2019届高三文科数学一轮单元金卷：第二十四单元 选修4-5 不等式选讲(选用) A卷

选修4-5　不等式选讲题组1　不等式的性质和绝对值不等式1.[2015 山东,5,5分]不等式|x-1|-|x-5|<2的解集是( )A .(-∞,4)B .(-∞,1)C .(1,4)D .(1,5)2.[2015重庆,16,5分]若函数f (x )=|x+1|+2|x-a|的最小值为5,则实数a= .3.[2014重庆,16,5分]若不等式|2x-1|+|x+2|≥a 2+a+2对任意实数x 恒成立,则实数a 的取值12范围是 .4.[2017全国卷Ⅰ,23,10分][文]已知函数f (x )=-x 2+ax+4,g (x )=|x+1|+|x-1|.(1)当a=1时,求不等式f (x )≥g (x )的解集;(2)若不等式f (x )≥g (x )的解集包含[-1,1],求a 的取值范围.5.[2016全国卷Ⅰ,24,10分][文]已知函数f (x )=|x+1|-|2x-3|.(Ⅰ)在图1中画出y=f (x )的图象;(Ⅱ)求不等式|f (x )|>1的解集.图16.[2015 新课标全国Ⅰ,24,10分][文]已知函数f (x )=|x+1|-2|x-a|,a>0.(Ⅰ)当a=1时,求不等式f (x )>1的解集;(Ⅱ)若f (x )的图象与x 轴围成的三角形面积大于6,求a 的取值范围.7.[2014新课标全国Ⅱ,24,10分][文]设函数f (x )=|x+|+|x-a|(a>0).1a(Ⅰ)证明:f (x )≥2;(Ⅱ)若f (3)<5,求a 的取值范围.题组2　不等式的证明8.[2016全国卷Ⅱ,24,10分][文]已知函数f (x )=|x-|+|x+|,M为不等式f (x )<2的解集.1212(Ⅰ)求M ;(Ⅱ)证明:当a ,b ∈M 时,|a+b|<|1+ab|.9.[2015 新课标全国Ⅱ,24,10分][文]设a ,b ,c ,d 均为正数,且a+b=c+d ,证明:(Ⅰ)若ab>cd ,则+>+;a b c d (Ⅱ)+>+是|a-b|<|c-d|的充要条件.a b c d 10.[2013新课标全国Ⅱ,24,10分][文]设a ,b ,c 均为正数,且a+b+c=1.证明:(Ⅰ)ab+bc+ac ≤;13(Ⅱ)++≥1.a 2b b 2c c 2aA 组基础题1.[2018广东七校联考,23]已知函数f (x )=|x-a|-|2x-1|.(1)当a=2时,求f (x )+3≥0的解集;(2)当x ∈[1,3]时,f (x )≤3恒成立,求a 的取值范围.2.[2018湖北八校第一次联考,23]已知不等式|x|+|x-3|<x+6的解集为(m ,n ).(1)求m ,n 的值;(2)若x>0,y>0,nx+y+m=0,求证:x+y ≥16xy.3.[2018广西桂林市、柳州市高三综合模拟,23]已知f (x )=|ax-1|,不等式f (x )≤3的解集是{x|-1≤x ≤2}.(1)求a 的值;(2)若<k 存在实数解,求实数k 的取值范围.f (x )+f (-x )34.[2017郑州市高三第三次质量预测,23]已知函数f (x )=|x-5|-|x-2|.(1)若∃x ∈R,使得f (x )≤m 成立,求m 的取值范围;(2)求不等式x 2-8x+15+f (x )≤0的解集.B 组提升题5.[2018湘东五校联考,23]已知函数f (x )=m-|x-1|-|x+1|.(1)当m=5时,求不等式f (x )>2的解集;(2)若二次函数y=x 2+2x+3与函数y=f (x )的图象恒有公共点,求实数m 的取值范围.6.[2018河南省中原名校高三第三次质量考评,23]已知函数f (x )=|x-m|+|x+2|(m ∈R),g (x )=|2x-1|+3.(1)当m=1时,求不等式f (x )≤5的解集;(2)若对任意的x 1∈R,都有x 2∈R,使得f (x 1)=g (x 2)成立,求实数m 的取值范围.7.[2017长春市高三第四次质量监测,23](1)已知函数f (x )=|x+1|+|x-a|(a>0),若不等式f (x )≥5的解集为{x|x ≤-2或x ≥3},求a 的值;(2)已知a ,b ,c 为正实数,且a+b+c=m ,求证:++≥.1a +b 1b +c 1c +a 92m 8.[2017长沙市5月模拟,23]已知函数f (x )=(x+1)2.14(1)证明: f (x )+|f (x )-2|≥2;(2)当x ≠-1时,求y=+[f (x )]2的最小值.14f (x )答案1.A 当x<1时,不等式可化为-(x-1)+(x-5)<2,即-4<2,显然成立,所以此时不等式的解集为(-∞,1);当1≤x ≤5时,不等式可化为x-1+(x-5)<2,即2x-6<2,解得x<4,又1≤x ≤5,所以此时不等式的解集为[1,4);当x>5时,不等式可化为(x-1)-(x-5)<2,即4<2,显然不成立,所以此时不等式无解.综上,不等式的解集为(-∞,4).故选A .2.-6或4　当a=-1时,f (x )=3|x+1|≥0,不满足题意;当a<-1时,f (x )=f (x ){-3x -1+2a ,x ≤a ,x -1-2a ,a <x ≤-1,3x +1-2a ,x >-1,min =f (a )=-3a-1+2a=5,解得a=-6;当a>-1时,f (x )=f (x )min =f (a )=-{-3x -1+2a ,x ≤-1,-x +1+2a ,-1<x ≤a ,3x +1-2a ,x >a ,a+1+2a=5,解得a=4.3.[-1,]　|2x-1|+|x+2|=|x-|+(|x-|+|x+2|)≥0+|(x-)-(x+2)|=,当且仅当x=时取等号,因此函数121212125212y=|2x-1|+|x+2|的最小值是.所以a 2+a+2≤,即2a 2+a-1≤0,解得-1≤a ≤,即实数a 的取值范围52125212是[-1,].124.(1)当a=1时,不等式f (x )≥g (x )等价于x 2-x+|x+1|+|x-1|-4≤0　①.当x<-1时,①式化为x 2-3x-4≤0,无解;当-1≤x ≤1时,①式化为x 2-x-2≤0,从而-1≤x ≤1;当x>1时,①式化为x 2+x-4≤0,从而1<x ≤.-1+172所以f (x )≥g (x )的解集为{x|-1≤x ≤}.-1+172(2)当x ∈[-1,1]时,g (x )=2.所以f (x )≥g (x )的解集包含[-1,1],等价于当x ∈[-1,1]时f (x )≥2.又f (x )在[-1,1]的最小值必为f (-1)与f (1)之一,所以f (-1)≥2且 f (1)≥2,得-1≤a ≤1.所以a 的取值范围为[-1,1].5.(Ⅰ)由题意可得f (x )={x -4,x ≤-1,3x -2,-1<x ≤32,-x +4,x >32,y=f (x )的图象如图D 2所示.图D 2(Ⅱ)由f (x )的表达式及图象知,当f (x )=1时,可得x=1或x=3;当f (x )=-1时,可得x=或x=5.13故f (x )>1的解集为{x|1<x<3};f (x )<-1的解集为{x|x<或x>5}.13所以|f (x )|>1的解集为{x|x<或1<x<3或x>5}.136.(Ⅰ)当a=1时, f (x )>1化为|x+1|-2|x-1|-1>0.当x ≤-1时,不等式化为x-4>0,无解;当-1<x<1时,不等式化为3x-2>0,解得<x<1;23当x ≥1时,不等式化为-x+2>0,解得1≤x<2.所以f (x )>1的解集为{x|<x<2}.23(Ⅱ)由题设可得f (x )=所以函数f (x )的图象与x 轴围成的三角形的三{x -1-2a ,x <-1,3x +1-2a ,-1≤x ≤a ,-x +1+2a ,x >a .个顶点分别为A (,0),B (2a+1,0),C (a ,a+1),△ABC的面积为(a+1)2.2a -1323由题设得(a+1)2>6,故a>2.23所以a 的取值范围为(2,+∞).7.(Ⅰ)由a>0,有f (x )=|x+|+|x-a|≥|x+-(x-a )|=+a ≥2.所以f (x )≥2.1a 1a 1a(Ⅱ)f (3)=|3+|+|3-a|.1a 当a>3时,f (3)=a+,由f (3)<5得3<a<.1a 5+212当0<a ≤3时,f (3)=6-a+,由f (3)<5得<a ≤3.1a 1+52综上,a 的取值范围是().1+525+2128.(Ⅰ)由题意可得f (x )={-2x ,x ≤-12,1,-12<x <12,2x ,x ≥12.当x ≤-时,由f (x )<2得-2x<2,解得x>-1,所以-1<x ≤-;1212当-<x<时,f (x )<2恒成立;1212当x ≥时,由f (x )<2得2x<2,解得x<1,所以≤x<1.1212所以f (x )<2的解集M={x|-1<x<1}.(Ⅱ)由(Ⅰ)知,当a ,b ∈M 时,-1<a<1,-1<b<1,从而(a+b )2-(1+ab )2=a 2+b 2-a 2b 2-1=(a 2-1)(1-b 2)<0.因此|a+b|<|1+ab|.9.(Ⅰ)因为(+)2=a+b+2,(+)2=c+d+2,a b ab c d cd 由题设a+b=c+d ,ab>cd 得(+)2>(+)2.a b c d 因此+>+.a b c d (Ⅱ)①若|a-b|<|c-d|,则(a-b )2<(c-d )2,即(a+b )2-4ab<(c+d )2-4cd.因为a+b=c+d ,所以ab>cd.由(Ⅰ)得+>+.a b c d ②若+>+,则(+)2>(+)2,即a b c d a b c d a+b+2>c+d+2.ab cd 因为a+b=c+d ,所以ab>cd.于是(a-b )2=(a+b )2-4ab<(c+d )2-4cd=(c-d )2.因此|a-b|<|c-d|.综上,+>+是|a-b|<|c-d|的充要条件.a b c d 10.(Ⅰ)由a 2+b 2≥2ab ,b 2+c 2≥2bc ,c 2+a 2≥2ca 得a 2+b 2+c 2≥ab+bc+ca.由题设得(a+b+c )2=1,即a 2+b 2+c 2+2ab+2bc+2ca=1.所以3(ab+bc+ca )≤1,即ab+bc+ca ≤.13(Ⅱ)因为+b ≥2a ,+c ≥2b ,+a ≥2c ,a 2b b 2c c 2a 故+++(a+b+c )≥2(a+b+c ),即++≥a+b+c.a 2b b 2c c 2a a 2b b 2c c 2a 所以++≥1.a 2b b 2c c 2a A 组基础题1.(1)当a=2时,由f (x )≥-3,可得|x-2|-|2x-1|≥-3,∴或或{x <12,2-x +2x -1≥-3{12≤x <2,2-x -2x +1≥-3{x ≥2,x -2-2x +1≥-3,解得-4≤x<或≤x<2或x=2.1212综上,当a=2时,不等式f (x )+3≥0的解集为{x|-4≤x ≤2}.(2)当x ∈[1,3]时,f (x )≤3恒成立,即|x-a|≤3+|2x-1|=2x+2. 故-2x-2≤x-a ≤2x+2,即-3x-2≤-a ≤x+2,∴-x-2≤a ≤3x+2对x ∈[1,3]恒成立.∴a ∈[-3,5].2.(1)由|x|+|x-3|<x+6,得或或{x ≥3,x +x -3<x +6{0<x <3,3<x +6{x ≤0,-x +3-x <x +6,解得-1<x<9,所以m=-1,n=9.(2)由(1)知9x+y=1.因为x>0,y>0,所以(+)(9x+y )=10++≥10+2=16,1x 1y y x 9xy y x×9xy 当且仅当=,即x=,y=时取等号,y x 9xy 11214所以+≥16,即x+y ≥16xy.1x 1y .3.(1)由|ax-1|≤3,得-3≤ax-1≤3,即-2≤ax ≤4,当a>0时,-≤x ≤,所以解得a=2;2a 4a {-2a =-1,4a=2,当a<0时,≤x ≤-,所以无解.所以a=2.4a 2a {-2a =2,4a=-1(2)因为=≥=,所以要使 <k 存在实数解,只需k>,f (x )+f (-x )3|2x -1|+|2x +1|3|2x -1-(2x +1)|323f (x )+f (-x )323所以实数k的取值范围是(,+∞).234.(1)f (x )=|x-5|-|x-2|={3,x ≤2,7-2x ,2<x <5,-3,x ≥5.当2<x<5时,-3<7-2x<3,所以-3≤f (x )≤3.所以m 的取值范围是[-3,+∞).(2)原不等式等价于-f (x )≥x 2-8x+15,由(1)可知,当x ≤2时,-f (x )≥x 2-8x+15的解集为空集;当2<x<5时,-f (x )≥x 2-8x+15的解集为{x|5-≤x<5};3当x ≥5时,-f (x )≥x 2-8x+15的解集为{x|5≤x ≤6}.综上,原不等式的解集为{x|5-≤x ≤6}.3B 组提升题5.(1)当m=5时,f (x )={5+2x (x <-1),3(-1≤x ≤1),5-2x (x >1),由f (x )>2得不等式的解集为{x|-<x<}.3232(2)因为二次函数y=x 2+2x+3=(x+1)2+2在x=-1处取得最小值2,f (x )=在x=-1处取得最大值m-2,{m +2x (x <-1),m -2(-1≤x ≤1),m -2x (x >1)所以要使二次函数y=x 2+2x+3与函数y=f (x )的图象恒有公共点,只需m-2≥2,即m ≥4,所以实数m 的取值范围为[4,+∞).6.(1)当m=1时,f (x )=|x-1|+|x+2|,①当x ≤-2时,f (x )=-2x-1,由-2x-1≤5,解得x ≥-3,所以-3≤x ≤-2;②当-2<x<1时,f (x )=1-x+x+2=3≤5恒成立,所以-2<x<1;③当x ≥1时,f (x )=2x+1,由2x+1≤5,解得x ≤2,所以1≤x ≤2.综上所述,不等式f (x )≤5的解集为[-3,2].(2)若对任意的x 1∈R,都有x 2∈R,使得f (x 1)=g (x 2)成立,设A={y|y=f (x )},B={y|y=g (x )},则A ⊆B ,因为f (x )=|x-m|+|x+2|≥|(x-m )-(x+2)|=|m+2|,g (x )=|2x-1|+3≥3,所以|m+2|≥3,解得m ≥1或m ≤-5,因此,实数m 的取值范围为(-∞,-5]∪[1,+∞).7.(1)因为a>0,所以f (x )=|x+1|+|x-a|={-2x +a -1,x <-1,a +1,-1≤x <a ,2x -a +1,x ≥a .又不等式f (x )≥5的解集为{x|x ≤-2或x ≥3},解得a=2.(2)++1a +b 1b +c 1c +a=(1a +b +1b +c +1c +a )(a +b +b +c +c +a )2m=1+b +ca +b +c +aa +b +1+a +bb +c +c +ab +c +1+a +bc +a +b +cc +a2m=3+b +c a +b +a +b b +c +c +a b +c +b +c c +a +a +b c +a +c +aa +b2m≥(当且仅当a=b=c=时,取等号).92m m38.(1)∵f (x )=(x+1)2≥0,14∴f (x )+|f (x )-2|=|f (x )|+|2-f (x )|≥|f (x )+[2-f (x )]|=|2|=2.(2)当x ≠-1时,f (x )=(x+1)2>0,14∴y=+[f (x )]2=++[f (x )]2≥3·=,当且仅当==[f (x )]2时取等14f (x )18f (x )18f (x )318f (x )·18f (x )·[f (x )]23418f (x )18f (x )号,即x=-1±时取等号.2∴y=+[f (x )]2的最小值为.14f (x )34。

2019年高中数学选修4-5《不等式选讲》最新考纲：1.理解绝对值的几何意义，并了解下列不等式成立的几何意义及取等号的条件：(1)|a ＋b|≤|a|＋|b|(a ，b ∈R)．(2)|a －b|≤|a －c|＋|c －b|(a ，b ∈R).2.会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：|ax ＋b|≤c ，|ax ＋b|≥c ，|x －c|＋|x －b|≥a.3.了解柯西不等式的几种不同形式，理解它们的几何意义，并会证明.4.通过一些简单问题了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法、数学归纳法．知识点总结1．含有绝对值的不等式的解法 (1)|f (x )|>a (a >0)⇔f (x )>a 或f (x )<－a ； (2)|f (x )|<a (a >0)⇔－a <f (x )<a ；(3)对形如|x －a |＋|x －b |≤c ，|x －a |＋|x －b |≥c 的不等式，可利用绝对值不等式的几何意义求解．2．含有绝对值的不等式的性质 |a |－|b |≤|a ±b |≤|a |＋|b |.问题探究：不等式|a |－|b |≤|a ±b |≤|a |＋|b |中，“＝”成立的条件分别是什么？提示：不等式|a |－|b |≤|a ＋b |≤|a |＋|b |，右侧“＝”成立的条件是ab ≥0，左侧“＝”成立的条件是ab ≤0且|a |≥|b |；不等式|a |－|b |≤|a －b |≤|a |＋|b |，右侧“＝”成立的条件是ab ≤0，左侧“＝”成立的条件是ab ≥0且|a |≥|b |.3．基本不等式定理1：设a ，b ∈R ，则a 2＋b 2≥2ab .当且仅当a ＝b 时，等号成立． 定理2：如果a 、b 为正数，则a ＋b2≥ab ，当且仅当a ＝b 时，等号成立．定理3：如果a 、b 、c 为正数，则a ＋b ＋c 3≥3abc ，当且仅当a ＝b ＝c 时，等号成立． 定理4：(一般形式的算术—几何平均值不等式)如果a 1、a 2、…、a n 为n 个正数，则a 1＋a 2＋…＋a n n≥na 1a 2…a n ，当且仅当a 1＝a 2＝…＝a n 时，等号成立．4．柯西不等式(1)柯西不等式的代数形式：设a ，b ，c ，d 为实数，则(a 2＋b 2)·(c 2＋d 2)≥(ac ＋bd )2，当且仅当ad ＝bc 时等号成立．知识点拓展柯西不等式的各种形式及其证明 二维形式在一般形式中，12122,,,,n a a a b b c b d =====令，得二维形式()()()22222bd ac d c b a+≥++等号成立条件：()d c b a bc ad //==扩展：()()()222222222123123112233nn n n a a a a b b b b a b a b a b a b +++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+≥+++⋅⋅⋅+等号成立条件：1122000::::,1,2,3,,i i i i n n i i a b a b a b a b a b a b i n ==⎛⎫==⋅⋅⋅= ⎪=⋅⋅⋅⎝⎭当或时，和都等于，不考虑二维形式的证明：()()()()()()22222222222222222222222,,,220=ab c d a b c d R a c b d a d b c a c abcd b d a d abcd b c ac bd ad bc ac bd ad bc ad bc ++∈=+++=+++-+=++-≥+-=等号在且仅在即时成立三角形式ad bc=等号成立条件：三角形式的证明：()()22222222222222222-2a b c d a b c d ac bd a ac c b bd d a c b d =++++≥+++++≥-+++=-+-≥注：表示绝对值向量形式()()()()123123=,,,,,,,,2=n n a a a a b b b b n N n R αβαβαββαλβλ≥⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅∈≥∈，等号成立条件：为零向量，或向量形式的证明：()()1231231122332222212322222222112233123123=,,,,,,,,,cos ,cos ,cos ,1n n n n n n n n n nm a a a a n b b b b m n a b a b a b a b m n m na b b b b m nm n a b a b a b a b a a a a b b b b =⋅=++++==++++++≤∴++++≤++++++++令一般形式211212⎪⎭⎫⎝⎛≥∑∑∑===n k k k nk k n k k b a b a 1122:::n n i i a b a b a b a b ==⋅⋅⋅=等号成立条件：，或 、均为零。

考案[15]选修4－5 综合过关限时检测(时间：45分钟 满分100分)一、选择题(本大题共5个小题，每小题5分，共25分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)1．(2016·四川成都模拟)对任意实数x ，若不等式|x ＋2|＋|x ＋1|>k 恒成立，则实数k 的取值范围是导学号 58535527( A )A ．k <1B ．k ≥1C ．k >1D ．k ≤1[解析] 由题意得k <(|x ＋2|＋|x ＋1|)min ，而|x ＋2|＋|x ＋1|≥|x ＋2－(x ＋1)|＝1，所以k <1，故选A ．2．不等式|x |·(1－2x )>0的解集是导学号 58535528( B )A ．(－∞，12) B ．(－∞，0)∪(0，12) C ．(12，＋∞) D ．(0，12) [解析] 当x ≥0时，x (1－2x )>0，∴0<x <12当x <0时，－x (1－2x )>0，∴x >12或x <0 综上x <12且x ≠0，故选B ． 3．(2015·山东)不等式|x －1|－|x －5|<2的解集是导学号 58535538( A )A ．(－∞，4)B ．(－∞，1)C ．(1,4)D ．(1,5)[解析] |x －1|－|x －5|＝⎩⎪⎨⎪⎧ －4，x <12x －6，1≤x <5，4，x ≥5原不等式可化为⎩⎨⎧ x <1－4<2或⎩⎨⎧ 1≤x <52x －6<2或⎩⎪⎨⎪⎧x ≥54<2.解得x <4，故选A ． 4．已知|a |≠|b |，m ＝|a |－|b ||a －b |，n ＝|a |＋|b ||a ＋b |，则m ，n 之间的关系是导学号 58535529( D ) A ．m >n B ．m <nC ．m ＝nD ．m ≤n[解析] m ＝|a |－|b ||a －b |≤1，n ＝|a |＋|b ||a ＋b |≥1.故m ≤n . 5．(2018·福建省漳州市芗城中学高三上学期月考试题)已知a ，b ＞0，a ＋b ＝5，则a ＋1＋b ＋3的最大值为导学号 58535530( C )A ．18B ．9C ．3 2D ．2 3 [解析] 利用柯西不等式，即可求出a ＋1＋b ＋3的最大值． 解：由题意，(a ＋1＋b ＋3)2≤(1＋1)(a ＋1＋b ＋3)＝18， ∴a ＋1＋b ＋3的最大值为32，故选C ．[点拨] 本题考查函数的最值，考查柯西不等式的运用，正确运用柯西不等式是关键．二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分．把答案填在题中的横线上)6．(2013·湖南)已知a 、b 、c ∈R ，a ＋2b ＋3c ＝6，则a 2＋4b 2＋9c 2的最小值为__12__.导学号 58535539[解析] 由题意可知(a 2＋4b 2＋ac 2)(12＋12＋12)≥(a ＋2b ＋3c )2＝36，∴a 2＋4b 2＋9c 2≥12，即a 2＋4b 2＋9c 2的最小值为12.7．(2018·重庆南开中学月考试题)已知函数f (x )＝|x ＋1|＋|x －a |(a ＞0)，若不等式f (x )≥6的解集为(－∞，－2]∪[4，＋∞)，则a 的值为__3__.导学号 58535531[解析] 函数f (x )＝|x ＋1|＋|x －a |表示数轴上的对应点到－1和a 对应点的距离之和，由于不等式f (x )≥6的解集为(－∞，－2]∪[4，＋∞)，所以数轴上的－2、4对应点到－1和a 对应点的距离之和正好等于6，故有⎩⎪⎨⎪⎧|－2＋1|＋|－2－a |＝6，|4＋1|＋|4－a |＝6，解得a ＝3. [点拨] 本题利用数形结合，发现表示解集的区间的两个边界点恰好是使得等号成立的点是解题的关键．若直接求解，需要分类讨论，步骤比较烦琐，而且容易出现计算错误．8．(2017·浙江，4分)已知a ∈R ，函数f (x )＝|x ＋4x－a |＋a 在区间[1,4]上的最大值是5，则a 的取值范围是__(－∞，92]__.导学号 58535532[解析] ∵x ∈[1,4]，∴x ＋4x ∈[4,5]，①当a ≤92时，f (x )max ＝|5－a |＋a ＝5－a ＋a ＝5，符合题意；②当a >92时，f (x )max ＝|4－a |＋a ＝2a －4＝5，∴a ＝92(矛盾)，故a 的取值范围是(－∞，92]． 三、解答题(本大题共3个小题，共60分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)9．(本小题20分)(2018·广西桂林市、百色市、崇左市一联)设函数f (x )＝|x ＋1|.导学号 58535533(1)求不等式f (x )<2x 的解集；(2)若2f (x )＋|x －a |>8对任意x ∈R 恒成立，求实数a 的取值范围．[解析] (1)由f (x )<2x 得|x ＋1|<2x ，则－2x <x ＋1<2x ，即⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋1<2x ，x ＋1>－2x ，解得x >1，∴不等式f (x )<2x 的解集为(1，＋∞)．(2)∵f (x )＋|x －a |＝|x ＋1|＋|x －a |≥|x ＋1－x ＋a |＝|a ＋1|，又2f (x )＋|x －a |>8＝23对任意x ∈R 恒成立，即f (x )＋|x －a |>3对任意x ∈R 恒成立，∴|a ＋1|>3，解得a <－4或a >2，∴实数a 的取值范围是(－∞，－4)∪(2，＋∞)．10．(本小题20分)(2018·湖南省五市十校高三联考)已知函数f (x )＝|x －a |＋|x －3|(a <3).导学号 58535534(1)若不等式f (x )≥4的解集为{x |x ≤12或x ≥92}，求a 的值； (2)若对∀x ∈R ，f (x )＋|x －3|≥1，求实数a 的取值范围．[解析] (1)解法一：由已知得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －2x ＋a ＋3，x <a ，3－a ，a ≤x ≤3，2x －a －3，x >3，当x <a 时，由－2x ＋a ＋3≥4，得x ≤a －12； 当x >3时，2x －a －3≥4，得x ≥7＋a 2.已知f (x )≥4的解集为{x |x ≤12或x ≥92}，则显然a ＝2. 解法二：由已知易得f (x )＝|x －a |＋|x －3|的图象关于直线x ＝a ＋32对称． 对f (x )≥4的解集为{x |x ≤12或x ≥92}，则12＋92＝a ＋3，即a ＝2. (2)解法一：不等式f (x )＋|x －3|≥1恒成立，即|x －a |＋2|x －3|≥1恒成立．当x ≤a 时，－3x ＋a ＋5≥0恒成立，得－3a ＋a ＋5≥0，解得a ≤52； 当a <x ≤3时，－x －a ＋5≥0恒成立，得－3－a ＋5≥0，解得a ≤2；当x ≥3时，3x －a －7≥0恒成立，得9－a －7≥0，解得a ≤2.综上，a ≤2.解法二：不等式f (x )＋|x －3|≥1恒成立，即|x －a |＋|x －3|≥－|x －3|＋1恒成立，由图象(图略)可知f (x )＝|x －a |＋|x －3|在x ＝3处取得最小值3－a ，而－|x －3|＋1在x ＝3处取得最大值1，故3－a ≥1，得a ≤2.11．(本小题满分20分)(2018·陕西省延安市黄陵中学高三上学期质量(重点班)数学试题)已知函数f (x )＝|x ＋3|，g (x )＝m －2|x －11|，若2f (x )≥g (x ＋4)恒成立，实数m 的最大值为t 导学号 58535535(1)求实数t ；(2)已知实数x 、y 、z 满足2x 2＋3y 2＋6z 2＝a (a ＞0)，且x ＋y ＋z 的最大值是t 20，求a 的值． [解析] (1)若2f (x )≥g (x ＋4)恒成立，可得m ≤2(|x ＋3|＋|x －7|)，而由绝对值三角不等式可得 2(|x ＋3|＋|x －7|)≥20，可得m ≤20，由此求得m 的最大值t .(2)由柯西不等式可得(2x 2＋3y 2＋6z 2)·(12＋13＋16)≥(x ＋y ＋z )2，即a ×1≥(x ＋y ＋z )2，即x ＋y ＋z ≤a ，再根据 x ＋y ＋z 的最大值是t 20＝1，可得a ＝1，从而求得a 的值． 解：(1)由题意可得g (x ＋4)＝m －2|x ＋4－11|＝m －2|x －7|，若2f (x )≥g (x ＋4)恒成立， ∴2|x ＋3|≥m －2|x －7|，即 m ≤2(|x ＋3|＋|x －7|)．而由绝对值三角不等式可得 2(|x ＋3|＋|x －7|)≥2|(x ＋3)－(x －7)|＝20，∴m ≤20，故m 的最大值t ＝20.(2)∵实数x 、y 、z 满足2x 2＋3y 2＋6z 2＝a (a ＞0)，由柯西不等式可得(2x 2＋3y 2＋6z 2)·(12＋13＋16)≥(x ＋y ＋z )2， ∴a ×1≥(x ＋y ＋z )2，∴x ＋y ＋z ≤a .再根据 x ＋y ＋z 的最大值是t 20＝1，∴a ＝1，∴a ＝1.。

,训练手册)A 组基础达标(时间： 30 分钟满分： 50 分)若时间有限，建议选讲1， 4，9一、选择题 (每题 5 分，共 15 分)111已知 a， b， c 是正实数，且 a＋b＋ c＝ 1，则a＋b＋c的最小值为 (C)A. 3B. 6C. 9D. 12把1 ＋ 1 ＋ 1，可得 a＋ b＋c＋ a＋ b＋ c＋ a＋b＋ c＝3＋ b＋ a ＋a＋ b＋ c＝ 1 代入a b c a b c a bc ＋a＋c＋b≥ 3＋ 2＋ 2＋ 2＝9，当且仅当a＝ b＝ c＝1时等号建立．a cb c3不等式 |x－ 5|＋ |x＋ 3|≥ 10的解集是 (D)A. [ －5， 7]B. [－ 4，6]C. (－∞，－5]∪[7，＋∞ )D. ( －∞，－ 4]∪[6，＋∞ )当 x≤－ 3时，|x－ 5|＋ |x＋ 3|＝ 5－ x－ x－ 3＝ 2－ 2x≥ 10，即 x≤－ 4，∴x≤－ 4时，原不等式建立；当－3<x<5 时， |x－ 5|＋ |x＋3|＝ 5－ x＋ x＋ 3＝ 8＜ 10，∴无解；当 x≥5 时，|x－ 5|＋ |x＋ 3|＝x－ 5＋ x＋3＝ 2x－ 2≥10，即 x≥ 6，∴x≥ 6时，原不等式建立．综上可知，不等式的解集为 (－∞，－ 4]∪ [6，＋∞ )．(2013 ·州一模滨)已知不等式 |x＋2|＋ |x|≤ a 的解集不是空集，则实数 a 的取值范围是(D)A. a＜ 2B. a≤ 2C. a＞ 2D. a≥ 22x＋ 2， x≥ 0，令 f(x) ＝ |x＋ 2|＋ |x|，则 f(x) ＝2，－ 2＜x＜ 0，利用一次函数的单一性可知－ 2x－2， x≤－ 2，f(x) ≥ 2，要使不等式 |x＋ 2|＋ |x|≤ a 的解集不是空集，则a≥2.二、填空题 (每题 5 分，共 20 分)(2013 ·西高考江 )在实数范围内，不等式 ||x－ 2|－ 1|≤ 1 的解集为 __[0 ， 4]__ ．||x－ 2|－ 1|≤ 1，即－ 1≤ |x－ 2|－ 1≤ 1，即 |x－ 2|≤ 2，∴－ 2≤ x－ 2≤2，∴ 0≤x≤ 4.(2013 陕·西高考 )设 a，b∈ R，|a－ b|＞ 2，则对于实数 x 的不等式 |x－ a|＋ |x－ b|＞ 2 的解集是 __R__．函数 f(x) ＝ |x－a|＋ |x－ b|的值域为 [|a－ b|，＋∞ )，所以，当 ? x∈ R 时， f(x) ≥ |a－b|＞ 2，所以不等式 |x－a|＋ |x－ b|＞ 2 的解集是 R.(2014 ·关摸底韶 )已知 g(x) ＝|x－ 1|－ |x－ 2|，若对于 x 的不等式 g(x) ≥ a2＋ a＋ 1(x∈R) 的解集为空集，则实数 a 的取值范围是 __(－∞，－1) ∪(0 ，＋∞ )__．当 x≤ 1 时，g(x) ＝ |x－ 1|－ |x－ 2|＝－ 1 当 1<x≤ 2 时，g(x) ＝ |x－ 1|－ |x－ 2|＝ 2x－ 3，∴－ 1<g(x) ≤ 1.当 x>2 时， g(x)＝ |x－ 1|－ |x－ 2|＝ 1，综上，1≤ g(x) ≤ 1.g(x) ≥ a2＋ a＋ 1(x∈ R)2的解集为空集 ，就是 1＝ [g(x)] max <a ＋ a ＋ 1， ∴ a ∈(－∞ ，－ 1)∪ (0，＋∞ ).(2013 陕·西检测 )若不等式 |x ＋ 1|＋ |x － m|＜ 6 的解集为 ?，则实数 m 的取值范围为 __(－ ∞， －7]∪[5，＋∞ )__．∵不等式的解集为空集，|x ＋ 1|＋ |x －m|≥ |m ＋ 1|，只需 |m ＋ 1|≥ 6，即 m ＋ 1≥ 6 或m ＋ 1≤－ 6，∴ m 的取值范围为 (－∞ ， －7]∪ [5，＋∞ )．三、 解答题 (共 15 分)(7 分 )(2013 银·川模拟 )已知函数 f(x) ＝ 2 x ＋ 5－ x. (1)求证： f(x) ≤ 5，并说明等号建立的条件；(2)若对于 x 的不等式 f(x) ≤ |m － 2|恒建立 ，务实数 m 的取值范围．(1) 由柯西不等式得 (2 x ＋ 5－x)2≤(2 2＋ 12) ·[( x)2＋ ( 5－ x)2]＝ 25.即 f(x) ≤ 5.当且仅当 x ＝ 5－x，即 x ＝ 4 时，等号建立． (3 分 )2 1(2)由 (1)知 f(x) ≤5，又不等式 f(x) ≤|m －2|恒建立 ，所以 |m － 2|≥ 5，解得 m ≥ 7 或 m ≤－3.故 m 的取值范围为 (－∞ ， － 3]∪ [7，＋∞ )． (7 分 )(8 分 )(2013 全·国高考 )已知函数 f(x) ＝ |2x － 1|＋ |2x ＋ a|， g(x) ＝ x ＋ 3. (1)当 a ＝－ 2 时，求不等式 f(x) ＜ g(x) 的解集；a 1(2)设 a>－ 1，且当 x ∈－2， 2 时， f(x) ≤ g(x) ，求 a 的取值范围．(1) 当 a ＝－ 2 时，不等式 f(x) ＜ g(x) 转变为 |2x － 1|＋ |2x － 2|－ x － 3＜0.设函数 y ＝ |2x － 1|＋ |2x － 2|－ x －3，则－ 5x ， x ＜1，2y ＝1 ≤ x ≤ 1，－ x － 2，23x － 6， x ＞ 1.其图像如下图．从图像可知 ，当且仅当 x ∈ (0， 2)时， y ＜ 0，∴原不等式的解集是 {x|0 ＜ x ＜ 2} ． (4 分 )a 1(2)当 x ∈－2， 2 时， f(x) ＝1＋ a.不等式 f(x) ≤ g(x) 化为 1＋ a ≤ x ＋3.∴ x ≥a － 2 对 x ∈ －a2，12 都建立．故－ a ≥ a － 2，即 a ≤4.23进而 a 的取值范围是－ 1，4.(8 分)3一、 选择题 (每题(2013 ·家庄质检石 B 组 提优操练(时间： 30 分钟 满分： 50 分 )若时间有限 ，建议选讲 2， 5，85 分，共 10 分))若不等式 |3x － b|≤ 4 的解集中的整数有且仅有1，2，3，则 b 的取值范围是 (A)A. [5 ，7]B. (5， 7)C. (5，7]D. [5，7)b － 40＜ 3 ≤1，解得 5≤ b ≤ 7，∴ b 的取值范围是 [5，7] ．b ＋ 43≤3＜4，若不等式 1＋1＋ 1＋ ＋ n1－1 ＞127(n ∈ N ＋ )建立 ，则 n 的最小值是 (B)24264A. 7B. 8C. 9D. 101 1 ＋ ＋ 1 127 (n ∈ N ＋ )，n 的最小值 ，剖析左侧是以首项为 1，公比求1＋＋ n －1＞ 64 2 4 21 1 127是 2的等比数列的前 n 项和 ，则左侧＝ 2 1－ 2n＞ 64 ，∴ n ＞ 7 且 n 为正整数 ，即 n 的最小值 为 8.二、 填空题 (每题5 分，共 20 分)(2013 陕·西高考 )已知 a ， b ， m ，n 均为正数 ，且 a ＋ b ＝ 1， mn ＝ 2，则 (am ＋ bn)(bm＋ an)的最小值为 __2__．利用柯西不等式求解， (am ＋ bn)(an ＋ bm) ≥ ( am ·an ＋ bn ·bm)2 ＝ mn ·(a ＋ b)2 ＝am ＝ bn2× 1＝ 2，当且仅当 anbm ，即 m ＝ n 时取最小值 2.x ＋ y ， N ＝ x ＋y，则 M ，N 的大小关系为 __M<N__ ．设 x ＞ 0，y ＞ 0， M ＝2＋ x ＋ y2＋ x2＋yx ＋ y＞x＋y ＝ x ＋ y＝M.N ＝2＋ x2＋ y 2＋x ＋ y2＋x ＋ y2＋ x ＋ y(2013 昆·明要点中学检测)已知不等式 2≥1 25 |a － a|对于 x ∈ [2，6] 恒建立 ，则 a 的取x －1 值范围是 __[－ 1， 2]__ ．22 2设 y ＝ x － 1， x ∈ [2， 6]，则 y ′＝－ （ x － 1） 2＜ 0，则 y ＝ x － 1在区间 [2， 6]上单一递减 ，则 y min ＝ 2 ＝ 2，故不等式 2 ≥ 1|a 2－ a|对于 x ∈ [2， 6]恒建立等价于 1|a 2－a|≤ 2恒6－1 5 x － 1 55 5 a 2－ a － 2≤ 0，解得－ 1≤ a ≤ 2，故 a 的取值范围是 [ －1， 2]．建立 ，化简得a 2－ a ＋ 2≥0，(2012 佛·山检测 )若不等式 |x － a|＋ |x －2|≥ 1 对随意实数 x 均建立 ，则实数 a 的取值范围为 __(－∞ ， 1]∪ [3，＋∞ )__．设 y ＝ |x － a|＋ |x － 2|，则 y min ＝ |a － 2|，∵不等式 |x － a|＋ |x － 2|≥ 1 对 ? x ∈ R 恒建立 ， ∴ |a － 2|≥ 1，解得 a ≥ 3 或 a ≤1.三、 解答题 (共 20 分)n ＋1n ＋1*a＋ b≥ ab.(10 分 )(2013 泰·州三模 ) 已知 a ＞ 0， b ＞ 0， n ∈N .求证：a n ＋ bnn ＋1n ＋1先证 a＋ b≥a ＋ b ，n na ＋b 2n ＋ 1n ＋ 1nn只需证 2(a＋ b )≥ (a ＋ b)(a ＋ b )，即只需证 a n ＋ 1＋b n ＋1－ a n b － ab n ≥ 0，若 a ≥b ，则 a －b ≥ 0， a n － b n ≥0， ∴ (a － b)(a n － b n )≥ 0. 若 a ＜b ，则 a －b ＜ 0， a n － b n ＜0， ∴ (a － b)(a n － b n )＞ 0，n ＋ 1＋ b n ＋ 1综上 ，可得 (a － b)(a n － b n )≥ 0，进而ann≥ a ＋ b.(8 分)a ＋ b2a ＋b ab ， ∴ a n ＋1＋ b n ＋1≥ ab.(10 分 )∵ 2 ≥a n ＋b n222(10 分 )设 x 1，x 2， ，x n ∈ R ＋ ，且 x 1＋ x 2＋ ＋ x n ＝ 1，求证： x1 ＋x 2 ＋ ＋ x n1＋x 11＋ x 2 1＋ x n≥ 1.n ＋ 1∵ x 1＋ x 2＋ ＋ x n ＝ 1， (2 分 ) ∴ (n ＋ 1) · x 12＋ x 22 ＋ ＋x n 21＋ x 1 1＋x 21＋ x n222＝ [(1＋ x 1)＋ (1＋ x 2)＋ ＋ (1＋x n )] ·x 1 ＋ x 2 ＋ ＋ x n1＋ x 1 1＋ x 2 1＋ x n≥ ( 1＋ x 1·x 1＋ 1＋x 2·x 2 ＋ ＋ 1＋ x n ·1＋ x 11＋x 2＝ (x 1＋ x 2＋ ＋ x n )2＝1， (6 分 )∴ x 12＋ x 22＋ ＋x n 2≥ 1 .(8 分 )1＋ x 1 1＋ x 2 1＋ x n n ＋1 当且仅当 x 1＝ x 2＝ ＝ x n ＝错误 ! 时，等号建立． (10 分 )x n 2 ) 1＋ x n√ 备课札记：。

选修4-5不等式选讲考点1不等式的性质1.已知a,b,c均为正数,证明: a2+b2+c2+(++)2≥6, 并确定a,b,c为何值时,等号成立.考点2绝对值不等式2.设函数f(x)=|x-1|+|x-2|.(1)解不等式f(x)>2;(2)求函数g(x)=ln f(x)的值域.3.已知函数f(x)=2|x+a|-|x-1|(a>0).(1)若函数f(x)与x轴围成的三角形的面积的最小值为4,求实数a的取值范围;(2)若对任意的x∈R都有f(x)+2≥0,求实数a的取值范围.4.已知m>1,且关于x的不等式m-|x-2|≥1的解集为[0,4].(1)求m的值;(2)若a,b均为正实数,且满足a+b=m,求a2+b2的最小值.5.设函数f(x)=-+-的最大值为M.(1)求实数M的值;(2)求关于x的不等式|x-|+|x+2|≤M的解集.6.已知函数f(x)=|x+a|+|x-2|.(1)当a=-3时,求不等式f(x)≥3的解集;(2)若f(x)≤|x-4|的解集包含[1,2],求实数a的取值范围.考点3证明不等式的基本方法7.已知a>0,b>0,求证:+≥+.8.已知a,b,c均为正实数.求证:(1)(a+b)(ab+c2)≥4abc;(2)若a+b+c=3,则++≤3.答案1.解法一因为a,b,c均为正数,所以a2+b2+c2≥3(abc)①,因为++≥3(abc)-,所以(++)2≥9(abc)-②.故a2+b2+c2+(++)2≥3(abc)+9(abc)-.又3(abc)+9(abc)-≥2=6③,所以原不等式成立.当且仅当a=b=c时,①式和②式等号成立.当且仅当3(abc)=9(abc)-时,③式等号成立,即当a=b=c=时,原式等号成立.解法二因为a,b,c均为正数,由基本不等式得a2+b2≥2ab,b2+c2≥2bc,c2+a2≥2ac,所以a2+b2+c2≥ab+bc+ac①.同理,++≥++②.故a2+b2+c2+(++)2=a2+b2+c2++++++≥ab+bc+ac+++≥6③.所以原不等式成立.当且仅当a=b=c时,①式和②式等号成立,当且仅当(ab)2=(bc)2=(ac)2=3时,③式等号成立.即当且仅当a=b=c=时,原不等式等号成立.2.(1)由题意知f(x)=|x-1|+|x-2|=-,, ,, -,当x<1时,由f(x)>2,得3-2x>2,解得x<,所以x<;当1≤x≤2时,f(x)>2无解;当x>2时,由f(x)>2,得2x-3>2,解得x>,所以x>.综上,不等式f(x)>2的解集为(-∞,)∪(,+∞).(2)因为f(x)=|x-1|+|x-2|,则f(x)≥1,又函数y=ln x在其定义域内为增函数.所以函数g(x)=ln f(x)的值域为[0,+∞).3.(1)由题意可得f(x)=---, -,-, -,,画出函数f(x)的图象,如图D 1所示,图D 1函数f(x)与x轴围成的三角形为△ABC,易求得A(-2a-1,0),B(-,0),C(-a,-a-1).所以S△ABC=[--(-2a-1)]×|-a-1|=(a+1)2≥4(a>0),解得a≥-1.(2)由图D 1可知,f(x)min=f(-a)=-a-1.对任意的x∈R都有f(x)+2≥0,即f(x)min+2≥0,即-a-1+2≥0,解得a≤1,又a>0,所以实数a的取值范围为(0,1].4.(1)∵m>1,不等式m-|x-2|≥1可化为|x-2|≤m-1,∴1-m≤x-2≤m-1,即3-m≤x≤m+1.∵不等式m-|x-2|≥1的解集为[0,4],∴-,,即m=3.(2)由(1)知a+b=3,解法一(利用基本不等式)∵(a+b)2=a2+b2+2ab≤(a2+b2)+(a2+b2)=2(a2+b2),∴a2+b2≥,∴a2+b2的最小值为.解法二(消元法求二次函数的最值)∵a+b=3,∴b=3-a,∴a2+b2=a2+(3-a)2=2a2-6a+9=2(-)+≥,∴a2+b2的最小值为.5.(1)f(x)=-+-≤2(-)(-)=3,当且仅当x=时等号成立.故函数f(x)的最大值M=3.(2)由(1)知M=3.由绝对值三角不等式可得|x-|+|x+2|≥|(x-)-(x+2)|=3.所以不等式|x-|+|x+2|≤3的解集就是方程|x-|+|x+2|=3的解.由绝对值的几何意义得,当且仅当-2≤x≤时,|x-|+|x+2|=3,所以不等式|x-|+|x+2|≤M的解集为{x|-2≤x≤}.6.(1)当a=-3时,f(x)≥3⇔|x-3|+|x-2|≥3⇔ ,-或,或,-,解得x≤1或x≥4.故当a=-3时,不等式f(x)≥3的解集为{x|x≤1或x≥4}.(2)由题意可得f(x)≤|x-4|在区间[1,2]上恒成立⇔|x+a|+2-x ≤4-x 在区间[1,2]上恒成立⇔-2-x ≤a ≤2-x 在区间[1,2]上恒成立⇔-3≤a ≤0,即实数a 的取值范围是[-3,0].7.解法一 (作差比较法)因为a>0,b>0,所以 +-( + )= ) ) ) = )( -≥0,所以 +≥ + . 解法二 (作商比较法)因为a>0,b>0,所以 = ) ) ( )= )( ) ( )== - ) ≥1,所以 +≥ + . 8.(1)要证(a+b )(ab+c 2)≥4abc ,可证a 2b+ac 2+ab 2+bc 2-4abc ≥0,需证b (a 2+c 2-2ac )+a (c 2+b 2-2bc )≥0,即证b (a-c )2+a (c-b )2≥0,当且仅当a=b=c 时,取等号,由已知,上式显然成立,故不等式(a+b )(ab+c 2)≥4abc 成立.(2)因为a ,b ,c 均为正实数,由不等式的性质知· ≤ = ,当且仅当a+1=2时,取等号,· ≤ = ,当且仅当b+1=2时,取等号,· ≤ = ,当且仅当c+1=2时,取等号,以上三式相加,得 ( + + )≤=6,所以 + + ≤3 ,当且仅当a=b=c=1时,取等号.。

选修4・5不等式选讲第1课时 绝对值不等式1. 解不等式l<|x-l|<3.解：原不等式可化为1 <x —1<3或一3<x —1< —1, 解得不等式的解集为(一2, 0) U (2, 4). 2. 解不等式|x+l| + |x-2|<4.解：当x 〈一1吋，不等式化为一X —1+2 —x<4,3解得一~<x< —1；当一 1W X W2时，不等式化为x+l+2-x<4, 得一1 WxW2：当x>2时，不等式化为x + l+x-2<4, 解得2<x<^.3. 解不等式 |x 2—2x+4| >2x.解：原不等式等价于X 2—2x+4< —2x 或 X 2—2x+4>2x ②. 解①得解集为0，解②得解集为{x|xeR 且xH2}.・•・原不等式的解集为{x|xeR 且xH2}. 4. 解不等式 X 2— | x | —2<0.解：(解法 1)当 xMO 时，X 2-X -2<0, 解得一l 〈x<2,・・・0Wx 〈2； 当 x 〈0 时，X 2+X -2<0,解得一2<x<l, ・・・-2<x<0.・・・原不等式的解集为{x |-2<x<2}.(解法2)原不等式可化为| x 12— | x | —2<0, 解得一l<|x|〈2.V |x|N0,・・・ 0W|x|<2,・・・-2<x<2. ・・・原不等式的解集为{x|-2<x<2}.5. 已知满足不等式|2x+a| + |x —3| W4的x 的最大值为3,求实数a 的值.解：因为x 的最大值为3,所以xW3,即不等式为|2x + a|+3-xW4,所以|2x + a|Wx +1,NM —1,所以彳二^、xWl —a,因为x 的最大值为3,所以1—a=3,即a=—2.6. 已知函数f (x) = |x + l | + |x —2| — |a 2—2a|.若函数f (x)的图象恒在x 轴上方，求实 数a 的取值范围.解：f(x)的最小值为3-|a 2-2a|,由题设，得 I a 2—2a| <3,解得 aW ( —1, 3). 7. 已知函数 f(x) = |x|-|x-3|. (1) 解关于x 的不等式f(x)21；(2) 若存在XoWR,使得关于X 的不等式IllWf(xo)成立，求实数的取值范围.xWO, f0<x<3,解：(1)原不等式等价于不等式组①： ,z 、［或②：丿| / 八或③:—x 十(x —3) Ml x+ (x —3) Ml①, 所以x+1 $0,—x —lW2x + aWx+l,原不等式的解集为、不等式组①无解；解不等式组②得2Wx<3；解不等式组③得xN3,所以原不 [x —x + 321.等式的解集为[2, +8).(2)由题意知 mWf (x)max,因为 f(x) = |x| —lx —3| w|x —x + 3| =3,所以 f (x)max =3, 所以 mW3,即 me( —8, 3].8. 已知函数 f(x) = |l-x|-|2+x|. (1) 求f(x)的最大值；(2) |2t-l|>f(x)恒成立，求实数t 的取值范围. 解：(1) f(x) = 11—x| — 12+x|W11—x+2+x| =3, 当且仅当xW —2时等号成立，.I f(x)聞x=3. (2)由 12t — 11 (x)恒成立得 2t — 1 Mf(x)«ax, 即 |2t —1|33, 2t —133 或 2t —1W —3, 解得t22或tW — l,・•・实数t 的取值范围是(一8, -1]U[2, +oo).9. 已知关于x 的不等式|ax —11 + | ax —a| >1 (a>0). (1) 当a=l 时，求此不等式的解集；(2) 若此不等式的解集为R,求实数a 的取值范围. 解：(1)当 a=l 时,得 2|x —11 >1,即 |x —1| 昜，3也,+8(2)ax — 1 | + |ax —a| > a—11,・・・原不等式解集为R 等价于|a-l|^l. ・•・a^2或aWO. •・• a>0,・•・ a$2.・•・实数“的取值范围是［2, +8). 10. 设函数 f (x) = |2x + l | — |x —2|. (1) 求不等式f(x)>2的解集;(2) VxER, f(x)>t 2-yt,求实数t 的取值范围.kx + 3, x$2,当 x<—7；时，一x — 3>2, x< — 5,・°・ x< — 5； 当一时，3x-l>2, x>l,・・・ l<x<2；当 xM2 时,x + 3>2, x>-l,・・・ x22.综上所述，不等式f (x) >2的解集为{x|x>l 或x< —5}.5 .11(2) f(x)Bin =—若V x^R, f (X )^t 2——t 恒成立, 则只需f (X )min=—辱t'—孕"，解得gwtW5. 即t 的取值范围是5xN3, ・・・不等式的解集为(一8, | 解: (1) f(x)=<3x —1, —*Wx 〈2,11.设函数f (x) = |2x —11 — |x+l |.(1)求不等式f(x)W0的解集D；(2)若存在实数xU{x|0WxW2},使得换+QT二冶成立，求实数a的取值范围.解:⑴ 当xW — 1 吋，由f(x)=—x + 2W 0 得x$2,所以xeo；当-l<xwg时,由f (x) =—3xW0 得x20,所以OWxwg；当x>*时，由f(x)=x — 2W0 得xW2,所以*〈xW2.综上，不等式f(x)W0的解集D={x|0WxW2}・(2) y/3x +y/2 — x = A/3^/X +-^2 —x,由柯西不等式得(羽&+寸2 —x)M (3+1) [x+ (2 —x)]=8,yl^+y/2 — xW2y[^,当且仅当x=^时取“ =” ,a 的取值范围是(一8,第2课时不等式证明的基本方法1.已知xdl, yNl,求证:x2y+xy2+l^x2y2+x + y.证明：左边一右边=(y —y2)x2+ (y2—l)x —y+l = (1—y) [yx2— (1 +y)x+ 1] = (1 — y) (xy —1) (x—1),*.* xMl, y$l, 1—yWO, xy —IMO, x —120.从而左边一右边WO,・：x'y + xy'+l Wx'y' + x + y.2.(2017 •苏州期末)已知a,b,x,y 都是正数，且a+b=l,求证：(ax + by) (bx + ay) Nxy. 证明：因为a, b, x, y都是正数，所以(ax + by) (bx + ay) = ab (x2+y2) + xy (a2+b2)^ab • 2xy+xy (a2+b2) = (a+b)2x)\又a+b = l,所以(ax + by) (bx+ay) Mxy.当且仅当x = y时等号成立.3.已知x, y, zER,且x + 2y+ 3z + 8 = 0.求证：(x — l)2+ (y + 2)2+ (z — 3)2^14. 证明：因为[(x-1)2+ (y+2)2+ (z-3)2] (l2+22+32)2[(x—1) +2(y + 2) +3(z —3)r= (x+2y+3z-6)2=142,当且仅当即x = &0, y=—4时，収等号，所以(x-l)2+(y+2)2+(z-3)2^14.4.已知函数f (x) = |2x—11 + |x+l |,函数g(x) =f (x) + |x+l | 的值域为M.(1)求不等式f(x)W3的解集；3(2)若teM,求证：t2+l>-+3t.厂一3x, xW —1.—Y — 1 x X 1 ,(1)解：依题意，得f(x) =\ 92’于是得f(x)W3=>] 或〔一3xW33x,” 1—l<x<T,< 2或| 2 解得—iWxWl.即不等式f(x)W3的解集为{x|—lWxWl}・、2—xW3 、3xW3,(2)证明:g (x) =f (x) + | x +11 = 12x—11 + | 2x + 2 | M 12x—1 — 2x—2 | =3,当且仅当(2x — l) (2x + 2)W 0时，取等号，・・・M=[3, +->).2 c I3 t3—3t2 +1 —3 (t —3) (t2+1)原不等式等价于t2-3t + l--= ---------------- ------- = ------------- ---------- •TtGM, /• t — 320, t'+1 >0. .(t —3) (t~+1) . 2 3NO. • • t +lMf+3t.b? c 2 a?•-十+F+b + c.[ /1 I 1 \1111$3@碍）3訓=9（当且仅当a —az 时等号成立）,所以-+-+-邛・I ?37. 已知正数x, y, zW^x+2y +3z=l,求古+；的最小值.= 1+4+9+勺+主+尹+字+糾爭x x zy zy 3z 3z9 Q・・・£+-+-的最小值为36.x y ”8. 已知 x>0, y>0, z>0 且 xyz = l, 证明：*.* x>0, y>0, z>0, •I x 3 + y J + z 3>3xyz.同理 x 3+y 3+1^3xy, y'+z'+lN3yz, x 3+z 3+1^3xz. 将以上各式相加,得 3x" + 3y"+3z' + 323xyz + 3xy + 3yz + 3zx. *.* xyz = 1,・：x 3 + y 3+z 3^xy + yz +9. 己知a, b, c 均为正数，且a+2b+4c =3.求士y+尙+占的最小值，并指出取得最小值时a, b, c 的值.解：J a + 2b + 4c = 3,・・・(a+l)+2(b+l)+4(c+1) = 10.*.* a, b, c 为正数，・°・由柯西不等式得[(a+ 1) +2(b+l) +4(c + l)] • J +[ + [)+[ +(、+])$ (1+迈 + 2)1 当且仅当(a+l)2 = 2(b + l)2=4(c + l)2时，等式成立.・ 1 | 1 | 1 J1+M••a+1 十 b+1 十 c + L10 '2 (c +1)(c+1)+4 (c +1) = 10,8-5^2 . 15^/2-17 23-10^/2• •c= 7 ,b= 7 ,a= 7 •10. 已知 a+b+c = l, a, b, c>0.求证： (1) abc 专y ；1.2. ,3 [ J 4.十1 X y h 7-l2y 3zJ解: (x+2y+3z) 5- （2017 •苏、锡、常、镇二模）己知a, b, c 为正实数, 9c ： b+—>2c, b 证明：T a, b, c 为正实数a+—>2b, a k 2 c 2 a 2将上面三个式子相加得a+b+c+—+—+—>2a+2b+2c, a b c12 2 2求证：-•+~+~>a + b + c.a b c2 8 c+—52a, c 6.设內，a 2,加均为正数，且a. + a 2+a 3=l,求证：丄+丄+丄29.313233证明:因为az,负均为正数，且aZ+aE,所以右+£+右=（&+十3）住+右+右1,1,1 ai a 2 a :J313233x 2y + 2 \j x 3z 当且仅当x = y = z=£时等号成立,12z 18y 2y 3z =%， 求证：x"+y"+z"$xy + yz + zx ・ zx. 3Z 9x 卜2(2)a2+b24-c2yjabc.证明：⑴a+b+c23 •引abc,而a+b + c = InabcW右，当且仅当a=b = c=#时取等号.(2)由柯两不等式得a2+b2+c2^|(a+b + c)2=-^,由(1)知守赢W*,『+b，+ c空引abc,当且仅当a = b = c="时取等号.11.已知惭数f (x) =p3x+6, g(x) =yjlA_x.若存在实数x使f (x) +g(x) >a成立，求实数a的取值范围.解：存在实数X使f (x) +g(x) >a成立，等价于f (x) +g(x)的最大值大于a.•/ f(x) +g(x) =y/3x + 6 + 寸14_x=y/3Xy/x + 2+ 1 Xy/14~x f由柯西不等式得，(^3X^7+2+l X y/14-x)(3 +1)・(x + 2+14 —x) =64,f (x) +g(x) =#3x + 6+#14 — xW8,当且仅当x = 10 时取等号.故实数Q的取值范围是(一8, 8).。

选修­不等式选讲第课时绝对值不等式. 解不等式<－<.解：原不等式可化为<－<或－<－<－，解得不等式的解集为(－，)∪(，)．. 解不等式＋＋－＜.解：当<－时，不等式化为－－＋－<，解得－<<－；当－≤≤时，不等式化为＋＋－<，得－≤≤；当>时，不等式化为＋＋－<，解得<<.∴原不等式的解集为.. 解不等式－＋>.解：原不等式等价于－＋<－①，或－＋> ②.解①得解集为∅，解②得解集为{∈且≠}．∴原不等式的解集为{∈且≠}．. 解不等式－－<.解：(解法)当≥时，－－<，解得－<<，∴≤<；当<时，＋－<，解得－<<，∴－<<.∴原不等式的解集为{－<<}．(解法)原不等式可化为－－<，解得－<<.∵≥，∴≤<，∴－<<.∴原不等式的解集为{－<<}．. 已知满足不等式＋＋－≤的的最大值为，求实数的值．解：因为的最大值为，所以≤，即不等式为＋＋－≤，所以＋≤＋，所以所以因为的最大值为，所以－＝，即＝－.. 已知函数()＝＋＋－－－.若函数()的图象恒在轴上方，求实数的取值范围．解：()的最小值为－－，由题设，得－<，解得∈(－，)．. 已知函数()＝－－.() 解关于的不等式()≥；() 若存在∈，使得关于的不等式≤()成立，求实数的取值范围．解：() 原不等式等价于不等式组①：或②：或③：不等式组①无解；解不等式组②得≤＜；解不等式组③得≥，所以原不等式的解集为[，＋∞)．() 由题意知≤ ()，因为()＝－－≤－＋＝，所以()＝，所以≤，即∈(－∞，]．. 已知函数()＝－－＋.() 求()的最大值；() －≥()恒成立，求实数的取值范围．解：() ()＝－－＋≤－＋＋＝，当且仅当≤－时等号成立，∴ ()＝.() 由－≥()恒成立得－≥()，即－≥，－≥或－≤－，解得≥ 或≤－，∴实数的取值范围是(－∞，－]∪[，＋∞)．. 已知关于的不等式－＋－≥(>)．() 当＝时，求此不等式的解集；() 若此不等式的解集为，求实数的取值范围．解：() 当＝时，得－≥, 即－≥，解得≥或≤，∴不等式的解集为∪.() ∵ －＋－≥－，∴原不等式解集为等价于－≥.∴≥或≤.∵ >，∴≥.∴实数的取值范围是[，＋∞)．. 设函数()＝＋－－.() 求不等式()>的解集；() ∀∈，()≥－，求实数的取值范围．解：() ()＝当<－时，－－>，<－，∴ <－；当－≤<时，－>，>，∴ <<；当≥时，＋>，>－，∴≥.综上所述，不等式()＞的解集为{>或<－}．() ()＝－，若∀∈，()≥－恒成立，则只需()＝－≥－，解得≤≤.即的取值范围是.. 设函数()＝－－＋.() 求不等式()≤的解集；() 若存在实数∈{≤≤}，使得＋>成立，求实数的取值范围．解：() 当≤－时，由()＝－＋≤得≥，所以∈∅；当－<≤时，由()＝－≤得≥，所以≤≤；当>时，由()＝－≤得≤，所以<≤.综上，不等式()≤的解集＝{≤≤}．() ＋＝＋，由柯西不等式得(＋)≤(＋)[＋(－)]＝，∴＋≤，当且仅当＝时取“＝”，∴的取值范围是(－∞，)．第课时不等式证明的基本方法. 已知≥，≥，求证：＋＋≤＋＋.证明：左边－右边＝(－)＋(－)－＋＝(－)[－(＋)＋]＝(－)(－)(－)，∵≥，≥，∴－≤，－≥，－≥.从而左边－右边≤，∴＋＋≤＋＋.. (·苏州期末)已知，，，都是正数，且＋＝，求证：(＋)(＋)≥.证明：因为，，，都是正数，所以(＋)(＋)＝(＋)＋(＋)≥·＋(＋)＝(＋).又＋＝，所以(＋)(＋)≥.当且仅当＝时等号成立．. 已知，，∈，且＋＋＋＝.求证：(－)＋(＋)＋(－)≥.证明：因为[(－)＋(＋)＋(－)](＋＋)≥[(－)＋(＋)＋(－)]＝(＋＋－)＝，当且仅当＝＝，即＝＝，＝－时，取等号，所以(－)＋(＋)＋(－)≥.. 已知函数()＝－＋＋，函数()＝()＋＋的值域为.。

选修4－5 不等式选讲第1课绝对值不等式[过双基]1．绝对值三角不等式定理1：如果a ，b 是实数，则|a ＋b |≤|a |＋|b |，当且仅当ab ≥0时，等号成立． 定理2：如果a ，b ，c 是实数，那么|a －c |≤|a －b |＋|b －c |，当且仅当(a －b )(b －c )≥0时，等号成立．2．绝对值不等式的解法(1)含绝对值的不等式|x |<a 与|x |>a 的解集(2)|ax ＋b |①|ax ＋b |≤c ⇔－c ≤ax ＋b ≤c ； ②|ax ＋b |≥c ⇔ax ＋b ≥c 或ax ＋b ≤－c .(3)|x －a |＋|x －b |≥c ，|x －a |＋|x －b |≤c (c >0)型不等式的解法： ①利用绝对值不等式的几何意义求解； ②利用零点分段法求解；③构造函数，利用函数的图象求解． [小题速通]1．不等式|x ＋1|－|x －2|≥1的解集是________． 解析：f (x )＝|x ＋1|－|x －2|＝⎩⎪⎨⎪⎧－3，x ≤－1，2x －1，－1<x <2，3，x ≥2.当－1<x <2时，由2x －1≥1，解得1≤x <2. 又当x ≥2时，f (x )＝3>1， 所以不等式的解集为{}x |x ≥1. 答案：{x |x ≥1}2．若存在实数x使|x－a|＋|x－1|≤3成立，则实数a的取值范围是________．解析：∵|x－a|＋|x－1|≥|(x－a)－(x－1)|＝|a－1|，要使|x－a|＋|x－1|≤3有解，可使|a－1|≤3，∴－3≤a－1≤3，∴－2≤a≤4.答案：[－2,4]x|1≤x≤3，则实数k＝________.3．若不等式|kx－4|≤2的解集为{}解析：由|kx－4|≤2⇔2≤kx≤6.x|1≤x≤3，∵不等式的解集为{}∴k＝2.答案：24．设不等式|x＋1|－|x－2|>k的解集为R，则实数k的取值范围为____________．解析：∵||x＋1|－|x－2||≤3，∴－3≤|x＋1|－|x－2|≤3，∴k＜(|x＋1|－|x－2|)的最小值，即k＜－3.答案：(－∞，－3)[清易错]1．对形如|f(x)|>a或|f(x)|<a型的不等式求其解集时，易忽视a的符号直接等价转化造成失误．2．绝对值不等式||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|中易忽视等号成立的条件．如|a－b|≤|a|＋|b|，当且仅当ab≤0时等号成立，其他类似推导．1．设a，b为满足ab<0的实数，那么()A．|a＋b|>|a－b|B．|a＋b|<|a－b|C．|a－b|＜||a|－|b||D．|a－b|<|a|＋|b|解析：选B∵ab<0，∴|a－b|＝|a|＋|b|>|a＋b|.2．若|x－1|≤1，|y－2|≤1，则|x－2y＋1|的最大值为________．解析：|x－2y＋1|＝|(x－1)－2(y－2)－2|≤|x－1|＋2|y－2|＋2≤5.答案：5绝对值不等式的解法[典例] 设函数(x )＝|x ＋1|－|x －1|＋a (a ∈R)． (1)当a ＝1时，求不等式f (x )>0的解集；(2)若方程f (x )＝x 只有一个实数根，求实数a 的取值范围． [解] (1)依题意，原不等式等价于： |x ＋1|－|x －1|＋1>0，当x <－1时，－(x ＋1)＋(x －1)＋1>0， 即－1>0，此时解集为∅；当－1≤x ≤1时，x ＋1＋(x －1)＋1>0， 即x >－12，此时－12<x ≤1；当x >1时，x ＋1－(x －1)＋1>0， 即3>0，此时x >1.综上所述，不等式f (x )>0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫xx >－12.(2)依题意，方程f (x )＝x 等价于a ＝|x －1|－|x ＋1|＋x ， 令g (x )＝|x －1|－|x ＋1|＋x . ∴g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2，x <－1，－x ，－1≤x ≤1，x －2，x >1..画出函数g (x )的图象如图所示，∴要使原方程只有一个实数根，只需a >1或a <－1. ∴实数a 的取值范围是(－∞，－1)∪(1，＋∞)． [方法技巧](1)求解绝对值不等式的两个注意点：①要求的不等式的解集是各类情形的并集，利用零点分段法的操作程序是：找零点、分区间、分段讨论．②对于解较复杂绝对值不等式，要恰当运用条件，简化分类讨论，优化解题过程． (2)求解该类问题的关键是去绝对值符号，可以运用零点分段法去绝对值，此外还常利用绝对值的几何意义求解．[即时演练]1．解不等式|2x －1|＋|2x ＋1|≤6.解：法一：当x >12时，原不等式转化为4x ≤6⇒12<x ≤32；当－12≤x ≤12时，原不等式转化为2≤6⇒－12≤x ≤12；当x <－12时，原不等式转化为－4x ≤6⇒－32≤x <－12.综上知，原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－32≤x ≤32.法二：原不等式可化为⎪⎪⎪⎪x －12＋⎪⎪⎪⎪x ＋12≤3， 其几何意义为数轴上到12，－12两点的距离之和不超过3的点的集合，数形结合知，当x＝32或x ＝－32时，到12，－12两点的距离之和恰好为3，故当－32≤x ≤32时，满足题意，则原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－32≤x ≤32.2．解不等式|x －1|－|x －5|<2.解：当x <1时，不等式可化为－(x －1)－(5－x )<2， 即－4<2，显然成立，所以此时不等式的解集为(－∞，1)； 当1≤x ≤5时，不等式可化为x －1－(5－x )<2， 即2x －6<2，解得x <4，所以此时不等式的解集为[1,4)； 当x >5时，不等式可化为(x －1)－(x －5)<2， 即4<2，显然不成立．所以此时不等式无解． 综上，不等式的解集为(－∞，4)．绝对值不等式的证明[典例] 已知x ，y ∈R ，且|x ＋y |≤16，|x －y |≤14，求证：|x ＋5y |≤1.[证明] ∵|x ＋5y |＝|3(x ＋y )－2(x －y )|. ∴由绝对值不等式的性质，得|x ＋5y |＝|3(x ＋y )－2(x －y )|≤|3(x ＋y )|＋|2(x －y )| ＝3|x ＋y |＋2|x －y |≤3×16＋2×14＝1.即|x ＋5y |≤1. [方法技巧]绝对值不等式证明的3种主要方法(1)利用绝对值的定义去掉绝对值符号，转化为普通不等式再证明． (2)利用三角不等式||a |－|b ||≤|a ±b |≤|a |＋|b |进行证明． (3)转化为函数问题，数形结合进行证明． [即时演练]已知f (x )＝|x ＋2|－|2x －1|，M 为不等式f (x )>0的解集． (1)求M ；(2)求证：当x ，y ∈M 时，|x ＋y ＋xy |<15.解：(1)f (x )＝⎩⎨⎧x －3，x <－2，3x ＋1，－2≤x ≤12，－x ＋3，x >12，当x <－2时，由x －3>0，得x >3，舍去； 当－2≤x ≤12时，由3x ＋1>0，得x >－13，即－13<x ≤12；当x >12时，由－x ＋3>0，得x <3，即12<x <3，综上，M ＝⎝⎛⎭⎫－13，3. (2)证明：∵x ，y ∈M ，∴|x |<3，|y |<3，∴|x ＋y ＋xy |≤|x ＋y |＋|xy |≤|x |＋|y |＋|xy |＝|x |＋|y |＋|x |·|y |<3＋3＋3×3＝15.绝对值不等式的综合应用[典例] (1)求不等式f (x )≥1的解集；(2)若不等式f (x )≥x 2－x ＋m 的解集非空，求m 的取值范围． [解] (1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－3，x ＜－1，2x －1，－1≤x ≤2，3，x ＞2.当x ＜－1时，f (x )≥1无解；当－1≤x ≤2时，由f (x )≥1，得2x －1≥1，解得1≤x ≤2； 当x ＞2时，由f (x )≥1，解得x ＞2. 所以f (x )≥1的解集为{x |x ≥1}．(2)由f (x )≥x 2－x ＋m ，得m ≤|x ＋1|－|x －2|－x 2＋x .而|x ＋1|－|x －2|－x 2＋x ≤|x |＋1＋|x |－2－x 2＋|x |＝－⎝⎛⎭⎫|x |－322＋54≤54， 且当x ＝32时，|x ＋1|－|x －2|－x 2＋x ＝54.故m 的取值范围为⎝⎛⎦⎤－∞，54. [方法技巧](1)研究含有绝对值的函数问题时，根据绝对值的定义，分类讨论去掉绝对值符号，将原函数转化为分段函数，然后利用数形结合解决问题，这是常用的思想方法．(2)f (x )＜a 恒成立⇔f (x )max ＜a . f (x )＞a 恒成立⇔f (x )min ＞a . [即时演练]已知函数f (x )＝|x －a |－|2x －1|. (1)当a ＝2时，求f (x )＋3≥0的解集；(2)当x ∈[1,3]时，f (x )≤3恒成立，求a 的取值范围． 解：(1)当a ＝2时，由f (x )＋3≥0， 可得|x －2|－|2x －1|≥－3，①⎩⎪⎨⎪⎧ x <12，2－x ＋2x －1≥－3或②⎩⎪⎨⎪⎧12≤x <2，2－x －2x ＋1≥－3或 ③⎩⎪⎨⎪⎧x ≥2，x －2－2x ＋1≥－3. 解①得－4≤x <12；解②得12≤x <2；解③得x ＝2.综上所述，不等式的解集为{x |－4≤x ≤2}． (2)当x ∈[1,3]时，f (x )≤3恒成立， 即|x －a |≤3＋|2x －1|＝2x ＋2. 故－2x －2≤x －a ≤2x ＋2， 即－3x －2≤－a ≤x ＋2，∴－x －2≤a ≤3x ＋2对x ∈[1,3]恒成立． ∴a ∈[－3,5]．1．(2017·全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝－x 2＋ax ＋4，g (x )＝|x ＋1|＋|x －1|. (1)当a ＝1时，求不等式f (x )≥g (x )的解集；(2)若不等式f (x )≥g (x )的解集包含[－1,1]，求a 的取值范围． 解：(1)当a ＝1时，不等式f (x )≥g (x )等价于 x 2－x ＋|x ＋1|＋|x －1|－4≤0. ①当x ＜－1时，①式化为x 2－3x －4≤0，无解；当－1≤x ≤1时，①式化为x 2－x －2≤0，从而－1≤x ≤1； 当x ＞1时，①式化为x 2＋x －4≤0， 从而1＜x ≤－1＋172.所以f (x )≥g (x )的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪－1≤x ≤－1＋172. (2)当x ∈[－1,1]时，g (x )＝2.所以f (x )≥g (x )的解集包含[－1,1]，等价于当x ∈[－1,1]时，f (x )≥2.又f (x )在[－1,1]的最小值必为f (－1)与f (1)之一， 所以f (－1)≥2且f (1)≥2，得－1≤a ≤1. 所以a 的取值范围为[－1,1]．2．(2015·全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝|x ＋1|－2|x －a |，a >0. (1)当a ＝1时，求不等式f (x )>1的解集；(2)若f (x )的图象与x 轴围成的三角形面积大于6，求a 的取值范围． 解：(1)当a ＝1时，f (x )>1化为|x ＋1|－2|x －1|－1>0. 当x ≤－1时，不等式化为x －4>0，无解； 当－1<x <1时，不等式化为3x －2>0，解得23<x <1；当x ≥1时，不等式化为－x ＋2>0，解得1≤x <2.所以f (x )>1的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x 23<x <2.(2)由题设可得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －1－2a ，x <－1，3x ＋1－2a ，－1≤x ≤a ，－x ＋1＋2a ，x >a .所以函数f (x )的图象与x 轴围成的三角形的三个顶点分别为A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2a －13，0，B (2a ＋1,0)，C (a ，a ＋1)，△ABC 的面积为23(a ＋1)2.由题设得23(a ＋1)2>6，故a >2.所以a 的取值范围为(2，＋∞)．3．(2016·江苏高考)设a ＞0，|x －1|＜a 3，|y －2|＜a3，求证：|2x ＋y －4|＜a .证明：因为|x －1|＜a 3，|y －2|＜a3，所以|2x ＋y －4|＝|2(x －1)＋(y －2)|≤2|x －1|＋|y －2|＜2×a 3＋a3＝a .4．(2013·全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝|2x －1|＋|2x ＋a |，g (x )＝x ＋3. (1)当a ＝－2时，求不等式f (x )＜g (x )的解集；(2)设a ＞－1，且当x ∈⎣⎡⎭⎫－a 2，12时，f (x )≤g (x )，求a 的取值范围． 解：(1)当a ＝－2时，不等式f (x )＜g (x )可化为|2x －1|＋|2x －2|－x －3＜0. 设函数y ＝|2x －1|＋|2x －2|－x －3，则y ＝⎩⎨⎧－5x ，x ＜12，－x －2，12≤x ≤1，3x －6，x ＞1.其图象如图所示．从图象可知，当且仅当x ∈(0,2)时，y <0. 所以原不等式的解集是{x |0＜x ＜2}． (2)当x ∈⎣⎡⎭⎫－a 2，12时，f (x )＝1＋a . 不等式f (x )≤g (x )化为1＋a ≤x ＋3. 所以x ≥a －2对x ∈⎣⎡⎭⎫－a 2，12都成立． 故－a 2≥a －2，即a ≤43.从而a 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－1，43.1．(2018·唐山模拟)已知函数f (x )＝|2x －a |＋|x ＋1|. (1)当a ＝1时，解不等式f (x )<3； (2)若f (x )的最小值为1，求a 的值．解：(1)因为f (x )＝|2x －1|＋|x ＋1|＝⎩⎨⎧－3x ，x ≤－1，－x ＋2，－1<x <12，3x ，x ≥12，且f (1)＝f (－1)＝3，所以f (x )<3的解集为{x |－1<x <1}．(2)|2x －a |＋|x ＋1|＝⎪⎪⎪⎪x －a 2＋|x ＋1|＋⎪⎪⎪⎪x －a 2≥⎪⎪⎪⎪1＋a 2＋0＝⎪⎪⎪⎪1＋a 2， 当且仅当(x ＋1)⎝⎛⎭⎫x －a 2≤0且x －a2＝0时，取等号． 所以⎪⎪⎪⎪1＋a2＝1， 解得a ＝－4或0.2．已知函数f (x )＝|2x ＋1|，g (x )＝|x －1|＋a . (1)当a ＝0时，解不等式f (x )≥g (x )；(2)若对任意x ∈R ，f (x )≥g (x )恒成立，求实数a 的取值范围． 解：(1)当a ＝0时，由f (x )≥g (x )，得|2x ＋1|≥|x －1|， 两边平方整理得x 2＋2x ≥0，解得x ≥0或x ≤－2. 所以原不等式的解集为(－∞，－2]∪[0，＋∞)． (2)由f (x )≥g (x )，得a ≤|2x ＋1|－|x －1|. 令h (x )＝|2x ＋1|－|x －1|，则h (x )＝⎩⎨⎧－x －2，x ≤－12，3x ，－12<x <1，x ＋2，x ≥1.故h (x )min ＝h ⎝⎛⎭⎫－12＝－32. 故所求实数a 的取值范围为⎝⎛⎦⎤－∞，－32. 3．已知函数f (x )＝|2x －a |＋|2x －1|，a ∈R. (1)当a ＝3时，求关于x 的不等式f (x )≤6的解集； (2)当x ∈R 时，f (x )≥a 2－a －13，求实数a 的取值范围． 解：(1)当a ＝3时，不等式f (x )≤6可化为|2x －3|＋|2x －1|≤6.当x <12时，不等式可化为－(2x －3)－(2x －1)＝－4x ＋4≤6，解得－12≤x <12；当12≤x ≤32时，不等式可化为－(2x －3)＋(2x －1)＝2≤6，解得12≤x ≤32； 当x >32时，不等式可化为(2x －3)＋(2x －1)＝4x －4≤6，解得32<x ≤52.综上所述，关于x 的不等式f (x )≤6的解集为 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x －12≤x ≤52.(2)当x ∈R 时，f (x )＝|2x －a |＋|2x －1|≥|2x －a ＋1－2x |＝|1－a |， 所以当x ∈R 时，f (x )≥a 2－a －13等价于|1－a |≥a 2－a －13. 当a ≤1时，等价于1－a ≥a 2－a －13，解得－14≤a ≤1； 当a >1时，等价于a －1≥a 2－a －13，解得1<a ≤1＋13， 所以a 的取值范围为[－14，1＋13]． 4．已知函数f (x )＝|x －a |＋|2x ＋1|. (1)当a ＝1时，解不等式f (x )≤3；(2)若f (x )≤2a ＋x 在[a ，＋∞)上有解，求a 的取值范围． 解：(1)当a ＝1时，f (x )≤3化为|x －1|＋|2x ＋1|≤3， 则⎩⎪⎨⎪⎧ x <－12，1－x －1－2x ≤3或⎩⎪⎨⎪⎧－12≤x ≤1，1－x ＋2x ＋1≤3或⎩⎪⎨⎪⎧x >1，x －1＋2x ＋1≤3，解得－1≤x <－12或－12≤x ≤1或∅.所以原不等式解集为{x |－1≤x ≤1}．(2)因为x ∈[a ，＋∞)，所以f (x )＝|x －a |＋|2x ＋1|＝x －a ＋|2x ＋1|≤2a ＋x ， 即|2x ＋1|≤3a 有解，所以a ≥0， 所以不等式化为2x ＋1≤3a 有解， 即2a ＋1≤3a ，解得a ≥1， 所以a 的取值范围为[1，＋∞)． 5．设函数f (x )＝|2x －a |＋2a .(1)若不等式f (x )≤6的解集为{x |－6≤x ≤4}，求实数a 的值；(2)在(1)的条件下，若不等式f (x )≤(k 2－1)x －5的解集非空，求实数k 的取值范围． 解：(1)∵|2x －a |＋2a ≤6，∴|2x －a |≤6－2a,2a －6≤2x －a ≤6－2a ， ∴32a －3≤x ≤3－a 2. 而f (x )≤6的解集为{x |－6≤x ≤4}，故有⎩⎨⎧32a －3＝－6，3－12a ＝4，解得a ＝－2.(2)由(1)得f (x )＝|2x ＋2|－4， ∴不等式|2x ＋2|－4≤(k 2－1)x －5， 化简得|2x ＋2|＋1≤(k 2－1)x ，令g (x )＝|2x ＋2|＋1＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3，x ≥－1，－2x －1，x <－1.画出函数y ＝g (x )的图象如图所示．要使不等f (x )≤(k 2－1)x －5的解集非空，只需k 2－1>2或k 2－1≤－1， 解得k >3或k <－3或k ＝0，∴实数k 的取值范围为(－∞，－3)∪{0}∪(3，＋∞)． 6．设函数f (x )＝|ax －1|.(1)若f (x )≤2的解集为[－6,2]，求实数a 的值；(2)当a ＝2时，若存在x ∈R ，使得不等式f (2x ＋1)－f (x －1)≤7－3m 成立，求实数m 的取值范围．解：(1)显然a ≠0，当a ＞0时，解集为⎣⎡⎦⎤－1a ，3a ， 则－1a ＝－6，3a ＝2，无解； 当a ＜0时，解集为⎣⎡⎦⎤3a，－1a ，则－1a ＝2，3a ＝－6，得a ＝－12.综上所述，a ＝－12.(2)当a ＝2时，令h (x )＝f (2x ＋1)－f (x －1)＝|4x ＋1|－|2x －3|＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x －4，x ≤－14，6x －2，－14＜x ＜32，2x ＋4，x ≥32，由此可知，h (x )在⎝⎛⎭⎫－∞，－14上单调递减，在⎝⎛⎭⎫－14，32上单调递增，在⎝⎛⎭⎫32，＋∞上单调递增，则当x ＝－14时，h (x )取到最小值－72，由题意知，－72≤7－3m ，解得m ≤72，故实数m 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，72. 7．(2018·九江模拟)已知函数f (x )＝|x －3|－|x －a |. (1)当a ＝2时，解不等式f (x )≤－12；(2)若存在实数a ，使得不等式f (x )≥a 成立，求实数a 的取值范围． 解：(1)∵a ＝2，∴f (x )＝|x －3|－|x －2|＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x ≤2，5－2x ，2<x <3，－1，x ≥3，∴f (x )≤－12等价于⎩⎪⎨⎪⎧x ≤2，1≤－12或⎩⎪⎨⎪⎧ 2<x <3，5－2x ≤－12或⎩⎪⎨⎪⎧x ≥3，－1≤－12，解得114≤x ＜3或x ≥3，∴不等式的解集为⎣⎡⎭⎫114，＋∞.(2)由不等式性质可知f (x )＝|x －3|－|x －a |≤|(x －3)－(x －a )|＝|a －3|， ∴若存在实数x ，使得不等式f (x )≥a 成立，则|a －3|≥a ，解得a ≤32，∴实数a 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，32. 8．已知函数f (x )＝|2x ＋1|－|x |＋a ， (1)若a ＝－1，求不等式f (x )≥0的解集；(2)若方程f (x )＝2x 有三个不同的解，求a 的取值范围． 解：(1)当a ＝－1时，不等式f (x )≥0可化为 |2x ＋1|－|x |－1≥0， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ x <－12，－(2x ＋1)－(－x )－1≥0或⎩⎪⎨⎪⎧－12≤x <0，(2x ＋1)－(－x )－1≥0或⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，(2x ＋1)－x －1≥0，解得x ≤－2或x ≥0，∴不等式的解集为(－∞，－2]∪[0，＋∞)． (2)由f (x )＝2x ，得a ＝2x ＋|x |－|2x ＋1|， 令g (x )＝2x ＋|x |－|2x ＋1|，则g (x )＝⎩⎨⎧3x ＋1，x <－12，－x －1，－12≤x <0，x －1，x ≥0，作出函数y ＝g (x )的图象如图所示，易知A ⎝⎛⎭⎫－12，－12，B (0，－1)， 结合图象知：当－1<a <－12时，函数y ＝a 与y ＝g (x )的图象有三个不同交点，即方程f (x )＝2x 有三个不同的解，∴a 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－1，－12.第2课不等式证明[过双基]1．基本不等式定理1：如果a ，b ∈R ，那么a 2＋b 2≥2ab ，当且仅当a ＝b 时，等号成立． 定理2：如果a ，b ＞0，那么a ＋b2≥ab ，当且仅当a ＝b 时，等号成立，即两个正数的算术平均不小于(即大于或等于)它们的几何平均．定理3：如果a ，b ，c ∈R ＋，那么a ＋b ＋c 3≥3abc ，当且仅当a ＝b ＝c 时，等号成立． 2．比较法(1)比差法：依据是a －b ＞0⇔a ＞b ；步骤是“作差→变形→判断差的符号”．变形是手段，变形的目的是判断差的符号．(2)比商法：若B ＞0，欲证A ≥B ，只需证AB ≥1. 3．综合法与分析法(1)综合法：一般地，从已知条件出发，利用定义、公理、定理、性质等，经过一系列的推理、论证而得出命题成立．(2)分析法：从要证的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实(定义，公理或已证明的定理，性质等)，从而得出要证的命题成立．4．柯西不等式(1)设a ，b ，c ，d 都是实数，则(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)≥(ac ＋bd )2，当且仅当ad ＝bc 时等号成立．(2)若a i ，b i (i ∈N *)为实数，则⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫∑i ＝1n a 2i ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫∑i ＝1n b 2i ≥⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫∑i ＝1n a i b i 2，当且仅当b 1a 1＝b 2a 2＝…＝b na n (当a i ＝0时，约定b i ＝0，i ＝1,2，…，n )时等号成立．(3)柯西不等式的向量形式：设α，β为平面上的两个向量，则|α||β|≥|α·β|，当且仅当α，β共线时等号成立．[小题速通]1．若m ＝a ＋2b ，n ＝a ＋b 2＋1，则m 与n 的大小关系为________． 解析：∵n －m ＝a ＋b 2＋1－a －2b ＝b 2－2b ＋1＝(b －1)2≥0，∴n ≥m .答案：n ≥m2．若a ＞0，b ＞0，a ＋b ＝2，则下列不等式对一切满足条件的a ，b 恒成立的是________(填序号)．①ab ≤1；② a ＋b ≤2；③a 2＋b 2≥2； ④a 3＋b 3≥3；⑤1a ＋1b ≥2. 解析：令a ＝b ＝1，排除②④；由2＝a ＋b ≥2ab ⇒ab ≤1，命题①正确； a 2＋b 2＝(a ＋b )2－2ab ＝4－2ab ≥2，命题③正确； 1a ＋1b ＝a ＋b ab ＝2ab ≥2，命题⑤正确． 答案：①③⑤3．已知a ，b ，c 是正实数，且a ＋b ＋c ＝1，则1a ＋1b ＋1c 的最小值为________． 解析：把a ＋b ＋c ＝1代入1a ＋1b ＋1c 得a ＋b ＋c a ＋a ＋b ＋c b ＋a ＋b ＋c c＝3＋⎝⎛⎭⎫b a ＋a b ＋⎝⎛⎭⎫c a ＋a c ＋⎝⎛⎭⎫c b ＋b c ≥3＋2＋2＋2＝9，当且仅当a ＝b ＝c ＝13时，等号成立．答案：9[清易错]1．在使用作商比较法时易忽视说明分母的符号．2．在用综合法证明不等式时，不等式的性质和基本不等式是最常用的．在运用这些性质时，易忽视性质成立的前提条件．1．已知a >0，b >0，则a a b b ________(ab )a ＋b2(填大小关系)．解析：∵a a b b (ab )a ＋b 2＝⎝⎛⎭⎫a b a －b 2，∴当a ＝b 时，⎝⎛⎭⎫a b a －b2＝1，当a >b >0时，a b >1，a －b 2>0，∴⎝⎛⎭⎫a b a －b 2>1， 当b >a >0时，0<ab <1，a －b 2<0，则⎝⎛⎭⎫a b a －b 2>1，∴a a b b≥(ab )a ＋b2.答案：≥2．设x >y >z >0，求证：x －z ＋8(x －y )(y －z )≥6.证明：x －z ＋8(x －y )(y －z )＝(x －y )＋(y －z )＋8(x －y )(y －z )≥33(x －y )(y －z )8(x －y )(y －z )＝6.当且仅当x －y ＝y －z ＝8(x －y )(y －z )时取等号，所以x －z ＋8(x －y )(y －z )≥6.[典例] (2018·a ＋b )． [证明] (a 2＋b 2)－ab (a ＋b ) ＝(a 2－a ab )＋(b 2－b ab ) ＝a a (a －b )＋b b (b －a ) ＝(a －b )(a a －b b ) ＝(a 12－b 12)(a 32－b 32)．因为a ≥0，b ≥0，所以不论a ≥b ≥0，还是0≤a ≤b ，都有a 12－b 12与a 32－b 32同号，所以(a 12－b 12)(a 32－b 32)≥0， 所以a 2＋b 2≥ab (a ＋b )． [方法技巧]比较法证明不等式的方法和步骤(1)求差比较法：由a >b ⇔a －b >0，a <b ⇔a －b <0，因此要证明a >b 只要证明a －b >0即可，这种方法称为求差比较法．(2)求商比较法：由a >b >0⇔a b >1且a >0，b >0，因此当a >0，b >0时，要证明a >b ，只要证明ab >1即可，这种方法称为求商比较法．(3)用比较法证明不等式的一般步骤是：作差(商)—变形—判断—结论，而变形的方法一般有配方、通分和因式分解．[即时演练]求证：当x ∈R 时，1＋2x 4≥2x 3＋x 2. 证明：法一：(1＋2x 4)－(2x 3＋x 2) ＝2x 3(x －1)－(x ＋1)(x －1) ＝(x －1)(2x 3－x －1) ＝(x －1)(2x 3－2x ＋x －1) ＝(x －1)[2x (x 2－1)＋(x －1)] ＝(x －1)2(2x 2＋2x ＋1) ＝(x －1)2⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋122＋12≥0， 所以1＋2x 4≥2x 3＋x 2. 法二：(1＋2x 4)－(2x 3＋x 2) ＝x 4－2x 3＋x 2＋x 4－2x 2＋1 ＝(x －1)2·x 2＋(x 2－1)2≥0， 所以1＋2x 4≥2x 3＋x 2.综合法证明不等式[典例] 已知a ，(1)(ax ＋by )2≤ax 2＋by 2； (2)⎝⎛⎭⎫a ＋1a 2＋⎝⎛⎭⎫b ＋1b 2≥252.[证明] (1)(ax ＋by )2－(ax 2＋by 2)＝a (a －1)x 2＋b (b －1)y 2＋2abxy ， 因为a ＋b ＝1，所以a －1＝－b ，b －1＝－a ，又a ，b 均为正数， 所以a (a －1)x 2＋b (b －1)y 2＋2abxy ＝－ab (x 2＋y 2－2xy )＝－ab (x －y )2≤0，当且仅当x ＝y 时等号成立． 所以(ax ＋by )2≤ax 2＋by 2.(2)⎝⎛⎭⎫a ＋1a 2＋⎝⎛⎭⎫b ＋1b 2＝4＋a 2＋b 2＋⎝⎛⎭⎫1a 2＋1b 2 ＝4＋a 2＋b 2＋(a ＋b )2a 2＋(a ＋b )2b 2＝4＋a 2＋b 2＋1＋2b a ＋b 2a 2＋a 2b 2＋2a b ＋1＝4＋(a 2＋b 2)＋2＋⎝⎛⎭⎫2b a ＋2a b ＋⎝⎛⎭⎫b 2a 2＋a 2b 2≥6＋(a ＋b )22＋4＋2＝252， 当且仅当a ＝b ＝12时，等号成立，所以⎝⎛⎭⎫a ＋1a 2＋⎝⎛⎭⎫b ＋1b 2≥252. [方法技巧]1．综合法证明不等式的方法综合法证明不等式，要着力分析已知与求证之间，不等式的左右两端之间的差异与联系．合理进行转换，恰当选择已知不等式，这是证明的关键．2．综合法证明时常用的不等式 (1)a 2≥0. (2)|a |≥0.(3)a 2＋b 2≥2ab ，它的变形形式有：a 2＋b 2≥2|ab |；a 2＋b 2≥－2ab ；(a ＋b )2≥4ab ；a 2＋b 2≥12(a ＋b )2；a 2＋b 22≥⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22. (4)a ＋b 2≥ab ，它的变形形式有：a ＋1a ≥2(a >0)；ab ＋b a ≥2(ab >0)； a b ＋ba ≤－2(ab <0)． [即时演练]设a ，b ，c 均为正数，且a ＋b ＋c ＝1，求证： (1)ab ＋bc ＋ac ≤13；(2)a 2b ＋b 2c ＋c 2a ≥1.证明：(1)由a 2＋b 2≥2ab ，b 2＋c 2≥2bc ，c 2＋a 2≥2ca ， 得a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca . 由题设得(a ＋b ＋c )2＝1，即a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2bc ＋2ca ＝1， 所以3(ab ＋bc ＋ca )≤1， 即ab ＋bc ＋ca ≤13.(2)因为a 2b ＋b ≥2a ，b 2c ＋c ≥2b ，c 2a ＋a ≥2c ， 故a 2b ＋b 2c ＋c 2a ＋(a ＋b ＋c )≥2(a ＋b ＋c )， 即a 2b ＋b 2c ＋c 2a ≥a ＋b ＋c . 所以a 2b ＋b 2c ＋c 2a ≥1.分析法证明不等式[典例] 设a ，b 求证：(1)a ＋b ＋c ≥ 3. (2)a bc ＋b ac ＋cab ≥3(a ＋b ＋c )．[证明] (1)要证a ＋b ＋c ≥3， 由于a ，b ，c ＞0， 因此只需证明(a ＋b ＋c )2≥3.即证a 2＋b 2＋c 2＋2(ab ＋bc ＋ca )≥3，而ab ＋bc ＋ca ＝1，故需证明a 2＋b 2＋c 2＋2(ab ＋bc ＋ca )≥3(ab ＋bc ＋ca )． 即证a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca .而这可以由ab ＋bc ＋ca ≤a 2＋b 22＋b 2＋c 22＋c 2＋a 22＝a 2＋b 2＋c 2(当且仅当a ＝b ＝c 时等号成立)证得．所以原不等式成立． (2)abc＋ b ac＋ c ab ＝a ＋b ＋c abc. 在(1)中已证a ＋b ＋c ≥ 3. 因此要证原不等式成立， 只需证明1abc≥ a ＋b ＋c ， 即证a bc ＋b ac ＋c ab ≤1， 即证a bc ＋b ac ＋c ab ≤ab ＋bc ＋ca . 而a bc ＝ab ·ac ≤ab ＋ac2，b ac ≤ab ＋bc 2，c ab ≤bc ＋ac2.所以a bc ＋b ac ＋c ab ≤ab ＋bc ＋ca 当且仅当a ＝b ＝c ＝33时等号成立． 所以原不等式成立． [方法技巧]1．用分析法证“若A 则B ”这个命题的模式 为了证明命题B 为真，只需证明命题B 1为真，从而有… 只需证明命题B 2为真，从而有… ……只需证明命题A 为真，而已知A 为真，故B 必真． 2．分析法的应用当所证明的不等式不能使用比较法，且和重要不等式、基本不等式没有直接联系，较难发现条件和结论之间的关系时，可用分析法来寻找证明途径，使用分析法证明的关键是推理的每一步必须可逆．[即时演练]已知a >0，b >0,2c >a ＋b ，求证：c －c 2－ab <a <c ＋c 2－ab . 证明：要证c －c 2－ab <a <c ＋c 2－ab ，即证－c 2－ab <a －c <c 2－ab ，即证|a －c |<c 2－ab ，即证(a －c )2<c 2－ab ， 即证a 2－2ac <－ab .因为a >0，所以只要证a －2c <－b ， 即证a ＋b <2c .由已知条件知，上式显然成立，所以原不等式成立．1．(2017·全国卷Ⅱ)已知a >0，b >0，a 3＋b 3＝2.证明： (1)(a ＋b )(a 5＋b 5)≥4； (2)a ＋b ≤2.证明：(1)(a ＋b )(a 5＋b 5)＝a 6＋ab 5＋a 5b ＋b 6 ＝(a 3＋b 3)2－2a 3b 3＋ab (a 4＋b 4) ＝4＋ab (a 2－b 2)2≥4.(2)因为(a ＋b )3＝a 3＋3a 2b ＋3ab 2＋b 3 ＝2＋3ab (a ＋b )≤2＋3(a ＋b )24(a ＋b )＝2＋3(a ＋b )34，所以(a ＋b )3≤8，因此a ＋b ≤2.2．(2016·全国卷Ⅱ)已知函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪x －12＋⎪⎪⎪⎪x ＋12，M 为不等式f (x )<2的解集．(1)求M ；(2)证明：当a ，b ∈M 时，|a ＋b |<|1＋ab |.解：(1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ，x ≤－12，1，－12<x <12，2x ，x ≥12.当x ≤－12时，由f (x )<2得－2x <2，解得x >－1；当－12<x <12时，f (x )<2恒成立；当x ≥12时，由f (x )<2得2x <2，解得x <1.所以f (x )<2的解集M ＝{x |－1<x <1}．(2)证明：由(1)知，当a ，b ∈M 时，－1<a <1，－1<b <1， 从而(a ＋b )2－(1＋ab )2＝a 2＋b 2－a 2b 2－1 ＝(a 2－1)(1－b 2)<0. 因此|a ＋b |<|1＋ab |.3．(2015·全国卷Ⅱ)设a ，b ，c ，d 均为正数，且a ＋b ＝c ＋d ，证明： (1)若ab >cd ，则a ＋b >c ＋d ；(2)a ＋b >c ＋d 是|a －b |<|c －d |的充要条件． 证明：(1)因为(a ＋b )2＝a ＋b ＋2ab ， (c ＋d )2＝c ＋d ＋2cd ， 由题设a ＋b ＝c ＋d ，ab >cd ， 得(a ＋b )2>(c ＋d )2. 因此a ＋b >c ＋d . (2)①必要性：若|a －b |<|c －d |， 则(a －b )2<(c －d )2，即(a ＋b )2－4ab <(c ＋d )2－4cd . 因为a ＋b ＝c ＋d ，所以ab >cd . 由(1)，得a ＋b >c ＋d .②充分性：若a ＋b >c ＋d ， 则(a ＋b )2>(c ＋d )2， 即a ＋b ＋2ab >c ＋d ＋2cd . 因为a ＋b ＝c ＋d ，所以ab >cd .于是(a －b )2＝(a ＋b )2－4ab <(c ＋d )2－4cd ＝(c －d )2. 因此|a －b |<|c －d |.综上，a ＋b >c ＋d 是|a －b |＜|c －d |的充要条件． 4．(2014·全国卷Ⅰ)若a >0，b >0，且1a ＋1b ＝ab .(1)求a 3＋b 3的最小值；(2)是否存在a ，b ，使得2a ＋3b ＝6？并说明理由． 解：(1)由ab ＝1a ＋1b ≥2ab，得ab ≥2，且当a ＝b ＝2时等号成立．故a 3＋b 3≥2a 3b 3≥42，且当a ＝b ＝2时等号成立． 所以a 3＋b 3的最小值为4 2. (2)由(1)知，2a ＋3b ≥26ab ≥4 3. 由于43>6，从而不存在a ，b ， 使得2a ＋3b ＝6.1．已知a ，b 都是正实数，且a ＋b ＝2，求证：a 2a ＋1＋b 2b ＋1≥1.证明：∵a ＞0，b ＞0，a ＋b ＝2，∴a 2a ＋1＋b 2b ＋1－1＝a 2(b ＋1)＋b 2(a ＋1)－(a ＋1)(b ＋1)(a ＋1)(b ＋1) ＝a 2b ＋a 2＋b 2a ＋b 2－ab －a －b －1(a ＋1)(b ＋1)＝a 2＋b 2＋ab (a ＋b )－ab －(a ＋b )－1(a ＋1)(b ＋1)＝a 2＋b 2＋2ab －ab －3(a ＋1)(b ＋1)＝(a ＋b )2－3－ab (a ＋1)(b ＋1)＝1－ab (a ＋1)(b ＋1).∵a ＋b ＝2≥2ab ，∴ab ≤1. ∴1－ab (a ＋1)(b ＋1)≥0. ∴a 2a ＋1＋b 2b ＋1≥1. 2．已知定义在R 上的函数f (x )＝|x ＋1|＋|x －2|的最小值为a . (1)求a 的值；(2)若p ，q ，r 是正实数，且满足p ＋q ＋r ＝a ，求证：p 2＋q 2＋r 2≥3. 解：(1)因为|x ＋1|＋|x －2|≥|(x ＋1)－(x －2)|＝3， 当且仅当－1≤x ≤2时，等号成立， 所以f (x )的最小值等于3，即a ＝3. (2)证明：由(1)知p ＋q ＋r ＝3， 又因为p ，q ，r 是正实数，所以(p 2＋q 2＋r 2)(12＋12＋12)≥(p ×1＋q ×1＋r ×1)2＝(p ＋q ＋r )2＝9，即p 2＋q 2＋r 2≥3. 3．(2018·云南统一检测)已知a 是常数，对任意实数x ，不等式|x ＋1|－|2－x |≤a ≤|x ＋1|＋|2－x |都成立．(1)求a 的值；(2)设m ＞n ＞0，求证：2m ＋1m 2－2mn ＋n 2≥2n ＋a .解：(1)设f (x )＝|x ＋1|－|2－x |， 则f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－3，x ≤－1，2x －1，－1＜x ＜2，3，x ≥2，∴f (x )的最大值为3.∵对任意实数x ，|x ＋1|－|2－x |≤a 都成立，即f (x )≤a ， ∴a ≥3.设h (x )＝|x ＋1|＋|2－x |，则h (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋1，x ≤－1，3，－1＜x ＜2，2x －1，x ≥2，则h (x )的最小值为3.∵对任意实数x ，|x ＋1|＋|2－x |≥a 都成立，即h (x )≥a ， ∴a ≤3. ∴a ＝3.(2)证明：由(1)知a ＝3. ∵2m ＋1m 2－2mn ＋n 2－2n ＝(m －n )＋(m －n )＋1(m －n )2，且m ＞n ＞0，∴(m －n )＋(m －n )＋1(m －n )2≥33(m －n )(m －n )1(m －n )2＝3.∴2m ＋1m 2－2mn ＋n 2≥2n ＋a .4．已知x ，y ，z 是正实数，且满足x ＋2y ＋3z ＝1. (1)求1x ＋1y ＋1z 的最小值；(2)求证：x 2＋y 2＋z 2≥114. 解：(1)∵x ，y ，z 是正实数，且满足x ＋2y ＋3z ＝1， ∴1x ＋1y ＋1z ＝⎝⎛⎭⎫1x ＋1y ＋1z (x ＋2y ＋3z )＝6＋2y x ＋3z x ＋x y ＋3z y ＋x z ＋2yz ≥6＋22＋23＋26， 当且仅当2y x ＝x y 且3z x ＝x z 且3z y ＝2yz 时取等号． (2)由柯西不等式可得1＝(x ＋2y ＋3z )2≤(x 2＋y 2＋z 2)(12＋22＋32) ＝14(x 2＋y 2＋z 2)，∴x 2＋y 2＋z 2≥114， 当且仅当x ＝y 2＝z 3，即x ＝114，y ＝17，z ＝314时取等号．故x 2＋y 2＋z 2≥114.5．(2018·石家庄模拟)已知函数f (x )＝|x |＋|x －1|. (1)若f (x )≥|m －1|恒成立，求实数m 的最大值M ；(2)在(1)成立的条件下，正实数a ，b 满足a 2＋b 2＝M ，证明：a ＋b ≥2ab . 解：(1)由绝对值不等式的性质知 f (x )＝|x |＋|x －1|≥|x －x ＋1|＝1， ∴f (x )min ＝1， ∴只需|m －1|≤1， 即－1≤m －1≤1， ∴0≤m ≤2，∴实数m 的最大值M ＝2.(2)证明：∵a 2＋b 2≥2ab ，且a 2＋b 2＝2， ∴ab ≤1，∴ab ≤1，当且仅当a ＝b 时取等号．① 又ab ≤a ＋b 2，∴ab a ＋b ≤12，∴ab a ＋b ≤ab2，当且仅当a ＝b 时取等号．②由①②得，ab a ＋b ≤12，∴a ＋b ≥2ab . 6．(2018·吉林实验中学模拟)设函数f (x )＝|x －a |. (1)当a ＝2时，解不等式f (x )≥4－|x －1|；(2)若f (x )≤1的解集为[0,2]，1m ＋12n ＝a (m >0，n >0)，求证：m ＋2n ≥4.解：(1)当a ＝2时，不等式为|x －2|＋|x －1|≥4.①当x ≥2时，不等式可化为x －2＋x －1≥4，解得x ≥72；②当1＜x ＜2时，不等式可化为2－x ＋x －1≥4， 不等式的解集为∅；③当x ≤1时，不等式可化为2－x ＋1－x ≥4，解得x ≤－12.综上可得，不等式的解集为⎝⎛⎦⎤－∞，－12∪⎣⎡⎭⎫72，＋∞. (2)证明：∵f (x )≤1，即|x －a |≤1，解得a －1≤x ≤a ＋1，而f (x )≤1的解集是[0,2]，∴⎩⎪⎨⎪⎧a －1＝0，a ＋1＝2，解得a ＝1， 所以1m ＋12n ＝1(m >0，n >0)，所以m ＋2n ＝(m ＋2n )⎝⎛⎭⎫1m ＋12n ＝2＋m 2n ＋2nm≥2＋2m 2n ·2nm＝4， 当且仅当m ＝2，n ＝1时取等号． 7．已知a ，b ，c ，d 均为正数，且ad ＝bc . (1)证明：若a ＋d >b ＋c ，则|a －d |>|b －c |；(2)若t ·a 2＋b 2·c 2＋d 2＝a 4＋c 4＋b 4＋d 4，求实数t 的取值范围． 解：(1)证明：由a ＋d >b ＋c ，且a ，b ，c ，d 均为正数， 得(a ＋d )2>(b ＋c )2，又ad ＝bc ， 所以(a －d )2>(b －c )2，即|a －d |>|b －c |.(2)因为(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)＝a 2c 2＋a 2d 2＋b 2c 2＋b 2d 2＝a 2c 2＋2abcd ＋b 2d 2＝(ac ＋bd )2， 所以t ·a 2＋b 2·c 2＋d 2＝t (ac ＋bd )． 由于a 4＋c 4≥ 2ac,b 4＋d 4≥ 2bd ，又已知t ·a 2＋b 2·c 2＋d 2＝a 4＋c 4＋b 4＋d 4，则t (ac ＋bd )≥ 2(ac ＋bd )，故t ≥ 2，当且仅当a ＝c ，b ＝d 时取等号． 所以实数t 的取值范围为[2，＋∞)． 8．已知函数f (x )＝|x －1|.(1)解不等式f (2x )＋f (x ＋4)≥8； (2)若|a |<1，|b |<1，a ≠0，求证：f (ab )|a |>f ⎝⎛⎭⎫b a . 解：(1)f (2x )＋f (x ＋4)＝|2x －1|＋|x ＋3|＝⎩⎨⎧－3x －2，x <－3，－x ＋4，－3≤x <12，3x ＋2，x ≥12，当x <－3时，由－3x －2≥8，解得x ≤－103；当－3≤x <12时，－x ＋4≥8无解；当x ≥12时，由3x ＋2≥8，解得x ≥2.所以不等式f (2x )＋f (x ＋4)≥8的解集为⎝⎛⎦⎤－∞，－103∪[2，＋∞)． (2)证明：f (ab )|a |>f ⎝⎛⎭⎫b a 等价于f (ab )>|a |f ⎝⎛⎭⎫b a ， 即|ab －1|>|a －b |. 因为|a |<1，|b |<1，所以|ab －1|2－|a －b |2＝(a 2b 2－2ab ＋1)－(a 2－2ab ＋b 2)＝(a 2－1)(b 2－1)>0， 所以|ab －1|>|a －b |. 故所证不等式成立.阶段滚动检测(六)全程仿真验收(时间120分钟 满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．若集合A ＝{1,2,3}，B ＝{(x ，y )|x ＋y －4＞0，x ，y ∈A }，则集合B 中的元素个数为( ) A ．9 B ．6 C ．4D ．3解析：选D 集合A ＝{1,2,3}，B ＝{(x ，y )|x ＋y －4＞0，x ，y ∈A }＝{(2,3)，(3,2)，(3,3)}，则集合B 中的元素个数为3.2．若复数2a ＋2i1＋i (a ∈R)是纯虚数，则复数2a ＋2i 在复平面内对应的点在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析：选B2a ＋2i 1＋i ＝(2a ＋2i )(1－i )(1＋i )(1－i )＝2a ＋2＋(2－2a )i2，由题意可知2a ＋2＝0且2－2a ≠0，所以a ＝－1，则复数2a ＋2i 在复平面内对应的点(－2,2)在第二象限．3．已知命题p ：∃x 0∈(－∞，0)，2x 0＜3x 0；命题q ：∀x ∈0，π2，cos x ＜1，则下列命题为真命题的是( )A ．p ∧qB ．p ∨(綈q )C ．(綈p )∧qD ．p ∧(綈q )解析：选C 因为x ∈(－∞，0)时，2x 3x ＝⎝⎛⎭⎫23x＞1，所以2x ＞3x ，故命题p 是假命题；命题q ：∀x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，cos x ＜1，是真命题，则綈p 是真命题，綈q 是假命题，故(綈p )∧q 是真命题．4.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A ．1＋2πB ．1＋4π3C ．1＋π2D ．1＋π6解析：选D 由三视图可知，该几何体是一个组合体，上面是一个半径为12的球，下面是一个棱长为1的正方体，所以该几何体的体积V ＝4π3·⎝⎛⎭⎫123＋1＝1＋π6.5．函数y ＝x 22x －2－x的图象可能是( )解析：选C 因为f (－x )＝x 22－x －2x ＝－f (x )，即函数y ＝x 22x －2－x是奇函数，故排除B 、D ；当x >0，且x →＋∞时，y →0，故排除A ，因此选C.6．执行如图所示的程序框图，如果输入的m ，n 分别为1 848,936，则输出的m 的值为( )A ．168B ．72C ．36D ．24解析：选D 根据题意，运行程序：m ＝1 848，n ＝936；r ＝912，m ＝936，n ＝912；r ＝24，m ＝912，n ＝24；r ＝0，m ＝24，n ＝0，此时满足条件，循环结束，输出m ＝24，故选D.7.如图，Rt △ABC 中，AB ＝AC ，BC ＝4，O 为BC 的中点，以O 为圆心，1为半径的半圆与BC 交于点D ，P 为半圆上任意一点，则BP ―→·AD ―→的最小值为( )A ．2＋ 5 B. 5 C ．2D ．2－ 5解析：选D 建立如图所示的平面直角坐标系，则B (－2,0)，A (0,2)，D (1,0)，设P (x ，y )，故BP ―→＝(x ＋2，y )，AD ―→＝(1，－2)，所以BP ―→·AD ―→＝x －2y ＋2.令x －2y ＋2＝t ，根据直线的几何意义可知，当直线x －2y ＋2＝t 与半圆相切时，t 取得最小值，由点到直线的距离公式可得|2－t |5＝1，t ＝2－5，即BP ―→·AD ―→的最小值是2－ 5.8．将函数f (x )＝cos ωx (ω＞0)的图象向右平移π3个单位，若所得图象与原图象重合，则f ⎝⎛⎭⎫π24不可能等于( )A ．0B ．1 C.22D.32解析：选D 将函数f (x )＝cos ωx (ω＞0)的图象向右平移π3个单位，得函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫ωx －ωπ3，由题意可得ωπ3＝2k π，k ∈Z ，因为ω＞0，所以ω＝6k ＞0，k ∈Z ，则f ⎝⎛⎭⎫π24＝cos ωπ24＝cos k π4，k ∈Z ，显然，f ⎝⎛⎭⎫π24不可能等于32，故选D. 9．(2017·郑州二模)已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y ≥x ＋2，x ＋y ≤6，x ≥1，则z ＝2|x －2|＋|y |的最小值是( )A ．6B ．5C ．4D ．3解析：选C作出不等式组⎩⎨⎧y ≥x ＋2，x ＋y ≤6，x ≥1表示的可行域如图中阴影部分所示，其中A (2,4)，B (1,5)，C (1，3)，∴x ∈[1,2]，y ∈[3,5]．∴z ＝2|x －2|＋|y |＝－2x ＋y ＋4，当直线y ＝2x －4＋z 过点A (2,4)时，直线在y 轴上的截距最小，此时z 有最小值，∴z min ＝－2×2＋4＋4＝4，故选C.10．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，A ＝π4，b 2－a 2＝12c 2，则tanC ＝( )A ．2B ．－2 C.12D ．－12解析：选A 因为b 2－a 2＝12c 2且b 2＋c 2－a 2＝2bc cos A ＝2bc ，所以b ＝3c 22，a ＝5c 22，由余弦定理可得cos C ＝58c 2＋98c 2－c 22×5c 22×3c 22＝15，则角C 是锐角，sin C ＝25，则tan C ＝sin C cos C ＝2.11．已知点P 在双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的右支上，F 1，F 2分别为双曲线的左、右焦点，若|PF 1―→ |2－|PF 2―→|2＝12a 2，则该双曲线的离心率的取值范围是( )A ．[3，＋∞)B ．(2,4]C ．(2,3]D ．(1,3]解析：选D 根据题意，因为|PF 1―→|2－|PF 2―→|2＝12a 2，且|PF 1|－|PF 2|＝2a ，所以|PF 1|＋|PF 2|＝6a ≥|F 1F 2|＝2c ，所以e ≤3.又因为e >1，所以该双曲线的离心率的取值范围是(1,3]．12．已知f ′(x )为函数f (x )的导函数，且f (x )＝12x 2－f (0)x ＋f ′(1)e x －1，若g (x )＝f (x )－12x 2＋x ，则方程g ⎝⎛⎭⎫x2a －x －x ＝0有且仅有一个根时，实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，0)∪{1} B ．(－∞，1] C ．(0,1]D ．[1，＋∞)解析：选A 由函数的解析式可得f (0)＝f ′(1)e －1，f ′(x )＝x －f (0)＋f ′(1)e x －1，f ′(1)＝1－f (0)＋f ′(1)，所以f ′(1)＝e ，f (0)＝1，所以f (x )＝12x 2－x ＋e x ，g (x )＝f (x )－12x 2＋x ＝e x ，则e x 2a －x －x ＝0有且仅有一个根，即x 2a ＝x ＋ln x 有且仅有一个根，分别作出y ＝x 2a 和y＝x ＋ln x 的图象，由图象知a <0或a ＝1.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中的横线上) 13．(m ＋x )(1＋x )3的展开式中x 的奇数次幂项的系数之和为16，则⎠⎛-11x m d x ＝________.解析：(m ＋x)(1＋x)3＝(m ＋x)(C 03x 3＋C 13x 2＋C 23x ＋C 33)，所以x 的奇数次幂项的系数之和为m C 03＋m C 23＋C 13＋C 33＝16，解得m ＝3，所以⎠⎛-11x md x ＝⎠⎛-11x 3d x ＝14x 4⎪⎪⎪1-1＝0.答案：014．在△ABC 中，AB ⊥AC ，AB ＝1t，AC ＝t ，P 是△ABC 所在平面内一点，若AP ―→＝4AB―→|AB ―→|＋AC ―→|AC ―→|，则△PBC 面积的最小值为________． 解析：由于AB ⊥AC ，故以AB ，AC 所在直线分别为x 轴，y 轴，建立平面直角坐标系(图略)，则B ⎝⎛⎭⎫1t ，0，C(0，t)，因为AP ―→＝4AB ―→|AB ―→|＋AC ―→|AC ―→|，所以点P 坐标为(4,1)，直线BC 的方程为t 2x ＋y －t ＝0，所以点P 到直线BC 的距离为d ＝|4t 2＋1－t|t 4＋1，BC ＝t 4＋1t，所以△PBC 的面积为12×|4t 2＋1－t|t 4＋1×t 4＋1t ＝12⎪⎪⎪⎪4t ＋1t －1≥32，当且仅当t ＝12时取等号． 答案：3215．若m ∈(0,3)，则直线(m ＋2)x ＋(3－m)y －3＝0与x 轴、y 轴围成的三角形的面积小于98的概率为________． 解析：令x ＝0，得y ＝33－m ；令y ＝0，得x ＝3m ＋2.所以12·|x|·|y|＝12·⎪⎪⎪⎪⎪⎪3m ＋2·⎪⎪⎪⎪⎪⎪33－m ＜98，因为m ∈(0,3)，所以解得0<m<2，由几何概型概率公式可得，所求事件的概率为23.答案：2316．已知M(x 0，y 0)是椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)上一点，A ，B 是其左、右顶点，若AM―→2AM ―→·BM ―→＝x 20－a 2，则离心率e ＝________.解析：由题意知A(－a,0)，B(a,0)，∴AM ―→＝(x 0＋a ，y 0)，BM ―→＝(x 0－a ，y 0)，∵2AM ―→·BM―→＝x 20－a 2，∴2(x 20－a 2＋y 20)＝x 20－a 2，∴x 20＝a 2－2y 20. 又x 20a 2＋y 20b 2＝1，∴a 2－2y 20a 2＋y 20b2＝1， ∴－2a 2＋1b2＝0，∴a 2＝2b 2，∴c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝1－b 2a 2＝1－12＝12，∴e ＝22. 答案：22三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分12分)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝2，且满足a n ＋1＝S n ＋2n ＋1(n∈N *)．(1)证明数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n 2n 为等差数列；(2)求S 1＋S 2＋…＋S n .解：(1)证明：由条件可知，S n ＋1－S n ＝S n ＋2n ＋1， 即S n ＋1－2S n ＝2n ＋1，整理得S n ＋12n ＋1－S n2n ＝1，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n 2n 是以1为首项，1为公差的等差数列．(2)由(1)可知，S n2n ＝1＋n －1＝n ，即S n ＝n ·2n ，令T n ＝S 1＋S 2＋…＋S n ，则T n ＝1×2＋2×22＋…＋n ×2n ①2T n ＝1×22＋2×23＋…＋n ×2n ＋1，②①－②，得－T n ＝2＋22＋…＋2n －n ·2n ＋1＝2(1－2n)1－2－n ·2n ＋1＝(1－n )·2n ＋1－2，所以T n ＝2＋(n －1)·2n ＋1.18．(本小题满分12分)如图所示的是某母婴用品专卖店根据以往销售奶粉的销售记录绘制的日销售量的频率分布直方图．将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立．(1)估计日销售量的平均值；(2)求未来连续三天里，有两天日销售量不低于100袋且另一天销售量低于50袋的概率； (3)记X 为未来三天里日销售量不低于150袋的天数，求X 的分布列和均值(数学期望)． 解：(1)估计日销售量的平均值为25×0.003×50＋75×0.005×50＋125×0.006×50＋175×0.004×50＋225×0.002×50＝117.5.(2)不低于100袋的概率为0.6，低于50袋的概率为0.15，设事件A 表示有两天日销售量不低于100袋且另一天销售量低于50袋，则P (A )＝C 23(0.6)2×0.15＝0.162.(3)不低于150袋的概率为0.3，由题意知，X ～B (3,0.3)，P (X ＝0)＝C 03(0.7)3＝0.343， P (X ＝1)＝C 13(0.7)2×0.3＝0.441， P (X ＝2)＝C 23×0.7×0.32＝0.189， P (X ＝3)＝C 33×0.33＝0.027.所以X 的分布列为则X 的均值为E (X 19．(本小题满分12分)如图①，等腰直角三角形ABC 的底边AB ＝4，点D 在线段AC。