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振动力学第四章多自由度系统的振动资料

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多自由度系统振动

多自由度系统振动

= ……
φn(i )
(i ) xn
第 i 阶特征向量φ(i ) 中的一列元素，就是系统做第 i 阶主振动时 各个坐标上位移（或振幅）的相对比值
φ(i ) 描述了系统做第 i 阶主振动时具有的振动形态，称为第 i 阶
主振型，或第 i 阶模态 虽然各坐标上振幅的精确值并没有确定，但是所表现的系统振动 形态已确定 主振动仅取决于系统的 M 阵，K 阵等物理参数。
2 φ=0 或直接用 ( K − ω M )
令主振动：
⎡ x1 ⎤ ⎡φ1 ⎤ ⎢ x ⎥ = ⎢φ ⎥ sin(ωt + ϕ ) ⎢ 2⎥ ⎢ 2⎥ ⎢ ⎣ x3 ⎥ ⎦ ⎢ ⎣φ3 ⎥ ⎦
得：
2006年5月4日 《振动力学》
⎡3k − mω 2 ⎢ ⎢ −k ⎢ 0 ⎣
−k 2 k − mω 2 −1
⎤ ⎡φ1 ⎤ ⎡0⎤ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎥ ⎢φ2 ⎥ = ⎢0⎥ 3k − mω 2 ⎥ ⎣φ3 ⎥ ⎦ ⎢ ⎣0 ⎥ ⎦ ⎦⎢ 0 −k
24
多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动
⎡3k − mω 2 ⎢ ⎢ −k ⎢ 0 ⎣ −k 2k − mω 2 −1 ⎤ ⎡φ1 ⎤ ⎡0⎤ ⎥ ⎥ ⎢ ⎥ − k ⎥⎢ ⎢φ2 ⎥ = ⎢0⎥ 3k − mω 2 ⎥ ⎣φ3 ⎥ ⎦ ⎢ ⎣0 ⎥ ⎦ ⎦⎢ 0
m 令α = ω2 k
⎡3 − α ⎢ −1 ⎢ ⎢ ⎣ 0
− 2 −α −1
0 ⎤ ⎡φ1 ⎤ ⎡0⎤ ⎢φ ⎥ = ⎢0⎥ −1 ⎥ ⎥⎢ 2 ⎥ ⎢ ⎥ 3 −α ⎥ ⎦⎢ ⎣φ3 ⎥ ⎦ ⎢ ⎣0 ⎥ ⎦
令特征矩阵的行列式＝0
2 ( 3 − α )( α − 5α + 4) = 0 特征方程：

第四章(无限自由度系统的振动)ppt课件

第四章(无限自由度系统的振动)ppt课件



( a c o s x b s i n x ) q () t 2 2 2 2 2 c c
x
2


dU1(x1) EA 0 1 dx1 x 0
1
b1 0
u
2
E ,A ,L 2, 2
d Ux (1 ) d Ux (2 ) 1 2 E A E A 1 2 d x d x 1 x 2 x L 0
2 2
（直杆纵向受迫振动微分方程）
2 2 u (,) x t u (,) x t 1 2 c f(,) x t 2 2 A t x
c E
(均匀材料等截面直杆的纵向受迫振动方程)
(二) 杆的纵向固有振动
1.固有振动
uxt ( , ) 2 uxt (,) c 2 2 t x
0
0
自由端： M Ip t G
0 x
0
(二) 课堂练习
【课堂练习1】：求如图所示的上端固定，下端有一附加质量 M的等 直杆作纵向振动的频率方程。 O
u (,) x t U ()( x q t ) ( a c o s xa s i nx ) ( b c o s t b s i n) t 1 2 1 2 c c

(二) 固有振动
U ( x) ( )2U ( x) 0 c q(t ) 2 q(t ) 0

U (x) a o s xa 1c 2 sin x c c qt ( ) b o s t b t 1c 2 sin


u (,) x t U ()( x q t )
神六设计时便改动了氧气输送管道的
一个参数。结果虽然还存在耦合振动，但 航天员的痛苦大大减轻。 图 神州五号飞船

4-第4章 多自由度体系的振动分析

4-第4章 多自由度体系的振动分析

T ( , , , ) 可求得其位移幅值向量为 i 1i 2i 3i ni

n个自由度体系——可得到n个线性无关的位移幅值向量：
k11 2 m1 k12 k 21 k 22 2 m 2 k n1 kn2
k1n k2n 0 k nn 2 m n


将频率方程展开，可得到关于2 的 n 次代数方程。
从频率方程可解得n 个正实根
ω2 i 开方得到各阶频率：
2 ω ； i
ω (1 2 n )T
CY KY F (t ) MY E
m1 0 质量矩阵 0 m 2 M 0 0 0 0 mn
CY ] Y P [ MY
k11 k12 刚度矩阵 k 21 k 22 K k n1 k n 2 11 12 柔度矩阵 21 22 n1 n 2
第 i 个振型方程：
k11 2 k12 i m1 2 k k 2 21 22 i m2 ( K i M ) i kn2 k n1
1i k1n 2i k2n 0 2 k nn i mn ni
(K 2 M) 0

振型方程：
(K 2M) 0
（ 4-8）

如果方程存在非零解，则系数行列式必为零，即：
K 2 M 0
k11 2 m1 k12 k 21 k 22 2 m 2 k n1 kn2
称为频率方程或特征方程。
（ 4-9）
2
（ 4-13）
求解一元二次方程得：

《多自由度系统振动》课件

《多自由度系统振动》课件
多自由度系统振动涉及到多个自由度的运动，其动力学行为 比单自由度系统更为复杂。掌握多自由度系统振动的基本原 理和方法，对于解决实际工程问题、提高设备性能和安全性 具有重要意义。
课程目的
理解多自由度系统振动的 特性，包括固有频率、模 态振型等。
掌握多自由度系统振动的 基本原理和数学模型。
学习多自由度系统振动的 分析方法，包括直接法、 模态法和传递矩阵法等。
控制算法则是实现控制策略的具体计算方法。常见的控制算法包 括PID控制、状态反馈控制、最优反馈控制等。这些算法可以根 据系统的特性和要求进行选择和优化。
05
多自由度系统振动应用
机械系统振动控制
机械系统中的多自由度振动问题广泛存在，如旋转机械、往复机械和柔性机械等 。控制这些振动可以提高机械系统的稳定性和可靠性，减少磨损和疲劳，延长使 用寿命。
多自由度系统振动
CONTENTS
• 引言 • 多自由度系统振动基础 • 多自由度系统振动特性 • 多自由度系统振动控制 • 多自由度系统振动应用 • 课程总结与展望
01
引言
课程背景
机械系统振动是工程领域中常见的问题，多自由度系统振动 更是其中的重要分支。随着科技的发展，多自由度系统在许 多领域如航空航天、交通运输、能源等都得到了广泛应用， 因此对多自由度系统振动的研究具有重要意义。
多自由度系统振动与多个学科领域密切相关，如结构力学、流体力学 和声学等，需要加强这些交叉学科领域的应用研究。
多自由度系统振动实验平台的搭建与验证
为了验证多自由度系统振动理论和方法的有效性，需要搭建更加先进 的实验平台，并开展更加系统的实验研究。
谢谢您的聆听
THANKS
被动控制技术
被动控制技术是通过改变系 统的刚度、阻尼和/或质量分 布来减小系统的振动。被动 控制技术不需要外部能源， 而是利用自然现象或物理效 应来减小系统的振动。

机械振动基础 第四章 多自由度系统

机械振动基础 第四章 多自由度系统

{x} {u} coswt
其中，{u}和w是待求的振型和固有频率。
将
{x} {u} coswt
} [ K ]{x} 0 [M ]{ x
2
代入方程
2 ( w [M ]{u} [ K ]{u}) coswt 0 得到
(w [M ] [ K ]){u} 0
kij w 2 mij 0
1 T } [ M ]{x } ET {x 2 1 T } [C ]{x } D {x 2 1 T U {x} [ K ]{x} 2
2D 2 ET cij mij i x j x i x j x
2U kij xi x j
2) 求偏导
2 ET 2 ET mij m ji xi x j x j xi 2D 2D cij c ji xi x j x j xi 2U 2U kij k ji xi x j x j xi
设有可逆线性变换[u]，使得
{x} [u ]{y}
因而有
} [u]{y }, { } [u]{ } {x x y
称{x}为旧坐标系，{y}为新坐标系。
系统的动能、势能和能量耗散函数与坐标系选择无关， 也就是说，它们是坐标变换下的不变量, 因此有：
1 T 1 })T [ M ]([u ]{y }) ET {x} [ M ]{x} ([u ]{y 2 2 1 1 }T [u ]T [ M ][u ]{y } { y }T [ M 1 ]{y } {y 2 2
} [C ]{x } [ K ]{x} {F (t )} [M ]{ x
本章内容：
1) 多自由度系统振动的基本理论，多自由度系统的固有 频率和振型的理论；

西南交通大学振动力学I多自由度系统的振动

西南交通大学振动力学I多自由度系统的振动
m1&x&1 k1 k 2 x1 k 2x 2 0 m2&x&2 k 2x1 k 2 k 3 x 2 0
2020年6月19日 《振动力学》
多自由度系统的振动 / 两自由度振动系统/动力学方程
上式即式(3.1)。此式可用矩阵形式表示
m
0
1
0
m
2
&&xx&&12
k1 k k 2
第3章 多自由度系统的振动
李映辉
西南交通大学
2015.09
声明
• 本课件可供教师教学和学生学习中免费使用。 • 不可用于任何商业目的。 • 本课件的部分内容参阅了上海交通大学陈国平教授和
太原科技大学杨建伟教授的课件，作者在此向二位教 授表示衷心感谢。如该课件无意中损害了二位教授利 益，作者在此致歉。 • 本课件以高淑英、沈火明编著的《振动力学》（中国 铁道出版社，2011年）的前四章为基础编写。 2•02200年年感66月月谢1199日研日 究生蒋宝坤、王金梅在文字录入方面的工作
多自由度系统的振动
教学内容
两自由度系统的振动
多自由度系统的振动
多自由度系统固有特性的近似解法
2020年6月19日 7
《振动力学》
多自由度系统的振动
教学内容
两自由度系统的振动
✓ 两自由度系统的振动方程 ✓ 无阻尼系统的自由振动 ✓ 耦合与主坐标 ✓ 无阻尼系统的强迫振动 ✓ 阻尼对强迫振动的影响
当 M、K 确定后，系统动力方程可完全确定
M、K 该如何确定？
先讨论 K
假设外力是以准静态方式施加于系统 加速度为零
X 0
则：
KX P(t)
2020年6月19日 21

振动力学［PDF］

第四章多自由度系统的振动4.1多自由度系统运动方程的建立4.2 耦合与坐标变换4.3 固有频率和主振型4.4振型矩阵、主坐标和正则坐标4.5 固有频率相等的情况4.6 固有频率为零的情况4.7 无阻尼系统对初始条件的响应4.8 无阻尼系统对任意激励的响应4.9 多自由度系统的阻尼4.10 有阻尼系统的响应4.11 一般粘性阻尼系统的响应一般粘性阻尼系统的响应i nj nj j j i j j i nj j j i ==•=••111i n j n j j j i j j i n j j j i Q q k q c q m =++∑∑∑==•=••111•••[][]{}[]{}{}Q q k q c q m =++⎭⎬⎫⎩⎨⎧•••nn n n n n 212222111211212222111211nn n n n n 212222111211212222111211nn n n n n 212222111211212222111211••••••n 11•••n 11n 11n 11inj nj j j i j j i nj j j i ==•=••111i n j n j j j i j j i n j j j i P x k x c x m =++∑∑∑==•=••111•••[][]{}[]{}{}P x k x c x m =++⎭⎬⎫⎩⎨⎧•••n 2121•i ••i1m 12m 23m 3ii •i i Q q Dq T =∂∂+∂∂•1m 12m 23m 32222)2221k +2222•2221⎟⎠⎞+•x c jjj j q W δδ11x δ11P 111x P δ1x δ22P 33P 2⎟⎠⎞21221212212111••••122121221211123323212332321222•••••2332321233232122233323332333••••33323332333•••••••••321333322221321321321333322221321321000000003213213333222213213213333222210•1•1θv ••2θv •1•=1θ•2•=2θ22θ−+mg l 22θl +k Oθ222yk+=•••[][]{}[]{}{}P x k x c x m =++⎭⎬⎫⎩⎨⎧•••••••••n n i j j i i 1111•••nn i j j i i 1111in n i j j i i 1111i j刚度影响系数k i j 若系统各自由度的广义速度和广义加速度为零，除j i i j i 。

第四章多自由度系统


kq 2 q1 M 1 (t ) q M (t ) kq 2 kq 3 2 2
角振动与直线振动在数学描述上相同，在多自由度系统中也 将质量、刚度、位移、加速度以及力都理解为广义的。
例4-3 汽车振动的力学模型。 以D点的垂直位移 xD 及杆AB绕 点D的角位移为坐标，列出车体 作微小振动的运动微分方程。
1、多自由度的微分方程： 例4-1 试建立系统的运动微分方程。
两自由度系统； 解：
m1 1 k1 x1 k2 ( x1 x2 ) P (t ) x 1 m2 2 k2 ( x2 x1 ) k3 x2 P2 (t ) x
m11 (k1 k2 ) x1 k2 x2 P (t ) x 1 m2 2 k2 x1 (k 2 k3 ) x2 P2 (t ) x
x [ M ]{} [C ]{x} [ K ]{x} { f } {x(0)} {x0}, {x(0)} {x0}
1、[M]，[C]，[K]分别为系统的质量矩阵、阻尼矩阵和 刚度矩阵。 2、{x}为n维位移向量，它的分量是各个自由度的广义位 移，而{x}和{ }分别为速度向量和加速度向量，它们的 x 分量分别为各个自由度的广义速度和广义加速度。{f}是 广义外力向量，它的分量是各个自由度所受到的广义外 力。
x [ M ]{} [C ]{x} [ K ]{x} { f } {x(0)} {x0}, {x(0)} {x0}
1、运动微分方程建立的关键：求得[M]， [C]，[K]中的各个元素。 2、可使用定义法。 3、求解微分方程的过程就是使[M]，[C]， [K]对角化的过程，可求得固有频率及其 振型。
静力加载 K x P(t )

第四章 多自由度系统振动(b)


k 2k k
2
0 k 3k
3k m k 0
3 1 0
2
k 2k m k
1 0
2
1 k 2 0 2 3 k m 3 0
K M 0
柔度矩阵与刚度矩阵的关系： F K 1
2012年8月20日 《振动力学》
FK I
3
位移方程不适用于具有刚体自由度的系统。
多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程
小结：耦合与坐标变换
质量矩阵中出现耦合项称为惯性耦合。 刚度矩阵或柔度矩阵中出现耦合项称为弹性耦合。
不出现惯性耦合时，一个坐标上 产生的加速度只在该坐标上引起 惯性力. 不出现弹性耦合时，一个坐标 上产生的位移只在该坐标上引 起弹性恢复力.

( t ) f f (t )

φ Kφ φ Mφ
T
T

2
( t ) f
2
f (t ) 0
a、b、 为常数
f ( t ) a sin( t ), f ( t ) at b ,
0 0
（1）正定系统
0
主振动
只可能出现形如 X φ a sin( t ) 的同步运动。 系统在各个坐标上都是按相同频率及初相位作简谐振动。 （2）半正定系统
2012年8月20日 《振动力学》
f (t ) R
1
运动规律的时间函数
X [ x1
x2

xn ]
T
φ [ 1
2

n ]
T
10
多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动/固有频率

结构动力学之多自由度体系的振动问题ppt课件

1 536EI
448 (1 536)2
m1m2l 6 (EI )2
0
解得
21
23l3 (m1 m2 2 1 536EI
)
529(m1 m2 )2l6 41 5362 (EI )2
448m1m2l 6 1 5362 (EI )2
从而得第一和第二阶自振频率
1
1
1
2
1
2
为了确定第一阶振型，可将1代入平衡方程。
其展开式是关于λ的n次代数方程,先求出λi再求 出频率ωi
柔度法
(11m1 )
12m2
...
21m1 ( 22m2 ) ...
...
...
...
1n mn 2nmn 0
...
n1m1
n2m2 ... ( nnmn )
将λi代入 ( [δ] [M] － λi [I ] ){Y(i)}={0} 可求出n个主振型。
多个自由度体系的自由振动
结构在受迫振动时的动力响应与结构的动力特性 密切相关；另外，当用振型叠加法计算任意干扰力 作用下结构的动力响应时，往往要用到自由振动的 频率(frequency)和振型(mode)。
为此，要需要首先分析自由振动。
自振频率和振型的计算
m1
m2
mi
mn
y1(t) y2(t)
yi(t)
刚度法
其中最小的频率1 称为最低自振频率，或称
基本频率。 通常将上述每一个频率所对应的振动都称为
主振动，对应于每一个主振动的形状称为主振 型。
1）如果各质体的初速度为零，而初位移和某 一振型成比例，然后任其自然，则系统就按 这个振型作简谐自由振动，此解答就相应于 该振动的一组特解；
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