高考文科数学真题汇编：基本不等式和线性规划老师版(1)

考纲解读明方向分析解读 1.了解不等式的有关概念及其分类,掌握不等式的性质及其应用,明确各个性质中结论成立的前提条件.2.能利用不等式的相关性质比较两个实数的大小.3.利用不等式的性质比较大小是高考的热点.分值约为5分,属中低档题.分析解读 1.多考查线性目标函数的最值问题,兼顾面积、距离、斜率等问题.2.能用线性规划的方法解决重要的实际问题,使收到的效益最大,耗费的人力、物力资源最少等.3.应重视数形结合的思想方法.4.本节在高考中主要考查与平面区域有关的范围、距离等问题以及线性规划问题,分值约为5分,属中低档题.分析解读 1.掌握利用基本不等式求最值的方法,熟悉利用拆添项或配凑因式构造基本不等式形式的技巧,同时注意“一正、二定、三相等”的原则.2.利用基本不等式求函数最值、求参数范围、证明不等式是高考热点.本节在高考中主要以选择题或填空题的形式进行考查,分值约为5分.分析解读 不等式的性质与函数、导数、数列等内容相结合,解决与不等式有关的数学问题和实际问题是高考热点.2018年高考全景展示1.【2018年天津卷文】设变量x ，y 满足约束条件 则目标函数的最大值为A. 6B. 19C. 21D. 45 【答案】C【解析】分析：首先画出可行域，然后结合目标目标函数的几何意义确定函数取得最大值的点，最后求解最大值即可.点睛：求线性目标函数z ＝ax ＋by (ab ≠0)的最值，当b ＞0时，直线过可行域且在y 轴上截距最大时，z 值最大，在y 轴截距最小时，z 值最小；当b ＜0时，直线过可行域且在y 轴上截距最大时，z 值最小，在y 轴上截距最小时，z 值最大. 2．【2018年文北京卷】设集合则A. 对任意实数a ，B. 对任意实数a ，（2,1）C. 当且仅当a<0时,（2,1）D. 当且仅当时,（2,1）【答案】D【解析】分析：求出及所对应的集合，利用集合之间的包含关系进行求解.点睛：此题主要结合充分与必要条件考查线性规划的应用，集合法是判断充分条件与必要条件的一种非常有效的方法，根据成立时对应的集合之间的包含关系进行判断. 设，若，则；若，则，当一个问题从正面思考很难入手时，可以考虑其逆否命题形式.3．【2018年浙江卷】若满足约束条件则的最小值是___________，最大值是___________．【答案】 -2 8【解析】分析:先作可行域，再平移目标函数对应的直线，从而确定最值.详解：作可行域，如图中阴影部分所示，则直线过点A(2,2)时取最大值8，过点B(4,-2)时取最小值-2.点睛：线性规划的实质是把代数问题几何化，即用数形结合的思想解题.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域；二，画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三，一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界处取得.4．【2018年天津卷文】已知，且，则的最小值为_____________.【答案】【解析】分析：由题意首先求得a-3b的值，然后结合均值不等式的结论整理计算即可求得最终结果，注意等号成立的条件.点睛：在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误．5．【2018年文北京卷】若,y满足，则2y−U最小值是_________.【答案】3【解析】分析：将原不等式转化为不等式组，画出可行域，分析目标函数的几何意义，可知当时取得最小值.详解：不等式可转化为，即，满足条件的在平面直角坐标系中的可行域如下图令，由图象可知，当过点时，取最小值，此时，的最小值为.点睛：此题考查线性规划，求线性目标函数的最值，当时，直线过可行域在轴上截距最大时，值最大，在轴上截距最小时，值最小；当时，直线过可行域在轴上截距最大时，值最小，在轴上截距最小时，值最大.6．【2018年江苏卷】在中，角所对的边分别为，，的平分线交于点D，且，则的最小值为________．【答案】9【解析】分析：先根据三角形面积公式得条件、再利用基本不等式求最值.点睛：在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.7．【2018年全国卷Ⅲ文】若变量满足约束条件则的最大值是________．【答案】3【解析】分析：作出可行域，平移直线可得详解：作出可行域由图可知目标函数在直线与的交点（2，3）处取得最大值3，故答案为3.点睛：本题考查线性规划的简单应用，属于基础题。

第4讲不等式、线性规划［考情分析］不等式的性质、求解、证明及应用是每年高考必考的内容，对不等式的考查一般以选择题、填空题为主.(1)主要考查不等式的求解、利用基本不等式求最值及线性规划问题.(2)不等式的相关知识可以渗透到高考的各个知识领域，往往作为解题工具与数列、函数、向量相结合，在知识的交汇处命题，难度中档，在解答题中，特别是在解析几何中利用不等式求最值、范围或在解决导数问题时利用不等式进行求解，难度偏高.热点题型分析热点1不等式的性质及解法方法结论----------- V——----1利用不等式的性质比较大小要注意特殊值法的应用.2. —元二次不等式的解法先化为一般形式ax2+ bx+ c>0@工0)，再求相应一元二次方程ax2+ bx+ c= 0@工0)的根，最后根据相应二次函数图象与x轴的位置关系，确定一元二次不等式的解集.3. 简单分式不等式的解法f x⑴g7>0(<0)? f(x)g(x)>0(<0)；fxg(x 戸0( w 0), Q(x 尸0.I【题型分析】I1. 已知a>b>0，给出下列四个不等式：①a2>b2:②2a>2b_\ ③ a- b> a- b;④a3+ b3>2a2b.其中一定成立的不等式为()A. ①②③ B .①②④C.①③④ D .②③④答案A解析解法一：由a>b>0可得a2>b2，所以①成立；由a>b>0可得a>b-1,而函数f(x) = 2x在R上是增函数, ••• f(a)>f(b-1)，即2a>2b-1，所以②成立；a>b>0，.°. a> b，•••( a — b)2— ( a — .b)2 = 2 ab -2b = 2 b( a - ,b)>0,a — b>%：a — .b ,所以③成立; 若 a = 3, b = 2,贝U a 3 + b 3 = 35,2a 2b = 36, 有a 3+ b 3<2a 2b ,所以④不成立.故选 A. 解法二：令 a = 3, b = 2,可以得到①a 2>b 2,②2a >2b — J ③a — b> a — .b 均成立，而④a 3 + b 3>2a 2b 不成立，故选A.2. 函数f(x)= 3x — x 2的定义域为( )A. [0,3]B. (0,3)C. (", 0] U [3 ,+x )D. (", 0)U (3,+x ) 答案 A【误区警示】I1•判断不等式是否成立，需要利用性质推理判断，也经常采用特值法进行验 证或举出反例，如第1题中对于a 与a — b 或者a —b 与0的大小判断易出错，利 用不等式的性质 a >b >0,• a — b >b — b — 0,即a — b >0. 2.解一元二次不等式要注意二次项系数的正负，通常先把系数化正再求解，不等式的解集要写成集合或区间的形式.如第2题易忽略二次项系数为负，由3x解析 要使函数f(x)= 3x — x 2有意义，则 3x — x 2>0, 即卩 x — 3x < 0? x(x —3)<0,解得 0W x <3,故选 A.2x 一 43.不等式2一R M 1的解集为()A.{ x|x<1 或 x > 3} C.{x|1<x M 3}B . {x|1M x M 3} D . {x|1<x<3}2x — 4 2x 一 4x — 3解析由n M 〔，移项得尸一1M 0,即口M 0,(x — 3[x -1 戶 0,X M 1,解得1vx M 3,故选C.—x2> 0得出选项C.3. 解不等式时同解变形出错，第3题易出现的问题有两个方面：一是错用不等式的性质直接把不等式化为2x—4M x—1求解；二是同解变形过程中忽视分母不为零的限制条件，导致增解•热点2基本不等式及其应用方法结论v1. 利用基本不等式求最大值、最小值的基本法则⑴如果x>0, y>0, xy = p （定值），当x = y 时，x + y 有最小值2 , p.（简记：积 定和最小）1 2⑵如果x>0, y>0, x + y = s （定值），当x =y 时，xy 有最大值4s .（简记：和定 积最大）2. 利用基本不等式解决条件最值问题的关键是构造和为定值或乘积为定值, 主要有两种思路：（1） 通过变形直接利用基本不等式解决.（2） 对条件变形，根据已知条件和基本不等式的“需求”寻找“结合点”， 通 过“ 1的代换、添项、分离常数等手段使之能运用基本不等式. 常见的转化方法有： （字母均为正数）;【题型分析】1.下列结论正确的是（ ）A. 当 x>0 且 X M 1, lg x + 十》2 1B. x ^+1 <1（x € R ）C. 当x>0时， x + 1x > 21D. 当0<x < 2时，x — 一无最大值x 答案 C解析 对于A ，当0VXV1时，lg x<0,不等式不成立；对于 B ，当x _ 0时， 有x 2+ 1 _ 1,不等式不成立；对于 C ,当x>0时，也+扌》2寸应扌_2,当且1①若a + b _ y —1,贝U mx + ny _(mx + ny) •_ (mx + ny) •£+ b >ma + nb +2 ,mnab② x + --- _ x — a + x — abx —+ a >a + 2 b(x>a , b>0).仅当x_ 1时等号成立；对于D,当0<x W 2时，y_x—-单调递增，所以当x_ 2时,x3取得最大值，最大值为3.故选C.2. _______________________________________________ 已知0<x<1，则x(4 - 3x)取得最大值时x 的值为 _______________________________ .2答案2解析 x(4 — 3x) = * (3x)(4 — 3x)<—，当且仅当 3x = 4— 3x ,2 4 2 即x =彳时，取等号•所以x(4 — 3x)的最大值为4取得最大值时x 的值为3.3. 设x>— 1,则函数 y =迸严的最小值为 答案 92解析••• x>— 1,A x + 1>0「= x +x ±^= x +1，即x =1时取“=”(由于x> — 1,故x = — 3舍去)，••• y =迸丁的最小 值为9.4. ____________________________________________________________ (2018江苏高考)在厶ABC 中，角A , B , C 所对的边分别为a , b , c ,Z ABC =120°, / ABC 的平分线交AC 于点D ,且BD = 1,贝U 4a + c 的最小值为 ______________________ .答案 9解析由题意可知，S A ABC = S A A BD + S A BCD , 由角平分线性质和三角形面积公 11 1 1 1 式得^acsin120 =2*x 1 x sin60 + 沖 1x sin60 ° 化简得 ac = a +c ,首+ "= 1, 因 此4a + c = (4a + c) £+三)=5+1+鲁》5+ 2、^£甲=9,当且仅当c = 2a = 3时取等 号，则4a + c 的最小值为9.【误区警示】1.利用均值不等式求解最值时，要注意三个条件，即 “一正一一各项都是正 数；二定 和或积为定值；三等 能取到使等号成立的值”，这三个条件缺一 不可.2.第 2题易出错的地方是：不会“凑”，不能根据函数解析式的特征适当变 形凑出两式之和为定值；第3题是分子展开后不能变形凑出两式之积为定值. 第4 题利用T 的代换或配凑使和为定值或积为定值时，代数式的变形要注意保持等价•热点3简单的线性规划问题方法结论1. 解决线性规划问题的一般步骤⑴画出可行域；(2)根据线性目标函数的几何意义确定其取得最优解的点； ⑶x + 1 X + 12(x + 1)+ 5(x + 1)+ 4 = x + 1+ 丄 = x +1x + 1 + 5>2\/(x + 1)x ++1+ 5 = 9,当且仅当 x + 1 =求出目标函数的最大值和最小值.2. 常见代数式的几何意义Az z(1) z= Ax+ By表示与直线y= —RX+B在y轴上的截距B成比例的数；(2) z= (x —a)2+ (y—b)2区域内动点(x, y)与定点(a, b)的距离的平方；(3) z= y——a表示区域内动点(x, y)与定点(a, b)连线的斜率.3. 求解线性规划中含参问题的基本方法(1) 首先把不含参数的平面区域确定好；(2) 把参数当成常数用，根据线性规划问题的求解方法求出最优解，代入目标函数确定最值，通过构造方程或不等式求解参数的值或取值范围.4. 解线性规划应用问题的一般步骤(1)分析题意，设出未知量；⑵列出线性约束条件和目标函数；(3) 作出可行域并利用数形结合求解；(4) 作答.I【题型分析】题型1已知约束条件，求目标函数的最值2x+ 3y —6> 0，1. (2019全国卷U )若变量x，y满足约束条件x+ y—3w0，则z= 3x—yy —2 w 0，的最大值是________ .答案9解析作出已知约束条件对应的可行域(图中阴影部分)，由图易知，当直线y= 3x—z 过点C时，一z最小，即z最大.x + y — 3 = 0, x = 3, 由2 解得2 2x + 3y — 6 = 0, y= 0,即 C 点坐标为（3,0）,故 Z max = 3X 3— 0= 9.则z = x 2 + y 2 — 4x —6y + 13的最小值为 ______ .由于 z = x 2 + y 2— 4x —6y + 13= (x — 2)2 + (y — 3)2,故 z 表示可行域内的点 A(x , y)与定点P(2,3)间距离的平方，即z =|PAf.由图形可得|PA|的最小值即为点P(2, 3)到直线x + y — 4= 0的距离d =|2+ 3 — 4| =亚2 = 2 ,2 1所以 Z min = d = ?.|【误区警示】|第1、2题易错在不能准确把握目标函数z 的几何意义而不知如何变形 题型2已2.(2019晋城一模)若x , y 满足约束条件 x + y —4< 0,ly 》2,解析知目标函数的最值求参数x> 1,1. （2019华南师大附中一模）已知a>0, x, y满足约束条件x+ y<3, 若y>ax—3,z= 2x+ y的最小值为1,贝U a=( )C. 1答案Ax= 1, 解析由约束条件画出可行域（如图所示三角形及其内部）.由'$= ax—3）得B（1, —2a）.当直线2x+y—z= 0过点B时，z= 2x+ y取得最小值，所以1 = 2X 1 1—2a,解得a= q,故选A.x—y>0,若z= ax+ y的最大值为4,贝U a=2.知x,y满足约束条件x+y<2,在直角坐标系中所表示的平面区域如图中的阴影部分所示,若z = ax + y 的最大值为4, 则y = — ax + z 截距的最大值为4. ① 若a<0,则不满足条件；② 若a>0,当一a<— 1,即a>1时，x = 2, y = 0是最优解，此时a = 2；当一 a> — 1,即0<a<1时，x = 1, y = 1是最优解，此时a = 3>1(舍).故选B.【误区警示】第1题易在分析动直线的位置时出错，忽略直线 y = a(x — 3)恒过定点(3,0)而 不好确定可行域；第2题需明确目标函数中z 与直线y = — ax + z 截距最值相同， 易忽视关于a 的正负讨论而漏解或错解.题型3线性规划的实际应用(2019黄冈联考)一个小型加工厂用一台机器生产甲、乙两种桶装饮料，生产 一桶甲饮料需要白糖4千克，果汁18千克，用时3小时；生产一桶乙饮料需要白 糖1千克，果汁15千克，用时1小时.现库存白糖10千克，果汁66千克，生产 一桶甲饮料利润为200元，生产一桶乙饮料利润为100元，在使用该机器用时不 超过9小时的条件下，生产甲、乙两种饮料利润之和的最大值为 _________________________________ .答案 600解析 设生产甲、乙两种饮料分别为x 桶、y 桶，利润为z 元， 「4x + y < 10, 18x + 15y < 66,则得 3x + y < 9, x > 0,Ly >0.目标函数z = 200x + 100y.4x+y-l0=0「4x + y < 10, 6x + 5y < 22, 即 3x +y < 9,x > 0, L y >0.6%+5y-22=0作出可行域（如图阴影部分所示）•当直线z= 200x+ 100y经过可行域上点B 时，z取得最大值.4x+ y= 10,解方程组* 得点B的坐标（2,2）,故Z max= 200X 2+ 100X2 = 600.©x+ 5y= 22,I【误区警示】I1. 线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一、准确无误地作出可行域；二、画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三、一般情况下，目标函数的最大或最小会在可行域的端点或边界上取得.2. 在解决线性规划的应用问题时要注意结合实际问题的实际意义，判断所设未知数x，y的取值范围，特别注意分析x，y是否是整数、是否是非负数等.真题自检感悟1. （2019 全国卷I ）已知a= log20.2，b = 20'2，c= 0.20'3,则（）A.a<b<cB. a<c<bC.c<a<bD. b<c<a答案B0 2 0 3解析因为a= log20.2<0，b = 2 .>1,0<c= 0.2 .<1，所以b>c>a.故选B.（2x+ 3y —3 w 0，2. （2017全国卷U ）设x,y满足约束条件2x- 3y+ 3>0，则z= 2x+ y的最y+ 3> 0，小值是（）A. - 15 B . - 9C. 1D. 9答案A解析不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示.将目标函数z = 2x + y 化为y = — 2x +z ,作出直线y = — 2x ,并平移该直线， 知当直线y = — 2x + z 经过点A(— 6, — 3)时，z 有最小值，且z min — 2 X(— 6)— 3 = —15.故选A. .2 [x — x + 3, x W 1,3.(2017天津高考)已知函数f(x) — 2 设a € R ，若关于x 的|x + ^, x > 1. 不等式f(x)> -+ a 在R 上恒成立，则a 的取值范围是( )2 A 』-16, 2 C.[ — 2 3, 2] B. _-16, 19 D 」-2飒 答案 A x x解析 关于x 的不等式f(x)》2+ a 在R 上恒成立等价于—f(x)< a +-< f(x), x x即一f(x) — a <f(x) — q 在R 上恒成立,x令 g(x)二一f(x) —2.当 x < 1 时，g(x)= — (x 2— x + 3)— x = — x 2+1— 3——x -42-箱,,g(x)max — — 16；r +x )- 2-- &+ 当且仅当労=x ，且 x > 1,即x —时, 故 g(x)max = — 2 3.宀 47 综上，g(x)max = —当x —当 x > 1 时，g(x)= —xa 1 1综上可得2 + 8的最小值为4.专题作业一、选择题1.（2019北京高考）若 x ,y 满足xi < 1— y ,且y 》—1,则3x +y 的最大值为（ ） A. — 7 B . 1 C . 5D . 7令 h(x) = f(x) — 2, 当 x < 1 时，h(x) = x 2 — x + 3—x = x 2 —爭+ 3 3 2 39 x —4 +16,当x = 当x > 1时, 39 h(X )min = 16； 2 x x 2 h (x )=x +x —x =x +x > 2, 2 x ，且 x > 1,即 x = 2 时,入当且仅当2=故 h （x ）min = 2. 综上，h （x ）min = 2. -47 故a 的取值范围为i|—屁，2 A. 1 4.（2018天津高考）已知a , b € R ,且a - 3b + 6 = 0,则2a+衣的最小值为 1 答案1 1 解析 由 a — 3b + 6= 0 可知 a — 3b = — 6,且 2a + 衣=2a + 2—3b , 因为对于任意x,2x >0恒成立， 结合均值不等式的结论可得， 2a + 2— 3b > 2 2a X 2—3b = 2 2—6=4. 当且仅当^2 a 2 — 3b _a — 3b _ — 6, a _ — 3,即:b _1时等号成立.答案CxA. 12, B 』-2, C. [1 ,+x ） D.-2 U [1 ,+x ） 答案解析二三0? 2X + 1 [（x —1I 2x + 1 戶 0, 2X + 1M 0, 解得1—2=x < 1, 1 即一2<x < 1.故选 A.x3. （201 7山东高考）若a>b>0,且ab= 1,则下列不等式成立的是（）1 bA.a+ b v2a v log2（a + b）b 1B^v log2（a+ b）v a+ £C.a+ log2（a+ b）vD. log2（a+ b）v a+ 萨亍答案B解析解法一：v a> b>0, ab= 1,••• log2（a+ b）>log2（2 . ab）= 1.2 2v a>b>0 且ab= 1 ,• a >ab>b，贝U a>1,0<b<1,于是2a>2, • 0<^<2，贝U ^75<21V a +b = a+ * 2a>a+ b>log2（a+ b），b 1•2a<log2（a+ b）<a+ &故选 B.、一 1解法: v a>b>0, ab= 1 ,•取a=2, b=q,此时 a + ¥= 4,8, log2（a+ b）= log25-1~ 1.3, b 1 •2^v log2（a+ b）v a+ £.故选 B.4.(2019北京师范大学附中模拟）已知a>0,111b>0,并且a，2，b成等差数列,则a+ 9b的最小值为()A.16B. 9C. 5D. 4答案A1 1 1解析• a, 2, b成等差数列，a 2 b1 1 “• 一+二=1a b（1 a 9b l a 9b , _, t a 9b _• a+ 9b二（a+ 9b）孑拱10+a+ /10 +企/b訂16,当且仅当匸9■且1 1 41+ 1,即a = 4, b=3时等号成立.• a+ 9b的最小值为16,故选A.a5.已知函数f(x) = x+ -+ 2的值域为(一X, 0)U (4,+x)，则a的值是()X1 3A.g Bq C. 1 D. 2答案C解析由题意可得a>0,①当x>0时，f(x)= x + a+ 2>2 a+ 2,当且仅当x—a时取等号；②当x<0时，f(x) = x+a+ 2< —2 a + 2,当且仅当x=—, a时取入2 +晋4,解得a = 1,故选C.2 — 2 压 0,等号，所以< 6.（2018 天津高考）已知 a = log 2e , b = In 2, 11c = Iog23，则a , b , c 的大小关系为（） A.a>b>c b>a>c c>a>bC.c>b>a 答案 D解析由题意结合对数函数的性质可知， 1 11a = Iog 2e>1,b = In 2 = （0,1）,c = log^^Iog 23>log 2e,据此可得，c>a>b.故选D.7.已知 A.8 答案 1 1x , y>0且x + 4y = 1,贝r + -的最小值为（）x yB . 9C . 10D . 11解析1 1 訂 1、 V Xx , y>0 且 x + 4y = 1,二 x +y = （x + 4y ） - + y J= 5+ 4 ?+5+当且仅当4X =x 即1 x= 3, 1 y =1x = — 1, 或 1（舍去）时等号成立.故选B.尸2x — 2y + 1 > 0,8.（2019华大新高考联盟模拟）若实数x,y 满足不等式组 y 》x ,则x > 0,x 2 + y 2的取值范围是（）A 』4, 2：B . [0,2] C.g ,辺 D . [0, <2]答案 B解析 画出可行域如图阴影部分所示（含边界）,x2+ y2的几何意义是阴影内的点到原点的距离的平方，显然0点为最小值点, 而A（1,1）为最大值点，故x2+ y2的取值范围是[0,2] •故选B.■p x—1 > 0,9若x, y满足约束条件x—y<0, 贝巴的最大值为（）x+ y—4< 0,A.1 B1C. 3D. 0答案C解析作出可行域如图中阴影部分所示，由斜率的意义知，丫是可行域内一x点与原点连线的斜率，由图可知，点A（I,3）与原点连线的斜率最大，故y的最大值入为3.故选C.*X-1 =0/I\/r-Y=0- 4=1/ 1 >/0 1 kx —y> 0,10.若直线I: kx—y+ 1= 0上不存在满足不等式组x+ y—2< 0, 的点（x,x —4y—4< 0y），则实数k的取值范围为（）A.（", 0] U 4+x 丿c.i , o )u 4，+-答案 Dx — y > 0,解析 实数x , y 满足x +y — 2< 0,对应的可行域如图中阴影部分:x — 4y — 4< 0,A.16 C . 6 D . 1答案 C1 1 1 1 a + b解析 •••正数a , b 满足：-+ r = 1,：a>1且b>1.-+ 7= 1可变形为一匚=1, a ba b ab•, _d_..--ab = a + b,.. ab — a — b = 0,.. (a — 1)(b — 1) = 1,.. a — 1 =, - a —1>0, b — 119 1 1 1 .R + b —1 = R + 9(— 2a —19a -1 = 6,当且仅当 R= 9(a—1)，即a =4时取“=”由于a >1，故a =2舍去，二a ——1+b —1的最小值为6.故 选C.1 9 212.(2019太原模拟)已知直线I : kx — y + 1= 0可化为y = kx + 1,故直线I 过定点C(0,1),由图可知,[x — y = 0,当直线I 过的交点A(1,1)时，k = 0;当直线Ilx + y — 2= 04 时 k =7，x —；；! 0的交由此可知当0<k<7时， 式组的点.故选D.直线与不等式组无交点，即直线I 上不存在满足不等11.若正数a , b 满足: 11 1 9a +1=1则L +□的最小值为()7正数a, b满足占+b= 1,若不等式a+ b》—x+ 4x + 18—m对任意实数x恒成立，则实数m的取值范围是()A.[3 ,+x) B . (", 3]C.( — x, 6] D . [6 ,+x)答案 D1 9解析■/ a>0, b>0,且-+ 匚二1,a b八a+ b=(a+b) a+b =10+a+旱》10+2 ,b9a=16,当且仅当£=曽，即a= 4, b= 12时等号成立，所以(a+ b)min = 16.若不等式a+ b> —x2+ 4x+ 18—m对任意实数x恒成立，则—x2+ 4x+ 18 —m< 16,即卩m》一x2+ 4x+ 2对任意实数x恒成立，2 2••• —x + 4x+ 2= —(x —2) + 6<6,二m》6.•••实数m的取值范围是[6, +^).故选D.二、填空题y》1,13. 已知实数x,y满足y w2x—1 , 如果目标函数z=x—y的最小值为一1,-x+ y< m,则实数m等于_________ .答案5解析绘制不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示(含边界),数的几何意义可知目标函数在点A 处取得最小值，所以呼-筈1二-1,解得 m = 5.14.(2017江苏高考)某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x 吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x 万元•要使一年的总运费与总存储费用之和最 小，贝U x 的值是 _______ .答案 30解析一年的总运费为6X 6x°=響万元). 一年的总存储费用为4x 万元.36004x = 240,当且仅当3600= 4x ，即x = 30时取得等号,入x + y < 6,15.(2019衡水中学检测)设满足 ％ 产2， 的实数x,y 所在的平面区域为x > 0, y > 0Q,则Q 的外接圆方程是 ________________ .答案 (x - 1)2+ (y - 3)2= 10解析 作出不等式组表示的平面区域 Q,如图阴影部分所示.贝皿域Q 是四 边形ABCO(含内部及边界)•易知BC 丄AB ,则外接圆的圆心为AC 的中点，又A(0,6), C(2,0),则该四边形外接圆的圆心为(1,3),半径r = 2|AC | = . 10故所求圆的方程为 (x -1)2+ (y - 3)2= 10.联立直线方程尸2x _ 1, y=- x + m ,可得交点坐标为人晋1,竺孑1 ［由目标函总运费与总存储费用的和为3600+ 4x 万元.所以当 x = 30时，一年的总运费与总存储费用之和最小16•若实数x, y满足x2+ y2< 1,则|2x+ y—2| + |6 —x—3y|的最小值是答案3解析x2+ y2< 1表示圆x2+ y2= 1及其内部，易得直线6—x—3y= 0与圆相离，故|6—x—3y|= 6—x—3y,当2x+ y —2>0 时，|2x+ y —2|+ |6—x—3y|= x—2y + 4,如下图所示，可行域为小的弓形内部，目标函数z= x—2y+ 4,贝U可知当x3 4—5, y= 5时，Z min —3,当2x+ y—2w0 时，|2x+ y—2|+ |6—x—3y|= 8—3x—4y,3 4可行域为大的弓形内部，目标函数Z—8—3x —4y,同理可知当x —5，y—5时，Z min=3,综上所述,。

的解集是（A ）-5 （B ）-4 （C ）-2 （D ）3【答案】B21.（2013天津）设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y －6≥0，x －y －2≤0，y －3≤0，则目标函数z ＝y －2x 的最小值为( )A ．－7B ．－4C ．1D ．2 【答案】A22.(2013新标2文)设x ，y 满足约束条件{ x －y ＋1≥0，x ＋y －1≥0，x ≤3，则z ＝2x －3y 的最小值是( )A ．－7B ．－6C ．－5D ．－3 【答案】B23.(2014新标2理) 设x,y 满足约束条件70310350x y x y x y +-⎧⎪-+⎨⎪--⎩≤≤≥，则2z x y =-的最大值为（ ）A. 10B. 8C. 3D. 2 【答案】B24.(2014新标2文)设x ，y 满足约束条件10,10,330,x y x y x y +-≥⎧⎪--≤⎨⎪-+≥⎩则2z x y =+的最大值为（A ）8 （B ）7 （C ）2 （D ）1 【答案】B25．(2012福建) 若函数y ＝2x 图象上存在点(x ，y )满足约束条件30,230,,x y x y x m +-≤⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩则实数m 的最大值为( )A ．12B ．1C ．32D ．2【简解】作图，由图可知当直线x ＝m 经过函数y ＝2x的图象与直线x ＋y －3＝0的交点P 时取得最大值；即得2x＝3－x ，即x ＝1＝m ．选B 26．（2013湖北文）某旅行社租用A 、B 两种型号的客车安排900名客人旅行，A 、B 两种车辆的载客量分别为36人和60人，租金分别为1600元/辆和2400元/辆，旅行社要求租车总数不超过21辆，且B 型车不多于A 型车7辆．则租金最少为A ．31200元B ．36000元C ．36800元D ．38400元【简解】设需要A 型车x 辆，B 型车y 辆，则根据题设，有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+>>≤-≤+,9006036,0,0,7,21y x y x x y y x ；画出可行域，求出三个满足约束条件则满足约束条件B、，则。

第1讲基本不等式与线性规划【课前热身】第1讲基本不等式与线性规划(本讲对应学生用书第23~24页)1.(必修5 P77练习2改编)不等式组-2-1y xy xy≤+⎧⎪≤⎨⎪≥⎩，，所表示的平面区域的面积为.(第1题)【答案】1 4【解析】作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示，由题意知x B=1，x C=2.由-2-1y xy x=+⎧⎨=⎩，，解得yD=12，所以S△BCD=12×(x C-x B)×12=14.2.(必修5 P90习题6改编)若x，y满足约束条件24-1-22x yx yx y+≥⎧⎪≥⎨⎪≤⎩，，，则z=x+y的最小值是.(第2题)【答案】2【解析】作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示.由z=x+y，得y=-x+z.令z=0，画出y=-x的图象，当它的平行线经过点A(2，0)时，z取得最小值，最小值为z=2.3.(必修5 P91习题5改编)已知函数f(x)=x+1x-2(x<0)，那么f(x)的最大值为. 【答案】-4【解析】因为x<0，所以f(x)=-1(-)(-)xx⎡⎤+⎢⎥⎣⎦-2≤-2-2=-4，当且仅当-x=1-x，即x=-1时取等号.4.(必修5 P101习题2改编)若x>0，y>0，且log3x+log3y=1，则1x+1y的最小值为. 【答案】23【解析】由log3x+log3y=1，得x·y=3，所以1x+1y11·x y=213=23.5.(必修5 P91习题3改编)函数224x+.【答案】5 2【解析】设t=24x +(t ≥2)，易知y=t+1t 在[2，+∞)上是单调增函数，所以当t=24x +=2，即x=0时，y min =52.【课堂导学】运用基本不等式求最值例1 (2016·泰州期末)若正实数x ，y 满足(2xy-1)2=(5y+2)(y-2)，则x+12y 的最大值是 .【点拨】设x+12y =z 进行整体代换.【分析】处理双元最值问题，常用消元法或整体法，也可以构建方程转化为方程有解去处理.如本题，思考方向一，可以设x+12y =z ，代入之后转化为关于y 的方程(4z 2-5)y 2-8(z-1)y+8=0在[2，+∞)上应有解，由Δ≥0解出z 的范围，并验证最大值成立；思考方向二，消去x 再用基本不等式去处理；思考方向三，通过等比中项，引用一个新的参数q ，把x+12y 用q 来表示后再整理求最值.【答案】32-1【解析】方法一：令x+12y =z ，则2xy=2yz-1，代入(2xy-1)2=(5y+2)(y-2)，整理得(4z 2-5)y 2-8(z-1)y+8=0（*），由题意得y-2≥0，该方程在[2，+∞)上有解，故Δ≥0，即64(z-1)2-32(4z 2-5)≥0，化简得2z 2+4z-7≤0，故0<z ≤-1+.检验：当z=-1时，方程(*)可化为(17-)y 2-(12-16)y+8=0，此时y 1+y 2>0，y 1·y 2>4，故方程必有大于2的实根，所以x+12y的最大值为-1. 方法二：(2xy-1)2=(5y+2)(y-2)，即21-2x y ⎛⎫ ⎪⎝⎭=5111-22y y ⎛⎫⎛⎫+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 所以12-1y ，x-1522y ，+1y 成等比数列，设公比为q (q>1)，将x ，1y 用q 表示，则x+12y =23(-1)1q q ++12=32-12-1q q +++12≤-1，当且仅当q-1=2-1q ，即+1时等号成立.【点评】处理此类双元最值问题，要有方程、减元和整体意识，要多观察题中给出式子的结构特点及条件与所求的联系，要带着方向和目标去解题，并能熟2a b+a ，b>0)和ab ≤22a b +⎛⎫ ⎪⎝⎭≤222a b+(a ，b ∈R ).变式1(2016·天一中学)设x，y∈R，a>1，b>1，若a x=b y=2，a+b=4，则2x+1y的最大值为.【答案】4【解析】因为x=log a2，y=log b2，所以2x+1y=2log2a+1log2b=log2a2+log2b=log2(a2b).又4=a+b≥2a b，当且仅当a=b时取等号，所以a2b≤16，所以log2(a2b)≤4.变式2(2015·扬州期末)设实数x，y满足x2+2xy-1=0，则x2+y2的最小值是.【分析】(1)注意到条件与所求均含有两个变量，从简化问题的角度来思考，消去一个变量，转化为只含有一个变量的函数，从而求它的最小值.注意题中消去y较容易，所以应消去y.(2)由所求的结论x2+y2想到将条件应用基本不等式构造出x2+y2，然后将x2+y2求解出来.【答案】5-1【解析】方法一：由x2+2xy-1=0，得y=21-2xx，从而x2+y2=x2+221-2xx⎛⎫⎪⎝⎭=254x+214x-12≥2516-12=5-1，当且仅当x=±415时等号成立.方法二：由x2+2xy-1=0，得1-x2=2xy≤mx2+ny2，其中mn=1(m，n>0)，所以(m+1)x2+ny2≥1，令m+1=n，与mn=1联立解得m=5-1，n=51+，从而x2+y2≥512+=5-1.变式3 (2015·扬淮南连二调)设x ，y ，z 均为大于1的实数，且z 为x 和y 的等比中项，则lg 4lg z x +lg lg zy 的最小值为 .【答案】98【分析】从求解的结构上看，属于基本不等式中“1”的代换的题型.【解析】由题意得lg x>0，lg y>0，lg z>0，且z 2=xy ，从而lg z=12(lg x+lg y )，所以lg 4lg z x+lg lg z y=lgz 14lg x ⎛ ⎝+1lg y ⎫⎪⎭=lg lg 2x y +·114lg lg x y ⎛⎫+ ⎪⎝⎭=58+12lg lg x y ⎛ ⎝+lg 4lg y x ⎫⎪⎭≥58+12·lg lg ·lg lg x yy x =98当且仅当lg lg x y =lg 4lg y x ，即y=x 2时取等号.线性规划中的最值问题例2 (2016·全国卷Ⅲ)若实数x ，y 满足约束条件-10-202-20x y x y x y +≥⎧⎪≤⎨⎪+≤⎩，，，则z=x+y 的最大值为 .【答案】32【解析】作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示.联立-202-20x y x y =⎧⎨+=⎩，，得A 112⎛⎫ ⎪⎝⎭，，当直线z=x+y 过点A 时，z 取得最大值，所以z max =1+12=32.(例2)变式1(2016·山东卷)若变量x，y满足约束条件22-39x yx yx+≤⎧⎪≤⎨⎪≥⎩，，，则x2+y2的最大值是.(变式1)【答案】10【解析】作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示，设z=x2+y2，联立22-39x yx y+=⎧⎨=⎩，，得3-1xy=⎧⎨=⎩，，由图可知，当x2+y2=z过点(3，-1)时，z取得最大值，即(x2+y2)max=32+(-1)2=10.变式2(2016·苏州中学)若实数x，y满足约束条件-30--3001x yx yy+≥⎧⎪≤⎨⎪≤≤⎩，，，则z=2x yx y++的最小值为.(变式2)【答案】53【解析】作出可行域如图中阴影部分所示，其中A (3，0)，C (2，1)，易知z=21yx y x ++=1+15231y x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦+，.基本不等式的实际应用例3 (2016·南京学情调研)某市对城市路网进行改造，拟在原有a 个标段(注：一个标段是指一定长度的机动车道)的基础上，新建x 个标段和n 个道路交叉口，其中n 与x 满足n=ax+5.已知新建一个标段的造价为m 万元，新建一个道路交叉口的造价是新建一个标段的造价的k 倍.(1)写出新建道路交叉口的总造价y (单位：万元)与x 的函数关系式； (2)设P 是新建标段的总造价与新建道路交叉口的总造价之比，若新建的标段数是原有标段数的20%，且k ≥3，问：P 能否大于120?并说明理由.【解答】(1)依题意得y=mkn=mk (ax+5)，x ∈N *. (2)方法一：依题意知x=0.2a.所以P=mx y =(5)x k ax +=20.2(0.25)ak a +=2(25)a k a + ≤23(25)a a +=1253a a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭2532a a ⨯⨯130<120. 答：P 不可能大于120.方法二：依题意得x=0.2a.所以P=mxy=(5)xk ax+=20.2(0.25)ak a+=2(25)ak a+.假设P>120，得ka2-20a+25k<0.因为k≥3，所以Δ=100(4-k2)<0，所以不等式ka2-20a+25k<0无解，与假设矛盾，故P≤120.答：P不可能大于120.【课堂评价】1.若0<x<1，则当f(x)=x(4-3x)取得最大值时x的值为.【答案】23【解析】因为0<x<1，所以f(x)=x(4-3x)=13×3x(4-3x)≤13×234-32x x+⎛⎫⎪⎝⎭=43，当且仅当3x=4-3x，即x=23时取等号.2.(2016·海门中学)已知a>0，b>0，a，b的等比中项是1，且m=b+1a，n=a+1b，则m+n的最小值是.【答案】4【解析】由题意知ab=1，所以m=b+1a=2b，n=a+1b=2a，所以m+n=2(a+b)≥4ab=4.3.(2016·北京卷)若实数x，y满足约束条件2-03x yx yx≤⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，，，则2x+y的最大值为. 【答案】4【解析】作出可行域如图中阴影部分所示，点A的坐标为(1，2)，目标函数z=2x+y 变为y=-2x+z，当目标函数的图象过点A(1，2)时，z取得最大值4，故2x+y的最大值是4.(第3题)4.(2016·扬州期末)已知a>b>1且2log a b+3log b a=7，则a+21-1b的最小值为. 【答案】3【解析】因为2log a b+3log b a=7，所以2(log a b)2-7log a b+3=0，解得log a b=12或log a b=3.因为a>b>1，所以log a b∈(0，1)，故log a b=12，从而b=a，因此a+21-1b=a+1-1a=(a-1)+1-1a+1≥3，当且仅当a=2时等号成立.5.(2016·浙江卷)在平面上，过点P作直线l的垂线所得的垂足称为点P在直线l上的投影，由区域-20-340xx yx y≤⎧⎪+≥⎨⎪+≥⎩，，中的点在直线x+y-2=0上的投影构成的线段记为AB，则AB=.(第5题)【答案】2【解析】易知线性区域为图中三角形MNP(包括边界)，且MN与AB平行，故AB=MN，易得M(-1，1)，N(2，-2)，则MN=2，故AB=32.温馨提示：趁热打铁，事半功倍.请老师布置同学们完成《配套检测与评估》第9~10页.【检测与评估】专题三不等式第1讲基本不等式与线性规划一、 填空题1.(2015·福建卷)若直线x a +yb =1(a>0，b>0)过点(1，1)，则a+b 的最小值为 .2.(2016·苏州暑假测试)已知变量x ，y 满足约束条件2-203x y x y y +≥⎧⎪≤⎨⎪≤≤⎩，，，则目标函数z=2x-y 的最大值是 .3.(2015·山东卷)若变量x ，y 满足约束条件-131y x x y y ≤⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，，，则z=x+3y 的最大值为 .4.(2015·苏锡常镇二模)已知常数a>0，函数f (x )=x+-1a x (x>1)的最小值为3，则a 的值为 .5.(2016·淮阴中学)已知x ，y ∈R ，且x 2+2xy+4y 2=6，则z=x 2+4y 2的取值范围是 .6.(2016·新海中学)已知点P (x ，y )到A (0，4)和B (-2，0)的距离相等，则2x +4y 的最小值为 .7.(2016·全国卷Ⅰ)某高科技企业生产产品A 和产品B 需要甲、乙两种新型材料.生产一件产品A 需要甲材料1.5 kg ，乙材料1 kg ，用5个工时；生产一件产品B 需要甲材料0.5 kg ，乙材料0.3 kg ，用3个工时.生产一件产品A 的利润为2 100元，生产一件产品B 的利润为900元.该企业现有甲材料150 kg ，乙材料90 kg ，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A 、产品B 的利润之和的最大值为 元.8.(2016·上海卷)设a>0，b>0.若关于x，y的方程组11ax yx by+=⎧⎨+=⎩，无解，则a+b的取值范围是.二、解答题9.(1)当点(x，y)在直线x+3y-4=0上移动时，求3x+27y+2的最小值；(2)已知x，y都是正实数，且x+y-3xy+5=0，求xy的最小值.10.(2016·苏州一模)如图，某生态园将一三角形地块ABC的一角APQ开辟为水果园种植桃树，已知角A为120°，AB，AC的长度均大于200 m，现在边界AP，AQ处建围墙，在PQ处围竹篱笆.(1)若围墙AP，AQ总长度为200 m，如何围可使得三角形地块APQ的面积最大?(2)已知AP段围墙高1 m，AQ段围墙高1.5 m，造价均为100元/m2.若围围墙花费了20 000 元，问如何围可使竹篱笆用料最省?(第10题)11.(2016·启东中学)设x>0，y>0，a=x+y，b=22x xy y++xy m∈N*).求证：若对任意正数x，y可使a，b，c为三角形三边，则m的取值集合为{1，2，3}.【检测与评估答案】专题三不等式第1讲基本不等式与线性规划一、填空题1.4【解析】依题意得1a+1b=1，所以a+b=(a+b)1a⎛⎝+1b⎫⎪⎭=1+ab+ba+1≥2+2·a bb a=4，当且仅当a=b=2时等号成立.2.7【解析】作出可行域如图中阴影部分所示，可知当目标函数过点A(5，3)时，z取得最大值，所以zmax=2×5-3=7.(第2题)3.7【解析】作出可行域如图中阴影部分所示，当直线x+3y-z=0经过可行域内的点A时，z取得最大值.联立-13y xx y=⎧⎨+=⎩，，解得12xy=⎧⎨=⎩，，即A(1，2)，故zmax=1+3×2=7.(第3题)4. 1 【解析】因为f (x )=x-1+-1ax +1，且x-1>0，所以f (x )≥2a +1=3，当且仅当x-1=a ，即x=a +1>0时取等号，此时a=1.5. [4，12] 【解析】因为2xy=6-(x 2+4y 2)，而2xy ≤2242x y +，所以6-(x 2+4y 2)≤2242x y +，所以x 2+4y 2≥4，当且仅当x=2y 时取等号.又因为(x+2y )2=6+2xy ≥0，即2xy ≥-6，所以z=x 2+4y 2=6-2xy ≤12.综上可得4≤x 2+4y 2≤12. 6. 42【解析】由题意得点P 在线段AB 的中垂线上，则易得x+2y=3，所以2x +4y ≥224xy⋅=222x y+=42，当且仅当x=2y=32时，等号成立，故2x +4y 的最小值为42.7. 216 000 【解析】设生产产品A 、产品B 分别为x 件、y 件，利润之和为z 元，则1.50.51500.39053600N N x y x y x y x y ∈∈+≤⎧⎪+≤⎪⎨+≤⎪⎪⎩，，，，， 即330010390053600N N x y x y x y x y ∈∈+≤⎧⎪+≤⎪⎨+≤⎪⎪⎩，，，，，目标函数为z=2 100x+900y.(第7题)作出不等式组表示的平面区域为图中阴影部分内(包括边界)的整点，即可行域. 由图可知当直线z=2 100x+900y 经过点M 时，z 取得最大值.联立方程组10390053600x yx y+=⎧⎨+=⎩，，得M的坐标为(60，100)，所以当x=60，y=100时，z max=2 100×60+900×100=216 000.8.(2，+∞)【解析】将方程组中的第一个方程化为y=1-ax，代入第二个方程整理得(1-ab)x=1-b，该方程无解应该满足1-ab=0且1-b≠0，所以ab=1且b≠1，所以由基本不等式得a+b>2，故a+b的取值范围是(2，+∞).二、解答题9. (1) 由x+3y-4=0，得x+3y=4，所以3x+27y+2=3x+33y+2≥2+2=2+2=2=20，当且仅当3x=33y且x+3y-4=0，即x=2，y=23时取等号，此时所求的最小值为20.(2) 由x+y-3xy+5=0，得x+y+5=3xy，所以5≤x+y+5=3xy，所以3xy-5≥0，所以5)≥0，53，即xy≥259，当且仅当x=y=53时取等号，故xy的最小值是259.10. (1) 设AP=x m，AQ=y m，则x+y=200，△APQ的面积S=12xy·sin 120°=xy，所以S≤22x y +⎫⎪⎝⎭=2 500，S max =.当且仅当200x y x y =⎧⎨+=⎩，，即x=y=100时取“=”.(2) 设AP=x m ，AQ=y m ，由题意得100×(x+1.5y )=20 000，即x+1.5y=200.要使竹篱笆用料最省，只需其长度PQ 最短，所以PQ 2=x 2+y 2-2xy cos 120°=x 2+y 2+xy=(200-1.5y )2+y 2+(200-1.5y )y=1.75y 2-400y+40000=1.752800-7y ⎛⎫ ⎪⎝⎭+120000740003y ⎛⎫<< ⎪⎝⎭，当y=8007时，PQ有最小值，此时x=2007.11. ①因为，c>0，故a+c>b 恒成立.②若a+b>c 恒成立，即恒成立.=2+，得m<2.故当m<2时，a+b>c 恒成立.③若b+c>a 恒成立，即恒成立.令(t ≥2)，则-， 当t=2时，取得最大值，得m>2，故当m>2时，b+c>a恒成立.综上，2<m<2+.由m∈N*，得m的取值集合为{1，2，3}，即得证.。

第1讲 基本不等式与线性规划高考定位 高考对本内容的考查主要有：(1)基本不等式是C 级要求，理解基本不等式在不等式证明、函数最值的求解方面的重要应用；(2)线性规划的要求是A 级，理解二元一次不等式对应的平面区域，能够求线性目标函数在给定区域上的最值，同时对一次分式型函数、二次型函数的最值也要有所了解.真 题 感 悟1.(2017·江苏卷)某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x 吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x 万元.要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x 的值是________.解析 一年的总运费与总存储费用之和为y ＝6×600x ＋4x ＝3 600x ＋4x ≥2 3 600x ×4x ＝240，当且仅当3 600x ＝4x ，即x ＝30时，y 有最小值240.答案 302.(2016·江苏卷)已知实数x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x －2y ＋4≥0，2x ＋y －2≥0，3x －y －3≤0，那么x 2＋y 2的取值范围是________.解析 作出实数x ，y 满足的可行域如图中阴影部分所示，则x 2＋y 2即为可行域内的点(x ，y )到原点O 的距离的平方.由图可知点A 到原点O 的距离最近，点B 到原点O 的距离最远.点A 到原点O 的距离即原点O 到直线2x ＋y －2＝0的距离d ＝|0－2|12＋22＝255，则(x 2＋y 2)min ＝45；点B 为直线x －2y ＋4＝0与3x －y －3＝0的交点，即点B 的坐标为(2，3)，则(x 2＋y 2)max ＝13.综上，x 2＋y 2的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤45，13.答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤45，133.(2016·江苏卷)已知函数f (x )＝2x＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，若对于任意x ∈R ，不等式f (2x )≥mf (x )－6恒成立，则实数m 的最大值为________.解析 由条件知f (2x )＝22x ＋2－2x ＝(2x ＋2－x )2－2＝(f (x ))2－2. ∵f (2x )≥mf (x )－6对于x ∈R 恒成立，且f (x )>0， ∴m ≤（f （x ））2＋4f （x ）对于x ∈R 恒成立.又（f （x ））2＋4f （x ）＝f (x )＋4f （x ）≥2f （x ）·4f （x ）＝4，且（f （0））2＋4f （0）＝4，∴m ≤4，故实数m 的最大值为4. 答案 44.(2016·江苏卷)在锐角三角形ABC 中，若sin A ＝2sin B sin C ，则tan A tan B tan C 的最小值是________.解析 因为sin A ＝2sin B sin C ，所以sin(B ＋C )＝2sin B sin C ，所以sin B cos C＋cos B sin C＝2sin B sin C，等式两边同时除以cos B cos C，得tan B＋tan C＝2tan B tan C.又因为tan A＝－tan(B＋C)＝tan B＋tan C tan B tan C－1，所以tan A tan B tan C－tan A＝2tan B tan C，即tan B tan C(tan A－2)＝tan A.因为A，B，C为锐角，所以tan A，tan B，tan C>0，且tan A>2，所以tan B tan C＝tan Atan A－2，所以原式＝tan2Atan A－2.令tan A－2＝t(t>0)，则tan2Atan A－2＝（t＋2）2t＝t2＋4t＋4t＝t＋4t＋4≥8，当且仅当t＝2，即tan A＝4时取等号.故tan A tan B tan C的最小值为8.答案8考点整合1.利用基本不等式求最值(1)如果x>0，y>0，xy＝p(定值)，当x＝y时，x＋y有最小值2p(简记为：积定，和有最小值).(2)如果x>0，y>0，x＋y＝s(定值)，当x＝y时，xy有最大值14s2(简记为：和定，积有最大值).2.简单的线性规划问题解决线性规划问题首先要找到可行域，再根据目标函数表示的几何意义，数形结合找到目标函数达到最值时可行域上的顶点(或边界上的点)，但要注意作图一定要准确，整点问题要验证解决.热点一 利用基本不等式求最值【例1】 (1)(2017·山东卷)若直线x a ＋yb ＝1(a >0，b >0)过点(1，2)，则2a ＋b 的最小值为________.(2)(2017·苏州调研)已知正数x ，y 满足x ＋y ＝1，则4x ＋2＋1y ＋1的最小值为________.解析 (1)∵直线x a ＋yb ＝1(a >0，b >0)过点(1，2)， ∴1a ＋2b ＝1(a >0，且b >0)，则2a ＋b ＝(2a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋2b＝4＋b a ＋4a b ≥4＋2b a ·4a b ＝8.当且仅当b a ＝4ab ，即a ＝2，b ＝4时上式等号成立. 因此2a ＋b 的最小值为8.(2)设x ＋2＝m ，y ＋1＝n ，m >2，n >1， 则m ＋n ＝x ＋2＋y ＋1＝4， 4x ＋2＋1y ＋1＝4m ＋1n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫4m ＋1n ⎝ ⎛⎭⎪⎫m 4＋n 4＝54＋n m ＋m 4n ≥54＋2n m ·m 4n ＝94，当且仅当n m ＝m 4n ，m ＝83，n ＝43时取等号， 故4x ＋2＋1y ＋1的最小值为94. 答案 (1)8 (2)94探究提高 1.利用基本不等式求最值，要注意“拆、拼、凑”等变形，变形的原则是在已知条件下通过变形凑出基本不等式应用的条件，即“和”或“积”为定值，等号能够取得.2.特别注意：(1)应用基本不等式求最值时，若遇等号取不到的情况，则应结合函数的单调性求解.(2)若两次连用基本不等式，要注意等号的取得条件的一致性，否则会出错. 【训练1】 (1)(2017·天津卷)若a ，b ∈R ，ab >0，则a 4＋4b 4＋1ab 的最小值为________.(2)若实数a ，b 满足1a ＋2b ＝ab ，则ab 的最小值为________. 解析 (1)∵a ，b ∈R ，ab >0， ∴a 4＋4b 4＋1ab ≥4a 2b 2＋1ab ＝4ab ＋1ab ≥24ab ·1ab ＝4，当且仅当⎩⎨⎧a 2＝2b 2，4ab ＝1ab ，即⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝22，b 2＝24时取得等号. (2)依题意知a >0，b >0，则1a ＋2b ≥22ab ＝22ab ，当且仅当1a ＝2b ，即b ＝2a 时，“＝”成立. ∵1a ＋2b ＝ab ，∴ab ≥22ab ，即ab ≥22，∴ab 的最小值为2 2. 答案 (1)4 (2)2 2热点二 简单的线性规划问题 [命题角度1] 求线性目标函数的最值【例2－1】 (1)(2017·天津卷改编)设变量x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧2x ＋y ≥0，x ＋2y －2≥0，x ≤0，y ≤3，则目标函数z ＝x ＋y 的最大值为________.(2)(2017·全国Ⅰ卷)设x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x ＋2y ≤1，2x ＋y ≥－1，x －y ≤0，则z ＝3x －2y 的最小值为________.解析 (1)作出约束条件所表示的可行域如图中阴影部分所示，由z ＝x ＋y 得y ＝－x ＋z ，作出直线y ＝－x ，平移使之经过可行域，观察可知，最优解在B (0，3)处取得，故z max ＝0＋3＝3.(2)作出约束条件所表示的可行域如图中阴影部分所示，由z ＝3x －2y 得y ＝32x －z 2，求z 的最小值，即求直线y ＝32x －z2的纵截距的最大值，当直线y ＝32x －z2过图中点A 时，纵截距最大，由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＝－1，x ＋2y ＝1解得A 点坐标为(－1，1)，此时z ＝3×(－1)－2×1＝－5. 答案 (1)3 (2)－5[命题角度2] 求非线性目标函数的最值【例2－2】 (2017·徐州、宿迁、连云港模拟)已知实数x ，y 满足⎩⎨⎧y ≤x －1，x ≤3，x ＋y ≥2，则yx 的取值范围是________.解析 不等式组对应的平面区域是以点(3，－1)，(3，2)和⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12为顶点的三角形及其内部，设z ＝yx ，则z 表示平面区域内的点与原点连线所在直线的斜率，则当z ＝y x 经过(3，－1)时取得最小值－13，经过点(3，2)时取得最大值23，故yx 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－13，23.答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－13，23[命题角度3] 线性规划中的含参问题【例2－3】 (2017·南京师大附中模拟)设变量x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x ＋y ≤4，y ≥x ，x ≥1，若目标函数z ＝ax ＋y 的最小值为－2，则a ＝________.解析 约束条件对应的可行域是以点(1，1)，(1，3)和(2，2)为顶点的三角形及其内部.当a ≥－1时，当目标函数y ＝－ax ＋z 经过点(1，1)时，z 取得最小值，则z min ＝a ＋1＝－2，即a ＝－3(舍去)；当a <－1时，当目标函数y ＝－ax ＋z 经过点(2，2)时，z 取得最小值，则z min ＝2a ＋2＝－2，即a ＝－2，符合题意，故a ＝－2. 答案 －2探究提高 1.线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域；二，画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三，一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得.2.对于线性规划中的参数问题，需注意：(1)当最值是已知时，目标函数中的参数往往与直线斜率有关，解题时应充分利用斜率这一特征加以转化.(2)当目标函数与最值都是已知，且约束条件中含有参数时，因为平面区域是变动的，所以要抓住目标函数及最值已知这一突破口，先确定最优解，然后变动参数范围，使得这样的最优解在该区域内即可.【训练2】 (1)(2017·山东卷改编)已知x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x －y ＋3≤0，3x ＋y ＋5≤0，x ＋3≥0，则z ＝x＋2y 的最大值是________.(2)若实数x ，y 满足⎩⎨⎧2x －y ＋2≥0，2x ＋y －6≤0，0≤y ≤3，且z ＝mx －y (m <2)的最小值为－52，则m ＝________.解析 (1)由已知得约束条件的可行域如图中阴影部分所示，故目标函数z ＝x ＋2y 经过点C (－3，4)时取最大值z max ＝－3＋2×4＝5.(2)作出约束条件所表示的可行域如图中阴影部分所示，z ＝mx －y (m <2)的最小值为－52，可知目标函数的最优解过点A ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3，2x －y ＋2＝0，解得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，3，∴－52＝m2－3，解得m ＝1. 答案 (1)5 (2)11.多次使用基本不等式的注意事项当多次使用基本不等式时，一定要注意每次是否能保证等号成立，并且要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错，因此在利用基本不等式处理问题时，列出等号成立的条件不仅是解题的必要步骤，也是检验转换是否有误的一种方法.2.基本不等式除了在客观题考查外，在解答题的关键步骤中也往往起到“巧解”的作用，但往往需先变换形式才能应用.3.解决线性规划问题首先要作出可行域，再注意目标函数表示的几何意义，数形结合找到目标函数达到最值时可行域的顶点(或边界上的点)，但要注意作图一定要准确，整点问题要验证解决.一、填空题1.(2017·全国Ⅱ卷改编)设x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧2x ＋3y －3≤0，2x －3y ＋3≥0，y ＋3≥0，则z ＝2x ＋y 的最小值是________.解析 可行域如图阴影部分所示，当直线y ＝－2x ＋z 经过点A (－6，－3)时，所求最小值为－15.答案 －152.若0<x <1，则当f (x )＝x (4－3x )取得最大值时x 的值为________.解析 因为0<x <1，所以f (x )＝x (4－3x )＝13×3x (4－3x )≤13×⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋4－3x 22＝43，当且仅当3x ＝4－3x ，即x ＝23时取等号.答案 233.(2017·海门中学检测)已知a >0，b >0，a ，b 的等比中项是1，且m ＝b ＋1a ，n ＝a ＋1b ，则m ＋n 的最小值是________.解析 由题意知ab ＝1，所以m ＝b ＋1a ＝2b ，n ＝a ＋1b ＝2a ，所以m ＋n ＝2(a ＋b )≥4ab ＝4，当且仅当a ＝b ＝1时取等号. 答案 44.(2017·宿迁调研)若实数x ，y 满足xy ＋3x ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫0<x <12，则3x ＋1y －3的最小值是________.解析 由xy ＋3x ＝3可得y ＋3＝3x ，又0<x <12，则y ＋3>6，y >3，所以3x ＋1y －3＝y＋3＋1y －3＝(y －3)＋1y －3＋6≥2（y －3）·1y －3＋6＝8，当且仅当y ＝4时取等号，故3x ＋1y －3的最小值是8.答案 85.(2017·无锡期末)设不等式组⎩⎨⎧x ≥1，x －y ≤0，x ＋y ≤4表示的平面区域为M ，若直线y ＝kx －2上存在M 内的点，则实数k 的取值范围为________.解析 平面区域M 是以点(1，1)，(1，3)和(2，2)为顶点的三角形区域(含边界)，直线y ＝kx －2，即k ＝y ＋2x 表示区域M 内的点(x ，y )与点(0，－2)连线的斜率.当经过点(2，2)时，k 取得最小值2；当经过点(1，3)时，k 取得最大值5，故实数k 的取值范围为[2，5]. 答案 [2，5]6.已知x ，y ∈R ，且x 2＋2xy ＋4y 2＝6，则z ＝x 2＋4y 2的取值范围是________.解析 因为2xy ＝6－(x 2＋4y 2)，而2xy ≤x 2＋4y 22，所以6－(x 2＋4y 2)≤x 2＋4y22，所以x 2＋4y 2≥4，当且仅当x ＝2y 时取等号，又因为(x ＋2y )2＝6＋2xy ≥0，即2xy ≥－6，所以z ＝x 2＋4y 2＝6－2xy ≤12.综上可得4≤x 2＋4y 2≤12. 答案 [4，12]7.(2017·北京卷)已知x ≥0，y ≥0，且x ＋y ＝1，则x 2＋y 2的取值范围是________. 解析 法一 ∵x ≥0，y ≥0且x ＋y ＝1.∴2xy ≤x ＋y ＝1，从而0≤xy ≤14，因此x 2＋y 2＝(x ＋y )2－2xy ＝1－2xy ，所以12≤x 2＋y 2≤1.法二 可转化为线段AB 上的点到原点距离平方的范围，AB 上的点到原点距离的范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤22，1，则x 2＋y 2的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1.答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，18.(2016·全国Ⅰ卷)某高科技企业生产产品A 和产品B 需要甲、乙两种新型材料.生产一件产品A 需要甲材料1.5 kg ，乙材料1 kg ，用5个工时；生产一件产品B 需要甲材料0.5 kg ，乙材料0.3 kg ，用3个工时.生产一件产品A 的利润为2 100元，生产一件产品B 的利润为900元.该企业现有甲材料150 kg ，乙材料90 kg ，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A 、产品B 的利润之和的最大值为________元.解析 设生产产品A 、产品B 分别为x 件、y 件，利润之和为z 元，则⎩⎪⎨⎪⎧1.5x ＋0.5y ≤150，x ＋0.3y ≤90，5x ＋3y ≤600，x ∈N ，y ∈N ，即⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y ≤300，10x ＋3y ≤900，5x ＋3y ≤600，x ∈N ，y ∈N ，目标函数为z ＝2 100x ＋900y .作出不等式组表示的平面区域为图中阴影部分内(包括边界)的整点，即可行域. 由图可知当直线z ＝2 100x ＋900y 经过点M 时，z 取得最大值.联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧10x ＋3y ＝900，5x ＋3y ＝600，得M 的坐标为(60，100)，所以当x ＝60，y ＝100时，z max ＝2 100×60＋900×100＝216 000(元). 答案 216 000 二、解答题9.设关于x ，y 的不等式组⎩⎨⎧2x －y ＋1>0，x ＋m <0，y －m >0表示的平面区域内存在点P (x 0，y 0)，满足x 0－2y 0＝2，求实数m 的取值范围. 解 先根据约束条件⎩⎨⎧2x －y ＋1>0，x ＋m <0，y －m >0画出可行域(图略)， 要使可行域存在，必有m <－2m ＋1，要求可行域包含直线y ＝12x －1上的点，只要边界点(－m ，1－2m )在直线y ＝12x －1的上方，且(－m ，m )在直线y ＝12x －1的下方，故得不等式组⎩⎪⎨⎪⎧m <－2m ＋1，1－2m >－12m －1，m <－12m －1，解之得m <－23. 故实数m 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－23.10.(1)当点(x ，y )在直线x ＋3y －4＝0上移动时，求3x ＋27y ＋2的最小值； (2)已知x ，y 都是正实数，且x ＋y －3xy ＋5＝0，求xy 的最小值. 解 (1)由x ＋3y －4＝0，得x ＋3y ＝4，所以3x ＋27y ＋2＝3x ＋33y ＋2≥23x ·33y ＋2＝23x ＋3y ＋2＝234＋2＝20， 当且仅当3x ＝33y 且x ＋3y －4＝0，即x ＝2，y ＝23时取等号，此时所求的最小值为20.(2)由x ＋y －3xy ＋5＝0，得x ＋y ＋5＝3xy ， 所以2xy ＋5≤x ＋y ＋5＝3xy ， 所以3xy －2xy －5≥0， 所以(xy ＋1)(3xy －5)≥0， 所以xy ≥53，即xy ≥259，当且仅当x ＝y ＝53时取等号，故xy 的最小值是259.11.(2017·天津卷)电视台播放甲、乙两套连续剧，每次播放连续剧时，需要播放广告.已知每次播放甲、乙两套连续剧时，连续剧播放时长、广告播放时长、收视人次如下表所示：已知电视台每周安排的甲、乙连续剧的总播放时间不多于600分钟，广告的总播放时间不少于30分钟，且甲连续剧播放的次数不多于乙连续剧播放次数的2倍.分别用x ，y 表示每周计划播出的甲、乙两套连续剧的次数. (1)用x ，y 列出满足题目条件的数学关系式，并画出相应的平面区域； (2)问电视台每周播出甲、乙两套连续剧各多少次，才能使总收视人次最多？ 解 (1)由已知，x ，y 满足的数学关系式为⎩⎪⎨⎪⎧70x ＋60y ≤600，5x ＋5y ≥30，x ≤2y ，x ≥0，y ≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧7x ＋6y ≤60，x ＋y ≥6，x －2y ≤0，x ≥0，y ≥0，该二元一次不等式组所表示的平面区域为图1中的阴影部分：(2)设总收视人次为z 万，则目标函数为z ＝60x ＋25y .考虑z ＝60x ＋25y ，将它变形为y ＝－125x ＋z 25，这是斜率为－125，随z 变化的一族平行直线，z 25为直线在y 轴上的截距，当z25取得最大值时，z 的值最大. 又因为x ，y 满足约束条件，所以由图2可知，当直线z ＝60x ＋25y 经过可行域上的点M 时，截距z25最大，即z 最大.解方程组⎩⎨⎧7x ＋6y ＝60，x －2y ＝0，得点M 的坐标为(6，3).所以，电视台每周播出甲连续剧6次、乙连续剧3次时才能使总收视人次最多.。

专题15 不等式性质，线性规划与根本不等式文考纲解读明方向分析解读 1.理解不等式的有关概念及其分类,掌握不等式的性质及其应用,明确各个性质中结论成立的前提条件.2.能利用不等式的相关性质比拟两个实数的大小.3.利用不等式的性质比拟大小是高考的热点.分值约为5分,属中低档题.分析解读 1.多考察线性目的函数的最值问题,兼顾面积、间隔、斜率等问题.2.能用线性规划的方法解决重要的实际问题,使收到的效益最大,消耗的人力、物力资源最少等.3.应重视数形结合的思想方法.4.本节在高考中主要考察与平面区域有关的范围、间隔等问题以及线性规划问题,分值约为5分,属中低档题.考点内容解读要求常考题型预测热度利用根本不等式求最值①理解根本不等式的证明过程;②会用根本不等式解决简单的最大(小)值问题掌握选择题填空题★★☆分析解读 1.掌握利用根本不等式求最值的方法,熟悉利用拆添项或者配凑因式构造根本不等式形式的技巧,同时注意“一正、二定、三相等〞的原那么.2.利用根本不等式求函数最值、求参数范围、证明不等式是高考热点.本节在高考中主要以选择题或者填空题的形式进展考察,分值约为5分.考点内容解读要求常考题型预测热度不等式的综合应用可以灵敏运用不等式的性质求定义域、值域;可以应用根本不等式求最值;纯熟掌握运用不等式解决应用题的方法掌握选择题填空题解答题★★★分析解读不等式的性质与函数、导数、数列等内容相结合,解决与不等式有关的数学问题和实际问题是高考热点.2021年高考全景展示1.【2021年卷文】设变量x，y满足约束条件那么目的函数的最大值为A. 6B. 19C. 21D. 45【答案】C【解析】分析：首先画出可行域，然后结合目的目的函数的几何意义确定函数获得最大值的点，最后求解最大值即可.点睛：求线性目的函数z＝ax＋by(ab≠0)的最值，当b＞0时，直线过可行域且在y轴上截距最大时，z值最大，在y轴截距最小时，z值最小；当b＜0时，直线过可行域且在y轴上截距最大时，z值最小，在y轴上截距最小时，z值最大.2．【2021年文卷】设集合那么A. 对任意实数a，B. 对任意实数a，〔2,1〕C. 当且仅当a<0时,〔2,1〕D. 当且仅当时,〔2,1〕【答案】D【解析】分析：求出及所对应的集合，利用集合之间的包含关系进展求解.点睛：此题主要结合充分与必要条件考察线性规划的应用，集合法是判断充分条件与必要条件的一种非常有效的方法，根据成立时对应的集合之间的包含关系进展判断. 设，假设，那么；假设，那么，当一个问题从正面考虑很难入手时，可以考虑其逆否命题形式.3．【2021年卷】假设满足约束条件那么的最小值是___________，最大值是___________．【答案】 -2 8【解析】分析:先作可行域，再平移目的函数对应的直线，从而确定最值.详解：作可行域，如图中阴影局部所示，那么直线过点A(2,2)时取最大值8，过点B(4,-2)时取最小值-2.点睛：线性规划的本质是把代数问题几何化，即用数形结合的思想解题.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域；二，画目的函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进展比拟，防止出错；三，一般情况下，目的函数的最大或者最小值会在可行域的端点或者边界处获得.4．【2021年卷文】，且，那么的最小值为_____________.【答案】【解析】分析：由题意首先求得a-3b的值，然后结合均值不等式的结论整理计算即可求得最终结果，注意等号成立的条件.点睛：在应用根本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或者和为定值；三相等——等号能否获得〞，假设忽略了某个条件，就会出现错误．5．【2021年文卷】假设x,y满足，那么2y−x的最小值是_________.【答案】3【解析】分析：将原不等式转化为不等式组，画出可行域，分析目的函数的几何意义，可知当时获得最小值.详解：不等式可转化为，即，满足条件的在平面直角坐标系中的可行域如下列图令，由图象可知，当过点时，取最小值，此时，的最小值为.点睛：此题考察线性规划，求线性目的函数的最值，当时，直线过可行域在轴上截距最大时，值最大，在轴上截距最小时，值最小；当时，直线过可行域在轴上截距最大时，值最小，在轴上截距最小时，值最大.6．【2021年卷】在中，角所对的边分别为，，的平分线交于点D，且，那么的最小值为________．【答案】9【解析】分析：先根据三角形面积公式得条件、再利用根本不等式求最值.点睛：在利用根本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑〞等技巧，使其满足根本不等式中“正〞(即条件要求中字母为正数)、“定〞(不等式的另一边必须为定值)、“等〞(等号获得的条件)的条件才能应用，否那么会出现错误.7．【2021年全国卷Ⅲ文】假设变量满足约束条件那么的最大值是________．【答案】3【解析】分析：作出可行域，平移直线可得详解：作出可行域由图可知目的函数在直线与的交点〔2，3〕处获得最大值3，故答案为3. 点睛：此题考察线性规划的简单应用，属于根底题。

考纲解读明方向考点内容解读要求常考题型预测热度不等式的概念和性质了解现实世界和日常生活中的不等关系,了解不等式(组)的实际背景理解选择题★★☆分析解读　1.了解不等式的有关概念及其分类,掌握不等式的性质及其应用,明确各个性质中结论成立的前提条件.2.能利用不等式的相关性质比较两个实数的大小.3.利用不等式的性质比较大小是高考的热点.分值约为5分,属中低档题.考点内容解读要求常考题型预测热度1.平面区域问题①会从实际情境中抽象出二元一次不等式组;②了解二元一次不等式的几何意义,能用平面区域表示二元一次不等式组理解选择题填空题★★★2.线性规划问题会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题,并能加以解决理解选择题填空题★★★分析解读　1.多考查线性目标函数的最值问题,兼顾面积、距离、斜率等问题.2.能用线性规划的方法解决重要的实际问题,使收到的效益最大,耗费的人力、物力资源最少等.3.应重视数形结合的思想方法.4.本节在高考中主要考查与平面区域有关的范围、距离等问题以及线性规划问题,分值约为5分,属中低档题.考点内容解读要求常考题型预测热度利用基本不等式求最值①了解基本不等式的证明过程;②会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题掌握选择题填空题★★☆分析解读　1.掌握利用基本不等式求最值的方法,熟悉利用拆添项或配凑因式构造基本不等式形式的技巧,同时注意“一正、二定、三相等”的原则.2.利用基本不等式求函数最值、求参数范围、证明不等式是高考热点.本节在高考中主要以选择题或填空题的形式进行考查,分值约为5分.考点内容解读要求常考题型预测热度不等式的综合应用能够灵活运用不等式的性质求定义域、值域;能够应用基本不等式求最值;熟练掌握运用不等式解决应用题的方法掌握选择题填空题解答题★★★分析解读　不等式的性质与函数、导数、数列等内容相结合,解决与不等式有关的数学问题和实际问题是高考热点.2018年高考全景展示z=3x+5y1.【2018年天津卷文】设变量x，y满足约束条件则目标函数的最大值为A. 6B. 19C. 21D. 45【答案】C【解析】分析：首先画出可行域，然后结合目标目标函数的几何意义确定函数取得最大值的点，最后求解最大值即可.点睛：求线性目标函数z＝ax＋by(ab≠0)的最值，当b＞0时，直线过可行域且在y轴上截距最大时，z值最大，在y轴截距最小时，z值最小；当b＜0时，直线过可行域且在y轴上截距最大时，z值最小，在y轴上截距最小时，z值最大.2．【2018年文北京卷】设集合则(2,1)鈭圓A. 对任意实数a，B. 对任意实数a，（2,1）C. 当且仅当a<0时,（2,1）D. 当且仅当时,（2,1）【答案】D【解析】分析：求出及所对应的集合，利用集合之间的包含关系进行求解.点睛：此题主要结合充分与必要条件考查线性规划的应用，集合法是判断充分条件与必要条件的一种非常有效的方法，根据成立时对应的集合之间的包含关系进行判断. 设，若，则；若，则，当一个问题从正面思考很难入手时，可以考虑其逆否命题形式.3．【2018年浙江卷】若满足约束条件则的最小值是___________，最大值是___________．【答案】 -2 8【解析】分析:先作可行域，再平移目标函数对应的直线，从而确定最值.详解：作可行域，如图中阴影部分所示，则直线过点A(2,2)时取最大值8，过点B(4,-2)时取最小值-2.点睛：线性规划的实质是把代数问题几何化，即用数形结合的思想解题.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域；二，画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三，一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界处取得.4．【2018年天津卷文】已知，且，则的最小值为_____________.【答案】【解析】分析：由题意首先求得a-3b的值，然后结合均值不等式的结论整理计算即可求得最终结果，注意等号成立的条件.点睛：在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误．5．【2018年文北京卷】若￿,y 满足，则2y −￿的最小值是_________.【答案】3【解析】分析：将原不等式转化为不等式组，画出可行域，分析目标函数的几何意义，可知当时取得最小值.x =1,y =2详解：不等式可转化为，即， 满足条件的在平面直角坐标系中的x,y 可行域如下图令，由图象可知，当过点时，取最小值，此时2y ‒x =z,y =12x +12zP(1,2)z ，的最小值为.鈭?y ‒x点睛：此题考查线性规划，求线性目标函数的最值，当时，直线过z =ax +by(ab 鈮?)可行域在轴上截距最大时，值最大，在轴上截距最小时，值最小；当时，直线过可y z 行域在轴上截距最大时，值最小，在轴上截距最小时，值最大.y 6．【2018年江苏卷】在中，角所对的边分别为，，的平分a,b,c 线交于点D ，且，则的最小值为________．【答案】9【解析】分析：先根据三角形面积公式得条件、再利用基本不等式求最值.点睛：在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.7．【2018年全国卷Ⅲ文】若变量满足约束条件则的最大值是________．【答案】3【解析】分析：作出可行域，平移直线可得详解：作出可行域由图可知目标函数在直线与的交点（2，3）处取得最大值3，故答案为3.点睛：本题考查线性规划的简单应用，属于基础题。

专题11 线性规划与基本不等式利用线性规划求目标函数的最值【背一背基础知识】1. 二元一次不等式(组)表示的平面区域2. 二元一次不等式表示的平面区域的确定：对于二元一次不等式所表示的平面区域的确定，一般来说有两种方法：（1）.是取不在直线上的点(x0，y0)作为测试点来进行判定，满足不等式的，则平面区域在测试点所在的直线的一侧，反之在直线的另一侧．（2）.将“x”前系数变为正数，观察“y”前面的符号如果“y”前面的符号为正且不等号方向为“>”(或者 )则区域在直线上方，反之在直线下方。

3. 线性规划中的基本概念最优解 使目标函数取得最大值或最小值的可行解线性规划问题在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题4.求目标函数的最值步骤：（1）.作图—画出约束条件表示的平面区域；（2）. 平移—利用线性平移的方法找点使目标函数取得最值；（3）.求值—求出目标函数的最值. 【讲一讲基本技能】1. 必备技能：①.平面区域的确定。

②.求目标函数最值对目标函数的处理：可按照如下的步骤进行，如果目标函数为z x y =+第一把目标函数整理成斜截式即y x z =-+这时候看z 前面的符号本例中z 前的符号为正那就是目标函数平移进可行域时截距最大的时候z 有最大值，截距最小时z 有最小值.第二令z=0画出目标函数。

第三将目标函数平移进可行域找寻符合截距最大最小的最优解. 2. 典型例题例1.已知x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥+-≥-+≤-022010y x y x y x ，则z ＝x ＋3y 的最小值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4 【答案】B例2.已知a >0，x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧-≥≤+≥)3(31x a y y x x ，若z ＝2x ＋y 的最小值为32，则a ＝( )A.14B.12 C ．1 D ．2【答案】A【练一练趁热打铁】1.若变量,x y 满足条件211y x x y y ≤⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩，则2x y +的最小值为A.52- B.0 C.53 D.52【答案】A2. 设变量x ，y 满足,15020010⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤+≤≤-y y x y x 则y x 32+的最大值为( )(A) 20 (B) 35 (C) 45 (D) 55【答案】D基本不等式 【背一背基础知识】1. 基本不等式ab ≤a ＋b2①．基本不等式成立的条件：a >0，b >0. ②．等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号． 2. 几个重要的不等式①.a 2＋b 2≥2ab(a，b∈R)；b a ＋a b≥2(a，b 同号)．②.ab≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22(a ，b∈R)；⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22≤a 2＋b 22(a ，b∈R)3. 算术平均数与几何平均数 设a >0，b >0，则a ，b 的算术平均数为a ＋b2，几何平均数为ab ，基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． 4. 利用基本不等式求最值问题 已知x >0，y >0，则：(1)如果积xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值是2p .(简记：积定和最小). (2)如果和x ＋y 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值是p 24.(简记：和定积最大)【讲一讲基本技能】1.必备技能：1.在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误．2．对于公式a ＋b ≥2ab ，ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22，要弄清它们的作用和使用条件及内在联系，两个公式也体现了ab 和a ＋b 的转化关系．3．运用公式解题时，既要掌握公式的正用，也要注意公式的逆用，例如a 2＋b 2≥2ab 逆用就是ab ≤a 2＋b 22；a ＋b2≥ab (a ，b >0)逆用就是ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22(a ，b >0)等．还要注意“添、拆项”技巧和公式等号成立的条件等． 2.典型例题例1.已知0<x ，函数4y x x=+的最大值是 （ ） A.22 B.4 C.-4 D.-22 【答案】C例2 140,0,1x y x y>>+=若且，则x y +的最小值是 【答案】9例3.若正数,x y 满足35x y xy +=，则34x y +的最小值是（ ）A ．245 B ．285C ．5D ．6 【答案】C 【解析】试题分析：将等式变形将等式两边同时除以xy 项得到135y x +=，再将13y x+与（3x+4y ）乘积就可以利用基本不等式求解.∵35x y xy +=，∴135y x +=， ∴113131213(34)()()555x y x y y x y x +⋅+=++113236555≥⨯⨯+=．答案为C. 【练一练趁热打铁】 1. 设函数1()21(0),f x x x x=+-< 则()f x （ ） A ．有最大值 B ．有最小值 C ．是增函数 D ．是减函数 【答案】A2.若2x >，则12x x +-的最小值为． 【答案】43. 已知a ＞0，b ＞0，且a ＋2b ＝1.则1a ＋1b的最小值为________．【答案】322+ 【解析】1111221(2)()12322b aa b a b a b a b a b+=∴+=+⋅+=+++≥+322+.（一） 选择题（12*5=60分）1. 已知点(－3，－1)和点(4，－6)在直线3x －2y －a ＝0的两侧，则a 的取值X 围为( )A ．(－24,7)B ．(－7,24)C ．(－∞，－7)∪(24，＋∞)D ．(－∞，－24)∪(7，＋∞)【答案】B【解析】根据题意知(－9＋2－a )·(12＋12－a )＜0.即(a ＋7)(a －24)＜0，解得－7＜a ＜24.2.设变量xy ，满足约束条件：222y x x y x ⎧⎪+⎨⎪-⎩≥≤≥，则32z x y =-+的最小值为( ) A ．2-B ．4-C ．6-D ．8- 【答案】C3.若实数b a ,满足22=+b a 则ba 39+的最小值是（ ）A ．18B ．6C ．23D ．243 【答案】B 【解析】试题分析：6323233233392222===⋅≥+=++b a b a b aba．4.若变量,x y 满足约束条件3,212,21200x y x y x y x y -≥-⎧⎪+≤⎪⎪+≤⎨⎪≥⎪≥⎪⎩，则34z x y =+的最大值是( )A 、12B 、26C 、28D 、33 【答案】C5.若x,y 满足约束条件：x 2y 22x y 44x y 1+≥⎧⎪+≤⎨⎪-≥-⎩，则目标函数z=3x y -的取值X 围是( )A 263⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ ，B 213⎡⎤--⎢⎥⎣⎦ ，C []16- ，D 362⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ ， 【答案】A6. （2013年某某市文）设变量x y ，满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥+-≥-+01042022x y x y x ,则目标函数z=3x-2y 的最小值为( )（A ）－5 （B ）－ 4 （C ）－2 （D ）3 【答案】B【解析】作出不等式对应的可行域如图，由y x z 23-=得223z x y -=. 由图象可知当直线223z x y -=经过点)2,0(C 时，直线223zx y -=的截距最大，而此时y x z 23-=最小为423-=-=y x z ，故选B 。