高中数学选修1-2第三章推理与证明1归纳与类比12类比推理

( ) ①各棱长相等，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等 ②各个面都是全等的正三角形，相邻两个面所成的二面角 都相等 ③各个面都是全等的正三角形，同一顶点上的任两条棱的 夹角都相等 A．① B．①②
C．①②③
[答案] C
D．③
[ 解析 ]
因为正三角形的边和角可以与正四面体的面 ( 或
棱)和相邻的两面成的二面角(或共顶点的两棱夹角)类比，所以 ①②③都恰当．
[答案] C
[解析]
A中，3与0两个数的性质不同，故类比中把3换成
0，其结论不成立；B中，乘法满足对加法的分配律，但乘法不 满足对乘法的分配律； C 是正确的； D 中，令 n ＝ 2 显然不成 立．
4 ．类比平面内正三角形的“三边相等，三内角相等”的
性质，可推知正四面体的下列哪些性质，你认为比较恰当的是
[答案] C
[解析] 为合适． 从构成几何图形的几何元素的数目、位置关系、 度量等方面考虑，用平行四边形作为平行六面体的类比对象较
2 ． 鲁班发明锯子的思维过程为：带齿的草叶能割破行人
的腿，“锯子”能“锯”开木材，它们在功能上是类似的．因
此，它们在形状上也应该类似，“锯子”应该是齿形的．该过 程体现了( ) B．类比推理 D．以上说法都不对 A．归纳推理 C．没有推理 [答案] B [解析] 推理是根据一个或几个已知的判断来确定一个新 的判断的思维过程，上述过程是推理，由性质类比可知是类比
(2)三角形Байду номын сангаас中位线等于第三边的一半，且平行于第三边．
[解析] 三角形与四面体有下列相似的性质： ①三角形是平面内由直线段所围成的最简单的封闭图形；
四面体是空间中由平面所围成的最简单的封闭图形．
②三角形可以看作平面上一条线段外一点与这条线段端点 连线所形成的图形；四面体可以看作空间中一个三角形所在平 面外一点与这个三角形顶点连线所形成的图形．

2．演绎推理及合情推理不同，演绎推理是由一般到特 殊的推理，是数学证明中的基本推理形式，只要前提正确，推 理形式正确，得到的结论就正确．
第三章 章末归纳总结
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3．合情推理及演绎推理既有联系，又有区别，它们相 辅相成，前者为人们探索未知提出猜想提供科学的方法，后者 为人们证明猜想的正确性提供科学的推理依据．
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知识结构
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误区警示
第三章 章末归纳总结
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1．进行类比推理时，可以从①问题的外在结构特征， ②图形的性质或维数．③处理一类问题的方法．④事物的相似 性质等入手进行类比．要尽量从本质上去类比，不要被表面现 象迷惑，否则，只抓住一点表面的相似甚至假象就去类比，就 会犯机械类比的错误．
第三章 章末归纳总结
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类比推理 若记号“*”表示两个实数 a 与 b 的算术平均的
运算，即 a*b＝a＋2 b，则两边均含有运算符号“*”和“＋”，且 对于任意 3 个实数 a、b、c 都能成立的一个等式可以是________.
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[解析] x1＝f(x0)＝f(5)＝2， x2 ＝ f(2) ＝ 1 ， x3 ＝ f(1) ＝ 4 ， x4 ＝ f(4) ＝ 5 ， x5 ＝ f(5) ＝ 2，…，数列{xn}是周期为4的数列，所以x2015＝x3＝4，故应选 C．

3.1.1归纳推理学习目标：1.通过对已学知识的回顾，进一步体会合情推理这种基本的分析问题法，认识归纳推理的基本方法与步骤，并把它们用于对问题的发现与解决中去。

2.归纳推理是从特殊到一般的推理方法，通常归纳的个体数目越多，越具有代表性，那么推广的一般性命题也会越可靠，它是一种发现一般性规律的重要方法。

教学重点：了解合情推理的含义，能利用归纳法进行简单的推理。

教学难点：用归纳进行推理，做出猜想。

学习过程：一、课堂引入：从一个或几个已知命题得出另一个新命题的思维过程称为推理。

见书上的三个推理案例，回答几个推理各有什么特点？都是由“前提”和“结论”两部分组成，但是推理的结构形式上表现出不同的特点，据此可分为合情推理与演绎推理二、新课讲解：1、蛇是用肺呼吸的，鳄鱼是用肺呼吸的，海龟是用肺呼吸的，蜥蜴是用肺呼吸的。

蛇，鳄鱼，海龟，蜥蜴都是爬行动物，所有的爬行动物都是用肺呼吸的。

2、三角形的内角和是180︒，凸四边形的内角和是360︒，凸五边形的内角和是540︒由此我们猜想：凸边形的内角和是(2)180n-⨯︒3、221222221,,,331332333+++<<<+++L，由此我们猜想：a a mb b m+<+（,,a b m均为正实数）这种由某类事物的部分对象具有某些特征,推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理,或者由个别事实概栝出一般结论的推理,称为归纳推理.(简称：归纳) 归纳推理的一般步骤：⑴ 对有限的资料进行观察、分析、归纳整理；⑵ 提出带有规律性的结论，即猜想；⑶ 检验猜想。

三、例题讲解：例1 通过观察下列等式，猜想一个一般性结论，并证明结论的真假。

23130sin 75sin 15sin 222=++οοο；23145sin 85sin 25sin 222=++οοο； 23150sin 90sin 30sin 222=++οοο；23180sin 120sin 60sin 222=++οοο。

高中数学学习材料鼎尚图文*整理制作第三章 推理与证明 §1 归纳与类比课时目标 1.了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理.2.了解合情推理在数学发现中的作用．1．归纳与类比定义 特征归纳 推理 由某类事物的__________具有某些特征，推出该类事物的______对象都具有这些特征的推理，或者由________概括出________的推理归纳推理是由__________，由__________的推理类比 推理由两类对象具有某些____特征和其中一类对象的某些________，推出另一类对象也具有这些特征的推理 类比推理是由____________的推理2.合情推理归纳和类比都是合情推理，得出的结论____________________．一、选择题1．下列说法正确的是( )A ．由合情推理得出的结论一定是正确的B ．合情推理必须有前提有结论C ．合情推理不能猜想D ．合情推理得出的结论不能判断正误2．已知数列{a n }中，a 1＝1，当n ≥2时，a n ＝2a n －1＋1，依次计算a 2，a 3，a 4后，猜想a n 的一个表达式是( )A ．n 2－1B ．(n －1)2＋1C ．2n －1D ．2n －1＋13．根据给出的数塔猜测123456×9＋7等于( ) 1×9＋2＝1112×9＋3＝111 123×9＋4＝1111 1234×9＋5＝11111 12345×9＋6＝111111 ……A ．1111110B ．1111111C ．1111112D ．1111113 4．给出下列三个类比结论：①(ab )n ＝a n b n 与(a ＋b )n 类比，则有(a ＋b )n ＝a n ＋b n ；②log a (xy )＝log a x ＋log a y 与sin(α＋β)类比，则有sin(α＋β)＝sin αsin β； ③(a ＋b )2＝a 2＋2ab ＋b 2与(a ＋b )2类比，则有(a ＋b )2＝a 2＋2a·b ＋b 2. 其中结论正确的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．35. 观察图示图形规律，在其右下角的空格内画上合适的图形为( )A ．■B ．C ．□D ．○二、填空题6．已知正三角形内切圆的半径是高的13，把这个结论推广到空间正四面体，类似的结论是__________________________．7．观察下列等式：13＋23＝32,13＋23＋33＝62,13＋23＋33＋43＝102，…，根据上述规律，第五个等式为____________________．8．观察下列等式： ①cos 2α＝2c os 2α－1；②cos 4α＝8cos 4α－8cos 2α＋1；③cos 6α＝32cos 6α－48cos 4α＋18co s 2α－1；④cos 8α＝128cos 8α－256cos 6α＋160cos 4α－32cos 2α＋1；⑤cos 10α＝m cos 10α－1 280cos 8α＋1 120cos 6α＋n cos 4α＋p cos 2α－1. 可以推测，m －n ＋p ＝________.三、解答题9．观察等式sin 220°＋sin 240°＋sin 20°·sin 40°＝34；sin 228°＋sin 232°＋sin 28°·sin 32°＝34.请写出一个与以上两个等式规律相同的一个等式．10.已知正项数列{a n }的前n 项和S n 满足S n ＝12⎝⎛⎭⎫a n ＋1a n (n ∈N *)，求出a 1，a 2，a 3，并推测a n 的表达式．.能力提升11．观察(x 2)′＝2x ，(x 4)′＝4x 3，(cos x )′＝－sin x ，由归纳推理可得：若定义在R 上的函数f (x )满足f (－x )＝f (x )，记g (x )为f (x )的导函数，则g (－x )等于( )A ．f (x )B ．－f (x )C ．g (x )D ．－g (x )12．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1 (a >b >0)具有性质：若M 、N 是椭圆C 上关于原点对称的两点，点P 是椭圆C 上任意一点，当直线PM 、PN 的斜率都存在时，记为k PM 、k PN ，那么k PM与k PN 之积是与点P 位置无关的定值．试对双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1写出具有类似的特性的性质，并加以证明．1．归纳推理具有由特殊到一般，由具体到抽象的认识功能，归纳推理的一般步骤： (1)通过观察个别情况发现某些相同性质．(2)从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题(猜想)．2．运用类比推理必须寻找合适的类比对象，充分挖掘事物的本质及内在联系．在应用类比推理时，其一般步骤为：①找出两类对象之间可以确切表述的相似性(或一致性)．②用一类对象的性质去推测另一类对象的性质，从而得出一个猜想．③检验这个猜想．第三章 推理与证明 §1 归纳与类比答案知识梳理 1. 定义特征 一般步骤归纳 推理根据一类事物的部分对象具有某种性质，推出这类事物的所有 对象都具有这种性质的推理由特殊 到一般 1.通过观察个别情况发现某些共同性质；2.从已知的相同性质中推出一个明确表 述的一般性命题(猜想)类比 推理 根据两类不同事物之间具有某些类似(或一致)性，推测其中一类事物 具有与另一类事物类似(或相同)的性质的推理由特殊 到特殊1.找出两类事物的相似性或一致性；2.用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得到一个明确的命题(猜想)2.不一定是正确的 作业设计1．B [合情推理的结论不一定正确，但必须有前提有结论．]2．C [a 2＝2a 1＋1＝2×1＋1＝3，a 3＝2a 2＋1＝2×3＋1＝7，a 4＝2a 3＋1＝2×7＋1＝15，利用归纳推理，猜想a n ＝2n －1.故选C.]3．B [由数塔可以猜测，结果是各位都是1的七位数，即1111111.] 4．B5．A [图形涉及□、○、三种符号；其中○与各有3个，且各自有两黑一白，所以缺一个□符号，即应画上■才合适．]6．正四面体的内切球的半径是高的14解析 原问题的解法为等面积法，即S ＝12ah ＝3×12ar ⇒r ＝13h ，类比问题的解法应为等体积法，V ＝13Sh ＝4×13Sr ⇒r ＝14h ，即正四面体的内切球的半径是高的14.7．13＋23＋33＋43＋53＋63＝212 8．962解析 观察各式容易得m ＝29＝512，注意各等式右面的表达式各项系数和均为1，故有m －1 280＋1 120＋n ＋p －1＝1，将m ＝512代入得n ＋p ＋350＝0.对于等式⑤，令α＝60°，则有cos 600°＝512·1210－1 280·128＋1 120·126＋116n ＋14p －1，化简整理得n ＋4p ＋200＝0，联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧ n ＋p ＋350＝0，n ＋4p ＋200＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧n ＝－400，p ＝50. ∴m －n ＋p ＝962. 9．解 ∵20°＋40°＝60°，28°＋32°＝60°，而cos 60°＝12，sin 60°＝32，由此题的条件猜想，若α＋β＝60°，则sin 2α＋sin 2β＋sin α·sin β＝sin 2(α＋β)＝34.10．解 由a 1＝S 1＝12⎝⎛⎭⎫a 1＋1a 1得，a 1＝1a 1， 又a 1>0，所以a 1＝1.当n ≥2时，将S n ＝12⎝⎛⎭⎫a n ＋1a n ， S n －1＝12⎝⎛⎭⎫a n －1＋1a n －1的左右两边分别相减得a n ＝12⎝⎛⎭⎫a n ＋1a n －12⎝⎛⎭⎫a n －1＋1a n －1， 整理得a n －1a n ＝－⎝⎛⎭⎫a n －1＋1a n －1，所以a 2－1a 2＝－2，即a 22＋2a 2＋1＝2， 又a 2>0，所以a 2＝2－1.同理a 3－1a 3＝－22，即a 23＋22a 3＋2＝3， 又a 3>0，所以a 3＝3－ 2. 可推测a n ＝n －n －1.11．D [由所给函数及其导数知，偶函数的导函数为奇函数．因此当f (x )是偶函数时，其导函数应为奇函数，故g (－x )＝－g (x )．]12．证明 类似性质为：若M 、N 为双曲线x 2a 2－y 2b2＝1上关于原点对称的两个点，点P是双曲线上任一点，当直线PM 、PN 的斜率都存在，并记为k PM ，k PN 时，那么k PM 与k PN 之积是与P 点位置无关的定值．其证明如下：设P (x ，y )，M (m ，n )，则N (－m ，－n )，其中m 2a 2－n 2b 2＝1，即n 2＝b 2a 2(m 2－a 2)． ∴k PM ＝y －n x －m ，k PN ＝y ＋nx ＋m ，又x 2a 2－y 2b 2＝1，即y 2＝b 2a2(x 2－a 2)， ∴y 2－n 2＝b2a2(x 2－m 2)．∴k PM ·k PN ＝y 2－n 2x 2－m 2＝b 2a2.故k PM ·k PN 是与P 点位置无关的定值．。

思考：合情推理的结果为什么不一定正确？ [提示] 合情推理是由特殊到一般的推理，简单地说就是直接看出来 的，没有通过证明，只归纳了一部分，属于不完全归纳，所以不一定正确．
1．下面使用类比推理恰当的是( ) A．“若 a·3＝b·3，则 a＝b”类比推出“若 a·0＝b·0，则 a＝b” B．“(a＋b)c＝ac＋bc”类比推出“(a·b)c＝ac·bc” C．“(a＋b)c＝ac＋bc”类比推出“a＋c b＝ac＋bc(c≠0)” D．“(ab)n＝anbn”类比推出“(a＋b)n＝an＋bn”
【例 2】 如图所示，在平面上，设 ha，hb，hc 分别是△ABC 三条边 上的高，P 为△ABC 内任意一点，P 到相应三边的距离分别为 pa，pb，pc， 可以得到结论phaa＋phbb＋phcc＝1.
证明此结论，通过类比写出在空间中的类似结论，并加以证明． 思路点拨：三角形类比四面体，三角形的边类比四面体的面，三角形 边上的高类比四面体以某一面为底面的高．
判断．(难点)
学习，体现了逻辑推理的核心素养.
自主预习 探新知
1．类比推理 由于两类不同对象具有某些类似的特征，在此基础上，根据一类对象 的其他特征，推断另一类对象也具有类似的其他特征，我们把这种推理过 程称为类比推理． 类比推理是两类事物特征之间的推理．
2．合情推理 合情推理是根据实验和实践的结果、个人的经验和直觉、已有的事实 和正确的结论(定义、公理、定理等)，推测出某些结果 的推理方式． 合情推理的结果不一定正确．
1．在等比数列与等差数列的类比推理中，要注意等差与等比、加与 乘、减与除、乘法与乘方的类比特点．
2．类比推理的思维过程 观察、比较→联想、类推→猜测新的结论． 即在两类不同事物之间进行对比，找出若干相同或相似之处后，推测 这两类事物在其他方面的相同或相似之处．

2
解：当 当 当
1 n 6
时
2
n 1

n 1
n 1 n 1
2
n=7 时 n>8 时
2 2
n 1 n 1

2

2
二、类比 推理
地球
火星
行星、围绕太阳运行、绕 行星、围绕太阳运行、绕 轴自转 轴自转 有大气层 有大气层 一年中有四季的变更 温度适合生物的生存 一年中有四季的变更 大部分时间的温度适合地 球上某些已知生物的生存
一、归纳 推理
整 体 一 般
例1： 第一个数为2 ，第二个数为4，第三个数为6 ， 第四个数为8。猜想:第n个数为 2 n
部内角和为 凸五边形内角和为
180

4 2 180 360 540 5 2180
3 2180
为半径的圆的方程为 (x-x0)2+(y-y0)2=r2.
二、类比 推理
例4：类比平面内直角三角形的勾股定理， 试给出空间中四面体性质的猜想．
A Ｂ
c2=a2+b2
a
Ｃ
c b
Ａ B
s1
o s 2
C
s3
2 2 2 2 S =S +S +S 猜想: △ABC △AOB △AOC △BOC
归纳推理
由部分到整体、特殊到一般的推理; 以观察分析为基础,推测新的结论; 具有发现的功能; 结论不一定成立.
abba a b, b c a c a b ac bc a b ac bc
二、类比 推理
. 弦
. 截面圆 经过球心的截面圆 表面积 体积
直径
周长 面积
二、类比 推理

1 2 34 5
解析 答案
2.下面使用类比推理，得出的结论正确的是 A.若“a·3＝b·3，则a＝b”类比出“若a·0＝b·0，则a＝b” B.“若(a＋b)c＝ac＋bc”类比出“(a·b)c＝ac·bc”
√C.“若(a＋b)c＝ac＋bc”类比出“a＋c b＝ac＋bc(c≠0)”
D.“(ab)n＝anbn”类比出“(a＋b)n＝an＋bn”
解析 显然A，B，D不正确，只有C正确.
1 2 34 5
解析 答案
3.根据“正三角形的内切圆切于三边的中点”，可类比猜想出正四面体 的内切球切于四面体 A.各正三角形内一点 B.各正三角形的某高线上的点
√C.各正三角形的中心
D.各正三角形外的某点
解析 正四面体的四个面都是正三角形，其内切球与正四面体的四个 面相切于各正三角形的中心.
梳理 合情推理的定义及分类 定义：根据实验和实践的结果、个人的经验和 直觉 、已有的事实 和正 确的结论(定义、公理、定理等)，推测出某些结果的推理方式. 分类：常见的合情推理有 归纳 推理与 类比 推理.
[思考辨析 判断正误] 1.由平面三角形的性质推测四面体的性质是类比推理.( √ ) 2.类比推理是从特殊到特殊的推理.( √ ) 3.合乎情理的推理一定是正确的.( × )
则 b2＝ac，即 c2－a2＝ac，可得 e2－e＝1，又由 e>1，则 e＝
5＋1 2.
解析 答案
达标检测
1.下列平面图形中，与空间的平行六面体作为类比对象较合适的是
A.三角形
√C.平行四边形
B.梯形 D.矩形
解析 因为平行六面体相对的两个面互相平行，类比平面图形，则相 对的两条边互相平行，故选C.
③由“平面内，垂直于同一直线的两直线相互平行”，类比得到“空

归纳推理与类比推理异同点比较合情推理是数学的基本思维过程，也是人们学习和生活中经常使用的思维方式．在解决问题的过程中，合情推理具有猜侧和发表结论，探索和提供思路的作用．有利于创新意识的培养．在能力高考的要求下，推理方法就显得更加重要．在复习中要把推理方法形成自己的解决问题的意识，使得问题的解决有章有法，得心应手．合情推理包括归纳推理和类比推理.一.归纳推理和类比推理的联系:归纳推理与类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理．由这两种推理得到的结论都不一定正确,其正确性有待进一步证明.二.归纳推理和类比推理的区别:(一) 归纳推理1.归纳推理定义: 由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理（简称归纳）．简言之，归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理．说明：归纳推理的思维过程大致如下：2.归纳推理的特点:（1)归纳推理的前提是几个已知的特殊现象，归纳所得的结论是尚属未知的一般现象，该结论超越了前提所包容的范围．(2)由归纳推理得到的结论具有猜测的性质，结论是否真实，还需经过逻辑证明和实践检验．因此，它不能作为数学证明的工具．(3)归纳推理是一种具有创造性的推理．通过归纳推理得到的猜想，可以作为进一步研究的起点，帮助人们发现问题和提出问题．归纳推理是从个别事实中概括出一般原理的一种推理模型，归纳推理包括不完全归纳法和完全归纳法.3.归纳推理的一般步骤：①通过观察个别情况发现某些相同本质；②从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题．说明：归纳推理基于观察和实验，像“瑞雪兆丰年”等农谚一样，是人们根据长期的实践经验进行归纳的结果．物理学中的波义耳—马略特定律、化学中的门捷列夫元素周期表、天文学中开普勒行星运动定律等，也都是在实验和观察的基础上，通过归纳发现的．(二).类比推理（以下简称类比）1.类比推理定义:由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理（简称类比）．简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理．2. 类比推理的一般步骤：①找出两类事物之间的相似性或一致性；②用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（猜想）．3.说明：类比推理的思维过程大致如下图所示：类比推理是在两类不同的事物之间进行对比，找出若干相同或相似点之后，推测在其他方面也可以存在相同或相似之处的一种推理模式．类比推理不象归纳推理那样局限于同类事物, 同时,类比推理比归纳推理更富于想像,因而也就更具有创造性. 人类在科学研究中建立的不少假说和教学中许多重要的定理，公式都是通过类比提出来的,工程技术中许多创造和发明也是在类比推理的启迪下而获得的．因此，类比推理已成为人类发现发明的重要工具.例1. 如图，①，②，③，…是由花盆摆成的图案，根据图中花盆摆放的规律，第n个图形中的花盆数a n= ．【答案】 a n=3n2-3n+1.【解析】仔细观察发现:图案①的花盆数为:1个, a1=1; 图案②的花盆中间数为3,上下两行都是2个, a2=2+3+2; 图案③的花盆中间数为5,上面两行由下到上分别递减1个,而且关于中间行上下对称, a3=3+4+5+4+3;……;可以猜想: 第n个图形中的花盆中间数为2n-1,上面每行由下到上分别递减1个,最上面有n个,而且关于中间行上下对称,因此a n=n+(n+1)+…+(2n-1)+…+(n+1) + n=3n2-3n+1.【评析】上例是利用归纳推理解决问题的.归纳推理分为完全归纳和不完全归纳，由归纳推理所得的结论虽然未必是可靠的，但它由特殊到一般，由具体到抽象的认识功能，对科学的发现是十分有用的．观察、实验，对有限的资料作归纳整理，提出带有规律性的说法，乃是科学研究的最基本的方法之一.例2.如图，过四面体V-ABC的底面上任一点O分别作OA1∥VA，OB1∥VB，OC1∥VC，A1，B1，C1分别是所作直线与侧面交点．求证：++为定值．分析考虑平面上的类似命题：“过△ABC（底）边 AB上任一点O分别作OA1∥AC，OB1∥BC，分别交BC、AC于A1、B1，求证+为定值”．这一命题利用相似三角形性质很容易推出其为定值1．另外，过A、O分别作BC垂线，过B、O分别作AC垂线，则用面积法也不难证明定值为1．于是类比到空间围形，也可用两种方法证明其定值为1．证明：如图，设平面OA1VA∩BC＝M，平面OB1VB∩AC＝N，平面OC1VC∩AB=L，则有△MOA1∽△MAV，△NOB1∽△NBV，△LOC1∽△ LCV．得++=++。

如:������������△△������������������������12������������12
=
������������1 ������������2
·��������������������������1������1 ������△������������2������2
证明:不妨设直线 a 与平面 α 相交,假设直线 b 不与平面 α 相交,则 b⫋α 或 b∥平面 α.
①若 b⫋α,由 a∥b,a⊈α,得 a∥α 或 a⫋α,这与“a 与平面 α 相交”矛盾. ②若 b∥α,则平面 α 内有直线 b',使 b'∥b. 而 a∥b,故 a∥b',因为 a⊈α,所以 a∥α,这与“a 与平面 α 相交”矛盾. 综上所述,假设不成立,则直线 b 与平面 α 只能相交.
只需证(2cos α-1)2≥0.上式显然成立. 所以原不等式成立,即 2sin 2α≤1s-cino���s���������.
专题一
专题二
专题三
专题四
专题四 反证法
1.反证法是间接证明的一种基本方法,它不是直接证明结论,而是先否 定结论,在否定结论的基础上,运用正确的推理,导出矛盾,从而肯定结论的 真实性.在证明一些否定性命题、唯一性命题或含有“至多”、“至少”等字 句的命题时,正面证明较难,可考虑反证法,即“正难则反”.
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专题一
专题二
专题三
专题四
专题三 综合法与分析法
综合法和分析法是两种思路截然相反的证明方法,分析法既可用于寻 找解题思路,也可以是完整的证明过程.分析法与综合法相互转换、相互渗 透,充分利用这一辩证关系,在解题中综合法与分析法联合运用,转换解题思 路,增加解题途径.

即a19－n＋an＋1＝0，
a18－n＋an＋2＝0，
a17－n＋an＋3＝0，
……
∴a1＋a2＋…＋an
＝a1＋a2＋…＋an＋an＋1＋an＋2＋…＋a19－n.
∵b15＝1，∴b1b29＝b2b28＝…＝b14b16＝1， 即b29－nbn＋1＝b28－nbn＋2＝…＝b14b16＝1. ∴有b1b2…bn＝b1b2…b29－n(1≤n≤29，n∈N＋)．
2.已知命题：“若数列{an}是等比数列，且 an>0，则数 列 bn＝ a1a2„an(n∈N*)也是等比数列”类比这一性质，你 能得到关于等差数列的一个什么性质？
解析： 若 数 列 {an} 是 等 差 数 列 ， 则 数 列 bn ＝
n
a1＋a2＋…＋an 是等差数列． n
通过计算可得下列等式： 23－13＝3×12＋3×1＋1； 33－23＝3×22＋3×2＋1； 43－33＝3×32＋3×3＋1； ⋮ (n＋1)3－n3＝3×n2＋3×n＋1. 将以上各等式两边分别相加，得 (n＋1)3－13＝3(12＋22＋…＋n2)＋3(1＋2＋3＋…＋ n)＋ n，
4×(1＋2＋…＋n)＋n
∴13＋23＋„＋n3
nn＋1 1 1 4 4 ＝ n＋1 －1 －6× nn＋1· 2 n ＋ 1 － 4 × － n 4 6 2
1 2 ＝ n (n＋1)2. 4
1 3.设 f(x)＝ x ， 类比课本中推导等差数列前 n 项和公 2＋ 2 式的方法，求 f(－5)＋f(－4)＋„＋f(0)＋„＋f(5)＋f(6)的值． 1 解析： ∵f(x)＝ x ， 2＋ 2
1.在Rt△ABC中，若∠C＝90°，则cos2A＋cos2B＝
1，试在立体几何中，给出四面体性质的猜想．

异于直径两端点的任意一点与这条直径的两个端点连线,则两条连
线所在直线的斜率之积为定值 − ������������.
题型一
题型二
题型三
题型四
典例透析
反思平面几何中的类比主要体现在圆与椭圆、双曲线,椭圆与双 曲线之间的类比.解决该类问题同样应抓住所给问题的相似特征, 同时要注意平面几何图形之间的差异,进行合理类比,实际类比的 结果往往都是通过计算得到的.
1.2 类比推理
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目标导航
1.理解类比推理的概念,能利用类比推理进行简单的推理,掌握类 比推理解决问题的思维过程.
2.理解合情推理的含义,体会并认识合情推理在数学发展中的作 用.
知识梳理
1.类比推理
定义
由于两类不同对象具有某些类似的特征,在此基础 上,根据一类对象的其他特征,推断另一类对象也具 有类似的其他特征,我们把这种推理过程称为类比 推理
=
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,
试在立体几何
中写出类似的结论.
题型一
题型二
题型三
题型四
典例透析
解:
如图,在三棱锥 S-ABC 中,D,E,F 分别是侧棱 SA,SB,SC 上的点,
若
SA=a,SB=b,SC=c,SD=a1,SE=b1,SF=c1,则
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的面积公式为
弧长×半径 2
,
即S扇
=
������������ .
2
答案:C
1234
2.设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,则 S4,S8-S4,S12-S8,S16-S12 成等差数

1.2 类比推理自主整理1.两类不同对象具有某些类似的特征，在此基础上，根据一类对象的其他特征，推断另一类对象也具有类似的其他特征，我们把这种推理过程称为___________.2.类比推理是两类事物___________之间的推理.3.利用类比推理得出的结论___________（填“一定”或“不一定”）正确.4.根据解决问题的需要，可对___________、___________、___________进行类比.5.___________和___________是最常见的___________，___________是根据实验和实践的结果、个人的经验和直觉、已有的事实和正确的结论（定义、公理、定理等），推测出某些结果的推理公式.高手笔记1.类比推理是数学命题来源的另一条途径，也是知识推广的思维过程.学习立体几何常常要类比平面几何，发现和得到一些立体几何的结论.2.归纳推理与类比推理都是合情推理.归纳推理是从特殊过渡到一般的思想方法，类比推理是由此及彼和由彼及此的联想方法，归纳和类比离不开观察、分析、对比、联想，许多数学知识都是通过归纳与类比发掘出来.的学习数学时要注意培养自己的观察能力、分析能力、联想能力和创新能力.3.合情推理只是一种猜测，结论不一定正确.名师解惑合情推理的结果不一定正确，但合情推理是科学发现和创造的基础，你如何看待这一问题？剖析:数学真理知识的发现、发掘和推陈出新是在前面知识的基础上，通过对特殊实例的观察、分析、归纳、抽象概括和运用探索性推理得到，合情推理通常是靠猜想与联想等心智活动串联起来.这种心智活动形式能导致人们作出新的判断和预见，能帮助发现数学真理，包括发现新的数学关系结论、新的数学方法及数学命题等等，但它毕竟是一种非逻辑的思维形式，属于“发散思维”范畴，当然并不能用以精确地建立数学命题和理论，最后要证明命题或定理，还需运用严格的逻辑分析与演绎推理，即“收敛思维”.讲练互动【例1】一个等差数列{a n}，其中a10=0，则有a1+a2+…+a n=a1+a2+…+a19-n(1≤n≤19)，一个等比数列{b n}，其中b15=1,类比等差数列{a n}有下列结论：___________.分析:在等差数列{a n}中，a10=0,已知以a10为等差中项的项和为0，如a9+a11=a8+a12=…=a2+a18=a1+a19=0，而在等比数列{b n}中，b15=1,类似地有b1b29=b2b28=…=b14b16=1,从而类似的总结规律应为各项之积.解:∵在等差数列{a n}中，a10=0,∴a1+a19=a2+a18=…=a8+a12=a9+a11=0,即a19-n+a n+1=0,a18-n+a n+2=0,a17-n+a n+3=0,…∴a1+a2+…+a n=a1+a2+…+a n+a n+1+a n+2+…+a19-n.∵b15=1,∴b1b29=b2b28=…=b14b16=1,即b29-n b n+1=b28-n b n+2=…=b14b16=1.∴有b1b2…b n=b1b2…b29-n(1≤n≤29,n∈N+).绿色通道本题考查了等差中项、等比中项和等差数列、等比数列的性质及观察判断、猜想类比的能力.对于等差数列、等比数列有许多类似的性质，可结合定义进行类比. 变式训练1.已知等差数列{a n }，公差为d,前n 项和为S n ，有如下性质： （1）通项a n =a m +(n-m)d.(2)若m+n=p+q,其中m 、n 、p 、q∈N +,则a m +a n =a p +a q . (3)若m+n=2p,m 、n 、p∈N +，则a m +a n =2a p . (4)S n ,S 2n -S n ,S 3n -S 2n 构成等差数列. 类比得出等比数列的性质.解:等比数列{b n },公比为q,前n 项和S n ,有如下性质:(1)通项a n =a m q n-m.(2)若m+n=p+q,其中m 、n 、p 、q∈N +,则a m ·a n =a p ·a q .(3)若m+n=2p,q 、m 、n∈N +,则a m ·a n =a p 2. (4)S n ,S 2n -S n ,S 3n -S 2n 构成等比数列.【例2】若射线OM 、ON 上分别存在点M 1、M 2与N 1、N 2，则三角形面积之比为212211OM OM S S N OM N OM =∆∆·21ON ON . 若不在同一平面内的射线OP 、OQ 和OR 上，分别存在点P 1、P 2，点Q 1、Q 2，点R 1、R 2，则类似的结论是什么？分析:本题已知三角形的面积之比需弄清楚点分得到的结论，然后才能类比得结论扩展到空间的问题.解:∵22221111sin 21sin 212211ON M ON OM ON M ON OM S S N OM N OM ∠∙∠∙=∆∆=2221ON OM ON OM ∙∙，其面积比中有一个共同的角，类似地，连结P 1Q 1、Q 1R 1、P 1R 1、P 2Q 2、Q 2R 2、P 2R 2，得到的是锥体，需研究锥体的体积并找出不变量，两条相交线确定一个面，另一条线不在这个面内就有线面角，而线面角不随点的位置变化而变化，设OP 与面QRO 所成的角为θ.OP 在面ORQ 内的射影为OP′，P 1、P 2的射影分别为P 1′、P 2′，则22211'''OP P P OP P P ==sin θ，且22112211OR OQ OR OQ S S R OQ R OQ ∙∙=∆∆.∴2122112211222111'31'31OP OP S P P S P P V V R OQ R OQ R Q OP R Q OP =∙∙=∆∆·2211OR OQ OR OQ ∙∙. ∴类似地有21222111OP OP V V R Q OP R Q OP =·2211OR OQ OR OQ ∙∙. 绿色通道要准确地得到相似的结论，需先弄清楚前面的结论是怎么得到的，才能类似地推出.一般地平面内的面积问题推广到空间内为体积问题，平面内的线段问题，推广到空间为面积问题.变式训练2.三角形的面积为S=21(a+b+c)r,a 、b 、c 为三角形的边长，r 为三角形内切圆的半径，利用类比推理，求出四面体的体积公式. 解:V=31(S 1+S 2+S 3+S 4)r(S 1、S 2、S 3、S 4分别为四个面的面积,r 为内切球半径),设△ABC 的三边与⊙O 分别切于D 、E 、F, 则OD⊥BC,OE⊥AC,OF⊥AB 且OD=OE=OF=r. 连结OA 、OB 、OC, 则S △ABC =S △OAB +S △OAC +S △OBC =21cr+21br+21ar=21(a+b+c)r. 类似地,三棱锥P —ABC 的内切球为球O,半径为r,则球心O 到各面的距离都为r,四个面的面积分别为S 1、S 2、S 3、S 4,则V P —ABC =V O —ABC +V O —PBC +V O —PAC +V O —PAB=31S 1r+31S 2r+31S 3r+31S 4r =31(S 1+S 2+S 3+S 4)r.【例3】若a 1、a 2∈R +，则有不等式22221a a +≥(221a a +)2成立，此不等式能推广吗？请你至少写出两个不同类型的推广.分析:注意观察不等式两边的结构，两个数的平方，若三个数、四个数、n 个数怎样变化呢？若次数为三次、四次、n 次又怎样变化呢？注意思维要发散开.解:第一种类型：3232221a a a ++≥(3321a a a ++)2，424232221a a a a +++≥(44321a a a a +++)2，…n a a a n 22221+++ ≥(n a a a a n ++++ 321)2.第二种类型：23231a a +≥(221a a +)3，24241a a +≥(221a a +)4， …221nn a a +≥(221a a +)n. 第三种类型：3333231a a a ++≥(3321a a a ++)3，…n a a a nn n n +++ 21≥(na a a n +++ 21)n .绿色通道像这样的类比推广的问题，可采用纵、横推广法，如本例中，第一种类型是从个数上进行推广——横向推广；第二种类型是从指数上进行推广——纵向推广；第三种类型则是纵、横综合推广. 变式训练3.设f(x)(x∈［a,b ］)满足2)()(21x f x f +≤f(221x x +)(其中x 1、x 2为［a,b ］上任意两点)，你能将此不等式推广吗？解:设在［a,b ］上任意n 个点x 1,x 2,x 3,…,x n ,则n x f x f x f n )()()(21+++ ≤f(nx x x n+++ 21).【例4】设F 1、F 2分别为椭圆C ：22a x +22by =1(a>b>0)的左、右两个焦点.（1）若椭圆C 上的点A （1,23）到F 1、F 2两点的距离之和等于4，写出椭圆C 的方程和焦点坐标.（2）设点K 是（1）中所得椭圆上的动点，求线段F 1K 的中点的轨迹方程.（3）已知椭圆具有性质：若M 、N 是椭圆C 上关于原点对称的两个点，点P 是椭圆上任意一点，当直线PM 、PN 的斜率都存在，并记为k PM 、k PN 时，那么k PM 与k PN 之积是与点P 位置无关的定值，试写出双曲线2222by a x -=1具有类似特性的性质并加以证明.分析:由已知条件可写出椭圆方程及代入法求轨迹，本题不是直接证明椭圆中的性质，而是类似地转化到双曲线中证明双曲线具有的性质,用斜率公式及双曲线方程即可得证.解:（1）椭圆C 的焦点在x 轴上，由椭圆上的点A 到F 1、F 2两点的距离之和是4，得2a=4，即a=2.又点A （1，23）在椭圆上，因此221+22)23(b =1,b 2=3.∴c 2=a 2-b 2=1.∴椭圆C 的方程为42x +32y =1,焦点F 1（-1，0），F 2（1，0）.(2)设椭圆C 上的动点为K(x 1,y 1)，线段F 1K 的中点Q （x,y ）满足x=211x +-,y=21y, ∴x 1=2x+1,y 1=2y.∴4)12(2+x +3)2(2y =1,即（x+21）2+342y =1为所求的轨迹方程.（3）类似的性质为：若M 、N 是双曲线2222by a x -=1上关于原点对称的两个点，点P 是双曲线上任意一点，当直线PM 、PN 的斜率都存在，并记为k PM 、k PN 时，那么k PM 与k PN 之积是与点P 位置无关的定值.设点M 的坐标为（m,n ），则点N 的坐标为（-m,-n ），其中2222bn a m -=1.又设点P 的坐标为（x,y ），由k PM =mx ny --, k PN =m x n y ++,得k PM ·k PN =m x n y --·m x n y ++=2222m x n y --.将y 2=22a b x 2-b 2,n 2=22a b m 2-b 2,代入得k PM ·k PN =22ab .绿色通道类比定义和性质是中学数学中最常考查的一类问题，它能很好地培养学生探索问题的能力，应该给予足够的重视.有兴趣的同学也可证明椭圆具有的性质.类比是研究圆锥曲线的一种方法. 变式训练4.类比圆的下列特征，找出球的相关特征:(1)平面内与定点距离等于定长的点的集合是圆； (2)平面内不共线的3个点确定一个圆； (3)圆的周长与面积可求；(4)在平面直角坐标系中，以点（x 0,y 0）为圆心、r 为半径的圆的方程为(x-x 0)2+(y-y 0)2=r 2. 解:(1)空间内与定点距离等于定长的点的集合是球. (2)空间内不共面的4个点确定一个球. (3)球的表面积与体积可求.(4)在空间直角坐标中,以点(x 0,y 0,z 0)为球心,r 为半径的球的方程为(x-x 0)2+(y-y 0)2+(z-z 0)2=r 2.。

＝ax1(ax2－x1－1)＋x23＋x12－xx1＋1 1. 因为 x2－x1>0，又 a>1，所以 ax2－x1>1. 而－1<x1<x2，所以 x1＋1>0，x2＋1>0. 所以 f(x2)－f(x1)>0. 所以 f(x)在(－1，＋∞)上为增函数．
【例 4】 已知{an}是各项均为正数的等差数列，lga1、 lga2、lga4 成等差数列．又 bn＝a12n，n＝1,2,3，….
类比是高中数学学习的重要思维，它是通过两个已知 事物在某些方面所具有的共同属性去推测这两个事物在其 他方面也具有相同或类似的属性，从而大胆猜测得到结 论．类比推理还可以培养创新精神和创造力．下面我们一 起来探讨常见的类比．
【例 1】 (1)如图所示的三个图形是由若干盆花组成 的形如三角形的图案，每条边(包括顶点)有 n(n>1)盆花，每 个图案花盆总数为 Sn，按此规律推断，Sn 与 n 的关系式是 _______n}，归纳该数列的通项公式； (3)求 a10，并说明 a10 表示的实际意义； (4)已知 an＝9 900，问 an 是数列的第几项？
休息时间到啦
同学们，下课休息十分钟。现在是休息时间，你们休息一 看看远处，要保护好眼睛哦~站起来动一动，久坐对身体
【解析】 (1)当 m＝2 时，表示一个 2 行 3 列的士兵 方阵，共有 6 人，依次可以得到当 m＝3,4,5，…时的士兵 人数分别为 12,20,30，….故所求数列为 6,12,20,30，….
[1＋n＋21]·n＋1＝n2＋32n＋2.
【答案】
(1)Sn＝3n－3
n2＋3n＋2 (2) 2
[规律方法] 解答此类题目时，需要细心观察，寻找每 一项与序号之间的关系，同时还要联系相关的知识．如果 我们把(2)中每个图形的方格总数算出来，是很难找到其中 的规律的．

反证法是假设原命题不成立，经过正确的推理最后推出矛 盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立．理论根据是 互为逆 否 命题的两 个命题是 等价命题 ，即若 p⇒q成立， 则 ¬q⇒¬p成立，这里得出的矛盾可以与某个已知条件矛盾，可以 是与某个事实、定理、公理相矛盾，也可以是自身相矛盾．反 证法的使用范围：唯一性问题，“至少”“至多”问题，问题 本身是否定语气提出的问题．
x＋1x≥2 x·1x，小前提
所以 x＋1x≥2，结论
以上推理过程中的错误为( )
A．大前提
B．小前提
C．结论
D．无错误
解析： 大前提中a、b∈(0，＋∞)，而小前提中x∈R，
故小前提出错，应添加x∈(0，＋∞、B*C、C*D、D*B分别对应下列图形，
那么下面的图形中，可以表示A*D，A*C的分别是( )
章末高效整合
知能整合提升
1．合情推理 合情推理包括归纳推理和类比推理． 2．归纳推理 (1)概念：根据一类事物的部分对象具有某种性质，推出这 类事物的所有对象都具有这种性质的推理叫做归纳推理． (2)特点：归纳是从特殊到一般的过程． (3)归纳推理的一般步骤： ①通过观察个别情况发现某些相同性质． ②从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题 (猜想)．
(2) 如 果 点 D 在 △ABC 之 外 ( 如 图 ②) ， 根 据 假 设 ∠BAD ， ∠B ， ∠BCD ， ∠D 都 小 于 90° ， 这 与 四 边 形 内 角 之 和 等 于 360°矛盾．
综上所述，原结论成立．
3．用反证法证明：若函数f(x)在区间[a，b]上是增函数， 那么方程f(x)＝0在区间[a，b]上至多只有一个实数根．
求证：sins2inα＋α β－2cos(α＋β)＝ssiinn