下载文档原格式
类比推理考试题目及答案一、单选题1. 题目：如果“苹果”是“水果”，那么“橘子”是______。
A. 蔬菜B. 水果C. 肉类D. 谷物答案：B2. 题目：如果“钢笔”是“书写工具”，那么“钢琴”是______。
A. 乐器B. 运动器材C. 办公设备D. 厨房用具答案：A3. 题目：如果“医生”是“治疗”，那么“教师”是______。
A. 诊断B. 教育C. 维修D. 管理答案：B4. 题目：如果“图书馆”是“书籍”，那么“体育馆”是______。
A. 运动B. 阅读C. 学习D. 娱乐答案：A5. 题目：如果“汽车”是“运输”，那么“飞机”是______。
A. 运输B. 通讯C. 导航D. 娱乐答案：A二、多选题1. 题目：如果“太阳”是“恒星”，那么以下哪些是“行星”？A. 地球B. 月亮C. 火星D. 金星答案：ACD2. 题目：如果“河流”是“流动”，那么以下哪些是“静止”？A. 湖泊B. 冰川C. 沙漠D. 海洋答案：ABC3. 题目：如果“电脑”是“电子设备”，那么以下哪些是“机械设备”？A. 打印机B. 汽车C. 洗衣机D. 手机答案：BC4. 题目：如果“音乐”是“艺术”，那么以下哪些是“科学”？A. 数学B. 物理C. 化学D. 绘画答案：ABC5. 题目：如果“蜜蜂”是“授粉”，那么以下哪些是“捕食”？A. 狮子B. 鲨鱼C. 老虎D. 蚂蚁答案：ABCD三、填空题1. 题目：如果“蜜蜂”是“花蜜”，那么“蚂蚁”是______。
答案：昆虫2. 题目：如果“狮子”是“草原”，那么“企鹅”是______。
答案：南极3. 题目：如果“书”是“阅读”，那么“电影”是______。
答案：观看4. 题目：如果“画家”是“画布”，那么“音乐家”是______。
答案：乐器5. 题目：如果“树木”是“森林”，那么“星星”是______。
答案：银河四、判断题1. 题目：如果“苹果”是“水果”，那么“香蕉”也是水果。
2.1.1.2 类比推理一、填空题1．对命题“正三角形的内切圆切于三边中点”可类比猜想：正四面体的内切球切于四面各正三角形的________．【解析】 “边的中点”类比为“各面的中心”．【答案】 中心2．已知{b n }为等比数列，b 5＝2，则b 1b 2b 3…b 9＝29.若{a n }为等差数列，a 5＝2，则{a n }的类似结论为________．【解析】 乘积类比和，幂类比积．∴a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 9＝2×9.【答案】 a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 9＝2×93．在平面上，若两个正三角形的边长的比为1∶2，则它们的面积比为1∶4，类似地，在空间内，若两个正四面体的棱长的比为1∶2，则它们的体积比为________．【解析】 若两个正四面体的棱长的比为1∶2，则它们的体积比为1∶8.事实上，由平面几何和立体几何的知识，可知很多比值在平面上成平方关系，在空间内成立方关系．【答案】 1∶84．在圆中，连结圆心和弦的中点的直线垂直于弦，类比圆的上述结论写出球的相应结论为________．【解析】 平面图形中的点线关系类比到空间为线面关系，对应得出球的相应结论：在球中，连结球心和截面圆的圆心的直线垂直于截面．【答案】 在球中，连结球心和截面圆的圆心的直线垂直于截面5．由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则：(1)“mn ＝nm”类比得“a·b ＝b·a”；(2)“(m ＋n)t ＝mt ＋nt”，类比得“(a ＋b)·c ＝a·c ＋b·c”；(3)“|m·n|＝|m|·|n|”类比得“|a·b|＝|a|·|b|”；(4)“ac bc ＝a b ”类比得“a·c b·c ＝a b”． 以上的式子中，类比得到的结论正确的序号是________．【解析】 (1)(2)均正确，(3)(4)不正确．【答案】 (1)(2)6．(2013·南通高二检测)已知正三角形内切圆的半径是高的13，把这个结论推广到空间正四面体，类似的结论是________．【解析】 原问题的解法为等面积法，即正三角形的面积S ＝12ah ＝3×12ar ⇒r ＝13h. 类比，用等体积法，V ＝13Sh ＝4×13r·S ⇒r ＝14h. 【答案】 正四面体的内切球的半径是高的147．对于大于1的自然数m 的n 次幂可用奇数进行如图2－1－9所示的“分裂”，仿此，记53的“分裂”中的最小数为a ，而52的“分裂”中最大的数是b ，则a ＋b ＝________．图2－1－9【解析】 ，，∴a ＝21，b ＝9，则a ＋b ＝30.【答案】 30图2－1－108．如图2－1－10所示，对于函数y ＝x 2(x ＞0)图象上任意两点A(a ，a 2)，B(b ，b 2)，线段AB 必在曲线段AB 的上方，点C 分向量AB →的比为λ(λ＞0)，过C 作x 轴的垂线，交曲线段AB 于C′，则由图象中点C 在点C′的上方可得不等式a 2＋λb 21＋λ＞(a ＋λb 1＋λ)2.请分析函数y ＝ln x(x ＞0)的图象，类比上述不等式可以得到的不等式是________．【解析】 y ＝x 2的图象在x ＞0时，图象下凹，且A(a ，a 2)，B(b ，b 2)，所以点C 的纵坐标是a 2＋λb 21＋λ，点C 与点C′的横坐标都是a ＋λb 1＋λ，而点C′在曲线y ＝x 2上，点C 在点C′上方，所以y C ＝a 2＋λb 21＋λ＞y C′＝(a ＋λb 1＋λ)2.y ＝ln x 的图象如图所示，图象上凸，∴y C ＜y C′，类比可得ln a ＋λln b 1＋λ＜ln a ＋λb 1＋λ(a ＞0，b ＞0)． 【答案】 ln a ＋λln b 1＋λ＜ln a ＋λb 1＋λ(a ＞0，b ＞0) 二、解答题9．已知：等差数列{a n }的公差为d ，前n 项和为S n ，有如下的性质：(1)通项a n ＝a m ＋(n －m)·d.(2)若m ＋n ＝p ＋q ，且m ，n ，p ，q ∈N *，则a m ＋a n ＝a p ＋a q .(3)若m ＋n ＝2p ，且m ，n ，p ∈N *，则a m ＋a n ＝2a p .(4)S n ，S 2n /S n ，S 3n /S 2n 构成等差数列．类比上述性质，在等比数列{b n }中，写出相类似的性质．【解】 设等比数列{b n }中，公比为q ，前n 项和为S n .(1)通项a n ＝a m ·q n －m .(2)若m ＋n ＝p ＋q ，且m ，n ，p ，q ∈N *，则a m ·a n ＝a p ·a q .(3)若m ＋n ＝2p ，且m ，n ，p ∈N *，则a 2p ＝a m ·a n . (4)S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 构成等比数列．10．在Rt △ABC 中，若∠C ＝90°，则cos 2A ＋cos 2B ＝1.请在立体几何中给出四面体性质的猜想．【解】 如图，在Rt △ABC 中，cos 2A ＋cos 2B ＝(b c )2＋(a c )2＝a 2＋b 2c2＝1. 于是把结论类比到如图所示的四面体P －A′B′C′中，我们猜想：在三棱锥P －A′B′C′中，若三个侧面PA′B′，PB′C′，PC′A′两两互相垂直且分别与底面所成的角为α，β，γ，则cos 2α＋cos 2β＋cos 2γ＝1.11．在等腰△ABC 中，AB ＝AC ，设P 为底边上任意一点，P 到两腰的距离分别为h 1，h 2，B 到腰AC 的距离为h ，则h 1＋h 2＝h ，类比到空间：在等腰四面体ABCD(对棱分别相等)中，有什么类似的结论？并给出证明．【解】 类比可得到如下结论：在等腰四面体ABCD 中，设P 为底面上任意一点，P 到三个侧面的距离分别为h 1，h 2，h 3，B 到侧面ACD 的距离为h ，则h 1＋h 2＋h 3＝h.证明：连结PA，PB，PC，PD，易知△ABC≌△ACD≌△ABD，记它们的面积都是S，则四面体ABCD的体积V A—BCD＝13Sh1＋13Sh2＋13Sh3＝13Sh.故h1＋h2＋h3＝h.。
实用文档类比推理题库及标准答案（类比推理部分）1、作家：读者A.售货员：顾客B.主持人：广告C.官员：腐败D.经理：秘书【解答】此题属于专业人员与其面对的对象之间的类比推理题，故正确答案为A。
2、水果：苹果A.香梨：黄梨B.树木：树枝C.经济适用房：奔驰D.山：高山【解答】该题题干中水果与苹果两个词之间是一般和特殊的关系，所以答案为选项D。
选项B的两个词之间的关系是整体与部分的关系。
3、努力：成功A.原告：被告B.耕耘：收获C.城市：福利D.扩招：失业【解答】努力与成功两个词具有因果关系，即只有努力才能成功或者说努力是成功必不可少的原因之一，故正确答案为B。
4、书籍：纸张A.毛笔：宣纸B.橡皮：文具盒C.菜肴：萝卜D.飞机：宇宙飞船【解答】此题属于物品与制作材料的推理关系，故正确答案为C。
5、馒头：食物A.食品：巧克力B.头：身体C.手：食指D.钢铁：金属【解答】此题属于特殊与一般的推理关系，故正确答案为D。
实用文档6、稻谷：大米A.核桃：桃酥B.棉花：棉子C.西瓜：瓜子D.枪：子弹【解答】因为稻谷是大米的惟一来源，而棉花是棉子的惟一来源，故正确答案为B。
7、轮船：海洋A.河流：芦苇B.海洋：鲸鱼C.海鸥：天空D.飞机：海洋【解答】此题属于物体与其运动空间的类比推理题，故正确答案为C。
8、芙蕖：荷花A.兔子：嫦娥B.窑洞：官邸C.伽蓝：寺庙D.映山红：蒲公英【解答】因为芙蕖是荷花的书面别称，而伽蓝是寺庙的书面别称，故正确答案为C。
9、绿豆：豌豆A.家具：灯具B.猴子：树木C.鲨鱼：鲸鱼D.香瓜：西瓜【解答】选项C中的鲸鱼其实不是鱼，而是哺乳动物，故正确答案为D。
10、汽车：运输A.捕鱼：鱼网B.编织：鱼网C.鱼网：编织D.鱼网：捕鱼【解答】此题属于工具与作用的类比推理题，故正确答案为D。
11、医生：患者A.工人：机器B.啄木鸟：病树C.警察：罪犯D.法官：律师答案:B12、紫竹：植物学家A.金属：铸工B.铁锤：石头C.动物：植物D.蝴蝶：昆虫学家答案:D13、老师：学生A.教师：职工B.编辑：读者C.师傅：学徒D.演员：经济人答案:C14、书法：艺术A.抢劫：犯罪B.鲁迅：周树人C.历史：世界史D.权力：金钱答案:A15、森林：树木A.头：身体B.花：菊花C.山脉：山D.身体：身躯答案:C16、工人：机器A.赌球：球员B.无产者：资本家C.农民：土地D.商人：商品答案:C17、教师：教室A.士兵：子弹B.士兵：战斗C.战场：战士D.士兵：军营答案:D18、发奋：成功A.点灯：**B.饮料：可乐C.扶贫：账户D.自满：失败答案:D19、中国：国家A.秦国：战国B.人：动物C.昆仑山：武夷山脉D.生物：植物答案:B20、资本家：工人A.地主：佃户B.教师：学生C.店员：客户D.父亲：儿子答案:A21、跳跃：动作A.男人：女人B.湖南省：长沙市C.青年：妇女D.风俗：习惯答案:D22、周瑜：曹操A.南京：北京B.动作：食物C.汽车：吊车D.官员：群众答案:A23、水壶：开水A.桌子：游戏B.邮箱：信件C.黄梅戏：歌曲D.青蛙：池塘答案:B24、导演：电影A.售货员：货物B.作家：小说C.农民：庄稼D.工人：机器答案:B25、逗号：中止A.拂晓：黎明B.节省：吝啬C.回车：换行D.明星：绯闻答案:C26、射击：手枪A.投掷：石头B.月光：流水C.性格：坚强D.拳击手：攻击答案:A27、鸟：蛋A.老虎：虎仔B.步枪：子弹C.师傅：徒弟D.鱼：卵答案:D28、温度计：气温A.高兴：哀愁B.磅秤：重量C.天才：音乐家D.游泳：运动答案:B29、窑：陶瓷A.蛇：山洞B.商人：金钱C.战争：难民D.烤箱：面包答案:D30、美国：旧金山A.地球：恒星B.黄河：中国C.香港：世贸组织D.中国：淮河答案:D31、南京∶江苏A. 石家庄∶河北B. 渤海∶中国C. 泰州∶江苏D. 秦岭∶淮河答：A题干是省会城市与所属省份关系，选项中符合条件的是A。
1、由两类对象具有______________和其他一类对象的_________________，推出另一类对象也具有__________________的推理称为类比推理（简称_________）.简言之，类比推理是由________________的推理.2. 根据_________推演出_______ ____的结论，这样的推理通常称为类比推理. 类比推理的思维过程大致是：3 类比实数的加法和乘法，列出它们相似的运算性质。
类比角度 实数的加法实数的乘法运算 结果运算律逆运算圆的概念和性质 球的类似概念和性质 圆的周长圆的面积圆心与弦（非直径）中点的连线垂直于弦 与圆心距离相等的弦长相等，与圆心距离不等的两弦不等，距圆心较近的弦较长以点00(,)x y 为圆心，r 为半径的圆的方程为22200()()x x y y r -+-=.类比推理的基本形式： ∵A 类事物具有性质a,b,c,d;B 类事物具有性质a′,b′,c′; 性质a,b,c 与 a′,b′,c′相同或相近； ∵B 类事物具有性质d′.4、 类比平面内直角三角形的勾股定理，试给出空间中四面体性质的猜想. 三角形 四面体三角形的两边之和大于第三边 三角形的中位线平行且等于第三边的一半 三角形的面积为1()2S a b c r =++（r 为三角形内切圆的半径）变式 用三角形的下列性质类比出四面体的有关性质. 5．归纳推理定义特征归纳推理由某类事物的 具有某些特征，推出该类事物的 都具有这些特征的推理，或者由 概括出 的推理归纳推理是由 ，由 的推理6、归纳推理与类比推理都是根据_____________，经过____________、_______________、_______________、__________________，再进行_______________、________________，然后提出_______________的推理，我们把他们统称为合情推理，通俗的说，合情推理是指“________________”的推理.6、演绎推理（1）从__________________出发，推出___________情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理，简言之，演绎推理是由___________的推理．（2）演绎推理与合情推理的主要区别与联系（i）合情推理与演绎推理的主要区别：归纳和类比都是常用的合情推理，从推理形式上看，归纳是由________到________、________到________的推理，类比是由________到________的推理；而演绎推理是由________到________的推理．从推理所得的结论来看，合情推理的结论不一定正确，有待于进一步的证明；演绎推理在前提和推理形式都正确的前提下，得到的结论一定正确．（ii）人们在认识世界的过程中，需要通过观察、实验等获取经验；也需要辨别它们的真伪，或将积累的知识加工、整理，使之条理化、系统化．合情推理和演绎推理分别在这两个环节中扮演着重要角色．（iii）就数学而言，演绎推理是证明数学结论、建立数学体系的重要思维过程，但数学结论、证明思路等的发现，主要靠合情推理．因此，我们不仅要学会证明，更要学会猜想．（3）三段论（i）“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：①大前提——已知的________；②小前提——所研究的________；③结论——根据一般原理，对特殊情况做出的________．其一般推理形式为大前提：M是P.小前提：S是M.结论：________.（ii）利用集合知识说明“三段论”：若集合M的所有元素都具有性质P，S是M的一个子集，那么___________________________.（iii）为了方便，在运用三段论推理时，常常采用省略大前提或小前提的表述方式．对于复杂的论证，总是采用一连串的三段论，把前一个三段论的________作为下一个三段论的前提．7、其他演绎推理形式（1）假言推理：“若p⇒q，p真，则q真”．（2）关系推理：“若aRb，bRc，则aRc”R表示一种传递性关系，如a∥b，b∥c⇒a∥c，a≥b，b≥c⇒a≥c等．注：假言推理、关系推理在新课标中未给定义，但这种推理形式是经常见到的，为表述记忆方便，我们也一块给出，以供学生扩展知识面．（3）完全归纳推理是把所有可能的情况都考虑在内的演绎推理规则．归纳推理是由到的推理；类比推理是由到的推理；演绎推理是由到的推理。
第2课时类比推理一、选择题1．下列说法正确的是()A．由合情推理得出的结论一定是正确的B．合情推理必须有前提有结论C．合情推理不能猜想D．合情推理得出的结论无法判定正误[答案] B[解析]由合情推理得出的结论不一定正确，A不正确；B正确；合情推理的结论本身就是一个猜想，C不正确；合情推理结论可以通过证明来判定正误，D也不正确，故应选B.2．下面几种推理是合情推理的是()①由圆的性质类比出球的有关性质②由直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和是180°，归纳出所有三角形的内角和都是180°③教室内有一把椅子坏了，则该教室内的所有椅子都坏了④三角形内角和是180°，四边形内角和是360°，五边形内角和是540°，由此得出凸多边形的内角和是(n－2)·180°A．①②B．①③④C．①②④D．②④[答案] C[解析] ①是类比推理；②④都是归纳推理，都是合情推理．3．三角形的面积为S ＝12(a ＋b ＋c )·r ，a 、b 、c 为三角形的边长，r 为三角形内切圆的半径，利用类比推理，可以得到四面体的体积为( )A ．V ＝13abcB ．V ＝13ShC ．V ＝13(S 1＋S 2＋S 3＋S 4)r ，(S 1、S 2、S 3、S 4分别为四面体四个面的面积，r 为四面体内切球的半径)D ．V ＝13(ab ＋bc ＋ac )h (h 为四面体的高)[答案] C[解析] 边长对应表面积，内切圆半径应对应内切球半径．故应选C.4．类比平面内正三角形的“三边相等，三内角相等”的性质，可推知正四面体的下列哪些性质，你认为比较恰当的是( )①各棱长相等，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等②各个面都是全等的正三角形，相邻两个面所成的二面角都相等 ③各个面都是全等的正三角形，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等A ．①B ．①②C ．①②③D ．③[答案] C[解析] 正四面体的面(或棱)可与正三角形的边类比，正四面体的相邻两面成的二面角(或共顶点的两棱的夹角)可与正三角形相邻两边的夹角类比，故①②③都对．5．类比三角形中的性质：(1)两边之和大于第三边(2)中位线长等于底边的一半(3)三内角平分线交于一点可得四面体的对应性质：(1)任意三个面的面积之和大于第四个面的面积(2)过四面体的交于同一顶点的三条棱的中点的平面面积等于第四个面面积的14(3)四面体的六个二面角的平分面交于一点其中类比推理方法正确的有( )A ．(1)B ．(1)(2)C ．(1)(2)(3)D ．都不对[答案] C[解析] 以上类比推理方法都正确，需注意的是类比推理得到的结论是否正确与类比推理方法是否正确并不等价，方法正确结论也不一定正确．6．由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则：①“mn ＝nm ”类比得到“a ·b ＝b ·a ”；②“(m ＋n )t ＝mt ＋nt ”类比得到“(a ＋b )·c ＝a ·c ＋b ·c ”；③“(m ·n )t ＝m (n ·t )”类比得到“(a ·b )·c ＝a ·(b ·c )”；④“t ≠0，mt ＝xt ⇒m ＝x ”类比得到“p ≠0，a ·p ＝x ·p ⇒a ＝x ”； ⑤“|m ·n |＝|m |·|n |”类比得到“|a ·b |＝|a |·|b |”；⑥“ac bc ＝a b ”类比得到“a ·c b ·c ＝a b”． 以上式子中，类比得到的结论正确的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4[答案] B[解析] 由向量的有关运算法则知①②正确，③④⑤⑥都不正确，故应选B.7．(2010·浙江温州)如图所示，椭圆中心在坐标原点，F 为左焦点，当FB →⊥AB →时，其离心率为5－12，此类椭圆被称为“黄金椭圆”．类比“黄金椭圆”，可推算出“黄金双曲线”的离心率e 等于( )A.5＋12B.5－12C.5－1D.5＋1[解析] 如图所示，设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，则F (－c,0)，B (0，b )，A (a,0)∴FB→＝(c ，b )，AB →＝(－a ，b ) 又∵FB →⊥AB →，∴FB →·AB→＝b 2－ac ＝0 ∴c 2－a 2－ac ＝0∴e 2－e －1＝0∴e ＝1＋52或e ＝1－52(舍去)，故应选A.8．六个面都是平行四边形的四棱柱称为平行六面体．如图甲，在平行四边形ABD 中，有AC 2＋BD 2＝2(AB 2＋AD 2)，那么在图乙中所示的平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AC 21＋BD 21＋CA 21＋DB 21等于( )A ．2(AB 2＋AD 2＋AA 21)B ．3(AB 2＋AD 2＋AA 21)C ．4(AB 2＋AD 2＋AA 21)D ．4(AB 2＋AD 2)[解析] AC 21＋BD 21＋CA 21＋DB 21＝(AC 21＋CA 21)＋(BD 21＋DB 21)＝2(AA 21＋AC 2)＋2(BB 21＋BD 2)＝4AA 21＋2(AC 2＋BD 2)＝4AA 21＋4AB 2＋4AD 2，故应选C.9．下列说法正确的是( )A ．类比推理一定是从一般到一般的推理B ．类比推理一定是从个别到个别的推理C ．类比推理是从个别到个别或一般到一般的推理D ．类比推理是从个别到一般的推理[答案] C[解析] 由类比推理的定义可知：类比推理是从个别到个别或一般到一般的推理，故应选C.10．下面类比推理中恰当的是( )A ．若“a ·3＝b ·3，则a ＝b ”类比推出“若a ·0＝b ·0，则a ＝b ”B ．“(a ＋b )c ＝ac ＋bc ”类比推出“(a ·b )c ＝ac ·bc ”C ．“(a ＋b )c ＝ac ＋bc ”类比推出“a ＋b c ＝a c ＋b c (c ≠0)”D ．“(ab )n ＝a n b n ”类比推出“(a ＋b )n ＝a n ＋b n ”[答案] C[解析] 结合实数的运算知C 是正确的．二、填空题11．设f (x )＝12x ＋2，利用课本中推导等差数列前n 项和公式的方法，可求得f (－5)＋f (－4)＋…＋f (0)＋…＋f (5)＋f (6)的值为________．[答案] 3 2[解析] 本题是“方法类比”．因等比数列前n 项和公式的推导方法是倒序相加，亦即首尾相加，那么经类比不难想到f (－5)＋f (－4)＋…＋f (0)＋…＋f (5)＋f (6)＝[f (－5)＋f (6)]＋[f (－4)＋f (5)]＋…＋[f (0)＋f (1)]，而当x 1＋x 2＝1时，有f (x 1)＋f (x 2)＝＝12＝22，故所求答案为6×22＝3 2. 12．(2010·广州高二检测)若数列{a n }是等差数列，对于b n ＝1n (a 1＋a 2＋…＋a n )，则数列{b n }也是等差数列．类比上述性质，若数列{c n }是各项都为正数的等比数列，对于d n >0，则d n ＝________时，数列{d n }也是等比数列．[答案] n c 1·c 2·…·c n13．在以原点为圆心，半径为r 的圆上有一点P (x 0，y 0)，则过此点的圆的切线方程为x 0x ＋y 0y ＝r 2，而在椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)中，当离心率e 趋近于0时，短半轴b 就趋近于长半轴a ，此时椭圆就趋近于圆．类比圆的面积公式，在椭圆中，S 椭＝________.类比过圆上一点P (x 0，y 0)的圆的切线方程，则过椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)上一点P (x 1，y 1)的椭圆的切线方程为________．[答案] π·a ·b ；x 1a 2·x ＋y 1b 2·y ＝1[解析] 当椭圆的离心率e 趋近于0时，椭圆趋近于圆，此时a ，b 都趋近于圆的半径r ，故由圆的面积S ＝πr 2＝π·r ·r ，猜想椭圆面积S椭＝π·a ·b ，其严格证明可用定积分处理．而由切线方程x 0·x ＋y 0·y ＝r 2变形得x 0r 2·x ＋y 0r 2·y ＝1，则过椭圆上一点P (x 1，y 1)的椭圆的切线方程为x 1a 2·x ＋y 1b 2·y ＝1，其严格证明可用导数求切线处理． 14．在等差数列{a n }中，若a 10＝0，则有等式a 1＋a 2＋…＋a n ＝a 1＋a 2＋…＋a 19－n (n <19，n ∈N *)成立，类比上述性质，相应地：在等比数列{b n }中，若b 9＝1，则有等式__________成立．[答案] b 1b 2…b n ＝b 1b 2…b 17－n (n ＜17，n ∈N *)[解析] 解法1：从分析所提供的性质入手：由a 10＝0，可得a k ＋a 20－k ＝0，因而当n <19－n 时，有a 1＋a 2＋…＋a 19－n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ＋a n ＋1＋a n ＋2＋…＋a 19－n ，而a n ＋1＋a n ＋2＋…＋a 19－n ＝(19－2n )(a n ＋1＋a 19－n )2＝0，∴等式成立．同理可得n >19－n 时的情形．由此可知：等差数列{a n }之所以有等式成立的性质，关键在于在等差数列中有性质：a n ＋1＋a 19－n ＝2a 10＝0，类似地，在等比数列{b n }中，也有性质：b n ＋1·b 17－n ＝b 29＝1，因而得到答案：b 1b 2…b n ＝b 1b 2…b 17－n (n <17，n ∈N *)．解法2：因为在等差数列中有“和”的性质a 1＋a 2＋…＋a n ＝a 1＋a 2＋…＋a 19－n (n ＜19，n ∈N *)成立，故在等比数列{b n }中，由b 9＝1，可知应有“积”的性质b 1b 2…b n ＝b 1b 2…b 17－n (n ＜17，n ∈N *)成立. (1)证明如下：当n ＜8时，等式(1)为b 1b 2…b n ＝b 1b 2…b n b n ＋1…b 17－n 即：b n ＋1·b n ＋2…b 17－n ＝1.(2)∵b 9＝1，∴b k ＋1·b 17－k ＝b 29＝1.∴b n ＋1b n ＋2…b 17－n ＝b 17－2n 9＝1.∴(2)式成立，即(1)式成立；当n＝8时，(1)式即：b9＝1显然成立；当8＜n＜17时，(1)式即：b1b2…b17－n·b18－n·…b n＝b1b2…b17－n即：b18－n·b19－n…b n＝1(3)∵b9＝1，∴b18－k·b k＝b29＝1∴b18－n b19－n·…·b n＝b2n－179＝1∴(3)式成立，即(1)式成立．综上可知，当等比数列{b n}满足b9＝1时，有：b1b2…b n＝b1b2…b17－n(n＜17，n∈N*)成立．三、解答题15．已知：等差数列{a n}的公差为d，前n项和为S n，有如下的性质：(1)a n＝a m＋(n－m)·d.(2)若m＋n＝p＋q，其中，m、n、p、q∈N*，则a m＋a n＝a p＋a q.(3)若m＋n＝2p，m，n，p∈N*，则a m＋a n＝2a p.(4)S n，S2n－S n，S3n－S2n构成等差数列．类比上述性质，在等比数列{b n}中，写出相类似的性质．[解析]等比数列{b n}中，公比q，前n项和S n.(1)通项a n＝a m·q n－m.(2)若m ＋n ＝p ＋q ，其中m ，n ，p ，q ∈N *，则a m ·a n ＝a p ·a q .(3)若m ＋n ＝2p ，其中，m ，n ，p ∈N *，则a 2p ＝a m ·a n . (4)S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 构成等比数列．16．先解答(1)，再根据结构类比解答(2)．(1)已知a ，b 为实数，且|a |<1，|b |<1，求证：ab ＋1>a ＋b .(2)已知a ，b ，c 均为实数，且|a |<1，|b |<1，|c |<1，求证：abc ＋2>a ＋b ＋c .[解析] (1)ab ＋1－(a ＋b )＝(a －1)(b －1)>0.(2)∵|a |<1，|b |<1，|c |<1，据(1)得(ab )·c ＋1>ab ＋c ，∴abc ＋2＝[(ab )·c ＋1]＋1>(ab ＋c )＋1＝(ab ＋1)＋c >a ＋b ＋c .你能再用归纳推理方法猜想出更一般地结论吗？[点评] (1)与(2)的条件与结论有着相同的结构，通过分析(1)的推证过程及结论的构成进行类比推广得出：(ab )·c ＋1＞ab ＋c 是关键．用归纳推理可推出更一般的结论：a i 为实数，|a i |＜1，i ＝1、2、…、n ，则有：a 1a 2…a n ＋(n －1)＞a 1＋a 2＋…＋a n .17．点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫22，22在圆C ：x 2＋y 2＝1上，经过点P 的圆的切线方程为22x ＋22y ＝1，又点Q (2,1)在圆C 外部，容易证明直线2x ＋y＝1与圆相交，点R ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12在圆C 的内部．直线12x ＋12y ＝1与圆相离．类比上述结论，你能给出关于一点P (a ，b )与圆x 2＋y 2＝r 2的位置关系与相应直线与圆的位置关系的结论吗？[解析]点P(a，b)在⊙C：x2＋y2＝r2上时，直线ax＋by＝r2与⊙C相切；点P在⊙C内时，直线ax＋by＝r2与⊙C相离；点P在⊙C 外部时，直线ax＋by＝r2与⊙C相交．容易证明此结论是正确的．18．我们知道：12＝1，22＝(1＋1)2＝12＋2×1＋1，32＝(2＋1)2＝22＋2×2＋1，42＝(3＋1)2＝32＋2×3＋1，……n2＝(n－1)2＋2(n－1)＋1，左右两边分别相加，得n2＝2×[1＋2＋3＋…＋(n－1)]＋n∴1＋2＋3＋…＋n＝n(n＋1)2.类比上述推理方法写出求12＋22＋32＋…＋n2的表达式的过程．[解析]我们记S1(n)＝1＋2＋3＋…＋n，S2(n)＝12＋22＋32＋…＋n2，…S k(n)＝1k＋2k＋3k＋…＋n k (k∈N*)．已知13＝1，23＝(1＋1)3＝13＋3×12＋3×1＋1，33＝(2＋1)3＝23＋3×22＋3×2＋1，43＝(3＋1)3＝33＋3×32＋3×3＋1， ……n 3＝(n －1)3＋3(n －1)2＋3(n －1)＋1. 将左右两边分别相加，得S 3(n )＝[S 3(n )－n 3]＋3[S 2(n )－n 2]＋3[S 1(n )－n ]＋n .由此知S 2(n )＝n 3＋3n 2＋2n －3S 1(n )3＝2n 3＋3n 2＋n 6 ＝n (n ＋1)(2n ＋1)6.。
第2课时类比推理一、选择题1.下列说法正确的是（）A.由合情推理得出的结论一定是正确的B.合情推理必须有前提有结论C.合情推理不能猜想D.合情推理得岀的结论无法判定正误［答案］B［解析］由合情推理得出的结论不一定正确，A不正确；B正确；合情推理的结论本身就是一个猜想，C不正确；合盾推理结论可以通过证明来判定正误，D也不正确，故应选B.2.下面几种推理是合情推理的是（）①由圆的性质类比出球的有关性质②由直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和是180°,归纳出所有三角形的内角和都是180°③教室内有一把椅子坏了，则该教室内的所有椅子都坏了④三角形内角和是180°,四边形内角和是360。
，五边形内角和是540°,由此得出凸多边形的内角和是02 — 2）.180。
A.①②B.©©④C.①②④D.②④［答案］C［解析］①是类比推理;②④都是归纳推理,都是合情推理・3.三角形的面积为S=^a+b+c)-r, a. b、c为三角形的边长, 厂为三角形内切圆的半径，利用类比推理，可以得到四面体的体积为( ) 1A.V=^abcB・V=lshc. V=|(51+S2+S3+54)r, (Si、S2> S3、S4分别为四而体四个而的而积，厂为四面体内切球的半径)D. V=ac)h(h为四而体的高)［答案］C［解析］边长对应表面积，内切圆半径应对应内切球半径・故应选C.4.类比平而内正三角形的“三边相等，三内角相等”的性质，可推知正四而体的下列哪些性质，你认为比较恰当的是()①各棱长相等，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等②各个而都是全等的正三角形，相邻两个面所成的二而角都相等③各个而都是全等的正三角形，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等A.①B.①②C.①②③D.③［答案］C［解析］正四面体的面(或棱)可与正三角形的边类比，正四面体的相邻两面成的二面角(或共顶点的两棱的夹角)可与正三角形相邻两边的夹角类比，故①②③都对・5.类比三角形中的性质：(1)两边之和大于第三边(2)中位线长等于底边的一半(3)三内角平分线交于一点可得四而体的对应性质：(1)任意三个面的面积之和大于第四个而的面积(2)过四面体的交于同一顶点的三条棱的中点的平面面积等于第四个而而积的扌(3)四面体的六个二而角的平分面交于一点其中类比推理方法正确的有()A.(1)B.⑴⑵C.⑴⑵⑶D.都不对［答案］C［解析］以上类比推理方法都正确，需注意的是类比推理得到的结论是否正确与类比推理方法是否正确并不等价，方法正确结论也不—定正确.6.由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则：① a mn=mn v 类比得到“a b=b a"；② a (m+n)t=mt+nt ff 类比得到"(a+〃) c=a c+〃 c” ；③ a(m-n)t=m(n ^ 类比得到 “(a b) c=a (b c)” ；④ "fHO, mt=xt=>m=x v 类比得到"pHO, a p=x p=>a=x^ ；⑤ “1加・別=1加l"l”类比得到“0上l = lal ・l 〃l” ；⑥ 类比得到“壯畔” • 以上式子中，类比得到的结论正确的个数是()A. 1B. 2C. 3D. 4［答案］B［解析］由向量的有关运算法则知①②正确，③④⑤⑥都不正确，故应选B.7. (2010-浙江温州)如图所示,椭圆中心在坐标原点, F为左焦点，当滞丄皿时，其离心率为耳二，此类椭圆 被称为“黄金椭圆”・类比“黄金椭圆”，可推算出“黄金双曲线”的离心率£等于()C.V5-1D.V5+1 A. 址+1 ~2TB. 逅一 1 2［答案］A［解析］如图所示，设双曲线方程为芋•荒1(6/>0 , Z?>0),则F( - c,0) , B(0, b) , A@,0)/.F& = (c , b) ,AB-(-a, b)又•・•滞丄皿,・= ■心=0/• c2 - t/2 - tzc = 0：•$ ・ e ・ 1 = 0占或占(舍去),故应选A.8.六个面都是平行四边形的四棱柱称为平行六而体.如图甲，在平行四边形ABD中，有AC2+BD2=2(AB2+AD2),那么在图乙中所示的平行六而体ABCD-AiBiCiDi中，ACy+BDHCA］+DB^于()A.2(/1B2+AD2+A4T)B.3(AB2+AD2+/L4T)C.4(AB2+AD2+/L4T)D.4(AB2+AD2)［答案］C［解析］AC T +BD T +CA T +£>B T=(ACT + CAT)+(BD T +DBb=2(AA T + AC?) + 2(BB? + BD2)=4AA T +2(AC2 + BD1)=4AA T + 4AB2 + 4AD2 ,故C.9.下列说法正确的是()A.类比推理一定是从一般到一般的推理B.类比推理一定是从个别到个别的推理C.类比推理是从个别到个别或一般到一般的推理D.类比推理是从个别到一般的推理［答案］C［解析］由类比推理的定义可知:类比推理是从个别到个别或一般到一般的推理，故应选C.10.下而类比推理中恰当的是()A.若““3="3,贝lj a=b ff类比推出“若° 0=b 0,则u=b”B.u{a+b)c=ac+bc>f类比推出“(*b)c=uc・bc”C.a{a+b)c=ac+bc>f类比推出“乎二学+弓⑺工。
【高二】高二数学归纳推理综合测试题(含答案)选修2-22.1.1第1课时归纳推理一、1．关于归纳推理，以下观点恰当的就是( )a．归纳推理是一般到一般的推理b．归纳推理就是通常至个别的推理小说c．归纳推理的结论一定是正确的d．归纳推理的结论就是或然性的[答案] d[解析] 归纳推理就是由特定至通常的推理小说，其结论的正确性不一定．故高文瑞d.2．下列推理是归纳推理的是( )a．a，b为定点，动点p满足用户pa＋pb＝2a>ab，得p的轨迹为椭圆b．由a1＝1，an＝3n－1，求出s1，s2，s3，猜想出数列的前n项和sn的表达式c．由圆x2＋y2＝r2的面积πr2，猜到椭圆x2a2＋y2b2＝1的面积s＝πabd．科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇[答案] b[解析] 由归纳推理的定义知b是归纳推理，故应选b.3．数列{an}：2,5,11,20，x,47，…中的x等同于( )a．28b．32c．33d．27[答案] b[解析] 因为5－2＝3×1,11－5＝6＝3×2,20－11＝9＝3×3，猜测x－20＝3×4,47－x＝3×5，推断出x＝32.故高文瑞b.4．在数列{an}中，a1＝0，an＋1＝2an＋2，则猜想an是( )a．2n－2－12b．2n－2c．2n－1＋1d．2n＋1－4[答案] b[解析] ∵a1＝0＝21－2，∴a2＝2a1＋2＝2＝22－2，a3＝2a2＋2＝4＋2＝6＝23－2，a4＝2a3＋2＝12＋2＝14＝24－2，……悖论an＝2n－2.故应选b.5．某人为了观赏2021年奥运会，从2021年起至，每年5月10日至银行取走a元定期储蓄，若年利率为p且维持维持不变，并签订合同每年到期存款均自动变为代莱一年定期，至2021年将所有的存款及利息全部领回，则可以领回的钱的总数(元)为( )a．a(1＋p)7b．a(1＋p)8c.ap[(1＋p)7－(1＋p)]d.ap[(1＋p)8－(1＋p)][答案] d[解析] 至2021年5月10日存款及利息为a(1＋p)．到2021年5月10日存款及利息为a(1＋p)(1＋p)＋a(1＋p)＝a[(1＋p)2＋(1＋p)]到2021年5月10日存款及利息为a[(1＋p)2＋(1＋p)](1＋p)＋a(1＋p)＝a[(1＋p)3＋(1＋p)2＋(1＋p)]……所以到2021年5月10日存款及利息为a[(1＋p)7＋(1＋p)6＋…＋(1＋p)]＝a(1＋p)[1－(1＋p)7]1－(1＋p)＝ap[(1＋p)8－(1＋p)]．故应选d.6．未知数列{an}的前n项和sn＝n2an(n≥2)，而a1＝1，通过排序a2，a3，a4，悖论an等同于( )a.2(n＋1)2b.2n(n＋1)c.22n－1d.22n－1[答案] b[解析] 因为sn＝n2an，a1＝1，所以s2＝4a2＝a1＋a2?a2＝13＝23×2，s3＝9a3＝a1＋a2＋a3?a3＝a1＋a28＝16＝24×3，s4＝16a4＝a1＋a2＋a3＋a4a4＝a1＋a2＋a315＝110＝25×4.所以猜想an＝2n(n＋1)，故应选b.7．n个已连续自然数按规律排序下表中：根据规律，从2021到2021箭头的方向依次为( )a．↓→b．→↑c．↑→d．→↓[答案] c[解析] 观察特例的规律知：位置相同的数字都是以4为公差的等差数列，由234可知从2021到2021为↑→，故应选c.8．(2021?山东文，10)观测(x2)′＝2x，(x4)′＝4x3，(cosx)′＝－sinx，由归纳推理可以得：若定义在r上的函数f(x)满足用户f(－x)＝f(x)，记g(x)为f(x)的导函数，则g(－x)＝( )a．f(x)b．－f(x)c．g(x)d．－g(x)[答案] d[解析] 本题考查了推理小说证明及函数的奇偶性内容，由例子可以窥见偶函数微分后都变为了奇函数，∴g(－x)＝－g(x)，选d，体现了对学生观察能力，概括归纳推理的能力的考查．9．根据得出的数塔猜测123456×9＋7等同于( )1×9＋2＝1112×9＋3＝111123×9＋4＝11111234×9＋5＝1111112345×9＋6＝111111…a．1111110b．1111111c．1111112d．1111113[答案] b[解析] 根据规律应属7个1，故高文瑞b.10．把1、3、6、10、15、21、…这些数叫做三角形数，这是因为这些数目的点子可以排成一个正三角形(如下图)，试求第七个三角形数就是( )a．27b．28c．29d．30[答案] b[解析] 观测概括所述第n个三角形数共计点数：1＋2＋3＋4＋…＋n＝n(n＋1)2个，∴第七个三角形数为7×(7＋1)2＝28.二、题11．观测以下由火柴杆拆成的一列图形中，第n个图形由n个正方形共同组成：通过观察可以发现：第4个图形中，火柴杆有________根；第n个图形中，火柴杆有________根．[答案] 13,3n＋1[解析] 第一个图形有4根，第2个图形有7根，第3个图形有10根，第4个图形有13根……猜想第n个图形有3n＋1根．12．从1＝12,2＋3＋4＝32,3＋4＋5＋6＋7＝52中，可以得通常规律就是__________________．[答案] n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)2[解析] 第1式存有1个数，第2式存有3个数相乘，第3式存有5个数相乘，故悖论第n个式子存有2n－1个数相乘，且第n个式子的第一个加数为n，每数减少1，共计2n－1个数相乘，故第n个式子为：n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋{n＋[(2n－1)－1]}＝(2n－1)2，即n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)2.13．观测右图中各正方形图案，每条边上存有n(n≥2)个圆圈，每个图案中圆圈的总数就是s，按此规律面世s与n的关系式为________．[答案] s＝4(n－1)(n≥2)[解析] 每条边上存有2个圆圈时共计s＝4个；每条边上存有3个圆圈时，共计s＝8个；每条边上存有4个圆圈时，共计s＝12个．可知每条边上减少一个点，则s减少4，∴s与n的关系为s＝4(n－1)(n≥2)．14．(2021?浙江理，15)观察下列等式：c15＋c55＝23－2，c19＋c59＋c99＝27＋23，c113＋c513＋c913＋c1313＝211－25，c117＋c517＋c917＋c1317＋c1717＝215＋27，……由以上等式推测到一个一般的结论：对于n∈n*，c14n＋1＋c54n＋1＋c94n＋1＋…＋c4n＋14n＋1＝__________________.[答案] 24n－1＋(－1)n22n－1[解析] 本小题主要考查归纳推理的能力等式右端第一项指数3,7,11,15，…构成的数列通项公式为an＝4n－1，第二项指数1,3,5,7，…的通项公式bn＝2n－1，两项中间等号正、负相间出现，∴右端＝24n－1＋(－1)n22n－1.三、答疑题15．在△abc中，不等式1a＋1b＋1c≥9π成立，在四边形abcd中，不等式1a＋1b＋1c＋1d≥162π设立，在五边形abcde中，不等式1a＋1b＋1c＋1d＋1e≥253π成立，猜想在n边形a1a2…an中，有怎样的不等式成立？[解析] 根据未知特定的数值：9π、162π、253π，…，总结概括出来一般性的规律：n2(n－2)π(n≥3)．∴在n边形a1a2…an中：1a1＋1a2＋…＋1an≥n2(n－2)π(n≥3)．16．右图中(1)、(2)、(3)、(4)为四个平面图．数一数每个平面图各存有多少个顶点？多少条边？它们围起了多少个区域？并将结果插入下表中．平面区域顶点数边数区域数(1)(2)(3)(4)(1)观测上奏，推测一个平面图形的顶点数、边数、区域数之间存有什么关系？(2)现已知某个平面图有999个顶点，且围成了999个区域，试根据以上关系确定这个平面图有多少条边？[解析] 各平面图形的顶点数、边数、区域数如下表中：平面区域顶点数边数区域数关系(1)3323＋2－3＝2(2)81268＋6－12＝2(3)6956＋5－9＝2(4)1015710＋7－15＝2结论vefv＋f－e＝2推广999e999e＝999＋999－2＝1996其顶点数v，边数e，平面区域数f满足关系式v＋f－e＝2.故可以悖论此平面图可能将存有1996条边．17．在一容器内装有浓度为r%的溶液a升，注入浓度为p%的溶液14a升，搅匀后再倒出溶液14a升，这叫一次操作，设第n次操作后容器内溶液的浓度为bn(每次注入的溶液浓度都是p%)，计算b1、b2、b3，并归纳出bn的计算公式．[解析] b1＝a?r100＋a4?p100a＋a4＝110045r＋15p，b2＝ab1＋a4?p100a＋a4＝1100452r＋15p＋452p.b3＝a?b2＋a4?p100a＋a4＝1100453r＋15p＋452p＋4253p，∴概括得bn＝110045nr＋15p＋452p＋…＋4n－15np.18．设f(n)＝n2＋n＋41，n∈n＋，计算f(1)，f(2)，f(3)，…，f(10)的值，同时作出归纳推理，并用n＝40验证猜想是否正确．[解析] f(1)＝12＋1＋41＝43，f(2)＝22＋2＋41＝47，f(3)＝32＋3＋41＝53，f(4)＝42＋4＋41＝61，f(5)＝52＋5＋41＝71，f(6)＝62＋6＋41＝83，f(7)＝72＋7＋41＝97，f(8)＝82＋8＋41＝113，f(9)＝92＋9＋41＝131，f(10)＝102＋10＋41＝151.由于43、47、53、61、71、83、97、113、131、151都为质数．即为：当n挑任何非负整数时f(n)＝n2＋n＋41的值质数．但是当n＝40时，f(40)＝402＋40＋41＝1681为合数．所以，上面由归纳推理获得的悖论不恰当．。
高二数学第二学期第三章归纳推理、类比推理同步练习题（文科）、填空题1.下列说法中正确的是（D ）C.归纳推理是从一般到特殊的推理D.类比推理是从特殊到特殊的推理2 2 2 22 .由 1= 1'1+3 = 2 '1+ 3 + 5= 3'1 + 3 + 5+ 7= 4,…，得到 1 + 3 + …+F 列推理正确的是a (b +c )与 a •( b + c )类比，则有 a ・(b + c ) = a • b + a • c7.下面几种推理是合情推理的是 （C ）①由圆的性质类比出球的有关性质;③张军某次考试成绩是 100分，由此推出全班同学的成绩都是 100 分;④三角形内角和是 180°,四边形内角和是 360°,五边形内角和是 540 °, 由此得凸多边形内角和是 （n — 2） • 180°. A .①②B .①③ C.①②④D .②④②由直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和是 180°,归纳出所有三角形的内角和都是180°;A.合情推理是正确的推理B. 合情推理就是归纳推理(2 n — 1) = n 2用的是(A .归纳推理 B.演绎推理.特殊推理3 .在证明命题“对于任意角4,cos.4sincos2 ”的过程: 4cos.4sin2cos・2 2sincos .2sin2cos.2sincos2 ” 中应用了（A .分析法.综合法 C .分析法和综合法综合使用D •间接证法4.如果数列 a n 是等差数列, A a 1a sa 4a sB.a 1 a sa 4 a sC.a 1 a s a 4a sDa 1a s5. F 面使用类比推理正确的是（ A. a 3 b 3,则a b ”类推出“若 b 0,则 aB. (a b)c ac bc ”类推出“ (ab)c acbc ”C. (a b)c ac bc ” 类推出“D.“(ab )n a n b n ” 类推出 “(ab nA .把 a (b + c )与 log a (x + y )类比，则有log a ( x + y ) = log a X + log a yB .把C.把 a (b + c )与sin ( x + y )类比，则有 a (b + c )与 a x+y 类比，则有 a x+y = asin ( x + y ) = sin x + sin yx y+ aD.把8.下列平面图形中与空间的平行六面体作为类比对象较合适的是（C ）A.三角形B .梯形C .平行四边形 D .矩形9 .下列推理是归纳推理的是（B ）A.代B为定点，动点P满足|PA + |PB = 2a>|AB，贝U P点的轨迹为椭圆B .由a i = 1, a n = 3n —1,求出S , S 2, S 3，猜想出数列的前 n 项和S n 的表达式D.科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇10. 数列5,9,17,33 , x ,…中的x 等于11.已知数列｛a n ｝中，a 1= 1,当n 》2时，a n = 2a n — 1+ 1,依次计算a ?, a 3, a 4后，猜想a n 的一个表达式是(C ) A . n 2 — 1B . (n — 1)2+ 1C . 2n — 1D. 2n — 1+ 1则第n — 1个正方形数是(C ) A . n ( n — 1)B. n ( n + 1)C. n 213 .根据给出的数塔猜测123456X 9+ 7等于(B )1 + 9X 2= 11 12X 9+ 3 = 111 123X 9+ 4 = 1111 1234X 9+ 5 = 11111 12345X 9+ 6 = 111111A . 1111110B . 1111111C . 1111112 D. 111111314.图为一串白黑相间排列的珠子，按这种规律往下排起来，那么第36颗珠子应是什么颜色（A ）A .白色B .黑色C .白色可能性大D .黑色可能性大15.把3、6、10、15、21、…这些数叫做三角形数，这是因为这些数目的点子可以排成一个正三角形（如下图），试求第六个三角形数是（B ） A . 27B . 28 C16.黑白两种颜色的正六形地面砖块按如图的规律拼成若干个图案，则第五个图案中有白色地面砖（B ）块.C.由圆x 2+ y 2= r 2的面积 n r 2,猜想出椭圆 2 2x ya 2 +b ^= 1 的面积 S =n ab A . 47 B . 65 C. 63 D. 12812.我们把 4,9,16,25，…这些数称做正方形数，这是因为这些数目的点子可以排成一个正方形（如下图），(n + 1)29D. 30A.21B.22C.20D.23第7牛第勺吓17. 一同学在电脑中打出如下若干个圈：o・oo・ooo・oooo・ooooo•…若将此若干个圈依此规律继续下去，得到一系列的圈，那么在前120个圈中的•的个数是（C ）A. 12B.13C.14D.1522.正整数按下表的规律排列125101743611I18987121 913 111222，22325一,11 1 12232427，…，则可归纳出式子为（A 11 1A 1舁孕11 n22n1C 1 =-12n 1n n2^孑19•已知数列1, a a2, a2 a3A .k a k 1 a L2k aC.k 1 a k a L2k a B.k 1 a k a L2k 1 a D.k 1k L2k2a a a20. （2010惠州调研二）为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文密文（加密），接受方由密文明文（解密），已知加密规则为：明文a, b,c,d 对应密文a 2b,2b c,2c3d,4d，例如，明文1,2,3,4对应密文14,9,23,28).A. 4 , 6, 1, 7B.7 , 6, 1, 4 C .a2b5a62b c7b 4 ”［解析］由得，选C2c3d18c14d16d7（a,b）和（c,d），规定:(a,b) (c,d)，当且仅当a c,b d ;运算”为: (a,b) (c,d) (ac bd,bc ad)；运算"为：（a,b）(c,d) (a c,b d)，设p,q R，若(1,2) (p,q) (5,0)，则(1,2) (p,q) ................ ( )A. (4,0) B . (2,0) C . (0,2) D (0, 4)解：由题意, P 2q 5，解得P2p q 0 1 所以正确答案为（B).18.观察式子:11 221 12n 12n2n 14 5 6a a a ,L，则数列的第k项是（5,7,18,16 •当接受方收到密文6 , 4, 1 ,7 D . 1 , 6, 4, 7则上起第2005行，左起第2006列的数应为( D )2 2A. 2005B. 2006C. 2005 2006D. 2005 200623.观察下列数表规律则从数2009到2010的箭头方向是(B )t屮J2009 —*■【九—* 2009J二、填空题11 1 * 3 5 724.f (n ) = 1 + 2 + §+•••+ n ( n € N)，计算得 f (2)=㊁，f (4)>2 , f (8)> ㊁，f (16)>3 , f (32)>2，推测当 n 》2 时, . 上 n n +2 有—f (2 )> ——.3 325. 已知 sin 230°+ sin 290°+ sin 2150°=刁 sin 25°+ sin 265°+ sin 2125°=㊁ 通过观察上述两等式的规律，3请你写出一个一般性的命题： _ sin ( a - 60° ) + sin a + sin ( a + 60° ) = - ___________ . 26.已知 a= 3, a 2= 6 且 a n +2= a n +1— a n ,贝U a 33= ___________ 3_____ . 底x 咼 27.已知扇形的弧长为I ，半径为r ，类比三角形的面积公式：S = —,1可推知扇形面积公式 S 扇= -lr .2 ---------- 28.如图，观察图形规律，在其右下的的空格处画上合适的图形，应为 ______ ① ___ .-—IIIX229. 如图所示四个图形中，着色三角形的个数依次构成一个数列的前4项，则这个数列的一个通项公式为n _1*a n = 3 (n € N).30. 如图所示，图(a)是棱长为1的小正方体，图(b)、图(c)是由这样的小正方体摆放而成•按照这样的方法继 续摆放，自上而下分别叫第 1层，第2层，…，第n 层•第n 层的小正方体的个数记为S.解答下列问题:(1) 按照要求填表:⑵ S io = _55_.⑶s=n + 1231. 从1 12,2 3 4 32, 3+4+5+6+7=52中，可得到一般规律为2n (n 1) (n 2) (3)2) (2n 1)(用数学表达式表示)。
卜人入州八九几市潮王学校第四高二数学归纳推理
与类比推理程度测试
一、自学导引
1、在数列{}n a 中，*1121,()2n
n n
a a a n N a +==
∈+试猜想这个数列的通项公式。
2、探求凸多边形的面数F ，顶点数V 和棱数E 之间的关系：
归纳、猜想对于一般的凸n 面体的面数F 、顶点数V 、棱数E 的关系是。
3、对于任意的正整数n ，猜想1
2n -与2
(1)n +的大小关系。
4、类比圆与球的概念与性质：
5、从运算性质的角度，类比实数的加法和乘法：
二、应用探究：
1、类比平面内直角三角形的勾股定理，试给出空间中四面体的猜想。
三边的长分别为三边的关系：试证明你猜想的结论。
三、反响与练习
1、数列{}n a 的前n 项和为n S ，12
3a =-，满足12(2)n n n
S a n S ++=≥，计算1S 、2S 、3S ，并猜想n S 的表达式。
2、在等差数列{}n a 中，假设100a =，那么有
*121219(19,)n n a a a a a a n n N -+++=++
+<∈且成立。
类比上述性质，在等比数列
{}n b 中，假设91b =，那么存在怎样的等式？。
1．设△的三边长分别为△的面积为，内切圆半径为，则．类比这个结论可知：四面体的四个面的面积分别为内切球的半径为，四面体的体积为，则＝（ ）A ．B ．C ．D ．2．如图所示，面积为S 的平面凸四边形的第i 条边的边长记为i a （4,3,2,1=i ），此四边形内任一点P 到第i 条边的距离记为i h （4,3,2,1=i ），若k a a a a ====43214321，则kS h h h h 24324321=+++．类比以上性质，体积为V 的三棱锥的第i 个面的面积记为i S （4,3,2,1=i ），此三棱锥内任一点Q 到第i 个面的距离记为i H （4,3,2,1=i ），若K S S S S ====43214321，则4321432H H H H +++等于（ ）A ．2V KB ．2V KC ．3V KD ．3V K3．由直线与圆相切时，圆心到切点连线与直线垂直，想到平面与球相切时，球心与切点连线与平面垂直，用的是 （ ）A ．归纳推理B ．演绎推理C ．类比推理D ．传递性推理4．我们知道，在边长为a a ，类比上述结论，在边长为a 的正四面体内任一点到其四个面的距离之和为定值（ ）A 5．平面几何中的三角形在立体几何中类比的对象是（ ）A ．三棱柱B ．三棱台C ．三棱锥D ．正方体6．平面几何中，有边长为a ，类比上述命题，棱长为a 的正四面体内任一点到四个面的距离之和为 （ ）A ．3aB ．4aC ．3D ．4a 7．天文学家经研究认为：“地球和火星在太阳系中各方面比较接近，而地球有生命，进而认为火星上也有生命存在”，这是什么推理（ ）A ．归纳推理B ．类比推理C ．演绎推理D ．反证法8．由“在平面内三角形的内切圆的圆心到三边的距离相等”联想到“在空间中内切于三棱锥的球的球心到三棱锥四个面的距离相等”这一推理过程是（ ）A.归纳推理B.类比推理C.演绎推理D.联想推理9．下列推理是归纳推理的是（ ）Ａ．A ，B 为定点，动点P 满足|PA|＋|PB|＝2a ＞|AB|，则P 点的轨迹为椭圆B ．由13,11-==n a a n ，求出321,,S S S 猜想出数列的前n 项和S n 的表达式Ｃ．由圆222r y x =+的面积π2r ，猜想出椭圆12222=+b y a x 的面积π=S ab D ．科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇10．下列正确的是（ ）A ．类比推理是由特殊到一般的推理B ．演绎推理是由特殊到一般的推理C ．归纳推理是由个别到一般的推理D ．合情推理可以作为证明的步骤11．①由“若a ，b ，c ∈R ，则(ab)c ＝a(bc)”类比“若a 、b 、c 为三个向量，则(a·b)c＝a(b·c)”；②在数列{a n }中，a 1＝0，a n ＋1＝2a n ＋2，猜想a n ＝2n －2；③在平面内“三角形的两边之和大于第三边”类比在空间中“四面体的任意三个面的面积之和大于第四个面的面积”；上述三个推理中，正确的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．312．下面几种推理中是演绎推理．．．．的序号为（ ） A ．半径为r 圆的面积2S r π=，则单位圆的面积S π=；B ．由金、银、铜、铁可导电，猜想：金属都可导电；C ．由平面三角形的性质，推测空间四面体性质；D ．由平面直角坐标系中圆的方程为222()()x a y b r -+-=，推测空间直角坐标系中球的方程为2222()()()x a y b z c r -+-+-= ．13．由“正三角形的内切圆切于三边的中点”可类比猜想：正四面体的内切球切于四个面( )A ．各正三角形内一点B ．各正三角形的某高线上的点C ．各正三角形的中心D ．各正三角形外的某点14．在平面几何中有如下结论：若正三角形ABC 的内切圆面积为1S ，外接圆面积为2S ，则1214S S =，推广到空间几何中可以得到类似结论：若正四面体A BCD -的内切球体积为1V ，外接球体积为2V ，则12V V =（ ）A ．14B ．18C ．116D ．12715．已知结论:“在正ABC ∆中，BC 中点为D ，若ABC ∆内一点G 到各边的距离都相等,则2=GDAG ”．若把该结论推广到空间，则有结论：“在棱长都相等的四面体ABCD 中，若BCD ∆的中心为M ，四面体内部一点O 到四面体各面的距离都相等，则=OM AO （ ▲ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．416．现有两个推理：①在平面内“三角形的两边之和大于第三边”类比在空间中“四面体的任意三个面的面积之和大于第四个面的面积”；②由“若数列{}n a 为等差数列，则有15515211076a a a a a a +++=+++ 成立”类比 “若数列{}n b 为等比数列，则有151********b b b b b b ⋅⋅=⋅⋅ 成立”，则得出的两个结论A. 只有①正确B. 只有②正确C. 都正确D. 都不正确17．在平面上，若两个正三角形的边长比为1:2.则它们的面积之比为1:4.类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长比为1:2，则它们的体积比为（ ）A ．1:2 B. 1:4 C. 1:6 D. 1:818．下列平面图形中与空间的平行六面体作为类比对象较合适的是( )A ．三角形B ．梯形C ．平行四边形D ．矩形19．由“半径为R 的圆内接矩形中，正方形的面积最大”，推理出“半径为R 的球的内接长方体中，正方体的体积最大”是（ ）A. 归纳推理B. 类比推理C. 演绎推理D.以上都不是20．学习合情推理后，甲、乙两位同学各举了一个例子，甲：由“若三角形周长为l ，面积为S ，则其内切圆半径r ＝2S l ”类比可得“若三棱锥表面积为S ，体积为V ，则其内切球半径r ＝3V S”； 乙：由“若直角三角形两直角边长分别为a 、b ，则其外接圆半径r ＝”类比可得“若三棱锥三条侧棱两两垂直，侧棱长分别为a 、b 、c ，则其外接球半径r ＝3”．这两位同学类比得出的结论( ) A ．两人都对 B ．甲错、乙对C ．甲对、乙错D ．两人都错21．求“方程345x x x +=的解”有如下解题思路：设34()()()55x x f x =+，则()f x 在R 上单调递减，且(2)1f =，所以原方程有唯一解2x =．类比上述解题思路，方程x xx x 1133+=+的解为 ． 22．已知正三角形内切圆的半径是高的13，把这个结论推广到空间正四面体，类似的结论是____________．23．在等差数列{}n a 中，若010=a ，则有n n a a a a a a -+++=+++192121)19(*∈<N n n ，且成立．类比上述性质，在等比数列{}n b 中，若19=b ，则存在的类似等式为________________________．24．半径为r 的圆的面积2()s r r π=，周长()2C r r π=，若将r 看作(0，＋∞)上的变量，则2()'2r r ππ=①，①式用语言可以叙述为：圆的面积函数的导数等于圆的周长函数．对于半径为R 的球，若将R 看作(0,)+?上的变量，请写出类比①的等式：____________________．上式用语言可以叙述为_________________________．25．已知圆的方程是222r y x =+，则经过圆上一点),(00y x M 的切线方程为200r y y x x =+类比上述性质，可以得到椭圆12222=+b y a x 类似的性质为________．26．在Rt △ABC 中，若∠C ＝90°，AC ＝b ，BC ＝a ，则△ABC 的外接圆半径r________________________ 27．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,则4841281612S S S S S S S ,-,-,-成等差数列.类比以上结论有:设等比数列{}n b 的前n 项积为n T ,则4T , ， ，1612T T 成等比数列．28．在Rt △ABC 中，若∠C=90°，AC=b ，BC=a ，斜边AB 上的高为h ，则有结论h 2=，运用类比方法，若三棱锥的三条侧棱两两互相垂直且长度分别为a ，b ，c ，且三棱锥的直角顶点到底面的高为h ，则有结论： ．29．已知边长分别为a 、b 、c 的三角形ABC 面积为S ，内切圆O 半径为r ，连接OA 、OB 、OC ，则三角形OAB 、OBC 、OAC 的面积分别为cr 21、ar 21、br 21，由br ar cr S 212121++=得cb a S r ++=2，类比得四面体的体积为V ，四个面的面积分别为4321,,,S S S S ,则内切球的半径R=_________________30．已知点),(),,(2121x x a x B a x A 是函数(1)x y a a =>的图象上任意不同两点，依据图象可知，线段AB 总是位于A 、B 两点之间函数图象的上方，因此有结论121222x x x x a a a ++>成立．运用类比思想方法可知，若点)sin ,(),sin ,(2211x x B x x A 是函数)),0((sin π∈=x x y 的图象上任意不同两点，则类似地有_________________成立．31．如图(1)有面积关系：PA B PAB S S ''∆∆＝PA PB PA PB''⋅⋅，则图(2)有体积关系：P A B C P ABC V V '''--＝________.32．在平面上，我们用一直线去截正方形的一个角，那么截下的一个直角三角形，按如图所标边长，由勾股定理有222b a c +=．设想正方形换成正方体，把截线换成如图截面，这时从正方体上截下三条侧棱两两垂直的三棱锥LMN O -，如果用321,,S S S 表示三个侧面面积，4S 表示截面面积，那么类比得到的结论是 ．33．已知正三角形内切圆的半径r 与它的高h 的关系是：13r h =，把这个结论推广到空间正四面体，则正四面体内切球的半径r 与正四面体高h 的关系是 ．34．在平面上，到直线的距离等于定长的点的轨迹是两条平行直线.类比在空间中：（1）到定直线的距离等于定长的点的轨迹是 ；（2）到已知平面相等的点的轨迹是 .35．现有一个关于平面图形的命题：如图，同一个平面内有两个边长都是a 的正方形，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方形重叠部分的面积恒为24a ；类比到空间，有两个棱长均为a 的正方体，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方体重叠部分的体积恒为___________ ．36．若等差数列{}n a 的首项为1,a 公差为d ，前n 项的和为n S ，则数列{}n S n 为等差数列，且通项为1(1)2n S d a n n =+-⋅．类似地，请完成下列命题：若各项均为正数的等比数列{}n b 的首项为1b ，公比为q ，前n 项的积为n T ，则 ．37．对于问题：“已知关于x 的不等式02>++c bx ax 的解集为（-1，2），解关于x 的不等式02>+-c bx ax ”，给出如下一种解法：解：由02>++c bx ax 的解集为（-1，2），得0)()(2>+-+-c x b x a 的解集为（-2，1），即关于x 的不等式02>+-c bx ax 的解集为（-2，1）参考上述解法，若关于x 的不等式0<++++c x b x a x k 的解集为（-1， 31-） （21，1），则关于x 的不等式0111<++++cx bx ax kx 的解集为________________ 38．在平面上，若两个正三角形的边长的比为1∶2，则它们的面积比为1∶4，类似地，在空间内，若两个正四面体的棱长的比为1∶2，则它们的体积比为________．39．已知抛物线有性质：过抛物线的焦点作一直线与抛物线交于A 、B 两点，则当AB 与抛物线的对称轴垂直时，AB 的长度最短；试将上述命题类比到其他曲线，写出相应的一个真命题为 ．40．将侧棱相互垂直的三棱锥称为“直角三棱锥”，三棱锥的侧面和底面分别叫为直角三棱锥的“直角面和斜面”；过三棱锥顶点及斜面任两边中点的截面均称为斜面的“中面”．请仿照直角三角形以下性质：（1）斜边的中线长等于斜边边长的一半；（2）两条直角边边长的平方和等于斜边边长的平方；（3）斜边与两条直角边所成角的余弦平方和等于1．写出直角三棱锥相应性质（至少一条）：_____________________．42．通过圆与球的类比，由“半径为R 的圆的内接矩形中，以正方形的面积为最大，最大值为22R ．”猜想关于球的相应命题为“半径为R 的球内接六面体中以 的体积为最大，最大值为 ”43．在平面内，三角形的面积为S ，周长为C ，则它的内切圆的半径CS r 2=．在空间中，三棱锥的体积为V ，表面积为S ，利用类比推理的方法，可得三棱锥的内切球（球面与三棱锥的各个面均相切）的半径R=______________________。
§1归纳与类比1．2类比推理双基达标(限时20分钟)1．下列平面图形中可作为空间平行六面体类比对象的是()．A．三角形B．梯形C．平行四边形D．矩形答案 C2．下面几种推理是类比推理的是()．A．因为三角形的内角和是180°×(3－2)，四边形的内角和是180°×(4 －2)，…，所以n边形的内角和是180°×(n－2)B．由平面三角形的性质，推测空间四面体的性质C．某校高二年级有20个班，1班有51位团员，2班有53位团员，3班有52位团员，由此可以推测各班都超过50位团员D．4能被2整除，6能被2整除，8能被2整除，所以偶数能被2整除答案 B3．如下图为一串白黑相间排列的珠子，按这种规律往下排起来，那么第36 颗珠子应是什么颜色()．A．白色B．黑色C．白色可能性大D．黑色可能性大解析由图知，三白两黑周而复始相继排列，∵36÷5＝7余1，∴第36 颗珠子的颜色与第1颗珠子的颜色相同，即白色．答案 A4．对于平面几何中的命题“夹在两平行线之间的平行线段相等”，在立体几何中，类比上述命题，可以得到命题__________________________________________________________________________________________.答案夹在两平行平面间的平行线段相等5．平面内正三角形有很多性质，如三条边相等．类似地写出空间正四面体的两条性质：①__________________________________________________________；②__________________________________________________________.答案①三个侧面与底面构成的二面角相等②四个面都全等(答案不唯一)6．就任一等差数列{a n}，计算a7＋a10和a8＋a9，a10＋a40和a20＋a30，你发现了什么一般规律？能把你发现的规律作一般化的推广吗？从等差数列和函数之间的联系角度分析这个问题．在等比数列中会有怎样的类似的结论？解设等差数列{a n}的公差为d，则a n＝a1＋(n－1)d，从而a7＝a1＋6d，a10＝a1＋9d，a8＝a1＋7d，a9＝a1＋8d.所以a7＋a10＝2a1＋15d，a8＋a9＝2a1＋15d，可得a7＋a10＝a8＋a9.同理a10＋a40＝a20＋a30.由此猜想，任一等差数列{a n}，若m，n，p，q∈N＋且m＋n＝p＋q，则有a m＋a n＝a p＋a q成立．类比等差数列，可得等比数列{a n}的性质：若m，n，p，q∈N＋且m＋n＝p＋q，则有a m·a n＝a p·a q成立．综合提高(限时25分钟)7．已知扇形的弧长为l，半径为r，类比三角形的面积公式S＝底×高2，可推知扇形面积公式S扇等于()．A.r22 B.l22C.lr2D．不可类比解析我们将扇形的弧类比为三角形的底边，则高为扇形的半径r，∴S扇＝12lr.答案 C8．三角形的面积为S＝12(a＋b＋c)r，a、b、c为三角形的边长，r为三角形内切圆的半径，利用类比推理可以得出四面体的体积为()．A．V＝13abcB．V＝1 3ShC．V＝13(S1＋S2＋S3＋S4)r，(S1、S2、S3、S4为四个面的面积，r为内切球的半径)D．V＝13(ab＋bc＋ac)h，(h为四面体的高)解析△ABC的内心为O，连结OA、OB、OC，将△ABC分割为三个小三角形，这三个小三角形的高都是r，底边长分别为a、b、c；类比：设四面体A BCD的内切球球心为O，连结OA、OB、OC、OD，将四面体分割为四个以O为顶点，以原来面为底面的四面体，高都为r，所以有V＝13(S1＋S2＋S3＋S4)r.答案 C9．设△ABC的三边长分别为a，b，c，△ABC的面积为S，则△ABC的内切圆半径为r＝2Sa＋b＋c.将此结论类比到空间四面体：设四面体S－ABC的四个面的面积分别为S1，S2，S3，S4，体积为V，则四面体的内切球半径为r＝________.答案3VS1＋S2＋S3＋S410．类比“等差数列”的定义，写出“等和数列”的定义，并解答下列问题：已知数列{a n }是等和数列，且a 1＝2，公和为5，那么a 18＝________，这个数列的前n 项和S n 的计算公式为________．解析 定义“等和数列”：在一个数列中，从第二项起每一项与它前一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和．由上述定义，得a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2，n 为奇数，3，n 为偶数，故a 18＝3.从而S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧52n －12，n 为奇数52n ，n 为偶数.答案 3 S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧52n －12，n 为奇数52n ，n 为偶数11．观察：①tan 10°·tan 20°＋tan 20°·tan 60°＋tan 60°·tan 10°＝1，②tan 5°·tan 10°＋tan 10°·tan 75°＋tan 75°·tan 5°＝1，由以上两式成立能得到一个从特殊到一般的推广，此推广是什么？并证明你的推广．解 观察得到10°＋20°＋60°＝90°，10°＋75°＋5°＝90°，猜测推广式子为：若α＋β＋γ＝90°，且α，β，γ均不为k π＋π2，(k ∈Z )，则 tan αtan β＋tan βtan γ＋tan γtan α＝1.证明：由α＋β＋γ＝π2，得α＋β＝π2－γ，∵tan(α＋β)＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－γ＝cot γ，tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β，∴tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)＝cot γ(1－tan αtan β)∴tan αtan β＋tan βtan γ＋tan γtan α＝tan γ(tan α＋tan β)＋tan αtan β＝tan γ(1－tan αtan β)cot γ＋tan αtan β＝1－tan αtan β＋tan αtan β＝1.12．(创新拓展)定义一种“”运算，对于n∈N*满足下列运算性质：①2 2 010＝1，②(2n＋2) 2 010＝3·[(2n) 2 010]．试求2 010 2 010的值．解由已知得：(2×1) 2 010＝1，(2×2) 2 010＝(2×1＋2) 2 010＝3[(2×1) 2 010]＝3，(2×3) 2 010＝(2×2＋2) 2 010＝3[(2×2) 2 010]＝32，…(2×n) 2 010＝[2×(n－1)＋2] 2 010＝3[2×(n－1) 2 010]＝3n－1，故2 010 2 010＝(2×1 004＋2) 2 010＝3[(2×1 004) 2 010]＝31 004.。
知能巩固提升（七）(30分钟50分)一、选择题(每小题4分，共16分)1.定义A*B,B*C,C*D,D*B分别对应下列图形那么下列图形中，可以表示A*D,A*C的分别是( )(A)(1)(2) (B)(2)(3)(C)(2)(4) (D)(1)(4)2.等比数列{a n}满足：m，n，p，q∈N+，若m+n=p+q，则a m·a n=a p·a q.由类比推理可得：等差数列{b n}满足，m，n，p，q∈N+，若m+n=p+q，则( )(A)b m·b n=b p·b q (B)b m+b n=b p+b q[(C)pmn qbbb b(D)b m-b n=b p-b q3.如图，平面中两条直线l1和l2相交于点O，对于平面上任意一点M，若p，q分别是M到直线1l和2l的距离，则称有序非负实数对(p，q)是点M的“距离坐标”.已知常数p≥0，q≥0，给出下列命题：①若p=q=0，则“距离坐标”为(0,0)的点有且仅有一个；②若pq=0，且p+q≠0，则“距离坐标”(p，q) 的点有且仅有2个；③若pq≠0，则“距离坐标”为(p，q)的点有且仅有4个.上述命题中，正确命题的个数是( )(A)0 (B)1 (C)2 (D)34.抛物线y2=2px(p＞0)，过焦点F作弦AB，交点为A(x1，y1)，B (x2，y2)，可得x1x2=2p4.则过抛物线x2=2py(p＞0)的焦点F作弦AB，交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，下列各值等于2p4的是( )(A)x1x2 (B)x1+x2(C)y1+y2 (D)y1y2二、填空题(每小题4分，共8分)5.已知正三角形内切圆的半径是高的13,把这个结论推广到空间正四面体，类似的结论是______.6.(易错题)对于大于1的自然数m的三次幂可用奇数进行以下方式的“分裂”3331373152,39,45171119⎧⎧⎪⎧⎪⎪===⎨⎨⎨⎩⎪⎪⎩⎪⎩…仿此，若m3的“分裂数”中有一个数是59，则m的值为______.三、解答题(每小题8分，共16分)7.在△ABC中，射影定理可以表示为a＝bcosC＋ccosB，其中a，b，c依次为角A,B,C 的对边，类比以上定理，给出空间四面体性质的猜想.8.点P为斜三棱柱ABC－A1B1C1的侧棱BB1上一点，PM⊥BB1交AA1于点M，PN⊥BB1交CC1于点N.(1)求证：CC1⊥MN；(2)在任意△DEF中有余弦定理：DE2＝DF2＋EF2－2DF·EFcos∠DFE.拓展到空间，类比三角形的余弦定理，写出斜三棱柱的三个侧面面积与其中两个侧面所成的二面角之间的关系式，并予以证明.[]【挑战能力】(10分)我们已经学过了等差数列，你是否想过有没有等和数列呢？(1)类比“等差数列”给出“等和数列”的定义；(2)探索等和数列{a n}的奇数项和偶数项各有什么特点？并加以说明.(3)在等和数列{a n}中，如果a1=a,a2=b，求它的前n项和S n.答案解析1.【解析】选C.A*B,B*C知B为大正方形，A是，C是,由C*D知，D为小正方形.∴A*D为小正方形中有竖线，即(2)正确;A*C为┼,即(4)正确.2.【解析】选B.等比数列的“×”，可类比等差数列的“+”，所以应选B.事实上，若m+n=p+q，则b m+b n=+＝b p+b q+d＝b p+b q，故B正确.【方法技巧】类比推理中常见的可以进行类比的知识点(1)平面几何与立体几何能进行类比的基本元素有：点→线；线→面；面→体；边长→面积；角→二面角；面积→体积.(2)实数相等关系与不等关系；方程与不等式.(3)实数的运算律与向量的运算律.(4)等差数列与等比数列的定义与性质.(5)三种圆锥曲线的定义和性质.(6)正弦函数、余弦函数的性质.l⊥l2适合题意，因此我们可将题中的“距离坐标”这一概念类比为平面3.【解析】选D.1直角坐标系下的“绝对值坐标”，即p=|x|，q=|y|，M(|x|，|y|)，按此来判断选项就十分容易了.①中的(0,0)点就是1l 与l 2交点，只有一个，①是真命题；②中有一个坐标分量为0，一个不为0，显然有2个，在一条坐标轴上且关于另一条坐标轴对称，②是真命题；③中的坐标都不为0，显然有4个，四个象限各一个，③是真命题.因此三个命题都正确.4.【解析】选D.类比两抛物线的方程可知，选D.5.【解析】原问题的解法为等面积法，即正三角形的面积S=12ah=3×12ar ⇒r=13h. 类比问题的解法应为等体积法.即空间正四面体的体积V=13Sh=4×13Sr ⇒r=14h. 答案：正四面体的内切球的半径是高的146.【解析】依题意得这些数的立方中的分解数依次是3，5，7，9…且相应的加数的个数与对应的底数相同，易知从2开始的前n 个正整数的立方共用去数列{2n-1}中的项数是()n n 12+-1项,数列{2n-1}(n ∈N *)中的第()n n 12+项是n(n+1)-1,注意到7×8-1＜59＜8×9-1，故m=8.答案：87.【解析】如图，在四面体PABC 中，设S 1,S 2, S 3,S 分别表示△PAB,△PBC,△PCA,△ABC 的面积，α,β,γ依次表示平面PAB,平面PBC,平面PCA 与底面ABC 所成角的大小，猜想将射影定理类比推理到三维空间，其表现形式应为S ＝S 1cosα＋S 2cosβ＋S 3cosγ.8.【解析】(1)∵PM ⊥BB 1，PN ⊥BB 1，又PM∩PN ＝P ，∴BB 1⊥平面PMN ，∴BB 1⊥MN.又CC 1∥BB 1，∴CC 1⊥MN.(2)在斜三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，有1111111111222ABB A BCC B ACC A BCC B ACC A S S S 2S S cos .α＝＋－其中α为平面CC 1B 1B 与平面CC 1A 1A 所成的二面角.∵CC 1⊥平面PMN ，∴上述的二面角的平面角为∠MNP.在△PMN 中，∵PM 2＝PN 2＋MN 2－2PN·MNcos ∠MNP ，∴PM 2·21CC ＝PN 2·21CC ＋MN 2·21CC －2(PN·CC 1)·(MN·CC 1) cos ∠MNP ，由于11BCC B S ＝PN·CC 1，11ACC A S ＝MN·CC 1， 11ABB A S ＝PM·BB 1＝PM·CC 1，∴1111111111222ABB A BCC B ACC A BCC B ACC A S S S 2S S cos .⋅⋅α＝＋－其中α为平面CC 1B 1B 与平面CC 1A 1A 所成的二面角.【挑战能力】【解题指南】由等差数列的性质，相应地改为“等和数列”，并把握其实质.【解析】(1)如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的和等于同一个常数，那么这个数列就叫作等和数列.(2)由(1)知a n +a n+1=a n+1+a n+2，所以a n+2=a n .所以等和数列的奇数项相等，偶数项也相等.(3)当n 为奇数时，令n ＝2k －1，k ∈N *，则S n =S 2k-1=S 2k-2+a 2k-1 ＝2k 22-(a ＋b)＋a ＝n 12-(a ＋b)＋a ＝n 1n 1a b 22+-＋. 当n 为偶数时，令n ＝2k ，k ∈N *，则S n ＝S 2k ＝k(a ＋b)＝n 2(a ＋b) 故它的前n 项和为： ()n n 1n 1a b(n )22S n a b (n ).2+-⎧+⎪⎪=⎨⎪+⎪⎩为奇数为 偶 数。
【高二】高二数学类比推理综合测试题（有答案）选修2-22.1.1第2课时类比推理我1．下列说法正确的是( )a、从合理推理中得出的结论必须是正确的b．合情推理必须有前提有结论c、合理的推理是无法猜测的d．合情推理得出的结论无法判定正误[答：]B[解析] 由合情推理得出的结论不一定正确，a不正确；b正确；合情推理的结论本身就是一个猜想，c不正确；合情推理结论可以通过证明来判定正误，d也不正确，故应选b.2.以下推理是合理的（）①由圆的性质类比出球的有关性质② 从直角三角形、等腰三角形和等边三角形的内角之和为180°，可以得出所有三角形的内角之和为180°③教室内有一把椅子坏了，则该教室内的所有椅子都坏了④ 三角形的内角之和为180°，四边形的内角之和为360°，五边形的内角之和为540°。
因此，凸多边形的内角之和是（n-2）？180°a．①②b。
①③④c．①②④d。
②④[答案] c[分析]① 类比推理；② ④ 都是归纳推理和合理推理三．三角形的面积为s＝12(a＋b＋c)?r，a、b、c为三角形的边长，r为三角形内切圆的半径，利用类比推理，可以得到四面体的体积为( )a、 v＝13abcb．v＝13shc、 V=13（S1+S2+S3+S4）r（S1、S2、S3和S4分别是四面体四个面的面积，r是四面体内接球面的半径）d．v＝13(ab＋bc＋ac)h(h为四面体的高)[答：]C[解析] 边长对应表面积，内切圆半径应对应内切球半径．故应选c.4.类比平面上正三角形的“三边相等，三个内角相等”的性质，你认为正四面体的下列哪个性质更合适①各棱长相等，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等② 所有面都是全等正三角形，由两个相邻面形成的两个面的角度相等③各个面都是全等的正三角形，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等答。
①b．①②c。
①②③d．③[答：]C[解析] 正四面体的面(或棱)可与正三角形的边类比，正四面体的相邻两面成的二面角(或共顶点的两棱的夹角)可与正三角形相邻两边的夹角类比，故①②③都对．5.类比三角形中的属性：(1)两边之和大于第三边（2）中线长度等于底边的一半(3)三内角平分线交于一点可获得四面体的相应性质：(1)任意三个面的面积之和大于第四个面的面积（2）与穿过四面体的同一顶点相交的三条边的中点的平面面积等于第四个曲面面积的14%(3)四面体的六个二面角的平分面交于一点其中，正确的类比推理方法有（）a．(1)b、（1）（2）c．(1)(2)(3)d、都不是[答案] c【分析】上述类比推理方法是正确的。
高二数学选修2-2《推理与证明》质量检测试题参赛试卷 姓名：_________班级：________ 得分：________第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
. 2．由10>8，11>10，25>21，…若a >b >0且m >0，则a ＋m 与a 之间大小关系为( )A ．相等B ．前者大C ．后者大D ．不确定3、用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60度”时，反设正确的是（ ）。
(A)假设三内角都不大于60度； (B) 假设三内角都大于60度；(C) 假设三内角至多有一个大于60度； (D) 假设三内角至多有两个大于60度。
5、用数学归纳法证明“)12(212)()2)(1(-⋅⋅⋅⋅=+++n n n n n n”（+∈N n ）时，从 “1+==k n k n 到”时，左边应增添的式子是 （ ）A ．12+kB ．)12(2+kC ．112++k k D ．122++k k 6、某个命题与正整数n 有关，如果当)(+∈=N k k n 时命题成立，那么可推得当1+=k n 时命题也成立. 现已知当7=n 时该命题不成立，那么可推得（ ）A ．当n=6时该命题不成立B ．当n=6时该命题成立C ．当n=8时该命题不成立D ．当n=8时该命题成立7、已知n 为正偶数，用数学归纳法证明 )214121(2114131211nn n n +++++=-++-+-时，若已假设2(≥=k k n 为偶 数）时命题为真，则还需要用归纳假设再证（ ）A ．1+=k n 时等式成立B ．2+=k n 时等式成立C ．22+=k n 时等式成立D ．)2(2+=k n 时等式成立8、在十进制中01232004410010010210=⨯+⨯+⨯+⨯，那么在5进制中数码2004折合成十进制为 （ ） A.29 B. 254 C. 602 D. 20049、一同学在电脑中打出如下若干个圈:○●○○●○○○●○○○○●○○○○○●…若将此若干个圈依此规律继续下去,得到一系列的圈,那么在前120个圈中的●的个数是（ ） A ．12 B.13 C.14 D.1510、数列{}n a 中，a 1=1，S n 表示前n 项和，且S n ，S n+1，2S 1成等差数列，通过计算S 1，S 2，S 3，猜想当n ≥1时，S n =（ ） A ．1212-+n nB ．1212--n nC ．nn n 2)1(+ D ．1－121-n二、填空题（每小题5分，共4小题，满分20分）11、设等差数列{a n }的前n 项和为S n , 则S 4，S 8－S 4，S 12－S 8，S 16－S 12成等差数列．类比以上结论有：设等比数列{b n }的前n 项积为T n ，则T 4，________，________，T 16T 12成等比数列．12、设平面内有ｎ条直线(3)n ≥，其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同一点．若用()f n 表示这ｎ条直线交点的个数，则(4)f = ；当ｎ＞４时，()f n ＝ （用含n 的数学表达式表示）。
一、选择题1．下列平面图形中，与空间的平行六面体作为类比对象较为合适的是() A．三角形 B．梯形C．平行四边形D．矩形【解析】只有平行四边形与平行六面体较为接近，故选C.【答案】 C2．关于合情推理的说法不正确的是()①合情推理是“合乎情理”的推理，因此其猜想的结论一定是正确的；②合情推理是由一般到特殊的推理；③合情推理可以用来对一些数学命题进行证明；④归纳推理是合情推理，因此合情推理就是归纳推理A．①④ B．②④C．③④ D．①②③④【解析】根据合情推理的定义可知，归纳推理与类比推理统称为合情推理，其中的归纳推理是由部分到整体，由个别到一般的推理，类比推理是由特殊到特殊的推理，他们的结论可真可假，但都不能用来证明数学命题，因此①②③④均不正确．【答案】 D3．下列几种推理过程是类比推理的是()A．两直线平行，内错角相等B．由平面三角形性质，猜想空间四面体性质C．由数列的前几项，猜想数列的通项公式D．某校高二年级有10个班，1班51人，2班53人，3班52人，猜想各班都超过50人【解析】四个选项中，只有B为类比推理，故选B.【答案】 B4．下列类比推理：①(ab)n＝a n b n与(a＋b)n类比，则有(a＋b)n＝a n＋b n；②log a(xy)＝log a x＋log a y与sin(a＋b)类比，则有sin(a＋b)＝sin ab；③(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2与(a＋b)2类比，则有(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2.其中正确结论的个数为()A．0 B．1C．2 D．3【解析】由类比定义知①②的结论错，③的结论正确．【答案】 B5．已知扇形的弧长为l，半径为r，类比三角形的面积公式S＝底×高2，可推知扇形面积公式S扇等于()A.r22 B.l22C.lr2D．不可类比【解析】由扇形的弧长与半径分别类比三角形的底边与高，可得扇形的面积公式．【答案】 C二、填空题6．在平面上，若两个正三角形的边长比为1∶2，则它们的面积比为1∶4，类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长比为1∶2，则它们的体积比为________．【解析】由面积公式和体积公式的特点可以知道，面积是二条线乘积，而体积涉及到三条线段乘积，故体积比应是棱长比的立方，即1∶8.【答案】1∶87．已知{a n}是等差数列，m，n，p是互不相等的正整数，则有：(m－n)a p＋(n－p)a m＋(p－m)a n＝0类比上述性质，相应地，对等比数列{b n}，有________．【解析】由等差、等比数列的运算的类比“和―→积，差―→商，积―→乘方”得a m －n p·a n －p m ·a p －m n ＝1. 【答案】 a m －n p ·a n －p m ·a p －mn ＝18．在Rt △ABC 中，若∠C ＝90°，AC ＝b ，BC ＝a ，则△ABC 的外接圆半径r ＝a 2＋b 22，将此结论类比到空间有___________________________________.【解析】 Rt △ABC 类比到空间为三棱锥A －BCD ，且AB ⊥AC ，AB ⊥AD ，AC ⊥AD ；△ABC 的外接圆类比到空间为三棱锥A －BCD 的外接球．【答案】 在三棱锥A －BCD 中，若AB ⊥AC ，AB ⊥AD ，AC ⊥AD ，AB ＝a ，AC ＝b ，AD ＝c ，则三棱锥A －BCD 的外接球半径R ＝a 2＋b 2＋c 22.三、解答题9．在椭圆中，有一结论：过椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)上不在顶点的任意一点P 与长轴两端点A 1、A 2连线，则直线PA 1与PA 2斜率之积为－b 2a 2，类比该结论推理出双曲线的类似性质，并加以证明．【解】 过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1上不在顶点的任意一点P 与实轴两端点A 1、A 2连线，则直线PA 1与PA 2斜率之积为b 2a 2.证明如下：设点P (x 0，y 0)，点A 1(a,0)，A 2(－a,0)．椭圆中：kPA 1·kPA 2＝y 0x 0－a ·y 0x 0＋a ＝y 20x 20－a 2＝b 2(1－x 20a 2)x 20－a2＝－b 2a 2；双曲线中：kPA 1·kPA 2＝y 20x 20－a 2＝b 2(x 20a 2－1)x 20－a2＝b2a 2.10．在Rt △ABC 中，AB ⊥AC ，AD ⊥BC 于D ，求证：1AD 2＝1AB 2＋1AC 2，那么在四面体A －BCD 中，类比上述结论，你能得到怎样的猜想？并说明理由．图①【解】如图①所示，由射影定理知AD2＝BD·DC，AB2＝BD·BC，AC2＝BC·DC，∴1 AD2＝1 BD·DC＝BC2 BD·BC·DC·BC ＝BC2 AB2·AC2.又BC2＝AB2＋AC2，∴1 AD2＝AB2＋AC2AB2·AC2＝1AB2＋1AC2.所以1AD2＝1AB2＋1AC2.类比AB⊥AC，AD⊥BC猜想：四面体A－BCD中，AB、AC、AD两两垂直，AE⊥平面BCD，则1AE2＝1AB2＋1AC2＋1AD2.图②如图②，连接BE并延长交CD于F，连接AF.∵AB ⊥AC ，AB ⊥AD ， ∴AB ⊥平面ACD . 而AF ⊂平面ACD ， ∴AB ⊥AF ，在Rt △ABF 中，AE ⊥BF ， ∴1AE 2＝1AB 2＋1AF 2.在Rt △ACD 中，AF ⊥CD ，∴1AF 2＝1AC 2＋1AD 2， ∴1AE 2＝1AB 2＋1AC 2＋1AD 2，故猜想正确．11．在平面上，设h a ，h b ，h c 是三角形ABC 三条边上的高，P 为三角形内任一点，P 到相应三边的距离分别为P a ，P b ，P c ，我们可以得到结论：P a h a＋P bh b＋P ch c ＝1.把它类比到空间，写出三棱锥中的类似结论．【解】 设h a ，h b ，h c ，h d 分别是三棱锥A －BCD 四个面上的高，P 为三棱锥A －BCD 内任一点，P 到相应四个面的距离分别为P a ，P b ，P c ，P d ，于是我们可以得到结论：P a h a ＋P b h b ＋P c h c ＋P dh d ＝1.。
选修2-2 2.1.1 第2课时类比推理一、选择题1．下列说法正确的是()A．由合情推理得出的结论一定是正确的B．合情推理必须有前提有结论C．合情推理不能猜想D．合情推理得出的结论无法判定正误[答案] B[解析]由合情推理得出的结论不一定正确，A不正确；B正确；合情推理的结论本身就是一个猜想，C不正确；合情推理结论可以通过证明来判定正误，D也不正确，故应选B.2．下面几种推理是合情推理的是()①由圆的性质类比出球的有关性质②由直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和是180°，归纳出所有三角形的内角和都是180°③教室内有一把椅子坏了，则该教室内的所有椅子都坏了④三角形内角和是180°，四边形内角和是360°，五边形内角和是540°，由此得出凸多边形的内角和是(n－2)·180°A．①②B．①③④C．①②④D．②④[答案] C[解析] ①是类比推理；②④都是归纳推理，都是合情推理．3．三角形的面积为S ＝12(a ＋b ＋c )·r ，a 、b 、c 为三角形的边长，r 为三角形内切圆的半径，利用类比推理，可以得到四面体的体积为( )A ．V ＝13abcB ．V ＝13ShC ．V ＝13(S 1＋S 2＋S 3＋S 4)r ，(S 1、S 2、S 3、S 4分别为四面体四个面的面积，r 为四面体内切球的半径)D ．V ＝13(ab ＋bc ＋ac )h (h 为四面体的高)[答案] C[解析] 边长对应表面积，内切圆半径应对应内切球半径．故应选C.4．类比平面内正三角形的“三边相等，三内角相等”的性质，可推知正四面体的下列哪些性质，你认为比较恰当的是( )①各棱长相等，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等②各个面都是全等的正三角形，相邻两个面所成的二面角都相等 ③各个面都是全等的正三角形，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等A ．①B ．①②C ．①②③D ．③[答案] C[解析] 正四面体的面(或棱)可与正三角形的边类比，正四面体的相邻两面成的二面角(或共顶点的两棱的夹角)可与正三角形相邻两边的夹角类比，故①②③都对．5．类比三角形中的性质：(1)两边之和大于第三边(2)中位线长等于底边的一半(3)三内角平分线交于一点可得四面体的对应性质：(1)任意三个面的面积之和大于第四个面的面积(2)过四面体的交于同一顶点的三条棱的中点的平面面积等于第四个面面积的14(3)四面体的六个二面角的平分面交于一点其中类比推理方法正确的有( )A ．(1)B ．(1)(2)C ．(1)(2)(3)D ．都不对[答案] C[解析] 以上类比推理方法都正确，需注意的是类比推理得到的结论是否正确与类比推理方法是否正确并不等价，方法正确结论也不一定正确．6．由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则：①“mn ＝nm ”类比得到“a ·b ＝b ·a ”；②“(m ＋n )t ＝mt ＋nt ”类比得到“(a ＋b )·c ＝a ·c ＋b ·c ”； ③“(m ·n )t ＝m (n ·t )”类比得到“(a ·b )·c ＝a ·(b ·c )”；④“t ≠0，mt ＝xt ⇒m ＝x ”类比得到“p ≠0，a ·p ＝x ·p ⇒a ＝x ”； ⑤“|m ·n |＝|m |·|n |”类比得到“|a ·b |＝|a |·|b |”； ⑥“ac bc ＝a b ”类比得到“a ·c b ·c ＝a b”． 以上式子中，类比得到的结论正确的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4[答案] B[解析] 由向量的有关运算法则知①②正确，③④⑤⑥都不正确，故应选B.7．(2010·浙江温州)如图所示，椭圆中心在坐标原点，F 为左焦点，当FB →⊥AB →时，其离心率为5－12，此类椭圆被称为“黄金椭圆”．类比“黄金椭圆”，可推算出“黄金双曲线”的离心率e 等于( )A.5＋12B.5－12C.5－1D.5＋1[解析] 如图所示，设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，则F (－c,0)，B (0，b )，A (a,0)∴FB→＝(c ，b )，AB →＝(－a ，b ) 又∵FB →⊥AB →，∴FB →·AB→＝b 2－ac ＝0 ∴c 2－a 2－ac ＝0∴e 2－e －1＝0∴e ＝1＋52或e ＝1－52(舍去)，故应选A.8．六个面都是平行四边形的四棱柱称为平行六面体．如图甲，在平行四边形ABD 中，有AC 2＋BD 2＝2(AB 2＋AD 2)，那么在图乙中所示的平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AC 21＋BD 21＋CA 21＋DB 21等于( )A ．2(AB 2＋AD 2＋AA 21)B ．3(AB 2＋AD 2＋AA 21)C ．4(AB 2＋AD 2＋AA 21)D ．4(AB 2＋AD 2)[解析] AC 21＋BD 21＋CA 21＋DB 21＝(AC 21＋CA 21)＋(BD 21＋DB 21)＝2(AA 21＋AC 2)＋2(BB 21＋BD 2)＝4AA 21＋2(AC 2＋BD 2)＝4AA 21＋4AB 2＋4AD 2，故应选C.9．下列说法正确的是( )A ．类比推理一定是从一般到一般的推理B ．类比推理一定是从个别到个别的推理C ．类比推理是从个别到个别或一般到一般的推理D ．类比推理是从个别到一般的推理[答案] C[解析] 由类比推理的定义可知：类比推理是从个别到个别或一般到一般的推理，故应选C.10．下面类比推理中恰当的是( )A ．若“a ·3＝b ·3，则a ＝b ”类比推出“若a ·0＝b ·0，则a ＝b ”B ．“(a ＋b )c ＝ac ＋bc ”类比推出“(a ·b )c ＝ac ·bc ”C ．“(a ＋b )c ＝ac ＋bc ”类比推出“a ＋b c ＝a c ＋b c (c ≠0)”D ．“(ab )n ＝a n b n ”类比推出“(a ＋b )n ＝a n ＋b n ”[答案] C[解析] 结合实数的运算知C 是正确的．二、填空题11．设f (x )＝12x ＋2，利用课本中推导等差数列前n 项和公式的方法，可求得f (－5)＋f (－4)＋…＋f (0)＋…＋f (5)＋f (6)的值为________．[答案] 3 2[解析] 本题是“方法类比”．因等比数列前n 项和公式的推导方法是倒序相加，亦即首尾相加，那么经类比不难想到f (－5)＋f (－4)＋…＋f (0)＋…＋f (5)＋f (6)＝[f (－5)＋f (6)]＋[f (－4)＋f (5)]＋…＋[f (0)＋f (1)]，而当x 1＋x 2＝1时，有f (x 1)＋f (x 2)＝＝12＝22，故所求答案为6×22＝3 2. 12．(2010·广州高二检测)若数列{a n }是等差数列，对于b n ＝1n (a 1＋a 2＋…＋a n )，则数列{b n }也是等差数列．类比上述性质，若数列{c n }是各项都为正数的等比数列，对于d n >0，则d n ＝________时，数列{d n }也是等比数列．[答案] n c 1·c 2·…·c n13．在以原点为圆心，半径为r的圆上有一点P(x0，y0)，则过此点的圆的切线方程为x0x＋y0y＝r2，而在椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)中，当离心率e趋近于0时，短半轴b就趋近于长半轴a，此时椭圆就趋近于圆．类比圆的面积公式，在椭圆中，S椭＝________.类比过圆上一点P(x0，y0)的圆的切线方程，则过椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)上一点P(x1，y1)的椭圆的切线方程为________．[答案]π·a·b；x1a2·x＋y1b2·y＝1[解析]当椭圆的离心率e趋近于0时，椭圆趋近于圆，此时a，b都趋近于圆的半径r，故由圆的面积S＝πr2＝π·r·r，猜想椭圆面积S椭＝π·a ·b ，其严格证明可用定积分处理．而由切线方程x 0·x ＋y 0·y ＝r 2变形得x 0r 2·x ＋y 0r 2·y ＝1，则过椭圆上一点P (x 1，y 1)的椭圆的切线方程为x 1a 2·x ＋y 1b 2·y ＝1，其严格证明可用导数求切线处理． 14．在等差数列{a n }中，若a 10＝0，则有等式a 1＋a 2＋…＋a n ＝a 1＋a 2＋…＋a 19－n (n <19，n ∈N *)成立，类比上述性质，相应地：在等比数列{b n }中，若b 9＝1，则有等式__________成立．[答案] b 1b 2…b n ＝b 1b 2…b 17－n (n ＜17，n ∈N *)[解析] 解法1：从分析所提供的性质入手：由a 10＝0，可得a k ＋a 20－k ＝0，因而当n <19－n 时，有a 1＋a 2＋…＋a 19－n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ＋a n ＋1＋a n ＋2＋…＋a 19－n ，而a n ＋1＋a n ＋2＋…＋a 19－n ＝(19－2n )(a n ＋1＋a 19－n )2＝0，∴等式成立．同理可得n >19－n 时的情形．由此可知：等差数列{a n }之所以有等式成立的性质，关键在于在等差数列中有性质：a n ＋1＋a 19－n ＝2a 10＝0，类似地，在等比数列{b n }中，也有性质：b n ＋1·b 17－n ＝b 29＝1，因而得到答案：b 1b 2…b n ＝b 1b 2…b 17－n (n <17，n ∈N *)．解法2：因为在等差数列中有“和”的性质a 1＋a 2＋…＋a n ＝a 1＋a 2＋…＋a 19－n (n ＜19，n ∈N *)成立，故在等比数列{b n }中，由b 9＝1，可知应有“积”的性质b 1b 2…b n ＝b 1b 2…b 17－n (n ＜17，n ∈N *)成立. (1)证明如下：当n＜8时，等式(1)为b1b2…b n＝b1b2…b n b n＋1…b17－n 即：b n＋1·b n＋2…b17－n＝1.(2)∵b9＝1，∴b k＋1·b17－k＝b29＝1.∴b n＋1b n＋2…b17－n＝b17－2n9＝1.∴(2)式成立，即(1)式成立；当n＝8时，(1)式即：b9＝1显然成立；当8＜n＜17时，(1)式即：b1b2…b17－n·b18－n·…b n＝b1b2…b17－n即：b18－n·b19－n…b n＝1(3)∵b9＝1，∴b18－k·b k＝b29＝1∴b18－n b19－n·…·b n＝b2n－179＝1∴(3)式成立，即(1)式成立．综上可知，当等比数列{b n}满足b9＝1时，有：b1b2…b n＝b1b2…b17－n(n＜17，n∈N*)成立．三、解答题15．已知：等差数列{a n}的公差为d，前n项和为S n，有如下的性质：(1)a n＝a m＋(n－m)·d.(2)若m＋n＝p＋q，其中，m、n、p、q∈N*，则a m＋a n＝a p＋a q.(3)若m＋n＝2p，m，n，p∈N*，则a m＋a n＝2a p.(4)S n，S2n－S n，S3n－S2n构成等差数列．类比上述性质，在等比数列{b n}中，写出相类似的性质．[解析]等比数列{b n}中，公比q，前n项和S n.(1)通项a n＝a m·q n－m.(2)若m＋n＝p＋q，其中m，n，p，q∈N*，则a m·a n＝a p·a q.(3)若m＋n＝2p，其中，m，n，p∈N*，则a2p＝a m·a n.(4)S n，S2n－S n，S3n－S2n构成等比数列．16．先解答(1)，再根据结构类比解答(2)．(1)已知a，b为实数，且|a|<1，|b|<1，求证：ab＋1>a＋b.(2)已知a，b，c均为实数，且|a|<1，|b|<1，|c|<1，求证：abc＋2>a＋b＋c.[解析](1)ab＋1－(a＋b)＝(a－1)(b－1)>0.(2)∵|a |<1，|b |<1，|c |<1，据(1)得(ab )·c ＋1>ab ＋c ，∴abc ＋2＝[(ab )·c ＋1]＋1>(ab ＋c )＋1＝(ab ＋1)＋c >a ＋b ＋c . 你能再用归纳推理方法猜想出更一般地结论吗？[点评] (1)与(2)的条件与结论有着相同的结构，通过分析(1)的推证过程及结论的构成进行类比推广得出：(ab )·c ＋1＞ab ＋c 是关键．用归纳推理可推出更一般的结论：a i 为实数，|a i |＜1，i ＝1、2、…、n ，则有：a 1a 2…a n ＋(n －1)＞a 1＋a 2＋…＋a n .17．点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫22，22在圆C ：x 2＋y 2＝1上，经过点P 的圆的切线方程为22x ＋22y ＝1，又点Q (2,1)在圆C 外部，容易证明直线2x ＋y＝1与圆相交，点R ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12在圆C 的内部．直线12x ＋12y ＝1与圆相离．类比上述结论，你能给出关于一点P (a ，b )与圆x 2＋y 2＝r 2的位置关系与相应直线与圆的位置关系的结论吗？[解析] 点P (a ，b )在⊙C ：x 2＋y 2＝r 2上时，直线ax ＋by ＝r 2与⊙C 相切；点P 在⊙C 内时，直线ax ＋by ＝r 2与⊙C 相离；点P 在⊙C 外部时，直线ax ＋by ＝r 2与⊙C 相交．容易证明此结论是正确的．18．我们知道：12＝ 1，22＝(1＋1)2＝12＋2×1＋1，32＝(2＋1)2＝22＋2×2＋1，42＝(3＋1)2＝32＋2×3＋1，……n 2＝(n －1)2＋2(n －1)＋1，左右两边分别相加，得n 2＝2×[1＋2＋3＋…＋(n －1)]＋n∴1＋2＋3＋…＋n ＝n (n ＋1)2.类比上述推理方法写出求12＋22＋32＋…＋n 2的表达式的过程．[解析] 我们记S 1(n )＝1＋2＋3＋…＋n ， S 2(n )＝12＋22＋32＋…＋n 2，…S k (n )＝1k ＋2k ＋3k ＋…＋n k (k ∈N *)．已知13＝ 1， 23＝(1＋1)3＝13＋3×12＋3×1＋1， 33＝(2＋1)3＝23＋3×22＋3×2＋1， 43＝(3＋1)3＝33＋3×32＋3×3＋1， ……n 3＝(n －1)3＋3(n －1)2＋3(n －1)＋1. 将左右两边分别相加，得S 3(n )＝[S 3(n )－n 3]＋3[S 2(n )－n 2]＋3[S 1(n )－n ]＋n .由此知S 2(n )＝n 3＋3n 2＋2n －3S 1(n )3＝2n 3＋3n 2＋n 6＝n (n ＋1)(2n ＋1)6.。
