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3．1.2指数函数第1课时指数函数的概念、图象及性质1.了解指数函数的实际背景．2.理解指数函数的概念、意义、图象和性质．3．掌握与指数函数有关的函数定义域、值域、单调性问题．[学生用书P41]1．指数函数的定义一般地，形如y＝a x(a>0且a≠1)的函数叫做指数函数，其中x 为自变量，定义域为R．2．指数函数的图象与性质a>10<a<1图象性质定义域R值域(0，＋∞)定点(0，1)单调性增函数减函数性质相应的y值x>0时，y>1；x＝0时，y＝1；x<0时，0<y<1x>0时，0<y<1；x＝0时，y＝1；x<0时，y>11．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)指数函数y＝a x中，a可以为负数．()(2)指数函数的图象一定在x轴的上方．()(3)函数y＝2－x的定义域为{x|x≠0}．()★★答案★★：(1)×(2)√(3)×2．下列函数：①y＝(－2)x；②y＝2x；③y＝2－x；④y＝3×2x.其中指数函数的个数为() A．0B．1C．2 D．4★★答案★★：C3．若f (x )＝(a 2－3)a x 是指数函数，则a ＝________． ★★答案★★：24．函数f (x )＝2x ，x ∈[0，2]的值域是________． ★★答案★★：[1，4]指数函数的概念[学生用书P41]下列函数中，哪些是指数函数． ①y ＝(－8)x ；②y ＝2x 2－1；③y ＝a x ； ④y ＝(2a －1)x ⎝⎛⎭⎫a >12且a ≠1；⑤y ＝2×3x . 【解】 ①中底数－8<0，所以不是指数函数． ②中指数不是自变量x ，所以不是指数函数．③中底数a ，只有规定a >0且a ≠1时，才是指数函数． ④因为a ＞12且a ≠1，所以2a －1＞0且2a －1≠1，所以y ＝(2a －1)x ⎝⎛⎭⎫a ＞12且a ≠1为指数函数． ⑤中3x 前的系数是2，而不是1，所以不是指数函数．故只有④是指数函数．只需判定其解析式是否符合y ＝a x (a >0，且a ≠1)这一结构形式，其具备的特点为：1.指出下列函数中，哪些是指数函数．(1)y ＝πx ；(2)y ＝－4x ； (3)y ＝(1－3a )x ⎝⎛⎭⎫a <13且a ≠0； (4)y ＝(a 2＋2)－x ；(5)y ＝2×3x ＋a (a ≠0)．解：根据指数函数的定义，指数函数满足：①前面系数为1；②底数a ＞0且a ≠1；③指数是自变量．(1)y ＝πx ，底数为π，满足π＞0且π≠1，前面系数为1，且指数为自变量x ，故它是指数函数．(2)y ＝－4x ，前面系数为－1，故它不是指数函数．(3)y ＝(1－3a )x ，因为a <13且a ≠0，所以1－3a >0且1－3a ≠1，前面系数为1，且指数为自变量x ，故它是指数函数．(4)y ＝(a 2＋2)－x＝⎝⎛⎭⎫1a 2＋2x，底数1a 2＋2∈⎝⎛⎦⎤0，12，前面系数为1，指数为自变量x ，故它是指数函数．(5)y ＝2×3x ＋a (a ≠0)，3x 前面系数为2≠1，故它不是指数函数． 故(1)(3)(4)为指数函数．指数式的比较大小问题[学生用书P42]比较下列各组数的大小． (1)1.8－π，1.8－3；(2)1.7－0.3，1.9－0.3；(3)0.80.6，0.60.8.【解】 (1)构造函数f (x )＝1.8x .因为a ＝1.8＞1，所以f (x )＝1.8x 在R 上是增函数． 因为－π＜－3，所以1.8－π＜1.8－3. (2)因为y ＝⎝⎛⎭⎫1.71.9x在R 上是减函数， 所以1.7－0.31.9－0.3＝⎝⎛⎭⎫1.71.9－0.3＞⎝⎛⎭⎫1.71.90＝1.又因为1.7－0.3与1.9－0.3都大于0，所以1.7－0.3＞1.9－0.3.(3)取中间值0.80.8.因为y ＝0.8x 在R 上单调递减，而0.6＜0.8， 所以0.80.6＞0.80.8.又因为0.80.80.60.8＝⎝⎛⎭⎫0.80.60.8＞⎝⎛⎭⎫0.80.60＝1，且0.60.8＞0，0．80.8>0，所以0.80.8＞0.60.8.所以0.80.6＞0.60.8.对于同底数幂，应利用指数函数的单调性求解；对于同指数的两个函数值，应根据“在y 轴的右侧，图象由上到下，底数越来越小”来判断数值的大小；对于不同底数，不同指数的两个函数值，可找一中间函数值，通过“搭桥”来达到比较两个数的大小的目的．2.比较下列各组中两个数的大小：(1)0.63.5和0.63.7； (2)(2)－1.2和(2)－1.4；(3)⎝⎛⎭⎫3213和⎝⎛⎭⎫3223； (4)π－2和⎝⎛⎭⎫13－1.3.解：(1)考察函数y ＝0.6x ，因为0<0.6<1，所以函数y ＝0.6x 在实数集R 上是单调减函数．又因为3.5<3.7，所以0.63.5>0.63.7.(2)考察函数y ＝(2)x .因为2>1，所以函数y ＝(2)x 在实数集R 上是单调增函数．又因为－1.2>－1.4，所以(2)－1.2>(2)－1.4.(3)考察函数y ＝⎝⎛⎭⎫32x.因为32>1，所以函数y ＝⎝⎛⎭⎫32x在实数集R 上是单调增函数．又因为13<23，所以⎝⎛⎭⎫3213<⎝⎛⎭⎫3223.(4)因为π－2＝⎝⎛⎭⎫1π2<1，⎝⎛⎭⎫13－1.3＝31.3>1，所以π－2<⎝⎛⎭⎫13－1.3.与指数函数有关的函数定义域与值域问题[学生用书P42]求下列函数的定义域和值域： (1)y ＝21x －4；(2)y ＝1－⎝⎛⎭⎫12x.【解】 (1)x 应满足x －4≠0，所以x ≠4， 故函数y ＝21x －4的定义域为{x |x ≠4}．因为x ≠4，所以1x －4≠0，所以21x －4≠1.所以y ＝21x －4的值域为{y |y >0，且y ≠1}．(2)因为x 应满足1－⎝⎛⎭⎫12x≥0， 所以⎝⎛⎭⎫12x≤1＝⎝⎛⎭⎫120，所以x ≥0. 所以函数y ＝1－⎝⎛⎭⎫12x的定义域为{x |x ≥0}．因为⎝⎛⎭⎫12x ≤1，且⎝⎛⎭⎫12x>0，所以0<⎝⎛⎭⎫12x≤1. 所以0≤1－⎝⎛⎭⎫12x<1，即0≤y <1. 所以函数y 的值域为{y |0≤y <1}．函数y ＝a f (x )的定义域的求解方法使f (x )有意义列不等式(组)求出x 的取值范围；值域的求解方法：(1)根据定义域求出μ＝f (x )的值域；(2)根据指数函数的性质求出y ＝a μ的值域，即为所求．3.求下列函数的定义域与值域：(1)y ＝4x ＋2x ＋1＋1； (2)y ＝⎝⎛⎭⎫13－x 2＋2x .解：(1)定义域为R .令2x ＝t (t ＞0)， 则y ＝4x ＋2x ＋1＋1＝t 2＋2t ＋1＝(t ＋1)2＞1. 所以值域为{y |y ＞1}． (2)定义域为R .令u ＝2x －x 2＝－(x －1)2＋1， 则u ≤1，因为y ＝⎝⎛⎭⎫13u 为减函数，所以y ＝⎝⎛⎭⎫13u ≥⎝⎛⎭⎫131， 即函数的值域为⎣⎡⎭⎫13，＋∞.透析指数函数的图象与性质(1)当底数a 大小不确定时，必须分a ＞1或0＜a ＜1两种情况讨论函数的图象和性质． (2)当a ＞1时，x 的值越小，函数的图象越接近x 轴；当0＜a ＜1时，x 的值越大，函数的图象越接近x 轴．(3)指数函数的图象都经过点(0，1)，且图象都经过第一、二象限．如果函数y ＝a 2x ＋2a x ＋1(a >0，a ≠1)在[－1，1]上的最大值为9，求a 的值． [解] 设a x ＝t (t >0)，则y ＝t 2＋2t ＋1＝(t ＋1)2. 若0<a <1，则t ＝a x ∈[a ，a －1]， 所以当t ＝a －1，即x ＝－1时， y max ＝a －2＋2a －1＋1. 于是由a －2＋2a －1＋1＝9， 解得a ＝12(a >0，a ≠1)．若a >1，则t ＝a x ∈[a －1，a ]，所以当t ＝a ，即x ＝1时，y max ＝a 2＋2a ＋1. 于是由a 2＋2a ＋1＝9，解得a ＝2(a >0，a ≠1)． 综上所述，a ＝12或a ＝2.(1)本题换元(设a x ＝t )后易出现两个错误：①已知区间[－1，1]是x 的取值范围，误认为是t 的取值范围；②a 的取值将影响指数函数t ＝a x 的单调性，从而影响t ＝a x 的取值范围，故应该分a >1与0<a <1讨论．(2)指数函数的单调性，由底数的取值范围确定，故当指数函数的底数含有字母时，要对字母的取值情况分类讨论．1．若函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫12a －3·a x 是指数函数，则f ⎝⎛⎭⎫12的值为 ( ) A ．2 B ．－2 C ．－2 2D ．2 2解析：选D.因为函数f (x )是指数函数，所以12a －3＝1，所以a ＝8，所以f (x )＝8x ，f ⎝⎛⎭⎫12＝812＝2 2.2．已知函数f (x )＝a x (a >0)的图象经过点(－1，2)，则f (2)＝________． 解析：因为2＝a －1，即a ＝12，所以f (2)＝⎝⎛⎭⎫122＝14.★★答案★★：143．已知函数y ＝a x －1的定义域是(－∞，0]，则实数a 的取值范围是________． 解析：由a x －1≥0，得a x ≥1＝a 0，因为x ∈(－∞，0]，由指数函数的性质知0<a <1. ★★答案★★：(0，1)4．不等式⎝⎛⎭⎫12x<4的解集是________． 解析：⎝⎛⎭⎫12x<4即⎝⎛⎭⎫12x<⎝⎛⎭⎫12－2. 又y ＝⎝⎛⎭⎫12x 在(－∞，＋∞)上为减函数．所以x >－2. ★★答案★★：(－2，＋∞)[学生用书P106(单独成册)])[A 基础达标]1．已知1＞n ＞m ＞0，则指数函数①y ＝m x ，②y ＝n x 的图象为( )解析：选C.由于0＜m ＜n ＜1，所以y ＝m x 与y ＝n x 都是减函数，故排除A ，B ，作直线x ＝1与两个曲线相交，交点在下面的是函数y ＝m x 的图象，故选C.2．若函数y ＝(1－2a )x 是实数集R 上的增函数，则实数a 的取值范围为( ) A.⎝⎛⎭⎫12，＋∞ B ．(－∞，0) C.⎝⎛⎭⎫－∞，12 D ．⎝⎛⎭⎫－12，12 解析：选B.由题意知，此函数为指数函数，且为实数集R 上的增函数，所以底数1－2a >1，解得a <0.3．函数f (x )＝a x 与g (x )＝－x ＋a 的图象大致是( )解析：选A.因为g (x )＝－x ＋a 是R 上的减函数，所以排除选项C ，D.由选项A ，B 的图象知，a >1.因为g (0)＝a >1，故选A.4．已知f (x )＝3x －b (2≤x ≤4，b 为常数)的图象经过点(2，1)，则f (x )的值域为( ) A ．[9，81] B ．[3，9] C ．[1，9]D ．[1，＋∞)解析：选C.因为函数f (x )＝3x－b的图象经过点(2，1)，所以32－b ＝1，所以2－b ＝0，b ＝2， 所以f (x )＝3x －2.由2≤x ≤4得0≤x －2≤2， 所以30≤3x －2≤32，即1≤3x －2≤9，所以函数f (x )的值域是[1，9]． 5.已知a ＝20.4，b ＝80.1，c ＝⎝⎛⎭⎫12－0.5，则a ，b ，c 的大小顺序为________．解析：a ＝20.4，b ＝20.3，c ＝20.5. 又y ＝2x 在R 上为增函数． 所以b <a <c .★★答案★★：b <a <c6.函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫131x 的定义域，值域依次是____________________________．解析：由函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫131x 的表达式得x ≠0为其有意义的取值范围，1x≠0.所以⎝⎛⎭⎫131x ≠1且⎝⎛⎭⎫131x＞0.于是函数的定义域为{x |x ≠0，x ∈R }， 值域为{y |y ＞0且y ≠1}．★★答案★★：{x |x ≠0，x ∈R }，{y |y ＞0且y ≠1} 7. y ＝⎝⎛⎭⎫12x 2－2x －3的值域为________． 解析：因为x 2－2x －3＝(x －1)2－4≥－4， 所以⎝⎛⎭⎫12x 2－2x －3≤⎝⎛⎭⎫12－4＝16. 又因为⎝⎛⎭⎫12x 2－2x －3＞0，所以函数y ＝⎝⎛⎭⎫12x 2－2x －3的值域为(0，16]． ★★答案★★： (0，16]8．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x >0，x ＋1，x ≤0，若f (a )＋f (1)＝0，则实数a 的值等于________．解析：由题意知f (1)＝21＝2. 因为f (a )＋f (1)＝0，所以f (a )＋2＝0.若a >0，则f (a )＝2a ，2a ＋2＝0无解；若a ≤0，则f (a )＝a ＋1. 所以a ＋1＋2＝0，a ＝－3. ★★答案★★：－39．求下列函数的定义域和值域： (1)y ＝21x－1；(2)y ＝⎝⎛⎭⎫132x 2－2.解：(1)要使y ＝21x －1有意义，需x ≠0，则21x ＞0且21x ≠1，故21x －1＞－1且21x－1≠0，故函数y ＝21x－1的定义域为{x |x ≠0}，函数的值域为(－1，0)∪(0，＋∞)．(2)函数y ＝⎝⎛⎭⎫132x 2－2的定义域为实数集R ，由于2x 2≥0，则2x 2－2≥－2，故0＜⎝⎛⎭⎫132x 2－2≤9，所以函数y ＝⎝⎛⎭⎫132x 2－2的值域为(0，9]．10．已知指数函数f (x )＝a x 在x ∈[－2，2]上恒有f (x )<2，求实数a 的取值范围． 解：当a >1时，f (x )＝a x 在[－2，2]上为增函数， 所以f (x )max ＝f (2)，又因为x ∈[－2，2]时，f (x )<2恒成立，所以⎩⎪⎨⎪⎧a >1，f （2）<2，即⎩⎪⎨⎪⎧a >1，a 2<2，解得1<a < 2. 同理，当0<a <1时，⎩⎪⎨⎪⎧0<a <1，f （x ）max ＝f （－2）<2， 解得22<a <1. 综上所述，a 的取值范围为⎝⎛⎭⎫22，1∪(1，2)．[B 能力提升]1．图中所给的曲线C 1，C 2，C 3，C 4是指数函数y ＝a x 的图象，而a ∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫23，13，5，π，则图象C 1，C 2，C 3，C 4对应的函数的底数依次是________，________，________，________．解析：由底数变化引起指数函数图象变化的规律，知C 2的底数<C 1的底数<1<C 4的底数<C 3的底数，而13<23<5<π，故C 1，C 2，C 3，C 4对应函数的底数依次是23，13，π， 5.★★答案★★：23 13π 52．若方程|2x －1|＝a 有唯一实数解，则a 的取值范围是________．解析：作出y ＝|2x －1|的图象，如图，要使直线y ＝a 与图象的交点只有一个，所以a ≥1或a ＝0.★★答案★★：{a |a ≥1，或a ＝0}3．将⎝⎛⎭⎫4313，223，⎝⎛⎭⎫－233，⎝⎛⎭⎫3412用“<”号连接起来． 解：先将这4个数分成三类： (1)负数：⎝⎛⎭⎫－233；(2)大于1的数：⎝⎛⎭⎫4313，223； (3)大于0小于1的数：⎝⎛⎭⎫3412. 又因为⎝⎛⎭⎫4313<413＝223， 故⎝⎛⎭⎫－233<⎝⎛⎭⎫3412<⎝⎛⎭⎫4313<223. 4．(选做题)设a >0，且a ≠1，函数y ＝a 2x ＋2a x －1在[－1，1]上的最大值是14，求a 的值．解：令t ＝a x (a >0且a ≠1)， 则原函数可化为y ＝(t ＋1)2－2(t >0)．令y ＝f (t )，则函数f (t )＝(t ＋1)2－2的图象的对称轴为直线t ＝－1，开口向上． ①当0<a <1时，x ∈[－1，1]，t ＝a x ∈⎣⎡⎦⎤a ，1a ， 此时，f (t )在⎣⎡⎦⎤a ，1a 上为增函数， 所以f (t )max ＝f ⎝⎛⎭⎫1a ＝⎝⎛⎭⎫1a ＋12－2＝14. 所以⎝⎛⎭⎫1a ＋12＝16， 所以a ＝－15或a ＝13.又因为a >0，所以a ＝13.②当a >1时，x ∈[－1，1]，t ＝a x ∈⎣⎡⎦⎤1a ，a ， 此时f (t )在⎣⎡⎦⎤1a ，a 上是增函数， 所以f (t )max ＝f (a )＝(a ＋1)2－2＝14. 解得a ＝3(a ＝－5舍去)．所以a ＝13或a ＝3.。
