振动力学第四章多自由度系统的振动资料

= ……
φn(i )
(i ) xn
第 i 阶特征向量φ(i ) 中的一列元素，就是系统做第 i 阶主振动时 各个坐标上位移（或振幅）的相对比值
φ(i ) 描述了系统做第 i 阶主振动时具有的振动形态，称为第 i 阶
主振型，或第 i 阶模态 虽然各坐标上振幅的精确值并没有确定，但是所表现的系统振动 形态已确定 主振动仅取决于系统的 M 阵，K 阵等物理参数。
2 φ=0 或直接用 ( K − ω M )
令主振动：
⎡ x1 ⎤ ⎡φ1 ⎤ ⎢ x ⎥ = ⎢φ ⎥ sin(ωt + ϕ ) ⎢ 2⎥ ⎢ 2⎥ ⎢ ⎣ x3 ⎥ ⎦ ⎢ ⎣φ3 ⎥ ⎦
得：
2006年5月4日 《振动力学》
⎡3k − mω 2 ⎢ ⎢ −k ⎢ 0 ⎣
−k 2 k − mω 2 −1
⎤ ⎡φ1 ⎤ ⎡0⎤ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎥ ⎢φ2 ⎥ = ⎢0⎥ 3k − mω 2 ⎥ ⎣φ3 ⎥ ⎦ ⎢ ⎣0 ⎥ ⎦ ⎦⎢ 0 −k
24
多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动
⎡3k − mω 2 ⎢ ⎢ −k ⎢ 0 ⎣ −k 2k − mω 2 −1 ⎤ ⎡φ1 ⎤ ⎡0⎤ ⎥ ⎥ ⎢ ⎥ − k ⎥⎢ ⎢φ2 ⎥ = ⎢0⎥ 3k − mω 2 ⎥ ⎣φ3 ⎥ ⎦ ⎢ ⎣0 ⎥ ⎦ ⎦⎢ 0
m 令α = ω2 k
⎡3 − α ⎢ −1 ⎢ ⎢ ⎣ 0
− 2 −α −1
0 ⎤ ⎡φ1 ⎤ ⎡0⎤ ⎢φ ⎥ = ⎢0⎥ −1 ⎥ ⎥⎢ 2 ⎥ ⎢ ⎥ 3 −α ⎥ ⎦⎢ ⎣φ3 ⎥ ⎦ ⎢ ⎣0 ⎥ ⎦
令特征矩阵的行列式＝0
2 ( 3 − α )( α − 5α + 4) = 0 特征方程：

( a c o s x b s i n x ) q () t 2 2 2 2 2 c c
x
2


dU1(x1) EA 0 1 dx1 x 0
1
b1 0
u
2
E ,A ,L 2, 2
d Ux (1 ) d Ux (2 ) 1 2 E A E A 1 2 d x d x 1 x 2 x L 0
2 2
（直杆纵向受迫振动微分方程）
2 2 u (,) x t u (,) x t 1 2 c f(,) x t 2 2 A t x
c E
(均匀材料等截面直杆的纵向受迫振动方程)
(二) 杆的纵向固有振动
1.固有振动
uxt ( , ) 2 uxt (,) c 2 2 t x
0
0
自由端： M Ip t G
0 x
0
(二) 课堂练习
【课堂练习1】：求如图所示的上端固定，下端有一附加质量 M的等 直杆作纵向振动的频率方程。 O
u (,) x t U ()( x q t ) ( a c o s xa s i nx ) ( b c o s t b s i n) t 1 2 1 2 c c

(二) 固有振动
U ( x) ( )2U ( x) 0 c q(t ) 2 q(t ) 0

U (x) a o s xa 1c 2 sin x c c qt ( ) b o s t b t 1c 2 sin


u (,) x t U ()( x q t )
神六设计时便改动了氧气输送管道的
一个参数。结果虽然还存在耦合振动，但 航天员的痛苦大大减轻。 图 神州五号飞船

T ( , , , ) 可求得其位移幅值向量为 i 1i 2i 3i ni

n个自由度体系——可得到n个线性无关的位移幅值向量：
k11 2 m1 k12 k 21 k 22 2 m 2 k n1 kn2
k1n k2n 0 k nn 2 m n


将频率方程展开，可得到关于2 的 n 次代数方程。
从频率方程可解得n 个正实根
ω2 i 开方得到各阶频率：
2 ω ； i
ω (1 2 n )T
CY KY F (t ) MY E
m1 0 质量矩阵 0 m 2 M 0 0 0 0 mn
CY ] Y P [ MY
k11 k12 刚度矩阵 k 21 k 22 K k n1 k n 2 11 12 柔度矩阵 21 22 n1 n 2
第 i 个振型方程：
k11 2 k12 i m1 2 k k 2 21 22 i m2 ( K i M ) i kn2 k n1
1i k1n 2i k2n 0 2 k nn i mn ni
(K 2 M) 0

振型方程：
(K 2M) 0
（ 4-8）

如果方程存在非零解，则系数行列式必为零，即：
K 2 M 0
k11 2 m1 k12 k 21 k 22 2 m 2 k n1 kn2
称为频率方程或特征方程。
（ 4-9）
2
（ 4-13）
求解一元二次方程得：

多自由度系统振动涉及到多个自由度的运动，其动力学行为 比单自由度系统更为复杂。掌握多自由度系统振动的基本原 理和方法，对于解决实际工程问题、提高设备性能和安全性 具有重要意义。
课程目的
理解多自由度系统振动的 特性，包括固有频率、模 态振型等。
掌握多自由度系统振动的 基本原理和数学模型。
学习多自由度系统振动的 分析方法，包括直接法、 模态法和传递矩阵法等。
控制算法则是实现控制策略的具体计算方法。常见的控制算法包 括PID控制、状态反馈控制、最优反馈控制等。这些算法可以根 据系统的特性和要求进行选择和优化。
05
多自由度系统振动应用
机械系统振动控制
机械系统中的多自由度振动问题广泛存在，如旋转机械、往复机械和柔性机械等 。控制这些振动可以提高机械系统的稳定性和可靠性，减少磨损和疲劳，延长使 用寿命。
多自由度系统振动
CONTENTS
• 引言 • 多自由度系统振动基础 • 多自由度系统振动特性 • 多自由度系统振动控制 • 多自由度系统振动应用 • 课程总结与展望
01
引言
课程背景
机械系统振动是工程领域中常见的问题，多自由度系统振动 更是其中的重要分支。随着科技的发展，多自由度系统在许 多领域如航空航天、交通运输、能源等都得到了广泛应用， 因此对多自由度系统振动的研究具有重要意义。
多自由度系统振动与多个学科领域密切相关，如结构力学、流体力学 和声学等，需要加强这些交叉学科领域的应用研究。
多自由度系统振动实验平台的搭建与验证
为了验证多自由度系统振动理论和方法的有效性，需要搭建更加先进 的实验平台，并开展更加系统的实验研究。
谢谢您的聆听
THANKS
被动控制技术
被动控制技术是通过改变系 统的刚度、阻尼和/或质量分 布来减小系统的振动。被动 控制技术不需要外部能源， 而是利用自然现象或物理效 应来减小系统的振动。

{x} {u} coswt
其中，{u}和w是待求的振型和固有频率。
将
{x} {u} coswt
} [ K ]{x} 0 [M ]{ x
2
代入方程
2 ( w [M ]{u} [ K ]{u}) coswt 0 得到
(w [M ] [ K ]){u} 0
kij w 2 mij 0
1 T } [ M ]{x } ET {x 2 1 T } [C ]{x } D {x 2 1 T U {x} [ K ]{x} 2
2D 2 ET cij mij i x j x i x j x
2U kij xi x j
2) 求偏导
2 ET 2 ET mij m ji xi x j x j xi 2D 2D cij c ji xi x j x j xi 2U 2U kij k ji xi x j x j xi
设有可逆线性变换[u]，使得
{x} [u ]{y}
因而有
} [u]{y }, { } [u]{ } {x x y
称{x}为旧坐标系，{y}为新坐标系。
系统的动能、势能和能量耗散函数与坐标系选择无关， 也就是说，它们是坐标变换下的不变量, 因此有：
1 T 1 })T [ M ]([u ]{y }) ET {x} [ M ]{x} ([u ]{y 2 2 1 1 }T [u ]T [ M ][u ]{y } { y }T [ M 1 ]{y } {y 2 2
} [C ]{x } [ K ]{x} {F (t )} [M ]{ x
本章内容：
1) 多自由度系统振动的基本理论，多自由度系统的固有 频率和振型的理论；

m1&x&1 k1 k 2 x1 k 2x 2 0 m2&x&2 k 2x1 k 2 k 3 x 2 0
2020年6月19日 《振动力学》
多自由度系统的振动 / 两自由度振动系统/动力学方程
上式即式(3.1)。此式可用矩阵形式表示
m
0
1
0
m
2
&&xx&&12
k1 k k 2
第3章 多自由度系统的振动
李映辉
西南交通大学
2015.09
声明
• 本课件可供教师教学和学生学习中免费使用。 • 不可用于任何商业目的。 • 本课件的部分内容参阅了上海交通大学陈国平教授和
太原科技大学杨建伟教授的课件，作者在此向二位教 授表示衷心感谢。如该课件无意中损害了二位教授利 益，作者在此致歉。 • 本课件以高淑英、沈火明编著的《振动力学》（中国 铁道出版社，2011年）的前四章为基础编写。 2•02200年年感66月月谢1199日研日 究生蒋宝坤、王金梅在文字录入方面的工作
多自由度系统的振动
教学内容
两自由度系统的振动
多自由度系统的振动
多自由度系统固有特性的近似解法
2020年6月19日 7
《振动力学》
多自由度系统的振动
教学内容
两自由度系统的振动
✓ 两自由度系统的振动方程 ✓ 无阻尼系统的自由振动 ✓ 耦合与主坐标 ✓ 无阻尼系统的强迫振动 ✓ 阻尼对强迫振动的影响
当 M、K 确定后，系统动力方程可完全确定
M、K 该如何确定？
先讨论 K
假设外力是以准静态方式施加于系统 加速度为零
X 0
则：
KX P(t)
2020年6月19日 21

第四章多自由度系统的振动4.1多自由度系统运动方程的建立4.2 耦合与坐标变换4.3 固有频率和主振型4.4振型矩阵、主坐标和正则坐标4.5 固有频率相等的情况4.6 固有频率为零的情况4.7 无阻尼系统对初始条件的响应4.8 无阻尼系统对任意激励的响应4.9 多自由度系统的阻尼4.10 有阻尼系统的响应4.11 一般粘性阻尼系统的响应一般粘性阻尼系统的响应i nj nj j j i j j i nj j j i ==•=••111i n j n j j j i j j i n j j j i Q q k q c q m =++∑∑∑==•=••111•••[][]{}[]{}{}Q q k q c q m =++⎭⎬⎫⎩⎨⎧•••nn n n n n 212222111211212222111211nn n n n n 212222111211212222111211nn n n n n 212222111211212222111211••••••n 11•••n 11n 11n 11inj nj j j i j j i nj j j i ==•=••111i n j n j j j i j j i n j j j i P x k x c x m =++∑∑∑==•=••111•••[][]{}[]{}{}P x k x c x m =++⎭⎬⎫⎩⎨⎧•••n 2121•i ••i1m 12m 23m 3ii •i i Q q Dq T =∂∂+∂∂•1m 12m 23m 32222)2221k +2222•2221⎟⎠⎞+•x c jjj j q W δδ11x δ11P 111x P δ1x δ22P 33P 2⎟⎠⎞21221212212111••••122121221211123323212332321222•••••2332321233232122233323332333••••33323332333•••••••••321333322221321321321333322221321321000000003213213333222213213213333222210•1•1θv ••2θv •1•=1θ•2•=2θ22θ−+mg l 22θl +k Oθ222yk+=•••[][]{}[]{}{}P x k x c x m =++⎭⎬⎫⎩⎨⎧•••••••••n n i j j i i 1111•••nn i j j i i 1111in n i j j i i 1111i j刚度影响系数k i j 若系统各自由度的广义速度和广义加速度为零，除j i i j i 。

kq 2 q1 M 1 (t ) q M (t ) kq 2 kq 3 2 2
角振动与直线振动在数学描述上相同，在多自由度系统中也 将质量、刚度、位移、加速度以及力都理解为广义的。
例4-3 汽车振动的力学模型。 以D点的垂直位移 xD 及杆AB绕 点D的角位移为坐标，列出车体 作微小振动的运动微分方程。
1、多自由度的微分方程： 例4-1 试建立系统的运动微分方程。
两自由度系统； 解：
m1 1 k1 x1 k2 ( x1 x2 ) P (t ) x 1 m2 2 k2 ( x2 x1 ) k3 x2 P2 (t ) x
m11 (k1 k2 ) x1 k2 x2 P (t ) x 1 m2 2 k2 x1 (k 2 k3 ) x2 P2 (t ) x
x [ M ]{} [C ]{x} [ K ]{x} { f } {x(0)} {x0}, {x(0)} {x0}
1、[M]，[C]，[K]分别为系统的质量矩阵、阻尼矩阵和 刚度矩阵。 2、{x}为n维位移向量，它的分量是各个自由度的广义位 移，而{x}和{ }分别为速度向量和加速度向量，它们的 x 分量分别为各个自由度的广义速度和广义加速度。{f}是 广义外力向量，它的分量是各个自由度所受到的广义外 力。
x [ M ]{} [C ]{x} [ K ]{x} { f } {x(0)} {x0}, {x(0)} {x0}
1、运动微分方程建立的关键：求得[M]， [C]，[K]中的各个元素。 2、可使用定义法。 3、求解微分方程的过程就是使[M]，[C]， [K]对角化的过程，可求得固有频率及其 振型。
静力加载 K x P(t )

k 2k k
2
0 k 3k
3k m k 0
3 1 0
2
k 2k m k
1 0
2
1 k 2 0 2 3 k m 3 0
K M 0
柔度矩阵与刚度矩阵的关系： F K 1
2012年8月20日 《振动力学》
FK I
3
位移方程不适用于具有刚体自由度的系统。
多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程
小结：耦合与坐标变换
质量矩阵中出现耦合项称为惯性耦合。 刚度矩阵或柔度矩阵中出现耦合项称为弹性耦合。
不出现惯性耦合时，一个坐标上 产生的加速度只在该坐标上引起 惯性力. 不出现弹性耦合时，一个坐标 上产生的位移只在该坐标上引 起弹性恢复力.

( t ) f f (t )

φ Kφ φ Mφ
T
T

2
( t ) f
2
f (t ) 0
a、b、 为常数
f ( t ) a sin( t ), f ( t ) at b ,
0 0
（1）正定系统
0
主振动
只可能出现形如 X φ a sin( t ) 的同步运动。 系统在各个坐标上都是按相同频率及初相位作简谐振动。 （2）半正定系统
2012年8月20日 《振动力学》
f (t ) R
1
运动规律的时间函数
X [ x1
x2

xn ]
T
φ [ 1
2

n ]
T
10
多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动/固有频率

1 536EI
448 (1 536)2
m1m2l 6 (EI )2
0
解得
21
23l3 (m1 m2 2 1 536EI
)
529(m1 m2 )2l6 41 5362 (EI )2
448m1m2l 6 1 5362 (EI )2
从而得第一和第二阶自振频率
1
1
1
2
1
2
为了确定第一阶振型，可将1代入平衡方程。
其展开式是关于λ的n次代数方程,先求出λi再求 出频率ωi
柔度法
(11m1 )
12m2
...
21m1 ( 22m2 ) ...
...
...
...
1n mn 2nmn 0
...
n1m1
n2m2 ... ( nnmn )
将λi代入 ( [δ] [M] － λi [I ] ){Y(i)}={0} 可求出n个主振型。
多个自由度体系的自由振动
结构在受迫振动时的动力响应与结构的动力特性 密切相关；另外，当用振型叠加法计算任意干扰力 作用下结构的动力响应时，往往要用到自由振动的 频率(frequency)和振型(mode)。
为此，要需要首先分析自由振动。
自振频率和振型的计算
m1
m2
mi
mn
y1(t) y2(t)
yi(t)
刚度法
其中最小的频率1 称为最低自振频率，或称
基本频率。 通常将上述每一个频率所对应的振动都称为
主振动，对应于每一个主振动的形状称为主振 型。
1）如果各质体的初速度为零，而初位移和某 一振型成比例，然后任其自然，则系统就按 这个振型作简谐自由振动，此解答就相应于 该振动的一组特解；

m 0 0 M 0 m 0 0 0 2m
2k K k 0
k 2k k
0 k k
2 将M和K代入频率方程 K p M 0
2k p 2 m k 0
k 2k p 2 m k
0 k k 2 p2m 0
4.1 固有频率 主振型
4.1.3位移方程的解
当运动微分方程是位移方程时，仍可设其解具有 代入位移方程 x 0 Mx
xi Ai sin( pt )
sin( pt )
i 1,2,3,n
p 2 MA A 0
LM
( M 1 I)A 0 2 p
例 题
(2k p 2 m)(k 2 p 2 m) k 2 adj B k ( k 2 p 2 m) 2 k
(2k p 2 m)(k 2 p 2 m) k ( 2 k p 2 m) k ( 2 k p 2 m) ( 2 k p 2 m) 2 k 2 k ( k 2 p 2 m) k2
1 I 2 p
特征矩阵
频率方程
M
1 I 0 2 p
求出n个固有频率，其相应的主振型也可从特征矩阵的伴随矩 阵adjL将pi值代入而求出.
4.1 固有频率 主振型
例 题
例 图是三自由度振动系统，设k1= k2= k3= k， m1= m2= m， m3= 2m，试求系统的固有频率和主振型。 解：选择x1、 x2、 x3坐标如图所示。则系统的质量矩阵和刚 度矩阵分别为
FT
11
l
FT
11
3l
1
11
3l 4T
由图中三角形的几何关系可解出
21 11

m1 m 2 m 3 m , l1 l 2 l 3 l
解：我们用Lagrange方程来建立振 动方程。
co s i sin j ) v1 l ( 1 1 1 1 v 2 l [(1 c o s 1 2 c o s 2 ) i s in s in ) j ] ( 1 1 2 2 v 3 l [(1 c o s 1 2 c o s 2 3 c o s 3 ) i s in s in s in ) j ] ( 1 1 2 2 3 3
qj 1
其余广义坐标的加速度为 0 ，为此而需要在各个广义坐标 方向上施加的广义力向量就是质量矩阵的第 j 列。
《振动力学》讲义 第4章 多自由度系统的振动 对于直梁，经常用几个位置的挠度作为广义坐标，来近似 描述直梁的振动。这时，采用影响系数法，建立梁的柔度矩 阵更方便的，因而需要用到简单边界条件下梁的挠度公式。 简支梁在横向集中力作用下的挠度公式为 P
第四章 多自由度系统的振动
大部分实际系统都是多自由度系统，其中的一类， 系统本身为近似的集中参数系统，可以简化为多自由度 系统，另一类是将分布参数系统通过一定的建模方法简 化得到的。本章只学习线性多自由度系统的分析方法和 基本规律，解决问题的基本方法是模态叠加法，就是将 n自由度系统分解成 n 个单自由度系统，每个单自由度 系统对应于原系统的一种特定的振动形态（即模态）， 将各个单自由度系统的振动叠加便得到原系统的振动。 因此，本章的学习重点是要理解和掌握模态的求解和使 用。
系统的动能为
m1 1 1 2 2 2 1 m 2 y 2 m 3 y 3 ) { y1 , y 2 , y 3 } 0 T ( m1 y 2 2 0 0 m2 0 0 0 m3 y1 y2 y 3

A11 A21
sin(1t sin(1t
1) 1)
A12 A22
sin(2t sin(2t
2 ) 2 )
(4.1.14)
令：
x(t) xx12((tt))
φ φ1
φ2
A11 A21
A12 A22
q(t
)
sin( sin(
1t 2t
12))
矩阵形式： x(t) φ q(t) (4.1.16)
第4章 多自由度系统的振动
§4-2 多自由度系统自由振动的一般理论
4.2.1 运动方程的建立 建立运动方程的基本方法
直接平衡法: 适合于自由度较少的集中质量离散系统；
能量法： 适合任意的多自由度系统； 分布质量系统，离散化，有限单元法。
研究对象： N质点 , 具有L个完整约束，n自由度系统
动能：
F1(t) F1 sin pt
x1 (t )ຫໍສະໝຸດ x2 (t)m1m2
k1
k2
k3
两个自由度系统的受迫振动
k11
p k21
2m1
k22
k12 p
2m2
X1 X2
0F1
(4.1.29)
第4章 多自由度系统的振动
设系统的固有频率为ω1和ω 2，系数矩阵可表示为：
D k11 p2m1
1 k / m 2 3k / m
1
A11 A21
2k
k
2 1
m
1,
2
A12 A22
2k
k
22m
1
φ1
1 1
,
φ
2
1 1
第4章 多自由度系统的振动
【例4.1.2】试求图示系统的固有频率与振型。

12
0 主刚度矩阵：6k 0 K p Φ T KΦ 0 6 k 0 2018年8月4日 0 0 12k
《振动力学》
Kp 、 Mp 非对角线项等于零 说明主振型是关于刚度阵及质量 阵相互正交的.
14
多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动/正交性，主质量和主刚度 模态矩阵：
代入，得： (FM I ) φ 0
特征方程：
FM I 0
4
多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动/模态
小结：模态
特征值问题： ( K 2 M ) φ 0
特征值（固有频率）
φ 特征向量（模态）
在特征向量中规定某个元素的值以确定其他各元素的值的过 程称为归一化 。
1 i j ij 0 i j
主模态： i 1 ~ n T φ( i ) m pi φ(i ) Mφ(i )
第 i 阶主模态
k pi φ
(i )T
Kφ(i )
第 i 阶模态主质量
第 i 阶模态主刚度
正则模态： i 1 ~ n (i ) (i )T (i ) φN φN MφN 1
(1) T (1) (1) T m p1 0 φ Mφ φ Mφ( n ) T T 0 m pn φ( n ) Mφ(1) φ( n ) Mφ( n )
对角阵
2018年8月4日 《振动力学》
2018年8月4日 《振动力学》
10
多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动/正交性，主质量和主刚度
推导：
ΦT MΦ diag (m p1 ,, m pn ) M p
ΦT MΦ [ φ(1) φ( n) ]T M[ φ(1) φ( n) ]

I1 0 k 1 k 2 0 1 I 2 2 k 2
k2 x1 P 1 (t ) k2 k3 x2 P2 (t )
k 2 1 M 1 (t ) k 2 k 3 2 M 2 (t )
准静态外力列向量
15
多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程
KX P (t ) 作用力方程： MX
KX P (t )
X Rn
假设作用于系统的是这样一组外力：它们使系统只在第 j 个坐标上产生单位位移，而在其他各个坐标上不产生位移.
T T X [ x ,..., x , x , x ,..., x ] [ 0 ,..., 0 , 1 , 0 ,..., 0 ] 即： 1 j 1 j j 1 n
k11...k1 j ...k1n k 21...k 2 j ...k 2 n K .......... .......... . k n1...k nj ...k nn n n
刚度矩阵第 j 列
P 1 (t ) P (t ) P (t ) 2 Pn (t )
14
多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程
• 刚度矩阵和质量矩阵
KX P (t ) 作用力方程： MX
X Rn
当 M、K 确定后，系统动力方程可完全确定
M、K 该如何确定？ 先讨论 K 假设外力是以准静态方式施加于系统
KX P (t )
0 加速度为零 X
静力平衡
多自由度系统的角振动与直线振动在数学描述上相同 。 如同在单自由度系统中所定义的，在多自由度系统中 也将质量、刚度、位移、加速度及力都理解为广义的。

动力方程
K M Y Y P
p k y
矩阵形式表示为
其中刚度矩阵
k11 K k 21 k 31
k12 k 22 k 32
k1n k 2 n k 3n
§4-1 用影响系数法建立系统的运动微分 方程
§4-1 用影响系数法建立系统的运动微分 方程
2、刚度影响系数及刚度矩阵 刚度指引起单位位移需施加的外力。刚 度影响 系数k指j点产生单位位移（其余各点均不位 移）时 ，在系统i点需施加的平衡力。
§4-1 用影响系数法建立系统的运动微分 方程
§4-1 用影响系数法建立系统的运动微分 方程
§4-1 用影响系数法建立系统的运动微分 方程
2
1 4l 3 2 2 1l 3EI 3
1 1 2 l EI 2
5l 3 2 1l 6 EI 3
[例4-1]
则柔度矩阵
27 14 4 3 l 14 8 2 . 5 3EI 4 2.5 1
m3 x3 c3 x2 c3 c4 x3 k3 x2 k3 k4 x3 F3



＋k
整理后，采用矩阵形式有： 质量矩阵
)
M x C x K x F
m1 M m2 m11 m 21 m3 m31 m12 m22 m32 m13 m23 m33
13 31 ij ji 由材力的位移互等定理有 ，亦即 当有n个质点m，m，··· ，m作用静外力 时可用 叠加原理表示。各质点位移（可用柔度系 y p p p 数） y p p p 有：静力关系

第四章多自由度体系无阻尼自由振动主要内容1 多自由度体系的自振振型和自振频率2 振型的正交性3 位移的振型展开和能量的振型展开1 多自由度体系的自振振型和自振频率所谓振型就是结构体系在无外荷载作用时的自由振动时的位移形态，N个自由度体系有N个不同的振型。

当结构按某一振型振动时，自振频率是与之相对应的常量。

因此对N个自由度体系，一般情况下有个N个自振频率。

多自由度结构的振型和自振频率是结构的固有特性，和单自由度一样是反映结构动力特性的主要量。

因此在讲到结构动力特性时，首先想到的就是结构的自振振型和频率。

结构的自振振型和频率，可通过分析结构的无阻尼自由振动方程获得。

多自由度体系无阻尼自由振动的方程为：其中[M ]、[K ]为N ×N 阶的质量和刚度矩阵，{u }和{ü}是N 阶位移和加速度（或广义坐标）向量，{0}是N 阶零向量。

上式是体系作自由振动时必须满足的控制方程，下面分析当位移向量{u }是什么形式时可以满足此式要求。

[]{}[]{}{}0=+u K uM根据前面经验，多自由度体系的振动形式可写为：{φ}—表示体系位移形状向量，它仅与坐标位置有关，不随时间变化，称为振型。

ω—简谐振动的频率，θ—相位角。

上式对时间求两次导数可得{}{}{})sin()(θωφ+==t t u u {}{}{})sin()(2θωφω+−==t t u u对于稳定结构体系，其质量阵与刚度阵具有实对称性和正定性，所以相应的频率方程的根都是正实根。

对于N 个自由度的体系，频率方程是关于ω2的N 次方程，由此可以解得N 个根（ω12<ω22<ω32…<ωN 2）。

ωn (n =1, 2, …, N )即为体系的自振频率。

其中量值最小的频率ω1叫基本频率(相应的周期T 1=2π/ω1叫基本周期)从以上分析可知，多自由度体系只能按一些特定的频率即按自振频率做自由振动。

按某一自振频率振动时，结构将保持一固定的形状，称为自振振型，或简称振型。