第三章控制系统的时域分析3.1 典型的试验信号3.2 一阶系统的时域响应3.3 二阶系统的时域响应3.4 高阶系统的时域响应3.5 用MATLAB求控制系统的瞬态响应3.6 线性定常系统的稳定性3.7 劳斯稳定判据3.8 控制系统的稳态误差3.9 控制系统对参数变化的灵敏度本章小结本章简介上一章已经讲述了如何建立控制系统的数学模型。
但事实上人们真正关心的是，如何利用这些数学模型来对系统进行分析或设计。
本章主要讨论用时域分析法来分析控制系统的性能。
时域分析法：是对一个特定的输入信号，通过拉氏变换，求取系统的响应输出。
它是一种直接在时间域中对系统进行分析的方法，具有直观、准确、物理概念清楚的特点，尤其适用于二阶系统。
一个稳定的控制系统，对输入信号的时域响应由二部分组成：瞬态响应+稳态响应。
瞬态响应描述系统的动态性能；稳态响应描述系统的稳态精度；3.1 典型的试验信号回目录控制系统的稳态误差是因输入信号不同而不同的。
因此就需要规定一些典型输入信号。
通过评价系统在这些典型输入信号作用下的稳态误差来衡量和比较系统的稳态性能。
在控制工程中通常采用的典型输入信号有以下几种：1．单位阶跃函数：其拉普拉斯变换为R(s)=1/s2．单位斜坡函数：其拉普拉斯变换为R(s)=1/s23．单位加速度函数：其拉普拉斯变换为R(s)=1/s34．单位脉冲函数：其拉普拉斯变换为R(s)=15．正弦函数：r(t)=Asinωt其中最常用的典型信号为单位阶跃、单位斜坡、单位加速度三种输入信号。
3.2 一阶系统的时域响应回目录3.2.1单位阶跃响应 3.2.2一阶系统的单位斜坡响应3.2.3一阶系统的单位脉冲响应 3.2.4线性定常系统的重要特性一阶系统：用一阶微分方程描述的控制系统。
研究图3-3所示一阶系统。
其系统传函为图3-3 一阶系统方框图3.2.1单位阶跃响应对于单位阶跃输入：r(t)=1(t)，R(s)=1/s于是由拉普拉斯反变换可以得到单位阶跃响应c(t)为c(t)=1-e-t/T(t≥0)上式表示，一阶系统的单位阶跃响应的图形是一条指数曲线，如图3-4所示。
图3-4 一阶系统的单位阶跃响应由图可知，c(t)的初始值为0，最终将变为1。
当t=T时，c(t)的数值等于0.632，或者说响应c(t)达到了总变化的63.2%。
当经过的时间t=3T、4T 时，响应将分别达到稳态值的95%或98%。
从数学观点来分析，只有当时间t趋向于无穷大时，系统的响应才能达到稳态。
但实际上都以响应曲线达到稳态值的2%允许误差范围所需的时间，来作为评价响应时间长短的合理标准。
时间常数T反映了系统的响应速度，时间常数T愈小，则响应速度愈快。
∴ T反映了系统的响应速度。
3.2.2 一阶系统的单位斜坡响应对于单位斜坡输入：r(t)=t，R(s)=1/s2于是t=0时,斜率为0t→∞时 c(∞)=t-Tc(∞)-r(t)=Tr(t)=t, R(s)=3.2.3一阶系统的单位脉冲响应当单位脉冲输入：r(t)=δ(t)，R(s)=1这时有相应的系统单位脉冲响应为：c(t)=(1/T)e-t/T其响应曲线如图3-5所示。
图3-5 一阶系统的单位脉冲响应3.2.4线性定常系统的重要特性r(t)=t -->(导数） r(t)=1(t) --> r(t)=δ(t)c(t)=(t-T)+Te-t/T --> c(t)=1-e-t/T --> c(t)=(1/T)e-t/T比较系统对这三种输入信号的响应，可以清楚地看出，系统对输入信号导数的响应，可通过把系统对输入信号响应微分来求出。
同时也可以看出，系统对原信号积分的响应，等于系统对原信号响应的积分，而积分常数则由零输出初始条件确定。
这是线性定常系统的一个特性，线性时变系统和非线性系统都不具备这种特性。
3.3 二阶系统的暂态响应回目录3.3.1二阶系统的单位阶跃响应3.3.2 二阶系统的暂态响应指标3.3.3二阶系统的脉冲响应在分析或设计系统时，二阶系统的响应特性常被视为一种基准。
虽然在实际中几乎没有二阶系统，而是三阶或更高阶系统，但是它们有可能用二阶系统去近似，或者其响应可以表示为一、二阶系统响应的合成。
因此，将对二阶系统的响应进行重点讨论。
图3-6 二阶系统的方框图典型的二阶系统的方框图如图3-6所示，它由一个非周期环节和一个积分环节串联组成，系统的传递函数为令则二阶系统的标准表达式：由上式得闭环系统的极点:的单位本为rad/s，但因弧度本身无量纲，只表示比值的概振荡角频率ωd为频率。
念。
在研究控制系统时习惯上写为s-1，同时也常简称ωd由式（3-12）可知，系统极点的实部为σ，它控制着时间响应的暂态分量是发散还是衰减，以及暂态分量随时间的变化率。
当σ>0时，暂态响应随时间不可能为负增长而发散，当σ<0时，暂态响应随时间增长而衰减。
由于ωn<0时，系统暂态响应将随时间增长而发散，而值，所以，又可以看出，当ξ>0时，系统暂态响应才能随时间增长而衰减。
当ξ<1时，系统具有一对实部为负的复数极点，系统的暂态响应将是当0<ξ振幅随时间按指数函数规律衰减的周期函数，此时称系统处于欠阻尼状态。
=1时，系统具有两重实极点，于是系统暂态响应中没有周期分当阻尼比ξ量，暂态响应将随时间按指数函数规律而单调衰减。
此时称系统处于临界阻尼情况。
>1时，系统具有不相等的两个实极点，系统的暂态响应还是随当阻尼比ξ时间按指数函数规律而单调衰减，只是衰减的快慢主要由靠近虚轴的那个实极点决定。
此时称系统处于过阻尼情况。
=0时，系统将具有一对纯虚数极点，其值为此时称系统处当ξ于无阻尼状态，系统的暂态响应将是恒定振幅的周期函数，并且将称为无阻尼自然振荡角频率，或简称为无阻尼自然振荡频率。
在图3-7中表示出当为不同值时，相应系统极点的分布与阶跃响应的图形。
>1（左半平面有相异实根）时系统响应(a)ξ(b)=1（左半平面有相同实根）时系统响应ξ<1（左半平面有带负实根的共轭虚根）时系统响应(c)0<ξ=0（虚轴上带共轭虚根）时系统响应(d)ξ(e)0>>-1（右半平面有带正实根的共轭虚根）时系统响应ξ(f)ξ<-1（右半平面有相异正实根）时系统响应图3-7 极点分布不同时系统阶跃响应图形图3-8说明系统极点的位置与ξ、ωn、σ及ωd之间的关系。
对于标出的一对共轭复数极点ωn是从极点到s平面原点的径向距离，σ是极点的实部，ωd 是极点的虚部，而阻尼比ξ等于极点到s平面原点间径向线与负实轴之间夹角的余弦，即ξ=cosθ阻尼比ξ是二阶系统的重要特征参量。
图3-8 系统极点与参量间的关系3.3.1二阶系统的单位阶跃响应下面分析欠阻尼、临界阻尼和过阻尼三种情况下，二阶系统的单位阶跃响应。
(1) 欠阻尼情况(0<ζ<1)暂态分量为衰减振荡的周期函数，阻尼自然频率为当ξ=0（零阻尼）响应曲线为等幅余弦振荡曲线。
即t (t≥0)c(t)=1-cosωn(2) 临界阻尼情况（ζ=1）对于单位阶跃输入量，R(s)=1/s，因而C(s)可表示为此时是无超调响应中最快的(△=2%)(3) 过阻尼情况（ζ>1）这种情况下，C(s)/R(s)的两个极点是两个不等的负实数。
对于单位阶跃R(s)=1/s输入量，此时(t≥1)特别ξ>>1时.此时二阶系统降为一阶系统(△=2%) ξ≥1.5-->工程上，如果ζ》1.5时，使用上述近似式已有足够的准确度了。
3.3.2 二阶系统的暂态响应指标当系统为欠阻尼情况下，即0<ζ<1时，二阶系统阶跃响应的上升时间tr、峰值时间tp、最大超调量Mp的计算公式按式（3-13）可表示如下。
1.上升时间tr令c(t)=1，代入式（3-13）中，即可求得tr。
令 ,则由上式可见，如欲减小tr，当ζ一定时，需增大，反之，若一定时，则需减小ζ。
2.峰值时间tp令 ,即即.又取 ,3.调量Mp最大超调量发生在t=tp将代入4.调整时间ts用包络线:即当时,图3-9 二阶系统单位阶跃时间响应的包络线3.3.3二阶系统的脉冲响应当输入信号r(t)为单位脉冲函数时，相应的拉普拉斯变换为1，即R(s)=1。
则二阶系统的单位脉冲响应C(s)为这个方程的拉普拉斯反变换，就是时域响应解c(t)，这时当0≤ζ<1时，c(t)=(t≥0)当ζ=1时c(t)=(t≥0)当ζ>1时c(t)=(t≥0)不同ζ时单位脉冲响应曲线见图3-10。
对ζ≥1的情况，单位脉冲响应总是正值或在t=∞时为零。
这时系统的单位阶跃响应必是单调增长的。
由于单位脉冲响应是单位阶跃响应的导数，所以单位脉冲响应曲线与时间轴第一次相交的点对应的时间必是峰值时间tp，而从t=0至t=tp这一段曲线与时间轴所包围的面积将等于1+Mp（参见图3-11），而且单位脉冲响应曲线与时间轴包围的面积代数和为1。
图3-10 单位脉冲响应曲线图3-11 从脉冲响应求Mp例题3-103-10图示系统中=0.6， =5弧度/秒。
当系统受到单位阶跃输入信号作用时，试求上升时间t r 、峰值时间t p 、最大超调量M p 和调整时间t s 。
解：根据给定的和值，可以求得==4和 ==3。
图3-错误！未定义书签。
例3-10图1． 上升时间t r 上升时间为：t r = =式中β为： 弧度因此，可求得上升时间t r 为：t r = = 秒2． 峰值时间t p 峰值时间为：t p == =0.785秒3． 最大超调量M p 最大超调量为：Mp == =0.095因此，最大超调量百分比为9.5%。
4． 调整时间t s对于2%允许误差标准，调整时间为：==4/3=1.33秒ts对于5%允许误差标准，调整时间为：==3/3=1ts3.4 高阶系统的暂态响应回目录当系统高于二阶时，将其称为高阶系统。
其传递函数一般可以写成如下形式将上式进行因式分解，可写成式中 si：传递函数极点，i=1、2、…、n；zj：传递函数极点，j=1、2、…、m。
假定系统所有零点、极点互不相同，并假定极点中有实数极点和复数极点，而零点中只有实数零点。
当输入为单位阶跃函数时，其阶跃响应的象函数为= + +式中 m：传递函数零点总数；n：传递函数极点总数，n=q+2r；q：实极点数；r：共轭复数极点的对数。
对上式求取原函数，即得高阶系统的单位阶跃响应：c(t)=A+ +式中 Ai=；Dk=；θk=；sk=-。
由此可见，高阶系统的暂态响应是一阶和二阶系统暂态响应分量的合成。
可以得到如下结论：1.高阶系统暂态响应各分量的衰减快慢由指数衰减系数si及决定。
假设系统的一对复数极点与虚轴间距离为，另一对复数极点与虚轴间距离是其5倍，即5，如按式（3-15）估算，后者对应的暂态分量衰减时间大约为前者的1/5，由此可知，系统的极点在s平面左半部距虚轴愈远，相应的暂态分量衰减得愈快。
