正切函数图像及性质
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高一数学正切函数的图像和性质(中学课件201911)
tan x
f x
∴ y tan x是周期函数， 是它的一个周期．
利用正切线画出函数
y
tan
x
，x
2
，
2
的图像:
演示
4.10 正切函数的图像和性质
结正合切正函切数函的数性图质像：研究正切函数的性质：定义域、值域、周期性、
奇∴函偶正数性切．①②当当正∵⑤正⑥④和函切切定值任单渐渐xx奇单数函函义域意调小大近近偶调是数数域：性于于线线x性性奇是在:：R方：：2函．周每2程奇x数期个k2是x函k．函开（：数(kxkk2数区．，，间2k正kZZ周）)x切且，k期且曲无k2是无，线(限kk限Z2关接．接于ZZ近k近)原于，，于2点都22有kOtkk对a(nk称时时．，，xZttaa)nn内xx都t a是nx增，
上图像后，再利用周期性把该段图像向左右延伸、平移。
（2） y tan x 性质:
定义域
值 周 奇 单调增区间 域 期偶
性
对 称 渐近线 中心 方程
x
x
k
2
，k
Z
R
奇 函 数
k
2
，k
2
kZ
k，0
k Z
x k
2 kZ
谢谢大家指导!
∴又∵tan3167
2
3tan1733
45
，函数
2
y
tan
x
，x
3
2
，
正切函数的图像和性质 (精致版)
奇函数 偶函数
2 对称轴： x k , k Z
2 对称中心： (k ,0) k Z
2
对称轴： x k , k Z 对称中心：( k , 0) k Z
2
探索一 你可以从一个新的角度来研究正 切函数的性质吗？
正弦函数 正切函数
定义+三角函数线
三角函数图象
课后练习
作业：
P45.2、3、4
课后思考
思考1：我们分别从什么角度讨论了正切函数 的性质？这两种讨论方法分别有什么特点？ 思考2：你能用同样的方法去讨论正、余弦 函数的性质吗？
想一想？ 得到y tan x最小正周期为__ ____
由y tan x最小正周期为
反馈练习：求下列函数的周期：
x (1) y 5 tan 2
2
(2) y tan(4 x ) 3
4
巩固练习 1、比较下列每组数的大小。
13π 11π tan() 与 tan() （2） 4 5
正切函数的对称中心
正 切 函 数 图 像
性质 :
渐 进 线
渐 进 线
⑴ ⑵ ⑶ ⑷
定义域： {x | x k, k Z} 2 值域： R 周期性： 奇偶性： 奇函数，图象关于原点对称。
⑸ 单调性： 在每一个开区间 ( k , k ) ， k Z 内都是增函数。 2 2 kZ x k , (7)对称中心 (6)渐近线方程： 2
kπ ( ,0) 2
问题：
(1)正切函数是整个定义域上的增函数吗？为什么？
(2)正切函数会不会在某一区间内是减函数？为什么？
A
B
2 对称轴： x k , k Z
2 对称中心： (k ,0) k Z
2
对称轴： x k , k Z 对称中心：( k , 0) k Z
2
探索一 你可以从一个新的角度来研究正 切函数的性质吗？
正弦函数 正切函数
定义+三角函数线
三角函数图象
课后练习
作业：
P45.2、3、4
课后思考
思考1：我们分别从什么角度讨论了正切函数 的性质？这两种讨论方法分别有什么特点？ 思考2：你能用同样的方法去讨论正、余弦 函数的性质吗？
想一想？ 得到y tan x最小正周期为__ ____
由y tan x最小正周期为
反馈练习：求下列函数的周期：
x (1) y 5 tan 2
2
(2) y tan(4 x ) 3
4
巩固练习 1、比较下列每组数的大小。
13π 11π tan() 与 tan() （2） 4 5
正切函数的对称中心
正 切 函 数 图 像
性质 :
渐 进 线
渐 进 线
⑴ ⑵ ⑶ ⑷
定义域： {x | x k, k Z} 2 值域： R 周期性： 奇偶性： 奇函数，图象关于原点对称。
⑸ 单调性： 在每一个开区间 ( k , k ) ， k Z 内都是增函数。 2 2 kZ x k , (7)对称中心 (6)渐近线方程： 2
kπ ( ,0) 2
问题：
(1)正切函数是整个定义域上的增函数吗？为什么？
(2)正切函数会不会在某一区间内是减函数？为什么？
A
B
6.2 正切函数的图像与性质
6.2 正切函数的图像与性质正切函数图像（余切函数的图像）例1．求函数tan(2)3y x π=-的定义域、周期和单调区间。
例2．不通过求值，比较下列各组中两个正切函数值的大小：（1）与；（2） 与．例3. 求函数⎪⎭⎫⎝⎛+=4tan πx y 的定义域．例4 不通过求值，比较下列各组中两个正切函数值的大小：（1）167tan 与173tan ； （2）⎪⎭⎫ ⎝⎛-π411tan 与⎪⎭⎫⎝⎛-π513tan ．例5．若tan α＝32，借助三角函数定义求角α的正弦函数值和余弦函数值。
例6．化简：()()()()()πααπαπαπαπ---+-+-tan 3tan tan 3tan 2tan【当堂训练】 一、选择题1、下列不等式中，正确的是( )A ． tan74π＞tan 73πB ． tan(-413π)＞tan(-512π)C ． tan 4＜tan3D ． tan281°＞tan665°2、下列命题中正确的是( ) A ． x y tan =在第一象限单调递增． B ． 在x y tan =中，x 越大，y 也越大 C ． 当x ＞0时，x tan ＞0． D ． x y tan =的图象关于原点对称3、若βαππβα22tan tan ),23,(,>∈且，则 （ ） A ．α<β B ．α>β C ．α+β>3π D ．α+β<2π4、直线y = a （a 为常数）与y = tan ωx （ω>0）的相邻两支的交点距离为 （ ）A ．πB ．ωπ C ．ωπ2 D ．与a 有关的值5、在下列函数中，同时满足的是（ ）①在(0，2π)上递增 ②以2π为周期 ③是奇函数 A ．y ＝tan x B ．y ＝cos x C ．y ＝tan 21x D ．y ＝－tan x6、在区间（－π23，π23）内，函数x y tan =与函数x y sin =图象交点的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．5二、填空题1、使函数y=tanx 和y=sinx 同时为单调递增函数的区间是 ．2、函数y=3tan(21x 4π-)的定义域是 ，值域是 ．3、函数y=3tan(2x +3π)的对称中心的坐标是 ．4、函数⎪⎭⎫⎝⎛+=42t an πx y 的图象被平行直线 隔开，图象与x 轴交点的横坐标是 ，与y 轴交点的纵坐标是 ，函数的周期是 ，定义域是 ，值域是 ，它的奇偶性是 ．5、比较大小：（１）︒222tan ︒223tan ； （２）31)44(tan ︒ 21)44(tan ︒。
正切函数的图像及性质
y = 3 tan(2 x + ) 4
π
∴周期T =
π
2
练习 1,观察三角函数图像，分别求 的范围 观察三角函数图像， 观察三角函数图像 分别求x的范围
(1) sin x < 0, (2) cos x ≥ 0, (3) tan x > 0
解 (1) x ∈(2kπ + π ,2kπ + 2π ),(k ∈ Z)
单调性 max & min
π
2
+ kπ ,
π
2
+ kπ )上单调增
无
例1
π 的定义域。 求函数 y = tan ( x + ) 的定义域。 4
π 解 ，那么函数y=tanz的定义域为 4 π z | z ∈ R, z ≠ + kπ, k ∈ Z 2 π π 即x + ≠ + kπ 4 2 π x ≠ + kπ 4 π y = tan( x + )的定义域为 所以函数 4 π x | x ∈ R, x ≠ + kπ, k ∈ Z 4
5 π π 2π π Q− < < < 2 4 5 2
5
5
函数y = tan x，x ∈ − ， ）是增函数 （ 2 2
π π
2π ∴tan( ) < tan( ) 4 5 11 13 即tan − π）< tan （ （- π） 4 5
π
例3.求下列函数的周期.
分析： 的周期为２ ， 分析：y=sinx与y=cosx的周期为２∏，则 与 的周期为 y=Asin(wx+Q)与y=Asin(wx+Q)的周期为 与 的周期为2∏/w 的周期为 y=tanx的周期为 ，则y=Atan(wx+Q)的周期为： 的周期为∏， 的周期为： 的周期为 的周期为 T=∏/w
正切函数图像与性质
2
温故知新
回顾1：我们在学习正弦、余弦函数的图象时学习 过哪些作图方法？ 几何描点作图法： 作正弦函数y=sinx的图象 作余弦函数y=cosx的图象 平移变换作图法： 作正弦、余弦函数的简图 五点作图法： 问题1：我们选择哪种方法作正切函数的图象？ 几何描点作图法
正切函数的图象和性质 一、引入 如何几何描点法作正弦函数图象呢？
栏目 导引
知识回顾：任意角的正切线
y
T
y
x
o
(1,0)
A
x
正切线AT
o x(1,0) A
T
x
y
y
T
x
x
(1,0)
o
A
T
x
o
(1,0)
A
x
第一章
三角函数
作法如下：
作直角坐标
系，并在直角 坐标系y轴左侧 作单位圆。
y
找横坐标
（把x轴上 2 到 到这一 段分成8等份）
1
2
3 8 4 8
11 tan( ) tan , 4 4 2
2 4
13 2 tan( ) tan 5 5
又y tan x在(
2 tan tan 4 5
11 13 tan( ) tan( ). 4 5
5
2 2 ,
2
)是增函数
k , k , k z 2 2
2
k x
4
2ຫໍສະໝຸດ k , k z 函数y tan(x )的单调递增区间是： k , k , k z 4 4 4
温故知新
回顾1：我们在学习正弦、余弦函数的图象时学习 过哪些作图方法？ 几何描点作图法： 作正弦函数y=sinx的图象 作余弦函数y=cosx的图象 平移变换作图法： 作正弦、余弦函数的简图 五点作图法： 问题1：我们选择哪种方法作正切函数的图象？ 几何描点作图法
正切函数的图象和性质 一、引入 如何几何描点法作正弦函数图象呢？
栏目 导引
知识回顾：任意角的正切线
y
T
y
x
o
(1,0)
A
x
正切线AT
o x(1,0) A
T
x
y
y
T
x
x
(1,0)
o
A
T
x
o
(1,0)
A
x
第一章
三角函数
作法如下：
作直角坐标
系，并在直角 坐标系y轴左侧 作单位圆。
y
找横坐标
（把x轴上 2 到 到这一 段分成8等份）
1
2
3 8 4 8
11 tan( ) tan , 4 4 2
2 4
13 2 tan( ) tan 5 5
又y tan x在(
2 tan tan 4 5
11 13 tan( ) tan( ). 4 5
5
2 2 ,
2
)是增函数
k , k , k z 2 2
2
k x
4
2ຫໍສະໝຸດ k , k z 函数y tan(x )的单调递增区间是： k , k , k z 4 4 4
143正切函数的图像和性质
4
2
4
所以原函数的定义域是：
x
|
x
k
4
,
k
z
例题讲解
例2 求函数 y tan( x ) 的定义域、周期和单调区间.
23
解:函数的自变量 x 应满足
即 x 2k 1 ,k Z.
x k , k Z,
23
2
3
所以,函数的定义域是
x
|
x
2k
1 3
,
k
Z
.
由于
f (x) tan( x ) tan( x
22 4 2
2
2
y 3 tan(1 x )的单调递增区间为:
24
(2k 3 , 2k ), k z
2
2
变题(2) y 3tan( x )
ห้องสมุดไป่ตู้24
解:因为原函数可化为: y 3tan( x );
24
令u
x 2
4
;由
k
y tanu的单调性知
u k ,k Z
:
2
2
由u 1 x 得 : 24
)
3tan(2x ) 4
4
3tan[2(x ) ]
f (x ) 2 4
(2)变题y 3 tan(1 x );
24
解 : f (x) 3tan(1 x )
3 tan(1
x
2
4
)
24
3tan[1 (x 2 ) ]
2
4
2 周期T
2
f (x 2 ) 周期T 2
k 1 x k 2k x 2k 3
22 4 2
2
2
y 3 tan( 1 x )的单调递减区间为:
三角函数正切函数的性质与图像
正切函数的图像向右平移π个单位，可以得 到余弦函数的图像。
左右翻转
正切函数的图像关于$y$轴对称，即$tan( - x) = tan(x)$。 正切函数的图像向左翻转后，可以得到正切函数的图像。
03
正切函数的图像绘制
利用Python绘制正切函数图像
导入matplotlib库
定义正切函数
首先需要导入matplotlib库，该库是 Python中用于绘图的常用库之一。
使用xlabel和ylabel参数可以添加x轴和y轴的标签，例如x轴 标签为“$x$”，y轴标签为“$y$”。
显示网格线
使用grid参数可以显示网格线，以便更好地观察图像的细节 。
04
三角函数的实际应用
物理中的三角函数
简谐振动
简谐振动的位移与时间的关系可以表示为正弦或余弦函数，利用三角函数性 质可以更深入地理解简谐振动的特征。
正切函数的对称性
正切函数图像无对称轴，但在$x = \frac{\pi}{2} + k\pi$ 处，函数图像呈现对称性。
正切函数的奇偶性
$tan( - x) = - tan(x)$，因此正切函数为奇函数。
正切函数的应用
正切函数在解直角三角形、求三角形的面积、研究三角恒 等式等方面具有广泛应用。
对未来研究正切函数的展望
三角函数正切函数的性质与图像
xx年xx月xx日
contents
目录
• 正切函数概述 • 正切函数的性质 • 正切函数的图像绘制 • 三角函数的实际应用 • 总结与展望
01
正切函数概述
正切函数的定义
正切函数：tan(x) = sin(x) / cos(x) 值域：(-∞，∞)
定义域：{x | x ≠ π/2 + kπ，k ∈ Z} 周期：π
正切函数的图像与性质
所以，x的值范围是 k , k (k Z ) 4 4
课后练习、课本P56,练习A第2题，练习B第1题
题型三、求函数的周期
例3、求函数 y tan 3x 的周期 解：因为 tan(3x ) tan 3x ，即
tan 3( x
3
) tan 3x
x k x k , k Z 2 3
x k x k , k Z 2
例2、求函数 y tan( x ) 的定义域.
3
3
题型二、求函数定义域
提示：换元 解：设 t x ，则函数 y tan t 的
1 例5、求函数 y tan( x ) 的单调区间. 2 4 3 解： (2k , 2 k ), k Z
2 2
注：1.当 0 时，先用诱导公式把它化正数; 2.整体换元法. 课后练习：课本P57练习B第6题，跟踪2.
题型五、求函数的单调区间
题型六、利用单调性比较函数值
题型四、判断函数奇偶性
例4、下列函数是否具有奇偶性？为什么？ y tan x, x R, x k (k Z ) （1） 2 奇函数 （2）y tan x , x R, x k (k Z ) 2 偶函数 解析：注意定义域是否关于原点对称. 注：y lg(tan x 1 tan2 x ) 的奇偶性.
定义域 是 t t R, t k , k Z 2
因此，函数的定义域是
5 ,k Z x x R, x k 6
练习1、求函数y tan x 1 lg(1 tan x) 的 定义域. tan x 1 0 解：由题意知， 1 tan x 0 解得 1 tan x 1
课后练习、课本P56,练习A第2题，练习B第1题
题型三、求函数的周期
例3、求函数 y tan 3x 的周期 解：因为 tan(3x ) tan 3x ，即
tan 3( x
3
) tan 3x
x k x k , k Z 2 3
x k x k , k Z 2
例2、求函数 y tan( x ) 的定义域.
3
3
题型二、求函数定义域
提示：换元 解：设 t x ，则函数 y tan t 的
1 例5、求函数 y tan( x ) 的单调区间. 2 4 3 解： (2k , 2 k ), k Z
2 2
注：1.当 0 时，先用诱导公式把它化正数; 2.整体换元法. 课后练习：课本P57练习B第6题，跟踪2.
题型五、求函数的单调区间
题型六、利用单调性比较函数值
题型四、判断函数奇偶性
例4、下列函数是否具有奇偶性？为什么？ y tan x, x R, x k (k Z ) （1） 2 奇函数 （2）y tan x , x R, x k (k Z ) 2 偶函数 解析：注意定义域是否关于原点对称. 注：y lg(tan x 1 tan2 x ) 的奇偶性.
定义域 是 t t R, t k , k Z 2
因此，函数的定义域是
5 ,k Z x x R, x k 6
练习1、求函数y tan x 1 lg(1 tan x) 的 定义域. tan x 1 0 解：由题意知， 1 tan x 0 解得 1 tan x 1
高二数学正切函数的图像和性质
4
5
tan
4
tan
2
5
,即
tan
13
4
tan
17 5
练习 不查表比较大小：
(1) tan167 与tan173 (2) tan 470 与 tan 822
例题2
x
4
的性质；
练习 讨论函数 y tan 2x 的性质；
§1.4.3 正切函数的图象和性质 （一）
1、利用正切函数的定义，说出正切函数的定义域；
tan y x 0 的终边不在y轴上
x
k
k
z
2
2、利用周期函数的定义及诱导公式，推导正切函数 的最小正周期；
tan( x) tan x 是y tan x的周期；
1、画出正切函数在一个周期
2
，
2
内的图象
y
0
x
2
2
§1.4.3 正切函数的性质和图象
1.正切函数
的性质：
y y tan x
定义域：
值域：
周期性： 正切函数是周期函数，
周期是
2
奇偶性： 奇函数 tan(－x)=－tanx
2
o 2
x 2
单调性： 在 内是增函数
对称性： 对称中心是
对称轴呢？
；宜宾装修公司/ 宜宾装修公司
；
全家人都知道这个说法，在姐姐的心灵深处，樟木箱子早已深深地扎下了根。 光阴似箭，姐姐真的到了谈婚论嫁的时候了
三角函数正切函数的性质与图像
。这意味着正切值等于正弦值除以余弦值。
03
互补角关系
对于互补角x和y（x + y = 90度），有tan(x) = 1 / tan(y)的关系，即
一个角的正切值等于其互补角的余切值。
02
正切函数的图像与特性
பைடு நூலகம்
正切函数的图像
1 2
形状
正切函数的图像是一个无穷多的连续且无穷密集 的曲线组，每个周期内的图像形状相同。
正切函数的基本性质
定义域
正切函数在实数域上是无限 定义的，但在任何一个角度x （除了直角）上，都有一个 唯一的正切值。
值域
正切函数的值域是所有实数 ，这意味着它可以取到任何 实数值。
周期性
正切函数是周期性的，周期 为180度（或π弧度），即 tan(x) = tan(x + 180n)，其 中n是整数。
在工程问题中的应用
建筑设计
在建筑设计中，正切函数可以用来计算斜坡的倾斜角度。例如，设计师需要确定一个斜坡的倾斜角度 以确保排水效果良好，他们可以利用正切函数来计算这个角度。
土木工程
在土木工程中，正切函数可以用来描述土壤的抗剪强度。土壤的抗剪强度与土壤的内摩擦角和凝聚力 有关，这两个参数之间的关系可以用正切函数来表示。
渐近线
当角度接近于直角（90度）的奇数倍时，正切函 数的值趋向于无穷大，因此图像有垂直渐近线。
3
零点
正切函数在角度为0度、180度、360度等直角倍 数的位置上，函数值为0，图像与x轴交于这些点 。
正切函数的周期性
周期定义
正切函数是周期函数，意味着 在一定的角度区间内，函数的
取值会重复。
周期长度
正切函数的周期长度是180度，即 π弧度。
正切函数的图像和性质
4.10 正切函数的图像和性质
4.10 正切函数的图像和性质
回忆：怎样利用单位圆中的正弦线作出 y sin x图像的． 用正切线作正切函数图像: 正切函数 y tan x是否为周期函数？
sin x sin x f x tan x tan x f x cos x cos x
是它的一个周期． ∴ y tan x 是周期函数，
y tan x x 利用正切线画出函数 ， 正切函数的图像和性质
结合正切函数图像研究正切函数的性质：定义域、值域、周期性、 正切函数的性质： 奇偶性和单调性． ⑤单调性 : R 奇函数．正切曲线关于原点 ②值域： ⑥渐近线： O 对称． ④奇偶性： x x k ， k Z ①定义域： 2 tan x x k， k k (k Z ) 内都是增 k（x k Z x 小于 正切函数在每个开区间 当 ）且无限接近于 时， k 渐近线方程是： ， k Z 正切函数是周期函数，周期是 ． 2 Z )，都有 2 2 tan ( k x tan x ， k， k ∵任意 x 2 2 2 2 tan x 当 x 大于 k(k Z)且无限接近于 k 时， 函数． 2 2 ∴正切函数是奇函数．
且 0 ）相交的相邻两点间的距离是（ C ） 2 B A． D．与 a 值有关 C ． tan x 0是的 x 0 D ） （ 2） （． A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件 （3）根据三角函数的图像写出下列不等式成立的角 x 集合 3 tan x 1 ① ② 1 tan x 0 3 x k x k ， k Z x k x k ， k Z 6 4 4 2
4.10 正切函数的图像和性质
回忆：怎样利用单位圆中的正弦线作出 y sin x图像的． 用正切线作正切函数图像: 正切函数 y tan x是否为周期函数？
sin x sin x f x tan x tan x f x cos x cos x
是它的一个周期． ∴ y tan x 是周期函数，
y tan x x 利用正切线画出函数 ， 正切函数的图像和性质
结合正切函数图像研究正切函数的性质：定义域、值域、周期性、 正切函数的性质： 奇偶性和单调性． ⑤单调性 : R 奇函数．正切曲线关于原点 ②值域： ⑥渐近线： O 对称． ④奇偶性： x x k ， k Z ①定义域： 2 tan x x k， k k (k Z ) 内都是增 k（x k Z x 小于 正切函数在每个开区间 当 ）且无限接近于 时， k 渐近线方程是： ， k Z 正切函数是周期函数，周期是 ． 2 Z )，都有 2 2 tan ( k x tan x ， k， k ∵任意 x 2 2 2 2 tan x 当 x 大于 k(k Z)且无限接近于 k 时， 函数． 2 2 ∴正切函数是奇函数．
且 0 ）相交的相邻两点间的距离是（ C ） 2 B A． D．与 a 值有关 C ． tan x 0是的 x 0 D ） （ 2） （． A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件 （3）根据三角函数的图像写出下列不等式成立的角 x 集合 3 tan x 1 ① ② 1 tan x 0 3 x k x k ， k Z x k x k ， k Z 6 4 4 2
正切函数的性质与图象
f ( x ) tan( x ) tan( x ) tan[ ( x 2) ] f ( x 2) 2 3 2 3 2 3
因此函数的周期为2.带入正切的单调区间可解得函 数得单调区间
5 1 ( 2k , 2k ), k Z 3 3
(1)1 tan x 0;
y 3
(2) tan x 3 0;
4
3
y 1
小结
正切函数的周期性，奇偶
性，单调性，值域.
作业
课本45页练习
4、值域
正切函数的值域是实数 R. 集
举例
π π 例1 求函数y tan ( x )的定义域, 周 2 3 期和单调区间.
解:
x k 2 3 2
即
所以函数的定义域是 由于
1 { x | x 2k , k Z }. 3
1 x 2k , k Z 3
y A sin( x ), x R.( A 0, 0) y A cos(x ), x R.( A 0, 0)
y A tan( x ).( A 0, 0)
T
2
T
例2 求使下列不等式成立的 的集合: x
§ 1.4.3 正切函数的 性质与图象
引入
正切函数:
y tan x , x k , k Z 2
新课
正切函数图像:
FLASH
1、周期性
正切函数是周期函数, 周期是π.
2、奇偶性
正切函数是奇函数.
3、单调性
π π 在每一个开区间 , kπ ), k Z上都是增函数 (kπ . 2 2
课件5：7.3.4 正切函数的图像与性质
跟踪训练 1.求函数 y＝ tatnanx＋x－π61 的定义域.
tan x≥1， 解：根据题意，得tanx＋π6≠0，
x＋π6≠π2＋kπ（k∈Z），
π4＋kπ≤x<π2＋kπ，
解得x≠－π6＋kБайду номын сангаас，
(k∈Z)．
x≠π3＋kπ，
所以函数的定义域为π4＋kπ，π3＋kπ∪π3＋kπ，π2＋kπ(k∈Z)．
∴tan－π5<tan π7，即 tan－65π<tan－137π.
②因为 tan 2＝tan(2－π)，tan 3＝tan(3－π)， 又因为π2<2<π，所以－π2<2－π<0.因为π2<3<π， 所以－π2<3－π<0. 显然－π2<2－π<3－π<1<π2，又 y＝tan x 在－π2，π2内是增函数， 所以 tan(2－π)<tan(3－π)<tan 1，即 tan 2<tan 3<tan 1.
跟踪训练 2.(1)求函数 y＝tan12x－π4的单调区间； (2)比较 tan－134π与 tan－152π的大小．
解：(1)由 kπ－π2<12x－π4<kπ＋π2(k∈Z)得，2kπ－π2<x<2kπ＋32π， k∈Z， 所以函数 y＝tan12x－π4的单调递增区间是2kπ－π2，2kπ＋
θ）（－sin cos θsin θ
θ）cos
θ
＝tan θ.
题型探究 探究一 正切函数的定义域、值域问题
例 1.(1)函数 y＝ tan x＋1＋lg(1－tan x)的定义域是_______． (2)函数 y＝tan(sin x)的值域为________．
正切函数的图像与性质
正切函数的单调性
总结词
在开区间(-π/2 + kπ, π/2 + kπ)，k∈Z，正切函数是单调递增 的。
详细描述
在区间(-π/2 + kπ, π/2 + kπ)，k∈Z时，随着x的增加，tan(x) 的值也增加，因此正切函数在此区间内单调递增。在其他区间 上，正切函数可能表现出先减后增或先增后减的单调性变化。
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03பைடு நூலகம்
在地理学中，正切函数可以用 于描述地球上不同地区的气候 类型、地理特征等，例如分析 经纬度对气候的影响。
在数学建模中的应用
正切函数在数学建模中有着广泛的应用，它可以与其他数学函数结合使用， 建立各种复杂的数学模型。
在解决优化问题时，正切函数可以用于描述约束条件或目标函数的形状， 例如求解最小二乘法问题。
02
正切函数图像与x轴的交点是当 y=0时的点，即无数个点，分别位 于x=nπ (n为整数)的位置上。
03
正切函数的应用
在三角函数中的应用
三角函数是数学中的基本概念，正切函数作为三角函数的一种，在解决与角度和边长相关的问题中有 着广泛的应用。
在求解三角形问题时，正切函数常常与其他三角函数结合使用，例如求解直角三角形中的边长或角度。
正切函数的周期性
总结词
正切函数具有周期性，最小正周期为 π。
详细描述
正切函数的周期为π，即tan(x) = tan(x + π)。在每个周期内，正切函数呈现出 重复的变化规律。
正切函数的奇偶性
总结词
正切函数是奇函数，满足f(-x) = -f(x)。
详细描述
由于tan(-α) = -tan(α)，正切函数是奇函数，具有奇函数的性质。这意味着正切函数图像关于原点对称。
正切函数的图像和性质
4.10 正切函数的图象和性质
例1．求函数 解： z 令
y tan x 的定义域． 4
4
x
，那么函数 y tan z 的定义域是:
zz k， k Z 2 由 x z k ，可得 x k k 2 4 4 4 2
4.10 正切函数的图象和性质
小结：
（1）y tan x 的作图是利用平移正切线得到的，当我们获得
， 上图象后，再利用周期性把该段图象向左右延伸、平移。 2 2
（2） y tan x 性质: 定义域 值 周 奇 单调增区间 域 期 偶 性
对 称 中心
渐近线 方程
所以函数
k， k Z y tan x 的定义域是 x x 4 4
4.10 正切函数的图象和性质
例2．不通过求值，比较下列各组中两个正切函数值的大小：
13 11 tan tan （1） 167 与 tan 173 ；（2） 与 tan 5 4 11 3 解：（1）∵ 90 167 173 180 tan （2）∵ tan 4 4 13 ， 3 又 ∵ y tan x ，在 90 270 上是增函数 tan tan 5 5 tan 3 167 3 173 3 tan ∴ ，函数 y tan x ， x 又∵ 2 4 5 2
4.10 正切函数的图象和性质
4.10 正切函数的图象和性质
回忆：怎样利用单位圆中的正弦线作出 y 用正切线作正切函数图象: 正切函数 y tan x 是否为周期函数？
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第14讲 正切函数的性质与图像
第一部分 知识梳理
1. 正切函数的图像
2. 正切函数
的性质
3. 函数tan()y A x ωϕ=+的周期为T πω
=
第二部分 精讲点拨
考点1 正切函数的图像的应用
（1）
直线y a =（a 为常数）与正切曲线tan y x =相交的相邻两点间的距离是（ ） .A π .B 2
π
.C 2π D 与a 值有关
y
[].1EX 解不等式tan 1x ≥-
考点2 正切函数性质应用
（2）不通过求值，比较下列各组中两个正切函数值的大小 ①0
tan167与0
tan173； ② 11tan 4π⎛⎫- ⎪⎝⎭与13tan 5
π
⎛⎫
-
⎪⎝⎭
（3）求函数tan 2y x =的定义域、值域和周期，并且求出它在区间[],ππ-内的图像
考点3 利用整理的思想求函数的单调区间和定义域 【例2】 求函数tan()3
y x π
=+的定义域，并讨论它的单调性
[].1EX 求函数3tan(2)4
y x π
=-的单调区间
考点4 正切函数综合应用
【例3】试判断函数tan 1
()lg
tan 1
x f x x +=-的奇偶性
【例4】已知3
4
x π
π
-≤≤
,2
()tan 2tan 2f x x x =++,求()f x 的最大值与最小值，并且
求相应x 的值
第三部分 检测达标
一、选择题
1．函数)4
tan(π
-
=x y 的定义域是 （ ）
A.{x R x x 且,|∈}Z
k k ∈+
≠,4
2π
π B. {x R x x 且,|∈}Z k k ∈+≠,43ππ
C. {x R x x 且,|∈}Z
k k ∈≠,π D. {x R x x 且,|∈}Z k k ∈±≠,4
2ππ
2．若
,2
4
π
απ
<
<则（ ）
A ．αααtan cos sin >>
B ．αααsin tan cos >>
C ．αααcos tan sin >>
D ．αααcos sin tan >>
3．若函数y=2tan(2x+
4
π
)的图象的对称中心是（ ） A ．（8π，0） B ． （4π，0） C ．（48ππk +，0） D ．（4
8ππk +-，0）
4．若函数)3
tan(2)(π
+=kx x f 的最小正周期T 满足12T <<,则自然数k 的值为（ ）
A ．1，2
B ．2
C ．2，3
D ．3 5. 函数y =tan (2x +
6
π
)的周期是 ( ) A π B 2π C
2π D 4
π 6. 已知a =tan1,b =tan2,c =tan3,则a 、b 、c 的大小关系是 ( )
A ． a <b <c B. c <b <a C. b <c <a D.b <a <c
7. 下列函数中,同时满足(1)在(0,2
π
)上递增；(2)以2π为周期；(3)是奇函数的是 ( )
A y =|tanx |
B y =cos x
C y =tan 2
1
x D y =－tanx 8. 函数y =lgtan
2
x
的定义域是 ( ) A .{x |k π<x <k π+
4π,k ∈Z} B . {x |4k π<x <4k π+2
π
,k ∈Z} C.{x |2k π<x <2k π+π,k ∈Z} D. 第一、三象限
9.方程x -tan x =0的实根个数为
A .1
B .2
C .3
D .无穷多 10.已知函数y =tan ωx 在(-2π,2
π
)内是单调减函数,则ω的取值范围是 ( ) A .0<ω≤ 1 B . -1≤ω<0 C.ω≥1 D. ω≤ -1 11.函数tan cos y x x = 的部分图象是
12.若点(sin cos ,tan )P ααα-在第一象限,则在[0,2)π内α的取值范围是（ ）
A ．35(
,
)(,
)244ππ
ππ B ．5(,)(,)424ππππ
C ．353(,)(,)2442ππππ
D ．33(,)(,)244
ππππ
.A .B .C
.D
二.填空题 9 . 函数y =2tan(
3π-2
x
)的定义域是 ,周期是 ; 10 .函数y =tan 2x -2tan x +3的最小值是 ; 11 .函数y =tan(
2x +3
π
)的递增区间是 ; 12.下列关于函数y =tan2x 的叙述：①直线y =a (a ∈R)与曲线相邻两支交于A 、B 两点,则线
段AB 长为π；②直线x =k π+2π
,(k ∈Z)都是曲线的对称轴;③曲线的对称中心是(4k π,0),(k ∈Z),
正确的命题序号为 . 三. 解答题
13.不通过求值，比较下列各式的大小
（1）tan(-5π)与tan(-37π) (2)tan(78π)与tan (16π
)
14.求函数)3
2tan()(π
-=x x f 的定义域、周期、单调区间、对称中心．。