苏教版高中数学必修一第一章 集合知识点整理

例1 设集合A中含有三个元素2x－5，x2－4x,12，若－3∈A，则x的值为__3_.
∵－3∈A，∴－3＝2x－5或－3＝x2－4x. ①当－3＝2x－5时，解得x＝1，此时2x－5＝x2－4x＝－3，不符合元 素的互异性，故x≠1； ②当－3＝x2－4x时，解得x＝1或x＝3，由①知x≠1，且x＝3时满足元 素的互异性. 综上可知，x＝3.
跟踪训练3 设集合M＝{x∈R|－2<x≤5}，N＝{x∈R|2－t≤x<3t＋1}. (1)若t＝2，求M∩(∁RN)；
当t＝2时，M＝{x∈R|－2<x≤5}，N＝{x∈R|0≤x<7}， ∴∁RN＝{x|x<0，或x≥7}， ∴M∩(∁RN)＝{x|－2<x<0}.
(2)若M∪(∁RN)＝R，求实数t的取值范围.
反ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ感悟
集合与不等式(组)结合的运算包含的类型及解决方法 (1)两种类型：不含字母参数、含有字母参数. (2)解决方法：①对于不含字母参数的直接将集合中的不等式(组) 解出，在数轴上求解即可；②对于含有字母参数的，若字母参数 的取值对不等式(组)的解有影响，要注意对字母参数分类讨论， 再求解不等式(组)，然后在数轴上求解.
反思感悟
集合中元素的互异性在解题中的应用 (1)借助于集合中元素的互异性找寻解题的突破口. (2)利用集合中原始元素的互异性检验结论的正确性.
跟踪训练1 设A＝{1,4，x}，B＝{1，x2}，且A∩B＝B，则x的可能取值组成 的集合为__{_0_，__2_，__－__2_}__.
∵A∩B＝B，∴B⊆A， ∴x2＝4或x2＝x，解得x＝－2,0,1,2， 当x＝1时，A，B均不符合互异性， ∴x≠1，故x＝±2,0.

高中数学 必修1知识点集合123412n x A x B A B A B A n A ∈∉⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩∈⇒∈⊆（）元素与集合的关系：属于（）和不属于（）（）集合中元素的特性：确定性、互异性、无序性集合与元素（）集合的分类：按集合中元素的个数多少分为：有限集、无限集、空集（）集合的表示方法：列举法、描述法（自然语言描述、特征性质描述）、图示法、区间法子集：若 ，则，即是的子集。

、若集合中有个元素，则集合的子集有个， 注关系集合集合与集合{}00(2-1)23,,,,.4/n A A A B C A B B C A C A B A B x B x A A B A B A B A B A B x x A x B A A A A A B B A A B ⎧⎪⎧⎪⎪⎪⊆⎪⎪⎨⎪⊆⊆⊆⎨⎪⎪⎪⎩⎪⎪⊆≠∈∉⎪⊆⊇⇔=⎪⎩⋂=∈∈⋂=⋂∅=∅⋂=⋂⋂⊆真子集有个。

、任何一个集合是它本身的子集，即 、对于集合如果，且那么、空集是任何集合的（真）子集。

真子集：若且（即至少存在但），则是的真子集。

集合相等：且 定义：且交集性质：，，，运算{}{},/()()()-()/()()()()()()U U U U U U U U A A B B A B A B A A B x x A x B A A A A A A B B A A B A A B B A B A B B Card A B Card A Card B Card A B C A x x U x A A C A A C A A U C C A A C A B C A C B ⎧⎪⎨⋂⊆⊆⇔⋂=⎪⎩⎧⋃=∈∈⎪⎨⋃=⋃∅=⋃=⋃⋃⊇⋃⊇⊆⇔⋃=⎪⎩⋃=+⋂=∈∉=⋂=∅⋃==⋂=⋃，定义：或并集性质：，，，，， 定义：且补集性质：，，，， ()()()U U U C A B C A C B ⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎧⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⋃=⋂⎪⎪⎩⎩⎩⎩第一章 集合与函数概念【1.1、1】集合得含义与表示(1)集合得概念把某些特定得对象集在一起就叫做集合。

第一章集合与函数概念一：集合的含义与表示1、集合的含义：集合为一些确定的、不同的东西的全体，人们能意识到这些东西，并且能判断一个给定的东西是否属于这个整体。

把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫集合，简称为集。

2、集合的中元素的三个特性：（1）元素的确定性：集合确定，则一元素是否属于这个集合是确定的：属于或不属于。

（2）元素的互异性：一个给定集合中的元素是唯一的，不可重复的。

（3）元素的无序性:集合中元素的位置是可以改变的，并且改变位置不影响集合3、集合的表示：{…}（1）用大写字母表示集合：A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5}（2）集合的表示方法：列举法与描述法。

a、列举法：将集合中的元素一一列举出来 {a,b,c……}b、描述法：①区间法：将集合中元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合。

{x∈R| x-3>2} ,{x| x-3>2}②语言描述法：例：{不是直角三角形的三角形}③Venn图:画出一条封闭的曲线，曲线里面表示集合。

4、集合的分类：（1）有限集：含有有限个元素的集合（2）无限集：含有无限个元素的集合（3）空集：不含任何元素的集合5、元素与集合的关系：（1）元素在集合里，则元素属于集合，即：a∈A（2）元素不在集合里，则元素不属于集合，即：a￠A注意：常用数集及其记法：非负整数集（即自然数集）记作：N正整数集 N*或 N+整数集 Z有理数集 Q实数集 R6、集合间的基本关系（1）.“包含”关系（1）—子集定义：如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，我们说这两个集合有包含关系，称集合A是集合B的A⊆（或B⊇Ａ）子集。

记作：BA⊆有两种可能（1）A是B的一部分；注意：B（2）A与B是同一集合。

⊆/B或B⊇/A反之: 集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作A（2）.“包含”关系（2）—真子集A⊆，但存在元素x∈B且x￠A，则集合A是集合B的真子集如果集合B如果A⊆B,且A≠ B那就说集合A是集合B的真子集，记作A B(或B A)读作A真含与B（3）．“相等”关系：A=B “元素相同则两集合相等”如果A⊆B 同时 B⊆A 那么A=B（4）. 不含任何元素的集合叫做空集，记为Φ规定: 空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。

高一数学必修 1 集合知识点复习资料高一数学必修一集合知识点复习资料一. 知识归纳：1.集合的有关概念。

1)集合( 集) ：某些指定的对象集在一起就成为一个集合 ( 集). 其中每一个对象叫元素注意：①集合与集合的元素是两个不同的概念，教科书中是通过描述给出的，这与平面几何中的点与直线的概念类似。

②集合中的元素具有确定性(a?A 和 a?A，二者必居其一 ) 、互异性(假设 a?A，b?A，那么 a≠b) 和无序性 ({a,b} 与{b,a} 表示同一个集合 ) 。

③集合具有两方面的意义，即：但凡符合条件的对象都是它的元素;只要是它的元素就必须符号条件2)集合的表示方法：常用的有列举法、描述法和图文法3)集合的分类：有限集，无限集，空集。

4)常用数集： N，Z，Q，R，N*2.子集、交集、并集、补集、空集、全集等概念。

1)子集：假设对 x∈A都有 x∈B，那么 AB(或 AB);2)真子集： AB且存在 x0∈B但 x0A; 记为 AB(或，且 )3)交集： A∩B={x|x ∈A且 x∈B}4)并集： A∪B={x|x ∈A或 x∈B}5)补集： CUA={x|xA但 x∈U}注意：①?A，假设 A≠?，那么 ?A;②假设，， ;③假设且， A=B(等集 )3.弄清集合与元素、集合与集合的关系，掌握有关的和符号，特要注意以下的符号： (1) 与、 ?的区 ;(2) 与的区 ;(3) 与的区。

4.有关子集的几个等价关系①A∩B=AAB;②A∪B=BAB;③ABCuACuB;④A∩CuB=空集 CuAB;⑤CuA∪B=IAB。

5.交、并集运算的性①A∩A=A，A∩?=?，A∩B=B∩A; ②A∪A=A，A∪?=A，A∪B=B∪A;③Cu(A∪B)=CuA∩CuB，Cu(A∩B)=CuA∪CuB;6.有限子集的个数：集合 A 的元素个数是 n， A有 2n 个子集，2n-1 个非空子集， 2n-2 个非空真子集。

子集、全集、补集： ：【学习目标】1.理解集合之间包含与相等的含义，能识别一些给定集合的子集；了解空集和全集的含义；2.理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集．【要点梳理】要点一、集合间的“包含”关系1.子集集合A 是集合B 的部分元素构成的集合，我们说集合B 包含集合A ；子集：如果集合A 的任何一个元素都是集合B 的元素，我们说这两个集合有包含关系，称集合A 是集合B 的子集(subset).记作：A B(B A)⊆⊇或，当集合A 不包含于集合B 时，记作A B ，用Venn 图表示两个集合间的“包含”关系：A B(B A)⊆⊇或要点诠释：（1）“A 是B 的子集”的含义是：A 的任何一个元素都是B 的元素，即由任意的x A ∈，能推出x B ∈．（2）当A 不是B 的子集时，我们记作“A ⊆B (或B ⊇A )”，读作：“A 不包含于B ”（或“B 不包含A ”）． 2.真子集：若集合A B ⊆，存在元素x ∈B 且x A ∉，则称集合A 是集合B 的真子集(proper subset).记作：A B(或B A)规定：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.3.集合与集合之间的“相等”关系A B B A ⊆⊆且，则A 与B 中的元素是一样的，因此A=B要点诠释：任何一个集合是它本身的子集，记作A A ⊆．要点二、全集、补集1.全集：一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，通常记作U.2.补集：对于全集U 的一个子集A ，由全集U 中所有不属于集合A 的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U 的补集(complementary set)，简称为集合A 的补集，记作：U U A A={x|x U x A}∈∉；即且；痧补集的Venn 图表示：要点诠释：（1）理解补集概念时，应注意补集U A ð是对给定的集合A 和()U A U ⊆相对而言的一个概念，一个确定的集合A ，对于不同的集合U ，补集不同．（2）全集是相对于研究的问题而言的，如我们只在整数范围内研究问题，则Z 为全集；而当问题扩展到实数集时，则R 为全集，这时Z 就不是全集．（3）U A ð表示U 为全集时A 的补集，如果全集换成其他集合（如R ）时，则记号中“U ”也必须换成相应的集合（即R A ð）．【典型例题】类型一、集合间的“包含”关系例1. 请判断①0{0} ；②{}R R ∈；③{}∅∈∅；④∅{}∅；⑤{}0∅=；⑥{}0∈∅；⑦{}0∅∈；⑧∅{}0，正确的有哪些？【答案】②③④⑧【解析】①错误，因为0是集合{}0中的元素，应是{}00∈；②③中都是元素与集合的关系，正确；④⑧正确，因为∅是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，而④中的{}∅为非空集合；⑤⑥⑦错误，∅是没有任何元素的集合．【总结升华】集合的符号语言十分简洁，因而被广泛用于现代数学之中，但往往容易混淆，其障碍在于这些符号与具体意义之间没有直接的联系，突破方法是熟练地掌握这些符号的具体含义. 举一反三：【变式1】用适当的符号填空：(1) {x||x|≤1} {x|x 2≤1}；(2){y|y=2x 2} {y|y=3x 2-1}； (3){x||x|>1} {x|x>1}；(4){(x ，y)|-2≤x ≤2} {(x ，y)|-1<x ≤2}．【答案】 (1)= (2) (3) (4)【总结升华】区分元素与集合间的关系 ，集合与集合间的关系.例2. 写出集合{a ，b ，c}的所有不同的子集.【解析】不含任何元素子集为∅，只含1个元素的子集为{a}，{b}，{c}，含有2个元素的子集有{a ，b}，{a ，c}，{b ，c}，含有3个元素的子集为{a ，b ，c}，即含有3个元素的集合共有23=8个不同的子集.如果集合增加第4个元素d ，则以上8个子集仍是新集合的子集，再将第4个元素d 放入这8个子集中，会得到新的8个子集，即含有4个元素的集合共有24=16个不同子集，由此可推测，含有n 个元素的集合共有2n 个不同的子集.【总结升华】要写出一个集合的所有子集，我们可以按子集的元素个数的多少来分别写出.当元素个数相同时，应依次将每个元素考虑完后，再写剩下的子集.如本例中要写出2个元素的子集时，先从a 起，a 与每个元素搭配有{a ，b}，{a ，c}，然后不看a ，再看b 可与哪些元素搭配即可.同时还要注意两个特殊的子集：∅和它本身.举一反三：【变式1】（2014 广西桂林开学测）满足{1}⊆M ⊆{1，2，3，4，5}的集合M 的个数为（）A ． 4B ．6C ． 8D ． 16【答案】D【解析】∵{1}⊆M ⊆{1，2，3，4，5}，∴ 2，3，4，5共4个元素可以选择，即满足{1}⊆M ⊆{1，2，3，4，5}的集合M 的个数可化为{2，3，4，5}的子集个数；故其有16个子集，故选D ．【总结升华】本题考查了集合间的包含关系及集合的子集个数，若一个集合中有n 个元素，则它有2n个子集，有(21)n -个真子集．【变式2】同时满足：①{}1,2,3,4,5M ⊆；②a M ∈，则6a M -∈的非空集合M 有（ ）A. 16个B. 15个C. 7个D. 6个【答案】C【解析】3a =时，63a -=；1a =时，65a -=；2a =时，64a -=；4a =时，62a -=；5a =时，61a -=；∴非空集合M 可能是：{}{}{}{}{}{}3,1,5,2,4,1,3,5,2,3,4,1,2,4,5，{}1,2,3,4,5共7个.故选C.【变式3】已知集合A={1，3，a}， B={a 2}，并且B 是A 的真子集，求实数a 的取值.【答案】 a=-1， a=3±或a=0【解析】∵， ∴a 2∈A ， 则有：（1）a 2=1⇒a=±1，当a=1时与元素的互异性不符，∴a=-1； （2）a 2=3⇒a=3± （3）a 2=a ⇒a=0， a=1，舍去a=1，则a=0 综上：a=-1， a=3±或a=0.注意：根据集合元素的互异性，需分类讨论.【集合的概念、表示及关系377430 例2】例3. 设M={x|x=a 2+1，a ∈N +}，N={x|x=b 2-4b+5，b ∈N +}，则M 与N 满足( ) A. M=N B. M N C. N M D. M ∩N=∅【答案】B【解析】当a ∈N +时，元素x=a 2+1，表示正整数的平方加1对应的整数，而当b ∈N +时，元素x=b 2-4b+5=(b-2)2+1，其中b-2可以是0，所以集合N 中元素是自然数的平方加1对应的整数，即M 中元素都在N 中，但N 中至少有一个元素x=1不在M 中，即M N ，故选B.例4．已知},,,0{},,,{y x N y x xy x M =-=若M =N ，则+++2()(x y x )()1001002y x y +++ = ．A ．－200B ．200C ．－100D ．0【思路点拨】解答本题应从集合元素的三大特征入手，本题应侧重考虑集合中元素的互异性．【答案】D【解析】由M=N ，知M ，N 所含元素相同.由0∈{0，|x|，y}可知0∈若x=0，则xy=0，即x 与xy 是相同元素，破坏了M 中元素互异性，所以x ≠0.若x ·y=0，则x=0或y=0，其中x=0以上讨论不成立，所以y=0，即N 中元素0，y 是相同元素，破坏了N 中元素的互异性，故xy ≠00，则x=y ，M ，N 可写为M={x ，x 2，0}，N={0，|x|，x}由M=N 可知必有x 2=|x|，即|x|2=|x|∴|x|=0或|x|=1若|x|=0即x=0，以上讨论知不成立若|x|=1即x=±1当x=1时，M 中元素|x|与x 相同，破坏了M 中元素互异性，故 x ≠1当x=-1时，M={-1，1，0}，N={0，1，-1}符合题意，综上可知，x=y=-1 ∴+++2()(x y x )()1001002y x y +++ =-2+2-2+2+…+2=0【总结升华】解答本题易忽视集合的元素具有的“互异性”这一特征，而找不到题目的突破口．因此，集合元素的特征是分析解决某些集合问题的切入点．举一反三：【变式1】设a ，b ∈R ，集合b {1,a+b,a}={0,,b}a，则b-a=( ) 【答案】2【解析】由元素的三要素及两集合相等的特征： b 1{0,,b},0{1,a+b,a}a 0a b=0a∈∈≠∴+，又， ∴当b=1时，a=-1，b {0,b}={0,-1,1}a∴， 当b =1a时，∴b=a 且a+b=0，∴a=b=0(舍) ∴综上：a=-1，b=1，∴b-a=2.类型二、全集、补集【集合的运算 377474 例6】例5. 设全集U={x ∈N +|x ≤8}，若A ∩(C u B)={1，8}，(C u A)∩B={2，6}，(C u A)∩(C u B)={4，7}，求集合A ，B.【答案】A={1，3，5，8}，B={2，3，5，6}【解析】全集U={1，2，3，4，5，6，7，8}由A ∩(C u B)={1，8}知，在A 中且不在B 中的元素有1，8；由(C u A)∩B={2，6}，知不在A 中且在B 中的元素有2，6；由(C u A)∩(C u B)={4，7}，知不在A 中且不在B 中的元素有4，7，则元素3，5必在A ∩B中.由集合的图示可得A={1，3，5，8}，B={2，3，5，6}.例6.已知集合S ＝{2，3，a 2＋2a －3}，A ＝{|a ＋1|，2}，S C A ＝{a ＋3}，求a 的值．【思路点拨】求a 的值，需要充分挖掘补集的含义， ,S A S C A S ⊆⊆.S 这个集合是集合A 与集合S A 的元素合在一起“补成”的，此外，对这类字母的集合问题，需要注意元素的互异性及分类讨论思想方法的应用．【解析】由补集概念及集合中元素互异性知a 应满足()1a 3 3 |a 1|a 2a 3 a 2a 3 2a 2a 3 3 222＋＝①＋＝＋－②＋－≠③＋－≠④⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪或＋＝＋－①＋＝②＋－≠③＋－≠④(2)a 3a 2a 3 |a 1| 3 a 2a 3 2a 2a 3 3 222⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪ 在(1)中，由①得a ＝0依次代入②③④检验，不合②，故舍去．在(2)中，由①得a ＝－3，a ＝2，分别代入②③④检验，a ＝－3不合②，故舍去，a ＝2能满足②③④．故a ＝2符合题意．【总结升华】含参数问题要分类讨论，分类时要做到不重不漏．类型三、子集、全集、补集综合应用例7．（2014 福建南安期中）已知集合{}{}{}48,210,A x x B x x C x x a =≤<=<<=<． （Ⅰ）求A B ；()R C A B ； （Ⅱ）若A C ≠∅，求a 的取值范围．【思路点拨】（1）画数轴；（2）注意是否包含端点．【答案】（Ⅰ）{}210x x <<，（Ⅱ）()4,+∞【解析】（Ⅰ）∵ {}{}48,210,A x x B x x =≤<=<<∴ 如图，{}210A B x x =<<；{4R C A x x =<或}8x ≥∴ ()R C A B {24x x =<<或}810x ≤<（Ⅱ）画数轴同理可得：()4,a ∈+∞．【总结升华】此问题从表面上看是集合的运算，但其本质是一个定区间，和一个动区间的问题．思路是，使动区间沿定区间滑动，数形结合解决问题．举一反三：【变式】集合A ＝{x ｜－2≤x ≤5}，B ＝{x ｜m ＋1≤x ≤2m －1}，(1)若B ⊆A ，求实数m 的取值范围. (2)当x ∈Z 时，求A 的非空真子集个数.(3)当x ∈R 时，没有元素x 使x ∈A 与x ∈B 同时成立，求实数m 的取值范围.解：(1)当m ＋1＞2m －1即m ＜2时，B ＝∅满足B ⊆A .当m ＋1≤2m －1即m ≥2时，要使B ≤A 成立，需⎩⎨⎧m ＋1≥－22m －1≤5 ，可得2≤m ≤3 综上m ≤3时有B ⊆A(2)当x ∈Z 时，A ＝{－2，－1，0，1，2，3，4，5}所以，A 的非空真子集个数为：28－2＝254(3)∵x ∈R ，且A ＝{x ｜－2≤x ≤5}，B ＝{x ｜m ＋1≤x ≤2m －1}，又没有元素x 使x ∈A 与x ∈B 同时成立.则①若B ＝∅即m ＋1＞2m －1，得m ＜2时满足条件.②若B ＝∅，则要满足条件有：⎩⎨⎧m ＋1≤2m －1m ＋1＞5 或⎩⎨⎧m ＋1≤2m －12m －1＜2解之m ＞4 综上有m ＜2或m ＞4。

奇与偶
偶与偶
+加
奇
偶
—减
奇
偶
乘
偶
奇
偶
除
偶
奇
偶
注：“性质法”中的结论只有在两个函数的公共定义域内才成立。
第一章集合与函数概念重要知识点
一、集合有关概念
1.集合的含义：把一些元素组成的总体叫做集合。
2.集合的中元素的三个特性：
(1)元素的确定性如：世界上最高的山
(2)元素的互异性如：由HAPPY的字母组成的集合{H,A,P,Y}
(3)元素的无序性:如：{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一个集合
注意：常用数集及其记法：
（2）奇函数
一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(－x)=—f(x)，那么f(x)就叫做奇函数．
（3）判断函数奇偶性的步骤
首先确定函数的定义域，并判断其是否关于原点对称；
确定f(－x)与f(x)的关系；
作出相应结论：；若f(－x) =－f(x)，则f(x)是奇函数；
若f(－x) = f(x)，则f(x)是偶函数.
②对应法则
③值域： 的取值范围
如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，
那么这两个函数相等
3．区间的概念
区间的分类：
开区间： ，
闭区间： ，
半开半闭区间： ，或 ，分别表示为 ，
五．函数的性质
1.函数的单调性(局部性质)
（1）增函数
设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说f(x)在区间D上是增函数.区间D称为y=f(x)的单调增区间.

44444 4
537
424
= {⋯ , , ,1, , , ,⋯ },易知集合A中任一元素均为B中的元素,但B中的有些元素不在
集合A中，故 ⫋ .

2
1
4
（特征法） 集合A中的元素为 = + =
=

4
1
+
2
=
+2
4
2+1
(
4
∈ ),集合B中的元素为
∈ ,而2 + 1 ∈ 为奇数, + 2 ∈ 为整数,故 ⫋ .
知识点4 有限集合的子集、真子集个数
例4-10 (2024·广东省深圳中学月考)若集合满足 ⫋ {1，2}，则的个数为( B
A.2
B.3
C.4
D.5
【解析】集合满足 ⫋ {1，2}，集合{1，2}的元素个数为2，则的个数为
22 − 1 = 3．
)
例4-11 (2024·河南模拟)已知集合 = { ∈ | − 2 < < 3}，则集合的所有非空真
第1章 集合
1.2 子集、全集、补集
教材帮丨必备知识解读
知识点1 子集、真子集
例1-1 能正确表示集合 = { ∈ |0 ≤ ≤ 2}和集合 = { ∈ | 2 − = 0}关系的
Venn图为( B
A.
)
B.
C.
D.
பைடு நூலகம்
【解析】由2 − = 0得 = 1或 = 0，所以 = {0,1}，故 ⫋ .结合选项可知,B正确.
【解析】因为 2 − 5 + 6 = 0的两根为2,3，故A正确；
因为⌀ 是任何集合的子集，故B正确；

高中数学必修一一、集合1.1集合的含义及其表示1.定义：一般的，一定范围内某些确定的、不同的对象的全体构成一个集合.集合中的每一个对象称为该集合的元素。

2.特别的，自然数集记作N，正整数集记作N*或N+，,整数集记作Z，有理数集记作Q，实数集记作R.3.集合的元素常用小写拉丁字母表示.如果α是集合A 的元素，那么就记作α∈A，读作“α属于A”，例如2∈R；如果α不是集合A的元素，那么就记作α∉A，读作：α不属于A，例如2∉Q.4.集合中的元素具有确定性（a∈A和a不属于A，二者必居其一）、互异性（若a∈A，b∉A，则a≠b）和无序性（{a,b}与{b,a}表示同一个集合）。

5.集合的表示方法：常用的有列举法、描述法和图文法。

6.一般的含有有限个元素的集合称为有限集，含有无限个元素的集合称为无限集。

7.我们把不含任何元素的集合称为空集，记作Ø，例如，集合{x|x2+x+1=0,x∈R}就是空集。

1.2子集、全集、补集1.子集定义：如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素（若α∈A则a∈B），那么集合A称为集合B的子集，记为A⊆B或B⊇A，读作“集合A包含于集合B”或“集合B 包含集合A”.2.如果A⊆B并且A≠B，那么集合A称为集合B的真子集，记为A B,读作“A真包含于B”，如{α}{α，b}.3.根据子集的定义，我们知道A⊆A，也就是说，任何一个集合是它本身的子集.对于空集Ø，我们规定Ø⊆A，即空集是任何集合的子集.4.设A⊆S，由S中不属于A的所有元素组成的集合称为S的子集A的补集，记为C sA(读作“A在S中的补集”），即C sA={x|x∈S，且x∉A}.5.如果集合S包含我们所要研究的各个集合，那么这时S可以看做一个全集，全集通常可以记作U.例如，在实数范围内讨论集合时，R便可以看做一个全集U.1.3交集、并集1.一般的，由所有属于集合A且属于集合B的元素构成的集合，称为A与B的交集，记作A∩B（读作：“A交B”），即A∩B={x|x∈A，且x∈B}.2.一般的，由所有属于集合A，或者属于集合B的元素构成的集合，称为A与B的并集，记作A∪B(读作“A并B”），即A∪B={x|x∈A，或x∈B}.3.为了叙述方便，在以后的学习中，我们常常会用到区间的概念.设a，b∈R，且a＜b，规定[a,b]={x|a≤x≤b}，(a,b)={x|a＜x＜b}，[a,b)={x|a≤x＜b}，(a,b]={x|a＜x≤b}，（a，+∞）={x|x＞a}，（-∞，b）={x|x＜b}，（-∞，+∞）=R.[a,b],(a,b)分别叫做闭区间、开区间：[a,b),(a,b]叫做半开半闭区间：a,b叫做相应区间的端点.读法：∞读作：无穷大；+∞读作：正无穷大（简读：正无穷）；-∞读作负无穷大（简读：负无穷）.[a,b]读作：闭区间a到b；(a,b)读作：开区间a到b；[a,b)读作：左闭右开a到b；(a,b]读作：左开右闭a到b；（a，+∞）读作：开区间a到正无穷；（-∞，b）读作：开区间负无穷到b；（-∞，+∞）读作：负无穷到正无穷；[a，+∞）读作：闭区间a到正无穷；（-∞，b]读作：开区间负无穷到b。

【金版学案】2015-2016年高中数学 第1章 集合章末知识整合 苏教版必修1一、元素与集合的关系例1 已知A ＝{x |x ＝m ＋n ·2，m ，n ∈Z }．(1)设x 1＝13－22，x 2＝9－42，x 3＝(1－32)2，试判断x 1，x 2，x 3与A 之间的关系；(2)任取x 1，x 2∈A ，试判断x 1＋x 2，x 1·x 2与A 之间的关系；(3)能否找到x 0∈A ，使1x 0∈A ，且|x 0|≠1?分析：分清楚集合A 中元素具备什么形式．解析：(1)由于x 1＝13－22＝3＋22，则x 1∈A ，由于x 2＝9－42＝（1－22）2＝－1＋22，则x 2∈A ，由于x 3＝(1－32)2＝19－62， 则x 3∈A .(2)由于x 1，x 2∈A ，设x 1＝m 1＋n 12，x 2＝m 2＋n 2·2(其中m 1，n 1，m 2，n 2∈Z )． 则x 1＋x 2＝(m 1＋m 2)＋(n 1＋n 2)2， 其中m 1＋m 2，n 1＋n 2∈Z ，则x 1＋x 2∈A . 由于x 1x 2＝(m 1＋n 12)(m 2＋n 22)＝(m 1m 2＋2n 1n 2)＋2(m 1n 2＋m 2n 1)， 其中m 1m 2＋2n 1n 2，m 1n 2＋m 2n 1∈Z ，则x 1x 2∈A .(3)假设能找到x 0＝m 0＋n 02∈A (其中m 0，n 0∈Z )符合题意，则： 1x 0＝1m 0＋n 0·2＝m 0m 20－2n 20＋－n 0m 20－2n 20·2∈A ， 则m 0m 2－2n20∈Z ，－n 0m 20－2n 20∈Z .于是，可取m 0＝n 0＝1，则能找到x 0＝－1＋2，又能满足|x 0|≠1，符合题意．点评：解决是否存在的问题主要采用假设法：假设存在某数使结论成立，以此为基础进行推理．若出现矛盾，则否定假设，得出相反的结论；若推出合理的结果，则说明假设正确．这种方法可概括为“假设—推理—否定(肯定)假设—得出结论”．►变式训练1．设集合A ＝{x |x ＝3k ，k ∈Z }，B ＝{x |x ＝3k ＋1，k ∈Z }，C ＝{x |x ＝3k ＋2，k ∈Z }，任取x 1∈B ，x 2∈C ，则x 1＋x 2∈________，x 1x 2∈________，x 1－x 2∈________，x 2－x 1∈________．(注：从A ，B ，C 中选一个填空)解析：设x 1＝3m ＋1，x 2＝3n ＋2，m ，n ∈Z ，则x 1＋x 2＝3(m ＋n ＋1)∈A ；x 1x 2＝9mn ＋6m ＋3n ＋2＝3(3mn ＋2m ＋n )＋2∈C ；x 1－x 2＝3m －3n －1＝3(m －n －1)＋2∈C ；x 2－x 1＝3n －3m ＋1＝3(n －m )＋1∈B .答案：A C C B2．已知集合A ＝{x |ax 2－3x ＋2＝0}． (1)若A ＝∅，求实数a 的取值范围；(2)若A 中只有一个元素，求实数a 的值，并把这个元素写出来．解析：(1)A ＝∅，则方程ax 2－3x ＋2＝0无实根，即Δ＝9－8a <0，∴a >98.∴a 的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ⎪⎪⎪a ＞98.(2)∵A 中只有一个元素，∴①a ＝0时，A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫23满足要求．②a ≠0时，则方程ax 2－3x ＋2＝0有两个相等的实根． 故Δ＝9－8a ＝0，∴a ＝98，此时A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫43满足要求．综上可知：a ＝0或a ＝98.二、集合与集合的关系例2 A ＝{x |x <－1或x >2}，B ＝{x |4x ＋p <0}，当B ⊆A 时，求实数p 的取值范围． 分析：首先求出含字母的不等式，其次利用数轴解决．解析：由已知解得，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x <－p 4.又∵A ＝{x |x ＜－1或x ＞2}，且B ⊆A ，利用数轴．∴－p4≤－1.∴p ≥4，即实数p 的取值范围为{p |p ≥4}． 点评：在解决两个数集包含关系问题时，避免出错的一个有效手段是合理运用数轴帮助分析与求解．三、集合的综合运算 例3 已知集合A ＝{(x ，y )|x 2－y 2－y ＝4}，B ＝{(x ，y )|x 2－xy －2y 2＝0}，C ＝{(x ，y )|x －2y ＝0}，D ＝{(x ，y )|x ＋y ＝0}．(1)判断B 、C 、D 间的关系； (2)求A ∩B.分析：对集合B 进行分解因式，读懂集合语言．解析：(1)∵x 2－xy －2y 2＝(x ＋y )(x －2y )，∴B ＝{(x ，y )|x 2－xy －2y 2＝0} ＝{(x ，y )|(x ＋y )(x －2y )＝0} ＝{(x ，y )|x －2y ＝0或x ＋y ＝0}＝{(x ，y )|x －2y ＝0}∪{(x ，y )|x ＋y ＝0} ＝C ∪D .(2)A ∩B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫（x ，y ）⎪⎪⎪⎩⎪⎨⎪⎧x 2－y 2－y ＝4，x 2－xy －2y 2＝0 ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫（x ，y ）⎪⎪⎪⎩⎪⎨⎪⎧x 2－y 2－y ＝4，（x －2y ）（x ＋y ）＝0 ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫（x ，y ）⎪⎪⎪⎩⎪⎨⎪⎧x 2－y 2－y ＝4，x ＋y ＝0 或⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫（x ，y ）⎪⎪⎪⎩⎪⎨⎪⎧x 2－y 2－y ＝4，x －2y ＝0. ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫⎝ ⎛⎭⎪⎫83，43，（－2，－1），（4，－4）.例4 设集合A ＝{x ||x |<4}，B ＝{x |x 2－4x ＋3>0}，则集合∁A (A ∩B )＝________． 分析：首先简化集合A 和B ，再借助数轴求解． 解析：∵A ＝{x |－4<x <4}，B ＝{x |x <1或x >3}， ∴A ∩B ＝{x |－4<x <1或3<x <4}． ∴∁A (A ∩B )＝{x |1≤x ≤3}．答案：{x |1≤x ≤3} 点评：解集合问题，重要的是读懂集合语言，明确意义，用相关的代数或几何知识解决．►变式训练3．(2014·湖北卷)已知全集U ＝{1，2，3，4，5，6，7}，集合A ＝{1，3，5，6}，则∁U A ＝(C)A ．{1，3，5，6}B ．{2，3，7}C ．{2，4，7}D ．{2，5，7} 解析：利用集合的补集定义求解．∵全集U ＝{1，2，3，4，5，6，7}，集合A ＝{1，3，5，6}， ∴∁U A ＝{2，4，7}．4．已知全集U ＝{实数对(x ，y )}，A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫（x ，y ）⎪⎪⎪y －4x －2＝3，B ＝{(x ，y )|y ＝3x －2}，求(∁U A )∩B .解析：∵A ＝⎩⎨⎧（x ，y ）⎪⎪⎪⎭⎬⎫y －4x －2＝3＝{(x ，y )|y ＝3x －2，且x ≠2}， ∴(∁U A )∩B ＝{(x ，y )|x ＝2，y ＝4}＝{(2，4)}． 四、空集的地位和作用例 5 已知集合A ＝{x |x 2＋(m ＋2)x ＋1＝0}，若A ∩R ＋＝∅，则实数m 的取值范围是________[其中R ＋＝(0，＋∞)]．分析：从方程的观点来看，集合A 是关于x 的实系数一元二次方程x 2＋(m ＋2)x ＋1＝0的解集，而x ＝0不是该方程的解，所以由A ∩R ＋＝∅可知该方程只有两个负根或无实数根，从而分别由判别式转化为关于m 的不等式，解出m 的范围即可．解析：由于A ∩R ＋＝∅和该方程没有零根，所以该方程只有两个负根或无实数根，从而有⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝（m ＋2）2－4≥0，－（m ＋2）<0或Δ＝(m ＋2)2－4<0， 解得m ≥0或－4<m <0，即m >－4. 答案：{m |m ＞－4}点评：由于集合的联系性较强，应注意体会和提炼数学思想(如数形结合、方程思想和分类讨论思想)．►变式训练5．集合A ＝{x |－2≤x ≤5}，B ＝{x |m ＋1≤x ≤2m －1}． (1)若A ∩B ＝B ，求实数m 的取值范围； (2)若A ∩B ＝∅，求实数m 的取值范围． 解析：(1)A ∩B ＝B ⇔B ⊆A ， 当m ＋1>2m －1，即m <2时，B ＝∅，满足B ⊆A ； 当m ＋1≤2m －1时，要使B ⊆A ， 则⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1≥－2，2m －1≤5，m ＋1≤2m －1⇒2≤m ≤3. 综上，m 的取值范围为{m |m ≤3}．(2)当m ＋1>2m －1，即m <2时，B ＝∅，满足A ∩B ＝∅；当B ≠∅时，要使A ∩B ＝∅，则必须⎩⎨⎧m ＋1≤2m －1，m ＋1>5或⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1≤2m －1，2m －1<－2⇒m >4.综上，m 的取值范围是{m |m <2或m >4}．五、集合中的信息迁移题例6 约定“⊕”与“⊗”是两个运算符号，其运算法则如下：对任意的a ，b ∈R ，有a ⊕b＝a －b ，a ⊗b ＝a ＋b（a －b ）2＋1.设U ＝{c |c ＝(a ⊕b )＋(a ⊗b )，－2<a ≤b <1，且a ，b ∈Z }，A ＝{d |d ＝2(a ⊕b )＋a ⊗bb，－1<a <b <2，且a ，b ∈Z }，求∁U A .分析：本题的难点在接受题中临时约定的运算符号及其运算法则，关键是要按照规定，把符号“⊕”与“⊗”表示的运算转化为通常的“＋，－，×，÷”等运算．然后化简集合U 及A ，最后再由补集的定义求出∁U A .解析：由－2<a ≤b <1且a ，b ∈Z 可知，a ＝－1，b ＝－1或b ＝0；a ＝0，b ＝0.根据题中对符号“⊕”与“⊗”及其运算法则的约定，有：(1)若a ＝－1，b ＝－1，则 c ＝(a ⊕b )＋(a ⊗b )＝(－1)－(－1)＋（－1）＋（－1）（－1＋1）2＋1＝－2；(2)若a ＝－1，b ＝0，则 c ＝(a ⊕b )＋(a ⊗b )＝(－1)－0＋（－1）＋0（－1－0）2＋1＝－32；(3)若a ＝0，b ＝0，则c ＝(a ⊕b )＋(a ⊗b )＝0－0＋0＋0（0－0）2＋1＝0. 由(1)、(2)、(3)，可知U ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫－2，－32，0.下面确定A ：由－1<a <b <2，且a ，b ∈Z ， 可得，a ＝0，b ＝1，此时，d ＝2(a ⊕b )＋a ⊗b b ＝2×(0－1)＋0＋1（0－1）2＋1＝－32，所以A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫－32，所以∁U A ＝{0，－2}．点评：在近几年的高考试题和各地的高中模拟考试试题中频频出现新定义型集合，这类问题的求解并不是很难，只要按照其定义方式求解即可．这类题的目的在于培养学生的创新能力、接受临时性定义的能力．►变式训练6．设全集为U ，A 、B 是U 的子集，定义集合A 与B 的运算：A *B ＝{x |x ∈A ∪B 且x ∉A ∩B }，则(A *B )*A 等于(B)A ．AB ．BC ．(∁U A )∩BD ．A ∩∁U B 解析：利用Venn 图．7．在集合{○× a b c da a a a ab a bc dc a c c ad a d a d 那么d○× ()＝(A)A．a B．b C．c D．d解析：有定义可得a c＝c，∴d⊗(a c)＝d⊗c＝a.。

必修一第一章 集合与函数概念一、集合知识点1：集合的含义1》元素的含义：我们把研究对象称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合 2》集合的表示方法：集合通常用大括号{ }或大写的拉丁字母A,B,C …表示， 而元素用小写的拉丁字母a,b,c …表示。

列举法:A={a,b,c}3》集合相等：构成两个集合的元素完全一样。

知识点2：集合元素的特征以及集合与元素之间的关系 1》集合的元素特征：①确定性：给定一个集合，一个元素在不在这个集合中就确定了。

②互异性：一个集合中的元素是互不相同的，即集合中的元素是不重复出现的。

.如:方程(x-2)(x-1)2=0的解集表示为{1,-2},而不是{1,1,-2}③无序性：即集合中的元素无顺序,可以任意排列、调换。

2》元素与集合的关系有“属于∈”及“不属于∉两种) ①若a 是集合A 中的元素，则称a 属于集合A a ∈A ； ②若a 不是集合A 的元素，则称a 不属于集合A ，记作a ∉A 。

注意：常见数集 ①非负整数集（或自然数集），记作N ； ②正整数集，记作N *或N +； ③整数集，记作Z ； ④有理数集，记作Q ； ⑤实数集，记作R ；典例分析题型1：判断是否形成集合例1：判断以下元素的全体是否组成集合，并说明理由：（1）大于3小于11的偶数； （2）我国的小河流； （3）非负奇数； （4）方程x 2+1=0的解； （5）某校2011级新生； （6）血压很高的人； 题型2：集合中元素的互异性的考察 例1：由实数-a, a,a,a2, -5a5为元素组成的集合中,最多有_______个元素，分别为__________。

题型3：集合与元素之间关系的考察 例1：用“∈”或“∉”符号填空：（1）8 N ； （2）0 N ； （3）-3 Z ； （4；（5）设A 为所有亚洲国家组成的集合，则中国 A ，美国 A ，印度 A ，英国 A 。

题型4：根据元素互异性确定参数的值: 例1：已知A={ 33,)1(,222+++-a a a a }，若1∈A ，则实数a 的值为_________.知识点3：集合的表示方法【1】列举法：把集合中的元素一一列举出来, 并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫列举法。

章末知识整合一、元素与集合的关系[例1] 设集合B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ∈N ⎪⎪⎪62＋x ∈N . (1)试判断1和2与集合B 的关系；(2)用列举法表示集合B .解：(1)当x ＝1时，62＋1＝2∈N ，所以1∈B . 当x ＝2时，62＋2＝32∉N ，2∉B . (2)令x ＝0，1，2，3，4，代入62＋x ，检验62＋x∈N 是否成立，可得B ＝{0，1，4}． 规律方法1．判断所给元素a 是否属于给定集合时，若a 在集合内，用符号“∈”；若a 不在集合内，用符号“∉”．2．当所给的集合是常见数集时，要注意符号的书写规范．[即时演练] 1.已知集合A ＝{x |ax 2－3x ＋2＝0}．(1)若A ＝∅，求实数a 的取值范围；(2)若A 中只有一个元素，求实数a 的值，并把这个元素写出来． 解：(1)A ＝∅，则方程ax 2－3x ＋2＝0无实根，即Δ＝9－8a <0，所以a >98. 所以a 的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ⎪⎪⎪a ＞98. (2)因为A 中只有一个元素，所以①a ＝0时，A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫23满足要求． ②a ≠0时，则方程ax 2－3x ＋2＝0有两个相等的实根．故Δ＝9－8a ＝0，所以a ＝98，此时A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫43满足要求． 综上可知：a ＝0或a ＝98. 二、集合与集合的关系[例2] A ＝{x |x <－1或x >2}，B ＝{x |4x ＋p <0}，当B ⊆A 时，求实数p 的取值范围．分析：首先求出含字母的不等式，其次利用数轴解决．解：由已知解得，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x <－p 4. 又因为因为A ＝{x |x ＜－1或x ＞2}，且B ⊆A ，利用数轴所以－p 4≤－1.所以p≥4，故实数p的取值范围为{p|p≥4}．规律方法1．在解决两个数集的包含关系问题时，避免出错的一个有效手段是合理运用数轴帮助分析与求解．2．注意端点值的取舍，这是同学易忽视失误的地方．[即时演练] 2.设集合P＝{(x，y)|x＋y＜4，x，y∈N*}，则集合P 的非空子集的个数是()A．2 B．3 C．7 D．8解析：当x＝1时，y＜3，又y∈N*，因此y＝1或y＝2；当x＝2时，y＜2，又y∈N*，因此y＝1；当x＝3时，y＜1，又y∈N*，因此这样的y不存在；当x≥4时，y＜0，也不满足y∈N*.综上所述，集合P中的元素有(1，1)，(1，2)，(2，1)，所以P 的非空子集的个数是23－1＝7.故选C.答案：C三、集合的运算[例3]已知集合A＝{x|x－2＞3}，B＝{x|2x－3＞3x－a}，求A∪B，分析：先确定集合A，B，然后讨论a的范围对结果的影响．解：A＝{x|x－2＞3}＝{x|x＞5}，B＝{x|2x－3＞3x－a}＝{x|x＜a－3}．借助数轴表示如图所示．(1)当a－3≤5，即a≤8时，A∪B＝{x|x＜a－3或x＞5}．(2)当a－3＞5，即a＞8时，A∪B＝{x|x＞5}∪{x|x＜a－3}＝{x|x∈R}＝R.综上可知，当a≤8时，A∪B＝{x|x＜a－3或x＞5}；当a＞8时，A∪B＝R.规律方法解集合问题关键是读懂集合语言，明确意义，用相关的代数或几何知识进行解决．[即时演练] 3.设集合A＝{x||x|<4}，B＝{x|x2－4x＋3>0}，则集合∁A(A∩B)＝________．解析：因为A＝{x|－4<x<4}，B＝{x|x<1或x>3}，所以A∩B＝{x|－4<x<1或3<x<4}．所以∁A(A∩B)＝{x|1≤x≤3}．答案：{x|1≤x≤3}四、利用集合的运算求参数[例4]设集合M＝{x|－2＜x＜5}，N＝{x|2－t＜x＜2t＋1，t∈R}，若M∪N＝M，求实数t的取值范围．分析：由M∪N＝M，知N⊆M.根据子集的意义，建立关于t的不等式关系来求解．解：由M∪N＝M得N⊆M，故当N ＝∅，即2t ＋1≤2－t ，t ≤13时，M ∪N ＝M 成立． 当N ≠∅时，由数轴图可得⎩⎪⎨⎪⎧2－t ＜2t ＋1，2t ＋1≤5，2－t ≥－2，解得13＜t ≤2.综上可知，所求实数t 的取值范围是{t |t ≤2}．规律方法1．用数轴表示法辅助理解，若右端点小于等于左端点，则不等式无解， N ＝∅.2．列不等式组的依据是左端点小于右端点，即2t ＋1在5的左侧(相等时也符合题意)，2－t 在－2的右侧(相等时也符合题意)．[即时演练] 4.集合A ＝{x |－2≤x ≤5}，B ＝{x |m ＋1≤x ≤2m －1}．(1)若A ∩B ＝B ，求实数m 的取值范围；(2)若A ∩B ＝∅，求实数m 的取值范围．解：(1)A ∩B ＝B ⇔B ⊆A ，当m ＋1>2m －1，即m <2时，B ＝∅，满足B ⊆A ；当m ＋1≤2m －1时，要使B ⊆A .则⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1≥－2，2m －1≤5，m ＋1≤2m －1⇒2≤m ≤3.综上，m 的取值范围为{m |m ≤3}．(2)当m ＋1>2m －1，即m <2时，B ＝∅，满足A ∩B ＝∅； 当B ≠∅时，要使A ∩B ＝∅，则必须⎩⎨⎧m ＋1≤2m －1，m ＋1>5或⎩⎨⎧m ＋1≤2m －1，2m －1<－2⇒m >4. 综上，m 的取值范围是{m |m <2或m >4}．五、集合的实际应用[例5] 某班有36名同学参加数学、物理、化学课外探究小组，每名同学至多参加两个小组，已知参加数学、物理、化学小组的人数分别为26，15，13，同时参加数学和物理小组的有6人，同时参加物理和化学小组的有4人，则同时参加数学和化学小组的有________人．分析：每名同学至多参加两个小组―→画出相应的Venn图―→根据全班有36名同学列等式―→得答案解析：设参加数学、物理、化学小组的人数构成的集合分别为A，B，C，同时参加数学和化学小组的有x人，由题意可得如图所示的Venn图．由全班共36名同学可得(26－6－x)＋6＋(15－10)＋4＋(13－4－x)＋x＝36，解得x＝8，故同时参加数学和化学小组的有8人．答案：8规律方法解决有关集合的实际应用题时，首先要将文字语言转化为集合语言，然后结合集合的交、并、补运算来处理．此外，由于Venn图简明、直观，因此很多集合问题往往借助Venn图来分析．[即时演练] 5.某班共30人，其中15人喜爱篮球运动，10人喜爱乒乓球运动，8人对这两项运动都不喜欢，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为________．解析：设A，B分别表示喜爱篮球运动、乒乓球运动的人数构成的集合，集合U表示全班人数构成的集合．设同时喜爱乒乓球和篮球运动的有x人．依题意，画出如图所示的Venn图．根据Venn图，得8＋x＋(15－x)＋(10－x)＝30.解得x＝3.故喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为15－3＝12.答案：12。

苏教版2019版高中数学必修第一册
第1章集合知识点清单
目录
第一章集合
1. 1 集合的概念与表示
1. 2 子集、全集、补集
1. 3 交集、并集
第一章集合
1. 1 集合的概念与表示
一、集合的相关概念
1. 集合的概念
一般地，一定范围内某些确定的、不同的对象的全体组成一个集合. 集合中的每一个对象称为该集合的元素，简称元.
集合常用大写拉丁字母表示，如集合A，B，…，集合的元素常用小写拉丁字母表示，如a，b，….
2. 集合中元素的特性
(1)确定性：集合中的元素必须是确定的.
(2)无序性：集合中的元素并无先后顺序，即任何两个元素都可以交换顺序.
(3)互异性：集合中的元素一定是不同的.
3. 元素与集合的关系：属于(用符号“∈”表示)或不属于(用符号“∉”或“⋷”表示).
4. 集合相等
如果两个集合所含的元素完全相同(即A中的元素都是B的元素，B中的元素也都是A的元素)，那么称这两个集合相等.
二、集合的表示与分类
1. 常用数集及其记法。

高中数学 必修1知识点集合123412n x A x B A B A B A n A ∈∉⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩∈⇒∈⊆（）元素与集合的关系：属于（）和不属于（）（）集合中元素的特性：确定性、互异性、无序性集合与元素（）集合的分类：按集合中元素的个数多少分为：有限集、无限集、空集（）集合的表示方法：列举法、描述法（自然语言描述、特征性质描述）、图示法、区间法子集：若 ，则，即是的子集。

、若集合中有个元素，则集合的子集有个， 注关系集合集合与集合{}00(2-1)23,,,,.4/n A A A B C A B B C A C A B A B x B x A A B A B A B A B A B x x A x B A A A A A B B A A B ⎧⎪⎧⎪⎪⎪⊆⎪⎪⎨⎪⊆⊆⊆⎨⎪⎪⎪⎩⎪⎪⊆≠∈∉⎪⊆⊇⇔=⎪⎩⋂=∈∈⋂=⋂∅=∅⋂=⋂⋂⊆真子集有个。

、任何一个集合是它本身的子集，即 、对于集合如果，且那么、空集是任何集合的（真）子集。

真子集：若且（即至少存在但），则是的真子集。

集合相等：且 定义：且交集性质：，，，运算{}{},/()()()-()/()()()()()()U U U U U U U U A A B B A B A B A A B x x A x B A A A A A A B B A A B A A B B A B A B B Card A B Card A Card B Card A B C A x x U x A A C A A C A A U C C A A C A B C A C B ⎧⎪⎨⋂⊆⊆⇔⋂=⎪⎩⎧⋃=∈∈⎪⎨⋃=⋃∅=⋃=⋃⋃⊇⋃⊇⊆⇔⋃=⎪⎩⋃=+⋂=∈∉=⋂=∅⋃==⋂=⋃，定义：或并集性质：，，，，， 定义：且补集性质：，，，， ()()()U U U C A B C A C B ⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎧⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⋃=⋂⎪⎪⎩⎩⎩⎩第一章 集合与函数概念【1.1.1】集合的含义与表示（1）集合的概念把某些特定的对象集在一起就叫做集合. （2）常用数集及其记法N 表示自然数集，N *或N +表示正整数集，Z 表示整数集，Q 表示有理数集，R 表示实数集.（3）集合与元素间的关系对象a 与集合M 的关系是a M ∈，或者a M ∉，两者必居其一. （4）集合的表示法①自然语言法：用文字叙述的形式来描述集合.②列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合. ③描述法：{x |x 具有的性质}，其中x 为集合的代表元素. ④图示法：用数轴或韦恩图来表示集合. （5）集合的分类①含有有限个元素的集合叫做有限集.②含有无限个元素的集合叫做无限集.③不含有任何元素的集合叫做空集(∅).【1.1.2】集合间的基本关系（6）子集、真子集、集合相等（7）已知集合A 有(1)n n ≥个元素，则它有2n个子集，它有21n-个真子集，它有21n-个非空子集，它有22n-非空真子集.【1.1.3】集合的基本运算（8）交集、并集、补集名称记号意义性质示意图交集A BI{|,x x A∈且}x B∈（1）A A A=I（2）A∅=∅I（3）A B A⊆IA B B⊆IBA并集A BU{|,x x A∈或}x B∈（1）A A A=U（2）A A∅=U（3）A B A⊇UA B B⊇UBA补集{|,}x x U x A∈∉且⑴（⑵⑶⑷⑸交换律：.;ABBAABBA YYII==结合律:)()();()(CBACBACBACBA YYYYIIII==分配律:)()()();()()(CABACBACABACBA YIYIYIYIYI==0-1律：,,,A A A U A A U A UΦ=ΦΦ===I U I U等幂律：.,AAAAAA==YI求补律：A∩A∪=U反演律：(A∩B)=(A)∪(B) (A∪B)=(A)∩(B)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

高中数学必修一第一章集合一、集合的概念1、集合的含义：把一些能够确定的不同的对象看成一个整体，就说这个整体是由这些对象的全体构成的集合（或集），构成集合的每个对象叫做这个集合的元素（或成员）。

注意：在集合中，通常用小写字母表示点（元素），用大写字母表示点（元素）的集合，而在几何中，通常用大写字母表示点（元素），用小写字母表示点的集合，应注意区别。

2、空集的含义：不含任何元素的集合叫做空集，记为Ø。

3、集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性。

（1）对于一个给定的集合，集合中的元素是确定的，任何一个对象或者是或者不是这个给定的集合的元素，这叫集合元素的确定性。

（2）任何一个给定的集合中，任何两个元素都是不同的对象，相同的对象归入一个集合时，仅算一个元素，这叫集合元素的互异性。

集合中的元素互不相同。

例如：集合A={1，a}，则a不能等于1。

（3）集合中的元素是平等的，没有先后顺序，因此判定两个集合是否一样，仅需比较它们的元素是否一样，不需考查排列顺序是否一样，这叫集合元素的无序性。

例{0，1，2}有其它{0，2，1}、{1，0，2}、{1，2，0}、{2，0，1}、{2，1，0}等共六种表示方法。

4、元素与集合之间只能用“∈”或“∉”符号连接。

5、集合的分类：（1）有限集：含有有限个元素的集合。

（2）无限集：含有无限个元素的集合。

（3）空集：不含任何元素的集合。

6、常见的特殊集合：；（1）非负整数集（即自然数集）N（包括零）；（2）正整数集N*或N+（3）整数集Z（包括负整数、零和正整数）；（4）实数集R（包括所有有理数和无理数）；（5）有理数集Q（包括整数集Z和分数集→正负有限小数或无限循环小数）；（6）复数集C，虚数可以指不实的数字或并非表明具体数量的数字。

在数学中，虚数就是形如a+b*i 的数，其中a，b是任意实数，且b≠0，i²=-1。

二、集合的表示方式1、列举法：把集合中的元素一一列举出来，元素之间用逗号隔开，然后用一个花括号全部括上。

高中数学必修 1 知识点第一章集合与函数概念〖1.1 〗集合【1.1.1 】集合的含义与表示（ 1）集合的概念集合中的元素具有确定性、互异性和无序性.（ 2）常用数集及其记法N 表示自然数集，N 或 N 表示正整数集， Z 表示整数集， Q 表示有理数集，R 表示实数集 .（ 3）集合与元素间的关系对象 a 与集合 M 的关系是 a M ，或者 a M ，两者必居其一.（4）集合的表示法①自然语言法：用文字叙述的形式来描述集合.②列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合.③描述法： { x | x 具有的性质 } ，其中 x 为集合的代表元素.④图示法：用数轴或韦恩图来表示集合.（ 5）集合的分类①含有有限个元素的集合叫做有限集 . ②含有无限个元素的集合叫做无限集叫做空集 ( ).【 1.1.2 】集合间的基本关系（ 6）子集、真子集、集合相等名称记号意义性质. ③不含有任何元素的集合示意图A B（或子集B A)A B真子集（或B A）A中的任一元素都属于 BA B，且 B中至少有一元素不属于A(1)A A(2) A(3)若 A B 且 B C，则 A C(4)若 A B 且 B A，则 A B（ 1）A （ A 为非空子集）(2)若 A B 且 B C，则A CA(B)B A或B A集合A 中的任一元素都BA B(1)A相等属于 B， B 中的任A(2)B一元素都属于 AA(B)（ 7）已知集合A 有 n(n 1) 个元素，则它有2n个子集，它有 2n1个真子集，它有 2n1个非空子集，它有2n 2 非空真子集 .【 1.1.3 】集合的基本运算（ 8）交集、并集、补集名称记号意义性质{ x |x A, 且（1） A A AA （2） A交集B（3） A B Ax B}A B B{ x |x A, 或（1） A A AA （2） A A并集B（3） A B Ax B}A B B{ x | x U , 且x A} 痧U(A B) ( U A)(?U B)1 A(e UA)补集e U A痧U(A B) ( U A) (?U B)2 A (e U A) U【补充知识】含绝对值的不等式与一元二次不等式的解法（ 1）含绝对值的不等式的解法示意图A B A B不等式解集| x | a( a 0) { x | a x a}| x | a(a 0) x | x a 或 x a}把 ax b 看成一个整体，化成 | x | a ，| ax b | c,| ax b | c(c 0)| x | a(a 0) 型不等式来求解（2）一元二次不等式的解法判别式b24ac 0 0 0二次函数y ax2bx c(a 0)的图象O 一元二次方程b b24acax2bx c 0(a 0) x1,22ax1x2b无实根（其中 x1 x2 ) 2a的根ax2bx c 0(a 0) { x | x xx2} { x | x b }R1或 x2a的解集ax2bx c 0(a 0) { x |x1x x2}的解集〖1.2 〗函数及其表示【1.2.1 】函数的概念（ 1）函数的概念①设 A 、 B 是两个非空的数集，如果按照某种对应法则 f ，对于集合A 中任何一个数 x ，在集合 B 中都有唯一确定的数 f ( x) 和它对应，那么这样的对应（包括集合A ， B 以及 A 到 B 的对应法则f）叫做集合 A 到 B 的一个函数，记作 f : A B ．②函数的三要素: 定义域、值域和对应法则．③只有定义域相同，且对应法则也相同的两个函数才是同一函数．（ 2）区间的概念及表示法①设 a,b 是两个实数，且 a b，满足 a x b 的实数 x 的集合叫做闭区间，记做 [a,b] ；满足 a xb的实数 x 的集合叫做开区间，记做 (a, b) ；满足 a x b ，或 a x b 的实数 x 的集合叫做半开半闭区间，分别记做 [a ,b )， (a,b] ；满足 x a, x a, x ,b x 的b实数 x 的集合分别记做[ a, ),( a, ),( , b],( ,b) ．注意：对于集合 { x | a x b} 与区间 (a,b) ，前者 a 可以大于或等于 b ，而后者必须a b ，（前者可以不成立，为空集；而后者必须成立）．（3）求函数的定义域时，一般遵循以下原则：① f ( x) 是整式时，定义域是全体实数．② f ( x) 是分式函数时，定义域是使分母不为零的一切实数．③ f ( x) 是偶次根式时，定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合．④对数函数的真数大于零，当对数或指数函数的底数中含变量时，底数须大于零且不等于1．⑤ y tan x 中， x k (k Z ) ．2⑥零（负）指数幂的底数不能为零．⑦若 f (x) 是由有限个基本初等函数的四则运算而合成的函数时，则其定义域一般是各基本初等函数的定义域的交集．⑧对于求复合函数定义域问题，一般步骤是：若已知 f ( x) 的定义域为 [ a, b] ，其复合函数 f[ g( x)] 的定义域应由不等式 a g( x) b 解出．⑨对于含字母参数的函数，求其定义域，根据问题具体情况需对字母参数进行分类讨论．⑩由实际问题确定的函数，其定义域除使函数有意义外，还要符合问题的实际意义．（ 4）求函数的值域或最值求函数最值的常用方法和求函数值域的方法基本上是相同的．事实上，如果在函数的值域中存在一个最小（大）数，这个数就是函数的最小（大）值．因此求函数的最值与值域，其实质是相同的，只是提问的角度不同．求函数值域与最值的常用方法：①观察法：对于比较简单的函数，我们可以通过观察直接得到值域或最值．②配方法：将函数解析式化成含有自变量的平方式与常数的和，然后根据变量的取值范围确定函数的值域或最值．③判别式法：若函数y f (x) 可以化成一个系数含有y 的关于 x 的二次方程a( y) x2b( y) x c( y) 0 ，则在 a( y) 0 时，由于 x, y 为实数，故必须有b2 ( y) 4a( y)c( y)，从而确定函数的值域或最值．④不等式法：利用基本不等式确定函数的值域或最值．⑤换元法：通过变量代换达到化繁为简、化难为易的目的，三角代换可将代数函数的最值问题转化为三角函数的最值问题．⑥反函数法：利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系确定函数的值域或最值．⑦数形结合法：利用函数图象或几何方法确定函数的值域或最值．⑧函数的单调性法．【 1.2.2 】函数的表示法（5）函数的表示方法表示函数的方法，常用的有解析法、列表法、图象法三种．解析法：就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系．列表法：就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系．图象法：就是用图象表示两个变量之间的对应关系．（ 6）映射的概念①设A 、 B 是两个集合，如果按照某种对应法则f ，对于集合A 中任何一个元素，在集合B 中都有唯一的元素和它对应，那么这样的对应（包括集合A，B以及 A 到 B 的对应法则f ）叫做集合A到B的映射，记作f :AB ．②给定一个集合A 到集合B 的映射，且a A,bB ．如果元素a 和元素b 对应，那么我们把元素b 叫做元素a 的象，元素a 叫做元素b 的原象．〖 1.3 〗函数的基本性质【1.3.1 】单调性与最大（小）值（ 1）函数的单调性①定义及判定方法函数的定义 图象性 质判定方法 函数的单调性 如果对于属于定义域 I 内某个区间上的任意两个 自变量的值 x1 、x2, 当x1<．．x2 时，都有 f(x 1)<f(x 2) ， ． ．．．．．．．．．那么就说 f(x) 在这个区 间上是 增函数 ． ．．．如果对于属于定义域 I内某个区间上的任意两个自变量的值 x1 、x2，当x1<．．x2 时，都有 f(x1)>f(x 2) ，． ．．．．．．．．．那么就说 f(x) 在这个区 间上是 减函数 ．．．． y y=f(X) f(x 2 ) f(x 1 ) o 1 x 2 x x y y=f(X)f(x ) 1 f(x ) 2 o x 1 x 2 x （ 1）利用定义 （ 2）利用已知函数的单调性 （ 3）利用函数图象（在某个区间图象上升为增）（ 4）利用复合函数（ 1）利用定义（ 2）利用已知函数的单调性（ 3）利用函数图象（在某个区间图象下降为减）（ 4）利用复合函数②在公共定义域内， 两个增函数的和是增函数， 两个减函数的和是减函数，函数，减函数减去一个增函数为减函数．增函数减去一个减函数为增③对于复合函数 y f [ g( x)] ，令 u g ( x) ，若 y f (u) 为增， ug( x) 为增，则 y f [ g( x)] 为增；若 yf (u) 为 减 ， u g( x) 为 减，则 yf [ g( x)] 为 增； 若 yf (u) 为 增，u g (x) 为减， 则y f [ g (x)] 为减；若 y f (u) 为减， u g( x) 为增，则 y f [ g (x)] 为减． （ 2）打“√”函数 f ( )a ( a 0) 的图象与性质 x xxf ( x) 分别在 (, a] 、[ a, ) 上为增函数，分别在y[ a,0) 、 (0, a ] 上为减函数．（ 3）最大（小）值定义①一般地， 设函数 y f (x) 的定义域为 I ，如果存在实数Mo x满足：（ 1）对于任意的x I ，都有 f ( x) M ；（2）存在 x0I ，使得 f ( x0 ) M ．那么，我们称M 是函数 f (x) 的最大值，记作 f max ( x) M ．②一般地，设函数 y f ( x) 的定义域为I ，如果存在实数m 满足：（ 1）对于任意的 x I ，都有 f ( x) m ；（ 2）存在 x0I ，使得f (x0 ) m ．那么，我们称m 是函数 f ( x) 的最小值，记作f max ( x) m ．【1.3.2 】奇偶性（4）函数的奇偶性①定义及判定方法函数的性质函数的奇偶性定义图象判定方法如果对于函数f(x) 定义（ 1）利用定义（要域内任意一个x ，都有先判断定义域是否f( － x)=－f(x) ,那么函数关于原点对称）．．．．．．．．．．（ 2）利用图象（图f(x) 叫做奇函数．．．．象关于原点对称）如果对于函数f(x) 定义（ 1）利用定义（要域内任意一个x ，都有先判断定义域是否f( － x)=f(x) ,那么函数关于原点对称）．．．．．．．．．（ 2）利用图象（图f(x) 叫做偶函数．．．．象关于 y 轴对称）②若函数 f ( x) 为奇函数，且在x 0 处有定义，则f (0) 0 ．③奇函数在 y 轴两侧相对称的区间增减性相同，偶函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相反．④在公共定义域内，两个偶函数（或奇函数）的和（或差）仍是偶函数（或奇函数），两个偶函数（或奇函数）的积（或商）是偶函数，一个偶函数与一个奇函数的积（或商）是奇函数．〖补充知识〗函数的图象（1）作图利用描点法作图：①确定函数的定义域；②化解函数解析式；③讨论函数的性质（奇偶性、单调性）；④画出函数的图象．利用基本函数图象的变换作图：要准确记忆一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数、三角函数等各种基本初等函数的图象．①平移变换y f ( x)②伸缩变换h 0,左移h个单位y f (x h) y f( x)k 0,上移k个单位y f (x)kh 0,右移 | h|个单位k 0,下移 | k|个单位y f( x)0 1,伸1,缩yf( x)0 A 1,缩A 1,伸③对称变换y f (x) y Af( x)y f( x)x轴f ( x)y f( x)y轴yy f( x)yf( x) 原点 y f ( x) 直线 y xyf 1 ( x )yf ( x)y f( x) 去掉 y 轴左边图象y f (| x |)保留 y 轴右边图象，并作其关于 y轴对称图象yf ( x)（ 2）识图保留 x 轴上方图象 y | f ( x) | 将 x 轴下方图象翻折上去对于给定函数的图象， 要能从图象的左右、 上下分别范围、 变化趋势、 对称性等方面研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性，注意图象与函数解析式中参数的关系．（ 3）用图函数图象形象地显示了函数的性质，为研究数量关系问题提供了“形”的直观性，它是探求解题途径，获得问题结果的重要工具．要重视数形结合解题的思想方法．第二章 基本初等函数 ( Ⅰ)〖 2.1 〗指数函数【 2.1.1 】指数与指数幂的运算（ 1）根式的概念①如果 n 1x a a R x R n ，且n N ，那么 x 叫做 a 的n 次方根．当 n 是奇数时， a 的n 次 , , , 方根用符号 na 表示；当 n 是偶数时， 正数 a 的正的 n 次方根用符号 n a 表示，负的 n 次方根用符号 n a 表示； 0 的 n 次方根是 0；负数 a 没有 n 次方根．②式子 na 叫做根式，这里 n 叫做根指数， a 叫做被开方数．当 n 为奇数时， a 为任意实数；当 n 为 偶数时，a0 ．③根式的性质： ( na)n a ；当 n 为奇数时， n a n a ；当 n 为偶数时， n a n a (a 0)| a | (a 0) ．a（ 2）分数指数幂的概念mn m①正数的正分数指数幂的意义是：a n a ( a 0, , N , 且n 1) ．0 的正分数指数幂等于0． m nm m②正数的负分数指数幂的意义是：a n ( 1 ) n n ( 1 )m( a 0,m, n N , 且 n1) ． 0 的负分数a a指数幂没有意义． 注意口诀： 底数取倒数，指数取相反数．（ 3）分数指数幂的运算性质① r s r s ( 0, , ) ② rs rs a a a a r s ( a ) a (a 0,r , s R) R()r r r (0, 0, ) ③ab a b a b r R【 2.1.2】指数函数及其性质（ 4）指数函数函数名称指数函数定义函数 y a x (a 0 且 a1) 叫做指数函数a 1 0 a 1y y a x y a x y图象y 1y 1(0,1)(0,1)O xO x 定义域R值域(0, )过定点图象过定点(0,1) ，即当x 0 时， y 1 ．奇偶性非奇非偶单调性在 R 上是增函数在 R 上是减函数a x 1 ( x 0) a x 1 (x 0)函数值的a x 1 ( x 0) a x 1 (x 0) 变化情况a x a x1 ( x 0) 1 (x 0)a 变化对图象的影响在第一象限内，a 越大图象越高；在第二象限内，a 越大图象越低．〖2.2 〗对数函数【2.2.1 】对数与对数运算（ 1）对数的定义①若 a x N (a 0,且 a 1)，则 x 叫做以 a 为底 N 的对数，记作x log aN ，其中 a 叫做底数，N 叫做真数．②负数和零没有对数．③对数式与指数式的互化：x log a N a x N ( a 0, a 1, N 0) ．（ 2）几个重要的对数恒等式log a 1 0 ， log a a 1， log a a b b ．（ 3）常用对数与自然对数常用对数： lg N ，即 log 10 N ；自然对数： ln N ，即 log e N （其中 e 2.71828 ⋯）．（4）对数的运算性质如果 a 0, a 1, M 0, N 0，那么①加法： log a M log a N log a (MN )②减法： log aMlog a N log a MN ③数乘： n log a M log a M n( nR) ④ a log a N N⑤ log a b M nn log a M (b 0, n R) ⑥换底公式： log aN logb N(b 0, 且 b 1)blog b a【 2.2.2 】对数函数及其性质（ 5）对数函数函数名称 对数函数定义 函数 y log a x(a 0 且 a 1) 叫做对数函数 a 1 0 a 1x 1x1yy log a x yy log a x图象O(1,0)x(1,0)Ox定义域 (0, )值域R过定点 图象过定点 (1,0) ，即当x 1时， y 0 ．奇偶性非奇非偶单调性在 (0, ) 上是增函数在 (0, ) 上是减函数log a x 0 (x 1) log a x 0 (x 1)函数值的 log a x 0 (x 1)log a x0 (x 1)变化情况log a x 0 (0 x 1)log a x0 (0 x 1)a 变化对 图象的影响 在第一象限内，a 越大图象越靠低；在第四象限内，a 越大图象越靠高．(6) 反函数的概念设函数 y f ( x) 的定义域为 A ，值域为 C ，从式子y f ( x) 中解出 x ，得式子 x ( y) ．如果对于 y 在 C 中的任何一个值， 通过式子 x( y) ， 在 A 中都有唯一确定的值和它对应， 那么式子x( y)x表示 x 是 y 的函数，函数 x ( y) 叫做函数 y f ( x) 的反函数，记作 x f 1( y) ，习惯上改写成 y f 1( x) ．（ 7）反函数的求法①确定反函数的定义域，即原函数的值域；②从原函数式y f ( x) 中反解出xf 1 ( y) ； ③将 x f 1( y) 改写成 y f 1( x) ，并注明反函数的定义域．（ 8）反函数的性质①原函数yf ( x) 与反函数yf 1 (x) 的图象关于直线 y x 对称． ②函数 y f (x) 的定义域、值域分别是其反函数 y f 1(x) 的值域、定义域．③若 P(a, b) 在原函数 y f (x) 的图象上，则 P '(b, a) 在反函数 y f 1( x) 的图象上．④一般地，函数 yf (x) 要有反函数则它必须为单调函数．〖 2.3 〗幂函数（ 1）幂函数的定义一般地，函数 y x 叫做幂函数，其中 x 为自变量， 是常数．（2）幂函数的图象（3）幂函数的性质① 图象分布：幂函数图象分布在第一、二、三象限，第四象限无图象．幂函数是偶函数时，图象分布在第一、二象限 (图象关于 y 轴对称 )；是奇函数时，图象分布在第一、三象限(图象关于原点对称 )；是非奇非偶函数时，图象只分布在第一象限．②过定点：所有的幂函数在(0, ) 都有定义，并且图象都通过点(1,1) ．③单调性：如果0 ，则幂函数的图象过原点，并且在[0,) 上为增函数．如果0 ，则幂函数的图象在(0, ) 上为减函数，在第一象限内，图象无限接近x 轴与 y 轴．④奇偶性：当为奇数时，幂函数为奇函数，当为偶数时，幂函数为偶函数．当q（其中 p, q 互质，pq qp 和 q Z ），若 p 为奇数 q 为奇数时，则y x p是奇函数，若p 为奇数 q 为偶数时，则yx p是偶函数，q若 p 为偶数 q 为奇数时，则y x p是非奇非偶函数．⑤图象特征：幂函数y x , x (0, ) ，当1 时，若 0x 1，其图象在直线y x 下方，若 x 1 ，其图象在直线 y x 上方，当1时，若 0x1 ，其图象在直线y x 上方，若 x1 ，其图象在直线y x下方．〖补充知识〗二次函数（ 1）二次函数解析式的三种形式①一般式： f ( x) ax2bx c(a 0) ②顶点式： f (x) a( xh) 2k ( a 0) ③两根式：f ( x)a( x x1)( x x2 )( a 0) （ 2）求二次函数解析式的方法①已知三个点坐标时，宜用一般式．②已知抛物线的顶点坐标或与对称轴有关或与最大（小）值有关时，常使用顶点式．③若已知抛物线与x 轴有两个交点，且横线坐标已知时，选用两根式求f ( x) 更方便．（ 3）二次函数图象的性质①二次函数 f ( x) ax2bx c(a 0) 的图象是一条抛物线，对称轴方程为x b , 顶点坐标是2a( b , 4ac b2) ．2a 4a②当 a 0 时，抛物线开口向上，函数在( , b ] 上递减，在[ b ,) 上递增，当x b 时，2a 2a 2af min ( x)4ac b20 时，抛物线开口向下，函数在( ,b b ) 上递减，当4a；当 a ] 上递增，在 [ ,2a 2ax b4ac b2时， f max (x) ．2a4a③二次函数 f ( x)ax2bx c(a 0) 当b24ac 0 时，图象与 x 轴有两个交点M1(x1,0),M2(x2,0),|M1M2 | | x1x2 | ．|a|（ 4）一元二次方程ax2bx c 0(a 0) 根的分布一元二次方程根的分布是二次函数中的重要内容，这部分知识在初中代数中虽有所涉及，但尚不够系统和完整，且解决的方法偏重于二次方程根的判别式和根与系数关系定理（韦达定理）的运用，下面结合二次函数图象的性质，系统地来分析一元二次方程实根的分布．设一元二次方程 ax2bx c 0(a 0) 的两实根为 x1, x2，且 x1x2．令 f ( x) ax2bxc ，从以下四个方面来分析此类问题：①开口方向：号．①k＜x1≤ x2 a ②对称轴位置： xb③判别式：④端点函数值符2ay ybf (k )0 a 0x2a O k Ok xx2x x x2x1 1xbf (k) 0 a2a②x1≤ x2＜ ky yf (k) 0ba 0x2aO x2O k x1k x x1x2xxb a 0f(k) 0 2a③x ＜ k＜x 2af( k) ＜ 01y ya 0 f(k ) 0 O kx1 O kx1 x2xx2xf (k ) 0a 0④k1＜ x1≤ x2＜ k2ya 0 f (k 1 ) 0 f (k 2 ) 0 x 1 x 2 O k k 2 x 1yxb2a k 1 k 2 O x 1 x 2 xf(k ) 0xb1f ( k 2 )0 a 02a⑤有且仅有一个根 x1（或 x2）满足 k1＜x1（或 x2）＜ k2f( k1) f( k2)0，并同时考虑 f( k1)=0 或 f( k2)=0 这两种情况是否也符合yya 0f (k 1 ) 0f (k 1 ) 0x kk 2O 12O x 1x2xk 1 x 2 x k 1f (k 2 ) 0 a 0f (k 2 ) 0⑥k1＜ x1＜ k2≤ p1＜ x2＜ p2此结论可直接由⑤推出．（ 5）二次函数f (x) ax 2bx c(a 0) 在闭区间 [ p, q] 上的最值 设 f (x) 在区间 [ p, q] 上的 最大值为 M ，最小值为 m ，令 x 01( p q) ． （Ⅰ）当 a 0 时（开口向上） 2①若b p ，则 m f ( p) ②若 p b q ，则 m f ( b) ③若 b q ，则 m f(q) 2a 2a 2a 2af f f f (q) (p) (p) (q) O x f O x O x f ((p)bb ) f b )) f ( f( 2a 2a (q) 2a b bM f x 0 ，则 M f ( p)①若 x 0 ，则 ( q)②2a2af f(p) x(q)0 x 0Ox Oxb ) ff f(b (q) 2af ((p))2a( Ⅱ ) 当 a 0 时( 开口向下)①若 b2a p ，则 Mf ( p)②若p b 2a q ，则 Mf ( b 2a ) ③若 b 2aq ，则Mf ( q)f( b )f (b ) f f ( b )2a 2af 2a (q)f(p) (p)O x O x Oxf ff(q)(q)(p) bb x0 ，则 m f( p) ． ①若 x0 ，则 m f (q)②2a2abbf ()f f ( 2a )f 2a(q)(p) x 0x 0O x O x f f(q)(p)第三章 函数的应用一、方程的根与函数的零点1 、 函 数 零 点 的 概 念 ： 对 于 函 数 y f(x)( x D ) ， 把 使 f (x)0 成 立 的 实 数 x 叫 做 函 数 y f (x)( x D )的零点。

《集合》全章复习与巩固： ：【学习目标】1. 了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系，并初步掌握集合的表示方法.2. 理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集；了解全集与空集的含义.3. 理解补集的含义，会求补集；4. 理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集；【知识网络】【要点梳理】要点一、集合的含义与表示： 1、集合的含义集合：某些指定的对象集在一起成为集合（1）集合中的对象称元素，若a 是集合A 的元素，记作A a ∈；若b 不是集合A 的元素，记作A b ∉ （2）集合中的元素必须满足：确定性、互异性与无序性；确定性：设A 是一个给定的集合，x 是某一个具体对象，则或者是A 的元素，或者不是A 的元素，两种情况必有一种且只有一种成立；互异性：一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体（对象），因此，同一集合中不应重复出现同一元素；无序性：集合中不同的元素之间没有地位差异，集合不同于元素的排列顺序无关；集 合集 合 表 示 法集 合 的 关 系集 合 的 运 算描 述 法图 示 法列 举 法 相 等包 含 交 集并 集 补 集子集、真子集要点诠释：列举法与描述法各有优点，应该根据具体问题确定采用哪种表示法，要注意，一般集合中元素较多或有无限个元素时，不宜采用列举法。

2、一些常用集合的记法： 自然数集记为N ； 正整数集记为*N 或+N ； 整数集记为Z ；有理数集记为Q ； 实数集记作R ； 复数集记作C ；不含任何元素的集合叫做空集，记作∅。

3、常用的集合表示法常用的集合表示法有：列举法、描述法、Venn 图．列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合的方法。

描述法：把集合中元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法，其具体形式如下：{元素的一般形式|元素所具有的公共属性}Venn 图：用平面上封闭曲线的内部代表集合。

要点二：集合与集合的关系 1. 子集：如果集合A 中任何一个元素都是集合B 中的元素，则称集合A 为集合B 的子集，记作：⊆A B ． 2. 相等：若A ⊆B 且B ⊆A ，则集合A 与集合B 的元素是一样的，则称集合A 与集合B 相等，记作A=B ． 3. 真子集：如果集合A ⊆B ，但存在元素x ∈B ，且x ∉A ，则称集合A 为集合B 的真子集，记作：A B ． 4. 空集：空集是任何集合A 的子集，即∅⊆A ； 空集是任何非空集合B 的真子集，即∅B 。