最新苏教版数学必修五公开课课件：3.4.1《基本不等式的证明》ppt课件

格式：ppt
大小：9.73 MB
文档页数：5

下载文档原格式

基本不等式的证明课件(28张) 高中数学必修5 苏教版

＝ a(a－ 1)＋ b(b－ 1)<0， ∴ a2＋b2<a＋b，∴a＋b 最大． 1 1 2 2 法二：令 a＝b＝，则 a＋b＝1，2 ab＝1，a ＋b ＝， 2 2 1 1 1 1 1 1 1 5 2ab＝2× × ＝，再令 a＝， b＝， a＋b＝＋＝， 2 ab 2 2 2 2 8 2 8 8 ＝2 1 1 1 × ＝，∴ a＋ b 最大． 2 8 2
利用基本不等式证明不等式
1 1 已知 a，b∈(0，＋∞)，求证：(a＋ b)a＋b ≥ 4. (链接教材 P99T7)
[证明 ] 法一：∵a>0， b>0，∴ a＋b≥ 2 ab>0①，当且仅 1 1 1 1 1 当 a＝ b 时，取等号 . ＋ ≥ 2 >0②，当且仅当＝，即 a b ab a b 1 1 1 ＋ a＝ b 时取等号． ①×②，得(a＋ b)a b ≥ 2 ab·2 ＝ ab 1 1 b 4，当且仅当 a＝ b 时，取等号．法二：(a＋b)a＋b ＝ 2＋ a a ＋ ≥ 4，当且仅当 a＝ b 时取等号． b
方法归纳 (1)基本不等式和不等式的基本性质是证明不等式的基础，常用的有： b a 2 2 2 a ≥0(a∈ R)，a ＋b ≥ 2ab(a，b∈ R)，＋ ≥ 2(a，b 同号 )， a b a＋b a2＋b2 a＋b 2 ≥ ab(a≥0，b≥0)， ≥( ) 等． 2 2 2 a＋b (2)多次使用基本不等式 ≥ ab，要注意等号是否成立， 2 当变形后不能使用，重新组合是一种常用的技巧．
2
1 1 （－a）－a ＝－ 2，当且仅当 a＝即 a＝－ 1 时，取 a
“＝”．
2 4．若0<a<1，0<b<1，则logab＋logba≥________ ．

3.4.1基本不等式的证明课件(27张) 高中数学必修5 苏教版

a2 b2 c2 4．已知 a、b、c>0，求证： b ＋ c ＋ a ≥a＋b＋c.
a2 b2 c2 证明：∵a，b，c， b ， c ， a 均大于 0， a2 ∴ b ＋ b≥ 2当 b ＝b 时等号成立． b2 c ＋ c≥ 2 b2 c ＝ 2b . c·
a＋b 1 1 1 1 1 1 2 法二：(1＋a)(1＋b)＝1＋a＋b＋ab＝1＋ ab ＋ab＝1＋ab，因为 a，b 为正数，a＋b＝1， a＋b 2 1 1 2 所以 ab≤( 2 ) ＝4，于是ab≥4，ab≥8， 1 1 1 因此(1＋a)(1＋b)≥1＋8＝9(当且仅当 a＝b＝2时等号成立)．
第三章不等式
第一课时 3.4 基本不等式
ab ≤ a ＋b
2 ( a ≥0 ，b ≥0)
理解教材新知考点一考点二
基本不等式的证明
把握热点考向
应用创新演练
第一课时基本不等式的证明
已知代数式a2＋b2,2ab，(a，b∈R)，问题1：比较两个式子的大小．提示：∵a2＋b2－2ab＝(a－b)2≥0， ∴a2＋b2≥2ab. 问题2：“＝”在什么条件下成立？
即 m∈[4，＋∞)．由 b≠0 得 b2≠0，∴2－b2<2. ∴0<22－b2<4，即 0<n<4. ∴n∈(0,4)．综上易得 m>n.
[一点通] 利用基本不等式比较大小时除要求正确利用a＋b≥2 ab (a≥0，b≥0)之外，还要
求能够熟练应用不等式的性质和函数的性质．
a－c 1 ．已知 a>b>c ，则 a－bb－c 与 2 的大小关系是 __________．
[例 1]

必修5 第3章 3.4 3.4.1 基本不等式的证明-2020-2021学年江苏省高二数学上册课件(新教材)共36张PPT

[解析] 由题意可知
a＋2 b＝2，
ab＝2，
∴aa＋ b＝b＝ 4，4， ∴a＝2，b＝2.
栏目导航
[答案] 2 2
栏目导航
合作探究提素养
栏目导航
用基本不等式证明不等式
已知 a，b，c 为不全相等的正数． (1)求证：a＋b＋c> ab＋ bc＋ ca； (2)求证：ab2＋bc2＋ca2≥a＋b＋c. [思路探究] (1)利用 a＋b≥2 ab，a＋c≥2 ac，b＋c≥2 bc求证； (2)利用ab2＋b≥2 a2；bc2＋c≥2 b2；ca2＋a≥2 c2求证．
∴y＝x2＋x＋3x1＋3(x>－1)的最大值为13，
此时 x＝0.
栏目导航
[规律方法] 1．基本不等式使用的条件为“一正、二定、三相等”，三个条件缺一不可．在解题过程中，为了达到使用基本不等式的条件，往往需要通过配凑、裂项、转化、分离常数等变形手段，创设一个应用基本不等式的情境． 2．应用基本不等式求函数最值，常见类型如下： (1)构造积为定值，利用基本不等式求最值； (2)构造和为定值，利用基本不等式求最值．
栏目导航
[解] (1)∵a>0，b>0，c>0， ∴a＋b≥2 ab，a＋c≥2 ac，b＋c≥2 bc. 又 a，b，c 为不全相等的正数， ∴a＋b＋c≥ ab＋ ac＋ bc. 又 a，b，c 互不相等，故等号不能同时取到，所以 a＋b＋c> ab＋ ac＋ bc.
பைடு நூலகம்栏目导航
(2)∵a，b，c，ab2，bc2，ca2均大于 0， ∴ab2＋b≥2 ab2·b＝2a，当且仅当ab2＝b 时等号成立． bc2＋c≥2 bc2·c＝2b，当且仅当bc2＝c 时等号成立．

苏教版高中数学必修五课件§3.4.1基本不等式的证明.pptx

二.典型例题
基本不等 a
1 b
4
证明:Q1 a b
1的代换
1 1 ab ab b a 2 ab a b ab
Q a,b (0, )
b a 2 b a 2 (当且仅当a=b时取=) a b ab
b a 24即 1 1 4
ab
ab
二.典型例题—变式
基本不等式的证明
变式:设正数 a,b,c ,满足 a b c 1
求证: (1 1)(1 1)(1 1) 8 abc
分析: 将不等式左边的1代换为a+b+c.但若代换减数1, 则运算量明显增加,若代换分子中的1，则可达到化简的目的.
二.典型例题—变式
基本不等式的证明
变式:设正数 a,b,c ,满足 a b c 1
求证: (1 1)(1 1)(1 1) 8 abc
Q a,b, c (0, ) a b 2 (当且仅当a=b时取=) ba
同理 c b 2, a c 2 (当且仅当a=b=c时取=) bc ca
a b c b a c 6 (当且仅当a=b=c时取=) babcca
a b c b a c 2 8 得证 babcca
空白演示
在此输入您的封面副标题
必修5§3.4.1基本不等式的证明
一.知识梳理
基本不等式的证明
1.算术平均数、几何平均数 ab
对叫于做正正数数a的,几b,何叫平做均正数数2 .的a算b 数平均数;
2.基本不等式 a b ab
2 (1)前提条件:.
a,b为正数
(2)取得等号条件:. a=b
3.不等式证明的方法
Q x2 2x 1 (4 y2 4 y 1) (x 1)2 (2 y 1)2 0

高中数学第3章3.4.1基本不等式的证明配套课件苏教版必修5

称为 a，b 的算术平均数， ab 称为 a，b 的几何平均数．
第三页，共19页。
填一填·知识(zhī shi)要点、记下疑难点
3.4.1
3．基本不等式的常用推论 (1)ab≤a＋2 b2≤a2＋2 b2 (a，b∈R)； (2)当 x>0 时，x＋1x≥ 2 ；当 x<0 时，x＋1x≤ －2 .
∴a＋b≥2 ab.
第五页，共19页。
研一研·问题探究(ànjiū)、课堂更高效
3.4.1
探究下面是基本不等式 ab≤a＋2 b的一种
几何解释，请你补充完整．
如图所示，AB 为⊙O 的直径，AC＝a，CB＝b，过点 C
作 CD⊥AB 交⊙O 上半圆于点 D，连接 AD，BD.由射影
a＋b
定理可知，CD＝ ab ，而 OD＝ 2 ，因为 OD≥ CD，所以a＋2 b ≥ ab，当且仅当 C 与 O 重合(c， hó即ngah＝é) b 时，
3.4.1
跟踪训练 3 已知不等式(x＋y)1x＋ay≥9 对任意正实数 x，y 恒成立，则正实数 a 的最小值为___4_____．
解析只需求(x＋y)1x＋ay的最小值大于等于 9 即可，
又(x＋y)1x＋ay＝1＋a·xy＋xy＋a≥a＋1＋2
a·xy·yx＝a＋2 a＋
1，等号成立仅当 a·xy＝xy即可，所以( a)2＋2 a＋1≥9，
第十七页，共19页。
练一练·当堂检测、目标达成(dáchéng)落实处
4．a，b，c∈R，求证：a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca. 证明 ∵a2＋b2≥2ab；b2＋c2≥2bc；c2＋a2≥2ca， ∴2(a2＋b2＋c2)≥2(ab＋bc＋ca)， ∴a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca.

高中数学第3章不等式 3.4.1 基本不等式的证明课件

预习交流 3
(1)不等式 a2+4≥4a 中等号成立的条件是
.
(2)已知 a>0,b>0,且 a+b=1,则 ab 的最大值为
.
(3)若 b>a>0,则 a,��+2�� , ��,b 的大小关系为
.
提示:(1)a=2 (2)14 (3)b>��+2�� > ��>a
二、利用基本不等式证明不-3+a≥7(其中 a>3).
思路分析:由于不等式左边含字母 a,右边无字母,直接使用基本
不等式无法约掉字母 a,而左边��4-3+a=��4-3+(a-3)+3.这样变形后,再用此定理可得证.
证明:因为��4-3+a=��4-3+a-3+3,a>3,
q,则
q
与��+��的大小关系是
2
.
答案:q≤��+2 ��
解析:设 2012 年产量为 1,则 2014 年产量为:
(1+a)(1+b)=(1+q)2, 即 1+q= (1 + ��)(1 + ��) ≤ 1+��+21+��=1+��+2��, 即 q≤��+2��.
目标导航预习引导
自主预习合作探究当堂检测
基本不等式的概念如果 a,b 是正数,那么 �� ≤ ��+2��(当且仅当 a=b 时取“=”).我们把不等式 �� ≤ ��+2��(a≥0,b≥0)称为基本不等式,其中��+2�� 和 ��分别称为正数 a,b 的算术平均数和几何平均数.基本不等式用文字语言可叙述为两个正数的几何平均数不大于它们的算术平均数,当两数相等时等号成立.

高中数学苏教版必修五《3.4.1基本不等式的证明》课件

(2) ab (a b)2 (a,b R) (当且仅当a=b时取=)

2
1
(3) a 2 (a 0) a
(当且仅当a=1时取=)
a b 2 (ab 0) (当且仅当a=b时取=) ba
基本不等式的证明
例1.已知 x 0,求证: x 1 2 x
分析:基本不等式的前提条件是: a,b 为正数,但现在 x 是负数,所以需要将其转化为正数.其方法就是提取负号,即 x (x),x 0.
b a 24即 1 1 4
ab
ab
基本不等式的证明
变式:设正数 a,b,c ,满足 a b c 1
求证: (1 1)(1 1)(1 1) 8 abc
分析: 将不等式左边的1代换为a+b+c.但若代换减数1, 则运算量明显增加,若代换分子中的1，则可达到化简的目的.
基本不等式的证明
变式:设正数 a,b,c ,满足 a b c 1
1.基本不等式 a b ab (1)前提条件: a,2b为正数 . (2)取得等号条件: a=b .
2.不等式证明的方法 (1)比较法;(2)综合法;(3)分析法.
基本不等式的证明
3.4.1
谢谢大家
苏教版高中数学
x2 2x 1 (4 y2 4 y 1) (x 1)2 (2 y 1)2 0
得证
基本不等式的证明
例2.设实数 x, y ,求证: x2 4 y2 2 2x 4 y 证明: x2 4 y2 2 2x 4 y
x2 4y2 2 2x 4y 0 x2 2x 1 (4 y2 4 y 1) 0
x2 2x 1 (4 y2 4 y 1) (x 1)2 (2 y 1)2 0
得证
基本不等式的证明

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

题型2 用基本不等式证明不等式
例 2 若 a、b∈R，求证：a2＋b2≥2|ab|. 分析：利用基本不等式 a2＋b2≥2ab 及推论，联想到|a|2＋|b|2≥ 2|ab|≥2ab.可以用已证的基本不等式来证明．证明：∵a2＋b2＝|a|2＋|b|2≥2 |a|2·|b|2＝2|ab|，当且仅当|a|＝|b|时取“＝”号．名师分析：不等式等号成立的条件，往往是学生易忽视的，或有的学生在解答此题时把等号成立的条件写成 a＝b.排除错误的办法是准确理解基本不等式中等号成立的条件，要在变量指定的取值范围内进行检验．
3．4.1
基本不等式的证明
情景导入
栏目链接
如下图所示，以线段a＋b的长为直径作圆，在直径AB上取点C，使AC＝a，CB＝b，过点C作垂直于直径AB的弦 DD′，连接AD、DB，则DC能否用a，b表示，DD′与AB 的关系如何？由此你得到怎样的不等式？
课标点击
栏目链接
1．探索并了解基本不等式的证明过程，体会证明不等式的基本思想方法． 2．理解基本不等式的几何意义，并掌握取“＝”的条件．
b2 b2 a2 －解析：－P－Q＝－－－a－b＝＋（－a）＋ a a b a2 [ － b ＋ (－ b)]＞ 2 b2 －（－a）＋ 2 a a2 －（－b）＝ 2 b2 b
栏目链接
＋2 a2＝2(－b－a)＝－2(a＋b)＝－2Q，即－P－Q＞－2Q⇒Q＞P.
1 2≠ 2 ，与推出 x2＝－1 产生矛盾．事实上，令 t＝x2＋2，则 t≥2， x ＋2 1 5 易证 f(t)＝t＋ (t≥2)是增函数，也就是 f(t)的最小值为 f(2)＝，即 f(t) t 2 不可能等于 2.
知识点2 基本不等式的其他形式与拓展
1．基本不等式的四种形式：
2 2 a ＋ b (1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)；(2)ab≤ (a，b∈R)； 2
的大小顺序为 1 1 ＋ a b
注意：这里 a、b 都为正实数，当且仅当 a＝b 时， a2＋b2 a＋b 2 ＝＝ ab＝ . 2 2 1 1 ＋ a b 3．常用的几个不等式： (1)a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca(a、b、c∈R，当且仅当 a＝b＝c 时等号成立)． (2)(a＋b＋c)2≤3(a2＋b2＋c2)(a、b、c∈R，当且仅当 a＝b＝c 时等号成立)．
≥2abc＋2abc＋2abc＝6abc.
当且仅当a＝b＝c时取“＝”号．
3．已知 x、y 都是正数，求证： y x (1) ＋ ≥2； x y (2)(x＋y)(x2＋y2)(x3＋y3)≥8x3y3. 证明：∵x，y 都是正数， x y ∴ ＞0，＞0，x2＞0，y2＞0，x3＞0，y3＞0. y x x y (1) ＋ ≥2 y x x y x y · ＝2，即＋ ≥2. y x y x
a＋b2 (a，b∈R＋)． (3)a＋b≥2 ab(a，b∈R )；(4)ab≤ 2
＋
栏目链接
注意：(1)前两种形式的前提条件是 a、b 为实数，后两种形式的前提条件是 a、b 为正实数． (2)四种形式等号成立的条件都是 a＝b.
2．平方平均数调和平均数 2
a2＋b2 a＋b ，算术平均数，几何平均数 ab， 2 2 a2＋b2 a＋b 2 ≥ ≥ ab≥ . 2 2 1 1 ＋ a b
栏目链接
典例解析
栏目链接
题型1 利用基本不等式比较大小
例 1 若 a＞0 且 a≠1， M＝(1＋an)(1＋a)n， N＝2n＋1· an(n∈N*)，则 M、N 之间的大小关系是( A．M＞N ) B．M＜N
栏目链接
C．M＝N D．M、N 大小关系不定分析：如果用公式展开，计算量很大，且也不好比较大小，如何出现 2n＋1·an 呢？可利用基本不等式．
解析：∵a＞0 且 a≠1， ∴1＋an＞2 an，(1＋a)n＞(2 a)n＝2n( a)n， (1＋an)(1＋a)n＞2 an·2n( a)n＝2n＋1·an. ∴M＞N，故选 A. 答案：A 名师点评：在利用基本不等式比较大小时，注意不等式性质的运用．
栏目链接
►变式迁移 b2 a2 1．已知 a＜b＜0，设 P＝＋，Q＝a＋b，试比较 P 与 Q 的大 a b 小．
栏目链接
►变式迁移 2．已知a，b，c∈R＋，求证：ab(a＋b)＋bc(b＋c)＋ca(c ＋a)≥6abc. 证明：ab(a＋b)＋bc(b＋c)＋ca(c＋a) ＝a2b＋ab2＋b2c＋bc2＋c2a＋ca2 ＝(a2b＋bc2)＋(b2c＋ca2)＋(ab2＋ac2)
栏目链接
栏目链接
(2)a＝b⇔
a＋b a＋b a＋b ＝ ab.也就是说若 a＝b，则＝ ab；若 2 2 2 a＋b ＞ ab.这种关 2 a＋b 中的等号成 2
栏目链接
＝ ab，则( a－ b)2＝0，即 a＝b；若 a≠b，则
系可叙述为：当且仅当 a＝b 时，基本不等式 ab≤
a＋b 立．若 a 与 b 不能相等， ab≤ 中的等号就不能成立，例如：x2 2 ＋2＋ 1 ≥2 x2＋2 （x2＋2）× 1 ＝2 中就不能取等号，因为 x2＋ 2 x ＋2
栏目链接
当且仅当 x＝y 时取“＝”号．
(2)x＋y≥2 xy＞0，x2＋y2≥2 x2y2＞0，x3＋y3≥2 x3y3＞0， ∴(x＋y)(x ＋y )(x ＋y )≥2 xy·2 x y ·2 x y ＝8x y ，即(x＋y)(x2＋y2)(x3＋y3)≥8x3y3. 当且仅当 x＝y＝z 时取“＝”号．
栏目链接
要点导航
栏 b 1．如果 a、 b 是正数，那么 ≥ ab(当且仅当 a＝b 时取“＝” 2 号)． 2．对基本不等式的理解． a＋b (1)称为 a， b 的算术平均数，称 ab为 a， b 的几何平均数．基 2 本不等式可叙述为：两个正数的几何平均数不大于它们的算术平均数．

苏教版高中数学必修一 3.1.2 指数函数

页数:19
苏教版高中数学必修一2.函数的概念和图象公开课PPT全文课件(23ppt)

页数:1
苏教版高中数学必修一第一章集合知识点整理

页数:13
苏教版高中数学必修一第二章《常用逻辑用语》PPT课件

页数:80
苏教版数学必修一新素养同步课件：3.1 3.1.1 分数指数幂

页数:35
苏教版高中数学必修一 3.2.1对数PPT

页数:20
苏教版数学高一- 数学苏教必修一练习.1分数指数幂的概念

页数:4
苏教版高中数学必修一《对数》课件设计[2020年最新]

页数:9
苏教版高中数学必修一 1.3 交集、并集PPT

页数:19
高一数学必修一苏教版

页数:23

最新苏教版数学必修五公开课课件：3.4.1《基本不等式的证明》ppt课件

合集下载

最新3.4.1--基本不等式的证明教学讲义PPT课件

最新苏教版必修5高中数学3.4.1《基本不等式的证明》1课件ppt.ppt

基本不等式的证明课件(28张) 高中数学必修5 苏教版

3.4.1基本不等式的证明课件(27张) 高中数学必修5 苏教版

必修5 第3章 3.4 3.4.1 基本不等式的证明-2020-2021学年江苏省高二数学上册课件(新教材)共36张PPT

苏教版高中数学必修五课件§3.4.1基本不等式的证明.pptx

高中数学第3章3.4.1基本不等式的证明配套课件苏教版必修5

高中数学第3章不等式 3.4.1 基本不等式的证明课件

最新苏教版必修5高二数学3.4.1《基本不等式的证明》ppt课件

高中数学苏教版必修五《3.4.1基本不等式的证明》课件

文档推荐

最新文档

最新 苏教版 数学必修五 公开课课件 ：3.4.1《基本不等式的证明》ppt课件

合集下载

最新3.4.1--基本不等式的证明教学讲义PPT课件

最新苏教版必修5高中数学3.4.1《基本不等式的证明》1课件ppt.ppt

基本不等式的证明课件(28张) 高中数学 必修5 苏教版

3.4.1基本不等式的证明课件(27张) 高中数学 必修5 苏教版

必修5 第3章 3.4 3.4.1 基本不等式的证明-2020-2021学年江苏省高二数学上册课件(新教材)共36张PPT

苏教版高中数学必修五课件§3.4.1基本不等式的证明.pptx

高中数学 第3章3.4.1基本不等式的证明配套课件 苏教版必修5

高中数学 第3章 不等式 3.4.1 基本不等式的证明课件

最新苏教版必修5高二数学3.4.1《基本不等式的证明》ppt课件

高中数学苏教版必修五《3.4.1基本不等式的证明》课件

文档推荐

最新文档

最新苏教版数学必修五公开课课件：3.4.1《基本不等式的证明》ppt课件

基本不等式的证明课件(28张) 高中数学必修5 苏教版

3.4.1基本不等式的证明课件(27张) 高中数学必修5 苏教版

高中数学第3章3.4.1基本不等式的证明配套课件苏教版必修5

高中数学第3章不等式 3.4.1 基本不等式的证明课件