +=+-+有唯一零点，则通项n a =（ ） A ．13n -B ．12n -C ．21n -D ．32n -例2.（2023·全国·高三专题练习）设函数()12ln x f x x -=+，11a =，()*21N 1,23n n a f f n f f n n n n n -⎛⎫=+++⋅ ⎪⋅⋅+∈≥ ⎪⎝⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎭．则数列{}n a 的前n 项和n S =______． 例3．（2017·上海·高考真题）根据预测，某地第n *()n ∈N 个月共享单车的投放量和损失量分别为n a 和n b （单位：辆），其中4515,1310470,4n n n a n n ⎧+≤≤=⎨-+≥⎩，5n b n =+，第n 个月底的共享单车的保有量是前n 个月的累计投放量与累计损失量的差.（1）求该地区第4个月底的共享单车的保有量；（2）已知该地共享单车停放点第n 个月底的单车容纳量24(46)8800n S n =--+（单位：辆）. 设在某月底，共享单车保有量达到最大，问该保有量是否超出了此时停放点的单车容纳量？【温馨提醒】解题时要注意数列与函数的内在联系，灵活运用函数的思想方法求解，在问题的求解过程中往往会遇到数列的求和、和的最值，利用函数性质或不等式性质求解较为常规． 题型二：数列与不等式的综合例4.（2021·浙江·高考真题）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，194a =-，且1439n n S S +=-.（1）求数列{}n a 的通项；（2）设数列{}n b 满足*3(4)0()n n b n a n N +-=∈，记{}n b 的前n 项和为n T ，若n n T b λ≤对任意N n *∈恒成立，求实数λ的取值范围.例5.（2021·天津·高考真题）已知{}n a 是公差为2的等差数列，其前8项和为64．{}n b 是公比大于0的等比数列，1324,48b b b =-=． （I ）求{}n a 和{}n b 的通项公式；（II ）记2*1,n n nc b b n N =+∈，（i ）证明{}22nn c c -是等比数列；（ii ）证明)*nk n N =∈ 例6.（2021·全国·高考真题（文））设{}n a 是首项为1的等比数列，数列{}n b 满足3nn na b =．已知1a ，23a ，39a 成等差数列．（1）求{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）记n S 和n T 分别为{}n a 和{}n b 的前n 项和．证明：2nn S T <． 【温馨提醒】数列与不等式的结合，除应熟练掌握数列的通项公式、求和公式，关于不等式证明、不等式恒成立问题的处理方法亦应灵活运用. 题型三：数列与实际应用问题例7．【多选题】（2022·全国·高三专题练习）参加工作5年的小郭，因工作需要向银行贷款A 万元购买一台小汽车，与银行约定：这A 万元银行贷款分10年还清，贷款的年利率为r ，每年还款数为X 万元，则（ ）A ．()1011ArX r =+- B ．小郭第3年还款的现值为()31Xr +万元C ．小郭选择的还款方式为“等额本金还款法”D ．小郭选择的还款方式为“等额本息还款法”例8.（2021·全国·高三专题练习）某集团公司有一下属企业A 从事一种高科技产品的生产.A 企业第一年年初有资金2000万元，将其投入生产，到当年年底资金增长了40%，预计以后每年资金年增长率与第一年的相同.集团公司要求A 企业从第一年开始，每年年底上缴资金t 万元（800t <），并将剩余资金全部投入下一年生产.设第n 年年底A 企业上缴资金后的剩余资金为n a 万元.则（ ） A ．22800a t =- B ．175n n a a t +=-C ．1n n a a +>D ．当400t =时，33800a >【总结提升】1.与实际应用相结合的题型也是高考命题的动向，这类问题的特点是通过现实生活的事例考查书本知识，解决这类问题的关键是耐心读题、仔细理解题，只有吃透题意，才能将实际问题转化为数学模型进行解答.2.等比数列最值有关问题的解题思路：求解此类问题的常用思路是根据题目所给条件建立关于变量n 的函数关系进行求解．有时也注意基本不等式的应用．题型四：数列的“新定义”问题例9．（2022·全国·高三专题练习）对于数列{}n a ，定义11222-=+++n n n A a a a 为数列{}n a 的“加权和”，已知某数列{}n a 的“加权和”12n n A n +=⋅，记数列{}+n a pn 的前n 项和为n T ，若5≤n T T 对任意的N n *∈恒成立，则实数p 的取值范围为（ ） A ．127,53⎡⎤--⎢⎥⎣⎦B ．167,73⎡⎤--⎢⎥⎣⎦C ．512,25⎡⎤--⎢⎥⎣⎦D ．169,74⎡⎤--⎢⎥⎣⎦例10．（2022·江西抚州·高二阶段练习（理））对大于1的自然数m 的三次幂可用奇数进行以下形式的“分裂”：3325⎧⎨⎩，3739,11⎧⎪⎨⎪⎩，3131541719⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩，…仿此，若3m 的“分裂数”中有一个是1111，则m 的值为（ ） A ．32 B ．33 C ．34 D ．35例11.（2022·河南开封·高二期末（理））若数列{}n a 中不超过()f m 的项数恰为()*,m b n m ∈N ，则称数列{}m b 是数列{}n a 的生成数列，称相应的函数()f m 是数列{}n a 生成{}m b 的控制函数.已知2n n a =，()f m m =，记数列{}m b 的前m 项和为m S ，则63S =（ ） A ．258B ．264C ．642D ．636例12.（2022·全国·高三专题练习）定义：对于任意一个有穷数列，第一次在其每相邻的两项间都插人这两项的和，得到的新数列称之为一阶和数列，如果在一阶和数列的基础上再在其相邻的两项间插入这两项的和称之为二阶和数列，以此类推可以得到n 阶和数列，如{1,5}的一阶和数列是{1,6,5}，设它的n 阶和数列各项和为n S ．(1)试求{1,5}的二阶和数列各项和2S 与三阶和数列各项和3S ，并猜想n S 的通项公式（无需证明）； (2)若()()311log 3log 33n n n c S S +=--⋅-，求{}n c 的前n 项和n T ，并证明：1126n T -<≤-．【温馨提醒】立足于“转化”，将新定义问题转化成等差数列、等比数列问题求解. 题型五：数列与解析几何例12．（2021·浙江·高考真题）已知,R,0a b ab ∈>，函数()2R ()f x ax b x =+∈.若(),(),()f s t f s f s t -+成等比数列，则平面上点(),s t 的轨迹是（ ） A ．直线和圆B ．直线和椭圆C ．直线和双曲线D ．直线和抛物线例13．（2017山东，理19）已知{x n }是各项均为正数的等比数列，且x 1+x 2=3，x 3-x 2=2 （Ⅰ）求数列{x n }的通项公式；（Ⅱ）如图，在平面直角坐标系xOy 中，依次连接点P 1(x 1, 1)，P 2(x 2, 2)…P n+1(x n+1, n+1)得到折线P 1 P 2…P n+1，求由该折线与直线y=0，11n x x x x +==,所围成的区域的面积.题型六：数列与传统文化例14.（2022·云南师大附中模拟预测（理））《九章算术》是我国秦汉时期一部杰出的数学著作，书中第三章“衰分”有如下问题：“今有大夫、不更、簪裹、上造、公士，凡五人，共出百钱.欲令高爵出少，以次渐多，问各几何?”意思是：“有大夫、不更、簪裏、上造、公士（爵位依次变低）5个人共出100钱，按照爵位从高到低每人所出钱数成递增等差数列，这5个人各出多少钱?”在这个问题中，若不更出17钱，则公士出的钱数为（ ） A ．10B ．14C ．23D ．26例15.（2022·山东青岛·一模）我国古代数学著作《九章算术》中有如下问题：“今有人持金出五关，前关二税一，次关三而税一，次关四而税一，次关五而税一，次关六而税一，并五关所税，适重一斤．问本持金n T几何？”其意思为“今有人持金出五关，第1关收税金为持金的12，第2关收税金为剩余金的13，第3关收税金为剩余金的14，第4关收税金为剩余金的15，第5关收税金为剩余金的16，5关所收税金之和恰好重1斤．问原来持金多少？”．记这个人原来持金为a 斤，设()101,115,01x x f x x x +>⎧=⎨-<≤⎩，则()f a =（ ）A ．5-B ．7C ．13D ．26例16.（2017·全国·高考真题（理））我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（ ） A ．1盏 B ．3盏 C ．5盏 D ．9盏【总结提升】理解题意，构造数列，应用数列模型解题．专题7.5 数列的综合应用（知识点讲解）【知识框架】【核心素养】1.数列与传统数学文化、实际问题相结合，考查等差、等比数列的基本运算，凸显数学建模的核心素养． 2．数列与新定义问题相结合，考查转化、迁移能力，凸显数学抽象的核心素养．3．数列与函数、不等式、解析几何等相结合，考查学生综合分析解决问题的能力，凸显逻辑推理的核心素养．【知识点展示】（一）数列与函数数列与函数的综合问题主要有以下两类：（1）已知函数条件，解决数列问题，此类问题一般是利用函数的性质、图象研究数列问题；（2）已知数列条件，解决函数问题，解决此类问题一般要充分利用数列的范围、公式、求和方法对式子化简变形．（二）数列与不等式1.数列型不等式的证明常用到“放缩法”，一是在求和中将通项“放缩”为“可求和数列”；二是求和后再“放缩”．放缩法常见的放缩技巧有： (1)1k 2＜1k 2－1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1k －1－1k ＋1.(2)1k －1k ＋1＜1k 2＜1k －1－1k . (3)2(n ＋1－n )＜1n＜2(n －n －1)．2.数列中不等式恒成立的问题数列中有关项或前n 项和的恒成立问题，往往转化为数列的最值问题；求项或前n 项和的不等关系可以利用不等式的性质或基本不等式求解．（三）解答数列实际应用问题的步骤(1)确定模型类型：理解题意，看是哪类数列模型，一般有等差数列模型、等比数列模型、简单递推数列模型．基本特征如下：等差数列模型：均匀增加或者减少等比数列模型：指数增长或减少，常见的是增产率问题、存款复利问题简单递推数列模型：指数增长的同时又均匀减少．如年收入增长率为20%，每年年底要拿出a(常数)作为下年度的开销，即数列{}1 1.2n n n a a a a ＋满足＝－(2)准确解决模型：解模就是根据数列的知识，求数列的通项、数列的和、解方程(组)或者不等式(组)等，在解模时要注意运算准确．(3)给出问题的回答：实际应用问题最后要把求解的数学结果化为对实际问题的答案，在解题中不要忽视了这点．【常考题型剖析】题型一：数列与函数的综合例1.（2021·河南·睢县高级中学高三阶段练习（理））已知数列{}n a 的首项11a =，函数()()41cos221n n f x x a x a +=+-+有唯一零点，则通项n a =（ ） A ．13n - B ．12n -C ．21n -D ．32n -【答案】C 【解析】 【分析】由奇偶性定义可判断出()f x 为偶函数，由此可确定唯一零点为0x =，从而得到递推关系式；利用递推关系式可证得数列{}1n a +为等比数列，由等比数列通项公式可推导得到n a . 【详解】()()()()()()4411cos 221cos221n n n n f x x a x a x a x a f x ++-=-+--+=+-+=，()f x ∴为偶函数，图象关于y 轴对称，()f x ∴的零点关于y 轴对称，又()f x 有唯一零点，()f x ∴的零点为0x =，即()()10210n n f a a +=-+=，121n n a a +∴=+，即()1121n n a a ++=+，又112a +=，∴数列{}1n a +是以2为首项，2为公比的等比数列，12n n a ∴+=，则21n n a =-.故选：C. 【点睛】关键点点睛：本题考查函数与数列的综合应用问题；解题关键是能够根据奇偶性的性质确定函数的唯一零点为0x =，从而结合零点确定数列的递推关系式，由递推关系式证得数列{}1n a +为等比数列. 例2.（2023·全国·高三专题练习）设函数()12ln x f x x -=+，11a =，()*21N 1,23n n a f f n f f n n n n n -⎛⎫=+++⋅ ⎪⋅⋅+∈≥ ⎪⎝⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎭．则数列{}n a 的前n 项和n S =______． 【答案】2n n 1-+ 【解析】 【分析】由题设11()()4n f f n n-+=，讨论n 的奇偶性求{}n a 的通项公式，再求n S . 【详解】由题设，111()()4ln(1)ln 41n f f n n n n -+=+-+=-， 所以()()**14121,2,N 221421,21,N 2n n f n n k k a n n n k k ⎧⎛⎫⎛⎫⨯-+=-=∈ ⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭=⎨-⎪⨯=-=+∈⎪⎩，即2(1)n a n =-且n ≥ 2， 当1n =时，11S =，当2n ≥时，21242(1)1n S n n n =+++⋅⋅⋅+-=+-，所以21n S n n =-+，n *∈N故答案为：2n n 1-+.例3．（2017·上海·高考真题）根据预测，某地第n *()n ∈N 个月共享单车的投放量和损失量分别为n a 和n b （单位：辆），其中4515,1310470,4n n n a n n ⎧+≤≤=⎨-+≥⎩，5n b n =+，第n 个月底的共享单车的保有量是前n 个月的累计投放量与累计损失量的差.（1）求该地区第4个月底的共享单车的保有量；（2）已知该地共享单车停放点第n 个月底的单车容纳量24(46)8800n S n =--+（单位：辆）. 设在某月底，共享单车保有量达到最大，问该保有量是否超出了此时停放点的单车容纳量？ 【答案】（1）935；（2）见解析. 【解析】 【详解】试题分析：（1）计算{}n a 和{}n b 的前4项和的差即可得出答案；（2）令n n a b ≥得出42n ≤，再计算第42个月底的保有量和容纳量即可得出结论. 试题分析：（1）()()1234123496530935a a a a b b b b +++-+++=-=（2）10470542n n n -+>+⇒≤，即第42个月底，保有量达到最大()()()()12341234420503864742965878222a a a ab b b b ⎡⎤+⨯+⨯+++⋅⋅⋅+-+++⋅⋅⋅+=+-=⎢⎥⎣⎦()2424424688008736S =--+=，∴此时保有量超过了容纳量.【温馨提醒】解题时要注意数列与函数的内在联系，灵活运用函数的思想方法求解，在问题的求解过程中往往会遇到数列的求和、和的最值，利用函数性质或不等式性质求解较为常规． 题型二：数列与不等式的综合例4.（2021·浙江·高考真题）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，194a =-，且1439n n S S +=-.（1）求数列{}n a 的通项；（2）设数列{}n b 满足*3(4)0()n n b n a n N +-=∈，记{}n b 的前n 项和为n T ，若n n T b λ≤对任意N n *∈恒成立，求实数λ的取值范围.【答案】（1）33()4nn a =-⋅；（2）31λ-≤≤.【解析】【分析】（1）由1439n n S S +=-，结合n S 与n a 的关系，分1,2n n =≥讨论，得到数列{}n a 为等比数列，即可得出结论；（2）由3(4)0n n b n a +-=结合(1)的结论，利用错位相减法求出n T ，n n T b λ≤对任意N n *∈恒成立，分类讨论分离参数λ，转化为λ与关于n 的函数的范围关系，即可求解. 【详解】（1）当1n =时，1214()39a a a +=-，229272749,4416a a =-=-∴=-， 当2n ≥时，由1439n n S S +=-①， 得1439n n S S -=-②，①-②得143n n a a += 122730,0,164n n n a a a a +=-≠∴≠∴=， 又213,{}4n a a a =∴是首项为94-，公比为34的等比数列， 1933()3()444n n n a -∴=-⋅=-⋅；（2）由3(4)0n n b n a +-=，得43(4)()34n n n n b a n -=-=-， 所以234333333210(4)44444nn T n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⨯-⨯-⨯⨯++-⋅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎝+⎭⎭，2413333333321(5)(4)444444nn n T n n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⨯-⨯-⨯++-⋅+-⋅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，两式相减得234113333333(4)4444444nn n T n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⨯++++--⋅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭1193116493(4)34414n n n -+⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦=-+-- ⎪⎝⎭-111993334(4)44444n n n n n +++⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+---⋅=-⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 所以134()4n n T n +=-⋅，由n n T b λ≤得1334()(4)()44n nn n λ+-⋅≤-⋅恒成立，即(4)30n n λ-+≥恒成立，4n =时不等式恒成立；4n <时，312344n n n λ≤-=----，得1λ≤； 4n >时，312344n n n λ≥-=----，得3λ≥-； 所以31λ-≤≤.【点睛】易错点点睛：（1）已知n S 求n a 不要忽略1n =情况；（2）恒成立分离参数时，要注意变量的正负零讨论，如（2）中(4)30n n λ-+≥恒成立，要对40,40,40n n n -=->-<讨论，还要注意40n -<时，分离参数不等式要变号.例5.（2021·天津·高考真题）已知{}n a 是公差为2的等差数列，其前8项和为64．{}n b 是公比大于0的等比数列，1324,48b b b =-=． （I ）求{}n a 和{}n b 的通项公式；（II ）记2*1,n n nc b b n N =+∈，（i ）证明{}22nn c c -是等比数列；（ii ）证明)*nk n N =∈ 【答案】（I ）21,n a n n N *=-∈，4,n n N b n *=∈；（II ）（i ）证明见解析；（ii ）证明见解析.【解析】 【分析】（I ）由等差数列的求和公式运算可得{}n a 的通项，由等比数列的通项公式运算可得{}n b 的通项公式；（II ）（i ）运算可得2224nn n c c =⋅-，结合等比数列的定义即可得证；（ii ）放缩得21222422n n n n n a n c a c +<-⋅，进而可得112n n k k k-==，结合错位相减法即可得证. 【详解】（I ）因为{}n a 是公差为2的等差数列，其前8项和为64． 所以12818782642a a a a ⨯++⋅⋅⋅+=+⨯=，所以11a =， 所以()12121,n n n n N a a *=+-=-∈；设等比数列{}n b 的公比为(),0q q >，所以()221321484q b b b q q b q ==-=--，解得4q =（负值舍去）， 所以114,n n n b q n N b -*==∈；（II ）（i ）由题意，221441n n nn n b c b =++=，所以22224211442444n n nn nnn c c ⎛⎫⎛⎫=+-+=⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-，所以220nn c c ≠-，且212222124424n n n n nn c c c c +++⋅==⋅--， 所以数列{}22nn c c -是等比数列； （ii ）由题意知，()()22122222121414242222n n n n n n n n n a n n c c a +-+-==<-⋅⋅⋅，12n n-，所以112nn k k k k-==， 设10121112322222nn k n k k nT --===+++⋅⋅⋅+∑， 则123112322222n n n T =+++⋅⋅⋅+， 两式相减得21111111122121222222212nn n n nn n n n T -⎛⎫⋅- ⎪+⎝⎭=+++⋅⋅⋅+-=-=--， 所以1242n n n T -+=-，所以1112422nn k n k k n --==+⎫-<⎪⎭ 例6.（2021·全国·高考真题（文））设{}n a 是首项为1的等比数列，数列{}n b 满足3nn na b =．已知1a ，23a ，39a 成等差数列．（1）求{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）记n S 和n T 分别为{}n a 和{}n b 的前n 项和．证明：2nn S T <． 【答案】（1）11()3n n a -=，3n nn b =；（2）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）利用等差数列的性质及1a 得到29610q q -+=，解方程即可；（2）利用公式法、错位相减法分别求出,n n S T ，再作差比较即可. 【详解】（1）因为{}n a 是首项为1的等比数列且1a ，23a ，39a 成等差数列，所以21369a a a =+，所以211169a q a a q =+，即29610q q -+=，解得13q =，所以11()3n n a -=，所以33n n n na nb ==. （2）[方法一]：作差后利用错位相减法求和211213333n n n n nT --=++++，012111111223333-⎛⎫=++++ ⎪⎝⎭n n S ， 230121123111112333323333n n n n S n T -⎛⎫⎛⎫-=++++-++++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭012111012222333---++++111233---+n nn n ．设0121111101212222Γ3333------=++++n n n ， ⑧ 则1231111012112222Γ33333-----=++++n nn ． ⑨由⑧-⑨得1121113312111113322Γ13233332313--⎛⎫--- ⎪⎛⎫⎝⎭=-++++-=-+- ⎪⎝⎭-n n n n n n n ． 所以211312Γ432323----=--=-⨯⨯⨯n n n n n n ． 因此10232323--=-=-<⨯⨯n n n n nS n n nT ． 故2nn S T <． [方法二]【最优解】：公式法和错位相减求和法证明：由（1）可得11(1)313(1)12313n n n S ⨯-==--， 211213333n n nn n T --=++++，①231112133333n n n n nT +-=++++，② ①-②得23121111333333n n n n T +=++++- 1111(1)1133(1)1323313n n n n n n ++-=-=---，所以31(1)4323n n nnT =--⋅，所以2n n S T -=3131(1)(1)043234323n n n nn n ----=-<⋅⋅，所以2nn S T <. [方法三]：构造裂项法由（Ⅰ）知13⎛⎫= ⎪⎝⎭n n b n ，令1()3αβ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭n n c n ，且1+=-n n n b c c ，即1111()[(1)]333αβαβ+⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭n n n n n n ，通过等式左右两边系数比对易得33,24αβ==，所以331243nn c n ⎛⎫⎛⎫=+⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．则12113314423nn n n n T b b b c c +⎛⎫⎛⎫=+++=-=-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，下同方法二．[方法四]：导函数法 设()231()1-=++++=-n nx x f x x x x x x，由于()()()()()()1221'111'11(1)'1(1)1n n n n nx x x x x x x x nx n x x x x +⎡⎤⎡⎤⎡⎤----⨯--+-+⎣⎦⎣⎦⎢⎥==---⎢⎥⎣⎦， 则12121(1)()123(1)+-+-+=++++='-n nn nx n x f x x x nxx ．又1111333-⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭n n n b n n ，所以2112311111233333n n n T b b b b n -⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++++=+⨯+⨯++⋅=⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦12111(1)11133333113n nn n f +⎛⎫⎛⎫+-+ ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭⋅=⨯ ⎪⎝⎭⎛⎫- ⎪⎝⎭'13113311(1)4334423n nnn n n +⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+=-+⎢⎥ ⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦，下同方法二． 【整体点评】本题主要考查数列的求和，涉及到等差数列的性质，错位相减法求数列的和，考查学生的数学运算能力，是一道中档题，其中证明不等式时采用作差法，或者作商法要根据式子得结构类型灵活选择，关键是要看如何消项化简的更为简洁.（2）的方法一直接作差后利用错位相减法求其部分和，进而证得结论；方法二根据数列的不同特点，分别利用公式法和错位相减法求得,n n S T ,然后证得结论,为最优解；方法三采用构造数列裂项求和的方法，关键是构造1()3αβ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭nn c n ，使1+=-n n n b c c ，求得n T 的表达式，这是错位相减法的一种替代方法，方法四利用导数方法求和，也是代替错位相减求和法的一种方法. 【温馨提醒】数列与不等式的结合，除应熟练掌握数列的通项公式、求和公式，关于不等式证明、不等式恒成立问题的处理方法亦应灵活运用. 题型三：数列与实际应用问题例7．【多选题】（2022·全国·高三专题练习）参加工作5年的小郭，因工作需要向银行贷款A 万元购买一台小汽车，与银行约定：这A 万元银行贷款分10年还清，贷款的年利率为r ，每年还款数为X 万元，则（ ） A ．()1011ArX r =+- B ．小郭第3年还款的现值为()31Xr +万元C ．小郭选择的还款方式为“等额本金还款法”D ．小郭选择的还款方式为“等额本息还款法” 【答案】BD 【解析】 【分析】因为小郭每年还款钱数相等，所以小郭选择为“等额本息还款法”，所以利用等比数列前n 项和公式求出X ，再设小郭第3年还款的现值为y ，根据复利规则求出y ． 【详解】解：小郭与银行约定，每年还一次欠款，并且每年还款的钱数都相等，∴小郭靖选择的还款方式为“等额本息还款法”，故D 正确，C 错误， 设每年应还X 元，还款10次，则该人10年还款的现金与利息和为29[1(1)(1)(1)]X r r r +++++⋯++， 银行贷款A 元10年后的本利和为10(1)A r +．2910[1(1)(1)(1)](1)X r r r A r ∴+++++⋯++=+， ∴10101[1(1)](1)1(1)r X A r r ⨯-+⋅=+-+， 即1010(1)(1)1Ar r X r +=+-，故A 错误．设小郭第三年还款的现值为y ，则3(1)y r X ⋅+=，所以()31Xy r =+，故B 正确；例8.（2021·全国·高三专题练习）某集团公司有一下属企业A 从事一种高科技产品的生产.A 企业第一年年初有资金2000万元，将其投入生产，到当年年底资金增长了40%，预计以后每年资金年增长率与第一年的相同.集团公司要求A 企业从第一年开始，每年年底上缴资金t 万元（800t <），并将剩余资金全部投入下一年生产.设第n 年年底A 企业上缴资金后的剩余资金为n a 万元.则（ ） A ．22800a t =- B ．175n n a a t +=-C ．1n n a a +>D ．当400t =时，33800a >【答案】BC 【解析】先求得第一年年底剩余资金1a ，第二年底剩余资金2a ，即可判断A 的正误；分析总结，可得1n a +与n a 的关系，即可判断B 的正误；根据题意，求得n a 的表达式，利用作差法即可比较1n a +与n a 的大小，即可判断C 的正误，代入400t =，即可求得3a ，即可判断D 的正误，即可得答案. 【详解】第一年年底剩余资金12000(140%)2800a t t =⨯+-=-，第二年底剩余资金211712(140%)392055a a t a t t =⨯+-=-=-，故A 错误；第三年底剩余资金3227109(140%)5488525t a a t a t =⨯+-=-=-，⋅⋅⋅ 所以第n +1年年底剩余资金为17(140%)5n n n a a t a t +=⨯+-=-，故B 正确；因为212277777()()55555n n n n a a t a t t a t t ---=-=--=--12217777()[1()()]5555n n a t --=-+++⋅⋅⋅+117[1()]75()(2800)7515n n t t ---=---=11757()(2800)[()1]525n n t t -----=1775()(2800)522n t t --+，所以111722775277[()(2800)]()(2800)555522552n n n n n n n t t t a a a t a a t t --+-=--=-=-+-=-， 因为800t <，所以7280002t->， 所以11277()(2800)0552n n n ta a -+-=->，即1n n a a +>，故C 正确；当400t =时，310910940054885488374438002525t a ⨯=-=-=<，故D 错误；【总结提升】1.与实际应用相结合的题型也是高考命题的动向，这类问题的特点是通过现实生活的事例考查书本知识，解决这类问题的关键是耐心读题、仔细理解题，只有吃透题意，才能将实际问题转化为数学模型进行解答.2.等比数列最值有关问题的解题思路：求解此类问题的常用思路是根据题目所给条件建立关于变量n 的函数关系进行求解．有时也注意基本不等式的应用．题型四：数列的“新定义”问题例9．（2022·全国·高三专题练习）对于数列{}n a ，定义11222-=+++n n n A a a a 为数列{}n a 的“加权和”，已知某数列{}n a 的“加权和”12n n A n +=⋅，记数列{}+n a pn 的前n 项和为n T ，若5≤n T T 对任意的N n *∈恒成立，则实数p 的取值范围为（ ） A ．127,53⎡⎤--⎢⎥⎣⎦B ．167,73⎡⎤--⎢⎥⎣⎦C ．512,25⎡⎤--⎢⎥⎣⎦D ．169,74⎡⎤--⎢⎥⎣⎦【答案】A 【解析】 【分析】根据n A 与n a 的关系求出n a ，再根据等差数列的求和公式求出n T ，将5≤n T T 化为216(5)06+⎛⎫-+≤ ⎪+⎝⎭n n p n 对任意的n *∈N 恒成立，分类讨论n 可求出结果. 【详解】 由1112222n n n n A a a a n -+=+++=⋅，∴2n ≥时,212122(1)2n n n a a a n --+++=-⋅，∴1122(1)2-+⋅=⋅--⋅n n n n a n n ，∴22n a n =+，1n =时，14a =也成立，∴22n a n =+，∴数列{}+n a pn 的前n 项和为：12(12)n n T a a a p n =+++++++2(422)(1)(1)3222++++=+⋅=++⋅n n n n n n p n n p ，∵5≤n T T 对任意的n *∈N 恒成立，∴225(1)56353522+⨯++⋅≤=+⨯+⨯n n n n p T p ， 即225335(1)5(51)022p pn n n n -+-⨯++-⨯⨯+≤， 即22225335(5)(5)022p p n n n n -+-⨯+-+-≤，即5(5)(53)0222pn p p n n -+++++≤， 即(6)(5)(8)02p n n n +-++≤， 即216(5)06+⎛⎫-+≤ ⎪+⎝⎭n n p n 对任意的n *∈N 恒成立，当14n ≤≤时，2164266+-≤=+++n p n n 对任意的n *∈N 恒成立， 因为4412226465n +≥+=++，∴125-≤p ，所以125p ≥-，当5n =时，216(5)06n n p n +⎛⎫-+= ⎪+⎝⎭恒成立，R p ∈，当6n ≥时，2164266+-≥=+++n p n n 对任意的n *∈N 恒成立， 因为447226663n +≤+=++，∴73-≥p ，所以73p ≤-，综上可得：实数p 的取值范围为127,53⎡⎤--⎢⎥⎣⎦．故选：A ．例10．（2022·江西抚州·高二阶段练习（理））对大于1的自然数m 的三次幂可用奇数进行以下形式的“分裂”：3325⎧⎨⎩，3739,11⎧⎪⎨⎪⎩，3131541719⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩，…仿此，若3m 的“分裂数”中有一个是1111，则m 的值为（ ） A ．32B ．33C ．34D ．35【答案】B 【解析】 【分析】根据分裂数的定义，求出从32到()31m -、从32到3m 分裂数个数，再根据所有分裂数成等差数列求出1111对应的位置，进而根据不等式求m 值. 【详解】由题意，对于332,...,m ，它们依次对应2、3、…、m 个分裂数，则从32到()31m -各分裂数个数的和为(2)(1)2m m -+，从32到3m 各分裂数个数和为(1)(2)2m m -+，又332,...,m 的分裂数{}n a ，构成首项为3，公差为2的等差数列，所以21n a n =+，令211111n +=，可得555n =，所以(2)(1)(1)(2)55522m m m m -+-+<≤，当32m =时，(1)(2)5275552m m -+=<不符合； 当33m =时，(1)(2)5605552m m -+=>，(2)(1)5275552m m -+=<符合； 当34m =时，(2)(1)5605552m m -+=>不符合； 综上，33m =. 故选：B例11.（2022·河南开封·高二期末（理））若数列{}n a 中不超过()f m 的项数恰为()*,m b n m ∈N ，则称数列{}m b 是数列{}n a 的生成数列，称相应的函数()f m 是数列{}n a 生成{}m b 的控制函数.已知2n n a =，()f m m =，记数列{}m b 的前m 项和为m S ，则63S =（ ） A ．258 B ．264 C ．642 D ．636【答案】A 【解析】 【分析】分析可知对任意的N k *∈，当)12,2k k m +⎡∈⎣，满足2nn a m =≤的项数为k ，即m b k =，满足条件的m 的个数为1222k k k +-=，进而可求得63S 的值.【详解】因为562632<<，由题中定义，对任意的N k *∈，当)12,2k k m +⎡∈⎣， 满足2nn a m =≤的项数为k ，即m b k =，满足条件的m 的个数为1222k k k +-=，当1m =时，0m b =，当)122,2m ⎡∈⎣时，1m b =，此时满足条件的m 的个数为12，当)232,2m ⎡∈⎣时，2m b =，此时满足条件的m 的个数为22，当)562,2m ⎡∈⎣时，5m b =，此时满足条件的m 的个数为52， 因此，01234563021222324252258S =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.故选：A.例12.（2022·全国·高三专题练习）定义：对于任意一个有穷数列，第一次在其每相邻的两项间都插人这两项的和，得到的新数列称之为一阶和数列，如果在一阶和数列的基础上再在其相邻的两项间插入这两项的和称之为二阶和数列，以此类推可以得到n 阶和数列，如{1,5}的一阶和数列是{1,6,5}，设它的n 阶和数列各项和为n S ．(1)试求{1,5}的二阶和数列各项和2S 与三阶和数列各项和3S ，并猜想n S 的通项公式（无需证明）；(2)若()()311log 3log 33n n n c S S +=--⋅-，求{}n c 的前n 项和n T ，并证明：1126n T -<≤-． 【答案】(1)21263=+⨯S ，()12312633=+⨯+S ，133n n S +=+ (2)1122=-+n T n ，证明见解析 【解析】【分析】(1)根据定义求出{1,5}的二阶和数列各项和2S 与三阶和数列各项和3S ，由此归纳出n S ，(2)由(1)化简n c ，再由裂项相消法求其前n 项和，并完成证明.(1)由题意得，116512S =++=，217611512181263S =++++=+=+⨯，()2123187136171116512185412636312633S =++++++++=++=+⨯+⨯=+⨯+，41981572013196231728112716215S =++++++++++++++++121854162=+++2312636363=+⨯+⨯+⨯()123126333=+⨯++， …()12311263333(1)n n S n -=+⨯++++≥，由等比数列的前n 项和公式可得，()113131263313n n n S -+-=+⨯=+-， 所以{}n S 的通项公式133n n S +=+．(2)由于133n n S +=+，所以()()33111111log 3log 31221n n n c S S n n n n +⎛⎫=-=--=- ⎪-⋅-++++⎝⎭， 则1111111132432122n T n n n =-+-++-=-+++， 因为n *∈N ，所以102n >+，所以111222n ->-+， 又n T 随n 的增大而减小，所以当1n =时，n T 取得最大值16-，故1126n T -<≤-． 【温馨提醒】立足于“转化”，将新定义问题转化成等差数列、等比数列问题求解.题型五：数列与解析几何例12．（2021·浙江·高考真题）已知,R,0a b ab ∈>，函数()2R ()f x ax b x =+∈.若(),(),()f s t f s f s t -+成等比数列，则平面上点(),s t 的轨迹是（ ）A ．直线和圆B ．直线和椭圆C ．直线和双曲线D ．直线和抛物线【答案】C 【解析】【分析】首先利用等比数列得到等式，然后对所得的等式进行恒等变形即可确定其轨迹方程.【详解】由题意得2()()[()]f s t f s t f s -+=，即()2222()()a s t b a s t b as b ⎡⎤⎡⎤-+++=+⎣⎦⎣⎦， 对其进行整理变形：()()()22222222asat ast b as at ast b as b +-++++=+， ()()222222(2)0as at b ast as b++--+=， ()2222222240as at b at a s t ++-=， 222242220a s t a t abt -++=，所以22220as at b -++=或0=t ，其中2212s t b b a a-=为双曲线，0=t 为直线.故选：C.例13．（2017山东，理19）已知{x n }是各项均为正数的等比数列，且x 1+x 2=3，x 3-x 2=2（Ⅰ）求数列{x n }的通项公式；（Ⅱ）如图，在平面直角坐标系xOy 中，依次连接点P 1(x 1, 1)，P 2(x 2, 2)…P n+1(x n+1, n+1)得到折线P 1 P 2…P n+1，求由该折线与直线y=0，11n x x x x +==,所围成的区域的面积.【答案】(I)（II ）（II ）过……向轴作垂线，垂足分别为……, 由(I)得记梯形的面积为.由题意， 所以 ……+n T 12.n n x -=(21)21.2n n n T -⨯+=123,,,P P P 1n P +x 123,,,Q Q Q 1n Q +111222.n n n n n x x --+-=-=11n n n n P P Q Q ++n b 12(1)2(21)22n n n n n b n --++=⨯=+⨯123n T b b b =+++n b=……+ ①又……+ ②①-②得= 所以题型六：数列与传统文化 例14.（2022·云南师大附中模拟预测（理））《九章算术》是我国秦汉时期一部杰出的数学著作，书中第三章“衰分”有如下问题：“今有大夫、不更、簪裹、上造、公士，凡五人，共出百钱.欲令高爵出少，以次渐多，问各几何”意思是：“有大夫、不更、簪裏、上造、公士（爵位依次变低）5个人共出100钱，按照爵位从高到低每人所出钱数成递增等差数列，这5个人各出多少钱?”在这个问题中，若不更出17钱，则公士出的钱数为（ ）A ．10B ．14C ．23D ．26【答案】D【解析】【分析】设大夫、不更、簪裹、上造、公士所出的钱数依次构成等差数列{}n a ，根据217a =，前5项和为100求解.【详解】解：设大夫、不更、簪裹、上造、公士所出的钱数依次排成一列，构成数列{}n a ．由题意可知，等差数列{}n a 中217a =，前5项和为100，设公差为(0)d d >，前n 项和为n S ，则535100S a ==，解得320a =，所以323d a a ， 所以公士出的钱数为532202326a a d =+=+⨯=，故选：D ．例15.（2022·山东青岛·一模）我国古代数学著作《九章算术》中有如下问题：“今有人持金出五关，前关二税一，次关三而税一，次关四而税一，次关五而税一，次关六而税一，并五关所税，适重一斤．问本持金101325272-⨯+⨯+⨯+32(21)2(21)2n n n n ---⨯++⨯0122325272n T =⨯+⨯+⨯+21(21)2(21)2n n n n ---⨯++⨯121132(22......2)(21)2n n n T n ----=⨯++++-+⨯1132(12)(21)2.212n n n ---+-+⨯-(21)21.2n n n T -⨯+=几何？”其意思为“今有人持金出五关，第1关收税金为持金的12，第2关收税金为剩余金的13，第3关收税金为剩余金的14，第4关收税金为剩余金的15，第5关收税金为剩余金的16，5关所收税金之和恰好重1斤．问原来持金多少？”．记这个人原来持金为a 斤，设()101,115,01x x f x x x +>⎧=⎨-<≤⎩，则()f a =（ ） A ．5-B ．7C ．13D ．26【答案】C 【解析】【分析】 根据题意求得每次收的税金，结合题意得到111111223344556a a a a a ++++=⨯⨯⨯⨯，求得a 的值，代入函数的解析式，即可求解.【详解】由题意知：这个人原来持金为a 斤，第1关收税金为：12a 斤；第2关收税金为111(1)3223a a ⋅-⋅=⋅⨯斤； 第3关收税金为1111(1)42634a a ⋅--⋅=⋅⨯斤， 以此类推可得的，第4关收税金为145a ⋅⨯斤，第5关收税金为156a ⋅⨯斤， 所以111111223344556a a a a a ++++=⨯⨯⨯⨯， 即1111111111(1)(1)12233445566a a -+-+-+-+-⋅=-⋅=，解得65a =， 又由()101,115,01x x f x x x +>⎧=⎨-<≤⎩，所以66()1011355f =⨯+=. 故选：C.例16.（2017·全国·高考真题（理））我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（ ）A ．1盏B ．3盏C ．5盏D ．9盏【答案】B【解析】【详解】。

数列基础知识一、等差数列与等比数列二、数列的项n a 与前n 项和n S 的关系：11(1)(2)n n n s n a s s n -=⎧=⎨-≥⎩课本题1．等差数列{}n a 前n 项之和为n S ，若31710a a -=，则19S 的值为 。

952．已知数列{}n a 中，3,6011+=-=+n n a a a ，那么||||||3021a a a +++ 的值为 。

765 3．等差数列{}n a 中，01>a ，且13853a a =，则}{n S 中最大项为 。

204．已知一个等差数列前五项的和是120，后五项的和是180，又各项之和是360，则此数列共有 项。

12 5．设等比数列{}n a 中，每项均是正数，且8165=a a ，则 =+++1032313log log log a a a 20 6．设331)(+=x x f ，利用课本中推导等差数列前n 项和的公式的方法，可求得：)13()12()11()0()10()11()12(f f f f f f f ++++++-+-+- 的值为 137．已知数列{}n a 的通项12)12(-⋅+=n n n a ，前n 项和为n S ，则n S = ( 2n-1)2n+13 。

8．数列{}n a 中，)2(112,1,21121≥+===-+n a a a a a n n n ，则其通项公式为=n a n2 。

P32习题5（2）; P37练习5; P39习题7，12; P41练习4; P45习题2（1），7，12，13; P48练习2（2）; P51例4，练习2；P5习题10；P55练习4；P58习题4，6，7；P62复习题4，7，8 高考题1.已知等差数列{}n a 满足244a a +=，3510a a +=，则它的前10项的和10S = 952.已知数列{}n a 对任意的*p q ∈N ，满足p q p q a a a +=+，且26a =-，那么10a 等于 -303.已知等比数列()n a 中21a =，则其前3项的和3S 的取值范围是 (][),13,-∞-+∞4.若等差数列{}n a 的前5项和525S =，且23a =，则7a = 135.在数列{}n a 中，12a =， 11ln(1)n n a a n+=++，则n a = 2ln n +6.已知{}n a 是等差数列，124a a +=，7828a a +=，则该数列前10项和10S 等于 1007.记等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若112a =，420S =，则6S = 48 8.已知{}n a 是等比数列，41252==a a ，，则13221++++n n a a a a a a = 332（n --41）9.设等比数列{}n a 的公比2q =，前n 项和为n S ，则42S a = 15210.将全体正整数排成一个三角形数阵：1 2 3 4 5 6 7 8 9 10． ． ． ． ． ． ．按照以上排列的规律，第n 行（n ≥3）从左向右的第3 个数为 ．262n n -+11.已知函数()2x f x =,等差数列{}x a 的公差为2.若246810()4f a a a a a ++++=,则212310log [()()()()]f a f a f a f a ⋅⋅⋅= . －612.设S n =是等差数列{a n }的前n 项和，a 12=-8,S 9=-9,则S 16= .-7213.设数列{}n a 的前n 项和为n S ．已知1a a =，13n n n a S +=+，*n ∈N ． （Ⅰ）设3nn n b S =-，求数列{}n b 的通项公式；（Ⅱ）若1n n a a +≥，*n ∈N ，求a 的取值范围．（Ⅰ）依题意，113n n n n n S S a S ++-==+，即123n n n S S +=+，由此得1132(3)n nn n S S ++-=-． 因此，所求通项公式为13(3)2n n n n b S a -=-=-，*n ∈N ．（Ⅱ）由①知13(3)2n n n S a -=+-，*n ∈N ，于是，当2n ≥时，1n n n a S S -=-1123(3)23(3)2n n n n a a ---=+-⨯---⨯1223(3)2n n a --=⨯+-，12143(3)2n n n n a a a --+-=⨯+-22321232n n a --⎡⎤⎛⎫=+-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦， 当2n ≥时，21312302n n n a a a -+⎛⎫⇔+- ⎪⎝⎭≥≥9a ⇔-≥．又2113a a a =+>．综上，所求的a 的取值范围是[)9-+∞，．。

数学，不仅是运算和推理的工具，还是表达和交流的语言，因此基于问题情境下的数列问题在高考中正逐步成为热点，通过具体的问题背景或新的定义，考查数列在问题情境中的应用，以此来检验学生的核心价值、学科素养、关键能力、必备知识．常用的解题思路是审题、建立数列模型、研究模型、解决实际问题，即一是理解题意，分清条件和结论，理清数量关系；二是把文字语言、新情景转化为熟悉的数学语言；三是构建相应的数学模型，利用已学的数列知识、解题的方法和技巧求解．类型一数学文化中的数列问题数学文化题一般是从中华优秀传统文化中挖掘素材，将传统文化与高中数学知识有机结合，有效考查阅读理解能力、抽象概括能力、转化与化归能力．解题时要对试题所提供的数学文化信息进行整理和分析，从中构建等差数列或等比数列模型．例1(1)(2023·湖南永州第一次高考适应性考试)如图所示，九连环是中国传统民间智力玩具，以金属丝制成9个圆环，解开九连环共需要256步，解下或套上一个环算一步，且九连环的解下和套上是一对逆过程．九连环把玩时按照一定的程序反复操作，可以将九个环全部从框架上解下或者全部套上．将第n个圆环解下最少需要移动的次数记为a n(n≤9，n∈N*)，已知a1＝1，a2＝1，按规则有a n＝a n－1＋2a n－2＋1(n≥3，n∈N*)，则解下第4个圆环最少需要移动的次数为()A．4B．7C．16D．31答案B解析由题意，a1＝1，a2＝1，a n＝a n－1＋2a n－2＋1(n≥3，n∈N*)，解下第4个圆环，则n＝4，即a4＝a3＋2a2＋1，而a3＝a2＋2a1＋1＝1＋2＋1＝4，则a4＝4＋2＋1＝7.故选B.(2)(2024·湖北鄂州模拟)天干地支纪年法，源于中国．中国自古便有十天干与十二地支．十天干即甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸，十二地支即子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥．天干地支纪年法是按顺序以一个天干和一个地支相配，排列起来，天干在前，地支在后，天干由“甲”起，地支由“子”起，比如说第一年为“甲子”，第二年为“乙丑”，第三年为“丙寅”，……，依此类推，排列到“癸酉”后，天干回到“甲”重新开始，即“甲戌”“乙亥”，之后地支回到“子”重新开始，即“丙子”，……，依此类推.1911年中国爆发推翻清朝专制帝制、建立共和政体的全国性革命，这一年是辛亥年，史称“辛亥革命”.1949年新中国成立，请推算新中国成立的年份为()A ．己丑年B ．己酉年C ．丙寅年D ．甲寅年答案A解析根据题意可得，天干是以10为公差的等差数列，地支是以12为公差的等差数列，从1911年到1949年经过38年，且1911年为“辛亥”年，以1911年的天干和地支分别为首项，则38＝3×10＋8，则1949年的天干为己，38＝12×3＋2，则1949年的地支为丑，所以1949年为己丑年．故选A.运用所学的等差数列、等比数列知识去求解古代著名的数学问题，解答时准确理解用古文语言给出的数学问题的含义是解答好本类试题的关键，熟练掌握等差数列、等比数列的通项公式及求和公式，既是基础又是有力保障．1．(2023·江西南昌莲塘第一中学高三二模)大衍数列来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理，数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和，是中华传统文化中隐藏的世界数学史上第一道数列题．已知该数列{a n }的前10项依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，记b n ＝(－1)n ·a n ，n ∈N *，则数列{b n }的前20项和是()A ．110B ．100C ．90D ．80答案A解析观察此数列可知，当n 为偶数时，a n ＝n 22，当n 为奇数时，a n ＝n 2－12，因为b n ＝(－1)n ·a nn 为奇数，，所以数列{b n }的前20项和为(0＋2)＋(－4＋8)＋(－12＋18)＋…＋－192－12＋2＋4＋6＋…＋20＝10×（2＋20）2＝110.故选A.类型二实际生活中的数列问题数列知识可以用来解决实际生活中较为普遍的很多问题，在解决一些关于利息计算、产值增长、银行存款等问题时常常会用到等比数列的相关知识．例2(1)某人从2015年起，每年1月1日到银行新存入5万元(一年定期)，若年利率为2.5%保持不变，且每年到期存款均自动转为新的一年定期，到2025年1月1日将之前所有存款及利息全部取回，他可取回的钱数约为(单位：万元．参考数据：1.0259≈1.25，1.02510≈1.28，1.02511≈1.31)()A ．51B ．57C ．6.4D ．6.55答案B解析由题意，2015年存的5万元共存了10年，本息和为5(1＋0.025)10万元，2016年存的5万元共存了9年，本息和为5(1＋0.025)9万元，…，2024年存的5万元共存了1年，本息和为5(1＋0.025)万元，所以到2025年1月1日将之前所有存款及利息全部取回，他可取回的钱数为5(1＋0.025)10＋5(1＋0.025)9＋…＋5(1＋0.025)＝5×1.025×（1.02510－1）1.025－1≈5×1.025×（1.28－1）0.025＝57.4≈57万元．(2)(2022·新高考Ⅱ卷)图1是中国古代建筑中的举架结构，AA ′，BB ′，CC ′，DD ′是桁，相邻桁的水平距离称为步，垂直距离称为举．图2是某古代建筑屋顶截面的示意图．其中DD 1，CC 1，BB 1，AA 1是举，OD 1，DC 1，CB 1，BA 1是相等的步，相邻桁的举步之比分别为DD 1OD 1＝0.5，CC1DC 1＝k 1，BB 1CB 1＝k 2，AA1BA 1＝k 3.已知k 1，k 2，k 3成公差为0.1的等差数列，且直线OA 的斜率为0.725，则k 3＝()A ．0.75B ．0.8C ．0.85D ．0.9答案D解析设OD 1＝DC 1＝CB 1＝BA 1＝1，则DD 1＝0.5，CC 1＝k 1，BB 1＝k 2，AA 1＝k 3，依题意，有k 3－0.2＝k 1，k 3－0.1＝k 2，且DD 1＋CC 1＋BB 1＋AA 1OD 1＋DC 1＋CB 1＋BA 1＝0.725，所以0.5＋3k 3－0.34＝0.725，故k 3＝0.9.故选D.(3)(2022·全国乙卷)嫦娥二号卫星在完成探月任务后，继续进行深空探测，成为我国第一颗环绕太阳飞行的人造卫星．为研究嫦娥二号绕日周期与地球绕日周期的比值，用到数列{b n }：b 1＝1＋1a 1，b 2＝1＋1a 1＋1a 2，b 3＝1＋1a 1＋1a 2＋1a 3，…，以此类推，其中a k ∈N *(k ＝1，2，…)，则()A ．b 1＜b 5B ．b 3＜b 8C ．b 6＜b 2D ．b 4＜b 7答案D解析解法一：当n 取奇数时，由已知b 1＝1＋1a 1，b 3＝1＋1a 1＋1a 2＋1a 3，因为1a 1>1a 1＋1a 2＋1a 3，所以b 1>b 3，同理可得b 3>b 5，b 5>b 7，…，于是可得b 1>b 3>b 5>b 7>…，故A 不正确．当n 取偶数时，由已知b 2＝1＋1a 1＋1a 2，b 4＝1＋1a 1＋1a 2＋1a 3＋1a 4，因为1a 2>1a 2＋1a 3＋1a 4，所以b 2<b 4，同理可得b 4<b 6，b 6<b 8，…，于是可得b 2<b 4<b 6<b 8<…，故C 不正确．因为1a 1>1a 1＋1a 2，所以b 1>b 2，同理可得b 3>b 4，b 5>b 6，b 7>b 8，又b 3>b 7，所以b 3>b 8，故B 不正确．故选D.解法二(取特殊值)：取a k ＝1，于是有b 1＝2，b 2＝32，b 3＝53，b 4＝85，b 5＝138，b 6＝2113，b 7＝3421，b 8＝5534.于是得b 1＞b 5，b 3＞b 8，b 6＞b 2.故选D.求解数列实际问题的注意事项(1)审题、抓住数量关系、建立数学模型，注意问题是求什么(n ，a n ，S n )．(2)解答数列应用题要注意步骤的规范性：设数列，判断数列，解题完毕要作答．(3)在归纳或求通项公式时，一定要将项数n 计算准确．(4)在数列类型不易分辨时，要注意归纳递推关系．2．(2024·焦作模拟)直播带货是一种直播和电商相结合的销售手段，目前受到了广大消费者的追捧，针对这种现状，某传媒公司决定逐年加大直播带货的资金投入，若该公司今年投入的资金为2000万元，并在此基础上，以后每年的资金投入均比上一年增长12%，则该公司需经过________年其年投入资金开始超过7000万元．(参考数据：lg 1.12≈0.049，lg 2≈0.301，lg 7≈0.845)()A ．14B ．13C ．12D ．11答案C解析设该公司经过n 年投入的资金为a n 万元，则a 1＝2000×1.12，由题意可知，数列{a n }是以2000×1.12为首项，1.12为公比的等比数列，所以a n ＝2000×1.12n ，由a n ＝2000×1.12n >7000可得n >log 1.1272＝lg 7－lg 2lg 1.12≈11.1，因此该公司需经过12年其年投入资金开始超过7000万元．故选C.3．(2023·北京高考)我国度量衡的发展有着悠久的历史，战国时期就已经出现了类似于砝码的、用来测量物体质量的“环权”．已知9枚环权的质量(单位：铢)从小到大构成项数为9的数列{a n }，该数列的前3项成等差数列，后7项成等比数列，且a 1＝1，a 5＝12，a 9＝192，则a 7＝________；数列{a n }所有项的和为________．答案48384解析解法一：设前3项的公差为d ，后7项的公比为q (q >0)，则q 4＝a 9a 5＝19212＝16，且q >0，可得q ＝2，则a 3＝a5q 2＝3，即1＋2d ＝3，可得d ＝1，a 7＝a 3q 4＝48，a 1＋a 2＋…＋a 9＝1＋2＋3＋3×2＋…＋3×26＝3＋3×（1－27）1－2＝384.解法二：因为当3≤n ≤7时，{a n }为等比数列，则a 27＝a 5a 9＝12×192＝482，且a n >0，所以a 7＝48.又a 25＝a 3a 7，则a 3＝a 25a 7＝3.设后7项的公比为q (q >0)，则q 2＝a5a 3＝4，解得q ＝2，可得a 1＋a 2＋a 3＝3（a 1＋a 3）2＝6，a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＋a 8＋a 9＝a 3－a 9q 1－q ＝3－192×21－2＝381，所以a 1＋a 2＋…＋a 9＝6＋381－a 3＝384.4．(2021·新高考Ⅰ卷)某校学生在研究民间剪纸艺术时，发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折，规格为20dm×12dm 的长方形纸，对折1次共可以得到10dm×12dm ，20dm×6dm两种规格的图形，它们的面积之和S 1＝240dm 2，对折2次共可以得到5dm×12dm ，10dm×6dm ，20dm×3dm 三种规格的图形，它们的面积之和S 2＝180dm 2，以此类推．则对折4次共可以得到不同规格图形的种数为________；如果对折n 次，那么∑nk ＝1S k ＝________dm 2.答案5解析对折3次可以得到52dm×12dm ，5dm×6dm ，10dm×3dm ，20dm×32dm ，共四种规格的图形，它们的面积之和为S 3＝4×30＝120dm 2.对折4次可以得到54dm×12dm ，52dm×6dm ，5dm×3dm ，10dm×32dm ，20dm×34dm ，共五种规格的图形，它们的面积之和为S 4＝5×15＝75dm 2.对折n 次有n ＋1种规格的图形，且S n ＝2402n (n ＋1)，因此∑nk ＝1S k ＝240·＋322＋….12∑n k ＝1S k ＝240·＋323＋…＋n 2n ＋，因此12∑n k ＝1S k ＝＋122＋123＋…＋12n －所以∑n k ＝1S k ＝dm 2.类型三数列中的新定义问题新定义主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新定义，这样有助于对新定义的透彻理解．若新定义是运算法则，直接按照运算法则计算即可；若新定义是性质，要判断性质的适用性，能否利用定义外延，也可用特殊值排除等方法．例3(1)(多选)(2023·广东佛山调研)“提丢斯数列”是18世纪由德国物理学家提丢斯给出的，具体如下：取0，3，6，12，24，48，96，…，这样一组数，容易发现，这组数从第3项开始，每一项是前一项的2倍，将这组数的每一项加上4，再除以10，就得到“提丢斯数列”：0.4，0.7，1，1.6，2.8，5.2，10，…，则下列说法中正确的是()A ．“提丢斯数列”是等比数列B ．“提丢斯数列”的第99项为3×297＋410C ．“提丢斯数列”的前31项和为3×23010＋12110D ．“提丢斯数列”中，不超过300的有11项答案BCD解析对于A ，0.70.4≠10.7，所以“提丢斯数列”不是等比数列，故A 错误；对于B ，设“提丢斯数列”为数列{a n }，当n ≥2时，a n ＝3×2n －2＋410，所以a 99＝3×297＋410，故B 正确；对于C ，“提丢斯数列”的前31项和为0.4＋310×(1＋21＋22＋…＋229)＋410×30＝3×23010＋12110，故C 正确；对于D ，由a n ＝3×2n －2＋410≤300，得n ≤11，所以“提丢斯数列”中，不超过300的有11项，故D正确．故选BCD.(2)(多选)(2024·雅礼中学月考)记〈x 〉表示与实数x 最接近的整数x ＝a ＋12，a ∈Z ，则取〈x 〉＝{a n }的通项公式为a n ＝1〈n 〉(n ∈N *)，其前n 项和为S n ，设k ＝〈n 〉，则下列结论正确的是()A ．n ＝k －12B ．n <k ＋12C ．n ≥k 2－k ＋1D ．S 2024<90答案BCD解析由题意，〈x 〉表示与实数x 最接近的整数且k ＝〈n 〉，当n ＝1时，可得n ＝1，则k＝〈n 〉＝1，k －12＝12≠1，A 不正确；易得|n －〈n 〉|<12即|n －k |<12，所以－12<n －k <12，故n <k ＋12成立，B 正确；由B 项分析知k －12<n <k ＋12，易知k ≥1，故对k －12<n <k ＋12两边平方得k 2－k ＋14<n <k 2＋k ＋14，因为n ∈N *且k 2－k ＋14不是整数，且k 2－k ＋1是大于k 2－k＋14的最小整数，所以n ≥k 2－k ＋1成立，C 正确；当n ＝1，2时，〈n 〉＝1，此时a 1＝a 2＝1；当n ＝3，4，5，6时，〈n 〉＝2，此时a 3＝a 4＝a 5＝a 6＝12；当n ＝7，8，9，10，11，12时，〈n 〉＝3，此时a 7＝a 8＝…＝a 12＝13；当n ＝13，14，…，20时，〈n 〉＝4，此时a 13＝a 14＝…＝a 20＝14；…，所以数列{a n }中有2个1，4个12，6个13，8个14，…，又2，4，6，8，…构成首项为2，公差为2的等差数列{b n }，其前n 项和T n ＝n （2＋2n ）2＝n (n ＋1)，而2024＝44×(44＋1)＋44，所以S 2024＝1×2＋12×4＋13×6＋…＋144×88＋145×44＝2×44＋4445＝88＋4445<90，D 正确．故选BCD.数列新定义问题的解题策略策略一读懂定义，理解新定义数列的含义策略二特殊分析，比如先对n ＝1，2，3，…的情况进行讨论策略三通过特殊情况寻找新定义的数列的规律及性质，以及新定义数列与已知数列(如等差与等比数列)的关系，仔细观察，探求规律，注重转化，合理设计解题方案策略四联系等差数列与等比数列知识，将新定义数列问题转化为熟悉的知识进行求解5．(多选)(2023·山东日照模拟)若正整数m ，n 只有1为公约数，则称m ，n 互质．对于正整数k ，φ(k )是不大于k 的正整数中与k 互质的数的个数，函数φ(k )以其首名研究者欧拉命名，称为欧拉函数．例如：φ(2)＝1，φ(3)＝2，φ(6)＝2，φ(8)＝4.已知欧拉函数是积性函数，即如果m ，n 互质，那么φ(mn )＝φ(m )φ(n )，例如：φ(6)＝φ(2)φ(3)，则()A ．φ(5)＝φ(8)B ．数列{φ(2n )}是等比数列C ．数列{φ(6n )}不是递增数列D n 项和小于1825答案ABD解析φ(5)＝4，φ(8)＝4，∴φ(5)＝φ(8)，A 正确；∵2为质数，∴在不超过2n 的正整数中，所有偶数的个数为2n －1，∴φ(2n )＝2n －2n －1＝2n －1，为等比数列，B 正确；∵与3n 互质的数为1，2，4，5，7，8，10，11，…，3n －2，3n －1，共有(3－1)·3n －1＝2·3n －1个，∴φ(3n )＝2·3n－1，又φ(6n )＝φ(2n )φ(3n )＝2·6n －1，∴数列{φ(6n )}是递增数列，C 错误；φ(6n )＝2·6n －1，的前n 项和为S n ，则S n ＝12×60＋22×61＋…＋n 2×6n －1，16S n ＝12×61＋22×62＋…＋n2×6n ，两式相减得56S n ＝12×60＋12×61＋12×62＋…＋12×6n －1－n 2×6n ＝12×1－16－n 2×6n ＝35－35×6n －n 2×6n ，∴S n ＝1825－1825×6n －3n 5×6n ＜1825，∴n 项和小于1825，D 正确．故选ABD.。

数列等差数列知识清单1、等差数列定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d 表示。

用递推公式表示为1(2)n n a a d n --=≥或1(1)n n a a d n +-=≥。

2、等差数列的通项公式：1(1)n a a n d =+-；说明：等差数列（通常可称为A P 数列）的单调性：d 0>为递增数列，0d =为常数列，0d < 为递减数列。

3、等差中项的概念：定义：如果a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项。

其中2a b A += a ，A ，b 成等差数列⇔2a b A +=。

4、等差数列的前n 和的求和公式：11()(1)22n n n a a n n S na d +-==+。

5、等差数列的性质：（1）在等差数列{}n a 中，从第2项起，每一项是它相邻二项的等差中项； （2）在等差数列{}n a 中，相隔等距离的项组成的数列是AP ，如：1a ，3a ，5a ，7a ，……；3a ，8a ，13a ，18a ，……； （3）在等差数列{}n a 中，对任意m ，n N +∈，()n m a a n m d =+-，n ma a d n m-=-()m n ≠； （4）在等差数列{}n a 中，若m ，n ，p ，q N +∈且m n p q +=+，则m n p q a a a a +=+； 说明：设数列{}n a 是等差数列，且公差为d ，（Ⅰ）若项数为偶数，设共有2n 项，则①S 奇-S 偶nd =； ②1n n S aS a +=奇偶； （Ⅱ）若项数为奇数，设共有21n -项，则①S 偶-S 奇n a a ==中；②1S nS n =-奇偶。

6、数列最值（1）10a >，0d <时，n S 有最大值；10a <，0d >时，n S 有最小值； （2）n S 最值的求法：①若已知n S ，可用二次函数最值的求法（n N +∈）；②若已知n a ，则nS 最值时n 的值（n N +∈）可如下确定100n n a a +≥⎧⎨≤⎩或100n n a a +≤⎧⎨≥⎩。