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高中数学-类比推理课件

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高中数学2类比推理课件a选修12a高二选修12数学课件

高中数学2类比推理课件a选修12a高二选修12数学课件

第八页，共四十二页。
类比平面内正三角形的“三边相等，三内角相等”的 性质，可推知正四面体有下列性质：
①各棱长相等，同一顶点上的任两条棱的夹角都相 等；②各个面都是全等的正三角形，相邻两个面所成的二 面角都相等；③各个面都是全等的正三角形，同一顶点上 的任两条棱的夹角都相等．
第九页，共四十二页。
Байду номын сангаас
1．类比推理是数学命题来源的另一条途径，也是知识 推广的思维过程．学习立体几何常常通过类比平面几何， 发现和得到一些立体几何的结论．
第三十六页，共四十二页。
易错警示系列
类比推理不严格致误．
【典例】 已知a1，b1，c1，a2，b2，c2都是非零实
数，不等式a1x2＋b1x＋c1<0，a2x2＋b2x＋c2<0的解集分别为
M，N，则“
a1 a2
＝bb21＝cc12
”是“M＝N”成立的________条件
(选填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分
第十一页，共四十二页。
3．归纳推理与类比推理都是合情推理．归纳推理是从 特殊过渡到一般的思想方法，类比推理是由此及彼和由彼 及此的联想方法，归纳和类比离不开观察、分析、对比、 联想，许多数学知识都是通过归纳与类比发掘出来的．学 习数学时要注意培养自己的观察能力、分析能力、联想能 力和创新能力．合情推理只是一种猜测，结论不一定正 确．
2．两类事物有一定的相似之处，可以是实数与向量、 实数与复数、圆与球、平面几何与立体几何，也可以是不 同的圆锥曲线．
第十页，共四十二页。
数学的许多分支都有相通之处，也有可类比之处，这 有助于我们研究一些陌生的问题．但利用类比推理得出的 结论不一定正确，还需要严格的推理证明．这一点与归纳 推理类似．
高二数学选修课件时类比推理

高二数学选修课件时类比推理


的联系和相似的性质，如对数运算法则、指数方程的解法等。
03
三角函数与反三角函数的类比
三角函数和反三角函数是数学中的重要内容，它们之间有着相似的性质
和图像特征，如周期性、振幅、相位等概念。
03 类比推理在解题中应用举 例
选择题中应用
题目类型识别
通过类比推理，识别题目类型，从而 选择相应的解题方法。例如，对于与 已知题目类似的题目，可以借鉴已知 题目的解题思路和方法。
误区三
机械类比。将不同领域的对象进 行简单的机械类比，忽略它们之 间的内在联系和逻辑关系，导致 推理结果不合理。避免方法：在 类比时注重逻辑性和内在联系， 确保类比的逻辑性和科学性。
拓展延伸：类比推理在其他学科中应用
物理学中的应用
化学中的应用
通过类比已知物理现象和规律，发现新的 物理现象和规律；借助类比推理解决复杂 的物理问题。
判断
在识别出相似关系后，需要进一步判断这种相似关系是否足 以支持类比推理的结论。这需要对相似关系的本质和程度进 行深入分析，以确定类比推理的可行性和可靠性。
相似性与差异性分析
相似性分析
在类比推理中，相似性分析是关键步骤之一。它涉及对两个或多个对象的共同特征和属性进行比较和 归纳，以确定它们之间的相似程度。相似性分析有助于我们找到对象之间的内在联系和规律。
误区警示及避免方法
误区一
过度泛化。将不同领域的对象进 行类比时，容易忽略它们之间的 本质差异，导致错误的推理结果 。避免方法：在类比前深入分析 对象的本质属性和特征，确保类 比的合理性。
误区二
忽视细节。在类比过程中，容易 忽略一些重要的细节差异，导致 推理结果不准确。避免方法：在 类比时关注细节，特别是那些可 能对推理结果产生重要影响的细 节。
高中数学北师大版选修1-2 3.1.2 类比推理课件(34张)

高中数学北师大版选修1-2 3.1.2 类比推理课件(34张)

( ) ①各棱长相等，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等 ②各个面都是全等的正三角形，相邻两个面所成的二面角 都相等 ③各个面都是全等的正三角形，同一顶点上的任两条棱的 夹角都相等 A．① B．①②
C．①②③
[答案] C
D．③
[ 解析 ]
因为正三角形的边和角可以与正四面体的面 ( 或
棱)和相邻的两面成的二面角(或共顶点的两棱夹角)类比，所以 ①②③都恰当．
[答案] C
[解析]
A中，3与0两个数的性质不同，故类比中把3换成
0，其结论不成立；B中，乘法满足对加法的分配律，但乘法不 满足对乘法的分配律； C 是正确的； D 中，令 n ＝ 2 显然不成 立．
4 ．类比平面内正三角形的“三边相等，三内角相等”的
性质，可推知正四面体的下列哪些性质，你认为比较恰当的是
[答案] C
[解析] 为合适． 从构成几何图形的几何元素的数目、位置关系、 度量等方面考虑，用平行四边形作为平行六面体的类比对象较
2 ． 鲁班发明锯子的思维过程为：带齿的草叶能割破行人
的腿，“锯子”能“锯”开木材，它们在功能上是类似的．因
此，它们在形状上也应该类似，“锯子”应该是齿形的．该过 程体现了( ) B．类比推理 D．以上说法都不对 A．归纳推理 C．没有推理 [答案] B [解析] 推理是根据一个或几个已知的判断来确定一个新 的判断的思维过程，上述过程是推理，由性质类比可知是类比
(2)三角形Байду номын сангаас中位线等于第三边的一半，且平行于第三边．
[解析] 三角形与四面体有下列相似的性质： ①三角形是平面内由直线段所围成的最简单的封闭图形；
四面体是空间中由平面所围成的最简单的封闭图形．
②三角形可以看作平面上一条线段外一点与这条线段端点 连线所形成的图形；四面体可以看作空间中一个三角形所在平 面外一点与这个三角形顶点连线所形成的图形．
高中数学 2.1.1 第2课时类比推理课件 新人教A版选修22

高中数学 2.1.1 第2课时类比推理课件 新人教A版选修22

第十页，共39页。
牛刀小试
1．鲁班发明锯子的思维过程为：带齿的草叶能割破行人的
腿，“锯子”能“锯”开木材，它们在功能上是类似的．因此，
它们在形状上也应该类似，“锯子”应该是齿形的．该过程体现
了( )
A．归纳推理(tuīlǐ)
B．类比推理(tuīlǐ)
C．没有推理(tuīlǐ)
D．以上说法都不对
[答案] B
相似的属性．据此，在圆与球的相关元素之间可以建立如下的
对应关系：
弦
↔
截面圆，
直径 ↔
大圆，
周长 ↔
表面积，
圆面积 ↔
球体积，
等等．于是，根据圆的性质，可以猜测球的性质如下表所
示：
第二十页，共39页。
圆的性质 圆心与弦(不是直径)的中点的 连线垂直于弦 与圆心距离相等的两弦相等； 与圆心距离不等的两弦不等， 距圆心较近的弦较长 圆的切线垂直于经过切点的半 径； 经过圆心且垂直于切线的直线 必经过切点 经过切点且垂直于切线的直线 必经过圆心 圆的周长 c＝πd
第二十二页，共39页。
将平面图形与空间图形作类比，按可作类比的属性(shǔxìng)Fra bibliotek填空.
平面图形 点 线
空间图形 线 面
圆
球
三角形 线线角
边长 周长 面积
…
________ ________ ________ ________ ________
…
[答案] 四面体 二面角 面积 表面积 体积
第二十三页，共39页。
在Rt△ABC中，若∠C＝90°，则cos2A＋cos2B＝1，则在空 间中，给出四面体性质(xìngzhì)的猜想．
[解析] 如图，在Rt△ABC中，
高中数学 第一章 推理与证明 1.1.2 类比推理课件

高中数学 第一章 推理与证明 1.1.2 类比推理课件


练习1：正三角形(zhènɡ sān jiǎo xínɡ)内任意一点到三 边距离之和是一个定值。
正四面体内任意(rènyì)一点到四个面的距离之和 是一个定值。
第十八页，共二十五页。
类比推理(lèi bǐ tuī lǐ)的特点： 1.由特殊(tèshū)到特殊(tèshū)的推理； 2.以旧的知识(zhī shi)为基础,推测新的结果，
问：这样猜想出的结论是否一定正确？
第九页，共二十五页。
例2：若数列an(n N )是等差数列，则数列
bn
a1
a2
a3 n
an ,(nN)也是等差数列。
类比上述性质，相应的：
若数列an(n N )是等比数列，则数列
bn _n_a_1_a_2_a_3 ___a_n _____,(nN)也是等比数列。
No 等的两截面圆面积相等。例5：类比平面内直角三角形的勾股定理,试给出空间中四面体性质的猜
想．。1.由特殊到特殊的推理(tuīlǐ)。——康德。由特殊到特殊的推理(tuīlǐ)。由部分到整体、特殊到 一般的推理(tuīlǐ)。通俗地说，合情推理(tuīlǐ)是指“合乎情理”的推理(tuīlǐ).。Ａ
以点P(x0,y0,z0)为球心,r为半径(bànjìng)
的球的方程为
(x-x0)2+(y-y0)2+(z-z0)2=r2.
第十三页，共二十五页。
例3.半径为r的圆的面积
，周长
若将r看作
上的变量，则
①，①式
可用语言叙述为：圆的面积函数(hánshù)的导数等于圆的周
长函数(hánshù)。对于半径为R的球，若将R看
第八页，共二十五页。
问题：有学生根据等式的性质(xìngzhì)类比不等式的性质(xìngzhì)。
高考数学复习课件：类比推理(共26张PPT)

高考数学复习课件：类比推理(共26张PPT)


的集合.
圆
球
弦
截面圆
直径
大圆
周长
表面积
面积
体积
探究： 利用圆的性质类比得出球的性质
圆的概念和性质
球的概念和性质
圆的周长 cSc= 2πR
球的表面积 S = 4πR2
圆的面积 S =πR2
球的体积 V = 4πR3
3
圆心与弦(非直径)中点的连线 球心与不过球心的截面(圆面)
垂直于弦
的圆心的连Leabharlann 垂直于截面通项公式 an a1 (n 1)d
an a1qn1
等差数列
等比数列
中项
任意实数a、b都有等 当且仅当a、b同号时才
差中项 ，为 a b 有等比中项 ，为 ab
2
下标等差,项等差 下标等差,项等比
n+m=p+q时,
n+m=p+q时,
性质
am+an= ap+aq
an am (n m)d
以点(x0,y0)为圆心, r为半径 以点(x0,y0,z0)为球心, r为半
的圆的方程为(x-x0)2+(y-
径的球的方程为(x-x0)2+(y-
y0)2 = r2
y0)2+(z-z0)2 = r2
练习
三角形的面积为S＝ 12(a＋b＋c)·r，a、b、c为三角形的
边长，r为三角形内切圆的半径，利用类比推理，可以得到四面
3、火星上是否有生命？
地球
火星
相似点: ①绕太阳运转、 ②绕轴自转、
③有大气层、
④有季节变换
由火星上大部分时间的温度适合地球上的某些已知生物的生存。 我们可以有新的猜想。
高一数学类比推理课件1(新201907)

高一数学类比推理课件1(新201907)

科学家猜想;火星上也可能有生命存在.
4)利用平面向量的基本定理类比得到空间向量 的基本定理.
在两类不同事物之间进行对比,找出若干 相同或相似点之后,推测在其他方面也可 以存在相同或相似之处的一种推理模式, 称为类比推理.(简称;类比) 类比推理的几个特点;
1.类比是从人们已经掌握了的事物的属性,推测正 在研究的事物的属性,是以旧有的认识为基础,类比 出新的结果. 2.类比是从一种事物的特殊属性推测另一种事物的 特殊属性.
3.类比的结果是猜测性的不lzhibiao/ 布林通道 ；
不求小成 戚继光又是一位杰出的兵器专家和军事工程家 山东微山县 李世民鉴于局势初定 ?劫辄以万数 如本无高颎 杨再思 诽谤者族 从赤松子游 及是进都督同知 邓禹前往追随 [48] 便在常风岭上为他建造了一座太尉殿 ．国学导航[引用日期2018-04-09] 君臣快然 勣甚重之 但张 良以在留城与刘邦首次相见为理由 戚继光像 欲以自固 理势具陈 扑通一声跪下说道：“特请夫人阅兵 皇泰主命戮洪建于左掖门外 李治闻讯后为之悲哭 强燕自此衰 左丞相杨坚专政 勣亦阴示其言 崔沆 ?勣对之号恸 洎勣之死 [39] 11.中外遂定 回来就起兵击齐 何以尚兹 ?李勣参与 围攻安市城（今辽宁海城东南营城子） 反应亦快 裴度 ?禹乃南至长安 18.请苏威接替 烧栈道张良定谋 下人厌 12.甲子 乞杀倭自效 斩首二千六百 继光督参将李超等击败之 颜渊命短 留侯画策 于是退之云阳 全部报告魏公 [131] 妻妾 破其城而不能服其心 坚持率燕军乘胜追击 公元 56年（中元元年） 大儒叔孙通说得好：“太子天下本 圯桥跪履 ”麾其兵进 ”又上以汉王年少 实则勇敢二字 至以老臣辅少主 隋文帝即位之后不久 禹因得更理兵勒众 他语中盛赞张良道：“夫运筹策于帷帐之中 后黄城 银城皆自拔遁去 号为望诸君 赐姓李氏 正在这
高一数学类比推理课件1(中学课件201910)

高一数学类比推理课件1(中学课件201910)


例1：类比平面内直角三角形的勾股定理， 试给出空间中四面体性质的猜想．
A
Ｂ c2=a2+b2
a
c
s1 o s2 s3
Ｃb
Ａ
B
C
猜想: S2△ABC =S2△AOB+S2△AOC+S2△BOC
例3：(2005年全国)计算机中常用的十六进 位制是逢１６进１的计算制，采用数字０９和字母Ａ-Ｆ共１６个计数符号，这些符 号与十进制的数的对应关系如下表；
十六进位 ０ １ ２ ３ ４ ５ ６ ７
十进位 ０ １ ２ ３ ４ ５ ６ ７
十六进位 ８ ９ Ａ Ｂ Ｃ Ｄ Ｅ Ｆ
十进位
８ ９ １０ １１ １２ １３ １４ １５
例如用１６进位制表示Ｅ+Ｄ＝１Ｂ，则 Ａ×Ｂ＝（ Ａ ）
Ａ．６E Ｂ．７２ Ｃ．５Ｆ Ｄ．０Ｂ
例4:(2001年上海)已知两个圆①x2+y2=1:与 ②x2+(y-3)2=1,则由①式减去②式可得上述两 圆的对称轴方程.将上述命题在曲线仍然为 圆的情况下加以推广,即要求得到一个更一 般的命题,而已知命题应成为所推广命题的 一个特例,推广的命题为-设--圆---的---方--程---为--①----------(-x--a)2+(y-b)2=r2与②(x-c)2+(y-d)2=r2（a≠c或 --b-≠---d--)-,--则--由---①---式--减---去--②---式---可--得---上---述--两---圆--的---对---称--轴--
3.类比的结果是猜测性的不一定可靠,但它却有发 现的功能.
； 重庆自考网 重庆自考网
；
时刑部以《贼盗律》反逆缘坐兄弟没官为轻 跨据淮海；流人禁乘马 嘉运以颖达所撰《正义》颇多繁杂 善属文 臣窃未安
人教A版高中数学选修《类比推理》课件

人教A版高中数学选修《类比推理》课件


人 教 A 版 高中 数学选 修2-2 第二章 《 类 比 推理》 课件
例1 把下列演绎推理写成三段论的形式． (1)在一个标准大气压下，水的沸点是100℃，所 以在一个标准大气压下把水加热到100℃时，水 会沸腾； (2)一切奇数都不能被2整除，2100＋1是奇数，所 以2100＋1不能被2整除； (3)三角函数都是周期函数，y＝tan α是三角函数 ，因此y＝tanα是周期函数．
人 教 A 版 高中 数学选 修2-2 第二章 《 类 比 推理》 课件
人 教 A 版 高中 数学选 修2-2 第二章 《 类 比 推理》 课件
变式训练1 三段论：“①小宏在2011年的高考中 考入了重点本科院校；②小宏在2011年的高考中 只要正常发挥就能考入重点本科院校；③小宏在 2011年的高考中正常发挥”中，“小前提”是 ________(填序号)． 解析：在这个推理中，②是大前提，③是小前提 ，①是结论． 答案：③
人 教 A 版 高中 数学选 修2-2 第二章 《 类 比 推理》 课件
人 教 A 版 高中 数学选 修2-2 第二章 《 类 比 推理》 课件
利用三段论证明几何 问题 在几何证明问题中，每一步都含着一般性原理， 都可以分析出大前提和小前提，将一般性原理应 用于特殊情况，就能得出相应结论．
人 教 A 版 高中 数学选 修2-2 第二章 《 类 比 推理》 课件
人 教 A 版 高中 数学选 修2-2 第二章 《 类 比 推理》 课件
【解】 (1)在一个标准大气压下，水的沸点是 100℃，大前提 在一个标准大气压下把水加热到100℃，小前提 水会沸腾．结论 (2)一切奇数都不能被2整除，大前提 2100＋1是奇数，小前提 2100＋1不能被2整除．结论 (3)三角函数都是周期函数，大前提 y＝tanα是三角函数，小前提 y＝tanα是周期函数．结论
高中数学 2.1.1合情推理-类比推理课件 新人教A版选修1-2

高中数学 2.1.1合情推理-类比推理课件 新人教A版选修1-2


例1、利用等差数列性质类比等比数列性质
等差数列
等比数列
定义 anan1d（ n2) an:an1q（ n2)
ana1(n1)d
通项公式
anam(nm )d
an a1qn1 an amqnm
前n项和
Sn
n(a1 an ) 2 n(n
na1 2
1)
d
Sn
na1
a1(1 q
1q
n
(q 1) ) (q 1)
探索新知 火星上是否有生命？
我国古代工匠鲁班类比带齿的草叶和蝗虫 的牙齿,发明了锯；人们仿照鱼类的外型和它
们在水中沉浮的原理,发明了潜水艇.
仿生学中许多发明的最初构想
都是类比生物机制得到的.
苍蝇的楫翅（又叫平衡棒）是“天然导航仪”， 人们模仿它制成了“振动陀螺仪”.这种仪器目前已 经应用在火箭和高速飞机上，实现了自动驾驶。
圆的周长 S=2πR
圆的面积 S =πR2
圆心与弦(非直径)中点的连线 垂直于弦
球的表面积 S=4πR2
球的体积 V = 4 π R 3
3
球心与截面(不过球心的圆面) 的圆心的连线垂直于截面
与圆心距离相等的两弦相等 与球心距离相等的两截面面积相等
与圆心距离不相等的两弦不相 与球心距离不相等的两截面面积
通俗地说，合情推理是指“合乎情理”的推理。
合情推理的应用
数学研究中，得到一个新结论之前，合 情推理常常能帮助我们猜测和发现结论.
证明一个数学结论之前，合情推理常常 能为我们提供证明的思路和方向.
(2005年全国)计算机中常用的十六进位制是逢16进 1的计算制，采用数字0-9和字母A-F共16个计数符 号，这些符号与十进制的数的对应关系如下表；
高中数学北师大版选修1-2 1.2 类比推理课件(32张)

高中数学北师大版选修1-2 1.2 类比推理课件(32张)

两个端点的连线所围成的图形；四面体可以看作是由三角形所
在平面外一点与这个三角形三个顶点的连线所围成的图形.
通过类比推理,根据三角形的性质推测空间四面体的性质填写下表：
三角形
三角形的两边之和大于第三边
四面体
三角形的中位线的长等于第三边长的一半 , 且平
行于第三边
三角形的三条内角平分线交于一点 , 且这个点是
富的联想,利用旧的知识帮助寻找思路或者将原问题降低难 度 ,先解决较简单的问题 ,再类比到复杂问题 ,常常可达到柳 暗花明的成效.
跟踪训练 2
1 设 f ( x) ＝ x ,利用课本中推导等差数列前 n 项和公 2＋ 2
式的方法,可求得 f(－5) ＋f(－ 4) ＋„＋f(0)＋„＋f(5)＋f(6) 的值是 3 2 ______.
§1 1.2
[学习目标]
归纳与类比 类比推理
1.通过具体实例理解类比推理的意义. 2.会用类比推理对具体问题作出推断.
知识点一
类比推理
(1)类比推理的含义
由于两类不同对象具有某些类似的特征 , 在此基础上 , 根据 一类对象的其他特征 ,推断另一类对象也具有类似的其他特征 , 这种推理过程称为类比推理. 类比推理是 两类事物特征之间 的推理.
(2)类比推理的特征 类比推理是从特殊到特殊的推理,简称类比．
(3)结论真假：利用类比推理得出的结论不一定是正确的.
(4)思维过程流程图：
观察、比较 ― → 联想、类推 ― → 猜想新的结论
思考 类比推理的结论能作为定理应用吗？
答 不能.因为类比推理的结论不一定正确，只有经过严格
的逻辑证明，说明其正确性，才能进一步应用.
n2＋2n－n nn＋1 所以 1＋2＋3＋„＋n＝ ＝ . 2 2

高中数学同步课件5.1.2 类比 (湘教版选修1-2)


③当n为奇数时，令n＝2k－1，k∈N＋，则 2k－2 Sn＝S2k－1＝S2k－2＋a2k－1＝ (a＋b)＋a 2 n－1 n＋1 n－1 ＝ (a＋b)＋a＝ a＋ b， 2 2 2 当n为偶数时，令n＝2k，k∈N＋，则 n Sn＝S2k＝k(a＋b)＝ (a＋b)． 2 n＋1 n－1 2 a＋ 2 b，n为奇数， 所以它的前n项的和Sn＝ na＋b，n为偶数. 2
解 可以从a1，a2的个数以及指数上进行推广，第一类型：
2 2 a1＋a2＋a3 a2 1＋a2＋a3 2 ≥ ， 3 3 2 2 2 a1＋a2＋a3＋a4 a2 ＋ a ＋ a ＋ a 1 2 3 4 2 ≥ ，…， 4 4 2 2 a1＋a2＋…＋an a2 ＋ a ＋…＋ a 1 2 n 2 ≥ ； n n
方法点评
本题是一道浅显的定义类比应用问题，通过
对等差数列定义及性质的理解，类比出等和数列的定义 和性质，很好地考查学生类比应用的能力．
2 a2 1＋a2 【训练1】 若a1，a2∈(0，＋∞)，则有不等式 2
a1＋a2 2 ≥ 2 成立，此不等式能推广吗？请你至少写出两
个不同类型的推广．
③张军某次考试成绩是100分，由此推出全班同学的成绩
都是100分； ④三角形的内角和为 180°，四边形的内角和为 360°， 五边形的内角和为540°，由此推断出凸n边形内角和是(n －2)×180°
A．①②
答案 C
B．①③
C．①
D．②④
2．下面使用类比推理恰当的是
(
)．
A．“若a· 3＝b· 3，则a＝b”类推出“若a· 0＝b· 0，则a＝b” a＋b a b B．“(a＋b)c＝ac＋bc”类推出“ ＝ ＋ ” c c c a＋b a b C．“(a＋b)c＝ac＋bc”类推出“ c ＝ c＋c(c≠0)” D．“(ab)n＝anbn”类推出“(a＋b)n＝an＋bn”
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平面图形的性质
空间图形的性质
1．一条直线把平面分成两个部分 一个平面把空间分成两个部分
2．同一平面内两条直线无公共点， 同一空间内两个平面无公共点，则它
则它们互相平行
们互相平行
3．同一平面内垂直于同一条直线 同一空间内垂直于同一个平面的两条
的两条直线平行
平面平行
4．同一平面内平行于同一条直线 的两条直线平行
qn
1q
(q 1) ) (q 1)
等差数列
等比数列
中项 性质
任意实数a、b都有等 当且仅当a、b同号时才
差中项 ，为 a b 有等比中项 ，为 ab
2
下标等差,项等差 下标等差,项等比
n+m=p+q时,
n+m=p+q时,
am+an= ap+aq
aman= apaq
an am 2anm
例2．试根据等式的性质猜想不等式的性质
等式的性质:
猜想不等式的性质:
(1) a=ba+c=b+c; (1) a＞ba+c＞b+c;
(2) a=b ac=bc; (2) a＞b ac＞bc;
(3) a=ba2=b2;等等 (3) a＞ba2＞b2;等等
问:这样猜想出的结论是否一定正确？
答:(1)对；(2),(3)不对。
这几个推理的过程是归纳推理吗？若不是，它与归纳 推理有什么区别？
2.1.1合情推理 （类比推理）
（一）类比推理
在学习空间向量时，我们是这样推测空 间向量的基本定理的:
由于平面向量与空间向量都是既有大小 又有方向的量，并且两者具有类似(或一致) 的运算性质(如都具有加法的交换律和结合 律等)，因此根据平面向量的基本定理，我 们推测空间向量也具有类似的性质:
猜想:凸n边形的对角线条数比凸n-1边形多n-2条对角线。由此，凸n边形对 角线条数为2+3+4+5+…+(n-2).
观察思考1
小帕蒂把成绩单交给爸爸，爸爸一看 有两门功课不及格，就冲着帕蒂怒气 冲冲地喊道:“你知道吗？华盛顿像你 这个年龄时是全校最优秀的学生。” 帕蒂不慌不忙地回答:“你知道吗？爸 爸，像你这个年龄时华盛顿已经是美 国总统了！”
an
am
ห้องสมุดไป่ตู้
a2 nm
2
2
Sm , S2m Sm , S3m S2m Sm , S2m Sm , S3m S2m
成公差为n2d等差数
成公比 qn 等比数列
列
练习:1.类比平面内直角三角形的勾股定理，试 给出空间中四面体性质的猜想．
Ｂ
a
c2c=a2+b2
A
s1 o s2
Ｃb
Ａ
s3
如图，四面体O
（二）类比推理的一般步骤:
(1) 找出两类对象之间可以确切表述的相似 特征； (2) 用一类对象的已知特征去推测另一类对 象的特征，从而得出一个猜想； (3) 检验猜想。
观察、比较
联想、类推
猜想新结论
小结 ☞
类比推理 由特殊到特殊的推理
类比推理 注意
以旧的知识为基础,推测新 的结果，具有发现的功能
三角形
四面体
三角形两边之和大 四面体任意三个面的面积之和大
于第三边.
于第四个面的面积
根据三角形的性质，可以推测空间四面
体的性质如下:
三角形
四面体
三角形两边之和大 于第三边.
三角形三条内角 平分线交于一点， 且这个点是三角形 内切圆的圆心。
四面体任意三个面的面积之和大 于第四个面的面积
四面体的六个二面角的平分面 交于一点，且这个点是四面体的 内切球的球心。
归纳推理的定义:
❖ 由某类事物的 部分对象 具有某些特征，
推出该类事物的 全部都对具象 有这样特征
的推理，或者由
个别概事括实出
一般的结论
推理，称为归纳推理(简称归纳)．简言之，
归纳推理是由
到部分 、整由体 到个别
的一般推理．
[例 1] 根据下列条件，写出数列中的前 4 项，并归 纳猜想它的通项公式．
例3.利用等差数列性质类比等比数列性质
等差数列
等比数列
定义 an an1 d（n 2) an : an1 q（n 2)
an a1 (n 1)d
通项公式
an am (n m)d
an a1qn1 an amqnm
前n项和
Sn
n(a1 2
an )
na1
n(n 2
1)
d
Sn
na1 a1 (1
则T4，____,
_____,
T16 T12
成等比数列.
T8 T12
T4 T8
4.
1.已知数列
{an}是等差数
列，则
{a1+a2+n…+an}
是等差数列。若已知数列{bn}(bn>0, n∈N*)是
等比数列，类比上述等差数列，则
是
等比数列？
答：数列{ n a1a2…an}是等比数列.
6．类比下列平面图形的性质，写出空间图形的性质:
等于第三边的一半， 棱的中点为顶点的三角形）的面 且平行于第三边。 积等于第四个面的面积的一半，
且平行于第四个面。
一般地，如果类比的相似性越多，相似 的性质与推测的性质之间越相关，那么类 比得出的命题就越可能为真。
类比推理的一般步骤:
⑴ 找出两类对象之间相似形或一致性； ⑵ 用一类对象的已知特征去推测另一类对
象的特征，从而得出一个命题(猜想)；
例1．找出圆与球的相似性质，并用圆的下 列性质类比球的有关性质:
（1）圆心与弦(非直径)中点的连线垂直 于弦；
（2）与圆心距离相等的两弦相等； （3）圆的周长C=πd（d是直径）； （4）圆的面积S=πr2.
解:圆与球有下列相似的性质: （1）圆是平面上到一定点距离等于定长的 所有点构成的集合；球面是空间中到一定 点距离等于定长的所有点构成的集合； （2）圆是平面内封闭的曲线所围成的对称 图形；球是空间中封闭曲面是围成的对称 图形。
三角形与四面体有如下类似的性质: （1）三角形是平面内由直线段所围成的最 简单的封闭图形；四面体是空间由平面所 围成的最简单的封闭图形； （2）三角形可以看作平面上一条线段外一 点与这条线段上各点连线所形成的图形； 四面体可以看作三角形所在平面外一点与 这个三角形上各点连线所形成的图形。
根据三角形的性质，可以推测空间四面 体的性质如下:
观察思考2
春秋时代鲁国的公输班（后人称鲁班， 被认为是木匠业的祖师）一次去林中砍树 时被一株齿形的茅草割破了手，这桩倒霉 事却使他发明了锯子.
他的思路是这样的:
茅草是齿形的； 茅草能割破手.
我需要一种能割断木头的工具；它也可以是齿形的.
观察思考3 仿照鱼类的外型和它们在水中沉浮 的原理,发明了潜水艇.
(1)a1＝3，an＋1＝2an＋1； (2)a1＝a，an＋1＝2－1 an； (3)对一切的 n∈N*，an＞0，且 2 Sn＝an＋1.
凸n边形有多少条对角线？
凸四边形有2条对角线， 凸五边形有5条对角线， 比凸四边形多3条； 凸六边形有9条对角线， 比凸五边形多4条；
……
凸n边形有多少条对角线？
同一空间内平行于同一个平面的 两个平面平行
5．平行四边形对边平行且相等
平行六面体对面平行且面积相等
6．矩形对角线长相等
长方体对角面的面积相等
7．正方形外接圆与内切圆的圆心 重合
8．正三角形外接圆与内切圆的圆 心重合
9．等面积法
正方体外接球与内切球的球心重合 正四面体外接球与内切球的球心重合
等体积积法
面积相等
圆
球
圆心与弦（非直 球心与截面圆（不经过球心的
径）中点的连线垂 小截面圆）圆心的连线垂直于截
直于弦
面
与圆心距离相等的 与球心距离相等的两个截面圆的
两弦相等
面积相等
圆的周长C=πd(d为 球的表面积S=πd2(d为直径) 直径)
圆
球
圆心与弦（非直 球心与截面圆（不经过球心的
径）中点的连线垂 小截面圆）圆心的连线垂直于截
根据三角形的性质，可以推测空间四面
体的性质如下:
三角形
四面体
三角形两边之和大 四面体任意三个面的面积之和大
于第三边.
于第四个面的面积
三角形三条内角 四面体的六个二面角的平分面
平分线交于一点， 且这个点是三角形 内切圆的圆心。
交于一点，且这个点是四面体的 内切球的球心。
三角形的中位线 四面体的中截面（以任意三条
直于弦
面
与圆心距离相等的 与球心距离相等的两个截面圆的
两弦相等
面积相等
圆的周长C=πd(d为 球的表面积S=πd2(d为直径) 直径)
圆的面积S=πr2
球的体积V=πr3
其中前三个类比得到的结论是正确的， 最后一个猜测则是错误的。由此可见，类 比的结论值具有或然性，即可能真，也可 能假。
虽然有类比所得到的结论未必是正确的， 但它所具有的有特殊到特殊的认识功能， 等于发现新的规律和事实却是十分有用的。
类比推理的结论不一定成立
归纳推理
由部分到整体、特殊到一般的推理; 以观察分析为基础,推测新的结论; 具有发现的功能; 结论不一定成立.
类比推理
由特殊到特殊的推理; 以旧的知识为基础,推测新的结果； 具有发现的功能; 结论不一定成立.
归纳推理和类比推理的过程
从具体问 题出发
观察、分析、 比较、联想
通过与圆的有关性质类比，可以推测球 的有关性质:
圆
球