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3．2.1对数第1课时对数的概念学习目标 1.了解对数的概念.2.会进行对数式与指数式的互化.3.会求简单的对数值．知识点一对数的概念思考解指数方程：3x＝ 3.可化为3x＝123，所以x＝12.那么你会解3x＝2吗？★★答案★★不会，因为2难以化为以3为底的指数式，因而需要引入对数概念．梳理对数的概念一般地，如果a(a>0，a≠1)的b次幂等于N，即a b＝N，那么就称b是以a为底N的对数，记作log a N＝b，其中，a叫做对数的底数，N叫做真数．通常将以10为底的对数称为常用对数，以e为底的对数称为自然对数．log10N可简记为lg_N，log e N简记为ln_N.知识点二对数与指数的关系思考log a1(a>0，且a≠1)等于？★★答案★★设log a1＝t，化为指数式a t＝1，则不难求得t＝0，即log a1＝0.梳理(1)对数与指数的关系若a>0，且a≠1，则a x＝N⇔log a N＝x.对数恒等式：log a Na＝N；log a a x＝x(a>0，且a≠1)．(2)对数的性质①1的对数为零；②底的对数为1；③零和负数没有对数．类型一 对数的概念例1 在N ＝log (5－b )(b －2)中，实数b 的取值范围是________． ★★答案★★ 2<b <5且b ≠4 解析 ∵⎩⎪⎨⎪⎧b －2>0，5－b >0，5－b ≠1，∴2<b <5且b ≠4.反思与感悟 由于对数式中的底数a 就是指数式中的底数a ，所以a 的取值范围为a >0，且a ≠1；由于在指数式中a x ＝N ，而a x >0，所以N >0. 跟踪训练1 求f (x )＝log x 1－x1＋x 的定义域．解 要使函数式有意义，需⎩⎪⎨⎪⎧x >0，x ≠1，1－x 1＋x >0，解得0<x <1.∴f (x )＝log x 1－x1＋x 的定义域为(0,1)．类型二 应用对数的基本性质求值 例2 求下列各式中x 的值． (1)log 2(log 5x )＝0；(2)log 3(lg x )＝1. 解 (1)∵log 2(log 5x )＝0， ∴log 5x ＝20＝1，∴x ＝51＝5.(2)∵log 3(lg x )＝1，∴lg x ＝31＝3，∴x ＝103＝1000.反思与感悟 本题利用对数的基本性质从整体入手，由外到内逐层深入来解决问题．log a N ＝0⇒N ＝1；log a N ＝1⇒N ＝a 使用频繁，应在理解的基础上牢记．跟踪训练2 若log 2(log 3x )＝log 3(log 4y )＝log 4(log 2z )＝0，则x ＋y ＋z 的值为________． ★★答案★★ 9解析 ∵log 2(log 3x )＝0，∴log 3x ＝1. ∴x ＝3.同理y ＝4，z ＝2.∴x ＋y ＋z ＝9. 类型三 对数式与指数式的互化 命题角度1 指数式化为对数式 例3 将下列指数式写成对数式．(1)54＝625；(2)2－6＝164；(3)3a ＝27；(4)⎝⎛⎭⎫13m ＝5.73. 解 (1)log 5625＝4.(2)log 2164＝－6.(3)log 327＝a .(4)13log 5.73＝m .反思与感悟 指数式化为对数式，关键是弄清指数式各部位的去向：跟踪训练3 (1)将3－2＝19，⎝⎛⎭⎫126＝164化为对数式．(2)解方程：⎝⎛⎭⎫13m＝5.解 (1)3－2＝19可化为log 319＝－2；⎝⎛⎭⎫126＝164可化为12log 164＝6.(2)m ＝13log 5.命题角度2 对数式化为指数式 例4 求下列各式中x 的值．(1)log 64x ＝－23；(2)log x 8＝6；(3)lg100＝x ；(4)－lne 2＝x ；(5)21)log 13＋22＝x .解 (1)x ＝2364-＝233(4)-＝4－2＝116.(2)因为x 6＝8，所以x ＝166()x ＝168＝136(2)＝122＝ 2.(3)因为10x ＝100＝102，所以x ＝2. (4)由－lne 2＝x ，得－x ＝lne 2，即e －x ＝e 2. 所以x ＝－2. (5)因为21)log -)13＋22＝x ，所以(2－1)x ＝13＋22＝1(2＋1)2＝12＋1＝2－1， 所以x ＝1.反思与感悟 要求对数的值，设对数为某一未知数，将对数式化为指数式，再利用指数幂的运算性质求解．跟踪训练4 计算：(1)log 927；(2)43log 81；(3)345log 625.解 (1)设x ＝log 927，则9x ＝27,32x ＝33，∴x ＝32.(2)设x ＝43log 81，则⎝⎛⎭⎫43x ＝81,43x＝34，∴x ＝16.(3)令x ＝345log 625，则⎝⎛⎭⎫354x＝625,435x ＝54，∴x ＝3.命题角度3 对数恒等式log a Na＝N 的应用例5 (1)求＝2中x 的值； (2)求的值(a，b ，c ∈(0，＋∞)且不等于1，N ＞0)． 解 (1)∵＝33·＝27x ＝2，∴x ＝227. (2)＝＝＝N . 反思与感悟 应用对数恒等式时应注意 (1)底数相同．(2)当N >0时才成立，例如y ＝x 与y ＝log a xa 并非相等的函数．跟踪训练5 设5log (21)25x -＝9，则x ＝________.★★答案★★ 2 解析 ∵5log (21)25x -＝()5log (21)25x -＝5log (21)2(5)x -＝(2x －1)2＝9.∴2x －1＝±3，又∵2x －1>0，∴2x －1＝3. ∴x ＝2.1．log b N ＝a (b >0，b ≠1，N >0)对应的指数式是________． ★★答案★★ b a ＝N2．若log a x ＝1，则x ＝________. ★★答案★★ a3．下列指数式与对数式互化不正确的一组的序号是________． ①e 0＝1与ln1＝0； ②138-＝12与log 812＝－13； ③log 39＝2与129＝3； ④log 77＝1与71＝7. ★★答案★★ ③33log 3x+log log log a b c b c Na ⋅⋅33log 3x +3log 3x log loglog a b c b c N a ⋅⋅log log log ()a b c b c Na⋅log c Nc4．已知log x 16＝2，则x ＝________. ★★答案★★ 45．设10lg x ＝100，则x 的值等于________． ★★答案★★ 1001．对数概念与指数概念有关，指数式和对数式是互逆的，即a b ＝N ⇔log a N ＝b (a >0，且a ≠1，N >0)，据此可得两个常用恒等式：(1)log a a b ＝b ；(2)log a Na＝N .2．在关系式a x ＝N 中，已知a 和x 求N 的运算称为求幂运算；而如果已知a 和N 求x 的运算就是对数运算，两个式子实质相同而形式不同，互为逆运算．课时作业一、填空题 1．有下列说法： ①零和负数没有对数；②任何一个指数式都可以化成对数式； ③以10为底的对数叫做常用对数； ④以e 为底的对数叫做自然对数． 其中正确命题的序号为________． ★★答案★★ ①③④解析 ①、③、④正确，②不正确，只有a >0，且a ≠1时，a x ＝N 才能化为对数式． 2．已知log 2(1－2x )＝1的解x ＝________. ★★答案★★ －12解析 ∵log 2(1－2x )＝1， ∴2＝1－2x ， ∴x ＝－12.3．3log＝________.★★答案★★ 8 解析 设3log＝t ，则(3)t＝81,32t＝34，t 2＝4，t ＝8. 4．下列四个等式：①lg(lg10)＝0；②lg(lne)＝0；③若lg x ＝10，则x ＝10；④若ln x ＝e ，则x ＝e 2. 其中正确等式的序号是________．★★答案★★ ①②解析 ①lg(lg10)＝lg1＝0；②lg(lne)＝lg1＝0； ③若lg x ＝10，则x ＝1010；④若ln x ＝e ，则x ＝e e . 5．(12)－1＋log 0.54的值为________．★★答案★★ 0解析 (12)－1＋log 0.54＝(12)－1＋log 124＝2－2＝0.6．若log a 3＝m ，log a 5＝n ，则a 2m ＋n的值是________．★★答案★★ 45解析 由log a 3＝m ，得a m ＝3，由log a 5＝n ，得a n ＝5， ∴a 2m ＋n ＝(a m )2·a n ＝32×5＝45.7．已知f (log 2x )＝x ，则f (12)＝________.★★答案★★2解析 令log 2x ＝12，则x ＝212＝2，即f (12)＝f (log 22)＝ 2.8．方程3log 2x＝14的解是________． ★★答案★★ x ＝19解析 ∵3log 2x＝2－2，∴log 3x ＝－2，∴x ＝3－2＝19.9．已知log 7[log 3(log 2x )]＝0，那么x 12-＝________.★★答案★★24解析 ∵log 7[log 3(log 2x )]＝0，∴log 3(log 2x )＝1， ∴log 2x ＝3，∴23＝x . ∴x12-＝(23)12-＝18＝122＝24. 10．设a ＝log 310，b ＝log 37，则3a －b ＝________. ★★答案★★107解析 ∵a ＝log 310，b ＝log 37，∴3a ＝10,3b ＝7，∴3a －b＝3a 3b ＝107. 11．22log 32+＋32log 93-＝________.★★答案★★ 13 解析22log 32+＋32log 33-＝22×2log 32＋32log 933＝4×3＋99＝12＋1＝13. 二、解答题12．(1)先将下列式子改写成指数式，再求各式中x 的值． ①log 2x ＝－25；②log x 3＝－13.(2)已知6a ＝8，试用a 表示下列各式． ①log 68；②log 62；③log 26.解 (1)①因为log 2x ＝－25，所以x ＝225-＝582.②因为log x 3＝－13，所以x 13-＝3，所以x ＝3－3＝127.(2)①log 68＝a . ②由6a ＝8，得6a＝23，即63a ＝2，所以log 62＝a3.③由63a ＝2，得23a＝6，所以log 26＝3a.13．设M ＝{0,1}，N ＝{lg a,2a ，a,11－a }，是否存在a 的值，使M ∩N ＝{1}? 解 不存在a 的值，使M ∩N ＝{1}成立．若lg a ＝1，则a ＝10，此时11－a ＝1，从而11－a ＝lg a ＝1，与集合元素的互异性矛盾； 若2a ＝1，则a ＝0，此时lg a 无意义； 若a ＝1，此时lg a ＝0，从而M ∩N ＝{0,1}，与条件不符；若11－a ＝1，则a ＝10，从而lg a ＝1，与集合元素的互异性矛盾． 所以不存在a ，使M ∩N ＝{1}． 三、探究与拓展14．log(n＋1－n)(n＋1＋n)＝________.★★答案★★－1解析由题意，知log(n＋1－n)(n＋1＋n)＝log(n＋1－n)(n＋1－n)－1＝－1.15．若集合{x，xy，lg(xy)}＝{0，|x|，y}，求log2(x2＋y2)的值．解根据集合中元素的互异性可知，在第一个集合中，x≠0，第二个集合中，y≠0，∴第一个集合中的元素xy≠0，只有lg(xy)＝0，可得xy＝1.①然后，还有两种可能：x＝y，②或xy＝y.③由①②联立，解得x＝y＝1或x＝y＝－1，若x＝y＝1，则xy＝1，违背集合中元素的互异性；若x＝y＝－1，则xy＝|x|＝1，从而两集合中的元素相同．∴x＝－1，y＝－1，符合集合相等的条件．因此，log2(x2＋y2)＝log22＝1.。
3.2.1 对数及其运算整体设计教学分析我们在前面的学习过程中，已学习了指数函数的概念和性质，从本节开始我们学习对数及其运算．使学生认识引进对数的必要性，理解对数的概念及其运算性质，了解对数换底公式及其简单应用，能将一般对数转化为常用对数或自然对数，通过阅读材料，了解对数的发现历史及其对简化运算的作用．教材注重从现实生活的事例中引出对数概念，所举例子比较全面，有利于培养学生的思想素质和激发学生学习数学的兴趣和欲望．教学中要充分发挥课本的这些材料的作用，并尽可能联系一些熟悉的事例，以丰富教学的情境创设．教师要尽量发挥电脑绘图的教学功能，教材安排了“阅读与欣赏”的内容，有利于加强数学文化的教育，应指导学生认真研读．根据本节内容的特点，教学中要注意发挥信息技术的力量，使学生进一步体会到信息技术在数学学习中的作用，尽量利用计算器和计算机创设教学情境，为学生的数学探究与数学思维提供支持．三维目标1．理解对数的概念，了解对数与指数的关系，理解和掌握对数的性质．2．掌握对数式与指数式的关系，通过实例推导对数的运算性质．3．准确地运用对数运算性质进行运算，并掌握化简求值的技能，运用对数运算性质解决有关问题．4．通过与指数式的比较，引出对数的定义与性质，让学生经历并推理出对数的运算性质，并归纳整理本节所学的知识．5．学会对数式与指数式的互化，从而培养学生的类比、分析、归纳能力；通过对数的运算法则的学习，培养学生严谨的思维品质；在学习过程中培养学生探究的意识；让学生感受对数运算性质的重要性，增加学生的成功感，增强学习的积极性． 重点难点教学重点：对数式与指数式的互化及对数的性质，对数运算的性质与对数知识的应用．教学难点：对数概念的理解，对数运算性质的推导及应用． 课时安排3课时教学过程第1课时 对数概念导入新课思路1.(1)庄子：一尺之棰，日取其半，万世不竭．①取4次，还有多长？②取多少次，还有0.125尺？(2)假设2002年我国国民生产总值为a 亿元，如果每年平均增长8%，那么经过多少年国民生产总值是2002年的2倍？ 抽象出：①(12)4＝？(12)x＝0.125 x ＝？②(1＋8%)x＝2 x＝？都是已知底数和幂的值，求指数．你能看得出来吗？怎样求呢？像上面的式子，已知底数和幂的值，求指数，这就是我们这节课所要学习的对数〔引出对数的概念，教师板书课题〕．思路 2.我们前面学习了指数函数及其性质，同时也会利用性质解决问题，但仅仅有指数函数还不够，为了解决某些实际问题，还要学习对数函数，为此我们先学习对数〔引出对数的概念，教师板书课题〕．推进新课新知探究提出问题错误!活动：学生讨论并作图，教师适时提示、点拨．对问题①，回忆计算机作函数图象的方法，抓住关键点．对问题②，图象类似于人的照片，从照片上能看出人的特点，当然从函数图象上就能看出函数的某些点的坐标．对问题③，定义一种新的运算．对问题④，借助③，类比到一般的情形．讨论结果：①如下图．②在所作的图象上，取点P，测出点P的坐标，移动点P，使其纵坐标分别接近18、20、30，观察这时的横坐标，大约分别为32.72、43.29、84.04，这就是说，如果保持年增长率为1个百分点，那么大约经过33年、43年、84年，我国人口分别约为18亿、20亿、30亿．③1813＝1.01x ，2013＝1.01x ，3013＝1.01x，在这几个式子中，要求x 分别等于多少，目前我们没学这种运算，可以定义一种新运算，用符号“log”表示对数，即若1813＝1.01x，则x 总以1.01为底的1813的对数就可写成x ＝log 1.011813.其他的可类似得到，x ＝log 1.012013，x ＝log 1.013013，这种运算叫做对数运算．④一般性的结论就是对数的定义：一般地，对于指数式a b＝N ，我们把“以a 为底N 的对数b”记作log a N ，即b ＝log a N(a>0，且a≠1).其中，数a 叫做对数的底数，N 叫做真数，读作“b 等于以a 为底N 的对数”．实质上，上述对数表达式，不过是指数式N ＝a b的另一种表达形式． 由此得到对数和指数幂之间的关系：a Nb 指数式a b＝N 底数 幂 指数 对数式log a N ＝b对数的底数真数对数例如：42＝16⇔2＝log 416；102＝100⇔2＝log 10100；214＝2⇔12＝log 42；10－2＝0.01－2＝log 100.01.提出问题①为什么在对数定义中规定a>0，且a≠1？②根据对数定义求log a 1和log a a a>0，且a≠1的值.③负数与零有没有对数？④alogaN＝N 与log a a b＝ba>0，且a≠1是否成立？⑤什么是常用对数？讨论结果：①这是因为若a ＜0，则N 为某些值时，b 不存在，如log (－2)12；若a ＝0，N 不为0时，b 不存在，如log 03，N 为0时，b 可为任意正数，是不唯一的，即log 00有无数个值；若a ＝1，N 不为1时，b 不存在，如log 12，N 为1时，b 可为任意数，是不唯一的，即log 11有无数个值．综之，就规定了：a ＞0，且a≠1.②log a 1＝0，log a a ＝1.因为对任意a ＞0，且a≠1，都有a 0＝1，所以log a 1＝0. 同样易知：log a a ＝1.即1的对数等于0，底的对数等于1.③因为底数a ＞0，且a≠1，由指数函数的性质可知，对任意的b∈R ，a b＞0恒成立，即只有正数才有对数，零和负数没有对数． ④因为a b＝N ，所以b ＝log a N ，a b＝alogaN＝N ，即alogaN＝N.因为a b＝a b，所以log a a b＝b.故两个式子都成立．(alog a N ＝N 叫对数恒等式)常用对数：我们通常将以10为底的对数叫做常用对数．为了简便，N 的常用对数log 10N 简记作lgN.例如：log 105简记作lg5；log 103.5简记作lg3.5.例如：loge3简记作ln3；loge10简记作ln10.应用示例思路1例1求log 22，log 21，log 216，log 212.解：因为21＝2，所以log 22＝1； 因为20＝1，所以log 21＝0； 因为24＝16，所以log 216＝4； 因为2－1＝12，所以log 212＝－1.点评：本题要注意方根的运算，同时也可借助对数恒等式来解．例2求lg10，lg100，lg0.01. 解：因为101＝10，所以lg10＝1； 因为102＝100，所以lg100＝2； 因为10－2＝0.01，所以lg0.01＝－2.例3利用科学计算器求对数(精确到0.000 1)：lg2 001；lg0.061 8；lg0.004 5；lg396.5. 解：用科学计算器计算：所以lg2 001≈3.301 2，lg0.061 8≈－1.209 0， lg0.004 5≈－2.346 8，lg395.6≈2.598 2.思路2例1以下四个命题中，属于真命题的是( )(1)若log 5x ＝3，则x ＝15 (2)若log 25x ＝12，则x ＝5 (3)若log x 5＝0，则x ＝ 5 (4)若log 5x ＝－3，则x ＝1125A ．(2)(3)B ．(1)(3)C ．(2)(4)D ．(3)(4)活动：学生观察，教师引导学生考虑对数的定义．解析：对数式化为指数式，根据指数幂的运算性质算出结果． 对于(1)，因为log 5x ＝3，所以x ＝53＝125，错误； 对于(2)，因为log 25x ＝12，所以x ＝2512＝5，正确；对于(3)，因为log x 5＝0，所以x 0＝5，无解，错误； 对于(4)，因为log 5x ＝－3，所以x ＝5－3＝1125，正确．总之(2)(4)正确．答案：C点评：对数的定义是对数形式和指数形式互化的依据.例2计算：(1)log 927；(2) 43log 81；(3)log (2＋3)(2－3)；(4) 345log625.活动：教师引导，学生回忆，教师提问，学生回答，积极交流，学生展示自己的解题过程，教师及时评价学生．利用对数的定义或对数恒等式来解．求式子的值，首先设成对数式，再转化成指数式或指数方程求解．另外利用对数恒等式可直接求解，所以有两种解法． 解法一：(1)设x ＝log 927，则9x ＝27,32x ＝33，所以x ＝32.(2)设x ＝43log 81，则(43)x＝81,43x ＝34，所以x ＝16.(3)令x ＝log (2＋3)(2－3)＝log (2＋3)(2＋3)－1，所以(2＋3)x＝(2＋3)－1，x ＝－1. (4)令x ＝345log625，所以(354)x＝625,x 345＝54，x ＝3.解法二：(1)log 927＝log 933＝log 9932＝32.(2) 43log 81＝43log (43)16＝16.(3)log (2＋3)(2－3)＝log (2＋3)(2＋3)－1＝－1.(4) 345log625＝345log(354)3＝3.点评：首先将其转化为指数式，进一步根据指数幂的运算性质算出结果，对数的定义是转化和对数恒等式的依据.知能训练1．把下列各题的指数式写成对数式：(1)42＝16；(2)30＝1；(3)4x＝2；(4)2x＝0.5；(5)54＝625；(6)3－2＝19；(7)(14)－2＝16. 解：(1)2＝log 416；(2)0＝log 31；(3)x ＝log 42；(4)x ＝log 20.5；(5)4＝log 5625；(6)－2＝log 319；(7)－2＝log 1416.2．把下列各题的对数式写成指数式：(1)x ＝log 527；(2)x ＝log 87；(3)x ＝log 43；(4)x ＝log 713；(5)log 216＝4；(6) 31log 27＝－3；(7) 3log x ＝6；(8)log x 64＝－6；(9)log 2128＝7；(10)log 327＝a.解：(1)5x＝27；(2)8x＝7；(3)4x＝3；(4)7x＝13；(5)24＝16；(6)(13)－3＝27；(7)(3)6＝x ；(8)x －6＝64；(9)27＝128；(10)3a＝27.3．求下列各式中x 的值：(1)log 8x ＝－23；(2)log x 27＝34；(3)log 2(log 5x)＝1；(4)log 3(lgx)＝0.解：(1)因为log 8x ＝－23，所以x ＝8－23＝(23)－23＝23×(－23)＝2－2＝14； (2)因为log x 27＝34，所以43x ＝27＝33，即x ＝(33)34＝34＝81；(3)因为log 2(log 5x)＝1，所以log 5x ＝2，x ＝52＝25； (4)因为log 3(lgx)＝0，所以lgx ＝1，即x ＝101＝10. 4．(1)求log 84的值；(2)已知log a 2＝m ，log a 3＝n ，求a2m ＋n的值．解：(1)设log 84＝x ，根据对数的定义有8x＝4，即23x＝22，所以x ＝23，即log 84＝23； (2)因为log a 2＝m ，log a 3＝n ，根据对数的定义有a m＝2，a n＝3， 所以a2m ＋n＝(a m )2·a n ＝(2)2·3＝4×3＝12.点评：此题不仅是简单的指数与对数的互化，还涉及到常见的幂的运算法则的应用．拓展提升对于a ＞0，a≠1，下列结论正确的是( )(1)若M ＝N ，则log a M ＝log a N (2)若log a M ＝log a N ，则M ＝N (3)若log a M 2＝log a N 2，则M ＝N (4)若M ＝N ，则log a M 2＝log a N 2A．(1)(3) B．(2)(4)C．(2) D．(1)(2)(4)活动：学生思考，讨论，交流，回答，教师及时评价．回想对数的有关规定．对(1)若M＝N，当M为0或负数时log a M≠log a N，因此错误；对(2)根据对数的定义，若log a M＝log a N，则M＝N，正确；对(3)若log a M2＝log a N2，则M＝±N，因此错误；对(4)若M＝N＝0时，则log a M2与log a N2都不存在，因此错误．综上，(2)正确．答案：C点评：0和负数没有对数，一个正数的平方根有两个．课堂小结(1)对数引入的必要性；(2)对数的定义；(3)几种特殊数的对数；(4)负数与零没有对数；(5)对数恒等式；(6)两种特殊的对数．作业课本本节练习B 1、2.设计感想本节课在前面研究了指数函数及其性质的基础上，为了运算的方便，引进了对数的概念，使学生感受到对数的现实背景，它有着丰富的内涵，和我们的实际生活联系密切，也是以后学习对数函数的基础，鉴于这种情况，安排教学时，无论是导入还是概念得出的过程，都比较详细，通俗易懂，要反复练习，要紧紧抓住它与指数概念之间的联系与区别，结合指数式理解对数式，强化对数是一种运算，并注意对数运算符号的理解和记忆，多运用信息化的教学手段，顺利完成本堂课的任务，为下一节课作准备．备课资料[备选例题]例1将下列指数式与对数式互化，有x 的求出x 的值． (1)215－＝15；(2) 2log 4＝x ；(3)3x＝127；(4)(14)x＝64；(5)lg0.000 1＝x.解：(1) 215－＝15化为对数式是log 515＝－12；(2)x ＝2log 4化为指数式是(2)x＝4，即22x ＝22，x2＝2，x ＝4；(3)3x＝127化为对数式是x ＝log 3127，因为3x＝(13)3＝3－3，所以x ＝－3；(4)(14)x ＝64化为对数式是x ＝log 1464，因为(14)x ＝64＝43，所以x ＝－3；(5)lg0.000 1＝x 化为指数式是10x＝0.000 1， 因为10x＝0.000 1＝10－4，所以x ＝－4. 例2计算3log35＋3log315的值．解：设x ＝log 315，则3x＝15，(312)x ＝21)51(－，所以x ＝3log15. 所以3log 35＋3log 315＝5＋33log15＝5＋15＝655.例3计算a logab·logbc·logcN(a ＞0，b ＞0，c ＞0，N ＞0)．解：alogab·logbc·logcN＝blogbc·logcN＝clogcN＝N.(设计者：路致芳)第2课时 积、商、幂的对数导入新课思路1.上节课我们学习了以下内容： 1．对数的定义．2．指数式与对数式的互化． a b＝N log a N ＝b. 3．重要公式：(1)负数与零没有对数；(2)log a 1＝0，log a a ＝1；(3)对数恒等式alog a N ＝N.下面我们接着讲积、商、幂的对数〔教师板书课题〕．思路 2.我们在学习指数的时候，知道指数有相应的运算法则，即指数运算法则． a m·a n＝am ＋n；a m ÷a n ＝am －n；(a m )n＝a mn；ma n＝a nm.从上节课我们还知道指数与对数都是一种运算，而且它们互为逆运算，对数是否也有和指数相类似的运算法则呢？答案是肯定的，这就是本堂课的主要内容，点出课题．推进新课新知探究提出问题1在上节课中，我们知道，对数运算可看作指数运算的逆运算，你能从指数与对数的关系以及指数运算性质，得出相应的对数运算性质吗？2如我们知道a m＝M，a n＝N，a m·a n＝a m＋n，那m＋n如何表示，能用对数式运算吗？3在上述2的条件下，类比指数运算性质能得出其他对数运算性质吗？4你能否用最简练的语言描述上述结论？如果能，请描述.,5上述运算性质中的字母的取值有什么限制吗？6上述结论能否推广呢？,7学习这些性质能对我们进行对数运算带来哪些方便呢？讨论结果：(1)通过问题(2)来说明．(2)如a m·a n＝a m＋n，设M＝a m，N＝a n，于是MN＝a m＋n，由对数的定义得到M＝a m⇔m＝log a M，N＝a n⇔n＝log a N，MN＝a m＋n⇔m＋n＝log a MN，log a(MN)＝log a M＋log a N.因此m＋n可以用对数式表示．(3)令M ＝a m ，N ＝a n ，则M N ＝a m ÷a n ＝a m －n，所以m －n ＝log a M N .又由M ＝a m，N ＝a n，所以m ＝log a M ，n ＝log a N.所以log a M －log a N ＝m －n ＝log a MN，即log a MN＝log a M －log a N.设M ＝a m，则M n＝(a m )n＝a mn.由对数的定义， 所以log a M ＝m ，log a M n＝mn.所以log a M n＝mn ＝nlog a M ，即log a M n＝nlog a M. 这样我们得到对数的三个运算性质： 如果a ＞0，a≠1，M ＞0，N ＞0，则有 log a (MN)＝log a M ＋log a N ，① log a MN ＝log a M －log a N ，②log a M n＝nlog a M(n∈R )．③ (4)以上三个性质可以归纳为：性质①：两数积的对数，等于各数的对数的和；性质②：两数商的对数，等于被除数的对数减去除数的对数； 性质③：幂的对数等于幂指数乘底数的对数．(5)利用对数运算性质进行运算，所以要求a ＞0，a≠1，M ＞0，N ＞0.(6)性质①可以推广到n 个数的情形：即log a (M 1M 2M 3…M n )＝log a M 1＋log a M 2＋log a M 3＋…＋log a M n (其中a ＞0，a≠1，M 1、M 2、M 3、…、M n 均大于0)． (7)纵观这三个性质我们知道，性质①的等号左端是乘积的对数，右端是对数的和，从左往右看是一个降级运算．性质②的等号左端是商的对数，右端是对数的差，从左往右是一个降级运算，从右往左是一个升级运算． 性质③从左往右仍然是降级运算．利用对数的性质①②可以使两正数的积、商的对数转化为两正数的各自的对数的和、差运算，大大的方便了对数式的化简和求值．应用示例思路1例1用log a x ，log a y ，log a z 表示下列各式：(1)log a xy z ；(2)log a (x 3y 5)；(3)log a x yz ；(4)log a x 2y 3z .解：(1)log a xyz ＝log a (xy)－log a z ＝log a x ＋log a y －log a z ；(2)log a (x 3y 5)＝log a x 3＋log a y 5＝3log a x ＋5log a y ；(3)log a x yz ＝log a x －log a (yz)＝log a 21x －(log a y ＋log a z)＝12log a x－log a y －log a z ； (4)log ax2y 3z＝log a (x 221y 31－z)＝log a x 2＋log a 21y ＋log a 31－z＝2log a x＋12log a y －13log a z.点评：对数的运算实质上是把积、商、幂的对数运算分别转化为对数的加、减的运算.例2计算：(1)lg 5100；(2)lg4＋lg25；(3)(lg2)2＋lg20×lg5.解：(1)lg 5100＝15lg100＝25；(2)lg4＋lg25＝lg(4×25)＝lg100＝2；(3)(lg2)2＋lg20×l g5＝(lg2)2＋(1＋lg2)(1－lg2)＝(lg2)2＋1－(lg2)2＝1.点评：此例题体现对数运算性质的综合运用，应注意掌握变形技巧，如变形要化到最简形式，同时注意分子、分母的联系；要避免错用对数运算性质，特别是对数运算性质的灵活运用，运算性质的逆用常被学生所忽视.解：(1)解法一：lg14－2lg 73＋lg7－lg18＝lg(2×7)－2(lg7－lg3)＋lg7－lg(32×2)＝lg2＋lg7－2lg7＋2lg3＋lg7－2lg3－lg2＝0.解法二：lg14－2lg 73＋lg7－lg18＝lg14－lg(73)2＋lg7－lg18＝lg 14×7(73)2×18＝lg1＝0.(2)lg243lg9＝lg35lg32＝5lg32lg3＝52. (3)lg 27＋lg8－3lg 10lg1.2＝lg(33)12＋lg23－3lg(10)12lg3×2210 ＝32lg3＋2lg2－1lg3＋2lg2－1＝32. 思路2例1：求下列各式的值．(1)log 525；(2)log 0.41；(3)log 2(47×25)． 解法一：(1)log 525＝log 552＝2； (2)log 0.41＝0；(3)log 2(47×25)＝log 247＋log 225＝log 222×7＋log 225＝2×7＋5＝19.解法二：(1)设log 525＝x ，则5x＝25＝52，所以x ＝2； (2)设log 0.41＝x ，则0.4x ＝1＝0.40，所以x ＝0； (3)log 2(47×25)＝log 2(214×25)＝log 2219＝19，或log 2(47×25)＝log 247＋log 225＝7log 222＋log 225＝2×7＋5＝19. 点评：此题关键是要记住对数运算性质的形式.例2计算下列各式的值：(1)12lg 3249－43lg 8＋lg 245；(2)lg52＋23lg8＋lg5·lg20＋(lg2)2；(3)lg 2＋lg3－lg 10lg1.8.活动：学生思考、交流，观察题目特点，教师可以提示引导：将真数中的积、商、幂化为对数的和、差、积；再就是逆用对数的运算性质．先利用对数的性质把积、商、幂化为对数的和、差、积进行计算．再就是逆用对数的运算性质，把对数的和、差、积转化为真数的积、商、幂再计算．(1)解法一：12lg 3249－43lg 8＋lg 245＝12(5lg2－2lg7)－43×32lg2＋12(2lg7＋lg5) ＝52lg2－lg7－2lg2＋lg7＋12lg5 ＝12lg2＋12lg5 ＝12(lg2＋lg5)＝12lg10＝12. 解法二：12lg 3249－43lg 8＋lg 245＝lg 427－34232lg＋lg75＝lg 42×757×4＝lg(2×5)＝lg 10＝12.(2)解法一：lg52＋23lg8＋lg5·lg20＋(lg2)2＝2lg5＋2lg2＋lg5(2lg2＋lg5)＋(lg2)2＝2lg10＋(lg2＋lg5)2＝2＋(lg10)2＝2＋1＝3.解法二：lg52＋23lg8＋lg5·lg20＋(lg2)2＝2lg5＋2lg2＋lg5(2lg2＋lg5)＋(1－lg5)2＝2lg10＋lg5[2(1－lg5)＋lg5]＋(1－lg5)2＝2＋lg5(2－lg5)＋(1－lg5)2＝2＋2lg5－(lg5)2＋1－2lg5＋(lg5)2＝3.(3)解法一：lg 2＋lg3－lg 10lg1.8＝12lg2＋lg9－lg10lg1.8＝lg 18102lg1.8＝lg1.82lg1.8＝12. 解法二：lg 2＋lg3－lg 10lg1.8＝12lg2＋lg3－12lg 1810＝12lg2＋lg3－122lg3＋lg2－1＝122lg3＋lg2－12lg3＋lg2－1＝12. 点评：这类问题一般有以下几种处理方法：一是将真数中的积、商、幂运用对数的运算法则化为对数的和、差、积，然后化简求值；二是将式中对数的和、差、积运用对数的运算法则化为真数的积、商、幂，然后化简求值；三是上述两种方法灵活运用，化简求值. 变式训练 计算：(1)2log 510＋log 50.25；(2)2log 525＋3log 264；(3)log 2(log 216)． 解：(1)因为2log 510＝log 5102＝log 5100，所以2log 510＋log 50.25＝log 5100＋log 50.25＝log 5(100×0.25)＝log 552＝2log 55＝2.(2)因为2log 525＝2log 552＝4log 55＝4,3log 264＝3log 226＝18log 22＝18，所以2log 525＋3log 264＝22.(3)因为log 216＝log 224＝4，所以log 2(log 216)＝log 24＝log 222＝2.知能训练1．用log a x ，log a y ，log a z ，log a (x ＋y)，log a (x －y)表示下列各式： (1)log a 3x y 2z ；(2)log a (x·4z 3y 2)；(3)log a (xy 12z －23)；(4)log a xy x 2－y 2； (5)log a (x ＋y x －y ·y)；(6)log a [y xx －y ]3. 解：(1)log a 3x y 2z ＝log a 3x －log a y 2z ＝13log a x －(2log a y ＋log a z) ＝13log a x －2log a y －log a z. (2)log a (x·4z 3y 2)＝log a x ＋log a 4z 3y 2＝log a x ＋14(log a z 3－log a y 2) ＝log a x －24log a y ＋34log a z ＝log a x －12log a y ＋34log a z. (3)log a (xy 12z －23)＝log a x ＋log a y 12＋log a z －23＝log a x ＋12log a y －23log a z.(4)log a xy x 2－y 2＝log a xy －log a (x 2－y 2)＝log a x ＋log a y －log a (x ＋y)(x －y)＝log a x ＋log a y －log a (x ＋y)－log a (x －y)．(5)log a (x ＋y x －y ·y)＝log a x ＋y x －y＋log a y ＝log a (x ＋y)－log a (x －y)＋log a y.(6)log a [y x(x －y)]3＝3[log a y －log a x －log a (x －y)]＝3log a y －3log a x －3log a (x －y)．2．已知f(x 6)＝log 2x ，则f(8)等于( )A.43 B ．8 C ．18 D.12解析：因为f(x 6)＝log 2x ，x ＞0，令x 6＝8，得x ＝632＝212，所以f(8)＝log 2212＝12. 另解：因为f(x 6)＝log 2x ＝16log 2x 6，所以f(x)＝16log 2x. 所以f(8)＝16log 28＝16log 223＝12. 答案：D3．若a ＞0，a≠1，x ＞0，y ＞0，x ＞y ，下列式子正确的个数为( ) ①log a x·log a y ＝log a (x ＋y) ②log a x －log a y ＝log a (x －y)③log a x y＝log a x÷log a y ④log a (xy)＝log a x·log a yA ．0B ．1C ．2D ．3 答案：A4．若a ＞0，a≠1，x ＞y ＞0，n∈N ＋，下列式子正确的个数为( )①(log a x)n ＝nlog a x ②(log a x)n ＝log a x n③log a x ＝－log a 1x ④log a x log a y ＝log a x y ⑤n log a x ＝1n log a x ⑥1nlog a x ＝log a n x ⑦log a x n＝nlog a x ⑧log a x －y x ＋y ＝－log a x ＋y x －y A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 答案：B5．科学家以里氏震级来度量地震的强度．若设I 为地震时所散发出来的相对能量程度，则里氏震级r 可定义为r ＝0.6lgI ，试比较6.9级和7.8级地震的相对能量程度．解：设6.9级和7.8级地震的相对能量程度分别为I 1和I 2，由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ 6.9＝0.6lgI 1，7.8＝0.6lgI 2.因此0.6(lgI 2－lgI 1)＝0.9，即lg I 2I 1＝1.5.所以I 2I 1＝101.5≈32. 因此，7.8级地震的相对能量程度约为6.9级地震的相对能量程度的32倍．拓展提升已知x 、y 、z ＞0，且lgx ＋lgy ＋lgz ＝0，求x 1lgy ＋1lgz ·y 1lgz＋1lgx ·z 1lgx ＋1lgy的值． 活动：学生讨论、交流、思考，教师可以引导．大胆设想，运用对数的运算性质．由于所求的式子是三项积的形式，每一项都有指数，指数中又有对数，因此想到用对数的运算性质，如果能对所求式子取对数，那可能会好解决些，故想到用参数法，设所求式子的值为t.解：令x 1lgy ＋1lgz ·y 1lgz ＋1lgx ·z 1lgx ＋1lgy ＝t ，则lgt ＝(1lgy ＋1lgz )lgx ＋(1lgz ＋1lgx )lgy ＋(1lgx ＋1lgy)lgz ＝lgx lgy ＋lgx lgz ＋lgy lgz ＋lgy lgx ＋lgz lgx ＋lgz lgy ＝lgx ＋lgz lgy ＋lgx ＋lgy lgz ＋lgy ＋lgz lgx＝－lgy lgy ＋－lgz lgz ＋－lgx lgx ＝－3，所以t ＝10－3＝11 000即为所求． 课堂小结1．对数的运算法则．2．对数的运算法则的综合应用，特别是公式的逆向使用．3．对数与指数形式比较：作业课本本节练习B 1、2、3.设计感想在前面研究了对数概念的基础上，为了运算的方便，本节课我们借助指数的运算法则，推出了对数的运算法则，引导学生自己完成推导过程，加深对公式的理解和记忆，对运算性质的认识类比指数的运算法则来理解记忆，强化法则的使用条件，注意对数式中每一个字母的取值范围，由于它是以后学习对数函数的基础，所以安排教学时，要反复练习，加大练习的量，多结合信息化的教学手段，顺利完成本堂课的任务．备课资料[备选例题]例 已知a 、b 、c 均为正数，3a ＝4b ＝6c，求证：2a ＋1b ＝2c . 活动：学生思考观察，教师引导，及时评价学生的思考过程．从求证的结论看，解题的关键是设法把a 、b 、c 从连等号式中分离出来，为便于找出a 、b 、c 的关系，不妨设3a ＝4b ＝6c＝k(k ＞0)，则a 、b 、c 就可用这一变量k 表示出来，再结合对数的运算性质就可证得结论．证法一：设3a ＝4b ＝6c ＝k ，则k ＞0.由对数的定义得a ＝log 3k ，b ＝log 4k ，c ＝log 6k ，则左边＝2a ＋1b ＝2log 3k ＋1log 4k＝2log k 3＋log k 4＝log k 9＋log k 4＝log k 36，右边＝2c ＝2log 6k ＝2log k 6＝log k 36，所以2a ＋1b ＝2c. 证法二：对3a ＝4b ＝6c 同时两边取常用对数得lg3a ＝lg4b ＝lg6c，alg3＝blg4＝clg6.所以c a ＝lg3lg6＝log 63，c b ＝lg4lg6＝log 64.又2c a ＋c b＝log 6(9×4)＝2，所以2a ＋1b ＝2c. 点评：本题主要考查指数、对数的定义及其运算性质．灵活运用指数、对数的概念及性质解题，适时转化．(设计者：卢岩冰)第3课时 换底公式与自然对数导入新课 思路1.问题：你能根据对数的定义推导出下面的换底公式吗？a ＞0，且a≠1，c ＞0，且c≠1，b ＞0，log a b ＝log c b log c a.教师直接点出课题．思路 2.前两节课我们学习了以下内容：1.对数的定义及性质；2.对数恒等式；3.对数的运算性质及应用．我们能就同底数的对数进行运算，那么不同底数的对数集中在一起，如何解决呢？这就是本堂课的主要内容．教师板书课题．思路3.从对数的定义可以知道，任意不等于1的正数都可作为对数的底，数学史上，人们经过大量的努力，制作了常用对数表和自然对数表，只要通过查表就能求出任意正数的常用对数或自然对数，这样，如果能将其他底的对数转换为以10为底或以e 为底的对数就能方便地求出任意不等于1的正数为底的对数，那么，怎么转化呢？这就需要一个公式，即对数的换底公式，从而引出课题． 推进新课新知探究提出问题①已知lg2＝0.301 0，lg3＝0.477 1，求log 23的值.②根据①，如a>0，a≠1，你能用含a 的对数式来表示log 23吗？③更一般地，我们有log a b ＝log c b log c a，如何证明？④证明log a b ＝log c b log c a的依据是什么？⑤你能用自己的话概括出换底公式吗？⑥换底公式的意义是什么？有什么作用？⑦什么是自然对数，如何用计算器计算自然对数？活动：学生针对提出的问题，交流讨论，回顾所学，力求转化，教师适时指导，必要时提示学生解题的思路，给学生创造一个互动的学习环境，培养学生的创造性思维能力．对①目前还没有学习对数的换底公式，它们又不是同底，因此可考虑对数的定义，转化成方程来解；对②参考①的思路和结果的形式，借助对数的定义可以表示；对③借助①②的思路，利用对数的定义来证明；对④根据证明的过程来说明；对⑤抓住问题的实质，用准确的语言描述出来，一般是按照从左到右的形式；对⑥换底公式的意义就在于对数的底数变了，与我们的要求接近了；⑦自然对数与常用对数是两种特殊的对数，它们对科学研究和了解自然起了巨大的作用．讨论结果：①因为lg2＝0.301 0，lg3＝0.477 1，根据对数的定义，所以100.301 0＝2,100.477 1＝3. 不妨设log 23＝x ，则2x ＝3，所以(100.301 0)x ＝100.477 1,100.301 0×x ＝100.477 1，即0.301 0x ＝0.477 1，x ＝0.477 10.301 0＝lg3lg2.因此log 23＝lg3lg2＝0.477 10.301 0≈1.585 1. ②根据①我们看到，最后的结果是log 23用lg2与lg3表示，是通过对数的定义转化的，这就给我们以启发，本来是以2为底的对数转换成了以10为底的对数，不妨设log 23＝x ，由对数定义知道，2x＝3，两边都取以a 为底的对数，得log a 2x ＝log a 3，xlog a 2＝log a 3，x ＝log a 3log a 2， 也就是log 23＝log a 3log a 2. 这样log 23就表示成了以a 为底的3的对数与以a 为底的2的对数的商．③证明log a b ＝log c b log c a. 证明：设log a b ＝x ，由对数定义知道，a x ＝b ；两边取c 为底的对数，得log c a x ＝log c b xlog c a ＝log c b ；所以x ＝log c b log c a ，即log a b ＝log c b log c a. 一般地，log a b ＝log c b log c a(a ＞0，a≠1，b ＞0，c ＞0，c≠1)称为对数换底公式．④由③的证明过程来看，换底公式的证明要紧扣对数的定义，证明的依据是：若M ＞0，N ＞0，M ＝N ，则log a M ＝log a N.⑤一个数的对数，等于同一底数的真数的对数与底数的对数的商，这样就把一个对数变成了与原来对数的底数不同的两个对数的商． ⑥换底公式的意义就在于把对数式的底数改变，把不同底问题转化为同底问题，为使用运算法则创造条件，更方便化简求值．说明：我们使用的计算器中，“log”通常是常用对数，因此要使用计算器计算对数，一定要先用换底公式转化为常用对数．如log 23＝lg3lg2， 即计算log 23的值的按键顺序为：“log”→“3”→“÷”→“log”→“2”→“＝”．再如：在前面要求我国人口达到18亿的年份，就是要计算x ＝log 1.011813， 所以x ＝log 1.011813＝lg 1813lg1.01＝lg18－lg13lg1.01≈1.255 3－1.1390.043＝32.883 7≈33年．可以看到运用对数换底公式，有时要方便得多．⑦在科学技术中，常常使用以无理数e ＝2.718 28…为底的对数．以e 为底的对数叫做自然对数．logeN 通常记作lnN.根据对数的换底公式，可以得到自然对数与常用对数的关系：lnN ＝lgN lge ≈lgN 0.434 3，即lnN≈2.302 6 lgN.用科学计算器可直接求自然对数．例如，求ln34(精确到0.000 1)，可用科学计算器计算如下：所以ln34≈3.526 4.应用示例思路1 例1求下列各式的值： (1)log 89·log 2732的值；(2)ln1.解：(1)log 89·log 2732＝lg9lg8×lg32lg27＝2lg33lg2×5lg23lg3＝23×53＝109. (2)因为e 0＝1，所以ln1＝0.例2 (1)求证：log x ylog y z ＝log x z.证明：因为log x ylog y z ＝log x y log x z log x y ＝log x z ，所以log x ylog y z ＝log x z.(2)求证：log an b n＝log a b.证明：因为log an b n ＝log a b n log a a n ＝nlog a b nlog a a＝log a b ，所以log an b n ＝log a b. 点评：本题的结论可作为公式直接应用.思路2例1 (1)已知log 23＝a ，log 37＝b ，用a 、b 表示log 4256.(2)若log 83＝p ，log 35＝q ，求lg5.活动：学生交流，展示自己的思维过程，教师对学生的表现及时评价，要注意转化．利用对数运算性质法则和换底公式进行化简，然后再表示．对(1)据题目的特点，底数不同，所以考虑把底数统一起来，再利用对数的运算性质化简．对(2)利用换底公式把底数统一起来，再灵活利用对数的运算性质解决．解：(1)因为log 23＝a ，则1a＝log 32， 又因为log 37＝b ，所以log 4256＝log 356log 342＝log 37＋3·log 32log 37＋log 32＋1＝ab ＋3ab ＋a ＋1. (2)因为log 83＝p ，即log 233＝p ，所以log 23＝3p.所以log 32＝13p. 又因为log 35＝q ，所以lg5＝log 35log 310＝log 35log 32＋log 35＝3pq 1＋3pq. 点评：本题是条件问题，要充分考虑到条件与结论的关系，更要灵活运用对数的换底公式和运算性质.例2设x 、y 、z∈(0，＋∞)，且3x ＝4y ＝6z .(1)求证：1x ＋12y ＝1z；(2)比较3x 、4y 、6z 的大小． 活动：学生观察，积极思考，尽量把所学知识与题目结合起来，教师及时提示引导．(1)利用对数的定义把x 、y 、z 表示出来，根据对数的定义把3x ＝4y ＝6z 转化为指数式，求出x 、y 、z ，然后计算．(2)在(1)的基础上利用中间量，作差比较，利用对数的运算性质进行比较．(1)证明：设3x ＝4y ＝6z ＝k ，因为x 、y 、z∈(0，＋∞)，所以k ＞1.取对数，得x ＝lgk lg3，y ＝lgk lg4，z ＝lgk lg6， 所以1x ＋12y ＝lg3lgk ＋lg42lgk ＝2lg3＋lg42lgk ＝2lg3＋2lg22lgk ＝lg6lgk ＝1z， 即1x ＋12y ＝1z. (2)解：因为3x －4y ＝(3lg3－4lg4)lgk ＝lg64－lg81lg3·lg4lgk ＝lgk·l g 6481lg3·lg4＜0，所以3x ＜4y.又因为4y －6z ＝(4lg4－6lg6)lgk ＝lg36－lg64lg2·lg6lgk ＝lgk·l g 916lg2·lg6＜0， 所以4y ＜6z.所以3x ＜4y ＜6z.点评：如果题目中有指数式，常根据对数的定义转化为对数式，有对数式常根据对数的定义转化为指数式，比较大小常用作差，如果是几个数比较大小，有时采用中间量法，要具体情况具体分析． 例3已知log a x ＝log a c ＋b ，求x.活动：学生讨论，教师指导，教师提问，学生回答，教师对解题中出现的问题及时处理．把对数式转化为指数式求解，或把b 转化为对数形式利用对数的运算性质来解．由于x 作为真数，故可直接利用对数定义求解；另外，由于等式右端为两实数和的形式，b 的存在使变形产生困难，故可考虑将log a c 移到等式左端，或者将b 变为对数形式来解．解法一：由对数定义，可知x ＝a logac ＋b ＝a logac ·a b ＝c·a b. 解法二：由已知移项可得log a x －log a c ＝b ，即log a x c＝b ，由对数定义，知x c＝a b ， 所以x ＝c·a b.解法三：因为b ＝log a a b ，所以log a x ＝log a c ＋log a a b ＝log a c·a b . 所以x ＝c·a b .点评：利用对数定义进行指数式与对数式的互化对解题起到关键作用．知能训练(1)已知lg2＝a ，lg3＝b ，则lg12lg15等于( ) A.2a ＋b 1＋a ＋b B.a ＋2b 1＋a ＋bC.2a ＋b 1－a ＋bD.a ＋2b 1－a ＋b(2)已知2lg(x －2y)＝lgx ＋lgy ，则x y的值为( ) A ．1 B ．4C ．1或4D ．4或－1(3)若3a＝2，则log 38－2log 36＝__________.(4)lg12.5－lg 58＋lg0.5＝__________. 答案：(1)C (2)B (3)a －2 (4)1 拓展提升探究换底公式的其他证明方法：活动：学生讨论、交流、思考，教师可以引导：大胆设想，运用对数的定义及运算性质和指数幂的运算性质．证法一：设log a N ＝x ，则a x＝N ，两边取以c(c ＞0且c≠1)为底的对数，得log c a x ＝log c N ，所以xlog c a ＝log c N ，即x ＝log c N log c a. 故log a N ＝log c N log c a .证法二：由对数恒等式，得N ＝alog a N ，两边取以c(c ＞0且c≠1)为底的对数，得log c N ＝log a N·log c a ，所以log a N ＝log c N log c a. 证法三：令log c a ＝m ，log a N ＝n ，则a ＝c m ，N ＝a n ，所以N ＝(c m )n＝c mn .两边取以c(c ＞0且c≠1)为底的对数，得mn ＝log c N ，所以n ＝log c N m ，即log a N ＝log c N log c a. 对数换底公式的应用：换底公式log a N ＝log c N log c a(c ＞0且c≠1，a ＞0且a≠1，N ＞0)的应用包括两个方面，即由左端到右端的应用和由右端到左端的应用．前者较为容易，而后者则易被学生忽视，因此，教学时应重视后者的用法，下面仅就后者举例说明：例：化简：log a M log a N ＋log b M log b N ＋log c M log c N ＋log d M log d N. 解：原式＝log N M ＋log N M ＋log N M ＋log N M ＝4log N M. 课堂小结1．对数换底公式．2．换底公式可用于对数式的化简、求值或证明．若对数式的底数和真数可转化成同底数的幂的形式，则该幂底数可被选作换底公式的底数，也可把对数式转化成以10为底的常用对数或以任意数a(a ＞0且a≠1)为底的对数式的形式，进行化简、求值或证明． 作业1．已知271log 17＝a ，31log 15＝b ，求log 81175的值． 解：因为271log 17＝log 277＝13log 37＝a ， 所以log 37＝3a. 又因为31log 15＝log 35＝b ， 所以log 81175＝14log 325×7＝14(log 325＋log 37)＝14(2log 35＋log 37)＝3a ＋2b 4. 2．求证：(log 23＋log 49＋log 827＋…＋log 2n 3n )log 9n 32＝52. 证明：左边＝(log 23＋log 49＋log 827＋…＋log 2n 3n )log 9n 32＝nlog 23·1n log 332＝log 23·52log 32＝52＝右边． 设计感想本堂课主要是学习对数的换底公式，它在以后的学习中有着非常重要的应用，由于对数的运算法则是在同底的基础上，因此利用对数换底公式把不同底数的对数转化为同底显得非常重要，有时也可以逆用对数的换底公式达到我们的目的，特别是实际问题的应用更为广泛，因此要反复训练，强化记忆，所以设计了大量的例题与练习，授课时要加快速度，激发学生学习的兴趣，多运用多媒体的教学手段．备课资料。
问题1：若2x ＝16，(13)x ＝9，x 的值分别为多少？提示：4，－2.问题2：若2x ＝3，(13)x ＝2，你现在还能求得x 吗？这是一种什么运算？提示：不能．这是一种已知底数和幂值，求指数的运算． 问题3：若2x ＝0，(13)x ＝－1，这样的x 存在吗？为什么？提示：不存在．因为2x >0，(13)x >0，所以原方程无解．1．对数的概念一般地，如果a (a >0，a ≠1)的b 次幂等于N ，即a b ＝N ，那么就称b 是以a 为底N 的对数，记作log a N ＝b ，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数．2．常用对数与自然对数通常将以10为底的对数称为常用对数，为了简便起见，对数log 10N 简记为lg_N . 在科学技术中，常常使用以e 为底的对数，这种对数称为自然对数(其中e ＝2.718 28…是一个无理数)，正数N 的自然对数log e N 一般简记为ln_N .对数符号log a N 只有在N >0，a >0且a ≠1时才有意义．零和负数无对数，即N ≤0时log a N 无意义(因为a x >0)．[例1] 求使对数log (a －2)(7－2a )有意义的a 的取值范围． [思路点拨] 根据对数中底数与真数的取值范围求解． [精解详析] 在log a N 中，N >0，a >0且a ≠1， ∴依题意，得⎩⎪⎨⎪⎧7－2a >0，a －2>0，a －2≠1.解得2<a <72且a ≠3.故a 的取值范围是2<a <72，且a ≠3.[一点通] 解决此类问题只需根据对数的意义，即底数大于0且不等于1，真数大于0，列不等式组求解即可．1．已知对数log a (3a －2)有意义，则实数a 的取值范围为________． 解析：要使log a (3a －2)有意义， ∴⎩⎪⎨⎪⎧3a －2>0a >0a ≠1.∴a >23且a ≠1.★答案★：{a |a >23且a ≠1}2．求下列各式中的x 的范围．(1)log (x 2＋1)(－3x ＋8)；(2)log (2x －1)(x ＋2)． 解：(1)依题意知⎩⎪⎨⎪⎧－3x ＋8>0x 2＋1>0x 2＋1≠1，解得x <83且x ≠0.所以x 的取值范围是x <83且x ≠0.(2)依题意得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2>02x －1>02x －1≠1，解得x >12且x ≠1.所以x 的取值范围是x >12且x ≠1.[例2] 将下列指数式与对数式互化： (1)43＝64；(2)(13)－2＝9；(3)2－2＝14；(4)log 327＝3；(5)log 128＝－3；(6)log 2x ＝5.[思路点拨] 利用a x ＝N ⇔x ＝log a N (a >0，且a ≠1)进行转化． [精解详析] (1)log 464＝3； (2)log 139＝－2； (3)log 214＝－2；(4)33＝27； (5)(12)－3＝8； (6)x ＝(2)5＝4 2.[一点通] 指数式a b ＝N 中的幂N 即为对数式log a N ＝b 中的真数N .利用此关系可以进行指数式与对数式的互化，求某些对数值就可以把它转化成指数问题．3．下列指数式与对数式的互化正确的序号是________． ①N ＝a 2与log N a ＝2；②log 2 4＝4与 2 4＝4； ③(14)－3＝64与log 6414＝－13； ④log x 7y ＝z 与x z ＝y 17.解析：①错，N ＝a 2⇒log a N ＝2；②正确； ③错误，(14)－3＝64⇒log 1464＝－3；④正确．★答案★：②④4．求下列各式中x 的值：(1)log x 27＝32；(2)log 3x ＝6；(3)log 3(lg x )＝1.解：(1)∵log x 27＝32，∴x 32＝27，x ＝2723＝32＝9.(2)由log 3x ＝6，得(3)6＝x ，∴x ＝33＝27. (3)由log 3(lg x )＝1，得lg x ＝31＝3，∴x ＝103＝1 000.[例3] 求下列各式的值： (1)log (2－3)(2＋3)－1;(2)log 327; (3)32＋log 35.[思路点拨] 利用对数的基本性质和对数与指数之间的转化求解． [精解详析] (1)设x ＝log (2－3)(2＋3)－1，则(2－3)x ＝(2＋3)－1＝12＋3＝2－ 3. ∴x ＝1. 即log (2－3)(2＋3)－1＝1.(2)∵33＝27，∴log 327＝3. (3)32＋log 35＝32·3log 35＝9·3log 35. 令3log 35＝x ，∴log 35＝log 3x 即x ＝5.∴原式＝9×5＝45. [一点通](1)求对数的值时，可先设其值为x ，转化为指数式后再求． (2)log a a N ＝N (a >0且a ≠1)，这是对数恒等式，使用时要注意格式．5．求下列各式的值：(1)log 525；(2)log 2116；(3)lg 1 000；(4)lg 0.001.解：(1)∵52＝25，∴log 525＝2； (2)∵2－4＝116，∴log 2116＝－4；(3)∵103＝1 000，∴lg 1 000＝3； (4)∵10－3＝0.001，∴lg 0.001＝－3. 6．计算下列各题： (1)2122；(2)22＋log 25；(3)71－log 75. 解：(1)212log25＝(212)2＝(2)2＝5；(2)22＋log25＝22×2log 25＝4×5＝20； (3)71－log75＝71÷7log 75＝7÷5＝75.1．在求解对数问题时，要注意log a N 中对a ，N 的要求：①对a 的要求是：a >0且a ≠1；②对N 的要求是：N >0.2．对数的基本性质对于对数log a N (a >0，a ≠1，N >0)，具有以下性质：①零和负数无对数，即N >0；②log a a ＝1；③log a 1＝0；④a log a N ＝N .一、填空题1．若对数式log (x －1)(x ＋3)有意义，则x 的取值范围为________． 解析：若log (x －1)(x ＋3)有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3>0，x －1>0，x －1≠1解得x >1且x ≠2.★答案★：(1,2)∪(2，＋∞)．2．已知log 7[log 3(log 2x )]＝0，那么x －12等于________．解析：由log 7[log 3(log 2x )]＝0，得log 3(log 2x )＝1，即log 2x ＝3，解得x ＝8， 所以x12-＝812-＝18＝122＝24. ★答案★：243．若log a 2＝m ，log a 3＝n ，则a 2m ＋n ＝________. 解析：由log a 2＝m 得a m ＝2，由log a 3＝n 得a n ＝3. ∴a 2m ＋n ＝a 2m ·a n ＝(a m )2·a n ＝22×3＝12. ★答案★：124．若f (10x )＝x ，则f (1 000)的值为________．解析：令10x ＝t ，∴x ＝lg t . ∴f (t )＝lg t 即f (x )＝lg x .∴f (1 000)＝lg 1 000，∵103＝1 000，∴f (1 000)＝3. ★答案★：35．若10α＝2，β＝lg 3，则10012αβ-＝________.解析：∵β＝lg 3，∴10β＝3. ∴100α12-β＝100α10012β＝(10α)210β＝223＝43. ★答案★：436．若log 3(a ＋1)＝1，则log a 2＋log 2(a －1)的值为________． 解析：∵log 3(a ＋1)＝1，∴a ＋1＝31，即a ＝2. ∴log a 2＋log 2(a －1)＝log 22＋log 2(2－1)＝1＋0＝1. ★答案★：1 二、解答题7．(1)将对数式log 139＝－2，化为指数式；(2)将指数式10－3＝0.001，化为对数式； (3)已知log 2(log 5x )＝1，求x 的值． 解：(1)∵log 139＝－2，∴(13)－2＝9；(2)∵10－3＝0.001，∴log 100.001＝－3， 即lg 0.001＝－3；(3)∵log 2(log 5x )＝1，∴log 5x ＝2，∴x ＝52＝25. 8．求下列各式中x 的值： (1)log 8x ＝－23；(2)log x 27＝34；(3)log 2(log 5x )＝0；(4)log 3(lg x )＝1. 解：(1)由log 8x ＝－23，得x ＝823-＝(23)23-＝2－2＝14.(2)由log x 27＝34，得x 34＝27，x ＝(33)43＝34＝81.(3)由log 2(log 5x )＝0，得log 5x ＝1，所以x ＝5.(4)由log 3(lg x )＝1，得lg x ＝3，所以x ＝103＝1 000. 9．已知log 2x ＝3，log 2y ＝5，求log 2xy 的值．解：∵log 2x ＝3，log 2y ＝5， ∴x ＝23，y ＝25，x y ＝2325＝14∴log 2x y ＝log 214＝log 22－2＝－2.问题1：你知道对数log 22，log 24，log 28，log 232的值分别是多少吗？ 提示：1，2，3，5.问题2：这几个对数与log 22有什么形式上的关系？提示：log 24＝log 222＝2log 22，log 28＝log 223＝3log 22，log 232＝log 225＝5log 22. 问题3：log 24，log 28，log 232之间存在什么关系？ 提示：log 24＋log 28＝log 232＝log 2(4×8)，log 2328＝log 24＝log 232－log 28，log 2324＝log 28＝log 232－log 24.问题4：利用上面的数值，log a (MN )＝log a M log a N 成立吗？ 提示：不成立，如log 232≠log 24×log 28.对数的运算性质(1)log a (MN )＝log a M ＋log a N ；(2)log a MN＝log a M －log a N ；(3)log a M n ＝n log a M ，(其中a >0，a ≠1，M >0，N >0，n ∈R .)问题1：对数log 24，log 42的值分别是多少？提示：2，12.问题2：log 24，log 42的关系是什么？log a b 与log b a 是否具有同样的关系？ 提示：log 24log 42＝1，log a b log b a ＝1.问题3：令a ＝lg 5，b ＝lg 3，试用a ，b 表示log 35. 提示：由a ＝lg 5知10a ＝5，由b ＝lg 3知10b ＝3.又10a ＝(10b )ab，5＝3a b，∴log 35＝a b ，即log 35＝lg 5lg 3.换底公式的定义：一般地，我们有log a N ＝log c Nlog c a ，(其中a >0，a ≠1，N >0，c >0，c ≠1.)这个公式称为对数的换底公式．对数的每一条运算法则，都要注意只有当式子中所有的对数记号都有意义时，等式才成立，如log 2[(－3)·(－5)]是存在的，但log 2(－3)与log 2(－5)均不存在，故不能写成log 2[(－3)·(－5)]＝log 2(－3)＋log 2(－5)．[例1] 计算下列各式的值： (1)lg 25＋lg 2·lg 5＋lg 2； (2)2log 32－log 3329＋log 38－5log 53； (3)lg 25＋23lg 8＋lg 5·lg 20＋lg 2 2；(4)(1－log 62)2＋log 62·log 618＋lg 10－ln e 2.[思路点拨] 利用对数的运算性质，将式子转化为只含一种或几种真数的形式再进行计算．[精解详析] (1)原式＝lg 5(lg 5＋lg 2)＋lg 2 ＝lg 5·lg(5×2)＋lg 2 ＝lg 5＋lg 2＝lg 10＝1.(2)原式＝2log 32－(log 332－log 39)＋3log 32－3 ＝2log 32－5log 32＋2＋3log 32－3＝－1. (3)原式＝2lg 5＋2lg 2＋lg102·lg(2×10)＋lg 2 2 ＝2lg(5×2)＋(1－lg 2)·(lg 2＋1)＋lg 2 2＝2＋1－lg 22＋lg 22＝3.(4)(log 66－log 62)2＋log 62·log 6(2×32) ＝⎝⎛⎭⎫log 6622＋log 62·(log 62＋log 632) ＝log 263＋log 262＋2log 62·log 63 ＝(log 63＋log 62)2＝1. 又lg 10＝12，ln e 2＝2，∴原式＝1＋12－2＝－12.[一点通] 利用对数的运算性质解题时，应根据所求式子的结构，对真数进行分解或合并，常见的方法有两种：一种是将式中真数的积、商、幂、方根运用对数的运算性质将它们化为对数的和、差、积、商，然后化简求值；另一种方法是将式中的对数的和、差、积、商运用对数的运算性质将它们化为真数的积、商、幂、方根，然后化简求值．1．(1)(lg 5)2＋lg 2·lg 5＋lg 20的值是________． (2)log 39100＋2log 310＝________. 解析：(1)原式＝lg 5(lg 5＋lg 2)＋lg 20 ＝lg 5＋lg 20＝lg (5×20)＝lg 100＝2. (2)原式＝log 39100＋log 3100 ＝log 3⎝⎛⎭⎫9100×100＝log 39＝2. ★答案★：(1)2 (2)22．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 3x (x >0)，3x (x <0).则f [f (－2)]等于________．解析：f (－2)＝3－2＝19.∴f [f (－2)]＝f (19)＝log 319＝log 33－2＝－2.★答案★：－23．求值：(1)lg 14－2lg 73＋lg 7－lg 18；(2)lg 243lg 9；(3)lg 27＋lg 8－3lg 10lg 1.2.解：(1)法一(公式的正向运用)：原式＝lg (2×7)－2(lg 7－lg 3)＋lg 7－lg(32×2) ＝lg 2＋lg 7－2lg 7＋2lg 3＋lg 7－2lg 3－lg 2 ＝0.法二(公式的逆向运用)： 原式＝lg 14－lg(73)2＋lg 7－lg 18＝lg14×7(73)2×18＝lg 1＝0.(2)原式＝lg 35lg 32＝5lg 32lg 3＝52.(3)原式＝lg (33)12＋lg 23－3lg 1012lg 3×2210＝32(lg 3＋2lg 2－1)lg 3＋2lg 2－1＝32.[例2] 已知log 189＝a,18b ＝5，试用a ，b 表示log 3645.[思路点拨] 利用换底公式，把题目中不同底的对数化成同底的对数，再进一步应用对数的运算性质求值．[精解详析] 法一：∵log 189＝a,18b ＝5，∴log 185＝b ， 于是log 3645＝log 1845log 1836＝log 18(9×5)log 18(18×2)＝log 189＋log 1851＋log 182＝a ＋b1＋log 18189＝a ＋b 2－a. 法二：∵log 189＝a,18b ＝5，∴log 185＝b .于是log 3645＝log 18(9×5)log 181829＝log 189＋log 1852log 1818－log 189＝a ＋b2－a .法三：∵log 189＝a,18b ＝5， ∴lg 9＝a lg 18，lg 5＝b lg 18.∴log 3645＝lg 45lg 36＝lg (9×5)lg 1829＝lg 9＋lg 52lg 18－lg 9＝a lg 18＋b lg 182lg 18－a lg 18＝a ＋b2－a.[一点通](1)换底公式的主要用途在于将一般对数化为常用对数或自然对数，解决一般对数求值问题．(2)换底公式的本质是化同底，这是解决对数问题的基本方法．4．若x log 23＝1，则3x ＋9x 的值为________． 解析：由x log 23＝1得x ＝1log 23＝log 32.∴3x ＋9x ＝3log 32＋9log 32＝2＋9log 94 ＝2＋4＝6. ★答案★：65．已知lg 2＝a ，lg 7＝b ，用a ，b 表示log 498. 解：log 498＝lg 98lg 4＝lg 49＋lg 22lg 2＝2lg 7＋lg 22lg 2，∵lg 2＝a ，lg 7＝b ，∴log 498＝2b ＋a2a.6．计算：(log 2125＋log 425＋log 85)(log 52＋log 254＋log 1258)． 解：法一：原式＝(log 253＋log 225log 24＋log 25log 28)·(log 52＋log 54log 525＋log 58log 5125) ＝(3log 25＋2log 252log 22＋log 253log 22)(log 52＋2log 522log 55＋3log 523log 55)＝(3＋1＋13)log 25·(3log 52)＝13log 25·log 22log 25＝13.法二：原式＝(lg 125lg 2＋lg 25lg 4＋lg 5lg 8)(lg 2lg 5＋lg 4lg 25＋lg 8lg 125)＝(3lg 5lg 2＋2lg 52lg 2＋lg 53lg 2)(lg 2lg 5＋2lg 22lg 5＋3lg 23lg 5)＝(13lg 53lg 2)(3lg 2lg 5)＝13.[例3] 设x ，y ，z 均为正数，且3x ＝4y ＝6z . 求证：1z －1x ＝12y.[思路点拨] 由条件可知，可以令3x ＝4y ＝6z ＝k ， 用k 分别表示出x ，y ，z .然后再代入进行证明． [精解详析] 设3x ＝4y ＝6z ＝k ， 因为x ，y ，z 均为正数，所以k >1.所以x ＝log 3k ＝1log k 3，y ＝log 4k ＝1log k 4＝12log k 2， z ＝log 6k ＝1log k 6，所以1x ＋12y ＝log k 3＋log k 2＝log k 6＝1z ，即1z －1x ＝12y. [一点通] 在证明恒等式或进行对数值运算时，多借助于换底公式化为同底的对数，至于底数取什么数值，一般是根据已知条件灵活选取．7．已知2x ＝5y ，则xy 的值为________．解析：令2x ＝5y ＝k (k >0)， 则x ＝log 2k ，y ＝log 5k ， ∴x y ＝log 2k log 5k ＝log k 5log k 2＝log 25. ★答案★：log 25 8．设A ＝1log 519＋2log 319＋3log 2 19，B ＝1log 2 π＋1log 5 π，试比较A 与B 的大小． 解：利用换底公式，可得A ＝log 195＋2log 193＋3log 192＝log 19360，B ＝log π2＋log π5＝log π10. ∵log 19360<log 19192，log π10>log ππ2， ∴log 19360<2，log π10>2，∴A <B .[例4] 2013年我国国民生产总值为a 亿元，如果年平均增长8%，那么经过多少年，我国国民生产总值是2013年的2倍？(已知lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1，lg 1.08≈0.033 4.精确到1年)[思路点拨] 认真分析题意，找出其中各量之间的关系，列出式子，并利用对数运算求解．[精解详析] 设经过x 年，我国国民生产总值是2013年的2倍． 经过1年，总产值为a (1＋8%)， 经过2年，总产值为a (1＋8%)2. ……经过x 年，总产值为a (1＋8%)x . 由题意得a (1＋8%)x ＝2a ，即1.08x ＝2，两边取常用对数，得lg 1.08x＝lg 2，则x＝lg 2lg 1.08≈0.301 00.033 4≈9(年)．答：约经过9年，国民生产总值是2013年的2倍．[一点通]解对数应用题的步骤(1)理解题意，弄清各字母的含义；(2)恰当地设未知数，建立数学模型，即已知a x＝N(a，N是常数，且a>0，a≠1)，求x；(3)在a x＝N两边取以a为底的对数得x＝log a N.(4)还原为实际问题，归纳结论．9．通常表明地震能量大小的尺度是里氏震级，其计算公式是M＝lg A－lg A0，其中，A 是被测地震的最大振幅，A0是“标准地震”的振幅，M为震级，则7级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的多少倍？解：M＝7时，7＝lg A1－lg A0，∴A1A0＝107，即A1＝107A0；当M＝5时，A2＝105A0，∴A1A2＝107A0105A0＝100(倍)．因此7级地震的最大震幅是5级地震最大振幅的100倍．10．我们都处于有声世界里，不同场合，人们对音量会有不同的要求．音量大小的单位是分贝(dB)，对于一个强度为I的声波，分贝的定义是：y＝10lg II0.这里I0是人耳能听到的声音的最低声波强度，I0＝10－12 w/m2，当I＝I0时，y＝0.(1)如果I＝1 w/m2，求相应的分贝值；(2)70 dB时声音强度I是60 dB时声音强度I′的多少倍？解：(1)∵I＝1 w/m2，∴y＝10lg II0＝10lg110－12＝10lg 1012＝120(dB)．(2)由70＝10lg II0，得lgII0＝7，∴II0＝107.又由60＝10lg I′I0，得lgI′I0＝6，∴I′I0＝106.∴II′＝107106＝10，即I＝10I′.1．对于底数相同的对数式的化简，常用的方法是：(1)“收”，将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数；(2)“拆”，将积(商)的对数拆成对数的和(差)．对数的化简求值一般是正用或逆用公式，对真数进行处理，选哪种策略化简，取决于问题的实际情况，一般本着便于真数化简的原则进行．2．根据对数的换底公式，可得出下列结论．(1)log a n b m ＝mnloga b (a >0，a ≠1，b >0，m ∈R ，n ∈R 且n ≠0)；(2)log a b ·log b c ·log c d ＝log a d (a >0，b >0，c >0，d >0，a ≠1，b ≠1，c ≠1)．一、填空题1．lg 5＋lg 20的值是________． 解析：lg 5＋lg 20＝lg 100＝1. ★答案★：12．(陕西高考改编)设a ，b ，c 均为不等于1的正实数， 则下列等式中恒成立的是________．①log a b ·log c b ＝log c a ②log a b ·log c a ＝log c b ③log a (bc )＝log a b ·log a c ④log a (b ＋c )＝log a b ＋log a c解析：对①式：log a b ·log c b ＝log c a ⇒log a b ＝log c a log c b ，显然与换底公式不符，所以不恒成立；对②式：log a b ·log c a ＝log c b ⇒log a b ＝log c blog c a ，显然与换底公式一致，所以恒成立；对③式：log a (bc )＝log a b ·log a c ，显然与公式不符，所以不恒成立．对④式：log a (b ＋c )＝log a b ＋log a c ，同样与公式不符，所以不恒成立．★答案★：②3．已知a 2＝1681(a >0)，则log 23a ＝________.解析：由a 2＝1681(a >0)得a ＝49，所以log 2349＝log 23⎝⎛⎭⎫232＝2. ★答案★：24．已知lg 2＝a,10b ＝3，则lg 108＝________(用a ，b 表示)． 解析：由条件可知lg 2＝a ，lg 3＝b ， ∴lg 108＝lg(27×4)＝lg 4＋lg 27＝2lg 2＋3lg 3 ＝2a ＋3b . ★答案★：2a ＋3b5．已知3a ＝5b ＝m ，且1a ＋1b ＝2，则m 的值为________．解析：由条件可知a ＝log 3m ，b ＝log 5m ， ∴1a ＋1b ＝log m 3＋log m 5＝2，∴log m 15＝2. 即m 2＝15，∴m ＝15. ★答案★：156．里氏震级M 的计算公式为：M ＝lg A －lg A 0，其中A 是测震仪记录的地震曲线的最大振幅，A 0是相应的标准地震的振幅．假设在一次地震中，测震仪记录的最大振幅是1 000，此时标准地震的振幅为0.001，则此次地震的震级为________级；9级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的________倍．解析：由lg 1 000－lg 0.001＝6，得此次地震的震级为6级．因为标准地震的振幅为0.001，设9级地震最大振幅为A 9，则lg A 9－lg 0.001＝9，解得A 9＝106，同理5级地震最大振幅A 5＝102，所以9级地震的最大振幅是5级的10 000倍．★答案★：6 10 000 二、解答题7．计算下列各式的值： (1)12lg 3249－43lg 8＋lg 245； (2)lg 25＋23lg 8＋lg 5×lg 20＋(lg 2)2.解：(1)法一：原式＝12(5lg 2－2lg 7)－43×32lg 2＋12(2lg 7＋lg 5)＝52lg 2－lg 7－2lg 2＋lg 7＋12lg 5 ＝12lg 2＋12lg 5＝12(lg 2＋lg 5) ＝12lg 10＝12. 法二：原式＝lg 427－lg 4＋lg 75＝lg 42×757×4＝lg(2·5)＝lg 10＝12.(2)原式＝2lg 5＋2lg 2＋lg 5(2lg 2＋lg 5)＋(lg 2)2 ＝2lg 10＋(lg 5＋lg 2)2＝2＋(lg 10)2＝3. 8．(1)设log 34·log 48·log 8m ＝log 416，求m ； (2)已知log 142＝a ，用a 表示log27.解：(1)利用换底公式，得lg 4lg 3·lg 8lg 4·lg m lg 8＝2，∴lg m ＝2lg 3，于是m ＝9. (2)由对数换底公式，得 log27＝log 27log 22＝log 2712＝2log 27＝2(log 214－log 22) ＝2⎝⎛⎭⎫1a －1＝2(1－a )a .9．一种放射性物质不断变化为其他物质，每经过一年剩余的质量约是原来的75%，估计约经过多少年，该物质的剩余量是原来的13(结果保留1位有效数字)？(lg 2≈0.301 0，lg3≈0.477 1)解：假设经过x 年，该物质的剩余量是原来的13，根据题意得：0.75x ＝13，∴x ＝log 0.7513＝－lg 3lg 3－lg 4＝－lg 3lg 3－2lg 2≈4.故估计约经过4年，该物质的剩余量是原来的13.细胞分裂的过程中，1个分裂成2个，2个分裂成4个，依此类推，… 问题1：当细胞分裂成64个时，分裂了多少次？ 提示：6次．问题2：当细胞的数目确定时，分裂的次数是唯一确定的吗？提示：是唯一确定的．问题3：当已知细胞数目y时，分裂次数x如何表示？提示：由y＝2x可得x＝log2y.一般地，函数y＝log a x(a>0，a≠1)叫做对数函数，它的定义域是(0，＋∞)．考察函数y＝log2x和y＝logx的图象．12问题1：试作出这两个函数的图象．提示：如图所示：问题2：它的图象与y轴有交点吗？为什么？提示：没有交点．因为x>0.问题3：它的图象与x轴有公共点吗？y＝log a x过这一点吗？提示：有公共点(1,0)，过．问题4：这两个函数的图象有什么关系？提示：关于x轴对称．问题5：它们的增减性怎样？提示：y＝log2x在(0，＋∞)上单调递增．x在(0，＋∞)上单调递减．y＝log12对数函数的图象与性质0＜a＜1a＞1图象性定义域：(0，＋∞)质值域：(－∞，＋∞)过点(1,0)，即当x＝1时，y＝0在(0，＋∞)上是单调增函数在(0，＋∞)上是单调减函数问题1：作出函数y＝2x与y＝log2x的图象．提示：如图：问题2：它们的图象有什么关系？提示：关于直线y＝x对称．指数函数y＝a x与对数函数y＝log a x互为反函数，其图象关于直线y＝x对称，一般地，如果函数y＝f(x)存在反函数，那么它的反函数记作y＝f－1(x)．1．对数函数是一个形式概念，只有形如y＝log a x(a>0，a≠1)的函数才是对数函数．如函数y＝log2x＋1，y＝log2(x＋1)，y＝2log2x等都不是对数函数．2．由指数函数y＝a x(a>0且a≠1)与对数函数y＝log a x(a>0且a≠1)的关系不难发现其对应关系：由此可知：对数函数中的自变量x的范围等同于指数函数中的函数值范围；对数函数中的函数值的范围等同于指数函数中的自变量的范围．3．不论a(a>0且a≠1)取何值，函数f(x)＝log a x必过定点(1,0)，这是因为“不论底数为何值，1的对数等于0”．因此涉及与对数函数有关的定点问题，均可利用此性质求解．[例1]求下列函数的定义域．(1)f(x)＝log(x－1)(x＋2)；(2)f(x)＝log(1－2x)(3x＋2)；(3)f(x)＝1 log2(x－1).[思路点拨]根据对数式中底数、真数的范围列不等式(组)求解．[精解详析](1)由⎩⎪⎨⎪⎧x－1>0，x－1≠1，x＋2>0得⎩⎪⎨⎪⎧x>1，x≠2，x>－2，∴⎩⎪⎨⎪⎧x>1，x≠2.故函数的定义域是{x|x>1且x≠2}．(2)由⎩⎪⎨⎪⎧1－2x>0，1－2x≠1，3x＋2>0得⎩⎪⎨⎪⎧x<12，x≠0，x>－23，∴⎩⎪⎨⎪⎧－23<x<12，x≠0.故函数的定义域是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|－23<x<12且x≠0.(3)由log2(x－1)≠0知x－1≠1，∴x≠2.又x－1>0，∴x>1.故函数的定义域是{x|x>1且x≠2}．[一点通]求函数的定义域就是求使函数的解析式有意义时自变量的取值范围．常用的方法有：①分母不等于零；②根指数为偶数时，被开方数为非负数；③对数的真数大于零，对数的底数大于零且不等于1.1．(广东高考改编)函数f(x)＝lg(x＋1)x－1的定义域是________．解析：要使函数有意义，须满足：⎩⎪⎨⎪⎧x＋1>0x－1≠0⇒x>－1且x≠1，∴函数的定义域为(－1,1)∪(1，＋∞)．★答案★：(－1,1)∪(1，＋∞)2．求下列函数的定义域：(1)y＝log2(4x－3)；(2)y＝log5－x(2x－2)．解：(1)要使函数有意义，须满足： log 2(4x －3)≥0＝log 21， ⇒1≤4x －3⇒x ≥1，∴函数的定义域为[1，＋∞)． (2)要使函数有意义，须满足： ⎩⎪⎨⎪⎧2x －2>05－x >05－x ≠1⇒1<x <5且x ≠4.∴函数的定义域为(1,4)∪(4,5).[例2] 作出函数y ＝|log 2(x ＋1)|＋2的图象，并指出其单调区间． [思路点拨] 按下列顺序作图，作图后再观察得出单调区间． y ＝log 2x →y ＝log 2(x ＋1)→y ＝|log 2(x ＋1)|→y ＝|log 2(x ＋1)|＋2. [精解详析] 第一步：作出y ＝log 2x 的图象，如图(1)．第二步：将y ＝log 2x 的图象沿x 轴向左平移1个单位得到y ＝log 2(x ＋1)的图象，如图(2)． 第三步：将y ＝log 2(x ＋1)的图象在x 轴下方的图象以x 轴为对称轴翻折到x 轴的上方得到y ＝|log 2(x ＋1)|的图象，如图(3)．第四步：将y ＝|log 2(x ＋1)|的图象沿y 轴方向向上平移2个单位，得到y ＝|log 2(x ＋1)|＋2的图象，如图(4)．由图可知，函数的单调递减区间是(－1,0)，单调递增区间是(0，＋∞)．[一点通] 按函数图象的平移，翻折变换作图，先作出基本的函数y ＝f (x )图象，然后再按顺序作函数y ＝|f (x ＋a )|＋b 的图象．3．已知a >0且a ≠1，则函数y ＝a x 与y ＝log a (－x )在同一坐标系中的图象为________(填序号)．解析：法一：首先，曲线y ＝a x 位于x 轴上方，y ＝log a (－x )位于y 轴左侧，从而排除(1)(3)．其次，从单调性入手，y ＝a x 与y ＝log a (－x )的增减性正好相反，又可排除(4)．法二：若0<a <1，则曲线y ＝a x 下降且过点(0,1)，而曲线y ＝log a (－x )上升且过点(－1,0)，所有选项均不符合这些条件．若a >1，则曲线y ＝a x 上升且过点(0,1)，而曲线y ＝log a (－x )下降且过点(－1,0)，只有(2)满足条件．法三：如果注意到y ＝log a (－x )的图象关于y 轴的对称图象为y ＝log a x ，又y ＝log a x 与y ＝a x 互为反函数(图象关于直线y ＝x 对称)，则可直接选定(2)．★答案★：(2)4．如图所示，曲线是对数函数y ＝log a x 的图象，已知a 值取3，43，35，110，则相应于C 1、C 2、C 3、C 4的a 值依次为________． 解析：过点(0,1)作平行于x 轴的直线，与C 1、C 2、C 3、C 4的交点的坐标为(a 1,1)、(a 2,1)、(a 3,1)、(a 4,1)，其中a 1、a 2、a 3、a 4分别为各对数的底数，显然a 1>a 2>a 3>a 4，所以C 1、C 2、C 3、C 4的底数值依次为3、43、35、110.★答案★：3、43、35、110[例3] 比较下列各组数的大小： (1)log 0.13与log 0.1π； (2)log 45与log 65； (3)3log 45与2log 23.[思路点拨] 所给的四组数的大小均与对数有关，可借助对数函数的单调性比较大小． [精解详析] (1)∵函数y ＝log 0.1x 是减函数，π>3， ∴log 0.13>log 0.1π.(2)∵函数y ＝log 4x 和y ＝log 6x 都是增函数， ∴log 45>log 44＝1，log 65<log 66＝1. ∴log 45>log 65.(3)∵3log 45＝log 453＝log 4125＝log 2125log 24＝12log 2125＝log2125，2log 23＝log 232＝log 29，又∵函数y ＝log 2x 是增函数，125>9， ∴log 2125>log 29，即3log 45>2log 23.[一点通] 比较两个对数值的大小与比较两个指数值的大小的方法基本类似．当底数相同时，可直接利用对数函数的单调性比较；当底数不同时，可用换底公式或找中间值联系传递，如取0,1，－1等进行比较．5．设a ＝log 54，b ＝(log 53)2，c ＝log 45则a ，b ，c 的大小关系为________． 解析：∵1>log 54>log 53>0，∴(log 53)2<log 53. 又∵log 45>log 44＝1，∴c >a >b . ★答案★：c >a >b6．(重庆高考改编)设a ＝log 1312，b ＝log 1323，c ＝log 343，则a ，b ，c 由小到大的顺序为________．解析：a ＝log 1312＝log 32，b ＝log 1323＝log 332，c ＝log 343，函数y ＝log 3x 在(0，＋∞)上是增函数，43＜32＜2，即c ＜b ＜a .★答案★：c <b <a7．比较下列各组数的大小： (1)log 0.30.1与log 0.33；(2)log a (a ＋2)与log a (a ＋3)(a >0，a ≠1)； (3)log 3π，log 76与ln 0.2.解：(1)∵函数y ＝log 0.3x 是减函数，0.1<3， ∴log 0.30.1>log 0.33. (2)∵a ＋2<a ＋3，∴①当a >1时，log a (a ＋2)<log a (a ＋3)， ②当0<a <1时，log a (a ＋2)>log a (a ＋3)． (3)∵log 3π>1,0<log 76<1，ln 0.2<0， ∴log 3π>log 76>ln 0.2.函数y ＝log a x (a >0且a ≠1)的底数变化对图象位置的影响观察图象，注意变化规律：(1)上下比较：在直线x ＝1的右侧，a >1时，a 越大，图象向右越靠近x 轴，0<a <1时a 越小，图象向右越靠近x 轴．(2)左右比较：比较图象与y ＝1的交点，交点的横坐标越大，对应的对数函数的底数越大．一、填空题1．(重庆高考改编)函数y ＝1log 2(x －2)的定义域为________．解析：要使函数有意义，需满足⎩⎪⎨⎪⎧x －2>0，log 2(x －2)≠0，解得x >2且x ≠3.★答案★：(2,3)∪(3，＋∞)2．函数f (x )＝log a (2x ＋1)＋2(a >0且a ≠1)必过定点________． 解析：∵log a 1＝0，∴x ＝0时f (x )＝2. 故函数f (x )过定点(0,2)． ★答案★：(0,2)3．(新课标卷Ⅱ改编)设a ＝log 36，b ＝log 510，c ＝log 714，则a ，b ，c 的大小关系是________． 解析：由题意知：a ＝log 36＝1＋log 32＝1＋1log 23，b ＝log 510＝1＋log 52＝1＋1log 25，c ＝log 714＝1＋log 72＝1＋1log 27，因为log 23<log 25<log 27，所以a >b >c . ★答案★：a >b >c4．若y ＝(log 12a )x 在R 上为减函数，则实数a 的取值范围是________．解析：∵函数y ＝(log 12a )x 在R 上为减函数，∴0<log 12a <1.∴12<a <1.★答案★：(12，1)5．函数y ＝log a x ，x ∈[2,4]，a >0且a ≠1，若此函数的最大值比最小值大1，则a ＝________. 解析：当a >1时，log a 4－log a 2＝1，解得a ＝2， 当0<a <1时，log a 2－log a 4＝1，解得a ＝12.∴a ＝2或12.★答案★：2或126．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 3x (x >0)，(12)x (x ≤0)，则f [f (127)]＝________.解析：因为f (127)＝log 3127＝－3，所以f [f (127)]＝f (－3)＝(12)－3＝8.★答案★：8 二、解答题7．已知函数f (x )＝log 2(x －3)． (1)求f (51)－f (6)的值；(2)若f (x )≥0，求x 的取值范围． 解：(1)∵f (x )＝log 2(x －3)，∴f (51)－f (6)＝log 2(51－3)－log 2(6－3) ＝log 248－log 23＝log 216＝4.(2)f (x )≥0即log 2(x －3)≥0，∴x －3≥1解得x ≥4. 所以x 的取值范围为[4，＋∞)．8．设y 1＝log a (3x ＋1)，y 2＝log a (－3x )，其中0<a <1. (1)若y 1＝y 2，求x 的值； (2)若y 1>y 2，求x 的取值范围．解：(1)∵y 1＝y 2，∴log a (3x ＋1)＝log a (－3x )， ∴3x ＋1＝－3x ，解得x ＝－16，经检验x ＝－16在函数的定义域内，∴x ＝－16.(2)y 1>y 2，即log a (3x ＋1)>log a (－3x )(0<a <1)，∴⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋1>0，－3x >0，3x ＋1<－3x ，解得－13<x <－16，∴x 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－13，－16. 9．已知f (x )＝log 3x . (1)作出这个函数的图象；(2)当0<a <2时，有f (a )>12，利用图象求a 的取值范围．解：(1)作出函数y ＝log 3x 的图象如图所示．(2)令f (x )＝12，即log 3x ＝12，解得x ＝ 3.由如图所示的图象知： 当0<a <2时， 若f (a )>12，则3<a <2.故当0<a <2时，满足f (a )>12的a 的取值范围为(3，2)．[例1] 求函数y ＝log 12(6＋x ＋2x 2)的单调区间．[思路点拨] 首先确定出该函数的定义域，把函数转化为两个函数y ＝log 12u ，u ＝6＋x＋2x 2构成，根据它们各自的单调性来进行判断．[精解详析] 由6＋x ＋2x 2>0得2(x ＋14)2＋478>0，即函数定义域是R 令u (x )＝2x 2＋x ＋6，则函数u (x )＝2x 2＋x ＋6的单调增区间为 (－14，＋∞)，单调减区间为(－∞，－14)． 又∵y ＝log 12u 在(0，＋∞)上是减函数，∴函数y ＝log 12(6＋x ＋2x 2)的单调增区间为(－∞，－14)，单调减区间为(－14，＋∞)．[一点通](1)研究函数的单调性，首先必须考虑它的定义域；(2)对于形如y ＝f (g (x ))的函数的单调性，必须考虑u ＝g (x )与y ＝f (u )的单调性，从而得出f (u )＝f (g (x ))的单调性；(3)判断函数的单调性，或者求函数的单调区间，也可画出函数图象求解．1．函数f (x )＝log 12(1－2x )的单调递增区间是________．解析：由1－2x >0得x <12，∵u ＝1－2x 在(－∞，12)上单调递减，y ＝log 12u 在(0，＋∞)上单调递减．∴f (x )＝log 12(1－2x )在(－∞，12)上单调递增．★答案★：(－∞，12)2．已知函数f (x )＝log 0.5(x 2－ax ＋3a )在[2，＋∞)单调递减，则a 的取值范围________． 解析：根据复合函数的单调性知， ⎩⎪⎨⎪⎧a 2≤2，22－2a ＋3a >0，解得－4<a ≤4. ★答案★：(－4,4]3.判断函数y ＝f (x )＝log a (1－x )的单调性．解：由1－x >0，得函数f (x )＝log a (1－x )的定义域为(－∞，1)． 令u ＝1－x ＝－x ＋1，∴y ＝log a u . ∵u ＝－x ＋1在(－∞，1)上是减函数，当a >1时，y ＝log a u 在u ∈(0，＋∞)上是增函数；当0<a <1时，y ＝log a u 在u ∈(0，＋∞)上是减函数； ∴当a >1时，f (x )＝log a (1－x )在(－∞，1)上是减函数； 当0<a <1时，f (x )＝log a (1－x )在(－∞，1)上是增函数.[例2] 解下列不等式： (1)log 2(2x －1)<log 2(－x ＋5)； (2)log x 12>1.[思路点拨] (1)利用y ＝log 2x 的单调性求解； (2)分类讨论，分x >1和0<x <1讨论． [精解详析] 因为对数式中真数大于0，所以⎩⎪⎨⎪⎧2x －1>0，－x ＋5>0.解得12<x <5.又函数y ＝log 2x 在(0，＋∞)上是增函数， 所以原不等式化为2x －1<－x ＋5，解得x <2. 所以原不等式的解集是{x |12<x <2}．(2)当x >1时，原不等式化为log x 12>log x x .∴x <12，这与x >1矛盾；当0<x <1时，原不等式可化为log x 12>log x x ，∴x >12.结合0<x <1，所以12<x <1.故原不等式的解集为(12，1)．[一点通] 解对数不等式需考虑对数定义中的隐含条件：真数大于零，底数大于零且不等于1，再根据对数函数的单调性，把对数的不等式转化为真数的不等式，然后求交集即得原不等式的解集．4．不等式log 2(x －3)>1的解集为________． 解析：∵log 2(x －3)>1， ∴log 2(x －3)>log 22. ∴x －3>2，x >5. ★答案★：{x |x >5}5．(1)已知log a 12>1，求a 的取值范围；(2)已知log 0.72x <log 0.7(x －1)，求x 的取值范围． 解：(1)由log a 12>1得log a 12>log a a .①当a >1时，有a <12，此时无解．②当0<a <1时，有12<a ，从而12<a <1.∴a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫12，1.(2)∵函数y ＝log 0.7x 在(0，＋∞)上为减函数， ∴由log 0.72x <log 0.7(x －1) 得⎩⎪⎨⎪⎧2x >0，x －1>0，2x >x －1，解得x >1.∴x 的取值范围是(1，＋∞)[例3] 已知函数f (x )＝log m (x ＋1)－log m (1－x )(m >0且m ≠1)， (1)求f (x )的定义域；(2)判断f (x )的奇偶性．[思路点拨] (1)确定定义域是解x ＋1>0且1－x >0，而不是x ＋11－x >0；(2)判断奇偶性可利用定义来判定．[精解详析] (1)由x ＋1>0且1－x >0得 －1<x <1.∴f (x )的定义域是(－1,1)． (2)函数的定义域关于原点对称， 且f (－x )＝log m (－x ＋1)－log m (1＋x ) ＝－[log m (1＋x )－log m (1－x )]＝－f (x )， ∴y ＝f (x )是奇函数．[一点通] 对数函数的综合问题的考查主要体现在：对数的运算，与对数函数有关的函数的定义域、值域、单调性、奇偶性等问题．解决这些问题必须熟练的掌握对数的相关运算性质、基本初等函数的定义域、值域、单调区间、奇偶性的求解方法与技巧．6．已知f (x )是定义在[－2,2]上的单调递增函数，且f (x )的最大值为1，则满足f (log 2x )<1的解集为________．解析：函数f (x )在[－2,2]上单调递增且f (x )的最大值为1，∴f (2)＝1.∴f (log 2x )<1可化为f (log 2x )<f (2)，即log 2x <2，即0<x <4.又－2≤log 2x ≤2，∴14≤x ≤4.故14≤x <4.★答案★：[14，4)7．设函数f (x )＝log a ⎝⎛⎭⎫1－ax ，其中0<a <1. (1)证明：f (x )是(a ，＋∞)上的减函数； (2)若f (x )>1，求x 的取值范围． 解：(1)证明：令0<a <x 1<x 2， g (x )＝1－ax，则g (x 1)－g (x 2)＝⎝⎛⎭⎫1－a x 1－⎝⎛⎭⎫1－a x 2＝a (x 1－x 2)x 1x 2<0， ∴g (x 1)<g (x 2)，又∵0<a <1， ∴f (x 1)>f (x 2)，∴f (x )在(a ，＋∞)上是减函数． (2)∵log a ⎝⎛⎭⎫1－a x >1，∴0<1－ax <a . ∴1－a <ax <1，∵0<a <1，∴1－a >0，从而a <x <a1－a .∴x 的取值范围是⎝⎛⎭⎫a ，a1－a .1．对于函数y ＝log a f (x )(a >0且a ≠1)单调性的判断，首先应求满足f (x )>0的x 的范围，即函数的定义域．假设f (x )在定义域的子区间I 1上单调递增，在区间I 2上单调递减，则(1)当a >1时，原函数与内层函数f (x )的单调性相同，即在I 1上单调递增，在I 2上单调递减．(2)当0<a <1时，原函数与内层函数f (x )的单调性不同，即在I 1上单调递减，在I 2上单调递增．2．关于对数函数性质的几点应用：(1)y ＝log a x 中定义域(0，＋∞)――――――→可延伸为y ＝log a f (x )的定义域，需f (x )>0. (2)y ＝log a x 过定点(1,0)――――――→可延伸为y ＝log a f (x )过定点，只需f (x )＝1即可． (3)y ＝log a x 的单调性――――――→可延伸为 y ＝log a f (x )的单调性，利用y ＝log a u 和u ＝f (x )的单调性判断．(4)考查y ＝log a f (x )的奇偶性，定义域关于原点对称后利用函数奇偶性的定义来判定较容易．一、填空题1．(江苏高考)函数ƒ(x )＝log 5(2x ＋1)的单调增区间是________．解析：由题意知，函数ƒ(x )＝log 5(2x ＋1)的定义域为{x |x ＞－12}，所以该函数的单调增区间为(－12，＋∞)．答案：(－12，＋∞)2．函数y ＝3x 的反函数是________，y ＝log 12x 的反函数是________．解析：∵函数y ＝a x 与函数y ＝log a x 互为反函数，∴函数y ＝3x 的反函数是y ＝log 3x ，函数y ＝log 12x 的反函数是y ＝(12)x .答案：y ＝log 3x y ＝(12)x3．定义在R 上的偶函数f (x )在[0，＋∞)上单调递减，且f (12)＝0，则满足f (log 14x )<0的集合为________．解析：因为定义在R 上的偶函数f (x )在[0，＋∞)上单调递减，所以在(－∞，0]上单调递增．又f (12)＝0，所以f (－12)＝0，由f (log 14x )<0可得log 14x <－12或log 14x >12，解得x ∈(0，12)∪(2，＋∞)．答案：{x |0<x <12或x >2} 4．设a ＝0.32，b ＝20.3，c ＝log 25，d ＝log 20.3，则a ，b ，c ，d 的大小关系是__________(从小到大排列)．解析：∵a ＝0.32∈(0,1)．b ＝20.3∈(1,2)，c ＝log 25∈(2,3)，d ＝log 20.3∈(－1,0)，∴d <a <b <c . 答案：d <a <b <c5．已知f (x )是定义域为R 的奇函数，若当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝lg x ，则满足f (x )>0的x 的取值范围是________．解析：由奇函数图象的对称性，知函数f (x )的图象如图所示．由图象知满足f (x )>0的x 的取值范围是(－1,0)∪(1，＋∞)．答案：(－1,0)∪(1，＋∞)6．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|lg x |，0<x ≤10，－12x ＋6，x >10，若a ，b ，c 互不相等，且f (a )＝f (b )＝f (c )，则abc 的取值范围是________．解析：函数f (x )的图象如图∵f (a )＝f (b )，即|lg a |＝|lg b |.∴ab ＝1，又10<c <12∴abc ∈(10,12)．答案：(10,12)二、解答题7．解不等式：log a (3x －4)>log a (x －2)．解：原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧ log a (3x －4)>log a (x －2)，3x －4>0，x －2>0.(1)当a >1时，又等价于⎩⎪⎨⎪⎧ 3x －4>x －2，3x －4>0，x －2>0，解得x >2.(2)当0<a <1时，又等价于⎩⎪⎨⎪⎧ 3x －4<x －2，3x －4>0，x －2>0，不等式无解．综上可知：当a >1时，不等式的解集为(2，＋∞)；当0<a <1时，不等式无解．8．已知函数f (x )＝lg |x |.(1)判断函数f (x )的奇偶性；(2)画出函数f (x )的草图；(3)求函数f (x )的单调递减区间，并加以证明．解：(1)要使函数有意义，x 的取值需满足|x |>0，解得x ≠0，即函数的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，f (－x )＝lg |－x |＝lg |x |＝f (x )，∴f (－x )＝f (x )．∴函数f (x )是偶函数．(2)由于函数f (x )是偶函数，则其图象关于y 轴对称，如图所示．(3)由图得函数f (x )的单调递减区间是(－∞，0)．证明：设x 1、x 2∈(－∞，0)，且x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝lg |x 1|－lg |x 2|＝lg |x 1||x 2|.∵x 1、x 2∈(－∞，0)，且x 1<x 2，∴|x 1|>|x 2|>0.∴|x 1||x 2|>1.∴lg |x 1||x 2|>0.∴f (x 1)>f (x 2)．∴函数f (x )在(－∞，0)上是减函数，即函数的单调递减区间是(－∞，0)．9．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－(4a ＋1)x －8a ＋4，x <1，log a x ，x ≥1.(1)当a ＝12时，求函数f (x )的值域；(2)若函数f (x )是(－∞，＋∞)上的减函数，求实数a 的取值范围．解：(1)当a ＝12时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－3x ，x <1log 12x ，x ≥1，当x <1时，f (x )＝x 2－3x 是减函数，所以f (x )>f (1)＝－2，即x <1时，f (x )的值域是(－2，＋∞)．当x ≥1时，f (x )＝log 12x 是减函数， 所以f (x )≤f (1)＝0，即x ≥1时，f (x )的值域是(－∞，0]．于是函数f (x )的值域是(－∞，0]∪(－2，＋∞)＝R .(2)若函数f (x )是(－∞，＋∞)上的减函数，则下列①②③三个条件同时成立：①当x <1时，f (x )＝x 2－(4a ＋1)x －8a ＋4是减函数，于是4a ＋12≥1， 则a ≥14； ②当x ≥1时，f (x )＝log a x 是减函数，则0<a <1；③12－(4a ＋1)·1－8a ＋4≥0，则a ≤13. 于是实数a 的取值范围是[14，13]．。
第2课时 对数的运算性质学 习 目 标核 心素 养1.掌握对数的运算性质，并能运用运算性质进行对数的有关运算．(重点)2.了解换底公式.3.能用换底公式将一般对数化成自然对数或常用对数解题．(难点)通过学习本节内容，提升学生的数学运算和数学建模的数学核心素养.1．符号表示如果a ＞0，a ≠1，M ＞0，N ＞0，则 (1)log a (MN )＝log a M ＋log a N ； (2)log a M n＝n log a M (n ∈R )； (3)log a M N＝log a M －log a N . 2．文字表述(1)两正数的积的对数等于这两个正数的对数的和； (2)两正数的商的对数等于被除数的对数减去除数的对数； (3)一个正数的n 次幂的对数等于n 倍的该数的对数． 3．换底公式一般地，我们有log a N ＝log c Nlog c a ，(其中a >0，a ≠1，N >0，c >0，c ≠1)，这个公式称为对数的换底公式．4．与换底公式有关的几个结论(1)log a b ·log b a ＝1(a ，b >0且a ，b ≠1)； (2)log am b n ＝n mlog a b (a ，b >0且a ，b ≠1，m ≠0)．1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)积、商的对数可以直接化为对数的和、差． ( ) (2)log a x ·log a y ＝log a (x ＋y )． ( ) (3)log a (－2)4＝4log a (－2)． ( )『答案』 (1)× (2)× (3)×『提示』根据对数的运算性质，只有正数积、商的对数才可以直接化为对数的和、差，(1)错误，(2)错误，(3)中－2不能作真数．2．(1)log2 25－log2254＝________；(2)log2 8＝________.(1)2(2)3『(1)log2 25－log2254＝log225×425＝log2 4＝log2 22＝2log2 2＝2.(2)log2 8＝log2 23＝3log2 2＝3.』3．若lg 5＝a，lg 7＝b，用a，b表示log75＝________.ab『log75＝lg 5lg 7＝ab.』对数运算性质的应用(1)lg 2＋lg 5；(2)log535＋2log122－log5150－log514；(3)『(1－log63)2＋log62·log6 18』÷log6 4.思路点拨：根据对数的运算性质，先将式子转化为只含有一种或几种真数的形式再进行计算．『解』(1)lg 2＋lg 5＝lg (2×5)＝lg 10＝1.(2)原式＝log535×5014＋2log12212＝log5 53－1＝2.(3)原式＝『(log6 6－log6 3)2＋log62·log6(2·32)』÷log6 4＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫log6632＋log6 2(log6 2＋log6 32)÷log6 22＝『(log6 2)2＋(log6 2)2＋2log62·log6 3』÷2log6 2＝log6 2＋log6 3＝log6(2·3)＝1.1．对于同底的对数的化简要用的方法(1)“收”，将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数；(2)“拆”，将积(商)的对数拆成两对数的和(差)．2．注意对数的性质的应用，如log a 1＝0，log a a＝1，a log a N＝N.3．化简的式子中有多重对数符号时，应自内向外逐层化简求值．1．计算下列各式的值：(1)12lg 3249－43lg 8＋lg 245； (2)lg 25＋23lg 8＋lg 5×lg 20＋(lg 2)2；(3)2log 3 2－log 3 329＋log 3 8－5log 5 3.『解』 (1)法一：原式＝12(5lg 2－2lg 7)－43×32lg 2＋12(2lg 7＋lg 5)＝52lg 2－lg 7－2lg 2＋lg 7＋12lg 5 ＝12lg 2＋12lg 5＝12(lg 2＋lg 5) ＝12lg 10＝12. 法二：原式＝lg 427－lg 4＋lg 7 5＝lg 42×757×4＝lg (2·5)＝lg 10＝12.(2)原式＝2lg 5＋2lg 2＋lg 5(2lg 2＋lg 5)＋(lg 2)2＝2lg 10＋(lg 5＋lg 2)2＝2＋(lg 10)2＝2＋1＝3.(3)原式＝2log 3 2－(log 3 32－log 3 9)＋3log 3 2－3＝2log 3 2－5log 3 2＋2＋3log 3 2－3＝－1.『例2』 化简：(1)log 2(28×82)；(2)用lg 2和lg 3表示lg 24； (3)用log a x ，log a y ，log a z 表示log a (xy 2z －12)．思路点拨：将需表示式子中的真数用已知的式子中的真数表示出来． 『解』 (1)log 2(28×82)＝log 2『28×(23)2』＝log 2(28＋3×2)＝log 2 214＝14.(2)lg 24＝lg (3×8)＝lg 3＋lg 8＝lg 3＋3lg 2.(3)log a (xy 2z －12)＝log a x ＋log a y 2＋log a z －12＝log a x ＋2log a y －12log a z .这类问题一般有两种处理方法一种是将式中真数的积、商、方根运用对数的运算法则将它们化为对数的和、差、积、商，然后化简求值；另一种方法是将式中的对数的和、差、积、商运用对数的运算法则将它们化为真数的积、商、幂、方根，然后化简求值．要特别注意log a (MN )≠log a M ·log a N ，log a (M ±N )≠log a M ±log aN.2．化简：(1)log 2(45×82)；(2)log 1327－log 139；(3)用lg x ，lg y ，lg z 表示lgx 2y3z.『解』 (1)log 2(45×82)＝log 2 (210×26)＝log 2 216＝16log 2 2＝16×2＝32. (2)log 1327－log 139＝log 13279＝log 133＝－1.(3)lgx 2y3z＝lg x 2＋lg y －lg 3z ＝2lg x ＋12lg y －13lg z .换底公式及其应用『例3』 (1)已知3a ＝5b＝c ，且a ＋b＝2，则c 的值为________． (2)已知x ，y ，z 为正数，3x＝4y＝6z,2x ＝py . ①求p ；②证明：1z －1x ＝12y.思路点拨：用换底公式统一底数再求解．(1)15 『由3a ＝5b＝c ，得a ＝log 3c ，b ＝log 5c ，所以1a ＝log c 3，1b ＝log c 5.又1a ＋1b＝2，所以log c 3＋log c 5＝2，即log c 15＝2，c ＝15.』(2)『解』 ①设3x＝4y＝6z＝k (k ＞1)，则x ＝log 3k ，y ＝log 4k ，z ＝log 6k ，由2x ＝py ，得2log 3k ＝p log 4k ，解得p ＝2log 34＝4log 32.②证明：1z －1x ＝1log 6k －1log 3k＝log k 6－log k 3＝log k 2， 而12y ＝12log 4k ＝12log k 4＝log k 2. 故1z －1x ＝12y.1．换底公式即将底数不同的对数转化成底数相同的对数，从而进行化简、计算或证明．换底公式应用时，一般换成以10为底的常用对数，或以e 为底的自然对数，但也应该结合已知条件来确定．2．换底公式推导出的两个恒等式： (1)log am N n＝nmlog a N ；(2)log a b ·log b a ＝1，要注意熟练应用．3．计算：(log 2 125＋log 4 25＋log 8 5)(log 5 2＋log 25 4＋log 125 8)．对数运算在实际问题中的应用我国国民生产总值是2015年的2倍？(已知lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1，lg 1.08≈0.033 4，精确到1年)思路点拨：认真分析题意，找出其中各量之间的关系，列出式子，并利用对数运算求解． 『解』 设经过x 年，我国国民生产总值是2015年的2倍． 经过1年，总产值为a (1＋8%)， 经过2年，总产值为a (1＋8%)2， ……经过x 年，总产值为a (1＋8%)x. 由题意得a (1＋8%)x＝2a ，即1.08x ＝2， 两边取常用对数，得lg 1.08x＝lg 2， 则x ＝lg 2lg 1.08≈0.301 00.033 4≈9(年)．答：约经过9年，国民生产总值是2015年的2倍．解对数应用题的步骤4．2000年我国国内生产总值(GDP)为89 442亿元，如果我国的GDP 年均增长7.8%左右，按照这个增长速度，在2000年的基础上，经过多少年后，我国GDP 才能实现比2000年翻两番的目标？(lg 2≈0.301 0，lg 1.078≈0.032 6，结果保留整数)．『解』 假设经过x 年实现GDP 比2000年翻两番的目标，根据题意，得89 442×(1＋7.8%)x＝89 442×4，即1.078x＝4，故x ＝log 1.078 4＝lg 4lg 1.078≈18.5.答：约经过19年以后，我国GDP 才能实现比2000年翻两番的目标．含对数式的方程的解法1．对数的运算性质有哪些？『提示』 log a (MN )＝log a M ＋log a N ，log a M N ＝log a M －log a N ，log a b ＝log c blog c a，log a Mn＝n log a M ，log am b n＝nmlog a b .2．解对数方程log a M ＝log a N ，应注意什么？『提示』 ⎩⎪⎨⎪⎧M ＝N ，M >0，N >0.『例5』 已知lg x ＋lg y ＝2lg (x －2y )，求log 12⎝ ⎛⎭⎪⎫x y的值．思路点拨：根据对数的运算性质得到x ，y 的关系式，解方程即可． 『解』 lg x ＋lg y ＝lg (xy )＝2lg (x －2y )＝lg (x －2y )2， 由题知，xy ＝(x －2y )2，即x 2－5xy ＋4y 2＝0，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫x y 2－5⎝ ⎛⎭⎪⎫x y ＋4＝0， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫x y －1⎝ ⎛⎭⎪⎫x y －4＝0，故xy ＝1或4.又当x ＝y 时，x －2y ＝－y <0，故舍去，∴xy＝4. ∴log 12 xy ＝log 124＝－2.解含对数式的方程应注意两点 (1)对数的运算性质；(2)对数中底数和真数的范围限制．5．解方程：1．换底公式可完成不同底数的对数式之间的转化，可正用、逆用；使用的关键是恰当选择底数，换底的目的是利用对数的运算性质进行对数式的化简．2．运用对数的运算性质应注意：(1)在各对数有意义的前提下才能应用运算性质． (2)根据不同的问题选择公式的正用或逆用． (3)在运算过程中避免出现以下错误：①log a N n＝(log a N )n；②log a (MN )＝log a M ·log a N ；③log a M ±log a N ＝log a (M ±N )．1．如a >0，a ≠1，x >0，y >0，则下列式子正确的是( ) A ．log a x ＋log a y ＝log a (x ＋y ) B ．log a x －log a y ＝log a (x －y ) C ．log a xy＝log a x ÷log a y D ．log a (xy )＝log a x ＋log a yD 『由对数的运算性质知D 正确．』2．已知lg 2＝a ，lg 7＝b ，那么用a ，b 表示log 8 98＝________.a ＋2b 3a 『log 8 98＝lg 98lg 8＝2lg 7＋lg 23lg 2＝a ＋2b3a.』 3．已知2m ＝5n＝10，则1m ＋1n＝________.1 『因为m ＝log2 10，n ＝log 5 10，所以1m ＋1n＝lg 2＋lg 5＝lg 10＝1.』4．已知lg(x ＋2y )＋lg(x －y )＝lg 2＋lg x ＋lg y ，求x y的值．『解』 由已知条件得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y >0，x －y >0，x >0，y>0，(x ＋2y )(x －y )＝2xy ，即⎩⎪⎨⎪⎧x >y ，y >0，(x ＋2y )(x －y )＝2xy ，整理得⎩⎪⎨⎪⎧x >y ，y >0，(x －2y )(x ＋y )＝0，∴x －2y ＝0，∴xy＝2.。
