第8章 质点系动力学：矢量方法习题解答080814

第八章 质点系动力学：矢量方法 习题解答8-1 一个质量为5 kg 弹头M 以水平速度v = 60 m/s 飞行，在D 处爆炸成位于同一水平面内如图示速度方向的两块碎片A 和B 。

已知碎片A 的速度大小v A = 90 m/s 。

试求：(1) 碎片A 的质量m A ；(2) 碎片B 的速度大小v B 。

解：取弹头M 为研究对象，弹头爆炸前后动量守恒 () 30cos B A v m M Mv -= () 30sin 0B A A A v m M v m --=解得M v vm A A 33=，AA B v v vv v 32--=， 代入数据得：kg 92.1=A m ，m/s 64.112=B v .8-2 一个质量为m 1的人手里拿着质量为m 2的物体，以仰角θ，速度v 0向前跳起。

当他到达最高点时将物体以相对速度u 水平地向后抛出。

如果不计空气阻力，问由于物体的抛出，跳远距离增加了多少？解：取m 1和m 2物体系统为研究对象，人跳至最高点时只有水平速度 ϑc o s 01v v =，所费时间 gv t ϑsin 0=。

抛物前后系统水平动量守恒，即 ()()u v m v m v m m -+=+1211021c o s ϑ，式中1v 为抛物后人的速度。

解得21201c o s m m um v v ++=ϑ，可见，人的速度增量为2121Δm m um v +=，从而跳远距离增加()gm m uv m v t s 21021sin ΔΔ+==ϑ.8-3质量为m 1的平台AB 放在水平面上，平台与水平面间的滑动摩擦因数为f 。

质量为m 2的小车D 由绞车拖动，相对平台的运动规律为221bt s =，其中b 为已知常数。

不计绞车质量，求平台的加速度。

解：1）设平台与水平面间的滑动摩擦因数比较小，当小车D 相对平台运动时，平台AB 的有速度1v （向左），小车D 的相对速度bt s v == r ，（向右），小车D 的绝对速度bt v v v v +-=+-=1r e a ，（向右）， 滑动摩擦力为 N fF F =题8-3图题8-3受力图题8-1图由动量定理，()[]F v bt m v m t=-+-1211d d()021=++-N F g m m解得()212121m m g m m f b m a ++-=， ()g m m bm f 212+≤.当()gm m bm f 212+>时，01=a .8-4 质量为m 1的矩形板可在如图所示的光滑水平面上运动。

质点动力学习题参考答案一、选择题1B; 2(1)D,(2)C; 3C; 4B; 5A; 6C; 7B; 8A; 9C; 二．填空题 1、s g μ/参考解：当ma N f mg s s μμ===时不致掉下，则s g a μ/=. 2、R g /；3、 0.2F ；4、220d d )1(t x m kt F =-，)21(200kt t m F -+υ，)6121(3200kt t m F t -+υ；5.、5 m/s ；6、J 12；7、 0，18J ，17J ，7J ；8、882J ； 三．计算题 1. 解：解法一设船和人相对于岸的速度分别为V 和υ，船和人相对于岸移动的距离分别为x 和y 。

由动量守恒定律 0=+υm MV 上式对时间积分0d d 0=+⎰⎰ttt m t MV υ得 0=+my Mx （1） 由题意可知 L y x =- （2）式中 L 为船头到船尾的长度。

由（1）、（2）解得()m L m M m x 2.16.35010050=⨯+=+=解法二人走动过程中，人和船的质心位置不变。

m M my Mx m M my Mx ++=++11000)()(0101=-+-y y m x x M0)(=-+d l m Md()m l m M m d 2.16.35010050=⨯+=+=2. 解：设小球和圆弧形槽的速度分别为1υ和2υ(1)由动量守恒定律 021=+υυM m 由机械能守恒定律 mgR M m =+22212121υυ 由上面两式解得()MM m gRMM m MgR+=+=221υ()MM m gRm+-=22υ(2)小球相对槽的速度为()MM m gRm M +-=-=2)(21υυυ竖直方向应用牛顿运动第二定律Rmmg N 2υ=-()Mgm mg M M m mg m M mg R m mg N N 222232)(+=+-+=+=='υ3. 解：人受力如图(1) 图2分 a m g m N T 112=-+ 1分 底板受力如图(2) 图2分 a m g m N T T 2221=-'-+ 2分212T T = 1分N N ='由以上四式可解得 a m m g m g m T )(421212+=--∴ 5.2474/))((212=++=a g m m T N 1分5.412)(21=-+=='T a g m N N N 1分4. 解：小石子落下h 后的速度为 s m gh /8.92==υ小石子入盒前后应用动量定理p t F d d =⋅，tN m t p F d d d d υ==式中N d 为t d 时间内入盒的石子数 因n tN=d d ，所以()N m n F 6.198.902.0100=⨯⨯=⋅=υ图(1)a ϖ图(2)ϖ gm 1t 秒时盒内的石子质量为m t n M ⋅⋅= t 秒时秤的读数为)(6.2156.198.91002.0100N F g m t n F Mg Q =+⨯⨯⨯=+⋅⋅⋅=+=5. 解：第一阶段：子弹射入到相对静止于物块A 。

第一章质点运动学 1下列物理量是标量的为（2. 下列物理量中是矢量的有、位矢、位移、速度、加速度 等概念1. 一质点作定向直线运动，，下列说法中，正确的是A. 质点位置矢量的方向一定恒定，位移方向一定恒定B. 质点位置矢量的方向不一定恒定，位移方向一定恒定C. 质点位置矢量的方向一定恒定，位移方向不一定恒定D. 质点位置矢量的方向不一定恒定，位移方向不一定恒定 2•质点的运动方程是r = Rcos ti Rsin"j , R ，「为正的常数，从t =汀、定相对于参考点静止:也=0 B . dt並=0D . dt5.质点作曲线运动，某时刻的位置矢量为r ,速度为v ,则瞬时速度的大小是 （），切向加速度的大小是（），总加速度大小是（）dr drdr dv|dv|dv A. dtB. IdtlC. dtD. dtE 」dtlF. dtA .速度B .加速度C .位移D •路程A .内能 B.动量C .动能D .功答案：1.D2.Bt =2- / ■时间内, 该质点的位移是A .-2RjB . 2RiC .-2j3.一质点以半径为 R 作匀速圆周运动，以圆心为坐标原点，质点运动半个周期内 ,其位移大小，其位矢大小的增量 汀=4.质点在平面内运动，矢径W （t ），速度 v =V （t ） ，试指出下列四种情况中哪种质点一空=0A. dt史=0C . dt空=06.在平面上运动的物体，若 dt，则物体的速度一定等于零。

只有(2)、(4)是正确的.12. 已知一质点在运动，则下列各式中表示质点作匀速率曲线运动的是(的是(13. 质点作直线运动的条件是:7. 一质点在平面上作一般曲线运动，其瞬时速度为 v ,瞬时速率为v ,某一段时间内的平均速度为v ，平均速率为V ,它们之间的关系应该是: A . V= v H v C. JvNvIV =v M =v&平均速度的大小等于平均速率。

9. 质点沿半径为 R 的圆周作匀速率运动，每t 时间转一周，在2t 时间间隔中，其平均速度大小 与平均速率大小分别为 A . 2 二R/t, 2 二R/t. B. 0, 2 二R/t.C.0, 0.D.2 二R/t, 0.10•质点作曲线运动,r 表示位置矢量， s 表示路程,at 表示切向加速度,下列表达式中,正确的是 (1) dv/dt=a ;(2) dr/dt=v ;(3) ds/dt=v ;(4) l dv/dt=at.A. 只有(1)、(4)是正确的.C . 只有(2)是正确的.只有(3)是正确的11. 质点作半径为R 的变速圆周运动时的加速度大小为(v 为任一时刻速率)dvA. dt dv v 2c. dT 云D .O 2(R4 V_、r1/2 2)]，表示作匀速直线运动的是(，表示作变速直线运动的是()，表示作变速曲线运动Aat=0,a n =0B a^0,a^0 ； Ca t ^0,a n =0 ；D. a t =0,a n 式0C.质点作曲线运动的条件是:二.关于速度和加速度的关系： 1.下列说法中正确的是（ ）A .加速度恒定不变时，质点运动方向也不变B .平均速率等于平均速度的大小C .当物体的速度为零时，其加速度必为零D .质点作曲线运动时，质点速度大小的变化产生切向加速度，速度方向的变化产生法向加 速度2. —物体具有加速度，但速度可能为零.3.运动物体加速度越大， 物体的速度也越大.（ ）4. 物体在直线上运动前进时，如果物体向前的加速度减小，物体前进的速度也就减小了. 5•物体加速度的值很大， 而物体速度可以不变.（ ） 6•物体在运动时，加速度的方向不变而速度方向变化的情况可能发生。

第10章质点系动⼒学：能量⽅法习题解答080814第⼗章质点系动⼒学：能量⽅法⼀、动能和动能定理1 动能质点系的动能 ∑=?=ni i i i m T 121v v ，其中n 为系统中的质点数⽬，可以是有限或⽆穷，m i 和v i 分别为各质点的质量和速度。

平移刚体的动能 221mv T =，其中m 为平移刚体的质量。

定轴转动刚体的动能 221ωz J T =，其中J z 为定轴转动刚体关于定轴的转动惯量。

平⾯运动刚体的动能221ωP J T =，或 222121ωC C J mv T +=其中ω为刚体的⾓速度。

C v 为平⾯运动刚体质⼼C 的速度，C J 为对质⼼得转动惯量2 动能定理动能定理的微分形式：在质点系运动过程中的任意时刻或任意位形，质点系动能的微分T d 等于作⽤于质点系的主动⼒元功()a d W '和约束⼒元功()c d W '的代数和，即()()c a d d d W W T '+'=⼒系的功率 ∑=?=ni ii P 1vF功率⽅程：()()c a d d P P tT+= 式中()()c a ,P P 分别为主动⼒和约束⼒的功率。

动能定理的积分形式 ()()c a 12W W T T +=-，3 保守系统的机械能守恒保守系统：作功的主动⼒和约束⼒均为有势⼒。

机械能受恒定律const =+V T ，解题要领1）选定研究对象，确定质点系统的动⼒学过程的始末状态。

2）计算系统的动能，其中独⽴运动学参数的个数须与系统得⾃由度相同。

3）计算所有⼒的功，包括主动⼒、约束⼒的功，或全部外⼒和内⼒的功，注意有许多⼒是不做功的如理想约束⼒、刚体的内⼒以及轮或球在固定⾯上作纯滚动时的地⾯约束⼒等等。

4）许多问题中，动能定理含有未知量不⽌⼀个，这样通常还须与动量定理或动量矩定理联⽴求解。

5）动能定理只与速度和⾓速度有关，但末状态为任意状态时，还可以将动能定理对时间求导⽽得到加速度关系，求导过程中要注意运⽤复合函数的求导规则，注意是对时间求导。

第一章 质点动力学1－3 解：运动方程：θtan l y =，其中kt =θ。

将运动方程对时间求导并将030=θ代入得34cos cos 22lk lk l y v ====θθθ938cos sin 2232lk lk ya =-==θθ1－6证明：质点做曲线运动，所以质点的加速度为：n t a a a +=,设质点的速度为v ，由图可知: aa v v y n cos ==θ，所以: yv v a a n =将c v y =，ρ2n va =代入上式可得 ρc va 3=证毕 1－7证明：因为n2a v=ρ，va a v a ⨯==θsin n所以：va ⨯=3vρ证毕1－10解：设初始时,绳索AB 的长度为L ,时刻t 时的长度 为s ,则有关系式：t v L s 0-=，并且 222x l s +=将上面两式对时间求导得：0v s -= ，x x s s 22=由此解得：xsv x 0-= （a ）(a)式可写成：s v x x 0-= ，将该式对时间求导得：2002v v s x x x=-=+ (b)xoovovFNFgmyθ将(a)式代入(b)式可得：3220220xl v xxv xa x -=-== （负号说明滑块A 的加速度向上）取套筒A 为研究对象，受力如图所示，根据质点矢量形式的运动微分方程有：gF F a m m N ++=将该式在y x ,轴上投影可得直角坐标形式的运动微分方程：N F F y m F mg x m +-=-=θθsin cos其中：2222sin ,cos lx l lx x +=+=θθ0,3220=-=yxl v x将其代入直角坐标形式的运动微分方程可得：23220)(1)(x l xl v g m F ++=1－11解：设B 点是绳子AB 与圆盘的切点，由于绳子相对圆盘无滑动，所以R v B ω=，由于绳子始终处于拉直状态，因此绳子上A 、B 两点的速度在 A 、B 两点连线上的投影相等，即：θcos A B v v = （a ）因为x Rx 22cos -=θ （b ）将上式代入（a ）式得到A 点速度的大小为：22Rx x Rv A -=ω （c ）由于x v A -=，（c ）式可写成：Rx R x xω=--22 ，将该式两边平方可得：222222)(x R R x x ω=-将上式两边对时间求导可得：x x R x x R x x x 2232222)(2ω=--将上式消去x2后，可求得： 22242)(R x xR x--=ω (d)由上式可知滑块A 的加速度方向向左，其大小为 22242)(R x xR a A -=ω取套筒A 为研究对象，受力如图所示，根据质点矢量形式的运动微分方程有：gF F a m m N ++=将该式在y x ,轴上投影可得直角坐标形式的 运动微分方程：mg F F ym F x m N -+=-=θθsin cos其中：xR x x R 22cos ,sin -==θθ, 0,)(22242=--=yR x x R xω将其代入直角坐标形式的运动微分方程可得2525)(,)(225222242R x x R m mg F R x xR m F N --=-=ωω1－13解：动点：套筒A ；动系：OC 杆；定系：机座；运动分析：绝对运动：直线运动；相对运动：直线运动；牵连运动：定轴转动。

第八章 质点系动力学：矢量方法一、动量定理和动量矩定理 1 动量定理质点系内各质点动量的矢量和称为质点系的动量，即∑==ni i i m 1v p质点系动量定理：质点系动量对时间的一阶导数等于作用于质点系外力系的主矢：)e (R d d F p =t， ∑=e )e (R i F F质点系动量定理的微分形式：t d d )e (R F p =质点系动量定理的积分形式t t t d ,21)e (R )e ()e (12⎰==-F I I p p ，其中)e (I 为外力系主矢的冲量。

质点系的内力不能改变其总动量。

质点系的动量守恒：如果作用在质点系上的外力系主矢为零，则质点系的总动量守恒，即0p p =该常矢量由质点系运动的初始条件确定。

质点系动量定理在直角坐标系中的投影式为()()()()()()∑∑∑=========ni izRz z n i iy Ry y n i ix Rx x F F p t F F p t F F p t 1e e 1e e 1e e d d ,d d ,d d ， 如果0)e (R =x F ，则0x x p p =。

解题要领1） 动量定理给出的是质点系得动量变化与系统外力之间的关系，不涉及外力矩和外力偶，也不涉及内力，因此解决外力和质点系速度或加速度关系问题经常用动量定理. 2） 动量定理中涉及的动量都是绝对的，即涉及的速度都是绝对速度.3） 应用动量定理的微分形式是在某一瞬时，而积分形式或守恒情形是在一时间间隔. 4） 涉及一时间过程的速度变化，统称用动量定理的积分形式.5） 认清质点系统得动量是否守恒十分重要，它可以使方程降阶，简化计算过程.2 质心运动定理质点系的动量等于质心的动量 C ni ii mv m ==∑=1vp ，质心运动定理)e (RF a =C m 质心运动守恒：1） 如0)e (R =F ，则质心速度v C = v C 0 (常矢量)。

进一步，若00=C v ，则const r C =. 2） 如0)e (Rx =F ，则质心速度0Cx Cx v v = (常量)。

第1章 质点运动学 习题及答案1．｜r ∆｜与r ∆ 有无不同?t d d r 和dr dt 有无不同? t d d v 和dv dt有无不同?其不同在哪里?试举例说明． 解: ｜r ∆｜与r ∆ 不同. ｜r ∆｜表示质点运动位移的大小,而r ∆则表示质点运动时其径向长度的增量;t d d r 和dr dt 不同. t d d r 表示质点运动速度的大小,而dr dt则表示质点运动速度的径向分量;t d d v 和dv dt 不同. t d d v 表示质点运动加速度的大小, 而dv dt则表示质点运动加速度的切向分量. 2.质点沿直线运动，其位置矢量是否一定方向不变？质点位置矢量方向不变，质点是否一定做直线运动？解: 质点沿直线运动，其位置矢量方向可以改变;质点位置矢量方向不变，质点一定做直线运动.3.匀速圆周运动的速度和加速度是否都恒定不变？圆周运动的加速度是否总是指向圆心，为什么？ 解: 由于匀速圆周运动的速度和加速度的方向总是随时间发生变化的,因此,其速度和加速度不是恒定不变的;只有匀速圆周运动的加速度总是指向圆心,故一般来讲,圆周运动的加速度不一定指向圆心.4．一物体做直线运动，运动方程为2362x t t =-，式中各量均采用国际单位制，求：（1）第二秒内的平均速度（2）第三秒末的速度；（3）第一秒末的加速度；（4）物体运动的类型。

解: 由于: 232621261212x(t )t t dx v(t )t t dtdv a(t )t dt=-==-==- 所以:（1）第二秒内的平均速度: 1(2)(1)4()21x x v ms --==- （2）第三秒末的速度: 21(3)1236318()v ms -=⨯-⨯=-（3）第一秒末的加速度:2(1)121210()a ms -=-⨯=（4）物体运动的类型为变速直线运动。

5．一质点运动方程的表达式为2105(t t t =+r i j ），式中的,t r 分别以m,s 为单位，试求；（1）质点的速度和加速度；（2）质点的轨迹方程。

第七章 质点动力学本章要点一、质点运动的动力学建模 1动力学基本定律：牛顿三定律. 2质点运动微分方程矢量形式 ∑==ni i t m 122d d F r；形式直角坐标 ∑∑∑======n i zi n i yi n i xi F t zm F t y m F t x m 122122122d d d d d d ，，；自然坐标形式 ∑∑∑======ni i ni i ni ti F F v mF t s m 1b 1n 21220,,d d ρ.式中n t F F ,和b F 分别是作用于质点的各力F i 在切线、主法线和副法线上的投影；ρ为运动轨迹在该点处的曲率半径；v 是质点的速度。

二、质点运动的动力学分析 1 质点动力学的两类基本问题质点动力学基本问题可分为两类：一类是已知质点的运动，求作用于质点的力；另一类是已知作用于质点的力，求质点的运动。

求解质点动力学第一类基本问题只需求两次导数得到质点的加速度，代入到质点运动方程中，得到一代数方程组，即可求解。

求解质点动力学第二类基本问题在数学上归结为求解微分方程的定解问题。

还要根据已知的初始条件确定积分常数。

此外，有些质点动力学问题是第一类和第二类问题的综合。

解题要领1） 解题步骤：(1) 根据题意选取某质点为研究对象；(2) 分析作用在质点上的主动力和约束反力；(3) 根据质点的运动特征，建立适当的坐标系。

（4）选择适当的形式建立运动微分方程，第二类问题还要确定初始条件；(4)求解运动微分方程。

2） 最好将要建立运动微分方程的“一般状态”下速度投影的正向为坐标轴方向，要特别注意当阻力与速度的奇次方成正比时在轴上的投影，注意各力在坐标轴上投影的正负号。

3） 在3维空间，质点运动微分方程有3个投影式，只能够解3个未知量。

2 单自由度系统的线性振动(1) 单自由度系统的自由振动的微分方程：02=+x xn ω ，在初始条件：0000,v x x x t t ==== 下的解为)sin(ϕω+=t A x n其中⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+==002220arctan ,,v x v x A mk n n n ωϕωω 这里A 为振幅，ϕ为初相位，ωn 为固有频率。

质点运动学和动力学习题参考答案一、选择题1、D ；解析：题目只说明质点作直线运动，没有确定是匀加速还是变加速直线运动，故任意时刻的速度都不确定。

2、D 。

3、B ；解析：由题意知质点的运动轨迹为y =ax /b ，加速度a =d 2r /dt 2=ai +bj ，是一个常量，故质点作匀加速直线运动。

4、C ；解析：有题目可知人与风运动速度可用下图表示，由速度合成得到可知人感受到的风高手刀锋来自西北方向。

5、B ；解析：由题意知M 水=0.04M 地，R 水=0.4R 地；则由万有引力f =GMm /R 2≈mg 可得 G M 地m / R 地2=m 地g 地和G M 水m / R 水2=m 水g 水，由此推得g 水=0.25g 。

6、A ；解析：物体收尾时作匀速运动，则其加速度为零，即mg =kv 2，即得收尾速度为v =(mg /k )1/2。

7、D ；8、A ；解析：设绳中张力为T ，则弹簧秤的读数为2T ，因为A 、B 两物体的加速度大小相等，方向相反，可设加速度大小为a ，对A 、B 两物体应用牛顿运动定律m 1g -T =m 1a ，T -m 2g =m 2a ，可得。

二、填空题1、j 50cos50t i 50sin5t - v+=，a τ=0，x 2+y 2=100；解析：有运动方程可知x =10cos5t 与y =10sin5t ，则其运动轨迹为x 2+y 2=1，j 50cos50t i 50sin5t - /dt r d v +==，圆周运动的a τ=0。

2、变速曲线运动，变速直线运动；解析：a τ≠0与a n ≠0时在切向与法向上都具有位移，因此为变速曲线运动，而a τ≠0与a n =0时只表示在切向上有位移，故为变速直线运动。

3、V =V 0+Ct 3/3，x=x 0+V 0t +Ct 4/12； 解析：3002310Ct V V dt Ct dV adt dV dtdV a tVV +=⇒=⇒=⇒=⎰⎰；400030121310Ct t V x x dt Ct V dx Vdt dx dtdx V tx x ++=⇒⎪⎭⎫⎝⎛+=⇒=⇒=⎰⎰。

质点运动学和动力学习题解答一、选择题1、 D ，位移()m x x x s t s t 313-=-=∆==；()⎰⎰=+-=-==32205,42m vdt vdt s t xv 。

2、 B ，3、 B ，4 、C ，020==∆∆=t t rv；tR t R t s v ππ224==∆=。

5、 B ，A B a a 2=，B A T T 2=，对A 、B 两物体应用牛顿运动定律：A A ma T =，B B ma T mg =-，联立上述各式可得g a B54=。

6、 D ，绳中张力为零时，物体仅受重力和支持力的作用。

由于物体的加速度方向水平向右，可知支持力的竖直分量刚好与重力抵消，水平分量使得物体有了水平方向的加速度，因此可得物体的加速度为θgtg 。

7、 D ， 8、 A ，设绳中张力为T ，则弹簧秤的读数为T 2，因为A 、B 两物体的加速度大小相等，方向相反，可设加速度大小为a ，对A 、B 两物体应用牛顿运动定律：a m T g m 11=-，a m g m T 22=-，可得g m m m m T 21212+=。

二、填空题1．tS ∆ ；0 ；tV ∆-2 。

2．大小；方向；n a a an+=ττ 。

3．3002310Ct V V dt Ct dV adt dV dt dV at V V +=⇒=⇒=⇒=⎰⎰；400030121310Ct t V x x dt Ct V dx Vdt dx dt dx V t x x ++=⇒⎪⎭⎫⎝⎛+=⇒=⇒=⎰⎰。

4．t R a 4.2==θτ ，()28.42-⋅==s m s t a τ；4224.14t R R a n ===θω ，由a a 21=τ可得τa a n 3=，633=t ，rad t 15.33322423=+=+=θ。

5．30023ct dt ct Vdt ds Vdt ds dt ds V s t ===⇒=⇒=⎰⎰⎰；ct dtdV a 6==τ；R t c R V a n 4229==。