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6质点运动学

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质点运动学的总结和归纳

质点运动学的总结和归纳

质点运动学的总结和归纳质点运动学是物理学中研究质点在空间中运动规律和性质的学科。

通过对质点在直线运动和曲线运动中的速度、加速度等物理量进行分析，可以揭示质点运动的规律和特性。

本文将对质点运动学的相关概念、公式和应用进行总结和归纳，以帮助读者更好地理解质点运动学的基本原理。

一、质点运动学的基本概念质点是指物体在运动过程中无视其自身大小和形状，只考虑其位置坐标和质量的理想化模型。

在质点运动学中，我们假设质点可以沿直线或曲线轨迹运动，通过对质点位置、速度和加速度等物理量的描述，来分析质点的运动规律。

二、质点直线运动质点在直线上的运动可以以时间为自变量，通过位移、速度和加速度等物理量来进行描述。

其中，位移表示质点从初始位置到最终位置的位移量，速度是质点在单位时间内位移的变化率，而加速度则是速度在单位时间内的变化率。

质点直线运动的关键公式有以下几个：1. 位移公式：s = s0 + vt，其中s表示位移，s0表示初始位置，v表示速度，t表示时间；2. 平均速度公式：v = Δs/Δt，其中Δs表示位移变化量，Δt表示时间变化量；3. 瞬时速度公式：v = ds/dt，其中ds表示极小位移，dt表示极小时间间隔；4. 加速度公式：a = Δv/Δt = dv/dt，其中Δv表示速度变化量，dv表示极小速度变化量。

三、质点曲线运动质点在曲线上的运动相对复杂，需要通过坐标系和向量运算进行描述。

常见的曲线运动包括匀速圆周运动和抛体运动。

1. 匀速圆周运动：质点在同心圆轨道上以恒定的速度做圆周运动。

此时，我们需要通过极坐标系来描述质点的位置，以及角速度、角加速度等物理量。

2. 抛体运动：质点在重力作用下以抛体轨迹运动，实际上是由于自由落体运动和水平匀速运动的合成。

此时，我们需要通过平面直角坐标系来描述质点的运动，并使用矢量分解和运动学公式进行计算。

四、应用举例质点运动学在日常生活和科学研究中有着广泛的应用。

以下是几个常见的应用举例：1. 射击运动：通过研究质点在飞行过程中的速度和角度等参数，可以计算出射击运动的弹道和飞行轨迹，实现精确的打靶。

质点运动学

质点运动学
r x 2 y 2 z 2
rB
y
方向: A B
注: (1) 位移是矢量，满足平行四边形则； (2) 位移与实际经过路径不同； x (3) 矢量问题，标量解决 即：t 时刻位于A点，位矢 rA 三维分解 一维 “+”、“-”表示 t +t 时刻位于B点，位矢 r B (4) 位移具有矢量性、相对性。 在t 时间内，位矢的变化量称为位移。
s v t
B
3.加速度(acceleration) ----描述质点速度的变化快 慢 1) 平均加速度(mean acceleration)
z
v1
r rA rB
v2
O
O
y
s ds v 瞬时速率： lim dt t 0 t
y
x
注意:速率是标量 讨论： 一般情况：
103 102 101 100 出现古人类 10-1 10-2 10-3 人类文明史 10-4 古树的年龄 10-5 人类的寿命 10-6 -7 地球公转周期(年) 10 10-8 月球周期(月) 10-9 10-10
10-11 10-12 中子的寿命 10-13 10-14 百米赛跑世界纪录 -15 10 钟摆的周期 10-16 10-17 市电的周期 10-18 -19 超快速摄影曝光时间 10 10-20 子的寿命 10-21 10-22 -23 10 介子的寿命 10-24 10-25
大小： r x 2 y 2 z 2 r x y
方向： cos
2 2
r r 2 cos cos cos 1
cos
cos
z r
特性：矢量性、瞬时性、相对性
2015/11/4

大学物理质点运动学(老师课件)

大学物理质点运动学(老师课件)
如图，一般情况下 r r
r
rB
r
r r
讨论2：
s AB
比较位移和路程
A
s
B
t 时间内质点运动路径的长度 路程：
r
r AB
位移：是矢量，表示质点位置变化的净效果，与质点 运动轨迹无关，只与始末点有关。 路程：是标量，是质点通过的实际路径的长，与质点 运动轨迹有关。 例如质点运动一周，位 r s 移为零，路程为周长。 r s
v v(t + t ) v(t) a t t
方向： v 的方向
2、(瞬时) 加速度
2 v d d r 2 a lim t 0 t dt dt
加速度等于速度对时间的一阶导数。 方向：v 的极限方向, 指向曲线凹的一侧 一般 a 与 v 方向不同。
质点
没有大小和形状，只具有物体全部质量 的一点。 物理学中有很多抽象模型：
理想化的 物理模型
质点、刚体、理想气体、点电荷、…
把物体当作质点是有条件的、相对的：当物体的大
小和形状对运动没有影响或影响可以忽略。
研究地球
r
S
R 10 m s E 6
8
r 10 m Rs , RE << r
11
RE 10 m
vA
B'
B
A
速度的方向： 质点所在处轨迹的切线指向前进的方向。
e.g. 设
2 r (t ) i t j t k ( SI )
j 2 tk
t 1 t 1
dr dt
j 2k m / s
则t=1s 末的速度
一维情形，设x=6t–t2(SI),则在t=4s末的速度：

第一章_质点运动学

第一章_质点运动学
v
dv − 1 ) t dt , ( − 1 .0 s − 1 ) t = (−1.0s ∫0 v = v0e ∫v0 v
dy ( −1.0 s −1 ) t v= = v0 e dt
dv a= = ( − 1.0s −1 ) v dt
o
v0
∫0 d y = v 0 ∫0 e
y t
(-1.0s ) t
（2） 运动方程 ）
x ( t ) = (1m ⋅ s ) t + 2m
y (t ) = ( 1 m ⋅ s −2 )t 2 + 2 m 4
1 -1 2 y = ( m ) x − x + 3m 4
y/m
6
−1
由运动方程消去参数 t 可得轨迹方程为
轨迹图
t = − 4s
t = 4s
t = − 2s 4
位移的物理意义 A) 确切反映物体在空间位置的变化 与路径无关， 确切反映物体在空间位置的变化, 与路径无关， 只决定于质点的始末位置. 只决定于质点的始末位置 B）反映了运动的矢量性和叠加性 ）反映了运动的矢量性和叠加性. 了运动的矢量性和叠加性
第一章
质点运动学
∆ r = ∆ xi + ∆ yj + ∆ zk
z
2
r
r= r = x +y +z
第一章
质点运动学
位矢
r 的方向余弦
cos α = x r cos β = y r cos γ = z r
y
β
P
r
P
α , β , γ 分别是
r
o
和Ox轴， Ox轴
z
γ
α
x
Oy轴和Oz轴之间的夹角。 Oy轴和Oz轴之间的夹角。 轴和Oz轴之间的夹角

质点运动学

质点运动学

例1-1 已知质点在xy平面内运动，其运动方程是 x R cost ,y R sin t 。 式中R、 均为正常数。求(1)质点的轨迹方程；(2)质点在任意时刻的位矢、 速度和加速度；(3)质点在 t1 0 到 t2 3 2 时间内的位移。
解：(1) 由运动方程消去时间参量，可得质点轨迹方程
O
y
x
s
p2
p1
r
r1 r2
| r | p1p2 | r2 r1 |
s : 路程即弧线 p1p 2
路程s是标量
| r |
|r| || r2| |r1| |
图中 s | r | |r|
平均速度
平均速率
r v t
v2
2 ac tan
vy vx
(3)求加速度 a
3 y


2 1 a a
dv d a (2 i 2t j ) 2 j dt dt

a
2

-1
-2 -3
a
4

x
沿y轴负方向 矢量有两个重要特征： 大小 方向
a a
例1-2 汽车在半径 R 300.0m 的轨道上加速运动，其路程与时间的关系是 s 5.0t 2 0.1t 3 m ，求时 t 1.0s ，汽车的加速度大小。
(
v x i v y j vz k
dt

dt
( xi yj zk )
dt
i
dt
j
dt
k
r (t )
O
v
v | v |
2 2 2 vx v y vz

质点运动的基本概念与运动学公式

质点运动的基本概念与运动学公式

质点运动的基本概念与运动学公式在物理学中，质点是指质量可忽略不计，仅具有位置和速度等运动属性的物体。

质点运动是运动学的一个基本概念，运动学是研究物体运动规律的学科。

本文将探讨质点运动的基本概念以及相关的运动学公式。

1. 位置、位移和路径位置是指物体在空间中的具体位置，通常可以用一个坐标系来表示。

位移是指物体从初位置到末位置的变化量，用Δx表示。

路径是物体在运动过程中所经过的轨迹。

2. 速度和速度公式速度是指物体在单位时间内所经过的位移，用v表示。

速度的大小可以通过位移除以时间来计算，即v=Δx/Δt。

当时间趋近于无穷小的时候，即Δt趋近于0，可以得到瞬时速度的定义：v=dx/dt，其中dx表示无穷小的位移变化，dt表示无穷小的时间变化。

3. 加速度和加速度公式加速度是指物体的速度变化率，用a表示。

加速度的大小可以通过速度除以时间来计算，即a=Δv/Δt。

当时间趋近于无穷小的时候，即Δt 趋近于0，可以得到瞬时加速度的定义：a=dv/dt，其中dv表示无穷小的速度变化，dt表示无穷小的时间变化。

4. 运动学公式根据速度和加速度的定义，我们可以得到一些与质点运动相关的运动学公式。

以下是一些常见的运动学公式：- 位移公式：Δx = v0t + (1/2)at^2- 速度公式：v = v0 + at- 加速度公式：v^2 = v0^2 + 2aΔx这些公式可以通过代入已知的初始条件，如初速度v0、时间t、位移Δx等来求解物体在运动过程中的运动参数。

5. 简谐振动简谐振动是质点运动中的一种特殊形式，它具有以下特点：- 振动的周期是恒定的，表示为T；- 振动的频率是周期的倒数，表示为f=1/T；- 振动的位移随时间的变化呈正弦或余弦函数。

对于简谐振动，还有一些与振动特性相关的公式：- 谐振频率公式：f = (1/2π) √(k/m)，其中k表示弹性系数，m表示质量；- 谐振周期公式：T = 1/f；- 谐振角频率公式：ω = 2πf。

质点运动学

第一章质点运动学一、思考题1．回答下列问题：（1）一物体具有加速度而其速度为零，是否可能？（2）一物体具有恒定的速率但仍有变化的速度，是否可能？（3）一物体具有恒定的速度但仍有变化的速率，是否可能？（4）一物体具有沿X轴正方向的加速度而有沿X轴负方向的速度，是否可能？（5）一物体的加速度大小恒定而其速度的方向改变，是否可能？答：（1）一物体具有加速度而其速度为零，是可能的。

如：上抛运动达最高点。

（2）一物体具有恒定的速率但仍有变化的速度，是可能的。

如：匀速圆周运动。

（3）一物体具有恒定的速度但仍有变化的速率，是不可能的。

因为速度恒定，以为着速度的大小和方向都保持不变，所以速率不可能有变化。

（4）一物体具有沿X轴正方向的加速度而有沿X轴负方向的速度，是可能的。

如：一物体沿X轴负方向作减速直线运动时，其加速度的方向沿X轴正方向。

（5）一物体的加速度大小恒定而其速度的方向改变，是可能的。

如：物体作抛体运动时。

2．回答下列问题：（1）位移和路程有何区别？在什么情况下两者的量值相等？在什么情况下并不相等？（2）平均速度和平均速率有何区别？在什么情况下两者的量值相等？瞬时速度和平均速度的关系和区别是怎样的？瞬时速率和平均速率的关系和区别又是怎样的？答：（1）位移是描写质点位置变化的物理量，是矢量。

路程是质点在运动中所经历的路径，是标量。

它们的量值只有在单向直线运动时或t∆趋于零时才相等。

除此之外，都不相等。

（2）平均速度是位移与时间间隔的比值，是矢量。

平均速率是路程与时间间隔的比值，是标量。

两者只有在单向直线运动的情况下量值相等。

瞬时速度是平均速度当t∆趋于零时的极限值，它们的区别在于描写质点位置变化的快慢程度及方向的变化的精确度不同。

瞬时速率时平均速率当t∆趋于零时的极限值，它们的区别在于描写质点位置变化的快慢程度的精确度不同。

3．回答下列问题：（1）有人说：“运动物体的加速度越大，物体的速度也越大”，你认为对不对？（2）有人说：“物体在直线上运动前进时，如果物体向前的加速度减小了，物体前进的速度也就减小”，你认为对不对？（3）有人说：“物体加速度值很大，而物体速度值可以不变，是不可能的”,你认为如何？ 答：（1）错误的。

质点的运动学问题及公式

质点的运动学问题及公式质点运动学是经典物理学中的一个重要分支，主要研究质点在空间中的运动规律。

本文将介绍质点的运动学问题，包括描述质点运动的基本概念和涉及的公式。

一、质点的基本概念质点是物理学中一个理想化的概念，假设物体维度非常小而质量无穷大。

质点没有大小和形状，只有质量和位置。

质点的运动学问题可以用一系列的物理量来描述。

1. 位移（Displacement）位移是研究物体位置变化的基本概念，用Δx表示。

如果质点从初始位置A移动到位置B，那么位移Δx可以表示为：Δx = xB - xA其中，xA和xB分别表示初始位置和终点位置的坐标。

2. 速度（Velocity）速度是描述物体移动快慢和方向的物理量，用v表示。

平均速度可以表示为：v = Δx / Δt其中，Δt表示时间间隔。

如果考虑时间间隔Δt趋向于0的情况，即瞬时速度：v = lim(Δt→0) Δx / Δt = dx / dt其中，dx表示位移的微元，dt表示时间的微元。

3. 加速度（Acceleration）加速度是描述物体速度变化快慢和方向的物理量，用a表示。

平均加速度可以表示为：a = Δv / Δt其中，Δv表示速度变化量，Δt表示时间间隔。

在问题求解中，如果考虑时间间隔Δt趋向于0的情况，即瞬时加速度：a = lim(Δt→0) Δv / Δt = dv / dt其中，dv表示速度的微元，dt表示时间的微元。

二、质点运动的基本公式在质点运动学中，一些常用的公式可以帮助我们解决运动分析问题。

下面列举几个常见的公式。

1. 速度与位移的关系根据速度的定义，可以得到速度与位移之间的关系：v = dx / dt对上式两边同时积分，得到位移与时间的关系：Δx = ∫v dt2. 加速度与速度的关系根据加速度的定义，可以得到加速度与速度之间的关系：a = dv / dt对上式两边同时积分，得到速度与时间的关系：Δv = ∫a dt3. 位移与加速度的关系将速度与位移的关系和加速度与速度的关系相结合，可以得到位移与加速度之间的关系：v dv = a dx对上式两边同时积分，得到位移与时间的关系：Δx = ∫v dv / a通过上述的公式，我们可以在给定位移、速度或加速度的条件下，推导出与时间相关的运动规律。

力学中的质点运动学

力学中的质点运动学力学是研究物体运动的科学，其中质点运动学是力学中的重要分支之一。

质点运动学主要研究质点在空间中发生的运动，探索了质点运动的规律和特性。

通过深入理解质点运动学，我们可以更好地理解和描述物体在空间中的运动情况。

一、质点的定义和描述1.1 质点的概念在力学中，将没有大小和形状的物体称为质点。

由于没有具体尺寸，故忽略了它们所占据的体积。

1.2 质点的位置表示质点在坐标系中位置的表示通常采用直角坐标系或极坐标系来进行描述。

直角坐标系使用x、y、z轴分别表示空间中三个方向上的位移；而极坐标系则通过径向距离r和极角θ来描述位置。

二、位移与速度2.1 位移与平均速度质点从初始位置到最终位置所经过的路径称为路径s，而两个位置之间的位移Δs等于最终位置减去初始位置。

平均速度V_avg等于位移Δs除以经过时间Δt，即V_avg=Δs/Δt。

2.2 瞬时速度瞬时速度V是指在某一瞬间的瞬时位移对应的速度。

当时间趋于无穷小（即Δt→0）时，质点的平均速度趋近于瞬时速度，即V_avg→V。

三、加速度和运动图像3.1 加速度加速度a定义为单位时间内质点速度的变化率。

当质点在匀加速运动下，由初始速度v₀和加速度a所决定的位移s与时间t之间满足s=v₀·t+1/2·a·t²。

3.2 运动图像运动图像是描述物体运动过程中位置随时间变化情况的一种方法。

根据不同类型的质点运动学模式，可以绘制出直线运动、曲线运动等不同形式的运动图像。

四、匀变速直线运动4.1 定义与表达式匀变速直线运动是指物体在直线上以恒定加速度a进行运动的情况。

其位移与时间之间存在着关系s=v₀·t+1/2·a·t²。

4.2 特殊情况：匀速直线运动与匀减速直线运动当加速度a为0时，质点在直线上做匀速直线运动；当加速度a小于0时，质点在直线上做匀减速直线运动。

五、曲线运动5.1 圆周运动圆周运动是指质点沿着一条固定半径的圆形路径进行的运动。

质点运动学


三、自然坐标系 切向加速度和 法向加速度
z
用自然坐标表示时：
S S(t )
s
n
法向单位矢量 n 切向单位矢量
0 y x 自然坐标系
圆周运动是曲线运动的一个重要特例，一般圆周 运动中质点的速度大小和方向都在改变，普遍采用 自然坐标系。
圆周运动的速度和加速度
t 时刻
同的。
当 t 0 v 的极限方向即 d v 的方向。
dv a dt
dv 问题： a dt
前一例：一个质点作匀速率圆周运动，圆周半径为 R， 角速度为 ，试用直角坐标表示的质点的速度和加 速度。 解：
r xi yj R cost i R si nt j dr d v x ( t ) i y( t ) j z ( t ) k 注意：矢量 dt dt
d v 2 td t
对两边积分：
d v 2t dt
2 x 0
v 0
t 0
;
t 2 0
dx 2 v t dt
(1)
dx t dt ; dx t dt
1 3 x t 3
( 2)
dx 2 v t dt
(1)
1 3 x t 3
( 2)
把t =2 s 分别代入(1)、(2)得：


dt 2 r
求导！ R sint i R cost j dv 2 2 a R cos t i R sint j
例：一质点运动轨迹为抛物线
x t 2 y t 2t
4 2
2 y x 2x ===>
(z=0)
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v
dr
dx
i
dh
j
dt dt dt
dx dt
i
v
xi
u
h r
qC C'
Dx
O
x
h
r
q x
y
任意时刻小船到岸边的距离x 都满足
x r2 h2
vx
dx dt
d dt
r2 h2
r dr r 2 h2 dt
按题意 u 是dr人收绳的速率，因为绳长r 随时间在缩短，故 dt
dr 0 dt
思考
• 1.（1）匀加速运动是否一定是直线运动？ （2）匀速圆周运动是不是匀加速运动？
• 2.质点做匀加速圆周运动时，分析切向加速 度、法向加速度和总加速度的大小、方向 变化情况。
• 1-3 • 1-5
清|Δ r|与Δr，|Δ |与vΔv。
2.运动学的第二类问题，用积分法。
已知 a a(t) 或 a a(x) 或 a a(v)
及初始条件用积分的方法求出速度和运动方程。
无阻力抛体运动 从地面上某点向空中抛出一物体，它在空中的运动称为
抛体运动。抛体运动是一种平面曲线运动。以抛出点为原点 ，取水平方向为x轴，竖直方向y轴。
即
a
axi
u2h2 x3
i
(船的加速度方向沿x 轴负向)
例 路灯距地面高度h，身高为l 的人以速度v0 在路上匀速行走。 求 人影头部的移动速度。
解 设v为人影头部的移动速度
v dx2
h
dt
由几何关系 x2 x1 x2
lh
o
(h l)x2 hx1
l x1
x2 x
两边求导 (h l) dx2 h dx1 dt dt v hv0 hl
t t
v
P
r
x x'
因此r， 满r足经R典时 空r 观v的t 条件时
t t
y
y'
P点在K系和K'系的空间坐标、
时间坐标的对应关系为：
x x vt
y y z z
r o o'
R
t t
z
z'
伽利略坐标变换式
v
P
r
x x'
vKv2、K. 速vKdd度rt分变别换表d(示rd质t点vrt在) 两rv个K坐R标v 系 中r 的v速t 度 即 vK vK v
dx1 dt
v0
2. 第二类问题
已质知点质的点位运置动r0的和速速度度或v0加）速，度求，质并点附的以运初动始方条程件。（—即—t积=0分时法，
dv adt
v
v0
dv
t adt
t0
dr vdt
r r0
dr
t vdt
t0
注意：矢量积分在具体运算时要化为标量积分。
例 一质点作直线运动，已知其加速度
)tg
45
v
45
15 10 5(m / s)
10m•s-1 15m•s-1 x(东)
O
风速的大小：
v 102 52 11.2(m / s)
风速的方向：
arctg 5 2634
10
为东偏北2634'
知识点
• 质点运动学（速度、加速度、位移、路程 概念分析、圆周运动）；
• 伽利略变换 • 质点的相对运动
§1.5 质点运动学的基本问题
主要内容：
1. 运动学第一类问题 2. 运动学第二类问题
1. 第一类问题
已知质点的运动方程，求质点在任意时刻的位置，速 度和加速度。——微分法
r rt
v dr dt
a
dv dt
d 2 r dt 2
只要知道运动方程，就可以确定质点在任意时刻的位置、 速度和加速度。
a 2 2t(m s2 )
初始条件为x0=0, v0=0
求 (1) 质点在第一秒末的速度;(2)运动方程；(3)质点在前三秒内 运动的路程。
解 (1) 求质点在任意时刻的速度
由 分离变量
a dv 2 2t dt
dv (2 2t) d t
v
t
两边积分 0 dv 0 (2 2t) d t
质点在任意时刻的速度 v 2t t2
t =1s 时的速度
v1 1m s1
(2)由质点的速度求运动方程
v d x 2t t 2 dt
分离变量
d x (2t t2 )dt
v 2t t 2
两边积分
x
dx
t (2t t 2 )d t
0
0
质点的运动方程
x t 2 1t3（m） 3
则有
vx
r u r2 h2
x2 h2 u x
v
x2 h2 ui
x
（船速方向沿x 轴负向）
船靠岸的速率为 船的加速度为
v v
u x
u u cos θ
x2 h2
a
dv
dv
x
i
dt dt
ax
dv x dt
d dt
(
x2 h2 u) u
x
x2
h2 dx x2 h2 dt
u2h2 x3
vK vK v 伽利略速度变换
在直角坐标系中写成分量形式
vK x vK x v vK y vK y vK z vK z
vAK vAK vKK
绝对 速度
相对 速度
牵连 速度
3. 加速度变换
设K‘系相对于K系作匀加速直线运动,加速度 a0
沿x方向。
t 0,v v0
K'系 相对 于K系的速度
解
a dv 3 4x
dt
v，t，x 均为变量，作恒等变换
a dv dv dx v dv dt dx dt dx
a v dv 3 4x dx
分离变量 两边积分 质点速度
vdv (3 4x)dx
v
x
0 vdv 0 (3 4x) d x
v 6x 4x2 m s-1
1v2 3x 2x2 2
y(北)
解：取风为研究对象，
v
骑车人和地面作为两
45
个相对运动的参考系。
作图
O
10m•s-1 15m•s-1 x(东)
根据速度变换公式得到：
v
vAK
v1 AK
v1 KK
v
vAK
v
2
AK
v
2
KK
由图中的几何关系，知：
vx
v1 KK
10(m /
s)
y(北)
vy
(vK2 K
v1 KK
任意时刻速度分量为
y
v x v0 cosq v y v0 sinq gt v0y
积分可得运动方程
v v0
g
θ
x v0 cosq t
y
v0
sinq
t
1 2
gt
2
o
v0 x
x
消去t 得轨迹方程
y
x t anq
2v 0 2
g
cos2 q
x2
由y =0得射程
xm
v02
sin g
2q
由υy=0有 得射高
在t=0时刻坐标原点重
合，对于一个质点A，在
任意时刻两个坐标系中的
质点对应的位置矢量：
z
r
o
o'
z'
P
r
x x'
K'系原点相对K系原点的位矢：
R
r
r
R
y
y'
成立的条件:绝对时空观！
空间绝对性:空间两点距离的
测量与坐标系无关。
OP r
时间绝对性:时间的测量
与坐标系无关。
z
r o o'
R
z'
v v0 a0t
vK vK v
d vK d vK d v dt dt dt
当aKa0
aK a0 0时,
aK
aK
表明质点的加速度相对于作匀速运动的各个参考系不变。
例1：某人骑摩托车向东前进，其速率为10m•s-1时觉
得有南风，当其速率为15m•s-1时，又觉得有东南风，
试求风速度。
dt
4π2 (a cos 2πti bsin 2πtj )
4π2r
加速度矢量 a与位矢 方r 向相反，说明加速度恒指向椭圆中
心。
例 在离水面高为h 的岸边，有人用绳子拉小船靠岸，人以不变 的速率u 收绳。
求 当船在离岸距离为x时的速度和加速度。
解 任意时刻船的位矢
r
xi
hj
设船靠岸的速度为 v
例 一石子从空中由静止下落。已知 a g ，Bv
式中g为重力加速度，B为常量。
求 石子的速度和运动方程。
解 选向下为x轴正向
（1）a dv g Bv dt
分离变量并两边积分
v
dv
t
dt
0 g - Bv 0
（2）由 v d求x 运动方程 dt
v g (1 eBt ) B
x
t
0 dx 0vdt
从运动方程中消去时间参数t，还可得质点运动的轨迹方程。
例
已知一质点的运动方程为：r
a
cos
2πti
b sin
2πtj
式中a, b均为正常数。
求 质点的加速度。
证 本题属于运动学第一类问题:
v
d
r
2πa
sin
2πti
2πb
cos
2πtj
dt
a
dv
4π2a