《备课参考》圆周角和直径的关系及圆内接四边形

3.4 圆周角和圆心角的关系第2课时圆周角和直径的关系及圆内接四边形1．掌握圆周角和直径的关系，会熟练运用解决问题；(重点)2．培养学生观察、分析及理解问题的能力，经历猜想、推理、验证等环节，获得正确的学习方式．(难点)一、情境导入你喜欢看足球比赛吗？你踢过足球吗？如图②所示，甲队员在圆心O处，乙队员在圆上C处，丙队员带球突破防守到圆上C 处，依然把球传给了甲，你知道为什么吗？你能用数学知识解释一下吗？二、合作探究探究点一：圆周角和直径的关系【类型一】利用直径所对的圆周角是直角求角的度数如图，BD是⊙O的直径，∠CBD＝30°，则∠A的度数为( )A．30° B．45°C．60° D．75°解析：∵BD是⊙O的直径，∴∠BCD＝90°.∵∠CBD＝30°，∴∠D＝60°，∴∠A＝∠D ＝60°.故选C.方法总结：在圆中，如果有直径，一般要找直径所对的圆周角，构造直角三角形解题．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第3题【类型二】作辅助线构造直角三角形解决问题如图，点A、B、D、E在⊙O上，弦AE、BD的延长线相交于点C.若AB是⊙O的直径，D是BC的中点．(1)试判断AB、AC之间的大小关系，并给出证明；(2)在上述题设条件下，当△ABC为正三角形时，点E是否为AC的中点？为什么？解析：(1)连接AD，先根据圆周角定理求出∠ADB＝90°，再根据线段垂直平分线性质判断；(2)连接BE，根据圆周角定理求出∠AEB＝90°，根据等腰三角形性质求解．解：(1)AB＝AC.证明如下：连接AD，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，即AD⊥BC.∵BD ＝DC，∴AD垂直平分BC，∴AB＝AC；(2)当△ABC为正三角形时，E是AC的中点．理由如下：连接BE，∵AB为⊙O的直径，∴∠BEA＝90°，即BE⊥AC.∵△ABC为正三角形，∴AE＝EC，即E是AC的中点．方法总结：在解决圆的问题时，如果有直径往往考虑作辅助线，构造直径所对的圆周角．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第6题探究点二：圆内接四边形【类型一】圆内接四边形性质的运用如图，四边形ABCD内接于⊙O，点E是CB的延长线上一点，∠EBA＝125°，则∠D＝( )A．65° B．120° C．125° D．130°解析：∵∠EBA＝125°，∴∠ABC＝180°－125°＝55°.∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠D＋∠ABC＝180°，∴∠D＝180°－55°＝125°.故选C.方法总结：解决问题关键是掌握圆内接四边形的对角互补这一性质．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第7题【类型二】圆内接四边形与圆周角的综合如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，∠BOD＝120°，那么∠BCD是( )A．120° B．100°C．80° D．60°解析：∵∠BOD＝120°，∴∠A＝60°，∴∠C＝180°－60°＝120°，故选A.方法总结：解决问题关键是掌握圆内接四边形的对角互补和圆周角的性质．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第8题【类型三】圆内接四边形与垂径定理的综合如图，AB为⊙O的直径，CF⊥AB于E，交⊙O于D，AF交⊙O于G.求证：∠FGD＝∠ADC.解析：利用圆内接四边形的性质求得∠FGD＝∠ACD，然后根据垂径定理推知AB是CD 的垂直平分线，则∠ADC＝∠ACD.故∠FGD＝∠ADC.证明：∵四边形ACDG 内接于⊙O ，∴∠FGD ＝∠ACD .又∵AB 为⊙O 的直径，CF ⊥AB 于E ，∴AB 垂直平分CD ，∴AC ＝AD ，∴∠ADC ＝∠ACD ，∴∠FGD ＝∠ADC .方法总结：圆内接四边形的性质是沟通角相等关系的重要依据．【类型四】 圆内接四边形、圆周角、相似三角形和三角函数的综合如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，AB 为⊙O 的直径，点C 为BD ︵的中点，AC 、BD 交于点E .(1)求证：△CBE ∽△CAB ；(2)若S △CBE ∶S △CAB ＝1∶4，求sin ∠ABD 的值．解析：(1)利用圆周角定理得出∠DBC ＝∠BAC ，根据两角对应相等得出两三角形相似，直接证明即可；(2)利用相似三角形的性质面积比等于相似比的平方，得出AC ∶BC ＝BC ∶EC ＝2∶1，再利用三角形中位线的性质以及三角函数知识得出答案．(1)证明：∵点C 为BD ︵的中点，∴∠DBC ＝∠BAC .在△CBE 与△CAB 中，∠DBC ＝∠BAC ，∠BCE ＝∠ACB ，∴△CBE ∽△CAB ；(2)解：连接OC 交BD 于F 点，则OC 垂直平分BD .∵S △CBE ∶S △CAB ＝1∶4，△CBE ∽△CAB ，∴AC ∶BC ＝BC ∶EC ＝2∶1，∴AC ＝4EC ，∴AE ∶EC ＝3∶1.∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ADB ＝90°，∴AD ∥OC ，则AD ∶FC ＝AE ∶EC ＝3∶1.设FC ＝a ，则AD ＝3a .∵F 为BD 的中点，O 为AB 的中点，∴OF 是△ABD 的中位线，则OF ＝12AD ＝1.5a ，∴OC ＝OF ＋FC ＝1.5a ＋a ＝2.5a ，则AB ＝2OC ＝5a .在Rt △ABD 中，sin ∠ABD ＝AD AB ＝3a 5a ＝35. 方法总结：圆内接四边形、圆周角等知识都是和角有关的定理，在圆中解决这方面的问题时考虑相等的角．三、板书设计圆周角和直径的关系及圆内接四边形1．圆周角和直径的关系 2．圆内接四边形的概念和性质本节课采用问题情境——自主探究——拓展应用的课堂教学模式，以问题为主，配合多媒体辅助教学，引导学生进行有效思考．在教学过程中，通过问题串启发引导，学生自主探究，创设情境等多种教学方式，激发学生学习兴趣，调动课堂气氛，收到了很好的教学效果.。

3.4 圆周角和圆心角的关系第2课时 圆周角和直径的关系及圆内接四边形1．掌握圆周角和直径的关系，会熟练运用解决问题；(重点)2．培养学生观察、分析及理解问题的能力，经历猜想、推理、验证等环节，获得正确的学习方式．(难点)一、情境导入你喜欢看足球比赛吗？你踢过足球吗？如图②所示，甲队员在圆心O 处，乙队员在圆上C 处，丙队员带球突破防守到圆上C 处，依然把球传给了甲，你知道为什么吗？你能用数学知识解释一下吗？二、合作探究探究点一：圆周角和直径的关系【类型一】 利用直径所对的圆周角是直角求角的度数如图，BD 是⊙O 的直径，∠CBD ＝30°，则∠A 的度数为( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．75°解析：∵BD 是⊙O 的直径，∴∠BCD ＝90°.∵∠CBD ＝30°，∴∠D ＝60°，∴∠A ＝∠D ＝60°.故选C.方法总结：在圆中，如果有直径，一般要找直径所对的圆周角，构造直角三角形解题．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第3题【类型二】 作辅助线构造直角三角形解决问题如图，点A 、B 、D 、E 在⊙O 上，弦AE 、BD的延长线相交于点C .若AB 是⊙O 的直径，D 是BC 的中点．(1)试判断AB 、AC 之间的大小关系，并给出证明； (2)在上述题设条件下，当△ABC 为正三角形时，点E 是否为AC 的中点？为什么？解析：(1)连接AD ，先根据圆周角定理求出∠ADB ＝90°，再根据线段垂直平分线性质判断；(2)连接BE ，根据圆周角定理求出∠AEB ＝90°，根据等腰三角形性质求解．解：(1)AB ＝AC .证明如下：连接AD ，∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ADB ＝90°， 即AD ⊥BC .∵BD ＝DC ，∴AD 垂直平分BC ，∴AB ＝AC ；(2)当△ABC 为正三角形时，E 是AC 的中点．理由如下：连接BE ，∵AB 为⊙O 的直径，∴∠BEA ＝90°，即BE ⊥AC .∵△ABC 为正三角形，∴AE ＝EC ，即E 是AC 的中点．方法总结：在解决圆的问题时，如果有直径往往考虑作辅助线，构造直径所对的圆周角．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第6题探究点二：圆内接四边形【类型一】 圆内接四边形性质的运用如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，点E 是CB 的延长线上一点，∠EBA ＝125°，则∠D ＝( )A ．65°B ．120°C ．125°D ．130°解析：∵∠EBA ＝125°，∴∠ABC ＝180°－125°＝55°.∵四边形ABCD 内接于⊙O ，∴∠D ＋∠ABC ＝180°，∴∠D ＝180°－55°＝125°.故选C.方法总结：解决问题关键是掌握圆内接四边形的对角互补这一性质．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第7题【类型二】 圆内接四边形与圆周角的综合如图，在⊙O 的内接四边形ABCD 中，∠BOD＝120°，那么∠BCD 是( )A ．120°B ．100°C ．80°D ．60°解析：∵∠BOD ＝120°，∴∠A ＝60°，∴∠C ＝180°－60°＝120°，故选A.方法总结：解决问题关键是掌握圆内接四边形的对角互补和圆周角的性质．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第8题【类型三】 圆内接四边形与垂径定理的综合如图，AB 为⊙O 的直径，CF ⊥AB 于E ，交⊙O 于D ，AF 交⊙O 于G .求证：∠FGD ＝∠ADC.解析：利用圆内接四边形的性质求得∠FGD ＝∠ACD ，然后根据垂径定理推知AB 是CD 的垂直平分线，则∠ADC ＝∠ACD .故∠FGD ＝∠ADC .证明：∵四边形ACDG内接于⊙O，∴∠FGD＝∠ACD.又∵AB为⊙O的直径，CF⊥AB于E，∴AB 垂直平分CD，∴AC＝AD，∴∠ADC＝∠ACD，∴∠FGD＝∠ADC.方法总结：圆内接四边形的性质是沟通角相等关系的重要依据．【类型四】圆内接四边形、圆周角、相似三角形和三角函数的综合如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为⊙O的直径，点C为BD︵的中点，AC、BD交于点E.(1)求证：△CBE∽△CAB；(2)若S△CBE∶S△CAB＝1∶4，求sin∠ABD的值．解析：(1)利用圆周角定理得出∠DBC＝∠BAC，根据两角对应相等得出两三角形相似，直接证明即可；(2)利用相似三角形的性质面积比等于相似比的平方，得出AC∶BC＝BC∶EC＝2∶1，再利用三角形中位线的性质以及三角函数知识得出答案．(1)证明：∵点C为BD︵的中点，∴∠DBC＝∠BAC.在△CBE与△CAB中，∠DBC＝∠BAC，∠BCE＝∠ACB，∴△CBE∽△CAB；(2)解：连接OC交BD于F点，则OC垂直平分BD.∵S△CBE∶S△CAB＝1∶4，△CBE∽△CAB，∴AC∶BC＝BC∶EC＝2∶1，∴AC＝4EC，∴AE∶EC＝3∶1.∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴AD∥OC，则AD∶FC＝AE∶EC＝3∶1.设FC＝a，则AD＝3a.∵F为BD的中点，O为AB的中点，∴OF是△ABD的中位线，则OF＝12AD＝1.5a，∴OC＝OF＋FC＝1.5a＋a＝2.5a，则AB＝2OC＝5a.在Rt△ABD中，sin∠ABD＝ADAB＝3a5a＝35.方法总结：圆内接四边形、圆周角等知识都是和角有关的定理，在圆中解决这方面的问题时考虑相等的角．三、板书设计圆周角和直径的关系及圆内接四边形1．圆周角和直径的关系2．圆内接四边形的概念和性质本节课采用问题情境——自主探究——拓展应用的课堂教学模式，以问题为主，配合多媒体辅助教学，引导学生进行有效思考．在教学过程中，通过问题串启发引导，学生自主探究，创设情境等多种教学方式，激发学生学习兴趣，调动课堂气氛，收到了很好的教学效果.。

3.4 圆周角和圆心角的关系第2课时圆周角和直径的关系及圆内接四边形1．掌握圆周角和直径的关系，会熟练运用解决问题；(重点)2．培养学生观察、分析及理解问题的能力，经历猜想、推理、验证等环节，获得正确的学习方式．(难点)一、情境导入你喜欢看足球比赛吗？你踢过足球吗？如图②所示，甲队员在圆心O处，乙队员在圆上C处，丙队员带球突破防守到圆上C处，依然把球传给了甲，你知道为什么吗？你能用数学知识解释一下吗？二、合作探究探究点一：圆周角和直径的关系【类型一】利用直径所对的圆周角是直角求角的度数如图，BD是⊙O的直径，∠CBD＝30°，则∠A的度数为()A．30°B．45°C．60°D．75°解析：∵BD是⊙O的直径，∴∠BCD＝90°.∵∠CBD＝30°，∴∠D＝60°，∴∠A＝∠D＝60°.故选C.方法总结：在圆中，如果有直径，一般要找直径所对的圆周角，构造直角三角形解题．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第3题【类型二】作辅助线构造直角三角形解决问题如图，点A、B、D、E在⊙O上，弦AE、BD的延长线相交于点C.若AB是⊙O的直径，D是BC的中点．(1)试判断AB、AC之间的大小关系，并给出证明；(2)在上述题设条件下，当△ABC为正三角形时，点E是否为AC的中点？为什么？解析：(1)连接AD，先根据圆周角定理求出∠ADB＝90°，再根据线段垂直平分线性质判断；(2)连接BE，根据圆周角定理求出∠AEB＝90°，根据等腰三角形性质求解．解：(1)AB＝AC.证明如下：连接AD，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，即AD⊥BC.∵BD＝DC，∴AD垂直平分BC，∴AB＝AC；(2)当△ABC为正三角形时，E是AC的中点．理由如下：连接BE，∵AB为⊙O的直径，∴∠BEA＝90°，即BE⊥AC.∵△ABC为正三角形，∴AE＝EC，即E是AC的中点．方法总结：在解决圆的问题时，如果有直径往往考虑作辅助线，构造直径所对的圆周角．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第6题探究点二：圆内接四边形【类型一】圆内接四边形性质的运用如图，四边形ABCD内接于⊙O，点E是CB的延长线上一点，∠EBA＝125°，则∠D＝()A．65°B．120°C．125°D．130°解析：∵∠EBA＝125°，∴∠ABC＝180°－125°＝55°.∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠D＋∠ABC＝180°，∴∠D＝180°－55°＝125°.故选C.方法总结：解决问题关键是掌握圆内接四边形的对角互补这一性质．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第7题【类型二】圆内接四边形与圆周角的综合如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，∠BOD＝120°，那么∠BCD是()A．120°B．100°C．80°D．60°解析：∵∠BOD＝120°，∴∠A＝60°，∴∠C＝180°－60°＝120°，故选A.方法总结：解决问题关键是掌握圆内接四边形的对角互补和圆周角的性质．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第8题【类型三】圆内接四边形与垂径定理的综合如图，AB为⊙O的直径，CF⊥AB于E，交⊙O于D，AF交⊙O于G.求证：∠FGD＝∠ADC.解析：利用圆内接四边形的性质求得∠FGD＝∠ACD，然后根据垂径定理推知AB是CD的垂直平分线，则∠ADC＝∠ACD.故∠FGD＝∠ADC.证明：∵四边形ACDG内接于⊙O，∴∠FGD＝∠ACD.又∵AB为⊙O的直径，CF⊥AB于E，∴AB垂直平分CD，∴AC＝AD，∴∠ADC＝∠ACD，∴∠FGD＝∠ADC.方法总结：圆内接四边形的性质是沟通角相等关系的重要依据．【类型四】圆内接四边形、圆周角、相似三角形和三角函数的综合如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为⊙O的直径，点C为BD︵的中点，AC、BD交于点E.(1)求证：△CBE∽△CAB；(2)若S△CBE∶S△CAB＝1∶4，求sin∠ABD的值．解析：(1)利用圆周角定理得出∠DBC ＝∠BAC ，根据两角对应相等得出两三角形相似，直接证明即可；(2)利用相似三角形的性质面积比等于相似比的平方，得出AC ∶BC ＝BC ∶EC ＝2∶1，再利用三角形中位线的性质以及三角函数知识得出答案．(1)证明：∵点C 为BD ︵的中点，∴∠DBC ＝∠BAC .在△CBE 与△CAB 中，∠DBC ＝∠BAC ，∠BCE ＝∠ACB ，∴△CBE ∽△CAB ；(2)解：连接OC 交BD 于F 点，则OC 垂直平分BD .∵S △CBE ∶S △CAB ＝1∶4，△CBE ∽△CAB ，∴AC ∶BC ＝BC ∶EC ＝2∶1，∴AC ＝4EC ，∴AE ∶EC ＝3∶1.∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ADB ＝90°，∴AD ∥OC ，则AD ∶FC ＝AE ∶EC ＝3∶1.设FC ＝a ，则AD ＝3a .∵F 为BD 的中点，O 为AB 的中点，∴OF 是△ABD 的中位线，则OF ＝12AD ＝1.5a ，∴OC ＝OF ＋FC ＝1.5a ＋a ＝2.5a ，则AB ＝2OC ＝5a .在Rt △ABD 中，sin ∠ABD ＝AD AB ＝3a 5a ＝35. 方法总结：圆内接四边形、圆周角等知识都是和角有关的定理，在圆中解决这方面的问题时考虑相等的角．三、板书设计圆周角和直径的关系及圆内接四边形1．圆周角和直径的关系2．圆内接四边形的概念和性质本节课采用问题情境——自主探究——拓展应用的课堂教学模式，以问题为主，配合多媒体辅助教学，引导学生进行有效思考．在教学过程中，通过问题串启发引导，学生自主探究，创设情境等多种教学方式，激发学生学习兴趣，调动课堂气氛，收到了很好的教学效果.。

3.4 圆周角和圆心角的关系第2课时圆周角和直径的关系及圆内接四边形1．掌握圆周角和直径的关系，会熟练运用解决问题；(重点)2．培养学生观察、分析及理解问题的能力，经历猜想、推理、验证等环节，获得正确的学习方式．(难点)一、情境导入你喜欢看足球比赛吗？你踢过足球吗？如图②所示，甲队员在圆心O处，乙队员在圆上C处，丙队员带球突破防守到圆上C处，依然把球传给了甲，你知道为什么吗？你能用数学知识解释一下吗？二、合作探究探究点一：圆周角和直径的关系【类型一】利用直径所对的圆周角是直角求角的度数如图，BD是⊙O的直径，∠CBD＝30°，则∠A的度数为( ) A．30°B．45°C．60°D．75°解析：∵BD是⊙O的直径，∴∠BCD＝90°.∵∠CBD＝30°，∴∠D＝60°，∴∠A＝∠D＝60°.故选C.方法总结：在圆中，如果有直径，一般要找直径所对的圆周角，构造直角三角形解题．变式训练：见《习题》本课时练习“课堂达标训练”第3题【类型二】作辅助线构造直角三角形解决问题如图，点A、B、D、E在⊙O上，弦AE、BD的延长线相交于点C.若AB是⊙O的直径，D是BC的中点．(1)试判断AB、AC之间的大小关系，并给出证明；(2)在上述题设条件下，当△ABC为正三角形时，点E是否为AC的中点？为什么？解析：(1)连接AD，先根据圆周角定理求出∠ADB＝90°，再根据线段垂直平分线性质判断；(2)连接BE，根据圆周角定理求出∠AEB＝90°，根据等腰三角形性质求解．解：(1)AB＝AC.证明如下：连接AD，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，即AD⊥BC.∵BD＝DC，∴AD垂直平分BC，∴AB＝AC；(2)当△ABC为正三角形时，E是AC的中点．理由如下：连接BE，∵AB为⊙O的直径，∴∠BEA＝90°，即BE⊥AC.∵△ABC为正三角形，∴AE＝EC，即E是AC的中点．方法总结：在解决圆的问题时，如果有直径往往考虑作辅助线，构造直径所对的圆周角．变式训练：见《习题》本课时练习“课堂达标训练”第6题探究点二：圆内接四边形【类型一】圆内接四边形性质的运用如图，四边形ABCD内接于⊙O，点E是CB的延长线上一点，∠EBA＝125°，则∠D＝( )A．65°B．120°C．125°D．130°解析：∵∠EBA＝125°，∴∠ABC＝180°－125°＝55°.∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠D＋∠ABC＝180°，∴∠D＝180°－55°＝125°.故选C.方法总结：解决问题关键是掌握圆内接四边形的对角互补这一性质．变式训练：见《习题》本课时练习“课堂达标训练”第7题【类型二】圆内接四边形与圆周角的综合如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，∠BOD＝120°，那么∠BCD是( )A．120°B．100°C．80°D．60°解析：∵∠BOD＝120°，∴∠A＝60°，∴∠C＝180°－60°＝120°，故选A.方法总结：解决问题关键是掌握圆内接四边形的对角互补和圆周角的性质．变式训练：见《习题》本课时练习“课堂达标训练”第8题【类型三】圆内接四边形与垂径定理的综合如图，AB为⊙O的直径，CF⊥AB于E，交⊙O于D，AF交⊙O于G.求证：∠FGD＝∠ADC.解析：利用圆内接四边形的性质求得∠FGD＝∠ACD，然后根据垂径定理推知AB是CD的垂直平分线，则∠ADC＝∠ACD.故∠FGD＝∠ADC.证明：∵四边形ACDG内接于⊙O，∴∠FGD＝∠ACD.又∵AB为⊙O的直径，CF⊥AB于E，∴AB垂直平分CD，∴AC＝AD，∴∠ADC＝∠ACD，∴∠FGD＝∠ADC.方法总结：圆内接四边形的性质是沟通角相等关系的重要依据．【类型四】圆内接四边形、圆周角、相似三角形和三角函数的综合如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为⊙O的直径，点C为BD︵的中点，AC、BD交于点E.(1)求证：△CBE ∽△CAB ； (2)若S △CBE ∶S △CAB ＝1∶4，求sin ∠ABD 的值．解析：(1)利用圆周角定理得出∠DBC ＝∠BAC ，根据两角对应相等得出两三角形相似，直接证明即可；(2)利用相似三角形的性质面积比等于相似比的平方，得出AC ∶BC ＝BC ∶EC＝2∶1，再利用三角形中位线的性质以及三角函数知识得出答案．(1)证明：∵点C 为BD ︵的中点，∴∠DBC ＝∠BAC .在△CBE 与△CAB中，∠DBC ＝∠BAC ，∠BCE ＝∠ACB ，∴△CBE ∽△CAB ；(2)解：连接OC 交BD 于F 点，则OC 垂直平分BD .∵S △CBE ∶S △CAB ＝1∶4，△CBE ∽△CAB ，∴AC ∶BC ＝BC ∶EC ＝2∶1，∴AC ＝4EC ，∴AE ∶EC ＝3∶1.∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ADB ＝90°，∴AD ∥OC ，则AD ∶FC ＝AE ∶EC ＝3∶1.设FC ＝a ，则AD ＝3a .∵F 为BD 的中点，O 为AB 的中点，∴OF 是△ABD 的中位线，则OF ＝12AD ＝1.5a ，∴OC ＝OF ＋FC ＝1.5a ＋a ＝2.5a ，则AB ＝2OC ＝5a .在Rt △ABD 中，sin ∠ABD ＝AD AB ＝3a 5a ＝35.方法总结：圆内接四边形、圆周角等知识都是和角有关的定理，在圆中解决这方面的问题时考虑相等的角．三、板书设计圆周角和直径的关系及圆内接四边形1．圆周角和直径的关系2．圆内接四边形的概念和性质本节课采用问题情境——自主探究——拓展应用的课堂教学模式，以问题为主，配合多媒体辅助教学，引导学生进行有效思考．在教学过程中，通过问题串启发引导，学生自主探究，创设情境等多种教学方式，激发学生学习兴趣，调动课堂气氛，收到了很好的教学效果.。

3.4 圆周角和圆心角的关系第2课时圆周角和直径的关系及圆内接四边形1．掌握圆周角和直径的关系，会熟练运用解决问题；(重点)2．培养学生观察、分析及理解问题的能力，经历猜想、推理、验证等环节，获得正确的学习方式．(难点)一、情境导入你喜欢看足球比赛吗？你踢过足球吗？如图②所示，甲队员在圆心O处，乙队员在圆上C处，丙队员带球突破防守到圆上C处，依然把球传给了甲，你知道为什么吗？你能用数学知识解释一下吗？二、合作探究探究点一：圆周角和直径的关系【类型一】利用直径所对的圆周角是直角求角的度数如图，BD是⊙O的直径，∠CBD ＝30°，那么∠A的度数为()A．30°B．45°C．60°D．75°解析：∵BD是⊙O的直径，∴∠BCD ＝90°.∵∠CBD＝30°，∴∠D＝60°，∴∠A＝∠D＝60°.应选C.方法总结：在圆中，如果有直径，一般要找直径所对的圆周角，构造直角三角形解题．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练〞第3题【类型二】作辅助线构造直角三角形解决问题如图，点A、B、D、E在⊙O 上，弦AE、BD的延长线相交于点C.假设AB是⊙O的直径，D是BC的中点．(1)试判断AB、AC之间的大小关系，并给出证明；(2)在上述题设条件下，当△ABC为正三角形时，点E是否为AC的中点？为什么？解析：(1)连接AD，先根据圆周角定理求出∠ADB＝90°，再根据线段垂直平分线性质判断；(2)连接BE，根据圆周角定理求出∠AEB＝90°，根据等腰三角形性质求解．解：(1)AB＝AC.证明如下：连接AD，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，即AD⊥BC.∵BD＝DC，∴AD垂直平分BC，∴AB＝AC；(2)当△ABC为正三角形时，E是AC的中点．理由如下：连接BE，∵AB为⊙O的直径，∴∠BEA＝90°，即BE⊥AC.∵△ABC为正三角形，∴AE＝EC，即E是AC的中点．方法总结：在解决圆的问题时，如果有直径往往考虑作辅助线，构造直径所对的圆周角．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练〞第6题探究点二：圆内接四边形【类型一】圆内接四边形性质的运用如图，四边形ABCD内接于⊙O，点E是CB的延长线上一点，∠EBA ＝125°，那么∠D＝()A．65°B．120°C．125°D．130°解析：∵∠EBA＝125°，∴∠ABC＝180°－125°＝55°.∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠D＋∠ABC＝180°，∴∠D＝180°－55°＝125°.应选C.方法总结：解决问题关键是掌握圆内接四边形的对角互补这一性质．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练〞第7题【类型二】圆内接四边形与圆周角的综合如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，∠BOD＝120°，那么∠BCD是()A．120°B．100°C．80°D．60°解析：∵∠BOD＝120°，∴∠A＝60°，∴∠C＝180°－60°＝120°，应选A.方法总结：解决问题关键是掌握圆内接四边形的对角互补和圆周角的性质．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练〞第8题【类型三】圆内接四边形与垂径定理的综合如图，AB为⊙O的直径，CF⊥AB于E，交⊙O于D，AF交⊙O于G.求证：∠FGD＝∠ADC.解析：利用圆内接四边形的性质求得∠FGD＝∠ACD，然后根据垂径定理推知AB是CD的垂直平分线，那么∠ADC＝∠ACD.故∠FGD＝∠ADC.证明：∵四边形ACDG内接于⊙O，∴∠FGD＝∠ACD.又∵AB为⊙O的直径，CF⊥AB于E，∴AB垂直平分CD，∴AC＝AD，∴∠ADC＝∠ACD，∴∠FGD＝∠ADC.方法总结：圆内接四边形的性质是沟通角相等关系的重要依据．【类型四】圆内接四边形、圆周角、相似三角形和三角函数的综合如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为⊙O的直径，点C为BD︵的中点，AC、BD交于点E.(1)求证：△CBE∽△CAB；(2)假设S△CBE∶S△CAB＝1∶4，求sin∠ABD的值．解析：(1)利用圆周角定理得出∠DBC ＝∠BAC，根据两角对应相等得出两三角形相似，直接证明即可；(2)利用相似三角形的性质面积比等于相似比的平方，得出AC∶BC＝BC∶EC＝2∶1，再利用三角形中位线的性质以及三角函数知识得出答案．(1)证明：∵点C 为BD ︵的中点，∴∠DBC ＝∠BAC .在△CBE 与△CAB 中，∠DBC ＝∠BAC ，∠BCE ＝∠ACB ，∴△CBE ∽△CAB ；(2)解：连接OC 交BD 于F 点，那么OC 垂直平分BD .∵S △CBE ∶S △CAB ＝1∶4，△CBE ∽△CAB ，∴AC ∶BC ＝BC ∶EC ＝2∶1，∴AC ＝4EC ，∴AE ∶EC ＝3∶1.∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ADB ＝90°，∴AD ∥OC ，那么AD ∶FC ＝AE ∶EC ＝3∶FC ＝a ，那么AD ＝3a .∵F 为BD 的中点，O 为AB 的中点，∴OF 是△ABD 的中位线，那么OF ＝12ADa ，∴OC＝OF ＋FCa ＋aa ，那么AB ＝2OC ＝5a .在Rt △ABD 中，sin ∠ABD ＝AD AB ＝3a 5a ＝35.方法总结：圆内接四边形、圆周角等知识都是和角有关的定理，在圆中解决这方面的问题时考虑相等的角． 三、板书设计 圆周角和直径的关系及圆内接四边形1．圆周角和直径的关系2．圆内接四边形的概念和性质本节课采用问题情境——自主探究——拓展应用的课堂教学模式，以问题为主，配合多媒体辅助教学，引导学生进行有效思考．在教学过程中，通过问题串启发引导，学生自主探究，创设情境等多种教学方式，激发学生学习兴趣，调动课堂气氛，收到了很好的教学效果.第2课 伟大的历史转折1 教学分析【教学目标】知识与能力知道中共十一届三中全会召开时间；了解它的背景，理解其重大意义；拨乱反正加强了民主与法制建设，推动了社会主义现代化建设；学会在开展的进程中认识历史人物、历史事件的地位和作用 过程与方法学会运用原因与结果、联系与综合等概念，理解中共十一届三中全会的背景与历史意义情感态度 与价值观 认同中国共产党完全有能力领导中国人民取得社会主义建设事业的成功识改革开放是我国的强国之路 【重点难点】教学重点：中共十一届三中全会教学难点：中共十一届三中全会在政治上、思想上、组织上的转变以及历史意义2 教学过程 一、导入新课“文化大革命〞时期，我国教育遭到了很大破坏，高考中断了十年。

3.4 圆周角和圆心角的关系第2课时圆周角和直径的关系及圆内接四边形1．掌握圆周角和直径的关系，会熟练运用解决问题；(重点)2．培养学生观察、分析及理解问题的能力，经历猜想、推理、验证等环节，获得正确的学习方式．(难点)一、情境导入你喜欢看足球比赛吗？你踢过足球吗？如图②所示，甲队员在圆心O处，乙队员在圆上C处，丙队员带球突破防守到圆上C处，依然把球传给了甲，你知道为什么吗？你能用数学知识解释一下吗？二、合作探究探究点一：圆周角和直径的关系【类型一】利用直径所对的圆周角是直角求角的度数如图，BD是⊙O的直径，∠CBD＝30°，则∠A的度数为()A．30°B．45°C．60°D．75°解析：∵BD是⊙O的直径，∴∠BCD＝90°.∵∠CBD＝30°，∴∠D＝60°，∴∠A＝∠D ＝60°.故选C.方法总结：在圆中，如果有直径，一般要找直径所对的圆周角，构造直角三角形解题．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第3题【类型二】作辅助线构造直角三角形解决问题如图，点A、B、D、E在⊙O上，弦AE、BD的延长线相交于点C.若AB是⊙O的直径，D是BC的中点．(1)试判断AB、AC之间的大小关系，并给出证明；(2)在上述题设条件下，当△ABC为正三角形时，点E是否为AC的中点？为什么？解析：(1)连接AD，先根据圆周角定理求出∠ADB＝90°，再根据线段垂直平分线性质判断；(2)连接BE，根据圆周角定理求出∠AEB＝90°，根据等腰三角形性质求解．解：(1)AB＝AC.证明如下：连接AD，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，即AD⊥BC.∵BD＝DC，∴AD垂直平分BC，∴AB＝AC；(2)当△ABC为正三角形时，E是AC的中点．理由如下：连接BE，∵AB为⊙O的直径，∴∠BEA＝90°，即BE⊥AC.∵△ABC 为正三角形，∴AE＝EC，即E是AC的中点．方法总结：在解决圆的问题时，如果有直径往往考虑作辅助线，构造直径所对的圆周角．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第6题探究点二：圆内接四边形【类型一】圆内接四边形性质的运用如图，四边形ABCD内接于⊙O，点E是CB的延长线上一点，∠EBA＝125°，则∠D ＝()A．65°B．120°C．125°D．130°解析：∵∠EBA＝125°，∴∠ABC＝180°－125°＝55°.∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠D＋∠ABC＝180°，∴∠D＝180°－55°＝125°.故选C.方法总结：解决问题关键是掌握圆内接四边形的对角互补这一性质．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第7题【类型二】圆内接四边形与圆周角的综合如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，∠BOD＝120°，那么∠BCD是()A．120°B．100°C．80°D．60°解析：∵∠BOD＝120°，∴∠A＝60°，∴∠C＝180°－60°＝120°，故选A.方法总结：解决问题关键是掌握圆内接四边形的对角互补和圆周角的性质．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第8题【类型三】圆内接四边形与垂径定理的综合如图，AB为⊙O的直径，CF⊥AB于E，交⊙O于D，AF交⊙O于G.求证：∠FGD ＝∠ADC.解析：利用圆内接四边形的性质求得∠FGD＝∠ACD，然后根据垂径定理推知AB是CD的垂直平分线，则∠ADC＝∠ACD.故∠FGD＝∠ADC.证明：∵四边形ACDG内接于⊙O，∴∠FGD＝∠ACD.又∵AB为⊙O的直径，CF ⊥AB于E，∴AB垂直平分CD，∴AC＝AD，∴∠ADC＝∠ACD，∴∠FGD＝∠ADC.方法总结：圆内接四边形的性质是沟通角相等关系的重要依据．【类型四】圆内接四边形、圆周角、相似三角形和三角函数的综合如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为⊙O 的直径，点C为BD︵的中点，AC、BD交于点E.(1)求证：△CBE∽△CAB；(2)若S△CBE∶S△CAB＝1∶4，求sin∠ABD 的值．解析：(1)利用圆周角定理得出∠DBC ＝∠BAC，根据两角对应相等得出两三角形相似，直接证明即可；(2)利用相似三角形的性质面积比等于相似比的平方，得出AC ∶BC ＝BC ∶EC ＝2∶1，再利用三角形中位线的性质以及三角函数知识得出答案．(1)证明：∵点C 为BD ︵的中点，∴∠DBC ＝∠BAC .在△CBE 与△CAB 中，∠DBC ＝∠BAC ，∠BCE ＝∠ACB ，∴△CBE ∽△CAB ；(2)解：连接OC 交BD 于F 点，则OC 垂直平分BD .∵S △CBE ∶S △CAB ＝1∶4，△CBE ∽△CAB ，∴AC ∶BC ＝BC ∶EC ＝2∶1，∴AC ＝4EC ，∴AE ∶EC ＝3∶1.∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ADB ＝90°，∴AD ∥OC ，则AD ∶FC ＝AE ∶EC ＝3∶1.设FC ＝a ，则AD ＝3a .∵F 为BD 的中点，O 为AB 的中点，∴OF 是△ABD 的中位线，则OF ＝12AD ＝1.5a ，∴OC ＝OF ＋FC ＝1.5a ＋a ＝2.5a ，则AB ＝2OC ＝5a .在Rt △ABD 中，sin ∠ABD ＝AD AB ＝3a 5a ＝35. 方法总结：圆内接四边形、圆周角等知识都是和角有关的定理，在圆中解决这方面的问题时考虑相等的角．三、板书设计圆周角和直径的关系及圆内接四边形 1．圆周角和直径的关系2．圆内接四边形的概念和性质本节课采用问题情境——自主探究——拓展应用的课堂教学模式，以问题为主，配合多媒体辅助教学，引导学生进行有效思考．在教学过程中，通过问题串启发引导，学生自主探究，创设情境等多种教学方式，激发学生学习兴趣，调动课堂气氛，收到了很好的教学效果.。

3.4 圆周角和圆心角的关系第2课时圆周角和直径的关系及圆内接四边形1．掌握圆周角和直径的关系，会熟练运用解决问题；(重点)2．培养学生观察、分析及理解问题的能力，经历猜想、推理、验证等环节，获得正确的学习方式．(难点)一、情境导入你喜欢看足球比赛吗？你踢过足球吗？如图②所示，甲队员在圆心O处，乙队员在圆上C处，丙队员带球突破防守到圆上C 处，依然把球传给了甲，你知道为什么吗？你能用数学知识解释一下吗？二、合作探究探究点一：圆周角和直径的关系【类型一】利用直径所对的圆周角是直角求角的度数如图，BD是⊙O的直径，∠CBD＝30°，则∠A的度数为( )A．30°B．45°C．60° D．75°解析：∵BD是⊙O的直径，∴∠BCD＝90°.∵∠CBD＝30°，∴∠D＝60°，∴∠A＝∠D ＝60°.故选C.方法总结：在圆中，如果有直径，一般要找直径所对的圆周角，构造直角三角形解题．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第3题【类型二】作辅助线构造直角三角形解决问题如图，点A、B、D、E在⊙O上，弦AE、BD的延长线相交于点C.若AB是⊙O的直径，D是BC的中点．(1)试判断AB、AC之间的大小关系，并给出证明；(2)在上述题设条件下，当△ABC为正三角形时，点E是否为AC的中点？为什么？解析：(1)连接AD，先根据圆周角定理求出∠ADB＝90°，再根据线段垂直平分线性质判断；(2)连接BE，根据圆周角定理求出∠AEB＝90°，根据等腰三角形性质求解．解：(1)AB＝AC.证明如下：连接AD，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，即AD⊥BC.∵BD ＝DC，∴AD垂直平分BC，∴AB＝AC；(2)当△ABC为正三角形时，E是AC的中点．理由如下：连接BE，∵AB为⊙O的直径，∴∠BEA＝90°，即BE⊥AC.∵△ABC为正三角形，∴AE＝EC，即E是AC的中点．方法总结：在解决圆的问题时，如果有直径往往考虑作辅助线，构造直径所对的圆周角．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第6题探究点二：圆内接四边形【类型一】圆内接四边形性质的运用如图，四边形ABCD内接于⊙O，点E是CB的延长线上一点，∠EBA＝125°，则∠D＝( )A．65° B．120° C．125° D．130°解析：∵∠EBA＝125°，∴∠ABC＝180°－125°＝55°.∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠D＋∠ABC＝180°，∴∠D＝180°－55°＝125°.故选C.方法总结：解决问题关键是掌握圆内接四边形的对角互补这一性质．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第7题【类型二】圆内接四边形与圆周角的综合如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，∠BOD＝120°，那么∠BCD是( )A．120° B．100°C．80° D．60°解析：∵∠BOD＝120°，∴∠A＝60°，∴∠C＝180°－60°＝120°，故选A.方法总结：解决问题关键是掌握圆内接四边形的对角互补和圆周角的性质．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第8题【类型三】圆内接四边形与垂径定理的综合如图，AB为⊙O的直径，CF⊥AB于E，交⊙O于D，AF交⊙O于G.求证：∠FGD＝∠ADC.解析：利用圆内接四边形的性质求得∠FGD＝∠ACD，然后根据垂径定理推知AB是CD 的垂直平分线，则∠ADC＝∠ACD.故∠FGD＝∠ADC.证明：∵四边形ACDG 内接于⊙O ，∴∠FGD ＝∠ACD .又∵AB 为⊙O 的直径，CF ⊥AB 于E ，∴AB 垂直平分CD ，∴AC ＝AD ，∴∠ADC ＝∠ACD ，∴∠FGD ＝∠ADC .方法总结：圆内接四边形的性质是沟通角相等关系的重要依据．【类型四】 圆内接四边形、圆周角、相似三角形和三角函数的综合如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，AB 为⊙O 的直径，点C 为BD ︵的中点，AC 、BD 交于点E .(1)求证：△CBE ∽△CAB ；(2)若S △CBE ∶S △CAB ＝1∶4，求sin ∠ABD 的值．解析：(1)利用圆周角定理得出∠DBC ＝∠BAC ，根据两角对应相等得出两三角形相似，直接证明即可；(2)利用相似三角形的性质面积比等于相似比的平方，得出AC ∶BC ＝BC ∶EC ＝2∶1，再利用三角形中位线的性质以及三角函数知识得出答案．(1)证明：∵点C 为BD ︵的中点，∴∠DBC ＝∠BAC .在△CBE 与△CAB 中，∠DBC ＝∠BAC ，∠BCE ＝∠ACB ，∴△CBE ∽△CAB ；(2)解：连接OC 交BD 于F 点，则OC 垂直平分BD .∵S △CBE ∶S △CAB ＝1∶4，△CBE ∽△CAB ，∴AC ∶BC ＝BC ∶EC ＝2∶1，∴AC ＝4EC ，∴AE ∶EC ＝3∶1.∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ADB ＝90°，∴AD ∥OC ，则AD ∶FC ＝AE ∶EC ＝3∶1.设FC ＝a ，则AD ＝3a .∵F 为BD 的中点，O 为AB 的中点，∴OF 是△ABD 的中位线，则OF ＝12AD ＝1.5a ，∴OC ＝OF ＋FC ＝1.5a ＋a ＝2.5a ，则AB ＝2OC ＝5a .在Rt △ABD 中，sin ∠ABD ＝AD AB ＝3a 5a ＝35.方法总结：圆内接四边形、圆周角等知识都是和角有关的定理，在圆中解决这方面的问题时考虑相等的角．三、板书设计圆周角和直径的关系及圆内接四边形1．圆周角和直径的关系2．圆内接四边形的概念和性质本节课采用问题情境——自主探究——拓展应用的课堂教学模式，以问题为主，配合多媒体辅助教学，引导学生进行有效思考．在教学过程中，通过问题串启发引导，学生自主探究，创设情境等多种教学方式，激发学生学习兴趣，调动课堂气氛，收到了很好的教学效果.。