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高中数学基本不等式的巧用一．基本不等式1.（1）若R b a ∈,，则ab b a 222≥+ (2)若R b a ∈,，则222b a ab +≤（当且仅当b a =时取“=”）2. (1)若*,R b a ∈，则ab b a ≥+2(2)若*,R b a ∈，则ab b a 2≥+（当且仅当b a =时取“=”） (3)若*,R b a ∈，则22⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0x >，则12x x +≥ (当且仅当1x =时取“=”）;若0x <，则12x x+≤- (当且仅当1x =-时取“=”） 若0x ≠，则11122-2x x x x x x +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0>ab ，则2≥+a b b a (当且仅当b a =时取“=”） 若0ab ≠，则22-2a b a b a bb a b a b a+≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 4.若R b a ∈,，则2)2(222b a b a +≤+（当且仅当b a =时取“=”） 注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”． （2）求最值的条件“一正，二定，三取等” (3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用． 应用一：求最值例1：求下列函数的值域 （1）y ＝3x 2＋12x 2 （2）y ＝x ＋1x解：（1）y ＝3x 2＋12x2 ≥23x 2·12x2 ＝ 6 ∴值域为[ 6 ，+∞）（2）当x ＞0时，y ＝x ＋1x≥2x ·1x＝2； 当x ＜0时， y ＝x ＋1x = －（－ x －1x ）≤－2x ·1x=－2∴值域为（－∞，－2]∪[2，+∞）解题技巧： 技巧一：凑项 例1：已知54x <，求函数14245y x x =-+-的最大值。
高考不等式知识点总结高考数学中不等式是一个非常重要的知识点，占据着较大的比重。
下面是对高考数学中不等式知识点的完整总结：一、基本概念和性质1.不等关系：对于实数a和b，如果a=b，则称a等于b；如果a≠b，则称a不等于b。
当a不等于b时，可以断定a大于b（记作a>b），或者a小于b（记作a<b）。
2.不等式：不等式是由不等关系得到的等式，包括大于等于不等式（a≥b）和小于等于不等式（a≤b）。
3.基本性质：(1)若a>b且b>c，则a>c；(2) 若a>b且c>0，则ac>bc；(3) 若a>b且c<0，则ac<bc；(4)若a>b且c≥0，则a+c>b+c；(5)若a>b且c≤0，则a+c>b+c。
4.解不等式：与解方程类似，解不等式是指寻找满足不等式的解的过程。
5.不等式的性质：对于不等式两边同时加减一个相同的数，不等号方向不变；对于不等式两边同时乘除一个同号的数，不等号方向不变；对于不等式两边同时乘除一个异号的数，不等号方向改变。
二、一元一次不等式1.解一元一次不等式：求解一元一次不等式的关键是确定x的取值范围。
在解过程中，可以通过加减法、乘除法保持不等式不变。
2.不等式组：由多个不等式组成的方程组，称为不等式组。
求解不等式组的关键是确定每个不等式的集合和并集。
三、一元二次不等式1.解一元二次不等式：求解一元二次不等式的关键是确定不等式的根及开口方向。
可以根据系数的正负、零点的位置和变号法等来确定解的范围。
2.二次函数与一元二次不等式：通过对一元二次不等式的解法，可以进一步理解和应用二次函数的性质。
四、绝对值不等式1.绝对值不等式的性质：对于绝对值不等式，可以利用绝对值的性质将其拆分为多个实数的不等式。
2.解绝对值不等式的关键是分情况讨论。
将绝对值不等式中的绝对值拆分出来，分别讨论绝对值内外的情况，从而得到解的范围。
《基本不等式》知识清单一、基本不等式的形式基本不等式是高中数学中的一个重要知识点，它有两种常见形式：1、对于任意两个正实数 a 和 b，有\（a ＋ b ＼geq 2\sqrt{ab}＼），当且仅当\（a ＝ b\）时，等号成立。
2、如果\（a\gt 0\），＼（b\gt 0\），则\（＼sqrt{ab} ＼leq ＼frac{a ＋ b}｛2}＼），当且仅当\（a ＝ b\）时，等号成立。
这两个形式本质上是等价的，它们都反映了两个正数的算术平均数不小于几何平均数的重要关系。
二、基本不等式的证明我们先来证明第一个形式\（a ＋ b ＼geq 2\sqrt{ab}＼）。
因为\（（＼sqrt{a} ＼sqrt{b}）＾2 ＼geq 0\），展开得到：＼＼begin{align}a 2\sqrt{ab} ＋b ＆＼geq 0\＼a ＋b ＆＼geq 2\sqrt{ab}＼end{align}＼当且仅当\（＼sqrt{a} ＼sqrt{b} ＝ 0\），即\（a ＝ b\）时，等号成立。
对于第二个形式\（＼sqrt{ab} ＼leq ＼frac{a ＋ b}｛2}＼），证明如下：因为\（（a b)＾2 ＼geq 0\），所以\（a^2 2ab ＋ b^2 ＼geq 0\），移项得到\（a^2 ＋ 2ab ＋ b^2 ＼geq 4ab\），即\（（a ＋ b)＾2 ＼geq 4ab\）。
因为\（a\gt 0\），＼（b\gt 0\），所以\（a ＋ b ＼gt 0\），两边同时除以 4 得到：＼＼begin{align}＼frac{（a ＋ b)＾2}｛4} ＆＼geq ab\＼＼frac{a ＋ b}｛2} ＆＼geq ＼sqrt{ab}＼end{align}＼当且仅当\（a ＝ b\）时，等号成立。
三、基本不等式的应用1、求最值基本不等式在求最值问题中有着广泛的应用。
例如，求函数\（y ＝ x ＋＼frac{1}｛x}＼）（＼（x\gt 0\））的最小值。
高三文科不等式知识点高三阶段是学生备战高考的重要时期，而在文科领域的数学部分，不等式是一个重要而又常考的知识点。
掌握好不等式的基本概念和解题方法，对于学生来说，是非常关键的。
本文将带领读者深入了解高三文科不等式知识点。
一、基本概念不等式是数学中表示大小关系的一种符号。
在高三文科中，我们常见的不等式符号有大于（>）、小于（<）、大于等于（≥）、小于等于（≤）等。
我们可以通过比较两个数的大小关系，用这些符号来表达出来。
二、一元一次不等式一元一次不等式是一元一次方程的升级版，也是最常见的一种不等式类型。
解一元一次不等式的方法与解一元一次方程类似，但是要注意到不等号的方向。
举个例子：解不等式2x-3<5。
首先，我们将式子化简得到2x<8。
接下来，我们将不等号的两边同时除以2，得到x<4。
三、一元二次不等式一元二次不等式是一元二次方程的升级版。
解一元二次不等式的方法相对复杂一些，需要借助平方根等知识。
举个例子：解不等式x²-5x>6。
首先，我们将式子移项得到x²-5x-6>0。
然后，我们对此不等式进行因式分解，得到(x-6)(x+1)>0。
接下来，我们要确定方程的解集。
根据乘积大于零的性质，解集为x<-1或x>6。
四、绝对值不等式绝对值不等式是一种特殊的不等式形式，解绝对值不等式的方法与一般的不等式有所不同。
在解绝对值不等式时，我们需要拆分为原问题的两个不等式，然后分别解决。
举个例子：解不等式|3x-4|≥7。
首先，我们将这个不等式拆分为两个不等式：3x-4≥7或3x-4≤-7。
然后，我们对这两个不等式分别进行解答，得到x≥11/3或x≤-1/3。
五、二元一次不等式二元一次不等式是涉及到两个变量的一次方程的不等式形式。
在解二元一次不等式时，我们需要通过图像法或代数法来确定解集。
举个例子：解不等式y<x+2，y<2x+3。
基本不等式1.基本不等式：2b a ab +≤.（一正、二定、三相等） （1）基本不等式成立的条件：0,0≥≥b a .（2）等号成立的条件：当且仅当b a =时取等号. 2.算术平均数与几何平均数设,0,0>>b a 则b a ,的算术平均数为,2b a +几何平均数为,ab 基本不等式可叙述为两个正数的算术平均数大于或等于它的几何平均数.3.几个重要的不等式（1）),(222R b a ab b a ∈≥+；（2）)0,0(2≥≥≥+b a ab b a ；（3）),(4)(2R b a b a ab ∈+≤；（4）222)()(2b a b a +≥+（R b a ∈,） 4.利用基本不等式求最值问题已知,0,0>>y x 则（1）如果积xy 是定值,p 那么当且仅当y x =时，y x +有最小值是.2p （2）如果和y x +是定值,s 那么当且仅当y x =时，xy 有最大值是.4s 2注：在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正（各项均为正），二定（积或和为定值），三相等（等号能否取得）”，若忽略了某个条件，就会出现错误.解答题用基本不等式求最值一定要说明何时取等号，不说明会扣分。
如果多次用基本不等式求最值，必须保持每次取“=”的一致性.5.注意：正负要判断，等号要考虑例（1）已知,45<x 函数54124-+-=x x y 的最大值为_________答案：1. （2）函数4522++=x x y 的最小值是_________答案：.25 6.“1”的代换问题：例（3）设,32,0,0=+>>b a b a 则11a b+最小值是 答案：3223+. （4）已知P 是ABC ∆的边BC 上的任一点，且满足,,,R y x AC y AB x AP ∈+=则xy y x +4的最小值是 .答案：9.7.“y x +”与“xy ”的互相转化例（5）若正实数y x ,满足,62++=y x xy 则xy 的最小值是_________答案：18.（6）设y x ,为实数，若,1422=++xy y x 则y x +2的最大值是_________答案：.5102 8.巧妙运用换元法 例（7）设y x ,是正实数，且,1=+y x 则1222+++y y x x 的最小值是_________答案：41. （8）若,0,0>>b a 且,11121=+++b b a 则b a 2+的最小值为________答案：.321+ 9.灵活使用消元法例（9）已知正实数y x ,满足,42=++y x xy 则y x +的最小值为_____答案：62.3-（10）若ABC ∆的内角满足,sin 2sin 2sin C B A =+则C cos 的最小值是_____答案：.426-。
考点03不等关系【命题解读】不等式是每年高考都要考察的内容，数学就是研究各种变量间的关系的，因此可以说就是研究相等与不等的，不等式的考察主要有不等式的性质、解法和证明应用等，常常与函数、数列、导数等相结合。
在解答题中是必考的，在集合和函数的定义域、单调性、极值、最值等方面都有，因此应用比较广泛。
【命题预测】预计2021年的高考不等式的考察还是必须的，对于题目的难易度来说，易、中、难都有，主要是以数学运算和逻辑推理为主。
【复习建议】 集合复习策略：1.理解不等关系以及不等式的性质，高考对不等式的考察还是比较稳定的；2.掌握不等式的应用，高考主要是考察不等式的各种应用；3.掌握与不等式考察有关的知识点。
考向一 比较大小1．两个实数比较大小的方法 (1)作差法{a -b >0⇔a >b ，a -b =0⇔a =b ，a -b <0⇔a <b .(2)作商法{ab >1(a ∈R ，b >0)⇔a >b (a ∈R ，b >0)，ab =1⇔a =b (a ，b ≠0)，a b<1(a ∈R ，b >0)⇔a <b (a ∈R ，b >0).1. 已知2t a b =+，21s a b =++，则t 和s 的大小关系为A ．t s >B ．t s ≥C ．t s <D ．t s ≤【答案】D【解析】s ﹣t =a +b 2+1﹣a ﹣2b =b 2﹣2b +1=（b ﹣1）2≥0，故有 s ≥t ， 故选D ．2. 【2020陕西省期末】若P =Q =()0a ≥，则,P Q 的大小关系是（ ） A ．P Q < B ．P Q =C ．P Q >D ．,P Q 的大小由a 的取值确定 【答案】A【解析】因为220P Q -==<，,P Q >0，所以P Q <，故选A.考向二 不等式性质1.对称性:a>b ⇔b<a (双向性)2.传递性:a>b ，b>c ⇒a>c (单向性)3.可加性:a>b ⇔a+c>b+c (双向性)； a>b ，c>d ⇒a+c>b+d (单向性)4.可乘性:a>b ，c>0⇒ac >bc ； a>b ，c<0⇒ac <bc ；a>b>0，c>d>0⇒ac >bd (单向性)5.乘方法则:a>b>0⇒a n >b n (n ∈N ，n ≥1)(单向性)6.开方法则:a>b>0⇒√a n>√b n(n ∈N ，n ≥2)(单向性)1. 如果实数,a b 满足：0a b <<，则下列不等式中不成立的是（ ） A ．0a b +>B ．11a b> C ．330a b -<D ．11a b a>-【答案】D【解析】由0a b <<，得0a b a b b b >⇒->-=，A 正确； 由0a b <<，得11a b>，B 正确； 由()()()2332221324a b a b a ab b a b a b b ⎡⎤⎛⎫-=-++=-++⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，又0a b <<， 则0a b -<， 所以330a b -<，C 正确.由0a b <<， 得0b ->， 所以0a b a >->， 则11a b a<-，D 错误. 故选D.2. 【2020江苏省期末】若实数m ，n 满足m n >，则下列选项正确的是（ ） A ．()lg 0m n -> B ．1122m n⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．330m n ->D ．m n >【答案】C【解析】根据实数m ，n 满足m n >，取0m =，1n =-，则可排除ABD ． 因为函数3y x =在定义域上单调递增，因为m n >，所以33m n >，即330m n ->故选C ．3. 【2020浙江省杭州第二中学高三其他】若0a b +>，则（ ） A ．ln ln 0a b +> B ．330a b +>C ． tan tan 0a b +>D ．a b >【答案】B【解析】由a b >-得()333a b b >-=-，所以330a b +>.对于A ，取1a b ==，不成立；对于C 取a b π==，不成立；对于D 取1a b ==，不成立. 故选B.题组一（真题在线）1. 【2020年新高考全国Ⅰ】已知a >0，b >0，且a +b =1，则A ．2212a b +≥B ．122a b->C ．22log log 2a b +≥-D2. 【2019年高考全国Ⅰ】已知2log 0.2a =，0.22b =，0.30.2c =，则（ ）A.a b c <<B.a c b <<C.c a b <<D.b c a << 3. 【2019全国 III 卷】若a b >，则（ ）A.ln()0a b ->B.33ab <C.330ab -> D.||||a b >4. 【2019天津高考理科】已知5log 2a =，0.5log 0.2b =，0.20.5c =，则,,a b c 的大小关系为（ ）A. a c b <<B. a b c <<C. b c a <<D. c a b <<5.【2020年高考天津】设a ∈R ，则“1a >”是“2a a >”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件题组二1. 【2020浙江省课时练习】已知a ,b ,c 满足c b a <<，且0ac <，那么下列选项中不一定成立的是（ ） A ．ab ac >B ．()0c b a -<C ．22cb ab <D ．()0ac a c -<2. 【2020浙江省高一课时练习】已知,a b ∈R ，“a b >”是“||||a a b b >”的（ ）.A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3.【2020浙江省高一单元测试】若12a <<，13b -<<，则a b -的值可能是（ ）． A ．4-B ．2-C ．2D ．44.【2020安徽省六安中学期末（理）】函数()2f x x =，则对任意实数12x x 、,下列不等式总成立的是( )A ．()()121222f x f x x x f ++⎛⎫≤⎪⎝⎭B ．()()121222f x f x x x f ++⎛⎫ ⎪⎝⎭＜C ．()()121222f x f x x x f ++⎛⎫≥⎪⎝⎭ D ．()()121222f x f x x x f ++⎛⎫⎪⎝⎭＞5. 【2020黑龙江省哈尔滨三中期末（理）】若,,,a b c d R ∈，则下列说法正确的是（ ） A ．若a b >，c d >，则ac bd > B ．若a b >，则22ac bc >C ．若0a b <<，则11a b< D ．若a b >，则33a b >6. 【2020浙江省高一期末】已知数列{}n a 满足12a >，21n n n a a a +=-，*n N ∈，则下列结论中不一定正确的是（ ） A ．134n n a a +>-，*n N ∈B ．()()321211a a a >--C ．1234311111314a a a a a +++<+- D ．()()()222234551114a a a a -+-+-<+7. 【2020福建省高一期末】下列命题为真命题的是（） A ．若0a b >>，则22ac bc >B ．若0a b <<，则22a ab b >>C ．若00a b c >><且，则22c c a b > D ．若a b >且11a b>，则0ab <题组一1.ABD 【解析】对于A ，()222221221a b a a a a +=+-=-+21211222a ⎛⎫⎪⎭+ ⎝≥-=，当且仅当12a b ==时，等号成立，故A 正确；对于B ，211a b a -=->-，所以11222a b-->=，故B 正确； 对于C ，2222221log log log log log 224a b a b ab +⎛⎫+=≤==- ⎪⎝⎭， 当且仅当12a b ==时，等号成立，故C 不正确；对于D ，因为2112a b =+++=，≤12a b ==时，等号成立，故D 正确； 故选ABD.2. B 【解析】由对数函数的图像可知：2log 0.20a =<；再有指数函数的图像可知：0.221b =>，0.300.21c <=<，于是可得到：a c b <<.3.C 【解析】由函数3y x =在R 上是增函数，且a b >，可得33a b >，即330a b ->.4.A 【解析】551log 2log 2a =<<， 0.50.5log 0.2log 0.252b =>=，10.200.50.50.5<<，故112c <<， 所以a c b <<.故选A5.A 【解析】求解二次不等式2a a >可得：1a >或0a <，据此可知：1a >是2a a >的充分不必要条件.故选A ．题组二1.C 【解析】因为a ,b ,c 满足c b a <<，且0ac <，则0a >，0c <，所以ab ac >一定成立；又因为0b a -<，所以()0c b a ->，即()0c b a -<一定不成立； 因为2b 是否为0不确定，因此22cb ab <也不一定成立；因为0a c ->，所以()0ac a c -<一定成立. 故选C2.A 【解析】由题意，若||a b >，则||0a b >，则a b >，所以2a a a =，则||||a a b b >成立.当1,2a b ==-时，满足a a b b >，但||a b >不一定成立，所以||a b >是a a b >的充分不必要条件. 故选A. 3.C 【解析】13b -<<，31b ∴-<-<，23a b ∴-<-<．故选C.4.A 【解析】依题意()()121222f x f x x x f ++⎛⎫- ⎪⎝⎭222121222x x x x ++⎛⎫=- ⎪⎝⎭()21204x x -=≥，故()()121222f x f x x x f ++⎛⎫≥ ⎪⎝⎭，所以A 选项正确.故选A.5.D 【解析】A ：根据不等式的性质可知当0a b >>，0c d >>时，能得到ac bd >.例如当0,1a b ==-，0,1c d ==-，显然a b >，c d >成立，但是ac bd >不成立，故本选项说法不正确； B ：当0c 时，显然22ac bc >不成立，故本选项说法不正确；C ：111111,0,0,00b a b a a b ab b a a b ab a b ab a b---=<<∴>->∴-=>⇒>，故本选项说法不正确；D ：33222213()()()[()],24a b a b a ab b a b a b b -=-++=-++223333130,()0024a b a b a b b a b a b >∴->++>⇒->⇒>，故本选项说法是正确的.故选D6.C 【解析】因为()212=2n n n n n n a a a a a a +-=--，12a >，所以有112n n a a a +>>>.又因为()21=1n nn n n a a a a a +=--，所以()2111111==11n n n n n n na a a a a a a +=---- 对于A 选项，()2221343444020n n n n n n n n a a a a a a a a +>-⇔->-⇔-+>⇔->，故成立； 对于B 选项，()()32321311321211222a aa a a a a a a a a >--⇔>⋅=⇔>，故成立； 对于C 选项，123433111111111111a a a a a a a +++=+<+---，故不成立； 对于D 选项，()()()()22222223423423411123a a a a a a a a a =++-+-+-++-+()()()()334453224=23a a a a a a a a a +++++++-+52554153a a a a +=<<+-+，故成立.故选C.7. BCD 【解析】 选项A ：当0c时，不等式不成立，故本命题是假命题；选项B: 2222,00a b a b a ab ab b a ab b a b <<⎧⎧⇒>⇒>∴>>⎨⎨<<⎩⎩，所以本命题是真命题； 选项C: 22222211000,0c c a b a b c a b a b>>⇒>>⇒<<<∴>，所以本命题是真命题； 选项D:2111100,00b aa b b a ab a b a b ab->⇒->⇒>>∴-<∴<，所以本命题是真命题，所以本题选BCD.考点04 基本不等式【命题解读】基本不等式是高考的一个重点，根据近几年的高考分析，基本不等式的考察主要是利用基本不等式求最值，求未知参数的范围等等，题目难度主要集中在中难度上，基本不等式牵扯到的知识点比较多，主要集中在导数、数列、三角函数、解析几何等等。
高考文科不等式知识点高考是每个学生都需要面对的重要考试，而作为文科生来说，数学是其中一个必考科目。
在数学中，不等式是一个关键的知识点，而且在高考中也占据了相当大的比重。
本文将与大家分享一些高考文科中常见的不等式知识点，帮助大家更好地应对数学考试。
一. 基本不等式基本不等式是学习不等式的基础，理解了基本不等式才能更好地应用到其他相关知识点中。
基本不等式有两个核心概念：大小关系和符号规律。
1. 大小关系：在不等式中，对于两个不等式，若其中一个式子的每一项都小于另一个式子，那么可以断定这个式子的大小关系。
例如，若a>b，x<y，则可以确定ax<by。
2. 符号规律：不等式中的符号规律是一个重要的概念，在解不等式的过程中需要特别注意。
例如，若a>b，x<y，则可以确定a-x>b-y。
二. 基本不等式的运算法则在解不等式的过程中，运算法则是不可忽视的。
这些法则是基于数学运算的性质来得出的，但在使用中需要注意它们的适用范围。
1. 加减法原则：在不等式中，若两个不等式都同加（减）一个数，则这两个不等式的大小关系不变。
例如，若a>b，则a+c>b+c。
2. 乘法原则：在不等式中，若一个不等式两边同乘（除）一个正数，则不等号不变；若两边同乘（除）一个负数，则不等号反向。
例如，若a>b，则2a>2b，当c>0时，ca>cb；当c<0时，ca<cb。
三. 不等式的解集解不等式是高考中常见的题型，对于解不等式有以下几个常见的解集形式：1. 区间表示法：在不等式的解集中，如果使用区间表示法，可以清晰地展示解集的范围。
例如，对于不等式1<x<4，可以使用区间表示为(1,4)。
2. 简化形式：有时候，解集可以通过简化不等式的形式得出。
例如，对于不等式x+3≤7，可以得出解集为x≤4。
四. 基本不等式的应用1. 一元一次不等式：在高考中，一元一次不等式是非常常见的题型。
高中数学基本不等式的巧用一．基本不等式1.（1）若R b a ∈,，则ab b a 222≥+ (2)若R b a ∈,，则222b a ab +≤（当且仅当b a =时取“=”）2. (1)若*,R b a ∈，则ab b a ≥+2(2)若*,R b a ∈，则ab b a 2≥+（当且仅当b a =时取“=”） (3)若*,R b a ∈，则22⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0x >，则12x x +≥ (当且仅当1x =时取“=”）;若0x <，则12x x+≤- (当且仅当1x =-时取“=”） 若0x ≠，则11122-2x x x x x x +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0>ab ，则2≥+a b b a (当且仅当b a =时取“=”） 若0ab ≠，则22-2a b a b a bb a b a b a+≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 4.若R b a ∈,，则2)2(222b a b a +≤+（当且仅当b a =时取“=”） 注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”． （2）求最值的条件“一正，二定，三取等” (3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用． 应用一：求最值例1：求下列函数的值域 （1）y ＝3x 2＋12x 2 （2）y ＝x ＋1x解：（1）y ＝3x 2＋12x2 ≥23x 2·12x2 ＝ 6 ∴值域为[ 6 ，+∞）（2）当x ＞0时，y ＝x ＋1x≥2x ·1x＝2； 当x ＜0时， y ＝x ＋1x = －（－ x －1x ）≤－2x ·1x=－2∴值域为（－∞，－2]∪[2，+∞）解题技巧： 技巧一：凑项 例1：已知54x <，求函数14245y x x =-+-的最大值。
