正切函数的主要性质

函数正弦函数y=sinx 余弦函数y=cosx 正切函数y=tanx图像定义域R R{x∣x≠Kπ+π/2,K∈Z}值域[-1，1][-1，1]R周期性最小正周期都是2π最小正周期都是2π最小正周期都是π奇偶性奇函数偶函数奇函数对称性对称中心是(Kπ,0),K∈Z；对称轴是直线x=Kπ+π/2,K∈Z对称中心是(Kπ+π/2,0),K∈Z；对称轴是直线x=Kπ,K∈Z对称中心是(Kπ/2,0),K∈Z单调性在[2Kπ-π/2,2Kπ+π/2],K∈Z上单调递增；在[2Kπ+π/2,2Kπ+3π/2],K∈Z上单调递减在[2Kπ,2Kπ+π],K∈Z上单调递减；在[2Kπ+π,2Kπ+2π],K∈Z上单调递增在[Kπ-π/2,Kπ+π/2],K∈Z上单调递增最值当X=2Kπ(K∈Z)时，Y取最大值1；当X=2Kπ+3π/2(K∈Z时，Y取最小值－1当X=2Kπ+π/2(K∈Z)时，Y取最大值1；当X=2Kπ+π(K∈Z时，Y取最小值－1无最大值和最小值正弦、余弦、正切函数图象及其性质注意1、正弦函数y=sinx在[2kπ-π/2, 2kπ+π/2]（k∈Z）上是增函数，但不能说它在第一或第四象限是增函数；对于正切函数，它在定义域的每一个单调区间内都是增函数，但不能说它在定义域上是增函数。

2、对于复合函数y=Asin(ωx+φ)、y=Acos(ωx+φ)、y=Atan(ωx+φ)均可以将ωx+φ视为一个整体，用整体的数学方法转化为熟悉的形式解决。

当ω＜0时，要特别注意。

如：y=sin(-2x+π/4)可以化为y=-sin(2x-π/4)或y=cos(2x+π/4)再求解。

3、函数y=Asin(ωx+φ)、y=Acos(ωx+φ)的最小正周期为2π/∣ω∣，y=Atan(ωx+φ) 的最小正周期为π/∣ω∣。

学科：数学教学内容：正切函数的图像和性质【基础知识精讲】1.正切函数的图像(1)根据tan(x+π)= ==tanx(其中x≠kπ+,k∈Z)推出正切函数的周期为π.(2)根据tanx=,要使tanx有意义，必须cosx≠0,从而正切函数的定义域为{x｜x≠kπ+,k∈Z}(3)根据正切函数的定义域和周期，我们取x∈(-,).利用单位圆中的正切线，通过平移，作出y=tanx,x∈(-,)的图像，而后向左、向右扩展，得y=tanx,x≠kπ+ (k ∈Z)的图像，我们称之为正切曲线，如图所示.y=tanx2.余切函数的图像如下：y=cotx3.正切函数、余切函数的性质：{x｜x∈R且x≠kπ+,k∈Z}{xR R每个区间(kπ-,kπ+) 上递增(k∈Z) 每个区间递减注：正切函数在每一个开区间(kπ-,kπ+)(k∈Z)内是增函数，但不能说成在整个定义域内是增函数，类似地，余切函数也是如此.【重点难点解析】本节重点是正切函数图像的画法及性质的运用.正切函数的图像一般用单位圆中的正切线作.因y=tanx定义域是{x｜x∈R,x≠kπ+,k∈Z}，所以它的图像被平行线x=kπ+ (k ∈Z)隔开而在相邻两平行线之间的图像是连续变化的.1.正切函数应注意以下几点：(1)正切函数y=tanx的定义域是{x｜x≠kπ+,k∈Z},而不是R，这点要特别注意：(2)正切函数的图像是间断的，不是连续的，但在区间(kπ-,kπ+)（k∈Z）上是连续的；(3)在每一个区间(kπ-,kπ+)（k∈Z）上都是增函数，但不能说正切函数是增函数.2.解正切不等式一般有以下两种方法：图像法和三角函数线法.图像法即先画出正切函数的图像，找到符合条件的边界角，再写出所有符合条件的角的集合.三角函数线法则先在单位圆中作出角的边界值时的正切线，得到边界角的终边，在单位圆中划出符合条件的区域(这里特别要注意函数的定义域)，再用不等式正确表示区域.例1作出函数y=｜tanx｜的图像，并根据图像求其单调区间.分析：要作出函数y=｜tanx｜的图像，可先作出y=tanx的图像，然后将它在x轴上方的图像保留，而将其在x轴下方的图像向上翻(即作出关于x轴对称图像)，就可得到y=｜tanx｜的图像.所以其图像如图所示，单调增区间为［kπ,kπ+(k∈Z);单调减区间为kπ-,kπ］(k∈Z).说明：根据图像我们还可以发现：函数y=｜tanx｜的最小正周期为π.一般地，y=A｜tan(ωx+φ)｜的最小正周期与y=Atan(ωx+φ)的最小正周期相同，均为.例2求函数y=lg(tanx-)+的定义域.解：欲使函数有意义，必须由此不等式组作图∴函数的定义域为(kπ+,kπ+).评析：解正切不等式一般有两种方法：图像法和三角函数线法.图像法即先画出函数图像，找出符合条件的边界角，再写出符合条件的角的集合.三角函数线法则是先在单位圆中作出角的边界值时的正切线，得到边界角的终边，在单位圆中画出符合条件的区域.要特别注意函数的定义域.例3求函数y=tan(2x-)的单调区间.解：y=tanx,x∈(-+kπ, +kπ)(k∈Z)是增函数.∴-+kπ＜2x-＜+kπ,(k∈Z).即-+＜x＜+，(k∈Z)函数y=tan(2x-)的单调递增区间是(-+,+ ).(k∈Z)例4求函数f(x)=tan(2x+)的周期.解：因为tan(2x+ +π)=tan(2x+)即tan［2(x+)+］=tan(2x+)∴tan(2x+)的周期是.例5求函数y=3tan(2x+)的对称中心的坐标.分析：y=tanx是奇函数，它的对称中心有无穷多个，即(,0)(k∈Z).函数y=Atan(ωx+φ)的图像可由y=tanx经过变换图像而得到，它也有无穷多个对称中心，这些对称中心恰好为图像与x轴交点.解：由2x+= ,(k∈Z)得x=- (k∈Z)∴对称中心坐标为(-,0)(k∈Z)注意：函数y=Atan(ωx+φ)(A＞0,ω＞0)的图像及性质可与函数y=Asin(ωx+φ)(A＞0,ω＞0)的图像及性质加以比较研究.【难题巧解点拔】例判断函数f(x)=tan(x-)+tan(x+)的奇偶性，并求此函数的周期及单调区间.分析：奇偶性的判断必须考虑①定义域是否关于原点对称.②是否对任意x有f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x)成立；关于周期和单调性必须将函数化为一个三角函数的形式方可求.解：此函数的定义域为{x｜x∈R且x≠kπ+,k∈Z}它是关于原点对称.又f(-x) =tan(-x+)+tan(-x-)=-tan(x-)-tan(x+)=-f(x)故此函数是奇函数.y=tan(x-)+tan(x+)=tan［(x-)+(x+)］［(1-tan(x-)tan(x+)∵sin(-a)=cosacos(-a)=sina∴tan(-a)=cotacot(-a)=tana故tan［-(x+)］=cot(x+)即-tan(x-)=cot(x+)∴y=tan2x［1+cot(x+)tan(x+)］=2tan2x故此函数周期为当kπ-＜2x＜kπ+-＜x＜+ (k∈Z)即x∈(-,+ )时，原函数是增函数.评析：此题的难点在于通过三角恒等化简，将函数化为一个三角函数.同时要求同学们必须熟悉正切函数的性质.y=Atan(ωx+φ)(A≠0)的周期为T=.例2已知≤1,求函数y=cot2x-2cotx+5的值域.分析：从已知条件的不等式中解出cotx的范围，然后在此条件下求被求函数的值域.解：由已知条件，可得0≤lg［-9cos(x+)］≤1.得-≤cos(x+)≤∴kπ+≤x+≤kπ+,（k∈Z）.∴kπ+≤x≤kπ+,（k∈Z）.∴0≤cotx≤ y=cot2x-2cotx+5=(cotx-1)2+4∴当x=kπ+,（k∈Z）时，y取最小值4.当x=kπ+,（k∈Z）时，y取最大值5.从而函数y=cot2x-2cotx+5的值域是［4,5］.【课本难题解答】课本第72页第5题：(1){x｜-+kπ≤x＜ +kπ,k∈Z}(2){x｜+kπ≤x＜+kπ,k∈Z}第6题：(1)D (2)C (3)C (4)B【命题趋势分析】从历届高考试题可以看到，本节内容主要考查函数的定义域，周期性，图像及单调性等知识，一般以选择题，填空题题型出现，属基本题.【典型热点考题】例1满足tanα≥cotα的角的一个取值区间是( )A.(0，)B.［0，］C.［，］D.(，)分析：本考查正切函数单调性，应化同名函数，再化角为同一单调区间内.解：由选择项，可以考虑α∈(0，)的情况.∵tanα≥tan(-α),且α, -α∈(0, )∴α≥-α,∴≤α＜.故选C.例2函数y=的最小正周期是( )A. B. C.π D.2π解法1：将四个选项分别代入函数式验算，可知B正确.∴应选B.解法2：y==cos4x∴T==∴应选B.例3函数y=+的定义域是 .由①②得0＜x≤4 ⑤∴0＜x＜或π≤x≤4.∴应填(0，)∪[π，4]例4如果α、β∈(,π),且tanα＜cotβ,那么必有( )A.α＜βB.β＜αC.α+β＜D.α+β＞解：∵tanα＜cotβ＜0，∴tanαtanβ＞1.有tan(α+β)=＞0有α+β∈(π，)∴α+β＜.∴应选C.说明：本题也可采取化为同名函数的方法，或都取特殊值比如取α=β=,可排除A、B、D.。

正切函数的性质及其应用正切函数是三角函数中的一种，表示一个角的正切值。

在数学和物理学中，正切函数具有一些重要的性质，并且在各种应用中扮演着关键角色。

本文将探讨正切函数的性质以及一些常见的应用。

一、正切函数的定义和图像特点正切函数的定义公式为：tan(x) = sin(x) / cos(x)，其中x为角度或弧度。

根据定义，我们可以得出正切函数的几个图像特点。

1. 定义域和值域：正切函数的定义域是所有实数除去所有使得cos(x) = 0的点，通常写作D: x ≠ (2n + 1) * π / 2，其中n为整数。

值域是整个实数集，记作R。

2. 周期性：正切函数的图像在一个周期内呈周期性变化。

周期为π，即tan(x) = tan(x + kπ)，其中k为整数。

3. 奇函数性质：正切函数具有奇函数性质，即满足tan(-x) = -tan(x)，这是由于sin(-x) = -sin(x)，cos(-x) = cos(x)。

4. 渐近线：正切函数在x = (n + 1/2) * π，其中n为整数时，有垂直渐近线。

在x = n * π，其中n为整数时，有水平渐近线。

基于这些性质，我们可以画出正切函数的图像。

图像在每个周期内呈现周期性的上升与下降，同时存在垂直和水平渐近线。

二、正切函数的应用正切函数在各个领域有着广泛的应用。

以下是一些常见的应用示例：1. 三角测量：正切函数在三角测量中扮演着重要的角色。

例如，在测量一个目标物体的高度时，可以利用正切函数来计算角度并得到正确的高度值。

2. 电工学：在电路分析中，正切函数可以用来计算交流电路中电压和电流的相位差。

相位差是指两个波形之间的时间延迟，正切函数可以帮助我们解决相关的计算问题。

3. 工程学：在工程学中，正切函数经常用于解决角度和距离的计算问题。

例如，在建筑工程中，可以利用正切函数来计算楼梯的坡度和斜面的角度。

4. 自然科学：正切函数在自然科学中也有着广泛的应用。

正切函数的特征和实际意义正切函数是数学中的一种基本三角函数，其特征和实际意义在数学和物理问题中都有重要的应用。

本文将探讨正切函数的特征以及其在实际中的意义。

一、正切函数的特征正切函数的特征主要表现在以下几个方面：1. 定义域和值域：正切函数的定义域为所有实数除以π的倍数（nπ，其中n为整数），值域为整个实数集。

也就是说，正切函数可以取任意实数值。

2. 周期性：正切函数以π为一个周期，即tan(x + π) = tan(x)。

在一个周期内，正切函数的值在正无穷和负无穷之间变化。

3. 对称性：正切函数关于原点对称，即tan(-x) = -tan(x)。

这意味着正切函数的图像关于原点对称。

4. 奇函数性质：正切函数是一个奇函数，即tan(-x) = -tan(x)。

这意味着正切函数的图像关于原点对称且关于y轴对称。

二、正切函数的实际意义正切函数在实际中有广泛的应用，主要包括以下几个方面：1. 几何应用：正切函数可以用于解决几何问题，特别是在三角形和圆形问题中。

例如，通过正切函数可以计算三角形的边长和角度等相关信息。

2. 物理应用：正切函数在物理学中有广泛应用。

例如，在力学中，正切函数可以解决斜面上物体的运动问题，帮助计算物体的位移、速度和加速度等相关参数。

此外，在波动学和电路中，正切函数也有重要的应用。

3. 信号处理：正切函数在信号处理中有重要的应用，特别是在调制和解调过程中。

通过正切函数，可以将模拟信号转换为数字信号，或者将数字信号转换为模拟信号。

4. 经济学和金融学：在经济学和金融学中，正切函数可以用于解决复杂的经济和金融问题。

例如，在计算投资回报率和利息问题时，正切函数可以提供准确的结果。

5. 工程应用：工程学中的许多问题可以使用正切函数来解决。

例如，在建筑和土木工程中，正切函数可以用于计算斜坡的倾斜度和坡度，以及求解其他相关问题。

总结：正切函数作为数学中的基本三角函数，在解决几何、物理、信号处理、经济学和工程等实际问题中发挥着重要的作用。

正切函数的性质与图象知识点一正切函数的图象1．正切函数的图象：2．正切函数的图象叫做正切曲线．3．正切函数的图象特征：正切曲线是被相互平行的直线x ＝π2＋k π，k ∈Z 所隔开的无穷多支曲线组成的．思考我们能用“五点法”简便地画出正弦、余弦函数的简图，你能类似地画出函数y ＝tanx ，x ∈[－π2，π2]的简图吗？怎样画．知识点二正切函数图象的性质1．函数y ＝tan x (x ∈R 且x ≠k π＋π2，k ∈Z )的图象与性质见下表：2.函数y ＝tan ωx (ω≠0)的最小正周期是π|ω|.思考正切函数图象是否具有对称性？如果具有对称性，请指出其对称特征．题型一正切函数的定义域例1(1)函数y ＝tan(sin x )的定义域为，值域为．(2)求函数y ＝tan(2x －π4)的定义域．跟踪训练1求函数y ＝tan x ＋1＋lg(1－tan x )的定义域．题型二求正切函数的单调区间例2求函数y ＝tan －12x跟踪训练2求函数y ＝tan x 题型三正切函数图象性质的应用例3(1)函数y ＝tan(2x ＋π6)的最小正周期是()A ．πB ．2π C.π2D.π6(2)画出函数y ＝|tan x |的图象，并根据图象判断其单调区间、奇偶性、周期性．跟踪训练3(1)下列函数中，既是以π为周期的奇函数，又是(0，π2)上的增函数的是()A ．y ＝tan x B ．y ＝cos xC ．y ＝tan x 2D ．y ＝|sin x |例4当x ∈(－32π，32π)时，确定方程tan x －sin x ＝0的根的个数．1．下列说法正确的是()A ．正切函数在整个定义域内是增函数B ．正切函数在整个定义域内是减函数C ．函数y ＝3tan x 2的图象关于y 轴对称D ．若x 是第一象限角，则y ＝tan x 是增函数2．函数f (x )＝tan(x ＋π4)的单调递增区间为()A ．(k π－π2，k π＋π2)，k ∈ZB ．(k π，(k ＋1)π)，k ∈ZC ．(k π－3π4，k π＋π4)，k ∈ZD ．(k π－π4，k π＋3π4)，k ∈Z32π为周期；③是奇函数的是()A ．y ＝tan xB ．y ＝cos xC ．y ＝tan x 2D ．y ＝－tan x4．方程x ＝3在区间[0,2π)上的解的个数是()A ．5B ．4C ．3D ．25．函数y ＝3tan 的对称中心的坐标是．一、选择题1．函数y ＝x ∈R 且x ≠310π＋k π，k ∈Z 的一个对称中心是()A ．(0,0)，D ．(π，0)2．函数f (x )＝lg(tan x ＋1＋tan 2x )为()A ．奇函数B ．既是奇函数又是偶函数C ．偶函数D ．既不是奇函数又不是偶函数3．函数y ＝tan ()4．函数f (x )＝tan ωx (ω>0)的图象的相邻两支曲线截直线y ＝π4所得线段长为π4，则f 是()A ．0B ．1C ．－1 D.π45．函数y ＝lg(1＋tan x )的定义域是()A ．(k π－π2，k π＋π2)(k ∈Z )B ．(k π－π2，k π＋π4)(k ∈Z )C ．(k π－π4，k π＋π2)(k ∈Z )D ．(k π－π4，k π＋π4)(k ∈Z )6．函数y ＝tan x ＋sin x －|tan x －sin x |()二、填空题7．使函数y ＝2tan x 与y ＝cos x 同时为单调递增的区间是．8．函数y ＝3tan(ωx ＋π6)的最小正周期是π2，则ω＝.9．求函数y ＝－tan 2x ＋4tan x ＋1，x ∈－π4，π4的值域为．10．已知函数y ＝tan ωx 在(－π2，π2)是减函数，则ω的取值范围是．三、解答题11．判断函数f(x)＝lg tan x＋1tan x－1的奇偶性．12．求函数y＝tan(x2－π3)的定义域、周期、单调区间和对称中心．13．(1)求函数y＝3tan(π4－2x)的单调区间；(2)比较tan1，tan2，tan3的大小．。

正切函数的性质及图像正切函数的性质及图像
一、正切函数的性质：
1、定义域：{x|x≠(π/2)+kπ,k∈Z}。

2、值域：实数集R。

3、奇偶性：奇函数。

二、正切函数的图像：
正切定理：
在平面三角形中，正切定理说明任意两条边的和除以第一条边减第二条边的差所得的商等于这两条边的对角的和的一半的正切除以第一条边对角减第二条边对角的差的一半的正切所得的商。

正切定理：(a + b) / (a - b) = tan((α+β)/2) / tan((α-β)/2)
证明——由下式开始：
由正弦定理得出
正切函数是直角三角形中，对边与邻边的比值。

放在直角坐标系中（如图《定义图》所示）即tanθ=y/x。

也有表示为tgθ=y/x，但一般常用tanθ=y/x。

曾简写为tg，现已停用，仅在20世纪90年代以前出版的书籍中使用。

高中三角函数公式高中三角函数公式三角函数是数学中非常重要的一类函数，它们常常被应用于各类科学计算和工程技术中。

高中数学中的三角函数主要包括正弦函数、余弦函数和正切函数。

下面我们将介绍这些函数的基本定义、性质和主要公式。

1. 正弦函数正弦函数是一种以周期为2π 的正弦曲线为图像的函数。

它的定义如下：y = sin x其中，x 为自变量，y 为因变量。

正弦函数的定义域为实数集 R，值域为 [-1,1]。

正弦函数的主要性质如下：（1）奇偶性：sin(-x) = -sinx，sin(x+π) = -sinx，sin(x+2π) = sinx。

所以，正弦函数是奇函数。

（2）周期性：sin(x+mπ) = sinx，其中 m 是整数。

所以，正弦函数是周期函数。

（3）对称性：sin(π/2-x) = cosx，sin(π/2+x) = cosx。

（4）求导公式：sin'x = cosx。

（5）积分公式：∫sinxdx = -cosx + C2. 余弦函数余弦函数是一种以周期为2π 的余弦曲线为图像的函数。

它的定义如下：y = cos x余弦函数的定义域为实数集 R，值域为 [-1,1]。

余弦函数的主要性质如下：（1）奇偶性：cos(-x) = cosx，cos(x+π) = -cosx，cos(x+2π) = cosx。

所以，余弦函数是偶函数。

（2）周期性：cos(x+mπ) = cosx，其中 m 是整数。

所以，余弦函数是周期函数。

（3）对称性：cos(π/2-x) = sinx，cos(π/2+x) = -sinx。

（4）求导公式：cos'x = -sinx。

（5）积分公式：∫cosxdx = sinx + C3. 正切函数正切函数是一种以周期为π 的正切曲线为图像的函数。

它的定义如下：y = tan x正切函数的定义域为一切使得 tanx 有意义的实数，即x ≠ (k+1/2)π，其中 k 是整数。

正切函数的定义和性质正切函数是我们在学习三角函数的时候比较重要的一种函数。

正切函数的定义为$f(x)=\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}$。

在此，我们来探讨一下正切函数的一些重要性质。

一、定义域和值域正切函数的定义域为$\{x\in R|x\neq k\pi+\frac{\pi}{2}(k\in Z)\}$，即$x$不等于$\frac{\pi}{2},\frac{3\pi}{2},\frac{5\pi}{2}$等数。

因为在这些点上，$\cos x$为$0$，而$\tan x$无意义。

正切函数的值域为$R$。

因为当$x$接近$\frac{\pi}{2}$或$-\frac{\pi}{2}$时，$\tan x$的值会趋近于$+\infty$或$-\infty$，而在其他的点上，$\tan x$可以取到任意实数。

二、奇偶性正切函数是一个奇函数，即满足$f(-x)=-f(x)$。

我们可以通过$f(x)=\frac{\sin x}{\cos x}$来证明这个性质。

当$x$变为$-x$时，$\sin x$和$\cos x$的符号都会改变，因此$\frac{\sin (-x)}{\cos (-x)}=-\frac{\sin x}{\cos x}$，即$f(-x)=-f(x)$。

三、周期性正切函数具有周期性，即$f(x+\pi)=f(x)$。

我们同样可以通过$f(x)=\frac{\sin x}{\cos x}$来证明这个性质。

当$x$增加$\pi$时，$\sin x$和$\cos x$的符号都会变化，因此$\frac{\sin(x+\pi)}{\cos(x+\pi)}=-\frac{\sin x}{\cos x}$。

但是由于$\frac{\sin x}{\cos x}=\tan x$，$\frac{\sin(x+\pi)}{\cos(x+\pi)}=\tan (x+\pi)$，因此$f(x+\pi)=f(x)$。

1．4.3正切函数的性质与图象学习目标1.会求正切函数y＝tan(ωx＋φ)的周期.2.掌握正切函数y＝tan x的奇偶性，并会判断简单三角函数的奇偶性.3.掌握正切函数的单调性，并掌握其图象的画法．知识点一、正切函数的性质 思考1：正切函数的定义域是什么？思考2：诱导公式tan(π＋x )＝tan x ，x ∈R 且x ≠π2＋k π，k ∈Z 说明了正切函数的什么性质？思考3：诱导公式tan(－x )＝－tan x ，x ∈R 且x ≠π2＋k π，k ∈Z 说明了正切函数的什么性质？思考4：从正切线上看，在⎝⎛⎭⎫0，π2上正切函数值是增大的吗？梳理:函数y ＝tan x ⎝⎛⎭⎫x ∈R 且x ≠k π＋π2，k ∈Z 的图象与性质见下表：思考1：利用正切线作正切函数图象的步骤是什么？(1)作平面直角坐标系，并在平面直角坐标系y轴的左侧作单位圆．(2)把单位圆的右半圆分成8等份，分别在单位圆中作出正切线．(3)描点(横坐标是一个周期的8等分点，纵坐标是相应的正切线的长度)．(4)连线，得到如图①所示的图象．(5)根据正切函数的周期性，把上述图象向左、右扩展，就可以得到正切函数y ＝tan x ，x ∈R 且x ≠π2＋k π(k ∈Z )的图象，把它称为正切曲线(如图②所示)．可以看出，正切曲线是被相互平行的直线x ＝π2＋k π，k ∈Z 所隔开的无穷多支曲线组成的．思考2：我们能用“五点法”简便地画出正弦函数、余弦函数的简图，你能类似地画出正切函数y ＝tan x ，x ∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2的简图吗？怎样画？梳理：(1)正切函数的图象(2)正切函数的图象特征正切曲线是被相互平行的直线x ＝π2＋k π，k ∈Z 所隔开的无穷多支曲线组成的．类型一、正切函数的定义域、值域问题例1(1)函数y ＝3tan ⎝⎛⎭⎫π6－x 4的定义域为________．(2)求函数y ＝tan 2⎝⎛⎭⎫3x ＋π3＋tan ⎝⎛⎭⎫3x ＋π3＋1的定义域和值域．跟踪训练1求函数y ＝tan x ＋1＋lg(1－tan x )的定义域． ．类型二、正切函数的单调性问题 命题角度1求正切函数的单调区间例2求函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫－12x ＋π4的单调区间及最小正周期．跟踪训练2求函数y ＝3tan ⎝⎛⎭⎫π4－2x 的单调区间．命题角度2利用正切函数的单调性比较大小 例3比较大小：(1)tan 32°________tan 215°； (2)tan 18π5________tan ⎝⎛⎭⎫－28π9.跟踪训练3比较大小：tan ⎝⎛⎭⎫－7π4_______tan ⎝⎛⎭⎫－9π5. 类型三、正切函数综合问题 例4设函数f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎫x 2－π3.(1)求函数f (x )的最小正周期，对称中心； (2)作出函数f (x )在一个周期内的简图．跟踪训练4画出f (x )＝tan |x |的图象，并根据其图象判断其单调区间、周期性、奇偶性．1．函数f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎫x ＋π4的单调递增区间为( ) A.⎝⎛⎭⎫k π－π2，k π＋π2，k ∈ZB ．(k π，(k ＋1)π)，k ∈Z C.⎝⎛⎭⎫k π－3π4，k π＋π4，k ∈Z D.⎝⎛⎭⎫k π－π4，k π＋3π4，k ∈Z 考点 正切函数的单调性 题点 判断正切函数的单调性 答案 C2．函数y ＝tan x ＋1tan x 是( )A ．奇函数B ．偶函数C ．既是奇函数又是偶函数D ．既不是奇函数又不是偶函数 考点 正切函数的周期性、对称性 题点 正切函数的奇偶性 答案 A解析 函数的定义域是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠12k π，k ∈Z ，且tan(－x )＋1tan (－x )＝－tan x －1tan x ＝－⎝⎛⎭⎫tan x ＋1tan x ，所以函数y ＝tan x ＋1tan x是奇函数．3．将tan 1，tan 2，tan 3按大小排列为________．(用“<”连接) 考点 正切函数的单调性 题点 正切函数单调性的应用 答案 tan 2<tan 3<tan 1解析 tan 2＝tan(2－π)，tan 3＝tan(3－π)， ∵－π2<2－π<3－π<1<π2，且y ＝tan x 在⎝⎛⎭⎫－π2，π2上单调递增， ∴tan(2－π)<tan(3－π)<tan 1， 即tan 2<tan 3<tan 1.4．(2017·西安高一检测)函数y ＝4tan ⎝⎛⎭⎫3x ＋π6的最小正周期为________． 考点 正切函数的周期性、对称性 题点 正切函数的周期性答案 π3解析 T ＝π|ω|＝π3.5．函数y ＝tan x ⎝⎛⎭⎫π4≤x ≤3π4，且x ≠π2的值域是________________． 考点 正切函数的定义域、值域 题点 正切函数的值域 答案 (－∞，－1]∪[1，＋∞)解析 函数y ＝tan x 在⎣⎡⎭⎫π4，π2上单调递增，在⎝⎛⎦⎤π2，3π4上也单调递增，所以函数的值域是(－∞，－1]∪[1，＋∞)．1．正切函数的图象正切函数有无数多条渐近线，渐近线方程为x ＝k π＋π2，k ∈Z ，相邻两条渐近线之间都有一支正切曲线，且单调递增． 2．正切函数的性质(1)正切函数y ＝tan x 的定义域是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠k π＋π2，k ∈Z ，值域是R . (2)正切函数y ＝tan x 的最小正周期是π，函数y ＝A tan(ωx ＋φ)(Aω≠0)的最小正周期为T ＝π|ω|.(3)正切函数在⎝⎛⎭⎫－π2＋k π，π2＋k π(k ∈Z )上单调递增，不能写成闭区间，正切函数无单调减区间.1．4.3正切函数的性质与图象学习目标1.会求正切函数y＝tan(ωx＋φ)的周期.2.掌握正切函数y＝tan x的奇偶性，并会判断简单三角函数的奇偶性.3.掌握正切函数的单调性，并掌握其图象的画法．知识点一、正切函数的性质 思考1：正切函数的定义域是什么？答案 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ∈R 且x ≠π2＋k π，k ∈Z . 思考2：诱导公式tan(π＋x )＝tan x ，x ∈R 且x ≠π2＋k π，k ∈Z 说明了正切函数的什么性质？答案 周期性．思考3：诱导公式tan(－x )＝－tan x ，x ∈R 且x ≠π2＋k π，k ∈Z 说明了正切函数的什么性质？答案 奇偶性．思考4：从正切线上看，在⎝⎛⎭⎫0，π2上正切函数值是增大的吗？ 答案 是．梳理 函数y ＝tan x ⎝⎛⎭⎫x ∈R 且x ≠k π＋π2，k ∈Z 的图象与性质见下表：知识点二 正切函数的图象思考1 利用正切线作正切函数图象的步骤是什么？答案 根据正切函数的定义域和周期，首先作出区间⎝⎛⎭⎫－π2，π2上的图象．作法如下： (1)作平面直角坐标系，并在平面直角坐标系y 轴的左侧作单位圆． (2)把单位圆的右半圆分成8等份，分别在单位圆中作出正切线． (3)描点(横坐标是一个周期的8等分点，纵坐标是相应的正切线的长度)． (4)连线，得到如图①所示的图象．(5)根据正切函数的周期性，把上述图象向左、右扩展，就可以得到正切函数y ＝tan x ，x ∈R 且x ≠π2＋k π(k ∈Z )的图象，把它称为正切曲线(如图②所示)．可以看出，正切曲线是被相互平行的直线x ＝π2＋k π，k ∈Z 所隔开的无穷多支曲线组成的．思考2 我们能用“五点法”简便地画出正弦函数、余弦函数的简图，你能类似地画出正切函数y ＝tan x ，x ∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2的简图吗？怎样画？ 答案 能，三个关键点：⎝⎛⎭⎫π4，1，(0,0)，⎝⎛⎭⎫－π4，－1，两条平行线：x ＝π2，x ＝－π2. 梳理 (1)正切函数的图象(2)正切函数的图象特征正切曲线是被相互平行的直线x ＝π2＋k π，k ∈Z 所隔开的无穷多支曲线组成的．1．函数y ＝tan x 在其定义域上是增函数．( × )提示 y ＝tan x 在开区间⎝⎛⎭⎫k π－π2，k π＋π2(k ∈Z )上是增函数，但在其定义域上不是增函数． 2．函数y ＝tan x 的图象的对称中心是(k π，0)(k ∈Z )．( × ) 提示 y ＝tan x 图象的对称中心是⎝⎛⎭⎫12k π，0(k ∈Z )． 3．正切函数y ＝tan x 无单调递减区间．( √ ) 4．正切函数在区间⎣⎡⎦⎤－π2，π2上单调递增．( × )提示 正切函数在区间⎝⎛⎭⎫－π2，π2上是增函数，不能写成闭区间，当x ＝±π2时，y ＝tan x 无意义.类型一 正切函数的定义域、值域问题例1 (1)函数y ＝3tan ⎝⎛⎭⎫π6－x 4的定义域为________． 考点 正切函数的定义域、值域 题点 正切函数的定义域答案 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠－4π3－4k π，k ∈Z 解析 由π6－x 4≠π2＋k π，k ∈Z ，得x ≠－4π3－4k π，k ∈Z ，即函数的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠－4π3－4k π，k ∈Z . (2)求函数y ＝tan 2⎝⎛⎭⎫3x ＋π3＋tan ⎝⎛⎭⎫3x ＋π3＋1的定义域和值域． 考点 正切函数的定义域、值域 题点 正切函数的值域 解 由3x ＋π3≠k π＋π2，k ∈Z ，得x ≠k π3＋π18，k ∈Z ，所以函数的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠k π3＋π18，k ∈Z . 设t ＝tan ⎝⎛⎭⎫3x ＋π3， 则t ∈R ，y ＝t 2＋t ＋1＝⎝⎛⎭⎫t ＋122＋34≥34，所以原函数的值域是⎣⎡⎭⎫34，＋∞. 反思与感悟 (1)求定义域时，要注意正切函数自身的限制条件，另外解不等式时，要充分利用三角函数的图象或三角函数线．(2)处理正切函数值域时，应注意正切函数自身值域为R ，将问题转化为某种函数的值域求解． 跟踪训练1 求函数y ＝tan x ＋1＋lg(1－tan x )的定义域． 考点 正切函数的定义域、值域 题点 正切函数的定义域解 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧tan x ＋1≥0，1－tan x >0，即－1≤tan x <1.在⎝⎛⎭⎫－π2，π2内，满足上述不等式的x 的取值范围是⎣⎡⎭⎫－π4，π4. 又y ＝tan x 的周期为π，所以函数的定义域是⎣⎡⎭⎫k π－π4，k π＋π4(k ∈Z )．类型二 正切函数的单调性问题 命题角度1 求正切函数的单调区间例2 求函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫－12x ＋π4的单调区间及最小正周期． 考点 正切函数的单调性 题点 判断正切函数的单调性 解 y ＝tan ⎝⎛⎭⎫－12x ＋π4＝－tan ⎝⎛⎭⎫12x －π4， 由k π－π2<12x －π4<k π＋π2(k ∈Z )，得2k π－π2<x <2k π＋32π(k ∈Z )，所以函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫－12x ＋π4的单调递减区间是⎝⎛⎭⎫2k π－π2，2k π＋32π，k ∈Z ，周期T ＝π⎪⎪⎪⎪－12＝2π. 反思与感悟 y ＝tan(ωx ＋φ)(ω>0)的单调区间的求法是把ωx ＋φ看成一个整体，解－π2＋k π<ωx ＋φ<π2＋k π，k ∈Z 即可．当ω<0时，先用诱导公式把ω化为正值再求单调区间．跟踪训练2 (2017·太原高一检测)求函数y ＝3tan ⎝⎛⎭⎫π4－2x 的单调区间． 考点 正切函数的单调性 题点 判断正切函数的单调性 解 y ＝3tan ⎝⎛⎭⎫π4－2x ＝－3tan ⎝⎛⎭⎫2x －π4， 由－π2＋k π<2x －π4<π2＋k π，k ∈Z ，得－π8＋k π2<x <3π8＋k π2(k ∈Z )， 所以y ＝3tan ⎝⎛⎭⎫π4－2x 的单调递减区间为⎝⎛⎭⎫－π8＋k π2，3π8＋k π2(k ∈Z )． 命题角度2 利用正切函数的单调性比较大小 例3 比较大小：(1)tan 32°________tan 215°； (2)tan 18π5________tan ⎝⎛⎭⎫－28π9. 考点 正切函数的单调性 题点 正切函数的单调性的应用 答案 (1)< (2)<解析 (1)tan 215°＝tan(180°＋35°)＝tan 35°， ∵y ＝tan x 在(0°，90°)上单调递增，32°<35°， ∴tan 32°<tan 35°＝tan 215°.(2)tan 18π5＝tan ⎝⎛⎭⎫4π－2π5＝tan ⎝⎛⎭⎫－2π5， tan ⎝⎛⎭⎫－28π9＝tan ⎝⎛⎭⎫－3π－π9＝tan ⎝⎛⎭⎫－π9， ∵y ＝tan x 在⎝⎛⎭⎫－π2，π2上单调递增，且－2π5<－π9， ∴tan ⎝⎛⎭⎫－2π5<tan ⎝⎛⎭⎫－π9，即tan 18π5<tan ⎝⎛⎭⎫－28π9. 反思与感悟 运用正切函数的单调性比较大小的步骤 (1)运用函数的周期性或诱导公式将角化到同一单调区间内； (2)运用单调性比较大小关系．跟踪训练3 比较大小：tan ⎝⎛⎭⎫－7π4_______tan ⎝⎛⎭⎫－9π5.考点 正切函数的单调性 题点 正切函数的单调性的应用 答案 >解析 ∵tan ⎝⎛⎭⎫－7π4＝－tan ⎝⎛⎭⎫2π－π4＝tan π4， tan ⎝⎛⎭⎫－9π5＝－tan ⎝⎛⎭⎫2π－π5＝tan π5. 又0＜π5＜π4＜π2，y ＝tan x 在⎝⎛⎭⎫0，π2内单调递增， ∴tan π5＜tan π4，∴tan ⎝⎛⎭⎫－7π4＞tan ⎝⎛⎭⎫－9π5.类型三 正切函数综合问题 例4 设函数f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎫x 2－π3.(1)求函数f (x )的最小正周期，对称中心； (2)作出函数f (x )在一个周期内的简图． 考点 正切函数的综合应用 题点 正切函数的综合应用解 (1)∵ω＝12，∴最小正周期T ＝πω＝π12＝2π.令x 2－π3＝k π2(k ∈Z )，得x ＝k π＋2π3(k ∈Z )， ∴f (x )的对称中心是⎝⎛⎭⎫k π＋2π3，0(k ∈Z )． (2)令x 2－π3＝0，则x ＝2π3；令x 2－π3＝π4，则x ＝7π6；令x 2－π3＝－π4，则x ＝π6；令x 2－π3＝π2，则x ＝5π3； 令x 2－π3＝－π2，则x ＝－π3. ∴函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫x 2－π3的图象与x 轴的一个交点坐标是⎝⎛⎭⎫2π3，0，在这个交点左，右两侧相邻的两条渐近线方程分别是x ＝－π3，x ＝5π3，从而得到函数y ＝f (x )在一个周期⎝⎛⎭⎫－π3，5π3内的简图(如图)．反思与感悟 熟练掌握正切函数的图象和性质是解决正切函数综合问题的关键，正切曲线是被相互平行的直线x ＝π2＋k π，k ∈Z 隔开的无穷多支曲线组成，y ＝tan x 的对称中心为⎝⎛⎭⎫k π2，0，k ∈Z .跟踪训练4 画出f (x )＝tan |x |的图象，并根据其图象判断其单调区间、周期性、奇偶性． 考点 正切函数的综合应用题点 正切函数的综合应用解 f (x )＝tan |x |化为f (x )＝⎩⎨⎧ tan x ，x ≠k π＋π2，x ≥0(k ∈Z )，－tan x ，x ≠k π＋π2，x <0(k ∈Z )，根据y ＝tan x 的图象，作出f (x )＝tan |x |的图象，如图所示，由图象知，f (x )不是周期函数，是偶函数，单调增区间为⎣⎡⎭⎫0，π2，⎝⎛⎭⎫k π＋π2，k π＋3π2(k ∈N )；单调减区间为⎝⎛⎦⎤－π2，0，⎝⎛⎭⎫k π－3π2，k π－π2(k ＝0，－1，－2，…).1．函数f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎫x ＋π4的单调递增区间为( ) A.⎝⎛⎭⎫k π－π2，k π＋π2，k ∈Z B ．(k π，(k ＋1)π)，k ∈ZC.⎝⎛⎭⎫k π－3π4，k π＋π4，k ∈Z D.⎝⎛⎭⎫k π－π4，k π＋3π4，k ∈Z 考点 正切函数的单调性题点 判断正切函数的单调性答案 C2．函数y ＝tan x ＋1tan x是( ) A ．奇函数B ．偶函数C ．既是奇函数又是偶函数D ．既不是奇函数又不是偶函数考点 正切函数的周期性、对称性题点 正切函数的奇偶性答案 A解析 函数的定义域是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠12k π，k ∈Z ，且tan(－x )＋1tan (－x )＝－tan x －1tan x ＝－⎝⎛⎭⎫tan x ＋1tan x ，所以函数y ＝tan x ＋1tan x是奇函数． 3．将tan 1，tan 2，tan 3按大小排列为________．(用“<”连接)考点 正切函数的单调性题点 正切函数单调性的应用答案 tan 2<tan 3<tan 1解析 tan 2＝tan(2－π)，tan 3＝tan(3－π)，∵－π2<2－π<3－π<1<π2， 且y ＝tan x 在⎝⎛⎭⎫－π2，π2上单调递增， ∴tan(2－π)<tan(3－π)<tan 1，即tan 2<tan 3<tan 1.4．(2017·西安高一检测)函数y ＝4tan ⎝⎛⎭⎫3x ＋π6的最小正周期为________． 考点 正切函数的周期性、对称性题点 正切函数的周期性答案 π3解析 T ＝π|ω|＝π3. 5．函数y ＝tan x ⎝⎛⎭⎫π4≤x ≤3π4，且x ≠π2的值域是________________． 考点 正切函数的定义域、值域题点 正切函数的值域答案 (－∞，－1]∪[1，＋∞)解析 函数y ＝tan x 在⎣⎡⎭⎫π4，π2上单调递增，在⎝⎛⎦⎤π2，3π4上也单调递增，所以函数的值域是(－∞，－1]∪[1，＋∞)．1．正切函数的图象正切函数有无数多条渐近线，渐近线方程为x ＝k π＋π2，k ∈Z ，相邻两条渐近线之间都有一支正切曲线，且单调递增．2．正切函数的性质(1)正切函数y ＝tan x 的定义域是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠k π＋π2，k ∈Z ，值域是R . (2)正切函数y ＝tan x 的最小正周期是π，函数y ＝A tan(ωx ＋φ)(Aω≠0)的最小正周期为T ＝π|ω|. (3)正切函数在⎝⎛⎭⎫－π2＋k π，π2＋k π(k ∈Z )上单调递增，不能写成闭区间，正切函数无单调减区间.。

正切函数的图象和性质➢ 教学重点：1．正切函数的图象形状及其主要性质（包括定义域、值域、周期性、奇偶性和单调性）． 2．充分利用图形讲清正切曲线的特性，通过一定的训练使学生正确了解图象性质（例如定义域必须去掉Z k k x ∈+=,2ππ各点，值域无最大值、最小值，周期是π，单调性表现为在每一单调区间内只增不减等）．➢ 教学难点：利用正切线画出函数)2,2(,tan ππ-∈=x x y 的图象，并使直线2π±=x 确实称为此图象的两条渐进线．➢ 教学方法：探究式教学．➢ 教学过程： 一、复习与引入1． 在单位圆中复习正切线（AT ）的定义． 2． 回忆正弦函数图象的作法（几何法）．3． 由前面的知识可知：一个周期函数的作图问题，只需作出它在一个周期内的函数图象，然后通过左右扩展即可得到它在整个定义域内的图象．如果正切函数也是周期函数的话，我们就可以这么做，那么正切函数是周期函数吗？如果是，最小正周期又是多少呢？二、新课讲授 （一）正切函数的图象1．由诱导公式，x xxx x x tan cos sin )cos()sin()tan(=--=++=+πππ，这说明正切函数是周期函数，π是它的一个周期，我们还可以证明，π就是它的最小正周期．2．说明等式成立的前提条件是)(2Z k k x ∈+≠ππ．3．利用正弦线在⎪⎭⎫⎝⎛-2,2ππ内作出正切函数的图象．（事先作好辅助图象）4．根据正切函数的周期性，把上述（在⎪⎭⎫⎝⎛-2,2ππ内的）图象向左右扩展，即可得到正切函数R x x y ∈=,tan 且)(2Z k k x ∈+≠ππ的图象，并把它叫做正切曲线．（二）正切函数的性质由正切曲线可以看出，它是被互相平行的直线)(2Z k k x ∈+=ππ所隔开的无数多支曲线组成的，这些直线我们成为渐进线。

也正是由此，我们得到了正切函数许多独特的性质．（由学生自行讨论，得出下述结论） 1．定义域：},2|{Z k k x x ∈+≠ππ2．值域：R说明：1）由图象可观察出值域；2）由图象说明tanx 趋向于正无穷大，趋向于负无穷大是，x 无限接近于渐进线． 3．周期性：π4．奇偶性：tan(-x)=-tanx ，奇函数；正切曲线关于原点对称． 5．单调性：在开区间Z k k k ∈⎪⎭⎫⎝⎛++-,2,2ππππ内都是增函数．说明：1）正切函数在整个定义域内是增函数吗？为什么？（反例：6π与45π）2）正切函数会不会在某一区间内是减函数？为什么？（任意区间A ：（1）不含有ππk +2这样的数，那么函数是增函数；否则在直线)(2Z k k x ∈+=ππ两侧的图象都是上升的）三、例题讲解例1．求函数)4tan(π+=x y 的定义域说明：1．由函数x y tan =的定义域知，将4π+x 看作一个整体；2．求函数x y3tan =的定义域；3．值域如何？在回答此问题之前先思考函数x y tan =与函数)4tan(π+=x y 的图象之间的关系？（左右平移）——值域不变：R ；4．周期呢？不变：π；5．单调性如何？（整体来看：化复杂（)4tan(π+=x y）为简单（x y tan =））6．奇偶性如何？由定义判断它是非奇非偶函数；进一步：函数)4tan()(π+=x x f 与函数)(x f -有何关系？（倒数）例2．请考虑函数 （1）x ytan 2=与x y tan 21=；（2）x y 2tan =与x y 21tan =； （3）)3tan(π+=x y与)4tan(π-=x y 的图象与性质． 说明：1．定义域有无变化（第（2）（3）小题发生变化）？ 2．周期有无变化（第（2）题发生变化）？ 3．单调性如何变化？（整体思想）4．正切函数的图象的变化形式与正余弦函数完全类似。