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选修1-2 第二章 .2一、选择题1．正弦函数是奇函数，f (x )＝sin(x 2＋1)是正弦函数，因此f (x )＝sin(x 2＋1)是奇函数．以上推理( )A ．结论正确B ．大前提不正确C ．小前提不正确D ．全不正确[答案] C[解析] 函数f (x )＝sin(x 2＋1)不是正弦函数，故小前提不正确，故选C ．2．三段论“①只有船准时起航，才能准时到达目的港，②这艘船是准时到达目的港的，③这艘船是准时起航的．”中的小前提是( )A ．①B ．②C ．①②D ．③ [答案] D[解析] 本题中①为大前提，③为小前提，②为结论．3．“凡是自然数都是整数，4是自然数，所以4是整数．”以上三段论推理( )A ．完全正确B ．推理形式不正确C ．不正确，两个“自然数”概念不一致D ．不正确，两个“整数”概念不一致[答案] A[解析] 大前提“凡是自然数都是整数”正确．小前提“4是自然数”也正确，推理形式符合演绎推理规则，所以结论正确．4．关于下面推理结论的错误：“因为对数函数y ＝log a x 是增函数(大前提)，又y ＝log 13x 是对数函数(小前提)，所以y ＝log 13x 是增函数(结论)．”下列说法正确的是( ) A ．大前提错误导致结论错误B ．小前提错误导致结论错误C ．推理形式错误导致结论错误D ．大前提和小前提都错误导致结论错误[答案] A[解析] 大前提错误，因为对数函数y ＝log a x (0＜a ＜1)是减函数，故选A ．5．下面几种推理过程是演绎推理的是( )A ．两条直线平行，同旁内角互补，因为∠A 和∠B 是两条平行直线被第三条直线所截所得的同旁内角，所以∠A ＋∠B ＝180°B ．我国地质学家李四光发现中国松辽地区和中亚细亚的地质结构类似，而中亚细亚有丰富的石油，由此，他推断松辽平原也蕴藏着丰富的石油C ．由6＝3＋3,8＝3＋5,10＝3＋7,12＝5＋7,14＝7＋7，…，得出结论：一个偶数(大于4)可以写成两个素数的和D ．在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝12(a n －1＋1a n －1)(n ≥2)，由此归纳出{a n }的通项公式 [答案] A[解析] 选项A 中“两条直线平行，同旁内角互补”是大前提，是真命题，该推理为三段论推理，选项B 为类比推理，选项C ，D 都是归纳推理．6．有这样一段演绎推理：“有些有理数是真分数，整数是有理数，则整数是真分数”结论显然是错误的，这是因为( )A ．大前提错误B ．小前提错误C ．推理形式错误D ．非以上错误[答案] B[解析] 用小前提“S 是M ”，判断得到结论“S 是P ”时，大前提“M 是P ”必须是所有的M ，而不是部分．二、填空题7．已知推理：“因为△ABC 的三边长依次为3、4、5，所以△ABC 是直角三角形”，若将其恢复成完整的三段论，则大前提是________________________.[答案] 一条边的平方等于其他两边平方和的三角形是直角三角形．8．函数y ＝2x ＋5的图象是一条直线，用三段论表示为：大前提______________________________________________________________．小前提_______________________________________________________________．结论________________________________________________________________．[答案] 所有一次函数的图象都是一条直线 函数y ＝2x ＋5是一次函数 函数y ＝2x ＋5的图象是一条直线9．以下推理中，错误的序号为________.①∵ab ＝ac ，∴b ＝c ；②∵a ≥b ，b >c ，∴a >c ；③∵75不能被2整除，∴75是奇数；④∵a ∥b ，b ⊥平面α，∴a ⊥α.[答案] ①[解析] 当a ＝0时，ab ＝ac ，但b ＝c 未必成立．三、解答题10．指出下列推理中的错误，并分析产生错误的原因．(1)无限小数是无理数，23＝…是无限小数，23是无理数； (2)对于函数f (x )，如果对定义域内的任意x ，都有f (－x )＝－f (x )，则f (x )为奇函数，f (x )＝sin x (－π2<x ≤π2)满足f (－x )＝－f (x )，所以f (x )为奇函数．[解析] (1)大前提错，无限不循环小数是无理数． (2)小前提错，f (x )的定义域不关于原点对称，f (π2)有意义，f (－π2)无意义．一、选择题1．“在四边形ABCD 中，∵AB 綊CD ，∴四边形ABCD 是平行四边形”．上述推理过程( )A ．省略了大前提B ．省略了小前提C ．是完整的三段论D ．推理形式错误[答案] A[解析] 上述推理基于大前提“一组对边平行且相等的四边形为平行四边形”．2．若a >b >0，c <d <0，则一定有( )A ．a d >b cB ．a d <b cC ．a c >b dD ．a c <b d [答案] B[解析] ∵c <d <0，∴1d <1c <0，又∵a >b >0，∴a d <b c.选B ． 3．“∵四边形是矩形，∴四边形ABCD 的对角线相等”补充以上推理的大前提( )A ．正方形都是对角线相等的四边形B ．矩形都是对角线相等的四边形C ．等腰梯形都是对角线相等的四边形D ．矩形都是对边平行且相等的四边形[答案] B[解析] 结合所给的已知，可得所填的条件一定与矩形有关，并且应为矩形的有关性质，结合选项可知选B ．4．“(1)一个错误的推理是因为前提不成立，或者推理形式不正确，(2)这个错误的推理不是前提不成立，(3)所以这个错误的推理是推理形式不正确”．上述三段论是( )A ．大前提错B ．小前提错C ．结论错误D ．正确的 [答案] D[解析] 结合三段论本身的说法和逻辑关系，可知这个三段论是正确的．二、填空题5．三段论“平面内到两定点F 1、F 2的距离之和为定值的点的轨迹是椭圆(大前提)，平面内动点M 到两定点F 1(－2，0)、F 2(2,0)的距离之和为4(小前提)，则M 点的轨迹是椭圆(结论)”中的错误是________.[答案] 大前提[解析] 大前提中到两定点距离之和为定值的点的轨迹是椭圆，概念出错，不严密．而因为F 1(－2,0)、F 2(2,0)间距离为|F 1F 2|＝4，所以平面内动点M 到两定点F 1(－2,0)、F 2(2,0)的距离之和为4的点的轨迹应为线段而不是椭圆．6.(2015·泸州市一诊)已知集合A ＝{f (x )|f 2(x )－f 2(y )＝f (x ＋y )·f (x －y )，x 、y ∈R }，有下列命题：①若f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1， x ≥0－1， x <0，则f (x )∈A ； ②若f (x )＝kx ，则f (x )∈A ；③若f (x )∈A ，则y ＝f (x )可为奇函数；④若f (x )∈A ，则对任意不等实数x 1、x 2，总有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2<0成立． 其中所有正确命题的序号是________.(填上所有正确命题的序号)[答案] ②③[解析] 对于①，取x ＝1，y ＝－1知，f 2(x )－f 2(y )＝f 2(1)－f 2(－1)＝1－1＝0，但f (x ＋y )f (x －y )＝f (0)·f (2)＝1，∴①错；对于②，当f (x )＝kx 时，f 2(x )－f 2(y )＝k 2x 2－k 2y 2＝k (x ＋y )·k (x －y )＝f (x ＋y )·f (x －y )，∴②正确； 对于③，在f 2(x )－f 2(y )＝f (x ＋y )f (x －y )中令x ＝0，y ＝0得，f (0)＝0，又令x ＝0得，f 2(0)－f 2(y )＝f (y )·f (－y )，当f (y )≠0时，有f (－y )＝－f (y )，∴f (x )可以为奇函数．对于④，取f (x )＝x ，则f 2(x )－f 2(y )＝x 2－y 2＝(x ＋y )(x －y )＝f (x ＋y )f (x －y )，但x 1、x 2∈R 且x 1≠x 2时，f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2＝x 1－x 2x 1－x 2＝1>0，∴④错． 三、解答题7．下面给出判断函数f (x )＝1＋x 2＋x －11＋x 2＋x ＋1的奇偶性的解题过程： 解：由于x ∈R ，且f (x )f (－x )＝1＋x 2＋x －11＋x 2＋x ＋1·1＋x 2－x ＋11＋x 2－x －1＝(1＋x )－(x －1)2(1＋x 2)－(x ＋1)2＝2x －2x＝－1. ∴f (－x )＝－f (x )，故函数f (x )为奇函数．试用三段论加以分析．[解析] 判断奇偶性的大前提“若x ∈R ，且f (－x )＝－f (x )，则函数f (x )是奇函数；若x ∈R ，且f (－x )＝f (x )，则函数f (x )是偶函数”．在解题过程中往往不用写出来，上述证明过程就省略了大前提．解答过程就是验证小前提成立，即所给的具体函数f (x )满足f (－x )＝－f (x )．8.(2015·北京文)如图，在三棱锥V －ABC 中，平面VAB ⊥平面ABC ，△VAB 为等边三角形，AC ⊥BC 且AC ＝BC ＝2，O ，M 分别为AB ，VA 的中点．(1)求证：VB ∥平面MOC ；(2)求证：平面MOC ⊥平面VAB ；(3)求三棱锥V －ABC 的体积．[解析] (1)证明：∵M ，O 分别是VA ，AB 的中点，∴MO ∥VB又∵V B ⃘面MOC ．MO 面MOC∴VB ∥面MOC ．(2)∵AC ＝BC ，AO ＝OB∴OC⊥AB，又∵面VAB⊥面ABC且面VAB∩面ABC＝AB，OC面ABC∴OC⊥面VAB．又∵OC面MOC∴面MOC⊥面VAB．(3)由(2)知OC⊥面VAB．∴V－ABC的体积＝C－VAB的体积，即OC为高．又∵AC⊥BC，AC＝BC＝2，∴OC＝1，AB＝2，∴S△VAB＝34×22＝ 3∴三棱锥V－ABC的体积为13×3×1＝3 3.。
人教版新课标A版选修2-2数学2.1合情推理与演绎推理同步练习A卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共15题；共30分)1. （2分）下列命题中正确的是（）A . 类比推理是一般到特殊的推理B . 演绎推理的结论一定是正确的C . 合情推理的结论一定是正确的D . 演绎推理在前提和推理形式都正确的前提下，得到的结论一定是正确的2. （2分）下图是某光缆的结构图,其中数字为某段的最大信息量,则从M到N的最大信息量为（）A . 6B . 7C . 12D . 213. （2分） (2016高二上·衡阳期中) 在实数集R中定义一种运算“*”，对任意a，b∈R，a*b为唯一确定的实数，且具有性质：①对任意a∈R，a*0=a；②对任意a，b∈R，a*b=ab+（a*0）+（b*0）．则函数f（x）=（ex）* 的最小值为（）A . 2B . 3C . 6D . 84. （2分）我们知道，在边长为a的正三角形内任一点到三边的距离之和为定值a，类比上述结论，在棱长为a的正四面体内任一点到其四个面的距离之和为定值，此定值为（）A . aB . aC . aD . a5. （2分）观察下列各式：，则的末四位数为（）A . 3125B . 5624C . 0625D . 81256. （2分）北京市为了缓解交通压力实行机动车辆限行政策，每辆机动车周一到周五都要限行一天，周末不限行．某公司有A、B、C、D、E五辆车，保证每天至少有四辆车可以上路行驶．已知：E车周四限行，B车昨天限行，从今天算起，A、C两车连续四天都能上路行驶，E车明天可以上路．由此可知，下列推测一定正确的是（）A . 今天是周六B . 今天是周四C . A车周三限行D . C车周五限行7. （2分）根据下边给出的数塔猜测1234569+8=（）19+2=11129+3=1111239+4=111112349+5=11111A . 1111110B . 1111111C . 1111112D . 11111138. （2分） (2016高二下·钦州期末) “因为偶函数的图象关于y轴对称，而函数f（x）=x2+x是偶函数，所以f（x）=x2+x的图象关于y轴对称”，在上述演绎推理中，所得结论错误的原因是（）A . 大前提错误B . 小前提错误C . 推理形式错误D . 大前提与推理形式都错误9. （2分）下面说法正确的有（）（1）演绎推理是由一般到特殊的推理；（2）演绎推理得到的结论一定是正确的；（3）演绎推理一般模式是“三段论”形式；（4）演绎推理的结论的正误与大前提、小前提和推理形式有关。
高中数学第二章推理与证明2.1.2 类比推理说课稿新人教A版选修2-2 编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（高中数学第二章推理与证明2.1.2 类比推理说课稿新人教A版选修2-2）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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2.1.2类比推理一、教材分析（1）课题内容课题内容是《类比推理》，出自普通高中新课程标准实验教科书人教A版高中数学选修2—2.（2）地位和作用本节课是《推理与证明》的起始内容。
《推理与证明》是数学的一种基本思维过程，也是人们在学习和生活中经常使用的一种思维方式.贯穿于高中数学的整个知识体系，同时也对后续知识的学习起到引领作用。
合情推理有助于发现新的规律和事实,是重要的数学思想方法之一。
（3）重点,难点重点：了解类比推理的含义，作用,掌握类比推理的步骤,体会类比推理的思想。
难点：类比推理步骤中的如何发现几个事实的共性，如何由个别事实总结，类比出其他事实的命题。
一、学情分析(1）在进行本节课的教学时,学生已经有大量的运用类比推理生活实例和数学实例，这些内容是学生理解类比推理的重要基础，因此教学时应充分注意这一教学条件,引导学生多进行类比与概括。
（2）数学史上有一些著名的猜想是运用类比推理的典范，教学这一内容时应充分利用这一条件，不仅可让学生体会类比推理的过程，感受类比推理能猜测和发现一些新结论，探索和提供解决一些问题的思路和方向的作用,还可利用著名猜想让学生体会数学的人文价值,激发学生学习数学的兴趣和探索真理的欲望。
高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作选修2-2 2.1.2 类比推理一、选择题1．下列说法正确的是( )A ．由合情推理得出的结论一定是正确的B ．合情推理必须有前提有结论C ．合情推理不能猜想D ．合情推理得出的结论无法判定正误【答案】B【解析】由合情推理得出的结论不一定正确，A 不正确；B 正确；合情推理的结论本身就是一个猜想，C 不正确；合情推理结论可以通过证明来判定正误，D 也不正确，故应选B.2．下面几种推理是合情推理的是( )①由圆的性质类比出球的有关性质②由直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和是180°，归纳出所有三角形的内角和都是180° ③教室内有一把椅子坏了，则该教室内的所有椅子都坏了④三角形内角和是180°，四边形内角和是360°，五边形内角和是540°，由此得出凸多边形的内角和是(n －2)·180°A ．①②B ．①③④C ．①②④D ．②④【答案】C【解析】①是类比推理；②④都是归纳推理，都是合情推理．3．三角形的面积为S ＝12(a ＋b ＋c )·r ，a 、b 、c 为三角形的边长，r 为三角形内切圆的半径，利用类比推理，可以得到四面体的体积为( )A ．V ＝13(S 1＋S 2＋S 3＋S 4)r ，(S 1、S 2、S 3、S 4分别为四面体四个面的面积，r 为四面体内切球的半径) B ．V ＝13Sh C ．V ＝13abcD ．V ＝13(ab ＋bc ＋ac )h (h 为四面体的高) 【答案】A【解析】边长对应表面积，内切圆半径应对应内切球半径．故应选A.4．类比平面内正三角形的“三边相等，三内角相等”的性质，可推知正四面体的下列哪些性质，你认为比较恰当的是( )①各棱长相等，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等②各个面都是全等的正三角形，相邻两个面所成的二面角都相等③各个面都是全等的正三角形，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等A ．①B ．①②C ．①②③D ．③【答案】C【解析】正四面体的面(或棱)可与正三角形的边类比，正四面体的相邻两面成的二面角(或共顶点的两棱的夹角)可与正三角形相邻两边的夹角类比，故①②③都对．5．类比三角形中的性质：(1)两边之和大于第三边(2)中位线长等于底边的一半(3)三内角平分线交于一点可得四面体的对应性质：(1)任意三个面的面积之和大于第四个面的面积(2)过四面体的交于同一顶点的三条棱的中点的平面面积等于第四个面面积的14(3)四面体的六个二面角的平分面交于一点其中类比推理方法正确的有( )A ．(1)B ．(1)(2)(3)C ．(1)(2)D ．都不对【答案】B【解析】以上类比推理方法都正确，需注意的是类比推理得到的结论是否正确与类比推理方法是否正确并不等价，方法正确结论也不一定正确．6．由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则：①“mn ＝nm ”类比得到“a ·b ＝b ·a ”；②“(m ＋n )t ＝mt ＋nt ”类比得到“(a ＋b )·c ＝a ·c ＋b ·c ”；③“(m ·n )t ＝m (n ·t )”类比得到“(a ·b )·c ＝a ·(b ·c )”；④“t ≠0，mt ＝xt ⇒m ＝x ”类比得到“p ≠0，a ·p ＝x ·p ⇒a ＝x ”；⑤“|m ·n |＝|m |·|n |”类比得到“|a ·b |＝|a |·|b |”；⑥“ac bc ＝a b ”类比得到“a ·c b ·c ＝a b”． 以上式子中，类比得到的结论正确的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B【解析】由向量的有关运算法则知①②正确，③④⑤⑥都不正确，故应选B.二、填空题11．设f (x )＝12x ＋2，利用课本中推导等差数列前n 项和公式的方法，可求得f (－5)＋f (－4)＋…＋f (0)＋…＋f (5)＋f (6)的值为________．【答案】32【解析】本题是“方法类比”．因等比数列前n 项和公式的推导方法是倒序相加，亦即首尾相加，那么经类比不难想到f (－5)＋f (－4)＋…＋f (0)＋…＋f (5)＋f (6)＝[f (－5)＋f (6)]＋[f (－4)＋f (5)]＋…＋[f (0)＋f (1)]， 而当x 1＋x 2＝1时，有f (x 1)＋f (x 2)＝12112222x x +++ ()()()12121212222222222222222x x x x x x x x +++=+++++ ＝12＝22，故所求答案为6×22＝3 2. 12．六个面都是平行四边形的四棱柱称为平行六面体．如图甲，在平行四边形ABD 中，有AC 2＋BD 2＝2(AB 2＋AD 2)，那么在图乙中所示的平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AC 21＋BD 21＋CA 21＋DB 21等于________．【答案】4AA 21＋4AB 2＋4AD 2【解析】AC 21＋BD 21＋CA 21＋DB 21＝(AC 21＋CA 21)＋(BD 21＋DB 21)＝2(AA 21＋AC 2)＋2(BB 21＋BD 2)＝4AA 21＋2(AC 2＋BD 2)＝4AA 21＋4AB 2＋4AD 2.13．在以原点为圆心，半径为r 的圆上有一点P (x 0，y 0)，则过此点的圆的切线方程为x 0x ＋y 0y ＝r 2，而在椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)中，当离心率e 趋近于0时，短半轴b 就趋近于长半轴a ，此时椭圆就趋近于圆．类比圆的面积公式，在椭圆中，S 椭＝________.类比过圆上一点P (x 0，y 0)的圆的切线方程，则过椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)上一点P (x 1，y 1)的椭圆的切线方程为________．【答案】π·a ·b ；x 1a2·x ＋y 1b2·y ＝1【解析】当椭圆的离心率e 趋近于0时，椭圆趋近于圆，此时a ，b 都趋近于圆的半径r ，故由圆的面积S＝πr 2＝π·r ·r ，猜想椭圆面积S 椭＝π·a ·b ，其严格证明可用定积分处理．而由切线方程x 0·x ＋y 0·y ＝r 2变形得x 0r 2·x ＋y 0r 2·y ＝1，则过椭圆上一点P (x 1，y 1)的椭圆的切线方程为x 1a 2·x ＋y 1b 2·y ＝1，其严格证明可用导数求切线处理． 14．在等差数列{a n }中，若a 10＝0，则有等式a 1＋a 2＋…＋a n ＝a 1＋a 2＋…＋a 19－n (n <19，n ∈N *)成立，类比上述性质，相应地：在等比数列{b n }中，若b 9＝1，则有等式__________成立．【答案】b 1b 2…b n ＝b 1b 2…b 17－n (n ＜17，n ∈N *)【解析】从分析所提供的性质入手：由a 10＝0，可得a k ＋a 20－k ＝0，因而当n <19－n 时，有a 1＋a 2＋…＋a 19－n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ＋a n ＋1＋a n ＋2＋…＋a 19－n ，而a n ＋1＋a n ＋2＋…＋a 19－n ＝(19－2n )(a n ＋1＋a 19－n )2＝0，∴等式成立．同理可得n >19－n 时的情形． 由此可知：等差数列{a n }之所以有等式成立的性质，关键在于在等差数列中有性质：a n ＋1＋a 19－n ＝2a 10＝0，类似地，在等比数列{b n }中，也有性质：b n ＋1·b 17－n ＝b 29＝1，因而得到答案：b 1b 2…b n ＝b 1b 2…b 17－n (n <17，n ∈N *)．。
【成才之路】2014-2015学年高中数学 2.1.1 第2课时类比推理同步测试新人教A版选修2-2一、选择题1．下面几种推理是合情推理的是( )①由圆的性质类比出球的有关性质②由直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和是180°，归纳出所有三角形的内角和都是180°③教室内有一把椅子坏了，则猜想该教室内的所有椅子都坏了④三角形内角和是180°，四边形内角和是360°，五边形内角和是540°，由此得出凸n边形的内角和是(n－2)·180°(n∈N*，且n≥3)A．①②B．①③④C．①②④D．②④[答案] C[解析] ①是类比推理；②④是归纳推理，∴①②④都是合情推理．2．(2013·华池一中期中)平面几何中，有边长为a的正三角形内任一点到三边距离之和为定值32a，类比上述命题，棱长为a的正四面体内任一点到四个面的距离之和为( )A．43a B．63aC．54a D．64a[答案] B[解析] 将正三角形一边上的高32a类比到正四面体一个面上的高63a，由正三角形“分割成以三条边为底的三个三角形面积的和等于正三角形的面积”，方法类比为“将四面体分割成以各面为底的三棱锥体积之和等于四面体的体积”证明．3．类比平面内“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”的性质，可推出下列空间结论：①垂直于同一条直线的两条直线互相平行；②垂直于同一个平面的两条直线互相平行；③垂直于同一条直线的两个平面互相平行；④垂直于同一平面的两个平面互相平行，则其中正确的结论是( )A．①②B．②③C．③④D．①④[答案] B[解析] 根据立体几何中线面之间的位置关系知，②③是正确的结论．4．(2014·长安一中、高新一中、交大附中、师大附中、西安中学一模)设△ABC 的三边长分别为a 、b 、c ，△ABC 的面积为S ，内切圆半径为r ，则r ＝2Sa ＋b ＋c；类比这个结论可知：四面体P －ABC 的四个面的面积分别为S 1、S 2、S 3、S 4，内切球的半径为r ，四面体P －ABC 的体积为V ，则r ＝( )A ．VS 1＋S 2＋S 3＋S 4B ．2VS 1＋S 2＋S 3＋S 4C ．3VS 1＋S 2＋S 3＋S 4D ．4VS 1＋S 2＋S 3＋S 4[答案] C[解析] 将△ABC 的三条边长a 、b 、c 类比到四面体P －ABC 的四个面面积S 1、S 2、S 3、S 4，将三角形面积公式中系数12，类比到三棱锥体积公式中系数13，从而可知选C.证明如下：以四面体各面为底，内切球心O 为顶点的各三棱锥体积的和为V ，∴V ＝13S 1r＋13S 2r ＋13S 3r ＋13S 4r ，∴r ＝3V S 1＋S 2＋S 3＋S 4. 5．给出下面类比推理命题(其中Q 为有理数集，R 为实数集，C 为复数集)： ①“若a ，b ∈R ，则a －b >0⇒a >b ”类比推出“若a ，b ∈C ，则a －b >0⇒a >b ”； ②“若a ，b ，c ，d ∈R ，则复数a ＋b i ＝c ＋d i ⇒a ＝c ，b ＝d ”类比推出“若a ，b ，c ，d ∈Q ，则a ＋b 2＝c ＋d 2⇒a ＝c ，b ＝d ”；③若“a ，b ∈R ，则a －b ＝0⇒a ＝b ”类比推出“若a ，b ∈C ，则a －b ＝0⇒a ＝b ”．其中类比结论正确的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3[答案] C[解析] 在实数集中，a >b ⇔a －b >0，但在复数集中，不全为实数的两个数不能比较大小，如a ＝2＋i ，b ＝1＋i ，有a －b ＝1>0，但a >b 不成立；∵a 、b 、c 、d ∈Q ，∴a －c ，b －d ∈Q ，∵a ＋b 2＝c ＋d 2，∴(a －c )＋(b －d )2＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧a －c ＝0b －d ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝cb ＝d，故②正确；由复数相等的定义知，若a ＝x 1＋y 1i(x 1、y 1∈R )，b ＝x 2＋y 2i(x 2、y 2∈R )，则由a－b ＝(x 1－x 2)＋(y 1－y 2)i ＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧x 1－x 2＝0y 1－y 2＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝x 2y 1＝y 2，∴a ＝b ，故③正确．6．由代数式的乘法法则类比得到向量的数量积的运算法则： ①“mn ＝nm ”类比得到“a ·b ＝b ·a ”；②“(m ＋n )t ＝mt ＋nt ”类比得到“(a ＋b )·c ＝a ·c ＋b ·c ”； ③“(m ·n )t ＝m (n ·t )”类比得到“(a ·b )·c ＝a ·(b ·c )”； ④“t ≠0，mt ＝xt ⇒m ＝x ”类比得到“p ≠0，a ·p ＝x ·p ⇒a ＝x ”； ⑤“|m ·n |＝|m |·|n |”类比得到“|a ·b |＝|a |·|b |”； ⑥“ac bc ＝a b ”类比得到“a ·cb ·c ＝ab”． 其中类比结论正确的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4[答案] B[解析] 由向量的有关运算法则知①②正确，③④⑤⑥都不正确，故应选B. 二、填空题7．设f (x )＝12x ＋2，利用课本中推导等差数列前n 项和公式的方法，可求得f (－5)＋f (－4)＋…＋f (0)＋…＋f (5)＋f (6)的值为________．[答案] 3 2[解析] 本题是“方法类比”．因等比数列前n 项和公式的推导方法是倒序相加，亦即首尾相加，那么经类比不难想到f (－5)＋f (－4)＋…＋f (0)＋…＋f (5)＋f (6)＝[f (－5)＋f (6)]＋[f (－4)＋f (5)]＋…＋[f (0)＋f (1)]，而当x 1＋x 2＝1时，有f (x 1)＋f (x 2)＝12x 1＋2＋12x 2＋2＝22＋x 1＋2x 22x 1＋2x 2＋2x 1＋x 2＋2＝22＋x 1＋2x 22x 1＋2x 2＋22＝12＝22，故所求答案为6×22＝3 2.8．在等差数列{a n }中，若a 10＝0，则有等式a 1＋a 2＋…＋a n ＝a 1＋a 2＋…＋a 19－n (n <19，n ∈N *)成立，类比上述性质，相应地：在等比数列{b n }中，若b 9＝1，则有等式________成立．[答案] b 1b 2…b n ＝b 1b 2…b 17－n (n ＜17，n ∈N *)[解析] 解法1：从分析所提供的性质入手：由a 10＝0，可得a k ＋a 20－k ＝0，因而当n <19－n 时，有a 1＋a 2＋…＋a 19－n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ＋a n ＋1＋a n ＋2＋…＋a 19－n ，而a n ＋1＋a n ＋2＋…＋a 19－n ＝－2na n ＋1＋a 19－n2＝0，∴等式成立．同理可得n >19－n 时的情形．由此可知：等差数列{a n }之所以有等式成立的性质，关键在于在等差数列中有性质：a n＋1＋a 19－n ＝2a 10＝0，类似地，在等比数列{b n }中，也有性质：b n ＋1·b 17－n ＝b 29＝1，因而得到答案：b 1b 2…b n ＝b 1b 2…b 17－n (n <17，n ∈N *)．解法2：因为在等差数列中有“和”的性质a 1＋a 2＋…＋a n ＝a 1＋a 2＋…＋a 19－n (n ＜19，n ∈N *)成立，故在等比数列{b n }中，由b 9＝1，可知应有“积”的性质b 1b 2…b n ＝b 1b 2…b 17－n (n＜17，n ∈N *)成立. (1)证明如下：当n ＜8时，等式(1)为b 1b 2…b n ＝b 1b 2…b n b n ＋1…b 17－n ， 即：b n ＋1·b n ＋2…b 17－n ＝1.(2) ∵b 9＝1，∴b k ＋1·b 17－k ＝b 29＝1. ∴b n ＋1b n ＋2…b 17－n ＝b 17－2n9＝1.∴(2)式成立，即(1)式成立；当n ＝8时，(1)式即：b 9＝1显然成立； 当8＜n ＜17时，(1)式即：b 1b 2…b 17－n ·b 18－n ·…b n ＝b 1b 2…b 17－n ，即：b 18－n ·b 19－n …b n ＝1(3) ∵b 9＝1，∴b 18－k ·b k ＝b 29＝1， ∴b 18－n b 19－n ·…·b n ＝b 2n －179＝1，∴(3)式成立，即(1)式成立．综上可知，当等比数列{b n }满足b 9＝1时，有：b 1b 2…b n ＝b 1b 2…b 17－n (n ＜17，n ∈N *)成立．9．已知等差数列{a n }的公差为d ，前n 项和为S n ，等比数列{b n }的公比为q ，前n 项积为T n ，类比等差数列的性质，填写等比数列的相应性质(m ，n ，k ，w ∈N *).[n 1n m m n k w ，则a m ·a n＝a 2w T n ，T 2n T n ，T 3nT 2n构成等比数列 三、解答题10．先解答(1)，再根据结构类比解答(2)．(1)已知a 、b 为实数，且|a |<1，|b |<1，求证：ab ＋1>a ＋b .(2)已知a 、b 、c 均为实数，且|a |<1，|b |<1，|c |<1，求证：abc ＋2>a ＋b ＋c . [解析] (1)ab ＋1－(a ＋b )＝(a －1)(b －1)>0.(2)∵|a |<1，|b |<1，|c |<1，据(1)得(ab )·c ＋1>ab ＋c ， ∴abc ＋2＝[(ab )·c ＋1]＋1>(ab ＋c )＋1＝(ab ＋1)＋c >a ＋b ＋c .[点评] (1)与(2)的条件与结论有着相同的结构，通过分析(1)的推证过程及结论的构成进行类比推广得出：(ab )·c ＋1＞ab ＋c 是关键．用归纳推理可推出更一般的结论：a i 为实数，|a i |＜1，i ＝1、2、…、n ，则有：a 1a 2…a n＋(n －1)＞a 1＋a 2＋…＋a n .一、选择题11．下列类比推理恰当的是( )A ．把a (b ＋c )与log a (x ＋y )类比，则有log a (x ＋y )＝log a x ＋log a yB ．把a (b ＋c )与sin(x ＋y )类比，则有sin(x ＋y )＝sin x ＋sin yC ．把(ab )n与(a ＋b )n类比，则有(a ＋b )n＝a n＋b nD ．把a (b ＋c )与a ·(b ＋c )类比，则有a ·(b ＋c )＝a ·b ＋a ·c [答案] D[解析] 选项A ，B ，C 没有从本质属性上类比，是简单类比，从而出现错误． 12．如图所示，椭圆中心在坐标原点，F 为左焦点，当FB →⊥AB →时，其离心率为5－12，此类椭圆被称为“黄金椭圆”．类比“黄金椭圆”，可推算出“黄金双曲线”的离心率e 等于( )A ．5＋12B ．5－12C ．5－1D ．5＋1[答案] A[解析] 如图所示，设双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，则F (－c,0)，B (0，b )，A (a,0)， ∴FB →＝(c ，b )，AB →＝(－a ，b )， 又∵FB →⊥AB →，∴FB →·AB →＝b 2－ac ＝0， ∴c 2－a 2－ac ＝0，∴e 2－e －1＝0，∴e ＝1＋52或e ＝1－52(舍去)，故应选A.13．(2013·辽师大附中期中)类比三角形中的性质： (1)两边之和大于第三边 (2)中位线长等于底边长的一半 (3)三内角平分线交于一点 可得四面体的对应性质：(1)任意三个面的面积之和大于第四个面的面积(2)过四面体的交于同一顶点的三条棱的中点的平面面积等于该顶点所对的面面积的14(3)四面体的六个二面角的平分面交于一点 其中类比推理方法正确的有( ) A ．(1) B ．(1)(2) C ．(1)(2)(3) D ．都不对[答案] C[解析] 以上类比推理方法都正确，需注意的是类比推理得到的结论是否正确与类比推理方法是否正确并不等价，方法正确结论也不一定正确．二、填空题14．(2014·阜阳一中模拟)若等差数列{a n }的前n 项和为S n ，则S 2n －1＝(2n －1)a n .由类比推理可得：在等比数列{b n }中，若其前n 项的积为P n ，则P 2n －1＝________.[答案] b 2n －1n[解析] 将等差数列前n 项和类比到等比数列前n 项的积，将等差中项的“倍数”类比到等比中项的“乘方”．因为等差数列{a n }的前n 项和为S n ，则S 2n －1＝(2n －1)a n .所以类比可得：在等比数列{b n }中，若其前n 项的积为P n ，则P 2n －1＝b 2n －1n.15．(2014·湖南长沙实验中学、沙城一中联考)在平面几何里有射影定理：设△ABC 的两边AB ⊥AC ，D 是A 点在BC 上的射影，则AB 2＝BD ·BC .拓展到空间，在四面体A －BCD 中，DA ⊥平面ABC ，点O 是A 在平面BCD 内的射影，类比平面三角形射影定理，△ABC 、△BOC 、△BDC 三者面积之间关系为________．[答案] S 2△ABC ＝S △OBC ·S △DBC[解析] 将直角三角形的一条直角边长类比到有一侧棱AD 与一侧面ABC 垂直的四棱锥的侧面ABC 的面积，将此直角边AB 在斜边上的射影及斜边的长，类比到△ABC 在底面的射影△OBC 及底面△BCD 的面积可得S 2△ABC ＝S △OBC ·S △DBC .16．在以原点为圆心，半径为r 的圆上有一点P (x 0，y 0)，则圆的面积S 圆＝πr 2，过点P 的圆的切线方程为x 0x ＋y 0y ＝r 2.在椭圆x 2a ＋y 2b＝1(a >b >0)中，当离心率e 趋近于0时，短半轴b 就趋近于长半轴a ，此时椭圆就趋近于圆．类比圆的面积公式得椭圆面积S椭圆＝________.类比过圆上一点P (x 0，y 0)的圆的切线方程，则过椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)上一点P (x 1，y 1)的椭圆的切线方程为________．[答案] πabx 1a 2·x ＋y 1b2·y ＝1 [解析] 当椭圆的离心率e 趋近于0时，椭圆趋近于圆，此时a ，b 都趋近于圆的半径r ，故由圆的面积S ＝πr 2＝π·r ·r ，猜想椭圆面积S 椭＝π·a ·b ，其严格证明可用定积分处理．而由切线方程x 0·x ＋y 0·y ＝r 2变形得x 0r 2·x ＋y 0r2·y ＝1，则过椭圆上一点P (x 1，y 1)的椭圆的切线方程为x 1a 2·x ＋y 1b2·y ＝1，其严格证明可用导数求切线处理．三、解答题 17．点P ⎝⎛⎭⎪⎫22，22在圆C ：x 2＋y 2＝1上，经过点P 的圆的切线方程为22x ＋22y ＝1，又点Q (2,1)在圆C 外部，容易证明直线2x ＋y ＝1与圆相交，点R ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12在圆C 的内部．直线12x ＋12y ＝1与圆相离．类比上述结论，你能给出关于一点P (a ，b )与圆x 2＋y 2＝r 2的位置关系与相应直线与圆的位置关系的结论吗？[解析] 点P (a ，b )在⊙C ：x 2＋y 2＝r 2上时，直线ax ＋by ＝r 2与⊙C 相切；点P 在⊙C 内时，直线ax ＋by ＝r 2与⊙C 相离；点P 在⊙C 外部时，直线ax ＋by ＝r 2与⊙C 相交．容易证明此结论是正确的．18．我们知道：12＝ 1， 22＝(1＋1)2＝12＋2×1＋1， 32＝(2＋1)2＝22＋2×2＋1， 42＝(3＋1)2＝32＋2×3＋1， ……n 2＝(n －1)2＋2(n －1)＋1，左右两边分别相加，得n 2＝2×[1＋2＋3＋…＋(n －1)]＋n∴1＋2＋3＋…＋n ＝n n ＋2.类比上述推理方法写出求12＋22＋32＋…＋n 2的表达式的过程． [解析] 我们记S 1(n )＝1＋2＋3＋…＋n ，S 2(n )＝12＋22＋32＋…＋n 2，…S k (n )＝1k ＋2k ＋3k ＋…＋n k (k ∈N *)．已知13＝ 1， 23＝(1＋1)3＝13＋3×12＋3×1＋1， 33＝(2＋1)3＝23＋3×22＋3×2＋1， 43＝(3＋1)3＝33＋3×32＋3×3＋1， ……n 3＝(n －1)3＋3(n －1)2＋3(n －1)＋1.将左右两边分别相加，得S 3(n )＝[S 3(n )－n 3]＋3[S 2(n )－n 2]＋3[S 1(n )－n ]＋n .由此知S 2(n )＝n 3＋3n 2＋2n －3S 1n3＝2n 3＋3n 2＋n 6＝n n ＋n ＋6.。
高二数学科学案§2.1.1 合情推理（2）——类比推理、合情推理【学习目标】1.结合已学过的数学实例，了解类比推理的含义；2. 能利用类比进行简单的推理，体会并认识类比推理在数学发现中的作用【学习难点】利用归纳法进行间接的类比推理【问题导学】预读教材第71—77页有关内容回答下列问题：1.试将平面上的圆与空间的球进行类比，填写教材表格提示：圆的定义：平面内到一个定点的距离等于定长的点的集合球的定义：对应的类比圆球弦←→截面圆直径←→大圆周长←→表面积面积←→体积2.什么是类比推理？其基本步骤是什么？3.类比推理的特点以及类比的原则是什么？4.类比推理的结论一定正确吗？5.什么叫做合情推理，用框图的形式将合情推理的过程写出来。
并叙述合情推理在数学中的作用。
【实践演练】用三角形的下列性质类比出四面体的有关性质.【基础练习】1.下列说法中正确的是（）.A.合情推理是正确的推理B.合情推理就是类比推理C.归纳推理是从一般到特殊的推理D.类比推理是从特殊到特殊的推理2.下面使用类比推理正确的是（）.A.“若33a b ⋅=⋅,则a b =”类推出“若00a b ⋅=⋅,则a b =”B.“若()a b c ac bc +=+”类推出“()bc ac c b a -=⋅”C.“若()a b c ac bc +=+” 类推出“cb c a c b a +=+ （c≠0）” D.“n n a a b =n （b ）” 类推出“n n a a b +=+n （b ）3.三角形的面积为()c b a r c b a S ,,,21⋅++=为三角形的边长，r 为三角形内切圆的半径，利用类比推理，可得出四面体的体积为（ ）A 、abc V 31=B 、Sh V 31= C 、()r S S S S V 432131+++= （4321,,,S S S S 分别为四面体的四个面的面积，r 为四面体内切球的半径）D 、)(,)(31为四面体的高h h ac bc ab V ++=. 4.判断下列推理那些是合情推理，那些是不合情推理：（1）c b b a //,//，则c a //； （2）c b c a ⊥⊥,，则c a ⊥（3）三角形内角和为180°，四边形内角和为360°，五边形的内角和为540°；（4）今天星期日，七天之后也是星期日5.在等差数列{}n a 中，若010=a 有等式n n a a a a a a -+++=+++192121 ()*,19N n n ∈<成立，类比上述性质，相应地：在等比数列{}n b 中，若19=b ，则有什么等式成立？ 注意阅读导学方案中的“点拨”体会推理的特征。
2.1.2 类比推理一、教学目标1．通过对已学知识的回顾，认识类比推理这一种合情推理的基本方法，并把它用于对问题的发现中去。
2．类比推理是从特殊到特殊的推理，是寻找事物之间的共同或相似性质，类比的性质相似性越多，相似的性质与推测的性质之间的关系就越相关，从而类比得出的结论就越可靠。
3．正确认识合情推理在数学中的重要作用，养成从小开始认真观察事物、分析问题、发现事物之间的质的联系的良好个性品质，善于发现问题，探求新知识。
认识数学在日常生产生活中的重要作用，培养学生学数学，用数学，完善数学的正确数学意识。
二、教学重点：了解合情推理的含义，能利用类比进行简单的推理。
了解归纳推理的含义，能利用归纳进行简单的推理。
教学难点：用类比进行推理，做出猜想。
三、教学方法：教具准备：与教材内容相关的资料。
课时安排：1课时四、教学过程一．问题情境从一个传说说起：春秋时代鲁国的公输班（后人称鲁班，被认为是木匠业的祖师）一次去林中砍树时被一株齿形的茅草割破了手，这桩倒霉事却使他发明了锯子.他的思路是这样的：茅草是齿形的；茅草能割破手.我需要一种能割断木头的工具；它也可以是齿形的.这个推理过程是归纳推理吗？二．数学活动我们再看几个类似的推理实例。
例1、试根据等式的性质猜想不等式的性质。
等式的性质：猜想不等式的性质：(1) a=b⇒a+c=b+c; (1) a＞b⇒a+c＞b+c;(2) a=b⇒ ac=bc; (2) a＞b⇒ ac＞bc;(3) a=b⇒a2=b2;等等。
(3) a＞b⇒a2＞b2;等等。
问：这样猜想出的结论是否一定正确？例2、试将平面上的圆与空间的球进行类比.圆的定义：平面内到一个定点的距离等于定长的点的集合.球的定义：到一个定点的距离等于定长的点的集合.圆 球弦←→截面圆 直径←→大圆周长←→表面积面积←→体积 等的两截面圆不等，距球心较近的截面圆较大☆上述两个例子均是这种由两个（两类）对象之间在某些方面的相似或相同，推演出他们在其他方面也相似或相同；或其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理（简称类比）．简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理．类比推理的一般步骤：⑴ 找出两类对象之间可以确切表述的相似特征；⑵ 用一类对象的已知特征去推测另一类对象的特征，从而得出一个猜想；⑶ 检验猜想。
