(完整版)正切函数的性质与图像.ppt

2
2
正
渐
切
近 线
函
数
渐
图
近 线
像
性质 :
渐近线方程： x k , k Z 2
对称中心
( kπ,0) 2
正切函数有对称轴吗？ 无对称轴
问题5： (1)正切函数是整个定义域上的增函数吗？为什么？ (2)正切函数会在某一区间内是减函数吗？为什么？
A
B
在每一个开区间
(-π+ kπ,π+ kπ) ，kZ 内都是增函数。
5、周期性
最小正周期是
3
小结：正切函数的图像和性质
1、正切曲线是先利用平移正切线得y tan x, x ( , )的图象， 22
再利用周期性把该段图象向左、右扩展得到。
2 、y tan x 性质:
⑴ 定义域： {x | x k, k Z}
⑵ 值域： R 2 ⑶ 周期性：
⑷ 奇偶性：奇函数，图象关于原点对称。
22 右呈上升趋势，向上与直线 x
k
,k
Z
无限接近但
永不相交；向下与直线
x
2
k , k
Z无限接近但永不
2
相交。
将 x k , k Z 称为正切曲线的渐近线。
2
题型一 求与正切函数有关的函数的定义域
例1.求下列函数的定义域.
(1) y tan(x );
3 (2) y lg tan x 16 x2 .
x 2k 时， ymax 1 x 2k 时，ymin 1
x[ 2k , 2k ] 增函数
x[2k , 2k ]
偶函数
2
减函数
对称轴： x
2
k
,
k
Z
对称中心： (k , 0) k Z
对称轴： x k , k Z 对称中心：(2 k , 0) k Z
讲授新课
问题1：你能利用正切函数的定义，说出正切 函数的定义域吗？
问题2：正切函数y=tanx是周期函数吗？
问题3：正切函数y=tanx 具有奇偶性吗？
问题4：如何利用正切线画出函数 y tan x ，
x
2
，
2
的图像？
角 的终边 Y
T3
（
3
，tan
）
3
A
0
X
3
利用正切线画出函数
y
tan
x
，x
2
，
2
的图像:
作法: (1) 等分：把单位圆右半圆分成8等份。
函数 图形 定义域 值域 最值
单调性 奇偶性
周期 对称性
y
1
2
0
-1
y=sinx
3
2
2
xR
2 5 x
2
y=cosx
y
1
0
2
3 2
2
5 2
x
-1
xR
y [1,1]
y [1,1]
x
2
2k 时， ymax
1
x
2
2k 时，ymin
1
x[-
2
2k
,
2
2k
]
增函数
x[2
2k ,
3
2
2k
]
减函数
奇函数
2
(2) tan( 13 )与tan( 17 ).
4
5
练习：P45.6
例4、观察正切曲线写出满足下列条件的x的值
的范围：tanx>0
y
解：画出y=tanx在 上的图象.
(
2
,
2
)
在此区间上满足tanx>0的x
的范围为：
0
x
2
1
o
2
-1
结合周期性考虑，满足条件的
范围为：
(k , k ) (k Z )
0 /2 -1
3/2
观察图像特征：关键点，线，变化趋势 三点两线法作图像
性质 你能从正切函数的图象出发,讨论它的性质吗?
y
1
x
-3/2 -
-/2 0
/2
3/2
-1
函数 定义域 值域 周期性 奇偶性 单调性
y=tanx {x | x k , k Z}
2
R
T=
奇函数
增区间 (k , k )k Z
题型二 求与正切函数有关的函数的周期
例2.求函数y=tan3x的周期。
想一想：y=tanωx 的周期 呢？
结论：y A tan(x )的周期T | |
练习：P45.4
题型三 单调性应用
例3、不通过求值，比较下列各组中两个正切函数值
的大小：
（1）tan 138o 与 tan 143o ;
(5) 对称性：对称中心：
无对称轴
(6)单调性：在每一个开区间
(-π+ 2
kπ,π+ 2
kπ)
，
k
Z
内都是增函数。
(7)渐近线方程： x k , k Z
2
(2) 作正切线
(3) 平移 (4) 连线
3
8
，
4
，
8
，8
，4
3
，8
o
3 0 3
2 8 48
84 8 2
作图(- , 1), (0, 0), ( ,1), x - , x
4
4
2
2
由正切函数的周期性，把图象向左、向右平移，得到
正切函数的图象，称为正切曲线
y
1
x
-3/2 - -/2
2
2
强调：
a.不能说正切函数在整个定义域内是增函数；
b.正切函数在每个单调区间内都是增函数；
c. 每个单调区间都跨两个象限：四、一或 二、三。
图像特征： 1、间断性：正切曲线是被互相平行的直线 x k , k Z
2
所隔开的无穷多支曲线组成的。
2、在每一个开区间 ( k , k ), k Z 内，图像自左向
2
x
2
练习 解不等式：tan x 3
y
3 0 x 32
由图可知：x
k
3
,
k
2
(k
Z
)
练习
1、 解不等式 1+tanx 0
2、解不等式：1- tan x 0
3、解不等式：tan(x ) 3
63
答案:
1.
x
x
k
4
x
k
2
,k
Z
2.
x
x
k
2
x
k
4
,k
Z
3.
x
x
k
3
x
k
2
3
,k
Z
例5、求函数 y
tan(
x
)
的定义域、周期
23
和单调区间。
练习
求函数
y
tan
3x
3
的定义域、值域，并指出它的
单调性、奇偶性和周期性；
答案:
1、定义域
x
x
|
x
R且x
1 3
k
5
18
，k
Z
Hale Waihona Puke 2、值域yR3、单调性
在x
1 3
k
18
,
1 3
k
5
18
上是增函数；
4、奇偶性 非奇非偶函数