【优秀寒假作业】优秀学生寒假必做作业--1、4、3正切函数图像与性质练习一

1.4.3 正切函数的性质与图象A 级 基础巩固一、选择题1．函数y ＝3tan ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的定义域是( ) A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≠k π＋π2，k ∈Z B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≠k 2π－3π8，k ∈Z C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≠k 2π＋π8，k ∈Z D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≠k 2π，k ∈Z 解析：由2x ＋π4≠k π＋π2，得x ≠12k π＋π8(k ∈Z)． 答案：C2．f (x )＝－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4的单调区间是( ) A.⎝⎛⎭⎪⎫k π－π2，k π＋π2，k ∈ZB.()k π，（k ＋1）π，k ∈Z C.⎝⎛⎭⎪⎫k π－3π4，k π＋π4，k ∈Z D.⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－π4，k π＋3π4，k ∈Z 解析：令－π2＋k π<x ＋π4<π2＋k π，k ∈Z ， 解得－3π4＋k π<x <π4＋k π，k ∈Z. 所以函数f (x )的单调减区间为⎝⎛⎭⎪⎫k π－3π4，k π＋π4，k ∈Z. 答案：C3．在下列给出的函数中，以π为周期且在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2内是增函数的是( ) A ．y ＝sin x 2 B ．y ＝cos 2xC ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4D ．y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4 解析：由函数周期为π可排除A.x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2时，2x ∈(0，π)，2x ＋π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，54π，此时B 、C 中函数均不是增函数．答案：C4．若直线x ＝k π2(－1≤k ≤1)与函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的图象不相交，则k ＝( ) A.14B ．－34 C.14或－34 D ．－14或34解析：由题意得2×k π2＋π4＝π2＋m π，m ∈Z. k ＝14＋m ，m ∈Z. 由于－1≤k ≤1，所以k ＝14或－34. 答案：C5．函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋π6图象的对称中心为( ) A ．(0，0) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，0 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－π18，0，k ∈Z D.⎝ ⎛⎭⎪⎫k π6－π18，0，k ∈Z 解析：由函数y ＝tan x 的对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2，0，k ∈Z ，令3x ＋π6＝k π2，k ∈Z ，则x ＝k π6－π18(k ∈Z)， 所以y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π6对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫k π6－π18，0，k ∈Z. 答案：D二、填空题6．－tan 6π5与tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13π5的大小关系是______________． 解析：－tan 6π5＝－tan π5， tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13π5＝－tan 13π5＝－tan 3π5 因为0<π5<π2<3π5<π，所以tan π5>0，tan 3π5<0， 所以－tan π5<－tan 3π5，即－tan 6π5<t an ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13π5. 答案：－tan 6π5<tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13π5 7．f (x )＝a sin x ＋b tan x ＋1，满足f (5)＝7，则f (－5)＝________．解析：因为f (5)＝a sin 5＋b tan 5＋1＝7，所以a sin 5＋b tan 5＝6，所以f (－5)＝a sin(－5)＋b tan(－5)＋1＝－(a sin 5＋b tan 5)＋1＝－6＋1＝－5.答案：－58．y ＝tan x2满足下列哪些条件________(填序号)． ①在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上单调递增； ②为奇函数；③以π为最小正周期；④定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≠π4＋k π2，k ∈Z . 解析：当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，所以y ＝tan x 2在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上单调递增正确；t an ⎝ ⎛⎭⎪⎫－x 2＝－tan x 2，故y ＝tan x 2为奇函数，因此①②正确；T ＝πω＝2π，所以③不正确；由x 2≠π2＋k π，k ∈Z ，得{x |x ≠π＋2k π，k ∈Z}，所以④不正确．答案：①②三、解答题9．求函数y ＝tan 2x 的定义域、值域和周期，并作出它在区间[－π，π]内的图象．解：定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ∈R ⎪⎪⎪x ≠π4＋k π2，k ∈Z ， 值域为(－∞，＋∞)，周期为π2； 对应图象如下：10．求函数y ＝12tan ⎝⎛⎭⎪⎫5x ＋π4的定义域，单调区间及对称中心． 解：由5x ＋π4≠k π＋π2，得x ≠k π5＋π20，k ∈Z ， 函数定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≠k π5＋π20，k ∈Z . 由k π－π2<5x ＋π4<k π＋π2，得k π5－3π20<x <k π5＋π20，k ∈Z. 函数的单调递增区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫k π5－3π20，k π5＋π20，k ∈Z ， 由5x ＋π4＝k π2得x ＝k π10－π20，k ∈Z ，函数图象的对称中心坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫k π10－π20，0，k ∈Z.B 级 能力提升1．已知函数y ＝tan ωx 在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2内是减函数，则ω的取值范围为________． 解析：由题意可知ω<0，又⎝ ⎛⎭⎪⎫π2ω，－π2 ω⊆⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2. 故－1≤ω<0.答案：－1≤ω<0.2．若函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫3ax －π3(a ≠0)的最小正周期为π2，则a ＝________． 解析：因为π|3a |＝π2，所以|a |＝23，所以a ＝±23. 答案：±23 3．已知函数f (x )＝2tan ⎝⎛⎭⎪⎫kx －π3的最小正周期T 满足1<T <32，求正整数k 的值，并指出f (x )的奇偶性、单调区间．解：因为1<T <32，所以1<πk <32，即2π3<k <π. 因为k ∈N *，所以k ＝3，则f (x )＝2tan ⎝⎛⎭⎪⎫3x －π3， 由3x －π3≠π2＋k π(k ∈Z)得x ≠5π18＋k π3(k ∈Z)，定义域不关于原点对称， 所以f (x )＝2tan ⎝⎛⎭⎪⎫3x －π3是非奇非偶函数． 由－π2＋k π<3x －π3<π2＋k π(k ∈Z)得－π18＋k π3<x <5π18＋k π3(k ∈Z)， 所以f (x )＝2tan ⎝⎛⎭⎪⎫3x －π3的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－π18＋k π3，5π18＋k π3，k ∈Z.。

1.4.3 正切函数的性质与图象1.关于正切函数y=tan x,下列判断不正确的是( B )(A)是奇函数(B)在整个定义域上是增函数(C)在定义域内无最大值和最小值(D)平行于x轴的直线被正切曲线各支所截线段相等解析:正切函数在整个定义域上不具有单调性,正切函数是每个单调区间内的增函数.故选B.2.方程tan(2x+)=在区间[0,2π)上的解的个数是( B )(A)5 (B)4 (C)3 (D)2解析:法一由tan(2x+)=,解得2x+=+kπ(k∈Z),所以x=(k∈Z),又x∈[0,2π),所以x=0,,π,.故选B.法二y=tan(2x+)最小正周期为,[0,2π)的长度是4个周期,所以tan(2x+)=有四个解.故选B.3.函数f(x)=tan(2x-)的单调递增区间为( B )(A)[--,+](k∈Z)(B)(-,+)(k∈Z)(C)(kπ+,kπ+)(k∈Z)(D)[kπ-,kπ+](k∈Z)解析:由-+kπ<2x-<+kπ,k∈Z,得-<x<+(k∈Z)故函数的单调递增区间为(-,+)(k∈Z),故选B.4.函数y=sin ωx和函数y=tan ωx(ω>0)的最小正周期之和为π,则ω等于( C )(A)1 (B)2 (C)3 (D)4解析:由题意得+=π,所以ω=3,选C.5.函数y=tan(2x-)的一个对称中心为( A )(A)(-,0) (B)(,0) (C)(0,0) (D)(,0)解析:令2x-=,求得x=π,令k=-1,则x=-,所以(-,0)是函数y=tan(2x-)的一个对称中心,故选A.6.函数y=tan(x-)在一个周期内的图象是( A )解析:由正切函数的定义域得-≠+kπ,k∈Z,所以x≠+2kπ,k∈Z,取k=0和-1,得x≠且x≠-,选A.7.不等式tan x>a在x∈(-,)上恒成立,则a的取值范围为( D )(A)(1,+∞) (B)(-∞,1](C)(-∞,-1) (D)(-∞,-1]解析:由于y=tan x在(-,)上单调递增,所以tan x>tan(-)=-1,因此a≤-1,故选D.8.sin ,cos ,tan 的大小关系为( B )(A)sin >cos >tan(B)cos >tan >sin(C)tan >sin >cos(D)tan >cos >sin解析:因为∈(0,),y=sin x在(0,)上单调递增,y=cos x在(0,)上单调递减, 所以0<sin <sin =,1>cos >cos =,再由tan =>sin ,且tan <tan =,可得cos >tan >sin ,故选B.9.函数y=tan x{x∈[-,]}的值域是.解析:因为x∈[-,],所以tan x∈[-1,].答案:[-1,]10.函数y=tan{2x-}的定义域为.解析:由题意得2x-≠kπ+,k∈Z,解得x≠+π,k∈Z.故函数y=tan(2x-)的定义域为{x|x≠+π,k∈Z}.答案:{x|x≠+π,k∈Z}11.已知f(x)=tan(2x+),若函数f(x+m)为奇函数,则最小正数m的值为.解析:因为函数f(x)=tan(2x+),所以f(x+m)=tan(2x+2m+),又f(x+m)是奇函数,所以2m+=kπ,k∈Z,当k=1时,m取得最小正数值为.答案:12.已知函数f(x)=2tan(ωx+ϕ)(ω>0,|ϕ|<)的最小正周期为,且f()=-2,则ω= ,ϕ= .解析:由题意知,=,所以ω=2;又f()=-2,即2tan(2×+ϕ)=-2,所以2tan ϕ=-2,即tan ϕ=-1,又|ϕ|<,所以ϕ=-.答案:2 -13.已知函数y=tan(2x+θ)图象的一个对称中心为点(,0),若-<θ<,求θ的值.解:因为函数y=tan x图象的对称中心为点(,0),k∈Z,所以2x+θ=,k∈Z,令x=,得θ=-,k∈Z.又-<θ<,当k=1时,θ=-;当k=2时,θ=.所以θ=-或.14.已知函数f(x)=tan(ωx+ϕ)(ω>0,0<ϕ<)的图象与x轴相邻两交点的距离为,且关于点M(-,0)对称,求f(x)的解析式.解:由题意可知,函数f(x)的最小正周期T=,即=,所以ω=2.从而f(x)=tan(2x+ϕ).因为函数f(x)的图象关于点M(-,0)对称,所以2×(-)+ϕ=,k∈Z,即ϕ=+,k∈Z,因为0<ϕ<,所以ϕ只能取,故f(x)=tan(2x+).15.已知函数f(x)=tan(x+).(1)求f(x)的最小正周期;(2)求f(x)的定义域和单调区间;(3)求方程f(x)=的解集.解:(1)对于函数f(x)=tan(x+),它的最小正周期T==2.(2)令x+≠kπ+,得x≠2k+,k∈Z,故函数的定义域为{x|x≠2k+,k∈Z};令kπ-<x+<kπ+,k∈Z,得2k-<x<2k+,k∈Z,所以函数f(x)的单调递增区间为(2k-,2k+_,k∈Z.(3)由方程f(x)=tan(x+)=,k∈Z得x+=kπ+,k∈Z,即x=2k,故方程的解集为{x|x=2k,k∈Z}.16.若直线x=aπ(0<a<1)与函数y=tan x的图象无公共点,则不等式tan x≥2a的解集为( B )(A){x|kπ+≤x<kπ+,k∈Z}(B){x|kπ+≤x<kπ+,k∈Z}(C){x|kπ+≤x<kπ+,k∈Z}(D){x|kπ-≤x≤kπ+,k∈Z}解析:因为x=aπ与函数y=tan x的图象无公共点,且0<a<1,所以aπ=,a=,tan x≥2a,即为tan x≥1,结合正切函数图象可得,kπ+≤x<kπ+,不等式tan x≥2a的解集为{x|kπ+≤x<kπ+,k∈Z},故选B.17.函数y=|tan x|cos x的部分图象是( C )解析:y=|tan x|cos x=当x∈[0,)∪[π,)时,tan x≥0;当x∈(,π)时,tan x<0;当x=或x=时,tan x无意义,从而y无意义.可知当x∈[0,)∪[π,)时,y=|tan x|cos x与y=sin x的图象相同,当x∈(,π)时,y=|tan x|cos x与y=sin x的图象关于x轴对称.18.给出下列四个结论:①sin(-)>sin(-);②cos(-)>cos(-);③tan>tan;④tan>sin.其中正确结论的序号是.解析:函数y=sin x是(-,0)上的增函数,0>->->-,因此sin(-)>sin(-),①正确.cos(-)=cos(-6π-)=cos,cos(-)=cos(-4π-)=cos,因此cos(-)=cos(-),②不正确.函数y=tan x是(,π)上的增函数,<<<π,因此tan<tan,③不正确.易知在(0,)上,tan x>x>sin x,因此tan>sin,④正确.答案:①④19.关于x的函数f(x)=tan(x+ϕ)有以下几种说法:①对任意的ϕ,f(x)都是非奇非偶函数;②f(x)的图象关于(-ϕ,0)对称;③f(x)的图象关于(π-ϕ,0)对称;④f(x)是以π为最小正周期的周期函数.其中不正确的说法的序号是.解析:①若取ϕ=kπ(k∈Z),则f(x)=tan x,此时,f(x)为奇函数,所以①说法错误;观察正切函数y=tan x的图象,可知y=tan x关于(,0)(k∈Z)对称,令x+ϕ=得x=-ϕ,分别令k=1,2知②③正确,④显然正确.答案:①20.已知函数f(x)=x2+2x·tan θ-1,x∈[-1,],θ∈(-,).(1)当θ=-时,求函数f(x)的最大值和最小值;(2)求θ的取值范围,使y=f(x)在区间[-1,]上是单调函数.解:(1)当θ=-时,f(x)=x2-x-1=(x-)2-(x∈[-1,]),所以当x=时,f(x)min=-;当x=-1时,f(x)max=.(2)函数f(x)=(x+tan θ)2-1-tan2θ的图象的对称轴为直线x= -tan θ,因为y=f(x)在区间[-1,]上是单调函数,所以-tan θ≤-1或-tan θ≥,所以tan θ≥1或tan θ≤-.解得θ的取值范围是[,)∪(-,-].。

§1.4.3正切函数的性质与图象参考答案1．【答案】C【解析】由对数的底数13∈(0,1)知，tan x ∈(0,1]，∴x ∈(k π，k π＋π4]，k ∈Z . 2．【答案】C【解析】由题意可得f (x )的周期为π4，则πω＝π4，∴ω＝4. 3．【答案】C【解析】在(－π2，π2)上cos x >0, f (x )＝tan x ，所以在(－π2，π2)上其图象与y ＝tan x 的图象相同，在(－π，－π2)和(π2，π)上，cos x <0，f (x )＝－tan x ，所以在这两段上其图象是y ＝tan x 的图象关于x 轴的对称图形． 4．【答案】D【解析】函数y ＝sin2x 的周期是π，所以A 不正确；函数y ＝cos2πx 是偶函数，不是奇函数且周期为1，所以B 不正确；函数y ＝cos2(πx －π4)－12＝sin2πx －12不是奇函数且周期为1，所以C 不正确； 函数y ＝tan π2x 是周期为2的奇函数，所以D 正确，故选D. 5．【答案】B【解析】∵y ＝tan ωx 在(－π2，π2)内是减函数，∴ω<0且T ＝⎪⎪⎪⎪πω≥π，∴－1≤ω<0.故选B. 6．【答案】A【解析】f (x )在k π－π2<x ＋π4<k π＋π2，即k π－3π4<x <k π＋π4，k ∈Z 上是增函数， 而f (0)＝tan π4，f (1)＝tan(1＋π4)＝tan(1＋π4－π)＝tan(1－3π4)，f (－1)＝tan(π4－1)．∴f (0)>f (－1)>f (1)． 7．【答案】(k π3－π4，k π3＋π12)，k ∈Z 【解析】令k π－π2<3x ＋π4<k π＋π2(k ∈Z )，得k π3－π4<x <k π3＋π12. 8．【答案】－5【解析】f (x )的定义域为(k π－π2，k π)∪(k π，k π＋π2)，(k ∈Z )，可知f (x )的定义域关于原点对称，又f (－x )＝－f (x )，∴f (x )是奇函数，∴f (－a )＝－f (a )＝－5.9．【答案】 3【解析】由图知，T 2＝3π8－π8，∴T ＝π2，∴ω＝2.∴f (x )＝A tan(2x ＋φ)，将(3π8，0)代入得，A tan(2×3π8＋φ)＝0，即tan(3π4＋φ)＝0，又|φ|<π2， ∴φ＝π4，∴f (x )＝A tan(2x ＋π4)． 又f (0)＝1，∴A tan π4＝1，∴A ＝1.∴f (π24)＝1·tan(2×π24＋π4)＝tan π3＝ 3.10．【解析】定义域为},24|{Z k k x R x ∈+≠∈ππ； 值域为(－∞，＋∞)；周期为π2；对应图象如图所示：11．【解析】令t ＝tan x ，∵－π4≤x ≤π3，∴tan x ∈[－1，3]，∴t ∈[－1，3]， ∴y ＝t 2－2t ＋2，∴y ＝(t －1)2＋1，∴当t ＝1，即tan x ＝1时，也即x ＝π4时，y min ＝1， 当t ＝－1，即tan x ＝－1时，也即x ＝－π4时，y max ＝5.12．【解析】根据题意，可得：⎩⎪⎨⎪⎧ 2πk ＋πk ＝3π2a sin (k π2＋π3)＝b tan (k π2－π3)a sin (k π4＋π3)＝－3b tan (k π4－π3)＋1解得⎩⎪⎨⎪⎧ k ＝2a ＝1b ＝12，故f (x )＝sin(2x ＋π3)，g (x )＝12tan(2x －π3)． 当k π－π2<2x －π3<k π＋π2(k ∈Z )时g (x )单调递增， 即k π2－π12<x <k π2＋5π12，k ∈Z 时，函数g (x )单调递增． ∴g (x )的单调递增区间为(k π2－π12，k π2＋5π12)(k ∈Z )．。

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1。

4.3 正切函数的性质与图象一、选择题：1。

f（x)＝－tan错误!的单调区间是( ）A．错误!,k∈Z B．错误!，k∈ZC．错误!，k∈Z D．错误!，k∈Z【答案】C【解析】令－错误!＋kπ<x＋错误!〈错误!＋kπ，k∈Z,解得－错误!＋kπ<x〈错误!＋kπ,k ∈Z。

所以函数f(x）的单调减区间为错误!，k∈Z.2．函数f(x)＝tan ωx(ω>0）的图象上的相邻两支曲线截直线y＝1所得的线段长为错误!，则ω的值是（）A．1 B．2C．4 D．8【答案】C【解析】由题意可得f(x)的周期为错误!,则错误!＝错误!，∴ω＝4。

故选C。

3．函数y＝tan错误!图象的对称中心为( )A．(0，0) B．错误!C．错误!，k∈Z D．错误!，k∈Z【答案】D【解析】由函数y＝tan x的对称中心为错误!，k∈Z，令3x＋错误!＝错误!，k∈Z，则x＝错误!－错误!(k∈Z)，∴y＝tan错误!对称中心为错误!，k ∈Z。

故选D．4．(2016·鹤岗一中期末)若直线x＝错误!（－1≤k≤1）与函数y＝tan错误!的图象不相交，则k＝( )A．错误!B．－错误!C．错误!或－错误!D．－错误!或错误!【答案】C【解析】由题意得2×错误!＋错误!＝错误!＋mπ，m∈Z.k＝错误!＋m，m∈Z.由于－1≤k≤1,所以k＝错误!或－错误!。

学习资料第一章三角函数1．4三角函数的图象与性质1．4。

3正切函数的性质与图象［A组学业达标］1．关于正切函数y＝tan x,下列判断不正确的是( ) A．是奇函数B．在整个定义域上是增函数C．在定义域内无最大值和最小值D．平行于x轴的直线被正切曲线各支所截线段相等解析：正切函数在整个定义域上不具有单调性，正切函数在每个单调区间内是增函数．答案：B2．函数y＝tan错误!的定义域是（)A。

错误! B.错误!C。

错误! D.错误!解析：x＋错误!≠kπ＋错误!，k∈Z，∴x≠kπ＋错误!，k∈Z。

答案：D3．函数y＝tan错误!在一个周期内的大致图象是( )解析:由函数周期T ＝错误!＝2π,排除选项B 、D 。

将x ＝23π代入函数解析式中，得 y ＝tan 错误!＝tan 0＝0,故函数图象与x 轴的一个交点为错误!，排除C ，故选A 。

答案：A4．与函数y ＝tan 错误!的图象不相交的一条直线是( )A ．x ＝错误!B ．x ＝－错误!C ．x ＝错误!D ．x ＝错误! 解析：当x ＝错误!时,y ＝tan 错误!＝tan 错误!＝1；当x ＝－错误!时,y ＝tan 错误!＝tan 错误!＝1；当x ＝错误!时，y ＝tan 错误!＝tan 错误!＝－1；当x ＝错误!时，y ＝tan 错误!＝tan 错误!,不存在．答案：D5．若f (x ）＝tan 错误!,则( ）A ．f （1)>f （0）>f （－1)B ．f （0）>f (1)〉f （－1)C ．f (0）>f (－1）>f (1)D ．f (－1)〉f （0)〉f (1） 解析:f （0）＝tan 错误!,f （－1）＝tan 错误!，f （1）＝tan 错误!＝tan 错误!＝tan 错误!。

∵－π2<1－错误!π<错误!－1<错误!〈错误!，又y＝tan t在t∈错误!上是增函数，∴tan错误!〉tan错误!〉tan错误!，∴f（0)>f(－1)>f（1）．答案:C6．函数y＝错误!的定义域是________．解析：由1－tan x≥0，即tan x≤1，结合图象（图略）可解得．答案：错误!，k∈Z7．函数y＝tan错误!，x∈错误!的值域是________．解析：∵x∈错误!，∴错误!＋错误!∈错误!,∴tan错误!∈(1，错误!)．答案:（1,错误!)8．关于函数y＝tan错误!的说法正确的是________．(填所有正确答案的序号)①在错误!上单调递增；②为奇函数;③以π为最小正周期;④定义域为错误!。

1.4.3 正切函数的性质与图象一、选择题 1．函数y ＝3tan(2x ＋π4)的定义域是( ) A ．{x |x ≠k π＋π2，k ∈Z } B ．{x |x ≠k 2π－3π8，k ∈Z } C ．{x |x ≠k 2π＋π8，k ∈Z } D ．{x |x ≠k 2π，k ∈Z } 2．函数f (x )＝tan(x ＋π4)的单调递增区间为( ) A ．(k π－π2，k π＋π2)，k ∈Z B ．(k π，(k ＋1)π)，k ∈ZC ．(k π－3π4，k π＋π4)，k ∈Z D ．(k π－π4，k π＋3π4)，k ∈Z 3．函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫12x －π3在一个周期内的图象是( ) 4．下列函数中，在⎝⎛⎭⎫0，π2上单调递增，且以π为周期的偶函数是( )A ．y ＝tan|x |B ．y ＝|tan x |C ．y ＝|sin2x |D ．y ＝cos2x5．下列各式中正确的是( )A ．tan 735°>tan 800°B ．tan 1>－tan 2C ．tan 5π7<tan 4π7D ．tan 9π8<tan π76．函数f (x )＝tan ωx (ω>0)的图象的相邻两支截直线y ＝π4所得线段长为π4，则f ⎝⎛⎭⎫π4的值是( ) A ．0 B ．1 C ．－1 D.π4题 号 1 2 3 4 5 6答 案二、填空题7．函数y ＝tan x －1的定义域是____________．8．函数y ＝3tan(ωx ＋π6)的最小正周期是π2，则ω＝____. 9．已知a ＝tan1，b ＝tan2，c ＝tan3，则a ，b ，c 按从小到大的排列是________________．10．函数y ＝3tan ⎝⎛⎭⎫x ＋π3的对称中心的坐标是_________________________________．三、解答题11．判断函数f (x )＝lg tan x ＋1tan x －1的奇偶性．12．求函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫x 2－π3的定义域、周期、单调区间和对称中心．能力提升13．函数y ＝tan x ＋sin x －|tan x －sin x |在区间⎝⎛⎭⎫π2，3π2内的图象是()14．已知函数y ＝tan ωx 在(－π2，π2)内是减函数，则( )A ．0<ω≤1B ．－1≤ω<0C ．ω≥1D ．ω≤－11．4.3 正切函数的性质与图象答案作业设计1．C 2.C 3.A 4.B 5.D6．A。

基 础 巩 固一、选择题1．函数y ＝tan(x ＋π)是( )A ．奇函数B ．偶函数C ．既是奇函数又是偶函数D ．非奇非偶函数[答案] A2．函数y ＝tan(x ＋π4)的定义域是( )A ．{x |x ≠－π4}B ．{x |x ≠π4}C ．{x |x ≠k π－π4，k ∈Z }D ．{x |x ≠k π＋π4，k ∈Z }[答案] D3．函数y ＝2tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π4的最小正周期是( ) A.π6B.π3C.π2D.2π3[答案] B4．下列叙述正确的是( ) A ．函数y ＝cos x 在(0，π)上是增函数B ．函数y ＝tan x 在(0，π)上是减函数C ．函数y ＝cos x 在(0，π)上是减函数D ．函数y ＝sin x 在(0，π)上是增函数[答案] C5．下列不等式中，正确的是( )A ．tan 4π7>tan 3π7B ．tan 2π5<tan 3π5C ．tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13π7<tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－15π8 D ．tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13π4>tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12π5 [答案] D[解析] tan 4π7＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π7<tan 3π7； tan 3π5＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2π5<tan 2π5， tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13π7＝tan π7，tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－15π8＝tan π8， ∵tan π7>tan π8，∴tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13π7>tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－15π8， tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13π4＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π－π4＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＝－tan π4， tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12π5＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2π－2π5 ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2π5＝－tan 2π5. 又tan 2π5>tan π4，所以tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12π5<tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13π4，故选D. 6．(2011～2012·郑州高一检测)当－π2<x <π2时，函数y ＝tan|x |的图象( )A ．关于原点对称B ．关于x 轴对称C ．关于y 轴对称D ．不是对称图形[答案] C二、填空题 7．若函数y ＝2tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ax －π5的最小正周期为π5，则a ＝________. [答案] ±528．给出下列命题：(1)函数y ＝tan|x |不是周期函数；(2)函数y ＝tan x 在定义域内是增函数；(3)函数y ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪tan (2x ＋π3)的周期是π2； (4)y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π2＋x 是偶函数． 其中正确命题的序号是________．[答案] (1)(3)(4)[解析] y ＝tan|x |是偶函数，由图象知不是周期函数，因此(1)正确；y ＝tan x 在每一个区间－π2＋k π，π2＋k π(k ∈Z )内都是增函数但在定义域上不是增函数，∴(2)错；y ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪tan (2x ＋π3)的周期是π2.∴(3)对；y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫52π＋x ＝cos x 是偶函数，∴(4)对． 因此，正确的命题的序号是(1)(3)(4)．三、解答题9．比较tan1、tan2、tan3的大小．[解析] ∵tan2＝tan(2－π)，tan3＝tan(3－π)，又∵π2<2<π，∴－π2<2－π<0.∵π2<3<π，∴－π2<3－π<0，∴－π2<2－π<3－π<1<π2，又y ＝tan x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2内是增函数， ∴tan(2－π)<tan(3－π)<tan1，即tan2<tan3<tan1.10．画出函数y ＝|tan x |＋tan x 的图象，并根据图象求出函数的主要性质．[解析] 由y ＝|tan x |＋tan x 知y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 0，x ∈(k π－π2，k π]，2tan x ，x ∈(k π，k π＋π2)(k ∈Z )．其图象如图所示．函数的主要性质为：①定义域：{x |x ∈R ，x ≠π2＋k π，k ∈Z }；②值域：[0，＋∞)；③周期性：T ＝π；④奇偶性：非奇非偶函数；π⑤单调性：单调增区间为[kπ，kπ＋2)，k∈Z.。

第一章三角函数1.4三角函数的图象与性质1.4.3正切函数的图象与性质测试题知识点一：正切函数的图像1 n1.函数y = tan十一3在一个周期内的图象是（）3 n 3 n2.（2014保定高一检测）在区间（一，"2）内，函数y= tan x与函数y= sin x的图象的交点个数A. 1B.2C.3D.4n 3 n3.函数y= tan x + sin x —|tan x—sin x|在区间2，~2内的图象是V3 4利用函数图象，解不等式—K ta n知识点二：正切函数的性质5. 下列说法正确的是（）A. y=tan x是增函数B. y=tan x在第一象限是增函数nnC. y =tan x 在每个区间k n — 2，k n+ 2 （k € Z ）内是增函数D. y =ta n x 在某一区间上是减函数n6.函数y = 3tan （2x +4）的定义域是（ ）nA. {X |X M k n+ 2， k € Z}k 3 nB. { X |X M 2 n — "8， k € Z} k nC. {X |X M 2n+ 8， k € Z} kD . {X |X M 2冗，k € Z} 7.直线y = a （a 为常数）与正切曲线y = tan X 相交的相邻两点间的距离是（）B.2 n D.与a 值有关8.下列各式中正确的是（ ）4 n 3n_ 13 n17 nA.tan — >tan —B.tan —才 v tan —-5-C.ta n 4> tan 3D.ta n 281 >ta n 665 9.函数y = lg （1 + tan X ）的定义域是（ ）n , nA. k n — 2，k n+ 2 (k € Z) n , nB. k n — 2，k n+ 4 (k € Z) n , nC. k n — 4，k n+ 2 (k € Z) n , nD. k n — 4，k n+ 4 (k € Z)n n n11. （2014临沂高一检测）函数y = 2tan （3x +妨—2< K2的图象的一个对称中心为 4 0，C. n 10.已知函数y = tan 在 n 2,n2内是减函数，则 co 的取值范围为 冗. n12. (2014宁夏高一检测)若tan 2x—g < 1,则x的取值范围是_________一_ 1 n13. (2014日照高一检测)已知函数f(x) = 3tan卞―3 .(1) 求f(x)的定义域和值域.(2) 讨论f(x)的周期性、奇偶性和单调性.n n14. 求函数y= —tan2x+ 10tan x—1, x€ 4, 3 的值域.。

能 力 提 升一、选择题1．函数y ＝3tan ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的定义域是( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪ x ≠k π＋π2，k ∈ZB.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪ x ≠k2π－3π8，k ∈ZC.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪ x ≠k2π＋π8，k ∈ZD.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪ x ≠k2π，k ∈Z[答案] C[解析] 要使函数有意义，则2x ＋π4≠k π＋π2(k ∈Z )，则x ≠k2π＋π8(k ∈Z )． 2．函数y ＝tan x ＋1tan x是( ) A ．奇函数 B ．偶函数C ．既是奇函数又是偶函数D ．既不是奇函数又不是偶函数 [答案] A[解析] 定义域是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≠k π＋π2，k ∈Z ∩{x |x ≠k π，k ∈Z }＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≠k π2，k ∈Z .又f (－x )＝tan(－x )＋1tan (－x )＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫tan x ＋1tan x ＝－f (x )，即函数y ＝tan x ＋1tan x是奇函数．3．(福建福州模拟)函数f (x )＝sin x|cos x |在区间[－π，π]内的大致图象是下列图中的( )[答案] C[解析] 在(－π2，π2)上cos x >0，f (x )＝tan x ，所以在(－π2，π2)上其图象y ＝tan x 的图象相同，在(－π，－π2)和(π2，π)上，cos x <0, f (x )＝－tan x ，所以在这两段上其图象是y ＝tan x 的图象关于x 轴的对称图形．4．(2011～2012·荆州高一检测)在区间(－3π2，3π2)范围内，函数y＝tan x 与函数y ＝sin x 的图象交点的个数为( )A ．2B ．3C ．4D ．5 [答案] B5．函数y ＝tan xa 的最小正周期是( ) A ．a π B ．|a |π C.πa D.π|a |[答案] B[解析] 根据公式T ＝π|ω|＝π|1a |＝|a |π.6．下列函数中，同时满足：①在(0，π2)上是增函数，②为奇函数，③以π为最小正周期的函数是( )A ．y ＝tan xB ．y ＝cos xC ．y ＝tan x2D ．y ＝|sin x |[答案] A[解析] 经验证，选项B 、D 中所给函数都是偶函数，不符合；选项C 中所给的函数的周期为2π.二、填空题7．函数y ＝3tan(2x ＋π3)的对称中心的坐标为________________．[答案] (k π4－π6，0)(k ∈Z )[解析] 令2x ＋π3＝k π2(k ∈Z )，得x ＝k π4－π6(k ∈Z )，∴对称中心的坐标为(k π4－π6，0)(k ∈Z )．8．(辽宁沈阳实中模拟)求函数y ＝tan(－12x ＋π4)的单调区间是________________．[答案] (2k π－π2，2k π＋32π)(k ∈Z )[解析] y ＝tan(－12x ＋π4)＝－tan(12x －π4)，由k π－π2<12x －π4<k π＋π2(k ∈Z )，得2k π－π2<x <2k π＋32π，k ∈Z ，∴函数y ＝tan(－12x ＋π4)的单调递减区间是(2k π－π2，2k π＋32π)，k ∈Z .9．若tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6≤1，则x 的取值范围是__________． [答案] ⎝⎛⎭⎪⎫－π6＋k π2，5π24＋k π2(k ∈Z )[解析] 令z ＝2x －π6，在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2上满足tan z ≤1的z 的值是－π2<z ≤π4，在整个定义域上有－π2＋k π<z ≤π4＋k π，解不等式－π2＋k π<2x－π6≤π4＋k π，得－π6＋k π2<x ≤5π24＋k π2，k ∈Z . 三、解答题10．若函数y ＝tan 2x －a tan x (|x |≤π4)的最小值为－6，求实数a 的值．[解析] 设tan x ＝t ，∵|x |≤π4，∴－1≤tan x ≤1.∴－1≤t ≤1.原函数可化为y ＝t 2－at ＝(t －a2)2－a 24，对称轴为t＝a 2.若－1≤a 2≤1，即－2≤a ≤2，则当t ＝a2时，y min ＝－a 24＝－6，∴a 2＝24(舍去)．若a 2<－1，即a <－2时，二次函数在[－1,1]上递增，y min＝(－1－a 2)2－a 24＝1＋a ＝－6，∴a ＝－7.若a2>1，即a >2时，二次函数在[－1,1]上递减，y min ＝(1－a 2)2－a 24＝1－a ＝－6，∴a ＝7.综上所述，a ＝7或a ＝－7.11．已知函数f (x )＝tan ωx (ω>0)的图象的相邻两支截直线y ＝π4所得线段长为π4，求f (π4)的值．[解析] ∵ω>0，∴函数f (x )＝tan ωx 的周期为πω， 且在每个独立区间内都是单调函数， ∴两交点之间的距离为πω＝π4，∴ω＝4，f (x )＝tan4x ， ∴f (π4)＝tanπ＝0.12．已知函数f (x )＝3tan(12x －π3)．(1)求f (x )的定义域、值域；(2)讨论f (x )的周期性，奇偶性和单调性． [解析] (1)由12x －π3≠π2＋k π，k ∈Z ，解得x ≠5π3＋2k π，k ∈Z .∴定义域为{x |x ≠5π3＋2k π，k ∈Z }，值域为R . (2)f (x )为周期函数，周期T ＝π12＝2π.f (x )为非奇非偶函数．由－π2＋k π<12x －π3<π2＋k π，k ∈Z ，解得－π3＋2k π<x <5π3＋2k π，k ∈Z .∴函数的单调递增区间为(－π3＋2k π，5π3＋2k π)(k ∈Z )．。

寒假作业（13）三角函数的图像与性质1、若()sin f x x ω=满足(2)(2)f x f x +=-,则()f x 有( )A.最小正周期为4B.()f x 关于2x =对称C.()f x 不是周期函数D.12ω=2、cos ,[0,2π]y x x =-∈的大致图象为( )A. B. C. D.3、用“五点法”作函数cos3,R y x x =∈的图象时,首先应描出的五个点的横坐标是() A.π3π0,,π,,2π22 B.ππ3π0,,,,π424C.0,π,2π,3π,4πD.πππ2π0,,,,63234、下列函数,在π[,π]2上是增函数的是( )A.sin y x =B.cos y x =C.sin 2y x =D.cos 2y x =5、若函数()sin ([0,2π])3x f x ϕϕ+=∈是偶函数,则ϕ= ( ) A.π2 B.2π3 C.3π2 D.5π36、sin y x =,[0,2π]x ∈的图象与13y =的交点个数为( )A.0B.1C.2D.37、tan 1,x x ≥-取值范围为( ) A.,42ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭ B.,42ππ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭ C.,,Z 42k k k ππ⎡⎫π-π+∈⎪⎢⎣⎭ D.2,2,Z 42k k k ππ⎡⎫π-π+∈⎪⎢⎣⎭8、函数sin ()cos x f x x=在区间[],-ππ内的大致图象是( ) A. B.C. D.9、()tan (0)f x x ωω=>的图象相邻两支截直线1y =所得线段长为4π，则12f π⎛⎫= ⎪⎝⎭( )A.0B.3 C.1 10、函数sin y x =的定义域为[,]a b ,值域为1[1,]2--,则b a -的最大值与最小值之和为( ) A.4π3 B.8π3 C.2π D.4π11、函数cos 1y a x =+的最大值为5,则a=____________. 12、函数3tan(),46y x x ππ=π+-<≤的值域为______________. 13、函数1tan 24y x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭的单调递减区间是_______________. 14、函数()sin 2|sin |f x x x =+,[0,2π]x ∈的图象与直线y k =有且仅有两个不同的交点,则k 的取值范围是______________.15、比较1cos 0,cos,cos30,cos1,cos π2︒的大小为__________________________.答案以及解析1答案及解析：答案：A解析：令2x t -=,则(4)(),()f t f t f x +=的最小正周期为4.故选A.2答案及解析：答案：B解析：0x =时,1y =- ,故选B.3答案及解析：答案：D 解析：令π3π30,,π,22x =和2π得πππ2π0,,,,6323x =.故选D.4答案及解析：答案：D 解析：因为π[,π]2x ∈,所以2[π,2π]x ∈,所以cos 2y x =在π[,π]2上为增函数.5答案及解析：答案：C 解析：因为()f x 是偶函数,所以0ππ(Z)32k k ϕ+=+∈. 所以3π3π(Z)2k k ϕ=+∈,又[0,2π]ϕ∈,所以3π2ϕ=.6答案及解析：答案：C解析：在同一直角坐标系中,作出sin y x =,[0,2π]x ∈及13y =的函数图象(图略),可知13y =与sin ([0,2π])y x x =∈有两个交点.故选C.7答案及解析：答案：C解析：因为tan 1,,22x x ππ⎛⎫≥-∈- ⎪⎝⎭时，可得42x ππ-≤<，所以,Z 42k x k k πππ-≤<π+∈.故选C.8答案及解析：答案：B 解析：tan ,,2tan ,,02()tan ,0,2tan ,,2x x x x f x x x x x ⎧π⎡⎫-∈-π-⎪⎪⎢⎣⎭⎪⎪π⎡⎫∈-⎪⎪⎢⎪⎣⎭=⎨π⎡⎫⎪∈⎪⎢⎪⎣⎭⎪π⎡⎤⎪-∈π⎢⎥⎪⎣⎦⎩9答案及解析：答案：D 解析：由题意4T π=，又T ωπ=，所以4ω=，所以()tan 4,tan 123f x x f ππ⎛⎫===⎪⎝⎭故选D.10答案及解析：答案：C 解析：如图,当1[,]x a b ∈时,值域为1[1,]2--,且b a -最大. 当2[,]x a b ∈时,值域为1[1,]2--,且b a -最大.所以最大值与最小值之和为1212()()2()b a b a b a a -+-=-+ππ7π22π626=⨯++=.11答案及解析：答案：4±解析：||15a +=,所以4a =±.12答案及解析：答案：(-解析：函数3tan()3tan y x x =π+=，且在,46ππ⎛⎤- ⎥⎝⎦上是增函数，所以3y -<≤求值域为(-.13答案及解析： 答案：32,2,Z 22k k k π⎛⎫π-π+π∈ ⎪⎝⎭解析：11tan tan 2424y x x ππ⎛⎫⎛⎫=-+=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 由1(Z)2242k x k k ππππ-<-<π+∈， 得322,Z 22k x k k πππ-<<π+∈, 所以函数1tan 24y x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭的单调递减区间是32,2,Z 22k k k π⎛⎫π-π+π∈ ⎪⎝⎭.14答案及解析：答案：(1,3) 解析：因为3sin ,[0,π),()sin ,[π,2π],x x f x x x ∈⎧=⎨-∈⎩所以()y f x =的图象如图所示.从图象上可以看出,若()y f x =与y k =的图象有且仅有两个不同的交点,则k 的范围为13k <<.15答案及解析： 答案：1cos 0coscos30cos1cos π2>>︒>> 解析：因为1π01π26<<<<,而cos y x =在区间[0,π]上是减函数,所以1cos0cos cos30cos1cos π2>>︒>>.。