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正切函数的图像与性质
y=tanx
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π2
−π2
•正切函数的最小正周期是π
•正切函数的最小正周期是π，延伸成整个定义域上的的图像
•渐近线x =±π
2
y
x
π2
−π2
y
x
•单调递增区间：(−π2,π
2)•定义域：x ≠π
2
+k π,k ∈Z •值域：y ∈R
•为了方便起见，先研究一个周期内的函数图像和性质，然后扩展到整个定义域上
•[−π2,π
2] 范围内的图像如图：
•单调递减区间：无
•对称轴：无•中心对称点：x =0
π2
−π2
y
x
π2
−π2
y
x •单调递增区间：[−π
2+k π,π
2+k π],k ∈Z •中心对称点：(k π,0),k ∈Z
y =tanx 的图像与性质
•延伸成整个定义域上的的图像
•k π即周期的整数倍
π
3π2
B
•与点A 的函数值相同的点B ，它们的x 值相差π•两个相邻的中心对称点(0,0)，(π,0)相差πA
•定义域：x ≠π
2
+k π,k ∈Z
•值域：y ∈R
−3π2
π2
−π2
y
x •单调递增区间：[−π2+k π,π
2+k π],k ∈Z
•中心对称点：(k π,0),k ∈Z
总结
π
3π2
•定义域：x ≠
π
2
+k π,k ∈Z
•值域：y ∈R
−3π2。

沪教版(上海) 高一第二学期 新高考辅导与训练 第6章 三角函数 6.5 正切函数的图像与性质
一、解答题
1. 求函数的定义域、值域、最小正周期和单调区间．
2. 求下列函数的值域：
（1）；
（2）；
（3）．
3. 求下列函数的最小正周期：
（1）；
（2）．
二、填空题4. 求下列函数的单调区间：
（1）；
（2）
．5. 求下列函数的值域：
（1）；
（2）
．6.
已知函数是增函数，值域为，求a ，b 的值．
7. 函数的图象与
轴的两个相邻的交点坐标分别为，且函数图象过点，求函数解析式．
8. 函数的奇偶性是__________．
9. 函数的最小正周期为4，则____________．
10.
函数的定义域为_______________.
三、单选题
11. 函数的值域为_____________．
12. 直线y ＝a (a 为常数)与函数y ＝tan ωx (ω＞0)的图象相邻两支的交点的距离为________．
13. 在下列函数中，同时满足以下三个条件的是（ ）．
①在上单调递增，②以为周期；③是奇函数．
A ．
B ．
C ．
D ．
14.
函数 的大致图象是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．。

i ng si nt he i rb ei n ga re g三角函数的图像与性质一、 正弦函数、余弦函数的图像与性质二、正切函数的图象与性质函数y ＝sin x y ＝cos x图象定义域RR 值域[－1,1][－1,1]单调性递增区间：2,2()22k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦递减区间：32,2()22k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦递增区间：[2k π－π，2k π] (k ∈Z )递减区间：[2k π，2k π＋π] (k ∈Z )最　值x ＝2k π＋(k ∈Z )时，y max ＝1；π2x ＝2k π－(k ∈Z )时，y min ＝－1π2x ＝2k π(k ∈Z )时，y max ＝1；x ＝2k π＋π(k ∈Z ) 时，y min ＝－1奇偶性奇函数偶函数对称性对称中心：(k π，0)(k ∈Z )（含原点）对称轴：x ＝k π＋，k ∈Zπ2对称中心：(k π＋，0)(k ∈Z )π2对称轴：x ＝k π，k ∈Z （含y 轴）最小正周期2π2π定义域{|,}2x x k k Z ππ≠+∈值域R单调性递增区间(,)()22k k k Z ππππ-+∈奇偶性奇函数对称性对称中心：（含原点）(,0)()2k k Z π∈最小正周期π三、三角函数图像的平移变换和伸缩变换1. 由的图象得到()的图象x y sin =)sin(ϕω+=x A y 0,0A ω>>xy sin =方法一：先平移后伸缩方法二：先伸缩后平移操作向左平移φ个单位横坐标变为原来的倍1ω结果)sin(ϕ+=x y xy ωsin =操作横坐标变为原来的倍1ω向左平移个单位ϕω结果)sin(ϕω+=x y 操作纵坐标变为原来的A 倍结果)sin(ϕω+=x A y 注意：平移变换或伸缩变换都是针对自变量x 而言的，因此在用这样的变换法作图象时一定要注意平移与伸缩的先后顺序，否则会出现错误。

5.4.3 正切函数的性质与图象7题型分类一、正切函数的图象二、正切函数的性质1．定义域：⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+≠z k k x x ,2|ππ，2．值域：R3．周期性：正切函数是周期函数，最小正周期是π4．奇偶性：正切函数是奇函数，即()x x tan tan -=-．5．单调性：在开区间z k k k ∈⎪⎭⎫⎝⎛++-ππππ2,2内，函数单调递增三、正切函数型tan()(0,0)y A x A ωϕω=+≠>的性质1、定义域：将“x ωϕ+”视为一个“整体”．令,2x k k z πωϕπ+≠+∈解得x ．2、值域：(),-¥+¥3、单调区间：（1）把“x ωϕ+”视为一个“整体”；（2）0(0)A A ><时，函数单调性与tan (,)2y x x k k z ππ=≠+∈的相同（反）；（3）解不等式，得出x 范围．4、周期：T πω=（一）正切函数的定义域、值域问题(1)求正切函数定义域的方法①求与正切函数有关的函数的定义域时，除了求函数定义域的一般要求外，还要保证正切函数y ＝tan x 有意义，即x ≠π2＋k π，k ∈Z.②求正切型函数y ＝A tan (ωx ＋φ)(A ≠0，ω＞0)的定义域时，要将“ωx ＋φ”视为一个“整体”．令ωx ＋φ≠k π＋π2，k ∈Z ，解得x . (2)求正切函数值域的方法①对于y ＝Atan (ωx ＋φ)的值域，可以把ωx ＋φ看成整体，结合图象，利用单调性求值域．②对于与y ＝tan x 相关的二次函数，可以把tan x 看成整体，利用配方法求值域（二）正切函数的图象问题熟练掌握正切函数的图象和性质是解决与正切函数有关的综合问题的关键，需注意的是正切曲线是被相互平行的直线x ＝π2＋k π，k ∈Z 隔开的无穷多支形状相同的曲线组成的．　题型3：正切函数的图象及应用3-1．（2024高一上·宁夏银川·期末）函数()2tan f x x x =×（11x -<<）的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．3-2．（2024高二下·浙江丽水·期中）函数3()3tan f x x x =-在ππ,22⎛⎫- ⎪⎝⎭的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．3-3．（2024高一上·全国·课后作业）画出函数|tan |y x =的图象．(1)根据图象判断其定义域、值域、单调区间、奇偶性、周期性；(2)求不等式|tan |1x £的解集．3-4．（2024高一上·广东·期末）若函数tan()(0)y x ϕϕ=-³的图象与直线πx =没有交点，则ϕ的最小值为（ ）A ．0B ．π4C ．π2D ．π3-5．（2024高一·全国·课堂例题）观察正切函数曲线，写出满足下列条件的x 的集合．(1)满足tan 0x =的集合．(2)满足tan 0x <的集合．(3)满足tan 0x >的集合．（三）正切函数的单调性及其应用(1)运用正切函数单调性比较大小的方法①运用函数的周期性或诱导公式将角化到同一单调区间内．②运用单调性比较大小关系．(2)求函数y ＝tan(ωx ＋φ)的单调区间的方法y ＝tan(ωx ＋φ)(ω>0)的单调区间的求法是把ωx ＋φ看成一个整体，解－π2＋k π<ωx ＋φ<π2＋k π，k ∈Z 即可．当ω<0时，先用诱导公式把ω化为正值再求单调区间．题型4：正切函数的单调性及其应用4-1．（2024高一下·全国·单元测试）函数tan 36y x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭的单调区间是（ ）A ．πππ,π()33k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z B ．2,()99k k k ππ⎛⎫π-π+∈ ⎪⎝⎭Z C ．2,()3939k k k ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z D ．2,()3939k k k ππππ⎛⎫-+∈⎪⎝⎭Z 4-2．（2024高一·全国·课后作业）已知函数tan y x ω=在,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上是严格减函数，则实数ω的取值范围是 ．4-3．（2024高一·全国·课堂例题）函数πtan 34y x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭的单调递减区间为．4-4．（2024高三·全国·专题练习） π3tan 64x y ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的单调递减区间为 .4-5．（2024·湖南长沙·模拟预测）已知函数π()tan()(0)3f x A x ωω=+>，若f x （）在区间ππ2⎛⎫⎪⎝⎭，内单调递减，（四）正切函数的奇偶性与周期性与正切函数有关的函数的周期性、奇偶性问题的解决策略(1)一般地，函数y＝A tan(ωx＋φ)的最小正周期为T＝π|ω|，常常利用此公式来求周期．(2)判断函数的奇偶性要先求函数的定义域，判断其是否关于原点对称，若不对称，则该函数无奇偶性；若对称，再判断f(－x)与f(x)的关系．A ．cos y x=B ．sin y x =C ．sin2y x =D ．tan2y x=6-4．（2024高一上·全国·课后作业）已知()tansin 42xf x a b x =-+（其中a b 、为常数且0ab ≠），如果()35f =，则2010()3f π-的值为（ ）A ．3-B ．3C ．5-D ．56-5．（2024高三上·陕西·阶段练习）已知函数()5tan 3f x x x =+-，且()2f m -=-，则()f m =（ ）A ．4-B ．1-C ．1D ．46-6．（2024高一下·山东潍坊·期中）已知()2023sin 2024tan 1f x x x =+-，()()()()()21012f f f f f -+-+++=.（五）正切函数的对称性正切曲线的对称中心为(k π2，0)(k ∈Z)，解关于对称中心的题目时需要把整个三角函数看成一个整体，从整体性入手求出具体范围．题型7：正切函数的对称性7-1．（2024高一下·辽宁铁岭·阶段练习）函数1π()3tan 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象的对称中心为.7-2．（2024高一下·辽宁·阶段练习）已知函数()()()sin 0,0πf x x ωϕωϕ=+><<的最小正周期为2π3，其图像的一个对称中心的坐标为π,04⎛⎫⎪⎝⎭，则曲线()()tan g x x ωϕ=+的对称中心坐标为（ ）A ．ππ,0312k ⎛⎫- ⎪⎝⎭，k ∈ZB ．ππ,0612k ⎛⎫- ⎪⎝⎭，k ∈ZC ．ππ,0312k ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，k ∈ZD ．ππ,0612k ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，k ∈Z7-3．（2024·江苏扬州·模拟预测）以点π,0()2k k ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭Z 为对称中心的函数是（ ）．A ．sin y x =B ．cos y x =C ．tan y x=D ．|tan |y x =一、单选题1．（2024高一上·福建漳州·期末）函数ππ()tan 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的单调区间是（ ）A ．512,2(Z)33k k k ⎛⎫-++∈ ⎪⎝⎭B ．512,2(Z)33k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦C ．514,4(Z)33k k k ⎛⎫-++∈ ⎪⎝⎭D ．514,4(Z)33k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦2．（2024高一下·内蒙古包头·期末）函数πtan 23y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的定义域是（ ）A ．5ππ,Z 122k x x k ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭B ．5ππ,Z 12x x k k ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭C ．ππ,Z 32k x x k ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭D ．ππ,Z 3x x k k ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭3．（2024高三上·山西晋中·阶段练习）函数()πtan 2xf x =的最小正周期是（ ）A ．2πB ．4πC ．2D ．44．（2024高二下·湖南·学业考试）函数tan y x =在一个周期内的大致图象是（ ）A ．B ．C ．D ．5．（2024·河南·模拟预测）已知函数()f x 对任意x ∈R 都有()()2=-+f x f x ，且函数()1f x +的图象关于()1,0-对称，当[]1,1x ∈-时，()tan =f x x .则下列结论正确的是（ ）A ．函数()y f x =的图象关于点()(),0k k ∈Z 对称B ．函数()y f x =的图象关于直线()2x k k =∈Z 对称C ．函数()y f x =的最小正周期为2D ．当[]2,3x ∈时，()()tan 2f x x =-6．（2024高一下·北京·期中）函数()tan sin tan sin f x x x x x =--+-|在区间（π2，3π2）内的图象是（ ）A ．B ．C ．D ．7．（2024高一·全国·课后作业）下列各式中正确的是（ ）A ．tan1tan 2>-B ．tan 735tan 800°>°C ．5π4πtantan 77>D ．9ππtantan 87>8．（2024高一下·河南平顶山·阶段练习）函数()πtan 27f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭图象的对称中心可能是( )A ．π,07⎛⎫⎪⎝⎭B ．π,07⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．π,014⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．π,014⎛⎫- ⎪⎝⎭9．（2024高一下·上海·课后作业）已知函数tan y x ω=在,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭内是减函数，则ω的取值范围为（ ）A ．()2,0-B ．[)1,0-C ．(]0,1D ．[]1,210．（2024·河南郑州·模拟预测）已知函数()π2sin 2πZ 3=πtan πZ3x x k k f x x x k k ⎧≠+∈ïï⎨ï=+∈ï⎩，，，，，若方程()f x =在()0m ，上恰有5个不同实根，则m 的取值范围是（ ）A ．7463⎛⎤⎥⎝⎦ππ，B ．71936⎛⎤ ⎥⎝⎦ππ，C ．51336⎛⎤ ⎥⎝⎦ππ，D ．13763⎛⎤⎥⎝⎦ππ，11．（2024高三·全国·对口高考）已知定义在R 上的奇函数()f x 满足()()2f x f x +=，且当()0,1x ∈时，()t πan 2f x x=，则()f x 在[0,5]上的零点个数是（ ）A ．3B ．4C ．5D ．612．（2024高二下·湖南·阶段练习）若π0,3q ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则2tan q + ）A ．B 2+C 52D 13．（2024·宁夏银川·模拟预测）若π()tan3n f n =，（*n ∈N ），则(1)(2)(2023)f f f ++×××+=（ ）A ．BC ．0D ．-14．（2024高一下·河北衡水·阶段练习）函数()π26f x x m ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭在π,12n ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值为3，最小值为1-，则mn =（ ）A ．π6B ．π3C ．π6-D ．π3-15．（2024·湖北武汉·模拟预测）函数()()πtan 0,2f x x ωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的图像如图所示，图中阴影部分的面积为6π，则2023π3f ⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ）A ．B ．CD 二、多选题16．（2024高一上·吉林长春·阶段练习）已知函数()πtan 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则下列说法错误的是（ ）A ．()f x 的最小正周期为π2B ．()f x 的定义域为ππ,3x x k k ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭Z C ．ππ44f f ⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．()f x 在ππ,32⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减17．（2024高一下·辽宁大连·阶段练习）已知函数()tan 2f x x =，则下列说法正确的是（ ）A ．函数()f x 是奇函数B ．函数()f x 的最小正周期是πC ．函数()f x 在ππ(,)44-上单调递增D ．函数()f x 图象的对称中心是π(,0)(Z)4k k ∈18．（2024高三上·山东·开学考试）已知函数()πtan 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则下列说法正确的是（ ）A ．()f x 的最小正周期为π2B ．()f x 在ππ,63⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减C ．π3π510f f ⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．()f x 的定义域为ππ,Z 3x x k k ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭19．（2024高一下·四川成都·期中）已知函数()ππtan 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则下列描述中正确的是（ ）．A ．函数()f x 的图象关于点1,03⎛⎫- ⎪⎝⎭成中心对称B ．函数()f x 的最小正周期为2C ．函数()f x 的单调增区间为514,433k k ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭，k ∈ZD ．函数()f x 的图象没有对称轴20．（2024高三上·吉林长春·阶段练习）已知函数()πtan 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则（ ）A ．π2f ⎛⎫= ⎪⎝⎭B ．()f x 的最小正周期为πC ．把()f x 向左平移π6可以得到函数()tan 2g x x =D ．()f x 在π,06⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增21．（2024高一下·辽宁沈阳·期中）已知函数()πtan 4f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则下列叙述中，正确的是（ ）A ．函数()f x 的图象关于点0π4,⎛⎫⎪⎝⎭-对称B ．函数()f x 在ππ,44⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增C ．函数()f x 的图象关于直线π2x =对称D ．函数()y f x =是偶函数22．（2024高一下·安徽芜湖·期中）下列坐标所表示的点是函数πtan 26y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图像的对称中心的是（ ）A ．π,012⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．π,06⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．5π,012⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．π,03⎛⎫ ⎪⎝⎭23．（2024高一下·全国·单元测试）下列说法中正确的是（ ）A ．对于定义在实数R 上的函数()f x 中满足()()2f x f x +=，则函数()f x 是以2为周期的函数B ．函数()πtan 3f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的单调递增区间为5πππ,π66k k ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭，Zk ∈C ．函数()πsin 2f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭为奇函数D ．角a的终边上一点坐标为(-，则cos a =24．（2024高一下·广东佛山·阶段练习）已知函数()π7tan 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则（ ）A．π6f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭B ．π6f x ⎛⎫- ⎪⎝⎭为奇函数C ．()f x 图象的对称中心为()ππ,0Z 68k k ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭D ．()f x 的定义域为ππ,Z 122k xx k ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭∣三、填空题25．（2024高一下·辽宁锦州·期中）()tan sin 1f x x x =++，若()22f =，则()2f -= ．26．（2024高一下·广东阳江·期末）已知πtan 4a ⎛⎫+= ⎪⎝⎭a = ．27．（2024高一下·上海徐汇·期中）函数2()tan tan 2,,44f x x x x ππ⎡⎤=+-∈-⎢⎥⎣⎦的值域是28．（2024高二上·广西崇左·开学考试）若函数πtan 23y x k ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，π0,6x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭的图象都在x 轴上方，则实数k 的取值范围为 .29．（2024高一下·上海·课后作业）函数2tan 2tan ,,64⎡⎤=+∈-⎢⎥⎣⎦y x x x ππ的值域为．30．（2024高一·全国·课后作业）若函数()tan f x x =在区间ππ,32a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上是增函数，则实数a 的取值范围是 ．31．（2024高一·上海·专题练习）函数2tan 4tan 1y x x =+-的值域为32．（2024高一下·上海静安·期中）函数ππtan 63y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的定义域是．33．（2024高一下·湖北·期中）已知函数()πππ,222ππtan ,22a x x x f x x x ⎧+£-³ïï=⎨ï-<<ï⎩或，若函数()3π2y f f x ⎡⎤=-⎣⎦有5个零点，则实数a 的取值范围是 ．34．（2024高一下·全国·课后作业）已知函数tan y x ω=-在ππ,22⎛⎫- ⎪⎝⎭内是减函数，则ω的取值范围是 ．35．（2024高一上·江苏徐州·期末）已知函数()()tan 4f x nx n π⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭Z 在区间3,88ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上是减函数，则n 的取值集合为 .（用列举法表示）36．（2024·全国·模拟预测）若函数tan 4y x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在,33ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减，且在,33ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值为ω=.37．（2024高一下·上海浦东新·期中）若函数tan()y x ω=在,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上为严格减函数，则实数ω的取值范围是 ．四、解答题38．（2024高一·全国·课后作业）已知()tan 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.（1）求()f x 的最小正周期；（2）若()f x ϕ+是奇函数，则ϕ应满足什么条件？并求出满足||2ϕπ<的ϕ值.39．（2024高一下·辽宁抚顺·期中）已知函数()()π2tan 08f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的最小正周期为π2，(1)求()f x 图象的对称中心；(2)求不等式()2f x >-在5π3π,1616⎛⎫- ⎪⎝⎭上的解集．40．（2024高一·全国·课堂例题）画出函数1π2tan 24y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在[0,2π] x ∈上的简图．41．（2024高一下·江西抚州·阶段练习）设函数()()πtan 0,02f x x ωϕωϕ⎛⎫=+><< ⎪⎝⎭，已知函数()y f x =的图象与x 轴相邻两个交点的距离为π2，且图象关于点π,08M ⎛⎫- ⎪⎝⎭对称.(1)求()f x 的单调区间；(2)求不等式()1f x -££的解集.42．（2024高一·全国·课后作业）已知函数()y f x =，其中()()tan f x A x ωϕ=+，（0ω>，π2ϕ<），()y f x =的部分图像如下图．(1)求A ，ω，ϕ的值；(2)求()y f x =的单调增区间，43．（2024高一下·上海·课后作业）已知函数()()0xf x πωω=>．（1）当4ω=时，求()f x 的最小正周期及单调区间；（2）若()3f x …在,34x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦上恒成立，求ω的取值范围．44．（2024高一·全国·课后作业）已知函数π()tan 3f x x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，0ω>．(1)若2ω=，求()f x 的最小正周期与函数图像的对称中心；(2)若()f x 在[]0,π上是严格增函数，求ω的取值范围；(3)若方程()f x =在[],a b 上至少存在2022个根，且b －a 的最小值不小于2022，求ω的取值范围．45．（2024高一下·上海虹口·期末）已知函数()πtan 3f x x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，其中0ω>.(1)若2ω=，求函数()f x 的最小正周期以及函数图象的对称中心；(2)若()f x 在闭区间[]0,π上是严格增函数，求正实数ω的取值范围.。

正切函数的图像与性质之专题总结1．正切函数的性质2．正切函数的图像(1)正切函数的图像：(2)正切函数的图像叫做正切曲线．(3)正切函数的图像特征：正切曲线是被的直线x ＝π2＋k π，k ∈Z 所隔开的无穷多支曲线组成的注意：a.不能说正切函数在整个定义域内是增函数b.正切函数在每个单调区间内都是增函数题型一、作正切函数的图像例1.画出函数⎪⎭⎫ ⎝⎛+=3tan πx y 的图像并讨论其性质分析：可以利用平移法，将个单位像左平移3tan πx y =例2.画出函数[]ππ,,tan -∈=x x y 的图像，并讨论其性质题型二、正切函数的定义域问题例1求函数)4tan(x y -=π的定义域.分析：)4tan()4tan(ππ--=-x x 我们已经知道了ztan 的定义域，那么)4tan(π-x 的定义域相当于令4π-=x z ，把)4tan(x -π看做4tan π-=x z z 和复合而成，此时称）4tan(π-=x y 为复合函数，即定义域为2ππ+≠k z ，Z k ∈,也就是24-πππ+≠k x Zk k x ∈+≠，43ππ例2..函数2225)tan 1(log xx y -+=的定义域变式练习： 1.求函数的定义域:1cos 2)1lg(tan -+=x x y .2.函数y ＝11＋tan x 的定义域3.求函数)42tan(π-=x y 的定义域小结：正切函数定义域方法定义域限制条件：①分母不为0②偶次根式被开方数大于等于0③对数的真数大于0④特别地，2,tan ππ+≠=k x x y ⑤复合函数的定义域需要用到换元法，令2ππβ+≠+k nx 题型三、正切函数的值域例1.已知⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈46ππ，x ，求函数2tan tan 2++=x x y 的最值分析：令xt tan =例2.若⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈612ππ，x 时，求x y tan =的值域例3.求函数⎪⎭⎫ ⎝⎛<<+=40cot tan πx x x y 的值域变式练习：1.求函数3tan 2tan 2+-=x x y 值域2.求函数y ＝1tan 1tan +-x x 的值域3.当⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈34ππ，x 时，求函数1tan tan 2++=x x y 的值域4.求函数3tan(π-=x y 的值域5.求函数)32tan(2π+=x y 的定义域和值域6.函数y ＝3tan(π＋2x )，－π4<x ≤π6的值域小结:正切函数值域求法①二次型c x b x a y ++=tan tan 2，换元令x t tan =，运用二次函数图象性质(一看对称轴,二看区间端点)②对勾函数型xbx a y tan tan +=，形如ab b a 2≥+③()ϕ+=wx y tan 型，先求ϕ+wx 的取值范围，再由x y tan =单调性求值域题型四、利用正切函数解不等式例1.解不等式3tan ≥x .分析：根据正切函数图像，在一个周期内只需23ππ≤≤x ，所以23ππππ+≤≤+k x k例2.解不等式1tan -≤x 变式练习：1.不等式tanx＞-1的解集是？2解不等式tan(2x-3π)≤1小结：解正切不等式方法①图像法，即先画出函数图像，找出符合条件的边界角，再写出符合条件的角的集合②三角函数线法，则是先在单位圆中作出角的边界值时的正切线，得到边界角的终边，在单位圆中画出符合条件的区域.要特别注意函数的定义域题型五、判断正切函数的奇偶性例1.判断函数1tan ()lg1tan xf x x+=-+的奇偶性例2..判断函数()tan f x x =的奇偶性变式练习： 1.求函数y =tan4x 的定义域、值域，并判断其奇偶性。