北师大版高中数学类比推理17页精品ppt课件
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高中数学北师大版选修2-1第三章1.2《类比推理》ppt课件
[例2] 类比实数的加法和向量的加法，列出它们相似的 运算性质．
[精解详析] (1)两实数相加后，结果是一个实数，两向 量相加后，结果仍是向量；
(2)从运算律的角度考虑，它们都满足交换律和结合律， 即：a＋b＝b＋a，a＋b＝b＋a， (a＋b)＋c＝a＋(b＋c)，(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)；
定义
特征
由于两类不同对象具有某些 类似的特
征 ，在此基础上，根据一类对象的其他
类比推理是
两类事物特征 之
特征，推断另一类对象也具有 类似的其他
特征 ，把这种推理过程称为类比推理. 间的推理.
合情推理的含义 合情推理是根据实验和实践的结果、个人的经验和直 觉、已有的 事实 和正确的结论( 定义、公理、定理 等)， 推测出某些结果的推理方式． 归纳推理 和 类比推理 是最常见的合情推理．
⑤ 搁置问题抓住老师的思路。碰到自己还没有完全理解老师所讲内容的时候，最好是做个记号，姑且先把这个问题放在一边，继续听老师讲后面的 内容，以免顾此失彼。来自：学习方法网
⑥ 利用笔记抓住老师的思路。记笔记不仅有利于理解和记忆，而且有利于抓住老师的思路。
2019/8/29
最新中小学教学课件
25
谢谢欣赏！
3．试根据等式的性质猜想不等式的性质并填写下表.
等式 a＝b⇒a＋c＝b＋c
a＝b⇒ac＝bc a＝b⇒a2＝b2
不等式 ① ② ③
答案：①a>b⇒a＋c>b＋c ②a>b⇒ac>bc(c>0) ③a>b>0⇒a2>b2.(说明：“>”也可改为“<”)
4．已知等差数列{an}的公差为 d，am，an 是{an}的任意两项 (n≠m)，则 d＝ann－－mam，类比上述性质，已知等比数列{bn}
高中数学北师大版选修1-2 3.1.2 类比推理课件(34张)
( ) ①各棱长相等，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等 ②各个面都是全等的正三角形，相邻两个面所成的二面角 都相等 ③各个面都是全等的正三角形，同一顶点上的任两条棱的 夹角都相等 A．① B．①②
C．①②③
[答案] C
D．③
[ 解析 ]
因为正三角形的边和角可以与正四面体的面 ( 或
棱)和相邻的两面成的二面角(或共顶点的两棱夹角)类比，所以 ①②③都恰当．
[答案] C
[解析]
A中，3与0两个数的性质不同，故类比中把3换成
0，其结论不成立；B中，乘法满足对加法的分配律，但乘法不 满足对乘法的分配律； C 是正确的； D 中，令 n ＝ 2 显然不成 立．
4 ．类比平面内正三角形的“三边相等，三内角相等”的
性质，可推知正四面体的下列哪些性质，你认为比较恰当的是
[答案] C
[解析] 为合适． 从构成几何图形的几何元素的数目、位置关系、 度量等方面考虑，用平行四边形作为平行六面体的类比对象较
2 ． 鲁班发明锯子的思维过程为：带齿的草叶能割破行人
的腿，“锯子”能“锯”开木材，它们在功能上是类似的．因
此，它们在形状上也应该类似，“锯子”应该是齿形的．该过 程体现了( ) B．类比推理 D．以上说法都不对 A．归纳推理 C．没有推理 [答案] B [解析] 推理是根据一个或几个已知的判断来确定一个新 的判断的思维过程，上述过程是推理，由性质类比可知是类比
(2)三角形Байду номын сангаас中位线等于第三边的一半，且平行于第三边．
[解析] 三角形与四面体有下列相似的性质： ①三角形是平面内由直线段所围成的最简单的封闭图形；
四面体是空间中由平面所围成的最简单的封闭图形．
②三角形可以看作平面上一条线段外一点与这条线段端点 连线所形成的图形；四面体可以看作空间中一个三角形所在平 面外一点与这个三角形顶点连线所形成的图形．
C．①②③
[答案] C
D．③
[ 解析 ]
因为正三角形的边和角可以与正四面体的面 ( 或
棱)和相邻的两面成的二面角(或共顶点的两棱夹角)类比，所以 ①②③都恰当．
[答案] C
[解析]
A中，3与0两个数的性质不同，故类比中把3换成
0，其结论不成立；B中，乘法满足对加法的分配律，但乘法不 满足对乘法的分配律； C 是正确的； D 中，令 n ＝ 2 显然不成 立．
4 ．类比平面内正三角形的“三边相等，三内角相等”的
性质，可推知正四面体的下列哪些性质，你认为比较恰当的是
[答案] C
[解析] 为合适． 从构成几何图形的几何元素的数目、位置关系、 度量等方面考虑，用平行四边形作为平行六面体的类比对象较
2 ． 鲁班发明锯子的思维过程为：带齿的草叶能割破行人
的腿，“锯子”能“锯”开木材，它们在功能上是类似的．因
此，它们在形状上也应该类似，“锯子”应该是齿形的．该过 程体现了( ) B．类比推理 D．以上说法都不对 A．归纳推理 C．没有推理 [答案] B [解析] 推理是根据一个或几个已知的判断来确定一个新 的判断的思维过程，上述过程是推理，由性质类比可知是类比
(2)三角形Байду номын сангаас中位线等于第三边的一半，且平行于第三边．
[解析] 三角形与四面体有下列相似的性质： ①三角形是平面内由直线段所围成的最简单的封闭图形；
四面体是空间中由平面所围成的最简单的封闭图形．
②三角形可以看作平面上一条线段外一点与这条线段端点 连线所形成的图形；四面体可以看作空间中一个三角形所在平 面外一点与这个三角形顶点连线所形成的图形．
北师大版选修1-2--第三章-1-1.2-类比推理----课件(27张)
2 + 3 + 4 ), 得r=
3
1 +2 +3 +4
3
.
命题(猜想).
知识梳理
名师点拨1.类比推理是从人们已经掌握了的事物特征,推测正在
被研究中的事物的特征.所以由类比推理得出的结果具有猜测性,
不一定可靠.
2.类比推理以旧的知识作为基础,推测新的结果,具有发现功能.
知识梳理
【做一做1】 类比平面内正三角形的“三边相等,三内角相等”的
性质,可推知正四面体有下列性质:
比平面、由内切圆类比内切球、由平面图形面积类比立体图形的
体积,结合求三角形的面积的方法类比求四面体的体积即可.
1
2
3
4
解:设四面体的内切球的球心为O,则球心O到四个面的距离都是内
切球半径r,所以四面体的体积等于以O为顶点,分别以四个面为底
1
面的四个小三棱锥的体积之和,则四面体的体积为 VA-BC = (1 +
答案:①
1
2
3
4
4.设△ABC 的三边长分别为 a,b,c,△ABC 的面积为 S,内切圆半径为 r,
2
则 r=
. 类比这个结论可知, 四面体 − 的四个面的面积分
++
别为1 , 2 , 3 , 4 , 内切球半径为, 四面体 − 的体积为, 求.
分析:根据平面与空间之间的类比推理,由点类比直线、由直线类
典例透析
题型一
题型二
题型三
题型四
2
解:(1)在椭圆中的推广:过椭圆 2
+
2
2
= 1( > > 0)
上异于直径两端点的任意一点与这条直径的两个端点连线,则两条
3
1 +2 +3 +4
3
.
命题(猜想).
知识梳理
名师点拨1.类比推理是从人们已经掌握了的事物特征,推测正在
被研究中的事物的特征.所以由类比推理得出的结果具有猜测性,
不一定可靠.
2.类比推理以旧的知识作为基础,推测新的结果,具有发现功能.
知识梳理
【做一做1】 类比平面内正三角形的“三边相等,三内角相等”的
性质,可推知正四面体有下列性质:
比平面、由内切圆类比内切球、由平面图形面积类比立体图形的
体积,结合求三角形的面积的方法类比求四面体的体积即可.
1
2
3
4
解:设四面体的内切球的球心为O,则球心O到四个面的距离都是内
切球半径r,所以四面体的体积等于以O为顶点,分别以四个面为底
1
面的四个小三棱锥的体积之和,则四面体的体积为 VA-BC = (1 +
答案:①
1
2
3
4
4.设△ABC 的三边长分别为 a,b,c,△ABC 的面积为 S,内切圆半径为 r,
2
则 r=
. 类比这个结论可知, 四面体 − 的四个面的面积分
++
别为1 , 2 , 3 , 4 , 内切球半径为, 四面体 − 的体积为, 求.
分析:根据平面与空间之间的类比推理,由点类比直线、由直线类
典例透析
题型一
题型二
题型三
题型四
2
解:(1)在椭圆中的推广:过椭圆 2
+
2
2
= 1( > > 0)
上异于直径两端点的任意一点与这条直径的两个端点连线,则两条
【高中课件】北师大版选修22高考数学1.1归纳与类比课件ppt.ppt
归纳推理的特点: (1)归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理; (2)归纳推理的前提是部分的、个别的事实,因此,归纳推理的结论超出 了前提所界定的范围,其前提和结论之间的联系不是必然性的,而是或然性 的,所以“前提真而结论假”的情况是有可能发生的; (3)人们在进行归纳推理的时候,先搜集一定的事实材料,有个别性的、 特殊性的事实作为前提,然后才能进行归纳推理,因此,归纳推理要在观察和 实验的基础上进行; (4)归纳推理能够发现新事实、获得新结论,是科学发现的重要手段.
答案:B
点评
归纳推理是立足于观察、经验或实验的基础上的,认真全面地分析已知 条件是得出正确结论的关键.
探究一
探究二
探究三
������变式训练 1������观察下列等式:
1=1,
13=1,
1+2=3,
13+23=9,
1+2+3=6, 13+23+33=36,
1+2+3+4=10, 13+23+33+43=100,
质为
.
解析:圆心类比椭圆焦点,圆外一点类比椭圆外一点,圆的切线类比椭圆
的切线,∠POA=∠POB 类比∠PFA=∠PFB,于是可得类比结论为:过椭圆
������2 ������2
+
������������22=1(a>b>0)外一点
P
作椭圆的两条切线
PA,PB,其中
A,B
为切点,若
F
为椭圆的一个焦点,则∠PFA=∠PFB.
探究三
探究二类比推理
1.类比推理的一般步骤: (1)找出两类事物之间的相似性或一致性; (2)用一类事物的性质去推测另一类事物的性质,得出一个明确的命题 (猜想). 2.类比推理得到的结论不一定正确,所以我们要进行验证或证明.
答案:B
点评
归纳推理是立足于观察、经验或实验的基础上的,认真全面地分析已知 条件是得出正确结论的关键.
探究一
探究二
探究三
������变式训练 1������观察下列等式:
1=1,
13=1,
1+2=3,
13+23=9,
1+2+3=6, 13+23+33=36,
1+2+3+4=10, 13+23+33+43=100,
质为
.
解析:圆心类比椭圆焦点,圆外一点类比椭圆外一点,圆的切线类比椭圆
的切线,∠POA=∠POB 类比∠PFA=∠PFB,于是可得类比结论为:过椭圆
������2 ������2
+
������������22=1(a>b>0)外一点
P
作椭圆的两条切线
PA,PB,其中
A,B
为切点,若
F
为椭圆的一个焦点,则∠PFA=∠PFB.
探究三
探究二类比推理
1.类比推理的一般步骤: (1)找出两类事物之间的相似性或一致性; (2)用一类事物的性质去推测另一类事物的性质,得出一个明确的命题 (猜想). 2.类比推理得到的结论不一定正确,所以我们要进行验证或证明.
高中数学第一章推理与证明1.1归纳与类比1.1.2类比推理课件北师大版选修22
反思1.等差数列与等比数列是一对重要的类比对象,两者在很多 方面可以进行类比,例如,等差数列中项的加、减运算与等比数列 中的乘、除运算相对应.
2.进行类比推理时,要注意比较两个对象的相同点和不同点,找到 可以进行类比的两个量,然后加以推测,得到类比结果,最好能够结 合相关的知识进行证明,以确保类比结果的合理性.
题型一 题型二 题型三
设等比数列{bn}的公比为 q,首项为 b1,
则 T4= ������14������6, ������8 = ������18������1 + 2 + ⋯+7= ������18������28,
T12= ������112������1 + 2 + ⋯+11= ������112������66,
答案:
������8 ������4
������12 ������8
题型一 题型二 题型三
题型二 平面几何与空间几何之间的类比
【例2】 在矩形ABCD中,对角线AC与两邻边AB,BC所成的角分 别为α,β,则cos2α+cos2β=1.在立体几何中,通过类比,给出一个猜想 并证明.
分析:本题主要考查类比推理的思想,考虑到平面几何中的矩形, 故可联想到立体几何中的长方体.
相似比的平方.同理,两个正四面体是两个相似的几何体,它们的体
积之比为相似比的立方,故体积比为1∶8.
答案:1∶8
2.合情推理与演绎推理 (1)归纳推理和类比推理是最常见的合情推理. (2)合情推理是根据实验和实践的结果、个人的经验和直觉、已有的 事实和正确的结论(定义、公理、定理等),推测出某些结果的推理方式. (3)演绎推理是根据已知的事实和正确的结论,按照严格的逻辑法则 得到新结论的推理过程. 【做一做2】 判断下列由合情推理所得的结论是否正确,并说明理由. (1)f(x)=(x-1)(x-2)(x-3)…(x-100)+2.因为 f(1)=2,f(2)=2,f(3)=2,…,f(100)=2,所以归纳猜想f(n)=2(n∈N+); (2)“在平面内,垂直于同一条直线的两条直线互相平行”,类比可得“在 空间中,垂直于同一个平面的两个平面互相平行”. 解:(1)不正确.当n>100时,f(n)≠2. (2)不正确.在空间中,垂直于同一
2.进行类比推理时,要注意比较两个对象的相同点和不同点,找到 可以进行类比的两个量,然后加以推测,得到类比结果,最好能够结 合相关的知识进行证明,以确保类比结果的合理性.
题型一 题型二 题型三
设等比数列{bn}的公比为 q,首项为 b1,
则 T4= ������14������6, ������8 = ������18������1 + 2 + ⋯+7= ������18������28,
T12= ������112������1 + 2 + ⋯+11= ������112������66,
答案:
������8 ������4
������12 ������8
题型一 题型二 题型三
题型二 平面几何与空间几何之间的类比
【例2】 在矩形ABCD中,对角线AC与两邻边AB,BC所成的角分 别为α,β,则cos2α+cos2β=1.在立体几何中,通过类比,给出一个猜想 并证明.
分析:本题主要考查类比推理的思想,考虑到平面几何中的矩形, 故可联想到立体几何中的长方体.
相似比的平方.同理,两个正四面体是两个相似的几何体,它们的体
积之比为相似比的立方,故体积比为1∶8.
答案:1∶8
2.合情推理与演绎推理 (1)归纳推理和类比推理是最常见的合情推理. (2)合情推理是根据实验和实践的结果、个人的经验和直觉、已有的 事实和正确的结论(定义、公理、定理等),推测出某些结果的推理方式. (3)演绎推理是根据已知的事实和正确的结论,按照严格的逻辑法则 得到新结论的推理过程. 【做一做2】 判断下列由合情推理所得的结论是否正确,并说明理由. (1)f(x)=(x-1)(x-2)(x-3)…(x-100)+2.因为 f(1)=2,f(2)=2,f(3)=2,…,f(100)=2,所以归纳猜想f(n)=2(n∈N+); (2)“在平面内,垂直于同一条直线的两条直线互相平行”,类比可得“在 空间中,垂直于同一个平面的两个平面互相平行”. 解:(1)不正确.当n>100时,f(n)≠2. (2)不正确.在空间中,垂直于同一
北师版数学高二选修1-2课件 归纳与类比
an＝a1qn－1
性质 若m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq 若m＋n＝p＋q，则am·an＝ap·aq
跟踪训练3 若数列{an}(n∈N＋)是等差数列，则有数列bn＝a1＋a2＋n …＋an (n∈N＋)也是等差数列；类比上述性质，相应地：若数列{cn}是等比数列， 且cn>0，则有数列dn＝_n_c_1_c_2c_3_…_c_n_(n∈N＋)也是等比数列.
解答
(1)类比推理的一般步骤
反思与感悟
(2)中学阶段常见的类比知识点：等差数列与等比数列，空间与平面，圆与 球等等，比如平面几何的相关结论类比到立体几何的相关类比点如下：
平面图形 点
直线 边长 面积 三角形 线线角
空间图形 直线 平面 面积 体积 四面体 面面角
跟踪训练4 如图，在长方形ABCD中，对角线AC与两邻边所成的角分别 为α，β，cos2α＋cos2β＝1，则在立体几何中，给出类比猜想并证明.
答案
梳理
(1)定义：由两类不同对象具有某些 类似 的特征在此基础上，根据一类对 象的其他特征，推断 另一类对象 也具有类似的其他特征的推理称为类比 推理(简称类化). (2)特征：由特殊 到 特殊 的推理.
知识点三 合情推理
思考1
归纳推理与类比推理有何区别与联系？ 答案 区别：归纳推理是由特殊到一般的推理，而类比推理是 由特殊到特殊的推理. 联系：在前提为真时，归纳推理与类比推理的结论都可真可假.
C.n2
D.n
解析 答案
反思与感悟
图形中归纳推理的特点及思路 (1)从图形的数量变化规律入手，找到数值变化与数量的关系. (2)从图形结构变化规律入手，找到图形的结构每发生一次变化后，与上 一次比较，数值发生了怎样的变化.
北师大版高中数学课件ppt课件ppt
等差数列与等比数列
总结词
等差数列和等比数列是两种常见的数列类型，它们在数学和实际生活中有着广泛的应用 。
详细描述
等差数列是指每两个连续的项之间的差是一个常数的数列，这种数列的特点是每项与前 一项的差值是固定的。等比数列是指每两个连续的项之间的比是一个常数的数列，这种 数列的特点是每项与前一项的比值是固定的。这两种数列在实际生活中有着广泛的应用
04
函数有多种分类方法，如按照定义域和值域的类型可 以分为离散函数和连续函数，按照对应关系可以分为 一对一、多对一和一对多等类型。
函数的性质与应用
01
性质与应用
02
函数的性质包括奇偶性、单调性、周期性和对称性等。这些性质在解 决实际问题中有着广泛的应用。
03
利用函数的性质可以研究函数的图像和变化规律，解决实际问题中的 优化问题、最值问题等。
Part
05
解析几何初步
直线的方程与性质
直线方程的几种形式
点斜式、两点式、截距式、斜截式等，这些形式可以用来表示不 同的直线，并描述它们在平面上的位置关系。
直线的基本性质
直线的倾斜角和斜率，以及它们与直线方程之间的关系。
直线方程的应用
解决实际问题中涉及的直线问题，如求两点之间的距离、求直线的 交点等。
三角函数的图像与变换
三角函数的图像
正弦函数、余弦函数、正切函数 的图像分别呈现出不同的波形， 这些波形具有周期性变化的特征 。
三角函数的变换
通过平移、伸缩、对称等变换， 可以改变三角函数的图像形态， 进而研究它们的性质和应用。
三角函数的应用
解决三角形问题
利用三角函数可以解决直角三角 形、斜三角形中的角度和边长问 题。
高中数学北师大版选修1-2第三章《类比推理典例导航》ppt课件
2 2.
令 S＝f(－5)＋f(－4)＋…＋f(5)＋f(6)
则 S＝f(6)＋f(5)＋…＋f(－4)＋f(－5)
∴2S＝[f(－5)＋f(6)]＋[f(－4)＋f(5)]＋…＋[f(5)＋ f(－4)]＋[f(6)＋f(－5)] ＝12× 22＝6 2. ∴S＝3 2.
编后语
老师上课都有一定的思路，抓住老师的思路就能取得良好的学习效果。在上一小节中已经提及听课中要跟随老师的思路，这里再进一步论述听课时如何 抓住老师的思路。
已知在 Rt△ABC 中，AB⊥AC，AD⊥BC 于 D，有A1D2 ＝A1B2＋A1C2成立．那么在四面体 ABCD 中，类比上述结论， 你能得到怎样的猜想，试说明理由．
[解题过程] 猜想：类比 AB⊥AC，AD⊥BC，可以猜想 四面体 ABCD 中，AB，AC，AD 两两垂直，AE⊥平面 BCD.
类比上述求法，请你求出 13＋23＋33＋…＋n3 的值．
• 由题目可获取以下主要信息： • ①给出了求前n个正整数平方和的方 法； • ②类比此法写出求前n个正整数的立 方和． • 解 答 本 题 可 类 比 所 给 求 12 ＋ 22 ＋ 32 ＋…＋n3的和的解法，将n个等式分别相
• [解题过程] ∵24－14＝4×13＋6×12＋ 4×1＋1， • 34－24＝4×23＋6×22＋4×2＋1， • 44－34＝4×33＋6×32＋4×3＋1，
则A1E2＝A1B2＋A1C2＋A1D2. 如右图，连接 BE，并延长交 CD 与 F，连接 AF.
∵AB⊥AC，AB⊥AD， ∴AB⊥平面 ACD. 而 AF⊂平面 ACD，∴AB⊥AF. 在 Rt△ABF 中，AE⊥BF. ∴A1E2＝A1B2＋A1F2 ∵在 Rt△ACD 中，AF⊥CD. ∴A1F2＝A1C2＋A1D2. ∴A1E2＝A1B2＋A1C2＋A1D2，故猜想正确．
北师大版数学高二课件 1.1 归纳与类比
有性质P
答案
由于两类不同对象
A类事物具有性
具有某些类似的特
质a，b，c，d
征，在此基础上，
B类事物具有性 观察、比较
根据一类对象的其 类比推理是由 质a′，b′，
↓
类比推理 他特征，推断另一 特殊到特殊的 c′(a，b，c与 联想、类比
类对象_也__具_有__类__似__ 推理
a′，b′，c′
↓
的其他特征 ，我们
解析答案
(2)a1＝a，an＋1＝2－1 an； 解 由已知可得a1＝a， a2＝2－1a1＝2－1 a，a3＝2－1a2＝32－－2aa， a4＝2－1 a3＝34－ －23aa.
n－1－n－2a 猜想 an＝ n－n－1a (n∈N＋).
12345
解析答案
(3)对一切的 n∈N＋，an>0，且 2 Sn＝an＋1. 解 ∵2 Sn＝an＋1，
解析 由求直角三角形外接圆的半径的方法，
通过类比得出求三条侧棱两两垂直的三棱锥外接球的半径的方法为：首先
将该三棱锥补全为长方体，而长方体的体对角线长就是三棱锥的外接球的
a2＋b2＋c2
直径，从而得出该三棱锥的外接球的半径 R＝
2
.
解析答案
思维拓展 合情推理的应用
归纳推理、类比推理都是合情推理，归纳推理是由部分到整体、由个别 到一般的推理；而类比推理则是通过某两类对象在对比中启发猜想结论. 这些结论未必正确，要进一步验证(或证明)其正确性. 例3 设f(n)＝n2＋n＋41，n∈N＋，计算f(1)，f(2)，f(3)，f(4)，…，f(10) 的值，同时作出归纳推理，并用n＝40验证猜想是否正确.
第一章 推理与证明
1.1 归纳与类比
《3.1.2 类比推理》课件-优质公开课-北师大选修1-2精品
试根据下表中的提示填空. 含义 特征 两类事物特征 (1)类比推理是_____________ 之间的推理； (2)利用类比推理得出的结论 不一定 填“一定”或“不一 _______( 定”)是正确的.
由于两类不同对象具有某些 类似 的特征,在此基础上,根 _____
据一类对象的其他特征,推断 类似 的其 另一类对象也具有_____ 他特征,我们把这种推理过程 称为类比推理. 数列中的类比【技法点拨】
数列中的常见类比及解答策略
(1)数列中的类比主要体现在等差数列与等比数列的类比.常见 的有：类比定义、类比性质、类比方法、类比结构等. (2)解答策略： ①等差数列的和 ②等差数列的差 类比 类比 等比数列的积； 等比数列的商.
【典例训练】 1.对于等差数列{an}有如下命题：“若{an}是等差数列， a1=0，s，t是互不相等的正整数，则有(s-1)at-(t-1)as=0”. 类比此命题，给出等比数列{bn}相应的一个正确命题是： “______________________________________”.
T8 1＋2＋ ＋11 12 66 4 22 T 4 38 12 T12＝ b12 q ＝ b q ， ＝ b 1 1 1 q ， ＝b1 q . T4 T8
T8 2 T12 T8 T12 ( ) ＝ T ， 4 即 T 故T4， ， 成等比数列. T T4 T8 4 8 T12 T16 同理可得 T8 ， ， 成等比数列. T4 T8 T12 T12 答案：T8 T4 T8
(3)由于类比的前提是两类对象之间具有某些可以清楚定义的 类似特征，所以，进行类比推理的关键是明确地指出两类对象 在某些方面具有类似特征. 2.类比推理的三个步骤 (1)寻找：找出两类对象之间可以确切表述的相似特征； (2)推测：用一类对象的已知特征去推测另一类对象的特征(猜 想) ；
由于两类不同对象具有某些 类似 的特征,在此基础上,根 _____
据一类对象的其他特征,推断 类似 的其 另一类对象也具有_____ 他特征,我们把这种推理过程 称为类比推理. 数列中的类比【技法点拨】
数列中的常见类比及解答策略
(1)数列中的类比主要体现在等差数列与等比数列的类比.常见 的有：类比定义、类比性质、类比方法、类比结构等. (2)解答策略： ①等差数列的和 ②等差数列的差 类比 类比 等比数列的积； 等比数列的商.
【典例训练】 1.对于等差数列{an}有如下命题：“若{an}是等差数列， a1=0，s，t是互不相等的正整数，则有(s-1)at-(t-1)as=0”. 类比此命题，给出等比数列{bn}相应的一个正确命题是： “______________________________________”.
T8 1＋2＋ ＋11 12 66 4 22 T 4 38 12 T12＝ b12 q ＝ b q ， ＝ b 1 1 1 q ， ＝b1 q . T4 T8
T8 2 T12 T8 T12 ( ) ＝ T ， 4 即 T 故T4， ， 成等比数列. T T4 T8 4 8 T12 T16 同理可得 T8 ， ， 成等比数列. T4 T8 T12 T12 答案：T8 T4 T8
(3)由于类比的前提是两类对象之间具有某些可以清楚定义的 类似特征，所以，进行类比推理的关键是明确地指出两类对象 在某些方面具有类似特征. 2.类比推理的三个步骤 (1)寻找：找出两类对象之间可以确切表述的相似特征； (2)推测：用一类对象的已知特征去推测另一类对象的特征(猜 想) ；
高中数学北师大版选修2-2第1章《类比推理》ppt参考课件
⑵ 用一类对象的性质去推测另一类对象的性质， 从而得出一个猜想；
⑶ 检验猜想。
类比推理的一般步骤:
观察、比较
联想、类推
猜想新结论 10
例1、试将平面上的圆与空间的球进行类比.
圆的定义：平面内到一个定点的距离等于定长的 点的集合.
球的定义：到一个定点的距离等于定长的点的集 合.
圆
球
弦
截面圆
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
直径 周长
⑤ 搁置问题抓住老师的思路。碰到自己还没有完全理解老师所讲内容的时候，最好是做个记号，姑且先把这个问题放在一边，继续听老师讲后面的 内容，以免顾此失彼。来自：学习方法网
⑥ 利用笔记抓住老师的思路。记笔记不仅有利于理解和记忆，而且有利于抓住老师的思路。
2019/8/29
最新中小学教学课件
24
谢谢欣赏！
面积
大圆 表面积 体积
11
利用圆的性质类比得出球的性质
圆的概念和性质
圆的周长 S = 2πR
圆的面积 S =πR2
圆心与弦(非直径)中点的连线 垂直于弦
球的概念和性质
球的表面积 S = 4πR2
球的体积 V = 4πR3
3
球心与不过球心的截面(圆面) 的圆心的连线垂直于截面
与圆心距离相等的两弦相等 与球心距离相等的两截面面积相等
9
类比推理的特点;
1.类比是从人们已经掌握了的事物的属性,推测正在研究的 事物的属性,是以旧有的认识为基础,类比出新的结果. 2.类比是从一种事物的特殊属性推测另一种事物的特殊属性.
3.类比的结果是猜测性的不一定可靠,但它却有发现的功能.
类比推理的一般步骤：
⑴ 找出两类对象之间可以确切表述的相似性（或 一致性）；
⑶ 检验猜想。
类比推理的一般步骤:
观察、比较
联想、类推
猜想新结论 10
例1、试将平面上的圆与空间的球进行类比.
圆的定义：平面内到一个定点的距离等于定长的 点的集合.
球的定义：到一个定点的距离等于定长的点的集 合.
圆
球
弦
截面圆
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
直径 周长
⑤ 搁置问题抓住老师的思路。碰到自己还没有完全理解老师所讲内容的时候，最好是做个记号，姑且先把这个问题放在一边，继续听老师讲后面的 内容，以免顾此失彼。来自：学习方法网
⑥ 利用笔记抓住老师的思路。记笔记不仅有利于理解和记忆，而且有利于抓住老师的思路。
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面积
大圆 表面积 体积
11
利用圆的性质类比得出球的性质
圆的概念和性质
圆的周长 S = 2πR
圆的面积 S =πR2
圆心与弦(非直径)中点的连线 垂直于弦
球的概念和性质
球的表面积 S = 4πR2
球的体积 V = 4πR3
3
球心与不过球心的截面(圆面) 的圆心的连线垂直于截面
与圆心距离相等的两弦相等 与球心距离相等的两截面面积相等
9
类比推理的特点;
1.类比是从人们已经掌握了的事物的属性,推测正在研究的 事物的属性,是以旧有的认识为基础,类比出新的结果. 2.类比是从一种事物的特殊属性推测另一种事物的特殊属性.
3.类比的结果是猜测性的不一定可靠,但它却有发现的功能.
类比推理的一般步骤：
⑴ 找出两类对象之间可以确切表述的相似性（或 一致性）；
北师大版数学高二课件 第一章 1.2 类比推理
因为 AD⊥平面 ABC， 所以 AD⊥AE. 又 AM⊥DE， 所以 AE2＝EM·ED. 于是 S2△ABC＝21BC·AE2＝12BC·EM·12BC·ED＝S△BCM·S△BCD.
解：(1)数列 S20－S10，S30－S20，S40－S30 也是等差数列， 且公差为 300.该结论是正确的. 证明如下： ∵等差数列{an}的公差 d＝3， ∴(S30－S20)－(S20－S10)＝(a21＋a22＋…＋a30)－ (a11＋a12＋…＋a20)
＝10d＋10d＋…10d＝100d＝300， 10个
1 解：phaa＝212BBCC··phaa＝SS△△PABBCC， 同理，phbb＝SS△△APABCC，phcc＝SS△△APABBC. ∵S△PBC＋S△PAC＋S△PAB＝S△ABC， ∴phaa＋phbb＋phcc＝S△PBC＋SS△△APBACC＋S△PAB＝1.
类比上述结论得出以下结论：如图所示，在四面体 ABCD 中，设 ha，hb，hc，hd 分别是该四面体的四个顶点到对面的 距离，P 为该四面体内任意一点，P 到相应四个面的距离分 别为 pa，pb，pc，pd，可以得到结论phaa＋phbb＋phcc＋phdd＝1.
预习自测 1.类比平面内正三角形的“三边相等，三内角相等”的性质，可 推知正四面体的下列性质，你认为比较恰当的是________(填 序号). ①各棱长相等，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等； ②各个面都是全等正三角形，相邻两个面所成的二面角相等； ③各个面都是全等的正三角形，同一顶点上的任两条棱的夹 角都相等.
解：类似性质：若 M，N 为双曲线ax22－by22＝1(a>0，b>0)上关 于原点对称的两个点，点 P 是双曲线上任意一点，当直线 PM，PN 的斜率 kPM，kPN 都存在时，那么 kPM 与 kPN 之积是 与点 P 的位置无关的定值. 证明如下：设点 M，P 的坐标分别为(m，n)，(x，y)，则 N(－m，－n).因为点 M(m，n)是双曲线上的点，
北师大选修类比推理张
————数学家波利亚
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圆的概念和性质
球的类似概念和性质
圆心与弦(非直径)中点连线垂直 球心与截面圆(不经过球心的截面圆)
于弦.
的圆心连线垂直于截面圆.
与圆心距离相等的两弦相等;与圆 与球心距离相等的两截面圆面
心距离不等的两弦不等,距圆心较 积相等;与球心距离不等的两
第14页/共24页
例5：类比平面内直角三角形的勾股定 理,试给出空间中四面体性质的猜想．
第15页/共24页
例6:已知三角形的面积为S
1 2
(a
b
c)r
其中a、b、c 为三角形边长，r 为内
切圆的半径。利用类比推理写出四面
体的体积公式。
V
1 3
(S1
S2
S3
S)•
r
第16页/共24页
练习1：正三角形内任意一点到三边距 离之和是一个定值。 正四面体内任意一点到四个面的距离之和 是一个定值。
类比推理
由特殊到特殊的推理; 以旧的知识为基础,推测新的结果； 具有发现的功能; 结论不一定成立.
第20页/共24页
小结：
归纳推理和类比推理的过程：
从具体问 题出发
观察、分析、 比较、联想
归纳推理
合情推理 类比推理
归纳、 类比
提出 猜想
通俗地说，合情推理是指“合乎情理”的推理.
第21页/共24页
对这两种推理在数学活动中的作用， 著名的数学教育家 G ．波利亚作了精辟 的论述：“数学的创造过程与任何其他知 识的创造过程一样，在证明一个数学定理 之前，先得猜测这个定理的内容；在完成 详细的证明之前，先得推测证明的思 路．创造过程是一个艰苦曲折的过程．数 学家创造性的工作是论证推理，即证 明．但这个证明是通过合情推理、通过猜 想而发现的．”
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圆的概念和性质
球的类似概念和性质
圆心与弦(非直径)中点连线垂直 球心与截面圆(不经过球心的截面圆)
于弦.
的圆心连线垂直于截面圆.
与圆心距离相等的两弦相等;与圆 与球心距离相等的两截面圆面
心距离不等的两弦不等,距圆心较 积相等;与球心距离不等的两
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例5：类比平面内直角三角形的勾股定 理,试给出空间中四面体性质的猜想．
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例6:已知三角形的面积为S
1 2
(a
b
c)r
其中a、b、c 为三角形边长，r 为内
切圆的半径。利用类比推理写出四面
体的体积公式。
V
1 3
(S1
S2
S3
S)•
r
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练习1：正三角形内任意一点到三边距 离之和是一个定值。 正四面体内任意一点到四个面的距离之和 是一个定值。
类比推理
由特殊到特殊的推理; 以旧的知识为基础,推测新的结果； 具有发现的功能; 结论不一定成立.
第20页/共24页
小结：
归纳推理和类比推理的过程：
从具体问 题出发
观察、分析、 比较、联想
归纳推理
合情推理 类比推理
归纳、 类比
提出 猜想
通俗地说，合情推理是指“合乎情理”的推理.
第21页/共24页
对这两种推理在数学活动中的作用， 著名的数学教育家 G ．波利亚作了精辟 的论述：“数学的创造过程与任何其他知 识的创造过程一样，在证明一个数学定理 之前，先得猜测这个定理的内容；在完成 详细的证明之前，先得推测证明的思 路．创造过程是一个艰苦曲折的过程．数 学家创造性的工作是论证推理，即证 明．但这个证明是通过合情推理、通过猜 想而发现的．”
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例2 类比实数的加法和乘法,列出它们相似的运算性质.
类比角度 运算结果 实数的加法 若a,b∈R,则a+b∈R 实数的乘法 若a,b∈R,则ab∈R ab=ba (ab)c=a(bc) 乘法的逆运算是除法, 使得ax=1有唯一解 x=1/a a· 1=a
a+b=b+a 运算律 (交换律和 (a+b)+c=a+(b+c) 结合律) 逆运算 加法的逆运算是减法,使得 方程a+x=0有唯一解x=-a a+0=a
例3 类比平面内直角三角形的勾股定理,试 给出空间中四面体性质的猜想．
直角三角形
∠C＝90° 3个边的长度a，b，c 2条直角边a，b和1条斜边c
3个面两两垂直的四面体
∠PDF＝∠PDE＝∠EDF＝90° 4个面的面积S1，S2，S3和S
3个“直角面” S1，S2，S3 和1个“斜面” S
合情推理
3.类比的结果是猜测性的不一定可靠,但它却有发现的功能.
类比推理的一般步骤：
⑴ 找出两类对象之间可以确切表述的相似性（或 一致性）； ⑵ 用一类对象的性质去推测另一类对象的性质， 从而得出一个猜想； ⑶ 检验猜想。
类比推理的一般步骤:
观察、比较 联想、类推 猜想新结论
例1、试将平面上的圆与空间的球进行类比. 圆的定义：平面内到一个定点的距离等于定 长的点的集合. 球的定义：到一个定点的距离等于定长的点 的集合.
单位元
通过例1，例2你能得到类比推理的一般模式吗？
类比推理的一般模式:
A类事物具有性质a,b,c,d,
B类事物具有性质a’,b’,c’,
(a,b,c与a’,b’,c’相似或相同） 所以B类事物可能具有性质d .
’
类比推理举例
构成几何体的元素数目：四面体
三角形
例3 类比平面内直角三角形的勾股定理,试 给出空间 中四面体性质的猜想．
§1归纳与类比
1.2类比推理
复习
1.什么是归纳推理? 部分 整体
特殊
一般
2.归纳推理的一般步骤: (1)通过观察个别情况发现某些相同性质; (2)从已知的相同性质中推出一个明确表达的 一般性命题(猜想).
从一个传说说起：春秋时代鲁国的公输班（后 人称鲁班，被认为是木匠业的祖师）一次去林 中砍树时被一株齿形的茅草割破了手，这桩倒 霉事却使他发明了锯子. 他的思路是这样的： 茅草是齿形的； 茅草能割破手. 我需要一种能割断木头的工具；
4 3
与圆心距离相等的两弦相等 与球心距离相等的两截面面积相等 与圆心距离不相等的两弦不相 与球心距离不相等的两截面面积 等,距圆心较近的弦较长 不相等,距球心较近的面积较大 以点(x0,y0)为圆心, r为半径 的圆的方程为(x-x0)2+(yy0 )2 = r2 以点(x0,y0,z0)为球心, r为半 径的球的方程为(x-x0)2+(yy0)2+(z-z0)2 = r2
归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过 观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提 出猜想的推理，我们把它们统称为合情推理。 通俗地说，合情推理是指“合乎情理”的推理。
合情推理的应用
数学研究中，得到一个新结论之前，合情推理常常 能帮助我们猜测和发现结论。 证明一个数学结论之前，合情推理常常能为我们提 供证明的思路和方向
它也可以是齿形的. 这个推理过程是归纳推理吗？
试根据等式的性质猜想不等式的性质。
等式的性质：
(1) a=ba&1) a＞ba+c＞b+c;
(2) a=b ac=bc;
(3) a=ba2=b2;等等。
(2) a＞b ac＞bc;
(3) a＞ba2＞b2;等等。
圆
弦 直径 周长 面积
球
截面圆 大圆 表面积 体积
利用圆的性质类比得出球的性质 圆的概念和性质
圆的周长 S = 2πR 圆的面积 S =πR 2 圆心与弦(非直径)中点的连线 垂直于弦
球的概念和性质
球的表面积 S = 4πR 2 球的体积 V = πR 3 球心与不过球心的截面(圆面) 的圆心的连线垂直于截面
问：这样猜想出的结论是否一定正确？
火星上是否有生命？
火星
地球
相似点:绕太阳运转、绕轴自转、有大气层、有季节变换、大部 分时间的温度适合地球上的某些已知生物的生存等。 地球上有生命 猜想 火星上可能有生命
类比推理的定义:
由两类对象具有某些类似特征，和其中一类对象的某些
已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类
比推理（简称类比）． 简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理．
发明行星三大运动定律的开普勒曾说类比 推理是「自然奧妙的参与者」和自己「最好 的老师」 数学家波利亚曾指出“类比是一个伟大的 引路人,求解立体几何往往有赖于平面几何的类 比问题.”
类比推理的特点;
1.类比是从人们已经掌握了的事物的属性,推测正在研究的 事物的属性,是以旧有的认识为基础,类比出新的结果. 2.类比是从一种事物的特殊属性推测另一种事物的特殊属性.