2021年高考文科数学总复习(第七章 第3节)不等式讲义

不等式一、内容和内容解析 1.内容等式与不等式的性质；一元二次不等式的解法及其应用；基本不等式及其应用2.内容解析相等关系、不等关系是数学中最基本的数量关系，是构建方程、不等式的基础.本单元的学习，可以帮助学生通过类比，理解等式和不等式的共性与差异,掌握基本不等式.用函数理解方程和不等式是数学的基本思想方法.本单元的学习，可以帮助学生用一元二次函数认识一元二次方程和一元二次不等式.通过梳理初中数学的相关内容，理解函数、方程和不等式之间的联系，体会数学的整体性.结合以上分析，确定本节课的教学重点：不等式性质的准确应用解决比较大小等实际问题，一元二次不等式的解法，基本不等式的应用.二、目标和目标解析 1.目标（1）不等关系与不等式的性质梳理等式的性质，理解不等式的概念，掌握不等式的性质. （2）从函数观点看一元二次不等式①经历从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程，了解一元二次不等式的现实意义；能够借助一元二次函数求解一元二次不等式；并能用集合表示一元二次不等式的解集.②借助一元二次函数的图象，了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系 （3）基本不等式(,0)2a ba b +≤≥.结合具体实例，能用基本不等式解决简单的求最大值或最小值的问题.达成上述目标的标志是：（1）能类比相等关系理解不等式的性质，掌握不等式性质解决具体问题.（2）能通过具体实例的归纳与概括得到用函数方法求一元二次不等式解集的基本过程，能利用一元二次不等式解决一些实际问题，提升数学运算素养.（3）知道基本不等式的内容，明确基本不等式的几何意义；会利用不等式的性质证明基本不等式.结合具体实例，明确基本不等式的使用条件和注意事项，能用基本不等式能模型识别和理解实际问题，能用基本不等式求最大值或最小值；在解决具体实际问题的过程中，体会基本不等式的作用，提升数学运算、数学建模等核心素养.三、教学问题诊断分析在相等关系与不等关系的教学中，应引导学生通过类比学过的等式与不等式的性质，进一步探索等式与不等式的共性与差异.在从函数观点看一元二次方程和一元二次不等式的教学中，可以先以讨论具体的一元二次函数变化情况为情境，引导学生发现一元二次函数与一元二次方程的关系，引出一元二次不等式概念；然后进一步引导学生探索一般的一元二次函数与一元二次方程、一元二次不等式的关系，归纳总结出用一元二次函数解一元二次不等式的程序.在利用基本不等式研究最值问题时，学生容易出现忽视使用条件，不验证等号是否成立，甚至没有确认和或积为定值就求最值等问题，这也是学生思维不够严谨的表现.教学中，要根据内容的定位和教育价值，关注数学学科核心素养的培养.要让学生逐渐养成借助直观理解概念，进行逻辑推理的思维习惯，以及独立思考、合作交流的学习习惯，引导学生感悟高中阶段数学课程的特征，适应高中阶段的数学学习.本节课的教学难点是：不等式性质的应用及实际应用问题；含参数一元二次不等式不等式的解法及分类讨论思想的使用；一元二次不等式恒成立问题的解决；基本不等式在求最值问题中的各类变式应用.四、教学过程设计(一)复习导入 1．本单元主要知识通过展示本单元主要知识，让学生对知识以及之间的联系有整体认知，突出本单元复习重点.2.本单元学习方法提示不等关系和相等关系一样广泛存在于现实世界、日常生活和数学问题之中.在本节复习中同学们要利用好类比的方法，类比等式性质理解不等式性质，类比方程研究不等式.不等式是解决其他数学知识的重要工具.在函数与导数、方程、数列、向量、解析几何、立体几何等章节的证明、求取参数范围（最值）问题中应用广泛，同学们在学习中要注意体会知识与方法之间的普遍联系.（二）知识梳理与典型例题分析 1.不等关系与不等式1.1回忆复习不等式相关的概念和主干知识 1.1.1两个实数比较大小的方法(1)作差法⎩⎪⎨⎪⎧a －b >0⇔a >b a －b ＝0⇔a ＝b a －b <0⇔a <b (a ，b ∈R ) (2)作商法⎩⎪⎨⎪⎧ab>1⇔a >b ab ＝1⇔a ＝bab <1⇔a <b(a ∈R ，b >0)1.1.2不等式的基本性质师生活动：学生类比实数的性质逐个学习、理解、记忆不等式的性质，教师提示在掌握不等式性质时要注意条件的准确性，也要注意性质使用中的充分与必要性.1.2典型例题讲解例1-1 讲解下列命题中正确的是( )(A)若a >b ，则ac 2>bc 2 (B)若a >b ，c <d ，则a c >bd(C)若a >b ，c >d ，则a －c >b －d (D)若ab >0，a >b ，则1a <1b师生活动：学生根据所学不等式性质独立思考，分享解决方法，教师总结此类问题常见方法. 设计意图：强化不等式性质的应用，对于采用特殊值法的学生给予肯定的同时提示要注意把握挖掘问题本质，基础方法与解题技巧相结合.另外教师通过此题强调“作差比较法”的思想及其基础工具作用. 例1-2 讲解若b <a <0，则下列不等式：①|a |>|b |；②a ＋b <ab ；③a 2b <2a －b 中，正确的不等式有( )(A)0个 (B)1个 (C)2个 (D)3个师生活动：学生根据所学不等式性质独立完成，教师总结强调作差法在问题③起到的转化作用.设计意图：此类型属于重要考查知识点，前两个选项易于判断，设置此题主要是承接上一道例题，让学生体会在解决略复杂形式不等关系时，作差法的作用，体会解决此类问题时蕴含的转化思想.此处安排即时练习1-1若α，β满足－π2<α<β<π2，则2α－β的取值范围是( )(A)－π<2α－β<0 (B)－π<2α－β<π (C)－3π2<2α－β<π2(D)0<2α－β<π设计意图：帮助学生在解决实际问题中理解应用不等式的同向可加性，同时这又是在后续三角函数章节复习中常见类型问题，为其复习做好铺垫的同时，让学生感受不等式与其他知识的联系以及其工具性作用.随后安排即时练习1-2已知a ，b ，c ，d 为实数，则“a >b 且c >d ”是“ac ＋bd >bc ＋ad ”的( ) (A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充要条件(D)既不充分也不必要条件设计意图：将上一讲中的充分必要性判断与不等式性质结合，温故知新，让学生感受知识间的联系以及不等式的工具性作用.2.一元二次不等式的解集2.1回忆复习主干知识二次函数角度一元二次不等式的解法判别式Δ＝b2－4ac Δ>0Δ＝0Δ<0二次函数y＝ax2＋bx＋c (a>0)的图象方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根有两相异实根x1，x2(x1<x2)有两相等实根x1＝x2＝－b2a没有实数根ax2＋bx＋c>0 (a>0)的解集{x|x<x1或x>x2}⎩⎨⎧⎭⎬⎫x⎪⎪x≠－b2a{x|x∈R}ax2＋bx＋c<0 (a>0)的解集{x|x1< x<x2} ∅∅2.2典型例题讲解例2-1 讲解y＝log2(3x2－2x－2)的定义域是________________．师生活动：教师帮助学生回忆对数函数的定义域条件，而后学生自主练习一元二次不等式的求解.设计意图：考虑高三复习的特点，以及学生在高一学习对数函数时的学情，采用此题进行解一元二次不等式方法的巩固训练，本题中不等式所对应的一元二次方程需要使用公式法求解，让学生在最为一般的情况下体会一元二次不等式的解法，避免学生形成思维定势认为一定可以通过十字相乘法进行因式分解. 例2-2 讲解解关于x 的不等式ax 2－(a ＋1)x ＋1<0(a >0)．师生活动：引导学生观察参数给求解不等式带来的影响，教师对分类讨论进行示范讲解. 设计意图：考虑学生在难点问题上的接受度，设置较为简单的含参不等式求解问题，重点放在讨论中各分类情况的形成原因和解决办法，帮助学生抓住观察分析此类问题的要点，形成讨论中对开口方向、判别式、根的大小关系的整体把握. 例2-3 讲解已知函数f (x )＝mx 2－mx －1.若对于x ∈[1,3]，f (x )<5－m 恒成立，求实数m 的取值范围．师生活动： 学生独立思考交流做法，教师总结构造函数和参变量分离两类典型办法. 设计意图：此题是恒成立问题中较为基础典型的类型，有利于学生避开繁杂的计算，突出思想方法的主题.本题安排两种方法，意在帮助学生总结梳理解决此类问题的两种典型思路.3. 基本不等式及其应用 3.1回忆复习主干知识3.1.1 基本不等式：ab ≤a ＋b 2(1)基本不等式成立的条件：a >0，b >0.(2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号． 3.1.2算术平均数与几何平均数设a >0，b >0，则a ，b 的算术平均数为a ＋b2，几何平均数为ab ，基本不等式可叙述为两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．3.1.3利用基本不等式求最值问题 已知x >0，y >0，则(1)如果积xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值2p .(简记：积定和最小) (2)如果和x ＋y 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值p 24.(简记：和定积最大)3.1.4几个重要的不等式 (1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )． (2)b a ＋ab ≥2(a ，b 同号)． (3)ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22(a ，b ∈R )．(4)a 2＋b 22≥⎝⎛⎭⎫a ＋b 22 (a ，b ∈R )． 以上不等式等号成立的条件均为a ＝b .3.2典型例题讲解例3-1 讲解(1)已知0<x <1，则x (4－3x )取得最大值时x 的值为________． (2)已知x <54，则f (x )＝4x －2＋14x －5的最大值为________．师生活动：学生独立完成，教师强调在基本不等式求最值的过程中的条件要求，即“一正、二定、三相等”.设计意图： 从较为简单的形式出发，两个问题分别求“和”与“积”形式的最值，引导学生学会观察如何构造定值，进而启发思路，对已知形式进行变形拼凑.第（2）小题略增加难度，引导学生理解当使用条件“一正”不满足时如何进行转化.例3-2 讲解若正数m ，n 满足2m ＋n ＝1，则1m ＋1n 的最小值为( )(A)3＋2 2 (B)3＋ 2 (C)2＋2 2(D)3师生活动：组织学生对典型错误方法进行剖析，找到问题形成的原因，引导学生发现转化代换的思路.设计意图：帮助学生在正误方法对照后，避免出现类似错误思路，形成正确方法，提高学生转化化归思想方法的应用能力.例3-3 讲解已知a >b >0，那么a 2＋1b (a －b )的最小值为________．师生活动：教师引导学生观察()b a b -部分拼凑定值的可能，后由学生独立尝试解决.设计意图：和例题3-2构成一个整体性问题，帮助学生明确在解题过程中多次使用不等式的注意事项和等号成立条件的研判方法，扩展学生的解题思路.（三）知识与思想方法总结作差法是比较“数”和“式”大小的基础方法.不等式性质在记忆和使用的过程中要注意条件前提.在复习一元二次不等式解法时要注意和函数、方程知识的联系与转化.在求解含有参数的不等式时，要注意分类讨论思想的严密性.基本不等式是构造不等关系和求取最值问题的重要工具，要注意在使用过程中的每个阶段都要检验是否符合使用要求，特别是等号成立的条件.（四）课后作业与解答附件1：《不等式》课后练习 附件2：本节作业参考答案及详解五、目标检测设计1. 已知a ＋b >0，则a b 2＋b a 2与1a ＋1b 的大小关系是________．答案a b 2＋b a 2≥1a ＋1b解析a b 2＋b a 2－⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ＝a －b b 2＋b －a a2 ＝(a －b )·⎝⎛⎭⎫1b 2－1a 2＝(a ＋b )(a －b )2a 2b 2. ∵a ＋b >0，(a －b )2≥0， ∴(a ＋b )(a －b )2a 2b 2≥0.∴a b 2＋b a 2≥1a ＋1b. 设计意图：考查学生对作差法的掌握情况 2. 解不等式12x 2－ax >a 2(a ∈R )． 解 原不等式可化为12x 2－ax －a 2>0， 即(4x ＋a )(3x －a )>0，令(4x ＋a )(3x －a )＝0， 解得x 1＝－a 4，x 2＝a3.当a >0时，不等式的解集为⎝⎛⎭⎫－∞，－a 4∪⎝⎛⎭⎫a3，＋∞；试卷第11页，总11页 当a ＝0时，不等式的解集为(－∞，0)∪(0，＋∞)；当a <0时，不等式的解集为⎝⎛⎭⎫－∞，a 3∪⎝⎛⎭⎫－a 4，＋∞. 设计意图：考查学生在求解含参不等式过程中的分类讨论能力3. 设x >0，y >0，x ＋2y ＝4，则(x ＋1)(2y ＋1)xy的最小值为________． 答案 92解析 (x ＋1)(2y ＋1)xy ＝2xy ＋x ＋2y ＋1xy＝2xy ＋5xy ＝2＋5xy. ∵x >0，y >0且x ＋2y ＝4，∴4≥22xy (当且仅当x ＝2，y ＝1时取等号)，∴2xy ≤4，∴1xy ≥12， ∴2＋5xy ≥2＋52＝92. 设计意图：考查学生综合运用基本不等式求最值能力和数学运算和逻辑推理素养。

高三文科不等式知识点高三阶段是学生备战高考的重要时期，而在文科领域的数学部分，不等式是一个重要而又常考的知识点。

掌握好不等式的基本概念和解题方法，对于学生来说，是非常关键的。

本文将带领读者深入了解高三文科不等式知识点。

一、基本概念不等式是数学中表示大小关系的一种符号。

在高三文科中，我们常见的不等式符号有大于（>）、小于（<）、大于等于（≥）、小于等于（≤）等。

我们可以通过比较两个数的大小关系，用这些符号来表达出来。

二、一元一次不等式一元一次不等式是一元一次方程的升级版，也是最常见的一种不等式类型。

解一元一次不等式的方法与解一元一次方程类似，但是要注意到不等号的方向。

举个例子：解不等式2x-3<5。

首先，我们将式子化简得到2x<8。

接下来，我们将不等号的两边同时除以2，得到x<4。

三、一元二次不等式一元二次不等式是一元二次方程的升级版。

解一元二次不等式的方法相对复杂一些，需要借助平方根等知识。

举个例子：解不等式x²-5x>6。

首先，我们将式子移项得到x²-5x-6>0。

然后，我们对此不等式进行因式分解，得到(x-6)(x+1)>0。

接下来，我们要确定方程的解集。

根据乘积大于零的性质，解集为x<-1或x>6。

四、绝对值不等式绝对值不等式是一种特殊的不等式形式，解绝对值不等式的方法与一般的不等式有所不同。

在解绝对值不等式时，我们需要拆分为原问题的两个不等式，然后分别解决。

举个例子：解不等式|3x-4|≥7。

首先，我们将这个不等式拆分为两个不等式：3x-4≥7或3x-4≤-7。

然后，我们对这两个不等式分别进行解答，得到x≥11/3或x≤-1/3。

五、二元一次不等式二元一次不等式是涉及到两个变量的一次方程的不等式形式。

在解二元一次不等式时，我们需要通过图像法或代数法来确定解集。

举个例子：解不等式y<x+2，y<2x+3。

高考文科数学不等式复习教案【小编寄语】查字典数学网小编给大家整理了2021届高考文科数学不等式温习教案，希望能给大家带来协助!新课标——回归教材不等式1、不等式的性质:称号不等式称号不等式对称性 (充要条件)传递性可加性 (充要条件)同向不等式可加性:异向不等式可减性:可乘性同向正数不等式可乘性:异向正数不等式可除性:乘方法那么开方法那么倒数法那么常用结论 (充要条件)注:表中是等价关系的是解、证明不等式的依据,其它的仅仅是证明不等式的依据.典例:1)关于实数中,给出以下命题:① ;② ;其中正确的命题是②③⑥⑦⑧ .2) , ,那么的取值范围是 ;3) ,且那么的取值范围是 .2、不等式大小比拟的常用方法:(1)作差:作差后经过火解因式、配方等手腕判别差的符号得出结果;(2)作商(常用于分数指数幂的代数式);(3)剖析法;(4)平方法;(5)分子(或分母)有理化;(6)应用函数的单调性;(7)寻觅中间量或放缩法;(8)图象法.其中比拟法(作差、作商)是最基本的方法.典例:1)设 ,比拟的大小答案:①当时, (在时取〝=〞);②当时, (在时取〝=〞);2) ,试比拟的大小.( 答: )3)设 , , ,试比拟的大小(答: );4)比拟1+ 与的大小.答:当或时,1+ &gt; ;当时,1+ &lt; ;当时,1+ =5)假定 ,且 ,比拟的大小.(答: )3.应用重要不等式求函数最值:〝一正二定三相等,和定积最大,积定和最小〞.典例:1)以下命题中正确的选项是( B )A. 的最小值是2B. 的最大值是C. 的最小值是2D. 的最小值是 ;2)假定 ,那么的最小值是 ;3) ,且 ,那么的最小值为18;变式①: ,那么的最小值为 18 ;②: ,且 ,那么的最大值为 1 ;③: ,且 ,那么的最小值为 9 ;4.常用不等式有:(1) 当时取=号)(2) 当时取=号)上式从左至右的结构特征为:〝平方和〞不小于〝战争方之半〞不小于〝积两倍〞.(3)真分数性质定理:假定 ,那么 (糖水的浓度效果).典例:假定 ,满足 ,那么的取值范围是&not; .5、证明不等式的方法:比拟法、剖析法、综合法和放缩法.比拟法的步骤是:作差(商)后经过火解因式、配方、通分等手腕变形判别符号或与1的大小,然后作出结论.) 常用的放缩技巧有: (左边当时成立)典例:1) ,求证: ;2) ,求证: ;3) ,且 ,求证: ;4)假定是不全相等的正数,求证: ;5)假定 ,求证: ;6)求证: .6.常系数一元二次不等式的解法:判别式-图象法步骤:(1)化普通方式: ,其中 ;(2)求根的状况: ;(3)由图写解集:思索图象得解.典例:解不等式 .(答: )注:解一元二次不等式的进程实践上是一种函数、方程与不等式思想的转换进程,从中我们不美观出〝三个二次〞关系是中心,即一元二次不等式解集定值端点(非正负无量大)是对应一元二次方程(函数)的根(零点).典例:假定关于的不等式的解集为 ,解关于的不等式 .(答: )7.复杂的一元高次不等式的解法:标根法:其步骤是:(1)分解成假定干个一次因式的积,并使每一个因式中最高次项的系数为正;(2)将每一个一次因式的根标在数轴上,从最大根右上方依次经过每一点画曲线(奇穿偶回);(3)依据曲线显现的符号变化规律,写出不等式的解集.典例:1)解不等式 .(答: 或 );2)不等式的解集是 ;3)设函数、的定义域都是 ,且的解集为 , 的解集为 ,那么不等式的解集为 ;4)要使满足关于的不等式 (解集非空)的每一个的值至少满足不等式和中的一个,那么实数的取值范围是 .8.分式不等式的解法:分式不等式的普通解题思绪是先移项使左边为0,再通分并将分子分母分解因式,并使每一个因式中最高次项的系数为正,最后用标根法求解.解分式不等式时,普通不能去分母,但分母恒为正或恒为负时可去分母.典例:1)解不等式 (答: );2)关于的不等式的解集为 ,那么关于的不等式的解集为 .注:和一元二次不等式一样,不等式解集的端点值往往是不等式对应方程的根或不等式有意义范围的端点值.9.相对值不等式的解法:(了解)(1)分域讨论法(最后结果应取各段的并集)典例:解不等式 ;(答: );(3)应用相对值的定义;(3)数形结合;典例:解不等式 ;(答: )(4)两边平方典例:假定不等式对恒成立,那么实数的取值范围为10、含参不等式的解法:通法是〝定义域为前提,函数增减性为基础,分类讨论是关键.〞留意:①解完之后要写上:〝综上,原不等式的解集是…〞.②按参数讨论,最后应按参数取值区分说明其解集;但假定按未知数讨论,最后应求并集.典例:1)假定 ,那么的取值范围是 ;2)解不等式 .(答: 时, ; 时, 或 ; 时, 或 )含参数的一元二次不等式的解法:三级讨论法.普通地,设关于的含参数的一元二次方式的不等式为: .(1)第一级讨论:讨论二次项系数能否为零;(2)第二级讨论:假定时,先观察其左边能否因式分解,否那么讨论的符号;(3)第三级讨论:假定时,先观察两根大小能否确定,否那么讨论两根的大小.留意:每一级的讨论中,都有三种状况能够出现,即〝&gt;〞,〝=〞,〝&lt;〞,应做到不重不漏.典例:1)解关于的不等式 .答:①当时, ;②当时, ;③当时, ;④当时,⑤当时,2)解关于的不等式 .答:①当时, ;②当时,③当时, ;④当时, ;⑤当时,提示:解不等式是求不等式的解集,最后务必有集合的方式表示.11.不等式的恒成立、能成立、恰成立等效果:不等式恒成立效果的惯例处置方式?常运用函数方程思想和〝分别变量法〞转化为最值效果,也可抓住所给不等式的结构特征,应用数形结合法.1).恒成立效果★★★假定不等式在区间上恒成立,那么等价于在区间上假定不等式在区间上恒成立,那么等价于在区间上典例:1)设实数满足 ,当时, 的取值范围是 ;2)不等式对一实在数恒成立,务实数的取值范围 ;3)假定对满足的一切都成立,那么的取值范围 ;4)假定不等式关于恣意正整数恒成立,那么实数的取值范围是5)假定不等式对恒成立,那么的取值范围2).能成立效果假定在区间上存在实数使不等式成立,那么等价于在区间上 ;假定在区间上存在实数使不等式成立,那么等价于在区间上的 .留意:假定方程有解,那么等价于典例:1) 在实数集上的解集不是空集,务实数的取值范围2) 函数的定义域为 .①假定 ,务实数的取值范围.(答: )②假定方程在内有解,务实数的取值范围.(答: )3). 恰成立效果假定不等式在区间上恰成立,那么等价于不等式的解集为 ;假定不等式在区间上恰成立,那么等价于不等式的解集为 .12..复杂的线性规划效果:(1)二元一次不等式(组)表示平面区域①普通地,二元一次不等式在平面直角坐标系中表示直线某一侧的一切点组成的平面区域(半平面)不含边界限;。

高考文科不等式知识点高考是每个学生都需要面对的重要考试，而作为文科生来说，数学是其中一个必考科目。

在数学中，不等式是一个关键的知识点，而且在高考中也占据了相当大的比重。

本文将与大家分享一些高考文科中常见的不等式知识点，帮助大家更好地应对数学考试。

一. 基本不等式基本不等式是学习不等式的基础，理解了基本不等式才能更好地应用到其他相关知识点中。

基本不等式有两个核心概念：大小关系和符号规律。

1. 大小关系：在不等式中，对于两个不等式，若其中一个式子的每一项都小于另一个式子，那么可以断定这个式子的大小关系。

例如，若a>b，x<y，则可以确定ax<by。

2. 符号规律：不等式中的符号规律是一个重要的概念，在解不等式的过程中需要特别注意。

例如，若a>b，x<y，则可以确定a-x>b-y。

二. 基本不等式的运算法则在解不等式的过程中，运算法则是不可忽视的。

这些法则是基于数学运算的性质来得出的，但在使用中需要注意它们的适用范围。

1. 加减法原则：在不等式中，若两个不等式都同加（减）一个数，则这两个不等式的大小关系不变。

例如，若a>b，则a+c>b+c。

2. 乘法原则：在不等式中，若一个不等式两边同乘（除）一个正数，则不等号不变；若两边同乘（除）一个负数，则不等号反向。

例如，若a>b，则2a>2b，当c>0时，ca>cb；当c<0时，ca<cb。

三. 不等式的解集解不等式是高考中常见的题型，对于解不等式有以下几个常见的解集形式：1. 区间表示法：在不等式的解集中，如果使用区间表示法，可以清晰地展示解集的范围。

例如，对于不等式1<x<4，可以使用区间表示为(1,4)。

2. 简化形式：有时候，解集可以通过简化不等式的形式得出。

例如，对于不等式x+3≤7，可以得出解集为x≤4。

四. 基本不等式的应用1. 一元一次不等式：在高考中，一元一次不等式是非常常见的题型。

2021年⾼考⽂科数学总复习（第七章第3节）不等式讲义第3节⼆元⼀次不等式(组)与简单的线性规划问题最新考纲 1.会从实际情境中抽象出⼆元⼀次不等式组；2.了解⼆元⼀次不等式的⼏何意义，能⽤平⾯区域表⽰⼆元⼀次不等式组；3.会从实际情境中抽象出⼀些简单的⼆元线性规划问题，并能加以解决.知识梳理1.⼆元⼀次不等式(组)表⽰的平⾯区域不等式表⽰区域Ax＋By＋C>0 直线Ax＋By＋C＝0某⼀侧的所有点组成的平⾯区域不包括边界直线Ax＋By＋C≥0包括边界直线不等式组各个不等式所表⽰平⾯区域的公共部分2.点P1(x1，y1)和P2(x2，y2)位于直线Ax＋By＋C＝0的两侧的充要条件是(Ax1＋By1＋C)(Ax2＋By2＋C)<0；位于直线Ax＋By＋C＝0同侧的充要条件是(Ax1＋By1＋C)(Ax2＋By2＋C)>0.3.线性规划的有关概念名称意义线性约束条件由x，y的⼀次不等式(或⽅程)组成的不等式组，是对x，y的约束条件⽬标函数关于x，y的解析式线性⽬标函数关于x，y的⼀次解析式可⾏解满⾜线性约束条件的解(x，y)可⾏域所有可⾏解组成的集合最优解使⽬标函数达到最⼤值或最⼩值的可⾏解线性规划问题求线性⽬标函数在线性约束条件下的最⼤值或最⼩值的问题[微点提醒]1.画⼆元⼀次不等式表⽰的平⾯区域的直线定界，特殊点定域：(1)直线定界：不等式中⽆等号时直线画成虚线，有等号时直线画成实线； (2)特殊点定域：若直线不过原点，特殊点常选原点；若直线过原点，则特殊点常选取(0，1)或(1，0)来验证. 2.判定⼆元⼀次不等式表⽰的区域(1)若B (Ax ＋By ＋C )>0时，区域为直线Ax ＋By ＋C ＝0的上⽅. (2)若B (Ax ＋By ＋C )<0时，区域为直线Ax ＋By ＋C ＝0的下⽅.基础⾃测1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)不等式Ax ＋By ＋C ＞0表⽰的平⾯区域⼀定在直线Ax ＋By ＋C ＝0的上⽅.( )(2)线性⽬标函数的最优解可能是不唯⼀的.( )(3)线性⽬标函数取得最值的点⼀定在可⾏域的顶点或边界上.( )(4)在⽬标函数z ＝ax ＋by (b ≠0)中，z 的⼏何意义是直线ax ＋by －z ＝0在y 轴上的截距.( )解析 (1)不等式x －y ＋1>0表⽰的平⾯区域在直线x －y ＋1＝0的下⽅. (4)直线ax ＋by －z ＝0在y 轴上的截距是z b . 答案 (1)×(2)√ (3)√ (4)×2.(必修5P98例3改编)不等式组x －3y ＋6≥0，x －y ＋2<0表⽰的平⾯区域是( )解析 x －3y ＋6≥0表⽰直线x －3y ＋6＝0及其右下⽅部分，x －y ＋2＜0表⽰直线x －y ＋2＝0左上⽅部分，故不等式表⽰的平⾯区域为选项B. 答案 B3.(必修5P103练习1T1改编)已知x ，y 满⾜约束条件y ≤x ，x ＋y ≤1，y ≥－1，则z ＝2x ＋y ＋1的最⼤值、最⼩值分别是( ) A.3，－3 B.2，－4 C.4，－2D.4，－4解析不等式组所表⽰的平⾯区域如图所⽰.其中A (－1，－1)，B (2，－1)，C ? ????12，12，画直线l 0：y ＝－2x ，平移l 0过B 时，z max ＝4，平移l 0过点A 时， z min ＝－2. 答案 C4.(2019·合肥⼀中⽉考)在平⾯直⾓坐标系xOy 中，不等式组1≤x ＋y ≤3，－1≤x －y ≤1表⽰图形的⾯积等于( ) A.1B.2C.3D.4解析不等式组对应的平⾯区域如图，即对应的区域为正⽅形ABCD ，其中A (0，1)，D (1，0)，边长AD ＝2，则正⽅形的⾯积S ＝2×2＝2.答案 B5.(2018·全国Ⅰ卷)若x ，y 满⾜约束条件x －2y －2≤0，x －y ＋1≥0，y ≤0，则z ＝3x ＋2y 的最⼤值为________.解析作出可⾏域为如图所⽰的△ABC 所表⽰的阴影区域，作出直线3x ＋2y ＝0，并平移该直线，当直线过点A (2，0)时，⽬标函数z ＝3x ＋2y 取得最⼤值，且z max ＝3×2＋2×0＝6.答案 66.(2017·全国Ⅲ卷)若x ，y 满⾜约束条件x －y ≥0，x ＋y －2≤0，y ≥0，则z ＝3x －4y 的最⼩值为________.解析画出可⾏域如图阴影部分所⽰.由z ＝3x －4y ，得y ＝34x －z4，作出直线y ＝34x ，平移使之经过可⾏域，观察可知，当直线经过点A (1，1)处时取最⼩值，故z min ＝3×1－4×1＝－1. 答案－1考点⼀⼆元⼀次不等式(组)表⽰的平⾯区域【例1】 (1)(2019·北京西城区⼆模)在平⾯直⾓坐标系中，不等式组3x －y ≤0，x －3y ＋2≥0，y ≥0表⽰的平⾯区域的⾯积是( )A.32B. 3C. 2D.2 3(2)(2018·咸阳⼆模)已知直线y ＝kx －3经过不等式组x ＋y －2≥0，2x －y ≤4，y ≤4所表⽰的平⾯区域，则实数k 的取值范围是( ) A.－72，32 B.? ????－∞，－72∪32，＋∞ C.－72，74D.? ????－∞，－72∪74，＋∞ 解析 (1)作出不等式组表⽰的平⾯区域是以点O (0，0)，B (－2，0)和A (1，3)为顶点的三⾓形区域，如图所⽰的阴影部分(含边界)，由图知该平⾯区域的⾯积为12×2×3＝ 3.(2)画出不等组x ＋y －2≥0，2x －y ≤4，y ≤4所表⽰的平⾯区域，如图所⽰，直线y ＝kx －3过定点M (0，－3)，由y ＝4，x ＋y －2＝0，解得A (－2，4)，当直线y ＝kx －3过点A 时， k ＝－3－40－（－2）＝－72；由2x －y ＝4，x ＋y －2＝0，解得B (2，0)，当直线y ＝kx －3过点B 时，k ＝－3－00－2＝32.由图形知，实数k 的取值范围是? ????－∞，－72∪32，＋∞.答案 (1)B (2)B规律⽅法 1.⼆元⼀次不等式(组)表⽰平⾯区域的判断⽅法：直线定界，测试点定域.2.求平⾯区域的⾯积：(1)⾸先画出不等式组表⽰的平⾯区域，若不能直接画出，应利⽤题⽬的已知条件转化为不等式组问题，从⽽再作出平⾯区域；(2)对平⾯区域进⾏分析，若为三⾓形应确定底与⾼，若为规则的四边形(如平⾏四边形或梯形)，可利⽤⾯积公式直接求解，若为不规则四边形，可分割成⼏个三⾓形分别求解再求和.【训练1】 (2019·南昌模拟)已知不等式组y ≤－x ＋2，y ≤kx －1，y ≥0所表⽰的平⾯区域为⾯积等于14的三⾓形，则实数k 的值为( )A.－1B.－12C.12D.1解析由题意知k >0，且不等式组y ≤－x ＋2，y ≤kx －1，y ≥0所表⽰的平⾯区域如图所⽰.∵直线y ＝kx －1与x 轴的交点为? ??1k ，0，直线y ＝kx －1与直线y ＝－x ＋2的交点为? ???3k ＋1，2k －1k ＋1，∴三⾓形的⾯积为12×? ?2－1k ×2k －1k ＋1＝14，解得k ＝1或k ＝27，经检验，k ＝27不符合题意，∴k ＝1. 答案 D考点⼆线性规划中的最值问题多维探究⾓度1 求线性⽬标函数的最值【例2－1】 (⼀题多解)(2018·全国Ⅲ卷)若变量x ，y 满⾜约束条件2x ＋y ＋3≥0，x －2y ＋4≥0，x －2≤0，则z ＝x ＋13y 的最⼤值是________.解析法⼀作出不等式组表⽰的平⾯区域如图中阴影部分所⽰，画出直线y ＝－3x ，平移该直线，由图可知当平移后的直线经过直线x ＝2与直线x －2y ＋4＝0的交点A (2，3)时，z ＝x ＋13y 取得最⼤值，故z max ＝2＋13×3＝3.法⼆画出可⾏域(如上图)，由图知可⾏域为三⾓形区域，易求得顶点坐标分别为(2，3)，(2，－7)，(－2，1)，将三点坐标代⼊，可知z max ＝2＋13×3＝3. 答案 3⾓度2 求⾮线性⽬标函数的最值【例2－2】 (1)(2019·济南⼀模)若变量x ，y 满⾜约束条件x ≥1，x －y ≤0，x －2y ＋2≥0，则yx 的最⼤值为( ) A.1B.3C.32D.5(2)若变量x ，y 满⾜x ＋y ≤2，2x －3y ≤9，x ≥0，则x 2＋y 2的最⼤值是()A ．4B ．9C ．10D ．12解析 (1)不等式组表⽰平⾯区域是以(1，1)，? ?1，32，(2，2)为顶点的三⾓形区域(包含边界)(图略).y x 表⽰平⾯区域内的点与原点的连线的斜率，由题意得点? ?1，32与原点的连线斜率最⼤，即yx 的最⼤值为321＝32.(2)作出不等式组所表⽰的平⾯区域，如图中阴影部分所⽰(包括边界)，x 2＋y 2表⽰平⾯区域内的点与原点的距离的平⽅．由图易知平⾯区域内的点A (3，－1)与原点的距离最⼤，所以x 2＋y 2的最⼤值是10.答案 (1)C (2)C⾓度3 线性规划中的参数问题【例2－3】 (2019·西安质检)已知实数x ，y 满⾜约束条件y ≥0，y －x ＋1≤0，y －2x ＋4≥0.若⽬标函数z ＝y －ax (a ≠0)取得最⼤值时的最优解有⽆数个，则a 的值为( ) A.2 B.1 C.1或2D.－1解析画出不等式组表⽰的可⾏域如图阴影部分所⽰.由z ＝y －ax (a ≠0)得y ＝ax ＋z .因为a ≠0，所以要使z ＝y －ax 取得最⼤值时的最优解有⽆数个，故必有a >0. ①当直线y ＝ax ＋z 与直线AC 重合，即a ＝1时，直线y ＝ax ＋z 在y 轴上的截距最⼤，此时z 取得最⼤值，且最优解有⽆数个，符合条件；②当直线y ＝ax ＋z 与直线BC 重合时，直线y ＝ax ＋z 在y 轴上的截距最⼩，此时z 取得最⼩值，不符合条件.故a ＝1. 答案 B规律⽅法 1.先准确作出可⾏域，再借助⽬标函数的⼏何意义求⽬标函数的最值.⼀般在平⾯区域的顶点或边界处取得.2.当⽬标函数是⾮线性的函数时，常利⽤⽬标函数的⼏何意义来解题.常见代数式的⼏何意义： (1)x 2＋y 2表⽰点(x ，y )与原点(0，0)的距离，（x －a ）2＋（y －b ）2表⽰点(x ，y )与点(a ，b )的距离；(2)yx 表⽰点(x ，y )与原点(0，0)连线的斜率，y －b x －a 表⽰点(x ，y )与点(a ，b )连线的斜率.3.当⽬标函数中含有参数时，要根据临界位置确定参数所满⾜的条件.【训练2】 (1)(2017·全国Ⅲ卷)设x ，y 满⾜约束条件3x ＋2y －6≤0，x ≥0，y ≥0，则z ＝x －y的取值范围是( ) A ．[－3，0] B ．[－3，2] C ．[0，2]D ．[0，3](2)已知实数x ，y 满⾜约束条件2x －y ≥0，y ≥x ，y ≥－x ＋b ，若z ＝2x ＋y 的最⼩值为3，则实数b＝( )A.94B.32C.1D.34解析 (1)画出不等式组表⽰的可⾏域(如图阴影部分所⽰)，结合⽬标函数的⼏何意义可得函数在点A (0，3)处取得最⼩值z ＝0－3＝－3，在点B (2，0)处取得最⼤值z ＝2－0＝2.(2)作出不等式组对应的平⾯区域，如图中阴影部分所⽰.由z ＝2x ＋y 得y ＝－2x ＋z ，平移直线y ＝－2x ，由图可知当直线y ＝－2x ＋z 经过点A 时，直线y ＝－2x ＋z 的截距最⼩，此时z 最⼩为3，即2x ＋y ＝3.由2x ＋y ＝3，y ＝2x ，解得x ＝34，y ＝32，即A ? ????34，32，⼜点A 也在直线y ＝－x ＋b 上，即32＝－34＋b ，∴b ＝94. 答案 (1)B (2)A考点三实际⽣活中的线性规划问题【例3】 (2016·全国Ⅰ卷)某⾼科技企业⽣产产品A 和产品B 需要甲、⼄两种新型材料.⽣产⼀件产品A 需要甲材料1.5 kg ，⼄材料1 kg ，⽤5个⼯时；⽣产⼀件产品B 需要甲材料0.5 kg ，⼄材料0.3 kg ，⽤3个⼯时，⽣产⼀件产品A 的利润为2 100元，⽣产⼀件产品B 的利润为900元.该企业现有甲材料150 kg ，⼄材料90 kg ，则在不超过600个⼯时的条件下，⽣产产品A 、产品B 的利润之和的最⼤值为________元.解析设⽣产A 产品x 件，B 产品y 件，根据所耗费的材料要求、⼯时要求等其他限制条件，得线性约束条件为1.5x ＋0.5y ≤150，x ＋0.3y ≤90，5x ＋3y ≤600，x ≥0，x ∈N +，y ≥0，y ∈N +，⽬标函数z ＝2 100x ＋900y .作出可⾏域为图中的阴影部分(包括边界)内的整数点，图中阴影四边形的顶点坐标分别为(60，100)，(0，200)，(0，0)，(90，0)，在(60，100)处取得最⼤值， z max ＝2 100×60＋900×100＝216 000(元).答案 216 000规律⽅法 1.解线性规划应⽤题的步骤.(1)转化——设元，写出约束条件和⽬标函数，从⽽将实际问题转化为线性规划问题；(2)求解——解这个纯数学的线性规划问题；(3)作答——将数学问题的答案还原为实际问题的答案.2.解线性规划应⽤题，可先找出各变量之间的关系，最好列成表格，然后⽤字母表⽰变量，列出线性约束条件，写出要研究的函数，转化成线性规划问题. 【训练3】某企业⽣产甲、⼄两种产品，销售利润分别为2千元/件、1千元/件.甲、⼄两种产品都需要在A ，B 两种设备上加⼯，⽣产⼀件甲产品需⽤A 设备2⼩时，B 设备6⼩时；⽣产⼀件⼄产品需⽤A 设备3⼩时，B 设备1⼩时.A ，B 两种设备每⽉可使⽤时间数分别为480⼩时、960⼩时，若⽣产的产品都能及时售出，则该企业每⽉利润的最⼤值为( ) A.320千元 B.360千元 C.400千元D.440千元解析设⽣产甲产品x 件，⽣产⼄产品y 件，利润为z 千元，则x ≥0，y ≥0，2x ＋3y ≤480，z ＝2x ＋y ，6x ＋y ≤960，作出可⾏域如图中阴影部分中的整点，作出直线2x ＋y ＝0，平移该直线，当直线z ＝2x ＋y 经过直线2x ＋3y ＝480与直线6x ＋y ＝960的交点(150，60)(满⾜x ∈N ，y ∈N )时，z 取得最⼤值，为360.答案B[思维升华]1.求最值：求⼆元⼀次⽬标函数z ＝ax ＋by (ab ≠0)的最值，将z ＝ax ＋by 转化为直线的斜截式：y ＝－a b x ＋z b ，通过求直线的截距zb 的最值间接求出z 的最值.最优解在顶点或边界处取得.2.利⽤线性规划的思想结合代数式的⼏何意义可以解决⼀些⾮线性规划问题. [易错防范]1.画出平⾯区域.避免失误的重要⽅法就是⾸先使⼆元⼀次不等式标准化.2.在通过求直线的截距z b 的最值间接求出z 的最值时，要注意：当b >0时，截距zb 取最⼤值时，z 也取最⼤值；截距z b 取最⼩值时，z 也取最⼩值；当b <0时，截距z b 取最⼤值时，z 取最⼩值；截距zb 取最⼩值时，z 取最⼤值.直观想象——⾼考命题中线性规划问题类型探析直观想象是指借助⽣动的⼏何直观和空间想象感知事物的形态变化与运动规律.线性规划问题是在⼀组约束条件下，利⽤数形结合求最优解，求解⽅法灵活，常考常新.类型1 ⽬标函数含参数【例1】设不等式组x ≥0，x ＋3y ≥4，3x ＋y ≤4所表⽰的平⾯区域为D ，若直线y ＝a (x ＋1)与D 有公共点，则a 的取值范围是______.解析由可⾏域(如图)易知直线y ＝a (x ＋1)过定点P (－1，0).当直线y ＝a (x ＋1)经过x ＋3y ＝4与3x ＋y ＝4的交点A (1，1)时，a 取得最⼩值12；当直线y ＝a (x ＋1)经过x ＝0与3x ＋y ＝4的交点B 时，a 取得最⼤值4. 故a 的取值范围为12，4.答案12，4评析 1.“⽬标函数”含参，使问题从“静态”化为“动态”，即对线性规则问题融⼊动态因素，⽤运动变化的观点来探究参数，此类试题旨在考查学⽣逆向思维及数形结合解决问题的能⼒.2.当“⽬标函数”含参时，可先画出可⾏域，然后⽤数形结合思想，通过⽐较⽬标函数与边界有关直线的倾斜程度，直观求解. 类型2 线性约束条件含参【例2】已知z ＝2x ＋y ，其中实数x ，y 满⾜y ≥x ，x ＋y ≤2，x ≥a ，且z 的最⼤值是最⼩值的4倍，则a 的值是( ) A.211B.14C.4D.112解析作出不等式组对应的平⾯区域如图：由z ＝2x ＋y 得y ＝－2x ＋z ，由图可知当直线y ＝－2x ＋z 经过点A 时，直线的纵截距最⼤，z 取最⼤值. 由x ＋y ＝2，y ＝x ，解得x ＝1，y ＝1，即A (1，1)， z max ＝2×1＋1＝3.当直线y ＝－2x ＋z 经过点B 时，直线的纵截距最⼩，此时z 最⼩. 由x ＝a ，y ＝x ，解得x ＝a ，y ＝a ，则点B (a ，a ). ∴z min ＝2×a ＋a ＝3a ，∵z的最⼤值是最⼩值的4倍，∴3＝4×3a，即a＝1 4.答案 B评析当“约束条件”含参时，可根据条件先确定可⾏域上的边界点或者边界线，进⽽确定“约束条件”中所含有的参数值，然后画出可⾏域，把问题转化为⼀般形式的线性规划问题.类型3“隐性”的线性规划问题【例3】如果函数f(x)＝12(m－2)x2＋(n－8)x＋1(m≥0，n≥0)在区间12，2上单调递减，则mn的最⼤值为()A.16B.18C.25D.812解析f′(x)＝(m－2)x＋n－8.由已知得：对任意的x∈12，2，f′(x)≤0，所以f′12≤0，f′(2)≤0，所以m≥0，n≥0，m＋2n≤18，2m＋n≤12.画出可⾏域，如图，令mn＝t，则当n＝0时，t＝0；当n≠0时，m＝tn.由线性规划的相关知识，只有当直线2m＋n＝12与曲线m＝tn相切时，t取得最⼤值.由－t n 2＝－12，6－12n ＝t n ，解得n ＝6，t ＝18.所以(mn )max ＝18.答案 B评析 1.本例以函数为载体隐蔽“约束条件”，有效实现了知识模块的交汇，例3要求从题设中抓住本质条件，转化为关于“m ，n ”的约束条件.2.解题的关键是要准确⽆误地将已知条件转化为线性约束条件作出可⾏域，抓住可⾏域中所求点的相应⼏何意义.该题⽴意新颖，在注意基础知识的同时，渗透了等价转化思想和数形结合思想，考查了学⽣的综合应⽤能⼒.基础巩固题组 (建议⽤时：35分钟)⼀、选择题1.已知点(－3，－1)和点(4，－6)在直线3x －2y －a ＝0的两侧，则a 的取值范围为( ) A.(－24，7) B.(－7，24)C.(－∞，－7)∪(24，＋∞)D.(－∞，－24)∪(7，＋∞)解析根据题意知(－9＋2－a )·(12＋12－a )<0，即(a ＋7)(a －24)<0，解得－72.在平⾯直⾓坐标系中，不等式组x ≥0，x ＋y ≤2，x ≤y所表⽰的平⾯区域的⾯积为()A.1B.2C.4D.8解析不等式组表⽰的平⾯区域是以点(0，0)，(0，2)和(1，1)为顶点的三⾓形区域(含边界)，则⾯积为12×2×1＝1. 答案 A3.(2018·天津卷)设变量x ，y 满⾜约束条件x ＋y ≤5，2x －y ≤4，－x ＋y ≤1，y ≥0，则⽬标函数z ＝3x ＋5y 的最⼤值为( ) A.6B.19C.21D.45解析不等式组表⽰的平⾯区域如图中阴影部分所⽰，作出直线y ＝－35x ，平移该直线，当经过点C 时，z 取得最⼤值，由－x ＋y ＝1，x ＋y ＝5得x ＝2，y ＝3，即C (2，3)，所以z max ＝3×2＋5×3＝21，故选C.答案 C4.(2017·全国Ⅱ卷)设x ，y 满⾜约束条件2x ＋3y －3≤0，2x －3y ＋3≥0，y ＋3≥0，则z ＝2x ＋y 的最⼩值是( ) A.－15B.－9C.1D.9解析作出不等式组表⽰的可⾏域，结合⽬标函数的⼏何意义得函数在点B (－6，－3)处取得最⼩值z min ＝－12－3＝－15.答案 A5.若x ，y 满⾜x ＋y ≥1，mx －y ≤0，3x －2y ＋2≥0，且z ＝3x －y 的最⼤值为2，则实数m 的值为()A.13B.23C.1D.2解析若z ＝3x －y 的最⼤值为2，则此时⽬标函数为y ＝3x －2，直线y ＝3x －2与3x －2y ＋2＝0和x ＋y ＝1分别交于A (2，4)，B ? ????34，14，mx －y ＝0经过其中⼀点，所以m ＝2或m ＝13，当m ＝13时，经检验不符合题意，故m ＝2. 答案 D6.(2019·武汉模拟)已知x －y ≥0，3x －y －6≤0，x ＋y －2≥0，则z ＝22x＋y的最⼩值是( )A.1B.16C.8D.4解析作出不等式组对应的平⾯区域如图，设m ＝2x ＋y ，则y ＝－2x ＋m ，由图可知当直线y ＝－2x ＋m 经过点A 时，直线在y 轴上的截距最⼩，。